第二讲基本初等函数(I)

第二讲 基本初等函数（I ）专题一 指、对、幂的运算及指、对、幂函数的概念一、要点回顾 1、根式的概念：（1）定义：若一个数的n 次方根等于()*1,a n n N <∈，则这个数称a 的n 次方根，即若nx a =，则x 称a 的n 次方根．当n 为奇数时，a 的n 次方根记作 ，当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两上n 次方根且互为相反数，记作 ．（2）性质：_______n=()()__________________n n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数． 跟踪练习：已知函数y =的定义域为R ，则下列给出的,n m 中，不能取的一对值是（ ）A 、3,7n m ==B 、2,4n m ==C 、4,3n m ==D 、3,4n m == 2、幂的有关概念（1）规定：__________na =()*n N∈，0_____a=，______pa-=，_______mna=．（注：其中,,,a n p m 都是使得式子有意义的取值）． （2）性质：（0,0,,a b r s R >>∈）______rsa a ⋅=，()_______sra=，()_______ra b ⋅=．跟踪练习：设,,a b c 都是正数，且346a b c==，那么（ ）A 、111cab=+B 、221cab=+C 、122cab=+D 、212cab=+3、对数的概念（1）定义：如果()0,1ba N a a =>≠，那么数b 称为 ，记作________b =，其中a 称为对数的底，N 称为对数的真数．两个简写：lg ________N =，ln _______N =． （2）基本性质：log 1_____a =，lo g _____a a =，log ______a Na=．（3）运算性质：()log ____________a M N=，lo g __________aM N=，lo g __________na M=．（4）换底公式：log _________a N =，log log _______a b b a ⋅=，log _________m na b =．跟踪练习：设18lo g 9,185ba ==，试用,ab 表示36log 45．4、幂函数的概念一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为自变量，a 是常数其特征是以幂的底为自变量，指数为常数．注意：判断函数是否为幂函数时要根据定义，即ax 的系数为1，指数位置的a 为一个常数，且常数项要为0，函数解析式经过变形后满足条件的均可．跟踪练习：幂函数()f x 的图像过点14,2⎛⎫⎪⎝⎭，那么()8_______f =． 二、典例精讲例1、（160.25786⎛⎫-+⨯⎪⎝⎭；（2）()()3948log 2log 2log 3log 3++．例2、函数()()1log 3x y x -=-的定义域是 ．三、巩固练习1_________=．2、已知函数()()()311xx f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，若()2fx =，则_______x=．3、用()log ,log ,log ,,0a a a x y z x y z >表示下列各式： （1）35lo g a x y z；（2）2lo g ayz专题二 指、对、幂函数的图像与性质一、要点回顾跟踪练习：若定义在区间()1,0-内的函数()()2lo g 1a f x x =+满足()0f x >，则a 的取值范围是（ ）A 、10,2⎛⎫⎪⎝⎭B 、()0,1C 、1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D 、()0,+∞二、典例精讲例1、 函数()212lo g 62y x x=+-的定义域和单调递增区间．例2、要使函数124xxy a =++⋅在(],1x ∈-∞上0y >恒成立，求a 的取值范围．三、巩固提升 1、比较大小：0.50.40.8_____0.9．2、函数()()()lg 101xf x a x x R =++∈是偶函数，()42xx b g x -=()x R ∈为奇函数，那么________a b +=．3、已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，则函数()221y f x =+-的图像通过的定点坐标为 ．4、若函数()2lg 34y x x =-+的定义域是M 当x M ∈时，求()2234x xf x +=-⨯的最值及相应的x 的值．指、对、幂函数练习题组1、2log 的值为（ ）A、 BC 、12-D 、122、设()4545log 5,log 4,log log 4P Q R ===，则（ ）A 、R Q P <<B 、P R Q <<C 、Q R P <<D 、R P Q <<3、下列函数既是奇函数，又在区间()0,+∞上是增函数的是（ ）A 、1y x x=+B、y =C 、3y x =-D 、lg 2xy =4、下列函数中，值域为(),0-∞的是（ ）A 、2y x =- B 、1313y x x ⎛⎫=-<⎪⎝⎭C 、1y x=D、y =5、函数lg y x=） A 、()0,2B 、()()0,11,2C 、(]0,2D 、()(]0,11,26、已知()f x 是奇函数，且()()2f x f x +=当01x <<时，()lg f x x =设635,,522a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A 、a b c <<B 、b a c <<C 、c b a <<D 、c a b << 7、若函数()y f x =的定义域是[]2,4-，则函数()()()g x f x f x =+-的定义域是（ ）A 、[]4,4-B 、[]2,2-C 、[]4,2-D 、[]2,48、函数2y x-=在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是（ ）A 、14B 、1-C 、4D 、4-9、幂函数()f x 的图像过点()2,16，则()4_______f =．10、（1）设(),0ln ,0xe x g x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1________3g g ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）已知函数()()2,02,0x x f x fx x⎧≤⎪=⎨->⎪⎩，则()4_______f =．11、已知函数()f x 的定义域为[]1,1-，其图像如图的示()________fx =．12、已知函数()[](]23,1,23,2,5x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩．作出其图像，并根据图像写出其单调增区间．13、已知函数()211lo g 1x f x xx+=--，求函数的定义域，并讨论它的奇偶性．14、已知函数()()2531m f x m m x --=--，m 为何值时，()f x ： （1）是正比例函数；（2）是反比例函数；（3）是二次函数；4）是幂函数．15、已知定义在R 上的函数()122xx n f x m+-+=+是奇函数．（1）求,m n 的值；（2）对于任意t R ∈，不等式()()2222f t t f t k -+-0<恒成立，求实数k 的取值范围．专题三函数的应用一、要点回顾1、函数零点（1）如果函数()y f x=在区间[],a b上的图像是连续不断的一条曲线，并且有()()_____0f a f b⋅，那么函数()y f x=在区间(),a b内有零点，即存在(),c a b∈，使得()0f c=，这个c也就是方程()0f x=的根．注意：如果函数()y f x=在[],a b上的图像是连续不断的曲线，且x是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有()()0f a f b⋅<．（2）方程的根与函数的零点的关系：由函数零点的定义可知，函数()y f x=的零点就是方程()0f x=的实数根，也就是函数()y f x=的图像与x轴的交点的横坐标所以，方程()0f x=有实数根⇔函数()y f x=的图像与x轴有⇔函数()y f x=有．跟踪练习：1、函数()23xf x x=+的零点所在的一个区间是（）A、()2,1--B、()1,0-C、()0,1D、()1,22、若方程2210a x x--=在()0,1内恰有一解，则（）A、1a<-B、1a>C、11a-<<D、01a<<2、二分法（1）二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是：函数存在零点．（2）二分法求函数零点的不足：二分法的思路虽然简单，但是一方面，若函数()y f x=在[],a b上有几个零点时，只能算出一个零点；另一方面，即使函数()y f x=在[],a b上有零点，也未必有()()0f a f b⋅<，即用二分法不能求函数的不变号零点（若曲线通过零点时函数值不变号，则这样的零点叫不变号零点，反之叫变号零点），这就限制了二分法的使用范围．跟踪练习：下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求交战横坐标的是（）3、数学建模建立数学模型的三个步骤：（1）建模抽象出问题的数学模型；（2）推理、演算对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题的数学意义上的解；（3）检验对求得的数学结果进行深入地讨论，作出检验，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解建模的三个步骤图二、巩固提升1、函数234y x x =--的零点是 ．2、若函数()22f x x x a =++没有零点，则a 的取值范围是 ．合理？专题四 综合与创新问题一、含参问题含参问题可分为两种类型，一种类型的问题是根据参数在允许范围内的不同取值（或取值范围），去探求命题可能出现的结果，然后归纳出命题的结论；另一种类型的问题是给定命题的结论去探求参数的取值范围 或参数应满足的条件．解决参数问题，通常要用“分类讨论”的方法，它实际上是一种化难为易，化繁为简的解题策略和方法．1、幂、指、对函数的含参问题例1、函数()log 2a y ax =-在区间上是减函数，则a 的取值范围是（ ）A 、()0,1B 、()1,2C 、()0,2D 、()2,+∞2、二次函数中参数的问题例2、已知函数()()2213f x a x a x =+--在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，则______a =．二、对称性问题1、函数图像的自身对称问题（1）函数()y f x =的图像自身关系直线x a =对称⇔ ；特别地，函数()y fx =的图像自身关系y 轴对称⇔ ．（2）函数()y f x =的图像自身关系点(),a b 对称⇔ ；特别地，函数()y fx =的图像自身关系原点对称⇔ ．例3、已知函数()()22403f x ax ax a =++<<，若1212,1x x x x a <+=-，则（ ）A 、()()12f x f x <B 、()()12f x f x =C 、()()12f x f x >D 、()1f x 与()2f x 大小不能够确定2、函数图像间的互对称问题（1）()y f x =与()y g x =的图像关于直线x a =对称⇔ ； （2）()y f x =与()y g x =的图像关于直线y b =对称⇔ ； （3）()y f x =与()y g x =的图像关于点(),a b 对称⇔ ； （4）()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称⇔ ． 例4、在同平面直角坐标系中，函数()12x f x +=与()12xg x -=的图像关系（ ）A 、直线1x =对称B 、x 轴对称C 、y 轴对称D 、直线y x =对称三、创新问题 1、定义新运算例5、在实数的原有运算法则中，我们定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b a ⊕=；当a b <时，2a b b ⊕=则函数()()()12f x x x x x=⊕⋅-⊕⋅在[]2,2-上的最小值等于 （“⋅”和“-”仍为通常的乘法和减法）．2、定义新概念例6、设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[]22=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦），对于给定的*n N ∈，定义()[]()()[]()[)()111,11xn n n n x C x x x x x --+=∈+∞--+ ，给出下列命题：（1）3=；（2）[]2log 31-=-（3） 1.532C =．其中正确命题的序号是 （填上所有正确命题的序号）．函数的应用、函数综合问题练习题组1、函数()()2212f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A 、(],3-∞-B 、[)3,-+∞C 、(],5-∞D 、[)5,+∞2、函数()2xf x e x =+-的零点所在的一个区间是（ ）A 、()2,1--B 、()1,0-C 、()0,1D 、()1,23、已知函数()2f x a x b x c =++的两个零点分别为1-和2当0a >时，函数()()25g x fx x =+-的零点满足（ ）A 、一个在(),1-∞-内，另一个在()2,+∞内B 、一个在(),1-∞内，另一个在()2,+∞内C 、一个在(),1-∞-内，另一个在()1,+∞内D 、一个在(),1-∞内，另一个在()1,+∞内 4、若函数()()20f x ax bx c a =++>满足()()f x f x -=，则()2f 与()3f 的大小关系是（ ）A 、()()32f f >B 、()()32f f <C 、()()32f f ≥D 、()()32f f ≤5、对于正实数a ，函数a y x x=+在区间3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭内为增函数，则a 的取值范围是（ ）A 、2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭B 、90,16⎛⎤⎥⎝⎦C 、()0,+∞D 、9,16⎡⎫⎢⎣6、在函数[]()1,1y x x =∈-的图像上有一点(),P t t ，此函数 与x 轴、直线1x =-及直线x t =围成图形（如图所示阴影部分）的面积为S ，则S 与t 的函数关系可表示为（ ）DCBA7、函数33x y a-=+()0a ≠的图像恒过定点 ．8、函数()22f x x ax =-在区间[]2,3-上是增函数，则a 的取值范围是 ． 9、函数()f x 是一个偶函数，()g x 是一个奇函数，且()()11f xg x x +=-，则()_______fx =．10、函数()311212xf x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭是 函数（选择奇、偶填空）． 11、已知函数()()log 21a f x x =+-．（1）若()f x 在[]0,1上的最大值与最小值互为相反数，求a 值； （2）若()f x 的图像不经过第二象限，求a 的取值范围．。