高中数学苏教版选修4-4学业分层测评：第四章参数方程 10含答案

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2019-2020学年高中数学(苏教版选修4-4)学业分层测评4 曲线的极坐标方程的意义 Word版含答案

学业分层测评(四)(建议用时：45分钟)[学业达标]1．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：(1)射线y＝3x(x≤0)；(2)圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)．【解】(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入y＝3x，得ρsin θ＝3ρcos θ，∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y＝3x(x≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)．(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＋2ax＝0，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0，∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ.2．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程：(1)ρ＝5cos θ；(2)ρ2＝tan θ.【解】(1)由ρcos θ＝5，得x＝5.(2)x2＋y2＝yx(x≠0)，即x(x2＋y2)－y＝0(x≠0)．又在极坐标方程ρ2＝tan θ中，极点(0,0)也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是x(x2＋y2)－y＝0.3．已知曲线C 1的极坐标方程为ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于A ，B 两点．(1)把曲线C 1，C 2的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长度．【导学号：98990011】【解】 (1)曲线C 2：θ＝π4(ρ∈R )表示直线y ＝x ；曲线C 1：ρ＝6cos θ化为直角坐标方程，即x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9. (2)因为圆心C 1(3,0)到直线的距离d ＝322，r ＝3，所以弦长AB ＝32.4．求点A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2，π3到直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6＝－2的距离．【解】 A (2，π3)的直角坐标为(1，3)，l ：ρsin(θ－π6)＝－2，ρ(32sin θ－12cos θ)＝－2.即： x －3y －4＝0. 故A (1，3)到l ：x －3y －4＝0的距离为错误!＝3.5．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．【解】 (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1，即x ＋3y ＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)∵M 的直角坐标为(2,0)， N 的直角坐标为(0，233)．∴P 的直角坐标为(1，33)，P 的极坐标为(233，π6)．所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．6．在平面直角坐标系中，已知点A (3,0)，P 是圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且∠AOP 的平分线交P A 于Q 点，求Q 点的轨迹方程．【解】以圆心O 为极点，x 轴正方向为极轴，建立极坐标系，设Q (ρ，θ)，P (1,2θ)．因为S △OAQ ＋S △OQP ＝S △OAP . 即12·3·ρ·sin θ＋12·1·ρ·sin θ ＝12·3·1·sin 2θ. 整理得：ρ＝32cos θ.7．在极坐标系中，圆C ：ρ＝10cos θ和直线l ：3ρcosθ－4ρsinθ－30＝0相交于A 、B 两点，求线段AB 的长．【解】分别将圆C 和直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程：圆C ：x 2＋y 2＝10x ，即(x －5)2＋y 2＝25，圆心C (5,0)；直线l ：3x －4y －30＝0，因为圆心C 到直线l 的距离d ＝|15－0－30|5＝3，所以AB ＝225－d2＝8.[能力提升]8．在极坐标系中，P 是曲线ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线ρ＝12cos⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫θ－π6上的动点，试求PQ 的最大值．【解】 ∵ρ＝12sin θ， ∴ρ2＝12ρsin θ， ∴x 2＋y 2－12y ＝0，即x 2＋(y －6)2＝36. 又∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36.∴PQ 的最大值为6＋6＋错误!＝18.。

选修4-4-参数方程测试题及答案

参数方程一、选择题 1．将参数方程⎩⎨⎧αα cos ＝－1－ cos 2＝y x (a 为参数)化成普通方程为( )．A ．2x ＋y ＋1＝0B ．x ＋2y ＋1＝0C ．2x ＋y ＋1＝0(－3≤x ≤1)D ．x ＋2y ＋1＝0(－1≤y ≤1)2．双曲线xy ＝1的参数方程是( )．A ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧21－21＝＝ty t xB ．⎪⎩⎪⎨⎧t y tx sin 1＝ sin ＝C ．⎪⎩⎪⎨⎧t y tx tan 1＝ tan ＝D ．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧t t tt y x －－e ＋e 2＝2＋e ＝e3．对于参数方程和⎩⎨⎧30sin ＋2 ＝ 30 cos －1 ＝ t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧ 30sin 2＝　30 cos ＋ 1 ＝ t －y t x 的曲线，正确的结论是( )．A ．是倾斜角为30º的平行线B ．是倾斜角为30º的同一直线C ．是倾斜角为150º的同一直线D ．是过点(1，2)的相交直线4．参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(θθθ sin ＋121＝2sin ＋2cos ＝y x (0≤θ≤2π)的曲线( )．A ．抛物线的一部分，且过点(－1，21) B ．抛物线的一部分，且过点(1，21) C ．双曲线的一支，且过点(－1，21) D ．双曲线的一支，且过点(1，21) 5．直线⎩⎨⎧t y tx ＋ 3＝－－ 2＝(t 为参数)上与点A (2，－3)的距离等于1的点的坐标是( )．A ．(1，－2)或(3，－4)B ．(2－2，－3＋2)或(2＋2，－3－2)C ．(2－22，－3＋22)或(2＋22，－3－22) D ．(0，－1)或(4，－5) 6．直线x cos α＋y sin α＝2与圆⎩⎨⎧θθ＝＝2sin 2cos y x (θ 为参数)的位置关系是( )．A ．相交不过圆心B ．相交且过圆心C ．相切D ．相离7．若点P (4，a )在曲线⎪⎩⎪⎨⎧ty tx 2＝2＝(t 为参数)上，点F (2，0)，则|PF |等于( )．A ．4B ．5C ．6D ．78．已知点(m ，n )在曲线⎪⎩⎪⎨⎧ααsin 6＝ cos 6 ＝ y x (α为参数)上，点(x ，y )在曲线⎩⎨⎧ββsin 24＝ cos 24＝y x (β为参数)上，则mx ＋ny 的最大值为( )．Ａ．12B ．15C ．24D ．309．直线y ＝k x ＋2与曲线⎪⎩⎪⎨⎧ααsin 3＝ 2cos y x ＝至多一个交点的充要条件是( )．A ．k ∈[－21，21]B ．k ∈(－∞，－21]∪［21，＋∞) C ．k ∈[－22，22]D ．k ∈(－∞，－22]∪［22，＋∞) 10．过椭圆C ：⎪⎩⎪⎨⎧θθsin 3＝ 2cos y x ＝(θ 为参数)的右焦点F 作直线l 交C 于M ，N 两点，|MF |＝m ，|NF |＝n ，则nm 1＋1的值为( )． A ．32B ．34C ．38D ．不能确定二、填空题11．弹道曲线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧221 sin ＝ cos ＝00gt －t v y t v x αα(t 为参数，a ，v 0，g 为常数)，当炮弹达到最高点时，炮弹飞行的水平距离为．12．直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧20cos ＝－3＋20 sin ＝t y t x (t 为参数)，则直线的倾斜角为．13．曲线C 1：y ＝|x |，C 2：x ＝0，C 3的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧ty t x 1－＝＝(t 为参数)，则C 1，C 2，C 3围成的图形的面积为．14．直线⎩⎨⎧θθsin ＝ cos ＝t y t x 与圆⎩⎨⎧ααsin 2 ＝ cos 2＋4＝y x 相切，则该直线的倾斜角＝________．15．变量x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧ty t x －1＝＝2(t 为参数)，则代数式2＋＋x y 2的取值范围是． 16．若动点(x ，y )在曲线1＝　＋4222by x (0＜b ≤4)上变化，则x 2＋2y 的最大值为．三．解答题17．已知直线l 1过点P (2，0)，斜率为34． (1)求直线l 1的参数方程；(2)若直线l 2的方程为x ＋y ＋5＝0，且满足l 1∩l 2＝Q ，求|PQ |的值． 18．已知点P (x ，y )为曲线C ：⎩⎨⎧θθθθ － 4sin ＋ 3sin 3cos 4cos y ＝x ＝(θ 为参数)上动点，若不等式x ＋y ＋m ＞0恒成立，求实数m 的取值范围．19．经过点M (2，1)作直线交曲线⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧t t y tt x 1－＝1＋＝ (t 是参数)于A ，B 两点，若点M 为线段AB 的中点，求直线AB 的方程．20．已知直线l ：⎪⎩⎪⎨⎧θθ sin ＋－＋＋ 2t y ＝t x ＝1cos 1(t 为参数，θ∈R )，曲线C ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1 1＝1＝2－t t y t x (t 为参数)．(1)若l 与C 有公共点，求直线l 的斜率的取值范围； (2)若l 与C 有两个公共点，求直线l 的斜率的取值范围．一、选择题1．D 解析：将cos α＝－y 代入x ＝2cos α－1，得普通方程x ＋2y ＋1＝0，又因为－1≤cos α≤1，所以有－1≤y ≤1，故选D ． 2．C 解析：由xy ＝1知x ≠0且x ∈R ，又A 中x ＝21t =t ≥0；B 中x ＝sin t ∈[－1，1]；D 中x ＝2＋－tt e e ≥2＋－tt e e ＝1；故排除A ，B ，D ． 3．C 解析：31＝－1－2－x y ，31＝－1－2－x y ． 4．B 解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧)(θθθ sin ＋121＝2sin ＋2cos ＝y x (0≤θ≤2π)，由参数方程得x 2＝1＋sin θ，代入y 得x 2＝2y 为抛物线．又x ≥0，故选B ． 5．C 解析：由(－t )2＋(t )2＝12，t ＝±22． 6．C 解析：圆的普通方程为x 2＋y 2＝4，圆心(0，0)到直线x cos α＋y sin α－2＝0的距离 d =12＝2等于半径，所以直线与圆相切． 7．C 抛物线为y 2＝8x ，准线为x ＝－2，|PF |为P (4，a )到准线x ＝－2的距离，即6.8．A 解析：(利用圆的参数方程)⎩⎨⎧⎩⎨⎧ββααsin 24＝ cos 24＝ sin 6＝ cos 6＝y x n m ，，则mx ＋ny ＝12(cos α cos β＋sin α sin β)＝12cos (α－β)，且－1≤cos (α－β)≤1.9．A 解析：曲线的普通方程为1 ＝3＋422y x ．与直线方程联立，得一元二次方程．令判别式Δ≤0，得－21≤k ≤21．10．B 解析：曲线C 为椭圆，1 ＝3＋422y x 右焦点F (1，0)，设l ：⎩⎨⎧θθsin ＝ cos ＝1＋t y t x ，代入椭圆方程得：(3＋sin 2θ)t 2＋6tcos θ －9＝0，t 1t 2＝－θ2sin ＋ 39，t 1＋t 2＝－θθ2sin ＋ 3cos 6，∴34＝4－＋＝－＝1＋1＝1＋12121221212121|t t |t t t t |t t ||t t ||t ||t |n m )(．二、填空题11．g v ααcos sin 20．解析：由y ＝v 0t sin α－21gt 2知，当炮弹达到最高点时，t ＝g v sin 0α，代入得x ＝v 0cos αgvsin 0α＝g v ααcos sin 20．12．110º．解析：⎪⎩⎪⎨⎧ 20 cos ＝－3＋20 sin ＝t y t x (t 为参数)即⎪⎩⎪⎨⎧)()( 70sin ＝70 cos ＋ 3＝－t y －t x (t 为参数)，所以倾斜角α＝－70º＋180º＝110º．13．8π．解析：C 3的曲线是圆x 2＋y 2＝1在第一象限的部分(含端点)，则由图形得三曲线围成的图形的面积是圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的21，面积是8π． 14．6π或65π．直线为y ＝x tan θ，圆为(x －4)2＋y 2＝4，作出图形，相切时，易知倾斜角为6π或65π． 15．⎥⎦⎤⎢⎣⎡232，．1(第13题)解析：参数方程⎪⎩⎪⎨⎧t y t x －1＝＝2(t 为参数)化普通方程为x 2＋42y ＝1(0≤x ≤1，0≤y≤2)，代数式2＋2＋x y 表示过点(－2，－2)与椭圆x 2＋42y ＝1在第一象限及端点上任意一点连线的斜率，由图可知，k max ＝k PB ＝2，k min ＝k P A ＝32．16．4＋162b ．解析：⎩⎨⎧θθsin ＝ 2cos ＝b y x ，4cos 2θ＋2b sin θ ＝－4sin 2θ＋2b sin θ ＋4，令t ＝sin θ(－1≤t≤1)，有x 2＋2y ＝－4t 2＋2b ＋4．当t ＝4b 时，x 2＋2y 有最大值为4＋162b ．三、解答题17．(1)解：设直线的倾斜角为α，由题意知tan α＝34，所以sin α＝54，cos α＝53，故l 1的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ty tx 54＝53＋＝2(t 为参数)．(2)解：将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧ty t x 54＝53＋＝2代入l 2的方程得：2＋53t ＋54t ＋5＝0，解得t ＝－5，即Q (－1，－4)，所以|PQ |＝5．18．解：x ＋y ＋m ＞0，即7sin θ ＋cos θ ＋m ＞0，m ＞－(7sin θ ＋cos θ )，即m ＞－52sin (θ ＋ϕ )．而－52sin (θ ＋ϕ )的最大值为52．所以m ＞52，即m ∈(52，+∞)．0)(第15题)19．解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧②1－＝①1＋＝ t t y t t x由①2－②2得x 2－y 2＝4 ③，该曲线为双曲线．设所求直线的参数方程为⎩⎨⎧θθsin ＋＋ 2 t y ＝t x ＝1cos (t 为参数)，代入③得：(cos 2θ－sin 2θ )t 2＋(4cos θ－2sin θ )t －1＝0， t 1＋t 2＝－θθθθ22sin cos 2sin cos 4－－，由点M (2，1)为A ，B 的中点知t 1＋t 2＝0，即4cos θ－2sin θ ＝0，所以tan θ＝2，因为θ 是直线的倾斜角，所以k ＝2，所求直线的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0． 20．(1)解：直线l ：⎪⎩⎪⎨⎧θθ sin ＋－＋＋ 2t y ＝t x ＝1cos 1(t 为参数，θ∈R )经过点(1＋2，－1)，曲线C ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧1 1＝1＝2－t t y t x (t 为参数)表示圆x 2+y 2=1的一部分(如图所示)设直线的方程l ：y ＋1＝k (x －1－2)．当l 与圆相切时，圆心O (0，0)到l 的距离d ＝1＋ 1＋2＋12k k )(＝1，解得k ＝－1或k ＝0．又k PC ＝－1＋ 22＜k P A ＝－21，k PB ＝－2＋21，如图所示，当l 与C 有公共点时，应有－1≤k ≤k P A 或者k PB ≤k ＜k PD ＝0，即k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡21－1 ，－∪⎪⎭⎫⎢⎣⎡02＋21－，．(2)由图可知，若l 与C 有两个公共点时，应有－1＜k ＜k PC ，即k ∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛＋122－ 1，－．。

高中数学(苏教版选修4-4)学业分层测评9 参数方程的意义 Word版含答案

学业分层测评(九)(建议用时：分钟)[学业达标]．如图--，是机器上的曲柄，长是，绕点转动，是连杆，是上一点，＝，＝(＜＋)．当点在上做往返运动，点绕着做圆周运动时，求点的轨迹方程．图--【解】如题图，设点(，)，θ＝∠，由点作⊥，交于点，由点作⊥，交于点，由点作⊥，交于点，那么＝＝θ，＝＝＋＝＋＝±＋＝±＋θ，得到点(，)的坐标满足方程组(\\(＝θ±(－(＋(θ)，＝θ，))即为点的轨迹方程．．动点作匀速直线运动，它在轴和轴方向上的分速度分别为和，运动开始时，点位于()，求点的轨迹方程．【解】设后点的坐标为(，)，则(\\(＝＋，＝＋.))所以点的轨迹方程为(\\(＝＋，＝＋))(≥)．．以椭圆＋＝的长轴的左端点与椭圆上任意一点连线的斜率为参数，将椭圆方程化为参数方程．【导学号：】【解】椭圆＋＝的长轴的左端点的坐标为(－)．设(，)为椭圆上任意一点(除点)，则点的坐标满足(\\((＋)＝，,()＋＝.))将＝代入＋＝，消去，得(＋)－＝.解得＝，或＝.由＝，解得＝；由＝，解得＝.由于()满足方程组(\\(＝((－(＋)，＝(＋)，))所以椭圆＋＝的参数方程为(\\(＝((－(＋)，＝(＋.)))．△是圆＋＝的内接三角形，已知()，∠＝°，求△的重心的轨迹方程．【解】因为∠＝°，所以∠＝°.设( θ，θ)(°＜θ＜°)，则有((θ＋°)，(θ＋°))．设重心坐标为(，)，则(\\(＝(＋θ＋(θ＋°()，＝( θ＋(θ＋°().))所以即(\\(＝(＋(θ＋°()，＝((θ＋°().))消去θ＋°，得(－)＋＝，∵°＜θ＜°，∴－≤(θ＋°)＜，∴≤＜，即≤＜.∴△的重心的轨迹方程为(－)＋＝(≤<)．．如图--，过抛物线＝上任一点作垂直于准线，垂足为，连接和(为焦点)相。

高中数学(苏教版选修4-4)阶段分层突破4.4 Word版含答案

阶段分层突破
参数方程错误!
、利用三角恒等式、整体消元法等，但一定要注意转化的等价性．
把下列曲线的参数方程化为普通方程，并指出方程所表示的曲线是什么曲线．()(\\(＝(＋)，＝(＋)))(为参数)；
()(\\(＝θ＋θ，＝θ))(θ为参数)．
【解】()两式相除，得＝，
代入任何一个方程中化简，得＋－＝.
∵≥，∴＜≤.
∴普通方程为＋－＝(＜≤)．
该方程表示圆心在()，半径为的圆除去点()．
()由( θ＋θ)＝＋θ，得＝＋.
∵＝θ≤，∴普通方程为＝＋(－≤≤)．
该方程表示抛物线夹在两平行线＝和＝－之间的部分.
数思想在解题中有着广泛的应用，例如直线参数方程主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，在解决这类问题时，利用直线参数方程中参数的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化．
过点()作直线分别交轴，轴的正方向于、两点，求·值最小时，直线的方程．
【解】如图，设直线的倾斜角为α(<α<π)，直线的参数方程为(\\(＝＋α，＝＋α))(为参数)．
由于点的纵坐标为，所以点对应的参数＝－α)；
由于点的横坐标为，所以点对应的参数＝－α).
从而·＝＝α α)＝α).
当α＝，即当α＝时，
·最小，此时直线的方程为＋－＝.
椭圆中心在原点，焦点在轴上，离心率为，点(，)是椭圆上的一个动点，若＋
的最大值为，求椭圆的标准方程．
【导学号：】【解】离心率为，设椭圆标准方程是＋＝，它的参数方程为(\\(＝θ，＝() θ))(θ是参数)，
＋＝θ＋θ＝(θ＋φ)的最大值是，由题意得＝，所以＝，
所以椭圆的标准方程是
＋＝.。

(完整版)高中数学选修4-4习题(含答案)

统考作业题目——4-46.21．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12,(2x t t y t =+⎧⎨=-⎩为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同的长度单位。

曲线C 的极坐标方程为 22cos 4sin 40ρρθρθ+++=. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）已知点M 是曲线C 上任一点，求点M 到直线l 距离的最大值.2．已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同。

直线l 的极坐标方程为：ρ=√2sin(θ−π4)，点P(2cosα,2sinα+2)，参数α∈[0,2π]．（I ）求点P 轨迹的直角坐标方程；（Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值．1、【详解】（1）12,2x t y t=+⎧⎨=-⎩10x y ∴+-= 因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==，所以222440x y x y ++++=，即22(1)(2)1x y +++=（2）因为圆心(1,2)--到直线10x y +-==所以点M 到直线l 距离的最大值为 1.r =2、解：（Ⅰ）设P(x,y)，则{x =2cosαy =2sinα+2，且参数α∈[0,2π]，消参得：x 2+(y −2)2=4所以点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 （Ⅱ）因为ρ=√2sin(θ−π4)所以ρ√2sin (θ−π4)=10 所以ρsinθ−ρcosθ=10，所以直线l 的直角坐标方程为x −y +10=0 法一：由（Ⅰ）点P 的轨迹方程为x 2+(y −2)2=4 圆心为（0,2），半径为2． d =√12+12=4√2，P 点到直线l 距离的最大值等于圆心到直线l 距离与圆的半径之和，所以P 点到直线l 距离的最大值4√2+2．法二：d =√12+12=√2|cosα−sinα+4|=√2|√2cos (α+π4)+4|当a =74π时，d max =4√2+2，即点P 到直线l 距离的最大值为4√2+2．6.33．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为{x =cosθy =√3sinθ（θ为参数），曲线C 2的参数方程为{x =4−√22ty =4+√22t （t ∈R ，t 为参数）. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的极坐标方程；(2)设P 为曲线C 1上的动点，求点P 到C 2上点的距离的最小值，并求此时点P 的坐标.4．在直角坐标系xOy 中曲线1C的参数方程为cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩ （α为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.3、【详解】（1）对曲线C 1：cos 2θ=x 2，sin 2θ=y 23，∴曲线C 1的普通方程为x 2+y 23=1．对曲线C 2消去参数t 可得t =(4−x)×√2,且t =(y −4)×√2, ∴曲线C 2的直角坐标方程为x +y −8=0．又∵x =ρcosθ,y =ρsinθ，∴ρcosθ+ρsinθ−8=√2ρsin (θ+π4)−8=0 从而曲线C 2的极坐标方程为ρ=4√2sin(θ+π4)。

高中数学(苏教版选修4-4)学业分层测评4 曲线的极坐标方程的意义 Word版含答案

学业分层测评(四)(建议用时：分钟)[学业达标]．将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程：()射线＝(≤)；()圆＋＋＝(≠)．【解】()将＝ρθ，＝ρθ代入＝，得ρθ＝ρθ，∴θ＝，∴θ＝或θ＝.又≤，∴ρθ≤，∴θ＝，∴射线＝(≤)的极坐标方程为θ＝(ρ≥)．()将＝ρθ，＝ρθ代入＋＋＝，得ρθ＋ρθ＋ρθ＝，即ρ(ρ＋θ)＝，∴ρ＝－θ，∴圆＋＋＝(≠)的极坐标方程为ρ＝－θ.．分别将下列极坐标方程化为直角坐标方程：()ρ＝θ)；()ρ＝θ.【解】()由ρθ＝，得＝. ()＋＝(≠)，即(＋)－＝(≠)．又在极坐标方程ρ＝θ中，极点()也满足方程，即曲线过原点，所以直角坐标方程是(＋)－＝.．已知曲线的极坐标方程为ρ＝θ，曲线的极坐标方程为θ＝(ρ∈)，曲线，相交于，两点．()把曲线，的极坐标方程转化为直角坐标方程；()求弦的长度．【导学号：】【解】()曲线：θ＝(ρ∈)表示直线＝；曲线：ρ＝θ化为直角坐标方程，即＋＝，即(－)＋＝.()因为圆心()到直线的距离＝，＝，所以弦长＝.．求点到直线：ρ＝－的距离．【解】(，)的直角坐标为(，)，：ρ(θ－)＝－，ρ( θ－θ)＝－.即：－－＝.故(，)到：－－＝的距离为＝.．在直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线的极坐标方程为ρ＝，、分别为与轴，轴的交点．()写出的直角坐标方程，并求、的极坐标；()设的中点为，求直线的极坐标方程．【解】()由ρ(θ－)＝得ρ( θ＋θ)＝，即＋＝，当θ＝时，ρ＝，所以()．当θ＝时，ρ＝，所以(，)．()∵的直角坐标为()，的直角坐标为(，)．∴的直角坐标为(，)，的极坐标为(，)．所以直线的极坐标方程为θ＝(ρ∈)．．在平面直角坐标系中，已知点()，是圆＋＝上的一个动点，且∠的平分线交于点，求点的轨迹方程．【解】以圆心为极点，轴正方向为极轴，建立极坐标系，设(ρ，θ)，(θ)．因为△＋△＝△.即··ρ·θ＋··ρ·θ＝···θ.整理得：ρ＝θ.．在极坐标系中，圆：ρ＝θ和直线：ρθ－ρθ－＝相交于、两点，求线段的长．【解】分别将圆和直线的极坐标方程化为直角坐标方程：圆：＋＝，即(－)＋＝，圆心()；。

高中数学选修4-4参数方程章末归纳提升及检测(附答案)

高中数学选修4-4参数方程章末归纳提升及检测（附答案）对于椭圆的参数方程，要明确a ，b 的几何意义以及离心角φ的意义，要分清椭圆上一点的离心角φ和这点与坐标原点连线倾斜角θ的关系，双曲线和抛物线的参数方程中，要注意参数的取值范围，且它们的参数方程都有多种形式．例1在平面直角坐标系xOy 中，设P (x ，y )是椭圆x 23＋y 2＝1上的一个动点，求S ＝x ＋y 的最大值和最小值．【解】 ∵椭圆x 23＋y 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)．故设动点P (3cos φ，sin φ)，其中φ∈[0,2π)．因此S ＝x ＋y ＝3cos φ＋sin φ＝2(sin π3cos φ＋cos π3sin φ)＝2sin(φ＋π3)．∴当φ＝π6时，S 取得最大值2.当φ＝7π6时，S 取得最小值－2.直线参数方程的应用非常广泛，主要用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，应用直线的参数方程，利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以避免通过解方程组求交点等繁琐运算，使问题得到简化，由于直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有明显的几何意义．例2直线l 过点P 0(－4,0)，它的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t(t 为参数)与圆x 2＋y 2＝7相交于A ，B两点，(1)求弦长|AB |；(2)过P 0作圆的切线，求切线长．【解】将直线l 的参数方程代入圆的方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7，整理得t 2－43t ＋9＝0.(1)设A 和B 两点对应的参数分别为t 1和t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1·t 2＝9. 故|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝2 3.(2)设圆过P 0的切线为P 0T ，T 在圆上，则 |P 0T |2＝|P 0A |·|P 0B |＝|t 1t 2|＝9，∴切线长|P 0T |＝3.参数方法是一种重要的数学方法，尤其在运动变化型问题中，若能引入参数作桥梁，沟通变量之间的联系，既有利于揭示运动变化的本质规律，还能把多个变量统一体现在一个参变量上．但一定要注意，利用参数表示曲线的方程时，要充分考虑到参数的取值范围．例3(2013·三门峡质检)如图2－1，已知直线l 过点P (2，0)，斜率为43，直线l 和抛物线y 2＝2x 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：图2－1(1)P 、M 两点间的距离|PM |； (2)线段AB 的长|AB |.【解】 (1)∵直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线的倾斜角为α，tan α＝43，sin α＝45，cos α＝35，∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋35ty ＝45t(t 为参数)．∵直线l 和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中，整理得8t 2－15t －50＝0，则Δ＝(－15)2－4×8×(－50)>0. 设这个二次方程的两个根分别为t 1、t 2，由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254，由M 为线段AB 的中点，根据t 的几何意义，得 |PM |＝|t 1＋t 22|＝1516.(2)|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝5873.因此线段AB 的长为5873.例4在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，点M 是曲线C 1上的动点．(1)求线段OM 的中点P 的轨迹的直角坐标方程；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＋1＝0(ρ>0)，求点P 到直线l 距离的最大值．【解】 (1)曲线C 1上的动点M 的坐标为(4cos θ，4sin θ)，坐标原点O (0,0)，设P 的坐标为(x ，y )，则由中点坐标公式得 x ＝12(0＋4cos θ)＝2cos θ， y ＝12(0＋4sin θ)＝2sin θ，所以点P 的坐标为(2cos θ，2sin θ)，因此点P 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，且0≤θ<2π)，消去参数θ，得点P 轨迹的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4. (2)由直角坐标与极坐标关系得直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.又由(1)，知点P 的轨迹为圆心在原点，半径为2的圆，因为原点(0,0)到直线x －y ＋1＝0的距离为 |0－0＋1|12＋(－1)2＝12＝22，所以点P 到直线l 距离的最大值为2＋22. 参数方程与普通方程的相互转化体现了函数与方程的紧密联系和实际应用．例5求方程4x 2＋y 2＝16的参数方程 . (1)设y ＝4sin θ，θ为参数；(2)以过点A (0,4)的直线的斜率k 为参数．【解】 (1)把y ＝4sin θ代入方程，得到4x 2＋16sin 2θ＝16，于是4x 2＝16－16sin 2θ＝16cos 2θ.∴x ＝±2cos θ.由于参数θ的任意性，可取x ＝2cos θ. 因此4x 2＋y 2＝16的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (2)设M (x ，y )是曲线4x 2＋y 2＝16上异于A 的任一点，则y －4x＝k (x ≠0)，将y ＝kx ＋4代入方程，得x [(4＋k 2)x ＋8k ]＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k4＋k 2，y ＝－4k 2＋164＋k 2，易知A (0,4)也适合此方程．另有一点⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4.∴所求的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8k 4＋k 2，y ＝－4k 2－164＋k 2，(k 为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－4. 综合检测(二)第二讲参数方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2013·周口质检)下列点不在直线⎩⎨⎧x ＝－1－22ty ＝2＋22t (t 为参数)上的是( )A ．(－1,2)B ．(2，－1)C ．(3，－2)D ．(－3,2)【解析】直线l 的普通方程为x ＋y －1＝0，因此点(－3,2)的坐标不适合方程x ＋y －1＝0. 【答案】 D2．圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝4sin θ，(θ为参数，0≤θ<2π)，若Q (－2,23)是圆上一点，则对应的参数θ的值是( )A.π3B.23πC.43πD.53π 【解析】 ∵点Q (－2,23)在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＝4cos θ，23＝4sin θ且0≤θ<2π， ∴θ＝23π.【答案】 B3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)的斜率为( )A ．2B ．－2 C.32 D ．－32【解析】直线的普通方程为2x ＋y －8＝0， ∴斜率k ＝－2.【答案】 B4．已知O 为原点，当θ＝－π6时，参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝9sin θ(θ为参数)上的点为A ，则直线OA 的倾斜角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6【解析】当θ＝－π6时，x ＝332，y ＝－92，∴k OA ＝tan α＝yx ＝－3，且0≤α<π，因此α＝23π.【答案】 C5．已知A (4sin θ，6cos θ)，B (－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【解析】设线段AB 的中点为M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3sin θ＋3cos θ(θ为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝12sin θ，3x －2y ＝－12cos θ.∴(3x ＋2y )2＋(3x －2y )2＝144，整理得x 28＋y 218＝1，表示椭圆．【答案】 C6．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)的离心率是( )A.74B.73C.72D.75【解析】椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ，的标准方程为x 29＋y 216＝1，∴e ＝74.故选A. 【答案】 A 7．点P (4,0)到曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t2y ＝4t (t ∈R )上的点的最短距离为( )A ．0B ．4C ．4 2D ．8【解析】将参数方程化为普通方程y 2＝16x ，则点P (4,0)是其焦点．根据抛物线定义，曲线上任一点到焦点的距离最小的点是顶点(0,0)，故最小距离为4.【答案】 B8．若直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线的倾斜角为( )A.π6或5π6B.π4或3π4C.π3或2π3 D ．－π6或－5π6【解析】直线的普通方程为y ＝tan α·x ，圆的普通方程为(x －4)2＋y 2＝4，由于直线与圆相切，则|4sin α|sin 2α＋cos 2α＝2，即|sin α|＝12.∴tan α＝±33，∴α＝π6或5π6.故选A.【答案】 A9．若直线y ＝x －b 与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θθ∈[0,2π)有两个不同的公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．(2－2，1)B ．[2－2，2＋2]C ．(－∞，2－2)∪(2＋2，＋∞)D ．(2－2，2＋2)【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ，y ＝sin θ.消去θ，得(x －2)2＋y 2＝1.(*)将y ＝x －b 代入(*)，化简得 2x 2－(4＋2b )x ＋b 2＋3＝0，依题意， Δ＝[－(4＋2b )]2－4×2(b 2＋3)>0.解之得2－2<b <2＋ 2.【答案】 D10．实数x ，y 满足3x 2＋2y 2＝6x ，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．2B ．4 C.92 D ．5【解析】由3x 2＋2y 2＝6x ，得3(x －1)2＋2y 2＝3，令x ＝1＋cos θ，y ＝62sin θ，代入x 2＋y 2，得x 2＋y 2＝(1＋cos θ)2＋32sin 2θ＝－12(cos θ－2)2＋92∴当cos θ＝1时，(x 2＋y 2)max ＝4.【答案】 B11．(2013·新乡模拟)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sin θy ＝cos 2(π4－θ2)(θ为参数，0≤θ＜2π)所表示的曲线是( ) A ．椭圆的一部分 B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分，且过点(－1，12)D ．抛物线的一部分，且过点(1，12)【解析】由y ＝cos 2(π4－θ2)＝1＋cos (π2－θ)2＝1＋sin θ2，可得sin θ＝2y －1，由x ＝1＋sin θ 得x 2－1＝sin θ，∴参数方程可化为普通方程x 2＝2y . 又x ＝1＋sin θ∈[0，2]，故选D.【答案】 D12．已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝2－t(t 为参数)，抛物线C 的方程y 2＝2x ，l 与C 交于P 1，P 2，则点A (0,2)到P 1，P 2两点距离之和是( )A ．4＋ 3B ．2(2＋3)C ．4(2＋3)D ．8＋ 3【解析】将直线l 参数方程化为⎩⎨⎧x ＝－32t ′y ＝2＋12t ′(t ′为参数)，代入y 2＝2x ，得t ′2＋4(2＋3)t ′＋16＝0，设其两根为t 1′、t 2′，则t 1′＋t 2′＝－4(2＋3)，t 1′t 2′＝16>0.由此知在l 上两点P 1，P 2都在A (0,2)的下方，则|AP 1|＋|AP 2|＝|t 1′|＋|t 2′|＝|t 1′＋t 2′|＝4(2＋3)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan φ，y ＝sec φ(φ是参数)的渐近线方程为________．【解析】化参数方程为普通方程，得y 2－x 2＝1.故其渐近线为y ＝±x ，即x ±y ＝0.【答案】 x ±y ＝014．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θy ＝4＋sin θ，(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则|AB |的最小值为________．【解析】消参数θ得曲线C 1的标准方程为(x －3)2＋(y －4)2＝1，将ρ＝1化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝1，两圆的圆心距为5，故|AB |的最小值为5－1－1＝3. 【答案】 315．(2013·焦作调研)直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，且0≤α≤π)，与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φy ＝2sin φ(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.【解析】将参数方程化为普通方程，直线y ＝x ·tan α，圆(x －4)2＋y 2＝4，如右图所示，sin α＝24＝12，则α＝π6或5π6.【答案】 π6或5π616．(2013·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a >b >0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆O 的极坐标方程分别为ρsin(θ＋π4)＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为________．【解析】由已知可得椭圆标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由ρsin(θ＋π4)＝22m 可得ρsin θ＋ρcos θ＝m ，即直线的普通方程为x ＋y ＝m .又圆的普通方程为x 2＋y 2＝b 2，不妨设直线l 经过椭圆C 的右焦点(c,0)，则得c ＝m .又因为直线l 与圆O 相切，所以|m |2＝b ，因此c＝2b ，即c 2＝2(a 2－c 2)．整理，得c 2a 2＝23，故椭圆C 的离心率为e ＝63.【答案】 63三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数，0≤θ<2π)．(1)求圆心和半径；(2)若圆O 上点M 对应的参数θ＝5π3，求点M 的坐标．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(0≤θ<2π)，平方得x 2＋y 2＝4，∴圆心O (0,0)，半径r ＝2. (2)当θ＝53π时，x ＝2cos θ＝1，y ＝2sin θ＝－ 3.∴点M 的坐标为(1，－3)．18．(本小题满分12分)已知曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)．(1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )是曲线C 上的动点，求2x ＋y 的取值范围．【解】 (1)由C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos φy ＝3sin φ，得∴(x 4)2＋(y 3)2＝1即x 216＋y 29＝1. (2)2x ＋y ＝8cos φ＋3sin φ＝73sin(φ＋θ)，(θ由tan θ＝83确定)．∴2x ＋y ∈[－73，73]．∴2x ＋y 的取值范围是[－73，73]．19．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)． (1)将曲线C 的参数方程化为普通方程；(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】 (1)由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ得x 2＋y 2＝16.∴曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)将⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝2＋32t 代入x 2＋y 2＝16，整理，得t 2＋33t －9＝0. 设A ，B 对应的参数为t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝－33，t 1t 2＝－9. |AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝37.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φy ＝sin φ(φ为参数)，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(a ＞b ＞0，φ为参数)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α与C 1，C 2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝π2时，这两个交点重合．(1)分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；(2)设当α＝π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α＝－π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2 B 1的面积．【解】 (1)C 1是圆，C 2是椭圆．当α＝0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(1,0)(a,0)，因为这两点间的距离为2，所以a ＝3.当α＝π2时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为(0,1)，(0，b )，因为这两点重合，所以b ＝1.(2)C 1，C 2的普通方程分别为x 2＋y 2＝1和x 29＋y 2＝1.当α＝π4时，射线l 与C 1交点A 1的横坐标为x ＝22，与C 2交点B 1的横坐标为x ′＝31010.当α＝－π4时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，因此四边形A 1A 2B 2B 1为梯形．故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为 (2x ′＋2x )(x ′－x )2＝25.21．(本小题满分12分)(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知动点P 、Q 都在曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数)上，对应参数分别为t ＝α与t ＝2α(0＜α＜2π)，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．【解】 (1)依题意有P (2cos α，2sin α)，Q (2cos 2α，2sin 2α)，因此M (cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．M 的轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋cos 2α，y ＝sin α＋sin 2α(α为参数，0＜α＜2π)．(2)M 点到坐标原点的距离 d ＝x 2＋y 2＝2＋2cos α(0＜α＜2π)．当α＝π时，d ＝0，故M 的轨迹过坐标原点．22．(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝t sin α(t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2)与曲线x 216＋y 212＝1交于A ，B 两点． (1)写出直线l 的一般方程及直线l 通过的定点P 的坐标； (2)求|P A |·|PB |的最大值．【解】 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos αy ＝t sin α，(t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2)，∴y x －2＝t sin αt cos α＝tan α， ∴直线l 的普通方程为x tan α－y －2tan α＝0. 直线l 通过的定点P 的坐标为(2,0)．(2)∵l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α，椭圆的方程为x 216＋y 212＝1，右焦点坐标为P (2,0)，∴3(2＋t cos α)2＋4(t sin α)2－48＝0，即(3＋sin 2α)t 2＋12cos α·t －36＝0. ∵直线l 过椭圆的右焦点， ∴直线l 恒与椭圆有两个交点， ∴t 1·t 2＝－363＋sin 2α，由直线参数方程t 的几何意义，∴|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|＝363＋sin 2α，∵0≤α<π，且α≠π2，则0≤sin 2α<1，因此|P A |·|PB |的最大值为12.。

高中数学苏教版高二选修4-4学业分层测评：第四章参数方程12有答案

学业分层测评(十二)(建议用时：45分钟)学业达标]1．当x 2＋y 2＝4时，求u ＝x 2＋23xy －y 2的最值．【解】设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(0≤θ<2π)，于是u ＝x 2＋23xy －y 2＝4cos 2θ＋83cos θsin θ－4sin 2θ ＝4cos 2θ＋43sin 2θ ＝8sin(2θ＋π6)．所以，当θ＝π6，x ＝3，y ＝1时，或θ＝7π6，x ＝－3，y ＝－1时，u max ＝8；当θ＝2π3，x ＝－1，y ＝3时，或θ＝5π3，x ＝1， y ＝－3时，u min ＝－8.2．若x ，y 满足(x －1)2＋(y ＋2)2＝4，求2x ＋y 的最值．【解】令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有 x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)(tan φ＝2)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.3．过点P (－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t(t 为参数)相交于A 、B 两点．求线段AB 的长．【导学号：98990037】【解】直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32s ，y ＝12s(s 为参数)，曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1t ，y ＝t －1t (t 为参数)可以化为x 2－y 2＝4.将直线的参数方程代入上式，得 s 2－63s ＋10＝0.设A 、B 对应的参数分别为s 1，s 2， ∴s 1＋s 2＝63，s 1s 2＝10. AB ＝|s 1－s 2|＝(s 1＋s 2)2－4s 1s 2＝217.4．已知A 是椭圆长轴的一个端点，O 是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P ，使∠OP A ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．【解】设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，A (a,0)，设P (a cos θ，b sin θ)是椭圆上一点，则AP →＝(a cos θ－a ，b sin θ)，OP →＝(a cos θ，b sin θ)，由于∠OP A ＝90°，所以AP →·OP →＝0，即(a cos θ－a )a cos θ＋b 2sin 2θ＝0，a 2(cos 2θ－cos θ)＋b 2sin 2θ＝0，a 2cos θ(cos θ－1)＋b 2(1＋cos θ)(1－cos θ)＝0. 因为P 与A 不重合，所以cos θ－1≠0，则a 2cos θ＝b 2(1＋cos θ)，b 2a 2＝cos θ1＋cos θ，c 2a 2＝1－b 2a 2＝1－cos θ1＋cos θ＝11＋cos θ. 因为θ∈(0，π2)∪(32π，2π)，所以c 2a 2∈(12，1)，e ∈(22，1)．5．已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1、B 2的连线分别交x 轴于P 、Q 两点，求证：OP ·OQ 为定值．【证明】设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)， B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即OP ＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ.∴OQ ＝|2cos φ1－sin φ|.∴OP ·OQ ＝|2cos φ1＋sin φ|×|2cos φ1－sin φ|＝4.即OP ·OQ ＝4为定值．6．已知直线C 1：⎩⎨⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点，当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【解】 (1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1.解得C 1与C 2的交点为(1,0)，(12，－32)．(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)，P 点轨迹的普通方程为(x －14)2＋y 2＝116，故P 点的轨迹是圆心为(14，0)，半径为14的圆．7．求椭圆C ：x 216＋y 29＝1上的点P 到直线l ：3x ＋4y ＋18＝0的距离的最小值．【解】设点P 的坐标为(4cos θ，3sin θ)，其中θ∈0,2π)，则点P 到直线l 的距离 d ＝|12cos θ＋12sin θ＋18|5＝|122sin (θ＋π4)＋18|5＝122sin (θ＋π4)＋185≥－122＋185，当sin(θ＋π4)＝－1时，等号成立．因为θ∈0,2π)，所以θ＝5π4. 所以当θ＝5π4时，d 取得最小值18－1225.能力提升]8．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos θy ＝sin θ，其中θ为参数．以O为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos(θ＋π3)＝3 6.求椭圆C 上的点到直线l 距离的最大值和最小值．【解】直线l 的普通方程为：x －3y －36＝0，设椭圆C 上的点到直线l 距离为d . d ＝|3cos θ－3sin θ－36|2＝6sin (θ－π4)＋362∴当sin(θ－π4)＝1时，d max ＝26，当sin(θ－π4)＝－1时，d min ＝ 6.。

高中数学选修4-4单元配套练习试题02 参数方程及参考答案解析

02 参数方程姓名:___________班级:______________________一、选择题1.( ) A.()0,3 B.()1,1C.3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭D.()2,1-2.下列点在曲线sin 2,()cos sin x y θθθθ=⎧⎨=+⎩为参数上的是( )A.1(,2B.31(,)42-C. D. 3.t 为参数)所表示的曲线是 ( )A.一条射线B.两条射线C.一条直线D.两条直线4.在平面直角坐标系中,若直线y x =与直线1cos ,(sinx t t y t θθ=+⎧⎨=⎩是参数,0πθ≤<)垂直,则θ= ( ) 5.直线12+=x y 的参数方程可以是( )A.2221x t y t ⎧=⎪⎨=+⎪⎩(t 为参数) B.⎩⎨⎧+=-=1412t y t x (t 为参数) C.⎨⎧-=1t x (t 为参数) D.sin x θ=⎧⎨(θ为参数)6.)的普通方程为( ) A.122=-x y B.122=-y x C.)2|(|122≤=-x x y D.)2|(|122≤=-x y x7.在参数方程cos ,sin x a t y b t θθ=+⎧⎨=+⎩(0θπ≤≤,t 为参数)所表示的曲线上有B 、C 两点,它们对应的参数值分别为12t t 、,则线段BC 的中点M 对应的参数值是 ( ) A.221t t - B.221t t + C.221t t - D.221t t +8.若圆的方程为12cos ,32sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩(θ为参数),直线的方程为21,61x t y t =-⎧⎨=-⎩ (t 为参数),则直线与圆的位置关系是( )A.相交过圆心B.相交但不过圆心C.相切D.相离二、填空题9.t为参数)化为普通方程为 . 10.在平面直角坐标系中,曲线cos ,(sin x y ααα=⎧⎨=⎩是参数))的交点的直角坐标为_________.11.已知直线l 的参数方程为,点P 是曲线12cos ,()22sin x y ααα=+⎧⎨=+⎩为参数上的任一点,则点P 到直线l 距离的最小值为 .三、解答题12.设方程1cos ,sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)表示曲线C . (1)写出曲线C 的普通方程,并说明它的轨迹;(2)求曲线C 上的动点到坐标原点距离的最小值.13.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆221:4C x y +=,圆()22:2C x -24y +=. (1)在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别求圆1C 与圆2C 的极坐标方程及两圆交点的极坐标;(2)求圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程.14.已知圆1cos ,:sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)和直线2cos ,:sin x t l y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩(其中t 为参数,α为直线l 的倾斜角).(1)当2π3α=时,求圆上的点到直线l 的距离的最小值; (2)当直线l 与圆C 有公共点时,求α的取值范围.参考答案1.A 【解析】因为11≥+=t x ,所以曲线上点的横坐标大于或等于1,故选项A 不符合. 考点:参数方程的理解和运用.2.B 【解析】将参数方程化为普通方程是()2101y x x =+≤≤,代入各点可得31(,)42-在曲线上.考点:参数方程.3.B 【解析】12x t t =+≥或12x t t =+≤-,所以表示的曲线是两条射线.考点:参数方程.4.D【解析】直线1cos ,(sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩是参数,0πθ≤<)的倾斜角为θ,直线y x =直线y x =与直线1cos ,(sin x t t y t θθ=+⎧⎨=⎩是参数,0πθ≤<)垂直,故选D. 考点:直线参数方程的表示,两直线垂直的条件.5.C【解析】由12+=x y ,则可知直线的斜率为2,易知A 中0x ≥;选项B 化为普通方程为23y x =+;选项D,[]1,1x ∈-,故选C.考点:直线的参数方程.6.Cx ≤≤平方得221sin ,2sin ,x y αα⎧=+⎪⎨=+⎪⎩消参得221,x y x =-≤≤即)2|(|122≤=-x x y .考点:参数方程与普通方程的互化及变量的取值范围.7.B【解析】1cos B x a t θ=+,2cos C x a t θ=+,对于中点M 有(2)1M B C x x x =+ 121211cos cos ()()cos ,22a t a t a t t θθθ=+++=++同理121sin ,2()M y b t t θ=++ ∴线段BC 的中点M 对应的参数值是121()2t t +,故选B.考点:圆的参数方程,中点坐标公式.8.B【解析】将圆与直线的参数方程化为普通方程得圆:4)3()1(22=-++y x ,直线:023=+-y x ,则圆心到直线的距离为210419|23)1(3|<=++--⨯=d ,又圆心)3,1(-不在直线023=+-y x 上,故选B.考点:参数方程与普通方程互化,直线与圆的位置关系.9.210x y -+= 【解析】由t x 521+=得()125-=x t ,代入t y 511+=,化简得210x y -+=. 考点:参数方程化为普通方程.10.1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭或1,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 【解析】cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩化为普通方程为221x y +=,将代入221x y +=得22112t ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,解得1t =±,所以交点坐标为1,2⎛- ⎝⎭或12⎛ ⎝⎭. 考点:参数方程与普通方程的互化,直线与圆的位置关系,直线参数方程的应用.11.2【解析】将直线l 的参数方程化为普通方程是10x y ++=.将曲线的方程化为普通方程是()()22124x y -+-=,可得圆心为2(1)C ，,半径2r =,则圆心C 到直线l 距离d ==,点P 到直线l 距离的最小值为d r -考点:参数方程化成普通方程.12.(1)()(2211x y -+-=,表示以(为圆心,1为半径的圆 (2)1 【解析】(1)∵1cos ,sin ,x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩∴cos 1,sin x y θθ=-⎧⎪⎨=⎪⎩两式平方相加,得()(22221cos sin 1x y θθ-+=+=, ∴曲线C 的普通方程是()(2211x y -+=,它表示以(为圆心,1为半径的圆. (2)设圆上的动点为()1cos sin P θθ+,()02θπ≤< 则OP==, ∴当π4ππ33θθ-=⇒=时,min 1OP =.考点:参数方程与普通方程的互化运用,两点间的距离公式.13.(1)见解析 (2)(1x y t t =⎧⎪⎨=≤⎪⎩ 【解析】(1)圆1C 极坐标方程为2ρ=,圆2C 的极坐标方程为4cos ρθ=, 由2,4cos ,ρρθ=⎧⎨=⎩得,k ∈Z , 故圆1C 与圆2C 其中k ∈Z .(2)由(1)可知圆1C 与圆2C 交点的直角坐标为((,1,,故圆1C 与圆2C公共弦的考点:极坐标和参数方程等有关知识的综合运用.ππ62α≤≤【解析】(1)当2π3α=时,直线l又圆C的圆心坐标为(1,0),所以圆心到直线l又圆C的半径为1,故圆上的点到直线l的距(2)圆C的普通方程为22(1)1x y-+=,将直线l的参数方程代入圆C的普通方程,得这个关于t的一元二次方程有解,故,则2π3sin64α⎛⎫+≥⎪⎝⎭,即πsin62α⎛⎫+≥⎪⎝⎭或πsin6α⎛⎫+≤⎪⎝⎭.又0πα≤<,故只能有πsin6α⎛⎫+≥⎪⎝⎭故ππ2π363α≤+≤,即ππ62α≤≤.考点:曲线的参数方程,直线与圆的位置关系.。

【新】2018-2019学年高中数学学业分层测评10参数方程与普通方程的互化苏教版选修4-4

学业分层测评(十) 参数方程与普通方程的互化(建议用时：45分钟)[学业达标]1．将下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数，a 、b 为常数，且a ＞b ＞0)；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数，p 为正常数)．【解】 (1)由cos 2θ＋sin 2θ＝1，得x 2a 2＋y 2b2＝1，这是一个长轴长为2a ，短轴长为2b ，中心在原点的椭圆．(2)由已知t ＝y 2p ，代入x ＝2pt 2得y 24p2·2p ＝x ，即y 2＝2px ，这是一条抛物线．2．已知抛物线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t(t 为参数)．若斜率为1的直线经过抛物线C的焦点，且与圆(x －4)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，求r 的值．【解】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8t 2，y ＝8t 得y 2＝8x ，抛物线C 的焦点坐标为F (2,0)，直线方程为y ＝x －2，即x －y －2＝0.因为直线y ＝x －2与圆(x －4)2＋y 2＝r 2相切，由题意得r ＝|4－0－2|2＝ 2.3．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t (t 为参数)与直线4x ＋ky ＝1垂直，求常数k 的值．【解】将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋3t 化为普通方程为y ＝－32x ＋72，斜率k 1＝－32，当k ≠0时，直线4x ＋ky ＝1的斜率k 2＝－4k，由k 1k 2＝(－32)×(－4k)＝－1得k ＝－6；当k ＝0时，直线y ＝－32x ＋72与直线4x ＝1不垂直．综上可知，k ＝－6.4．过椭圆x 29＋y 24＝1内一定点P (1,0)作弦，求弦的中点的轨迹．【解】设弦的两端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为M (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，设AB 的方程为y ＝k (x －1)，代入方程x 29＋y 24＝1，得(9k 2＋4)x 2－18k 2x ＋9k 2－36＝0.由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝18k29k 2＋4，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9k 29k 2＋4，y ＝kx －＝－4k 9k 2＋4，∴x y ＝－94k ，即k ＝－4x 9y，代入y ＝k (x －1)中，得4x 2＋9y 2－4x ＝0，即x －12214＋y 219＝1.① 当AB ⊥Ox 轴时，线段AB 的中点为(1,0)，该点的坐标满足方程①，所以所求的轨迹方程为x －12214＋y 219＝1.点M 的轨迹是以O 、P 为长轴端点且离心率与原椭圆相同的一个椭圆． 5．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝at 2(其中t 是参数，α∈R )，点M (5,4)在该曲线上，(1)求常数a ；(2)求曲线C 的普通方程．【解】 (1)由题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧1＋2t ＝5，at 2＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，a ＝1，所以a ＝1.(2)由已知及(1)得，曲线C 的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ， ①y ＝t 2， ②由①得t ＝x －12，代入②得y ＝(x －12)2，即(x －1)2＝4y 为所求．6．已知极坐标系的极点O 与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，曲线C 1：ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22与曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t ∈R )交于A 、B 两点．求证：OA ⊥OB .【导学号：98990031】【证明】曲线C 1的直角坐标方程为x －y ＝4，曲线C 2的直角坐标方程是抛物线y 2＝4x . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将这两个方程联立，消去x ，得y 2－4y －16＝0⇒y 1y 2＝－16，y 1＋y 2＝4.∴x 1x 2＋y 1y 2＝(y 1＋4)(y 2＋4)＋y 1y 2＝2y 1y 2＋4(y 1＋y 2)＋16＝0，∴OA →·OB →＝0，∴OA ⊥OB . 7．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点P (x ＋y ，xy )的轨迹．【解】设点M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P (x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝cos θ＋sin θ， ①y ′＝cos θsin θ， ②①2－2×②，得x ′2－2y ′＝1，即x ′2＝2(y ′＋12)，∴所求点P 的轨迹方程为x 2＝2(y ＋12)(|x |≤2，|y |≤12)．它是顶点为(0，－12)，开口向上的抛物线的一部分．[能力提升]8．在平面直角坐标系xOy 中，求圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数，r ＞0)，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝2 2.若直线l 与圆C 相切，求r 的值．【解】将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程得：x －y －4＝0，将圆C 的参数方程化为普通方程得：(x ＋1)2＋y 2＝r 2，由题设知：圆心C (－1,0)到直线l 的距离为r ，即r ＝－－0－4|12＋－2＝522，即r 的值为522.。

(教师用书)高中数学模块学习评价苏教版选修4-4

模块学习评价(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上)1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ是参数)的离心率是________．【解析】椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ消去参数φ，可得x 29＋y 225＝1，∴a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝c a ＝45. 【答案】 452．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ，两个圆的圆心距离是________．【解析】 ρ＝2cos θ是圆心在(1,0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心在(2，π2)，半径为2的圆，所以两圆心的距离是 5.【答案】53．若点P 的极坐标为(6，7π6)，则将它化为直角坐标是________．【解析】由x ＝6cos 7π6＝－33，y ＝6sin 7π6＝－3.【答案】 (－33，－3)4．极坐标系中A (3，π12)，B (8，512π)，则A 、B 两点的距离为________．【答案】 75．球坐标(2，π6，π3)对应的点的直角坐标是________．【解析】由空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，z ＝ 3.【答案】 (12，32，3)6．已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，那么极点到该直线的距离是________．【答案】227．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝2－t(t 为参数)截抛物线y 2＝4x 所得的弦长为________．【答案】 8 28．(2013·广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．【解析】 ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2xx 2＋y2，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)．【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)9．(2013·重庆高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.【解析】由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8，∴|AB |＝－2＋＋2＝16.【答案】 1610．(2012·北京高考)直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t(t 为参数)与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．【解析】将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．【答案】 211．(2012·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －2，得t 2－3t＝0，解得t ＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)；当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)．所以AB 的中点坐标为(52，52)．【答案】 (52，52)12．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(－4,0)的距离为2，如果该直线的参数方程改写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P 对应的t 值为________．【解析】由|PM 0|＝2，知PM 0＝2或PM 0＝－2，即t ＝±2代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(－3,1)或(－5，－1)；再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t ＝1或t ＝－1.【答案】 ±113．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是________．【解析】 ∵ρ＝cos θ， ∴x 2＋y 2＝x ， ∴表示一个圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t得到3x ＋y ＝－1，得到直线．【答案】圆直线 14．已知圆C 的圆心是直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝1＋t(t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y＋3＝0相切，则圆C 的标准方程为________．【解析】将直线的参数方程化为普通方程x －y ＋1＝0.由题意可得圆心(－1,0)，则圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离即为圆的半径，故r ＝22＝2，所以圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝2二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知曲线C 1的极坐标方程为：ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为：θ＝π4(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于A 、B 两点．(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长度．【解】 (1)曲线C 2：θ＝π4(ρ∈R )表示直线y ＝x ，曲线C 1：ρ＝6cos θ，即ρ2＝6ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9.(2)∵圆心(3,0)到直线C 2的距离d ＝322，r ＝3，∴弦长AB ＝3 2.16．(本小题满分14分)已知圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t(t 为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值．【解】由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝4x ，即圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t ，消t ，得x －y －m ＝0，∵直线l 与圆C 相切，∴|2－m |2＝2，∴m ＝2±2 2.17．(本小题满分14分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．【解】 (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，又x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(2)将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y ＝－43(x －2)．令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1，则MC ＝5，所以MN ≤MC ＋r ＝5＋1.当M ，N ，C 共线时，MN 最大，此时为5＋1.18．(本小题满分16分)(2012·福建高考)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，(233，π2)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)．又P 为线段MN的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，33)，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．19．(本小题满分16分)(2012·课标全国卷)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)．(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．【解】 (1)由已知可得A (2cos π3，2sin π3)，B (2cos (π3＋π2)，2sin(π3＋π2))， C (2cos (π3＋π)，2sin(π3＋π))， D (2cos (π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．20．(本小题满分16分)(2013·课标全国卷Ⅰ)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．。

苏教版高中数学选修4-4测试题全套及答案

苏教版高中数学选修4-4测试题全套及答案阶段综合测评(一)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．极坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，－9π5，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，11π5，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，4π5，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－8，6π5的四点中，与点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，π5表示同一点的有________个．【答案】 32．已知点P 的直角坐标为(－3，3)，其极坐标为________．【答案】 (23，2π3)3．曲线的极坐标方程ρ＝－4sin θ化成直角坐标方程为________．【答案】 x 2＋(y ＋2)2＝44．在极坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1相交于点A 、B ，则AB ＝________. 【解析】平面直角坐标系中，曲线ρ＝－4sin θ和ρcos θ＝1分别表示圆x 2＋(y ＋2)2＝4和直线x ＝1，作图易知AB ＝2 3.【答案】 23 5．极坐标方程ρ＝162－cos θ表示的曲线是______．【答案】椭圆6．以(1，π)为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是________．【答案】 ρ＝－2cos θ7．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．【解析】极坐标系中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.【答案】 18．已知点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，2π3，2π3，则点M 的直角坐标为________，球坐标为________．【解析】设点M 的直角坐标为(x ，y ，z )，柱坐标为(ρ，θ，z )，球坐标为(r ，φ，θ)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2π3cos 2π3＝－π3，y ＝2π3sin 2π3＝33π，z ＝2π3，由⎩⎨⎧r ＝x 2＋y 2＋z 2，cos φ＝zr得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，cos φ＝22，即⎩⎪⎨⎪⎧r ＝22π3，φ＝π4.所以点M 的直角坐标为(－π3，3π3，2π3)，球坐标为(22π3，π4，2π3)．【答案】 (－π3，33π，23π) (223π，π4，23π)9．在极坐标系中，曲线ρ＝2cos θ和ρcos θ＝2的位置关系是________．【答案】相切10．极坐标方程sin θ＝－32表示的曲线是______．【答案】两条直线11．已知圆的极坐标方程为ρ＝4cos θ，圆心为C ，点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，则|CP |＝________.【解析】由ρ＝4cos θ可得x 2＋y 2＝4x ，即(x －2)2＋y 2＝4，因此圆心C 的直角坐标为(2,0)．又点P 的直角坐标为(2,23)，因此|CP |＝2 3. 【答案】 2312．在极坐标系中，曲线C 1：ρ(2cos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a >0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.【解析】 ρ(2cos θ＋sin θ)＝1，即2ρcos θ＋ρsin θ＝1对应的普通方程为2x ＋y －1＝0，ρ＝a (a >0)对应的普通方程为x 2＋y 2＝a 2.在2x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得x ＝22.将(22，0)代入x 2＋y 2＝a 2得a ＝22.【答案】 2213．在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后曲线C 变为曲线2x ′2＋8y ′2＝1，则曲线C 的方程为________．【解析】将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y 代入2x ′2＋8y ′2＝1，得：2·(5x )2＋8·(3y )2＝1，即50x 2＋72y 2＝1. 【答案】 50x 2＋72y 2＝114．已知圆的极坐标方程ρ＝2cos θ，直线的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0，则圆心到直线的距离为________．【解析】将ρ＝2cos θ化为ρ2＝2ρcos θ，即有 x 2＋y 2－2x ＝0，亦即(x －1)2＋y 2＝1.将ρcos θ－2ρsin θ＋7＝0化为x －2y ＋7＝0，故圆心到直线的距离d ＝|1＋7|12＋(－2)2＝855.【答案】855二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)在极坐标系中，点M 坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3，曲线C 的方程为ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 经过点M 和极点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，求线段AB 的长．【解】 (1)∵直线l 过点M (2，π3)和极点， ∴直线l 的极坐标方程是θ＝π3(ρ∈R )． ρ＝22sin(θ＋π4)即ρ＝2(sin θ＋cos θ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsin θ＋ρcos θ)， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y ＝0. (2)点M 的直角坐标为(1，3)，直线l 过点M 和原点， ∴直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .曲线C 的圆心坐标为(1,1)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离为d ＝3－12，∴AB ＝3＋2.16．(本小题满分12分)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 后，曲线C变为曲线(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，求曲线C 的方程并判断其形状．【解】将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y 代入(x ′－5)2＋(y ′＋6)2＝1，得(2x －5)2＋(2y ＋6)2＝1. 化简，得(x －52)2＋(y ＋3)2＝14.该曲线是以(52，－3)为圆心，半径为12的圆．17．(本小题满分13分)过抛物线y 2＝2px (p >0)的顶点O ，作两垂直的弦OA 、OB ，求△AOB 面积的最小值．【解】取O 为极点，Ox 轴为极轴，建立极坐标系，将抛物线方程化成极坐标方程，有ρ2sin 2θ＝2pρcos θ，设点B 的极坐标为(ρ1，θ)，因为OA ⊥OB ，所以A 的极坐标为(ρ2，π2＋θ)．所以ρ1＝2p cos θsin 2θ，ρ2＝2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ).所以S △AOB ＝12OA ·OB＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪2p cos θsin 2θ·2p cos (π2＋θ)sin 2(π2＋θ) ＝2p 2|sin θcos θ|＝4p 2|sin 2θ|≥4p 2，当θ＝π4时取到等号，因此△AOB 的面积的最小值为4p 2. 18．(本小题满分13分)过曲线ρ＝21－3cos θ的右焦点作一倾斜角为60°的直线l ，求l 被曲线截得的弦长．【解】设直线与曲线的两个交点分别为A ，B . 设A (ρ1，θ)，则B (ρ2，π＋θ)．弦长AB ＝|ρ1＋ρ2|＝|21－3cos θ＋21－3cos (π＋θ)| ＝|21－3cos θ＋21＋3cos θ|＝|41－9cos 2θ| ＝|41－9cos 260°|＝165.阶段综合测评(二)(时间90分钟，满分120分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．已知动圆：x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，a ≠b ，θ是参数)，那么圆心的轨迹是________．【答案】椭圆2．圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2的圆心坐标是________．【解析】消去参数θ，得圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心坐标为(0,2)．【答案】 (0,2)3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1和C 2的参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ为参数，0≤θ≤π2和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝－22t(t 为参数)，则曲线C 1与C 2的交点坐标为________．【解析】 C 1的普通方程为x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)． C 2的普通方程为x －y －1＝0. 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，x 2＋y 2＝5(x ≥0，y ≥0)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1.∴C 1与C 2的交点坐标为(2,1)．【答案】 (2,1)4．直线⎩⎨⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t 上对应t ＝0和t ＝1两点间的距离是________．【答案】105．方程⎩⎨⎧x ＝a ＋t cos θ，y ＝b ＋t sin θ分别以t 为参数(t ≠0)和θ为参数，得到两条曲线，则这两条曲线公共点的个数是________．【答案】 2个6．已知点P (x ，y )在椭圆x 24＋y 2＝1上，则2x ＋y 的最大值________．【解析】设x ＝2cos θ，y ＝sin θ(0≤θ＜2π)，2x ＋y ＝4cos θ＋sin θ＝17sin(θ＋φ)，所以2x ＋y 最大值为17. 【答案】177．直线⎩⎨⎧x ＝3＋at ，y ＝－1＋4t (t 为参数)过定点________．【答案】 (3，－1)8．直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝3＋cos θ，y ＝4＋sin θ(θ为参数)和曲线C 2：ρ＝1上，则AB 的最小值为________．【解析】曲线C 1的方程是(x －3)2＋(y －4)2＝1，曲线C 2的方程是x 2＋y 2＝1，两圆外离，所以AB 的最小值为32＋42－1－1＝3.【答案】 39．过曲线⎩⎨⎧x ＝3cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P 和原点连线的倾斜角为π4，则点P的坐标为________．【解析】由于y x ＝4sin θ3cos θ＝tan π4＝1，所以tan θ＝34，cos θ＝45，sin θ＝35，点P 的坐标为(125，125)．【答案】 (125，125) 10．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 2，y ＝－3＋t(t 为参数)与圆⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数)相交，弦长为________．【解析】圆的普通方程为x 2＋y 2＝5，将⎩⎨⎧x ＝t2，y ＝－3＋t代入上式，得5t 2－24t ＋16＝0，|t 1－t 2|＝ 242－4×5×1625＝165，所以相交弦长为(12)2＋1|t 1－t 2|＝85 5.【答案】85511．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎨⎧ x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．【解析】直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a消去参数t 后得y ＝x －a .椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ消去参数φ后得x 29＋y 24＝1.又椭圆C 的右顶点为(3,0)，代入y ＝x －a 得a ＝3. 【答案】 312．在平面直角坐标系下，已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2t ＋2a ，y ＝－t (t 为参数)和曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)，若曲线C 1，C 2有公共点，则实数a 的取值范围为________．【解析】 C 1可化为x ＋2y －2a ＝0，C 2可化为x 2＋(y －1)2＝4，曲线C 1，C 2有公共点，则|2－2a |5≤2，所以1－5≤a ≤1＋5，故应填[1－5，1＋5]．【答案】 [1－5，1＋5]13．直线⎩⎨⎧x ＝1＋3t ，y ＝－2－3t (t 为参数)的倾斜角是______．【答案】 56π14．如图1，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图1【解析】将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ， y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ， ∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．【答案】 ⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)二、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)已知直线l 经过P (1,1)，倾斜角为π6. (1)写出直线l 的参数方程；(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求弦AB 中点M 的坐标及点M 到A ，B 两点的距离之积．【解】(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆方程x 2＋y 2＝4中得t 2＋(3＋1)t －2＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则AB 中点M 所对应的参数为t 1＋t 22.又∵AB 中点M 所对应的参数为t 1＋t 22＝－3＋12，∴AB 中点M 的坐标为(1－34，3－34)．于是MA ·MB ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1－t 1＋t 22·⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 2－t 1＋t 22＝(t 1－t 2)24＝6＋32.16．(本小题满分12分)在极坐标系中，圆C 1的方程为ρ＝42cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ(θ是参数)，若圆C 1与圆C 2相切，求实数a 的值．【解】 C 1：(x －2)2＋(y －2)2＝8，圆心C 1(2,2)，半径r 1＝22，C 2：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，圆心C 2(－1，－1)，半径r 2＝|a |.圆心距C 1C 2＝32，两圆外切时，C 1C 2＝r 1＋r 2＝22＋|a |＝32，a ＝±2；两圆内切时，C 1C 2＝|r 1－r 2|＝|22－|a ||＝32， a ＝±5 2.综上，a ＝±2，或a ＝±5 2.17．(本小题满分13分)P 为抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，F 为其焦点，以PF 的长t 为参数，写出抛物线的参数方程．【解】设P (x ，y )，则由抛物线的定义知x ＝t －p 2，y 2＝2p (t －p2)＝2pt －p 2，所以y ＝±2pt －p 2，因此抛物线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝t －p2，y ＝2pt －p 2和⎩⎨⎧x ＝t －p2，y ＝－2pt －p 2，其中t 为参数且t ≥p2.18．(本小题满分13分)已知曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t (t 是参数)，C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ是参数)(1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 是参数)距离的最小值．【解】 (1)C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，C 2：x 264＋y 29＝1，C 1为圆心是(－4,3)，半径是1的圆．C 2为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M (－2＋4cos θ，2＋32sin θ)． C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|. 从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时， d 取得最小值855.模块综合测评(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填在题中横线上) 1．椭圆⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ(φ是参数)的离心率是________．【解析】椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝5sin φ消去参数φ，可得x 29＋y 225＝1，∴a ＝5，b ＝3，c ＝4，e ＝ca＝45.【答案】 452．极坐标方程分别是ρ＝2cos θ和ρ＝4sin θ，两个圆的圆心距离是________．【解析】 ρ＝2cos θ是圆心在(1,0)，半径为1的圆；ρ＝4sin θ是圆心在(0,2)，半径为2的圆，所以两圆心的距离是 5.【答案】53．若点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，7π6，则将它化为直角坐标是________．【解析】由x ＝6cos 7π6＝－33，y ＝6sin 7π6＝－3.【答案】 (－33，－3)4．极坐标系中A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π12，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8，512π，则A 、B 两点的距离为________．【答案】 75．球坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，π3对应的点的直角坐标是________．【解析】由空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与球坐标(r ，φ，θ)之间的变换关系⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32，z ＝ 3.【答案】 (12，32，3)6．已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，那么极点到该直线的距离是________．【答案】 227．直线⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝2－t (t 为参数)截抛物线y 2＝4x 所得的弦长为________．【答案】 828．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．【解析】 ρ＝2cos θ化为普通方程为x 2＋y 2＝2x x 2＋y 2，即(x －1)2＋y 2＝1，则其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝cos α，y ＝sin α(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)．【答案】 ⎩⎨⎧x ＝cos α＋1，y ＝sin α(α为参数)9．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若极坐标方程为ρcos θ＝4的直线与曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝t 3(t 为参数)相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.【解析】由ρcos θ＝4，知x ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t 2，y ＝t 3，∴x 3＝y 2(x ≥0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，x 3＝y 2，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－8，∴|AB |＝(4－4)2＋(8＋8)2＝16.【答案】 1610．直线⎩⎨⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t (t 为参数)与曲线⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)的交点个数为________．【解析】将⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2＋t ，y ＝－1－t 消去参数t 得直线x ＋y －1＝0；将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α消去参数α得圆x 2＋y 2＝9.又圆心(0,0)到直线x ＋y －1＝0的距离d ＝22<3.因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．【答案】 211．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎨⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为________．【解析】射线θ＝π4的普通方程为y ＝x (x ≥0)，代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝(t －1)2，得t 2－3t ＝0，解得t＝0或t ＝3.当t ＝0时，x ＝1，y ＝1，即A (1,1)；当t ＝3时，x ＝4，y ＝4，即B (4,4)．所以AB 的中点坐标为(52，52)．【答案】 (52，52)12．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋22t ，y ＝22t(t 为参数)，点P 在直线上，且与点M 0(－4,0)的距离为2，如果该直线的参数方程改写成⎩⎨⎧x ＝－4＋t ，y ＝t (t 为参数)，则在这个方程中点P对应的t 值为________．【解析】由|PM 0|＝2，知PM 0＝2或PM 0＝－2，即t ＝±2代入第一个参数方程，得点P 的坐标分别为(－3,1)或(－5，－1)；再把点P 的坐标代入第二个参数方程可得t ＝1或t ＝－1.【答案】 ±113．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎨⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t (t 为参数)所表示的图形分别是________．【解析】 ∵ρ＝cos θ，∴x 2＋y 2＝x ， ∴表示一个圆．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t得到3x ＋y ＝－1，得到直线．【答案】圆直线14．已知圆C 的圆心是直线⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝1＋t (t 为参数)与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的标准方程为________．【解析】将直线的参数方程化为普通方程x －y ＋1＝0.由题意可得圆心(－1,0)，则圆心到直线x ＋y ＋3＝0的距离即为圆的半径，故r ＝22＝2，所以圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2. 【答案】 (x ＋1)2＋y 2＝2二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分14分)已知曲线C 1的极坐标方程为：ρ＝6cos θ，曲线C 2的极坐标方程为：θ＝π4(ρ∈R )，曲线C 1，C 2相交于A 、B 两点．(1)将曲线C 1，C 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长度．【解】 (1)曲线C 2：θ＝π4(ρ∈R )表示直线y ＝x ，曲线C 1：ρ＝6cos θ，即ρ2＝6ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝6x ，即(x －3)2＋y 2＝9.(2)∵圆心(3,0)到直线C 2的距离d ＝322，r ＝3， ∴弦长AB ＝3 2.16．(本小题满分14分)已知圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t (t为参数)，若直线l 与圆C 相切，求实数m 的值．【解】由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝4x ，即圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ＋m ，y ＝22t ，消t ，得x －y －m ＝0，∵直线l 与圆C 相切，∴|2－m |2＝2，∴m ＝2±2 2.17．(本小题满分14分)已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝2sin θ，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－35t ＋2，y ＝45t(t 为参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴的交点是M ，N 是曲线C 上一动点，求MN 的最大值．【解】 (1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2＝2ρsin θ，又x 2＋y 2＝ρ2，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0.(2)将直线l 的参数方程化为直角坐标方程，得y ＝－43(x －2)．令y ＝0，得x ＝2，即M 点的坐标为(2,0)．又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝1，则MC ＝5，所以MN ≤MC ＋r ＝5＋1.当M ，N ，C 共线时，MN 最大，此时为5＋1.18．(本小题满分16分)在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(1)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (2)判断直线l 与圆C 的位置关系．【解】 (1)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)．又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为(1，33)，故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x .(2)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2,0)，(0，233)，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0. 又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径为r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．19．(本小题满分16分)已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(2)设P 为C 1上任意一点，求|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2的取值范围．【解】 (1)由已知可得A (2cos π3，2sin π3)， B (2cos (π3＋π2)，2sin(π3＋π2))， C (2cos (π3＋π)，2sin(π3＋π))， D (2cos (π3＋3π2)，2sin(π3＋3π2))，即A (1，3)，B (－3，1)，C (－1，－3)，D (3，－1)．(2)设P (2cos φ，3sin φ)，令S ＝|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2，则S ＝16cos 2φ＋36sin 2φ＋16＝32＋20sin 2φ.因为0≤sin 2φ≤1，所以S 的取值范围是[32,52]．20．(本小题满分16分)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程； (2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．【解】 (1)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋5cos t ，y ＝5＋5sin t 消去参数t ，化为普通方程(x －4)2＋(y －5)2＝25，即C 1：x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0得 ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.所以C 1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C 2的普通方程为x 2＋y 2－2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－8x －10y ＋16＝0，x 2＋y 2－2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以C 1与C 2交点的极坐标分别为(2，π4)，(2，π2)．。