广西钦州市2018届高三数学上学期第一次质量检测试题 理

钦州市2018届高三第一次质量检测理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1234A =，，，，集合{}3,456B =，，，集合C A B =I ，则集合C 的子集的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知复数1i z =+，则下列命题中正确的个数为（ ）①z =1i z =-；③z 的虚部为i ；④z 在复平面上对应点在第一象限.A ．1B ．2C ．3D ．4 3．命题[]1,2m ∀∈，则12m x x+≥的否定是（ ） A ．[]1,2m ∀∈，则12m x x +< B ．[]1,2m ∃∈，则12mx x+≥C ．()(),12,m ∃∈-∞+∞U ，则12m x x+≥ D ．[]1,2m ∃∈，则12m x x+< 4．已知等差数列{}n a 的公差为2，若1a ，3a ，4a 成等比数列，则41a =（ ） A ．2 B ．0 C ．2- D ．4-5．若“m a >”是“函数()1133xf x m ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．23a ≥-B ．23a >-C ．23a ≤-D ．23a <- 6．执行如图所示的程序框图（*N ∈N ），那么输出的p 是（ ） A ．33N N A ++ B ．22N N A ++ C ．11N N A ++ D ．NN A7．设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()22f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ．12-C ．0D ．128．某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积为（ ）A ．()362cm +π B ．()363cm +π C ．336cm 2⎛⎫+⎪⎝⎭π D ．()3124cm +π9．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（ ）（结果保留一位小数．参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈）（ ）A ．1.3日B ．1.5日C ．2.6日D ．2.8日10．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，且20PB PC PA ++=uu r uu u r uu r r，现将一粒黄豆随机撒在ABC ∆内，则黄豆落在PBC ∆内的概率是（ ）A ．14 B ．13 C ．12 D ．2311．抛物线24y x =的焦点为F ，点(),P x y 为该抛物线上的动点，点A 是抛物线的准线与坐标轴的交点，则PFPA的最小值是（ ） A ．12B．2 CD12．已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为()f x '，当(],0x ∈-∞时，恒有()()xf x f x '<-，令()()F x xf x =，则满足()()21F F x >-的实数x 的取值范围是（ ）A ．()1,3B ．()1,2-C ．()1,3-D ．()2,2-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．已知41a b +=（a ，b 为正实数），则12a b+的最小值为 ． 14．若x ，y 满足约束条件02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则z x y =-的最大值是 ．15．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为 ． 16．在锐角三角形ABC 中，若sin 2sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．已知函数()2sinsin cos sinsin 36f x x x x =-ππ.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若()14f C =，2a =，且ABC ∆，求c 的值.18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.某市环保局从市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（1）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（2）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（3）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况，（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级.19．如图，四棱锥P ABCD -底面为正方形，已知PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，点M 、N 分别为线段PA 、BD 的中点.（1）求证：直线MN ∥平面PCD ；（2）求直线PB 与平面AMN 所成的角的余弦值.20．已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的长轴长是短轴长的2倍，过椭圆C 的右焦点且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且AB =（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点()1,0的直线l 交椭圆C 于E ，F 两点，若存在点()01,G y -使EFG ∆为等边三角形，求直线l 的方程. 21．已知函数()ln f x x x =. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当12x x <，且()()12g x g x =时，证明：122x x +>.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若直线l 的极cos 204⎛⎫--= ⎪⎝⎭πθ，曲线C 的极坐标方程为：2sin cos =ρθθ，将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线1C .（1）求曲线1C 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与曲线1C 交于A ，B 两点，点()2,0P ，求PA PB +的值. 23．选修4-5：不等式选讲已知()31f x x x =-++，()1g x x x a a =+-+-. （1）解不等式()6f x ≥；（2）若不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.钦州市2018届高三第一次质量检测理科数学参考答案一、选择题1-5:DCDCD 6-10:CCCCC 11、12：BC 二、填空题13．9+．0 15．189 16．[)8,+∞ 三、解答题 17．解：化简可得：()21cos sin 2f x x x x =-=11112cos 2sin 2444264x x x ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭π. （1）由222262k x k -+≤+≤+πππππ，k ∈Z .得：36k x k -+≤≤+ππππ.∴函数()f x 的单调增区间为,36k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ππππ，k ∈Z .（2）∵()14f C =，即111sin 22644C ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭π.∴sin 216C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π. 可得2262C k +=+πππ，k ∈Z .∵0C <<π， ∴6C =π.由2a =，且ABC ∆，即1sin 2S ab C ==.∴b =.由余弦定理可得：2412442c ++-⨯=. ∴2c =.18．解：（1）记“从这15天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”为事件A ， 则()51153P A ==； （2）依据条件，ξ服从超几何分布，其中15N =，5M =，3n =，ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：()351015k kkC C P k C -⋅==ξ，其中0,1,2,3k =；（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为51153P ==. 一年中空气质量达到一级的天数为η，则1360,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭η:； ∴13601203E =⨯=η（天）. ∴一年中平均120天的空气质量达到一级.19．解：（1）证明：由底面ABCD 为正方形，连接AC ，且AC 与BD 交于点N 因为M 、N 分别为线段PA 、BD 的中点，可得MN PC ∥，MN ⊄平面PCD ，PC ⊂平面PCD ，则直线MN ∥平面PCD .（2）由于DA DC DP ⊥⊥，以DA ，DC ，DP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，设()1,0,0A ，则()1,1,0B ，()0,1,0C ，()0,0,1P ，11,0,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，11,,022N ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则()1,1,1PB =-uu r.设平面AMN 的法向量为(),,m x y z =u r.所以1102211022x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩.令1x =，所以1y z ==.所以平面AMN 的法向量为()1,1,1m =u r.则向量PB uu r 与m u r 的夹角为θ，则1cos 3=θ.则PB 与平面AMN夹角的余弦值为3. 20．解：（1）由椭圆的长轴长是短轴长的2倍，所以24a b =，①由椭圆的通径222b AB a==，②解得：a =b =∴椭圆的标准方程：22182x y +=. （2）设直线l ：1x ty =+，()11,E x y ，()22,F x y . 易知：0t =时，不满足，故0t ≠，则221182x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：()224270t y ty ++-=，显然()2242840t t ∆=++>，∴12224t y y t +=-+，12274y y t =-+， 于是()12122824x x t y y t +=++=+.故EF 的中点224,44t D t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭. 由EFG ∆为等边三角形， 则GE GF =.连接GD 则1GD EF k k ⋅=-，即02241414ty t t ++=---+，整理得0234t y t t =++， 则231,4t G t t ⎛⎫-+⎪+⎝⎭， 由EFG ∆为等边三角形，则GD =，2234GD EF =. ∴()2222244311444t t t t t ⎛⎫⎛⎫+++=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22227444t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--⨯-⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.整理得：()2222242484144t t t +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭+,即()2222228248444t t t t ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭+，解得：210t =，则t = ∴直线l的方程1x =+，即)1y x =-. 21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， 令()1ln 0f x x '=+=，得1x e=. 当1x e >时，()0f x '>，()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； 当10x e <<时，()0f x '<，()f x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. ∴()f x 单调递减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）证明：因为()ln f x x x =， 故()()11ln f x g x x x x+==+，（0x >）. 由()()12g x g x =（12x x <）， 得121211ln ln x x x x +=+，即212121ln 0x x x x x x -=>. 要证122x x +>，需证()212121212ln x x xx x x x x -+⋅>， 即证2121212ln x x xx x x ->. 设21x t x =（1t >），则要证12ln t t t->（1t >）. 令()12ln h t t t t=--.则()22121110h t t t t ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭.∴()h t 在()1,+∞上单调递增，则()()10h t h >=.即12ln t t t->.故122x x +>.22．解：（1）曲线C 的极坐标方程为：2sin cos =ρθθ，即22sin cos =ρθρθ，化为直角坐标方程：2y x =.将曲线C 上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，然后再向右平移一个单位得到曲线1C ：()221y x =-. （2）直线lcos 204⎛⎫--= ⎪⎝⎭πθ，()cos sin 20+-=θθ. 可得直角坐标方程：20x y +-=.可得参数方程：222x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t为参数）. 代入曲线1C的直角坐标方程可得：240t +-=.解得12t t +=-124t t ⋅=-. ∴12PA PB t t +=-===23．解：（1）当3x ≥时，226x -≥解得4x ≥.当13x -<<时，46≥无解，当1x ≤-时，226x -+≥解得2x ≤-. ∴()6f x ≥的解集为{2x x ≤-或}4x ≥. （2）由已知311x x x x a a -++≥+-+-恒成立.∴3x x a a -++≥-恒成立. 又33x x a x x a -++≥---=33a a --=+. ∴3a a +≥-，解得32a ≥-. ∴32a ≥-时，不等式()()f x g x ≥恒成立.。