湖南省株洲市醴陵二中2015届高三上学期第九次月考数学试卷(文科)
湖南省株洲市第二中学2022-2023学年高三上学期12月月考数学试题(B)含答案
湖南株洲第二中学2022-2023学年上学期教学质量检测高三数学试题（B ）（答案在最后）一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={0,1,2,3,4,5}，B={1,3,6,9},C={3,7,8}，则 ()=C B A A ．{1,2,6,5} B ．{3,7,8} C ．{1,3,7,8}D ．{1,3,6,7,8}2．与圆224240x y x y +-++=关于直线30x y -+=成轴对称的圆的方程是 A ．22810400x y x y +-++= B ．22810200x y x y +-++= C ．22810400x y x y ++-+=D ．22810200x y x y ++-+=3．已知c 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距，则b c a +的取值范围是（ ）A ．()1,+∞B ．)+∞C ．(D ．(4．已知实数a ，b ，0a >，0b >，则“2a b +<”是（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()()()2|| 1.00125()e ,log 3,log 8,2x f x x a f b f c f ===-=-，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a >>D ．c a b >>6．已知A 、B 、C 是半径为3的球O 的球面上的三个点，且120ACB ∠=，AB =2AC BC +=，则三棱锥O ABC -的体积为（ ）A B C D7．过点22M p ，作抛物线2)20(x py p ＝的两条切线，切点分别为A ，B ，若线段AB的中点的纵坐标为6，则p 的值是( ) A ．1B ．2C ．1或2D ．-1或2 8．已知奇函数()f x 在R 上是减函数.若()2log 4.6a f =，22log 9b f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()0.92c f =--，则a ､b ､c 的大小关系为（ ） A ．a b c >> B ．c b a >> C ．b a c >>D ．c a b >>二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．下列说法正确的是（ ）A ．“1a >”是“21a >”的充分不必要条件B ．“423a <<”是“()()22123a a ---<-”的充要条件 C ．命题“x R ∀∈，210x +<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≥”D ．已知函数()y f x =的定义域为R ，则“()00=f ”是“函数()y f x =为奇函数”的必要不充分条件 10．对于函数()sin cos sin cos 2x x x xf x ++-=，下列结论正确的是（ ）A ．()f x 是以2π为周期的函数B ．()f x 的单调递减区间为()52,2Z 24k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的最小值为-1D ．()f x ≥的解集是()32,2Z 44k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦ 11．在数列{}n a 中，已知1210,,,a a a ⋯是首项为1，公差为1的等差数列，10101101(),,,n n n a a a ++⋯是公差为n d 的等差数列，其中N*n ∈，则下列说法正确的是（ ）A ．当1d =时，2020a =B ．若3070a =，则2d =C ．若1220320a a a +++=，则3d =D ．当01d <<时，()101101n a d<-＋ 12．已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 为棱CC 1上的动点，AM ⊥平面α，下面说法正确的是（ ）A．若N 为DD 1中点，当AM +MN 最小时，CM=2B ．当点M 与点C 1重合时，若平面α截正方体所得截面图形的面积越大，则其周长就越大C ．若点M 为CC 1的中点，平面α过点B ，则平面α截正方体所得截面图形的面积为92D ．直线AB 与平面α所成角的余弦值的取值范围为⎣⎦三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2n n a S n ++=∈N ，则{}n a 的通项公式为n a =______．14．下列四个命题中：⊥已知()()()sin cos 21,sin cos 2πααπαπα-+-=++则tan 1α=-；⊥()00tan 30tan 30-=-=⊥若sin α=则1cos 2;2α=-⊥在锐角三角形ABC 中，已知73sin ,cos ,255A B ==则119sin .125C =其中真命题的编号有_______. 15．已知定义在[2,2]-上的函数()g x 为奇函数,且在区间[0,2]上单调递增,则满足(1)()g m g m -<的m 的取值范围为______16．等腰三角形的底边长为6，腰长为12，其外接圆的半径为________.四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知{}n a 是递增的等差数列，12,a a 是方程2430x x -+=的两根． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．18．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()4f x x x =-. （1）求函数()f x 的解析式；并写出函数的单调区间；（2）函数()f x 在区间[3,]a -上的最小值为()g a ，求()g a 的值域.19．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线221:21C x y -=．（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P ，Q 两点，若l 与圆221x y +=相切，求证：OP OQ ⊥； （3）设椭圆222:41C x y +=，若M ，N 分别是1C ，2C 上的动点，且OM ON ⊥，求证：O 到直线MN 的距离是定值．20．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos sin b a C A =，点M 是BC 的中点. （⊥）求A 的值；（⊥）若a =AM 的最大值.21．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>1F ，2F是椭圆的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，求OAB （O 为坐标原点）的面积的最大值．22．已知函数()2ln bf x ax x x =-+.（1）若()f x 在1x =，12x =处取得极值. ⊥求a 、b 的值；⊥若存在01[,2]4x ∈，使得不等式0()0f x c -≤成立，求c 的最小值；（2）当b a =时，若()f x 在(0,)+∞上是单调函数，求a 的取值范围.参考答案1．C2．C3．D4．C5．D 6．B因为AB =120ACB ∠=，所以，ABC 的外接圆半径为12sin120==r ，所以，三棱锥O ABC -的高为h = 在ABC 中，由余弦定理可得()22222232cos120AB AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC AC BC ==+-⋅=++⋅=+-⋅，所以，()231AC BC AC BC ⋅=+-=，所以，13sin12024ABC S AC BC =⋅=△，因为1133O ABC ABC V S h -=⋅=△ 故选：B. 7．C由题意得22x y p=，x y p '=，设切点分别为11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以切线方程为别为111()x y y x x p-=-，222()x y y x x p -=-，化简可得11x x y y p =-，22x x y y p =-由于两条切线都过M 点，所以1122x p y p -=-，2222xp y p-=-，所以点11(,)A x y ，22(,)B x y 都在直线220x y p p -+=上， 所以过A ，B 两点的直线方程为220x y p p -+=，联立22+2=0=2x y p p x py-⎧⎪⎨⎪⎩，消去x 得2234840py p y y p --+=，方程2234840py p y y p --+=的判别式2232484464640p p p p由已知2124812p y y p++==，解得1p =或=2p ， 故选：C. 8．B解：因为奇函数()f x 在R 上是减函数.若()2log 4.6a f =，222229log log log 992b f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()0.90.922c f f =--=，⊥0.9229log 4.6log 222>>>， ⊥()()0.9229log 4.6log 22f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即c b a >>. 故选：B. 9．ACD解：对于A ：21a >，解得1a >或1a <-，所以“1a >”是“21a >”的充分不必要条件，故A 正确；对于B ：()()22123a a ---<-，则12310230a a a a ⎧->-⎪-≠⎨⎪-≠⎩解得423a <<且32a ≠，故B 错误；对于C ：全称量词命题的否定为存在量词命题，故命题“x R ∀∈，210x +<”的否定是“x R ∃∈，使得210x +≥”正确；对于D ：因为函数()y f x =的定义域为R ，若函数()y f x =为奇函数，则()00f =，若()00f =得不到()y f x =为奇函数，若()2f x x =，故“()00f =”是“函数()y f x =为奇函数”的必要不充分条件，故D 正确； 故选：ACD 10．AD依题意，()sin(2)cos(2)sin(2)cos(2)2()2x x x x f x f x πππππ+++++-++==，()f x 是以2π为周期的函数，A 正确；5sin ,2244()(Z)3cos ,2244x k x k f x k x k x k ππππππππ⎧+≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪-<<+⎪⎩，函数sin y x =在5[2,2]24k k ππππ++()k ∈Z 上单调递减，函数cos y x =在[2,2]4k k πππ+()k ∈Z 上单调递减，B 不正确；函数cos y x =在3[2,2]4k k πππ-()k ∈Z 上单调递增，因此，324x k ππ=-()k ∈Z 时，min 2()f x =C 不正确； 由()2f x ≥得522(Z)442sin k x k k x ππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩或322(Z)442cos k x k k x ππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解522(Z)442sin k x k k x ππππ⎧+≤≤+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩得322(Z)44k x k k ππππ+≤≤+∈，解322(Z)44cos k x k k x ππππ⎧-<<+∈⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩得22(Z)44k x k k ππππ-≤<+∈，综上得：322(Z)44k x k k ππππ-≤≤+∈，()f x ≥的解集是3[2,2](Z)44k k k ππππ-+∈，D 正确. 故选：AD 11．ACD对于A ，当1d =时，1n d =，可知数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，所以201(201)120a =+-⨯=，故A 正确；对于B ，由已知1010a =，101120,,,a a a ⋯是公差为d 的等差数列，则201010a d =+，202130,,,a a a ⋯是公差为2d 的等差数列，则23010101070a d d =++=，即260d d +-=，解得：2d =或3d =-，故B 错误；对于C ，1220110101010101032022d da a a ++++=⨯+⨯+=++，解得：3d =，故C 正确； 对于D ，210(1)110101010101011n nn d a d d d d d+-=++++=<--，故D 正确；故选：ACD 12．AC对于A ，由展开图如下，当AM MN +最小时，2CM AC DN AD ===得2CM =A 正确对于B ，如图，取各边中点连接成六边形EFGHIJ ， 由立体几何知1CC ⊥平面1A BD ，1CC ⊥平面EFGHIJ ， 截面1A BD周长为3=8= 截面EFGHIJ6=62=对于C ，取1111,A D A B 中点分别为EF ，以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系如图所示，(2,2,1)AM =--，(2,2,0)DB =，(1,0,2)DE =，由数量积可知,AM BD AM DE ⊥⊥，而BD DE D ⋂=， 故AM ⊥平面BDEF ，截面BDEF 为等腰梯形，2,2,5EF DB ED FB ====面积为19932222⨯=，故C 正确对于D ，设(0,2,)M t(0,2,0)AB =，平面α的一个法向量为(2,2,)AM t =-故直线AB 与平面α所成角的正弦值2232sin []2448t t θ==⨯+++ 则26cos [θ∈，故D 错误13．112n -⎛⎫ ⎪⎝⎭当1n =时，112a S +=，得11a =，当2n ≥时，由()2n n a S n ++=∈N ，得112n n a S --+=， 所以110n n n n a S a S --+--=， 所以120n n a a --=，所以112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：112n -⎛⎫⎪⎝⎭14．⊥⊥对于⊥：因为()()()sin -cos 21,sin cos 2πααπαπα+-=++所以sin cos 1,sin cos 2αααα+=-所以sin 11cos ,sin 21cos αααα+=-即tan 11,tan 12αα+=-解得tan 3α=-，故⊥不正确；对于⊥：因为()()()000sin 30sin 30tan 30tan 30cos30cos 30---===-=-故⊥正确； 对于⊥：因为sin α=所以221cos 212sin 122αα⎛=-=-⨯=- ⎝⎭，故⊥正确； 对于⊥：因为在锐角三角形ABC 中， 73sin ,cos ,255A B ==所以00,0222A B C πππ<<<<<<，，所以244cos ,sin ,255A B ===所以 ()()sin sin +sin +C A B A B π⎡⎤=-=⎣⎦ 73244117sin cos +cos sin +255255125A B A B ==⨯⨯=，故⊥不正确， 故答案为：⊥⊥． 15．1(,2]2⊥()g x 为奇函数，且在[0,2]上为增函数， ⊥()g x 在[2,2]-上为增函数．⊥(1)()g m g m -<，⊥1-212-22m m m m -<⎧⎪≤-≤⎨⎪≤≤⎩，解得122m <≤．故答案为1(,2]2．16815解：设顶角为θ，由余弦定理可得：2236121221212cos θ=+-⨯⨯⨯，解得：7cos 8θ=， 15sin θ∴ 再由正弦定理可得62sin R θ=， 215R ∴=， 815R ∴=81517．（1）221,n n a n S n =-=；（2）21n nT n =+ （1）⊥{}n a 是递增的等差数列, ⊥12a a <，又12,a a 是方程2430x x -+=的两根，⊥121,3a a ==， ⊥21312d a a =-=-=， ⊥1(1)221n a n n =+-⨯=-. （2）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+, ⊥11111111(1...)(1)2335212122121n nS n n n n =-+-++-=-=-+++.18．（1）()224,04,0x x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，单调递增区间为(],2-∞-，[)2,∞+；单调递减区间为[]22-,；（2）[]4,3-（1）当0x <时，0x -> ()()()2244f x x x x x ∴-=---=+()f x 为奇函数 ()()24f x f x x x ∴=--=--()f x 为R 上的奇函数 ()00f ∴=，满足()24f x x x =--()224,04,0x x x f x x x x ⎧->∴=⎨--≤⎩f x 的单调递增区间为(],2-∞-，[)2,∞+；单调递减区间为[]22-,（2）当31a -<<-时，()()min 39123f x f =-=-+=，即()3g a =当10a -≤≤时，()()2min 4f x f a a a ==--，即()24g a a a =-- ()[]0,3g a ∴∈ 当02a <<时，()()2min 4f x f a a a ==-，即()24g a a a =- ()()4,0g a ∴∈-当2a ≥时，()()min 2484f x f ==-=-，即()4g a =- 综上所述：()g a 的值域为[]4,3- 19．（1）根据题意可得1C的左顶点为(，设直线方程为y x =，与另一条渐近线y =联立求得交点坐标为1()2，所以对应三角形的面积为112228S =⨯=； （2）设直线PQ 的方程是y x b =+，因直线与已知圆相切，1=，即b =由2221y x b x y =+⎧⎨-=⎩得()22210x bx b --+=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122x x b +=，212(1)x x b ⋅=-+，则()()2222212121212221220OP OQ x x y y x x b x x b b b b b ⋅=+=+++=--++=-=，故OP OQ ⊥；（3）当直线ON 垂直于x 轴时，1ON =，OM =MN =则O 到直线MN的距离为1d ==当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y kx =（显然22k >）， 则直线OM 的方程为1=-y x k.由y kx =与椭圆方程联立，得2214x k =+，2224k y k =+，所以22214k ON k+=+. 同理222121k OM k +=-. 设O 到直线MN 的距离为d ， 则由221122OM ON OM d ON ⋅=+，得2221113d OMON=+=．综上，O 到直线MN 3 20．（⊥）3A π=； （⊥）32. （⊥）由已知及正弦定理得3sin sin cos sin B A C C A =. 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， 且sin 0C ≠，⊥tan 3,0A A π=<<，即3A π=.（⊥）方法一：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=， ⊥222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，⊥226b c +≤.⊥AM 是BC 边上的中线，⊥在ABM ∆和ACM ∆中， 由余弦定理得，22332cos 4c AM AM AMB =+-∠，⊥22332cos 4b AM AM AMC =+-∠.⊥ 由⊥⊥，得22239244b c AM +=-≤， 当且仅当3b c ==AM 取最大值32.方法二：在ABC ∆中，由余弦定理得223b c bc +-=， ⊥222b c bc +≤，当且仅当b c =时取等号，⊥226b c +≤.⊥AM 是BC 边上的中线，⊥2AB ACAM +=，两边平方得 ()22214AM b c bc =++，⊥22239244b c AM +=-≤，当且仅当b c ==AM 取最大值32.21．(1)2214x y +=；(2)1. (1)椭圆C 的半焦距为c，离心率c e a ==，因过1F 且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的弦长为1，将x c =-代入椭圆C 方程得：2b y a =±，即221b a =，则有222221c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪⎨=⎪⎪=+⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.(2)由(1)知，2F ，依题意，直线l 的斜率不为0，则设直线l的方程为x my =+()11,A x y ，()22,B x y ，由2244x y x my ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩x 并整理得：()22410m y ++-=，12y y +=，12214y y m =-+， OAB的面积2122121122S OF y OF y y =+=-，12y y -==设)1t t =≥，221m t =-，1224433t y y t t t-===++，3t t+≥，当且仅当t =，22m =时取得“=”，于是得1243y y t t-=≤+12312S y =-≤， 所以OAB 面积的最大值为1.22．（1）11,33--，7126n -+；（2）[2(0)，，-∞⋃+∞ 试题分析：（1）⊥先求()f x ' ，根据函数在11,2x x ==处取得极值，则()110,()02f f ''==，代入可求得,a b 的值；⊥转化为()min c f x ≥，从而求函数()f x 在区间1[,2]4上的最小值，从而求得c 的值；（2）当a b =时，()2ln af x ax x x=-+，⊥当0a =时，符合题意； ⊥当0a ≠时，分0,0a a ><讨论()f x 在(0,)+∞上正负，以确定函数的单调性的条件，进而求出a 的取值范围． 试题解析：（1）⊥⊥()21b f x ax nx x =-+，⊥()21'2b f x a x x=++，⊥()f x 在1x =，12x =处取得极值，⊥()10f '=，102f ⎛⎫= ⎪⎭'⎝， 即2102420a b a b ++=⎧⎨++=⎩解得1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，⊥所求a 、b 的值分别为11,33--.⊥在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦存在0x ，使得不等式()00f x c -≤成立，只需[]min c f x ≥（），由()()()2222211211231'3333x x x x f x x x x x x ---+=--+=-=-，⊥当1142x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '<，故()f x 在1142⎡⎤⎢⎥⎣⎦，是单调递减；当112x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()0f x '>，故()f x 在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调递增；当[]12x ∈，时，()0f x '<，故()f x 在[]12，是单调递减；⊥12f ⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 在1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的极小值，()1111711221223236f n n f n ⎛⎫=+=-=-+ ⎪⎝⎭，且()321321411422f f n ne n ⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，又3160e -＞，⊥321140ne n ＞-，⊥[]2min f x f =（）（），⊥()7126min c f x m ⎡⎤≥=-+⎣⎦，⊥c 的取值范围为7126n ，⎡⎫-++∞⎪⎢⎣⎭，所以c 的最小值为7126n -+.（2）当a b =时，222ax x a f x x （）++='， ⊥当0a =时，()1f x nx =，则()f x 在()0,+∞上单调递增；⊥当0a >时，⊥0x >，⊥220ax x a ++>，⊥()0f x '>，则()f x 在()0,+∞上单调递增；⊥当0a <时，设()22g x ax x a =++，只需0≤，从而得a ≤()f x 在()0,+∞上单调递减；综上得，a 的取值范围是[0⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭，， 点睛：本题主要考查了导数在函数中的综合应用问题，其中（1）⊥考查了函数取得极值的性质，若函数在0x 处取得极值，则0()0f x =，但0()0f x '=，0x 不一定是函数的极值点，即某点的导数为0是该点为极值的必要不充分条件；⊥注意是“存在14x ∈[,2]，使得0()c f x ≥成立，等价于()min c f x ≥”（2）结合极值考查了函数的额单调性，需要分类讨论思想在解题中的应用，着重考查了分析问题和解答问题的能力．。
湖南长郡教育集团2024年九年级上学期数学9月月考模拟试卷+答案
湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年九年级上学期数学9月月考模拟试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，这个数字用科学记数法表示应为（）A．0.149×106B．1.49×107C．1.49×108D．14.9×1073．（3分）下列计算正确的是（）A．x2•x3＝x5B．（x3）3＝x6C．x（x+1）＝x2+1D．（2a﹣1）2＝4a2﹣14．（3分）下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，19℃，22℃，24℃，26℃，24℃，23℃．关）A．中位数是24B．众数是24C．平均数是20D．方差是95．（3分）下列关于x的一元一次不等式x﹣1＞0的解集在数轴上的表示正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（）A ．40°B ．60°C ．80°D ．120°7．（3分）关于函数y ＝﹣2x +1，下列结论正确的是（）A ．图象必经过点（﹣2，1）B ．图象经过第一、二、三象限C ．图象与直线y ＝﹣2x +3平行D ．y 随x 的增大而增大8．（3分）如图，直线AB ∥CD ，直线EF 分别与AB ，CD 交于点E ，F ，EG 平分∠BEF ，交CD 于点G ，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A ．60°B ．55°C ．50°D ．45°9．（3分）函数y ＝ax +b 与y ＝ax 2+b （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．10．（3分）如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D ，且DC +DA ＝12，⊙O 的直径为20，则AB 的长等于（）A．8B．12C．16D．18二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）因式分解：﹣a2﹣6a﹣9＝．12．（3分）请写出一个经过点（0，﹣2），且y随着x增大而增大的一次函数：．13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是．14．（3分）石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，那么桥拱所在圆的半径OA＝m．15．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为．16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠CDM＝71°，则∠AOC＝．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）计算：．18．（6分）先化简，再求值：（y+1）2﹣（y﹣1）（y+5），其中y＝﹣．19．（6分）如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为；（2）△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A1OB1，在图中画出△A1OB1，并写出点B1的坐标：．20．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB＝∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝130°，求∠BED的度数．21．（8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．（1）求∠B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．22．（9分）如图，已知抛物线y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B 在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．23．（9分）国庆节期间，某品牌月饼经销商销售甲、乙两种不同味道的月饼，已知一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为14元，每个甲种月饼的利润是6元，每个乙种月饼的售价比其进价的2倍少1元，小王同学买4个甲种月饼和3个乙种月饼一共用了89元．（1）甲、乙两种月饼的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现：平均每天可售出甲种月饼200个和乙种月饼150个．如果将两种月饼的售价各提高1元，则每天将少售出50个甲种月饼和40个乙种月饼．为使每天获取的利润更x元．在不考虑其他因素的条件下，当x为多少元时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种月饼获取的利润为2650元？24．（10分）如图（1），正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝12，AE＝6，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转a（0°≤α≤45°）．（1）如图（2），正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE＝DG；（2）在旋转的过程中，当∠BEA＝120°时，试求BE的长；（3）BE的延长线交直线DG于点P，在旋转的过程中，是否存在某时刻BF＝BC？若存在，试求出DP 的长；若不存在，请说明理由．25．（10分）如图1所示，直线与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．（1）求抛物线的解析式：（2）点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB 取得最大值时点P的坐标；（3）如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G（﹣1，0），直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．湖南省长沙市长郡教育集团2024-2025学年九年级上学期数学9月月考模拟试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）如图各交通标志中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项符合题意；B、C、D是中心对称图形，故B、C、D选项不符合题意．故选：A．2．（3分）地球上的陆地面积约为149000000平方千米，这个数字用科学记数法表示应为（）A．0.149×106B．1.49×107C．1.49×108D．14.9×107【解答】解：将149000000用科学记数法表示为：1.49×108．故选：C．3．（3分）下列计算正确的是（）A．x2•x3＝x5B．（x3）3＝x6C．x（x+1）＝x2+1D．（2a﹣1）2＝4a2﹣1【解答】解：A、x2•x3＝x5，本选项符合题意；B、（x3）3＝x9≠x6，本选项不符合题意；C、x（x+1）＝x2+x，本选项不符合题意；D、（2a﹣1）2＝4a2﹣4a+1≠4a2﹣1，本选项不符合题意；故选：A．4．（3分）下面是2024年丽江市某周发布的最高温度：16℃，19℃，22℃，24℃，26℃，24℃，23℃．关于这组数据，下列说法正确的是（）A．中位数是24B．众数是24C．平均数是20D．方差是9【解答】解：将数据按从小到大排列为：16、19、22、23、24、24、29，故中位数为：23，故A选项错误，不符合题意；众数是24，故B选项正确，符合题意；平均数为，故C错误，不符合题意；方差是：，故D选项错误，不符合题意；故选：B．5．（3分）下列关于x的一元一次不等式x﹣1＞0的解集在数轴上的表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：解不等式x﹣1＞0得，x＞1，在数轴上表示如图，．故选：B．6．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°，那么∠AOE＝（）A．40°B．60°C．80°D．120°【解答】解：∵D、C是劣弧EB的三等分点，∠BOC＝40°∴∠EOD＝∠COD＝∠BOC＝40°∴∠AOE＝60°．故选：B．7．（3分）关于函数y＝﹣2x+1，下列结论正确的是（）A．图象必经过点（﹣2，1）B．图象经过第一、二、三象限C．图象与直线y＝﹣2x+3平行D．y随x的增大而增大【解答】解：A、当x＝﹣2，y＝﹣2x+1＝﹣2×（﹣2）+1＝5，则点（﹣2，1）不在函数y＝﹣2x+1图象上，故本选项错误；B、由于k＝﹣2＜0，则函数y＝﹣2x+1的图象必过第二、四象限，b＝1＞0，图象与y轴的交点在x的上方，则图象还过第一象限，故本选项错误；C、由于直线y＝﹣2x+1与直线y＝﹣2x+3的倾斜角相等且与y轴交于不同的点，所以它们相互平行，故本选项正确；D、由于k＝﹣2＜0，则y随x增大而减小，故本选项错误；故选：C．8．（3分）如图，直线AB∥CD，直线EF分别与AB，CD交于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若∠1＝70°，则∠2的度数是（）A．60°B．55°C．50°D．45°【解答】解：∵EG平分∠BEF，∴∠BEG＝∠GEF，∵AB∥CD，∴∠BEG＝∠2，∴∠2＝∠GEF，∵AB∥CD，∴∠1+∠2+∠GEF＝180°，∴∠2＝（180°﹣70°）＝55°．故选：B ．9．（3分）函数y ＝ax +b 与y ＝ax 2+b （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：选项A 中，函数y ＝ax +b 中的a ＞0，b ＞0，二次函数y ＝ax 2+b 中a ＞0，b ＞0，故选项A 符合题意；选项B 中，函数y ＝ax +b 中的a ＞0，b ＜0，二次函数y ＝ax 2+b 中a ＞0，b ＞0，故选项B 不符合题意；选项C 中，函数y ＝ax +b 中的a ＞0，b ＜0，二次函数y ＝ax 2+b 中a ＜0，b ＞0，故选项C 不符合题意；选项D 中，函数y ＝ax +b 中的a ＞0，b ＞0，二次函数y ＝ax 2+b 中a ＜0，b ＞0，故选项D 不符合题意；故选：A ．10．（3分）如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，点C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过C 作CD ⊥PA ，垂足为D ，且DC +DA ＝12，⊙O 的直径为20，则AB 的长等于（）A ．8B ．12C ．16D ．18【解答】解：连接OC ，过O 作OF ⊥AB ，垂足为F ，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠CAO，∴∠DAC＝∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥PA，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD．∵DC+DA＝12，设AD＝x，则OF＝CD＝12﹣x，∵⊙O的直径为20，∴DF＝OC＝10，∴AF＝10﹣x，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．即（10﹣x）2+（12﹣x）2＝102，解得x1＝4，x2＝18．∵CD＝12﹣x大于0，故x＝18舍去，∴x＝4，∴AD＝4，AF＝10﹣4＝6，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB＝2AF＝12．故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）因式分解：﹣a2﹣6a﹣9＝﹣（a+3）2．【解答】解：﹣a2﹣6a﹣9＝﹣（a2﹣+6a+9）＝﹣（a+3）2．故答案为：﹣（a+3）2．12．（3分）请写出一个经过点（0，﹣2），且y随着x增大而增大的一次函数：y＝x﹣2（答案不唯一）．【解答】解：设一次函数解析式为y＝kx+b（k≠0）．∵y随着x增大而增大，∴k＞0，∵一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，﹣2），取k＝1，∴﹣2＝1×0+b，∴b＝﹣2，∴一次函数的解析式可以为y＝x﹣2．故答案为：y＝x﹣2（答案不唯一）．13．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3．【解答】解：∵由函数图象可知，当﹣1＜x＜3时，函数图象在x轴的下方，∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．14．（3分）石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度AB＝16m，拱高CD＝4m，那么桥拱所在圆的半径OA＝10m．【解答】解：∵OC⊥AB，AB＝16m，∴AD＝BD＝8m，设BO＝x m，则DO＝（x﹣4）m，在Rt△OBD中，得：BD2+DO2＝BO2，即82+（x﹣4）2＝x2，解得：x＝10，即桥拱所在圆的半径是10m．故答案为：10．15．（3分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为1．【解答】解：∵x＝3是方程的根，由一元二次方程的根的定义，可得32﹣3k﹣6＝0，解此方程得到k ＝1．16．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点M在AD的延长线上，∠CDM＝71°，则∠AOC＝142°．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠B＝∠CDM＝71°，∴∠AOC＝2∠B＝2×71°＝142°，故答案为：142°．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（6分）计算：．【解答】解：原式＝2﹣+4﹣1+＝2﹣+4﹣1+﹣1＝4．18．（6分）先化简，再求值：（y+1）2﹣（y﹣1）（y+5），其中y＝﹣．【解答】解：（y+1）2﹣（y﹣1）（y+5）＝y2+2y+1﹣（y2+4y﹣5）＝y2+2y+1﹣y2﹣4y+5＝﹣2y+6，当时，原式＝．19．（6分）如图所示，每个小正方形的边长为1个单位长度，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．（1）点A关于点O中心对称的点的坐标为（﹣3，﹣2）；（2）△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A1OB1，在图中画出△A1OB1，并写出点B1的坐标：（3，﹣1）．【解答】解：（1）如图，点A′即为所求作．A′（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）．（2）如图，△A1OB1即为所求作，点B1的坐标（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．20．（8分）如图，D是等边三角形ABC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE．（1）求证：∠AEB＝∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC＝130°，求∠BED的度数．【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE＝60°，AE＝AD，∴∠BAD+∠EAB＝∠BAD+∠DAC，∴∠EAB＝∠DAC，在△EAB和△DAC中，，∴△EAB≌△DAC（SAS），∴∠AEB＝∠ADC；（2）解：如图，连接DE，∵∠DAE＝60°，AE＝AD，∴△EAD为等边三角形，∴∠AED＝60°，又∵∠AEB＝∠ADC＝130°，∴∠BED＝130°﹣60°＝70°．21．（8分）如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB＝45°，∠APD＝75°．（1）求∠B的大小；（2）已知圆心O到BD的距离为3，求AD的长．【解答】解：（1）∵∠CAB＝45°，∠APD＝75°．∴∠C＝∠APD﹣∠CAB＝30°，∵由圆周角定理得：∠C＝∠B，∴∠B＝30°；（2）过O作OE⊥BD于E，∵OE过O，∴BE＝DE，∵圆心O到BD的距离为3，∴OE＝3，∵AO＝BO，DE＝BE，∴AD＝2OE＝6．22．（9分）如图，已知抛物线y＝（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B 在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．【解答】解：（1）将M（﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：﹣2＝（﹣2﹣2）（﹣2+a），解得：a＝4；（2）①由（1）抛物线解析式y＝（x﹣2）（x+4），当y＝0时，得：0＝（x﹣2）（x+4），解得：x1＝2，x2＝﹣4，∵点B在点C的左侧，∴B（﹣4，0），C（2，0），当x＝0时，得：y＝﹣2，即E（0，﹣2），＝×6×2＝6；∴S△BCE②由抛物线解析式y＝（x﹣2）（x+4），得对称轴为直线x＝﹣1，根据C与B关于抛物线对称轴直线x＝﹣1对称，连接BE，与对称轴交于点H，即为所求，设直线BE解析式为y＝kx+b，将B（﹣4，0）与E（0，﹣2）代入得：，解得：，∴直线BE解析式为y＝﹣x﹣2，将x＝﹣1代入得：y＝﹣2＝﹣，则H（﹣1，﹣）．23．（9分）国庆节期间，某品牌月饼经销商销售甲、乙两种不同味道的月饼，已知一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为14元，每个甲种月饼的利润是6元，每个乙种月饼的售价比其进价的2倍少1元，小王同学买4个甲种月饼和3个乙种月饼一共用了89元．（1）甲、乙两种月饼的进价分别是多少元？（2）在（1）的前提下，经销商统计发现：平均每天可售出甲种月饼200个和乙种月饼150个．如果将两种月饼的售价各提高1元，则每天将少售出50个甲种月饼和40个乙种月饼．为使每天获取的利润更多，经销商决定把两种月饼的价格都提高x元．在不考虑其他因素的条件下，当x为多少元时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种月饼获取的利润为2650元？【解答】解：（1）设甲种月饼的进价是x元/个，乙种月饼的进价是y元/个，则，解得．故甲种月饼的进价是8元/个，乙种月饼的进价是6元/个；（2）依题意有（6+x）（200﹣50x）+（6﹣1+x）（150﹣40x）＝2650，解得x1＝1，x2＝﹣，∵x＞0，∴x＝1．答：当x为1元时，才能使该经销商每天销售甲、乙两种月饼获取的利润为2650元．24．（10分）如图（1），正方形ABCD和正方形AEFG，边AE在边AB上，AB＝12，AE＝6，将正方形AEFG绕点A逆时针旋转a（0°≤α≤45°）．（1）如图（2），正方形AEFG旋转到此位置，求证：BE＝DG；（2）在旋转的过程中，当∠BEA＝120°时，试求BE的长；（3）BE的延长线交直线DG于点P，在旋转的过程中，是否存在某时刻BF＝BC？若存在，试求出DP 的长；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB＝AD，AE＝AG，∠BAD＝∠EAG＝90°，∴∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE＝DG；（2）解：如图1，过点A作AH⊥BE交BE的延长线于点H，∵∠BEA＝120°，∴∠AEH＝180°﹣∠BEA＝60°，∵∠AHE＝90°，∴∠EAH＝90°﹣60°＝30°，∴EH＝AE＝×6＝3，∴AH＝＝＝3，在Rt△ABH中，BH＝＝＝3，∴BE＝BH﹣EH＝3﹣3；（3）解：存在．如图2，连接AF，∵四边形AEFG是正方形，∴AE＝EF＝6，∠AEF＝90°，∴AF＝＝＝12，∵BF＝BC＝AB＝12，∴AF＝BF＝AB＝12，∴△ABF是等边三角形，∵BA＝BF，EA＝EF，∴BE是线段AF的垂直平分线，∵EG是线段AF的垂直平分线，∴直线BE与直线EG是同一条直线，∴点P与点G重合，即DP＝DG，设EG与AF交于点O，则AO＝EO＝AF＝6，∠AOB＝90°，∴BO＝＝＝6，∴BE＝BO﹣EO＝6﹣6，∵∠BAE+∠EAD＝∠DAG+∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠DAG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴DG＝BE，∴DP＝BE＝6﹣6．25．（10分）如图1所示，直线与x轴、y轴分别相交于点A，点B，点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．（1）求抛物线的解析式：（2）点P为线段AB上（不与端点重合）的一动点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，求PQ+PB 取得最大值时点P的坐标；（3）如图2，连接BC并延长，交x轴于点D，E为第三象限抛物线上一点，连接DE，点G为x轴上一点，且G（﹣1，0），直线CG与DE交于点F，点H在线段CF上，且∠CFD+∠ABH＝45°，连接BH交OA于点M，已知∠GDF＝∠HBO，求点H的坐标．【解答】解：（1）∵直线y＝x+3与x轴、y轴分别相交于点A，点B，∴A（﹣4，0），B（0，3），∵点C（1，2）在经过点A，B的二次函数y＝ax2+bx+c的图象上．∴，∴，∴y＝﹣x2﹣x+3；（2）如图，作PD⊥OB于D，设Q（m，﹣m2﹣m+3），P（m，m+3），∴PQ＝﹣m2﹣m+3﹣（m+3）＝﹣m2﹣m，∵PD∥OA，∴△BPD∽△BAO，∴＝，∵A（﹣4，0），B（0，3），∴AB＝＝＝5，∴，∴PB＝﹣m，∴PQ+PB＝﹣m2﹣m﹣m＝﹣m2﹣m＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，PQ+PB取得最大值，∵×（﹣）+3＝，∴P（﹣，）；（3）如图，作CN⊥AD于N，作MT⊥AB于T，∵C（1，2），G（﹣1，0），∴CN＝GN＝2，∴∠CGN＝∠NCG＝45°，∴∠CFD+∠GDF＝45°，∵∠CFD+∠ABH＝45°，∴∠GDF＝∠ABH，∵∠GDF＝∠HBO，∴∠ABH＝∠HBO，∴OM＝MT，+S△BOM＝S△AOB，∵S△ABM∴AB•MT+OB•OM＝OB•OA，∴5OM+3OM＝3×4，∴OM＝，∴M（﹣，0），∴直线BM的解析式为：y＝2x+3，∵C（1，2），G（﹣1，0），∴直线CG的解析式为：y＝x+1，由2x+3＝x+1得，x＝﹣2，∴x+1＝﹣1，∴H（﹣2，﹣1）．。
2015年高考文科数学湖南卷(含详细答案)
绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知2(1i)1i z-=+(i 为虚数单位),在复数z = ( )A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --2.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩（单位:分钟）的茎叶图如图所示.若将运动员按成绩由好到差编为1～35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )A .3B .4C .5D .6 3.设x ∈R ,则“1x >”是“31x >”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件4.若变量x ,y 满足约束条件1,1,1,x y y x x +⎧⎪-⎨⎪⎩≥≤≤则2z x y =-的最小值为( )A .1-B .0C .1D .25.执行如图所示的程序框图.如果输入3n =,则输出的S =( )A .67B .37C .89D .496.若双曲线22221x y a b -=的一条渐近线经过点(3,4)-,则此双曲线的离心率为( )AB .54C .43D .537.若实数a ,b满足12a b+=则ab 的最小值为 ( )AB .2 C.D .48.设函数()ln(1)ln(1)f x x x =+--,则()f x 是( )A .奇函数,且在(0,1)上是增函数B .奇函数,且在(0,1)上是减函数C .偶函数,且在(0,1)上是增函数D .偶函数,且在(0,1)上是减函数9.已知点A ,B ,C 在圆221x y +=上运动,且AB BC ⊥.若点P 的坐标为(2,0),则||PA PB PC ++的最大值为( )A .6B .7C .8D .910.某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为=⎛⎫ ⎪⎝⎭新工件的体积材料利用率原工件的体积 ( ) A .89π B .827πCD第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在题中的横线上. 11.已知集合{1,2,3,4}U =,{1,3}A =,{1,3,4}B =,则()U A B =ð . 12.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C 的极坐标方程为2sin ρθ=,则曲线C 的直角坐标方程为 .13.若直线3450x y -+=与圆222(0)x y r r +=>相交于A ,B 两点,且120(AOB O ∠=为坐标原点),则r = .14.若函数()22||x f x b =--有两个零点,则实数b 的取值范围是 .15.已知0ω>,在函数2sin y x ω=与2cos y x ω=的图象的交点中,距离最短的两个交点的距离为,则ω= .三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是:从装有2个红球1A ,2A 和1个白球B 的甲箱与装有2个红球1a ,2a 和2个白球1b ,2b 的乙箱中,各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖. （Ⅰ）用球的标号列出所有可能的摸出结果;（Ⅱ）有人认为:两个箱子中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率.你认为正确吗?请说明理由.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________17.（本小题满分12分）设ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,tan a b A =. （Ⅰ）证明:sin cos B A =; （Ⅱ）若3sin sin cos 4C A B -=,且B 为钝角,求A ,B ,C .18.（本小题满分12分）如图,直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形,E ,F 分别是BC ,1CC 的中点.（Ⅰ）证明:平面AEF ⊥平面11B BCC ;（Ⅱ）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒,求三棱锥F AEC -的体积.19.（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,22a =,且2133n n n a S S ++=-+,*n ∈Ν. （Ⅰ）证明:23n n a a +=;（Ⅱ）求n S .20.（本小题满分13分）已知抛物线1C :24x y =的焦点F 也是椭圆2C :22221(0)y x a b a b+=>>的一个焦点,1C 与2C 的公共弦的长为26过点F 的直线l 与1C 相交于A ,B 两点,与2C 相交于C ,D 两点,且AC 与BD 同向.（Ⅰ）求2C 的方程;（Ⅱ）若||||AC BD =,求直线l 的斜率.21.（本小题满分13分）已知0a >,函数()cos ([0,))x f x ae x x =∈+∞.记n x 为()f x 的从小到大的第*()n n ∈Ν个极值点.（Ⅰ）证明:数列{()}n f x 是等比数列;（Ⅱ）若对一切*n ∈Ν,|()|n n x f x ≤恒成立,求a 的取值范围.2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文科）答案解析第Ⅰ卷z x y∴=-在点A处取得最小值为.故选A.z x y∴=-22数学试卷第10页（共36页）(22)x x x -≤第Ⅱ卷二、填空题11.【答案】{123}，， 【解析】由题{}2U B =ð，所以(){123}UB A =，，ð. 【提示】首先求出集合B 的补集，然后再与集合A 取并集. 【考点】集合的运算. 12.【答案】22(1)1x y +-=【解析】曲线C 的极坐标方程为22sin 2sin ,ρθρρθ=∴=，它的直角坐标方程为222x y y +=， 22(1)1x y ∴+-=，故答案为22(1)1x y +-=【提示】直接利用极坐标与直角坐标互化，求解即可. 【考点】圆的极坐标方程. 13.【答案】2数学试卷 第16页（共36页）120，120，则△120的等腰三角形，顶点（圆心）到直线的距离数y b =的图像有两个交点，结合函数的图像可得，02b <<时符合条件，故答案为02b <<.所以平面AEF⊥平面11B BCC.3322121BC BB B=，推出数学试卷第22页（共36页）（Ⅱ）如图，设11223344()()()()A x yB x yC x yD x y，，，，，，，，uuu r uuu r u u ur u u ur数学试卷第28页（共36页）11 / 12数学试卷第34页（共36页）数学试卷第35页（共36页）数学试卷第36页（共36页）。
湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题
湖南省株洲市第二中学2023-2024学年高一上学期第一次月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．已知函数31()f x ax x=+，那么(2)f 等于（二、多选题利克雷函数就以其名命名，其解析式为()1,0,x D x x ⎧=⎨⎩是有理数是无理数，狄利克雷函数的发现改变了数学家们对“函数是连续的”的认识，也使数学家们更加认可函数的对应说定义，关于函数()D x 有以下四个命题，其中真命题是（）A ．函数()D x 是奇函数B ．()()(),,x y D xy D x D y ∃∈=+RC ．函数()()D D x 是偶函数D ．()(),,x a D a x D a x∀∈∀∈+=-R Q 三、填空题14．函数+=+x y x 15．若函数()f x 为.16．设[]x 表示不超过四、解答题17．分别求满足下列条件的(1)已知()1f x +=(2)已知函数(f x (3)已知11f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭五、应用题20．当下的电动汽车越来越普及，可以通过固定的充电柱进行充电．某商场计划在地下停车库安装公共充电柱，以满足顾客的需求．据市场分析，公共充电柱的历年总利润y （单位：万元）与营运年数x （x 是正整数）成二次函数关系，营运三年时总利润为20万元，运营六年时总利润最大，为110万元．(1)求出y 关于x 的函数关系式；(2)求营运的年平均总利润的最大值（注：年平均总利润=历年总利润/营运年数）．六、证明题七、解答题22．给定函数()()2222,,f x x x a a g x x x a a a R =+++=-+-∈．且,x R ∀∈用()M x 表示()f x ，()g x 的较大者，记为()()(){}=max ,M x f x g x ．（1）若1a =，试写出()M x 的解析式，并求()M x 的最小值；M x的最小值为3，试求实数a的值．（2）若函数()。
湖南省株洲市醴陵市第二中学2024学年高三5月毕业考试数学试题理试题
湖南省株洲市醴陵市第二中学2024学年高三5月毕业考试数学试题理试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．圆心为()2,1且和x 轴相切的圆的方程是（ ） A ．()()22211x y -+-= B ．()()22211x y +++= C ．()()22215x y -+-=D ．()()22215x y +++=3．已知1011M dx x =+⎰，20cos N xdx π=⎰，由程序框图输出的S 为（ ）A ．1B ．0C ．2πD ．ln 24．记递增数列{}n a 的前n 项和为n S .若11a =，99a =，且对{}n a 中的任意两项i a 与j a （19i j ≤<≤），其和i j a a +，或其积i j a a ，或其商j ia a 仍是该数列中的项，则（ ）A ．593,36a S ><B ．593,36a S >>C ．693,36a S >>D ．693,36a S ><5．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．1126．从抛物线24y x =上一点P (P 点在x 轴上方)引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且||5PM =，设抛物线的焦点为F ，则直线MF 的斜率为（ ）A ．2-B ．2C ．43-D ．437．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以2倍的塔高，恰好为祖冲之发现的密率355113≈π．设胡夫金字塔的高为h ，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单条灯带，则需要灯带的总长度约为 A ．24(4)2h 2π+π+B ．216(2)4h π+π+C ．2(8421)h π+π+D ．2(2216)h π+π+8．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ） A ．12B ．14C ．15D ．1109．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()()⋅f x g x 是偶函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是奇函数D ．()()f x g x ⋅是奇函数10．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A ．16B ．12C ．8D ．611．定义两种运算“★”与“◆”，对任意N n *∈，满足下列运算性质：①2★2018=1，2018◆11=；②（2n ）★2018=[2(22)n +★]2018 ，2018◆(1)2(2018n +=◆)n ，则（2018◆2020）（2020★2018）的值为( ) A ．10112B ．10102C ．10092D ．1008212．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
醴陵二中、醴陵四中2018-2019学年高一数学上学期期末联考试题(含解析)
湖南省醴陵二中、醴陵四中2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题一、选择题（本大题共12小题,共60。
0分）1.直线与直线垂直,则等于( ）A。
B. C。
D.【答案】C【解析】分析:由于直线y=2x+1的斜率为2,所以直线y=kx的斜率存在，两条直线垂直，利用斜率之积为—1，直接求出k的值．解答：解：直线y=kx与直线y=2x+1垂直，由于直线y=2x+1的斜率为2，所以两条直线的斜率之积为—1,所以k=故选C．点评:本题考查两条直线垂直的斜率关系，考查计算能力，是基础题．2.已知空间两点，,则、两点间的距离是（）．A. B。
C. D.【答案】A【解析】∵空间两点P(－1,2，－3)，Q(3，－2,－1)∴故选:A3.如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体,异面直线AD与CB1所成的角是（）A。
B。
C。
D.【答案】B【解析】【分析】由AD∥BC，知∠BCB1是异面直线AD与CB1所成的角，由此能求出异面直线AD与CB1所成的角的大小．【详解】解：ABCD-A1B1C1D1为正方体中，∵AD∥BC，∴∠BCB1是异面直线AD与CB1所成的角，∵∠BCB1=45°，∴异面直线AD与CB1所成的角为45°．故选：B．【点睛】本题考查异面直线所成角,考查空间想象能力，属基础题．4。
若M（x0，y0）为圆x2+y2=r2（r＞0)上一点，则直线x0x+y0y=r2与该圆的位置关系为（）A。
相切B。
相交C。
相离D。
相切或相交【答案】A【解析】【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较大小作判断.【详解】因为M(x0，y0）为圆x2+y2=r2(r＞0)上一点，所以因此圆心O到直线x0x+y0y=r2距离为，即直线x0x+y0y=r2与该圆相切，选A.【点睛】本题考查直线与圆位置关系,考查基本分析判断能力，属基础题.5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角A—D1C1—C的大小等于（）A. B。
湖南省株洲市高一上学期数学第一次月考试卷
湖南省株洲市高一上学期数学第一次月考试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共8题；共16分)1. （2分） (2017高一上·长春期中) 若集合A={x|﹣1≤x≤1}，B={x|0＜x＜3}，则A∪B=（）A . {x|﹣1≤x＜3}B . {x|0＜x≤1}C . {x|1≤x＜3}D . {x|0≤x≤3}2. （2分） (2019高一上·柳江月考) 以下五个关系：，，，，，其中正确的个数是（）A .B .C .D .3. （2分）已知不等式的解集是，则不等式的解集是（）A . （2,3）B .C .D .4. （2分） (2020高一上·重庆月考) 如果集合中只有一个元素，则a的值是（）A . 0B . -1C . 0或1D . 0或-15. （2分）(2020·郑州模拟) 已知等差数列的公差，且成等比数列，若，为数列的前n项和，则的最小值为（）A . 4B . 3C .D . 26. （2分）设全集，集合，则等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2019高一上·上海月考) 如果a，b，c，满足，且，那么下列不等式不成立的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高一下·汕头期末) 气象学院用万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天连续使用，第天的维修保养费为元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少）为止，一共使用了（）A . 天B . 天C . 天D . 天二、多选题 (共4题；共12分)9. （3分） (2020高一上·瑞安月考) 用表示非空集合中的元素个数，定义 .已知集合，，若，则实数的取值可能是（）A .B . 0C . 1D .10. （3分） (2020高一上·重庆月考) 已知集合，，若，则实数的取值为（）A .B .C .D . 011. （3分） (2020高一上·汕头月考) 下列命题正确的是（）A .B . ，使得C . 是的充要条件D . ，则12. （3分） (2020高一上·重庆月考) 已知关于x的一元二次方程(3a2+4)x2-18ax+15=0有两个实根x1 ， x2 ，则下列结论正确的有（）A . 或B .C .D .三、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2019高一上·月考) 已知集合中的最大值与最小值的差等于集合A中所有元素之和,则 ________.14. （1分） (2017高二上·河北期末) 已知正实数x，y满足xy+2x+y=4，则x+y的最小值为________．15. （1分） (2020高一下·武汉期中) 设为实数，且，则下列不等式正确的是________.（仅填写正确不等式的序号）① ；② ；③ ；④ ；⑤四、双空题 (共1题；共1分)16. （1分） (2019高二上·奉新月考) 已知命题p：至少有一个实数，使 .写出命题p的否定________.五、解答题 (共5题；共45分)17. （5分） (2019高一上·辽源期中) 设，，求：（1）；（2）．18. （15分） (2018高二上·齐齐哈尔期中) 设命题p：∃x0∈（1，+∞），使得5+|x0|=6．q：∀x∈（0，+∞），+81x≥a ．（1）若a=9，判断命题￢p ，p∨q ，（￢p）∧（￢q）的真假，并说明理由；（2）设命题r：∃x0∈R ， x02+2x0+a-9≤0判断r成立是q成立的什么条件，并说明理由．19. （10分） (2016高一上·湖州期中) 已知函数f（x）=log （x2﹣ax+b）．（Ⅰ）若函数f（x）的定义域为（﹣∞，2）∪（3，+∞），求实数a，b的值；（Ⅱ）若f（﹣2）=﹣3且f（x）在（﹣∞，﹣1]上为增函数，求实数b的取值范围．20. （10分） (2019高一上·辽源期中) 已知函数．（1）判断的奇偶性，并加以证明；（2）设，若方程有实根，求的取值范围；21. （5分）(2012·广东) 设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x2﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．（1）求集合D（用区间表示）；（2）求函数f（x）=2x3﹣3（1+a）x2+6ax在D内的极值点．参考答案一、单选题 (共8题；共16分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：二、多选题 (共4题；共12分)答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：三、填空题 (共3题；共3分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：四、双空题 (共1题；共1分)答案：16-1、考点：解析：五、解答题 (共5题；共45分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：。
湖南2023-2024学年高三上学期月考卷(四)数学试题含答案
湖南2024届高三月考试卷（四）数学（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则复数2z 在复平面内对应的点的坐标为（）A.()4,5- B.()4,3 C.()3,4- D.()5,4【答案】C 【解析】【分析】根据题意得234i z =-+，再分析求解即可.【详解】根据题意得：()22212i 14i 4i 34i z =+=++=-+，所以复数2z 在复平面内对应的点的坐标为：()3,4-.故选：C.2.若随机事件A ，B 满足()13P A =，()12P B =，()34P A B ⋃=，则()P A B =（）A.29B.23C.14D.16【答案】D 【解析】【分析】先由题意计算出()P AB ，再根据条件概率求出()P A B 即可.【详解】由题意知：()3()()()4P A B P A P B P AB ==+- ，可得1131()32412P AB =+-=，故()1()1121()62P AB P A B P B ===.故选：D.3.设{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，则“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为{}n a 是公比不为1的无穷等比数列，若{}n a 为递减数列，当11a >，则01q <<，所以11n n a a q -=，令111n n a a q -=<，则111n qa -<，所以1111log log qq n a a ->=-，所以11log q n a >-时1n a <，当101a <<，则01q <<，所以111n n a a q -=<恒成立，当11a =，则01q <<，所以11n n a a q -=，当2n ≥时1n a <，当10a <，则1q >，此时110n n a a q -=<恒成立，对任意N*n ∈均有1n a <，故充分性成立；若存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <，当10a <且01q <<，则110n n a a q -=<恒成立，所以对任意N*n ∈均有1n a <，但是{}n a 为递增数列，故必要性不成立，故“{}n a 为递减数列”是“存在正整数0N ，当0n N >时，1n a <”的充分不必要条件；故选：A4.设π(0,2α∈，π(0,)2β∈，且1tan tan cos αβα+=，则（）A.π22αβ+=B.π22αβ-=C.π22βα-= D.π22βα+=【答案】D 【解析】【分析】根据给定等式，利用同角公式及和角的正弦公式化简变形，再利用正弦函数性质推理即得.【详解】由1tan tan cos αβα+=，得sin sin 1cos cos cos αβαβα+=，于是sin cos cos sin cos αβαββ+=，即πsin()sin()2αββ+=-，由π(0,)2α∈，π(0,2β∈，得20π,0<ππ2αββ<+-<<，则π2αββ+=-或ππ2αββ++-=，即π22βα+=或π2α=（不符合题意，舍去），所以π22βα+=.故选：D5.若52345012345(12)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，则下列结论中正确的是（）A.01a = B.480a =C.50123453a a a a a a +++++= D.()()10024135134a a a a a a -++++=【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理，求指定项的系数，各项系数和，奇次项系数和与偶数项系数和.【详解】由()52345012345(12)1(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x -=+-+-+-+-+-，对于A 中，令1x =，可得01a =-，所以A 错误；对于B 中，[]55(12)12(1)x x -=---，由二项展开式的通项得44145C (2)(1)80a =⋅-⋅-=-，所以B 错误；对于C 中，012345a a a a a a +++++与5(12(1))x +-的系数之和相等，令11x -=即50123453a a a a a a +++++=，所以C 正确；对于D 中，令2x =，则50123453a a a a a a +++++=-，令0x =，则0123451a a a a a a -+-+-=，解得5024312a a a -+++=，5135312a a a --++=，可得()()10024135314a a a a a a -++++=，所以D 错误.故选：C.6.函数()()12cos 2023π1f x x x ⎡⎤=++⎣⎦-在区间[3,5]-上所有零点的和等于（）A.2B.4C.6D.8【答案】D【分析】根据()y f x =在[]3,5-的零点，转化为11y x =-的图象和函数2cosπy x =的图象在[]3,5-交点的横坐标，画出函数图象，可得到两图象关于直线1x =对称，且()y f x =在[]3,5-上有8个交点，即可求出.【详解】因为()()112cos 2023π2cosπ11f x x x x x ⎡⎤=++=-⎣⎦--，令()0f x =，则12cosπ1x x =-，则函数的零点就是函数11y x =-的图象和函数2cosπy x =的图象在[]3,5-交点的横坐标，可得11y x =-和2cosπy x =的函数图象都关于直线1x =对称，则交点也关于直线1x =对称，画出两个函数的图象，如图所示.观察图象可知，函数11y x =-的图象和函数2cosπy x =的图象在[]3,5-上有8个交点，即()f x 有8个零点，且关于直线1x =对称，故所有零点的和为428⨯=.故选：D7.点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若PQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（）A.(0,2B.0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,12⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.(2-【解析】【分析】依据题目条件可知圆的半径为2b a ，画出图形由PQMc >，即可求得椭圆离心率的取值范围.【详解】依题意，不妨设F 为右焦点，则(),M c y ，由圆Ｍ与x 轴相切于焦点F ，M 在椭圆上，易得2b y a =或2b y a =-，则圆的半径为2b a.过M 作MN y ⊥轴垂足为N ，则PN NQ =，MN c =，如下图所示：PM ，MQ 均为半径，则PQM为等腰三角形，∴PN NQ ==∵PMQ ∠为钝角，∴45PMN QMN ∠=∠> ，即PN NQ MN c =>=c >，即4222b c c a ->，得()222222a a c c ->，得22a c ->，故有210e -<，从而解得6202e <<.故选：B8.已知函数22,0,()414,0,x x f x x x ⎧⎪=⎨-++<⎪⎩ 若存在唯一的整数x ，使得()10f x x a -<-成立，则所有满足条件的整数a 的取值集合为（）A.{2,1,0,1}--B.{2,1,0}--C.{1,0,1}-D.{2,1}-【答案】A 【解析】【分析】作出()f x 的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(,1)a 连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a 范围.【详解】作出()f x 的函数图象如图所示：()10f x x a-<-表示点()(),x f x 与点(),1a 所在直线的斜率，可得曲线()f x 上只有一个点()(),x f x （x 为整数）和点(),1a 所在直线的斜率小于0，而点(),1a 在动直线1y =上运动，由()20f -=，()14f -=，()00f =，可得当21a -≤≤-时，只有点()0,0满足()10f x x a -<-；当01a ≤≤时，只有点()1,4-满足()10f x x a-<-.又a 为整数，可得a 的取值集合为{}2,1,0,1--.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分、9.已知双曲线C过点(，且渐近线方程为3y x =±，则下列结论正确的是（）A.C 的方程为2213x y -= B.CC.曲线21x y e -=-经过C 的一个焦点D.直线10x --=与C 有两个公共点【答案】AC 【解析】【分析】由双曲线的渐近线为3y x =±，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A ；再求出双曲线的焦点坐标判断B ，C ；联立方程组判断D ．【详解】解：由双曲线的渐近线方程为33y x =±，可设双曲线方程为223x y λ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C 的方程为2213x y -=，故A 正确；由23a =，21b =，得2c ==，∴双曲线C3=，故B 错误；取20x -=，得2x =，0y =，曲线21x y e -=-过定点(2,0)，故C 正确；联立221013x x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，化简得220,0y -+-=∆=，所以直线10x -=与C 只有一个公共点，故D 不正确．故选：AC ．10.已知向量a ，b 满足2a b a += ，20a b a ⋅+= 且2= a ，则（）A.2b =B.0a b +=C.26a b -= D.4a b ⋅=【答案】ABC 【解析】【分析】由2a b a += ，得20a b b ⋅+= ，又20a b a ⋅+= 且2= a ，得2b = ，4a b ⋅=- ，可得cos ,1a b a b a b⋅==- ，,πa b = ，有0a b += ，26a b -= ，可判断各选项.【详解】因为2a b a += ，所以222a b a += ，即22244a a b b a +⋅+= ，整理可得20a b b ⋅+= ，再由20a b a ⋅+= ，且2= a ，可得224a b == ，所以2b = ，4a b ⋅=- ，A 选项正确，D 选项错误；cos ,1a b a b a b⋅==- ，即向量a ，b 的夹角,πa b = ，故向量a ，b 共线且方向相反，所以0a b += ，B 选项正确；26a b -=，C 选项正确.故选：ABC11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 是其侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），点P是线段1CC 上的动点，则下列结论正确的是（）A.存在点,P M ，使得二面角--M DC P 大小为23πB.存在点,P M ，使得平面11B D M 与平面PBD 平行C.当P 为棱1CC 的中点且PM =时，则点M 的轨迹长度为23πD.当M 为1A D 中点时，四棱锥M ABCD-外接球的体积为3【答案】BC 【解析】【分析】由题意，证得1,CD MD CD DD ⊥⊥，得到二面角--M DC P 的平面角1π0,2MDD ⎡∠∈⎤⎢⎥⎣⎦，可得判定A 错误；利用线面平行的判定定理分别证得11//B D 平面BDP ，1//MB 平面BDP ，结合面面平行的判定定理，证得平面//BDP 平面11MB D ，可判定B 正确；取1DD 中点E ，证得PE ME ⊥，得到2ME ==，得到点M 在侧面11ADD A 内运动轨迹是以E 为圆心、半径为2的劣弧，可判定C 正确；当M 为1AD 中点时，连接AC 与BD 交于点O ，求得OM OA OB OC OD ====，得到四棱锥M ABCD -外接球的球心为O ，进而可判定D 错误.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，可得CD ⊥平面11ADD A，因为MD ⊂平面11ADD A ，1DD ⊂平面11ADD A ，所以1,CD MD CD DD ⊥⊥，所以二面角--M DC P 的平面角为1∠MDD ，其中1π0,2MDD ⎡∠∈⎤⎢⎥⎣⎦，所以A 错误；如图所示，当M 为1AA 中点，P 为1CC 中点时，在正方体1111ABCD A B C D -中，可得11//B D BD ，因为11B D ⊄平面BDP ，且BD ⊂平面BDP ，所以11//B D 平面BDP ，又因为1//MB DP ，且1MB ⊄平面BDP ，且DP ⊂平面BDP ，所以1//MB 平面BDP ，因为1111B D MB B = ，且111,B D MB ⊂平面11MB D ，所以平面//BDP 平面11MB D ，所以B 正确；如图所示，取1DD 中点E ，连接PE ，ME ，PM ，在正方体1111ABCD A B C D -中，CD ⊥平面11ADD A ，且//CD PE ，所以PE ⊥平面11ADD A ，因为ME ⊂平面11ADD A ，可得PE ME ⊥，则2==ME ，则点M 在侧面11ADD A 内运动轨迹是以E 为圆心、半径为2的劣弧，分别交AD ，11A D 于2M ，1M ，如图所示，则121π3D E D M M E ∠=∠=，则21π3M M E ∠=，劣弧12M M 的长为π3π223⨯=，所以C 正确当M 为1A D 中点时，可得AMD 为等腰直角三角形，且平面ABCD ⊥平面11ADD A ，连接AC 与BD 交于点O ，可得OM OA OB OC OD =====，所以四棱锥M ABCD -外接球的球心即为AC 与BD 的交点O ，所以四棱锥M ABCD -，其外接球的体积为348233π⨯=，所以D 错误.故选：BC.12.若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =（e 为自然对数的底数），则（）A.()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增；B.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；C.()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；D.()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-.【答案】ABD 【解析】【分析】令()()()m x f x g x =-，利用导数可确定()m x 单调性，得到A 正确；设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，根据隔离直线定义可得不等式组22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立；分别在0k =和0k <两种情况下讨论b 满足的条件，进而求得,k b 的范围，得到B 正确，C 错误；根据隔离直线过()f x 和()h x 的公共点，可假设隔离直线为y kx e =-；分别讨论0k =、0k <和0k >时，是否满足()()e 0f x kx x ≥->恒成立，从而确定k =，再令()()e G x h x =--，利用导数可证得()0G x ≥恒成立，由此可确定隔离直线，则D 正确.【详解】对于A ，()()()21m x f x g x x x=-=-，()212m x x x '∴=+，()3321221m x x x ⎛⎫''=-=- ⎪⎝⎭，当x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0m x ''>，()m x '∴单调递增，()2233220m x m ⎛'∴>-=--+= ⎝，()m x ∴在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增，A 正确；对于,B C ，设()f x ，()g x 的隔离直线为y kx b =+，则21x kx bkx bx ⎧≥+⎪⎨≤+⎪⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立，即22010x kx b kx bx ⎧--≥⎨+-≤⎩对任意(),0x ∈-∞恒成立.由210kx bx +-≤对任意(),0x ∈-∞恒成立得：0k ≤.⑴若0k =，则有0b =符合题意；⑵若0k <则有20x kx b --≥对任意(),0x ∈-∞恒成立，2y x kx b =-- 的对称轴为02kx =<，2140k b ∆+∴=≤，0b ∴≤；又21y kx bx =+-的对称轴为02bx k =-≤，2240b k ∴∆=+≤；即2244k b b k⎧≤-⎨≤-⎩，421664k b k ∴≤≤-，40k ∴-≤<；同理可得：421664b k b ≤≤-，40b ∴-≤<；综上所述：40k -≤≤，40b -≤≤，B 正确，C 错误；对于D ， 函数()f x 和()h x 的图象在x =处有公共点，∴若存在()f x 和()h x 的隔离直线，那么该直线过这个公共点.设隔离直线的斜率为k，则隔离直线方程为(y e k x -=，即y kx e =-+，则()()e 0f x kx x ≥->恒成立，若0k =，则()2e 00x x -≥>不恒成立.若0k <，令()()20u x x kx e x =-+>，对称轴为02k x =<()2u x x kx e ∴=-+在(上单调递增，又0ue e =--=，故0k <时，()()e 0f x kx x ≥->不恒成立.若0k >，()u x 对称轴为02kx =>，若()0u x ≥恒成立，则()(22340k e k ∆=-=-≤，解得：k =.此时直线方程为：y e =-，下面证明()h x e ≤-，令()()2ln G x e h x e e x =--=--，则()x G x x-'=，当x =时，()0G x '=；当0x <<()0G x '<；当x >()0G x '>；∴当x =()G x 取到极小值，也是最小值，即()min 0G x G==，()()0G x e h x ∴=--≥，即()h x e ≤-，∴函数()f x 和()h x 存在唯一的隔离直线y e =-，D 正确.故选：ABD .【点睛】本题考查导数中的新定义问题的求解；解题关键是能够充分理解隔离直线的定义，将问题转化为根据不等式恒成立求解参数范围或参数值、或不等式的证明问题；难点在于能够对直线斜率范围进行准确的分类讨论，属于难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()y f x =的图像在点()()11M f ，处的切线方程是122y x =+，则()()11f f '+＝______．【答案】3【解析】【分析】根据导数的几何意义，可得'(1)f 的值，根据点M 在切线上，可求得(1)f 的值，即可得答案.【详解】由导数的几何意义可得，'1(1)2k f ==，又()()11M f ，在切线上，所以15(1)1222f =⨯+=，则()()11f f '+=3，故答案为：3【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，考查分析理解的能力，属基础题.14.如图，由3个全等的钝角三角形与中间一个小等边三角形DEF 拼成的一个较大的等边三角形ABC ，若3AF =，33sin 14ACF ∠=，则DEF 的面积为________．【解析】【分析】利用正弦定理以及余弦定理求得钝角三角形的三边长，根据等边三角形的性质以及面积公式，可得答案.【详解】因为EFD △为等边三角形，所以60EFD ∠= ，则120EFA ∠= ，在AFC △中，由正弦定理，则sin sin AF ACACF AFC=∠∠，解得sin 7sin 23314AF AC AFC ACF =⋅∠==∠，由余弦定理，则2222cos AC AF FC AF FC AFC =+-⋅⋅∠，整理可得：21499232FC FC ⎛⎫=+-⨯⋅⋅- ⎪⎝⎭，则23400FC FC +-=，解得5FC =或8-（舍去），等边EFD △边长为532-=，其面积为122sin 602⨯⨯⋅=o .15.已知数列{}n a 的首项132a =，且满足1323n n n a a a +=+．若123111181n a a a a +++⋅⋅⋅+<，则n 的最大值为______．【答案】15【解析】【分析】应用等差数列定义得出等差数列,根据差数列通项公式及求和公式求解计算即得.【详解】因为12312133n n n n a a a a ++==+，所以1112,3n n a a +=+，即11123n n a a +-=，且1123a =，所以数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为23，公差为23的等差数列.可求得()12221333n nn a =+-=，所以()()1232211111212222333n n n n n n a a a a ++⨯+⨯++⨯+++⋅⋅⋅+===，即()()181,12433n n n n +<+<且()*1,N n n n +∈单调递增,1516240,1617272⨯=⨯=.则n 的最大值为15.故答案为:15.16.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 满足112A E EB =，点F 在平面1BC D 内，则|1||A F EF +的最小值为___________.【答案】6【解析】【分析】以点D 为原点，建立空间直角坐标系，由线面垂直的判定定理，证得1A C ⊥平面1BC D ，记1AC 与平面1BC D 交于点H ，连接11A C ，1,C O ，AC ，得到12A H HC =，结合点()13,0,3A 关于平面1BC D 对称的点为()1,4,1G --，进而求得1A F EF +的最小值.【详解】以点D 为原点，1,,DA DC DD所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，则()13,0,3A ，()3,2,3E ，()0,3,0C，因为BD AC ⊥，1BD A A ⊥，且1AC A A A ⋂=，则BD ⊥平面1A AC ，又因为1AC ⊂平面1A AC ，所以1BD A C ⊥，同理得1BC ⊥平面11A B C ，因为1AC ⊂平面11A B C ，所以11BC A C ^，因为1BD BC B = ，且1,BD BC ⊂平面1BC D ，所以1A C ⊥平面1BC D ，记1AC 与平面1BC D 交于点H ，连接11A C ，1C O ，AC ，且AC BD O = ，则11121A H A C HC OC ==，可得12A H HC =，由得点()13,0,3A 关于平面1BC D 对称的点为()1,4,1G --，所以1A F EF +的最小值为6EG ==.故答案为：6.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()23sin 2cos 2xf x x m ωω=++的最小值为2-.（1）求函数()f x 的最大值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位，可得函数()y g x =的图象，且函数()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，求ω的最大值.【答案】（1）2（2）4【解析】【分析】（1）化简函数为()2sin 16f x x m πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，再根据函数()f x 的最小值为2-求解；（2）利用平移变换得到()2sin g x x ω=的图象，再由()y g x =在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数求解.【小问1详解】解：()23sin 2cos 2xf x x m ωω=++，3sin cos 1x x m ωω=+++，2sin 16x m πω⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭，函数()f x 的最小值为2-212m ∴-++=-，解得1m =-，则()2sin 6f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最大值为2.【小问2详解】由（1）可知：把函数()2sin 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向右平移6πω个单位，可得函数()2sin y g x x ω==的图象.()y g x = 在0,8π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数，∴函数()g x 的周期22T ππω=4ω∴ ，即ω的最大值为4.18.为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A “毛毛虫旱地龙舟”和项目B “袋鼠接力跳”.甲、乙两班每班分成两组，每组参加一个项目，进行班级对抗赛.第一个比赛项目A 采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束）；第二个比赛项目B 采取领先3局者获胜。
湖南省醴陵二中、醴陵四中2022年高一数学第一学期期末联考试题含解析
C.x 1 x 2
D.x x 2
3．设全集U R ，集合 A {x | 4 x 2} ， B {x | 3x 1}，则 A ( U B) （ ）
A.{x | 4 x 1}
B.{x | 4 x 0}
C.{x | 4 x 2}
D.{x | 0 x 2}
4．下列等式中，正确的是（）
A. n an a
C.
6
52
1
5 3
B.
2
log2
3
2 3
1
D. 3 2 2 22
5．设 a 30.3 ， b log 3 ， c log0.3e ，则 a，b，c 的大小关系是 ( )
A. a b c
B. c b a
C. b a c
D. c a b
6．设 a 30.7 ,
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项: 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2．答题时请按要求用笔。 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
点
（1）求证: PE AD （2）若 CA CB ，求证:平面 PEC 平面 PAB
22．已知集合 A x | 5 x 2， B x | x 5或x 1 ， C x | m 1 x m 1 .
（Ⅰ）求 A B ， ACRB ；
（Ⅱ）若 B C ，求实数 m 的取值范围.
参考答案
【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出 a, b, c 的大小关系. 【详解】因为 a 30.7 1，
2024-2025学年湖南省益阳市箴言中学高二上学期9月月考数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省益阳市箴言中学高二上学期9月月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知A={x|x≤1}，B={x|x−2x−a≤0}，若A∪B={x|x≤2}，则实数a的取值范围是( )A. a≥2B. a≤2C. a≥1D. a≤12.已知空间向量a=(1,0,3),b=(2,1,0),c=(5,2,z)，若a,b,c共面，则实数z的值为( )A. 4B. 3C. 2D. 13.在▵ABC中，若AB⋅BC−AB2=0，则▵ABC的形状一定是( )A. 等边三角形B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形4.命题p:f(x)={x2+2ax−7,−1≤x≤2(a+4)ln(x+2)−a−1,−2<x<−1在x∈(−2,2]上为减函数，命题q:g(x)=ax+4x−1在(1,+∞)为增函数，则命题p是命题q的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件5.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加．假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给4位同学，且所发信息都能收到，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率为( )A. 25B. 1225C. 1625D. 456.定义运算：|a1&a2a3&a4|=a1a4−a2a3，将函数f(x)=|3&sinωx1&&cosωx|(ω>0)的图像向左平移2π3个单位所得图像对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A. 54B. 14C. 74D. 347.已知f(x)是定义在实数集R上的函数，在(0,+∞)内单调递增，f(2)=0，且函数f(x+1)关于点(−1,0)对称，则不等式x⋅f(1−x)<0的解集是( )A. (−∞,−2)∪(−1,0)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)C. (−1,0)∪(1,3)D. (−∞,−1)∪(0,1)∪(3,+∞)8.已知椭圆C1与双曲线C2有共同的焦点F1，F2，P是椭圆C1与双曲线C2的一个公共点，且∠F1PF2=π3，其离心率分别为e1，e2，则3e21+e22的最小值为( )A. 3B. 4C. 6D. 12二、多选题：本题共3小题，共18分。
2023-2024学年湖南省高二年级上学期9月金太阳联考数学试卷+答案解析(附后)
2023-2024学年湖南省高二年级上学期9月金太阳联考数学试卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“”的否定是( )A. ²B.C. ，D.2.已知集合( )A. B. C. D.3.若则z的虚部为( )A. B. C. D.4.已知向量，满足，，则( )A. 5B.C. 6D. 135.在正四棱台中，，且三棱锥的体积为1，则该正四棱台的体积为( )A. 2B. 3C.D.6.若则( )A. B.C. D.7.在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知则( )A. 5B.C.D. 68.直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，且直线l与坐标轴所围成的三角形的面积为10，则直线l的方程可能是( )A. B.C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知直线下列选项正确的是( )A. 若B. 若C. 直线l 恒过点D. 若直线n 在x 轴上的截距为6，则直线n 的斜截式为10.如图，在菱形ABCD 中，，，将沿直线BD 翻折成不在平面ABCD 内，则A.B. 点 B 到直线PC 的距离为定值C. 当PB 与CD 所成的角为时，二面角的余弦值为D. 当PB 与平面BCD 所成的角最大时，三棱锥外接球的表面积为11.是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.某地8月1日到10日的日均值单位：分别为36，32，38，34，32，88，42，36，30，32，则关于这10天中日均值的说法正确的是( )A. 众数为32B. 第80百分位数是38C. 平均数是40D. 前4天的方差比后4天的方差小12.已知甲盒中有五个相同的小球，标号为1，2，3，4，5，乙盒中有五个相同的小球，标号为3，4，5，6，现从甲、乙两盒中分别随机抽取1个小球，记事件“抽取的两个小球标号相同”，事件“抽取的两个小球标号之和为奇数”，事件“抽取的两个小球标号之和大于8”，则( )A. 事件A 与事件B 是互斥事件 B. 事件A 与事件B 是对立事件C.D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024-2025学年湖南师范大学附属中学高三上学期月考(一)数学试题及答案
大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b + 在向量b 上投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,04. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21B. 19C. 12D. 425. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A 136人B. 272人C. 328人D. 820人6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π37. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条的.渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈⎥⎝⎦11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.14. 已知点C 为扇形AOB 弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．的（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ 长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．销售量千张经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()N n P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．.参考公式：()()()1122211ˆˆ,n ni i i ii in ni ii ix x y y x y nx ya y bxx x x nx====---==---∑∑∑∑.大联考湖南师大附中2025届高三月考试卷（一）数学命题人：高三数学备课组 审题人：高三数学备课组时量：120分钟 满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1. 已知{}()260,{lg 10}A x x xB x x =+-≤=-<∣∣，则A B = （ ）A. {}32x x -≤≤∣ B. {32}xx -≤<∣C. {12}xx <≤∣ D. {12}xx <<∣【答案】D 【解析】【分析】通过解一元二次不等式和对数函数的定义域，求出集合,A B ，再求交集．【详解】集合{}()32,{lg 10}{12}A x x B x x x x =-≤≤=-<=<<∣∣∣，则{12}A B xx ⋂=<<∣，故选：D ．2. 若复数z 满足()1i 3i z +=-+（i 是虚数单位），则z 等于（ ）A.B.54C.D.【答案】C 【解析】【分析】由复数的除法运算计算可得12i z =-+，再由模长公式即可得出结果.【详解】依题意()1i 3i z +=-+可得()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z -+--+-+====-+++-，所以z ==.故选：C3. 已知平面向量()()5,0,2,1a b ==- ，则向量a b +在向量b 上的投影向量为（ ）A. ()6,3- B. ()4,2- C. ()2,1- D. ()5,0【答案】A 【解析】【分析】根据投影向量的计算公式即可求解.【详解】()()7,1,15,a b a b b b +=-+⋅=== 所以向量a b +在向量b 上的投影向量为()()236,3||a b b b b b +⋅==- .故选：A4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若396714,63a a a a +==，则7S =（ ）A. 21 B. 19C. 12D. 42【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列的性质，即可求解公差和首项，进而由求和公式求解.【详解】{}n a 是等差数列，396214a a a ∴+==，即67a =，所以67769,a a a a ==故公差76162,53d a a a a d =-=∴=-=-，()767732212S ⨯∴=⨯-+⨯=，故选：A5. 某校高二年级下学期期末考试数学试卷满分为150分，90分以上（含90分）为及格．阅卷结果显示，全年级1200名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数（难度系数=平均分/满分）为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（ ）附：若()2,X Nμσ~，记()()p k P k X k μσμσ=-≤≤+，则()()0.750.547,10.683p p ≈≈．A. 136人B. 272人C. 328人D. 820人【答案】B 【解析】【分析】首先求出平均数，即可得到学生的数学成绩2~(73.5,22)X N ，再根据所给条件求出(5790)P X ≤≤，即可求出(90)P X ≥，即可估计人数．【详解】由题得0.4915073.5,22μσ=⨯==，()()(),0.750.547p k P k X k p μσμσ=-≤≤+≈ ，()5790P X ∴≤≤()0.750.547p =≈，()()900.510.5470.2265P X ≥=⨯-=，∴该校及格人数为0.22651200272⨯≈（人），故选：B ．6. 已知()π5,0,,cos ,tan tan 426αβαβαβ⎛⎫∈-=⋅= ⎪⎝⎭，则αβ+=（ ）A.π6 B.π4C.π3D.2π3【答案】D 【解析】【分析】利用两角差的余弦定理和同角三角函数的基本关系建立等式求解，再由两角和的余弦公式求解即可．【详解】由已知可得5cos cos sin sin 6sin sin 4cos cos αβαβαβαβ⎧⋅+⋅=⎪⎪⎨⋅⎪=⋅⎪⎩，解得1cos cos 62sin sin 3αβαβ⎧⋅=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩，，()1cos cos cos sin sin 2αβαβαβ∴+=⋅-⋅=-，π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,παβ∴+∈，2π,3αβ∴+=，故选：D ．7. 已知12,F F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左､右焦点，以2F 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于,A B 两点，若123AB F F >，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. ⎛ ⎝B. ⎛ ⎝C. (D. (【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线以及圆的方程可求得弦长AB =，再根据不等式123AB F F >整理可得2259c a <，即可求得双曲线的离心率的取值范围.【详解】设以()2,0F c 为圆心，a 为半径的圆与双曲线的一条渐近线0bx ay -=交于,A B 两点，则2F 到渐近线0bx ay -=的距离d b ==，所以AB =，因为123AB F F >，所以32c ⨯>，可得2222299a b c a b ->=+，即22224555a b c a >=-，可得2259c a <，所以2295c a <，所以e <，又1e >，所以双曲线的离心率的取值范围是⎛ ⎝.故选：B8. 已知函数()220log 0x a x f x x x ⎧⋅≤=⎨>⎩，，，，若关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()0,1 B. ()(),00,1-∞⋃ C. [)1,+∞ D. ()()0,11,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】利用换元法设()u f x =，则方程等价为()0f u =，根据指数函数和对数函数图象和性质求出1u =，利用数形结合进行求解即可．【详解】令()u f x =，则()0f u =．①当0a =时，若()0,0u f u ≤=；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()0f x ≤或()1f x =．如图所示，满足()0f x ≤的x 有无数个，方程()1f x =只有一个解，不满足题意；②当0a ≠时，若0≤u ，则()20uf u a =⋅≠；若0u >，由()2log 0f u u ==，得1u =．所以由()()0ff x =可得()1f x =，当0x >时，由()2log 1f x x ==，可得2x =，因为关于x 的方程()()0f f x =有且仅有两个实数根，则方程()1f x =在(,0∞-]上有且仅有一个实数根，若0a >且()(]0,20,xx f x a a ≤=⋅∈，故1a ≥；若0a <且()0,20xx f x a ≤=⋅<，不满足题意．综上所述，实数a 的取值范围是[)1,+∞，故选：C ．二､多选题：本题共36分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9. 如图，在正方体111ABCD A B C D -中，E F M N ，，，分别为棱111AA A D AB DC ，，，的中点，点P 是面1B C 的中心，则下列结论正确的是（ ）A. E F M P ，，，四点共面B. 平面PEF 被正方体截得的截面是等腰梯形C. //EF 平面PMND. 平面MEF ⊥平面PMN【答案】BD 【解析】【分析】可得过,,E F M 三点的平面为一个正六边形，判断A ；分别连接,E F 和1,B C ，截面1C BEF 是等腰梯形，判断B ；分别取11,BB CC 的中点,G Q ，易证EF 显然不平行平面QGMN ，可判断C ；EM ⊥平面PMN ，可判断D.【详解】对于A ：如图经过,,E F M 三点的平面为一个正六边形EFMHQK ，点P 在平面外，,,,E F M P ∴四点不共面，∴选项A 错误；对于B ：分别连接,E F 和1,B C ，则平面PEF 即平面1C BEF ，截面1C BEF 是等腰梯形，∴选项B 正确；对于C ：分别取11,BB CC 的中点,G Q ，则平面PMN 即为平面QGMN ，由正六边形EFMHQK ，可知HQ EF ，所以MQ 不平行于EF ，又,EF MQ ⊂平面EFMHQK ，所以EF MQ W = ，所以EF I 平面QGMN W =，所以EF 不平行于平面PMN ，故选项C 错误；对于D ：因为,AEM BMG 是等腰三角形，45AME BMG ∴∠=∠=︒，90EMG ∴∠=︒，EMMG ∴⊥，,M N 是,AB CD 的中点，易证MN AD ∥，由正方体可得AD ⊥平面11ABB A ，MN ∴⊥平面11ABB A ，又ME ⊂平面11ABB A ，EM MN ∴⊥，,MG MN ⊂ 平面PMN ，EM ∴⊥平面GMN ，EM ⊂ 平面MEF ，∴平面MEF ⊥平面,PMN 故选项D 正确．故选：BD ．10. 已知函数()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A. ()f x 的一个对称中心为3π,08⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的是奇函数的图象C. ()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 若()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，则5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【答案】BD 【解析】【分析】代入即可验证A ，根据平移可得函数图象，即可由正弦型函数的奇偶性求解B ，利用整体法即可判断C ，由5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭求解所以根，即可求解D.【详解】对于A ，由35π3π2π0848f ⎛⎫⎛⎫=+⨯=≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；对于B ，()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得：3π3π5ππ228842y f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 24x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，()y f x =在区间()0,m 上与1y =有且只有6个交点，其横坐标从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个交点的横坐标为13π4，5π13π24m ∴<≤，故D 正确.故选：BD11. 已知定义在R 上的偶函数()f x 和奇函数()g x 满足()()21f x g x ++-=，则（ ）A. ()f x 的图象关于点()2,1对称B. ()f x 是以8为周期的周期函数C. ()20240g =D.20241(42)2025k f k =-=∑【答案】ABC 【解析】【分析】根据函数奇偶性以及所满足的表达式构造方程组可得()()222f x f x ++-=，即可判断A 正确；利用对称中心表达式进行化简计算可得B 正确，可判断()g x 也是以8为周期的周期函数，即C 正确；根据周期性以及()()42f x f x ++=计算可得20241(42)2024k f k =-=∑，可得D 错误.【详解】由题意()()()(),f x f x g x g x -=-=-，且()()()00,21g f x g x =++-=，即()()21f x g x +-=①，用x -替换()()21f x g x ++-=中的x ，得()()21f x g x -+=②，由①+②得()()222f x f x ++-=所以()f x 的图象关于点(2,1)对称，且()21f =，故A 正确；由()()222f x f x ++-=，可得()()()()()42,422f x f x f x f x f x ++-=+=--=-，所以()()()()82422f x f x f x f x ⎡⎤+=-+=--=⎣⎦，所以()f x 是以8为周期的周期函数，故B 正确；由①知()()21g x f x =+-，则()()()()882121g x f x f x g x +=++-=+-=，故()()8g x g x +=，因此()g x 也是以8为周期的周期函数，所以()()202400g g ==，C 正确；又因为()()42f x f x ++-=，所以()()42f x f x ++=，令2x =，则有()()262f f +=，令10x =，则有()()10142,f f +=…，令8090x =，则有()()809080942f f +=，所以1012(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2222024f f f f f f ++++++=+++=个所以20241(42)(2)(6)(10)(14)(8090)(8094)2024k f k f f f f f f =-=++++++=∑ ，故D 错误.故选：ABC【点睛】方法点睛：求解函数奇偶性、对称性、周期性等函数性质综合问题时，经常利用其中两个性质推得第三个性质特征，再进行相关计算.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 6(31)x y +-的展开式中2x y 的系数为______．【答案】180-【解析】【分析】根据题意，由条件可得展开式中2x y 的系数为213643C C (1)⋅-，化简即可得到结果．【详解】在6(31)x y +-的展开式中，由()2213264C C 3(1)180x y x y ⋅⋅-=-，得2x y 的系数为180-.故答案为：180-．13. 已知函数()f x 是定义域为R 的奇函数，当0x >时，()()2f x f x '->，且()10f =，则不等式()0f x >的解集为__________.【答案】()()1,01,-⋃+∞【解析】【分析】根据函数奇偶性并求导可得()()f x f x ''-=，因此可得()()2f x f x '>，可构造函数()()2xf x h x =e并求得其单调性即可得()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，即可得出结论.【详解】因为()f x 为奇函数，定义域为R ，所以()()f x f x -=-，两边同时求导可得()()f x f x ''--=-，即()()f x f x ''-=且()00f =，又因为当0x >时，()()2f x f x '->，所以()()2f x f x '>.构造函数()()2x f x h x =e ，则()()()22xf x f x h x '-'=e，所以当0x >时，()()0,h x h x '>在()0,∞+上单调递增，又因为()10f =，所以()()10,h h x =在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，又因为2e 0x >，所以()f x 在()1,+∞上大于零，在()0,1上小于零，因为()f x 为奇函数，所以()f x 在(),1∞--上小于零，在()1,0-上大于零，综上所述，()0f x >的解集为()()1,01,-⋃+∞.故答案为：()()1,01,-⋃+∞14. 已知点C 为扇形AOB 的弧AB 上任意一点，且60AOB ∠=，若(),R OC OA OB λμλμ=+∈，则λμ+的取值范围是__________.【答案】⎡⎢⎣【解析】【分析】建系设点的坐标，再结合向量关系表示λμ+，最后应用三角恒等变换及三角函数值域求范围即可.【详解】方法一：设圆O 的半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，过O 点作x 轴垂线为y 轴建立直角坐标系，其中()()1,1,0,cos ,sin 2A B C θθ⎛ ⎝，其中π,0,3BOC θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，由(),R OC OA OB λμλμ=+∈，即()()1cos ,sin 1,02θθλμ⎛=+⎝，整理得1cos sin 2λμθθ+==，解得cos λμθ==，则ππcos cos ,0,33λμθθθθθ⎛⎫⎡⎤+==+=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，ππ2ππ,,sin 3333θθ⎤⎡⎤⎛⎫+∈+∈⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎦所以λμ⎡+∈⎢⎣.方法二：设k λμ+=，如图，当C 位于点A 或点B 时，,,A B C 三点共线，所以1k λμ=+=；当点C 运动到AB的中点时，k λμ=+==，所以λμ⎡+∈⎢⎣故答案为：⎡⎢⎣四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos a b c B +=．（1）求角C ；（2）若角C 的平分线CD 交AB于点,D AD DB ==CD 的长．【答案】（1）2π3C = （2）3CD =【解析】【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦定理整理得到()2cos 1sin 0C B +=，再利用三角形的内角及正弦函数的性质即可求解；（2）利用正弦定理得出3b a =，再由余弦定理求出4a =，12b =，再根据三角形的面积建立等式求解．【小问1详解】由22cos a b c B +=，根据正弦定理可得2sin sin 2sin cos A B C B +=，则()2sin sin 2sin cos B C B C B ++=，所以2sin cos 2cos sin sin 2sin cos B C B C B C B ++=，整理得()2cos 1sin 0C B +=，因为,B C 均为三角形内角，所以(),0,π,sin 0B C B ∈≠，因此1cos 2C =-，所以2π3C =．【小问2详解】因为CD 是角C的平分线，AD DB ==所以在ACD 和BCD △中，由正弦定理可得，,ππsin sin sin sin 33AD CD BD CDA B ==，因此sin 3sin B ADA BD==，即sin 3sin B A =，所以3b a =，又由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，即222293a a a =++，解得4a =，所以12b =．又ABC ACD BCD S S S =+△△△，即111sin sin sin 222ab ACB b CD ACD a CD BCD ∠∠∠=⋅⋅+⋅⋅，即4816CD =，所以3CD =．16. 已知1ex =为函数()ln af x x x =的极值点．（1）求a 的值；（2）设函数()ex kxg x =，若对()120,,x x ∀∈+∞∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，求k 的取值范围．【答案】（1）1a = （2）(]()10,-∞-+∞ ,【解析】【分析】（1）直接根据极值点求出a 的值；（2）先由（1）求出()f x 的最小值，由题意可得是求()g x 的最小值，小于等于()f x 的最小值，对()g x 求导，判断由最小值时的k 的范围，再求出最小值与()f x 最小值的关系式，进而求出k 的范围．【小问1详解】()()111ln ln 1a a f x ax x x x a x xα--=='+⋅+，由1111ln 10e e e a f a -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭'⎭⎝，得1a =，当1a =时，()ln 1f x x ='+，函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1ex =为函数()ln af x x x =的极小值点，所以1a =．【小问2详解】由（1）知min 11()e e f x f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭．函数()g x 的导函数()()1exg x k x -=-'①若0k >，对()1210,,x x k ∞∀∈+∃=-，使得()()12111e 1e k g x g f x k ⎛⎫=-=-<-<-≤ ⎪⎝⎭，即()()120f x g x -≥，符合题意．②若()0,0k g x ==，取11ex =，对2x ∀∈R ，有()()120f x g x -<，不符合题意．③若0k <，当1x <时，()()0,g x g x '<在(),1∞-上单调递减；当1x >时，()()0,g x g x '>在(1,+∞)上单调递增，所以()min ()1ek g x g ==，若对()120,,x x ∞∀∈+∃∈R ，使得()()120f x g x -≥，只需min min ()()g x f x ≤，即1e ek ≤-，解得1k ≤-．综上所述，k 的取值范围为(](),10,∞∞--⋃+．17. 已知四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面,ABCD AD ∥,,,2,BC AB BC PA PB AB AB BC AD E ⊥====为AB 的中点，F 为棱PC 上异于,P C 的点．（1）证明：BD EF ⊥；（2）试确定点F 的位置，使EF 与平面PCD【答案】（1）证明见解析（2）F 位于棱PC 靠近P 的三等分点【解析】【分析】（1）连接,,PE EC EC 交BD 于点G ，利用面面垂直的性质定理和三角形全等，即可得证；（2）取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立，利用线面角公式代入即可求解．小问1详解】如图，连接,,PE EC EC 交BD 于点G ．因为E 为AB 的中点，PA PB =，所以PE AB ⊥．因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面,ABCD AB PE =⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，因为BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥．因为ABD BCE ≅ ，所以CEB BDA ∠∠=，所以90CEB ABD ∠∠+= ，所以BD EC ⊥，因为,,PE EC E PE EC ⋂=⊂平面PEC ，所以BD ⊥平面PEC ．因为EF ⊂平面PEC ，所以BD EF ⊥．【小问2详解】如图，取DC 的中点H ，以E 为坐标原点，分别以,,EB EH EP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，【设2AB =，则2,1,BC AD PA PB ====则()()()()0,0,1,1,2,0,1,1,0,0,0,0P C D E -，设(),,,(01)F x y z PF PC λλ=<<，所以()(),,11,2,1x y z λ-=-，所以,2,1x y z λλλ===-，即(),2,1F λλλ-．则()()()2,1,0,1,2,1,,2,1DC PC EF λλλ==-=-，设平面PCD 的法向量为(),,m a b c =，则00DC m PC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，即2020a b a b c +=⎧⎨+-=⎩，，取()1,2,3m =--，设EF 与平面PCD 所成的角为θ，由cos θ=sin θ=．所以sin cos ,m EF m EF m EF θ⋅====整理得2620λλ-=，因为01λ<<，所以13λ=，即13PF PC = ，故当F 位于棱PC 靠近P 的三等分点时，EF 与平面PCD18. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点到准线的距离等于椭圆222:161C x y +=的短轴长，点P 在抛物线1C 上，圆222:(2)E x y r -+=（其中01r <<）.（1）若1,2r Q =为圆E 上的动点，求线段PQ长度的最小值；（2）设()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的一点，过D 作圆E 的两条切线，分别交抛物线1C 于点,M N .证明：直线MN 经过定点.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆的短轴可得抛物线方程2y x =，进而根据两点斜率公式，结合三角形的三边关系，即可由二次函数的性质求解，（2）根据两点坐标可得直线,MN DM 的直线方程，由直线与圆相切可得,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，即可利用韦达定理代入化简求解定点.【小问1详解】由题意得椭圆的方程：221116y x +=，所以短半轴14b =所以112242p b ==⨯=，所以抛物线1C 的方程是2y x =.设点()2,P t t ，则111222PQ PE ≥-=-=≥，所以当232ι=时，线段PQ.【小问2详解】()1,D t 是抛物线1C 上位于第一象限的点，21t ∴=，且()0,1,1t D >∴设()()22,,,M a a N b b ，则：直线()222:b a MN y a x a b a --=--，即()21y a x a a b-=-+，即()0x a b y ab -++=.直线()21:111a DM y x a --=--，即()10x a y a -++=.由直线DMr =，即()()()2222124240r a r a r -+-+-=..同理，由直线DN 与圆相切得()()()2222124240r b r b r -+-+-=.所以,a b 是方程()()()2222124240r x r x r -+-+-=的两个解，22224224,11r r a b ab r r --∴+==--代入方程()0x a b y ab -++=得()()222440x y r x y +++---=，220,440,x y x y ++=⎧∴⎨++=⎩解得0,1.x y =⎧⎨=-⎩∴直线MN 恒过定点()0,1-.【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.技巧：若直线方程为()00y y k x x -=-,则直线过定点()00,x y ;若直线方程为y kx b =+ (b 为定值),则直线过定点()0,.b 19. 龙泉游泳馆为给顾客更好的体验，推出了A 和B 两个套餐服务，顾客可选择A 和B 两个套餐之一，并在App 平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App 平台10天销售优惠券情况．日期t 12345678910销售量千张 1.9 1.98 2.2 2.36 2.43259 2.682.76 2.70.4经计算可得：10101021111 2.2,118.73,38510i i i i i i i y y t y t =======∑∑∑.（1）因为优惠券购买火爆，App 平台在第10天时系统出现异常，导致当天顾客购买优惠券数量大幅减少，已知销售量y 和日期t 呈线性关系，现剔除第10天数据，求y 关于t 的经验回归方程结果中的数值用分数表示；..（2）若购买优惠券的顾客选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34，并且A 套餐可以用一张优惠券，B 套餐可以用两张优惠券，记App 平台累计销售优惠券为n 张的概率为n P ，求n P ；（3）记（2）中所得概率n P 的值构成数列{}()Nn P n *∈.①求n P 的最值；②数列收敛的定义：已知数列{}n a ，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数0N ，使得当0n N >时，n a a ε-<，（a 是一个确定的实数），则称数列{}n a 收敛于a .根据数列收敛的定义证明数列{}n P 收敛．参考公式： ()()()1122211ˆˆ,n ni i i i i i n n ii i i x x y y x y nx y ay bx x x x nx ====---==---∑∑∑∑.【答案】（1）673220710001200y t =+ （2）433774n n P ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭（3）①最大值为1316，最小值为14；②证明见解析【解析】【分析】（1）计算出新数据的相关数值，代入公式求出 ,ab 的值，进而得到y 关于t 的回归方程；（2）由题意可知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12113,416P P ==，构造等比数列，再利用等比数列的通项公式求解；（3）①分n 为偶数和n 为奇数两种情况讨论，结合指数函数的单调性求解；②利用数列收敛的定义，准确推理、运算，即可得证．【小问1详解】解：剔除第10天的数据，可得 2.2100.4 2.49y ⨯-==新，12345678959t ++++++++==新，则9922111119.73100.4114,73,38510285i i i i t y t ==⎛⎫⎛⎫=-⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑新新，所以912922119114,7395 2.4673ˆ2859560009i i i i t y t y b t t ==⎛⎫- ⎪-⨯⨯⎝⎭===-⨯⎛⎫- ⎪⎝⎭∑∑新新新新新，可得6732207ˆ 2.4560001200a =-⨯=，所以6732207ˆ60001200y t =+.【小问2详解】解：由题意知1213,(3)44n n n P P P n --=+≥，其中12111313,444416P P ==⨯+=，所以11233,(3)44n n n n P P P P n ---+=+≥，又由2131331141644P P +=+⨯=，所以134n n P P -⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为1的常数列，所以131,(2)4n n P P n -+=≥所以1434(2)747n n P P n --=--≥，又因为1414974728P -=-=-，所以数列47n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为928-，公比为34-的等比数列，故143)74n n P --=-，所以1934433(()2847774n n n P -=--+=+-.【小问3详解】解：①当n 为偶数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=+⋅>单调递减，最大值为21316P =；当n 为奇数时，19344334()(28477747n n n P -=--+=-⋅<单调递增，最小值为114P =，综上可得，数列{}n P 的最大值为1316，最小值为14.②证明：对任意0ε>总存在正整数0347[log ()]13N ε=+，其中 []x 表示取整函数，当 347[log ()]13n ε>+时，347log ()34333333()()()7747474n n n P εε-=⋅-=⋅<⋅=，所以数列{}n P 收敛.【点睛】知识方法点拨：与新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.方法点拨：与数列有关的问题的求解策略：3、若新定义与数列有关，可得利用数列的递推关系式，结合数列的相关知识进行求解，多通过构造的分法转化为等差、等比数列问题求解，求解过程灵活运用数列的性质，准确应用相关的数列知识.。
湖南省名校2024届高三上学期月考数学题型分类汇编(单选题)第1辑PDF版含答案
湖南省名校2024届高三上学期月考数学题型分类汇编单选题（第1辑）目录湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（五）数学（单选题）湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）参考答案说明：本套资源是2024届高三上学期数学学科月考试卷题型分类汇编，本辑为单选题，试题来源于湖南省长郡中学和雅礼中学两所名校上学期月考试卷，可供高三学生上学期进行数学总复习时学习和参考。
湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）1.集合{}260A x x x =--<，集合{}2log 1B x x =<，则A B = （）A.()2,3- B.(),3-∞ C.()2,2- D.()0,22.已知λ∈R ，向量()3,a λ= ，()1,2b λ=- ，则“3λ=”是“a b ∥”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.复数i z a b =+（,a b ∈R ，i 为虚数单位），z 表示z 的共轭复数，z 表示z 的模，则下列各式正确的是（）A.z z =- B.z z z ⨯=C.22z z= D.1212z z z z +≤+4.若直线l ：3sin 20x y θ⋅-=与圆C：2250x y +--=交于M ，N 两点，则MN的最小值为（）A.B.C.D.5.数列{}n a 满足112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩若125a =，则2023a 等于（）A.15B.25C.35D.456.现有长为89cm 的铁丝，要截成n 小段()2n >，每段的长度为不小于1cm 的整数，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n 的最大值为（）A.8B.9C.10D.117.已知函数()()211sinsin 0222x f x x ωωω=+->，x ∈R .若()f x 在区间(),2ππ内没有零点，则ω的取值范围是（）A.10,8⎛⎤ ⎥⎝⎦B.150,,148⎛⎤⎡⎫ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C.50,8⎛⎤ ⎥⎝⎦D.1150,,848⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦8.已知函数()2242af x x x x =---在区间(),2-∞-，)+∞上都单调递增，则实数a 的取值范围是（）A.0a <≤B.04a <≤C.0a <≤D.0a <≤湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）1.若集合{}()(){}41,,190A x x k k B x x x ==-∈=+-≤N ，则A B ⋂的元素个数为（）A.2B.3C.4D.52.设a ∈R ，若复数20231i ia -的虚部为3（其中i 为虚数单位），则=a （）A.13-B.3- C.13 D.33.已知非零向量a ，b满足)b =，π,3a b = ，若()a b a -⊥ ，则向量a 在向量b 方向上的投影向量为（）A.14bB.12b C.D.b4.设抛物线C ：22x py =的焦点为F ，(),4M x 在C 上，5MF =，则C 的方程为（）A.24x y =B.24x y =-C.22x y =-D.22x y=5.若函数()1e x af x x -+=-在区间()0,∞+上单调递增，则实数a 的取值范围为（）A.(],1-∞-B.(),1-∞C.[)0,∞+ D.(],1-∞6.直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB 的面积为12”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件7.已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭π2sin 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A.34-B.34C.1-D.18.若实数a b c d ,,,满足2e 111a a cb d --==-，则22()()ac bd -+-的最小值是（）A.8 B.9 C.10D.11湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）1．已知集合{}2430,{ln 1}A x x x B x x =-+<=≤∣∣，则A B = （）A ．(1,e]B ．[1,3]C ．(0,e]D ．(0,3]2．若i 是虚数单位，则复数23i1i ++的实部与虚部之积为（）A ．54-B ．54C ．5i 4D ．5i4-3．函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为（）A ．2B ．0C ．2D ．2+4．已知函数()2()lg 45f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[5,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,2]-∞D ．(,1]-∞-5．已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A B ．132C ．72D 6．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图，将一个正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则该多面体中具有公共顶点的两个正三角形所在平面的夹角的正切值为（）A ．22B ．1C D ．7．设正实数,,x y z 满足22430x xy y z -+-=，则xyz的最大值为（）A ．0B ．1C ．2D ．38．已知函数3ln ()2xf x a ax x=+-，若存在唯一的整数0x ，使()00f x >，则实数a 的取值范围是（）A ．(ln 2,ln 3)B ．ln 3ln 2,52⎛⎫⎪⎝⎭C ．ln 3ln 2,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．ln 2ln 3,23⎛⎫⎪⎝⎭湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）1.设集合{}{13},2,1,0,1M xx N =-<<=--∣，则M N ⋂=（）A.{}1,0,1- B.{}0,1C.{11}x x -<<∣ D.{11}xx -<≤∣2.已知i 是虚数单位，若()()2i 1i 4i a ++=，则实数=a （）A.2B.0C.1- D.2-3.设随机变量2(,)X N μσ ，且()3()P X a P X a <=≥，则()P X a ≥=（）A.0.75B.0.5C.0.3D.0.254.已知43log log 5,log 2a b c ===，则下列结论正确的是（）A.<<b c aB.c b a <<C.b a c<< D.<<c a b5.已知圆锥的高为3，若该圆锥的内切球的半径为1，则该圆锥的表面积为（）A.6πB. C.9πD.12π6.已知角π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，且满足cos 4παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2cos αα+=（）A.2- B.2516 C.2516-D. 27.在等腰ABC 中，2,30,AC CB CAB ABC ∠===︒ 的外接圆圆心为O ，点P 在优弧AB 上运动，则2PA PB PO PC PA PB⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪-+⋅⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦的最小值为（）A.4B.2C.-D.6-8.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（）A.221189x y += B.2212718x y +=C.2213627x y += D.2214536x y +=湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（五）数学（单选题）1.若i 为虚数单位，则()()2i 1i +-的虚部为（）A.iB.1C.i- D.-12.若集合{}2log 1,{1}A xx B x x =<=∣∣ ，则A B ⋃=R ð（）A.{01}x x <<∣B.{12}xx -<<∣C.{10xx -<<∣或02}x << D.{2}xx <∣3.已知不共线的两个非零向量,a b ，则“a b + 与a b - 所成角为锐角”是“a b > ”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.要得到函数()πcos 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可以将函数()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A.向右平移π3个单位长度 B.向左平移π3个单位长度C.向右平移π6个单位长度D.向左平移π6个单位长度5.已知()()4223,0,,0,x x x f x g x x ⎧-->⎪=⎨<⎪⎩若()f x 为()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，()0(0)g a a =<，则a =（）A.2±B.32-C.2-D.-16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右顶点分别为12,,A A F 为C 的右焦点，C的离心率为2，若P 为C 右支上一点，2PF FA ⊥，记12π02A PA ∠θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，则tan θ=（）A.12B.1D.27.已知二面角l αβ--的平面角为π0,,,,,,2A B C l D l AB l AB θθαβ⎛⎫<<∈∈∈∈⊥ ⎪⎝⎭与平面β所成角为π3.记ACD 的面积为1,S BCD 的面积为2S ，则12S S 的取值范围为（）A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.12⎡⎢⎣C.32⎣D.3,12⎫⎪⎪⎣⎭8.在长郡中学文体活动时间，举办高三年级绳子打结计时赛，现有()*5n ∈N根绳子，共有10个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.则这5根绳子恰好能围成一个圈的概率为（）A.64315B.256315C.32315D.128315湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）1.若集合{}2|log 4M x x =<，{}|21N x x =≥，则M N ⋂=（）A.{}08x x ≤< B.182x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭C.{}216x x ≤< D.1162xx ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭2.记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 6＝16，S 5＝35，则{a n }的公差为（）A.3B.2C.－2D.－33.已知1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根.若11i z =+，则2z =（）A.2B.1C.D.24.函数sin exx x y =的图象大致为（）A. B.C. D.5.已知220x kx m +-<的解集为()(),11t t -<-，则k m +的值为（）A.1B.2C.-1D.-26.古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑的高度，已知点A 是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上B ，C 两点与点A 在同一条直线上，且在点A 的同侧，若在B ，C 处分别测量球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC =100m ，则该球体建筑物的高度约为（）（cos10°≈0.985）A.45.25mB.50.76mC.56.74mD.58.60m7.已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（）A.1B.-1C.2D.-38.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程､高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 棱长为，则模型中九个球的表面积和为（）A.6πB.9πC.31π4D.21π湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）1.若12z i =+，则()1z z +⋅=（）A.24i-- B.24i-+ C.62i- D.62i+2.全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，则阴影部分表示的集合是（）A.{2,3,5,7,9}B.{2,3,4,5,6,7,8,9}C.{4,6,8}D.{5}3.函数()2log 22xxx x f x -=+的部分图象大致是（）A.B.C.D.4.在边长为3的正方形ABCD 中，点E 满足2CE EB = ，则AC DE ⋅=（）A.3B.3- C.4- D.45.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为3144πcm ，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为31.5g/cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为（）（1.5 4.7π≈）A.3045.6gB.1565.1gC.972.9gD.296.1g6.已知数列{} n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若存在实数a ，对任意的x ∈[0，m ]，都有(sin x －a )·(cos x －a )≤0恒成立，则实数m 的最大值为()A.4πB.2πC.34π D.54π8.已知函数()f x 的定义域为R ，()()()()2,24f x f x f f +=--=-，且()f x 在[)1,+∞上递增，则()10xf x ->的解集为（）A.()()2,04,∞-⋃+ B.()(),15,∞∞--⋃+C.()(),24,-∞-+∞ D.()()1,05,∞-⋃+湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）1．已知复数1i z =-（i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，则1z的值为A ．1B ．22C ．12D2．设全集U R =，{A x y ==，{}2,x B y y x R ==∈，则()U A B =ðA ．{}0x x <B ．{}01x x <≤C ．{}12x x <≤D ．{}2x x >3．已知向量a ，b满足7a b += ，3a = ，4b = ，则a b -=A ．5B ．3C ．2D ．14．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果，哥德巴赫猜想如下：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数（一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数）的和，如30723=+，633=+，在不超过25的素数中，随机选取2个不同的数，则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是A ．14B ．13C ．29D ．385．若函数()32132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点，则实数a 的取值范围是A ．52,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．52,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．102,3⎛⎫⎪⎝⎭D ．102,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．已知3log 2a =，ln 3ln 4b =，23c =．则a ，b ，c 的大小关系是A ．a b c <<B ．a c b<<C ．c a b<<D ．b a c<<7．已知tan tan 3αβ+=，()sin 2sin sin αβαβ+=，则()tan αβ+=A ．6-B ．32-C ．6D ．48．已知函数()()32sin 4x f x x x x π=-+的零点分别为1x ，2x ，…，n x ，*n N ∈），则22212n x x x +++=A ．12B ．14C ．0D ．2湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）1.已知集合{}2|1A x x =≤，{}|1B y y =≥-，则A B = （）A.∅B.[]1,1- C.[1,)-+∞ D.[1,1)-2.已知复数z 满足2(1i)z 24i -=-，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（）A.1B.1- C.iD.i-3.如图所示，九连环是中国传统民间智力玩具，以金属丝制成9个圆环，解开九连环共需要256步，解下或套上一个环算一步，且九连环的解下和套上是一对逆过程．九连环把玩时按照一定的程序反复操作，可以将九个环全部从框架上解下或者全部套上．将第n 个圆环解下最少需要移动的次数记为n a （9n ≤，*n ∈N ），已知11a =，21a =，按规则有1221n n n a a a --++=（3n ≥，*n ∈N ），则解下第4个圆环最少需要移动的次数为（）A.31B.16C.11D.74.二项式61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数与6x 的系数之比为（）A.6B.-6C.15D.-155.函数()()e e 2cos x x x f x x-+=+的部分图象大致为（）A. B.C. D.6.已知定义域是R 的函数()f x 满足：x ∀∈R ，()()40f x f x ++-=，()1f x +为偶函数，()11f =，则()2023f =（）A.1B.-1C.2D.-37.若点G 是ABC 所在平面上一点，且0,AG BG CG H →++=是直线BG 上一点，AH xAB =+ y AC ，则224x y +的最小值是（）．A.2 B.1C.12D.148.已知0.05a e =，ln1.112b =+，c =）A.a b c >> B.c b a >>C.b a c>> D.a c b>>参考答案湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）参考答案1.A【解析】解不等式260x x --<，得23x -<<，则{}23A x x =-<<，解不等式2log 1x <，得02x <<，即{}02B x x =<<，所以()2,3A B =- ，故选A.2.B【解析】若向量a b ∥ ，则()3210λλ⨯--=，即260λλ--=，解得2λ=-或3λ=，所以“3λ=”是“a b ∥”的充分不必要条件，故选B.3.D【解析】因为i z a b =-，所以i z a b -=-+，故A 错误；()()22i i z z a b a b a b ⨯=+-=+，z =，故B 错误；2222i z a b ab =-+，222z a b =+，故C 错误；由复数的几何意义可知，()1212z z z z --≤+-，则1212z z z z +≤+，故D 正确.故选D.4.C【解析】依题意，圆C ：(2218x y +-=，故圆心(C 到直线l ：3sin 20x y θ⋅-=的距离d =，故MN =≥，当且仅当2sin 0θ=时等号成立，故min MN = C.5.C【解析】因为12152a =<，所以245a =，335a =，415a =，525a =，所以数列具有周期性，周期为4，所以202333$5a a ==.故选C.6.B【解析】截成的铁丝最小为1，因此第一段为1，因n 段之和为定值，欲n 尽可能的大，则必须每段的长度尽可能小，所以第二段为1，又因为任意三条线段都不能构成三角形，所以三条线段中较小两条之和不超过最长线段，又因为每段的长度尽可能小，所以第三段为2，为了使得n 最大，因此要使剩下的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻两段之和，依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，以上各数之和为88，与89相差1，因此可以取最后一段为35，这时n 达到最大为9.故选B.7.D【解析】由题设有()1cos 11sin 22224x f x x x ωπωω-⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭,令()0f x =，则有4x k πωπ-=，k ∈Z ，即4k x ππω+=，k ∈Z .因为()f x 在区间(),2ππ内没有零点，故存在整数k ，使得5442k k ππππππωω++≤<≤，即1,45,28k k ωω⎧≥+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩因为0ω>，所以1k ≥-且15428k k +≤+，故1k =-或0k =,所以108ω<≤或1548ω≤≤，故选D.8.D【解析】设()242a g x x x =--，其判别式21604a =+>△，∴函数()g x 一定有两个零点，设()g x 的两个零点为1x ，2x 且12x x <，由2402a x x --=，得1x =2x =，∴()121224,,224,,24,.2ax x x a f x x x x x x ax x x ⎧+<⎪⎪⎪=--≤⎨⎪⎪+>⎪⎩≤①当0a ≤时，()f x 在()1,x -∞上单调递减或为常函数，从而()f x 在(),2-∞-不可能单调递增，故0a >；②当0a >时，()20g a -=>，故12x >-，则120x -<<，∵()f x 在()1,x -∞上单调递增，∴()f x 在(),2-∞-上也单调递增，102ga =--<2x <，由()f x 在2,8a x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦和()2,x +∞上都单调递增，且函数的图象是连续的，∴()f x 在,8a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，欲使()f x在)+∞上单调递增，只需8a≤，得a ≤，综上，实数a的范围是0a <≤故选D.湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）参考答案1.B 【解析】集合{}19B x x =-≤≤，{}1,3,7,11,15,A =- ，则{}1,3,7A B ⋂=-，即元素个数为3.故选：B 2.A 【解析】复数()20231i i 1i 1i 1i 1i i i +-+-+====---a a a a a a，因为其虚部为3，所以13-=a ，可得13=-a .故选：A.3.A 【解析】因为()a b a -⊥ ，所以()20a b a a a b -⋅=-⋅=，∴2102a a b -=，又)b =，所以2b ==，∴1a =或0a = （舍去），所以21a b a ⋅== ，所以a 在b方向上的投影向量为14a b b b b b⋅⋅=⋅.故选：A.4.A 【解析】抛物线22x py =的开口向上，由于(),4M x 在C 上，且5MF =，根据抛物线的定义可知45,22pp +==，所以抛物线C 的方程为24x y =.故选：A 5.D 【解析】由()1ex a f x x -+=-，得()1e 1x a f x -+=-'，因为函数()1e x af x x -+=-在区间()0,∞+上单调递增，所以()1e10x a f x -+'=-≥在区间()0,∞+恒成立，所以10x a -+≥在区间()0,∞+恒成立，即1a x ≤+在区间()0,∞+恒成立，所以1a ≤.故选：D 6.A 【解析】由1k =时,圆心到直线:1l y x =+的距离2d =..所以11222OAB S ∆==.所以充分性成立,由图形的对称性，当1k =-时,OAB 的面积为12.所以必要性不成立.故选A.7.B 【解析】π2sin()4αα=+Q ，)222(sin cos )2cos sin αααα=+-Q ,1(cos sin )(cos sin )02αααα∴+--=，又π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 0,cos 0αα>>，即cos sin 0αα+>所以1cos sin 2αα-=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2(0,π)α∈，sin 20α>.由1cos sin 2αα-=平方可得11sin 24α-=，即3sin 24α=，符合题意.综上，3sin 24α=.故选：B.8.A 【解析】由2e 1a a b-=，得2e a b a =-，令()2e x f x x =-，则()'12e x f x =-，令()'0fx =得ln 2x =-，当ln 2x >-时，()()'0,f x f x <单调递减，当ln 2x <-时，()()'0,f x f x >单调递增；由111cd -=-，得2d c =-+，令()2g x x =-+，()(),f x g x 的图像如下图：则22()()a c b d -+-表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),N c d 的距离的平方，显然，当过M 点的()f x 的切线与()g x 平行时，MN 最小，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y ，由()0'012e 1xf x =-=-，解得00x =，所以切点为()00,2M -，切点到()y g x =的距离的平方为28=，即22()()a c b d -+-的最小值为8；故选：A.湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）参考答案1．A【解析】{}2430(1,3),{ln 1}(0,e],(1,e]A x x x B x x A B =-+<==≤=∴= ∣∣，故选A ．2．B 【解析】因为23i (23i)(1i)51i 1i (1i)(1i)22++-==+++-，所以实部为52，虚部为12，实部与虚部之积为54．故选B ．3．D【解析】因为09x ≤≤，所以9066x ππ≤≤，所以73636x ππππ-≤-≤，所以当633x πππ-=-时，有最小值为2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以当632x πππ-=时，有最大值为2sin 22π=，所以最大值与最小值之差为2，故选D ．4．A【解析】由于()2()lg 45f x x x =--在(,)a +∞上单调递增，而lg y x =在(0,)+∞上单调递增，所以2450,2,a a a ⎧--≥⎨≥⎩所以5a ≥，故a 的取值范围是[5,)+∞，故选A ．5．C【解析】由双曲线的定义得，12||||||2PF PF a -=，又123PF PF =，所以21,3PF a PF a ==，所以在12F PF △中，有222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，即2224923cos 60c a a a a =+-⋅⋅︒，化简得2247c a =，即2274c a =，所以离心率72c e a ===，故选C ．6．D【解析】将该“阿基米德多面体”放入正方体中，如图，平面EFG 和平面GHK 为有公共顶点的两个正三角形所在平面，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(1,0,2),(2,1,2),(2,0,1),(2,1,0),(1,0,0)E F G H K ，设平面EFG 的法向量为(,,),(1,1,0),(1,0,1)m x y z EF EG ===-，所以0,0,EF m x y EG m x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩令1,1,1x y z ==-=，所以(1,1,1)m =- ，设平面GHK 的法向量为(,,),(0,1,1),(1,0,1)n a b c GH GK ==-=--，所以0,0,GH n b c GK n a c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩令1,1,1a b c ==-=-，所以(1,1,1)n =-- ，设平面EFG 和平面GHK 的夹角为θ，则1cos ,3||||m n m n m n ⋅〈〉===⋅，因为平面EFG 和平面GHK 的夹角为锐角，所以1cos |cos ,|3m n θ=〈〉= ，所以22sin sin ,tan 3cos θθθθ====，故选D ．7．B【解析】2243z x xy y =-+，则22114433xy xy x y z x xy y y x ==≤=-++-．8．C【解析】由()0f x >，得3ln 2x a ax x >-+，令3ln (),()2xg x h x a ax x==-+，则23(1ln )()x g x x -'=，则()g x 在(0,e)上单调递增，在(e,)+∞上单调递减，作出()g x 的大致图象如图所示，易知()h x 的图象是恒过，点1,02⎛⎫⎪⎝⎭的直线，若0a ≤，则显然不符合题意；若0a >，则(2)(2),(3)(3),g h g h >⎧⎨≤⎩即3ln 24,23ln 36,3a a a a ⎧>-+⎪⎪⎨⎪≤-+⎪⎩解得ln 3ln 252a ≤<．故选C ．湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）参考答案1.B 【解析】由已知得{}0,1M N = ．故选：B 2.A 【解析】因为R a ∈，()()()2i 1i 22i 4i a a a ++=-++=，所以2024a a -=⎧⎨+=⎩，解得2a =．故选:A 3.D 【解析】随机变量2(,)X N μσ ，显然()()1P X a P X a <+≥=，而()3()P X a P X a <=≥，所以()0.25P X a ≥=.故选：D 4.B 【解析】因为2234422log 62log log 21log 5log 6==log log 42c b a =<<=<=，即c b a <<．故选：B ．5.C【解析】圆锥与其内切球的轴截面如下图所示，由已知111,2O D SO ==，可知130O SD ∠=，所以圆锥的轴截面为正三角形，因为3SO =，所以圆锥底面圆半径tan 30AO SO =⋅=cos 06AOSA ==o，则圆锥的表面积为2ππ9πS =⨯+=．故选：C ．6.D 【解析】由已知得π4α⎛⎫-= ⎪⎝⎭3(sin cos )cos ααα-=，∴4tan 3α=，∵π(0,2α∈，∴43sin ,cos ,sin 2cos 255αααα==+=.故选：D.7.D 【解析】由已知2,30AC CB CAB ∠===︒，所以圆O 的外接圆直径为24sin BCR A==，因为30APC ABC BPC BAC ∠∠∠∠====︒，所以PA PB PA PB += ，所以2223112|2(2622PA PB PO PC PO PC PC PC PA PB PC ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ -+⋅=-⋅=-=--⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为2AC PC R <≤ ，即24PC <≤，所以PC = 时，取到最小值6-．故选：D ．8.A 【解析】根据题意设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程可得22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩；两式相减可得22221212220x x y y a b --+=，整理可得2221211122y y x x b a x x y y --++=-；又因为AB 的中点坐标为()1,1-，可得12122,2x x y y +=+=-；因此过,A B 两点的直线斜率为212212ABy y b k x x a -==-，又()3,0F 和AB 的中点()1,1-在直线上，所以101132AB k --==-，即2212b a =，可得222a b =；又易知3c =，且22229a b c b =+=+，计算可得2218,9a b ==；所以椭圆E 的方程为221189x y +=，代入AB 的中点坐标为()1,1-，得()22113118918-+=<，则其在椭圆内部，则此时直线AB 与椭圆相交两点.故选：A.湖南省长沙市长郡中学2024届高三上学期月考（五）数学（单选题）参考答案1.D【解析】因为()()2i 1i 22i i 13i +-=-++=-，故选D.2.B【解析】不等式2log 1x <解得02x <<，则{02}A xx =<<∣，{1},{1}{11},{12}B x x B x x x x A B x x ==<=-<<∴⋃=-<<R R∣∣∣∣ ，故选B.3.C【解析】因为,a b 不共线，可知a b + 与a b - 不共线，则a b + 与a b - 所成角为锐角等价于()()0a b a b +⋅-> ，即22a b > ，即a b > ，所以“a b + 与a b - 所成角为锐角”是“a b > ”的充分必要条件.故选C.4.B【解析】()()π5π5πsin2,sin 2sin212612f x x g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5πππ12123-=，故选B.5.C【解析】由题意可得当0a <时，()()0f a g a ==，因为()f x 为()(),00,∞∞-⋃+上的奇函数，所以()()f a f a =--，所以()()()()4222230,1230g a f a a a a a =--=-++=+-=，所以21a =-（舍去），或232a =，因为0a <，所以2a =-.故选C.6.A【解析】设C 的焦距为2c ，点()00,P x y ，由C 的离心率为2可知2,c a b ==，因为2PF FA ⊥，所以0x c =，将()0,P c y 代入C 的方程得220221y c a b-=，即0y =，所以()2133tan 3,tan 1PA F PA F c a c a ∠∠====---，故()21311tan tan 1312PA F PA F θ∠∠-=-==+⨯.故选A.7.C【解析】作AE CD ⊥，垂足为E ，连接BE ，因为AB l ⊥，即,,,AB CD AE AB A AE AB ⊥⋂=⊂平面AEB ，故CD ⊥平面,AEB BE ⊂平面AEB ，故CD BE ⊥，又CD ⊂平面β，故平面AEB ⊥平面β，平面AEB ⋂平面BE β=，则AB 在平面β内的射影在直线BE 上，则ABE ∠为AB 与平面β所成角，即π3ABE ∠=，由于,AE CD CD BE ⊥⊥，故AEB ∠为二面角l αβ--的平面角，即π02AEB ∠θθ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，121212AE CD S AE S BEBE CD ⨯==⨯，在ABE 中，sin sin sin AE BE ABABE BAE AEB∠∠∠==，则sin 1sin 2sin AE ABE BE BAE BAE∠∠∠==⋅，而π02θ<<，则π2ππ33BAE ∠θθ=--=-，则π2π1,,sin ,1632BAE BAE ∠∠⎛⎫⎛⎤∈∴∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，故sin 313sin 2sin 2AE ABE BE BAE BAE ∠∠∠==⋅∈⎣，故选C.8.D【解析】不妨令绳头编号为1,2,3,4,,2n ，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有22n -种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下1n -根绳子进行打结，令()*n n ∈N根绳子打结后可成圆的种数为na，那么经过一次打结后，剩下1n -根绳子打结后可成圆的种数为1n a -，由此可得，()122,2n n a n a n -=- ，所以()1212122,24,,2n n n n a a an n a a a ---=-=-= ，所以()()()112224221!n na n n n a -=-⨯-⨯⨯=⋅- ，显然11a =，故()121!n n a n -=⋅-；另一方面，对2n 个绳头进行任意2个绳头打结，总共有()()()222222224222122212!C C C C ;!2!2!n n n nn n n n n N n n n --⋅-⋅-⋅⋅⋅===⋅⋅ 所以()()()()12121!2!1!2!2!2!n n n n n n n a P n N n n --⋅-⋅-===⋅.所以当5n =时，128315P =，故选D .湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（一）数学（单选题）参考答案1.D 【解析】{}{}2|log 4|016M x x x x =<=<<，1|2N x x ⎧⎫=≥⎨⎩⎭，则1162M N x x ⎧⎫⋂=≤<⎨⎬⎩⎭.故选：D.2.A 【解析】解：由等差数列性质可知，S 5＝152a a +×5＝5a 3＝35，解得a 3＝7，设等差数列的公差为d ，所以11+27516a d a d =⎧⎨+=⎩，解之得3d =.故选：A.3.C 【解析】法一：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，得122z z +=，所以()21221i 1i z z =-=-+=-，所以21i z =-=法二：由1z ，2z 是关于x 的方程2220x x +=-的两个根，得122z z ⋅=，所以21221i z z ==+，所以2221i 1i z ====++.故选：C .4.D 【解析】令()sin exx x f x =，该函数的定义域为R ，()()()sin sin eexxx x x x f x f x ----===，所以，函数sin exx x y =为偶函数，排除AB 选项，当0πx <<时，sin 0x >，则sin 0exx x y =>，排除C 选项.故选：D.5.B 【解析】因为220x kx m +-<的解集为()(),11t t -<-，所以=1x -为方程220x kx m +-=的一个根，所以2k m +=．故选:B ．6.B 【解析】设球的半径为R，,tan10R AB AC ==，100tan10RBC =-=- ，25250.760.985R R ==故选:B.7.B【解析】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2=f x f x -，又由()()40f x f x ++-=，得()()4f x f x +=--，所以()()()846f x f x f x +=---=-+，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==-=-．故选:B ．8.B 【解析】如图，取BC 的中点E ，连接DE ，AE ，则CE BE ==，AE DE ===，过点A 作AF ⊥底面BCD ，垂足在DE 上，且2DF EF =，所以DF EF ==4AF ===，点O 为最大球的球心，连接DO 并延长，交AE 于点M ，则DM ⊥AE ，设最大球的半径为R ，则OF OM R ==，因为Rt AOM △∽Rt AEF ，所以AO OMAE EF ==1R =，即1OM OF ==，则413AO =-=，故1sin 3OM EAF AO ∠==设最小球的球心为J ，中间球的球心为K ，则两球均与直线AE 相切，设切点分别为,H G ，连接,HJ KG ，则,HJ KG 分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为,a b ，则33,33AJ HJ a AK GK b ====，则33JK AK AJ b a =-=-，又JK a b =+，所以33b a a b -=+，解得2b a =，又33OK R b AO AK b =+=-=-，故432b R =-=，解得12b =，所以14a =，模型中九个球的表面积和为2224π4π44π44π4ππ9πR b a +⨯+⨯=++=.故选：B湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（二）数学（单选题）参考答案1.C 【解析】()()()122i 12i 244i 2i 62i z z +⋅=+-=+-+=-．故选:C .2.C 【解析】韦恩图的阴影部分表示的集合为()U A B ð，而全集U =R ，集合{2,3,5,7,9}A =，{4,5,6,8}B =，所以(){4,6,8}U A B ⋂=ð.故选：C 3.A 【解析】易知()2log 22xxx x f x -=+的定义域为{}0x x ≠，因为()()22log log 2222xxxxx x x f x x f x -----==-=-++，所以()f x 为奇函数，排除答案B ，D ；又()2202222f -=>+，排除选项C ．故选:A ．4.A【解析】以B 为原点，BC ，BA 所在直线分别为x ，y 轴，建立如图所示直角坐标系，由题意得()()()()0,3,1,0,3,0,3,3A E C D ，所以()3,3AC =- ，()2,3DE =-- ，所以()()()32333AC DE ⋅=⨯-+-⨯-= .故选：A.5.C【解析】设半球的半径为R ，因为332π144πcm 3V R ==半球，所以6R =，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，所以((223113π6π363πcm 33V S S h =+=⋅+⋅+⨯=下上圆台，所以该实心模型的体积为3144π63π207πcm V V V =+=+=半球圆台，所以制作该模型所需原料的质量为207π 1.5207 4.7972.9g⨯≈⨯=故选：C.6.A【解析】若10a >，且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以对于任意*n ∈N ，0n S >成立，故充分性成立；若10a >，且12q =-，则()111112212111101323212n n n n n a S a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦==-=--⨯>⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-- ⎪⎝⎭，所以由对于任意*n ∈N ，0n S >，推不出0q >，故必要性不成立；所以“公比0q >”是“对于任意*n ∈N ，0n S >”的充分不必要条件.故选:A.7.C【解析】在同一坐标系中，作出y ＝sin x 和y ＝cos x的图象，当m ＝4π时，要使不等式恒成立，只有a ＝22，当m ＞4π时，在x ∈[0，m ]上，必须要求y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象不在y ＝a ＝22的同一侧.∴由图可知m 的最大值是34π.故选：C.8.D【解析】解：函数()f x ，满足()()2f x f x +=-，则()f x 关于直线1x =对称，所以()()()244f f f -==-，即()()240f f -==，又()f x 在[)1,+∞上递增，所以()f x 在(),1-∞上递减，则可得函数()f x的大致图象，如下图：所以由不等式()10xf x ->可得，20210x x -<<⎧⎨-<-<⎩或414x x >⎧⎨->⎩，解得10x -<<或5x >，故不等式()10xf x ->的解集为()()1,05,∞-⋃+.故选：D.湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（三）数学（单选题）参考答案1．B2．D【解析】易知{}02A x x =≤≤，{}0B y y =>，∴{}02U A x x x =<>或ð，故(){}2UA B x x => ð．故选D ．3．D 【解析】由条件a b a b +=+ 知a ，b 同向共线，所以1a b a b -=-= ，故选D ．4．C【解析】不超过25的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23共9个，中位数为11，任取两个数含有1l 的概率为182982369C p C ===，故选C ．5．C【解析】由题意()2'1f x x ax =-+在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，∴1a x x =+，1,32x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴1023a <≤，又当2a =时，()()2'10f x x =-≥，()f x 单调，不符合，∴2a ≠，∴1023a <<，故选C ．6．B【解析】∵2333332log 3log log log 23c a ===>=，∴c a >，又23442log 4log 3c ===44ln 3log log 3ln 4b ===，∴c b <，∴a c b <<．故选B ．7．A【解析】由条件知cos cos 0αβ≠，sin cos cos sin 2sin sin αβαβαβ⇒+=，两边同除以cos cos αβ得：tan tan 2tan tan αβαβ+=，∴3tan tan 2αβ=，从而()tan tan tan 61tan tan αβαβαβ++==--，故选A ．8．A 【解析】由()()210sin 04f x x x x x π⎡⎤=⇒-⋅+=⎢⎥⎣⎦，0x =为其中一个零点，令()()21sin 4g x x x x π=-+，∵()00g ≠，∴令()()2140sin x g x x x π+=⇒=，∵()1sin 1x π-≤≤∴2141x x +≤，∴214x x +≤，∴2102x ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤，∴12x =±，所以()f x ）共有三个零点12-，0，12，∴2221212n x x x +++= ，故选A ．湖南省长沙市雅礼中学2024届高三上学期月考（四）数学（单选题）参考答案1.B【解析】因为21x ≤，所以11x -≤≤，即{}|11A x x =-≤≤，所以A B = {}|11x x -≤≤.故选：B.2.B【解析】由题意，化简得224i 24i 2i 42i (1i)2i 2z --+====+--，则2i z =-，所以复数z 的虚部为1-．故选：B3.D【解析】由题意，11a =，21a =，1221n n n a a a --++=（3n ≥，*n ∈N ），解下第4个圆环，则4n =，即43221a a a =++，而321211214a a a =++=++=，因此44217a =++=，所以解下第4个圆环最少需要移动的次数为7.故选：D.4.B【解析】由题设6621661C ()(1)C r r r r r r r T x x x--+=-=-，所以含4x 项为()1144261C 6T x x =-=-，含6x 项为()0066161C T x x =-=，，则系数之比为-6.故选：B.5.C【解析】解：根据题意，对于函数()()e e 2cos x xx f x x-+=+，有函数()()()()e e e e 2cos 2cos x xx xx x f x f x x x---++-==-=-++，即函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，故排除A ､B ；当0x >时，cos [1,1]x ∈-，则恒有()()e e 02cos x x x f x x -+=>+，排除D ；故选：C.6.B【解析】因为()1f x +为偶函数，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()2=f x f x -，又由()()40f x f x ++-=，得()()4f x f x +=--，所以()()()846f x f x f x +=---=-+，所以()()2f x f x +=-，所以()()4f x f x +=，故()f x 的周期为4，所以()()()2023311f f f ==-=-．故选:B ．7.C【解析】设()G x y ,，112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，因为0AG BG CG ++= ，所以1233x x x x ++=，1233y y y y ++=，所以点G 是ABC 的重心，设点D 是AC 的中点，则2AC AD =，B 、G 、D 共线，如图，又2AH x AB y AD =+ ．因为B 、H 、D 三点共线，所以21x y +=，所以()()22222214222x y x y x y ++=+≥=，当且仅当2x y =，即12x =，14y =时取等号，即224x y +的最小值是12.故选：C ．8.D【解析】令()()10x f x e x x =-->，则()10x f e x ='->，()f x \在()0,∞+上单调递增，()()00f x f ∴>=，即1x e x >+，0.1 1.1e ∴>，0.05e ∴>，即a c >；令()ln 1g x x x =-+，则()111x g x x x-'=-=，∴当()0,1x ∈时，()0g x '>；当()1,x ∈+∞时，()0g x '<；()g x ∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()()10g x g ∴≤=，ln 1x x ∴≤-（当且仅当1x =时取等号），1∴≤-，即ln 12x +≤1x =时取等号），ln1.112∴+<，即b c <；综上所述：a c b >>.故选：D.。
创新班考试数学试卷数学试卷
A ′ G DBC A 第6题 2015年醴陵一中创新实验班招生考试数学试题考生注意：本卷满分100分，考试时间120分钟，请将答案写在答题卡上。
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）1．把抛物线22y x =-+1向下平移1个单位，再向左平移1个单位，得到的抛物线是（ ）。
A ．22(1)y x =-+B ．22(1)y x =--C ．221y x =-+D ．221y x =-- 2．甲、乙两学生在军训打靶训练中，打靶的总次数相同，且所中环数的平均数也相同， A ．＜ B ．＞ C ．= D ．不能确定3．已知两圆的半径分别为6和1，当它们外切时，圆心距为（ ）。
A ．5B ．6C ．7D ．84．如图，用两根等长的钢条AC 和BD 交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度.设OA OB m OC OD==，且量得CD b =，则内槽 的宽AB 等于（ ）。
B.m b C.b m D.1b m + 5．小明在二次函数y=2x 2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点（－3，y 1），（－1，y 2）， （2，y 3），则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（ ）A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 2＞y 3＞y 1C ．y 3＞y 1＞y 2D ．y 3＞y 2＞y 16．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ）A ．1B ．34C ．23D ．2 7．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是( )。
A B D C b A B第4题 O8．若抛物线c bx ax y ++=2的顶点在第一象限，与x 轴的两个交点分布在原点两侧，则点（—a ，—a c ）在（ ）。
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．如图，直线1y x 2=与双曲线k y x =（k ＞0，x ＞0）交于点A ，将直线1y x 2=向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，与双曲线ky x=（k ＞0，x ＞0）交于点B ，若OA=3BC ，则k 的值为（ ） A 、3 B 、6 C 、94 D 、9210．如图，AB 是⊙O 的直径，且AB=10，弦MN 的长为8，若弦MN 的两端在圆上滑动时，始终与AB 相交，记点A 、B到MN 的距离分别为h 1，h 2，则|h 1－h 2| 等于（ ）A 、5B 、6C 、7D 、8二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分）11、观察图象，直接写出一元二次不等式： 的解集是____________。
湖南省株洲市醴陵市渌江中学2023-2024学年七年级下学期期末数学模拟试题
湖南省株洲市醴陵市渌江中学2023-2024学年七年级下学期期末数学模拟试题一、单选题1．下列运算正确的是（ ）A ．224x x x +=B ．22243x x x -=C ．236x x x ⋅=D ．()3326x x = 2．在以下中国银行、建设银行、工商银行、农业银行图标中，不是．．轴对称图形的是（ ） A ． B ． C ． D ． 3．如图，已知a b ∥，170=︒∠，则2∠=（ ）A ．40︒B ．70︒C ．110︒D ．130︒4．用代入消元法解方程组 25431x y y x -=⎧⎨=-⎩①②时，把②代入①，代入正确的是（ ） A ．()25314x x -+=B ．()25134x x --=C ．()25314x x --=D ．()25134x x ---=5．如图，点E 在AC 的延长线上，下列条件中能判断AB CD ∥的是（ ）A ．3=4∠∠B ．12∠=∠C ．D DCE ∠=∠ D ．180D DCA ∠+∠=︒6．某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组7名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4，5（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（ ）A ．5和5B ．5和4C ．4和5D ．5和67．将一副三角板如图放置，使点A 在DE 上，//BC DE ，45C ∠=︒，30D ∠=︒，则ABD ∠的度数为( )A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒8．已知：()()22x 1x 32x px q +-=++，则p ，q 的值分别为（）A ．5，3B ．5，−3C ．−5，3D ．−5，−39．某小组在一次“在线测试”中做对的题数分别是10869878，，，，，，，对于这组数据，下列判断错误的是（ ）A ．众数是8B ．中位数是8C ．平均数是8D ．方差是810．如图，点B ，C 在直线l 上，直线l 外有一点A ，连接AB ，AC ，45BAC ∠=︒，ACB ∠是钝角，将三角形ABC 沿着直线l 向右平移得到三角形111A B C ，连接1AB ，在平移过程中，当1112AB A CAB ∠=∠时，1CAB ∠的度数是（ ）A ．15︒B ．30︒C ．15︒或45︒D ．30︒或45︒二、填空题11．因式分解：2312x -=．12．若2x =5，2y =3，则22x+y =．13．若x ＋y ＝5，x －y ＝1，则x 2－y 2＝．14．已知样本数据：1，1-，0，4，则这组样本数据的方差是．15．将直角坐标系中的点()4,3绕原点O 沿顺时针方向旋转90°，最终得到的点的坐标为 ．16．如图，把一个长方形纸条ABCD 沿AF 折叠，已知26ADB ∠=︒，//AE BD ，则BAF ∠=．17．古希腊数学家埃拉托色尼发现，如图，夏至正午时分太阳光线直射进点A 处塞尼城的一口深井，说明太阳光线过圆心O ．而同一经度上另外一点B 处的亚历山大城一个方尖塔却会投影下一定长度的阴影，他测得方尖塔与太阳光线的夹角为7.2︒，方尖塔延长线BO 经过圆心O ．由太阳光线是平行光线，得到深井延长线AO 和方尖塔延长线BO 所夹圆心角的度数．因而得到球周长约为40000km （接近真实值40009km ）．埃拉托色尼计算地球周长时用到的原理是．18．如图，C 为线段AB 上的一点，分别以,AC BC 为边在AB 的两侧作正方形ACDE 和正方形BCFG ．若6AB =，且两正方形的面积之和1220S S +=，图中阴影部分面积为 ．三、解答题19．解下列的二元一次方程组(1)2735x y x y +=⎧⎨-=⎩(2)1248x y x y x y -+⎧-=-⎪⎨⎪+=-⎩20．先化简，再求值：()()()221x x x x +---，其中6x =．21．中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示：(1)统计表中的a = ，b = ，c = ；(2)求所有被调查学生课外阅读的平均本数；(3)若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数． 22．如图，AB AC ⊥，点D 、E 分别在线段AC 、BF 上，DF 、CE 分别与AB 交于点M 、N ，若12，C F ∠=∠∠=∠，求证：AB BF ⊥．请完善解答过程，并在括号内填写相应的依据．证明：∵12∠=∠，（已知）23∠∠=，（ ）∴1∠=∠_________．（ ）∴DF CE ∥．（ ）∴C ∠=∠_________．（两直线平行，同位角相等）∵C F ∠=∠，（已知）∴F ∠=∠_________．（等量代换）∴AC BF ∥（ ）∴A B ∠=∠．（ ）∵AB AC ⊥，（已知）∴90A ∠=︒∴90B ??∴AB BF ⊥．（ ）23．某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买A 、B 两种品牌的足球，已知购买一个B 品牌足球比购买一个A 品牌足球多30元，购买2个A 品牌足球和3个B 品牌足球共需340元．（1）求购买一个A 品牌足球和一个B 品牌足球各需多少元？（2）该中学决定购买A 、B 两种品牌足球共50个，恰商场对两种品牌足球的售价进行调整，A 品牌足球售价比原来提高8%，B 品牌足球按原售价的九折出售，如果此次购买A 、B 两种品牌足球总费用为3060元，那么该中学购进B 品牌足球多少个？24．某校举办国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数．在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩如下（单位：分）甲组：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10． 乙组：5，6，6，6，7，7，7，7，9，10．(1)以上成绩统计分析表中a =______，b =______，c =______；(2)小明同学说：“这次竞赛我得了7分，在我们小组中属中游略偏上!”观察上面表格判断，小明可能是______组的学生；(3)从平均数和方差看，若从甲乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由．25．小刚同学动手剪了如图①所示的正方形与长方形纸片若干张．(1)他用1张1号、1张2号和2张3号卡片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是__________．(2)如果要拼成一个长为()2a b +，宽为()a b +的大长方形，则需要2号卡片__________张，3号卡片__________张；(3)当他拼成如图③所示的长方形，根据8张小纸片的面积和等于大纸片（长方形）的面积可以把多项式2243a ab b ++分解因式，其结果是__________；(4)动手操作，请依照小刚的方法，利用拼图分解因式2256a ab b ++，并画出拼图的图形． 26．【问题情境】已知，12∠=∠，EG 平分AEC ∠交BD 于点G ．【问题探究】（1）如图1，45∠=︒MAE ，15FEG ∠=︒，75NCE ∠=︒．试判断EF 与CD 的位置关系，并说明理由；【问题解决】（2）如图2，140MAE ∠=︒，30FEG ∠=︒，当A B C D ∥时，求NCE ∠的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若AB CD ∥，试说明2NCE MAE FEG ∠=∠-∠．。
湖南省醴陵市第二中学2018-2019学年高一上学期新生入学考试化学试题 含解析
醴陵二中2018年下学期高一新生入学考试化学试卷分值 100分时量60分钟一、选择题（每题4分，共40分，每题只有一个正确答案，请将正确答案填写在答题卡上。
）1.某学生用量筒取液体时，量筒平稳地放置在实验台上，而且面对刻度线，初次仰视液面读数为18毫升，倒出部分液体后，俯视液面读数为12毫升，则该学生实际倒出的液体体积为（）A. 大于6毫升B. 小于6毫升C. 等于6毫升D. 可能大于也可能小于6毫升【答案】A【解析】【详解】量筒在初次读数是仰视读数，则实际数值应该比18大，倒出部分液体后，俯视读数，实际数值应该比12小，则实际倒出的体积应该大于6mL，故选A。
【点睛】量筒上的刻度从下往上数值变大，要注意与其他有刻度的仪器的区别。
2.某化学小组的同学利用混有少量CO2的CO气体还原氧化铁，并验证反应后的气体产物.实验室现有如图所示实验装置（可重复使用）。
按气体从左到右的方向，装置连接顺序正确的是（）A. 甲→乙→丙→丁B. 甲→丙→乙→丁C. 乙→甲→丙→甲→丁D. 乙→甲→丙→乙→丁【答案】C【解析】【详解】有一氧化碳和二氧化碳的混合气体还原氧化铁并检验其产物，应该先除去混合气体中的二氧化碳，选择1氢氧化钠溶液除去二氧化碳，并用澄清石灰水检验已经除净，再用气体与氧化铁反应，反应后用澄清石灰水检验反应产物二氧化碳，最后用气囊收集剩余的一氧化碳气体，所以装置的连接顺序为C。
【点睛】整理好实验的原理和顺序是关键。
因为原来的气体中含有二氧化碳，所以要检验一氧化碳和氧化铁反应的产物二氧化碳，就必须先完全除去二氧化碳，所以使用到氢氧化钠溶液和氢氧化钙溶液。
3.下列有关混合物的分离与提纯的说法正确的是（）A. 由于碘在乙醇中的溶解度较大，所以可用乙醇把碘水中的碘萃取出来B. 水的沸点为100℃，乙醇的沸点为78.5℃，所以用加热蒸发的方法使含水乙醇变为无水乙醇C. 由于汽油和水不互溶，因此可用分液的方法将二者分离D. 将含少量HCl的CO2气体通入盛有NaOH溶液的洗气瓶，可以除去HCl气体。
湖南醴陵第二中学
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湖 南 醴 陵 第 二 中 学
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湖 南 省 醴陵 二 中 创建 于 １ ４ 年 ，其 前身 为 开明 ９０ 学 校 。 ｌ５ 年 学校 扩 展 为完 全 中学 ，７ ９８ ０年 代 评 为 湘 潭 地 区重 点 中学 ，１ ８ 年 评 为株 洲市 重点 中学 ． ９２
１９ 年评 为株 洲市规 范化 完全 中学 。２ 世纪６１ 代 ， ９７ Ｄ 【 年 连 续 三 年 夺取 湘 潭 地区 会 考 第一 名 ；７ 年 代被 省教 ０
育厅 、省 体 委确 定 为 体 育传 统 项 目学校 ；８ 年 代 ， ０ 被 国务 院 授予 “ 面贯 彻 党 的教 育 方 针 的模 范 ”学 全 校 ；９ 年 代 ，其 劳 技特 色 教 育 迈 入省 级 先 进 行列 ． ０ 荣 获 “ 南 省中 学 实践 教 育 先进 单位 ” 的称 号 。学 湖
在株 洲 市立 项 ２ ０ 年 “ ０３ 农村 绿 色 证书 教 育研 究 ”课 题 立项 并荣 获 橡 洲 市 第 四届教 育科 研成 果二等 奖 。编 有 《 创新 乐同 》读本 、 《 创业 致富 一百 例 》 、
《 会 创 造 》等 校 本教 材 。２ ０ 年 离２ ３ 黄彦 钧 同学 设 计 的 “ 用 错视 原 学 ０３ １班 利 理 设 计的 限 速标 志 荣 获 全 因 青 少年 科技 创新 大 赛一 等 奖 、 “ 导 小小 平 学 先 ４ 家 ”金 奖 ．出席 圈 际 青 少年 发 明博 览 会并 获得 未 来成 就 奖 份耕耘 ，一份收 获 学校 还先后获 得 了 “ 南省 青少年辩 技示范 基地” 、 期
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湖南省株洲市醴陵二中2015届高三上学期第九次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题区域中．）1．（5分）设合集U=R，A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＞1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2}2．（5分）已知i为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若变量x，y满足，则z=x﹣2y的最大值等于（）A．1B．2C．3D．44．（5分）已知条件，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件5．（5分）某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B的值是（）A．5B．11 C．23 D．476．（5分）设向量，，则=（）A．4B．﹣2 C．2D．67．（5分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5π9．（5分）过点（π，1）且与曲线y=sinx+cosx在点（，1）处的切线垂直的直线方程为（）A．y=x﹣1+πB．y=x+1﹣πC．y=﹣x+1+πD．y=﹣x﹣1+π10．（5分）己知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2010）B．（2，2011）C．（2，2013）D．二、填空题（每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的相应位置）【坐标系与参数方程】11．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最大值为．12．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a7=，则tan（a2+a12）=．13．（5分）F1，F2是双曲线的两个焦点，过点F2作与x轴垂直的直线和双曲线的交点为A，满足，则m的值为．14．（5分）已知函数：f（x）=x2+bx+c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f（x）满足条件：的事件为A，则事件A发生的概率为．15．（5分）数列{a n}满足a1=1，=2，=3（k≥1，k∈N），则（1）a3+a4=；（2）其前n项和S n=．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．17．（12分）调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：偏瘦正常肥胖女生（人）100 173 y男生（人）x 177 z已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15．（Ⅰ）求x的值；（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？（Ⅲ）已知y≥193，z≥193，肥胖学生中男生不少于女生的概率．18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．（1）求证：平面BED⊥平面SAB；（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．19．（13分）已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且S n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，求证：c n+1＜c n（3）求数列{c n}的前n项和T n．20．（13分）已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为2．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（13分）函数f（x）=ax﹣﹣2lnx（a∈R）（Ⅰ）当a=时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞，若m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若S=m﹣n，求S取值范围．湖南省株洲市醴陵二中2015届高三上学期第九次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填入答题区域中．）1．（5分）设合集U=R，A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}，则图中阴影部分表示的集合为（）A．{x|x＞1} B．{x|0＜x＜2} C．{x|1＜x＜2} D．{x|x＞2}考点：Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题．分析：已知集合A，B，由韦恩图表示的阴影部分为A∩B，按照交集的含义结合数轴求解即可．解答：解：A={x|0＜x＜2}，B={x|x＞1}，图示中阴影部分表示的集合为A∩B，所以A∩B=（1，2）故选C．点评：本题考查集合的含义、运算和表示、Venn图表达集合的关系及运算等知识，考查数形结合思想在解题中的应用．2．（5分）已知i为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点：复数的基本概念．分析：将复数的分子、分母同乘以i，利用多项式的乘法分子展开，将i2用﹣1代替；利用复数对应点的坐标实部为横坐标，虚部为纵坐标，判断出所在的象限．解答：解：所以z在复平面内对应的点为（1，﹣1）位于第四象限故选D点评：本题考查利用复数的除法法则：分子，分母同乘以分母的共轭复数、考查复数对应点的坐标是以实部为横坐标，虚部为纵坐标．3．（5分）若变量x，y满足，则z=x﹣2y的最大值等于（）A．1B．2C．3D．4考点：简单线性规划．专题：计算题；数形结合．分析：先画出满足约束条件的可行域，并求出特殊点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值．解答：解：满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，当x=1，y=﹣1时，z=x﹣2y取最大值3故选：C．点评：本题考查的知识点是简单的线性规划，其中根据约束条件画出可行域，进而求出角点坐标，利用“角点法”解题是解答本题的关键．4．（5分）已知条件，条件q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，则p是q的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件考点：直线与圆的位置关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：直线与圆相切，求出k的值，再判断pq的充要条件关系．解答：解：由q：直线y=kx+2与圆x2+y2=1相切，∴1+k2=4，∴k=±，显然p⇒q；q得不出p故选A．点评：本题考查直线与圆的位置关系，充要条件的判断，是基础题．5．（5分）某程序的框图如图所示，则运行该程序后输出的B的值是（）A．5B．11 C．23 D．47考点：循环结构．专题：计算题；图表型．分析：根据所给数值判定是否满足判断框中的条件，然后执行循环语句，满足条件，执行B=2B+1，一旦不满足条件就退出循环，输出B，从而到结论．解答：解：首先给循环变量A和输出变量B赋值3、2．A=3≤5，B=2×2+1=5，A=3+1=4；4≤5，B=2×5+1=11，A=4+1=5；5≤5，B=2×11+1=23，A=5+1=6；6＞5，输出B的值为23，算法结束．故选C．点评：本题考查了当型循环结构，当型循环先判断再执行，满足条件进入循环，否则，算法结束．6．（5分）设向量，，则=（）A．4B．﹣2 C．2D．6考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的性质及其运算律．专题：计算题．分析：求出向量的坐标表示，然后直接利用向量的数量积求出所求的值．解答：解：因为向量，，所以=（1.1），所以=（1，1）（1，3）=4．故选A．点评：本题是基础题，考查向量的数量积应用，考查计算能力．7．（5分）如图是函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+）C．y=2sin（﹣）D．y=2sin（2x﹣）考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而求得函数的解析式．解答：解：由于最大值为2，所以A=2；又．∴y=2sin（2x+φ），将点（，2）代入函数的解析式求得，结合点的位置，知，∴函数的解析式为可为，故选B．点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于中档题．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．5π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：根据三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体，及球的直径和圆锥的底面半径和高，分别代入球的体积公式和圆锥的体积公式，即可得到答案．解答：解：由三视图可得该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体球直径为2，则半径为1，圆锥的底面直径为4，半径为2，高为3则V==故选：A点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，其中根据已知的三视图，判断几何体的形状和底面半径，高等数据是解答的关键．9．（5分）过点（π，1）且与曲线y=sinx+cosx在点（，1）处的切线垂直的直线方程为（）A．y=x﹣1+πB．y=x+1﹣πC．y=﹣x+1+πD．y=﹣x﹣1+π考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：求出原函数的导函数，得到曲线y=sinx+cosx在点（，1）处的切线的斜率，由相互垂直的两直线的斜率的关系求得所求直线的斜率，再由点斜式方程即可得到．解答：解：由y=sinx+cosx，得：y′=cosx﹣sinx，∴f′（）=﹣1，即曲线y=sinx+cosx在x=处的切线的斜率为﹣1．则与曲线y=sinx+cosx在点（，1）处的切线垂直的直线的斜率为1，即有所求的直线方程为：y﹣1=x﹣π，即y=x+1﹣π．故选：B．点评：本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了曲线上某点处的切线的斜率的求法，同时考查两直线垂直的条件，考查运算能力．10．（5分）己知函数f（x）=，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则a+b+c的取值范围是（）A．（1，2010）B．（2，2011）C．（2，2013）D．考点：函数与方程的综合运用．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：先利用三角函数、对数函数的图象和性质，画出函数f（x）的图象，再利用图象数形结合即可发现a、b、c间的关系和范围，最后求得所求范围解答：解：函数f（x）的图象如图：设a＜b＜c，由图数形结合可知：a+b=2×=1，0＜log2012c＜1，∴1＜c＜2012∴2＜a+b+c＜2013．故选C．点评：本题主要考查了分段函数的图象和性质，三角函数、对数函数的图象和性质，方程的根与函数图象间的关系，数形结合的思想方法，属基础题二、填空题（每小题5分，共25分，请将答案填在答题卡的相应位置）【坐标系与参数方程】11．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最大值为．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题．分析：把极坐标方程和参数方程化为普通方程，求出圆心（1，0）到直线的距离，最大距离等于此距离再加上半径．解答：解：曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，化为普通方程即x2+y2=2x，（x﹣1）2+y2=1，表示圆心为（1，0），半径等于1的圆．直线（t为参数）的普通方程为2x﹣y+2=0，圆心（1，0）到直线的距离等于=，故曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最大值为+1=，故答案为：．点评：本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．12．（5分）已知数列{a n}为等差数列，且a7=，则tan（a2+a12）=．考点：等差数列的性质．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得tan（a2+a12）=tan（2a7），代值由三角函数公式化简可得．解答：解：∵a7=，∴tan（a2+a12）=tan（2a7）=tan=故答案为：．点评：本题考查等差数列的性质，涉及三角函数的知识，属基础题．13．（5分）F1，F2是双曲线的两个焦点，过点F2作与x轴垂直的直线和双曲线的交点为A，满足，则m的值为2+2．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先求出A的坐标，再利用，可得2c=），即可求出m的值．解答：解：由题意，b=，c=，F2（c，0），∵过点F2作与x轴垂直的直线和双曲线的交点为A，∴A（c，），∵，∴2c=），∴2=m，∴m=2+2．故答案为：2+2．点评：本题考查双曲线的方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．（5分）已知函数：f（x）=x2+bx+c，其中：0≤b≤4，0≤c≤4，记函数f（x）满足条件：的事件为A，则事件A发生的概率为．考点：几何概型．专题：综合题；概率与统计．分析：根据二次函数解析式，可得事件A对应的不等式为，因此在同一坐标系内作出不等式组0≤b≤4，0≤c≤4和对应的平面区域，分别得到正方形ODEF和四边形OHGF，如图所示．最后算出四边形OHGF与正方形ODEF的面积之比，即可得到事件A 发生的概率．解答：解：∵f（x）=x2+bx+c，∴不等式，可得以b为横坐标、a为纵坐标建立直角坐标系，将不等式0≤b≤4，0≤c≤4和对应的平面区域作出，如图所示不等式组0≤b≤4，0≤c≤4对应图中的正方形ODEF，其中D（0.4），E（4，4），F（4，0），O为坐标原点，可得S正方形ODEF=4×4=16不等式组对应图中的四边形OHGF，可得S四边形OHGF=S正方形ODEF﹣S△DHG﹣S△EFG=16﹣2﹣4=10∴事件A发生的概率为P（A）==故答案为：．点评：本题以二次函数与不等式的运算为载体，求事件A发生的概率．着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和几何概型计算公式等知识，属于中档题．15．（5分）数列{a n}满足a1=1，=2，=3（k≥1，k∈N），则（1）a3+a4=18；（2）其前n项和S n=．考点：数列递推式．专题：计算题．分析：（1）由a1=1，=2，=3可得a2=2a1，a3=3a2，a4=2a3，可求a3+a4（2）由已知可得a2k+1=3a2k=3（2a2k﹣1）=6a2k﹣1，则数列的奇数项是以1为首项，以6为公比的等比数列；由a2k=2a2k﹣1即偶数项都是前一项的2倍，从而对n分类讨论：分n=2k时，当n=2k﹣1两种情况，利用等比数列的求和公式分别求解解答：解：（1）∵a1=1，=2，=3∴a2=2a1=2，a3=3a2=6，a4=2a3=12∴a3+a4=18（2）∵a1=1，=2，=3∴a2k+1=3a2k=3（2a2k﹣1）=6a2k﹣1∴数列的奇数项是以1为首项，以6为公比的等比数列∵a2k=2a2k﹣1即偶数项都是前一项的2倍当n=2k时，S n=a1+a2+a3+…+a n=1+2×1+6+2×6+62+2×62+…++2×=3（1+6+…+）==当n=2k﹣1时，S n=a1+a2+a3+…+a n=1+2×1+6+2×6+…+﹣2×=故答案为：18；点评：本题主要考查了利用数列的递推公式求解是数列的项及等比数列的求和公式的应用，解题中体现了分类讨论的思想三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．（Ⅰ）求cosB的值；（Ⅱ）若，且，求a和c的值．考点：正弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；余弦定理．专题：计算题；转化思想．分析：（1）首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB﹣2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可．（2）由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得a2+b2=12，再根据完全平方式易得a=c=．解答：解：（I）由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，则2RsinBcosC=6RsinAcosB﹣2RsinCcosB，故sinBcosC=3sinAcosB﹣sinCcosB，可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，即sin（B+C）=3sinAcosB，可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，因此．（6分）（II）解：由，可得accosB=2，，由b2=a2+c2﹣2accosB，可得a2+c2=12，所以（a﹣c）2=0，即a=c，所以．（13分）点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．17．（12分）调查某初中1000名学生的肥胖情况，得下表：偏瘦正常肥胖女生（人）100 173 y男生（人）x 177 z已知从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15．（Ⅰ）求x的值；（Ⅱ）若用分层抽样的方法，从这批学生中随机抽取50名，问应在肥胖学生中抽多少名？（Ⅲ）已知y≥193，z≥193，肥胖学生中男生不少于女生的概率．考点：分层抽样方法；等可能事件的概率．专题：计算题．分析：（I）根据从这批学生中随机抽取1名学生，抽到偏瘦男生的概率为0.15，列出关于x的式子，解方程即可．（II）做出肥胖学生的人数，设出在肥胖学生中抽取的人数，根据在抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，列出等式，解出所设的未知数．（III）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是y+z=400，且y≥193，z≥193，列举出所有事件数，再同理做出满足条件的事件数，得到结果．解答：解：（Ⅰ）由题意可知，，∴x=150（人）；（Ⅱ）由题意可知，肥胖学生人数为y+z=400（人）．设应在肥胖学生中抽取m人，则，∴m=20（人）即应在肥胖学生中抽20名．（Ⅲ）由题意可知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是y+z=400，且y≥193，z≥193，满足条件的（y，z）有（193，207），（194，206），…，，共有15组．设事件A：“肥胖学生中男生不少于女生”，即y≤z，满足条件的（y，z）有（193，207），（194，206），…，，共有8组，∴．即肥胖学生中女生少于男生的概率为．点评：本题考查分层抽样的方法．考查等可能事件的概率，考查分层抽样的应用，本题是一个比较简单的综合题目．18．（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，SD⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，且，E是SA的中点．（1）求证：平面BED⊥平面SAB；（2）求直线SA与平面BED所成角的大小．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题．分析：（1）证明平面BED⊥平面SAB，利用面面垂直的判定定理，证明DE⊥平面SAB即可；（2）作AF⊥BE，垂足为F，可得∠AEF是直线SA与平面BED所成的角，在Rt△AFE中，即可求得结论．解答：（1）证明：∵SD⊥平面ABCD，SD⊂平面SAD∴平面SAD⊥平面ABCD，∵AB⊥AD，平面SAD∩平面ABCD=AD∴AB⊥平面SAD，∵DE⊂平面SAD∴DE⊥AB．…（3分）∵SD=AD，E是SA的中点，∴DE⊥SA，∵AB∩SA=A，∴DE⊥平面SAB∴平面BED⊥平面SAB．…（6分）（2）解：作AF⊥BE，垂足为F．由（1），平面BED⊥平面SAB，则AF⊥平面BED，所以∠AEF是直线SA与平面BED所成的角．…（8分）设AD=2a，则AB=a，SA=2a，AE=a，△ABE是等腰直角三角形，则AF=a．在Rt△AFE中，sin∠AEF==，∴∠AEF=45°故直线SA与平面BED所成角的大小45°．…（12分）点评：本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，正确得出线面角，属于中档题．19．（13分）已知等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，数列{b n}的前n项的和为S n，且S n=（n∈N*）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）记c n=a n•b n，求证：c n+1＜c n（3）求数列{c n}的前n项和T n．考点：数列与不等式的综合；等差数列的通项公式．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）根据等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，确定数列{a n}的公差，可得数列的通项；再写一式，两式相减，可得}，{b n}的通项公式；（2）利用作差法，即可证得结论；（3）利用错位相减法，可求数列{c n}的前n项和T n．解答：（1）解：∵等差数列{a n}的公差大于0，且a3，a5是方程x2﹣14x+45=0的两根，∴a3=5，a5=9，∴=2∴a n=a5+2（n﹣5）=2n﹣1∵S n=，∴n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=，∴∵n=1时，b1=S1=，∴b1=∴b n=•=；（2）证明：由（1）知c n=a n•b n=∴c n+1﹣c n=﹣=≤0∴c n+1＜c n（3）解：T n=++…+∴T n=+…++两式相减可得：T n=++…+﹣=∴T n=．点评：本题考查数列的通项公式与求和，考查错位相减法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．（13分）已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，又椭圆上任一点到两焦点的距离和为2．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（1）求椭圆的方程；（2）在线段OF上是否存在点M（m，0），使得|MP|=|MQ|？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆的离心率，以及椭圆上任一点到两焦点的距离和为2，求出a，b，c即可求椭圆的方程；（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行求解．解答：解：（1）因为离心率为，又2a=2．∴a=，c=1．∴b=1，故椭圆的方程为：．（2）①若l与x轴重合时，显然M与原点重合，即m=0符合条件，②若直线l的斜率k≠0，则可设l：y=k（x﹣1），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则：由得x2+2k2（x2﹣2x+1）﹣2=0，化简得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0；即x1+x2=，即PQ的中点横坐标为：，代入l：y=k（x﹣1）可得：PQ的中点为N（），由于|MP|=|MQ|，得到m=所以：m==，综合（1）（2）得到：m．点评：本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用设而不求的数学思想是解决本题的关键．21．（13分）函数f（x）=ax﹣﹣2lnx（a∈R）（Ⅰ）当a=时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若a＞，若m，n分别为f（x）的极大值和极小值，若S=m﹣n，求S取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出导数，令它大于0，得到增区间，令小于0，得到减区间，注意定义域；（Ⅱ）设f′（x）=0的两根为x1，x2（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），S=m﹣n=2（ax1﹣﹣2lnx1），将a=，代入化简，构造函数g（x）=﹣lnx，求导数，应用单调性，即可得到S的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=a+﹣=（x＞0），a=时，f′（x）=，f′（x）＞0，得x＞2或0＜x＜2﹣；f′（x）＜0，得2﹣＜x＜2+．则f（x）的单调增区间为（0，2﹣），（2+，+∞），单调减区间为（2﹣，2+）．（Ⅱ）由△＞0得4﹣4a2＞0，即﹣1＜a＜1且＜a＜1，得＜a＜1，此时设f′（x）=0的两根为x1，x2（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12﹣2x1+a=0，得＜x1＜1，所以S=m﹣n=ax1﹣﹣2lnx1﹣（ax2﹣﹣2lnx2）=ax1﹣﹣2lnx1﹣（﹣ax1+2lnx1）=2（ax1﹣﹣2lnx1）由ax12﹣2x1+a=0得a=，代入上式得，S=4（﹣lnx1）=4（﹣lnx12）令x12=t，所以＜t＜1，g（x）=﹣lnx，则S=4g（t），g′（t）=＜0，所以g（x）在上单调递减，从而g（1）＜g（t）＜g（），即0＜g（t）＜，所以0＜S＜．点评：本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查二次方程的两根的关系，构造函数应用导数判断单调性，是一道综合题．。