抽象函数单调性与奇偶性母题及训练

函数单调性奇偶性经典例题与练习(家教的第一手材料)

函数单调性奇偶性经典练习一、单调性题型高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断函数单调性判断常用方法：121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>⇒⎧<⎨-<<⇒⎩+⇒⎧-⎧⎪⇒-⇒⎨⎨-⎩⎪-⇒⎩即单调增函数定义法（重点）：在其定义域内有任意，且即单调增函数复合函数快速判断：“同增异减”增为减函数基本初等函数加减（设为增函数，为减函数）：增为增函数减互为反.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩函数的两个函数具有相同的单调性例1 证明函数23()4x f x x +=-在区间(4)+∞，上为减函数（定义法）解析：用定义法证明函数的单调性，按步骤“一假设、二作差、三判断（与零比较）”进行.练习1 证明函数21()3x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法）练习2证明函数2()f x x =在区间2()3-∞，上为增函数（定义法、快速判断法）练习3 求函数3()2x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法)练习4求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法）（复合函数，基本初等函数相加减问题，反函数问题在本章结束时再练习）（二）函数单调性的应用⎧⎪⎨⎪⎩单独考查单调性：结合单调函数变量与其对应函数值的关系求参数定义域与单调性结合：结合定义域与变量函数值关系求参数值域与单调性结合：利用函数单调性求值域例1 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2(2)(3)f x x f a +>+恒成立，求实数a 的范围。

函数的单调性+奇偶性(含答案)

函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的表达式为（）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩，则[(2)]f f -的值为（） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。

高中数学《函数的单调性与奇偶性》针对练习及答案

第二章函数2.2.2 函数的单调性与奇偶性（针对练习）针对练习针对练习一单调性与奇偶性的判断1．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（） A ．cos y x x = B ．66x x y -=- C ．23y x =+ D ．1y x x =+2．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上为增函数的是（）A ．()1f x x=- B ．()f x C ．()f x x = D ．()31f x x =+3．下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是（） A ．sin y x =- B ．cos 2y x = C ．tan y x = D ．3y x =-4．下列函数是偶函数且在(0，+∞)是增函数的是（） A ．2xy =B ．2y xC ．12y x =D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭5．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x=C ．32y x =-D ．2log ()y x =-针对练习二函数（包含复合函数）的单调区间6．若函数()f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（）A ．[]4,1--，[]1,4B ．[]1,1-C ．[]4,4-D ．[]22-,7．函数()1x f x x在（）A ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是增函数B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是减函数C ．(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数D ．(,1)-∞和(1,)+∞上是减函数8．已知函数()212f x x x =+-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间(],1-∞上是增函数B ．()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数C ．()f x 在区间(],1-∞上是减函数D ．()f x 在区间[)1,-+∞上是减函数9．函数()f x ）A ．[)2+∞，B ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．(]1-∞-，10．函数12y ⎛= ⎪⎝⎭A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦针对练习三根据奇偶性求解析式11．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21xf x =-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x --B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+12．已知偶函数()f x ，当0x >时，()23f x x =-，则当0x <时，()f x =（） A ．23x -- B ．23x +C ．23x -+D ．23x -13．函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =-，则当0x >时，()f x =（） A ．2x - B ．2x -C ．2x --D ．2x14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()f x x x =-，则当0x >时，()f x =（）A ．2x x -B ．2x x --C ．2x x -+D ．2x x +15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x =，则()f e -=（）A ．1-B ．1C ．2D ．2-针对练习四根据单调性与奇偶性解不等式16．设函数||()x f x e =，则使得(21)()f x f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17．若函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,0)- B ．(2,1)- C ．(0,1) D ．(,1)(0,)-∞-+∞18．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数，若(1)(2)f a f -<，则实数a 的取值范围是（）A ．13a -<C ．31a -<<D ．3a <-或1a >19．函数()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+，则实数m 的取值范围是（） A ．()9,+∞B ．[)9,+∞C ．(),9-∞-D ．(],9-∞-20．已知函数21()ln(1)1f x x x=+-+，若实数a 满足313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 取值范围（） A ．[]1,3 B ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦针对练习五根据单调性与奇偶性比大小21．若定义在R 上偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，下列各式一定成立的是（） A ．()()06f f C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-22．设偶函数()f x 的定义域为R ，当(,0]x ∈-∞时，()f x 是增函数，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭，(f ，()f π的大小关系是（）A．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭B．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭C．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭D．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭23．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-24．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．则当n *∈N 时，有（）A ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-25．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上是减函数，则（） A ．(1)(2)(3)f f f <-C ．12a <-D ．12a >-27．函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则实数m 的取值范围是（） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞28．若函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．a >1B ．a <1C ．11a -<<D ．－1≤a ≤129．已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（）A ．0,1B ．1,C ．51,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭30．已知(32)4,1()log ,1aa x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩, 对任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是 A ．()0,1B ．2(0,)3C ．1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D ．22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭针对练习七根据奇偶性求参数31．若函数(31)()y x x a =+-为偶函数，则a =（） A ．1 B ．-1 C ．13D ．232．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a -1，2a ]上的偶函数，那么a +b 的值是（） A ．1- B ．13C ．0D ．333．已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．则实数m 的值是（）A ．0B ．2C ．4D ．-234．若()3351f x x x a =++-为奇函数，则a 的值为（）A ．0B ．-1C ．1D ．235．若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则a =（）A ．12 B ．23C ．34D ．1第二章函数2.2.2 函数的单调性与奇偶性（针对练习）针对练习针对练习一单调性与奇偶性的判断1．下列函数中，既是奇函数，又是R 上的增函数的是（） A ．cos y x x = B ．66x x y -=- C ．23y x =+ D ．1y x x =+【答案】B 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断【详解】对于A ，因为()()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，所以cos y x x =是奇函数，但不单调，所以A 错误；对于B ，因为()66(66)()x x x x f x f x ---=-=--=-，所以66x x y -=-是奇函数，因为6x y =是增函数，6x y -=是减函数，所以66x x y -=-是增函数，所以B 正确；对于C ，因为22()()33()f x x x f x -=-+=+=，所以23y x =+是偶函数，所以C 错误；对于D ，因为()()()11f x x x x x f x f x -=--+=-+≠-≠，所以1y x x =+是非奇非偶函数，所以D 错误．故选：B2．下列函数中，是奇函数且在()0,∞+上为增函数的是（） A ．()1f x x=- B ．()f x C ．()f x x = D ．()31f x x =+【答案】A 【解析】【分析】利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可【详解】对于A ，定义域为{}0x x ≠，因为()()11f x f x x x-=-==--，所以函数是奇函数，任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，则2121211211()()x xf x f x x x x x --=-+=，因为12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <，所以21()()0f x f x ->，即21()()f x f x >，所以()f x 在()0,∞+上为增函数，所以A 正确，对于B ，因为定义域为{}0x x ≥，所以函数()f x 为非奇非偶函数，所以B 错误，对于C ，因为定义域为R ，因为()()f x x x f x -=-==，所以()f x 为偶函数，所以C 错误，对于D ，因为定义域为R ，因为()()3311()()f x x x f x f x -=-+=-+≠≠-，所以函数()f x 为非奇非偶函数，所以D 错误，故选：A3．下列函数在其定义域内既是奇函数又单调递减的是（） A ．sin y x =- B ．cos 2y x = C ．tan y x = D ．3y x =-【答案】D 【解析】对于基本初等函数，直接判断其奇偶性和单调性. 【详解】选项A: sin y x =-为偶函数，故A 错误；选项B: cos 2y x =为偶函数，故B 错误；选项C: tan y x =为奇函数但是在,22k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭上单增，故C 错误；选项D: 3y x =-既是奇函数又是R 上单调递减. 故选：D4．下列函数是偶函数且在(0，是增函数的是（） A ．2xy =B ．2y xC ．12y x =D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数、二次函数、幂函数的性质进行判断即可. 【详解】因为指数函数不具有奇偶性，所以排除A 、D ，因为幂函数12y x =的定义域为非负实数集，不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故排除，二次函数2yx 图象关于纵轴对称，所以该二次函数是偶函数，它又在(0，+∞)单调递增，故选：B5．下列函数中，是奇函数，又在定义域内为减函数的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x=C ．32y x =-D ．2log ()y x =-【答案】C 【解析】利用奇函数的定义和减函数的定义，再结合基本函数的性质求解即可【详解】解：对于A ，D ，由指数函数和对数函数的性质可知其为非奇非偶函数，所以A ，D 不符合题意，对于B ，由反比例函数的性质可知，其为奇函数，在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，所以不符合题意，对于C ，由于33()2()2()f x x x f x -=--==-，所以3()2f x x =-为奇函数，任取12,x x R ∈，且12x x <，则120x x -<332121()()2(2)f x f x x x -=---33122()x x =- 221211222()()x x x x x x =-++222121232()[()]024x x x x x =-++< 所以21()()f x f x <，所以3()2f x x =-为R 上的减函数，所以C 符合题意，故选：C针对练习二函数（包含复合函数）的单调区间6．若函数()f x 的图象如图所示，则其单调递减区间是（）A ．[]4,1--，[]1,4B ．[]1,1-C ．[]4,4-D ．[]22-,【答案】B 【解析】【分析】利用图象判断函数单调性的方法直接写出函数()f x 单调递减区间. 【详解】观察函数()f x 的图象，可知函数()f x 的单调递减区间为[]1,1-. 故选：B 7．函数()1x f x x在（）A ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是增函数B ．(,1)(1,)-∞⋃+∞上是减函数C ．(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数D ．(,1)-∞和(1,)+∞上是减函数【答案】C 【解析】【分析】分离常数，作出函数图象，观察即可得出结果. 【详解】1111()1111111x x x f x xxxxx，函数的定义域为(,1)(1,)-∞⋃+∞，其图象如下：由图象可得函数在(,1)-∞和(1,)+∞上是增函数. 故选：C8．已知函数()212f x x x =+-，则下列结论正确的是（）A ．()f x 在区间(],1-∞上是增函数B ．()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数C ．()f x 在区间(],1-∞上是减函数D ．()f x 在区间[)1,-+∞上是减函数【答案】A 【解析】配方得二次函数的对称轴，然后判断．【详解】2()(1)2f x x =--+，对称轴为1x =，二次项系数为10-<，因此()f x 在(,1]-∞上递增，在[1,)+∞上递减，故选：A ．9．函数()f x ）A ．[)2+∞，B ．12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．(]1-∞-，【答案】C 【解析】根据解析式，先求出函数的定义域；再令22t x x =-+，结合二次函数单调性，以及. 【详解】因为22172024x x x ⎛⎫-+=-+> ⎪⎝⎭显然恒成立，所以函数()f x =R ；令22t x x =-+，则22t x x =-+是开口向上的二次函数，且对称轴为12x =，所以22t x x =-+在12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，上单调递减，在12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，上单调递增；根据复合函数单调性的判定方法可得，()f x 12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，. 故选：C. 【点睛】本题主要考查求根式型复合函数的单调区间，属于基础题型.10．函数12y ⎛= ⎪⎝⎭A ．11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】由题得函数的定义域为{|12}x x -≤≤，设函数u u 在1]2[-1,单调递增，在1[2]2，单调递减，因为函数1()2uv =在定义域上单调递减，所以函数12y ⎛= ⎪⎝⎭1[2]2，单调递增. 故选D 【点睛】和分析推理能力.针对练习三根据奇偶性求解析式11．设()f x 为奇函数，且当0x ≥时，()21xf x =-，则当0x <时，()f x =（）A ．21x --B ．21x -+C ．21x ---D ．21x --+【答案】D 【解析】【分析】根据题意，设0x <，则0x ->，由函数的解析式可得()21x f x ---=，结合函数的奇偶性分析可得答案．【详解】根据题意，设0x <，则0x ->，则()21x f x ---=，又由()f x 为奇函数，则()()21x f x f x -=-=-+-，故选：D12．已知偶函数()f x ，当0x >时，()23f x x =-，则当0x <时，()f x =（） A ．23x -- B ．23x +C ．23x -+D ．23x -【答案】A 【解析】设0x <，则0x ->，可得()23f x x -=--，利用偶函数的定义()()f x f x -=即可求解. 【详解】设0x <，则0x ->，所以()23f x x -=--，又()f x 为偶函数，所以()()f x f x -=，所以()()230f x x x =--<. 故选：A.13．函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2f x x =-，则当0x >时，()f x =（） A ．2x - B ．2x -C ．2x --D ．2x【答案】C 【解析】【分析】直接利用代入法求函数解析式. 【详解】当0x >时，0x -<，所以()()2f x x f x -=+=-，所以()2f x x =--．故选：C ．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()f x x x =-，则当0x >时，()f x =（） A ．2x x - B ．2x x -- C ．2x x -+ D ．2x x +【答案】D 【解析】【分析】利用奇函数的等式()()f x f x -=-求解.【详解】因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，x ∈R .当0x >时，0x -<，()()()()22f x f x x x x x ⎡⎤=--=----=+⎣⎦. 故选：D.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()ln f x x =，则()f e -=（）A ．1-B ．1C ．2D ．2-【答案】A 【解析】根据奇函数的定义求函数值．【详解】 ∵()f x 是奇函数，∵()()ln 1f e f e e -=-=-=-．故选：A ．针对练习四根据单调性与奇偶性解不等式16．设函数||()x f x e =，则使得(21)()f x f x -<成立的x 的取值范围是（） A ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,(1,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭C ．11,33⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】首先判断出函数为偶函数，再判断出函数的单调性，根据单调性可得21x x -<，解绝对值不等式即可求解. 【详解】||()x f x e =，则()()xxf x ee f x --===，函数为偶函数，当0x ≥时，()x f x e =，所以函数在[)0,+∞单调递增，所以函数在(),0-∞上单调递减，若(21)()f x f x -<，则21x x -<，即23410x x -+<，解得113x <<，所以不等式的解集为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选：A17．若函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,0)- B ．(2,1)- C ．(0,1) D ．(,1)(0,)-∞-+∞【答案】A 【解析】由函数y =f (x )在R 上单调递增，将2(1)(1)f m f m +<-+可化为211m m +<-+，解不等式可得答案【详解】解：因为函数y =f (x )在R 上单调递增，且2(1)(1)f m f m +<-+，所以211m m +<-+，解得10m -<<，故选：A18．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数，若(1)(2)f a f -<，则实数a 的取值范围是（）A ．13a -<C ．31a -<<D ．3a <-或1a >【答案】A 【解析】由偶函数的性质将不等式(1)(2)f a f -<转化为(1)(2)f a f -<，再由其在[0,)+∞是单调增函数，可得12a -<，从而可求出a 的取值范围【详解】解：因为()f x 是定义在实数集R 上的偶函数，且(1)(2)f a f -<，所以(1)(2)f a f -<，因为函数()f x 在区间[0,)+∞是单调增函数，所以12a -<，解得13a -<<，故选：A19．函数()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+，则实数m 的取值范围是（）A ．()9,+∞B ．[)9,+∞C ．(),9-∞-D ．(],9-∞-【答案】A 【解析】根据单调性可得29m m >+，解出即可．【详解】解：∵()y f x =在R 上为增函数，且(2)(9)f m f m >+， ∵29m m >+，解得9m >，故选：A ．【点睛】本题主要考查根据函数的单调性解不等式，属于基础题． 20．已知函数21()ln(1)1f x x x=+-+，若实数a 满足313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，则a 取值范围（） A ．[]1,3 B ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦C ．(]0,3D ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】首先判断()f x 的单调性和奇偶性，由此化简不等式313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，并求得a 的取值范围. 【详解】()f x 的定义域为R ，且()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.当0x >时，21()ln(1)1f x x x =+-+，2ln(1)y x =+和11y x=-+在()0,∞+上递增，所以()f x 在()0,∞+上递增，而()f x 是偶函数，故()f x 在(),0-∞上递减.依题意313(log )(log )2(1)f a f a f +≤，即33(log )(log )2(1)f a f a f +-≤，即332(log )2(1)(log )(1)f a f f a f ≤⇔≤，所以331log 11log 133a a a ≤⇔-≤≤⇔≤≤，所以a 的取值范围是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：D 【点睛】本小题主要考查解函数不等式，属于基础题.针对练习五根据单调性与奇偶性比大小21．若定义在R 上偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，下列各式一定成立的是（） A ．()()06f f C ．()()13f f -> D ．()()58f f -<-【答案】C 【解析】【分析】由偶函数及在[)0,+∞上是减函数，知在(,0]-∞上是增函数，即可判断各项的正误. 【详解】A ：在[)0,+∞上是减函数，即()()06f f >，错误；B ：(3)(3)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()32f f <，即()()32f f -<，错误；C ：(1)(1)f f -=，()f x 在[)0,+∞上是减函数，有()()31f f <，即()()13f f ->，正确；D ：由题意，()f x 在(,0]-∞上是增函数，()()58f f ->-，错误；故选：C22．设偶函数()f x 的定义域为R ，当(,0]x ∈-∞时，()f x 是增函数，则52f ⎛⎫⎪⎝⎭，(f ，()f π的大小关系是（）A ．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭B ．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭C ．5(()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭D ．5()(2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】根据偶函数的性质可得(f f =，由函数的单调性可得函数值的大小关系. 【详解】根据偶函数的性质可知，(f f =当[)0,x ∈+∞时，()f x 是减函数，因为5π2<，所以5()2f f f π⎛⎫>> ⎪⎝⎭故选:C. 【点睛】思路点睛：在比较函数值大小的题目中，主要根据函数的单调性进行判断.当自变量不在同一单调区间时，可以结合偶函数的性质将自变量x 转化为同一单调区间，再进行判断即可.23．若函数()f x 是偶函数，且在区间[0,3]上单调递减，则（） A ．()()1(2)3f f f ->> B ．()()()312f f f >-> C ．()()()213f f f >-> D ．()()()321f f f >>-【答案】A 【解析】由(1)(1)f f -=，结合单调性得出()()1(2)3f f f ->>. 【详解】因为函数()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -= 又()f x 在区间[0,3]上单调递减，且123<< 所以(1)(2)(3)f f f ∴>>，即()()1(2)3f f f ->> 故选：A24．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦．则当n *∈N 时，有（）A ．(1)()(1)f n f n f n +<-<-B ．(1)()(1)f n f n f n -<-<+C ．()(1)(1)f n f n f n -<-<+D ．(1)(1)()f n f n f n +<-<-【答案】A 【解析】首先判断出函数的单调性，再根据函数为偶函数即可求解. 【详解】对任意的()1212,(,0]x x x x ∈-∞≠，()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，所以函数在(,0]-∞上为增函数，又因为函数()f x 在R 上的偶函数，所以函数在[)0,+∞上为减函数，且()()f n f n -=，因为11n n n -<<+，所以(1)()(1)f n f n f n ->>+. 所以(1)()(1)f n f n f n ->->+. 故选：A25．定义在R 上的偶函数()f x 在[)0+∞，上是减函数，则（） A ．(1)(2)(3)f f f <->，所以(3)(2)(1)f f f <<，即(3)(2)(1)f f f <-<，故选：B 【点睛】此题考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题针对练习六根据单调性求参数26．设函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数，则有（） A ．12a C ．12a <-D ．12a >-【答案】A 【解析】函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数,则120a ->，可得答案. 【详解】函数()()12f x a x b =-+是R 上的增函数,则120a ->，即12a < 故选：A27．函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则实数m 的取值范围是（） A ．[2,)-+∞ B ．[2,)+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,2]-∞【答案】A 【解析】直接由抛物线的对称轴和区间端点比较大小即可. 【详解】函数221y x mx =++为开口向上的抛物线，对称轴为x m =- 函数221y x mx =++在[2,)+∞单调递增，则2m -≤，解得2m ≥-. 故选：A.28．若函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．a >1B ．a <1C ．11a -<<D ．－1≤a ≤1【答案】C 【解析】利用用一次函数的单调性得到210a -<，再由二次不等式的解法，即可得解. 【详解】函数()()212f x a x =-+为R 上的减函数，则210a -<，解得11a -<<；故选：C.29．已知0a >且1a ≠，函数(1)34,(0)(),(0)xa x a x f x a x -+-≤⎧=⎨>⎩满足对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，则a 的取值范围是（）A ．0,1B ．1,C ．51,3⎛⎤⎥⎝⎦D ．5,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】由2121()()0f x f x x x ->-可得函数()f x 在R 上为增函数，所以010134a a a a ⎧->⎪>⎨⎪≥-⎩，从而可求出a 的取值范围【详解】解：因为()f x 对任意实数12x x ≠，都有2121()()0f x f x x x ->-成立，所以()f x 在R 上为增函数，所以010134a a a a ⎧->⎪>⎨⎪≥-⎩，解得513a <≤，所以a 的取值范围为51,3⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C 30．已知(32)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨≥⎩, 对任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，那么实数a 的取值范围是 A ．()0,1 B ．2(0,)3C ．1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭, D ．22,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】【分析】根据题设条件可以得到()f x 为R 上的减函数，根据各自范围上为减函数以及分段点处的高低可得实数a 的取值范围. 【详解】因为任意1212,(,),x x x x ∈-∞+∞≠,都有1212()()0f x f x x x -<-，所以对任意的12x x <，总有()()12f x f x >即()f x 为R 上的减函数，所以01320720a a a <<⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2273a ≤<，故选D.【点睛】分段函数是单调函数，不仅要求各范围上的函数的单调性一致，而且要求分段点也具有相应的高低分布，我们往往容易忽视后者.针对练习七根据奇偶性求参数31．若函数(31)()y x x a =+-为偶函数，则a =（）A ．1B ．-1C ．13 D ．2【答案】C【解析】【分析】若()y f x =，由奇偶性的性质有()()f x f x =-即可求参数a .【详解】若()y f x =，则()f x 23(13)x a x a =+--为偶函数，∵()()f x f x =-，即223(13)3()(13)()x a x a x a x a +--=-+---，∵2(13)0a x -=恒成立，可得13a =.故选：C32．已知f （x ）=ax 2+bx 是定义在[a -1，2a ]上的偶函数，那么a +b 的值是（）A ．1-B ．13 C ．0 D ．3【答案】B【解析】【分析】根据()f x 的奇偶性求得,a b ，从而求得a b +.【详解】由于()f x 是偶函数，所以0b =，且111233a a a a b -=-⇒=⇒+=.故选：B33．已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．则实数m 的值是（）A ．0B ．2C ．4D ．-2【答案】B【解析】【分析】利用函数为奇函数可得()()f x f x -=-，代入即可求解.【详解】取0x >，则0x -<，因为函数为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()()222x m x x x -+-=--+，整理可得2mx x -=-，即2m =.故选：B34．若()3351f x x x a =++-为奇函数，则a 的值为（）A ．0B ．-1C ．1D ．2【答案】C【解析】【分析】根据奇函数的性质()00f =求解即可【详解】∵()f x 为R 上的奇函数，∵()00f =得a =1.验证满足题意.故选：C35．若函数()(21)()x f x x x a =+-为奇函数，则a =（） A ．12B ．23C ．34D ．1 【答案】A【解析】【分析】根据奇函数性质取1和-1分别代入，函数值和为0，即可求得.【详解】 ∵()(21)()x f x x x a =+-为奇函数，∵(1)(1)0f f -+=，得12a =．故选：A.。

函数的奇偶性和单调性综合训练

偶函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数。
奇函数和偶函数的性质
奇函数的图像关于原点对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于原点对称的。
偶函数的图像关于y轴对称，即当$x$取任意值时，其对应的$y$ 值都是关于y轴对称的。
利用奇偶性和单调性解题
利用奇偶性求函数值
对于奇函数，有$f(-x) = -f(x)$；对于偶函数，有$f(-x) = f(x)$。
利用单调性比较函数值大小
在单调递增区间内，如果$x_1 < x_2$，则$f(x_1) < f(x_2)$；在单调递减区间内，如果$x_1 < x_2$，则 $f(x_1) > f(x_2)$。
奇偶性的判断方法
定义法
根据奇偶函数的定义来判断。
图像法
通过观察函数的图像来判断。
代数法
通过代入特殊值来判断。
单调性的定义
单调递增
如果对于函数$f(x)$的定义域内的任意两个数$x_1$和$x_2$（$x_1<x_2$），都有$f(x_1)<f(x_2)$，则称函数$f(x)$在定义域内单调递增。
函数的奇偶性和单调性综合训练
目
CONTENCT
录
• 函数的奇偶性 • 函数的单调性 • 奇偶性与单调性的关系 • 综合训练题 • 总结与回顾
01
函数的奇偶性
奇函数和偶函数的定义
奇函数
如果对于函数$f(x)$的定义域内任意一个$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。
100%
导数法
通过求函数的导数并判断导数的正负来判断。如果导数大于0，则为增函数；如果导数小于0，则为减函数。

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是（）A . ()()()123f f f -<>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（）．A ．恒大于B ．恒小于C ．可正可负D ．可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________．【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数；（2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-．【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立．令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。

函数的性质练习(奇偶性、单调性、周期性、对称性)(附答案)

函数的性质练习(奇偶性，单调性，周期性，对称性)1、定义在R 上的奇函数)(x f ，周期为6，那么方程0)(=x f 在区间[6,6-]上的根的个数可能是A.0B.1C.3D.52、f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且f (2)＝0，则方程f (x )＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A ．1B ．4C ．3D ．23、已知)(x f 是R 上的偶函数,)(x g 是R 上的奇函数,且)(x g =)1(-x f ,那么=)3120(fA.0B.2C. 2-D.2± 4、已知112)(-+=x x x f ，那么=+++++-+-+-)8()6()4()2()0()2()4()6(f f f f f f f f A.14 B.15 C. 16- D.165、已知)(x f 的定义域为R ，若)1()1(+-x f x f 、都为奇函数，则A.)(x f 为偶函数B.)(x f 为奇函数C.)(x f =)2(+x fD.)3(+x f 为奇函数6、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)1()1(--=+x f x f ，则下列结论一定成立的是A.)(x f 的周期为4B. )(x f 的周期为6C. )(x f 的图像关于直线1=x 对称D. )(x f 的图像关于点(1 , 0) 对称 7、定义在R 上的函数)(x f 满足:)()(x f x f -=-,)1()1(x f x f -=+，当∈x [1-, 1] 时，3)(x x f =，则=)2013(fA.1-B.0C.1D.28、定义在R 上的函数)(x f 对任意的实数x 都有)2()2(x f x f -=+，并且)1(+x f 为偶函数. 若3)1(=f ，那么=)101(fA.1B.2C.3D.49、已知f (x )(x ∈R)为奇函数，f (2)＝1，f (x ＋2)＝f (x )＋f (2)，则f (3)等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 10、若奇函数f (x )(x ∈R)满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝⎛⎭⎫32 等于( )A ．0B ．1 C.12 D ．－1211、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)<f (11)<f (80)B ．f (80)<f (11)<f (－25)C ．f (11)<f (80)<f (－25)D ．f (－25)<f (80)<f (11)12、设()f x 为定义在R 上的奇函数，满足()()2f x f x +=-，当01x ≤≤时()f x x =，则 ()7.5f 等于（）A ．0.5B ．0.5-C ．1.5D ． 1.5-13、设()f x 是定义在R 上的偶函数,且在(－∞,0)上是增函数,则()2f -与()223f a a -+ （a R ∈）的大小关系是（）A ．()2f -<()223f a a -+B ．()2f -≥()223f a a -+C ．()2f ->()223f aa -+D ．与a 的取值无关14、若函数()f x 为奇函数，且当0x >时，()1f x x =-，则当0x <时，有（）A ．()f x 0>B ．()f x 0<C ．()f x ()f x -≤0D ．()f x －()f x -0> 15、已知函数()()2212f x x a x =+-+在区间(]4,∞-上是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．a ≤－3B ．a ≥－3C ．a ≤5D ．a ≥317、已知函数()()221,f x x ax b b a b R =-++-+∈对任意实数x 都有()()11f x f x -=+ 成立，若当[]1,1x ∈-时，()0f x >恒成立,则b 的取值范围是（） A ．10b -<C ．12b b <->或 D ．不能确定 18、已知函数()()2223f x x x =+-，那么（）A ．()y f x =在区间[]1,1-上是增函数B ．()y f x =在区间(],1-∞-上是增函数C ．()y f x =在区间[]1,1-上是减函数D ．()y f x =在区间(],1-∞-上是减函数19、函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论中正确的是（） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭20、设函数()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，()23xf x =-，则()2f -等于（）A ．1-B ．114C ．1D ．114-21、设函数)(x f 是R 上的偶函数,且在()+∞,0上是减函数,且12210x x x x >>+，,则 A.)()(21x f x f > B.)()(21x f x f = C.)()(21x f x f < D.不能确定23、已知函数=)(x f ⎩⎨⎧<-≥-0,10,sin x e x x x x ，若)()2(2a f a f >-，则实数a 取值范围是A. (1,-∞-)),2(+∞B. (1,2-)C. (2,1-)D. (2,-∞-)+∞,1( )24、已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的偶函数，且对任意x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，那么)25(f =A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题：24、设()y f x =是R 上的减函数，则()3y fx =-的单调递减区间为25、已知()f x 为偶函数，()g x 是奇函数，且()f x ()22g x x x -=+-，则()f x 、()g x 分别为 ; 26、定义在()1,1-上的奇函数()21x mf x x nx +=++，则常数m = ，n = ；28、．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+.(1)求证: ()f x 是奇函数;(2)若(3),(24)f a a f -=试用表示.29、若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⑴求()1f 的值；⑵若()61f =，解不等式()132f x f x ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．30．函数()f x 对于x>0有意义，且满足条件(2)1,()()(),()f f xy f x f y f x ==+是减函数。

高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)

高中数学必修1函数单调性和奇偶性专项练习(含答案)高中数学必修1 第二章函数单调性和奇偶性专项练一、函数单调性相关练题1、（1）函数f(x)＝x－2，x∈{1，2，4}的最大值为3.在区间[1，5]上的最大值为9，最小值为-1.2、利用单调性的定义证明函数f(x)＝(2/x)在（-∞，0）上是减函数。

证明：对于x1<x2.由于x1和x2都小于0，所以有x1<x2<0，因此有f(x2)-f(x1)=2/x1-2/x2=2(x2-x1)/x1x2<0.因此，f(x)在（-∞，0）上是减函数.3、函数f(x)＝|x|＋1的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，0]和[0，∞).4、函数y=-x+2的图像是一条斜率为-1的直线，单调区间为(-∞，+∞).5、已知二次函数y＝f(x)(x∈R)的图像是一条开口向下且对称轴为x＝3的抛物线，比较大小：(1)f(6)与f(4)；(2)f(2)与f(15).1) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x>3，f(x)是减函数，对于x<3，f(x)是增函数。

因此，f(6)<f(4).2) 因为f(x)是开口向下的抛物线，所以对于x3，f(x)是增函数。

因此，f(2)>f(15).6、已知y＝f(x)在定义域(-1，1)上是减函数，且f(1-a)<f(3a-2)，求实数a的取值范围.因为f(x)在(-1，1)上是减函数，所以对于0f(3a-2)。

因此，实数a的取值范围为0<a<1.7、求下列函数的增区间与减区间：1) y=|x^2+2x-3|的图像是一条开口向上的抛物线，单调区间为(-∞，-3]和[1，+∞).2) y=1-|x-1|的图像是一条V型曲线，单调区间为(-∞，1]和[1，+∞).3) y=-x^2-2x+3的图像是一条开口向下的抛物线，单调区间为(-∞，-1]和[1，+∞).4) y=1/(x^2-x-20)的图像是一条双曲线，单调区间为(-∞，-4]和[-1，1]和[5，+∞).8、函数f(x)=ax^2-(3a-1)x+a^2在[1，+∞)上是增函数，求实数a的取值范围.因为f(x)在[1，+∞)上是增函数，所以对于x>1，有f(x)>f(1)。

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性-高一数学必修一专题复习训练含答案一、选择题1．设()f x 是定义在(),-∞+∞上的单调递减函数，且()f x 为奇函数.若()11f =-，则不等式()121f x -≤-≤的解集为A . []1,1-B ． []0,4C ． []2,2-D ． []1,3【答案】D2．若函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则实数a 的值为（）A . 2B . 4C . 6D . 8【答案】C【解析】函数()f x 的定义域为()32,1a a -+，且函数()1f x -为奇函数，则函数()f x 的图象关于点()1,0对称，故有()132{3212a a a a +>--++＝，求得2a =，故选A .3．已知()f x 是偶函数，它在[)0,+∞上是减函数，若()()lg 1f x f > ，则x 的取值范围是（） A . 1,110⎛⎫⎪⎝⎭ B . 1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭ C . ()10,1,10⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭D . ()()0,110,⋃+∞ 【答案】B【解析】试题分析：偶函数()f x 在[)0,+∞上是减函数，则在(],0-∞上为增函数，由()()lg 1f x f >可知，得，故选项B 正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y 轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．已知函数()y f x =是R 上的偶函数，且在[)0+∞，上单调递增，则下列各式成立的是（）A . ()()()201f f f ->>B . ()()()102f f f >>-C . ()()()210f f f ->>D . ()()()120f f f >->【答案】A【解析】因为函数()y f x =是R 上的偶函数，所以()()22f f -= ，又因为()f x 在[)0+∞，上单调递增，所以()()()201f f f >>，故()()()201f f f ->>. 本题选择A 选项. 5．已知定义域为R 的偶函数在上是减函数，且，则不等式的解集为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】6．已知偶函数f （x ）在[0，+∞）单调递增，若f （2）=﹣2，则满足f （x ﹣1）≥﹣2的x 的取值范围是（） A ．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞） B ．（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞） C ． [﹣1，﹣3] D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B 【解析】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选：B ．7．若偶函数()f x 在(],0-∞上单调递减, ()()3224log 3,log 5,2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则满足( )A . a b c <<B . b a c <<C . c a b <<D . c b a <<【答案】B8．已知函数()f x 为定义在[]2,1b b -上的偶函数，且在[]0,1b -上单调递增，则()()1f x f ≤的解集为（）A . []1,2B . []3,5C . []1,1-D . 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由函数奇偶性的定义可知2101b b b +-=⇒=-，所以函数()f x 在[]0,2单调递增，则不等式可化为1{1102x x x ≤⇒-≤≤≤≤，应选答案C .9．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上有单调性，且()()21f f -<，则下列不等式成立的是（）A . ()()()123f f f -<>>>>> ⎪⎝⎭，故选D .10.若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】11.定义在的函数，已知是奇函数，当时，单调递增，若且，且值（）．A ．恒大于B ．恒小于C ．可正可负D ．可能为【答案】A【解析】由是奇函数，所以图像关于点对称，当时，单调递增，所以当时单调递增，由，可得，，由可知，结合函数对称性可知12.已知是定义在上的奇函数，对任意的，均有.当时，，则（）A． B． C． D．【答案】C【解析】f（）=f（）=14，∵＜＜，二、填空题13．设f（x）是R上的偶函数，且在[0，+∞）上单调递增，则f（–2），f（–π），f（3）的大小顺序是__________．【答案】f（–π）>f（3）>（–2）【解析】由已知是上的偶函数，所以有，，又由在上单调增，且，所以有，所以π），故答案为：.14.已知偶函数在区间上单调增加，则满足的的取值范围是__________．【答案】【解析】∵是偶函数，15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，且()10f =. 若实数a 满足()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭, 则实数a 的取值范围是____________．【答案】][10,1,55⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【解析】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数, 在区间(),0-∞上单调递减，根据对称性，所以函数()f x 在区间()0,+∞上也单调递减．又易推出()()()1100f f f -===．从而根据函数()f x 的性质作出图象, 即可求得()0f x ≥的解集为][(,10,1⎤-∞-⋃⎦．()515log log f a f a ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于()5log 0f a ≥，故5log 1a ≤-或50log 1a ≤≤，解得105a <≤或15a ≤≤． 16.定义在区间[]2,2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,若()()1g m g m -<，则实数m 的取值范围是____________．【答案】1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【解析】不等式等价于：212 {221mmm m-≤-≤-≤≤->，求解关于实数m的不等式组可得实数m的取值范围是1 1,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭.17．设偶函数在上为减函数，且，则不等式的解集为_________；【答案】【解析】18．已知函数是定义在区间上的偶函数，它在区间上的图像是如图所示的一条线段，则不等式的解集为__________.【答案】【解析】由题意，函数过点，，∴，又因为是偶函数，关于轴对称，所以，即，又作出函数在上的图像，当的时候，的图像恒在的上方，当的时候，令，，即当的时候，满足，即.故答案为：. 19．定义在上的奇函数是增函数，且，则的取值范围为__________．【答案】【解析】20.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-.若1132f ⎛⎫-=⎪⎝⎭， 182log 1f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，则x 的取值范围为__________．【答案】()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭【解析】定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且对于任意1x ， [)20,x ∈+∞， 12x x ≠，均有()()21120f x f x x x ->-， ()f x ∴ 在()0,+∞ 上递减，在(),0-∞ 上递增，12811112log ,log 2333f x f f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<=--<- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，因为()f x 是偶函数，所以2211log ,log 133x x ->->或2log 1x <- ，可得2x >或102x << ，故答案为()10,2,2⎛⎫⋃+∞ ⎪⎝⎭.三、解答题21.已知函数()y f x =是定义在()0,+∞上的增函数，对于任意的0,0x y >>，都有()()()f xy f x f y =+，且满足()21f =.（1）求()()14f f 、的值；（2）求满足()()32f x f x +->的x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =， ()42f =；（2）4x >. 【解析】22.定义在R 上的函数()y f x =对任意的,x y R ∈，满足条件： ()()()1f x y f x f y +=+-，且当0x >时， ()1f x >. （1）求()0f 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的单调增函数；（3）解关于t 的不等式()221f t t -<.【答案】(Ⅰ) ()01f =；(Ⅱ)见解析；（Ⅲ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【解析】23.若()f x 是定义在()0,+∞上的增函数，且对一切x ， 0y >，满足()()x f f x f y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求()1f 的值；（2）若()61f =，解不等式()1323f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭．【答案】（1）0；（2）()3,9- 【解析】24.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数，且()11f =，若m ， []1,1n ∈-， 0m n +≠时，有()()0f m f n m n+>+.（1）证明()f x 在[]1,1-上是增函数；（2）解不等式1121f x f x ⎛⎫⎛⎫+< ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭；（3）若()221f x t at ≤-+对任意[]1,1x ∈-， []1,1a ∈-恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）增函数；（2）3,12⎡⎫--⎪⎢⎣⎭；（3）0t =或2t ≥或2t ≤-．【解析】∵()f x 在[]1,1-上是增函数∴()()max 11f x f == ∴2221120t at t at -+≥⇒-≥对任意[]1,1a ∈-恒成立．令()22g a at t =-+，则0{00t =≥恒成立或()20{120t g t t >=-+≥或()20{120t g t t <-=+≥，∴0t =或2t ≥或2t ≤-∴实数t 的取值范围为0t =或2t ≥或2t ≤-．25.函数()f x 的定义域为{|0}D x x =≠，且满足对任意12,x x D ∈，有()()1212f x x f x x ⋅=+）（. （1）求()1f 的值；（2）判断()f x 的奇偶性并证明你的结论；（3）如果()41f =， ()12f x -<，且()f x 在()0,+∞上是增函数，求x 的取值范围. 【答案】（1）()10f =；（2）见解析：（3）()()15,11,17-⋃. 【解析】点睛：本题给出抽象函数，求特殊的函数值、讨论函数的奇偶性，并依此解关于x 的不等式．着重考查了函数的单调性、奇偶性和绝对值不等式的解法等知识，属于中档题．运用“赋值法”进行求值和化简，是解决抽象函数问题的一般方法.26.设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）(1,133-+）. 【解析】点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数()f x 在区间上单调递增，则()()1212,,x x D f x f x ∈>且时，有12x x >，事实上，若12x x ≤,则()()12f x f x ≤，这与()()12f x f x >矛盾，类似地，若()f x 在区间上单调递减，则当()()1212,,x x D f x f x ∈>且时有12x x <；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系. 27.已知函数的定义域为，若对于任意的实数，都有，且时，有.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）判断并证明函数的单调性；（3）设，若对所有，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）奇函数，（2）单调递增函数，（3）或.【解析】（1）奇函数，证明如下：由题意知，令，得，所以；点睛：抽象函数单调性的证明绝大多数情况下都是用“定义法”去证，其步骤是：（1）取值：在给定区间上任取，且；（2）作差：将变形整理为其结果为因式乘积的形式或能够判断的符号的形式；（3）判断的符号；（4）根据定义得出结论.28．已知函数是定义在上的不恒为零的函数，对于任意非零实数满足，且当时，有.（Ⅰ）判断并证明的奇偶性；（Ⅱ）求证：函数在上为增函数，并求不等式的解集.【答案】(1)见解析;(2).【解析】分析：⑴先求出，继而，令代入得⑵构造，然后利用已知代入证明详解：（Ⅰ）是偶函数。

抽象函数的奇偶性_单调性问题

练习：函数f(x)对任意 a, b R，都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1,并且当 x>0 时，都有f(x)>1, 求证：f(x)是R上的增函数。
3.抽象函数奇偶性证明例4：函数f(x)的定义域为全体实数，且f(Байду номын сангаас)不恒等于0，若对任意实数a,b，都有 f(a+b)=f(a)+f(b).求证：f(x)为奇函数。
练习：函数f(x)的定义域为全体实数,且f(x)不恒为0，若对任意实数a,b都有f(a+b)+f(ab)=2f(a)f(b). 求证：f(x)为偶函数。
（2）已知函数f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域。一般地，若函数f(g(x))的定义域为[a,b], 则函数f(x)的定义域就是函数g(x)在区间[a,b] 上的取值范围（即函数g(x)的值域）。
例2：已知函数y=f(2x+1)的定义域为[1,2],求函数y=f(x)的定义域。
2. 抽象函数单调性的证明例3：已知函数f(x)对任意 x, y R ,总有 f (x) f ( y) f (x y)，且当x>0时，都有f(x)<0. 求证：f(x)是R上的减函数。
1. 抽象函数的定义域求法
（1）已知函数f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域一般地，若f(x)的定义域为[a,b]，则f(g(x)) 的定义域是指满足不等式 a g ( x) b 的x的取值范围，即不等式 a g ( x) b 的解集。例1：已知函数f(x)的定义域为[1,2],求函数 y=f(2x+1)的定义域。

函数单调性及奇偶性练习(含答案)(精品文档)_共4页

1、已知函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］，则（） A ．，b ＝0 B ．a ＝－1，b ＝0 C ．a ＝1，b ＝0 D ．a ＝3，b ＝031=a 2、已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 2－2x ，则f （x ）在R 上的表达式是（）A ．y ＝x （x －2）B ．y＝x （｜x ｜－1） C ．y ＝｜x ｜（x －2）　D ．y ＝x （｜x ｜－2）3、函数是（）1111)(22+++-++=x x x x x f A ．偶函数 B ．奇函数 C ．非奇非偶函数 D ．既是奇函数又是偶函数4、若，g （x ）都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，)(x ϕ2)()(++=x bg a x f ϕ则f （x ）在（－∞，0）上有（）A ．最小值－5B ．最大值－5C ．最小值－1D ．最大值－35、已知是偶函数，，当时，为增函数，若，且()f x x R ∈0x >()f x 120,0x x <>，12||||x x <则（）. .A 12()()f x f x ->-B 12()()f x f x -<- . . C 12()()f x f x ->-D 12()()f x f x -<-6、定义在（－１，１）上的函数ｆ（ｘ）是奇函数，并且在（－１，１）上ｆ（ｘ）是减函数，求满足条件ｆ（１－ａ）＋ｆ（１－ａ２）＜０的ａ取值范围.　（）　Ａ．（０，１）Ｂ．（－２，１）Ｃ．［０，１］Ｄ．［－２，１］7、已知函数ｆ（ｘ)是定义在区间［－２，２］上的偶函数，当ｘ∈［０，２］时，ｆ(ｘ)是减函数，如果不等式ｆ（１－ｍ）＜ｆ（ｍ）成立，求实数ｍ的取值范围.（）Ａ．Ｂ．［１，２］Ｃ．［－１，０］Ｄ．（）1[1,2-11,2-8、已知函数⎩⎨⎧<-≥+=0,40,4)(22x x x x x x x f 若2(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是( ) A (,1)(2,)-∞-⋃+∞ B (1,2)- C (2,1)- D (,2)(1,)-∞-⋃+∞9、已知函数f （x ）为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f （x ）＝0的所有实根之和为________10、已知偶函数y ＝f(x)在区间[0,4]上是单调增函数，则f(－3)与f(π)的大小关系是__________11、若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意x 1、x 2∈R 有f(x 1＋x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)＋1，则下列说法一定正确的序号是__________．①f(x)为奇函数；②f(x)为偶函数；③f(x)＋1为奇函数；④f(x)＋1为偶函数12、若是奇函数，则___(1)()()x x a f x x++=a =13、已知f(x)是奇函数，定义域为{x|x R 且x 0},又f(x)在（0，+）上是增函数，且∈≠∞f(-1)=0,则满足f(x)>0的x 取值范围是.________14、已知是偶函数,当时,;若当时,)(x f y =0>x 2)1()(-=x x f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∈21,2x 恒成立,则的最小值为m x f n ≤≤)(n m -15、设函数y ＝f （x ）（x R 且x ≠0）对任意非零实数x 1、x 2满足∈f （x 1·x 2）＝f （x 1）＋f （x 2），求证f （x ）是偶函数．16、设函数f(x)=是定义在（－1，1）上的奇函数，且f()=，（1）确定函数f(x)21x b ax ++2152的解析式；（2）用定义证明f(x)在（－1，1）上是增函数；（3）解不等式f ( t －1)+ f (t) < 0。

必修一数学抽象函数习题精选含答案

抽象函数单调性和奇偶性1.抽象函数的图像判断单调性例1.如果奇函数f(x)在区间［3, 7］上是增函数且有最小值为5,那么f (x)在区间［7，3］上是()A.增函数且最小值为5B.增函数且最大值为5C.减函数且最小值为 5D.减函数且最大值为5分析：画出满足题意的示意图，易知选Bo2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在R上的偶函数f (x)满足f(2) 0，并且f (x)在(，0)上为增函数。

若(a 1)f(a) 0 ,则实数a的取值范围二、抽象函数的单调性和奇偶性1.证明单调性例3.已知函数f(x)= ,且f(x),g(x)定义域都是R,且g(x)>0,g(x) 1g(1) =2,g(x) 是增函数.g(m)g(n) g(m n)(m,n R)求证：f(x)是R上的增函数.解:设X1>X2因为，g(x)是R上的增函数,且g(x)>0。

故g(x 1) > g(x 2) >0 o g(X1)+1 > g(x 2)+1 >0 ,2 22> 2>0g(X2)1 g(xj 1g(x2) 1 g(xj 1>0 o增函数。

2.证明奇偶性例5.已知f(x)的定义域为R,且对任意实数x,y 满足f(xy) f(x) 求证：f(x)是偶函数。

分析：在 f(xy) f (x) f(y)中，令 x y 1，得 f(1) f (1) f (1) f (1) 0 令 x y 1,得 f (1) f( 1) f( 1) f( 1) 0于是 f( x) f( 1 x) f( 1) f (x) f (x)，故 f (x)是偶函数。

三、求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。

f(x 1)- f(x 2)=皿Jg(xj 1gg) 1 g%) 122=1——2——(1-2)g(xj 1 gg) 1>0 g(xj 1可以推出: f(x 1)>f(x 2)，所以 f(x)是 R 上的上为减函数。

抽象函数单调性及奇偶性练习及答案

1、已知的定义域为R，且对任意实数x，y满足，求证：是偶函数。

2、已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意x,y,f(x)都满足f(xy)=yf(x)+xf(y).(1)求f(1),f(-1)的值;(2)判断f(x)的奇偶性,并说明理由.3、函数f(x)对任意x､y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时, <0, f(3)=-2.(1)判断并证明f(x)在区间(-∞,+∞)上的单调性;(2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.4、已知函数f(x)在(－1，1)上有定义，f()=－1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y∈(－1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－1，1)上单调递减5、已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足: .(1)求的值;(2)判断的奇偶性,并证明你的结论;6、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。

7、已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时, >0.(1)求;(2) 判断函数的单调性,并证明.8、函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③.(1)求的值;(2)求证: 在R上是单调减函数;9、已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明: 在R上单调递减;10、函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。

（1）证明：；（2）若成立，求x的取值范围。

11、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（3）求证：f(0)=1；（4）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。

【高考数学】抽象函数的奇偶性_单调性问题

1 ) f( ) n 2 ( n 1) ( n 2) 1 3n 1
n 1 2n 3 2
思考题：设函数y=f(x)的定义域为Ｒ，当x>0时,f(x)>1;对任意的x,y∈R有f(x+y)=f(x)f(y)成立， 1 解不等式 f ( x)
f ( x 1)
解： x∈R由已知得
y
(2)当f(3)=1时f(a)>f(a-1)+2.求a取值范围;
例4，已知y=f(x)是定义在Ｒ上的函数当x>0时,f(x)>0且f(x-y)=f(x)-f(y), 求证:y=f(x)是增函数证明:设任意x1,x2Ｒ且x1<x2即x2-x1>0 由已知得f(x2-x1)>0 即f(x2-x1)= f(x2)-f(x1)>0 所以y=f(x)是增函数
1 1 1 f ( ) f ( ) f ( 2 ) 5 11 n 3n 1 1 1 1 1 1 1 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 2 3 3 4 n 1 n2 1 1 n 1 f ( ) f ( ) f( ) f( ) 2 n2 2n 3 2
；
f ( x2 )
并写出一个满足以上条件的函数.
解：（Ⅰ）令 x1 x2 0 ，则 f(0)=f(0)f(0)f(0)[f(0)-1]=0…..2分（直接得出f(0)=1给2分）下证f(0)≠0，假设有f(x0)=0，则f(x0+2)=f(x0)f(2)=0，f(x0+3)=f(x0)f(3)=0这样 x0+2≠x0+3，但有f(x0+2)=f(x0+3)=0与已知条件矛盾，∴f(x0)≠0即f(0)=1 ……..4分 x x x 2 （Ⅱ)又， f ( x) f ( ) f ( ) [ f ( )] 0 ….3分

抽象函数奇偶单调周期综合压轴题训练(多选题)上-2023届高三数学微专题复习

抽象函数奇偶单调周期综合压轴题（多选题）1：已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其导函数分别为'()f x ，'()g x ，若()()f x f x =-，(1)0g -=，2()'(1)f x g x x +-=，'(1)()1f x g x x -+=-，则（）A ．()g x 是奇函数B ．()g x 是周期函数C ．(6)32(2)f f =+D ．(6)3(2)f f ''=2：已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不间断，当0x ≥时，()()121f x f x +=-，且当0x >时，()()110f x f x '++'-<，则下列说法正确的是（）A ．()10f =B ．()f x 在(],1-∞上单调递增C ．若12x x <，()()12f x f x <，则122x x +>D ．若1x ，2x 是()()cos g x f x x π=-在区间()0,2内的两个零点，且12x x <，则()()2112f x f x <<3：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(,0]-∞单调递减，则（）A ．()()()()1 2f f f f <B ．()()()()1 2f g f g <C ．()()()()1 2g f g f <D ．()()()()1 2g g g g <4：已知函数()f x 的定义域为1,2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭R 为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有()()233f x f x -=，则（）A ．()()1f x f x +=B ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．()2f x +为偶函数D ．12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数5：对于定义在区间D 上的函数()f x ，若满足:1x ∀，2x D ∈且12x x <，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 为区间D 上的“非减函数”，若()f x 为区间[]0,2上的“非减函数”，且()22f =，()()22f x f x +-=，又当3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()21f x x ≤-恒成立，下列命题中正确的有（）A ．()11f =B ．03,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()01f x <C ．12257443184f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．10,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()()()2f f x f x ≤-+6：已知函数()4f x +是定义在R 上的奇函数，函数()2g x +是定义在R 上的偶函数，且满足()()()21g x x f x =--，()()3426g g =+=则（）A ．()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()f x 是周期为3的周期函数．C ．()10f =D ．()202618i f i ==∑．7：已知连续函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()'g x f x =，若32'23g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，3224f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则（）A ．()'30g =B ．33'42g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()'g x 在()0,4上至少有2个零点D ．2024133'303644k g k g k =⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑8：已知函数()f x 及其导函数'()f x 的定义域均为R ，记()'()g x f x =．若(21)2f x x +-与(2)g x +均为偶函数，则（）A．(1)1g =B．函数(1)f x x+的图象关于点(0,1)对称C．函数()g x 的周期为2D．()()202411110k g k g k =-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑9：已知连续函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()'g x f x =，若32'23g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，3224f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则（）A ．()'30g =B ．33'42g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()'g x 在()0,4上至少有2个零点D ．2024133'303644k g k g k =⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑10：已知定义域为R 的函数()f x 在(]1,0-上单调递增，()()22f x f x +=-，且图象关于()30，对称，则()f x （）A ．周期4T =B ．在(0,2]单调递减C ．满足()()()202120222023f f f <<D ．在[]0,2023上可能有1012个零点11：设函数()f x 的定义域为R ，(21)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[0,1]x ∈时，()x f x a b =+．若(0)(3)1f f +=-，则（）A．2b =-B．(2023)1f =-C．()f x 为偶函数D．()f x 的图象关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称12：已知函数()f x 定义域为R ，且(0)0,(1)1f f x =-+为奇函数，下列说法中正确的是（）A.函数()f x 对称中心为(1,1)B.(1)10f -+=C.(3)(1)2f f +-=-D.(3)(1)2f f -+=-抽象函数奇偶单调周期综合压轴题（多选题）1：已知定义在R 上的函数()f x ，()g x ，其导函数分别为'()f x ，'()g x ，若()()f x f x =-，(1)0g -=，2()'(1)f x g x x +-=，'(1)()1f x g x x -+=-，则（）A ．()g x 是奇函数B ．()g x 是周期函数C ．(6)32(2)f f =+D ．(6)3(2)f f ''=解析：由()()f x f x =-知函数()f x 为偶函数，又2(1)()g x x f x '-=-，所以(1)g x '-关于y 轴对称，所以()g x '关于直线1x =-对称，则()g x 关于点(1,0)-中心对称①；由()f x 为偶函数知'()f x 为奇函数，则'(1)f x -关于点(1,0)中心对称，又()(1)'(1)g x x f x =---，所以()g x 关于点(1,0)中心对称②，由①②得函数()g x 为周期函数，B 正确，4T =为()g x 的一个周期，则(1)0(3)2'(2)g g f -===-，所以'(2)2f =，(7)06'(6)g f ==-，'(6)6f =，所以'(6)3'(2)f f =，D 正确；由()g x 周期为4知4T =也是'(1)g x -的一个周期，所以'(1)'(5)g g =，即222(2)6(6)f f -=-，即(6)32(2)f f =+，C 正确．答案为：BCD ．2：已知定义在R 上的函数()f x 的图象连续不间断，当0x ≥时，()()121f x f x +=-，且当0x >时，()()110f x f x '++'-<，则下列说法正确的是（）A ．()10f =B ．()f x 在(],1-∞上单调递增C ．若12x x <，()()12f x f x <，则122x x +>D ．若1x ，2x 是()()cos g x f x x π=-在区间()0,2内的两个零点，且12x x <，则()()2112f x f x <<解析：对于A ，在()()121f x f x +=-中令0x =，则()()10210f f +=-，所以()10f =，故A 正确；对于B ，当0x >时，()()121f x f x +=-，对()()121f x f x +=-两边求导，则()()()()121121f x f x f x '+='--=-'-，所以0x >时，()()()()()1121110f x f x f x f x f x '++'-=-'-+'-=-'-<，所以()10f x '->，令1x μ-=，1μ∴<，()0f μ'>，所以()f x 在(],1-∞上单调递增，所以B 对；对于C ，由B 知，()f x 在(],1-∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，由12x x <，()()12f x f x <知1x ，2x 不可能均大于等于1，否则211x x >≥，则()()12f x f x >，这与条件矛盾，舍去．①若121x x <≤，则()()12f x f x <，满足条件，此时，122x x +<；②若121x x <<，则221x -<，而()()2222f x f x =-，则()()()222220f x f x f x --=-<，所以()()()()221222f x f x f x f x <-⇒<-，而1x ，221x -<，所以121222x x x x <-⇒+<，C 错；对于D ，由()f x 在(],1-∞上单调递增，()1,+∞上单调递减，知()()10f x f ≤=，注意到11022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()1110g f =+>，33022g f ⎛⎫⎛⎫=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，231,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若()()12f x f x <，则122x x +<，则()()111222cos cos cos cos f x x x x f x x ππππ=⎧⎪⇒<⎨=⎪⎩，（*）所以()()121212222cos cos 2cos x x x x x x x πππππ<-⇒<-⇒>-=（1x π ，()22,2x πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭），这与（*）矛盾，舍去．所以()()()()21211f x f x f x f x >⇒>，在0x ≥时，(1)2(1)f x f x +=-中，令()()111122x x f x f x =-⇒-=，而由122122x x x x +<⇒<-，所以()()()()212122f x f x f x f x >-⇒>，所以()()212f x f x <，故D 正确．故选:ABD ．3：已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(,0]-∞单调递减，则（）A ．()()()()1 2f f f f ，故C 错误；因为()()1,2f f 符号不定，故()()()()1 2,f f f f 无法判断大小，故A 错误；又()()()0012g g g =>>，所以()()()()1 2f g f g <，()()()()1 2g g g g <，故B 正确，D 正确；故选BD ．4：已知函数()f x 的定义域为1,2f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭R 为奇函数，且对于任意x ∈R ，都有()()233f x f x -=，则（）A ．()()1f x f x +=B ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．()2f x +为偶函数D ．12f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数解析：由()()233f x f x -=，得()()2f x f x -=.由12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数，得1122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()1f x f x =--，所以()()21f x f x -=--，即()()1f x f x +=-，所以()()2f x f x +=，故选项A 错误；由()()1f x f x =--，得102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由()()1f x f x +=-，得1122f f ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故选项B 正确；由()()()()22f x f x f x f x +=-=，，得()()22f x f x -=+，故选项C 正确；由()()()()12f x f x f x f x =--+=，，得()()1f x f x =---，则1122f x fx ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确.故选BCD.5：对于定义在区间D 上的函数()f x ，若满足:1x ∀，2x D ∈且12x x <，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 为区间D 上的“非减函数”，若()f x 为区间[]0,2上的“非减函数”，且()22f =，()()22f x f x +-=，又当3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()()21f x x ≤-恒成立，下列命题中正确的有（）A ．()11f =B ．03,22x ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，()01f x <C ．12257443184f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．10,2x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦，()()()2f f x f x ≤-+解析：对于A ，由()()22f x f x +-=，令1x =，则有()()()11211f f f +=⇒=，故A 正确；对于B ，当032x =时，3321122f ⎛⎫⎛⎫≤-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()3112f f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，所以312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由题意3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()312f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭，故B 不正确；对于C ，由()()22f x f x +-=，令14x =时，则17244f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令23x =时，24233f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由B 知，()11f =，312f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，由题意可知当312x ≤≤时，()1f x =，因为2531182<<，43132<<，所以4251318f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2252318f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12257443184f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，当0x =时，()()()02200f f f +=⇒=，当12x =时，13121222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⇒= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()01f x ≤≤，又()11f =，所以当112x ≤≤时，()1f x =，即当01x ≤≤时，()01f x ≤≤，所以()()[]0,1f f x ∈，而()[]21,2f x -∈，所以()()()2f f x f x ≤-+，故D 正确；综上，选ACD ．6：已知函数()4f x +是定义在R 上的奇函数，函数()2g x +是定义在R 上的偶函数，且满足()()()21g x x f x =--，()()3426g g =+=则（）A ．()f x 的图象关于点()1,0对称B ．()f x 是周期为3的周期函数．C ．()10f =D ．()202618i f i ==∑．解析：因为函数()2g x +是定义在R 上的偶函数，所以()g x 关于直线2x =对称，所以()()4g x g x =-所以()()()()2123=--x f x x f x --，所以()()130+-f x f x -=，所以()()20+-f x f x =，所以()f x 的图象关于点()1,0对称，故A 正确，又函数()4f x +是定义在R 上的奇函数，所以()()440f x f x ++-=，即()()620f x f x ++-=，所以()()6f x f x =+，所以()f x 是周期为6的周期函数，在()()()21g x x f x =--中，当3x =时，得()()236f g ==；当4x =时，得()()4322g f ==；又由()()20+-f x f x =得()()020+f f =，()()530+f f -=，所以()()()6026=-f f f ==-，()()()5132=-f f f =-=-，则()06=f -，()32f =，因为()()30f f ≠，故B 不正确，在()()440f x f x ++-=中，令0x =，得()40f =；在()()20+-f x f x =中，令1x =，得()10f =，故C 正确；所以()()()610620260i f i ==++++-+-=∑，所以()()()()()2026112348i f i f f f f ==+++=∑故D 正确，故选ACD7：已知连续函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()'g x f x =，若32'23g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，3224f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则（）A ．()'30g =B ．33'42g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()'g x 在()0,4上至少有2个零点D ．2024133'303644k g k g k =⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑解析：由题意得3344f x x f x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两边求导得332'11'44f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33244f x f x ''⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴的图象关于点3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭对称．3'22g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 为奇函数，则3232''02323g x g x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，'()y g x ∴=的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，'()y g x =的图象关于直线34x =对称．3∴为()g x 和'()g x 的一个周期，3'(0)'02g g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，'(3)'(0)0g g ∴==，所以A 正确；3310'42g g ⎛⎫⎛⎫=≠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 错误；由3'(0)''(3)02g g g ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，得()g x 在(0,4)上至少有2个零点．所以C 正确；314g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，周期为3，()g x 的图象关于32x k =对称，314g k ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，3'4g t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3'02g ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，9'4g t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，9'04g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，202413'04k g k =⎛⎫∴= ⎪⎝⎭∑，2024133'202444k g k g k =⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑，所以D 错误．答案为：AC ．8：已知函数()f x 及其导函数'()f x 的定义域均为R ，记()'()g x f x =．若(21)2f x x +-与(2)g x +均为偶函数，则（）A．(1)1g =B．函数(1)f x x+的图象关于点(0,1)对称C．函数()g x 的周期为2D．()()202411110k g k g k =-++=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑解析：因为(21)2f x x +-为偶函数，所以(1)f x x +-为偶函数，所以(1)1g x +-为奇函数，故()g x 关于()1,1对称，A 正确；因为(1)f x x +-为偶函数，所以(1)f x x x +-为奇函数，则(1)f x x+的图象关于点(0,1)对称，B 正确；因为(2)g x +为偶函数，所以()g x 关于2x =对称，结合()g x 关于()1,1对称，可知()g x 的周期为4，C 错误；由(1)1g =且()g x 关于2x =对称，知(3)1g =，又()g x 的周期为4，可知(21)1g k +=，k ∈N ．由()g x 关于()1,1对称，又关于2x =对称，可知()g x 也关于()3,1对称，所以(2)(4)2g g +=．因此()()()()()()()()202411112214120241k g k g k g g g =⎡⎤-++=-+-+⋅⋅⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦∑=()()506242g g +-⎡⎤⎣⎦=0，所以D 正确．答案为：ABD．9：已知连续函数()f x 及其导函数()'f x 的定义域均为R ，记()()'g x f x =，若32'23g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为奇函数，3224f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，则（）A ．()'30g =B ．33'42g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()'g x 在()0,4上至少有2个零点D ．2024133'303644k g k g k =⎡⎤⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑解析：由题意得3344f x x f x x ⎛⎫⎛⎫+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，两边求导得332'11'44f x f x ⎛⎫⎛⎫+-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33244f x f x ''⎛⎫⎛⎫++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()g x ∴的图象关于点3,14⎛⎫⎪⎝⎭对称．3'22g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 为奇函数，则3232''02323g x g x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，'()y g x ∴=的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，'()y g x =的图象关于直线34x =对称．3∴为()g x 和'()g x 的一个周期，3'(0)'02g g ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，'(3)'(0)0g g ∴==，所以A 正确；3310'42g g ⎛⎫⎛⎫=≠= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 错误；由3'(0)''(3)02g g g ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，得()g x 在(0,4)上至少有2个零点．所以C 正确；314g ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，周期为3，()g x 的图象关于32x k =对称，314g k ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，3'4g t ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3'02g ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，9'4g t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，9'04g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，202413'04k g k =⎛⎫∴= ⎪⎝⎭∑，2024133'202444k g k g k =⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑，所以D 错误．答案为：AC ．10：已知定义域为R 的函数()f x 在(]1,0-上单调递增，()()22f x f x +=-，且图象关于()30，对称，则()f x （）A ．周期4T =B ．在(0,2]单调递减C ．满足()()()202120222023f f f <<D ．在[]0,2023上可能有1012个零点解析：A 选项:由()()22f x f x +=-知()f x 的对称轴为2x =，且()()4f x f x +=-，又图象关于()30，对称，即()()33f x f x +=--，故()()6f x f x +=--，所以()()46f x f x -+=+，即()()2f x f x -=+，所以()()4f x f x =+，()f x 的周期为4，A 正确；B 选项:因为()f x 在(]1,0-上单调递增，4T =，所以()f x 在(]3,4上单调递增，又图象关于()30，对称，所以()f x 在(]2,3上单调递增，因为关于2x =对称，所以()f x 在(]1,2上单调递减，()()130f f ==，故()f x 在(]0,2单调递减，B 正确；C 选项:根据周期性，()()20211f f =，()()20222f f =，()()20233f f =，因为()f x 关于2x =对称，所以()()130f f ==，()()21f f <，故()()()202220212023f f f <=，C 错误；D 选项:在[)0,4上，()()130f f ==，()f x 有2个零点，所以()f x 在[)0,2020上有1010个零点，在[]2020,2023上有2个零点，故()f x 在[]0,2023上可能有1012个零点，正确，故选ABD ．11：设函数()f x 的定义域为R ，(21)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数，当[0,1]x ∈时，()x f x a b =+．若(0)(3)1f f +=-，则（）A．2b =-B．(2023)1f =-C．()f x 为偶函数D．()f x 的图象关于1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称解析：由(21)f x +为奇函数，(2)f x +为偶函数可知，()f x 既关于()1,0对称，也关于2x =对称，所以()f x 的周期为4．根据以上分析，得(1)0f a b =+=①，由于()f x 关于2x =对称，所以(3)0f =，又(0)(3)1f f +=-，所以0(0)1f a b =+=-②，由①②得2a =，2b =-，A 正确；()(2023)30f f ==，B 错误；()f x 既关于()1,0对称，也关于2x =对称，所以()f x 也关于0x =对称，()f x 为偶函数，C 正确；1212202f a b ⎛⎫=+=-≠ ⎪⎝⎭，D 错误．所以答案为：AC．12：已知函数()f x 定义域为R ，且(0)0,(1)1f f x =-+为奇函数，下列说法中正确的是（）A.函数()f x 对称中心为(1,1)B.(1)10f -+=C.(3)(1)2f f +-=-D.(3)(1)2f f -+=-解析：由(1)1f x -+为奇函数，则()f x 关于点（-1,-1）中心对称，所以()11f -=-，A 错误，B 正确；()()312f f -+=-，D 正确；C 错误；故选BD。

专题07 抽象函数的单调性和奇偶性-2018版高人一筹之高一数学特色专题训练含解析精品

专题7 抽象函数的单调性和奇偶性一、选择题1．【湖北省荆门市2016-2017学年期末】设错误！未找到引用源。

是定义在错误！未找到引用源。

上的单调递减函数，且错误！未找到引用源。

为奇函数.若错误！未找到引用源。

，则不等式错误！未找到引用源。

的解集为A. 错误！未找到引用源。

B．错误！未找到引用源。

C．错误！未找到引用源。

D．错误！未找到引用源。

【答案】D【解析】由题意可得错误！未找到引用源。

，不等式错误！未找到引用源。

可化为错误！未找到引用源。

，又因为错误！未找到引用源。

是定义在错误！未找到引用源。

上的单调递减函数，所以错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

，选D.2．【山东省烟台市2016-2017学年期末】若函数错误！未找到引用源。

的定义域为错误！未找到引用源。

，且函数错误！未找到引用源。

为奇函数，则实数错误！未找到引用源。

的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C3．【内蒙古赤峰市2016-2017学年期末】已知错误！未找到引用源。

是偶函数，它在错误！未找到引用源。

上是减函数，若错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的取值范围是（）A. 错误！未找到引用源。

B. 错误！未找到引用源。

C. 错误！未找到引用源。

D. 错误！未找到引用源。

【答案】B【解析】试题分析：偶函数错误！未找到引用源。

在错误！未找到引用源。

上是减函数，则在错误！未找到引用源。

上为增函数，由错误！未找到引用源。

可知，得，故选项B正确．考点：偶函数的单调性及其运用．【易错点睛】解答本题时考生容易错误的理解为：偶函数在整个定义域上的单调性是一致的，而列出不等式，解得，没有正确的选项可选．偶函数的图象关于y轴对称，则其在原点两侧对称区间的单调性也是不同的，即一侧为单调增函数，则对称的另一侧为单调减函数．只有清楚了函数的单调性，才能正确的列出不等式，进而求出正确的解．4．【海南省东方中学2016-2017学年期中】已知函数错误！未找到引用源。

函数的单调性和奇偶性_例题和练习_高中数学

函数的单调性和奇偶性经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数xx f 1)(=在(0，+∞)上的单调性. 证明：在(0，+∞)上任取x 1、x 2(x 1≠x 2)，令△x =x 2−x 1＞0那么∵x 1＞0，x 2＞0，∴01>x ，02>x ，021<-x x ，∴上式＜0，∴△y =f(x 2)−f(x 1)＜0∴xx f 1)(=在(0，+∞)上递减. 总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比拟两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：此题考察对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x 1，x 2是区间上的任意实数，且x 1＜x 2，那么∵0＜x 1＜x 2≤1 ∴x 1−x 2＜0，0＜x 1x 2＜1∵0＜x1x2＜1故，即f(x1)−f(x2)＞0∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断以下函数的单调区间；(1)y=x2−3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求以下函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(−1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x−1为增函数，在(−∞，0)与(0，+∞)为减函数，那么上为减函数；(3)定义域为(−∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(−∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为、外层函数；利用函数的单调性解决.关注：外层函数同向变化复合函数为增函数；外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比拟函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比拟f(a2−a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，那么.4. 求以下函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(−3，−2)∪(−2，1)；(2)y=x2−2x+3；1)x∈[−1，1]；2)x∈[−2，2].思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(−1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=−2x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 二次函数f(x)=x2−(a−1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值围；(2)f(2)的取值围. 解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22−2(a−1)+5=−2a+11又∵a≤2，∴−2a≥−4∴f(2)=−2a+11≥−4+11=7.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断以下函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2−4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|−|x−3| (5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进展判断.解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x−1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有−x∈R，且f(−x)=x2−4|x|+3=f(x)，那么f(x)=x2−4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(−x)=|−x+3|−|−x−3|=|x−3|−|x+3|=−f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=−x|x|+x∴f(−x)=−(−x)|−x|+(−x)=x|x|−x=−f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断以下函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|−|x−1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进展判断.解：(1)；(2)f(−x)=|−x+1|−|−x−1|=−(|x+1|−|x−1|)=−f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(−x)=(−x)2+(−x)+1=x2−x+1∴f(−x)≠−f(x)且f(−x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x＞0那么−x＜0，∴f(−x)=(−x)2+2(−x)−1=x2−2x−1=−(−x2+2x+1)=−f(x)任取x＜0，那么−x＞0 f(−x)=−(−x)2+2(−x)+1=−x2−2x+1=−(x2+2x−1)=−f(x)x=0时，f(0)=−f(0) ∴x∈R时，f(−x)=−f(x) ∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域一样，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数. 证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)那么F(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)−g(x)=−[f(x)+g(x)]=−F(x)-.G(−x)=f(−x)·g(−x)=−f(x)·[−g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7.f(x)=x5+ax3−b x−8，且f(−2)=10，求f(2).解：法一：∵f(−2)=(−2)5+(−2)3a−(−2)b−8=−32−8a+2b−8=−40−8a+2b=10∴8a−2b=−50 ∴f(2)=25+23a−2b−8=8a−2b+24=−50+24=−26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(−2)=−g(2) ∴f(−2)+8=−f(2)−8∴f(2)=−f(−2)−16=−10−16=−26.8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2−x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x＞0时，−y=(−x)2−(−x)即y=−x2−x又f(0)=0，，如图9. 设定义在[−3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a−1)＜f(a)时，求a的取值围.解：∵f(a−1)＜f(a) ∴f(|a−1|)＜f(|a|)而|a−1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出以下不等式，其中成立的是_________.①f(b)−f(−a)＞g(a)−g(−b)；②f(b)−f(−a)＜g(a)−g(−b)；-.③f(a)−f(−b)＞g(b)−g(−a)；④f(a)−f(−b)＜g(b)−g(−a).答案：①③.11. 求以下函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 函数f(x)=x2−2ax+a2−1.(1)假设函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，数a的取值围；(2)当x∈[−1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x−a)2−1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a＜−1时，如图1，g(a)=f(−1)=a2+2a2°当−1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=−13°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2−2a，如图13. 函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x−2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x−2)≤3可转化为：f[x(x−2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1−x2＜0，x1·x2＞0(1)当时0＜x1·x2＜1，∴x1·x2−1＜0∴f(x1)−f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2−1的符号确实定，如何分段.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x−a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x−a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x＜a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.学习成果测评根底达标一、选择题1．下面说确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．函数为偶函数，那么的值是( )A. B. C. D.4．假设偶函数在上是增函数，那么以下关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( ) A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．设是定义在上的一个函数，那么函数，在上一定是( )C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数.7．以下函数中，在区间上是增函数的是( )A．B．C．D．8．函数f(x)是定义在[−6，6]上的偶函数，且在[−6，0]上是减函数，那么( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(−3)−f(2)＜0C. f(−2)+f(−5)＜0D. f(4)−f(−1)＞0二、填空题1．设奇函数的定义域为，假设当时，的图象如右图，那么不等式的解是____________.2．函数的值域是____________.3．，那么函数的值域是____________.4．假设函数是偶函数，那么的递减区间是____________.5．函数在R上为奇函数，且，那么当，____________.三、解答题1．判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性.2．函数的定义域为，且同时满足以下条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值围.3．利用函数的单调性求函数的值域；4．函数.①当时，求函数的最大值和最小值；②数的取值围，使在区间上是单调函数.能力提升一、选择题1．以下判断正确的选项是( )A．函数是奇函数B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数2．假设函数在上是单调函数，那么的取值围是( )A．B．C．D．3．函数的值域为( )A．B．C．D．4．函数在区间上是减函数，那么实数的取值围是( )A．B．C．D．5．以下四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)假设函数与轴没有交点，那么且；(3) 的递增区间为；(4) 和表示相等函数.其中正确命题的个数是( )A．B．C．D．A．B．C．D．二、填空题1．函数的单调递减区间是____________________.2．定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．假设函数在上是奇函数，那么的解析式为________.4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为−1，那么__________.5．假设函数在上是减函数，那么的取值围为__________.三、解答题1．判断以下函数的奇偶性(1)(2)2．函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.3．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式.4．设为实数，函数，.(1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值.综合探究1．函数，，那么的奇偶性依次为( )A．偶函数，奇函数B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数D．奇函数，奇函数2．假设是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，那么的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．3．，那么＝_____.4．假设在区间上是增函数，那么的取值围是________.5．函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式.6．当时，求函数的最小值.7．在区间有一最大值，求的值.8．函数的最大值不大于，又当，求的值.答案与解析根底达标一、选择题1.C.2.B.3.B. 奇次项系数为4.D.5.A. 奇函数关于原点对称，左右两边有一样的单调性6.A.7.A. 在上递减，在上递减，在上递减8.D.二、填空题1.. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象2.. 是的增函数，当时，3.. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大4..5..三、解答题1．解：当，在是增函数，当，在是减函数；当，在是减函数，当，在是增函数；当，在是减函数，在是增函数，当，在是增函数，在是减函数.2．解：，那么，3．解：，显然是的增函数，，4．解：对称轴∴(2)对称轴当或时，在上单调∴或.能力提升一、选择题1.C. 选项A中的而有意义，非关于原点对称，选项B中的而有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；2.C. 对称轴，那么，或，得，或3.B. ，是的减函数，当4.A. 对称轴5.A. (1)反例；(2)不一定，开口向下也可；(3)画出图象可知，递增区间有和；(4)对应法那么不同二、填空题1．. 画出图象2. . 设，那么，，∵∴，3. .∵∴即4. . 在区间上也为递增函数，即5. . .三、解答题1．解：(1)定义域为，那么，∵∴为奇函数.(2)∵且∴既是奇函数又是偶函数.2．证明：(1)设，那么，而∴∴函数是上的减函数;(2)由得即，而∴，即函数是奇函数.3．解：∵是偶函数，是奇函数，∴，且而，得，即，∴，.4．解：(1)当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；(2)当时，当时，，当时，不存在；当时，当时，，当时，.综合探究画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，，那么当时，，那么2.C. ，3.. ，4.. 设那么，而，那么5.解：(1)令，那么(2)，那么.-.当，即时，是的递增区间，；当，即时，是的递减区间，；当，即时，.7．解：对称轴，当即时，是的递减区间，那么，得或，而，即；当即时，是的递增区间，那么，得或，而，即不存在；当即时，那么，即；∴或.8．解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且即，而，即∴.- .word.zl.。

抽象函数的单调性、奇偶性问题

抽象函数的单调性、奇偶性问题1.函数()f x 对任意的,a b R ∈，都有()()()1f a b f a f b +=+-，并且当0x >时，()1f x >.（摘自《学案与测评（文）》第13页）（1）求证：()f x 是R 上的增函数；（2）若()45f =，解关于m 的不等式()2323f m m --<.解答：（1）提示：增减项()2211x x x x =-+；（2）41,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 2.设()f x 是定义域()0,+∞为上的函数，同时满足条件：①()()()f xy f x f y =+；②()21f =；③若1x >，则()0f x >. 如果()()32f x f x +-≤，求x 取值范围.（摘自教案maths-1函数的单调性）解答：(]3,4.3.已知函数()f x 的定义域为R ，对任意,m n R ∈都有()()()12f m n f m f n +=++，且102f ⎛⎫=⎪⎝⎭，又当12x >时，()0f x >.（摘自《世纪金榜》第21页——新题快递）（1）求()1f ；（2）求和：()()()()1232009f f f f ++++ ；（3）判断函数()f x 的单调性并加以证明. 解答：（1）12；（2）等差数列首项为12，公差为1；（3）证明：设12x x <，则()()()()121211f x f x f x f x x x -=--+⎡⎤⎣⎦()()()121112f x f x x f x ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦()2112f x x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦()211122f x x f ⎡⎤⎛⎫=--++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2112f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭0<，即()()12f x f x <.所以函数()f x 为增函数.4. 定义在区间()1,1-上的函数)(x f 满足：（东北育才高中部2010期中文科）①对任意的()1,1,-∈y x ，都有)1()()(xyyx f y f x f ++=+； ②当0<x 时，0)(>x f . 问题：（1）求证f (x )为奇函数；（2）试解不等式)21()1()(f x f x f >-+. 解析：（1）解：令x = y = 0，则 f (0) + f (0) = )0()0100(f f =++ ∴ f (0) = 0 令x ∈(－1, 1) ∴－x ∈(－1, 1) ∴ f (x ) + f (－x ) = f (21x xx --) = f (0) = 0∴ f (－x ) =－f (x ) ∴ f (x ) 在(－1，1)上为奇函数（2）解：令－1< x 1 < x 2 < 1，则f (x 1) －f (x 2) = f (x 1) + f (－x 2) = )1(2121x x x x f --∵x 1－x 2 < 0，1－x 1x 2 > 0 ∴012121<--x x x x ∴ )1(2121x x x x f --> 0∴ f (x 1) > f (x 2) ∴ f (x ) 在(－1，1)上为减函数又f (x ) + f (x －1) >)21(f >-+-⇒)112(2xx x f )21(f∴ 不等式化为21111121112x x x x x -<<⎧⎪-<-<⎪⎪⎨⎪-⎪<⎪+-⎩⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<⇒035102x x x⎪⎩⎪⎨⎧-<<<⇒213510x x 或2135+>x 21350-<<⇒x∴ 不等式的解集为}21350|{-<<x x . 变式:定义在区间()1,1- 上的函数()f x 满足：()()1x y f x f y f xy ⎛⎫--=⎪-⎝⎭.若()1,0x ∈- 时()0f x > ，若1157P f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,12Q f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,()0R f = , 则P 、Q 、R 的大小关系为（源自2015届高三上期末育才等五校联考文科T11）A.R>Q>PB.R>P>QC.P>R>QD.Q>P>R答案：B.提示：关注目标需要判定函数的单调性进一步需要对P 进行合一变形进一步需要函数的奇偶性判定.①赋值法：在已知等式中令0x =得()()f y f y -=-，∴函数为奇函数； ②已知可变形为()()1x y f x f y f xy ⎛⎫-+-=⎪-⎝⎭，∴111115711573157P f f f f ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪+⋅⎝⎭；【至此可以排除AC 】 ③定义判断单调性：设1211x x -<<< ，则()()1212121x x f x f x f x x ⎛⎫--=⎪-⎝⎭∵120x x -<，1210x x -⋅>，∴121201x x x x -<-⋅故由已知得121201x x f x x ⎛⎫->⎪-⎝⎭，即()()120f x f x ->.所以函数为单调减函数；所以答案为B.2015/1/25 wht 解析5.已知函数()(),0y f x x R x =∈≠，对任意非零函数1x 、2x ，恒有()()()1212f x x f x f x ⋅=+.（源自《世纪金榜》教师版第50页）（1）试判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在()0,+∞上是单调递增函数，且()164f =，解不等式23212f x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭. 解析：（1）令1x =1，2x =1得()()()1111f f f ⋅=+，所以()10f =，令1x =-1，2x =-1得()()()()()1111ff f -⋅-=-+-，()()121f f =-，所以()10f -=. 令1x x =，2x =-1，则()()()()11f x f x f ⋅-=+-，即()()f x f x -=，所以()f x 是偶函数.（2）()164f =⇒()()()44444f f f ⋅=+=，∴()42f =，同理()21f =.()223121022x x x -+=-+>，又因为()f x 在()0,+∞上是单调递增函数，所以 23212f x x ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭⇔23222x x -+>解得22x >或22x <. 6.定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m ，n ，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，()01f x <<. （1）判断()f x 的单调性；（2）设()()()(){}22,1A x y f x f y f =⋅>，()({},1,B x y f ax y a R =-+=∈，若A B =∅ ，试确定a 的取值范围.（源自2010东北育才高二文科月考19题）解：（1）在中，令，得，因为，所以。

抽象函数的奇偶性和单调性

2013届高三理科数学研究性学习（9）专题六：函数单调性和奇偶性若干问题研究探究一：函数性质（单调性、奇偶性）定义经典试题1. 对于定义在R 上的函数)(x f ，给出三个命题：（1）若)2()2(-f f =，则)(x f 是偶函数；（2）若)2()2(-f f ≠，则)(x f 不是偶函数；（3）若)2()2(-f f =，则)(x f 一定不是奇函数.其中正确命题的序号为________________2. 下列命题中，说法正确的是____________（1）若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 是R 上的单调增函数；（2）若定义在R 上的函数)(x f 满足)1()2(f f >，则函数)(x f 不是R 上的单调减函数；（3）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间[)+∞,0上也是单调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数；（4）若定义在R 上的函数)(x f 在区间(]0,∞-上是单调增函数，在区间()+∞,0上也是单调增函数，则函数)(x f 是R 上的单调增函数；3. 已知)(x f 是定义在[]1,1-上的奇函数，若[]1,1,-∈b a ，且0≠+b a 时，恒有 0)()(>++ba b f a f .（1）判断)(x f 在[]1,1-上是增函数还是减函数，并证明你的结论；（2）解不等式)6()15(2x f x f <-探究二：抽象函数的单调性和奇偶性问题抽象函数的具体模型)()()(y f x f y x f +=+ )()()(y f x f xy f +=)()()(y f x f y x f =+ )()()(y f x f xy f =类型一：抽象函数证明函数的奇偶性问题① x R ∈，()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，如何证明()f x 为奇函数？② x R ∈，()f x 满足()()()f xy f x f y =+，如何证明()f x 为偶函数？类型二：抽象函数证明函数的单调性问题① 若,R x ∈且()()()f x y f x f y +=+、()()()f xy f x f y =+证明其单调性② 若,R x ∈()()()f x y f x f y +=、()()()f xy f x f y =证明其单调性例：设)(x f 是定义在R 上的函数，对R n m ∈,恒有)()()(n f m f n m f =+，且当0>x 时，1)(0<<x f .（1）求证：1)0(=f ；（2）证明：R x ∈时恒有0)(>x f ；（3）求证：)(x f 在R 上是减函数；（4）若1)2()(2>-x f x f ，求x 的取值范围变式：若定义在R 上的函数对任意的R x x ∈21,都有2)()()(2121++=+x f x f x x f 成立，且当0>x 时，.2)(->x f （1）求证：2)(+x f 是奇函数；（2）求证：)(x f 是R 上的增函数；（3）若,2)(log ,1)1(2<-=m f f 求m 的取值范围.探究三：函数的对称性和周期性函数的周期性（写出满足下列条件的正周期，其中0,0>>b a ）)()(a x f x f +=、 )()(a x f x f +-=、)()(a x f b x f +=+、)(1)(a x f x f +±= 函数的对称性（满足下列条件的函数对称性如何？） )()(x a f x a f -=+、推广：)()(x b f x a f -=+)()(x a f x a f --=+、推广：)()(x b f x a f --=+结论：设()b a ,为函数)(x f y =的对称中心，则必有等式________________________ 例1：写出函数)3sin()(-+=x x x f 的一个对称中心为____________例2：已知奇函数)(x f 的图像关于直线2-=x 对称，当[]2,0∈x 时，,2)(x x f =则______)9(=-f例3：（山东高考）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)(-)4-(x f x f =，且在区间[]2,0上是增函数.若方程)0()(>=m m x f 在区间[]8,8-上有四个不同的根4321,,,x x x x ，则____________4321=+++x x x x变式：定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在[]0,1-上是增函数，给出下列关于)(x f 的判断：（1）)(x f 是周期函数；（2）)(x f 关于直线1=x 对称；（3）)(x f 在[]1,0上是增函数；（4）)(x f 在[]2,1上是减函数；（5）)0()2(f f =.其中正确命题的序号为_____________。

必修一数学抽象函数习题精选含答案

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抽象函数单调性和奇偶性1. 抽象函数的图像判断单调性例1．如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5,那么在区间上是（ ) A 。

增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为C 。

减函数且最小值为D 。

减函数且最大值为分析：画出满足题意的示意图，易知选B. 2、抽象函数的图像求不等式的解集例2、已知定义在上的偶函数满足并且在上为增函数。

若,则实数的取值范围。

二、抽象函数的单调性和奇偶性 1。

证明单调性例3．已知函数f(x)= ，且f （x)，g(x)定义域都是R ，且g （x)〉0， g （1) =2,g （x ）是增函数。

. 求证： f （x ）是R 上的增函数.解：设x 1〉x 2因为,g （x ）是R 上的增函数，且g(x)>0。

故g(x 1) > g （x 2) >0。

g(x 1)+1 〉 g （x 2)+1 〉0，〉 >0— 〉0。

f （x 1)- f(x 2）=- =1—-(1—)=—>0。

可以推出：f(x 1) 〉f(x 2），所以f （x)是R 上的增函数。

例4．已知对一切，满足,且当时，，求证:（1）时,(2）在R 上为减函数。

证明：对一切有.且,令,得, 现设，则，，而f x ()[]37，f x ()[]--73，-5-5-5-5R f(x)f(2)0=f(x)(,0)-∞(1)(a )0a f ->a 1)(1)(+-x g x g (m )(n )(m n )(m ,n )ggg R =+∈⇒1)(22+x g 1)(21+x g ⇒1)(22+x g 1)(21+x g 1)(1)(11+-x g x g 1)(1)(22+-x g x g 1)(21+x g 1)(22+x g 1)(22+x g 1)(21+x g f x ()x y ，ff x y f x f y ()()()()00≠+=⋅，x <0f x ()>1x >001<<f x ()；f x () xy R ，∈f x y f x fy ()()()+=⋅f ()00≠x y ==0f ()01=x >0-<x 0f x ()->1f f x f x ()()()01=⋅-=，设且, 则,即为减函数。

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