最新计数原理复习课

则不同的参赛方案种数为（ D ）
A. 24 B. 48 C. 120 D. 72
（3）有 A、B、C、D、E、F 6 个集装箱，准备用甲、乙、丙
三辆卡车运送，每辆卡车一次运两个，若卡车甲不能运 A 箱、
卡车乙不能运 B 箱，此外无其它任何限制。要把这 6 个集装箱分配
给这 3 台卡车运送，则不同的分配方案的种数（ D ）
3 5
A33
种.
2
1
5
4
由分类计数原理，不同的着色方法有：
A
5 5
2
C
4 5
A44
C
3 5
A33
=
420（种）
变式 6. 某人有 3 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）， 要在如图所示的 6 个点 A、B、C、A1、B1、C1 上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色， 则不同的安装方法共有 _________ 种（结果用数字表示）． 思考：若改为用 4 种颜色的灯泡，结果是多少？
A．168
B．84
C．56
D．42
例6．如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，
要求相邻地区不得使用同一颜色，现有5种颜色可供选择，
则不同的着色方法共有
种（以数字作答）.
解：按颜色分类，有三类不同的着色方法：
（1）涂5色：有
A
5 5
种；
（2）涂4色：有
2C
4 5
A44Leabharlann 种.3（3）涂3色：有
C
这里 n,mN*,且 mn 。
特别地，当m=n时，称为一个全排列，
全排列数 A n n n ( n 1 )n ( 2 )2 1 = n！.
注意：第一公式用于计算、第二个公式用于证明。
组合：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个 不同元素中取出m个元素的一个组合 . 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫
做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,记作 C .nm
C n m A A m n m m n (n 1 )n ( 2 m ) !(n m 1 ) (n m n !)m ! !
这里 n,mN*,且 mn .
注意：第一公式用于计算，第二个公式用于证明。
组合数性质：
性质1
Cnm Cnnm
排列：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排 成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数,
叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。通常用
A
m n
表示。
A n mn (n1 )n (2 )(nm 1 )(n n !m )! 规定： 0！=1
解的有序数对 (a,b) 的个数为（ B ）
A．14 B．13 C．12 D．10
例 2.从1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别
为 a,b ,共可得到 lg a lg b 的不同值的个数是（ C ）
A．9
B．10
C．18
D．20
例 3. 2016 年西博会组委会要从小张、小赵、小李、小罗、 小王五名志愿者中选派四人分别从事接待、宣传、信息采集、 司机四项不同工作，若其中小张和小赵只能从事前两项工作， 其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A. 36 种
B. 12 种
C. 18 种
D. 48 种
解：分两类：若只有小张或只有小赵入选，则有选法 C21C21 A33 24 ；若小张、小赵都入选，则有选法 A22 A32 12 ， 共有选法 36 种，选 A.
例 4.将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人, 每人至少 1 张,如果分给同一人的 2 张参观券连号,
解：由题意知本题是一个计数原理的应用， 第一步先安排底面三个顶点共有 321 6 种不同的安排方法， 第二步安排上底面的三个顶点共有 2 种不同的安排方法（3 个元 素的错排问题）． 由分步计数原理可知， 共有 62 12 种不同的安排方法．
例6. 用0, l, 2, 3, 4, 5这六个数字， （l）能组成多少个无重复数字的四位偶数？ （2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数5位数？ （3）能组成多少个比1325大无重复数字的四位数？ （4）能组成多少个无重复数字的且奇数在奇数位上的六位数字？
解：（3）符合条件的可分为三类：
第一类：千位数字为 2、3、4、5 时有 A41 A53 个； 第二类：千位百位数字为14、15时有 A21 A42 个； 第三类：千位百位十位数字为134、135时有 A21 A31 个；
解：（2）符合条件的可分为二类：
第一类：0在个位时有
A
4 5
个；
第二类：5在个位时有 A41 A43 个；
由分类计数原理得，符合条件的五位数
A54 A41A43 = 216 （个）
例5 用0, l, 2, 3, 4, 5这六个数字， （l）能组成多少个无重复数字的四位偶数？ （2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数5位数？ （3）能组成多少个比1325大无重复数字的四位数？ （4）能组成多少个无重复数字的且奇数在奇数位上的六位数字？
计数原理复习课
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分类计数原理 （加法原理）
完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同的方法,在 第2 类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有mn种不同 的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
分步计数原理：（乘法原理）
完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第 2 步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法,那么完成这 件事共有N=m1×m2×m3×…×mn种不同的方法.
性质2
Cn m 1Cn mCn m1
注意： （1）为了使上面的公式在m＝n时也能成立，
规定Cn0 1，当 m
n 时，利用这个性质计算比较简便． 2
（2）上面两个性质，除了根据组合定义直接得到
外，还可用组合数公式证明．
例 1.满足 a,b 1,0,1, 2,且关于 x 的方程 ax2 2x b 0 有实数
那么不同的分法种数是__9__6_____.
例 5．（1）5 名学生参加四种项目不同的体育比赛，
争夺这四项活动的冠军，获得冠军的可能性有（ C）
A. 45
B. 9
C. 54
D. 20
（2）从 A、B、C、D、E 五名学生中选出四名分别参加数学、
物理、化学、英语竞赛，其中 A 不参加物理、化学竞赛，