成七中自主招生数学试题
成都七中英才学校2024-2025学年七年级上学期入学考试数学试题(解析版)
小升初招生入学数学考试卷（时间：100分钟 分值：100分）A 组题一、填空题．（每题2分，共18分）1. 经过不在同一直线上的四个点中的任意两点画直线，一共可以画____条．【答案】6【解析】【分析】本题考查求直线的条数，根据任意两点确定一条直线，进行求解即可．【详解】解：过任意一个点与剩下的3个点可以画出3条直线，4个点共可以画出3412×=条，每个点重复一次，故一共可以画1226÷=（条）直线；故答案为：6．2. a 、b 是自然数，规定33b a b a =×−▽则25▽的值是____． 【答案】133【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题目所给的运算法则．按照题目所给运算法则进行计算即可． 【详解】解：513253233=×−=▽， 故答案为：133． 3. 用1、5、7三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的数比最小的数大____．【答案】5.94【解析】【分析】本题考查了小数的减法，根据题意得出最大的数为7.51，最小的数为1.57，相减即可．【详解】解：用1、5、7三个数字和小数点组成两位小数中，最大的数为7.51，最小的数为1.57，7.51 1.57 5.94−=，故答案为：5.94．4. 某工厂有一批煤，原计划每天烧0.25吨，可以烧100天，实际每天烧煤比原计划节约20%．实际可以烧____天．【答案】125【解析】【分析】本题考查了百分数的应用，用总的煤数除以实际每天烧煤数，即可解答．【详解】解：()0.251000.25120%125×÷×−=（天）， 故答案为：125．5. 找规律，填一填：1，8，27，____，125，216，…【答案】64【解析】【分析】本题考查的是数字类的规律探究，根据311=，382=，3273=，31255=，32166=，从而可得答案．【详解】解：∵311=，382=，3273=，31255=，32166=，∴括号内为3464=，故答案为：646. 26比一个数的37少4，这个数是____． 【答案】70【解析】【分析】本题考查了分数的混合运算．根据题意列出算式3(264)7+÷，然后根据分数的混合运算计算即可． 【详解】解：根据题意得37(264)307073+÷=×=， 即这个数是70，故答案为：70． 7. 一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是2:3，体积比是5:6，它们高的最简整数比是____．【答案】5:8##58【解析】 【分析】本题考查了圆锥的体积：一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的三分之一，1(3V Sh S =圆锥为圆锥的底面积，h 为圆锥的高），圆锥底面积2(S R R π=为圆锥底面圆的半径．也考查了圆柱的体积和最简整数比．先利用圆的周长公式得到圆柱和圆锥的底面半径的比是2:3，设圆柱和圆锥的高分别为1h 、2h ，圆柱和圆锥的底面圆的半径分别为2r ，3r ，根据圆锥的体积公式和圆柱的体积公式得到22121(2):(3)5:63r h r h ππ⋅⋅⋅⋅=，然后1h 与2h 的最简整数比． 【详解】解： 一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是2:3， ∴圆柱和圆锥的底面半径的比是2:3，设圆柱和圆锥的高分别为1h 、2h ，圆柱和圆锥的底面圆的半径分别为2r ，3r ，圆柱和圆锥的体积比是5:6，22121(2):(3)5:63r h r h ππ∴⋅⋅⋅⋅=， 124:35:6h h ∴=，122415h h ∴=，12:15:245:8h h ∴==．故答案为：5:8．8. 父亲对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁．当你像我这么大时，我就79岁了．”现在父亲____岁．【答案】54【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设出年龄差，分别得出儿子和父亲现在的年龄是解决本题的关键．设父亲与儿子的年龄差为x 岁，则根据“我像你这么大时，你才4岁”得出儿子现在的年龄为：()4x +岁；根据“当你像我这么大时，我就79岁”得出父亲现在的年龄为：()79x −岁；根据儿子的年龄+年龄差=父亲的年龄，列出方程即可解决问题．【详解】解：设父亲与儿子的年龄差为x 岁，则儿子现在的年龄为()4x +岁，父亲现在的年龄为()79x −岁，根据题意可得方程：479x x x ++−，解得：25x =，则父亲现在的年龄为：792554−=（岁）， 答：父亲现在的年龄是54岁．故答案为：54．9. 把一根60米长的钢筋锯成每段一样长的小段，共锯 11次，每段长____米．【答案】5 【解析】【分析】本题考查了有分数的乘法，解题的关键是掌握锯11次将钢筋锯为了12段，每段长是原来的1 12，即可解答．【详解】解：1605111×=+（米），故答案为：5．二、解答题．10. 计算．（1）111 63010.9 12154−+×÷×（2）352.253 1.8 1.2140%511+÷−×÷（3）721210 1637113511 1233414×+×−÷（4）11991 52204 3.20.24221005−×−÷×+÷（5）113135132013 244666201420142014 ++++++++++【答案】（1）4 3（2）37 4（3）15 11（4）8066 55（5）253764【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算．（1）按照有理数混合运算顺序进行计算即可；（2）按照有理数混合运算顺序进行计算即可；（3）按照有理数混合运算顺序进行计算即可；（4）按照有理数混合运算顺序进行计算即可；（5）先计算括号内的，再用首位相加法进行计算即可．【小问1详解】 解：11163010.912154−+×÷×59630032041=−×÷×96892 =−÷3829=×43=；【小问2详解】 解：352.253 1.8 1.2140%511+÷−×÷ 991215245510011518+÷−×÷911524202 =+−×92954202 =+×745202=×374=；【小问3详解】 解：72121016371135111233414×+×−÷28377111637115153414×+×−×71217113637212+×− 15564211121=×× 1511=； 【小问4详解】 解：1199152204 3.20.24221005−×−÷×+÷ 5591009520 3.20.24229 =−×−××+× 5591009916620225 ×−××+ 150******** −×+6500111655=×+ 58000556+ 806655=； 【小问5详解】 解：113135132013244666201420142014 ++++++++++ 12310072222=++++ ()112310072=×++++ ()110071100722=×+× 11007100822=×× 253764=．11. 解方程．（1）2152136x x x −++=−（2）()7.635% 6.50.76:1:2x ×+×=【答案】（1）97x =（2）15.2x =【解析】【分析】本题考查了解一元一次方程，解比例．（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1步骤进行解答即可；（2）先将括号内化简，再根据比例的性质进行解答即可．【小问1详解】 解：2152136x x x −++=−， ()()()2215621x x x −++=−，425126x x x −++=−，412625x x x +−=−+−，79−=−x ，97x =． 【小问2详解】解：()7.635% 6.50.76:1:2x ×+×=， ()7.60.350.657.6:1:2x ×+×=， 7.6:1:2x =，7.62x =×，15.2x =．12. 一辆快车和一辆慢车，同时分别从甲、乙两地出发，相向而行，经过6小时相遇，相遇后快车继续按相同的速度行驶3小时到达乙地．已知慢车每小时行驶45千米，甲、乙两地相距多少千米？【答案】甲、乙两地相距810千米【解析】【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意找出数量关系列出算式进行计算是解题的关键． 快车继续行驶3小时后到达乙站，那么这3小时的路程就是慢车6小时行驶的路程，先求出这段路程再除以3就是快车的速度，用快车的速度乘快车行驶的时间就是甲、乙两站的距离．【详解】解：快车速度：456390×÷=（千米）， 的甲、乙两地距离：()9063810×+=（千米），答：甲、乙两地相距810千米．B 组题一、填空题．（每题3分，共24分）13. 某环保队有甲、乙、丙三支队伍，现计划在A 地植树1000棵，在B 地植树1250棵，甲、乙、丙每天分别能植树28、32、30棵．甲在A 地，乙在B 地，丙在A 与B 两地之间来回帮忙，同时开始，同时结束，丙在A 地植树____棵．【答案】300【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 先设丙在A 地植树x 棵，则甲在A 地植树()1000x −棵，然后根据甲在A 地，乙在B 地，丙在A 与B 两地之间来回帮忙，同时开始，同时结束，可以列出方程，然后求解即可．【详解】解：设丙在A 地植树x 棵， 由题意可得：100010003230()1250282830x x x −−×+−=， 解得300x =，答：丙在A 地植树300棵，故答案为：300．14. 将87化成小数，小数部分第100位上的数字是____． 【答案】8【解析】 【分析】本题考查了分数小数互化，将87化为小数，得出87的小数部分每6个数字一循环，即可解答． 【详解】解：将87化成小数为1.142857 ， 即87的小数部分每6个数字一循环， 1006164÷=……，∴小数部分第100位上的数字是第17组的第4个，即为8，故答案为：8．15. 王叔叔只记得李叔叔的电话号码是76045□□，还记得最大数字是7，各个数字又不重复．王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打______次．【答案】6【解析】【分析】本题考查了整数的认识，解题的关键是根据题意得出□的数字只能是1、2、3．【详解】解：∵最大数字是7，各个数字又不重复，∴□的数字只能是1、2、3，∴剩下两个数字可能是12、13、21、23、31、32，共6种情况，∴最多要试打6次，故答案为：6．16. 两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是____．【答案】324【解析】【分析】本题考查的是整数的除法、有理数的加法，掌握被除数、除数、商、余数之间的关系是解题的关键．根据被除数÷除数=商……余数，解答即可．−−=，【详解】解：被除数与除数的和为41548403商4余8，被除数比除数的4倍多8，−÷+=，则除数：(4038)(41)79×+=．被除数：7948324故答案为：324．17. 如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的．那么，这样的四位数最多能有____个．【答案】168【解析】【分析】本题考查的是整数的运算，根据题意得到四位数首位必须为1，又和的后三位为9，所以相加时+=，又四位数的首位是没有出现进位现象，找出合适的组合，0和9，2和7，3和6，4和5（因为1891，不能重复，则数字8不能用在这），根据乘法原理求解即可．【详解】解：由于其和为1999，则这四位数的首位一定是1，和的后三位是9，∴相加时没有出现进位现象，和为9的组合有：0和9，2和7，3和6，4和5(1和8在本题中不符题意），∵两个数的和一定，∴三位数一定下来，四位数只有唯一的可能．∵0不能为首位，∴这个三位数首位有817−=种选法，∴十位数有826−=种选法，个位数有844−=种选法，根据乘法原理可知，这样的四位数最多能有764168××=个．故答案为：168．18. 小明把6个数分别写在3张卡片的正面和反面，每个面上写1个数，每张卡片正、反面上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面写着28，40，49，反面上的数都只能被1和它自己整除，那么反面上的3个数的平均数是____．【答案】12【解析】【分析】本题考查整数的运算，质数，根据三张卡片正反两面的和相同，且28，40为偶数，49为奇数，结合反面上的数都是质数，得到49的反面只能是2，进而得到和为51，求出两外两个数，再求出3个数的平均数即可．【详解】解：因为反面上的数都只能被1和它自己整除，所以反面上的数都是质数，因为三张卡片正反两面的和相同，且28，40为偶数，49为奇数，所以49的反面只能是2，所以正反两面的和为51，所以另外两个数分别为：512823,504011−=−=， 所以反面上的3个数的平均数是：()23112312++÷=； 故答案为：12．19. 某产品的成本包括两部分，一部分是直接生产成本，每个需8元；另一部分是管理、宣传、营销等与产品间接有关的费用，共10000元．如果此产品定价12元，要使利润达到营业额的20%以上，至少要生产____个产品．【答案】6250【解析】【分析】本题主要考查百分数的应用，正确分析题意是解题的关键．根据题意列式求解即可得出答案．【详解】解：()12120%×−1280%=×9.6=（元）， ()100009.68÷−10000 1.6÷6250=（个）． 故答案为：6250．20. 蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有16池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1 小时，则____小时后水开始溢出水池．【答案】20.75【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先计算出第一次甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水，然后再计算后面的几次，直到发现这一次结束后再加下一次中先开甲多长时间后水池内水的体积超过1即可．【详解】解：由题意可得，打开甲水管1小时后池内的水为：111632+=， 打开乙水管11144=， 打开丙水管1小时后池内的水为：1194520+=， 打开丁水管1小时后池内的水为：911720660−=， 则第二次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：1711112460345660+−+−=， 第三次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：2411113160345660+−+−=， 第四次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：3111113860345660+−+−=， 第五次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：3811114560345660+−+−=， 故第6次先打开甲水管1小时后池内的水为：45165160360+>， 设第6次，甲打开x 小时，水池内水正好满了， 4511603x +=， 解得0.75x =，的每次需要4小时，∴水开始溢出水池的时间为：450.75200.7520.75×+=+=（小时）， 故答案为：20.75．二、解答题．21. 如图，A 、B 是圆直径的两端，小张在A 点，小王在B 点，同时出发反向而行，他们在C 点第一次相遇，C 点离A 点100米，在D 点第二次相遇，D 点离A 点有60米，求这个圆的周长．【答案】这个圆的周长为360米或240米【解析】【分析】本题主要考查了圆的周长，解题时要能读懂题意，列出式子计算是关键．依据题意，第一次相遇于C 点，两人合走了半个周长．从C 点开始到第二次相遇于D 点，两人合起来走了一个周长．因为两速度和一定，所以第一段所需时间是第二段的一半．对于小王而言，他第一段所走的行程是第二段的一半．从而可得C ，D 的关系有两种情况，进而画出图形分析判断可以得解．【详解】解：由题可知，C ，D 的关系有如下两种情况：对于第一种情况，2CD BC =，所以160CD AC AD =+=米，则160280BC =÷=米，所以半圆周长是10080180+=（米)，圆的周长是1802360×=（米)．对于第二种情况，2CD BC =，40CD AC CD =−=米，则40220BC ÷米，则半圆周长10020120+=（米)，圆的周长是1202240×=（米)．即这个圆的周长为360米或240米．是22. 某次考试共有100道题，每题1分，做错不扣分，甲、乙、丙3位同学分别得90分、70分、50分，其中3个人都做出来的题叫作“容易题”，只有1个人做出来的题叫作“较难题”，没人做出来的题叫作“特难题”，且“较难题”的个数是“特难题”的3倍，又已知丙同学做出的题中超过80%的是“容易题”，但又不全是“容易题”．“特难题”共有多少道？【答案】特难题有7道【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程的应用．设特难题有x 道，容易题有y 道，则较难题有3x 道，则有两个人做出来的题有()1003x x y −−−道，根据题意推出105y x =+，再根据“丙同学做出的题中超过80%的是容易题”以及特难题的定义，列出不等式组，即可解答．【详解】解：设特难题有x 道，容易题有y 道，则较难题有3x 道，∴有两个人做出来的题有()1003x x y −−−道，()3210033907050x x x y y +−−−+++，整理得：105y x =+， ∵丙同学做出的题中超过80%的是“容易题”，但又不全是“容易题”，∴5080%10090y x >× <−， 即1054010x x +> < ， 解得：610x <<，∴x 7，8，9当7x =时，10545y x =+=，符合题意；当8x =时，10550y x =+=，不符合题意；当9x =时，10555y x =+=，不符合题意；综上：特难题有7道．23. （组合图形求面积）在矩形ABCD 中，8AB =，15BC =，点E 是BC 的中点，点F 是CD 的中点，连接BD 、AF 、AE ，把图形分成六块，求阴影部分的面积．为【答案】40【解析】【分析】本题主要考查了长方形的性质，解答此题的关键是利用中线求三角形的面积．设BD 交AE 交于G 点，AF 交DB 与H 点，根据111332ABD ABCD AGH BGC DHC S S S S S ===×=△△△矩形 ，1134BGE DHF ABCD S S S =×=△矩形求解即可． 【详解】解：AE 与BD 的交点记为点G ，AF 与BD 的交点记为点H ，∵矩形ABCD ，∴BE AD ∥，∵点E 是BC 中点， ∴1212BE BC AD ==， ∴12BG GD =，12GE AG = 同理12DH GD =，12HF AH = ∵BG GH DH BD ++=，∴BG GH DH ==， ∴011111332328152AG ABD AB H BG DHC CD CS S S S S ==××=×===×矩△△△形 ， ∴12BGE ABG S S =△ ∴1111111111158103323223434BGE ABE ABCD S S BE AB BC AB S ==×⋅=××⋅=×=×××=△矩形 同理：111111111033232234DHF ADF ABCD S S DF AD CD AD S =×⋅=××⋅=×==矩形 ， 2010240S +×==阴，的答：阴影部分的面积为40．24. 一条河的岸边有A、B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中的划船速度为每小时6千米，则乙在静水中的划船速度为每小时多少千米？【答案】乙在静水中的划船速度为每小时10千米【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握两船无论是同向而行还是相向而行，两船的速度和与速度差都与水流速度无关．设乙在静水中的划船速度为每小时x千米，根据相向时，两船路程和等于A、B两地距离，同向时，两船路程差等于A、B两地距离，列出方程即可解答．【详解】解：设乙在静水中的划船速度为每小时x千米，()()−×=+×，x x61664x=，解得：10答：乙在静水中的划船速度为每小时10千米．。
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学(理)试题
四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期入学考试数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．4B．57．莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择观洞窟的概率是（）A．47B．128．设,,l m n表示直线，,αβ表示平面，使A．αβ⊥，//lβC．//l n，nα⊥9．等比数列{}a的前n项和为S，若二、填空题中，15．在ABC的面积，则若S为ABC16．已知抛物线过,A B两点分别作四边形PMFN的面积为三、解答题17．已知公差d(1)求数列{}n a的通项公式；b=(2)若数列2n18．如图所示，在四棱锥BC=，又SD=1(1)证明：//CF 平面SAB ；(2)求平面SAD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值19．《中国统计年鉴2021》数据显示，截止到千万辆．下图是2011年至2020图．（注：年份代码1-10分别对应年份(1)由折线图能够看出，可以用线性回归模型拟合(2)建立y 关于t 的线性回归方程（系数精确到量．参考数据：15.5y =，(101i i t =∑25550.5159.8≈，25690.5参考公式：相关系数n r =∑。
2020年四川省成都七中自主招生数学模拟试卷及答案解析
2020年四川省成都七中自主招生数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）对代数式（x +3）2，老师要求任意取一个x 的值后求出代数式的值．圆圆发现，大家所求的代数式的值都大于等于0，即x ＝﹣3时代数式的最小值是0．利用这个发现，圆圆试着写出另外一些结论：①在x ＝﹣3时，代数式（x +3）2+2的最小值为2； ②在a ＝﹣b 时，代数式（a +b ）2+m 的最小值为m ； ③在c ＝﹣d 时，代数式﹣（c +d ）2+n 的最大值为n ； ④在x ＝﹣3时，代数式﹣x 2﹣6x +20的最大值为29． 其中正确的为（ ） A ．①②③B ．①③C ．①④D ．①②③④2．（5分）如图，用一个平面去截正方体，截掉了正方形的一个角，且截面经过原正方体三条棱的中点，剩下几何体的展开图应该是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（5分）若a ≠b ，且a 2﹣4a +1＝0，b 2﹣4b +1＝0，则11+a 2+11+b 2的值为（ ） A ．14B ．1C ．.4D ．34．（5分）计算：√b5÷√b20a 2=（ ）（a ＞0，b ＞0） A ．b 10aB ．10a bC ．2aD ．2a 25．（5分）已知a ，b ，c ，x 为实数，且c ＜a ＜b ，代数式|x −a+b2|+|x −b+c2|+|x −a+c2|的最小值是（ ） A ．a+b−c 2B ．a+b 2C ．b−c 2D ．b+c 26．（5分）如图，已知▱ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么S △AFE ：S 四边形FCDE 为（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：67．（5分）观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中规律，72019的结果的个位数字是（ ） A ．7B ．9C ．1D ．38．（5分）已知x +y ＝3，xy ＝2，则下列结论中①（x ﹣y ）2＝1，②x 2+y 2＝5，③x 2﹣y 2＝3，④1x +1y=23，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．49．（5分）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组{ax +by =3x +2y =2只有正数解的概率为（ ） A ．112B ．29C ．518D ．133610．（5分）关于x 的一元二次方程ax 2﹣2ax ﹣b ＝0有一个实数根x ＝1，则下面关于该方程的判别式△的说法正确的是（ ） A ．△＞0B ．△＝0C ．△＜0D ．无法确定11．（5分）已知三角形三边长分别为3，x ，5，若x 为正整数，则这样的三角形个数为（ ） A ．2B ．3C ．5D ．712．（5分）在平面直角坐标系中，点A （﹣3，2），B （3，5），C （x ，y ），若AC ∥x 轴，则线段BC 的最小值及此时点C 的坐标分别为（ ） A ．6，（﹣3，5）B ．10，（3，﹣5）C ．1，（3，4）D ．3，（3，2）二．填空题（共7小题，满分52分）13．（7分）已知x =√6+√2，那么x 2﹣2√2x 的值是 ．14．（7分）已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，AB ＝CD ＝6，∠B ＝60°，那么下底BC 的长为 ．15．（7分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4√3，BC ＝4，点D 是AC 的中点，点F 是边AB 上一动点，沿DF 所在直线把△ADF 翻折到△A ′DF 的位置，若线段A ′D 交AB 于点E ，且△BA ′E 为直角三角形，则BF 的长为 ．16．（7分）如果方程2+√4x +3=k 无实数解，那么k 的取值范围是 ．17．（8分）如图，P A 与⊙O 相切于点A ，AB 是⊙O 的直径，在⊙O 上存在一点C 满足P A ＝PC ，连结PB 、AC 相交于点F ，且∠APB ＝3∠BPC ，则PF BF= ．18．（8分）如图，边长12的正方形ABCD 中，F 为BC 上的一点且BF ＝3，有一个小正方形EFGH ，其中E ，G 分别在AB ，FD 上，则AH 的长为 ．19．（8分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：25，47，811，1619，3235，…，小亮猜出了第六个数字是6467，根据此规律，第100个数字是 ．三．解答题（共2小题，满分38分）20．（18分）已知二次函数y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过三点（1，0），（﹣3，0），（0，−32）．（Ⅰ）求二次函数的解析式；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的二次函数，当x 取a ，b （a ≠b ）时函数值相等，求x 取a +b 时的函数值；（Ⅲ）若反比例函数y2=kx（k＞0，x＞0）的图象与（Ⅰ）中的二次函数的图象在第一象限内的交点为A，点A的横坐标为x0满足2＜x0＜3，试求实数k的取值范围．21．（20分）小冬遇到一个有趣的问题：长方形台球桌ABCD的边长分别为AB＝3，BC＝5．点P在AD上，且AP＝2．一球从点P处沿与AD夹角为θ的方向击出，分别撞击AB、BC、CD各一次后到达点P0．每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（入射角等于反射角）．如图①所示．小冬的思考是这样开始的：如图②，将矩形ABCD沿直线AB折叠，得到矩形ABC1D1，由轴对称的知识，发现QE＝QR，PE＝PQ+QR．请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列问题：（1）点P0与点A重合时，此球所经过的路线总长度是．（2）当点P0落在线段AP上时（如图③），求tanθ的取值范围．2020年四川省成都七中自主招生数学模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）对代数式（x+3）2，老师要求任意取一个x的值后求出代数式的值．圆圆发现，大家所求的代数式的值都大于等于0，即x＝﹣3时代数式的最小值是0．利用这个发现，圆圆试着写出另外一些结论：①在x＝﹣3时，代数式（x+3）2+2的最小值为2；②在a＝﹣b时，代数式（a+b）2+m的最小值为m；③在c＝﹣d时，代数式﹣（c+d）2+n的最大值为n；④在x＝﹣3时，代数式﹣x2﹣6x+20的最大值为29．其中正确的为（）A．①②③B．①③C．①④D．①②③④解：①在x＝﹣3时，代数式（x+3）2+2的最小值为2，故符合题意；②在a＝﹣b时，代数式（a+b）2+m的最小值为m，故符合题意；③在c＝﹣d时，代数式﹣（c+d）2+n的最大值为n，故符合题意；④∵﹣x2﹣6x+20＝﹣（x+3）2+29，∴在x＝﹣3时，代数式﹣x2﹣6x+20的最大值为29，故符合题意．故选：D．2．（5分）如图，用一个平面去截正方体，截掉了正方形的一个角，且截面经过原正方体三条棱的中点，剩下几何体的展开图应该是（）A．B．C．D．解：选项A、C、D折叠后都不符合题意，只有选项B折叠后两个剪去三角形与另一个剪去的三角形交于一个顶点，•与正方体三个剪去三角形交于一个顶点符合．故选：B．3．（5分）若a ≠b ，且a 2﹣4a +1＝0，b 2﹣4b +1＝0，则11+a 2+11+b 2的值为（ ） A ．14B ．1C ．.4D ．3解：由题意可知：a 、b 是方程x 2﹣4x +1＝0的两个不同的实数根， ∴由根与系数的关系可知：ab ＝1，a +b ＝4， ∴a 2+1＝4a ，b 2+1＝4b ， ∴原式=14a +14b=a+b4ab =44×1 ＝1， 故选：B ．4．（5分）计算：√b 5÷√b20a 2=（ ）（a ＞0，b ＞0）A ．b10aB ．10abC ．2aD ．2a 2解：原式=√b5÷b 20a 2=√b 5⋅20a 2b =√4a 2=2a ， 故选：C ．5．（5分）已知a ，b ，c ，x 为实数，且c ＜a ＜b ，代数式|x −a+b 2|+|x −b+c 2|+|x −a+c2|的最小值是（ ） A ．a+b−c 2B ．a+b 2C ．b−c 2D ．b+c 2解：∵c ＜a ＜b ， ∴a +b ＞b +c ＞a +c ，∴当x =b+c2时，|x −a+b2|+|x −b+c2|+|x −a+c2|的最小值， 即|x −a+b2|+|x −b+c2|+|x −a+c2|=a−c2+b−a2=b−c2， 故选：C ．6．（5分）如图，已知▱ABCD 中，E 是边AD 的中点，BE 交对角线AC 于点F ，那么S △AFE ：S 四边形FCDE 为（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：6解：连接CE ，∵AE ∥BC ，E 为AD 中点， ∴AE BC=AF FC=12．∴△FEC 面积是△AEF 面积的2倍． 设△AEF 面积为x ，则△AEC 面积为3x ， ∵E 为AD 中点，∴△DEC 面积＝△AEC 面积＝3x ． ∴四边形FCDE 面积为5x ， 所以S △AFE ：S 四边形FCDE 为1：5．故选：C ．7．（5分）观察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中规律，72019的结果的个位数字是（ ） A ．7B ．9C ．1D ．3解：∵71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…， ∴这些数的个位数字依次以7，9，3，1出现， ∵2019÷4＝504…3，∴72019的结果的个位数字是3， 故选：D ．8．（5分）已知x +y ＝3，xy ＝2，则下列结论中①（x ﹣y ）2＝1，②x 2+y 2＝5，③x 2﹣y 2＝3，④1x +1y=23，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：∵x +y ＝3，∴（x +y ）2＝9，即x 2+y 2＝9﹣2xy ＝5，②正确； ∴①（x ﹣y ）2＝x 2+y 2﹣2xy ＝5﹣2×2＝1，①正确； ③∵（x ﹣y ）2＝1， ∴x ﹣y ＝±1，x 2﹣y 2＝（x +y ）（x ﹣y ）＝3（x ﹣y ）＝±3，③不正确； ④1x +1y=x+y xy=32，④不正确；所以本题正确的有：①②，2个， 故选：B ．9．（5分）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a ，第二次掷出的点数为b ，则使关于x ，y 的方程组{ax +by =3x +2y =2只有正数解的概率为（ ） A ．112B ．29C ．518D ．1336解：当2a ﹣b ＝0时，方程组无解；当2a ﹣b ≠0时，由a 、b 的实际意义为1，2，3，4，5，6易知a ，b 都为大于0的整数， 则两式联合求解可得x =6−2b 2a−b ，y =2a−32a−b， ∵使x 、y 都大于0则有6−2b2a−b＞0，2a−32a−b＞0，解得a ＜1.5，b ＞3或者a ＞1.5，b ＜3，而a ，b 都为1到6的整数，所以可知当a 为1时b 只能是4，5，6；或者a 为2，3，4，5，6时b 为1或2， 这两种情况的总出现可能有3+10＝13种；又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求概率为1336，故选：D ．10．（5分）关于x 的一元二次方程ax 2﹣2ax ﹣b ＝0有一个实数根x ＝1，则下面关于该方程的判别式△的说法正确的是（ ） A ．△＞0B ．△＝0C ．△＜0D ．无法确定解：将x ＝1代入方程，得：a ﹣2a ﹣b ＝0， 则a +b ＝0，△＝（﹣2a ）2﹣4a •（﹣b ）＝4a 2+4ab ＝4a （a +b ）＝0， 故选：B ．11．（5分）已知三角形三边长分别为3，x，5，若x为正整数，则这样的三角形个数为（）A．2B．3C．5D．7解：∵5﹣3＝2，5+3＝8，∴2＜x＜8，∵x为正整数，∴x的可能取值是3，4，5，6，7，共五个，故这样的三角形个数为5．故选：C．12．（5分）在平面直角坐标系中，点A（﹣3，2），B（3，5），C（x，y），若AC∥x轴，则线段BC的最小值及此时点C的坐标分别为（）A．6，（﹣3，5）B．10，（3，﹣5）C．1，（3，4）D．3，（3，2）解：依题意可得：∵AC∥x轴，A（﹣3，2）∴y＝2，根据垂线段最短，当BC⊥AC于点C时，点B到AC的距离最短，即BC的最小值＝5﹣2＝3，此时点C的坐标为（3，2），故选：D．二．填空题（共7小题，满分52分）13．（7分）已知x=√6+√2，那么x2﹣2√2x的值是4．解：∵x−√2=√6，∴x2﹣2√2x+2＝6，∴x 2﹣2√2x ＝4， 故答案为：414．（7分）已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝5，AB ＝CD ＝6，∠B ＝60°，那么下底BC 的长为 11 ．解：如图，过A 作AE ∥DC 交BC 与E ， ∵AD ∥BC ，∴四边形AECD 是平行四边形， ∴AD ＝EC ＝5，AE ＝CD ， ∵AB ＝CD ＝6， ∴AE ＝AB ＝6， ∵∠B ＝60°，∴△ABE 是等边三角形， ∴BE ＝AB ＝6， ∴BC ＝6+5＝11． 故答案为：11．15．（7分）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4√3，BC ＝4，点D 是AC 的中点，点F 是边AB 上一动点，沿DF 所在直线把△ADF 翻折到△A ′DF 的位置，若线段A ′D 交AB 于点E ，且△BA ′E 为直角三角形，则BF 的长为 6或285．解：∵∠C ＝90°，AC ＝4√3，BC ＝4， ∴tan A =BCAC =4√3=√33，∴∠A ＝30°， ∴AB ＝2BC ＝8，∵点D 是AC 的中点，沿DF 所在直线把△ADF 翻折到△A ′DF 的位置，线段A ′D 交AB 于点E ，∴DA ＝DC ＝2√3，F A ′＝F A ，∠DA ′F ＝∠A ＝30°， 设BF ＝x ，则AF ＝8﹣x ，F A ′＝8﹣x ， ①当∠BEA ′＝90°时，在Rt △ADE 中，cos A =AEAD， ∴AE ＝2√3×cos30°＝3， ∴EF ＝3﹣（8﹣x ）＝x ﹣5， 在Rt △A 'FE 中，∵∠F A 'E ＝30°， ∴F A '＝2FE ，即8﹣x ＝2（x ﹣5）， 解得x ＝6，即BF ＝6；②当∠BA 'E ＝90°时，作FH ⊥BA '，交BA '的延长线于H ，连接BD ，如图所示： 在Rt △BDA '和△BDC 中，{BD =BD DC =DA′，∴Rt △BDA '≌Rt △BDC （HL ）， ∴BA ′＝BC ＝4，∵∠BA 'F ＝∠BA 'E +∠F A 'E ＝90°+30°＝120°， ∴∠F A 'H ＝60°，在Rt △FHA '中，A ′H =12A ′F =12（8﹣x ），FH =√3A ′H =√32（8﹣x ）， 在Rt △BFH 中，∵FH 2+BH 2＝BF 2， ∴34（8﹣x ）2+[12（8﹣x ）+4]2＝x 2，解得：x =285，即BF =285． 综上所述，BF 的长为6或285．故答案为：6或285．16．（7分）如果方程2+√4x +3=k 无实数解，那么k 的取值范围是 k ＜2 ． 解：2+√4x +3=k ，√4x+3=k﹣2，∵√4x+3的结果是非负数，∴当k﹣2＜0时，方程2+√4x+3=k无实数解，即k＜2，故答案为：k＜2．17．（8分）如图，P A与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，在⊙O上存在一点C满足P A＝PC，连结PB、AC相交于点F，且∠APB＝3∠BPC，则PFBF =√17−14．解：连接OP，OC．∵P A与⊙O相切于点A，P A＝PC，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP（SSS），∴∠OAP＝∠OCP＝90°，∴PC与⊙O相切于点C，∵∠APB＝3∠BPC，∠APO＝∠CPO，∴∠CPB＝∠OPB，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵OP⊥AC，∴OP∥BC，∴∠CBP＝∠CPB，∴BC ＝PC ＝AP ． ∵OA ＝OB ，∴OM =12BC =12AP ．设OM ＝x ，则BC ＝CP ＝AP ＝2x ，PM ＝y ， ∵∠OAP ＝∠AMP ＝90°，∠MP A ＝∠APO ， ∴△AMP ∽△OAP ， ∴AP PM=OP AP．∴AP 2＝PM •OP ， ∴（2x ）2＝y （y +x ）， 解得：x =1+√178y ，x =1−√178y （舍去）． ∵PM ∥BC ， ∴△PMF ∽△BCF ， ∴PF BF=PM BC=PM AP=y 2x=√17−14． 故答案为：√17−14． 18．（8分）如图，边长12的正方形ABCD 中，F 为BC 上的一点且BF ＝3，有一个小正方形EFGH ，其中E ，G 分别在AB ，FD 上，则AH 的长为9√104．解：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝∠C ＝90°， 在△BEF 与△CFD 中∵∠BFE +∠CFD ＝∠CFD +∠CDF ＝90°， ∴∠BEF ＝∠CDF ， ∴△BEF ∽△CFD ，∴BF CD=BE CF，∵BF ＝3，BC ＝12， ∴CF ＝BC ﹣BF ＝12﹣3＝9， ∴312=BE 9，∴BE =94，过H 作HM ⊥AB 于M ，则∠HMA ＝∠HME ＝90°， ∵四边形ABCD 和四边形EHGF 是正方形， ∴∠HME ＝∠B ＝90°，EH ＝EF ，∠HEF ＝90°， ∴∠MEH +∠BEF ＝90°，∠BEF +∠EFB ＝90°， ∴∠MEH ＝∠EFB ， 在△HME 和△EBF 中 {∠MEH =∠EFB ∠HME =∠B EH =EF∴△HME ≌△EBF （AAS ）， ∴HM ＝BE =94，ME ＝BF ＝3，∴AM ＝AB ﹣EM ﹣BE ＝12﹣3−94=274，在Rt △AMH 中，由勾股定理得：AH =√AM 2+MH 2=√(274)2+(94)2=9√104． 故答案为：9√104．19．（8分）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：25，47，811，1619，3235，…，小亮猜出了第六个数字是6467，根据此规律，第100个数字是21002100+3．解：由已知可知，分子的规律是2n ，分母的规律是2n +3， ∴第100个数字是21002100+3，故答案为21002100+3．三．解答题（共2小题，满分38分）20．（18分）已知二次函数y 1＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象经过三点（1，0），（﹣3，0），（0，−32）．（Ⅰ）求二次函数的解析式；（Ⅱ）若（Ⅰ）中的二次函数，当x 取a ，b （a ≠b ）时函数值相等，求x 取a +b 时的函数值；（Ⅲ）若反比例函数y 2=k x（k ＞0，x ＞0）的图象与（Ⅰ）中的二次函数的图象在第一象限内的交点为A ，点A 的横坐标为x 0满足2＜x 0＜3，试求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）设抛物线解析式为y ＝a （x ﹣1）（x +3） 将（0，−32）代入，解得a =12． ∴抛物线解析式为y =12x 2+x −32．（Ⅱ）当x ＝a 时，y 1=12a 2+a −32，当x ＝b 时，y 1=12b 2+b −32，∴12a 2+a −32=12b 2+b −32，∴a 2﹣b 2+2（a ﹣b ）＝0，即（a ﹣b ）（a +b +2）＝0， ∵a ≠b ，∴a +b ＝﹣2．∴y 1=12（a +b ）2+（a +b ）−32=12（﹣2）2﹣2−32=−32 即x 取a +b 时的函数值为−32．（Ⅲ）当2＜x ＜3时，函数y 1=12x 2+x −32，y 1随着x 增大而增大，对y 2=kx （k ＞0），y 2随着x 的增大而减小．∵A （x 0，y 0）为二次函数图象与反比例函数图象的交点， ∴当x 0＝2时，由反比例函数图象在二次函数上方得y 2＞y 1， 即k2＞12×22+2−32，解得k ＞5．当x 0＝3时，二次函数数图象在反比例上方得y 1＞y 2，即12×32+3−32＞k 3，解得k ＜18．所以k 的取值范围为5＜k ＜18．21．（20分）小冬遇到一个有趣的问题：长方形台球桌ABCD 的边长分别为AB ＝3，BC ＝5．点P 在AD 上，且AP ＝2．一球从点P 处沿与AD 夹角为θ的方向击出，分别撞击AB 、BC 、CD 各一次后到达点P 0．每次撞击桌边时，撞击前后的路线与桌边所成的角相等（入射角等于反射角）．如图①所示．小冬的思考是这样开始的：如图②，将矩形ABCD 沿直线AB 折叠，得到矩形ABC 1D 1，由轴对称的知识，发现QE ＝QR ，PE ＝PQ +QR ．请你参考小冬的思路或想出自己的方法解决下列问题：（1）点P 0与点A 重合时，此球所经过的路线总长度是 6√5 ． （2）当点P 0落在线段AP 上时（如图③），求tan θ的取值范围．解：（1）AS 交PQ 于H ，根据入射角等于反射角得到∠HQA ＝∠HAQ ，∠HP A ＝∠HAP ， ∴PQ ＝2HP ＝2HQ ＝2SR ，∵∠C ＝∠A ＝90°，∠CRS ＝∠QP A ， ∴△RCS ∽△P AQ ， ∴AP CR=PQ SR=2，∵P A ＝2， ∴CR ＝1， EC 2＝1，由勾股定理得：PE =√(2−1+5)2+32=3√5， 同理：SR +AS =√(5+1)2+32=3√5， ∴3√5+3√5=6√5， 故答案为：6√5．（2）由（1）知：BR ＝5﹣1＝4， ∴AQ BQ=AP BR=12，∵AB ＝3， ∴AQ ＝1， ∴tan θ=AQAP =12，当P 0在P 点上时，tan θ=35，∴当点P 0落在线段AP 上时，tan θ的取值范围是12≤tan θ≤35．。
成都七中外地生自主招生考试数学试题和答案
成都七中2022年外地生自主招生考试数学试题考试时间：120分钟 总分值150分注意：请将答案涂写在答题卡上，本试卷作答无效！一、选择题〔本大题共 10小题，每题6分，共60分，每题只有一个正确选项〕1 ,x 2是方程X2-3X +仁0的两根，贝U x 1 + x 2 =()A. 3B. . 51y=-的图象交点个数为〔X，周长为12cm ，其内切圆半径为〔4. 2022 2022 2022 2022 1 -20222 =(6.某三棱锥的主视图和左视图如右，其俯视图不可能是〔〕7.从-2,0,1,2,3五个数中选出两个数 a,b(a ^ 0),那么y=a 2x+b 表示不同一次函数的种数为 〔〕9.右图中O 为矩形ABCD 〔 AB vBC 丨的中心，过O 且互相垂直的两条直线被矩形四边所截， 设截得的线段 EF 和GH 长度分别为X 和y ，四边形EGFH 面积为S ,当这两条直线保持垂 直且围绕O 点不停旋转时，以下说法正确的选项是〔〕① 某一阶段，y 随X 的增大而增大，y 是X 的正比例函数 ② 某一阶段，y 随X 的增大而减小，y 是X 的反比例函数 ③ 仅当四边形EGFH 与矩形一条对角线重合时， S 最大④ 仅当四边形EGFH 的两条对角线长度相等时，S 最小A.①②B.①③C.①②④D.①③④2.—次函数y=kx+k-1的图象与反比例函数 将半径 1cm 的硬币掷在平面上，硬币与平行线 相交的概率为〔〕1123A.-B.-C. _D.-4 3 3 4n 为正整数，记n ! =1 X 2 x 3X 4 xx n(n 2), 1! =1，那么- 2 3+ + — +3! 4!110! 1 1B.1 +10! 9D .1+ 9!5.平面上有无限条彼此相距 3cm 的平行线,10.2022年6月6日发生了天文奇观“金星凌日〞， 当地球、金星、太阳在一条直线上，从地球上可以 看到金星就像一个小黑点一样沿直线在太阳外表缓 慢移动〔金星的视直径仅约为太阳视直径的3%〕, 如右图示意，圆 O 为太阳，小圆为金星，弦 AB 所 在直线为小圆圆心的轨迹，其中位置 I 称为入凌外切，位置II 称为入凌内切，设金星视直径为 d ,AOB =2 ,那么金星从位置I 到位置II 的视位移△ S 可以估计为〔 〕d dA.B.-sin 2si n二、填空题〔本大题共 8小题，每题6分，共48分〕32+3x -4=0的解为 ______________ 。
2023届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学(理)试题(解析版)
2023届四川省成都市第七中学高三下学期入学考试数学（理）试题一、单选题1．集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,4,5}S =，{2,3,4}T =，则()US T 等于 （ ）A ．{1,4,5,6}B ．{1,5}C ．{4}D ．{1,2,3,4,5} 【答案】B【分析】先计算出U T ，再由交集定义计算． 【详解】由题意{1,5,6}U T =所以(){}1,5US T =．故选： B【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握并理解集合运算“交并补”是解题关键． 2．已知i 52i z ⋅=-，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】C【分析】先利用复数的四则运算求出z ，然后根据复数的几何意义判断即可. 【详解】由题意得()252i i52i 25i i i z --===--， 所以复数z 在复平面内对应的点为()2,5--，位于第三象限， 故选：C3．在手工课上，老师将蓝、黑、红、黄、绿5个纸环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）． A ．对立事件 B ．不可能事件 C ．互斥但不对立事件 D ．不是互斥事件【答案】C【分析】根据互斥事件和对立事件的概念求解即可.【详解】甲、乙不可能同时得到红色，故这两件事是互斥事件.又因为甲、乙可能都拿不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件， 所以这两件事不是对立事件.故选：C 4．函数4x xxy e e -=+的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性排除B,D ，再根据f(1)排除C 得解. 【详解】由题得4()()xxxf x f x e e ---==-+，所以函数是奇函数，排除选项B,D.由题得14(1)0f e e -=>+，所以排除选项C. 故选A【点睛】本题主要考查函数图像的识别，考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.5．若实数x ，y 满足约束条件2303204120x y x y x y +-≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最小值为（ ）．A ．6B ．5C ．3D ．2【答案】D【分析】根据题意作出可行域，进而根据z 的几何意义求得答案.【详解】如图，作出不等式组对应的可行域，得三角形ABC ，当且仅当动直线y x z =-+经过点A 时，z 取得最小值，联立32012301x y x x y y --==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩，此时min 112z =+=．故选：D.6．函数()sin 2f x x =-在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是（ ）A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增【答案】B【分析】整体法得到ππ2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，数形结合得到函数的单调性.【详解】ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，因为sin y z =-在ππ,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故()sin 2f x x =-在ππ,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数.故选：B7．已知四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是矩形，SA ⊥底面ABCD ，其三视图如图所示，则二面角B SAC --的正弦值为（ ）A ．12 B ．1 C 25D 6【答案】C【分析】画出四棱锥S ABCD -的直观图,根据条件知BAC ∠为二面角B SA C --的平面角，再求其正弦值即可.【详解】由三视图得四棱锥S ABCD -的直观图如下图:SA ⊥底面ABCD ，AB ⊂底面ABCD ，AC ⊂底面ABCD ，故,,SA AB SA AC ⊥⊥又面SAB面SAC SA =，故BAC ∠为二面角B SA C --的平面角，由题意知:1,2AB BC == ， 在Rt ABC △中, 22225sin 521BC BAC AC ∠===+， 二面角B SA C --的正弦值为255， 故选:C8．某保险公司为客户定制了A ，B ，C ，D ，E 共5个险种，并对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：用该样本估计总体，以下四个说法错误的是（ ）． A ．57周岁以上参保人数最少 B ．18～30周岁人群参保总费用最少 C ．C 险种更受参保人青睐D ．31周岁以上的人群约占参保人群80％ 【答案】B【分析】根据扇形图、散点图、频率图对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，57周岁以上参保人数所占比例是10%，是最少的，A 选项正确. B 选项，“18～30周岁人群参保平均费用”比“57周岁以上人群参保平均费用”的一半还多，而18～30周岁人群参保人数所占比例是57周岁以上参保人数所占比例的两倍， 所以57周岁以上参保人群参保总费用最少，B 选项错误. C 选项，C 险种参保比例0.358，是最多的，所以C 选项正确.D 选项，31周岁以上的人群约占参保人群30%40%10%80%++=，D 选项正确. 故选：B9．已知数列{}n a 中，()25e nn a n n =-（e 为自然对数的底数），当其前n S 项和最小时，n 是（ ）A ．4B ．5C ．5或6D ．4或5【答案】D【分析】根据已知分析数列{}n a 中当5n ≤时，0n a ≤，且50a =，即可根据数列前n 项和的定义得出答案.【详解】e 0n >，25n n -在5n ≤时，250n n -≤，且5n =时，250n n -=， 则数列{}n a 中当5n ≤时，0n a ≤，且50a =， 123n n S a a a a =++++，则当其前n S 项和最小时，n 是4或5， 故选：D.10．已知函数()[]4ln 33f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则函数()f x 的零点个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】根据题意将函数()f x 的零点问题转化为4ln 3y x =与[]1y x =-的交点问题，有图形可得当05x <<时，()f x 有3个零点，再根据当5x ≥时，则()4ln 36f x x x ≤-+，结合导数证明当5x ≥时，()f x 无零点，即可得结果.【详解】令()[]4ln 330f x x x =-+=，则[]4ln 13x x =-，故函数()f x 的零点问题转化为4ln 3y x =与[]1y x =-的交点问题，且3e 16>，即34e 2>，如图所示：由图可得；当05x <<时，4ln 3y x =与[]1y x =-有3个交点，即当05x <<时，()f x 有3个零点；当5x ≥时，则()[]()4ln 334ln 3134ln 36f x x x x x x x =-+≤--+=-+， 构建()()4ln 365g x x x x =-+≥，则()430xg x x-'=<当[)5,x ∈+∞上恒成立， 则()g x 当[)5,+∞上单调递增，故()()962554ln 59ln0e g g x ≤=-=<， 可得：当5x ≥时，则()()0f x g x ≤<，即当5x ≥时，()f x 无零点； 综上所述：函数()f x 有3个零点. 故选：C.11．过椭圆C ：2cos 3x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，MF m =，NF n =，则11m n+的值为 A ．23B ．43C ．83D ．不能确定【答案】B【分析】消去参数得到椭圆的普通方程，求得焦点坐标，写出直线l 的参数方程，代入椭圆的普通方程，写出韦达定理，由此求得11m n+的值. 【详解】消去参数得到椭圆的普通方程为22143x y +=，故焦点()1,0F ，设直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），代入椭圆方程并化简得()223sin 6cos 90t t αα++⋅-=.故1212226cos 9,03sin 3sin t t t t ααα+=-⋅=-<++（12,t t 异号）.故11m n m n mn ++=()212121212124t t t t t t t t t t +--==⋅⋅43.故选B.【点睛】本小题主要考查椭圆的参数方程化为普通方程，考查直线和椭圆的位置关系，考查利用直线参数的几何意义解题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12．关于x 方程()(log 0,1m x k m m =>≠的两个根为a ，b ，且2a b a <<，则以下结论正确的个数是（ ）（11a <<；（2）2a b <+<；（3）()1log 11a bb a a a ++-<-；（4）()()1441b a a b +++<+． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C【分析】根据题意结合对数分析可得01a b <<<，且1b a =，对（1）：解不等式12b a a=<即可得结果；对（2）：由1a b a a+=+，根据1y x x =+的单调性分析运算即可；对（3）：()()11log 11log 1log a b a b b b b a a a a a b a +++-<-⇔+-<-，构建()log x b g x x a =-，结合()g x 的单调性分析判断；对（4）()()()()14ln 4ln 11414b a a b a b a b +++<++++⇔+<，构建()ln xh x x =，结合()h x 的单调性分析判断.【详解】由题意可得：log log m m a b k ==，则log log log 0m m m a b ab +==，故1ab =， ∵a b <，故01a b <<<，且1b a=，对（1）：由2b a <，即12a a <，解得a >a <∵01a <<(11,a b a<<=∈，（1）正确；对（2）：∵1a b a a +=+，且1y x x =+在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递减，∴2a b <+<，（2）正确；对（3）：构建()11f x x x =-+，则()f x 在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，故()10f x f >=>⎝⎭， 可得110a a-+>，即11a b a +>=，∵()()1log 11log 1log a b b b b a a b a a ++-=+-<-，等价于()1log 1log a b b b a a b a ++-<-，构建()log xb g x x a =-，1a b <<，则()g x 在定义域内单调递增， ∴()()1g a g b +>，即()1log 1log a b b b a ab a ++->-，C 错误；对（4）：由（1）得(44,12,1a b ⎛⎫+∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭，且41a b +>+，由()()1441b a a b +++<+，等价于()()()()44ln n 11l a b a b +<+++，等价于()()ln 44l 11n a a b b ++<++， 构建()ln x h x x=，则()21ln xh x x -'=，令()0h x '>，则0e x <<，故()h x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，且()()(ln 2ln 424124h h h ===<，∴()()()24h x h h >=在(2,1上恒成立，即()()1n 4l 1h b b >++，又∵()h x 在()e,+∞上单调递减，则()()442h h h x ⎛>+> ⎝⎭在4⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭上恒成立，即()()4ln 44a h a +>+，故()()ln 44l 11n a a b b ++<++，（4）正确.故选：C.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数h (x )；（3）利用导数研究h (x )的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．二、填空题13．已知向量()1,3a =，()3,4b =，若()()ma b a b -⊥+，则实数m =__________．【答案】85【分析】首先求出ma b a b -+,的坐标，然后根据向量垂直的坐标表示建立方程求解. 【详解】由题意得()()4,7,3,34a b ma b m m +=-=--， 因为()()ma b a b -⊥+，所以()()437340m m -+-=，解得85m =. 故答案为：85.14．()62x +展开式中含3x 项二项式系数为__________．【答案】20【分析】根据二项式系数的定义运算求解.【详解】()62x +展开式中含3x 项二项式系数为36C 20=.故答案为：20.15．已知二次函数()f x 满足条件：（1）()f x 的图象关于y 轴对称；（2）曲线()y f x =在1x =处的导数为4，则()f x 的解析式可以是__________．【答案】()221f x x =+（答案不唯一）【分析】取()221f x x =+，确定函数为偶函数，()4f x x '=，()14f '=，满足条件，得到答案.【详解】取()221f x x =+，则()()221f x x f x -=+=，函数为偶函数，关于y 轴对称；()4f x x '=，()14f '=，满足条件.故答案为：()221f x x =+（答案不唯一）16．已知函数π2sin (0)6y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移π02φφ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位，可得到函数sin 2cos 2y x a x =-的图像，则φ =___________.【答案】π4【分析】根据平移后的解析式利用三角恒等变换确定2,3a ω==3a =3a =根据平移后的解析式结合π02φ<<，即可求得φ的值. 【详解】解：函数π2sin (0)6y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向右平移φ个单位得到函数()ππ2sin 2sin 66y x x ωφωωφ⎡⎤⎛⎫=-+=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，即函数sin 2cos 2y x a x =-又函数()2sin 2cos 212y x a x a x ϕ=-+-， 所以2212a ω⎧⎪=+⎨=⎪⎩3,2a ω==.当3a =13ππsin 2322sin 222sin 22sin 22236y x x x x x x φ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===-=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则ππ22π,Z 63k k φ-+=-+∈，所以ππ,Z 4k k φ=+∈，又π02φ<<，所以π4φ=；当3a =13ππsin 2322sin 222sin 22sin 22236y x x x x x x φ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ππ22π,Z 63k k φ-+=+∈，所以ππ,Z 12k k φ=-+∈，又π02φ<<，所以无解；综上，π4φ=. 故答案为：π4.三、解答题17．已知等差数列{n a }的前三项和为15，等比数列{n b }的前三项积为64，且112a b ==. (1)求{n a }和{n b }的通项公式;(2)设,n n a n c n ⎧⎪=为奇数为偶数，求数列{n c }的前20项和.【答案】(1)31n a n =-，2nn b =(2)2336【分析】（1）根据等差，等比数列的性质，分别求公差和公比，即可求得通项公式； （2）根据（1）的结果求数列{}n c 的通项公式，再利用分组求和法，求数列{}n c 的前20项和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由条件可知，1232315a a a a ++==，得25a =，213d a a =-=， 所以()21331n a n n =+-⨯=-，等比数列中，2123364b b b b ==，则24b =，212b q b ==， 所以1222n nn b -=⋅=；（2）231,2,nn n n c n -⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数, 对数列{}31,n n -为奇数时，()()321316n n +---=， 所以数列{}n c 的奇数项是首项为2，公差为6的等差数列，对数列22,n n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶数，222222n n +=， 所以数列{}n c 的偶数项是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列{}n c 的前20项和为：()()1232013192420.........c c c c c c c c c c ++++=+++++++()()101111212102562902222882336212-+=+=+-=+=-.18．随着人民生活水平的不断提高，“衣食住行”愈发被人们所重视，其中对饮食的要求也愈来愈高．某地区为了解当地餐饮情况，随机抽取了100人对该地区的餐饮情况进行了问卷调查．请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表和频率分布直方图（如图）解决下列问题．组别 分组频数 频率 第1组[)50,60 140.14第2组[)60,70 m第3组 [)70,80 36 0.36第4组 [)80,900.16第5组 [)90,1004 n合计(1)求m ，n ，x ，y 的值；(2)若将满意度在80分以上的人群称为“美食客”，将频率视为概率，用样本估计总体，从该地区中随机抽取3人，记其中“美食客”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】(1)30m =，0.04n =，0.03x =，0.004y =(2)分布列见解析，数学期望为35【分析】（1）根据频率分布表和频率分布直方图的定义列式求解即可.（2）ξ服从二项分布，即可根据公式求二项分布概率公式及期望公式求得结果. 【详解】（1）由题意可得第四组的人数为1000.1616⨯=， 所以100143616430m =----=，40.04100n ==， 又[)60,70内的频率为300.3100=，所以0.30.0310x ==， [)90,100内的频率为0.04，所以0.040.00410y ==．（2）由频率分布表可得该地区抽取“美食客”的概率为0.160.040.2+=， 由题意ξ可取0，1，2，3，且13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭， 所以()030314640C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()121314481C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()212314122C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331413C 55125P ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ξ的分布列为：ξ0 12 3P 64125 48125121251125()13355E ξ=⨯=．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，其中AD BC ，AD BA ⊥，3AD =，2AB BC ==，PA ⊥平面ABCD ，且3PA =，点M 在棱PD 上（不包括端点），点N 为BC 中点．(1)若2DM MP =，求证：直线MN 平面P AB ；(2)求二面角N PC D --的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)71339-【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明 （2）建系，利用空间向量求二面角.【详解】（1）取P A 的点Q ，满足2=AQ PQ ，连接MQ ，QB ，因为2DM MP =，所以MQ AD 且113QM AD ==， 又因为BC AD ，且2BC =，点N 为BC 中点，即BN AD ，且1BN =，所以MQBN 且BN MQ =，则四边形MQBN 为平行四边形，则MN BQ ∥，MN ⊄平面P AB ，BQ ⊂平面P AB ， 所以直线MN平面P AB ．（2）如图所示，以点A 为坐标原点，以AB 所在直线为x 轴，以AD 所在直线为y 轴，以AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，则()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,3,0D ，()0,0,3P ， 又N 为BC 的中点，则()2,1,0N ，所以()0,3,3PD =-，()2,1,0CD =-，()2,1,3PN =-，()2,2,3PC =-， 设平面CPD 的法向量为()1,,n x y z =，则1120330n CD x y n PD y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则()11,2,2n =，设平面CPN 的法向量为()2,,n a b c =，则222230230n PC a b c n PN a b c ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，令3a =，则()23,0,2n =，所以121212cos ,1n n n n n n ⋅===+ 由题意可得：二面角N PC D --的平面为钝角，故其余弦值为 20．椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，右顶点为A ，设点O 为坐标原点，点B 为椭圆E 上异于左、右顶点的动点，OAB (1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线:l x t =交x 轴于点P ，其中t a >，直线PB 交椭圆E 于另一点C ，直线BA 和CA 分别交直线l 于点M 和N ，若O 、A、M 、N 四点共圆，求t 的值． 【答案】(1)22143x y += (2)6【分析】（1）由离心率为12可得b =，又OAB 面积的最大值为12ab =得答案；（2）设直线BC 方程为x my t =+，与椭圆方程联立，由韦达定理可得21212226312,3434mt t y y y y m m -+=-=++，又11(2)2M y t y x -=-，22(2)2N y t y x -=-，当O 、A 、M 、N 四点共圆，由相交弦定理可得PA PO PM PN ⋅=⋅，即(2)M N t t y y -=，根据韦达定理化简可得()()21212(2)3(2)(2)224M N y y t y y t t x x -==+---，从而即可求解.【详解】（1）解：由题意，设椭圆半焦距为c ，则12c a =，即2222114c b a a =-=，得b =，设()1111,,2OAB B x y S a y =，由1y b ≤，所以OAB S的最大值为12ab，将b=代入12ab =2=2,a b ==， 所以椭圆的标准方程为22143x y +=； （2）解：设()22,C x y ，因为点B 为椭圆E 上异于左、右顶点的动点，则直线BC 不与x 轴重合，设直线BC 方程为x my t =+，与椭圆方程联立得()2223463120m y mty t +++-=，()()222236123440m t m t ∆=-+->，可得2234t m <+，由韦达定理可得21212226312,3434mt t y y y y m m -+=-=++，直线BA 的方程为11(2)2y y x x =--，令x t =得点M 纵坐标11(2)2M y t y x -=-，同理可得点N 纵坐标22(2)2N y t y x -=-，当O 、A 、M 、N 四点共圆，由相交弦定理可得PA PO PM PN =⋅，即(2)M N t t y y -=，()()()()()2221212122212121212(2)(2)(2)2222(2)(2)M N y y t y y t y y t y y x x my t my t m y y m t y y t ---===--+-+-+-++-()()()222222234(2)346(2)34(2)t t m t m t t m t --=---++-()22223(2)(2)3(2)634(2)t t m t m t m t +-=+-++-23(2)(2)3(2)(2)4(2)4t t t t t +-==+--，由2t >，故3(2)(2)(2)4t t t t -=+-，解得6t =．21．已知函数()12e x f x x -=． (1)求函数()f x 的单调区间； (2)求函数()()1f x h x x =+的最小值； (3)若函数()f x 的图象与直线y m =有两个不同的交点()11,A x y 、()22,B x y ，证明：14129e 4e 2AB m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤．【答案】(1)单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)e2(3)证明见解析【分析】（1）根据函数解析式可得定义域为()0,∞+，利用导函数即可判断函数()f x 的单调性得出其单调区间；（2）对函数()h x 求导判断出其单调性即可得()h x 的最小值为()e12h =； （3）通过观察需要证明的不等式特征结合（1）（2）中的结论可知，函数()f x 的图象在两条切线2e e2y x =+和1144e 2e 52y x =-+的上方，即可得出AB 的距离小于等于y m =被两切线截得的线段长.【详解】（1）由函数()12e x xf x x-==可得定义域为()0,∞+，()2e 1x x f x -'=令()0f x '=可得12x =， 当102x <<，()0f x '<，即()f x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减； 当12x >，0f x，即()f x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增；所以，函数()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）由题意得()121e x x h x x -=+，其定义域为()0,∞+，()x h x ' 当()0,1x ∈，()0h x '<，即()h x 在()0,1x ∈上单调递减， 当()1,x ∈+∞，()0h x '>，即()h x 在()1,x ∈+∞单调递增； 所以()()min 2e 1h x h ==，即()h x 的最小值是e2．（3）由（2）可知122e e1x x x -≥+，即122e e e 2x x x -≥+，直线2e e 2y x =+为函数()f x 的一条切线，()2e 1x xf x -'14x =，14124e f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，1414e 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 所以()f x 在14x =处的切线方程1144e 1224e y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1144e 2e 52y x =-+（下面证明此切线在函数()f x 图像下方）令()111244522e e e x m x x x -=+-，()142e xm x '+， 又令()14e212e x x x ϕ-=，()()5221443e 04x x xxx ϕ-'=-+>恒成立，则()m x '为单调递增函数，又104m ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，当14x <时，()104m x m ⎛⎫''= ⎪⎝⎭<，此时()m x 单调递减，当14x >，()104m x m ⎛⎫''= ⎪⎝⎭>，此时()m x 单调递增，所以()104m x m ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以函数()f x 图像夹在直线1144e 2e 52y x =-+和直线2e e2y x =+之间，直线y m =与直线1144e 2e 52y x =-+的交点为145,2e 4m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与直线2e e 2y x =+的交点为21,e m m ⎛⎫-⎪⎝⎭， 不妨设12x x <，则114412251291e 4e 42e e 2m m AB x x m ⎛⎫=-≤--+=+- ⎪⎝⎭． 【点睛】关键点点睛：在证明不等式14129e 4e 2AB m ⎛⎫+- ⎪⎝⎭≤时，关键是利用前两问的结论得出函数()f x 的图象夹在两条切线之间，并找出对应的切线方程即可证明结论.22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=-． (1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)设曲线1C 与曲线2C 交于P 、Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值． 【答案】(1)曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=； 即曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+= (2)2【分析】（1）通过消参求得曲线1C 的普通方程，再将普通方程转化为极坐标方程，将曲线2C 的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)利用极径的几何意义求解.【详解】（1）∵12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则1x y +=， ∵cos sin x y ρθρθ==，，曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=； 由2(cos sin )ρθθ=-，得2222x y x y +=-，即曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +-+=. （2）由2(cos sin )ρθθ=-得 cos sin 2ρθθ-=， ①由()cos sin 1ρθθ+=得1cos sin θθρ+=，②22+①②可得22124p ρ+=， 即42840p ρ-+=设P ，Q 两点所对应的极径分别为12,ρρ， 则()2124ρρ⋅=， ∴12||||2OP OQ ρρ⋅=⋅=.23．已知函数()2123f x x x =+-+. (1)求()f x 的最大值m ;(2)若正数,,a b c 满足abc m =，证明: 111a b c++【答案】(1)1 (2)证明见解析.【分析】（1）由题知()31,2345,121,1x f x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=---≤≤-⎨⎪->-⎪⎪⎩，再求解最大值即可；（2）根据基本不等式证明即可.【详解】（1）解：当32x <-时，()322223112f x x x x x =+-+=++--=；当312x -≤≤-时，()2223452123f x x x x x x =----+=-=--+； 当1x >-时，()322223112f x x x x x =+-=+--=-+，所以()31,23212345,121,1x f x x x x x x ⎧<-⎪⎪⎪=+-+=---≤≤-⎨⎪->-⎪⎪⎩因为当312x -≤≤-时，函数()f x 单调递减，32x <-或1x >-时，函数为常函数， 所以，函数()f x 的最大值为1，即1m =（2）解：因为11a b +≥11b c +≥11a c +≥所以111a b c ++≥因为，由（1）知1m =，即1abc =，===所以，111a b c++≥a b c ==时等号成立，所以111a b c++.。
2024届成都市七中高三数学(理)下学期入学考试卷附答案解析
2024届成都市七中高三数学（理）下学期入学考试卷2024.02考试时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2Z 2150A x x x =∈--<，{}R 10B x x =∈-≤，则()A B Rð的真子集的个数为（）A．9B．8C．7D．62．若函数()21f x x ax =++是定义在(,22)b b --上的偶函数，则2b f ⎛⎫=⎪⎝⎭（）A．14B．54C．74D．23．已知复数z 满足1i 1i z -=+，则z z +=（）A．i -B．i C．1D．1-4．已知()()()()626012621111x a a x a x a x -=+-+-++- ，则2a =（）A．60-B．30-C．30D．605．已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()23341S a =+，()24441S a =+．则（）A．1020a =B．550S =C．5758a S +=D．2nna S ≥6．已知π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4417sin cos 25θθ+=，则πtan 4θ⎛⎫+=⎪⎝⎭（）A．13B．12C．2D．37．对于数列{}n a ，若满足：12321111333n n n nR a a a a -=+++⋅⋅⋅+，则称n R 为数列{}n a 的“优值”，现已知数列{}n a 的“优值”13n n R =，记数列83na ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则n S 的最大值为（）A．223B．233C．243D．2538．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)(2)2C x y ++-=，若圆22:()(1)2D x a y -+-=上存在点P，由点P 向圆C 引一条切线，切点为M，且满足|||PM PO =，则实数a 的取值范围为（）A．[1]B．[4,2]-C．[3,3]-D．[2,4]-9．设函数π()2sin(),(0),6f x x ωω=+>若存在12ππ,[,],33x x ω∈-且12x x ≠，使得()()121f x f x ==，则ω的取值范围是（）A．[)4,∞+B．(]4,6C．[)6,∞+D．(]6,1010．在四面体ABCD中，AB =1AD BC CD ===，2πBAD ABC ∠==∠，则该四面体的外接球表面积为（）A．7π2B．7πC．8πD．10π11．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中任意取出三个不同的数，若这三个数的和为不小于9的奇数，则不同的取法有（）种.A．54B．53C．47D．4612．定义在R 上的可导函数()f x 满足()()e e x x x f x f x x --=+，当0x <时，1()0e x xf x -'+>，若实数a 满足222(2)(2)2e e 2e 0a a a f a f a a a ------+-++≤，则a 的取值范围为（）A．2,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B．[2,)+∞C．2,[2,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D．(,2]-∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线与直线240x y +-=平行，则双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为．14．在正方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，点E ∈平面11ABB A ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则当EBC 的面积取得最小值时，1D E =．15．设数列{}n a 满足11a =，22a =，()*21,N 2,n n n a n a n a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，令()22221πlog sin 2n n n b a a -⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭，则数列{}n b的前100项和为．16．已知函数()21ln ,04,0x x f x xx x x ⎧+>⎪=⎨⎪--+≤⎩，()g x x a =-+，若函数()()()F x f x g x =-有三个零点123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅的取值范围是.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．2023年12月25日，由科技日报社主办，部分两院院士和媒体人共同评选出的2023年国内十大科技新闻揭晓.某高校一学生社团随机调查了本校100名学生对这十大科技的了解情况，按照性别和了解情况分组，得到如下列联表：不太了解比较了解合计男生204060女生202040合计4060100(1)判断是否有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异；(2)若把这100名学生按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中女生数为X ，求X 的分布列及()E X .附：①()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++；②当23.841χ>时有95%的把握认为两变量有关联.18．在锐角ABC 中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c sin Ca b =+．(1)求B 的值；(2)若2b =，求ABC 面积的取值范围．19．如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为平行四边形，且11,.2BD CD BD CD DE ==⊥⊥平面ABCD ，且12DE BF DE== BF .点,H G 分别为线段,DC EF 上的动点，满足(02)DH EG λλ==<<.(1)证明：直线GH 平面BCF ；(2)是否存在λ，使得直线GH 与平面AEF 所成角的正弦值为4214？请说明理由.20．设点P 是椭圆221:14x C y +=上任意一点，过点P 作椭圆的切线，与椭圆()22222:114x y C t t t +=>交于A B ，两点.(1)求证：PA PB=;(2)OAB 的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.21．设函数()()2e axf x x =-．(1)若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为30y x b -+=，求a，b 的值；(2)若当0x >时，恒有()2f x x >--，求实数a 的取值范围；(3)设*n ∈N 时，求证：()()2222223521ln 112231n n n n +++⋅⋅⋅+<+++++．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中选一题作答．如果多选，则按所做的第一题记分．【选修4-4：坐标系与参数方程】22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为()sin cos 3ρθθ+=．(1)写出曲线1C 的极坐标方程，曲线2C 的直角坐标方程；(2)曲线1C 与曲线2C ，如有公共点，求出公共点坐标；如无公共点，设,A B 分别为曲线1C 与曲线2C 上的动点，求线段AB的最小值．【选修4-5：不等式选讲】23．已知函数()223f x x x =--．(1)求不等式()5f x ≥的解集；(2)设函数()()12g x f x x =+++的最小值为m ，若0,0a b >>且2a b m +=，求证：2242a b +≥．【分析】解不等式求出集合A，求出集合B 的补集，即可确定()A B R ð的元素，根据元素的个数，即可求得()A B R ð的真子集的个数.【详解】由题意{}{}2Z 2150Z (3)(5)0A x x x x x x =∈--<=∈+-<{}Z 35{2,1,0,1,2,3,4}x x =∈-<<=--，{}R 10{|1}B x x x x =∈-≤=≤，故R {|1}B x x =>ð，故{2,3,()4}A B =R ð，则()A B R ð的真子集的个数为3217-=，故选：C 2．D【分析】利用偶函数的定义可计算,a b 的值，再根据解析式计算函数值即可.【详解】因为函数2()1=++f x x ax 是定义在(,22)b b --上的偶函数，所以220b b -+-=且()()2211f x x ax x ax f x -=-+=++=，则02a b =⎧⎨=⎩，所以2()1f x x =+，则2(1)1122b f f ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭.故选：D．3．C【分析】利用复数的四则运算求出复数z 即可得出答案.【详解】由题意，复数z 满足1i 1i z -=+，可得()()11i 11i i i 1i 1i 1i 22z -=+=+=+++-，所以1122z i=-．则z z +=1，故选：C．4．D【分析】设1t x =-，则1x t =+，变换()()662121x t -=+，利用二项式定理计算得到答案.【详解】设1t x =-，则1x t =+，所以()()662601262121x t a a t a t a t-=+=++++ ．()621t +的展开式的通项()666166C 21C 2rr r r r r r T t t ---+=⨯=，取4r =得4226C 260a =⨯=．故选：D．【分析】由等差数列,n na S 的关系结合已知等式化简，可得2d =，结合()23341S a =+，求出首项，即可得等差数列的通项公式以及前n 项和公式，由此一一判断各选项，即可得解.【详解】设正项等差数列{}n a 的公差为d，因为()23341S a =+，()24441S a =+，所以两式相减得()()22443411a a a =+-+，可得()4434a a a =-()432a a ++，即()143a d d +=()1252a d ++，所以()()12250d a d -+=，因为{}n a 是正项等差数列，则0,0n a d >≥，则1250a d +>，所以2d =，由()23341S a +＝，得()212314()21a a a a d ++=++，得()2114(33)21a d a d +=++，即()2114(36)5a a +=+，所以11a =，所以21n a n =-，2(121)2n n n S n +-==，得1019a =，525S =，A，B 错误；5794958a S +=+=，C 正确；22211111n n a n S n n -⎛⎫==--+≤ ⎪⎝⎭，D 错误，故选：C.6．D【分析】由同角三角函数的基本关系可得出关于sin θ、cos θ的方程组，解出这两个量的值，可得出tan θ的值，再利用两角和的正切公式可求得πtan 4θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】由已知可得442217sin cos 25sin cos 120sin 22cos 12θθθθθθ⎧+=⎪⎪+=⎪⎪⎨<<⎪<<⎩，解得sin cos θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以，sin 1tan cos 52θθθ===，故π1tan tan1π42tan 3π141tan tan 1142θθθ++⎛⎫+== ⎪⎝⎭--⨯.故选：D.7．D【分析】将1231221111133333n n n n n n a a a a a ---=+++⋅⋅⋅++中的n 变为n 1-后两式相减可得数列{}n a 的通项公式，然后令830n a +>即可求出n S 的最大值.【详解】由已知得1231221111133333n n nn n n a a a a a ---=+++⋅⋅⋅++①，则当2n ≥时，123112211113333n n n n a a a a ----=+++⋅⋅⋅+②所以①-②得1111333n n n n n n a ----=，即()21133n n a n n =--=-+，又当1n =时，113a =，符合213n a n =-+，故213n a n =-+，所以2113383n a n ++=-令21103833n a n =+-+>，得5n ≤，所以n S 的最大值为513525323S ⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭==.故选：D.8．D【分析】根据PM PO=可求出点P 的轨迹方程，根据点P 的轨迹与圆D 有交点列出不等式求解.【详解】设点P 的坐标为(),x y，如图所示：由PM 可知：222PM PO=，而222PM PC CM=-，∴2222PC CM PO-=∴()()()22221222x y x y ++--=+，整理得222430xy x y +-+-=，即()()22128x y -++=.∴点P 的轨迹为以点()1,2E -为圆心，P 在圆D 上，∴所以点P 为圆D 与圆E 的交点，即要想满足题意，只要让圆D 和圆E ≤≤解得24a -≤≤.故选：D 9．A【分析】根据题意，需将π6x ω+看成整体角X ，由x 范围ππ[,],33ω-求得X 范围πππ[,]362ω-+，结合函数2sin y X =的图象，求得使1sin 2X =的两个解，由题只需使π7π66x ω+≤-即可，计算即得.【详解】不妨取π6X x ω=+，由ππ[,]33x ω∈-可得：ππππ[,]6362X x ωω=+∈-+，由2sin 1X =可得1sin 2X =，由图可取12π7π,,66X X ==-要使存在12ππ,[,],33x x ω∈-且12x x ≠，使得()()121f x f x ==，需使，ππ7π366ω-+≤-，解得4ω≥.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题主要考查与正弦型函数图象有关的等高线问题.解决的关键在于将π6x ω+看成整体角，作出正弦函数的图象，结合求得的整体角的范围求得最近的符合要求的角，从而界定参数范围.10．B【分析】根据题设条件作出四面体的高DH ，通过相关条件推理计算分别求出,AH DH ，最后在直角梯形HEOD ，利用勾股定理列出方程即可求得外接球半径.【详解】如图，作DH ⊥平面ABC ，连接,,AH HB HC ，易得,DH AB ⊥因AB AD ⊥，,,AD DH D AD DH ⋂=⊂平面DAH ，所以AB ⊥平面DAH ，AH ⊂平面DAH ，故AB AH ⊥,由题可得30BAC ∠=，2AC =，则120HAC ∠= .不妨设,AH x DH h ==，则有221x h +=①，在HAC △中，由余弦定理，222422cos12024HC x x x x =+-⨯=++ ，在HDC △中，22246h x x +++=②，将两式相减化简即得：12x =，h =.取线段AC 中点E ，过点E 作OE ⊥平面ABC ，其中点O 为外接球的球心，设外接球半径为R ，由余弦定理求得211712cos120424HE =+-⨯= ，在直角梯形HEOD 中，221OE R =-，由2237)24R =-+计算可得：274R =，则该四面体的外接球表面积为7π.故选：B.【点睛】方法点睛：本题主要考查四面体的外接球的表面积，属于中档题.求解多面体的外接球的主要方法有：（1）构造模型法:即寻找适合题意的长方体，正方体，圆柱等几何体，借助于这些几何体迅速求得外接球半径；（2）建立直角梯形或直角三角形法：即先找到底面多边形的外心，作出外接球球心，借助于题设中的条件得到多面体的高，构成直角梯形或直角三角形来求解.11．B【分析】将10个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数：0、2､4､6､8，然后分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，再由加法原理计算可得答案.【详解】根据题意，将10个数分为2组，一组为奇数：1､3､5､7､9，一组为偶数0、2､4､6､8，若取出的3个数和为奇数，分2种情况讨论：①取出的3个数全部为奇数，有25C 10=种情况，都符合题意，②取出的3个数有1个奇数，2个偶数，若奇数取9，有25C 10=种情况；若奇数取7，有25C 10=种情况；若奇数取5，有25C 19-=种情况；若奇数取3，有25C 28-=种情况；若奇数取1，有25C 46-=种情况；综上，三个数的和为不小于9的奇数，不同的取法有10101098653+++++=种.故选：B.12．C【分析】根据已知条件构造函数()g x ，利用偶函数的定义及导数的正负与函数的单调性的关系，结合偶函数的性质及函数的单调性即可求解.【详解】由()()e e x xxf x f x x --=+，得()()e e x x x x f x f x ---=--.令()()e xxg x f x =-，则()()g x g x =-，即()g x 为偶函数.当0x <时，1()()0e x x g x f x -''=+>，所以()g x 在(),0∞-上单调递增；所以()g x 在()0,∞+上单调递减.由()()222222e e 2e 0a a a f a f a a a ------+-++≤，得()()222222e e a a a a f a f a +≤+-+-，即()()22g a g a ≤+.又()g x 为偶函数，所以()()22g a g a ≤+，因为()g x 在()0,∞+上单调递减，所以22a a ≥+，即22444a a a ≥++，解得23a ≤-，或2a ≥，所以a 的取值范围为2,[2,)3⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦.故选：C.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是构造函数()g x ，利用偶函数定义和导数法求出函数的单调性，再利用偶函数和单调性即可解决抽象不等式.13．12##0.5【分析】根据已知条件求得b ，再求焦点到渐近线距离即可.【详解】根据题意可得12b -=-，故可得12b =，则c =，则右焦点坐标为,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，一条渐近线为12y x =，右焦点到一条渐近线的距离12d ==.故答案为：12.14．322【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，设(2,,)E y z ，根据1D E CF⊥，结合数量积运算，求得22z y =-，进而表示出EBC 的面积，结合面积有最小值即可求得,z y ，即可求得答案.【详解】以点D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在直线为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，则1(0,2,0),(2,2,0),(2,0,1),(0,0,2)C B FD ，设(2,,)E y z ，则()12,2,1,(2,,2)CF D E y z =-=-，因为1D E CF ⊥，故14220D E CF y z ⋅=-+-=，即22z y =-，由于BC ⊥平面11ABB A ，EB ⊂平面11ABB A ，故BC EB ⊥，所以EBC 的面积为222BE BC BE S BE ⋅⨯===，而BE ===故S =65y =时，25128y y -+取最小值，即S 最小，此时62,55y z ==，则1682,,55D E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，故1D E ==，即1D E =，故答案为：【点睛】方法点睛：由于是在正方体中求解线段的长，因此可以建立空间直角坐标系，根据空间向量的数量积运算结合EBC 面积最小，求出参数，即E 点的坐标，从而解决问题.15．5000-【分析】根据给定的递推公式，求出数列{}n a 的通项公式，进而求出n b ，再利用分组求和法求解即得.【详解】数列{}n a 满足11a =，22a =，()*21,N 2,n n n a n a n a n ++⎧=∈⎨⎩为奇数为偶数，∴数列{}21n a -是以1为首项，1为公差的等差数列，即21n a n -=，数列{}2n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，即22n n a =，因此()222ππlog 2sinsin22nn n n b n =⋅=，显然πsin 2n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的周期为4，则4342414k k k kb b b b ---+++()()()()()()()222243π42π41π4π43sin42sin41sin4sin2222k k k k k k k k ---=-+-+-+()()()224341821k k k =---=--，令4342414n n n n n c b b b b ---+++=，则有()821n c n =--，()()1821182116n n c c n n +⎡⎤⎡⎤=-+----=-⎣⎣⎦-⎦，∴数列{}n c 是等差数列，数列{}n b 的前100项和，即数列{}n c 的前25项和()()2588122550002⎡⎤⨯-+-⨯⎣⎦=-.故答案为：5000-.16．(⎤⎦【分析】由题意首先得(]2,4a ∈，212233222321111124ln ln ln 41a x x x x x x x x x x <=-+=-++=++=++≤，进一步有231x x =，由此即可顺利得解.【详解】由题意设()()h x f x x=+，则函数()()()F x f x g x =-的零点即为方程()h x a=的根，在同一平面直角坐标系中分别画出函数()h x 的图象以及直线y a =如图所示：若函数()()()F x f x g x =-有三个零点123,,x x x ，（不妨设为123x x x <<），则方程()h x a=的根有三个根123,,x x x ，且12301x x x ≤<<<，所以(]2,4a ∈，且212233222321111124ln ln ln 41a x x x x x x x x x x <=-+=-++=++=++≤，因为1ln y x x x =++在()1,∞+单调递增，所以321x x =，即231x x =，所以1231x x x x ⋅⋅=，令224a x ==-+，0x ≤，解得2x =-244a x ==-+，0x ≤，解得0x =，所以(12312,0x x x x ⎤⋅⋅=∈⎦.故答案为：(2,0⎤⎦.【点睛】关键点睛：关键是根据函数单调性得到231x x =，由此即可顺利得解.17．(1)没有(2)分布列见解析，()45E X =【分析】（1）根据题意和公式求出2χ，然后根据附②即可得出结论；（2）由题得出X 的取值依次为0，1，2，依次求出各种取值的概率，然后写出分布列求出期望.【详解】（1）根据列联表中的数据，得()2210020202040252.7783.841406040609χ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为对这十大科技的了解存在性别差异.（2）这100名学生中男生60人，女生40人，按照性别进行分层随机抽样，从中抽取5人，则抽取的男生有3人，女生在2人，所以X 的取值依次为0，1，2，()2325C 30C 10P X ===，()112325C C 31C 5P X ===，()2225C 12C 10P X ===，所以X 的分布列为X012P31035110()3314012105105EX =⨯+⨯+⨯=.18．(1)π6B =(2)(S ∈【分析】（1）由正弦定理、余弦定理进行边角转换即可.（2）由正弦定理、三角形面积公式结合三角恒等变换得5π2cos 26S A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭结合角的范围即可得解.sin C a b =+ca b =+，即222a c b +-=，由余弦定理得222cos 222a c b B ac ac +-===，因为()0,πB ∈，所以π6B =．（2）在锐角ABC 中，π2,6b B ==，记ABC 的面积为S ．由正弦定理得2πsin sin sin 6a c AC==，即4sin ,4sin a A c C ==．所以()()15πsin 4sin sin 2cos cos 2cos 226S ac B A C A C A C A ⎛⎫⎡⎤===--+=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭因为在锐角ABC 中，π6B =，所以πππ0,,π0,262A C A ⎛⎫⎛⎫∈=--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得ππ5πππ,,2,32666AA ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则5πcos2,162A ⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥⎪ ⎝⎭⎝⎦，故(S ∈．19．(1)证明见解析(2)存在，理由见解析【分析】（1）以D 为原点，分别以,,DC DB DE 方向为,,x y z 轴建立如图所示空间直角坐标系，证明GH与平面BCF 的法向量垂直即可证；（2）由线面角的向量法求线面角后可得结论．【详解】（1）如图，以D 为原点，分别以,,DC DB DE 方向为,,x y z轴建立坐标系.()()()((2,0,0,0,1,0,2,1,0,,0,1,C B A E F -.()(((2,1,0,0,0,,2,,BC BF AE EF =-==-=.设平面BCF 的法向量为()1111,,n x y z =，则由11111200,0,0x y BC n BF n -=⎧⎪⋅=⋅=⎨=⎪⎩ ，取11x =得()11,2,0n = .因为2,DC EF EG DH λ====，所以,22DH DC EG EFλλ==解得(),0,0,0,,,,,22H G GH λλλλ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .所以10n GH ⋅= ，且GH ⊄平面BCF ，所以GH 平面BCF （2）设平面AEF 的法向量为()2222,,n x y z =则由2222222200,0,0x y AE n EF n y ⎧-+=⎪⋅=⋅=⎨+=⎪⎩，解得)21n =- .所以242sin cos ,14n GH θ==，解得1λ=.20．(1)见解析(2)是定值，定值为【分析】（1）直线AB 与椭圆方程联立，证明AB 的中点坐标，即切点P 的坐标；（2）首先讨论直线AB 的斜率不存在的情况，以及直线AB 的斜率存在时与椭圆方程联立，并利用韦达定理表示弦长AB，并表示OAB 的面积.【详解】（1）设直线AB 斜率不存在，则点P 在x 轴上，由对称性可知，PA PB=，若直线AB 的斜率存在，设:AB y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()00,P x y ，联立()2204y kx m x y λλ=+⎧⎪⎨+=>⎪⎩，可得()222418440k x kmx m λ+++-=，当1λ=时，直线AB 与椭圆切于点P ，()()2222Δ64164110k m k m =-+-=，解得：2241m k =+，02441km x k -=+，当2t λ=时，线段AB 中点的横坐标12024241x x kmx k +-==+，所以点P 为线段AB 的中点，PA PB=，综上，PA PB=；（2）若直线AB 斜率不存在，则:2AB x =±，与椭圆2C方程联立可得，(2,A ±，(B ±，故OAB S = 若直线AB 的斜率存在，由（1）可得122841kmx x k -+=+，221224441m t x x k -=+，2241m k =+AB =点O 到直线AB的距离d ==所以12OAB S AB d =⋅= 综上OAB 的面积为定值【点睛】关键点点睛：本题第一问的关键是转化为直线AB 与椭圆相交和相切的问题，转化为证明AB 的中点，即切点P .21．(1)1,2a b =-=(2)(],1-∞(3)证明见解析【分析】（1）求导，根据题意结合导数的几何意义列式求解；（2）构建()()2g x f x x =++，由题意可知：当0x >时，恒有()0g x >，且()00g =，结合端点效应分析求解；（3）由（2）可知：当1,0a x ≤>时，()2e 20ax x x -++>，令1a =，12e x t =，可得221ln 1t t t -<+，再令1n t n +=，可得()()2221ln 1ln 1n n nn n +<+-++，利用累加法分析证明.【详解】（1）因为()()2e axf x x =-，则()()e 2e ax axf x a x =+-'，则()02f =-，()012f a'=-，即切点坐标为()0,2-，斜率12k a =-，由题意可得：2300123b a --⨯+=⎧⎨-=⎩，解得1,2a b =-=.（2）令()()()22e 2ax g x f x x x x =++=-++，则()()()e 2e 121e 1ax ax ax g x a x ax a =+-+=-++'，由题意可知：当0x >时，恒有()0g x >，且()00g =，则()01210g a =+'-≥，解得1a ≤，若1a ≤，则有：①当a<0时，()()()()242e 22e e2e 1e 22ax ax axax ax x g x x x x x x x ---⎛⎫⎛⎫=-++=++=+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，因为0x >，可知()2e 0axx +>，令()41e 2axh x x -=-++，因为41,e 2ax y y x -=-=+在()0,∞+内单调递增，可得()h x 在()0,∞+内单调递增，则()()00h x h >=，即()()()2e 0ax g x x h x =+>，符合题意；②当0a =时，则()2220g x x x x =-++=>在()0,∞+内恒成立，符合题意；③当01a <≤时，令()()x g x ϕ='，则()()()e 21e 22e ax ax axx a a ax a a ax a ϕ=+-+=-+'，因为0x >，则22220ax a a -+>-+≥，e 0ax>，可知()()22e 0ax x a ax a ϕ+'=->在()0,∞+内恒成立，则()x ϕ在()0,∞+内单调递增，可得()()0220x a ϕϕ>=-≥，则()g x 在()0,∞+内单调递增，可得()()00g x ϕ>=，符合题意；综上所述：实数a 的取值范围为(],1-∞.（3）由（2）可知：当1,0a x ≤>时，()2e 20ax x x -++>，令1a =，可得()2e 20x x x -++>，令12e1xt =>，则2e ,2ln xt x t ==，则()22ln 22ln 20t t t -++>，整理得221ln 1t tt -<+，令*11,n t n n +=>∈N ，则22111ln 11n n n n n n +⎛⎫- ⎪+⎝⎭<+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，整理得()()2221ln 1ln 1n n n n n +<+-++，则()()2222223521ln 2ln1,ln 3ln 2,,ln 1ln 12231n n n n n +<-<-⋅⋅⋅<+-++++，所以()()()2222223521ln 1ln1ln 112231n n n n n +++⋅⋅⋅+<+-=+++++.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．22．(1)曲线1C 极坐标方程()22cos sin 10ρρθθ--+=，曲线2C 的直角坐标方程为30x y +-=(2)无公共点，3212-【分析】(1)由参数方程，直角坐标方程及极坐标方程互化求解；(2)由直线与圆的位置关系求解即可.【详解】（1）曲线1C 的普通方程()()22111x y -++=，极坐标方程()()22cos 1sin 11ρθρθ-++=，()22cos sin 10ρρθθ∴--+=，曲线2C 的极坐标方程为()sin cos 3ρθθ+=．化为直角坐标方程为30x y +-=；（2）曲线1C 的普通方程()()22111x y -++=，圆心为()11,1O -，到直线30x y +-=的距离为12d ==>，故曲线1C 与曲线2C 的无公共点，即直线与圆相离，得线段AB 的最小值为3212-．23．(1)][(),24,-∞-⋃+∞(2)证明见解析【分析】（1）解绝对值不等式时，一般考虑分类讨论法求解，最后再合并；（2）分类讨论()g x 的单调性，判断其在不同区间上的最小值，最后确定m 的值，利用基本不等式即可证明.【详解】（1）不等式()5f x ≥可化为2235x x --≥或2235x x --≤-，由2235x x --≥，可得2280x x --≥，解得4x ≥或2x ≤-；由2235x x --≤-，可得2220x x -+≤，解得x ∈∅，所以不等式()5f x ≥的解集为][(),24,∞∞--⋃+．（2）由题意，知()()()()123112g x f x x x x x =+++=-++++，当1x ≤-时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-+-++2317()24x =--，因()g x 在(,1]-∞-上单调递减，则min ()(1)2g x g =-=；当13x -<<时，()(3)(1)(1)2g x x x x =--++++=233324x ⎛⎫--+⎪⎝⎭，因()g x 在3(1,)2-上单调递增，在3(,3)2上单调递减，故()g x 在(1,3)-无最小值，但是()2g x >；当3x ≥时，()(3)(1)(1)2g x x x x =-++++211()24x =--，因()g x 在[3,)+∞上单调递增，则min ()(3)6g x g ==.综上，当=1x -时，函数()g x 取得最小值2，即2m =，所以22a b +=，因0,0a b >>，所以()()2222224222a b a b a b ++=+≥=，当且仅当1,12a b ==时等号成立，故2242a b +≥．。
2023年成都七中自主招生考试数学试题
成都市第七中学（林荫校区）2023面向省内外招生考试出卷人：成都七中时间：90分钟满分：100分一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1、已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①a+b+c＜0；②a﹣b+c ＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中对的的个数是（）A、1个B、2个C、3个D、4个2、如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等．若∠ABC=30°，则∠ADC 的度数是（）A、30°B、60°C、120°D、150°3、如图，△ACB内接于⊙O，D为弧BC的中点，ED切⊙O于D，与AB的延长线相交于E，若AC=2，AB=6，ED+EB=6，那么AD=（）A、2B、4C、6D、84、现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来拟定点P（x，y），那么它们各掷一次所拟定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为（）A、B、C、D、5、不等式组的所有整数解的和是（）A、﹣1B、0C、1D、26、假如自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（）A、a+1B、a2+1C、a2+2a+1D、a+2+17、如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）A、B、C、D、（1+）28、对于两个数，M=2023×20 092 009，N=2023×20 082 008．则（）A、M=NB、M＞NC、M＜ND、无法拟定9、如图，已知∠A=∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB等于（）A、12B、13C、14D、1510、若正实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2的最大值是（）A、27B、18C、15D、1211、成都七中学生网站是由成都七中四大学生组织共同管理的网站，该网站是成都七中历史上初次由四大学生组织共同合作建成的一个学生网站，其内容囊括了成都七中学生学习及生活的各个方面．某学生在输入网址“http：∥www．cdqzstu．com”中的“cdqzstu．com”时，不小心调换了两个字母的位置，则也许出现的错误种数是（）A、90B、45C、88D、4412、已知四边形ABCD，从下列条件中：（1）AB∥CD；（2）BC∥AD；（3）AB=CD；（4）BC=AD；（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）A、4种B、9种C、13种D、15种二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13、（2023•临沂）判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾（这个数的末位数字）后所得到的数与此一节尾的5倍的和能否被7整除．假如这个和能被7整除，则原数就能被7整除．如126，去掉6后得12，12+6×5=42，42能被7整除，则126能被7整除．类似地，还可通过看去掉该数的一节尾后与此一节尾的n倍的差能否被7整除来判断，则n= （n是整数，且1≤n＜7）．14、假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元．则租用该公司客车最少需用租金元．15、（2023•呼和浩特）假如关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1=0有两个实数根x1，x2，且它们满足不等式，则实数m的取值范围是．16、（2023•菏泽）黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地砖块．（用含n的代数式表达）17、（1）先化简，再求值：，其中x=﹣2，；（2）求直线y=2x+1与抛物线y=3x2+3x﹣1的交点坐标．18、如图，⊙O与直线PC相切于点C，直径AB∥PC，PA交⊙O于D，BP交⊙O于E，DE 交PC于F．（1）求证：PF2=EF•FD；（2）当tan∠APB=，tan∠ABE=，AP=时，求PF的长；（3）在（2）条件下，连接BD，判断△ADB是什么三角形？并证明你的结论．19、（2023•武汉）已知：如图，直线交x轴于O1，交y轴于O2，⊙O2与x轴相切于O点，交直线O1O2于P点，以O1为圆心O1P为半径的圆交x轴于A、B两点，PB交⊙O2于点F，⊙O1的弦BE=BO，EF的延长线交AB于D，连接PA、PO．（1）求证：∠APO=∠BPO；（2）求证：EF是⊙O2的切线；（3）EO1的延长线交⊙O1于C点，若G为BC上一动点，以O1G为直径作⊙O3交O1C于点M，交O1B于N．下列结论：①O1M•O1N为定值；②线段MN的长度不变．只有一个是对的的，请你判断出对的的结论，并证明对的的结论，以及求出它的值．20、（2023•重庆）如图，五边形ABCDE为一块土地的示意图．四边形AFDE为矩形，AE=130米，ED=100米，BC截∠F交AF、FD分别于点B、C，且BF=FC=10米．（1）现要在此土地上划出一块矩形土地NPME作为安顿区，且点P在线段BC上，若设PM 的长为x米，矩形NPME的面积为y平方米，求y与x的函数关系式，并求当x为什么值时，安顿区的面积y最大，最大面积为多少？（2）因三峡库区移民的需要，现要在此最大面积的安顿区内安顿30户移民农户，每户建房占地100平方米，政府给予每户4万元补贴，安顿区内除建房外的其余部分每平方米政府投入100元作为基础建设费，在五边形ABCDE这块土地上，除安顿区外的部分每平方米政府投入200元作为设施施工费．为减轻政府的财政压力，决定鼓励一批非安顿户到此安顿区内建房，每户建房占地120平方米，但每户非安顿户应向政府交纳土地使用费3万元．为保护环境，建房总面积不得超过安顿区面积的50%．若除非安顿户交纳的土地使用费外，政府此外投入资金150万元，请问能否将这30户移民农户所有安顿？并说明理由．21、（2023•资阳）如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象通过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不涉及点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．22、数独（sūdoku）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本发扬光大的数学智力拼图游戏．拼图是九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，每一格又细分为一个九宫格．在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不反复．下面是一个数独游戏，请完毕该游戏．（您只需要完整地填出其中的5个小九宫格即可）（评分标准：完整地填出其中的5个小九宫格且5个均对的即可给满分．未填出5个不给分．若填出超过5个且无错给满分，若填出超过5个且有任何一处错误不给分．）。
四川省成都七中自主招生数学试卷(含答案)
四川省成都七中自主招生数学试卷副标题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①a+b+c＜0；②a-b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0，其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.如图，O是线段BC的中点，A、D、C到O点的距离相等．若∠ABC=30°，则∠ADC的度数是（）A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°3.如图，△ACB内接于⊙O，D为弧BC的中点，ED切⊙O于D，与AB的延长线相交于E，若AC=2，AB=6，ED+EB=6，那么AD=（）A. 2B. 4C. 6D. 84.（课改）现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y 来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=-x2+4x上的概率为（）A. 118B. 112C. 19D. 165.不等式组{48x−3≥−15x−3<−1的所有整数解的和是（）A. -1B. 0C. 1D. 26.如果自然数a是一个完全平方数，那么与a之差最小且比a大的一个完全平方数是（）A. a+1B. a2+1C. a2+2a+1D. a+2√a+17.如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a=1，则这个正方形的面积为（）A. 7+3√52B. 3+√52C. √5+12D. （1+√2）28.对于两个数，M=2008×20 092 009，N=2009×20 082 008．则（）A. M=NB. M＞NC. M＜ND. 无法确定9.如图，已知∠A=∠B，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，则AP+PB等于（）A. 12B. 13C. 14D. 1510.若实数abc满足a2+b2+c2=9，代数式（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2的最大值是（）A. 27B. 18C. 15D. 1211.成都七中学生网站是由成都七中四大学生组织共同管理的网站，该网站是成都七中历史上首次由四大学生组织共同合作建成的一个学生网站，其内容囊括了成都七中学生学习及生活的各个方面．某学生在输入网址“http：∥www．cdqzstu．com”中的“cdqzstu．com”时，不小心调换了两个字母的位置，则可能出现的错误种数是（）A. 90B. 45C. 88D. 4412.已知四边形ABCD，从下列条件中：（1）AB∥CD；（2）BC∥AD；（3）AB=CD；（4）BC=AD；（5）∠A=∠C；（6）∠B=∠D．任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况有（）A. 4种B. 9种C. 13种D. 15种二、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13.判断一个整数能否被7整除，只需看去掉一节尾（这个数的末位数字）后所得到的数与此一节尾的5倍的和能否被7整除．如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除．如126，去掉6后得12，12+6×5=42，42能被7整除，则126能被7整除．类似地，还可通过看去掉该数的一节尾后与此一节尾的n倍的差能否被7整除来判断，则n= ______ （n是整数，且1≤n＜7）．14.假期学校组织360名师生外出旅游，某客车出租公司有两种大客车可供选择：甲种客车每辆车有40个座，租金400元；乙种客车每辆车有50个座，租金480元．则租用该公司客车最少需用租金______ 元．15.如果关于x的一元二次方程2x2-2x+3m-1=0有两个实数根x1，x2，且它们满足不等式x1x2x1+x2−3＜1，则实数m的取值范围是______ ．16. 黑、白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地砖______块．（用含n 的代数式表示）三、解答题（本大题共6小题，共24.0分）17. （1）先化简，再求值：5（x 2-2）-2（2x 2+4），其中x =-2；（2）求直线y =2x +1与抛物线y =3x 2+3x -1的交点坐标．18. 如图，⊙O 与直线PC 相切于点C ，直径AB ∥PC ，PA 交⊙O 于D ，BP 交⊙O 于E ，DE 交PC 于F ．（1）求证：PF 2=EF •FD ；（2）当tan ∠APB =12，tan ∠ABE =13，AP =√2时，求PF 的长；（3）在（2）条件下，连接BD ，判断△ADB 是什么三角形？并证明你的结论．19. 已知：如图，直线y =−34x +3交x 轴于O 1，交y 轴于O 2，⊙O 2与x 轴相切于O点，交直线O 1O 2于P 点，以O 1为圆心，O 1P 为半径的圆交x 轴于A 、B 两点，PB 交⊙O 2于点F ，⊙O 1的弦BE =BO ，EF 的延长线交AB 于D ，连接PA 、PO ． （1）求证：∠APO =∠BPO ； （2）求证：EF 是⊙O 2的切线；（3）EO 1的延长线交⊙O 1于C 点，若G 为BC 上一动点，以O 1G 为直径作⊙O 3交O1C于点M，交O1B于N．下列结论：①O1M•O1N为定值；②线段MN的长度不变．只有一个是正确的，请你判断出正确的结论，并证明正确的结论，以及求出它的值．20.如图，五边形ABCDE为一块土地的示意图．四边形AFDE为矩形，AE=130米，ED=100米，BC截∠F交AF、FD分别于点B、C，且BF=FC=10米．（1）现要在此土地上划出一块矩形土地NPME作为安置区，且点P在线段BC上，若设PM的长为x米，矩形NPME的面积为y平方米，求y与x的函数关系式，并求当x为何值时，安置区的面积y最大，最大面积为多少？（2）因三峡库区移民的需要，现要在此最大面积的安置区内安置30户移民农户，每户建房占地100平方米，政府给予每户4万元补助，安置区内除建房外的其余部分每平方米政府投入100元作为基础建设费，在五边形ABCDE这块土地上，除安置区外的部分每平方米政府投入200元作为设施施工费．为减轻政府的财政压力，决定鼓励一批非安置户到此安置区内建房，每户建房占地120平方米，但每户非安置户应向政府交纳土地使用费3万元．为保护环境，建房总面积不得超过安置区面积的50%．若除非安置户交纳的土地使用费外，政府另外投入资金150万元，请问能否将这30户移民农户全部安置？并说明理由．21.如图，已知O为坐标原点，∠AOB=30°，∠ABO=90°，且点A的坐标为（2，0）．（1）求点B的坐标；（2）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；（3）在（2）中的二次函数图象的OB段（不包括点O、B）上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．22.数独（sūdoku）是一种源自18世纪末的瑞士，后在美国发展、并在日本发扬光大的数学智力拼图游戏．拼图是九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状，每一格又细分为一个九宫格．在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、每一行的数字都不重复．下面是一个数独游戏，请完成该游戏．（您只需要完整地填出其中的5个小九宫格即可）（评分标准：完整地填出其中的5个小九宫格且5个均正确即可给满分．未填出5个不给分．若填出超过5个且无错给满分，若填出超过5个且有任何一处错误不给分．）答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，∵抛物线对称轴在y轴右侧，∴对称轴为x=＞0，又∵a＜0，∴b＞0，故abc＜0；由图象可知：对称轴为x=＜1，a＜0，∴-b＞2a，∴b+2a＜0，由图象可知：当x=1时y＞0，∴a+b+c＞0；当x=-1时y＜0，∴a-b+c＜0．∴②、③正确．故选B．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．2.【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC=180°，即∠ADC=150°．故选D．根据圆内接四边形的性质即可求出∠ADC的度数．本题考查的是圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．3.【答案】B【解析】解：设AD与BC交于点F∵ED+EB=6∴DE2=BE•AE=BE（BE+AB）=BE2+BE•AB∴（DE+BE）（DE-BE）=BE•AB即6×（DE-BE）=BE×6∴DE=2BE∵DE2=BE2+BE•AB∴BE=2，DE=4连接BD，则∠EDB=∠EAD∵D为弧BC的中点∴∠DAC=∠BAD∴∠CBD=∠BDE∴BC∥DE∴BF：DE=AB：AE∴BF=3∵AD是∠BAC的平分线∴AB：BF=AC：CF∴CF=1∴BC=BF+CF=4∴BF•CF=AF•DF=3∵BF：ED=AF：AD=AF：（AF+DF）∴DF=1，AF=3∴AD=AF+DF=4．设AD与BC交于点F，由切线长定理知DE2=BE•AE=BE（BE+AB）=BE2+BE•AB，可求得DE=2BE．利用DE2=BE2+BE•AB求得，BE=2，DE=4，连接BD，由弦切角的性质知，∠EDB=∠EAD，得到BF：DE=AB：AE作为相等关系可求出BF=3，根据AD是∠BAC的平分线，由角的平分线定理得，AB：BF=AC：CF，由相交弦定理得，BF•CF=AF•DF=3，所以可求出DF=1，AF=3，从而求得AD的值．本题利用了切割线定理，切线长定理，弦切角的性质，圆周角定理，角的平分线定理，相交弦定理，平行线的判定和性质求解，综合性比较强．4.【答案】B【解析】解：点P的坐标共有36种可能，其中能落在抛物线y=-x2+4x上的共有（1，3）、（2，4）、（3，3）3种可能，其概率为．故选：B．因为掷骰子的概率一样，每次都有六种可能性，因此小莉和小明掷骰子各六次，P的取值有36种．可将x、y值一一代入找出满足抛物线的x、y，用满足条件的个数除以总的个数即可得出概率．本题综合考查函数图象上点的坐标特征与概率的确定．5.【答案】C【解析】解：由不等式①得由不等式②得x＜2所以不等组的解集为不等式的整数解0，1，则所有整数解的和是1．故选C．首先解不等式组，再从不等式组的解集中找出适合条件的整数即可．正确解出不等式的解集是解决本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．6.【答案】D【解析】解：∵自然数a是一个完全平方数，∴a的算术平方根是，∴比a的算术平方根大1的数是+1，∴这个平方数为：（+1）2=a+2+1．故选：D．当两个完全平方数是自然数时，其算术平方根是连续的话，这两个完全平方数的差最小．解此题的关键是能找出与a之差最小且比a大的一个完全平方数是紧挨着自然数后面的自然数：+1的平方．7.【答案】A【解析】解：根据图形和题意可得：（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，则方程是（1+b）2=b（1+2b）解得：b=，所以正方形的面积为（1+）2=．故选A．从图中可以看出，正方形的边长=a+b，所以面积=（a+b）2，矩形的长和宽分别是a+2b，b，面积=b（a+2b），两图形面积相等，列出方程得=（a+b）2=b（a+2b），其中a=1，求b的值，即可求得正方形的面积．本题的关键是从两图形中，找到两图形的边长的值，然后利用面积相等列出等式求方程，解得b的值，从而求出边长，求面积．8.【答案】A【解析】解：根据数的分成和乘法分配律，可得M=2008×（20 090 000+2009）=2008×20 090 000+2008×2009=2008×2009×10000+2008×2009=2009×20 080 000+2008×2009，N=2009×（20 080 000+2008）=2009×20 080 000+2009×2008，所以M=N．故选：A．根据有理数大小比较的方法，以及乘法分配律可解．熟练运用乘法分配律进行数的计算，然后比较各部分即可．9.【答案】B【解析】解：如图，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，∴AA1∥PP1∥BB1，过点P作PF⊥AA1，交AA1于点D，交BB1于点F，延长BP交AA1于点C，作CG⊥BB1，交BB1于点G，∴四边形DFB1A1，DPP1A1，FPP1B1，FDGC，CGB1A1是矩形，∴DA1=PP1=FB1=16，CG=A1B1=12，∵AA1∥BB1，∴∠B=∠ACB，∵∠A=∠B∴∠A=∠BCA，∴AP=CP，∵PF⊥AA1，∴点D是AC的中点，∵AA1=17，∴AD=CD=17-16=1，BF=20-16=4，FG=CD=1，BG=4+1=5，∴BP+PA=BP+PC=BC===13．故选B．如图，AA1，PP1，BB1均垂直于A1B1，过点P作PF⊥AA1，交AA1于点D，交BB1于点F，延长BP交AA1于点C，作CG⊥BB1，交BB1于点G，然后根据矩形和直角三角形的性质求解．本题通过作辅助线，构造矩形和直角三角形，利用矩形和直角三角形的性质和勾股定理求解．10.【答案】A【解析】解：∵a2+b2+c2=（a+b+c）2-2ab-2ac-2bc，∴-2ab-2ac-2bc=a2+b2+c2-（a+b+c）2①∵（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc；又（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=3a2+3b2+3c2-（a+b+c）2=3（a2+b2+c2）-（a+b+c）2②①代入②，得3（a2+b2+c2）-（a+b+c）2=3×9-（a+b+c）2=27-（a+b+c）2，∵（a+b+c）2≥0，∴其值最小为0，故原式最大值为27．故选A．根据不等式的基本性质判断．本题主要考查了不等式a2+b2≥2ab．11.【答案】D【解析】解：“cdqzstu．com”中共有10个字母；若c与后面的字母分别调换，则有：10-1=9种调换方法；依此类推，调换方法共有：9+8+7+…+1=45种；由于10个字母中，有两个字母相同，因此当相同字母调换时，不会出现错误．因此出现错误的种数应该是：45-1=44种．故选D．“cdqzstu．com”中字母有10个．相同字母有2个．若第一个错误的字母是第一个字母c，那么c和它后面除c外任何一个字母调换后都可能出现错误，则错误的种类可能有8种．若第1个错误的字母是第二个字母d，排除和第一个字母已经计算过的错误后，可能出现的错误应该有8种，按照此种方法，错误的种类依次为：7，6，5，4，3，2，1；共有：16+7+6+5+4+3+2+1=44种．解答本题时需注意：相同字母调换后结果不会出现错误．12.【答案】B【解析】解：根据平行四边形的判定，符合四边形ABCD是平行四边形条件的有九种：（1）（2）；（3）（4）；（5）（6）；（1）（3）；（2）（4）；（1）（5）；（1）（6）；（2）（5）；（2）（6）共九种．故选B．平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定，任取两个进行推理．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．13.【答案】2【解析】解：∵和的时候，是尾数的5倍，能被7整除，任意一个正整数写成P=10a+b，b是P的个位数．根据已知结论，P是7的倍数等价于a+5b是7的倍数，而a+5b=a-2b+7b，a+5b和a-2b相差7的倍数，所以它们两个同时是7的倍数或者同时不是7的倍数．因此n=2符合要求．∴差的时候，应是尾数的2倍，∴n=2．故填2．根据题意，知方法一是去掉一节尾（这个数的末位数字）后所得到的数与此一节尾的5倍的和能否被7整除．所以若改为求差，则应是尾数的2倍．因为要能够被7整除，根据方法一，即可看出和的时候，是尾数的5倍，则差的时候，应是尾数的2倍．14.【答案】3520【解析】解：若只租甲种客车需要360÷40=9辆．若只租乙种客车需要8辆，因而两种客车用共租8辆．设甲车有x辆，乙车有8-x辆，则40x+50（8-x）≥360，解得：x≤4，整数解为0、1、2、3、4．汽车的租金W=400x+480（8-x）即W=-80x+3840W的值随x的增大而减小，因而当x=4时，W最小．故取x=4，W的最小值是3520元．故答案为：3520．若只租甲种客车需要360÷40=9辆．若只租乙种客车需要8辆，但有一辆不能坐满．只租甲种客车正好坐满，这种方式一定最贵．因而两种客车用共租8辆．两种客车的载客量大于360，根据这个不等关系，就可以求出两种客车各自的数量，进而求出租金．本题是一次函数与不等式相结合的问题，能够通过条件得到两种客车共租8辆，是解决本题的关键．15.【答案】-1＜m≤12【解析】解：根据一元二次方程根与系数的关系知，x1+x2=1，x1•x2=，代入不等式得＜1，解得m＞-1，又∵方程有两个实数根，∴△=b2-4ac≥0，即（-2）2-4×2×（3m-1）≥0，解得m≤，综合以上可知实数m的取值范围是-1＜m≤．故本题答案为：-1＜m≤．把两根之和与两根之积代入已知条件中，求得m的取值范围，再根据根的判别式求得m的取值范围．最后综合情况，求得m的取值范围．一元二次方程根与系数的关系为，x1+x2=-，x1•x2=，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．16.【答案】4n+2【解析】解：分析可得：第1个图案中有白色地砖4×1+2=6块．第2个图案中有白色地砖4×2+2=10块．…第n个图案中有白色地砖4n+2块．通过观察，前三个图案中白色地砖的块数分别为：6，10，14，所以会发现后面的图案比它前面的图案多4块白色地砖，可得第n个图案有4n+2块白色地砖．本题考查学生通过观察、归纳的能力．此题属于规律性题目．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案有4n+2块白色地砖．17.【答案】解：（1）5（x2-2）-2（2x2+4）=5x2-10-4x2-8=x2-18=（-2）2-18=4-18=-14（2）把y=2x+1代入y=3x2+3x-1，可得3x2+x-2=0，解得x=23或x=-1，①当x=23时，y=2×23+1=43+1=213②当x=-1时，y=2×（-1）+1=-2+1=-1所以直线y=2x+1与抛物线y=3x2+3x-1的交点坐标是（23，213）、（-1，-1）．【解析】（1）首先去掉括号，再合并同类项，然后把x=-2代入，求出算式5（x2-2）-2（2x2+4）的值是多少即可．（2）把y=2x+1代入y=3x 2+3x-1，求出x 的值是多少，进而求出y 的值，确定出直线y=2x+1与抛物线y=3x 2+3x-1的交点坐标即可．（1）此题主要考查了整式的化简求值问题，解答此题的关键是注意去括号时符号的变化．（2）此题还考查了直线与抛物线的交点坐标的求法，采用代入法即可．18.【答案】解：（1）∵AB ∥PC ，∴∠BPC =∠ABE =∠ADE ．又∵∠PFE =∠DFP ，△PFE ∽△DFP ，∴PF ：EF =DF ：PF ，PF 2=EF •FD ．（2）连接AE ，∵AB 为直径，∴AE ⊥BP ．∵tan ∠APB =12=AE PE ，tan ∠ABE =13=AE BE ，令AE =a ，PE =2a ，BE =3a ，AP =√5a =√2，∴a =√105=AE ，PE =25√10，BE =3√105． ∵PC 为切线，∴PC 2=PE •PB =4．∴PC =2．∵FC 2=FE •FD =PF 2∴PF =FC =PC 2=1，∴PF =1．（3）△ADB 为等腰直角三角形．∵AB 为直径，∴∠ADB =90°．∵PE •PB =PA •PD ，∴PD =2√2BD =√BP 2−PD 2=√2=AD ．∴△ADB 为等腰Rt △．【解析】（1）欲证PF 2=EF•FD ，可以证明△PFE ∽△DFP 得出；（2）求PF 的长，根据∠APB 的正切，需连接AE ，求出AE ，PE ，BE 的长，再根据PC 为切线，求出PC 的长，通过相似的性质，切线的性质得出PF=FC 即可； （3）判断△ADB 是什么三角形，根据圆周角定理得出∠ADB=90°，再求出AD ，DB ，AB 的长，可以得出△ADB 为等腰Rt △．乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过证明三角形相似得出，同时综合考查了三角函数，三角形的判断，切线的性质等．19.【答案】解：（1）连接O2F．∵O2P=O2F，O1P=O1B，∴∠O2PF=∠O2FP，∠O1PB=∠O1BP，∴∠O2FP=∠O1BP．∴O2F∥O1B，得∠OO2F=90°，∴∠OPB=1∠OO2F=45°．2又∵AB为直径，∴∠APB=90°，∴∠APO=∠BPO=45°．（2）延长ED交⊙O1于点H，连接PE．∵BO为切线，∴BO2=BF•BP．又∵BE=BO，∴BE2=BF•BP．而∠PBE=∠EBF，∴△PBE∽△EBF，∴∠BEF=∠BPE，∴BE=BH，有AB⊥ED．又由（1）知O2F∥O1B，∴O2F⊥DE，∴EF为⊙O2的切线．（3）MN的长度不变．过N作⊙O3的直径NK，连接MK．则∠K=∠MO1N=∠EO1D，且∠NMK=∠EDO1=90°，又∵NK=O1E，∴△NKM≌△EDO1，∴MN=ED．而OO1=4，OO2=3，∴O1O2=5，∴O1A=8．即AB=16，∵EF与圆O2相切，∴O2F⊥ED，则四边形OO2FD为矩形，∴O2F=OD，又圆O2的半径O2F=3，∴OD=3，∴AD=7，BD=9．ED2=AD•BD，∴ED=3√7．故MN的长度不会发生变化，其长度为3√7．【解析】（1）可通过度数来求两角相等．连接O2F，那么∠O2PF=∠O2FP=∠OBP，因此O2F∥AB，这样可得出圆O2的圆心角∠OO2F=90°．因此∠OPF=45°，那么∠APO=90°-45°=45°，因此两角相等．（2）由于（1）中得出了O2F∥AB，因此只要证得DE⊥AB，就能得出DE⊥O2F，也就得出了DE是圆O2的切线的结论，那么关键是证明DE⊥AB．可通过垂径定理来求．延长ED交⊙O1于点H，那么就要求出DE=DH或BE=BH，那么就要先求出∠BEH=∠BHE．连接PE，那么∠BHE=∠EPB，那么证∠EPB=∠DEB即可．可通过相似三角形BEF和BPE来求得，这两个三角形中，已知了一个公共角，我们再看夹这个角的两组对边是否成比例．由于BO2=BF•BP，而BO=BE，因此BE2=BF•BP，由此可得出两三角形相似，进而可根据前面分析的步骤得出本题的结论．（3）MN的长度不变．这是因为点G是BC上的一个动点，但的O1C长度是不变的，它等于⊙的半径8，另外∠BO1C的大小也是始终不变的，因为所有的⊙O3都是等圆，故弧MGN也都是相等的，故弦MN都是相等的，求MN的长，可通过构建全等三角形来求解，过N作⊙O3的直径NK，连接MK，那么三角形NKM和EDO1全等，那么只要求出DE的长即可，根据直线的解析式，可得出O1，O2的坐标，也就求出了OO1，OO2的值，也就能得出圆O1的半径的长，进而可求出AD，BD的长然后根据DE2=AD•DB即可得出MN的值．本题主要考查了圆与圆的位置关系，全等三角形，相似三角形的判定和性质以及一次函数等知识点的综合应用．图中边和角较多，因此搞清楚图中边和角的关系是解题的关键．20.【答案】解：（1）延长MP交AF于点H，则△BHP为等腰直角三角形．BH=PH=130-xDM=HF=10-BH=10-（130-x）=x-120则y=PM•EM=x•[100-（x-120）]=-x2+220x由0≤PH≤10得120≤x≤130因为抛物线y=-x2+220x的对称轴为直线x=110，开口向下．所以，在120≤x≤130内，当x=120时，y=-x2+220x取得最大值．其最大值为y=12000（㎡）（2）设有a户非安置户到安置区内建房，政府才能将30户移民农户全部安置．由题意，得30×100+120a≤12000×50%×10×0.02≤150+3a30×4+（12000-30×100-120a）×0.01+90+1002≤a≤25解得181721因为a为整数．所以，到安置区建房的非安置户至少有19户且最多有25户时，政府才能将30户移民农户全部安置；否则，政府就不能将30户移民农户全部安置．【解析】（1）要求矩形的面积就应该知道矩形的长和宽，可以延长MP交AF于点H，用PH表示出PM和PN，然后根据矩形的面积=长×宽，得出函数关系式，然后根据PH的取值范围和函数的性质，得出面积最大值．（2）本题的不等式关系为：非安置户的建房占地面积+安置户的建房占地面积≤安置区面积×50%；安置户的补助费+安置户的基础建设费+安置户的设施施工费≤150万元+非安置户缴纳的土地使用费．以此来列出不等式，求出自变量的取值范围．本题考查了二次函数和一元一次不等式的综合应用，读清题意，找准等量关系是解题的关键．21.【答案】解：（1）在Rt△OAB中，∵∠AOB=30°，∴OB =√3，过点B 作BD 垂直于x 轴，垂足为D ，则OD =32，BD =√32， ∴点B 的坐标为（32，√32）．（1分）（2）将A （2，0）、B （32，√32）、O （0，0）三点的坐标代入y =ax 2+bx +c ，得{4a +2b +c =094a +32b +c =√32c =0（2分） 解方程组，有a =−2√33，b =4√33，c =0．（3分） ∴所求二次函数解析式是y =−2√33x 2+4√33x ．（4分）（3）设存在点C （x ，−2√33x 2+4√33x ）（其中0＜x ＜32），使四边形ABCO 面积最大 ∵△OAB 面积为定值，∴只要△OBC 面积最大，四边形ABCO 面积就最大．（5分）过点C 作x 轴的垂线CE ，垂足为E ，交OB 于点F ，则S △OBC =S △OCF +S △BCF =12|CF |•|OE |+12|CF |•|ED |=12|CF |•|OD |=34|CF |，（6分）而|CF |=y C -y F =−2√33x 2+4√33x -√33x =-2√33x 2+√3x ， ∴S △OBC =−√32x 2+3√34x ．（7分） ∴当x =34时，△OBC 面积最大，最大面积为9√332．（8分） 此时，点C 坐标为（34，5√38），四边形ABCO 的面积为25√332．（9分） 【解析】（1）在Rt △OAB 中，由∠AOB=30°可以得到OB=，过点B 作BD 垂直于x 轴，垂足为D ，利用已知条件可以求出OD ，BD ，也就求出B 的坐标；（2）根据待定系数法把A ，B ，O 三点坐标代入函数解析式中就可以求出解析式；（3）设存在点C （x ，x 2+x ），使四边形ABCO 面积最大，而△OAB 面积为定值，只要△OBC 面积最大，四边形ABCO 面积就最大．过点C 作x 轴的垂线CE ，垂足为E ，交OB 于点F ，则S △OBC =S △OCF +S △BCF =|CF|•|OE|+|CF|•|ED|=|CF|•|OD|=|CF|，而|CF|=y C-y F=x2+x-x=-x2+x，这样可以得到S△OBC =x2+x，利用二次函数就可以求出△OBC面积最大值，也可以求出C的坐标．本题考查了待定系数法求二次函数解析式、图形变换、解直角三角形、利用二次函数探究不规则图形的面积最大值重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．22.【答案】解：【解析】根据横列、竖列和方格的限制条件排除各个点不可能的数字，并从1-9将各个可能的数字用小字体逐个写进每个空白的格子．然后再进行审查即可．本题要根据已有横列和竖列的数字来划定要填的空的数的范围，然后再逐个进行试验，直到发现某一个数字在各个横列、竖列或方格中出现的次数仅一次时，这个数字就填写正确了．然后重复上面的步骤进行填写即可．第21页，共21页。
成都七中初升高自主招生考试试题集
成都七中初升高自主招生考试试题数学试题卷I （选择题，共36分）一．选择题：本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．计算3×(-2) 的结果是( )A ．5B ．-5C ．6D ．-62．如图1，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点， ∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A 等于( ) A ．60° B ．70°C ．80°D ．90°3．下列计算中，正确的是( )A ．020=B ． 623)(a a = C ．93=± D ．2a a a =+4．如图2，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的周长为( ) A ．6 B ．9 C ．12D ．155．把不等式2x -< 4的解集表示在数轴上，正确的是( )2011年成都石室中学实验学校自主招生考试试题理化试题（考试时间120分钟，满分200分）可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Fe 56 Cu 64第Ⅰ卷（选择题，共81分）一、选择题（每小题3分，共66分。
每小题只有一个选项是最符合题目要求的）1. 我市正在推广“LED ”绿色节能光源。
砷化镓（GaAs ）是光源材料，Ga 为+3价，As 的化合价为（ ） A. ＋3 B. ﹣3 C. ＋5 D. ﹣52. 下列物品属于有机合成材料的是（ ）A. 导电塑料B. 铝制电缆C. 越王勾践青铜剑D. 羊毛绒纺织品 3. 化学与人们的生活紧密相连，用所学化学知识判断，下列做法或说法错误．．的是（ ） A. 天然气、瓦斯等气体和面粉、煤粉等固体粉尘都易发生爆炸 B. 多吃水果蔬菜可以补充维生素，过多摄入微量元素不利健康C. 将自行车擦干净，并将其链条、钢圈等构件抹上油，可有效防止生锈D. 利用洗涤剂的乳化功能，可将白衬衣上的蓝墨水渍迅速洗掉4. 氯化钴（CoCl 2）晶体因含结晶水数目不同而呈现不同的颜色，故可作硅胶干燥剂的指示剂和隐形墨水。
四川成都七中初中学校2024-2025学年七年级上学期入学分班考试数学试题(解析版)
2023~2024学年成都七中初中学校新初一入学分班考试数学试题（卷）（满分：100分时间：90分钟）一、选择题（将正确答案的番号填在括号里．每小题4分，共20分）1要使四位数104□能同时被3和4整除，□里应填（）．.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】该题主要考查了数的整除，解答此题应结合题意，根据能被3和4整除的数的特征进行解答即可．根据能被4整除的数的特征：即后两位数能被4整除；能被3整除的数的特征：各个数位上数的和能被3整除，进行解答即可．+++=能被3整除，不【详解】解：A：后两位数是41，不能被4整除，各个数位上数的和是10416,6符合题意；+++=不能被3整除，不符合题意；B：后两位数是42，不能被4整除，各个数位上数的和是10427,7+++=不能被3整除，不符合题意；C：后两位数是43，不能被4整除，各个数位上数的和是10438,8+++=能被3整除，符合题意．D：后两位数是44，能被4整除，各个数位上数的和是10449,9故选：D．2. 用一只平底锅煎饼，每次只能放两只饼，煎熟一只饼需要2分钟（正反两面各需1分钟），那么煎熟3只饼至少需要_____分钟．（）A. 4B. 3C. 5D. 6【答案】B【解析】【分析】本题考查了推理与论证，在解答此类题目时要根据实际情况进行推论，既要节省时间又不能造成浪费．若先把两只饼煎熟，则在煎第三张饼时，锅中只有一只饼而造成浪费，所以应把两只饼的两面错开煎，进而求解即可．【详解】∵若先把两只饼煎至熟，势必在煎第三只饼时，锅中只有一只饼而造成浪费，∴应先往锅中放入两只饼，先煎熟一面后拿出一只，再放入另一只，当再煎熟一面时把熟的一只拿出来，再放入早拿出的那只，使两只饼同时熟， ∴煎熟3只饼至少需要3分钟． 故选：B ．3. 投掷3次硬币，有2次正面朝上，1次反面朝上，那么第4次投掷硬币正面朝上的可能性是（ ） A.12B.14C.13D.23【答案】A 【解析】【分析】本题主要考查可能性的大小，熟练根据概率的知识得出可能性的大小是解题的关键．根据每次投掷硬币正面朝上的可能性都一样得出结论即可． 【详解】解：每次投掷硬币正面朝上的可能性都为12． 故选：A ．4. 一串珠子按照8个红色2个黑色依次串成一圈共40粒．一只蟋蟀从第二个黑珠子开始其跳，每次跳过6个珠子落在下一个珠子上，这只蟋蟀至少要（ ）次，才能又落在黑珠子上． A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】A 【解析】【分析】本题关键是理解这只蟋蟀跳跃的规律，难点是得出跳过的珠子数与循环周期之间的关系． 这是一个周期性的问题，蟋蟀每次跳过6粒珠子，则隔7个珠子，把珠子编上号码，将第2粒黑珠记为0，以后依次将珠子记为1,2,3,39…．其中0,9,10,19,20,29,30,39的8颗珠子是黑色；蚱蜢跳过的珠子号码依次是0,7,14,21,28,35，42,49…，因为周期是40，再根据周期性的知识解决即可． 【详解】解：观察可知，每次跳过6粒珠子，则隔7个珠子，将第2粒黑珠记为0，以后依次将珠子记为1,2,3,39…．其中0,9,10，19,20,29,30,39的8颗珠子是黑色．蚱蜢跳过的珠子号码依次是0,7,14,21,28,35,42,49…，即7的倍数； 周期应是40,4940−9=，就相当于一圈后落在“9”号黑珠子上； 即这只蟋蟀至少要7次，才能又落在黑珠子上；故选：A．5. 仓库里的水泥要全部运走，第一次运走了全部的12，第二次运走了余下的13，第三次运走了第二次余下的14，第四次运走了第三次余下的15，第五次运走了最后剩下的19吨．这个仓库原来共有水泥_____吨．（）A. 78B. 56C. 95D. 135【答案】C【解析】【分析】本题考查分数除法的应用，此题应从后向前推算，分别求出第三，二，一次运过之后，还剩下的数量，即可求解．【详解】∵第五次只剩下19吨，∴第三次运过之后，还剩下195 19154÷−=吨，那么第二次运过之后，还剩下951951443÷−=吨，那么第一次运过之后，还剩951951332÷−=吨那么没经过运输之前，仓库中有9519522÷=吨，故选：C ．二、填空题（每小题3分，共30分）6.132吨=（）吨（）千克．70分=（）小时．【答案】①. 3 ②. 500 ③. 7 6【解析】【分析】根据1吨=1000千克、1小时=60分计算即可．【详解】解：∵11000=5002×千克，∴132吨=（3）吨（500）千克．∵70÷60=76小时，∴70分=（76）小时． 故答案为：3，500；76．【点睛】本题考查了单位换算，熟练掌握1吨=1000千克、1小时=60分是解答本题的关键． 7. 把0.45:0.9化成最简整数比是_____∶_____；11:812的比值是_____． 【答案】 ①. 1 ②. 2 ③. 1.5 【解析】【分析】此题主要考查了化简比和求比值的方法，另外还要注意化简比的结果是一个比，它的前项和后项都是整数，并且是互质数；而求比值的结果是一个商，可以是整数、小数或分数．用比的前项除以后项即可．详解】解：0.45:0.91:2=，11111:12 1.58128128=÷=×= 故答案为∶1，2，1.5． 8. 111112123123100+++++++++++ ． 【答案】200101【解析】【分析】先确定，分数的变化规律，后整理计算即可． 【详解】∵12112()123n (1)1n n n n ==−++++++ ，∴111112123123100+++++++++++ =1111112()1223100101−+−++−=12(1)101−=200101． 【点睛】本题考查了分数中的规律问题，熟练掌握拆项法找规律计算是解题的关键． 9. 定义运算：35a b a ab kb =++ ，其中a 、b 为任意两个数， k 为常数．比如：27325277k =×+××+ ，若5273= ，则85= _____．【答案】244 【解析】【分析】此题考查了有理数的四则混合运算和解一元一次方程，根据5273= 得到方程，解方程得到4k =，【再计算85 即可．【详解】解：由5235552273k =×+××+= ， 解得4k =，∴853*********=×+××+×= ， 故答案为：24410. 某年的10月份有四个星期四、五个星期三，这年的10月8日是星期_____． 【答案】一 【解析】【分析】本题主要考查数字规律，有理数混合运算，根据题意，找出循环规律，是解题的关键． 【详解】解：10月有31天，四个星期四，五个星期三，∴31号是星期三，31823−=（天），2373÷=（周） 2（天），把星期三往前推2天，是星期一， ∴10月8号是星期一， 故答案为：一．11. 某小学举行数学、语文、科学三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，语文179人， 科学165人，参加两科的：数学、语文143人， 数学、科学116人，语文、科学97人．三科都参加的：89人，这个小学参加竞赛的总人数为_____人． 【答案】280 【解析】【分析】根据题意，至少参加一科的：数学203人，语文179人，常识165人．参加两科的：数学，语文143人，数学、常识116人，语文、常识97人，三科都参加的有89人．根据容斥问题，参加三科的人数为：(20317916514311697)++−−−人，由于三科都参加的有89人，所以这个小学参加竞赛的总人数为：(2031791651431169789)++−−−+．据此解答．本题考查了容斥问题的灵活运用，关键是明确它们之间的包含关系．【详解】解：2031791651431169789280++−−−+=（人） 答：这个小学参加竞赛的总人数有280人． 故答案为：280．12. 一个长方体的长、宽、高之比为3:2:1，若长方体的棱长总和等于正方体的棱长总和，则长方体的表面积与正方体的表面积之比为_____，长方体的体积与正方体的体积之比为_____． 【答案】 ①. 11:12 ②. 3:4【解析】【分析】此题主要考查了长方体和正方体的棱长总和、表面积、体积的计算，直接把数据代入公式解答即可．设长方体的长宽高分别为3a 、2a 和a ，则其棱长之和为()43224a a a a ×++=，从而正方体棱长为24122a a ÷=．根据长方体和正方体的表面积公式计算求得长方体表面积与正方体的表面积比；根据长方体和正方体的体积公式计算求得长方体体积与正方体的体积之比【详解】设长方体的长、宽、高分别为3a 、2a 和a ，则其棱长之和为()43224a a a a ×++=，从而正方体棱长为24122a a ÷=．长方体表面积为()22323222a a a a a a a ××+×+×=， 正方体表面积为()226224a a ×=，其比为2222:2411:12a a =．长方体体积为 3326a a a a ××=，正方体体积为()3328a a =，其比为336:83:4a a =． 故答案为：11:12； 3:4．13. 甲、乙两地相距300千米，客车和货车同时从两地相向开出，行驶2小时后，余下的路程与已行的路程之比是3：2，两车还需要经过_____小时才能相遇． 【答案】3 【解析】由于客车和货车的速度和一定，行驶的时间和路程成正比例，所以根据“余下的路程与已行的路程之比是3：2”可得：余下的路程需要的时间与已行的时间之比也是3：2，据此求解即可． 【详解】由题意得：2233÷=(小时) 故答案：3．14. 如图，长方形ABCD 中，12AB =厘米，8BC =厘米，平行四边形BCEF 的一边BF 交CD 于G ，若梯形CEFG 的面积为64平方厘米，则DG 长为_____．【答案】4厘米 【解析】为【分析】本题考查了梯形的面积公式，一元一次方程的实际运用，解题的关键是设未知数，找准等量关系，建立方程求解．根据图形可得=64ABGD CEFG S S =梯形梯形，设DG 的长度为x 厘米， 则有()1128642x +××=，解出方程即可． 【详解】解：由图可知：长方形ABCD 和平行四边形BCEF 底边和高相同，故它们面积相同，GCB ABCD ABGD S S S =− 矩形梯形，64BCEF GCB CEFG S S S =−= 梯形平方厘米，， =64ABGD CEFG S S ∴=梯形梯形，设DG 的长度为x 厘米， 则()1128642x +××= ()128642x +××896128x +=832x =4x =，即DG 长为4 厘米， 故答案为：4厘米．15. 自然数按一定的规律排列如下：从排列规律可知，99排第_____行第_____列． 【答案】 ①. 2 ②. 10 【解析】【分析】本题考查了规律问题的探究．通过观察知第1行中的每列中的数依次是1、2、3、4、5…的平方；在第2行中的每列中的数从第2列开始依次比相应的第1行每列中的数少1；据此规律第1行中的10列的数是10的平方，第2行中的10列的数是100199−=．【详解】解：由图表可得规律：每列的第1个数就是列的平方； 10的平方是100，99在100的下方， 所以99排在第2行第10列， 故答案为：2；10．三、计算题（能用简便方法计算的请用简便方法计算．共20分）16. （1） 计算：2255977979 +÷+ ；（2） 计算：121513563+++×； （3） 计算：47911131531220304256−+−+−； （4） 计算：11111155991313171721++++×××××． 【答案】（1）13；（2）136；（3）78；（4）521【解析】（1）将229779 + 变形为551379+，可进行简便运算；（2）利用乘法分配律，将原式变形为11525136353++×+×进行简便运算； （3）利用裂项相消法进行简便运算； （4）利用裂项相消法进行简便运算； 【详解】解 ：（1）2255977979 +÷+6565557979+÷+5555137979=+÷+13=；（2）121513563+++× 11525136353=++×+× 35252353=×+× 5223=+ 136=；（3）47911131531220304256−+−+− 4111111111133445566778 =−+++−+++−+4111111111133445566778=−−++−−++−− 118=-78=； (4)11111155991313171721++++××××× 11111111111455991313171721 =×−+−+−+−+−111421 =×−120421=× 521=． 四、解答题（请写出必要的解题过程．每小题6分，共30分）17. 如图所示是两个正方形，大正方形边长为8，小正方形边长为4，求图中阴影部分的面积．（单位：厘米，π取3.14）【答案】20.56平方厘米 【解析】【分析】本题考查计算不规则图形的面积，BEF △的面积减去小正方形与扇形GAF 面积之差，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：()21184444π424 ×+×−×−××24164π=−+ 84 3.14=+×20.56=(平方厘米)答：阴影部分面积为20.56平方厘米．18. 学校计划用一批资金购置一批电脑，按原价可购置60台，现在这种电脑打折优惠，现价只是原价的75%，用这批资金现在可购买这种电脑多少台？【答案】用这批资金现在可购买这种电脑80台． 【解析】1，用1乘上60台，就是总钱数，然后用1乘上75%求出现在的单价，再用总钱数除以现在的单价即可． 【详解】设原来每台的单价是1(160)(175%)80×÷×=台答：用这批资金现在可购买这种电脑80台19. 在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占48%、62.5%和23．已知三缸酒精溶液总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙，丙两缸酒精溶液的总量．三缸溶液混合后，所含纯酒精的百分数将达56%．那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？【答案】丙缸中纯酒精的量是12千克 【解析】【分析】本题考查了百分数的应用，一元一次方程的应用；根据题意易得甲缸酒精溶液的量=乙缸酒精溶液的量+丙缸酒精溶液的量50=千克，从而可设丙缸中酒精溶液的量是x 千克，则乙缸中酒精溶液的量是()50x −千克，然后根据题意可得：()25048%62.5%5010056%3x x ×+−+×，最后进行计算即可解答． 【详解】解： 三缸酒精溶液总量是100千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙，丙两缸酒精溶液的总量，∴甲缸酒精溶液的量=乙缸酒精溶液的量+丙缸酒精溶液的量1100502=×=(千克)， 设丙缸中酒精溶液的量是x 千克，则乙缸中酒精溶液的量是()50x −千克，由题意得：()25048%62.5%5010056%3x x ×+−+×， 解得：18x =， ∴丙缸中纯酒精量218123=×=(千克)， ∴丙缸中纯酒精的量是12千克． 20. 一家工厂里2个男工和4个女工一天可加工全部零件的310，8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件．如果把单独让男工加工和单独让女工加工进行比较，要在一天内完成任务，女工要比男工多多少人？【答案】女工要比男工多18人．【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用——工程问题．解题的关键是熟练掌握工作量与工作效率和工作时间关系，列方程计算．设男工的工作效率为x ，女工的工作效率为y ，根据2个男工和4个女工一天可加工全部零件的310，8个男工和10个女工一天内可加工完全部零件，列出方程组，解方程组即可．【详解】设男工的工作效率为x ，女工的工作效率为y ， 根据题意得，324108101x y x y += +=， 解得，112130x y = =， 如果单独让男工加工或单独让女工加工， 需要女工113030÷=（人）， 需要男工111212÷=（人）， 女工比男工多181230=−（人）． 的故女工比男工要多18人．21. 如图，有一条三角形的环路，A 至B 段是上坡路，B 至C 段是下坡路，A 至C 段是平路，A 至B 、B 至C 、C 至A 三段距离的比是345：：，小琼和小芳同时从A 出发，小琼按顺时针方向行走，小芳按逆时针方向行走，2个半小时后在BC 上的D 点相遇，已知两人上坡速度是4千米/小时，下坡速度是6千米/小时，在平路上的速度是5千米/小时．问C 至D 段是多少千米？【答案】2千米【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设3km 4km 5km km AB a BC a AC a CD x ====，，，，根据时间=路程÷速度，结合2个半小时后在BC 上的D 点相遇，列出方程组求解即可．【详解】解：设3km 4km 5km km AB a BC a AC a CD x ====，，，， 由题意得，34 2.5465 2.554a a x a x − += += 解得2x a ==，答：CD 的实际距离为2千米。
成都七中英才学校2024-2025学年七年级上学期入学考试数学试题
小升初招生入学数学考试卷（时间：100分钟分值：100分）A组题一、填空题．（每题2分，共18分）1. 经过不在同一直线上四个点中的任意两点画直线，一共可以画____条．2. a、b是自然数，规定33ba b a=×−▽则25▽的值是____．3. 用1、5、7三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的数比最小的数大____．4. 某工厂有一批煤，原计划每天烧0.25吨，可以烧100天，实际每天烧煤比原计划节约20%．实际可以烧____天．5. 找规律，填一填：1，8，27，____，125，216，…6. 26比一个数37少4，这个数是____．7. 一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是2:3，体积比是5:6，它们高的最简整数比是____．8. 父亲对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁．当你像我这么大时，我就79岁了．”现在父亲____岁．9. 把一根6011次，每段长____米．二、解答题．10. 计算．（1）111 63010.9 12154−+×÷×（2）352.253 1.8 1.2140%511+÷−×÷（3）721210 1637113511 1233414×+×−÷（4）11991 52204 3.20.24221005−×−÷×+÷（5）113135132013 244666201420142014 ++++++++++的的11. 解方程．（1）2152136x x x −++=− （2）()7.635% 6.50.76:1:2x ×+×=12. 一辆快车和一辆慢车，同时分别从甲、乙两地出发，相向而行，经过6小时相遇，相遇后快车继续按相同的速度行驶3小时到达乙地．已知慢车每小时行驶45千米，甲、乙两地相距多少千米？B 组题一、填空题．（每题3分，共24分）13. 某环保队有甲、乙、丙三支队伍，现计划在A 地植树1000棵，在B 地植树1250棵，甲、乙、丙每天分别能植树28、32、30棵．甲在A 地，乙在B 地，丙在A 与B 两地之间来回帮忙，同时开始，同时结束，丙在A 地植树____棵．14. 将87化成小数，小数部分第100位上的数字是____． 15. 王叔叔只记得李叔叔的电话号码是76045□□，还记得最大数字是7，各个数字又不重复．王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打______次．16. 两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是____．17. 如果一个四位数与一个三位数和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的．那么，这样的四位数最多能有____个．18. 小明把6个数分别写在3张卡片正面和反面，每个面上写1个数，每张卡片正、反面上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面写着28，40，49，反面上的数都只能被1和它自己整除，那么反面上的3个数的平均数是____．19. 某产品的成本包括两部分，一部分是直接生产成本，每个需8元；另一部分是管理、宣传、营销等与产品间接有关的费用，共10000元．如果此产品定价12元，要使利润达到营业额的20%以上，至少要生产____个产品．20. 蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有16池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1 小时，则____小时后水开始溢出水池． 二、解答题．21. 如图，A 、B 是圆直径的两端，小张在A 点，小王在B 点，同时出发反向而行，他们在C 点第一次相遇，C 点离A 点100米，在D 点第二次相遇，D 点离A 点有60米，求这个圆的周长．的的22. 某次考试共有100道题，每题1分，做错不扣分，甲、乙、丙3位同学分别得90分、70分、50分，其中3个人都做出来的题叫作“容易题”，只有1个人做出来的题叫作“较难题”，没人做出来的题叫作“特难题”，且“较难题”的个数是“特难题”的3倍，又已知丙同学做出的题中超过80%的是“容易题”，但又不全是“容易题”．“特难题”共有多少道？23. （组合图形求面积）在矩形ABCD 中，8AB =，15BC =，点E 是BC 中点，点F 是CD 的中点，连接BD 、AF 、AE ，把图形分成六块，求阴影部分的面积．24. 一条河的岸边有A 、B 两个码头，A 在上游，B 在下游．甲、乙两人分别从A 、B 同时划船出发，相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A 、B 同时划船出发，同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中的划船速度为每小时6千米，则乙在静水中的划船速度为每小时多少千米？的。
2024年四川省成都七中英才学校七年级上学期入学考数学试题及答案
小升初招生入学数学考试卷（时间：100分钟分值：100分）A组题一、填空题．（每题2分，共18分）1. 经过不在同一直线上四个点中的任意两点画直线，一共可以画____条．2. a、b是自然数，规定33ba b a=×−▽则25▽的值是____．3. 用1、5、7三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的数比最小的数大____．4. 某工厂有一批煤，原计划每天烧0.25吨，可以烧100天，实际每天烧煤比原计划节约20%．实际可以烧____天．5. 找规律，填一填：1，8，27，____，125，216，…6. 26比一个数37少4，这个数是____．7. 一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是2:3，体积比是5:6，它们高的最简整数比是____．8. 父亲对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁．当你像我这么大时，我就79岁了．”现在父亲____岁．9. 把一根6011次，每段长____米．二、解答题．10. 计算．（1）111 63010.9 12154−+×÷×（2）352.253 1.8 1.2140%511+÷−×÷（3）721210 1637113511 1233414×+×−÷（4）11991 52204 3.20.24221005−×−÷×+÷（5）113135132013 244666201420142014 ++++++++++的的11. 解方程．（1）2152136x x x −++=− （2）()7.635% 6.50.76:1:2x ×+×=12. 一辆快车和一辆慢车，同时分别从甲、乙两地出发，相向而行，经过6小时相遇，相遇后快车继续按相同的速度行驶3小时到达乙地．已知慢车每小时行驶45千米，甲、乙两地相距多少千米？B 组题一、填空题．（每题3分，共24分）13. 某环保队有甲、乙、丙三支队伍，现计划在A 地植树1000棵，在B 地植树1250棵，甲、乙、丙每天分别能植树28、32、30棵．甲在A 地，乙在B 地，丙在A 与B 两地之间来回帮忙，同时开始，同时结束，丙在A 地植树____棵．14. 将87化成小数，小数部分第100位上的数字是____． 15. 王叔叔只记得李叔叔的电话号码是76045□□，还记得最大数字是7，各个数字又不重复．王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打______次．16. 两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是____．17. 如果一个四位数与一个三位数和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的．那么，这样的四位数最多能有____个．18. 小明把6个数分别写在3张卡片正面和反面，每个面上写1个数，每张卡片正、反面上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面写着28，40，49，反面上的数都只能被1和它自己整除，那么反面上的3个数的平均数是____．19. 某产品的成本包括两部分，一部分是直接生产成本，每个需8元；另一部分是管理、宣传、营销等与产品间接有关的费用，共10000元．如果此产品定价12元，要使利润达到营业额的20%以上，至少要生产____个产品．20. 蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有16池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1 小时，则____小时后水开始溢出水池． 二、解答题．21. 如图，A 、B 是圆直径的两端，小张在A 点，小王在B 点，同时出发反向而行，他们在C 点第一次相遇，C 点离A 点100米，在D 点第二次相遇，D 点离A 点有60米，求这个圆的周长．的的22. 某次考试共有100道题，每题1分，做错不扣分，甲、乙、丙3位同学分别得90分、70分、50分，其中3个人都做出来的题叫作“容易题”，只有1个人做出来的题叫作“较难题”，没人做出来的题叫作“特难题”，且“较难题”的个数是“特难题”的3倍，又已知丙同学做出的题中超过80%的是“容易题”，但又不全是“容易题”．“特难题”共有多少道？23. （组合图形求面积）在矩形ABCD 中，8AB =，15BC =，点E 是BC 中点，点F 是CD 的中点，连接BD 、AF 、AE ，把图形分成六块，求阴影部分的面积．24. 一条河的岸边有A 、B 两个码头，A 在上游，B 在下游．甲、乙两人分别从A 、B 同时划船出发，相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A 、B 同时划船出发，同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中的划船速度为每小时6千米，则乙在静水中的划船速度为每小时多少千米？的小升初招生入学数学考试卷（时间：100分钟 分值：100分）A 组题一、填空题．（每题2分，共18分）1. 经过不在同一直线上的四个点中的任意两点画直线，一共可以画____条．【答案】6【解析】【分析】本题考查求直线的条数，根据任意两点确定一条直线，进行求解即可．【详解】解：过任意一个点与剩下的3个点可以画出3条直线，4个点共可以画出3412×=条，每个点重复一次，故一共可以画1226÷=（条）直线；故答案为：6．2. a 、b 是自然数，规定33b a b a =×−▽则25▽的值是____． 【答案】133【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是理解题目所给的运算法则．按照题目所给运算法则进行计算即可． 【详解】解：513253233=×−=▽， 故答案为：133． 3. 用1、5、7三个数字和小数点组成两位小数，其中最大的数比最小的数大____．【答案】5.94【解析】【分析】本题考查了小数的减法，根据题意得出最大的数为7.51，最小的数为1.57，相减即可．【详解】解：用1、5、7三个数字和小数点组成两位小数中，最大的数为7.51，最小的数为1.57，7.51 1.57 5.94−=，故答案为：5.94．4. 某工厂有一批煤，原计划每天烧0.25吨，可以烧100天，实际每天烧煤比原计划节约20%．实际可以烧____天．【答案】125【解析】【分析】本题考查了百分数的应用，用总的煤数除以实际每天烧煤数，即可解答．【详解】解：()0.251000.25120%125×÷×−=（天）， 故答案为：125．5. 找规律，填一填：1，8，27，____，125，216，…【答案】64【解析】【分析】本题考查的是数字类的规律探究，根据311=，382=，3273=，31255=，32166=，从而可得答案．【详解】解：∵311=，382=，3273=，31255=，32166=，∴括号内为3464=，故答案为：646. 26比一个数的37少4，这个数是____． 【答案】70【解析】【分析】本题考查了分数的混合运算．根据题意列出算式3(264)7+÷，然后根据分数的混合运算计算即可． 【详解】解：根据题意得37(264)307073+÷=×=， 即这个数是70，故答案为：70． 7. 一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是2:3，体积比是5:6，它们高的最简整数比是____．【答案】5:8##58【解析】 【分析】本题考查了圆锥的体积：一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的三分之一，1(3V Sh S =圆锥为圆锥的底面积，h 为圆锥的高），圆锥底面积2(S R R π=为圆锥底面圆的半径．也考查了圆柱的体积和最简整数比．先利用圆的周长公式得到圆柱和圆锥的底面半径的比是2:3，设圆柱和圆锥的高分别为1h 、2h ，圆柱和圆锥的底面圆的半径分别为2r ，3r ，根据圆锥的体积公式和圆柱的体积公式得到22121(2):(3)5:63r h r h ππ⋅⋅⋅⋅=，然后1h 与2h 的最简整数比．【详解】解： 一个圆柱和一个圆锥，底面周长的比是2:3， ∴圆柱和圆锥的底面半径的比是2:3，设圆柱和圆锥的高分别为1h 、2h ，圆柱和圆锥的底面圆的半径分别为2r ，3r ，圆柱和圆锥的体积比是5:6，22121(2):(3)5:63r h r h ππ∴⋅⋅⋅⋅=， 124:35:6h h ∴=，122415h h ∴=，12:15:245:8h h ∴==．故答案为：5:8．8. 父亲对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁．当你像我这么大时，我就79岁了．”现在父亲____岁．【答案】54【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设出年龄差，分别得出儿子和父亲现在的年龄是解决本题的关键．设父亲与儿子的年龄差为x 岁，则根据“我像你这么大时，你才4岁”得出儿子现在的年龄为：()4x +岁；根据“当你像我这么大时，我就79岁”得出父亲现在的年龄为：()79x −岁；根据儿子的年龄+年龄差=父亲的年龄，列出方程即可解决问题．【详解】解：设父亲与儿子的年龄差为x 岁，则儿子现在的年龄为()4x +岁，父亲现在的年龄为()79x −岁，根据题意可得方程：479x x x ++−，解得：25x =，则父亲现在的年龄为：792554−=（岁）， 答：父亲现在的年龄是54岁．故答案为：54．9. 把一根60米长的钢筋锯成每段一样长的小段，共锯 11次，每段长____米．【答案】5 【解析】【分析】本题考查了有分数的乘法，解题的关键是掌握锯11次将钢筋锯为了12段，每段长是原来的1 12，即可解答．【详解】解：1605111×=+（米），故答案为：5．二、解答题．10. 计算．（1）111 63010.9 12154−+×÷×（2）352.253 1.8 1.2140%511+÷−×÷（3）721210 1637113511 1233414×+×−÷（4）11991 52204 3.20.24221005−×−÷×+÷（5）113135132013 244666201420142014 ++++++++++【答案】（1）4 3（2）37 4（3）15 11（4）8066 55（5）253764【解析】【分析】本题考查了有理数的混合运算．（1）按照有理数混合运算顺序进行计算即可；（2）按照有理数混合运算顺序进行计算即可；（3）按照有理数混合运算顺序进行计算即可；（4）按照有理数混合运算顺序进行计算即可；（5）先计算括号内的，再用首位相加法进行计算即可．【小问1详解】 解：11163010.941215×÷×−+59630032041=−×÷×96892 =−÷3829=×43=；【小问2详解】 解：352.253 1.8 1.2140%511+÷−×÷ 991215245510011518+÷−×÷911522024 =+−×59294202 =+×745202=×374=；【小问3详解】 解：72121016371135111233414×+×−÷28377111637115153414×+×−×71217113637212+×− 15564211121=×× 1511=； 【小问4详解】 解：1199152204 3.20.24221005−×−÷×+÷ 5591009520 3.20.24229 =−×−××+× 5591009916620225 ×−××+ 150******** −×+6500111655=×+ 58000556+ 806655=； 【小问5详解】 解：113135132013244666201420142014 ++++++++++ 12310072222=++++ ()112310072=×++++ ()110071100722=×+× 11007100822=×× 253764=．11. 解方程．（1）2152136x x x −++=−（2）()7.635% 6.50.76:1:2x ×+×=【答案】（1）97x =（2）15.2x =【解析】【分析】本题考查了解一元一次方程，解比例．（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1步骤进行解答即可；（2）先将括号内化简，再根据比例的性质进行解答即可．【小问1详解】 解：2152136x x x −++=−， ()()()2215621x x x −++=−，425126x x x −++=−，412625x x x +−=−+−，79−=−x ，97x =． 【小问2详解】解：()7.635% 6.50.76:1:2x ×+×=， ()7.60.350.657.6:1:2x ×+×=， 7.6:1:2x =，7.62x =×，15.2x =．12. 一辆快车和一辆慢车，同时分别从甲、乙两地出发，相向而行，经过6小时相遇，相遇后快车继续按相同的速度行驶3小时到达乙地．已知慢车每小时行驶45千米，甲、乙两地相距多少千米？【答案】甲、乙两地相距810千米【解析】【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，根据题意找出数量关系列出算式进行计算是解题的关键． 快车继续行驶3小时后到达乙站，那么这3小时的路程就是慢车6小时行驶的路程，先求出这段路程再除以3就是快车的速度，用快车的速度乘快车行驶的时间就是甲、乙两站的距离．【详解】解：快车速度：456390×÷=（千米）， 的甲、乙两地距离：()9063810×+=（千米），答：甲、乙两地相距810千米．B 组题一、填空题．（每题3分，共24分）13. 某环保队有甲、乙、丙三支队伍，现计划在A 地植树1000棵，在B 地植树1250棵，甲、乙、丙每天分别能植树28、32、30棵．甲在A 地，乙在B 地，丙在A 与B 两地之间来回帮忙，同时开始，同时结束，丙在A 地植树____棵．【答案】300【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 先设丙在A 地植树x 棵，则甲在A 地植树()1000x −棵，然后根据甲在A 地，乙在B 地，丙在A 与B 两地之间来回帮忙，同时开始，同时结束，可以列出方程，然后求解即可．【详解】解：设丙在A 地植树x 棵， 由题意可得：100010003230()1250282830x x x −−×+−=， 解得300x =，答：丙在A 地植树300棵，故答案为：300．14. 将87化成小数，小数部分第100位上的数字是____． 【答案】8【解析】 【分析】本题考查了分数小数互化，将87化为小数，得出87的小数部分每6个数字一循环，即可解答． 【详解】解：将87化成小数为1.142857 ， 即87的小数部分每6个数字一循环， 1006164÷=……，∴小数部分第100位上的数字是第17组的第4个，即为8，故答案为：8．15. 王叔叔只记得李叔叔的电话号码是76045□□，还记得最大数字是7，各个数字又不重复．王叔叔要拨通李叔叔的电话，最多要试打______次．【答案】6【解析】【分析】本题考查了整数的认识，解题的关键是根据题意得出□的数字只能是1、2、3．【详解】解：∵最大数字是7，各个数字又不重复，∴□的数字只能是1、2、3，∴剩下两个数字可能是12、13、21、23、31、32，共6种情况，∴最多要试打6次，故答案为：6．16. 两数相除，商4余8，被除数、除数、商、余数四数之和等于415，则被除数是____．【答案】324【解析】【分析】本题考查的是整数的除法、有理数的加法，掌握被除数、除数、商、余数之间的关系是解题的关键．根据被除数÷除数=商……余数，解答即可．−−=，【详解】解：被除数与除数的和为41548403商4余8，被除数比除数的4倍多8，−÷+=，则除数：(4038)(41)79×+=．被除数：7948324故答案为：324．17. 如果一个四位数与一个三位数的和是1999，并且四位数和三位数是由7个不同的数字组成的．那么，这样的四位数最多能有____个．【答案】168【解析】【分析】本题考查的是整数的运算，根据题意得到四位数首位必须为1，又和的后三位为9，所以相加时+=，又四位数的首位是没有出现进位现象，找出合适的组合，0和9，2和7，3和6，4和5（因为1891，不能重复，则数字8不能用在这），根据乘法原理求解即可．【详解】解：由于其和为1999，则这四位数的首位一定是1，和的后三位是9，∴相加时没有出现进位现象，和为9的组合有：0和9，2和7，3和6，4和5(1和8在本题中不符题意），∵两个数的和一定，∴三位数一定下来，四位数只有唯一的可能．∵0不能为首位，∴这个三位数首位有817−=种选法，∴十位数有826−=种选法，个位数有844−=种选法，根据乘法原理可知，这样的四位数最多能有764168××=个．故答案为：168．18. 小明把6个数分别写在3张卡片的正面和反面，每个面上写1个数，每张卡片正、反面上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面写着28，40，49，反面上的数都只能被1和它自己整除，那么反面上的3个数的平均数是____．【答案】12【解析】【分析】本题考查整数的运算，质数，根据三张卡片正反两面的和相同，且28，40为偶数，49为奇数，结合反面上的数都是质数，得到49的反面只能是2，进而得到和为51，求出两外两个数，再求出3个数的平均数即可．【详解】解：因为反面上的数都只能被1和它自己整除，所以反面上的数都是质数，因为三张卡片正反两面的和相同，且28，40为偶数，49为奇数，所以49的反面只能是2，所以正反两面的和为51，所以另外两个数分别为：512823,504011−=−=， 所以反面上的3个数的平均数是：()23112312++÷=； 故答案为：12．19. 某产品的成本包括两部分，一部分是直接生产成本，每个需8元；另一部分是管理、宣传、营销等与产品间接有关的费用，共10000元．如果此产品定价12元，要使利润达到营业额的20%以上，至少要生产____个产品．【答案】6250【解析】【分析】本题主要考查百分数的应用，正确分析题意是解题的关键．根据题意列式求解即可得出答案．【详解】解：()12120%×−1280%=×9.6=（元）， ()100009.68÷−10000 1.6÷6250=（个）． 故答案为：6250．20. 蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管．要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时．要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时．现在池内有16池水，如果按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1 小时，则____小时后水开始溢出水池．【答案】20.75【解析】【分析】本题考查一元一次方程的应用、有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先计算出第一次甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水，然后再计算后面的几次，直到发现这一次结束后再加下一次中先开甲多长时间后水池内水的体积超过1即可．【详解】解：由题意可得，打开甲水管1小时后池内的水为：111632+=， 打开乙水管11144=， 打开丙水管1小时后池内的水为：1194520+=， 打开丁水管1小时后池内的水为：911720660−=， 则第二次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：1711112460345660+−+−=， 第三次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：2411113160345660+−+−=， 第四次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：3111113860345660+−+−=， 第五次按甲、乙、丙、丁的顺序，轮流打开，每次开1小时后池内的水为：3811114560345660+−+−=， 故第6次先打开甲水管1小时后池内的水为：45165160360+>， 设第6次，甲打开x 小时，水池内水正好满了， 4511603x +=， 解得0.75x =，的每次需要4小时，∴水开始溢出水池的时间为：450.75200.7520.75×+=+=（小时）， 故答案为：20.75．二、解答题．21. 如图，A 、B 是圆直径的两端，小张在A 点，小王在B 点，同时出发反向而行，他们在C 点第一次相遇，C 点离A 点100米，在D 点第二次相遇，D 点离A 点有60米，求这个圆的周长．【答案】这个圆的周长为360米或240米【解析】【分析】本题主要考查了圆的周长，解题时要能读懂题意，列出式子计算是关键．依据题意，第一次相遇于C 点，两人合走了半个周长．从C 点开始到第二次相遇于D 点，两人合起来走了一个周长．因为两速度和一定，所以第一段所需时间是第二段的一半．对于小王而言，他第一段所走的行程是第二段的一半．从而可得C ，D 的关系有两种情况，进而画出图形分析判断可以得解．【详解】解：由题可知，C ，D 的关系有如下两种情况：对于第一种情况，2CD BC =，所以160CD AC AD =+=米，则160280BC =÷=米，所以半圆周长是10080180+=（米)，圆的周长是1802360×=（米)．对于第二种情况，2CD BC =，40CD AC CD =−=米，则40220BC ÷米，则半圆周长10020120+=（米)，圆的周长是1202240×=（米)．即这个圆的周长为360米或240米．是22. 某次考试共有100道题，每题1分，做错不扣分，甲、乙、丙3位同学分别得90分、70分、50分，其中3个人都做出来的题叫作“容易题”，只有1个人做出来的题叫作“较难题”，没人做出来的题叫作“特难题”，且“较难题”的个数是“特难题”的3倍，又已知丙同学做出的题中超过80%的是“容易题”，但又不全是“容易题”．“特难题”共有多少道？【答案】特难题有7道【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程的应用．设特难题有x 道，容易题有y 道，则较难题有3x 道，则有两个人做出来的题有()1003x x y −−−道，根据题意推出105y x =+，再根据“丙同学做出的题中超过80%的是容易题”以及特难题的定义，列出不等式组，即可解答．【详解】解：设特难题有x 道，容易题有y 道，则较难题有3x 道，∴有两个人做出来的题有()1003x x y −−−道，()3210033907050x x x y y +−−−+++，整理得：105y x =+， ∵丙同学做出的题中超过80%的是“容易题”，但又不全是“容易题”，∴5080%10090y x >× <−， 即1054010x x +> < ， 解得：610x <<，∴x 7，8，9当7x =时，10545y x =+=，符合题意；当8x =时，10550y x =+=，不符合题意；当9x =时，10555y x =+=，不符合题意；综上：特难题有7道．23. （组合图形求面积）在矩形ABCD 中，8AB =，15BC =，点E 是BC 的中点，点F 是CD 的中点，连接BD 、AF 、AE ，把图形分成六块，求阴影部分的面积．为【答案】40【解析】【分析】本题主要考查了长方形的性质，解答此题的关键是利用中线求三角形的面积．设BD 交AE 交于G 点，AF 交DB 与H 点，根据111332ABD ABCD AGH BGC DHC S S S S S ===×=△△△矩形 ，1134BGE DHF ABCD S S S =×=△矩形求解即可． 【详解】解：AE 与BD 的交点记为点G ，AF 与BD 的交点记为点H ，∵矩形ABCD ，∴BE AD ∥，∵点E 是BC 中点， ∴1212BE BC AD ==， ∴12BG GD =，12GE AG = 同理12DH GD =，12HF AH = ∵BG GH DH BD ++=，∴BG GH DH ==， ∴011111332328152AG ABD AB H BG DHC CD CS S S S S ==××=×===×矩△△△形 ， ∴12BGE ABG S S =△ ∴1111111111158103434322332BGE ABE ABCD S S BE AB BC AB S =×××===×⋅=××⋅=×△矩形 同理：111111111034322332DHF ADF ABCD S S DF AD CD AD S ==×⋅=××⋅=×=矩形 ， 2010240S +×==阴，的答：阴影部分的面积为40．24. 一条河的岸边有A、B两个码头，A在上游，B在下游．甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，相向而行，4小时后相遇．如果甲、乙两人分别从A、B同时划船出发，同向而行，乙16小时后追上甲．已知甲在静水中的划船速度为每小时6千米，则乙在静水中的划船速度为每小时多少千米？【答案】乙在静水中的划船速度为每小时10千米【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是掌握两船无论是同向而行还是相向而行，两船的速度和与速度差都与水流速度无关．设乙在静水中的划船速度为每小时x千米，根据相向时，两船路程和等于A、B两地距离，同向时，两船路程差等于A、B两地距离，列出方程即可解答．【详解】解：设乙在静水中的划船速度为每小时x千米，()()−×=+×，x x61664x=，解得：10答：乙在静水中的划船速度为每小时10千米．。
四川省成都市第七中学2025届高三上学期入学考试数学试卷
四川省成都市第七中学2025届高三上学期入学考试数学试卷一、单选题1．已知集合2{|6},{2,1,0,1,2}M x x x N =-+<=--，则M N =I （ ） A ．{1,0,1}-B ．{2,1,0,1}--C ．{1,0}-D ．{1,0,1,2}-2．命题“0x ∃>，240x x -+≤”的否定为（ ） A ．0x ∀>，240x x -+> B ．0x ∀≤，240x x -+> C ．0x ∃>，240x x -+>D ．0x ∀≤，240x x -+≤3．已知向量()1,1a =r ，()0,b t =r ，若()2a a b ⊥+r r r，则b =r （ ）A B ．1C D ．24．已知圆()22:44C x y -+=，点M 在线段y x =（03x ≤≤）上，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，以AB 为直径作圆C '，则圆C '的面积的最大值为（ ）. A ．πB ．2πC ．5π2D ．3π5．若过点(),a b 可以作曲线1e x y +=的两条切线，则（ ） A ．1e b a +<B ．1e a b +<C ．10e a b +<<D ．10e b a +<<6．已知定义在正实数集上的函数()4log 1,016,516.x x f x x ⎧-<≤⎪=⎨>⎪⎩设a 、b 、c 是互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围为（ ） A ．()16,25B ．()256,400C ．()64,100D ．()64,2567．设正四面体ABCD 的棱长为2．则所有与此正四面体的四个顶点距离相等的平面截这个四面体所得截面的面积之和为（ ）A ．3B ．4C ．3D 8．“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动，在如图所示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中等可能随机选择一个到达相邻仓，且粒子经过n 次随机选择后到达2号仓的概率为n P ，已知该粒子的初始位置在2号仓，则10P =（ ）．A ．171512B ．511512C ．1512D ．43128二、多选题9．二项式61)x的展开式中（ ）A ．前三项系数之和为22B ．二项式系数最大的项是第4项C ．常数项为15D ．所有项的系数之和为010．已知函数()()πcos 220,2f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象与函数()()sin 2g x x ϕ=+的图象重合，则（ ）A ．()1g ϕ=B ．()g x 的单调区间为ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．直线π3x =是()g x 的图象的对称轴 D ．直线π132y x ⎫=-+⎪⎭是曲线y =g x 的切线11．设,a b 是非零复数，12,z z 是方程20x ax b ++=的两个复根，且1212z z z z +=-，则以下说法错误的是（ ）A ．存在负实数λ，使得21z z λ=B ．b 是负实数C ．存在实数4μ≥，使得2a b μ=D ．存在实数0ν<，使得2a b ν=三、填空题12．已知等比数列{}n a 为递增数列，且373a a +=，282a a ⋅=，则117a a =． 13．(tan 5tan102tan 5tan10︒+︒+︒︒=．14．设O 是ABC V 的外接圆的圆心，G 是重心，CD 是中线，且OG CD ⊥，则sin C 的最大值是．四、解答题15．已知ABC V 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知1cos sin sin sin 2A B C A =-，a =(1)求B ；(2)若ABC V 的面积为c .16．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <<．(1)求MN 的长；(2)当MN 的长最小时，求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．17．小叶紫檀是珍稀树种，因其木质好备受玩家喜爱，其幼苗从观察之日起，第x 天的高度为y cm ，测得数据如下：数据的散点图如图所示：为近似描述y 与x 的关系，除了一次函数$y bx a =+，还有$y a =和$2y bx a =+两个函数可选．(1)从三个函数中选出“最好”的曲线拟合y 与x 的关系，并求出其回归方程（b $保留到小数点．．．．．．后．1位．）； (2)判断说法“高度从1000cm 长到1001cm 所需时间超过一年”是否成立，并给出理由．参考公式：()()()1122211n niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---⋅==--∑∑∑∑$，$ay bx =-$． 参考数据（其中i u =2i ii x =）：20x =，4u =，668i =，8y =， 7214676i i x ==∑，721140i i u ==∑，7217907396ii i==∑，711567i i i x y ==∑，71283i i i u y ==∑，7156575i i i i y ==∑．18．已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，且12F PF V的垂心为5)3H -． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 叫椭圆C 于D 、E 两点，记直线AD ，AE 的斜率分别为1k ，2k ，若1217k k +=-，求直线l 的方程．(3)设d 是从椭圆中心到椭圆在点Q 处切线的距离，当Q 在椭圆上运动时，判断212d QF QF 是否为定值．若是求出定值，若不是说明理由． 19．已知函数()ln f x x x =，(1)判断()()12g x f x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的单调性．(2)求函数()()()11e1ln 1h x xx x -=+--，[)0,1x ∈的值域．(3)证明()()11e f y f x y x --≤-，01x y <<≤．。
成都七中学校自主招生考试试题
成都七中实验学校自主招生考试试题数学试题注意事项：分；第Ⅱ卷为非361.本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题.分钟150分．考试时间为120选择题114分；全卷共.非选择题在卷Ⅱ上作答本试卷的选择题答案用2B铅笔涂在机读卡上，2..3.考生务必将自己的姓名及考号写在密封线以内指定位置非选择题必须在指定的区域内作答，不能超出指定区域或在非指定区4..域作答，否则答案无效（选择题，共36分）卷I分．在每小题给出的3分，共36一．选择题：本大题共12个小题，每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的．( ) (2) 的结果是1．计算3×?6D．．5C．6A．5B??A2．如图1，在△ABC中，D是BC延长线上一点，120°40°BD C( ) 等于∠B = 40°，∠ACD = 120°，则∠A1图．60° B．70°A DC．80°．90°3 ．下列计算中，正确的是( )A D．． B． C．62320a)?(aa?aa?02?3??9D4．如图2，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB = 3，AC( )的周长为ABCD则□B2图 .9 ．A．6 B15．DC．12( ) 的解集表示在数轴上，正确的是5．把不等式< 4x?22 0 2 -BAAB正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，．如图3，在5×65C0 -2 2 0D 那么这条圆弧所在圆的圆心是( )C QRPM Q．点R DB．点M C．点A．点P图37．若，则的值为（）2xy0?x?2x?y?3A．或 B．或 C．或 D．或00065086??8．已知的大小关系是（）yx,a,则?x?a?b?b,y?b?b?0?ab,A． B．= C． D．与、的取值有关ax yy?x?xyb ECDP，E为CD边的中点，动点9．如图4,已知边长为1的正方形ABCD 经过的路程ABCD边上沿运动，设点P在正方形E?A?B?C P B 的函数的图象大致为（，△的面积为，则关于）为 A yyAPE xx4图yyy y1111xx x x OOO2.5 2.5 2.5 O2.5（A）（B）（D）（C）10．如图5，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形图5一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是( )A．7 B．8D．C．9 10y1.x O111．如图6，已知二次函数的2c?ax??bxy个代数式图像如图所示，则下列6 ,?b?c,2a?,ab?c,a?bab,ac中其值为正的式子个数为（）b2a?A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图7-1．在图7-2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图7-1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是( )图7-1图7-2分．将答案直接填写24二．填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共在题中横线上．．13．的相反数是5?C D，B在数轴上，14．如图8，矩形ABCD的顶点A0BA CD = 6，8图．，则点B所对应的数为点A对应的数为1?15．如图9，有五张点数分别为2，3，7，8，9的扑克牌，从中任意抽取两张，则其点数之积是偶数的概率为．16．已知x = 1是一元二次方程的一个根，则20?nx??mx的值为．22n?2?mnm A，B，C叠放在17．把三张大小相同的正方形卡片9 图一 C C 个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部BA分用A B阴影部分的面积为若按图10-1摆放时，阴影表示．10-1 图10-2图 S1；S1 S2若按图10-2摆放时，阴影部分的面积为S2，则 .（填“＞”、“＜”或“=”）．18．南山中学高一年级举办数学竞赛，A、B、C、D、E五位同学得了前五名，发奖前，老师让他们猜一猜各人的名次排列情况.A说：B第三名，C第五名；B说：E第四名，D第五名；C说：A第一名，E第四名；D说：C第一名，B第二名；E说：A第三名，D第四名.老师说:每个名次都有人猜对，试判断获得第一至第五名的依次为 .三、解答题（本大题共7个小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）12. （本小题满分8分）解方程：19．(1)?x?1x?1(2)（本小题满分8分）先化简再求值：a?2a?1a?4. ，其中203?a?4a?2?()?20．（本小题满分12分）甲、乙两校参加区教育局举办22a?2aa?4a?4a?2的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等．比赛结束后，发现学生成绩分别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表．甲校成绩统计表乙校成绩扇形统计图）（1分10分7 分8 10 分9 分图在7分72°数分9分°5411-18分8 110人，中11-1图数分”所在扇形的圆心角“7.等于°．（2）请你将图11-2的统计图补充完整．乙校成绩条形统计图人数分，中位数是（3）经计算，乙校的平均分是8.3886 5请写出 8分，442甲校的平均分、中位数；并从平均分和中位数的分数10分分8 9分7 分11-2 图角度分析哪个学校成绩较好．为便赛，8人的代表队参加市级团体（4）如果该教育局要组织请你分析，管理，决定从这两所学校中的一所挑选参赛选手，应选哪所学校？y分）（本小题满分1221．MO与如图12，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点BANBC分别在坐标轴上，顶点坐标原点重合，顶点A，xO CE12图）和E（6，0）的直，4的坐标为（，2）．过点D（03 N．BC交于点M，线分别与AB，的坐标；的解析式和点）求直线DEM（1m）的图象经过点M，（2）若反比例函数（x＞0?y x求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是否在该函数的图象上；m（x＞0）的图象与△MNB有公共点，请直接写出）若反比例函数（3m?y x的取值范围．22．（本小题满分12分）某仪器厂计划制造A、B两种型号的仪器共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096万元，且所筹资金全部用于制造仪器，两种型号的制造.成本和售价如下表：B2834（1）该厂对这两种型号仪器有哪几种制造方案？（2）该厂应该选用哪种方案制造可获得利润最大？型仪器的售价将会A型仪器的售价不会改变，每套根据市场调查，（3）每套B，且所制造的两种仪器可全部售出，问该厂又将如何制造）万元（>0提高aa才能获得最大利润？分）（本小题满分1223．MD 相交13-1至图15-3中，直线MN与线段AB在图2= 45°．1 = ∠2 于点O，∠OAB 1BD ，请写出AO与）如图13-1，若AO = OB（1N13-1图的数量关系和位置关系；MD2绕点O顺时针旋转得到（2）将图13-1中的MN O BAC 1OB．= 图13-2，其中AON13-2图⊥ BD；，求证：AC = BDAC MD2k倍得到的中的OB拉长为AO（3）将图13-2BD O的值．图13-3，求ABAC C 112分）24．（本小题满分N13-3图，8，BC = ，∥BC，AD = 6AD如图14，在直角梯形ABCD中，??90?B 个单位长的速1MB以每秒的中点．点P从点M出发沿是，点MBC33AB?出发以从点MBM返回；点Q后立刻以原速度沿度向点B匀速运动，到达点B的运动过程中，以，QMC上匀速运动．在点P每秒1个单位长的速度在射线同时QP，BC使它与梯形ABCD在射线的同侧．点，PQ 为边作等边三角形EPQ .Q也随之停止．出发，当点P返回到点M时停止运动，点 0)．t秒(t＞设点P，Q运动的时间是运动的过程中，向点B，在点P从点M （1）设PQ的长为y D A写出y与t之间的函数关系式（不必写t的取值范围）E （2）当BP = 1时，求△EPQ与梯形ABC（3）随着时间t的变化，线段AD会有一部分被△EP覆盖被覆盖线段的长度在某个时刻会达到最大值，请回答：该最 B CQM Pt的取值范围；大值能否持续一个时段？若能，直接写出14 图若不能，请说明理由． 14分）25．（本小题满分DA和轴如图15，抛物线经过轴上的两点、2,0)AB(x,0)(x0)a??y?axbx?c(y x123，两点，若轴上，且经过、上的点，的圆心在a?3b P)?C(0,yCBP2BCM ．32AB?（备用图）求：（1）抛物线的解析式；（2）在抛物线上，且、两点关于抛物线的对称轴对称，问直线是CDDBD 否经过圆心？P并说明理由；（3）设直线交于另一点，求经过点和的切线的解析式．PPEEBDy.二、填空题7、A、B13. 14.5 15.、 16.1 17. = 18. C510D.、E 三、解答题x)x?1?1?2(， 19．（1）解：．3?x经检验知，分是原方程的解．………………83x?2??1aa?2a?[?]原式?）解：（22a?1)a??(a2)(a?2)?a(??24(a?2)a?a(a?2)24a?a(a?2)222??aaa?4?a??6………………24?a?2)aa(2?a?4a??分13?式原上式的知由已得，代入2?a?2a242)?aa(a?2)(a?a22………………8分?13乙校成绩条形统计图；………………3分．解：（1）14420?人数）如（2图1；………………分682?2aa88（3）甲校的平均分为8.3分分，中位数为7分；………………6 5 由于两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲4 4 3校的中位数，所以从平均分和中位数角度上判断，29乙校的成绩较好．………………分0 10分87分分分9 分数 4（）因为选8名学生参加市级口语团体赛，甲校得1图10分的有8人，而乙校得10分的只有5人，所以应选甲校．………………12分， 21．解：（1）设直线DE的解析式为y?bkx?∵点D ，E的坐标为（0，3）、（6，0），3?b,?∴?.b6?k?0?1??1k??,．………………2分解得∴3?y?x??22?b?3.?∵点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形，∴点M的纵坐标为2．.1在直线点M上，又∵3??xy?21，2）．………………= 4分．∴ x = 2．∴ M（2∴ 2 3x??2m，（2，2）（（2x）∵＞0）经过点M?yx4分．∴.………………5∴4?my?x，（4，2）又∵点N在BC边上，B ．∴点N的横坐标为41点N上，在直线∵3x???y2 8分）．………………∴．∴ N（4，11y?41=，= 时，∵当y 4x?x4的图象上．………………9 分∴点N在函数?yx（3）4≤ m ≤8．………………12分22．解：（1）设A种型号的仪器造x套,则B种型号的仪器造(80-x)套,?? :由题意得2096?x28?25x??802090解之得: ………………2分5048?x?所以 x=48、49、50 三种方案：即：A型48套，B型32套；A型49套，B型31套；A型50套，B型30套。