正弦、余弦、正切的二倍角公式数学优质课
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3.1.3二倍角的 正弦、余弦、正切公式
一、温故知新 ( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) )
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
？
cos2
（换元法）
cos 2 cos sin
2 2
你能利用S(±)、T(±)推导出sin2、 tan2的公式吗？
二 倍 角 公 式：
sin 2 2 sin cos R 2 2 cos 2 cos sin R 2 2 2 cos 1 1 2 sin 2 tan k ,且 k ， Z k tan 2 2 2 2 4 1 tan
k Z
六、作业
必作：课本第137页习题3.1A组 16、18、19 选作：B组第1、2题
巩固练习
1.
sin cos
2
2.
sin 2sin cos cos 1 sin 2 1 sin 2 sin cos 0, 2
☆梯度二：
(熟悉公式结构)
2
2 2cos 1 cos 4 1 . 2 8 2 tan 22.5 2. tan 45 1 1 tan 2 22.5
1 2 3 .sin 22.5 cos 22.5 2 sin 45 4
8sin cos cos cos 4 . 16 16 8 4
2 2
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( T(+) )
( T(-) )
二、公式推导
cos(-)
把换成- （换元法）
cos(+)
把换成
对于 C 2 能否有其它表示形式？ 问题2： 公式中的角是否为任意角？
问题1：
问题3：
观察公式，有什么特征？
2 (1) 从角的关系上看：左边是： ，右边是： （2）从结构形式上看：
三、 小试牛刀
☆ 梯度一：
(倍角的相对性)
例
sin 2sin
2
cos
2
sin 2sin cos 4 4 2
4sin 8 cos 8 cos 4
2sin 4
cos
4
sin
2
1
四、典例剖析
源自文库
5 例1 已知 sin 2 , ＜＜ ，求 sin 4 , cos 4 , tan 4的值 13 4 2
解：
由
4
，得 ＜2＜ 2 2
2
12 所以 2 1 sin 2 cos 13 120 sin 4 2 sin 2 cos 2 169 119 2 cos 4 1 2 sin 2 169 sin 4 120 tan 4 cos 4 119
变式1：已知 cos
4 , (8 ,12 ) 求 8 5
sin
4
, cos
4
,
tan
4
的值.
24 cos 7 , 答案： , ， sin 4 25 4 25
24 tan 4 7
4 例2 在 ABC中, cosA , tan B 2, 求 tan2 A 2 B 的值. 5
5 变式2、等腰三角形一个底角的正弦值为 13，求这个三
角形的顶角的正弦、余弦及正切值.
A
5 试求 如图示，在等腰△ABC中， B sin 13
sin A,cos A, tan A
B
C
五、小结 1、二倍角正弦、余弦、正切公式及推导 sin 2 2 sin cos R cos 2 cos 2 sin 2 R 2 2 2 cos 1 1 2sin 2 tan k ,且 k tan 2 2 2 1 tan 2 4 2、注意公式正用 、逆用、变形用 3 、思想方法：换元法
一、温故知新 ( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) )
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin
？
cos2
（换元法）
cos 2 cos sin
2 2
你能利用S(±)、T(±)推导出sin2、 tan2的公式吗？
二 倍 角 公 式：
sin 2 2 sin cos R 2 2 cos 2 cos sin R 2 2 2 cos 1 1 2 sin 2 tan k ,且 k ， Z k tan 2 2 2 2 4 1 tan
k Z
六、作业
必作：课本第137页习题3.1A组 16、18、19 选作：B组第1、2题
巩固练习
1.
sin cos
2
2.
sin 2sin cos cos 1 sin 2 1 sin 2 sin cos 0, 2
☆梯度二：
(熟悉公式结构)
2
2 2cos 1 cos 4 1 . 2 8 2 tan 22.5 2. tan 45 1 1 tan 2 22.5
1 2 3 .sin 22.5 cos 22.5 2 sin 45 4
8sin cos cos cos 4 . 16 16 8 4
2 2
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( T(+) )
( T(-) )
二、公式推导
cos(-)
把换成- （换元法）
cos(+)
把换成
对于 C 2 能否有其它表示形式？ 问题2： 公式中的角是否为任意角？
问题1：
问题3：
观察公式，有什么特征？
2 (1) 从角的关系上看：左边是： ，右边是： （2）从结构形式上看：
三、 小试牛刀
☆ 梯度一：
(倍角的相对性)
例
sin 2sin
2
cos
2
sin 2sin cos 4 4 2
4sin 8 cos 8 cos 4
2sin 4
cos
4
sin
2
1
四、典例剖析
源自文库
5 例1 已知 sin 2 , ＜＜ ，求 sin 4 , cos 4 , tan 4的值 13 4 2
解：
由
4
，得 ＜2＜ 2 2
2
12 所以 2 1 sin 2 cos 13 120 sin 4 2 sin 2 cos 2 169 119 2 cos 4 1 2 sin 2 169 sin 4 120 tan 4 cos 4 119
变式1：已知 cos
4 , (8 ,12 ) 求 8 5
sin
4
, cos
4
,
tan
4
的值.
24 cos 7 , 答案： , ， sin 4 25 4 25
24 tan 4 7
4 例2 在 ABC中, cosA , tan B 2, 求 tan2 A 2 B 的值. 5
5 变式2、等腰三角形一个底角的正弦值为 13，求这个三
角形的顶角的正弦、余弦及正切值.
A
5 试求 如图示，在等腰△ABC中， B sin 13
sin A,cos A, tan A
B
C
五、小结 1、二倍角正弦、余弦、正切公式及推导 sin 2 2 sin cos R cos 2 cos 2 sin 2 R 2 2 2 cos 1 1 2sin 2 tan k ,且 k tan 2 2 2 1 tan 2 4 2、注意公式正用 、逆用、变形用 3 、思想方法：换元法