2012合肥二模理科数学试题及答案(免费WORD版)
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(A)C419(B)C389(C)C409(D)C399
【答案】D
10.定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R，有f(x+ 2) =f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时f(x) =－2x2+ 12x－18，若函数y=f(x)－loga(x+ 1)在(0,+)上至少有三个零点，则a的取值范围为( )
(1)求证：PC⊥BD
(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，且三棱锥E－BCD的体积取到最大值
(i)求此时四棱锥E－ABCD的高；
(ii)求二面角A－DE－B的余弦值的大小。
解：(1)连接AC,则AC⊥BD
∵PA⊥平面ABCD.
∴PA⊥BD
∴BD⊥平面PAC
∴PC⊥BD
(2) (i)设AC与BD的交点M,连接EM,过点E作EN⊥AC于N,则EN⊥面ABCD，EN是三棱锥E－BCD的高
【答案】128
12.在极坐标系中，点(1,)到直线2cos－sin+2=0的距离为_____.
【答案】
13.若sin(+)=，则sin(+2)=__
【答案】－
14.设函数y=(x∈R,x≠,n∈N*)的最大值和最小值分别为an和bn，且cn=an+bn+anbn－15，Sn=|c1|+|c2|+|c3|+…+ |cn| = ______.
【答案】Sn=
15.函数y=f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，其图像上任一点P(x,y)满足x2+y2= 1。
①函数y=f(x)一定是偶函数；
②函数y=f(x)可能既不是偶函数，也不是奇函数；
③函数y=f(x)可以是奇函数；
④函数y=f(x)如果是偶函数，则值域是[－1,0)或(0,1]；
【答案】A
3.已知命题：p所有的素数都是奇数，则命题¬p是()
(A)所有的素数都不是奇数(B)有些的素数是奇数
(C)存在一个素数不是奇数(D)存在一个素数是奇数
【答案】C
4.在ΔABC中，AB=4,∠ABC=30°,D是边BC上的一点，且·=·，则·的值等于()
(A)0(B)4(C) 8(D)－4
【答案】B
(A)(B)
(C)(D)
【答案】B
8.在ΔABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A=,b=1,ΔABC的面积为，则a的值为()
(A)1(B)2
(C)(D)
【答案】D
9.中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有( )(提示：Cnm表示组合数)
(1)求,值；
(2)若锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，求f(A)的取值范围。
解:(1)由题得：f(x)=sin(x+－)
∵相邻两对称轴间的距离为
∴T=
∴== 4
∴f(x) =sin(2x+－)
又函数y=f(x)的图像过点(,0)
∴f()=0
∴－=k,k∈Z
又0<<
∴=
(2)由(1)知：f(x)=sin(2A－)
19.(本小题满分13分)
已知数列{an}满足a1= 1,a2=5,n≥2时，an+1=5an－6an－1
(1)证明：数列{an+1－3an}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)试比较an与2n2+1的大小，并说明理由。
解：(1)证明：∵当n≥2时，an+1=5an－6an－1
∴an+1－3an=2an－6an－1= 2(an－3an－1)
由(i)知:E(,,),PБайду номын сангаас0,0,)
∴=(1,1,－),=(0,1,0),=(,,)
设平面ADE的法向量为：m=(x,y,z)，
则,即，
令：z=1则x=－，y=0
∴平面ADE的一个法向量为：m=(－,0,1)
=(1,1,－)是平面BDE的一个法向量
∴cos<,m>=
∴二面角A－DE－B的余弦值的大小为：
又a1= 1,a2=5
∴a2－3a1=2≠0
∴数列{an+1－3an}是以2为首项以2为公比的等比数列
∴an+1－3an= 2×2n－1= 2n
∴+ 1 =(+ 1)
∴数列{+1}是以为首项以为公比的等比数列
∴数列{an}的通项公式为：an=3n－2n
(2)由(1)知：当n=1时a1=1,2n2+1=3
5.若正四棱锥的正视图如右图所示，则该正四棱锥的体积为()
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
6.执行如图所示程序框图，则输出的结果为( )
(A)－1(B)1(C)－2(D)2
【答案】A
7已知集合A={(x,y)||x－2|+|y－3|≤1}，集合B= {(x,y)|x2+y2+Dx+Ey+F≤0,D2+E2－4F> 0}，若集合A、B恒满足“AB”，则集合B中的点所形成的几何图形面积的最小值是()
(A)(0,)(B)(0,)(C)(0,)(D)(0,)
【答案】A
第二卷(满分100分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应的位置)
11.已知集合A={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7},A∪B={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,…,a100},则所有满足题意的集合B的个数有_____.
∵A、B、C成等差数列
∴B=
又△ABC是锐角三角形
∴<A<
∴0<2A－<
∴0<sin(2A－)≤1
∴f(A)的取值范围为：(0,1]
17. (本题满分12分)
食品安全已引起社会的高度关注，卫生监督部门加大了对食品质量的监测。已知某种食品的合格率为0.9.现有8盒该种食品，质监部门对其逐一检测。
求8盒中恰有4盒合格的概率(保留三位有效数字)
⑤函数y=f(x)值域是(－1,1)，则一定是奇函数。
其中正确的命题的序号是_______(填上所有正确的序号)
【答案】③④⑤
三、解答题(本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域)
16.(本题满分12分)
将函数y=sinxcos－cosxsin(>0,0<<)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，得到函数y=f(x)的图像。若函数y=f(x)的图像过点(,0)，且相邻两对称轴间的距离为
设检测合格的盒数为随机变量，求的数学期望E.
解：(1)记“8盒中恰有4盒合格”为事件A,则P(A) =C84×0.94×(1－0.9)4=0.00459
(2)由题可知：随机变量~B(8,0.9)，则的数学期望E=8×0.9=7.2
18. (本题满分12分)
在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形。且PA⊥平面ABCD.
∴an< 2n2+1
当n=2时a2=5,2n2+1=9
∴an< 2n2+1
当n=3时a3=19,2n2+1=19
∴an=2n2+1
当n≥4时an=(2+1)n－2n=Cn02n+Cn12n－1+Cn22n－2+…+Cnn－2n>1 + 2Cn1+ 4Cn2
合肥市2012年高三第二次教学质量检测数学试题(理科)
一、选择题(共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.复数z=2+i(其中为i虚数单位)，则z的模是()
(A)3(B)2(C)(D)
【答案】C
2.双曲线－=1的焦点坐标为()
(A)(3,0)和(－3,0)(B)(2,0)和(－2,0)(C)(0,3)和(0,－3)(D)(0,2)和(0,－2)
由题知：△CEM是直角三角形，其中∠CEM=
设CN=x，则MN=－x，从而在直角ΔCEM中有:EN2=x(－x)
∴当且仅当x=时，EN取得最大值，最大值为：，此时三棱锥E－BCD的体积取到最大值
∴此时四棱锥E－ABCD的高为：
(ii)以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示，则A(0,0,0);B(1,0,0);C(1,1,0);D(0,1,0)
【答案】D
10.定义域为R的偶函数f(x)满足对∀x∈R，有f(x+ 2) =f(x)－f(1)，且当x∈[2,3]时f(x) =－2x2+ 12x－18，若函数y=f(x)－loga(x+ 1)在(0,+)上至少有三个零点，则a的取值范围为( )
(1)求证：PC⊥BD
(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，且三棱锥E－BCD的体积取到最大值
(i)求此时四棱锥E－ABCD的高；
(ii)求二面角A－DE－B的余弦值的大小。
解：(1)连接AC,则AC⊥BD
∵PA⊥平面ABCD.
∴PA⊥BD
∴BD⊥平面PAC
∴PC⊥BD
(2) (i)设AC与BD的交点M,连接EM,过点E作EN⊥AC于N,则EN⊥面ABCD，EN是三棱锥E－BCD的高
【答案】128
12.在极坐标系中，点(1,)到直线2cos－sin+2=0的距离为_____.
【答案】
13.若sin(+)=，则sin(+2)=__
【答案】－
14.设函数y=(x∈R,x≠,n∈N*)的最大值和最小值分别为an和bn，且cn=an+bn+anbn－15，Sn=|c1|+|c2|+|c3|+…+ |cn| = ______.
【答案】Sn=
15.函数y=f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，其图像上任一点P(x,y)满足x2+y2= 1。
①函数y=f(x)一定是偶函数；
②函数y=f(x)可能既不是偶函数，也不是奇函数；
③函数y=f(x)可以是奇函数；
④函数y=f(x)如果是偶函数，则值域是[－1,0)或(0,1]；
【答案】A
3.已知命题：p所有的素数都是奇数，则命题¬p是()
(A)所有的素数都不是奇数(B)有些的素数是奇数
(C)存在一个素数不是奇数(D)存在一个素数是奇数
【答案】C
4.在ΔABC中，AB=4,∠ABC=30°,D是边BC上的一点，且·=·，则·的值等于()
(A)0(B)4(C) 8(D)－4
【答案】B
(A)(B)
(C)(D)
【答案】B
8.在ΔABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A=,b=1,ΔABC的面积为，则a的值为()
(A)1(B)2
(C)(D)
【答案】D
9.中小学校车安全引起社会的关注，为了彻底消除校车安全隐患，某市购进了50台完全相同的校车，准备发放给10所学校，每所学校至少2台，则不同的发放方案的种数有( )(提示：Cnm表示组合数)
(1)求,值；
(2)若锐角△ABC中，A、B、C成等差数列，求f(A)的取值范围。
解:(1)由题得：f(x)=sin(x+－)
∵相邻两对称轴间的距离为
∴T=
∴== 4
∴f(x) =sin(2x+－)
又函数y=f(x)的图像过点(,0)
∴f()=0
∴－=k,k∈Z
又0<<
∴=
(2)由(1)知：f(x)=sin(2A－)
19.(本小题满分13分)
已知数列{an}满足a1= 1,a2=5,n≥2时，an+1=5an－6an－1
(1)证明：数列{an+1－3an}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)试比较an与2n2+1的大小，并说明理由。
解：(1)证明：∵当n≥2时，an+1=5an－6an－1
∴an+1－3an=2an－6an－1= 2(an－3an－1)
由(i)知:E(,,),PБайду номын сангаас0,0,)
∴=(1,1,－),=(0,1,0),=(,,)
设平面ADE的法向量为：m=(x,y,z)，
则,即，
令：z=1则x=－，y=0
∴平面ADE的一个法向量为：m=(－,0,1)
=(1,1,－)是平面BDE的一个法向量
∴cos<,m>=
∴二面角A－DE－B的余弦值的大小为：
又a1= 1,a2=5
∴a2－3a1=2≠0
∴数列{an+1－3an}是以2为首项以2为公比的等比数列
∴an+1－3an= 2×2n－1= 2n
∴+ 1 =(+ 1)
∴数列{+1}是以为首项以为公比的等比数列
∴数列{an}的通项公式为：an=3n－2n
(2)由(1)知：当n=1时a1=1,2n2+1=3
5.若正四棱锥的正视图如右图所示，则该正四棱锥的体积为()
(A)(B)(C)(D)
【答案】D
6.执行如图所示程序框图，则输出的结果为( )
(A)－1(B)1(C)－2(D)2
【答案】A
7已知集合A={(x,y)||x－2|+|y－3|≤1}，集合B= {(x,y)|x2+y2+Dx+Ey+F≤0,D2+E2－4F> 0}，若集合A、B恒满足“AB”，则集合B中的点所形成的几何图形面积的最小值是()
(A)(0,)(B)(0,)(C)(0,)(D)(0,)
【答案】A
第二卷(满分100分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。把答案填在答题卡的相应的位置)
11.已知集合A={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7},A∪B={a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,…,a100},则所有满足题意的集合B的个数有_____.
∵A、B、C成等差数列
∴B=
又△ABC是锐角三角形
∴<A<
∴0<2A－<
∴0<sin(2A－)≤1
∴f(A)的取值范围为：(0,1]
17. (本题满分12分)
食品安全已引起社会的高度关注，卫生监督部门加大了对食品质量的监测。已知某种食品的合格率为0.9.现有8盒该种食品，质监部门对其逐一检测。
求8盒中恰有4盒合格的概率(保留三位有效数字)
⑤函数y=f(x)值域是(－1,1)，则一定是奇函数。
其中正确的命题的序号是_______(填上所有正确的序号)
【答案】③④⑤
三、解答题(本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。解答写在答题卡的指定区域)
16.(本题满分12分)
将函数y=sinxcos－cosxsin(>0,0<<)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，得到函数y=f(x)的图像。若函数y=f(x)的图像过点(,0)，且相邻两对称轴间的距离为
设检测合格的盒数为随机变量，求的数学期望E.
解：(1)记“8盒中恰有4盒合格”为事件A,则P(A) =C84×0.94×(1－0.9)4=0.00459
(2)由题可知：随机变量~B(8,0.9)，则的数学期望E=8×0.9=7.2
18. (本题满分12分)
在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形。且PA⊥平面ABCD.
∴an< 2n2+1
当n=2时a2=5,2n2+1=9
∴an< 2n2+1
当n=3时a3=19,2n2+1=19
∴an=2n2+1
当n≥4时an=(2+1)n－2n=Cn02n+Cn12n－1+Cn22n－2+…+Cnn－2n>1 + 2Cn1+ 4Cn2
合肥市2012年高三第二次教学质量检测数学试题(理科)
一、选择题(共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.复数z=2+i(其中为i虚数单位)，则z的模是()
(A)3(B)2(C)(D)
【答案】C
2.双曲线－=1的焦点坐标为()
(A)(3,0)和(－3,0)(B)(2,0)和(－2,0)(C)(0,3)和(0,－3)(D)(0,2)和(0,－2)
由题知：△CEM是直角三角形，其中∠CEM=
设CN=x，则MN=－x，从而在直角ΔCEM中有:EN2=x(－x)
∴当且仅当x=时，EN取得最大值，最大值为：，此时三棱锥E－BCD的体积取到最大值
∴此时四棱锥E－ABCD的高为：
(ii)以A为原点建立空间直角坐标系A－xyz，如图所示，则A(0,0,0);B(1,0,0);C(1,1,0);D(0,1,0)