2021高考数学(理)一轮复习过关讲义《4.3三角函数的图象与性质》

－3，3 答案 2
解析
当
x∈
0，π 2ห้องสมุดไป่ตู้
时，2x－π∈
－π，5π 66
，
6
2x－π －1，1 sin 6 ∈ 2 ，
2x－π －3，3 故 3sin 6 ∈ 2 ，
2x－π
－3，3
即 y＝3sin
6 的值域为 2 .
2x－3π
4．[P47B 组 T2]函数 y＝－tan
4 的单调递减区间为
π＋kπ，5π＋kπ 答案 8 2 8 2 (k∈Z)
26
2．函数 y＝ sin x－cos x的定义域为
．
2kπ＋π，2kπ＋5π
答案
4
4 (k∈Z)
解析 方法一 要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0.利用图象，在同一坐标系中画出
[0,2π]上 y＝sin x 和 y＝cos x 的图象，如图所示．
在[0,2π]内，满足 sin x＝cos x 的 x 为π，5π，再结合正弦、余弦函数的周期是 2π，所以原函数 44
题型一 三角函数的定义域
2x＋π
1．函数 f(x)＝－2tan
6 的定义域是( )
|x≠π
A. x 6
|x≠－ π
B. x
12
|x≠kπ＋πk∈Z
C. x
6
|x≠kπ＋πk∈Z
D. x 2 6
答案 D
解析 由正切函数的定义域，得 2x＋π≠kπ＋π，k∈Z，即 x≠kπ＋π(k∈Z)，故选 D.
6
2
2 (2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)y＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( × )
(2)由 sin
π＋2π 63
＝sin
π知，2π是正弦函数 y＝sin x(x∈R)的一个周期．(
×
)
63
(3)正切函数 y＝tan x 在定义域内是增函数．( × )
2
2
无
kπ，0 2
无
概念方法微思考 1．正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？ 提示 正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为 半个周期． 2．思考函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)是奇函数，偶函数的充要条件？ 提示 (1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝π＋kπ(k∈Z)；
解析 由－π＋kπ<2x－3π<π＋kπ(k∈Z)，
2
42
得π＋kπ<x<5π＋kπ(k∈Z)， 82 8 2
2x－3π
所以 y＝－tan
4 的单调递减区间为
π＋kπ，5π＋kπ 8 2 8 2 (k∈Z)．
题组三 易错自纠
5．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线 x＝π对称的是( 3
2x＋π A．y＝2sin 3
12
12
所以函数 f(x)的单调递减区间是
－ π ＋kπ， 5 π＋kπ
12
12
(k∈Z)．
7．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小关系是
．
答案 sin 68°>cos 23°>cos 97°
解析 sin 68°＝cos 22°，
又 y＝cos x 在[0°，180°]上是减函数，
∴sin 68°>cos 23°>cos 97°.
(如单调性、最大值和最小值、图象与 x 轴的交 －π，π
点等)，理解正切函数在 2 2 内的单调性.
结合，加强数形结合思想、函数与方程 思想的应用意识．题型既有选择题和填 空题，又有解答题，中档难度.
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
π，1
3π，－1
(1)在正弦函数 y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，2 ，(π，0)， 2
R [－1,1]
2π
{x|x∈R，且 x≠kπ＋π} 2
R π
奇偶性 递增区间 递减区间 对称中心 对称轴方程
奇函数
2kπ－π，2kπ＋π
2
2
2kπ＋π，2kπ＋3π
2
2
(kπ，0)
x＝kπ＋π 2
偶函数 [2kπ－π，2kπ] [2kπ，2kπ＋π]
kπ＋π，0 2
x＝kπ
奇函数
kπ－π，kπ＋π
§4.3 三角函数的图象与性质
最新考纲
考情考向分析
以考查三角函数的图象和性质为主，题
1.能画出 y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x 的图象， 目涉及三角函数的图象及应用、图象的
了解三角函数的周期性．
对称性、单调性、周期性、最值、零点．考
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质 查三角函数性质时，常与三角恒等变换
kπ－ π ，kπ＋ 5 π
答案
12
12 (k∈Z)
． )
．
π－2x 解析 f(x)＝4sin 3
2x－π ＝－4sin 3 .
所以要求 f(x)的单调递减区间，
2x－π
只需求 y＝4sin
3 的单调递增区间．
由－π＋2kπ≤2x－π≤π＋2kπ(k∈Z)，得
2
32
－ π ＋kπ≤x≤ 5 π＋kπ(k∈Z)．
(4)已知 y＝ksin x＋1，x∈R，则 y 的最大值为 k＋1.( × )
(5)y＝sin|x|是偶函数．( √ )
题组二 教材改编
2x＋π
2．[P35 例 2]函数 f(x)＝cos
4 的最小正周期是
答案 π
2x－π
0，π
3．[P46A 组 T2]y＝3sin
6 在区间 2 上的值域是
． ．
2x－π B．y＝2sin 6
x＋π C．y＝2sin 2 3
2x－π D．y＝2sin 3
答案 B
解析
函数 y＝2sin
2x－π 6
的最小正周期 T＝2π＝π，
2
2×π－π 又 sin 3 6 ＝1，
∴函数 y＝2sin
2x－π 6
的图象关于直线 x＝π对称．
3
π－2x 6．函数 f(x)＝4sin 3 的单调递减区间是
，
(2π，0)．
π，0
3π，0
(2)在余弦函数 y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，2 ，(π，－1)， 2 ，
(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象
定义域 值域
周期性
R [－1,1]
2π
解析 要使函数有意义，则 cos x－1≥0， 2
的定义域为
|2kπ＋π≤x≤2kπ＋5π，k∈Z
x
4
4
.
方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)．
所以定义域为
|2kπ＋π≤x≤2kπ＋5π，k∈Z
x
4
4
.
3．函数 y＝lg(sin x)＋ cos x－1的定义域为
．
2
|2kπ<x≤2kπ＋π，k∈Z
答案 x
3
sin x>0，