高二数学选修2-3离散型随机变量的方差导学案
人教A版高中数学选修2-3 2.3《离散型随机变量的方差》教学设计
离散型随机变量的方差宁波市效实中学 范丽观1．教学内容解析《离散型随机变量的方差》是人教A 版选修2-3第二章《随机变量及其分布列》中第3.2节的内容．是离散型随机变量的另一个重要数字特征,是用来度量随机变量与其数学期望之间的偏离程度．在高中数学中.这块内容的教学要求是“了解”．重点：了解离散型随机变量方差的概念、含义及计算过程．难点：离散型随机变量的方差公式的引入，第二个方差公式22()=()()D X E X E X（）的推导． 2．教学目标设置（1）知识与技能：会根据离散型随机变量的分布列求方差,推导两点分布、猜想二项分布的方差公式,并会依据期望、方差这两个重要的数字特征分析解决实际生活中的问题． （2）过程与方法：运用类比思想，建立统计中样本数据的方差与概率论中离散型随机变量的方差的联系,引入离散型随机变量的方差的公式，并通过实例体会方差的意义． （3）情感、态度与价值观：培养学生直觉思维中的类比、数据处理、抽象概括建立数学模型等数学核心素养，进一步体会运用概率思想思考和解决问题的乐趣． 3．学生学情分析在初中(或必修3)时学生已经学过了统计中样本平均值与方差的概念,现在又刚刚学习了概率论中“离散型随机变量的分布列”与“离散型随机变量的期望”这两块知识，所以学生对于离散型随机变量的方差概念的理解不至于产生大的困难．而且离散型随机变量的方差及标准差的计算，教材没有进一步的展开介绍其他公式，只要求会根据定义求出离散型随机变量的方差(或标准差)．但学生在解决实际问题的过程中，如何利用离散型随机变量思想描述和分析随机现象，通过期望及方差的数值分析来处理问题时存在困难． 4．教学策略分析本节课借助于PPT ，运用探究式教学． 第一环节：展示问题，探寻方法．以投资理财中所承担的风险作为问题情境，让学生探索思考寻找合适的解决问题的手段． 第二环节：直觉类比，探求新知．利用直觉类比的方法，对统计中的样本平均值、方差与概率中变量的期望、方差概念进行同化或顺应，然后再进行整合，得到离散型随机变量的方差概念． 第三环节：学以致用，归纳提升提进式设计例题， 熟练方差计算公式并挖掘出求方差的简便方法，既了解了方差的意义，又掌握了方差的性质及常用分布列中计算方差的公式． 5．教学过程第一环节：展示问题，探寻方法概率论中关于离散型随机变量知识的学习已近尾声.大家越来越感到这块知识与现实生活有着千丝万缕的联系，正如英国经济学家所说：概率论是生活的真正的领路人，如果没有对概率的某种估计，我们将寸步难行，无所作为。
人教课标版高中数学选修2-3：《离散型随机变量的均值与方差(第2课时)》教案-新版
2.3 离散型随机变量的均值与方差（第2课时）一、教学目标 1．核心素养通过对离散型随机变量的方差的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力． 2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的方差的概念 （2）能计算简单离散型随机变量的方差 （3）并能够解决一些实际问题. 3．学习重点离散型随机变量的方差的概念、公式及其应用. 4．学习难点灵活利用公式求方差.． 二、教学设计 （一）课前设计 1．预习任务 任务1阅读教材P64－P67，思考：方差、标准差的定义是什么？它们各自反应了什么？ 任务2若随机变量X 服从两点分布，则方差为多少？若服从二项分布呢？ 任务3根据方差的计算过程，可得到它的什么性质？ 2．预习自测（1）已知随机变量x 的分布列则()X D =__________.（2）若随机变量⎪⎭⎫⎝⎛3210~，B X ，则方差DX=________.（二）课堂设计 1．知识回顾(1)均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 n n p x p x p x E +++=...2211ξ为ξ的均值或数学期望，简称期望．(2)均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (3)均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量， 且有b aEX b aX E +=+)(①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身；②当1=a 时，b EX b X E +=+)(，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；③当0=b 时，aEX aX E =）（，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.(4)①若X 服从两点分布，则p X E =)(； ②若ξ～),,(p n B 则np X E =)(. 2．问题探究问题探究一 随机变量方差的定义要从两名同学中挑选出一名同学代表班级参加射击比赛，根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数的分布列为如果每班只能一人参加年级比赛，你觉得应该让甲乙谁代表班级参赛? 通过计算分析： E （X 1）=5， E （X 2）=5，所以从均值比较不出两名同学的水平高低．数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．但显然两名同学的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性． 我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是n x x x ,....,,21，且取这些值的概率分别是n p p p ,....,,21，那么，n n p X E x p X E x p X E x X D ⋅-++⋅-+⋅-=2222121))((...))(())(()(称为随机变量X 的方差，式中的)(X E 是随机变量X 的均值．标准差：)(X D 的算术平方根)(X D 叫做随机变量X 的标准差，记作)(X σ．随机变量X 的方差、标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；数值越大，说明随机变量取值波动越大，越不稳定；请分别计算探究中两名同学各自的射击成绩的方差.(进一步探究认识用随机变量方差来反映取值的稳定情况)第一名同学5.1)(,8)(==X D X E 第二名同学82.0)(,8)(==X D X E结论：第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.对“探究”的再思考(1)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ (2)如果其他班级参赛选手的射击成绩都在8环左右，本班应该派哪一名选手参赛？ 问题探究二 常见随机变量方差及随机变量方差的性质 ①若X 服从两点分布，则)1()(p p X D -= 若),(~p n B X ，则)1()(p np X D -=．②方差的性质：)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. 3.运用新知例1有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，求)(X E ，)(X D .【知识点：期望、方差】解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以X ～B(200,1%)．因为np X E =)(，)1()(p np X D -=，这里n ＝200，p ＝1%.所以)(X E =200×1%＝2，)(X D ＝200×1%×99%＝1.98. 例2已知随机变量X 的分布列为若E (X )＝23. (1)求D (X )的值；(2)若Y ＝3X －2【知识点：离散型随机变量期望、方差及方差的性质】 解:由12＋13＋p ＝1，得p ＝16.又E (X )＝0×12＋1×13＋16x ＝23， ∴x ＝2.(1)D (X )＝(0－23)2×12＋(1－23)2×13＋(2－23)2×16＝1527＝59. (2)∵Y ＝3X －2，∴D (Y )＝D (3X －2)＝9D (X )．==练习1 设X ～B (n ，p )，且E (X )＝12，D (X )＝4，则n 与p 的值分别为( ) A ．18，13 B ．12，23C ．18，23D ．12，13 【知识点：离散型随机变量方差及方差的性质】答案：由X ～B (n ，p )，则4)(,12)(====npq X D np X E ，所以32,18==p n . 练习2 设p 为非负实数，随机变量X 的概率分布为：求E (X )与D (X )的最大值． 解:根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤p <1，0≤12－p <1，解得0≤p ≤12.因为E (X )＝－1×(12－p )＋0×p ＋1×12＝p ， 所以当p ＝12时，E (X )取得最大值，为12.因为D (X )＝(－1－p )2(12－p )＋(0－p )2p ＋(1－p )2×12＝－p 2－p ＋1＝－(p ＋12)2＋54，故当p ＝0时，D (X )取得最大值为1.【知识点：离散型随机变量期望、方差及二次函数的性质】 4．课堂总结 重点难点突破（1）求离散型随机变量均值与方差的方法步骤： ①理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； ②求X 取每个值的概率； ③写出X 的分布列； ④由方差的定义求)(X D ．（2）方差的性质：（1）)()(2X D a b aX D =+；22))(()()(X E X E X D -=. （2）若X 服从两点分布，则()=(1)D X p p -； （3）若ξ～),,(p n B 则(1)D np p ξ=-；（4）方差DX 表示，DX 越大，表示，说明X 的取值越分散；DX 越小，表示，说明X 的取值越集中稳定.（5）方差公式的几种形式：22122))(()())(())(()(X E X E p X E x X E X E X D i ni i -=⋅-=-=∑=.方差的意义数学期望反映了随机变量取值的平均水平，但有时只知道数学期望还不能解决问题，还需要知道随机变量的取值在均值周围变化的情况，即方差．①随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．②随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；③标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛. 5．随堂检测1.若随机变量X 满足P （x ＝c ）＝1，其中c 为常数，则()X E =________，()X D _______.2.已知随机变量X 的分布列为则()X E 与()X D 的值为( )(A) 0.6和0.7 (B)1.7和0.3 (C) 0.3和0.7 (D)1.7和0.213.已知()5.0100~，B X 则()X E =___,()X D =____. ()12-X E =____,()12-X D =____.4.有一批数量很大的商品，其中次品占1％，现从中任意地连续取出200件商品，设其次品数为X ，则()X E =_____, ()X D =_______.5.已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数x 1、x 2的分布列如下：试比较两名射手的射击水平.如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？（三）课后作业 基础型 自主突破1．已知随机变量ξ满足P (ξ＝1)＝0.3，P (ξ＝2)＝0.7，则E (ξ)和D (ξ)的值分别为( )A ．0.6和0.7B ．1.7和0.09C ．0.3和0.7D ．1.7和0.21 2．已知X 的分布列为则D (X )等于( )A ．0.7B ．0.61C ．－0.3D ．0 3．D (ξ－D (ξ))的值为( )A ．无法求B ．0C ．D (ξ) D ．2D (ξ) 能力型 师生共研4．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定5．若ξ是离散型随机变量，P(ξ＝X1)＝23，P(ξ＝X2)＝13，且X1<X2，又已知E(ξ)＝43，D(ξ)＝29，则X1＋X2的值为()A.53 B.73C．3 D.1136．设ξ～B(n，p)，则有()A．E(2ξ－1)＝2np B．D(2ξ＋1)＝4np(1－p)＋1 C．E(2ξ＋1)＝4np＋1D．D(2ξ－1)＝4np(1－p)7．若随机变量X1～B(n,0.2)，X2～B(6，p)，X3～B(n，p)，且E(X1)＝2，D(X2)＝32，则σ(X3)的值是()A．0.5 B. 1.5 C. 2.5 D．3.5自助餐1.已知离散型随机变量X的分布列如下表．E(X)＝0，D(X)＝1，则a＝________，b＝________.2.变量ξ的分布列如下：其中a，b，c成等差数列．若E(ξ)＝13，则D(ξ)的值是________．3．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X)；(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X)．4．有三张形状、大小、质地完全一致的卡片，在每张卡片上写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令ξ＝x·y.求：(1)ξ所取各值的分布列；(2)随机变量ξ的数学期望与方差．（四）参考答案预习自测 1.1.2 2.920 随堂检测 1.c ,0 2. D3.50, 25, 99, 1004. 2，1.985. 解：92.0106.092.081=⨯+⨯+⨯=ξE ，94.0102.094.082=⨯+⨯+⨯=ξE∴甲、乙两射手的射击平均水平相同.又8.0,4.021==ξξD D∴甲射击水平更稳定.如果对手在8环左右,派甲；如果对手在9环左右,派乙. 课后作业 基础型 1.D 2.B 3.C 能力型 4.A 5.C 6.D 7.C 自助餐 1.512, 14 2.593.解:(1)X 服从两点分布，∴E (X )＝p ＝12.D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14. (2)由题意知，X ～B (10，12)． ∴E (X )＝np ＝10×12＝5， D (X )＝npq ＝10×12×(1－12)＝52.4.解:(1)随机变量ξ的可能取值有0,1,2,4，“ξ＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为 P (ξ＝0)＝1－23×23＝59；“ξ＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为 P (ξ＝1)＝13×13＝19；“ξ＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P (ξ＝2)＝2×13×13＝29； “ξ＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P (ξ＝4)＝13×13＝19. 则ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×59＋1×19＋2×29＋4×19＝1，D (ξ)＝(0－1)2×59＋(1－1)2×19＋(2－1)2×29＋(4－1)2×19＝169.。
人教A版高中数学选修2-3_2.3《离散型随机变量的方差》优质教学设计(5页)
《离散型随机变量的方差》教学设计高中数学选修2-3第二章2.3.2离散型随机变量的方差外国语学校一、教学内容解析1、教材的地位和作用（1）方差是紧接着均值学习之后又一个度量离散型随机变量的特征数。
通过实例使学生理解取有限值离散型随机变量方差的含义：随机变量的方差刻画了随机变量取值的稳定性。
离散型随机变量的均值刻画了它的平均水平，而方差则是从另一个侧面刻画了随机变量的取值特点。
（2）通过比较使学生知道随机变量的方差与样本的方差的联系与区别：随机变量的方差是常数，但样本的方差是一个随机变量，它随着样本的变化而变化。
并且通过本节的学习让学生再一次领会到从样本到总体的思想，为后续课程连续型随机变量的特例正态分布的学习做好铺垫。
（3）利用方差解决实际问题。
在一些决策问题中，会有很多可供选择方案，那么如何科学地选择好的方案？在随机变量均值相同的情况下比较方差是其中一种方法。
2、教学重点与难点重点：离散型随机变量方差的概念及其实际含义。
难点：如何利用均值与方差在实际问题中作出科学的决策。
二、教学目标设置[知识与技能目标]通过实例，让学生理解离散型随机变量方差的概念，了解其实际含义。
会计算简单的离散型随机变量的方差，并解决一些实际问题。
[过程与方法目标]经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力。
通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。
[情感与态度目标]通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度。
在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。
三、学生评价及教学策略分析1、评价学生学习过程本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身与数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法。
2、评价学生的基础知识，基本技能和发现问题、解决问题的能力教学中通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，教师根据反馈适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的两点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上。
人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的均值与方差(第1课时)》教案-新版
2.3 离散型随机变量的均值与方差（第1课时）一、教学目标1．核心素养通过对离散型随机变量的均值的学习，更进一步提高了学生的数学建模能力和数学运算能力．2．学习目标（1）通过实例，理解取得有限值的离散型随机变量的均值的概念；（2）能计算简单离散型随机变量的期望，并能解决一些实际问题.3．学习重点离散型随机变量的期望的概念、公式及其应用.4．学习难点灵活利用公式求期望.二、教学设计1．预习任务任务1阅读教材P60－P63，思考：何为加权平均、权数？随机变量的均值（数学期望）的定义是什么？它反应了什么？任务2根据数学期望的计算过程，可得到它的什么性质？任务3何为两点分布？如果随机变量服从两点分布，则其数学期望有什么特点？任务4随机变量均值与样本的平均值有何联系与区别？2．预习自测1．已知X的分布列为则E(X)等于()A．0.7 B．0.61 C．－0.3 D．02．设E(X)＝10，E(Y)＝3，则E(3X＋5Y)＝()A．45 B．40 C．30 D．153．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( )A ．4B ．2C ．1 D.12 （二）课堂设计 1．知识回顾（1）何为离散型随机变量． （2）离散型性随机变量的分布列． （3）何为样本平均值？怎么计算？．（4）我们预习本课的数学期望是怎么定义的？怎么计算？ 2.创设情境 引入新知前面我们学习了离散性随机变量分布列的概念，研究了一些简单离散型随机变量的分布，建立了二项分布、超几何分布等应用广泛的概率模型.离散型随机变量的分布列刻画了随机变量取值的概率规律，但往往还需要进一步了解离散型随机变量取值的特征.比如：某商店为了满足市场需求，要将单价分别为18元/kg ，24元/kg 、36元/kg ，如果按照3：2：1的比例对糖果进行混合销售，其中混合糖果中每颗质量都相等，如何对每千克糖果定价才合理？通过师生探究发现：当定价为混合糖果的平均价格时才合理.进而求混合糖果的平均价格，从而得出如下结论：根据混合糖果中3种糖果的比例可知在1kg 的混合糖果中，3种糖果的质量分别是63kg ，62 kg 和61kg ，则混合糖果的合理价格应该是18×63+24×62+36×61=23（元/kg ）. 问题1：上述分式中36，26和61的意义是什么？在学生思考后，教师指出：上面的平均值其实是一种加权平均数，其中36，26和61表示一种权重系数，简称为权数.在计算平均数时，权数可以表示总体中的各种成分所占的比例.权数越大的数据在总体中所占的比例越大，它对加权平均数的影响越大.加权平均数是不同比重数据的平均数.加权平均数就是把原始数据按照合理的比例来计算.通过交流，使学生达成共识：36，26和61分别表示价格为18元/kg 、24元/kg 何36元/kg 的糖果在混合糖果中所占的比例.问题2：如果每一颗糖果的质量都相等，则在搅拌均匀的混合糖果中， 任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是24元/kg 的糖果的概率是多少？恰好是36元/kg 的糖果的概率是多少？学生讨论，得出共识：在混合糖果中，任取一颗恰好是18元/kg 的糖果的概率是36，恰好是24元/kg 的糖果的概率是26，恰好是36元/kg 的糖果的概率是61.问题3：假如从混合糖果中随机的选取一颗，记X 为该糖果原来的单价，你能写出X 的分布列吗？学生不难得出随机变量X 的分布列为：问题4：能否将混合糖果的平均价格用X 的取值及其相应的概率来表示呢？由之前的知识，学生得出： 每千克混合糖果的平均价格为：18×63+24×62+36×61=23（元/kg ） 即18×P(X=18）+24×P(X=24）+36×P(X=36）=23（元/kg ） 教师总结：这里混合糖果的平均价格为随机变量X 的取值与其相应概率乘积之和.混合糖果的平均价格既为随机变量X 的均值.（设计意图：用实际问题为背景，从求学生熟悉的样本平均数为出发点，设置问题串，层层递进，逐步深入，最终得出结论：离散型随机变量X 取值的平均值为离散型随机变量X 的所有取值与其相应概率乘积之和.这样不但可以使学生直观感受到数学与生活的联系，而且可以激发学生的学习兴趣与热情.同时有利于学生进行知识迁移，为下面概括抽象得出科学定义做好铺垫.） 3.概括抽象 构建概念问题5：能否用数学语言表述离散型随机变量的均值这一概念的定义？ 可以使学生自行定义，教师作出修正，最终形成正式的定义：若离散型随机变量X 的分布列为：则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．数学期望又简称为期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.（设计意图：使学生经历离散型随机变量均值概念的形成过程，体验从具体问题中概括、抽象，形成定义的思想方法，体会概括、抽象是一种常用的数学逻辑方法，使学生学会科学定义的方法.这里渗透了从特殊到一般的数学思想方法）问题6：离散型随机变量ξ的期望与ξ可能取值的算术平均数相同吗？通过师生共同分析得出结论，期望的计算是从概率分布出发，因而它是概率意义下的平均值.随机变量ξ取每个值时概率不同导致了期望不同于初中所学的算术平均数.（设计意图：期望源于平均值，但又不同于平均值，通过比较，进一步加深对数学期望的理解.）问题7：能给出两点分布与二项分布的均值吗？根据均值的计算公式，学生不难得出：4.例题分析应用新知例1：设随机变量X的分布列如下所示，已知E(X)＝1.6，则a－b＝()A．0.2B．0.1 C【知识点：期望】详解：a＋b＝0.8，且E(X)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6.即a＋b＝0.8，且a＋2b＝1.3，∴a＝0.3，b＝0.5，a－b＝－0.2.点拨：本题主要考查离散型随机变量的均值的计算公式，且要熟知离散型随机变量的概率之和为1.例2：有一批数量很大的产品，其次品率是15℅.对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但抽查次数最多不超过10次.求抽查次数ξ的期望.【知识点：期望】详解：解决这个实际问题的难点是求ξ的分布列，一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大时，各次抽查结果可以认为是相互独立的.并且取1～10的整数，前k-1次取到正品，而第k 次取到次品的概率是P （ξ=k ）=15.085.01⨯-k （k=1，2，3，…,9），P （ξ=10）=185.09⨯.然后学生运用数学期望的定义来解题点拨：求离散型随机变量期望的步骤： （1）确定离散型随机变量ξ的取值.（2）写出分布列，并检查分布列的正确与否. （3）求出期望.例3：某同学代表班级参加设计比赛，每连续设计10次，其中有3次中10环，5次中9环，2次中8环.①求次同学射击一次中靶的环数的均值是多少？②如果把该同学射击一次所得的环数的2倍再加上5记为该同学的设计成绩Y ，即Y=2X+5，那么试求Y 的均值. 【知识点：分布列、期望及性质】详解：(1)击靶数的分布列，根据期望的计算公式可得出E(X)=9.1(2)写出得分Y 的分布列，并求出E （Y ）=23.2点拨：当X 为随机变量时，若Y=aX+b(a,b 为常数)，则Y 也为随机变量，并称随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(X)+b 练习：设E (X )＝10，E (Y )＝3，则E (3X ＋5Y )＝( ) A ．45 B ．40 C ．30 D ．15【知识点：离散型随机变量期望的性质】 详解：E(3X+5Y)=3E(X)+5E(Y)=45.点拨：随机变量X 和Y 具有线性关系.X 与Y 的均值也具有线性关系，且E(Y=aX+b)=aE(x)+b 5.课堂总结均值或数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE 为ξ的均值或数学期望，简称期望．均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.均值或期望的一个性质:若b aX Y +=，其中b a ,是常数(X 是随机变量)，则Y 也是随机变量，且有()()E aX b aE X b +=+.(1)当0=a 时，()E b b =，即常数的数学期望就是这个常数本身；(2)当1=a 时，()()E X b E X b +=+，即随机变量X 与常数之和的期望等于X 的期；(3)当0=b 时，E aX aE X =（）（），即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.①若X 服从两点分布，则)(X E ＝p ； ②若ξ～),,(p n B 则)(X E ＝np . 6. 随堂检测1．随机抛掷一个骰子，所得点数η的均值为( ) A.16 B.13 C.12 D.3.52．若X ～B (4，12)，则E (X )的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．123．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （三）课后作业 (一)基础型1．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且E (ξ)＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.642．今有两台独立工作在两地的雷达，每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85，设发现目标的雷达数为ξ，则E (ξ)的值为( ) A ．0.765 B ．1.75 C ．1.765 D ．0.223．有10张卡片，其中8张标有数字2,2张标有数字5，从中任意抽出3张卡片，设3张卡片上的数字之和为ξ，则ξ的期望是( ) A ．7.8 B ．8 C ．16 D ．15.64．若X 是一个随机变量，则E (X －E (X ))的值为( ) A ．无解 B ．0 C ．E (X ) D ．2E (X ) （二）能力型5．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数ξ的数学期望是( )A.13 B.23 C.43 D.346．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为()A．100 B．200 C．300 D．4007．某一供电网络，有n个用电单位，每个单位在一天中使用电的机会是p，供电网络中一天平均用电的单位个数是()A．np(1－p) B．Np C．n D．p(1－p)8．甲、乙两台自动车床生产同种标准产品1 000件，ξ表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，η表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，ξ，η的分布列分别是：据此判定()A．甲比乙质量好B．乙比甲质量好C．甲与乙的质量相同D．无法判定9．在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：(1)取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望；(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．10．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．(1)求ξ的分布列；(2)求ξ的数学期望；(3)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率．11．某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检)，若安检不合格，则必须整改，若整改后经复查仍不合格，则强制关闭．设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5，整改后安检合格的概率是0.8.计算(结果精确到0.01)：(1)恰好有两家煤矿必须整改的概率；(2)平均有多少家煤矿必须整改；(3)至少关闭一家煤矿的概率．12．为了拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12、13、16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及数学期望．（三）探究型13.设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取－22，－3，－52，0，52，3，22，用ξ表示坐标原点到l的距离，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________.14.马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下表：请小牛同学计算ξ“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.15.某企业2014年工作计划中，对每位员工完成工作任务的奖励情况作出如下规定：有一季度完成任务者得奖金300元；有两季度完成任务者得奖金750元；有三季度完成任务者得奖金1 260元；对四个季度均完成任务的员工，奖励 1 800元；若四个季度均未完成任务则没有奖金．假若每位员工在每个季度里完成任务与否都是等可能的，求企业每位员工在2014年所得奖金的数学期望．（四）自助餐1．已知某一随机变量X的概率分布列如下表，E(X)＝6.3，则a值为()A．5 B．6 C．7 D．82．节日期间，某种鲜花的进价是每束2.5元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束1.6元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况需求量X(束)的统计(如下表)，若进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是()A．706元B．690元3．如果袋中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，那么ξ的期望E(ξ)＝()A.34 B.125 C.197 D.134．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，若X表示取到次品的个数，则E(X)等于()A.35 B.815 C.1415 D.15．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗亭．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯的次数的期望为()A．0.4 B．1.2 C．0.43 D．0.66．袋子装有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，用X表示取出的球的最大号码，则E(X)＝()A．4 B．5 C．4.5 D．4.757．设15 000件产品中有1 000件次品，从中抽取150件进行检查，由于产品数量较大，每次检查的次品率看作不变，则查得次品数的数学期望为()A．15 B．10 C．20 D．58．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数X～B(5，14)，则E(－X)的值为()A.14B．－14C．54D．－549．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k(1－p)1－k(k＝0,1,0<p<1)，则E(X)＝________.10．一个人有n把钥匙，其中只有一把能打开他的房门，他随意地进行试开，并将试开不对的钥匙除去，则打开房门所试开次数ξ的数学期望是________．11．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获得12%；一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果：12．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是________．13．若事件在一次试验中发生次数的方差等于0.25，则该事件在一次试验中发生的概率为________． （四）参考答案 预习自测 1.C 2.A 3.B 随堂检测 1.D 2.B 3.B 课后作业 基础型 1.C 2.B 3.A 4.B 能力型 5.B 6.B 7.B 8.A9.解:(1)由于从10件产品中任取3件的结果数为C 310，从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的结果数为C k 3C 3－k 7，那么从10件产品中任取3件，其中恰有k 件一等品的概率为 P (X ＝k )＝C k 3C 3－k7C 310，k ＝0,1,2,3.所以随机变量X 的分布列是X 的数学期望E (X )＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910.(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A ，“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A 1，“恰好取出2件一等品”为事件A 2，“恰好取出3件一等品”为事件A 3.由于事件A 1，A 2，A 3彼此互斥，且A ＝A 1∪A 2∪A 3，而P (A 1)＝C 13C 23C 310＝340，P (A 2)＝P (X ＝2)＝740，P (A 3)＝P (X ＝3)＝1120，所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝340＋740＋1120＝31120. ∴σ(X 3)＝D X 3＝10×12×12＝ 2.5.10. 解:(1)ξ可能取的值为0,1,2.P (ξ＝k )＝C k 2·C 3－k4C 36，k ＝0,1,2.所以，ξ的分布列为(2)由(1)，ξ的数学期望为 E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1.(3)由(1)，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为 P (ξ≤1)＝P (ξ＝0)＋P (ξ＝1)＝45.11. 解:(1)每家煤矿必须整改的概率是1－0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的，所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是P 1＝C 25×(1－0.5)2×0.53＝516≈0.31.(2)由题设，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B (5，0.5)，从而ξ的数学期望E (ξ)＝5×0.5＝2.50，即平均有2.50家煤矿必须整改．(3)某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是P 2＝(1－0.5)×(1－0.8)＝0.1，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意可知，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，故至少关闭一家煤矿的概率是P 3＝1－0.95≈0.41.12. 解:记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3，由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13， P (C i )＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P (A 1B 2C 3)＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)解法一 设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η， 由已知，η～B (3，13)，且ξ＝3－η， 所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33(13)3＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23(13)2(23)＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13(13)(23)2＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03(23)3＝827. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.解法二 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件D i ，i ＝1,2,3. 由已知，D 1，D 2，D 3相互独立，且 P (D i )＝P (A i ＋C i )＝P (A i )＋P (C i )＝12＋16＝23.所以ξ～B (3，23)，即P (ξ＝k )＝C k 3(23)k (13)3－k，k ＝0,1,2,3. 故ξ的分布列是ξ的数学期望E (ξ)＝3×23＝2. 探究型 13.47 14.215.解:P (X ＝0)＝C 04(12)0(12)4＝116；P (X ＝300)＝C 14(12)1(12)3＝14； P (X ＝750)＝C 24(12)2(12)2＝38；P (X ＝1 260)＝C 34(12)3(12)1＝14；P (X ＝1 800)＝C 44(12)4(12)0＝116. 故X 的分布列为E (X )＝0×116＋300×14＋750×38＋1 260×14＋1 800×116＝783.75(元)． 自助餐 1.C 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.B 8.D 9.p 10.n ＋12 11.4 760 12.49 13.0.5。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-3 2.3.2 离散型随机变量的方差》1
离散型随机变量的方差（教学设计）一、教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，能够根据离散型随机变量的分布列求出方差与标准差。
过程与方法：了解方差公式Da ξb =a 2D ξ，以及若ξ～Βn ，，则D ξ=n 1—，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
情感、态度与价值观：通过实际例子，感悟数学在生活中无处不在 ,体现数学的文化功能与人文价值。
二、教学重难重点：离散型随机变量的方差、标准差。
难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题。
三、教学过程： （一）复习回顾：1数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称 ++++=n n p x p x p x E 2211ξ为ξ的数学期望，简称期望。
数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 。
2期望的一个性质：()b aE b a E +=+ξξ 3两种特殊分布的均值（1）若X 服从两点分布，则p EX = （2）若X ～B （n,），则np EX = （二）新知探究：问题：已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X 1、X 2的分布列如下：甲同学击中目标靶的环数X 1的分布列为乙同学击中目标靶的环数X 2的分布列为试比较两名射手的射击水平。
如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？分析：∵EX 1 =8×9×10×=9 EX 2 =8×9×10×=9∴甲、乙两射手的设击水平相同思考：这样的分析对吗？（显然两名选手的水平是不同的，这里要进一步去分析他们的成绩的稳定性）（三）新课讲解 回顾：样本方差对于一组数据的稳定性的描述，我们是用方差或标准差来刻画的，样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度。
在一组数据n x x x ,,,21 中，各数据的平均数为x ，则这组数据的方差为：()()()[]2222121x x x x x x nS n -++-+-=思考：类似于这个概念,我们如何定义随机变量的方差？ 1离散性随机变量的方差与标准差：设离散型随机变量X 的概率分布为则2(())i x E X -描述职i i=1,2,3，……相对于均值EX 的偏离程度，而 ()i ni i p EX x DX 21∑=-=为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度，我们称()X D 为随机变量X 的方差，用()X σ）为随机变量X 的标准差。
高中数学《离散型随机变量的方差》导学案
§2．3．2离散型随机变量的方差（导学案）一、学习目标：1：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。
2：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。
3：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。
教学重点：离散型随机变量的方差、标准差教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 二、学习过程： 复习引入：1. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(2.若ξB （n,p ），则E ξ=np导入新课： 1. 方差:对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ⋅-ξ＋222)(p E x ⋅-ξ＋…＋n n p E x ⋅-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望．2. 标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．3.方差的性质：（1）ξξD a b a D 2)(=+； （2）22)(ξξξE E D -=；（3）若ξ～B (n ，p )，则=ξD np (1-p )三、讲解范例：例1．随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差.例2．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：例4．47177127111=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ； 471)47(71)42(71)41(2221=⨯-+⋅⋅⋅+⨯-+⨯-=ξD ；211==ξσξD4713.4718.3717.32=⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯=ξE ；2ξD =0.04, 2.022==ξσξD .三、总结反思 ：⑴求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤：⑵对于两个随机变量1ξ和2ξ，在1ξE 和2ξE 相等或很接近时，比较1ξD 和2ξD ，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合人们的需要四、随堂检测： 一、选择题1.已知随机变量X 的分布列是则E(X)和D(X)分别等于( ) A.1和0 B.1和1.8 C.2和2D.2和0.82.(2015·安徽高考)若样本数据x 1，x 2，…，x 10的标准差为8，则数据2x 1-1，2x 2-1，…，2x 10-1的标准差为( ) A.8B.15C.16D.32【解题指南】应用标准差、方差公式和性质计算标准差.3.(2015·菏泽高二检测)已知随机变量X+η=8，若X ～B(10，0.6)，则E(η)，D(η)分别是( )A.6和2.4B.2和2.4C.2和5.6D.6和5.64.已知随机变量ξ的分布列如表，则随机变量ξ的方差D(ξ)的最大值为( )ξ0 1 2P y 0.4 xA.0.72B.0.6C.0.24D.0.48【解题指南】根据三个变量对应的概率之和是1，写出y与x之间的关系，写出变量的期望和变量平方的期望，写出方差的表示式，表示式是一个关于x的二次函数，根据二次函数求最值可得答案.【解析】5.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，则得分X的均值与方差分别为( )A.E(X)=0，D(X)=1B.E(X)=，D(X)=C.E(X)=0，D(X)=D.E(X)=，D(X)=1【解题指南】要计算随机变量的均值和方差，应先列出其分布列.抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，得X的分布列，再求均值和方差.二、填空题6.已知随机变量X的分布列为：X 1 2 3P 0.4 0.5 x则X的方差为________.7.某射手击中目标的概率为p，则他射击n次，击中目标次数ξ的方差为________.【解析】8.某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分.小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的方差为________.【补偿训练】从装有除颜色外完全相同的3个白球和m个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回地摸取5次，设摸取的白球数为X，已知E(X)=3，则D(X)=________.【解析】三、解答题(每小题10分，共20分)9.抛掷一枚质地均匀的骰子，用X表示掷出偶数点的次数.(1)若抛掷一次，求E(X)和D(X).(2)若抛掷10次，求E(X)和D(X).10.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ与η，且ξ，η的分布列为(1)求a，b的值.(2)计算ξ，η的均值与方差，并以此分析甲、乙的技术状况.【解题指南】利用概率和是1求得a，b；再利用公式求得均值和方差，并做出分析.。
【B版】人教课标版高中数学选修2-3《离散型随机变量的方差》导学案
2.3.2离散型随机变量的方差【学习要求】1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念。
2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题。
3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差。
【学法指导】1．通过实例理解离散型随机变量的方差的意义，通过例题体会方差在解决实际问题中的应用。
2．要善于将实际问题转化为数学问题来解决，通过模仿建立起数学建模的思维常识。
【知识要点】1．离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列为则(x i－E(X))2描述了x i(i＝1，2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度。
我们称D(X)为随机变量X的，并称其算术平方根随机变量X的。
2．离散型随机变量方差的性质（1）设a，b为常数，则D(aX＋b)＝，（2）D(c)＝0(其中c为常数)。
3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差（1）若X服从两点分布，则D(X)＝(其中p为成功概率)；（2）若X～B(n，p)，则D(X)＝。
【问题探究】探究点一方差、标准差的概念及性质问题1某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5；乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7。
观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的。
那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？问题2类比样本方差、标准差的概念，能否得出离散型随机变量的方差、标准差？问题3随机变量的方差与样本的方差有何不同？问题4方差、标准差的单位与随机变量的单位有什么关系？问题5我们知道若一组数据x i(i＝1，2，…，n)的方差为s2，那么另一组数据ax i＋b(a、b是常数且i＝1，2，…，n)的方差为a2s2。
离散型随机变量的方差教学设计——高中数学选修2-3第二章第5节第3课时
［ 程 与方 法 目标 ］ 过 １ 历 概 念 的 建 构 这 一 过 程 ， 学 生 进 一 步 体 会 从 特 殊 ． 经 让 能力 ． 即发 现 、 出 、 究 及 解 决 问 题 的 能 力 ； 己 动 手 的 能 提 探 自 力 ： 立 参 与 社 会 活 动 的能 力 。 在 研 究 学 习 过 程 中 ， 生 的 独 学 积 极 性 能 够 得 到 充 分 调 动 ， 助 于增 强 满 足 感 与 自信 心 ， 有 提 高 创 新 能 力 ， 实 现 中感 受 研 究 数 学 的 趣 味 ， 分 享 中领 略 在 在 成功 的喜悦 。 四 、 养 学 生 的创 新 意 识 。 理 论 结 合 实 际开 展 探 究 式 培 将
际 问 题． ຫໍສະໝຸດ 方 差 是 概 率 论 和数 理 统 计 的重 要 概 念 之 一 ， 反 映 随 机 是 变 量 取 值 分 布 的特 征数 ． 习 方 差 将 为 今 后 学 习 概 率 统计 知 学 识 做 铺 垫 ． 时 ， 在 市 场 预 测 ， 济 统 计 ， 险 与 决 策 等 领 同 它 经 风
面 的实 际 问题 ， 中贯 彻 渗 透 现 代 教 育 理念 ， 倡 学 生 自主 创 从 提 新 ， 展 研 究 型 课 题 ， 力 培 养 与 提 高学 生 的创 新 意 识 、 践 开 着 实 技 能 与 研 究 能 力 。 充分 发扬 学 生 的个 性 ， 挥 每 个 人 的特 长 ， 发 指 导 学 生 学 会 简 单 的研 究性 学 习 。数 学 教 师 要 提 倡 学 生 勇 敢 地 提 出问 题 ． 合 教 材 的 内容 不 断 反 思 自己 的 学 习 成 果 ； 倡 结 提 学 生 积 极 开 展 问题 谈 论 与 辨 析 ， 化 自 己的 问 题 意识 ， 立 质 强 树 疑 意 识 ： 导学 生 自觉 地 探索 ， 进 问题 的解 决 。 倡 促 新课程改革 着力强调教 学活动要培养学 生的创新精 神 ， 提 高 学 生 的 实 践 能 力 ， 补 传 统 教 学 观 念 的 不 足 ， 服理 论 严 弥 克 重 脱 离 实 际 的 教 育 弊 端 。 研 究 性 学 习 的 一个 很 重要 的方 面是 要 指导 学 生 把 所 学 的 数 学 知 识 应 用 到 实 际 中 ， 现 问 题 、 决 发 解 问题 ． 到 理论 与实 践 的 高 度 统一 。 做 提倡 并 鼓 励 学 生 探 究 生 活 中 的数 学 问题 ， 爱上 数 学 研 究 性 学 习 ， 体会 到 学 习 无 穷无 尽 的 乐趣 ． 高 参 与 热情 ， 而 做 到 学 以 致 用 。 数 学 知识 在 实 际 生 提 从 活 中 的应 用 是 很 广 泛 的 ， 仅 能够 帮助 解 决 数 学 问题 ， 能 够 不 更 帮 助 实 际 的生 产 、 活 ， 助 于 问 题 的 发 现 、 出与 及 时 解 决 。 生 有 提 例 如 ， 用 数 列 的相 关 知 识 可 以帮 助 购 房 、 车 分 期 付 款 等 问 运 购
高中数学选修2-3精品教案7：2.3.2 离散型随机变量的方差教学设计
2.3.2 离散型随机变量的方差整体设计教材分析本课仍是一节概念新授课，方差与均值都是概率论和数理统计的重要概念，是反映随机变量取值分布的特征数．离散型随机变量的均值与方差涉及的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题、选题、选课、做题、考试问题、试验、游戏、竞赛、研究性问题、旅游、交通问题、摸球问题、取卡片、数字和入座问题、信息、投资、路线等问题．从近几年高考试题看，离散型随机变量的均值与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识，主要考查能力．课时分配1课时教学目标知识与技能了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．过程与方法了解方差公式“D(aX＋b)＝a2D(X)”，以及“若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差．情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：离散型随机变量的方差、标准差．教学难点：比较两个随机变量的均值与方差的大小，从而解决实际问题．教学过程复习旧知1．数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为ξx1x2…x i…x nP p1p2…p i…p n则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为ξ的数学期望．2．数学期望的一个性质：E(aξ＋b)＝aEξ＋b.3．若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np.教师指出：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．探究新知已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数ξ1、ξ2的分布列如下：ξ18 9 10P 0.2 0.6 0.2ξ28 9 10P 0.4 0.2 0.4试比较两名射手的射击水平高低．提出问题：下面的分析你赞成吗？为什么？∵Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9，∴甲、乙两射手的射击平均水平相同．设计意图：展示错解，引出课题活动结果：不对，显然两名选手的水平是不同的，要进一步去分析成绩的稳定性．教师指出：初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差．在一组数据x 1，x 2，…，x n 中，S 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]叫做这组数据的方差．类似于这个概念，我们可以定义离散型随机变量的方差．(给出定义)1．方差：对于离散型随机变量X ，如果它所有可能取的值是x 1，x 2，…，x i ，…x n ，且取这些值的概率分别是p 1，p 2，…，p i ，…p n ，那么，D (X )＝(x 1－E (X ))2·p 1＋(x 2－E (X ))2·p 2＋…＋(x i －E (X ))2·p i ＋…＋(x n －E (X ))2·p n 称为随机变量X 的方差，式中的E (X )是随机变量X 的均值．标准差：D (X )的算术平方根D (X )叫做随机变量X 的标准差，记作σ(X )．理解新知(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；(2)随机变量X 的方差、标准差也是随机变量X 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 对“探究”的再思考：(1)如果其他对手的射击成绩都在8环左右，应派哪一名选手参赛？ (2)如果其他对手的射击成绩都在9环左右，应派哪一名选手参赛？ 解：∵Eξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9， Eξ2＝8×0.4＋9×0.2＋10×0.4＝9， ∴甲、乙两射手的射击平均水平相同．又∵Dξ1＝0.4，Dξ2＝0.8，∴甲射击水平更稳定．若对手在8环左右，派甲参赛，易赢．若对手在9环左右，则派乙参赛，可能超常发挥． 提出问题：前面我们知道若一组数据x i (i ＝1,2，…，n )的方差为s 2，那么另一组数据ax i ＋b (a 、b 是常数且i ＝1,2，…，n )的方差为a 2s 2.离散型随机变量X 的方差是否也有类似性质？ 活动结果：同样具有．2．方差的性质：D (aX ＋b )＝a 2D (X )； 其他：D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2(了解)； 3．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．运用新知例1随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的均值、方差和标准差．解：抛掷骰子所得点数X 的分布列为X 1 2 3 4 5 6 P161616161616从而E (X )＝1×16＋2×16＋3×16＋4×16＋5×16＋6×16＝3.5；D (X )＝(1－3.5)2×16＋(2－3.5)2×16＋(3－3.5)2×16＋(4－3.5)2×16＋(5－3.5)2×16＋(6－3.5)2×16≈2.92，D (X )≈1.71.例2有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：甲单位不同职位月工资X 1/元 1 200 1 400 1 600 1 800 获得相应职位的概率P 10.40.30.20.1乙单位不同职位月工资X 2/元 1 000 1 400 1 800 2 200 获得相应职位的概率P 20.40.30.20.1根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？ 解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得E (X 1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D (X 1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E (X 2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D (X 2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋(2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位． 变练演编设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求Eξ、Dξ.ξ －1 0 1 P121－2qq 2剖析：应先按分布列的性质，求出q 的值后，再计算出Eξ、Dξ.解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以⎩⎪⎨⎪⎧12＋1－2q ＋q 2＝1，0≤1－2p ≤1，q 2≤1，解得q ＝1－22. 于是，ξ的分布列为ξ －1 0 1 P122－132－ 2 所以Eξ＝(－1)×12＋0×(2－1)＋1×(32－2)＝1－2，Dξ＝[－1－(1－2)]2×12＋(1－2)2×(2－1)＋[1－(1－2)]2×(32－2)＝2－1.教师点评：解答本题时，应防止机械地套用均值和方差的计算公式，出现以下误解：Eξ＝(－1)×12＋0×(1－2q )＋1×q 2＝q 2－12.另外既要会由分布列求Eξ、Dξ，也要会由Eξ、Dξ求分布列，发展逆向思维．变式：若ξ是离散型随机变量，P (ξ＝x 1)＝35，P (ξ＝x 2)＝25，且x 1<x 2，又知Eξ＝75，Dξ＝625，求ξ的分布列．解：依题意ξ只取2个值x 1与x 2，于是有 Eξ＝35x 1＋25x 2＝75，Dξ＝35x 21＋25x 22－Eξ2＝625， 从而得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 1＋2x 2＝7，3x 21＋2x 22＝11.解之得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝2，或⎩⎨⎧x 1＝95，x 2＝45.而x 1<x 2，∴x 1＝1，x 2＝2.∴ξ的分布列为：ξ 1 2 P3525达标检测1．设随机变量ξ的分布列为ξ12…nP1n1n…1n求Dξ.解：Eξ＝n ＋12，Dξ＝n 2－112.2．有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为ξ，求Eξ，Dξ.分析：涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题．由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的．解答本题，关键是理解清楚：抽200件商品可以看作200次独立重复试验，即ξ～B (200,1%)，从而可用公式：Eξ＝np ，Dξ＝npq (这里q ＝1－p )直接进行计算．解：因为商品数量相当大，抽200件商品可以看作200次独立重复试验，所以ξ～B (200,1%)．因为Eξ＝np ，Dξ＝npq ，这里n ＝200，p ＝1%，q ＝99%，所以，E ξ＝200×1%＝2，Dξ＝200×1%×99%＝1.98.课堂小结1．求离散型随机变量ξ的方差、标准差的步骤： ①理解ξ的意义，写出ξ可能取的全部值； ②求ξ取各个值的概率，写出分布列； ③根据分布列，由均值的定义求出Eξ； ④根据方差、标准差的定义求出Dξ、D ξ.若ξ～B (n ，p )，则不必写出分布列，直接用公式计算即可．2．对于两个随机变量ξ1和ξ2，在Eξ1和Eξ2相等或很接近时，比较Dξ1和Dξ2，可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际，适合问题的需要．补充练习基础练习1．已知ξ～B (n ，p )，且Eξ＝7，Dξ＝6，则p 等于( ) A.17 B.16 C .15 D.14 【解析】Eξ＝np ＝7，Dξ＝np (1－p )＝6，所以p ＝17.【答案】A2．一牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02.设发病的牛的头数为ξ，则Dξ等于( )A ．0.2B ．0.8C ．0.196D ．0.804 【解析】D ξ＝10×0.02×0.98＝0.196. 【答案】C3．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1、ξ2，若Eξ1＝Eξ2，Dξ1＞Dξ2，则自动包装机________的质量较好．【解析】Eξ1＝Eξ2说明甲、乙两机包装的重量的平均水平一样．Dξ1>Dξ2说明甲机包装重量的差别大，不稳定．∴乙机质量好． 【答案】乙4．一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案．每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分．学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的均值和标准差．解：设学生甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ～B (50,0.8)，η＝2ξ，故成绩的均值为Eη＝E (2ξ)＝2Eξ＝2×50×0.8＝80；成绩的标准差为Dη＝D (2ξ)＝4Dξ＝250×0.8×0.2＝42≈5.7. 拓展练习若随机变量A 在一次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数．(1)求方差Dξ的最大值； (2)求2Dξ－1E ξ的最大值．剖析：要求Dξ、2Dξ－1E ξ的最大值，需求Dξ、Eξ关于p 的函数式，故需先求ξ的分布列．解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而Eξ＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，Dξ＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2. (1)Dξ＝p －p 2＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，Dξ取得最大值为14.(2)2D ξ－1E ξ＝2(p －p 2)－1p ＝2－(2p ＋1p)，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥2 2.当且仅当2p ＝1p ，即p ＝22时，2D ξ－1E ξ取得最大值2－2 2.评述：在知识的交汇点处出题是高考的发展趋势，应引起重视．设计说明本节课从新课标评价理念出发，以问题作为教学的主线，教师适时点拨为辅助手段，使学生在猜想、对比性问题中展开探索，在实践应用性问题中感悟数学的思维与方法．教学中以课堂作为教学的辐射源，通过教师、学生、多媒体多点辐射，带动和提高所有学生的学习积极性与主动性．。
高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.3.2 离散型随机变量的方差学案(含解析)新人教A版选修2-
2．3.2 离散型随机变量的方差[目标] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法．[重点] 离散型随机变量的方差和标准差的概念和计算；方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法．[难点] 离散型随机变量的方差的计算与应用．知识点一 离散型随机变量的方差、标准差[填一填]1．方差及标准差的定义 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n(1)方差D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i . (2)标准差为D (x ). 2．方差的性质 D (aX ＋b )＝a 2D (X )．[答一答]1．方差与标准差有什么实际意义？提示：随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定与波动、集中与离散的程度．D (X )越小，稳定性越高，波动越小．显然D (X )≥0，随机变量的标准差与随机变量本身有相同的单位．2．你能类比样本数据方差的计算公式，理解离散型随机变量方差的计算公式吗？ 提示：设x 1、x 2、…、x n 为样本的n 个数据，x ＝x 1＋…＋x n n ，则该样本数据的方差s 2＝∑i ＝1n(x i －x )2·1n ，由于x 相当于离散型随机变量中的E (X )，而1n相当于每个数据出现的频率(概率)p i ，故离散型随机变量X 的方差可定义为：D (X )＝∑i ＝1n(x i －E (X ))2·p i (i ＝1,2，…，n )．3．随机变量的方差与样本方差有什么关系？提示：随机变量的方差即为总体的方差，它是一个客观存在的常数，不随抽样样本的变化而变化；样本方差则是随机变量，它是随着样本的不同而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近于总体方差．知识点二 两个常见分布的方差[填一填]1．若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． 2．若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．[答一答]4．两点分布的方差同二项分布的方差存在什么关系？提示：由于两点分布是特殊的二项分布，故两点分布的方差同二项分布的方差存在特殊与一般的关系．1．对随机变量X 的方差、标准差的理解(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的．(2)随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)D (X )越小，稳定性越高，波动越小．(4)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛． 2．剖析方差的性质当a ，b 均为常数时，随机变量η＝aξ＋b 的方差D (η)＝D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)．特别地： (1)当a ＝0时，D (b )＝0，即常数的方差等于0.(2)当a ＝1时，D (ξ＋b )＝D (ξ)，即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身．(3)当b ＝0时，D (aξ)＝a 2D (ξ)，即随机变量与常数之积的方差，等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积．类型一 离散型随机变量的方差及性质【例1】 已知η的分布列如下：η 0 10 20 50 60 P1325115215115(1)求η(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．【分析】 (1)首先求出均值E (η)，然后利用D (η)的定义求方差；(2)由于E (η)是一个常数，所以D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)．【解】 (1)∵E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，∴D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，∴D (η)＝8 6.(2)∵Y ＝2η－E (η)，∴D (Y )＝D [2η－E (η)]＝22D (η)＝4×384＝1 536.(1)求离散型随机变量的均值或方差的关键是列分布列，而列分布列的关键是要清楚随机试验中每一个可能出现的结果，同时还要正确求出每一个结果出现的概率．(2)利用离散型随机变量X 的方差的性质：当a ，b 为常数时，随机变量Y ＝aX ＋b ，则D (Y )＝D (aX ＋b )＝a 2D (X )，可以简化解答过程，提高解题效率．某校从6名学生会干部(其中男生4人，女生2人)中选3人参加市中学生运动会志愿者． (1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及方差． (2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率． 解：(1)ξ的可能取值为0,1,2. 由题意P (ξ＝0)＝C 34C 36＝15，P (ξ＝1)＝C 24C 12C 36＝35，P (ξ＝2)＝C 14C 22C 36＝15，所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 P153515E (ξ)＝0×15＋1×35＋2×15＝1，D (ξ)＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(2－1)2×15＝25.(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C ，男生甲被选中的种数为C 25＝10，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为C 14＝4，所以P (C )＝C 14C 25＝410＝25，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为25.类型二 二项分布的方差【例2】 已知某运动员投篮命中率p ＝0.6. (1)求一次投篮命中次数ξ的数学期望与方差；(2)求重复5次投篮时，命中次数η的数学期望与方差．【分析】 解本题的关键是正确地判断出第(1)小题属于两点分布，第(2)小题属于二项分布，利用相应的公式计算可得解．【解】 (1)投篮一次命中次数ξ的分布列为：ξ 0 1 P0.40.6则E (ξ)＝0×0.4＋1×0.6＝0.6，D (ξ)＝(0－0.6)2×0.4＋(1－0.6)2×0.6＝0.24.(2)由题意知重复5次投篮，命中的次数η服从二项分布，即η～B (5,0.6)． 由二项分布的数学期望与方差的公式得： E (η)＝5×0.6＝3，D (η)＝5×0.6×0.4＝1.2.解此类题的一般步骤如下：第一步，判断随机变量X 服从什么分布(两点分布还是二项分布).第二步，代入相应的公式，X 服从两点分布时，D (X )＝p (1－p )；X 服从二项分布，即X ～B (n ，p )时，D (X )＝np (1－p ).甲、乙比赛时，甲每局赢的概率是p ＝0.51，乙每局赢的概率是p ＝0.49.甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛的结果是相互独立时，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局，哪一个技术比较稳定？解：用X 表示10局中甲赢的次数，则X 服从二项分布B (10,0.51)．E (X )＝10×0.51＝5.1，即甲平均赢5.1局．用Y 表示10局中乙赢的次数，则Y 服从二项分布B (10,0.49)．E (Y )＝10×0.49＝4.9，于是乙平均赢4.9局．又D (X )＝10×0.51×0.49＝2.499，D (Y )＝10×0.49×0.51＝2.499.所以他们技术一样稳定．类型三 离散型随机变量方差的应用【例3】 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式．(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100①若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列，数学期望及方差．②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．【解】 (1)当n ≥16时，y ＝16×(10－5)＝80. 当n ≤15时，y ＝5n －5(16－n )＝10n －80.得：y ＝⎩⎨⎧10n －80(n ≤15)，80(n ≥16)(n ∈N )．(2)①X可取60,70,80.P(X＝60)＝0.1，P(X＝70)＝0.2，P(X＝80)＝0.7.X的分布列为X 607080P 0.10.20.7E(X)＝60×0.1＋70×0.2＋80×0.7＝76，D(X)＝162×0.1＋62×0.2＋42×0.7＝44.②购进17枝时，当天的利润的期望值为y＝(14×5－3×5)×0.1＋(15×5－2×5)×0.2＋(16×5－1×5)×0.16＋17×5×0.54＝76.4.由76.4>76得，应购进17枝．有甲、乙两名同学，据统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的分数在80分，90分，100分的概率分布大致如下表所示：试分析甲、乙两名同学谁的成绩好一些．解：在解答同一份数学试卷时，甲、乙两人成绩的均值分别为E(X甲)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，E(X乙)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90.方差分别为D (X 甲)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40， D (X 乙)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80. 由上面数据，可知E (X 甲)＝E (X 乙)，D (X 甲)<D (X 乙)．这表示甲、乙两人所得分数的均值相等，但两人的分数的稳定程度不同，甲同学分数较稳定，乙同学分数波动较大，所以甲同学的成绩较好．离散型随机变量期望与方差的综合应用【例4】 设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求abc .【思路分析】 第一问关键是分清取出2个球所得分数之和的所有情况，然后分类讨论，根据情况算出相应的概率、写出分布列；第二问类似地写出分布列，根据期望、方差的公式建立方程求解．【解】 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6. 故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为ξ 2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知η的分布列为η 1 2 3 paa ＋b ＋cba ＋b ＋cca ＋b ＋c所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝(1－53)2·a a ＋b ＋c ＋(2－53)2·b a ＋b ＋c ＋(3－53)2·c a ＋b ＋c ＝59.化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0，解得a ＝3c ，b ＝2c ，故abc ＝321.【解后反思】 离散型随机变量的分布列和期望是理科数学考题中的高频考点之一，其中，浙江省又多以摸球为背景，以对立事件、相互独立事件、两点分布、二项分布等知识为载体，综合考查事件发生的概率及随机变量的分布列、数学期望与方差．解题时首先要理解关键词，其次要准确无误地找出随机变量的所有可能取值，计算出相应的概率，后面一般就是计算问题．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量ξ表示A 在1次试验中发生的次数．(1)求方差D (ξ)的最大值； (2)求2D (ξ)－1E (ξ)的最大值．解：随机变量ξ的所有可能取值为0,1，并且有P (ξ＝1)＝p ，P (ξ＝0)＝1－p ，从而E (ξ)＝0×(1－p )＋1×p ＝p ， D (ξ)＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2.(1)D (ξ)＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，∵0<p <1，∴当p ＝12时，D (ξ)取得最大值，最大值为14.(2)2D (ξ)－1E (ξ)＝2(p －p 2)－1p ＝2－(2p ＋1p )，∵0<p <1，∴2p ＋1p≥2 2.当2p ＝1p ，p ＝22时，取“＝”，因此，当p ＝22时，2D (ξ)－1E (ξ)取得最大值2－2 2.1．下面说法中正确的是(D)A．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值B．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平C．离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的波动水平D．离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平解析：由于离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映的是随机变量的平均取值水平，而不是概率的平均值，故A错．而D(ξ)则反映随机变量的集中(或稳定)的程度，即波动水平．2．若X～B(n，p)，且E(X)＝1.6，D(X)＝1.28，则(A)A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45解析：由E(X)＝np＝1.6，D(X)＝np(1－p)＝1.28，可知1－p＝0.8，所以p＝0.2，n＝8.3．已知随机变量ξ，D(ξ)＝19，则ξ的标准差为13.解析：D(ξ)＝19＝13.4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，则自动包装机乙的质量较好．解析：均值仅体现了随机变量取值的平均大小，如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，方差大说明随机变量取值较分散；方差小，说明取值较集中．故乙的质量较好．5．已知随机变量X的分布列是X 0123 4P 0.2m n 0.20.1且E(X)＝1.8.(1)求D(X)；(2)设Y＝2X－1，求D(Y)．解：(1)由分布列可知0.2＋m＋n＋0.2＋0.1＝1，且E(X)＝0×0.2＋1×m＋2×n＋3×0.2＋4×0.1＝1.8.即⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝0.5，m ＋2n ＝0.8，解得m ＝0.2，n ＝0.3. ∴D (X )＝(0－1.8)2×0.2＋(1－1.8)2×0.2＋(2－1.8)2×0.3＋(3－1.8)2×0.2＋(4－1.8)2×0.1＝1.56.(2)∵D (X )＝1.56，∴D (2X －1)＝4D (X )＝6.24.。
高中数学选修2-3《离散型随机变量》教学设计
《离散型随机变量》教学设计一．教学目标知识目标： 1. 理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.能力目标：发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力.情感目标：二．教学重点学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.离散型随机变量的概念，以及在实际问题中如何恰当地定义随机变量.三．教学难点对引入随机变量目的的认识，了解什么样的随机变量便于研究.四．教学方法发现式为主、讲授式为辅，讲练结合.五．教学过程教学教学内容师生活动设计说明环节创设情境投放男生追女生数学模型由学生感兴趣的设置问题情境，引出用数字表达的随机试例子出发，激发求知验.兴趣，引入课题 . 这样教师给出例子，提出问实例一：抛掷骰子, 观察出现的点数 .既符合学生由具体到题：以上实例有什么共性抽象的思维习惯，也吗？培养学生的抽象概括S={1 ， 2， 3， 4，5， 6}学生观察，寻找类同思维，同时也使课堂随机试验的结果本身就具有数量性质点，回答。
的内容更加丰富，从投放类似例子：而使数学学习更加贴1.科比 3 次投罚球的得分。
近生活，很好地体现2.某人在射击训练中，射击一次，命中的环新教材改革的总体思数。
想 .3.在含有10 件次品的100 件产品中任意抽取 4 件，其中含有的次品件数。
探究发现教学环节实例 2抛掷一枚硬币, 会出现正面向上与反面向上两种可能结果。
结果可以用数字来表示吗？在前面例子的基（1）正面朝上对应数字1础上，让学生自己探教师提出问题，实验结果反面朝上对应数字0求随机试验的结果表没有数量性质怎么办？结（2）正面朝上对应数字-1示方法使学生的认知果可以用数字来表示吗？反面朝上对应数字1起点与新知识平顺的如果投掷n 此后，我们关心的是正面朝上的对接 .学生思考，讨论。
次数，应该如何定义随机变量？如果更关心教师引导学生根据第正面和反面的次数是否相等又应该如何定一个例子，去发现定义.义？猜想硬币投掷的表示结果 . 学生回答问题，答案使学生了解用随机变可能是多种的，教师应该让在这些随机试验中，可能出现的结果都可量表示一个随机试验学生充分地表达，然后根据以用一个数来表示．这个数在随机试验前是结果的多样性，同时学生的回答给与总结.否是预先确定的?在不同的随机试验中，结深化试验结果与随机果是否不变 ?变量的对应关系.随机变量：在一些试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且 X 是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X 叫做一个随机变量. 随机变量常用字母X、Y、来表示.探索发现观察上面的表示结果，虽然不尽相同，但是他们有没有什么共同的性质？回顾函数的概念，你能对它给与简单的解释吗？根据知识建构的函数的理解：引导学生思考随机变特点，在已有的旧知函数量的定义过程，对比函数的识的基础上，类比新实数实数定义，从映射的角度对随机知识，使得学生对新类比函数的概念，提出对随机变量的理变量进行理解，进而归纳随知识的理解更加自解：即变量值域的概念.然，降低新知识的难随机变量度 .随机试验的结果实数我们把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域 .因此上面试验中，随机变量的值域可以为{0 ， 1}、{-1， 1} 或{1，2}例 1、一个袋中装有 5 个白球和 5 个意义黑球，若从中任取 3 个，则其中所含白球的个数 x 就是一个随机变量，求x 的取值范教师举例子，学生根据围，并说明x 的不同取值所表示的事件。
选修2-3离散型随机变量的均值与方差第1课时教案新部编本
教师学科教案[ 20–20学年度第__学期]任教学科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校§2．3 离散型随机变量的均值与方差§2．3．1 离散型随机变量的均值教学目标：知识与技能：了解离散型随机量的均或期望的意，会根据离散型随机量的分布列求出均或期望．过程与方法：理解公式“ E（ aξ +b） =aEξ +b”，以及“若ξ: B（ n,p ）， Eξ =np” . 能熟地用它求相的离散型随机量的均或期望。
情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和之美, 体数学的文化功能与人文价。
教学重点：离散型随机量的均或期望的概念教学难点：根据离散型随机量的分布列求出均或期望授课类型：新授课时安排： 1教学过程：一、复习引入：1.离散型随机量的二分布: 在一次随机中，某事件可能生也可能不生，在 n 次独立重复中个事件生的次数ξ 是一个随机量．如果在一次中某事件生的概率是P，那么在 n 次独立重复中个事件恰好生k 次的概率是P n (k) C n k p k q n k，（k＝0,1,2,⋯， n，q 1 p）．于是得到随机量ξ 的概率分布如下：ξ01⋯k⋯nP C n0 p0q n C n1 p1q n 1⋯C n k p k q n k⋯C n n p n q0称的随机量ξ 服从二分布，作ξ～ B(n ， p) ，其中n， p 参数，并C n k p k q n k＝b(k；n，p)．二、讲解新课：根据已知随机量的分布列，我可以方便的得出随机量的某些制定的概率，但分布列的用途不止于此，例如：已知某射手射所得数ξ 的分布列如下ξ45678910P0.020.040.060.090.280.290.22在 n 次射之前，可以根据个分布列估n 次射的平均数．就是我今天要学的离散型随机量的均或期望根据射手射所得数ξ 的分布列，我可以估，在 n 次射中，大有P(4)n0.02n次得 4；P(5)n0.04n次得 5；⋯⋯⋯⋯P(10) n 0.22n次得10．故在 n 次射的数大4 0.02 n5 0.04 n10 0.22n(4 0.02 5 0.0410 0.22) n ，从而，n 次射的平均数4 0.025 0.0410 0.22 8.32 ．是一个由射手射所得数的分布列得到的，只与射数的可能取及其相的概率有关的常数，它反映了射手射的平均水平．于任一射手，若已知其射所得数ξ的分布列，即已知各个P(i ) （i=0，1，2，⋯， 10），我可以同他任意n 次射的平均数:0 P(0) 1 P(1)⋯10 P(10)．1.均或数学期望 :一般地，若离散型随机量ξ 的概率分布ξx1x2⋯x n⋯P p1p⋯pn⋯2称 Ex1 p1 x2 p2⋯x n p n⋯ξ 的均或数学期望，称期望．2.均或数学期望是离散型随机量的一个特征数，它反映了离散型随机量取的平均水平3.平均数、均 :一般地，在有限取离散型随机量ξ的概率分布中，令 p1p2⋯ p n，有p1 p2⋯ p n 11，E( x1x2⋯ x n )，所以ξ 的数学期望又称平均数、n n均4.均或期望的一个性 :若a b (a、b是常数)，ξ 是随机量，η也是随机量，它的分布列ξx1x2⋯x n⋯ηax1b ax2b⋯ax n b⋯P p1p2⋯p n⋯于是 E(ax1b) p1(ax2b) p2⋯(ax n b) p n⋯＝ a( x1 p1x2 p2⋯x n p n⋯)b( p1p2⋯p n⋯)＝ aE b ，由此，我得到了期望的一个性: E(a b) aE b5. 若ξ: B（n,p ）， Eξ=np明如下：∵P(k) C n k p k (1 p)n k C n k p k q n k，∴E0×C n0p0q n＋ 1×C1n p1q n 1＋ 2×C n2p2q n 2＋⋯＋ k×C n k p k q n k＋⋯＋ n ×C n n p n q0．又∵kC n k k n!k)! (k n(n1)!nC n k11，k!(n1)![( n1)( k1)]!∴E np(C n01 p0q n 1＋ C n11 p1q n2＋⋯＋ C n k11 p k 1 q( n 1) (k 1)＋⋯ ＋C n n11 p n 1q 0 )np ( p q) n1np ．故若ξ～ B(n ， p) ，E np．三、讲解范例：例 1.球运在比中每次球命中得 1 分，不中得0 分，已知他命中的概率0.7 ，求他球一次得分的期望解：因 P(1)0.7, P(0) 0.3 ，所以 E10.70 0.30.7例 2.一次元由 20 个构成，每个有 4 个，其中有且有一个是正确答案，每正确答案得 5 分，不作出或不得分，分100 分学生甲任一的概率0.9 ，学生乙在中每都从 4 个中随机地一个，求学生甲和乙在次英元中的成的期望解：学生甲和乙在次英中正确答案的个数分是,，~B （20,0.9 ）,~ B(20,0.25) ,E200.918, E200.25 5由于答对每题得 5 分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：E(5 ) 5E( ) 5 18 90,E(5 ) 5E( ) 5 5 25例 3.随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数的期望解：∵ P(i )1/ 6,i 1,2,,6 ，E11/ 621/ 6 6 1/ 6 =3.5例 4.随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ 的数学期望．解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为ξ123456P 111111 666666所以E1×1＋2×1＋3×1＋4×1＋5×1＋6×1 666666＝(1 ＋2＋3＋4＋5＋6) ×1＝ 3.5 ．6抛掷骰子所得点数ξ 的数学期望，就是ξ 的所有可能取值的平均值．四、课堂练习：1.口袋中有 5 只球，编号为1，2， 3，4，5，从中任取 3 球，以表示取出球的最大号码，则E（）A． 4；B． 5；C．4.5 ；D． 4.75答案： C2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中的 1 分，罚不中得 0 分．已知某运动员罚球命中的概率为 0.7 ，求⑴他罚球 1 次的得分ξ的数学期望；⑵他罚球 2 次的得分η的数学期望；⑶他罚球 3 次的得分ξ的数学期望．3．设有 m升水，其中含有大肠杆菌 n 个．今取水 1 升进行化验，设其中含有大肠杆菌的个数为ξ，求ξ 的数学期望．五、小结：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ 的期望的基本步骤：①理解ξ 的意义，写出ξ 可能取的全部值；②求ξ 取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出 Eξ公式 E（aξ +b） = aEξ +b，以及服从二项分布的随机变量的期望 Eξ =np六、布置作业：练习册七、板书设计（略）八、教学反思：(1)离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；(2)求离散型随机变量ξ 的期望的基本步骤：①理解ξ 的意义，写出ξ 可能取的全部值；②求ξ 取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出Eξ公式E（aξ +b）= aEξ +b，以及服从二项分布的随机变量的期望Eξ =np 。
北师大版选修2-3离散型随机变量及分布列导学案
§2.1.1 离散型随机变量主备人：李斌审核人：高二数学组（理）使用日期：2013-6-姓名组名小组长签名1．理解随机变量的定义；2．掌握离散型随机变量的定义．学习重难点：重点：离散型随机变量的概念及性质难点：离散型随机变量的概念的理解学法指导：1、小组长带领组员预习了解离散型随机变量的概念2、个个组员分别完成导学案3、将不能独立完成问题提交组上，有本组组员共同讨论完成，若本组共同无法完成，将问题提交“交流平台”全班共同或代课老师完成4、完成以后，组内预演展示已达到课堂展示完美5、课堂上注意利用“红色”笔做好改正和记录6、课后组长带领大家对本节中出现的错误，共同讨论进行纠错，个个组员将纠错内容记录在“纠错本”上。
：课前准备（预习教材P33~ P34，找出疑惑之处）复习1：掷一枚骰子，出现的点数可能是，出现偶数点的可能性是．复习2：掷硬币这一最简单的随机试验，其可能的结果是，两个事件．※学习探究探究任务一：在掷硬币的随机试验中，其结果可以用数来表示吗？我们确定一种关系，使得每一个试验结果都用一个表示，在这种关系下，数字随着试验结果的变化而变化知识链接：1：随机变量的定义：像这种随着试验结果变化而变化的变量称为常用字母、、、…表示．思考：随机变量与函数有类似的地方吗？2：随机变量与函数的关系：随机变量与函数都是一种，试验结果的范围相当于函数的，随机变量的范围相当于函数的．试试：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个，其值域是．随机变量{}0X表示；={}4=X 表示 ； {}3<X表示 ；“抽出3件以上次品”可用随机变量 表示．3：所有取值可以 的随机变量，称为离散型随机变量．思考： ① 电灯泡的寿命X 是离散型随机变量吗？②随机变量⎩⎨⎧≥<=小时寿命小时寿命1000,11000,0Y 是一个离散型随机变量吗？合作交流： 例1．某林场树木最高可达36m ，林场树木的高度η是一个随机变量吗？若是随机变量，η的取值范围是什么？例2 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 （1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η．拓展延伸：练1．下列随机试验的结果能否用离散型号随机变量表示：若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果（1）抛掷两枚骰子，所得点数之和；（2）某足球队在5次点球中射进的球数；（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml的饮料，其实际量与规定量之差．练2．盒中9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，且取得正品前已取出的次品数为ξ．（1）写出ξ可能取的值；（2）写出1ξ所表示的事件=自我总结（自我感觉）这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？1．随机变量；2．离散型随机变量．※知识拓展概率论起源故事：法国有两个大数学家，一个叫做巴斯卡尔，一个叫做费马。
高中数学第二章随机变量及其分布2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教版选修2_32
2．3.2 离散型随机变量的方差[学习目标]1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．3．掌握方差的性质，以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差． [知识链接]1．某省运会即将举行，在最后一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下：甲运动员：7，8，6，8，6，5，8，10，7，5； 乙运动员：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述数据，两个人射击的平均成绩是一样的．那么，是否两个人就没有水平差距呢？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？答 x －甲＝x －乙＝7，利用样本的方差公式s 2＝1n[(x 1－x －)2＋(x 2－x －)2＋…＋(x n －x －)2]，求得： s 2甲＝2.2，s 2乙＝1.2.s 2甲>s 2乙，∴乙成绩较稳定，选乙参加比赛．2．随机变量的方差与样本的方差有何不同？答 样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此它是一个随机变量，而随机变量的方差是通过大量试验得出的，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，因此它是一个常量而非变量． [预习导引]1．离散型随机变量的方差、标准差 设离散型随机变量X 的分布列为则(x i －E (X ))2描述了x i (i ＝1，2，…，n )相对于均值E (X )的偏离程度，而D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度．我们称D (X )为随机变量X 的方差，并称其算术平方根D （X ）为随机变量X 的标准差． 2．离散型随机变量方差的性质(1)设a ，b 为常数，则D (aX ＋b )＝a 2D (X )； (2)D (c )＝0(其中c 为常数)．3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )(其中p 为成功概率)； (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．要点一 求离散型随机变量的方差例1 甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望及标准差． 解 (1)P ＝13×23＋23×34＝1318.(2)P (ξ＝0)＝13×13＝19；P (ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718. P (ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为E (ξ)＝0×19＋1×718＋2×12＝2518，D (ξ)＝(0－2518)2×19＋(1－2518)2×718＋(2－2518)2×12＝149324，∴D （ξ）＝14918. 规律方法 1.求离散型随机变量X 的方差的基本步骤：理解X 的意义，写出X 可能取的全部值 ↓写出X 取每个值的概率 ↓写出X 的分布列 ↓由均值的定义求出E （X ） ↓利用公式D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 求值 2．对于变量间存在关系的方差，在求解过程中应注意方差性质的应用，如D (a ξ＋b )＝a 2D (ξ)，这样处理既避免了求随机变量η＝a ξ＋b 的分布列，又避免了繁杂的计算，简化了计算过程．跟踪演练1 已知X 的分布列为求：(1)E (X )，D (X )；(2)设Y ＝2X ＋3，求E (Y )，D (Y )．解 (1)E (X )＝－1×12＋0×13＋1×16＝－13，D (X )＝(－1＋13)2×12＋(0＋13)2×13＋(1＋13)2×16＝59.(2)E (Y )＝2E (X )＋3＝73，D (Y )＝4D (X )＝209.要点二 两点分布与二项分布的方差例2 为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)为3，标准差D （ξ）为62. (1)求n 和p 的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．解 由题意知，ξ服从二项分布B (n ，p )，P (ξ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k，k ＝0，1，…，n . (1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12.ξ的分布列为(2)记“需要补种沙柳”为事件A ，则P (A )＝P (ξ≤3)，得P (A )＝1＋6＋15＋2064＝2132，或P (A )＝1－P (ξ＞3)＝1－15＋6＋164＝2132.所以需要补种沙柳的概率为2132.规律方法 方差的性质：D (a ξ＋b )＝a 2D (ξ)．若ξ服从两点分布，则D (ξ)＝p (1－p )．若ξ～B (n ，p )，则D (ξ)＝np (1－p )．跟踪演练2 设一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，求当p 为何值时，成功次数的标准差的值最大？并求其最大值． 解 设成功次数为随机变量X ，由题意可知X ～B (100，p )，则D （X ）＝100p （1－p ）. 因为D (X )＝100p (1－p )＝100p －100p 2， 把上式看作一个以p 为自变量的二次函数， 易知当p ＝12时，D (X )有最大值为25.所以D （X ）的最大值为5.即当p ＝12时，成功次数的标准差的值最大，最大值为5.要点三 均值与方差的综合应用例3 袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球．ξ表示所取球的标号． (1)求ξ的分布列、期望和方差；(2)若η＝a ξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解 (1)ξ的分布列为则E (ξ)＝0×12＋1×120＋2×110＋3×320＋4×15＝1.5.D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.(2)由D (η)＝a 2D (ξ)，得a 2×2.75＝11，得a ＝±2. 又E (η)＝aE (ξ)＋b ，所以当a ＝2时，由1＝2×1.5＋b ，得b ＝－2； 当a ＝－2时，由1＝－2×1.5＋b ，得b ＝4.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4即为所求．规律方法 解均值与方差的综合问题时的注意事项(1)离散型随机变量的分布列、均值和方差是三个紧密联系的有机统一体，一般在试题中综合在一起考查，其解题的关键是求出分布列；(2)在求分布列时，要注意利用等可能事件、互斥事件、相互独立事件的概率公式计算概率，并注意结合分布列的性质，简化概率计算；(3)在计算均值与方差时要注意运用均值和方差的性质以避免一些复杂的计算．若随机变量X 服从两点分布、二项分布可直接利用对应公式求解．跟踪演练3 从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X 表示所选3人中女生的人数． (1)求X 的分布列； (2)求X 的均值与方差；(3)求“所选3人中女生人数X ≤1”的概率． 解 (1)X 可能的取值为0，1，2. P (X ＝k )＝C k2·C 3－k4C 36，k ＝0，1，2. X 的分布列(2)由(1)，X 的均值与方差为E (X )＝0×15＋1×35＋2×15＝1.D (X )＝(0－1)2×15＋(1－1)2×35＋(1－2)2×15＝25.(3)由(1)，“所选3人中女生人数X ≤1”的概率为P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝45.1．设随机变量X 的方差D (X )＝1，则D (2X ＋1)的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 C解析 D (2X ＋1)＝4D (X )＝4×1＝4.2．同时抛掷两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D (ξ)等于( )A.158B.154C.52 D ．5 答案 A解析 ξ～B (10，14)，∴D (ξ)＝10×14×(1－14)＝158.3．已知离散型随机变量X 的可能取值为x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1，且E (X )＝0.1，D (X )＝0.89，则对应x 1，x 2，x 3的概率p 1，p 2，p 3分别为________，________，________. 答案 0.4 0.1 0.5解析 由题意知，－p 1＋p 3＝0.1， 1．21p 1＋0.01p 2＋0.81p 3＝0.89.又p 1＋p 2＋p 3＝1，解得p 1＝0.4，p 2＝0.1，p 3＝0.5. 4．有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解根据月工资的分布列，利用计算器可算得E(X1)＝1 200×0.4＋1 400×0.3＋1 600×0.2＋1 800×0.1＝1 400，D(X1)＝(1 200－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 600－1 400)2×0.2＋(1 800－1 400)2×0.1＝40 000；E(X2)＝1 000×0.4＋1 400×0.3＋1 800×0.2＋2 200×0.1＝1 400，D(X2)＝(1 000－1 400)2×0.4＋(1 400－1 400)2×0.3＋(1 800－1 400)2×0.2＋2 200－1 400)2×0.1＝160 000.因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)<D(X2)，所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散．这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位．1．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，以及随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差D(X)或标准差越小，则随机变量X偏离均值的平均程度越小；方差越大，表明平均偏离的程度越大，说明X的取值越分散．2．求离散型随机变量X的均值、方差的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能的取值；(2)求X取每一个值的概率；(3)写出随机变量X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．特别地，若随机变量服从两点分布或二项分布，可根据公式直接计算E(X)和D(X).一、基础达标1．下列说法中，正确的是( )A．离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值B ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的平均水平C ．离散型随机变量的均值E (X )反映了X 取值的平均水平D ．离散型随机变量的方差D (X )反映了X 取值的概率平均值 答案 C2．设一随机试验的结果只有A 和A －，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1) D ．m (1－m ) 答案 D解析 随机变量ξ的分布列为∴E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m .∴D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )． ∴故选D.3．已知随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝13，k ＝1，2，3，则D (3X ＋5)等于( )A ．6B ．9C ．3D ．4 答案 A解析 E (X )＝1×13＋2×13＋3×13＝2，∴D (X )＝13×[(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2]＝23，∴D (3X ＋5)＝9D (X )＝9×23＝6.4．已知X ～B (n ，p )，E (X )＝8，D (X )＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A ．100和0.08 B ．20和0.4 C ．10和0.2 D ．10和0.8 答案 D解析 因随机变量X ～B (n ，p )， 则E (X )＝np ＝8，D (X )＝np ·(1－p )＝1.6，所以n ＝10，p ＝0.8.5．若D (ξ)＝1，则D (ξ－D (ξ))＝________. 答案 1解析 D (ξ－D (ξ))＝D (ξ－1)＝D (ξ)＝1. 6．随机变量ξ的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝13，则D (ξ)＝________.答案 59解析 由题意得2b ＝a ＋c ①，a ＋b ＋c ＝1②，c －a ＝13③，以上三式联立解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，故D (ξ)＝59.7．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X 表示掷出偶数点的次数． (1)若抛掷一次，求E (X )和D (X )； (2)若抛掷10次，求E (X )和D (X )． 解 (1)X 服从两点分布∴E (X )＝p ＝12，D (X )＝p (1－p )＝12×(1－12)＝14.(2)由题意知，X ～B (10，12)．∴E (X )＝np ＝10×12＝5，D (X )＝np (1－p )＝10×12×(1－12)＝52.二、能力提升8．已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标准差为( )A.3.56B. 3.2 C ．3.2 D. 3.56 答案 D解析 依题意：0.4＋0.1＋x ＝1， ∴x ＝0.5，∴E (ξ)＝1×0.4＋3×0.1＋5×0.5＝3.2，∴D (ξ)＝(1－3.2)2×0.4＋(3－3.2)2×0.1＋(5－3.2)2×0.5＝3.56， ∴D （ξ）＝ 3.56.9．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k (13)n －k，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29 D ．16答案 A解析 由题意可知ξ～B (n ，23)，∴E (ξ)＝23n ＝24.∴n ＝36.∴D (ξ)＝36×23×(1－23)＝8.10．若随机事件A 在1次试验中发生的概率为p (0<p <1)，用随机变量X 表示A 在1次试验中发生的次数，则方差D (X )的最大值为________． 答案 14解析 随机变量X 的所有可能取值为0，1，由题意，得X 的分布列为从而E (X )＝0×(1－p )＋1×p ＝p ，D (X )＝(0－p )2×(1－p )＋(1－p )2×p ＝p －p 2.D (X )＝p －p 2＝－(p 2－p ＋14)＋14＝－(p －12)2＋14，因为0<p <1，所以当p ＝12时，D (X )取得最大值，最大值为14.11．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)．解 这3张卡片上的数字之和为ξ，这一变量的可能取值为6，9，12.ξ＝6表示取出的3张卡片上均标有2， 则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5， 则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上一张标有2，两张标有5， 则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.∴ξ的分布列为∴E (ξ)＝6×715＋9×715＋12×115＝7.8.D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.12．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示： 甲：乙：试分析两名学生的成绩水平．解 ∵E (X )＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，D (X )＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，E (Y )＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，D (Y )＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，∴E (X )＝E (Y )，D (X )<D (Y )，∴甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．三、探究与创新13．(2013·北京理)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明)解设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i＝1，2，…，13)．根据题意，P(A i)＝113，且A i∩A j＝∅(i≠j)．(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B＝A5∪A8，所以P(B)＝P(A5∪A8)＝P(A5)＋P(A8)＝213.(2)由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，且P(X＝1)＝P(A3∪A6∪A7∪A11)＝P(A3)＋P(A6)＋P(A7)＋P(A11)＝413，P(X＝2)＝P(A1∪A2∪A12∪A13)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A12)＋P(A13)＝413，P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝5 13，所以X的分布列为故X的期望E(X)＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．。
2.3.2离散型随机变量的方差(上课用)
10
10
10
10
离散型随机变量取值的方差 一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
X x1 x2 ··· xi ··· xn P p1 p2 ··· pi ··· pn
则称
D( X ) (x1 E( X ))2 p1 (xi E( X ))2 pi (xn E( X ))2 pn
n
等可能事件概率易求分布列;
（2）直接利用数学期望与方差公式求解.
解 （1）P（X=0）= 2
P（X=3）=A133 16,
A33Biblioteka 1,P（X=1）=3
C31 A33
,1
2
故X的概率分布列为
X
0
1
3
P
1
1
1
3
2
6
(2)E(X)= 0 1 1 1 3 1 1
32 6
D(X)=0 12 1 112 1 3 12 1 1
X x1 Y ax1 b P p1
x2
ax2 b
p2
··· xi ··· axi b
··· pi
··· xn ···axn b
··· pn
D（Y） (ax1 b aEX b)2 p1 (ax2 b aEX b)2 p2 (axn b aEX b)2 pn
a2 ( x1 - EX )2 p1 a2 ( x2 - EX )2 p2 a2 ( xn - EX )2 pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平
2、数学期望的性质
E(aX b) aE(X ) b
3、如果随机变量X服从两点分布为
X
1
0
P
p
1－p
则 E(X ) p
苏教版高中数学选修2-3《离散型随机变量的方差和标准差》参考教案2
备课 时间教学 课题教时 计划1教学 课时1教学 目标 （1）理解随机变量的方差和标准差的含义；（2）会求随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．重点难点 理解方差和标准差公式所表示的意义，并能解决一些实际问题．教学过程一．问题情境甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合格品数分别用12,X X 表示，12,X X 的概率分布如下．1X 0 1 2 3k p0.7 0.10.10.1 2X 0 1 2 3k p0.50.30.2二．学生活动如何比较甲、乙两个工人的技术？我们知道，当样本平均值相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均值的偏离程度．能否用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度呢？ 三．建构数学1．一般地，若离散型随机变量X 的概率分布如表所示：X 1x2x…n xP1p2p…n p则2()(())i x E X μμ-=描述了(1,2,...,)i x i n =相对于均值μ的偏离程度，故2221122()()...()n n x p x p x p μμμ-+-++-，（其中120,1,2,...,,...1i n p i n p p p ≥=+++=）刻画了随机变量X 与其均值μ的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量X 的方差，记为()V X 或2σ． 2．方差公式也可用公式221()ni i i V X x p μ==-∑计算．3．随机变量X 的方差也称为X 的概率分布的方差，X 的方差()V X 的算术平方根称为X 的标准差，即()V X σ=．思考：随机变量的方差和样本方差有何区别和联系？ 四．数学运用 1．例题：例1．若随机变量X 的分布如表所示：求方差()V X 和标准差()V X ．X 0 1P1p -p解：因为0(1)1p p p μ=⨯-+⨯=，所以22()(0)(1)(1)(1)V X p p p p p p =--+-=-，()(1)V X p p =-例2．求第2.5.1节例1中超几何分布(5,10,30)H 的方差和标准差． 解：第2.5.1节例1中超几何分布如表所示：X 012345P258423751807523751855023751380023751700237514223751数学期望53μ=，由公式221()ni i i V X x p μ==-∑有22584807585503800700425()01491625()2375123751237512375123751237513V X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯- 2047500.9579213759=≈故标准差 0.9787σ≈．例3．求第2.5.1节例2中的二项分布(10,0.05)B 的方差和标准差． 解：：0.05p =，则该分布如表所示：X 0 1 2345k p 001010(1)C p p - 11910(1)C p p -22810(1)C p p -33710(1)C p p -44610(1)C p p -55510(1)C p p -X 6 7 8910k p 66410(1)C p p - 77310(1)C p p -88210(1)C p p -99110(1)C p p -1010010(1)C p p -由第2.5.1节例2知()0.5E X μ==，由221()ni i i V X x p μ==-∑得2200102119210100210101000.050.9510.050.95...100.050.950.5C C C σ=⨯⨯+⨯⨯++⨯⨯-0.7250.250.475≈-= 故标准差0.6892σ≈．说明：一般地，由定义可求出超几何分布和二项分布的方差的计算公式：当~(,,)X H n M N 时，2()()()(1)nM N M N n V X N N --=-，当~(,)X B n p 时，()(1)V X np p =-． 例4．有甲、乙两名学生，经统计，他们字解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：甲分数X 甲80 90 100概率0.2 0.6 0.2试分析两名学生的答题成绩水平．解：由题设所给分布列数据，求得两人的均值如下：X E ⨯⨯⨯甲（）=800.2+900.6+1000.2=90，X E ⨯⨯⨯乙（）=800.4+900.2+1000.4=90方差如下：222()(8090)0.2(9090)0.6(10090)0.240V X =-⨯+-⨯+-⨯=甲乙分数X 乙80 90 100概率 0.4 0.20.4222V X=-⨯+-⨯+-⨯=()(8090)0.4(9090)0.2(10090)0.480乙由上面数据可知()(),()()，这表明，甲、乙两人所得分数的平=<E X E X V X V X乙乙甲甲均分相等，但两人得分的稳定程度不同，甲同学成绩较稳定，乙同学成绩波动大．2．练习：五．回顾小结：1．离散型随机变量的方差和标准差的概念和意义；2．离散型随机变量的方差和标准差的计算方法；3．超几何分布和二项分布的方差和标准差的计算方法课外作业教学反思。
高中数学选修2-3学案：2.3.2离散型随机变量的方差
2．3．2离散型随机变量的方差【学习目标】 1了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差；2.了解方差公式“2()()D aX b a D X +=”， “若X ~(,)B n p ，则()(1)DX n p p =-”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.【自主学习】1.什么是离散型随机变量的方差、标准差？2.求离散型随机变量X 的方差、标准差的步骤是什么？3.如何比较两个随机变量的期望与方差的大小？4.离散型随机变量方差的性质是什么？5. 怎样定量刻画随机变量的稳定性呢?6.能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量的稳定性呢?【自主检测】 1.若随机变量X 满足随机变量()1,=P X c ==其中c 为常数，则D(X) 2.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数X 的均值、方差和标准差抛掷骰子所得点数X 的分布列为()E X = ()D X = ()X σ=3．甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4,0.2,0.4用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平____________.【典型例题】例1.有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 甲单位不同职位月工资X 1/元 1200 1400 1600 1800获得相应职位的概率P 10.4 0.3 0.2 0.1乙单位不同职位月工资X 2/元 1000 1400 1800 2000获得相应职位的概率P 2 0.4 0.3 0.2 0.1根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?例2.设事件A 发生的概率为p ，证明事件A 在一次试验中发生次数ξ的方差不超过1/4【课堂检测】1 .已知()~,,()8,()1.6B n p E D ξξξ==，则,n p 的值分别是 （ ）A ．100；0. 08B ．20；0.4C ．100；0. 2D ．10；0. 82. 一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．则在取得正品之前已取出次品数的期望为3．若随机变量X 满足随机变量()1,P X c ==其中c 为常数，则D(X)=______.【总结提升】1、了解离散型随机变量的方差、标准差的意义；2、离散型随机变量方差的性质3．利用随机变量的期望与方差的意义大小解决实际问题ξ 1 2 3 p a 0.1 0.6。
高中数学2.32离散型随机变量的方差教案选修选修2-3
2021年高中数学2.3 2离散型随机变量的方差教案新人教A版选修选修2-3教学目标：知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差.2过程与方法：了解方差公式“ D(aE+b尸aD±〞,以及"假设E〜B(n, p),那么D± =np(i—p)〞, 并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.情感、态度与价值观：承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,表达数学的文化功能与人文价值.教学重点：离散型随机变量的方差、标准差 .教学难点：比拟两个随机变量的期望与方差的大小,从而解决实际问题教具准备：多媒体、实物投影仪.教学设想：了解方差公式“ D(aE +b尸a2DE :以及“假设E〜B(n, p),那么DE =np(1 —p)〞,并会应用上述公式计算有关随机变量的方差.授课类型：新授课 .课时安排：2课时.教具：多媒体、实物投影仪 .内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,表示了随机变量在随机实验中取值的平均值,所以又常称为随机变量的平均数、均值.今天, 我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究.其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究,即研究过一组数据的方差^回忆一组数据的方差的概念：设在一组数据x1, x2,…,x n中,各数据与它们的平均值x得差的平方分别是(x1—x)2, (x2—x)2,…,(x n—x)2,那么S2=」[(x1 —x)2 +n, 二22r(x2 -x) +…+ (x n -x)]叫做这组数据的方差 .教学过程：、复习引入:1 .随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量 .随机变量常用希腊字母E、Y］等表示.2 .离散型随机变量：对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.3 .连续型随机变量：对于随机变量可能取的值,可以取某一区间内的一切值,这样的变量就叫做连续型随机变量.4 .离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出,而连续性随机变量的结果不可以------------------------------ 列出.5 . 分布列：6 .分布列的两个性质：⑴P>0, i=1, 2,...；⑵P1+P2+ (1)7 .二项分布：E 〜B(n, p),并记C：p k q n"=b(k；n, p).8 .几何分布：g(k, p)= q kJL p,其中k=0,1,2,…, q=1 —p.9 .数学期望：一般地,假设离散型随机变量E的概率分布为那么称E* =X I I +x2 P2 +••• +Xnpn +… 为E的数学期望,简称期望.10 .数学期望是离散型随机变量的一个特征数, 它反映了离散型随机变量取值的平均水平11平均数、均值：在有限取值离散型随机变量七的概率分布中,令P1 = p2=…=P n ,… 1 1那么有P I = P2 =♦•• = Pn = , E- = 〔X I+X2十…十Xn〕M ,所以七的数学期望又称为平均数、均值.12 .期望的一个性质：E(a t+b) =aE：+b13 .假设E □ B (n,p ),贝U EE =np .二、讲解新课：1. 方差：对于离散型随机变量 E ,如果它所有可能取的值是x1, x2,…,x n,…,且取这些值的概率分别是R , p2 ,…,p n ,…,那么,D^= (X i -E5)2Pi+ (X2 -E-)2 Q+…+ (X n — E D2 p n +…称为,随机变量E的均方差,简称为方差,式中的E之是随机变量卫的期望.2 .标准差：D U的算术平方根J D E叫做随机变量E的标准差,记作.之.3 .方差的性质：(1) D(a U+b) =a2D U；(2) D U = E t2—(E、)2；(3)假设E 〜B( n, p),那么D 1 = np(1- p).4 .其它：⑴随机变量E的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；⑵随机变量E的方差、标准差也是随机变量E的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；⑶标准差与随机变量本身有相同的单位,所以在实际问题中应用更广泛.三、讲解范例：例1.随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面的点数的均值、方差和标准差. 解：抛掷散子所得点数从而111111 EX =1 2 3 4 5 6 — = 3.5;6 6 6 6 6 62 1 2 1 2 1 2 1DX -(1 -3.5) - (2 -3.5) - (3-3.5) (4-3.5)6 6 6 62 1 2 1 _ _(5 -3.5)2 一(6 -3.5)2 一： 2.926 6二X = DX 1.71.例2.根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位？解：根据月工资的分布列,利用计算器可算得EX = 1200X0.4 + 1 400 X0.3 + 1600 X0.2 + 1800 X0.1 =1400 ,DX = (1200-1400) 2 X0. 4 + (1400 -1400 ) 2X0.3+ (1600 -1400 ) 2X 0.2+(1800 -1400) 2X0. 1=40 000 ;EX = 1 000 X0.4 +1 400 X0.3 + 1 800 X0.2 + 2200 X0.1 = 1400 ,DX = (1000-1400) 2X0. 4+(1 400- 1400) X0.3 + (1800-1400) 2X 0.2 + (2200 -1400 ) 2X0.1 =160000 .由于EX =EX, DX<DX,所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位.例3.D U121 - 1 1 .斛：E -i =1又一+ 2父一+ '', + 7父一=4;7 7 72 1 2 1 2 1 - --- -D 1 =(1 -4) (2-4) 7 (7 -4) x =4；0 1 = . D 1 =2.1 1 1E 2=3.7 — 3.8 4.3 4 ；7 7 7D 2=0.04,二D 2 =0.2.点评：此题中的匕和％都以相等的概率取各个不同的值,但.的取值较为分散,七2的取值较为集中.E[=E g=4, D0=4, D b =0.04,方差比拟清楚地指出了与比二取值更集中.=2,=0.02 ,可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差.例5.甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下：射手甲击中环数8, 9, 10的概率分别为0.2,0.6,0.2; 射手乙击中环数8,9, 10的概率分别为0.4,0.2,0.24 .用击中环数的期望与方差比拟两名射手的射击水平.解：E 1 =8 0.2 9 0.6 10 0.2 =9D S =(8—9)2父0.2 + (9—9)2父0.6+ (10-9) 2M0.2 =0.4 ；同理有E 2 =9,D 2 = 08由上可知,E j =E：2, D^ <D t•所以,在射击之前,可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近,均在9环左右,但甲所得环数较集中,以9环居多,而乙得环数较分散,得8、10环地次数多些.点评：此题中,匕和七2所有可能取的值是一致的,只是概率的分布情况不同.E .=E'=9,这时就通过 D ：=0.4和DU 2=0.8来比拟 却和匕的离散程度,即两名射 手成绩的稳定情况例6. A 、B 两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时, 出次品的概率如下表所示:解：E E i =0X 0.7+1 X 0.2+2 X 0.06+3 X 0.04=0.44,E E 2=0X 0.8+1 X 0.06+2 X 0.04+3 X 0.10=0.44.它们的期望相同,再比拟它们的方差 .DE 1= (0-0.44 ) 2X 0.7+ (1-0.44 ) 2X 0.2+ ( 2-0.44 ) 2X 0.06+ ( 3-0.44 ) 2X 0.04=0.6064,DE 2= (0-0.44 ) 2X0.8+ ( 1-0.44 ) 2X 0.06+ ( 2-0.44 ) 2X 0.04+ ( 3-0.44 ) 2X0. .10=0.9264.E 1< D E 2 故A 机床加工较稳定、质量较好 .四、课堂练习：1 . U ~ B(n, p ),E U =8,DU =1.6,那么 n, p 的值分别是()A. 100 和 0.08;B. 20 和 0.4;C. 10 和 0.2 ;D. 10 和 0.8 .答案：1.D.2. 一盒中装有零件12个,其中有9个正品,3个次品,从中任取一个,如果每次取出次 品就不再放回去,再取一个零件,直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期 望.分析：涉及次品率；抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样,每次抽样后次品率将 会发生变化,即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样,那么各次抽样的次品率不变, 各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件.A 机床问哪一台机床加工质量较好 .B 机床解：设取得正品之前已取出的次品数为 E ,显然E 所有可能取的值为 0, 1, 2, 3当E =0时,即第一次取得正品,试验停止,那么9 3P ( E =0)=—=—12 4 当E =1时,即第一次取出次品,第二次取得正品,试验停止,那么399 P (卫=1)=_ _ =—12 1144 当E =2时,即第一、二次取出次品,第三次取得正品,试验停止,那么口 ,3299 P (七=2)= X X =12 11 10 220 当E=3时,即第一、二、三次取出次品,第四次取得正品,试验停止,那么分析：涉及产品数量很大,而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题.由于产品数量很 大,因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小,所以可以认为各次抽查的结即E U B (200, 1%),从而可用公式：EE =np, DE =npq(这里q=1-p)直接进行计算.解：由于商品数量相当大,抽200件商品可以看作200次独立重复试验,所以EuB(200,1% ) . 由于 EE =np , DE =npq ,这里 n=200 , p=1% , q=99% ,所以,EE =200X 1%=2,DE =200X 1%x 99%=1.984 .设事件A 发生的概率为p,证实事件A 在一次试验中发生次数七的方差不超过1/4.分析：这是一道纯数学问题.要求学生熟悉随机变量的期望与方差的计算方法,关键还 是掌握随机变量的分布列.求出方差DE =P(1-P)后,我们知道DE 是关于P(P>0)的二次函,数,这里可用配方法,也可用重要不等式证实结论证实：由于 七 所有可能取的值为 0, 1且P ( E =0) =1-p,P(七=1)=p, 所以,EE =0X (1 -p)+1 X p=p .那么 D E = (0-p) 2X(1 -p)+(1-p) 2 x p=p(1 -p) W5 .有A 、B 两种钢筋,从中取等量样品检查它们的抗拉强度,指标如下:3 2191=————= --------------------12 11 10 9 2203 9 9 1 3所以,EE = 0 一 ■ 1 — ■ 2 ------------ - 3 ------- 二— 4 44 220 3.有一批数量很大的商品的次品率为22010 1%从中任意地连续取出 200件商品,设其中次品果是彼此独立的.解答此题,关键是理解清楚：抽 200件商品可以看作200次独立重复试验,其中E A 、E B 分别表示 A B 两种钢筋的抗拉强度.在使用时要求钢筋的抗拉强度不低于120,试比拟A 、B 两种钢筋哪一种质量较好.分析： 两个随机变量 E A 和E B &都以相同的概率 0. 1, 0. 2, 0. 4, 0. 1 , 0. 2取5个 不同的数值.七A 取较为集中的数值 110, 120, 125, 130, 135; E B 取较为分散的数值 100, 115, 125, 130, 145.直观上看,猜测 A 种钢筋质量较好.但猜测不一定正确,需要通过计 算来证实我们猜测的正确性.解：先比拟E A 与E B 的期望值,由于E E A =110X 0.1+120 X 0.2+125 X 0.4+130 X 0.1+135 X 0.2=125, EE B =100X 0.1+115X0.2+125X0.4 十 130X0.1+145X0 .2=125.所以,它们的期望相同.再比拟它们的方差.由于DE A =(110-125) 2X0.1+(120 -125) 2 X 0.2+(130 -125) 2X0.1+(135 -125) 2X0.2=50, DEB=(100-125) 2X0.1+(110 -125) 2 X 0.2+(130 -125) 2X0.1+(145 -125) 2 X 0.2=1 65.所以,DE A < D E B .因此,A 种钢筋质量较好.6 .在有奖摸彩中,一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的,20个奖品是 25元的,5个奖品是100元的.在不考虑获利的前提下,一张彩票的合理价格是多少元？分析：这是同学们身边常遇到的现实问题,比方福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等.一 般来说,出台各种彩票,政府要从中收取一局部资金用于公共福利事业,同时也要考虑工作 人员的工资等问题.此题的“不考虑获利〞的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用.解：设一张彩票中奖额为随机变量 E ,显然E 所有可能取的值为 0, 5, 25, 100.依题意,可得E 的分布列为E =05251000.2400505002000答：一张彩票的合理价格是 0. 2元. 五、小结：⑴求离散型随机变量 E 的方差、标准差的步骤：①理解E 的意义,写出 E 可能取的全部值；②求E 取各个值的概率,写出分布列；③根据分布列,由期望的定义求出EE ;④根据方差、标准差的定义求出DJ.之.假设E〜B(n, p),那么不必写出分布列,直接用公式计算即可. ⑵对于两个随机变量J 和务,在E 匕和£,2相等或很接近时,比拟 D .和D 玄,可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要六、课后作业： P69练习1,2,3 P69 A 组4 B 组1,21.设1〜B(n 、p)且 E^=12 D t =4,求 n 、p解：由二次分布的期望与方差性质可知E t =np D = = np 〔1 —p 〕解：由 0.1+0.6+a+1 = a=0.30.3+0.3+b=1 =- a=0.4 ••.E =2.3 , E =2.0 D =0.81 , D =0.6 .七、板书设计〔略〕 .八、教学反思：⑴求离散型随机变量E 的方差、标准差的步骤:①理解E 的意义,写出 E 可能取的全部值； ②求E 取各个值的概率,写出分布列; ③根据分布列,由期望的定义求出EE ;np =12 jp(1 — p) =4n =18 2 "32.随机变量 二服从二项分布即X~B(6、1 )求b (2 ; 6,1 )33解：p( =2)=c 62( 1) 2( 2)43 33.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量〞的分布列如下：〔注得分越大,水平越高〕④根据方差、标准差的定义求出D之、样.假设E〜B(n, p),那么不必写出分布列,直接用公式计算即可.⑵对于两个随机变量匕和％,在E.和EJ相等或很接近时,比拟D匕和DJ ,可以确定哪个随机变量的性质更适合生产生活实际,适合人们的需要.。
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2.32离散型随机变量的方差
学习目标
1、理解各种分布的方差
2、会应用均值（期望）和方差来解决实际问题
自主学习：课本
1.一般地,设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是n x x x x ⋅⋅⋅321,,这些值对应的概率是n p p p p ⋅⋅⋅,,,321则________________________________________________________叫做这个
离散型随机变量X 的方差;______________________________叫作离散型随机变量X 的标准差
2. 离散型随机变量的方差刻画了这个离散型随机变量的_____________________________.
3. 离散型随机变量X 分布列为二点分布时, ()___________D X =.
4.离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布时，()___________D X =.
5. 离散型随机变量X 服从参数为,N M ，n 的超几何分布时, ()___________D X = 自学检测
1.已知X ～(),B n p ，()8,() 1.6E X D X ==，则,n p 的值分别是（ ）
A ．100和0.08
B ．20和0.4
C ．10和0.2
D ．10和0.8
2.设掷1颗骰子的点数为X ,则( )
A. 2() 3.5,() 3.5E X D X ==
B. 35() 3.5,()12
E X D X == C. () 3.5,() 3.5E X D X == D. 35() 3.5,()16E X D X ==
3.一牧场的10头牛,因误食疯牛病病毒污染的饲料被感染，已知疯牛病发病的概率是0.02,若发病的牛数为X 头,则()D X 等于( )
A. 0.2
B. 0.196
C.0.8
D.0.812
4. 已知随机变量X 的分布列为
则X 的标准差()X σ= A. 3.56 B. C. 3.2 D. 5.王非从家乘车到学校,途中有3个交通岗,设在个交通岗遇红灯的事件是相互独立的,并且概率都是25
,则王非上学路上遇红灯的数学期望是___________,方差是_______________. 6.已知随机变量X 的分布列为
且() 1.1E X =,设,则()____________D X =
7.甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为21,ξξ，它们的分布列如下：
试对这两名工人的技术水平进行比较。
8.一盒零件中有9个正品，3个次品，每次取一个零件，若取出的是次品不再放回，取得正
品前已取得的次品数X 为随机变量，求X 的期望和方差。
【合作探究】
3、一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中仅有一个选项正确．每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分．学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个．分别求甲学生和乙学生在这次测验中的成绩的期望 ．
4、运动员投篮时命中率6.0=P
（1）求一次投篮时命中次数ξ的期望与方差；
（2）求重复5次投篮时，命中次数ξ的期望与方差．
【巩固提高】 X
2、掷一枚均匀的骰子，以ξ表示其出现的点数．
（1）求ξ的分布列； （2）求)31(≤≤ξP ；（3）求ξE ,ξD 的值．
3、设X ～B(n,p)，且12=EX ，4=DX ，则n 与p 的值分别为多少？
4、已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，求任意取出的3件产品中次品数的数
学期望、方差和标准差？
5、有一批零件共10个合格品，2个不合格品，安装机器时从这批零件中任选一个，取到合格品才能安装；若取出的是不合格品，则不再放回
(1)求最多取2次零件就能安装的概率；
(2)求在取得合格品前已经取出的次品数ξ的分布列，并求出ξ的期望ξE 和方差ξD ．
课堂小测
1．某射手击中目标的概率为0.9，现连续射击10次，击中目标的次数X 的方差为（ ）
A ． 0.9
B ．0.09
C ．0.81
D ．9
2.已知随机变量X 的分布列为
设32+=X Y ,则)(Y E 的值为 A.
3
7 B. 4 C. -1 D. 1 3. 设随机变量X 服从二项分布,即X ～B(n,p),且71,3)(==P X E , _________n =,()____________D X =
4.从汽车东站架车至汽车西站的途中要经过8个交通岗,假设某辆汽车在各交通岗遇到红灯
的事件是独立的,并且概率都是13
. (1)求这辆汽车首次遇到红灯前,已经过了两个交通岗的概率;
(2)这辆汽车在途中遇到红灯数X 的期望与方差.
课后训练
1.下列是4个关于离散型随机变量ξ的期望和方差的描述，正确的个数是（ ）
（1）E ξ与D ξ是一个数值，它们是ξ本身所固有的特征数，他们不具有随机性
（2）若离散型随机变量一切可能取值位于区间[],a b 内，则a E b ξ≤≤
（3）离散型随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，而方差反映的是随机变量取
值的稳定与波动，集中与离散程度
（4）散型随机变量的期望可以是任意实数，而方差的值一定是非负实数
A ． 1个
B ．2个
C ． 3个
D ．4个
2．一批产品中，次品率为13
，现连续抽取4次，其次品数记为ξ，则D ξ的值为（ ） A ．43 B ．83 C ．89 D ．19
3．同时抛两枚均匀硬币10次，设两枚硬币同时出现反面的次数为ξ，则D ξ等于（ ）
A ．158
B ．154
C ．52
D ．5 4．某保险公司开发了一项保险业务，若在一年内事件
E 发生，则公司要赔偿a 元，设一年内E 发生的概率p ，为使公司的收益的期望值等于a 的10%，公司应要求顾客交保险金_________元
5.设一次试验成功的概率为p ,进行100次独立重复试验,当________p =时,成功次数的标准差最大,其最大值是______________.
6.某运动员投篮命中率为0.6,(1)求一次投篮时命中次数X 的期望与方差
(2)求重复5次投篮时,命中次数Y 的期望与方差
7. 已知随机变量X 的分布列为
试求X的方差.。