安徽省池州市江南中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学(文)试题

安徽省池州市江南中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设有一个回归方程y ＝6－6.5x ，变量x 每增加一个单位时，变量y 平均( ) A ．增加6.5个单位 B ．增加6个单位 C ．减少6.5个单位D ．减少6个单位3．下列框图中，可作为流程图的是( ) A ． B ．C ．D ．4．下列求导运算正确的是( ) A ．211()1x x x '+=+B ．(log 2x )′＝1ln 2x C ．(5x )′＝5x log 5eD ．(sin α)′＝cos α(α为常数)5．用反证法证明命题：“已知a ，b ∈N ，若ab 可被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”时，反设正确的是（ ）A ．a ，b 都不能被5整除B ．a ，b 都能被5整除C ．a ，b 中有一个不能被5整D ．a ，b 中有一个能被5整除6．由①正方形的四个内角相等；②矩形的四个内角相等；③正方形是矩形，根据“三段论”推理出一个结论，则作为大前提、小前提、结论的分别为 ( ) A ．②①③ B ．③①② C ．①②③D ．②③①7．设函数f(x)＝3232ax x ++，若f′(－1)＝4，则a 的值为( )A B C D 8．函数()3239f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-处取得极值，则a 等于( ) A ．2B ．3C ．4D ．59．函数f (x )＝2x 3－9x 2＋12x ＋1的单调减区间是( ) A ．(1,2) B ．(2，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1)和(2，＋∞)10．函数y=2x 3-3x 2（ ）A ．在x=0处取得极大值0，但无极小值B ．在x=1处取得极小值-1，但无极大值C ．在x=0处取得极大值0，在x=1处取得极小值-1D ．以上都不对11．一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前55个圈中的●个数是（ ） A ．10B ．9C ．8D ．1112．已知函数c bx ax x x f +++=23)(，∈x [-2，2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为-1，有以下命题：① f(x)的解析式为：x x x f 4)(3-=，∈x [-2，2]；② f(x)的极值点有且仅有一个； ③ f(x)的最大值与最小值之和等于零； 其中正确的命题个数为（ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个二、填空题13．已知曲线22y x =的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为 ___________. 14．给出右边的程序框图，程序输出的结果是 .15．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若（a+i ）（1+i ）=bi ，则a+bi= _________ ． 16…，根据上述规律，第n 个不等式应该为_________．三、解答题17．已知函数24(),(1)2,'(1)13f x ax ax b f f =-+==； (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在(1,2)处的切线方程．18．为考察某种药物预防禽流感的效果，进行动物家禽试验，调查了100个样本，统计结果为：服用药的共有60个样本，服用药但患病的仍有20个样本，没有服用药且未患病的有20个样本.（1）根据所给样本数据完成下面2×2列联表； （2）请问能有多大把握认为药物有效？19（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若[]0,3x ∈，求()f x 的最大值与最小值. 20．已知等式：sin 25°＋cos 235°＋sin 5°cos 35°＝34， sin 215°＋cos 245°＋sin 15°cos 45°＝34，sin 230°＋cos 260°＋sin 30°·cos 60°＝34，…，由此归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明． 21．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元)之间有如下的对应数据：（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y =b x +a ； 22．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x ，其中a ∈R，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)。

(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值。

参考答案1．D 【解析】(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限． 2．C 【解析】由回归方程的性质结合题中的回归方程可得，变量x 每增加一个单位时，变量ˆy平均减少6.5个单位. 本题选择C 选项.3．C 【解析】结合流程图的定义可得，题中的C 选项可以作为流程图. 本题选择C 选项.4．B 【解析】由导函数的运算法则可得：()()()()22111'1,log ,55ln 5,sin '0ln 2x xx x x x x αα⎛⎫+=--== ⎪⎝⎭为常数 ， 本题选择B 选项.点睛：求函数的导数应注意：①求导之前利用代数或三角变换先进行化简，减少运算量； ②根式形式，先化为分数指数幂，再求导．③复合函数求导先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理．5．A 【解析】试题分析：从反证法的要求来看,须将结论a ，b 中至少有一个能被5整除全部否定,所以应选A ．考点：反证法及命题的否定．6．D 【解析】考查三段论的知识；大前提是一个公理，即②矩形的四个内角相等；小前提是大前提的一种特殊情况，即③正方形是矩形，在这两个前提下得出结论①正方形的四个内角相等；所以选D 7．D 【分析】由题，求导，将x=-1代入可得答案. 【详解】函数()f x 的导函数2()36f x ax x '=+，因为f′(－1)＝4，即364a -=，故选D【点睛】本题考查了函数的求导，属于基础题. 8．D 【解析】 【分析】求出()’f x ，由()'30f -=解方程即可得结果. 【详解】因为()3239f x x ax x =++-，所以()2’323f x x ax =++，因为()f x 在3x =-处取得极值，所以 即27630a -+=，解得5a =，经检验，5a =时，()f x 在3x =-处取得极大值，符合题意，故选D. 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的极值，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于简单题. 9．A【解析】对函数求导：()()()()22'61812632612f x x x x x x x =-+=-+=-- ，求解()'0f x < 可得函数的单调减区间是 (1,2). 本题选择A 选项.10．C 【解析】试题分析：()f x '=62x -6x ，令()0f x '=，则x=0或x=1，则（-∞，0）和（1，+ ∞）为增函数，（0，1）为减函数，则在x=0处取得极大值0，在x=1处取得极小值-1 考点：函数的单调性。

11．B 【解析】将圆分组：第一组：○●，有2 个圆；第二组：○○●，有3 个圆；第三组：○○○●，有4 个，…，每组圆的总个数构成了一个等差数列，前n 组圆的总个数为()21234 (12)n n S n n ++=+++++=⨯，令55n S =，解得9.6n ≈，即包含9整组，故含有●的个数是9个, 故选B.【方法点睛】本题考查等差数列的求和公式及归纳推理，属于中档题.归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.12．C 【解析】 13．11,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】由22y x =，得到'4y x =，因为曲线的一条切线的斜率为2，得到'4=2y x =，解得12x =，把12x =代入22y x =，得12y =，则切点的坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，故答案为11,22⎛⎫⎪⎝⎭. 【方法点睛】本题主要考查导数的几何意义，属简单题. 应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点()()00,A x f x 求斜率k ,即求该点处的导数()0k f x ='（已知斜率求切点坐标方法同）；(2) 己知斜率k 求切点()()11,,A x f x 即解方程()1f x k '=；(3) 巳知切线过某点()()11,M x f x (不是切点) 求切点, 设出切点()()00,,A x f x 利用()()()10010f x f x k f x x x ='-=-求解.14．10【解析】根据程序框图可知，程序输出的结果是15．1+2i ． 【解析】因为（a+i ）（1+i ）=bi ， 所以a ﹣1+（a+1）i=bi ， 所以，解得a=1，b=2，所以a+bi=1+2i ． 故答案为1+2i ． 16．1…【分析】根据规律得到不等式左边为1…. 【详解】不等式的左边为连续自然数的平方的倒数和，即1…n 个不等式应该为1…故答案为：1…【点睛】本题考查了归纳推理，意在考查学生的推理能力. 17．（1）235()222f x x x =-+；（2）10x y －＋＝. 【解析】试题分析：(1)由题意得到关于实数a,b 的方程组，求解方程组可得函数的解析式为()235222f x x x =-+ (2)利用导函数与切线方程的关系可得f (x )在(1,2)处的切线方程为x －y ＋1＝0.试题解析：(1)f ′(x )＝2ax －a .由已知得解得∴f (x )＝x 2－2x ＋.(2)函数f (x )在(1,2)处的切线方程为y －2＝x －1，即x －y ＋1＝0.18．（1）（2）大概90％认为药物有效 【解析】试题分析：（1）由所给样本数据完成下面2×2列联表即可（2）根据公式计算观测值，然后比较观测值与临界值表中相应的检验水平，最后做出统计判断. （1）填表（2）假设检验问题H 0：服药与家禽得禽流感没有关系由P(2 2.706K ≥)＝0.10 所以大概90％认为药物有效 12分 考点：2×2列联表;独立性检验.19．（Ⅰ）单调递增区间为(),2-∞-，()2,+∞，单调递减区间为()2,2- （Ⅱ）最大值为4【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数，根据导数与函数的单调性的关系即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数()f x 在[]0,2单调递减，[]2,3单调递增，从而可得函数的最值. 【详解】解：（Ⅰ，所以()()()2'422f x x x x =-=-+， 当()'0f x >即2x >或2x <-，当()'0f x <，即22x -<<，所以函数()f x 单调递增区间为(),2-∞-，()2,+∞，单调递减区间为()2,2-. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知函数()f x 在[]0,2单调递减，[]2,3单调递增，所以又因为()04f =，()31f =，且()()03f f >，所以()max 4f x =，故函数()f x 最大值为4【点睛】本题主要考查了导数在研究函数的单调性以及最值中的应用，解题的关键是求出函数的导函数，属于基础题.20．sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34，证明详见解析． 【解析】 试题分析：利用题中所给算式的特点可归纳为：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝34，由三角函数的性质证明三角恒等式即可. 试题解析：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝. 证明如下：sin 2θ＋cos 2(θ＋30°)＋sin θcos(θ＋30°)＝sin 2θ＋2＋sin θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin 2θ－sin 2θ＝.点睛：在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．21．（1）见解析（2）715y x =+【解析】试题分析：(1)由题意结合数据绘制散点图即可；(2)由题中的数据求得ˆ7b=，ˆ15a =，则所求回归直线方程为ˆ715y x =+ 试题解析： （1）散点图如下图所示：（2）5,50x y ==，521145i i x==∑，511390i i i x y ==∑， ()51522215139055507145555ˆi i i i i x y x y b x x ==-⋅-⨯⨯∴===-⨯-∑∑，5ˆˆ07515a y bx =-=-⨯=， ∴所求回归直线方程为ˆ715y x =+ 22．（1）a=12（2）在（0，2），（3，+∞）上为增函数；在（2，3）上为减函数.在x=2处取得极大值f （2）=92+6ln2，在x=3处取得极小值f （3）=2+6ln3. 【解析】试题分析：（1）求出导数f′(x)，得f′(1)，写出题中切线方程y −f(1)=f′(1)(x −1)，令x =0，则y =6，由此可得a ；（2）解不等式f′(x)>0得增区间，解不等式f′(x)<0得减区间；f′(x)=0的点就是极值点，由刚才的单调性可知是极大值点还是极小值点．试题解析：（1）因为f(x)=a(x −5)2+6lnx ，故f′(x)=2a(x −5)+6x ． 令x =1，得f(1)=16a ，f′(1)=6−8a ，所以曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y −16a =(6−8a)(x −1)，由点(0,6)在切线上，可得6−16a =8a −6，解得a =12． （2）由（1）知，f(x)=12(x −5)2+6lnx （x >0）， f′(x)=x −5+6x =(x−2)(x−3)x ．令f′(x)=0，解得x 1=2，x 2=3．当0<x <2或x >3时，f′(x)>0，故f(x)的递增区间是(0,2)，(3,+∞)；当2<x <3时，f′(x)<0，故f(x)的递减区间是(2,3)．+6ln2，由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=92在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln3．考点：导数的几何意义，用导数研究函数的单调性与极值．【名师点睛】导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面（1）已知切点A（x0，f（x0））求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′（x0）；（2）已知斜率k，求切点A（x1，f（x1）），即解方程f′（x1）＝k；（3）已知过某点M（x1，f（x1））（不是切点）的切线斜率为k时，常需设出切点A（x0，f （x0）），利用k＝fx1−fx0求解．x1−x0。