高中数学必修2 综合水平测试

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人教版A版27课标高中数学必修第二册第八章综合测试试题试卷含答案

第八章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（） A.若m ∥α，n ∥α，则m n ∥ B.若⊥αγ，⊥βγ，则∥αβ C.若m ∥α，m ⊥β，则⊥αβD.若m ∥α，⊥αβ，则m ⊥β2.如图，O A B ′′′△是水平放置的OAB △的直观图，6A O =′′，2B O =′′，则OAB △的面积是（）A.6B.C.D.123.BC 是Rt ABC △的斜边，PA ABC ⊥平面，PD BC D ⊥于点，则图8-7-37中直角三角形的个数是（）A.8B.7C.6D.54.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点M ，N 分别是线段1DB 和1A C 上不重合的两个动点，则下列结论正确的是（）A.1BC MN ⊥B.1B N CM ∥C.11ABN C MD 平面∥平面D.1111CDM A B C D 平面⊥平面5.已知一个多面体的内切球的半径为1，多面体的表面积为18，则此多面体的体积为（） A.18B.12C.6D.12π6.如图8-7-39所示，在三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直于底面，AB AC ==，16BB BC ==，E ，F 为侧棱1AA 上的两点，且3EF =，则多面体11BB C CEF 的体积为（） A.30 B.18 C.15D.127.如图，一个无盖的正方体盒子的棱长为2，BC 的中点为M ，一只蚂蚁从盒外的B 点沿正方形的表面爬到盒内的M 点，则蚂蚁爬行的最短距离是（）B.1D.2+8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，线段11B D 上有两个动点E ，F ，且12EF =，则下列结论中错误的是（）A.AC BE ⊥B.EF ABCD ∥平面C.三棱锥A BEF -的体积为定值D.AEF △的面积与BEF △的面积相等9.如图8-7-42，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AD AA =，则下列结论中不正确的是（）A.111A B CD BC D ⊥平面平面B.1111A B CD P D P BC D 在平面上存在一点使得∥平面C.111A C Q D Q BC D 在直线上存在一点，使得∥平面D.111A C R D R BC D ⊥在直线上存在一点，使得平面10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，12AB AA AD ==，E 是1DD 的中点，114BF C K AB ==，设过点E ，F ，K 的平面与平面ABCD 的交线为l ，则直线l 与直线11A D 所成角的正切值为（）A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上） 11.如图所示，正方形ABCD 的边长为a ，沿对角线AC 将ADC △折起，若°60DAB ∠=，则二面角D AC B --的平面角的大小为________.12.在正三棱锥S ABC -中，AB =，SA =，E ，F 分别为AC ，SB 的中点.平面α过点A ，SBC ∥平面α，ABC l α= 平面，则异面直线l 和EF 所成角的余弦值为________.13.如图，一个实心六角螺帽毛坯（正六棱柱）的底边长为4，高为3，若在中间竖直钻一个圆柱形孔后，其表面积没有变化，则孔的半径为________.14.如图8-7-46，直角梯形ABCD 中，°90DAB ∠=，AB CD ∥，CE AB ⊥于点E .已知22BE AE ==，°30BCE ∠=.若将直角梯形绕直线AD 旋转一周，则图中阴影部分所得旋转体的体积为________.三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]如图所示，一个圆锥形的空杯子（只考虑杯身部分）上放着一个直径为8 cm 的半球形冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形冰淇淋的直径，杯壁厚度忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计才能使其所用材料面积最小？并求面积的最小值.16.[12分]在四面体ABCD 中，E ，H 分别是线段AB ，AD 的中点，F ，G 分别是线段CB ，CD 上的点，且12CF CG BF DG ==.求证：（1）四边形EFGH 是梯形；（2）AC ，EF ，GH 三条直线相交于同一点.17.[13分]在如图所示的多面体中，EF AEB ⊥平面，AE EB ⊥，AD EF ∥，EF BC ∥，24BC AD ==，3EF =，2AE BE ==，G 是BC 的中点。

高中数学必修二测试题及答案人教版

第一章空间几何体一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示，这个几何体可能是一个( )．主视图左视图俯视图 (第1题) A ．棱台 B ．棱锥 C ．棱柱 D ．正八面体2．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是( )．A ．2＋2B ．221＋C ．22＋2 D ．2＋13．棱长都是1的三棱锥的表面积为( )．A ．3B ．23C ．33D ．434．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )．A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 5．正方体的棱长和外接球的半径之比为( )． A ．3∶1 B ．3∶2 C ．2∶3 D ．3∶36．在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝1.5，∠ABC ＝120°，若使△ABC 绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )．A ．29πB ．27πC ．25πD ．23π7．若底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和15，则这个棱柱的侧面积是( )．A ．130B ．140C ．150D ．1608．如图，在多面体ABCDEF 中，已知平面ABCD 是边长为3的正方形，EF ∥AB ，EF ＝23，且EF 与平面ABCD 的距离为2，则该多面体的体积为( )．A ．29 B ．5 C ．6 D ．2159．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，错误．．的是( )． A ．用斜二测画法画出的直观图是在平行投影下画出的空间图形B ．几何体的直观图的长、宽、高与其几何体的长、宽、高的比例相同C ．水平放置的矩形的直观图是平行四边形D ．水平放置的圆的直观图是椭圆10．如图是一个物体的三视图，则此物体的直观图是( )．(第8题)(第10题)二、填空题11．一个棱柱至少有______个面，面数最少的一个棱锥有________个顶点，顶点最少的一个棱台有________条侧棱．12．若三个球的表面积之比是1∶2∶3，则它们的体积之比是_____________．13．正方体ABCD－A1B1C1D1 中，O是上底面ABCD的中心，若正方体的棱长为a，则三棱锥O－AB1D1的体积为_____________．14．如图，E，F分别为正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是___________．(第14题)15．已知一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则这个长方体的对角线长是___________，它的体积为___________．16．一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_________厘米．三、解答题17．有一个正四棱台形状的油槽，可以装油190 L，假如它的两底面边长分别等于60 cm 和40 cm，求它的深度．18 *．已知半球内有一个内接正方体，求这个半球的体积与正方体的体积之比．[提示：过正方体的对角面作截面]19．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝22，AD＝2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积．(第19题)20．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高4 m，养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积；(2)分别计算按这两种方案所建的仓库的表面积；(3)哪个方案更经济些？第一章空间几何体参考答案A 组一、选择题 1．A解析：从俯视图来看，上、下底面都是正方形，但是大小不一样，可以判断可能是棱台．2．A解析：原图形为一直角梯形，其面积S ＝21(1＋2＋1)×2＝2＋2．3．A解析：因为四个面是全等的正三角形，则S 表面＝4×43＝3． 4．B解析：长方体的对角线是球的直径， l ＝2225＋4＋3＝52，2R ＝52，R ＝225，S ＝4πR 2＝50π． 5．C解析：正方体的对角线是外接球的直径． 6．D解析：V ＝V 大－V 小＝31πr 2(1＋1.5－1)＝23π．7．D解析：设底面边长是a ，底面的两条对角线分别为l 1，l 2，而21l ＝152－52，22l ＝92－52，而21l ＋22l ＝4a 2，即152－52＋92－52＝4a 2，a ＝8，S 侧面＝4×8×5＝160． 8．D解析：过点E ，F 作底面的垂面，得两个体积相等的四棱锥和一个三棱柱，V ＝2×31×43×3×2＋21×3×2×23＝215．9．B解析：斜二测画法的规则中，已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于 y 轴的线段，长度为原来的一半．平行于 z 轴的线段的平行性和长度都不变．10．D解析：从三视图看底面为圆，且为组合体，所以选D. 二、填空题11．参考答案：5，4，3．解析：符合条件的几何体分别是：三棱柱，三棱锥，三棱台．12．参考答案：1∶22∶33．r 1∶r 2∶r 3＝1∶2∶3，31r ∶32r ∶33r ＝13∶(2)3∶(3)3＝1∶22∶33．13．参考答案：361a ．解析：画出正方体，平面AB 1D 1与对角线A 1C 的交点是对角线的三等分点，三棱锥O －AB 1D 1的高h ＝33a ，V ＝31Sh ＝31×43×2a 2×33a ＝61a 3．另法：三棱锥O －AB 1D 1也可以看成三棱锥A －OB 1D 1，它的高为AO ，等腰三角形OB 1D 1为底面．14．参考答案：平行四边形或线段．15．参考答案：6，6．解析：设ab ＝2，bc ＝3，ac ＝6，则V = abc ＝6，c ＝3，a ＝2，b ＝1， l ＝1＋2＋3＝6． 16．参考答案：12．解析：V ＝Sh ＝πr 2h ＝34πR 3，R ＝32764×＝12．三、解答题 17．参考答案：V ＝31(S ＋S S ′＋S )h ，h ＝S S S S V ′＋′＋3＝6001＋4002＋60030001903×＝75．18．参考答案：如图是过正方体对角面作的截面．设半球的半径为R ，正方体的棱长为a ，则CC'＝a ，OC ＝22a ，OC'＝R ．(第18题)在Rt △C'CO 中，由勾股定理，得CC' 2＋OC 2＝OC' 2，即 a 2＋(22a )2＝R 2． ∴R ＝26a ，∴V 半球＝26πa 3，V 正方体＝a 3． ∴V 半球 ∶V 正方体＝6π∶2． 19．参考答案：S 表面＝S 下底面＋S 台侧面＋S 锥侧面＝π×52＋π×(2＋5)×5＋π×2×22 ＝(60＋42)π． V ＝V 台－V 锥＝31π(21r ＋r 1r 2＋22r )h －31πr 2h 1 ＝3148π．20．解：(1) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝31Sh ＝31×π×(216)2×4＝3256π(m 3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积COAV 2＝31Sh ＝31×π×(212)2×8＝3288π(m 3)．(2) 参考答案：如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ．棱锥的母线长为l ＝224＋8＝45，仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ．棱锥的母线长为l ＝226＋8＝10，仓库的表面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)．(3) 参考答案：∵V 2＞V 1，S 2＜S 1，∴方案二比方案一更加经济些．。

高中数学全册综合检测试题课时作业(含解析)新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题

全册综合检测试题时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题每小题5分，共40分 1．下列命题为假命题的是( D ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|>|z 2|解析：A 中，任何复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立，所以A 正确；B 中，由复数为零的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；C 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )，且z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，所以|z 1|＝|z 2|；反之，由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时，|z 1|＝|z 2|，故C 正确；D 中，若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 1>z 2，则a 1>a 2，b 1＝b 2＝0，此时|z 1|>|z 2|；若|z 1|>|z 2|，z 1与z 2不一定能比较大小，所以D 错误．2．随机调查某校50个学生在学校的午餐费，结果如表：餐费/元 6 7 8 人数102020这50A ．7.2,0.56 B ．7.2，0.56 C ．7,0.6 D ．7，0.6解析：根据题意，计算这50个学生午餐费的平均值是x ＝150×(6×10＋7×20＋8×20)＝7.2，方差是s 2＝150[10×(6－7.2)2＋20×(7－7.2)2＋20×(8－7.2)2]＝150(14.4＋0.8＋12.8)＝0.56.3．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是( B ) A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线 D ．α，β垂直于同一平面解析：当α内有无数条直线与β平行，也可能两平面相交，故A 错．同样当α，β平行于同一条直线或α，β垂直于同一平面时，两平面也可能相交，故C ，D 错．由面面平行的判定定理可得B 正确．4．如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则CC 1与平面AB 1C 1所成的角为( A )A.π6B.π4 C.π3D.π2解析：如图，取B 1C 1中点为D ，连接AD ，A 1D ，因为侧棱垂直于底面，底边是边长为2的正三角形，所以三棱柱ABC A 1B 1C 1是正三棱柱，所以CC 1∥AA 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成的角即是CC 1与平面AB 1C 1所成的角，因为B 1C 1⊥A 1D ，B 1C 1⊥AA 1，所以B 1C 1⊥平面AA 1D ，所以平面AA 1D ⊥平面AB 1C 1，所以AA 1与平面AB 1C 1所成角为∠A 1AD ，因为AA 1＝3，A 1D ＝3，所以tan ∠A 1AD ＝A 1D AA 1＝33，所以∠A 1AD ＝π6，所以CC 1与平面AB 1C 1所成角为π6.5．正方形ABCD 的边长为2，点E 为BC 边的中点，F 为CD 边上一点，若AF →·AE →＝|AE →|2，则|AF →|＝( D )A ．3B ．5 C.32D.52解析：以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立坐标系，如图所示，因为E 为BC 边的中点，所以E (2,1)，因为F 为CD 边上一点，所以可设F (t,2)(0≤t ≤2)，所以AF →＝(t,2)，AE →＝(2,1)，由AF →·AE →＝|AE →|2可得：2t ＋2＝22＋1＝5，所以t ＝32，所以AF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，所以|AF →|＝322＋22＝52.6．已知点O 是△ABC 内部一点，并且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，△BOC 的面积为S 1，△ABC 的面积为S 2，则S 1S 2＝( A )A.16B.13C.23D.34 解析：因为OA →＋2OB →＋3OC →＝0，所以OA →＋OC →＝－2(OB →＋OC →)，如图，分别取AC ，BC 的中点D ，E ，则 OA →＋OC →＝2OD →，OB →＋OC →＝2OE →，所以OD →＝－2OE →，即O ，D ，E 三点共线且|OD →|＝2|OE →|，则S △OBC ＝13S △DBC ，由于D 为AC 中点，所以S △DBC ＝12S △ABC ，所以S △OBC ＝16S △ABC ，即S 1S 2＝16.7．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程，20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( D )A.12B.13C.14D.16解析：记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意，事件A i ，B i ，C i (i ＝1,2,3)相互独立，则P (A i )＝3060＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝16，i ＝1,2,3，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝6P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16.8．如图，△ABC 是边长为23的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为1的圆上任意一点，则AP →·BP →的取值X 围是( A )A ．[1,13]B ．(1,13)C ．(4,10)D ．[4,10]解析：取AB 的中点D ，连接CD ，CP ，则CA →＋CB →＝2CD →，所以AP →·BP →＝(CP →－CA →)·(CP →－CB →)＝CA →·CB →－2CD →·CP →＋1＝(23)2cos π3－2×3×1×cos〈CD →，CP →〉＋1＝7－6cos 〈CD →，CP →〉，所以当cos 〈CD →，CP →〉＝1时，AB →·BP →取得最小值为1；当cos 〈CD →，CP →〉＝－1时，AP →·BP→取得最大值为13，因此AP →·BP →的取值X 围是[1,13]．二、多项选择题每小题5分，共20分9．为了反映各行业对仓储物流业务需求变化的情况，以及重要商品库存变化的动向，中国物流与采购联合会和中储发展股份某某通过联合调查，制定了中国仓储指数．由2017年1月至2018年7月的调查数据得出的中国仓储指数，绘制出如下的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是( ABC ) A ．2017年各月的仓储指数最大值是在3月份 B ．2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为55 C ．2018年1月与4月的仓储指数的平均数约为52D ．2017年1月至4月的仓储指数相对于2018年1月至4月，波动性更大解析：2017年各月的仓储指数最大值是在11月份，所以A 错误；由题图知，2018年1月至7月的仓储指数的中位数约为52，所以B 错误；2018年1月与4月的仓储指数的平均数约为51＋552＝53，所以C 错误；由题图可知，2017年1月至4月的仓储指数比2018年1月至4月的仓储指数波动更大．所以D 正确．10．已知数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入x n ＋1，对于这(n ＋1)个数据，下列说法错误的是( ACD )A ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变解析：∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是A 市n (n ≥3，n ∈N *)个普通职工的年收入，而x n ＋1为世界首富的年收入，则x n ＋1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ，∴对于这(n ＋1)个数据，年收入平均数大大增大，但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程度受到x n ＋1比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．故A 、C 、D 说法错误，符合题意．11．已知向量a ，e 满足a ≠e ，|e |＝1，且对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |成立，则( BC )A ．a ⊥eB ．a·e ＝1C ．e ⊥(a －e )D ．(a ＋e )⊥(a －e )解析：由条件可知|a －t e |2≥|a －e |2对t ∈R 恒成立，又∵|e |＝1，∴t 2－2t a ·e ＋2a ·e －1≥0对t ∈R 恒成立，即Δ＝(－2a ·e )2－8a ·e ＋4≤0恒成立，∴(a ·e －1)2≤0恒成立，而(a ·e －1)2≥0，∴a ·e －1＝0，即a ·e ＝1＝e 2，∴e ·(a －e )＝0，即e ⊥(a －e )．12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E 为AB 的中点，将△ADE 沿DE 翻折到△A 1DE 的位置，A 1∉平面ABCD ，M 为A 1C 的中点，则在翻折过程中，下列结论正确的是( ABC )A ．恒有BM ∥平面A 1DEB ．B 与M 两点间距离恒为定值C ．三棱锥A 1DEM 的体积的最大值为212D ．存在某个位置，使得平面A 1DE ⊥平面A 1CD解析：如图，取A 1D 的中点N ，连接MN ，EN ，可得四边形BMNE 是平行四边形，所以BM ∥EN ，所以BM ∥平面A 1DE ，故A 正确；(也可以延长DE ，CB 交于H ，可证明MB ∥A 1H ，从而证 BM ∥平面A 1DE ) 因为DN ＝12，DE ＝2，∠A 1DE ＝∠ADE ＝45°，根据余弦定理得EN 2＝14＋2－2×2×12×22，得EN ＝52，因为EN ＝BM ，故BM ＝52，故B 正确；因为M 为A 1C 的中点，所以三棱锥C A 1DE 的体积是三棱锥M A 1DE 的体积的两倍，故三棱锥C A 1DE 的体积VC A 1DE ＝VA 1DEC ＝13S △CDE ·h ，其中h 表示A 1到底面ABCD 的距离，当平面A 1DE ⊥平面ABCD 时，h 达到最大值，此时VA 1DEC 取到最大值26，所以三棱锥M A 1DE 体积的最大值为212，即三棱锥A 1DEM 体积的最大值为212，故C 正确；考察D 选项，假设平面A 1DE ⊥平面A 1CD ，因为平面A 1DE ∩平面A 1CD ＝A 1D ，A 1E ⊥A 1D ，故A 1E ⊥平面A 1CD ，所以A 1E ⊥A 1C ，则在△A 1CE 中，∠EA 1C ＝90°，A 1E ＝1，EC ＝2，所以A 1C ＝1，又因为A 1D ＝1，CD ＝2，所以A 1D ＋A 1C ＝CD ，故A 1，C ，D 三点共线．所以A 1∈CD ，得A 1∈平面ABCD ，与题干条件A 1∉平面ABCD 矛盾，故D 不正确．故选ABC.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题每小题5分，共20分13．随着社会的发展，食品安全问题渐渐成为社会关注的热点，为了提高学生的食品安全意识，某学校组织全校学生参加食品安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]，若该校的学生总人数为 3 000，则成绩不超过60分的学生人数大约为900.解析：由题图知，成绩不超过60分的学生的频率为(0.005＋0.01)×20＝0.3，所以成绩不超过60分的学生人数大约为0.3×3 000＝900.14．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710. 解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，共有10种情况．若选出的2名学生恰有1名女生，有6种情况，若选出的2名学生都是女生，有1种情况，所以所求的概率为6＋110＝710.15．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ，若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝－3，b ＝－10. 解析：因为OC →＝2OA →＋OB →，所以1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧1＝4＋a ，－4＝6＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.16．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为2，除平面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M ，则四棱锥M EFGH 的体积为23.解析：因为底面EFGH 的对角线EG 与FH 互相垂直，所以S EFGH ＝12×EG ×FH ＝12×2×2＝2，又M 到底面EFGH 的距离等于棱长的一半，即h ＝12×2＝1，所以四棱锥M EFGH 的体积：V M EFGH ＝13×S EFGH ×h ＝13×2×1＝23.四、解答题写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分17．(10分)某市举办法律知识问答活动，随机从该市18～68岁的人群中抽取了一个容量为n 的样本，并将样本数据分成五组：[18,28)，[28,38)，[38,48)，[48,58)，[58,68]，并绘制如图所示的频率分布直方图，再将其分别编号为第1组，第2组，…，第5组．该部门对回答问题的情况进行统计后，绘制了下表．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组 [18,28) 5 0.5第2组 [28,38) 18 a第3组 [38,48) 270.9 第4组 [48,58) x0.36 第5组[58,68]30.2(1)分别求出a，x的值；(2)从第2,3,4组回答正确的人中用分层随机抽样的方法抽取6人，则第2,3,4组每组各应抽取多少人？(3)在(2)的前提下，在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求第2组至少有1人获得幸运奖的概率．解：(1)第1组的人数为5÷0.5＝10，第1组的频率为0.010×10＝0.1，所以n＝10÷0.1＝100.第2组的频率为0.020×10＝0.2，人数为100×0.2＝20，所以a＝18÷20＝0.9.第4组的频率为0.025×10＝0.25，人数为100×0.25＝25，所以x＝25×0.36＝9.(2)第2,3,4组回答正确的人数的比为18279＝231，所以第2,3,4组每组各应抽取2人、3人、1人．(3)记“第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，设抽取的6人中，第2组的2人为a1，a2，第3组的3人为b1，b2，b3，第4组的1人为c，则从6人中任意抽取2人所有可能的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c)，(b2，b3)，(b2，c)，(b3，c)，共15种．其中第2组至少有1人获得幸运奖的结果为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c)，共9种．故P(A)＝915＝35.所以抽取的6人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为35.18．(12分)某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．(注：分组区间为[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100])(1)若得分大于或等于80认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？(2)在(1)中所述的优秀学生中用分层随机抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．解：(1)由题可得，男生优秀人数为100×(0.01＋0.02)×10＝30，女生优秀人数为100×(0.015＋0.03)×10＝45.(2)因为样本量与总体中的个体数的比是530＋45＝115，所以样本中包含的男生人数为30×115＝2，女生人数为45×115＝3.设抽取的5人分别为A ，B, C, D ，E ，其中A ，B 为男生，C, D ，E 为女生，从5人中任意选取2人，试验的样本空间Ω＝{(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(C ，D )，(C ，E )，(D ，E ) }，共10个样本点．事件“至少有一名男生”包含的样本点有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，共7个样本点，故至少有一名男生的概率为P ＝710，即选取的2人中至少有一名男生的概率为710.19．(12分)已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B .(1)求角C 大小；(2)若c ＝2，求3a ＋b 的取值X 围．解：(1)因为sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－3sin A sin B ，所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－3ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－3ab 2ab ＝－32，因为C ∈(0，π)，所以C ＝5π6. (2)由正弦定理得2R ＝csin C ＝4，所以3a ＋b ＝2R (3sin A ＋sin B ) ＝4[3sin A ＋sin(π6－A )]＝4(3sin A ＋12cos A －32sin A )＝4sin(A ＋π6)，因为A ∈(0，π6)，所以A ＋π6∈(π6，π3)，所以sin(A ＋π6)∈(12，32)，所以3a ＋b 的取值X 围是(2,23)．20．(12分)如图，A ，C 两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A 岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B 处．然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C 岛．(1)求A ，C 两岛之间的直线距离； (2)求∠BAC 的正弦值．解：(1)在△ABC 中，由已知，AB ＝10×5＝50，BC ＝10×3＝30，∠ABC ＝180°－75°＋15°＝120°.根据余弦定理，得AC 2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4 900，所以AC ＝70. 故A ，C 两岛之间的直线距离是70海里． (2)在△ABC 中，据正弦定理，得BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，所以sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ＝30sin120°70＝3314，故∠BAC 的正弦值是3314.21．(12分)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，△PCD 为等边三角形，平面PAC ⊥平面PCD ，PA ⊥CD ，CD ＝2，AD ＝3.(1)设G ，H 分别为PB ，AC 的中点，求证：GH ∥平面PAD ； (2)求证：PA ⊥平面PCD ；(3)求直线AD 与平面PAC 所成角的正弦值．解：(1)证明：连接BD，如图，易知AC∩BD＝H，BH＝DH，又BG＝PG，故GH∥PD，又因为GH⊄平面PAD，PD⊂平面PAD，所以GH∥平面PAD.(2)证明：取棱PC的中点N，连接DN，如图，依题意，得DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又因为PA⊥CD，CD∩DN＝D，所以PA⊥平面PCD.(3)连接AN，如图，由(2)中DN⊥平面PAC，可知∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角．因为△PCD为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，所以DN＝3，又DN⊥AN，在Rt△AND中，sin∠DAN＝DNAD ＝33，所以直线AD与平面PAC所成角的正弦值为33.22．(12分)如图，在四棱锥PABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB ∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4.(1)求证：平面PCD⊥平面PAD；(2)求三棱锥PABC的体积；(3)在棱PC上是否存在点E，使得BE∥平面PAD？若存在，请确定点E的位置，并证明；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：因为AB∥CD，AB⊥AD，所以CD⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以CD⊥平面PAD.因为CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD.(2)取AD的中点O，连接PO，如图．因为△PAD为正三角形，所以PO⊥AD.因为平面PAD ⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO为三棱锥PABC的高．因为△PAD为正三角形，CD＝2AB＝2AD＝4，所以PO＝3，所以V三棱锥PABC＝S△ABC·PO＝13×12×2×2×3＝233.(3)在棱PC上存在点E，当E为PC的中点时，BE∥平面PAD.证明：如图，分别取CP，CD的中点E，F，连接BE，BF，EF，所以EF∥PD.因为AB∥CD，CD＝2AB，所以AB∥FD，AB＝FD，所以四边形ABFD为平行四边形，所以BF∥AD. 因为BF∩EF＝F，AD∩PD＝D，所以平面BEF∥平面PAD.因为BE⊂平面BEF，所以BE∥平面PAD.。

人教A版高中数学必修二模块综合测试卷

人教A 版高中数学必修二模块综合测试卷满分150分，考试时间120分钟.一、选择题：（共10小题，每小题5分）1．某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( )A. 圆柱B. 圆锥C. 四面体D. 三棱柱 2．直线1l 与2l 垂直，则（）A ．1l 与2l 的斜率之积等于1-B ．1l 与2l 的斜率互为相反数C ．1l 与2l 的斜率互为倒数D ．以上答案都正确 3．圆2240x y x +-=的圆心坐标和半径分别为（）A ．(0,2),2B ．(2,0),4C ．(2,0),2-D ．(2,0),2 4．已知m,n 表示两条不同直线,α表示平面.下列说法正确的是( ) A. 若m∥α,n∥α,则m∥n B. 若m⊥α,n ⊂α,则m⊥n C. 若m⊥α,m⊥n,则n∥αD. 若m∥α,m⊥n,则n⊥α5．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（） A ．2π B ．4π C ．8π D ．16π 6．下列四个命题中错误的．．．是（） A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 确定一个平面 B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线 C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面7．设m∈R,过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|²|PB|的最大值是（）A ．3B ．10C ．10D ．58．在平面直角坐标系中,A 、B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x+y-4=0相切,则圆C 面积的最小值为( ) A.π54 B.π43 C. π)526(- D.π45 9. 直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC=CA=CC 1,则BM 与AN所成角的余弦值为( ) A.101 B.52 C.1030 D.22 10．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( ) A ．62B ．6C ．42D ．4 二、填空题：（共4小题，每小题5分）11．已知直线ax+y-2=0与圆心为C 的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a= .12．三棱锥P-ABC 中,D,E 分别为PB,PC 的中点,记三棱锥D-ABE 的体积为1V , P-ABC 的体积为2V , 则21V V = . 13．圆2220x y x +-=和圆2240x y y ++=的位置关系是_______. 14．如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,点O 为线段BD 的中点.设点P 在线段CC 1上,直线OP 与平面A 1BD 所成的角为α,则sin α的取值范围是___ ____.三、解答题：（共6小题）15．（本小题满分12分）如图四边形ABCD 为梯形，//AD BC ，90ABC ∠=︒，求图中阴影部分绕AB 旋转一周所形成的几何体的表面积和体积。

【湘教版】高中数学必修一、必修二学业水平测试试题(6)(教师)

【湘教版】高中数学（必修一、必修二）学业水平测试试题（6）一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确答案的代号填入答题卡中．．．．．．．．．．．．．．．） 1．设b 是a 的相反向量，则下列说法一定错误的是( ) A ．a 与b 的长度相等 B ．a ∥b C ．a 与b 一定不相等 D ．a 与b 互为相反向量答案：C2．记符号{}B x A x x B A ∉∈=-且,，若⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<=2221xxA ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧<=1log 31x x B ，则=-B A （） A ⎥⎦⎤⎝⎛-31,1 B ⎪⎭⎫⎝⎛-31,1 C ⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,21D ⎥⎦⎤⎝⎛31,0答案：A3．若f (x ) cos 2xπ 是周期为2的奇函数,则f (x )可以是（）A ．sin 2x π B ．cos 2xπ C ．sinπx D ．cosπx答案：A4．函数()431-+=x x x f 的零点所在的区间是（）A ()3,2B ()2,1C ()1,0D ()4,3 答案：A5．方程sinx = lgx 的实根有（）A ．1个B ．3个C ．2个D ．无穷多个答案：B6．已知函数y =f (x ),将f (x )图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标扩大到原来的2倍,然后把所得到图象沿x 轴向左平移4π个单位,这样得到的曲线与y =3sin x 的图象相同,那y =f (x )的解析式为（）A ．f(x)=3sin(42π-x ) B ．f(x)=3sin(2x+4π) C ．f(x)=3sin(42π+x ) D ．f(x)=3sin(2x －4π)答案：D7．已知函数112++=mx mx y 的定义域是R ，则实数m 的取值范围是（）A (][)+∞∞-,40,B []4,0C (]4,0D [)4,0 答案：D8．y= log 21sin(2x +4π)的单调递减区间是（）A ．[kπ－4π,kπ](k ∈Z) B ．(kπ－8π ,kπ+8π)(k ∈Z)C ．[kπ－83π ,kπ+8π] (k ∈Z) D ． (kπ－8π, kπ+83π)(k ∈Z)答案：B9．已知函数)(x f y =为R 上的偶函数，若对于0≥x 时，都有)()2(x f x f -=+，且当[)2,0∈x 时，),1(log )(2+=x x f 则)12()11(f f +-等于（）A 6log 2B 23log 2C 1D 1-答案：D10．函数f （x ）（x ∈R ）的图象如图所示，则函数)(log)(x f x g a=（0＜a ＜1）的单调减区间是( )A.［0，21］ B.（-∞，0）∪［21，+∞）C.［a ，1］D.［，］答案：C二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填入答题卡中．．．．．．．．．．．．） 11．设,x y ∈R ，向量(,1),(1,),(2,4)a x b y c ===-且c b c a //,⊥+=答案：因为c b c a //,⊥，所以有042=-x 且042=+y ，解得2=x ，2-=y ，即)2,1(),1,2(-==b a ，所以)1,3(-=+b a10=+，12．计算45tan 2sin216log )001.0(3log 12312++--+-π= .答案：213．函数|)3cos()23cos(|x x y --=ππ最小正周期是．答案：π14．设,11)(xxx f -+=又记：,,2,1)),(()(),()(11 ===+k x f f x f x f x f k k 则=)2012(2012f答案：201215．以下结论正确的有（写出所有正确结论的序号）①函数xy 1=在()()+∞∞-,00, 上是减函数；②对于函数()12+-=x x f ，当21x x ≠时，都有()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+222121x x f x f x f ；③已知幂函数的图象过点⎪⎪⎭⎫⎝⎛532,2，则当1>x 时，该函数的图象始终在直线x y =的下方； ④奇函数的图像必过坐标原点；⑤函数)(x f 对任意实数y x ,，都有,1)()()(-+=+y f x f y x f 且当,1)(0<<x f x 时，则)(x f 在R 上为增函数。

2.新课程高中数学测试题组(必修2)(教师)

目录：数学2（必修）数学2（必修）第一章：空间几何体[基础训练A组]数学2（必修）第一章：空间几何体[综合训练B组]数学2（必修）第一章：空间几何体[提高训练C组]数学2（必修）第二章：点直线平面[基础训练A组]数学2（必修）第二章：点直线平面[综合训练B组]数学2（必修）第二章：点直线平面[提高训练C组]数学2（必修）第三章：直线和方程[基础训练A组]数学2（必修）第三章：直线和方程[综合训练B组]数学2（必修）第三章：直线和方程[提高训练C组]数学2（必修）第四章：圆和方程 [基础训练A组]数学2（必修）第四章：圆和方程 [综合训练B组]数学2（必修）第四章：圆和方程 [提高训练C组]高中数学必修2知识点一、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特征（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'''''EDCBAABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母，如五棱锥'''''EDCBAP-几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D C B A P -几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

2019-2020学年高中北师大版数学必修2精练：第一章水平测试 Word版含解析

第一章水平测试本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列三视图表示的几何体是()A．圆台B．棱锥C．圆锥D．圆柱答案A解析由于俯视图是两个同心圆，则这个几何体是旋转体，又左视图和主视图均是等腰梯形，所以该几何体是圆台．2．已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个()A．等边三角形B．直角三角形C．三边中有两边相等的等腰三角形D．三边互不相等的三角形解析根据“斜二测画法”可得BC ＝B ′C ′＝2，AO ＝2A ′O ′＝ 3.故原△ABC 是一个等边三角形．3．已知某个几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是( )A.40003 cm 3B.80003 cm 3 C ．2000 cm 3 D ．4000 cm 3 答案 B解析由三视图得该几何体为四棱锥，则其体积为V ＝13×20×20×20＝80003cm 3.4．已知一个圆锥的展开图如右图所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为( )A.22π3B.2π3C.2π3 D.3π解析由底面圆的半径为1，可知扇形的弧长为2π，又扇形的圆心角为120°，所以圆锥母线长为2π120180π＝3，高为32－12＝22，所求体积V ＝13×π×12×22＝22π3.5. 如右图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )A ．6 2B ．6C ．4 2D ．4 答案 B解析该多面体是如下图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E －CC 1D 1(其中E 为BB 1的中点)，其中最长的棱为D 1E ＝(42)2＋22＝6.6．已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )A.22π3B.42π3 C ．22π D ．42π 答案 B解析由题意，该几何体可以看作两个底面半径和高都为2的圆锥的组合体，其体积为2×13×π×(2)2×2＝42π3.7．正方体ABCD－A1B1C1D1如下图所示，下面结论错误的是()A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°答案D解析对于A，由于BD∥B1D1，易知BD∥平面CB1D1；对于B，连接AC，易证BD⊥平面ACC1，所以AC1⊥BD；对于C，因为BD∥B1D1，所以AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥B1C，所以AC1⊥平面CB1D1；对于D，因为BC∥AD，所以∠B1CB即AD与CB1所成的角，此角为45°，故D错．8．如下图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是AC与BD的中点，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，则EF与CD所成的角为()A．90°B．45°C．60°D．30°答案D解析取BC的中点H，连接EH、FH，则∠EFH为所求的角，可证△EFH为直角三角形，EH⊥EF，FH＝2，EH＝1，∴sin∠EFH＝EHFH＝12，∴∠EFH＝30°.9．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱BC ，C 1D 1的中点，则EF 与平面BB 1D 1D 的位置关系是( )A ．平行B ．相交C ．EF ⊂平面BB 1D 1D D ．无法判断答案 A解析取B 1C 1中点H ，连接EH ，FH ，∵E 、F 、H 分别为BC 、D 1C 1、B 1C 1中点， ∴FH ∥D 1B 1，EH ∥BB 1， ∴平面EFH ∥平面BB 1D 1D ∵EF平面EFH ，∴EF ∥平面BB 1D 1D .10．如图，P 是△ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段P A ，PB ，PC 于点A ′，B ′，C ′，若S △A ′B ′C S △ABC ＝949，则P A ′AA ′＝( )A.43B.349C.78D.34答案 D解析由平面α∥平面ABC ，得AB ∥A ′B ′，BC ∥B ′C ′，AC ∥A ′C ′，由等角定理得∠ABC ＝∠A ′B ′C ′，∠BCA ＝∠B ′C ′A ′，∠CAB ＝∠C ′A ′B ′，从而△ABC ∽△A ′B ′C ′，△P AB ∽△P A ′B ′，S △A ′B ′C ′S △ABC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫A ′B ′AB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫P A ′P A 2＝949，所以P A ′P A ＝37，所以P A ′AA ′＝34，故选D. 11．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则( )A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l 答案 D解析由于m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m ，n ，又直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l ⊄α，l ⊄β，则交线平行于l ，故选D.12．已知平面ABC 外一点P ，且PH ⊥平面ABC 于点H .给出下列四个说法：①若P A ⊥BC ，PB ⊥AC ，则点H 是△ABC 的垂心；②若P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则点H 是△ABC 的垂心；③若∠ABC ＝90°，点H 是AC 的中点，则P A ＝PB ＝PC ；④若P A ＝PB ＝PC ，则点H 是△ABC 的外心．其中正确说法的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 D解析对于①，易知AH ⊥BC ，BH ⊥AC ，所以点H 是△ABC 的垂心；对于②，易知PB ⊥平面P AC ，所以PB ⊥AC ，同理，P A ⊥BC ，由①可知点H 是△ABC 的垂心；对于③，∠ABC ＝90°，点H 是AC 的中点，所以HA ＝HC ＝HB ，又∠PHA ＝∠PHB ＝∠PHC ＝90°，所以P A ＝PB ＝PC ；对于④，∠PHA ＝∠PHB ＝∠PHC ＝90°，P A ＝PB ＝PC ，所以HA ＝HB ＝HC ，即点H 是△ABC 的外心．①②③④都正确，故选D.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．下列说法正确的是________．(填序号)①连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台都有两个底面；④圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长．答案④解析本题主要考查空间几何体的结构特征．根据圆柱母线的定义，①说法错误；以直角梯形垂直于上、下底的腰为轴旋转得到的旋转体是圆台，以另一腰为轴旋转所得的旋转体不是圆台，故②说法错误；圆锥只有—个底面，故③说法错误；根据圆锥母线的定义，④说法正确．14．把直径分别为6 cm,8 cm,10 cm的三个铁球熔成一个大铁球，则这个大铁球的半径为________cm.答案6解析设大铁球的半径为R cm，由43πR3＝43π×⎝⎛⎭⎪⎫623＋43π×⎝⎛⎭⎪⎫823＋43π×⎝⎛⎭⎪⎫1023，得R3＝216，得R＝6.15．如图所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面中，与直线CE平行、相交的平面个数分别为m，n，则m＋n＝________.答案5解析CE与正方体上底面平行，且在正方体下底面所在的平面内，而与它相交的平面分别是前、后、左、右四个平面，即m＝1，n＝4，因此m＋n＝5.16．如图所示的四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形是________．(填序号)答案 ①④解析 ①中，记点B 正上方的顶点为C ，连接AC ，则易证平面ABC ∥平面MNP ，所以AB ∥平面MNP ；④中AB ∥NP ，根据空间直线与平面平行的判定定理可以得出AB ∥平面MNP ；②③中，AB 均与平面MNP 相交．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，B 1P ＝2P A 1，C 1Q ＝2QA 1.求证：直线AA 1，BP ，CQ 相交于一点．证明如图，连接PQ .由B 1P ＝2P A 1，C 1Q ＝2QA 1，得PQ ∥B 1C 1，且PQ ＝13B 1C 1.又BC 綊B 1C 1，∴四边形BCQP 为梯形，∴直线BP ，CQ 相交，设交点为R ，则R ∈BP ，R ∈CQ . 又BP平面AA 1B 1B ，CQ平面AA 1C 1C ，∴R ∈平面AA 1B 1B ，且R ∈平面AA 1C 1C ，∴R 在平面AA 1B 1B 与平面AA 1C 1C 的交线上，即R ∈AA 1， ∴直线AA 1，BP ，CQ 相交于一点．18．(本小题满分12分)某几何体的三视图如图所示(不考虑接触点)．(1)求该几何体的表面积； (2)求该几何体的体积．解 (1)由三视图，知该几何体由两部分组成，上部分是直径为1的球，下部分是底面边长为2，高为3的正三棱柱．表面积S ＝4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12×2×3×2＋2×3×3＝π＋23＋18.(2)体积V ＝12×2×3×3＋43π×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝33＋π6.19．(本小题满分12分)在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥BC ，A 1B ⊥AC .D ，E 分别是BB 1，A 1C 1的中点．(1)求证：DE ∥平面A 1BC ；(2)若AB ⊥BC ，求证：A 1B ⊥平面ABC ；(3)在(2)的条件下，AB ＝BC ＝1，BB 1＝2，求三棱锥A 1－BCC 1的体积．解 (1)证明：取A 1C 的中点F ，连接BF ，EF ， ∵E 是A 1C 1的中点， ∴EF ∥CC 1，且EF ＝12CC 1. 又CC 1∥BB 1，D 是BB 1的中点， ∴EF ∥DB ，且EF ＝DB ， ∴四边形BDEF 是平行四边形， ∴DE ∥BF ，而DE ⊆/ 平面A 1BC ，BF 平面A 1BC ，∴DE ∥平面A 1BC .(2)证明：∵AA 1⊥BC ，AB ⊥BC ，AB ∩AA 1＝A ， ∴BC ⊥平面ABB 1A 1，∴BC ⊥A 1B . 又A 1B ⊥AC ，AC ∩BC ＝C ， ∴A 1B ⊥平面ABC .(3)由(2)的结论，得A 1B ⊥AB ， ∵AB ⊥BC ，∴AB ⊥平面A 1BC . ∵A 1B 1∥AB ，∴A 1B 1⊥平面A 1BC . 由B 1C 1∥BC ，可知B 1C 1∥平面A 1BC . ∵A 1B 1＝AB ＝1，BB 1＝2， ∴A 1B ＝1，∴三棱锥A 1－BCC 1的体积V A 1－BCC 1 ＝V C 1－A 1BC ＝V B 1－A 1BC ＝13S △A 1BC ·A 1B 1＝13×12×BC ×A 1B ×A 1B 1 ＝13×12×1×1×1＝16.20．(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱与底面垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝BB 1，M ，N 分别是A 1B 1，AC 1的中点．求证：(1)MN ∥平面BCC 1B 1；(2)平面MAC 1⊥平面ABC 1.证明 (1)取BC 1的中点D ，连接B 1D ，ND ，∵D ，N 分别是BC 1，AC 1的中点，∴ND ∥AB ，ND ＝12AB .又M 为A 1B 1的中点，AB ∥A 1B 1，∴ND 綊B 1M ，∴MNDB 1为平行四边形，∴MN ∥B 1D .又B 1D 平面BCC 1B 1，MN ⊆/ 平面BCC 1B 1，∴MN ∥平面BCC 1B 1.(2)由题可知AB ⊥B 1D ，B 1D ⊥BC 1.又AB 平面ABC 1，BC 1平面ABC 1，AB ∩BC 1＝B ，∴B 1D ⊥平面ABC 1.又B 1D ∥MN ，∴MN ⊥平面ABC 1.又MN 平面MAC 1，∴平面MAC 1⊥平面ABC 1.21．(本小题满分12分)如图，已知二面角α－MN －β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O .(1)证明：AB⊥平面ODE；(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．解(1)证明：如图，因为DO⊥α，AB⊂α，所以DO⊥AB.连接BD，由题设，知△ABD是正三角形，又E是AB的中点，所以DE⊥AB.而DO∩DE＝D，故AB⊥平面ODE.(2)因为BC∥AD，所以BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是BC与OD所成的角．由(1)，知AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.又DE⊥AB，于是∠DEO是二面角α－MN－β的平面角，从而∠DEO＝60°.不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝ 3.在Rt△DOE中，DO＝DE·sin60°＝3 2.连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝DOAD＝322＝34.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为3 4.22．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，B1C的中点为O，且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明：B1C⊥AB；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC－A1B1C1的高．解(1)证明：如图，连接BC1，则O为B1C与BC1的交点．因为侧面BB1C1C 为菱形，所以B1C⊥BC1.又AO⊥平面BB1C1C，所以B1C⊥AO，而AO∩BO＝O，故B1C⊥平面ABO.由于AB平面ABO，故B1C⊥AB.(2)如图，作OD⊥BC，垂足为D，连接AD.作OH⊥AD，垂足为H.由于BC⊥AO，BC⊥OD，故BC⊥平面AOD，所以OH⊥BC.又OH⊥AD，所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又BC＝1，可得OD＝3 4.由于AC⊥AB1，所以OA＝12B1C＝12.由OH·AD＝OD·OA，且AD＝OD2＋OA2＝74，得OH＝2114.又O为B1C的中点，所以点B1到平面ABC的距离为21 7.故三棱柱ABC－A1B1C1的高为21 7.。

2022年高中数学选择性必修第二册综合测试卷

2022年高中数学选择性必修第二册综合测评(满分:150分;时间:120分钟)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a3+a6+a9=18,若a n=6,则n为()A.12B.8C.6D.42.已知函数f(x)=aln x+2,f'(e)=2,则a的值为()A.-1B.1C.2eD.e23.在等比数列{a n}中,a2+a3=1,a4+a5=2,则a6+a7=()A.2B.2√2C.4D.4√24.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织出的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件,该女子第3天所织布的尺数为()A.1031B.2031C.54D.525.在等差数列{a n}中,首项a1>0,公差d≠0,前n项和为S n(n∈N*),且满足S3=S15,则S n 的最大项为()A.S7B.S8C.S9D.S106.已知函数f(x)=e-x(cos x+sin x),记f'(x)是f(x)的导函数,将满足f'(x)=0的所有正数x从小到大排成数列{x n},n∈N*,则f(x n)=()A.(-1)n e-(n+1)πB.(-1)n+1e-nπC.(-1)n e-nπD.(-1)n+1e-(n+1)π7.设奇函数f(x)在R 上存在导函数f'(x),且在(0,+∞)上f'(x)<x 2,若f(1-m)-f(m)≥13[(1-m)3-m 3],则实数m 的取值范围为( )A.[-12,12]B.(-∞,-12]∪[12,+∞)C.(-∞,-12]D.[12,+∞)8.已知定义在R 上的函数y=f(x)满足:函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,且当x ∈(-∞,0)时,有f(x)+xf'(x)<0(f'(x)是函数f(x)的导函数)成立.若a=(sin 12)·f (sin 12),b=(ln 2)·f(ln 2),c=(log 1214)·f (log 1214),则a,b,c 的大小关系是(深度解析)A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,其前n 项和为S n ,已知S 16>0,S 17<0,则下列结论正确的是( ) A.a 1>0,d<0 B.a 8+a 9>0C.S 8与S 9均为S n 的最大值D.a 9<010.已知函数f(x)=e x -ln x-2,则下列说法正确的是( ) A. f(x)有且仅有一个极值点 B. f(x)有零点C.若f(x)的极小值点为x 0,则0< f(x 0)<12D.若f(x)的极小值点为x 0,则12< f(x 0)<111.已知数列{a n}为等差数列,a1=1,且a2,a4,a8是一个等比数列中的相邻三项,记b n=a n q a n(q≠0,1),则{b n}的前n项和S n可以是()A.nB.nqC.q+nq n+1-nq n-q n(1-q)D.q+nq n+2-nq n+1-q n+1 (1-q)212.已知f(x)=e x·x3,则下列结论正确的是()A.f(x)在R上单调递增B.f(log52)<f(e-12)<f(lnπ)C.方程f(x)=-1有实数根D.存在实数k,使得方程f(x)=kx有4个实数根三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.在等差数列{a n}中,已知a3=4,a6=10,则a10-a7=.14.已知数列{a n}的前n项和为S n,若a1=1,a n+1=3S n(n∈N*),则a6=.15.已知函数f(x)=xg(x),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是x-y-1=0,则曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程是.16.已知函数f(x)=(4-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=1对称,则a+b=,f(x)的最大值为.(第一空2分,第二空3分)四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)在等差数列{a n}中,a2=3,a5=6.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=1,求数列{b n}的前n项和S n.a n a n+118.(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(x-1)-1e a x2,a<0.2(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)的极小值;(3)求函数f(x)的零点个数.}的前n项19.(本小题满分12分)已知数列{a n}是首项为正数的等差数列,数列{1a n a n+1.和为n2n+1(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(a n+1)·2a n,求数列{b n}的前n项和T n.20.(本小题满分12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元.(1)用d表示a1,a2,并写出a n+1与a n的关系式;(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).21.(本小题满分12分)如图,有一块半径为20米,圆心角∠AOB=2π3的扇形展示台,该展示台分为四个区域:三角形OCD,弓形CMD,扇形AOC 和扇形BOD(其中∠AOC=∠BOD).某次菊花展依次在这四个区域摆放:泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是:泥金香50元/米2,紫龙卧雪30元/米2,朱砂红霜40元/米2.(1)设∠COD=θ,试建立日效益总量y 关于θ的函数关系式; (2)试探求θ为何值时,日效益总量达到最大值.22.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln(2x+a)(x>0,a>0),曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线在y 轴上的截距为ln 3-23.(1)求a 的值;(2)讨论函数g(x)=f(x)-2x(x>0)和h(x)=f(x)-2x 2x+1(x>0)的单调性;(3)设a 1=25,a n+1=f(a n ),求证:5−2n+12<1a n-2<0(n ≥2).答案全解全析一、单项选择题1.C 由a 3+a 6+a 9=18,得3a 6=18,∴a 6=6,又a n =6,∴a n =a 6,又d ≠0,∴{a n }为单调数列,∴n=6.故选C. 2.C 由f(x)=aln x+2得, f'(x)=ax ,∴f'(e)=ae=2,解得a=2e.故选C.3.C 设等比数列{a n }的公比为q,则a 4+a 5a 2+a 3=a 2q 2+a 3q 2a 2+a 3=q 2=2, ∴a 6+a 7=a 4q 2+a 5q 2=(a 4+a 5)q 2=2×2=4. 故选C.4.B 设该女子每天分别织布的尺数构成数列{a n },则数列{a n }为等比数列,设其首项为a 1,公比为q,前n 项和为S n .则q=2,S 5=5, ∴5=a 1(1-25)1−2,解得a 1=531,∴a 3=531×22=2031.故选B.5.C 由S 3=S 15得,a 4+a 5+…+a 15=0, ∴6(a 9+a 10)=0,即a 9+a 10=0. 又a 1>0,∴a 9>0,a 10<0, ∴S n 的最大项为S 9.故选C.6.C f'(x)=-e -x (cos x+sin x)+e -x (-sin x+cos x)=-2e -x sin x.令f'(x)=0,得-2e -x sin x=0,解得x=kπ,k ∈Z,从而x n =nπ,n ∈N *, f(x n )=(-1)n e -nπ.因为f(x n+1)f(x n )=-e -π,所以数列{f(x n )}是公比为-e -π的等比数列,其首项f(x 1)=(-1)1e -π=-e -π.其通项公式为f(x n )=(-1)n e -nπ,故选C.7.D 由f(1-m)-f(m)≥13[(1-m)3-m 3]得, f(1-m)-13(1-m)3≥f(m)-13m 3,构造函数g(x)=f(x)-13x 3,则g'(x)=f'(x)-x 2<0.故g(x)在(0,+∞)上单调递减,由函数f(x)为奇函数可得g(x)为奇函数,故g(x)在R 上单调递减, 因此原不等式可化为1-m ≤m,解得m ≥12,故选D.8.A 由函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称知,f(x)是偶函数,设g(x)=x ·f(x),则g(x)是奇函数,且当x<0时,g'(x)=f(x)+x ·f'(x)<0,即g(x)是减函数,∴当x>0时,g(x)也是减函数.又0<sin 12<12<ln 2<lo g 1214=2,∴g (sin 12)>g(ln 2)>g (log 1214).即(sin 12)f (sin 12)>(ln 2)f(ln 2)>(log 1214)f (log 1214). ∴a>b>c. 故选A.解题模板构造函数,利用单调性解决比较大小的问题中,掌握一些基本的大小关系可帮助解题,如本题中,当0<x<π2时,sin x<x,ln 2>ln √e =12等.二、多项选择题 9.ABD ∵S 16=16(a 1+a 16)2>0,∴a 8+a 9=a 1+a 16>0,∴B 正确. 又S 17=17(a 1+a 17)2=17a 9<0,∴a 9<0,∴a 8>0,∴d=a 9-a 8<0,∴a 1>0,∴A 、D 正确.易知S 8是S n 的最大值,S 9不是S n 的最大值,∴C 错误.故选ABD.10.AC 由题意得, f(x)的定义域为(0,+∞),且f'(x)=e x -1x,设h(x)=f'(x),则h'(x)=e x +1x>0,∴h(x)在(0,+∞)上单调递增, 又h (12)=e 12-2=√e -2<0,h(1)=e 1-1>0,∴h(x)存在唯一零点,设为x 0, 当0<x<x 0时, f'(x)<0, f(x)单调递减, 当x>x 0时, f'(x)>0, f(x)单调递增, ∴f(x)有唯一极小值点x 0,∴A 正确. 令f'(x 0)=e x 0-1x 0=0,得e x 0=1x 0,∴x 0=ln 1x 0=-ln x 0.∴f(x 0)=e x 0-ln x 0-2=1x 0+x 0-2≥2√1x 0·x 0-2=0(当且仅当x 0=1时等号成立),又12<x 0<1,∴f(x 0)>0,即[f(x)]min >0, ∴f(x)无零点,∴B 错误. 由f(x 0)=1x 0+x 0-2,12<x 0<1,可设g(x)=1x+x-2,则g'(x)=-1x+1.当12<x<1时,g'(x)<0,∴g(x)在(12,1)上单调递减.∴g(1)<g(x)<g (12),即0<f(x 0)<12, ∴C 正确,D 错误.故选AC.11.BD 设等差数列{a n }的公差为d,由题意得a 42=a 2a 8,即(1+3d)2=(1+d)(1+7d),∴d 2-d=0,解得d=0或d=1. 当d=0时,a n =a 1=1, ∴b n =a n q a n =q,∴{b n }的前n 项和为nq,B 正确. 当d=1时,a n =n, ∴b n =n ·q n (q ≠0,1). ∴S n =1×q+2×q 2+…+nq n ,∴qS n =1×q 2+…+(n-1)q n +n ·q n+1, ∴(1-q)S n =q+q 2+…+q n-nq n+1=q(1-q n)1−q-nqn+1=q -qn+1+nq n+2-nq n+11−q.又q ≠1,∴S n =q+nq n+2-nq n+1-q n+1(1-q)2,D 正确.故选BD.12.BCD f(x)=e x ·x 3, ∴f'(x)=e x (x 3+3x 2). 令f'(x)=0,得x=0或x=-3. 当x<-3时, f'(x)<0, f(x)单调递减, 当x>-3时, f'(x)≥0, f(x)单调递增,A 错误. 又0<log 52<12<e -12<1<ln π,∴f(log 52)< f(e -12)< f(ln π),B 正确. ∵f(0)=0, f(-3)=e -3·(-3)3=-(3e)3<-1,∴f(x)=-1有实数根,C 正确. 设f(x)=kx,显然x=0是方程的根, 当x ≠0时,k=f(x)x=e x ·x 2,设g(x)=e x ·x 2,则g'(x)=x(x+2)e x ,令g'(x)=0,得x=0或x=-2.当x 发生变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:x (-∞,-2) -2 (-2,0) 0 (0,+∞) g'(x) + 0 - 0 + g(x)↗4e 2↘↗画出y=g(x)的大致图象,如图,∴当0<k<4e2时,g(x)=k 有3个实数根,∴D 正确.故选BCD.三、填空题 13.答案 6解析设等差数列{a n }的公差为d.则3d=a 6-a 3=6,解得d=2. 所以a 10-a 7=3d=6. 14.答案 768解析由a n+1=3S n ,得S n+1-S n =3S n ,即S n+1=4S n ,又S 1=a 1=1,所以数列{S n }是首项为1,公比为4的等比数列,所以S n =4n -1,所以a 6=S 6-S 5=45-44=3×44=768. 15.答案 x-y-1=0解析 ∵f(x)=xg(x),∴f'(x)=g(x)+xg'(x).∵曲线y=f(x)在(1, f(1))处的切线方程是x-y-1=0, ∴{1−f(1)-1=0,f'(1)=1,∴{f(1)=0,f'(1)=1.∴{f(1)=1×g(1)=0,f'(1)=g(1)+1×g'(1)=1,解得{g(1)=0,g'(1)=1.则曲线y=g(x)在(1,g(1))处的切线方程为y-0=1×(x-1),即x-y-1=0, 即切线方程为x-y-1=0. 16.答案 -4;16解析由4-x 2=0可得x=2或x=-2,即2,-2是函数f(x)的零点,∵f(x)=(4-x 2)(x 2+ax+b)的图象关于直线x=1对称,且(2,0),(-2,0)关于x=1对称的点分别为(0,0),(4,0),∴0,4也是函数f(x)的零点, ∴0,4是x 2+ax+b=0的根,∴b=0,a=-4,∴a+b=-4, ∴f(x)=(4-x 2)(x 2-4x),∴f'(x)=-4(x-1)(x 2-2x-4), 令f'(x)=0,得x=1或x=1-√5或x=1+√5.当x>1+√5或1-√5<x<1, f'(x)<0, f(x)单调递减, 当1<x<1+√5或x<1-√5时, f'(x)>0, f(x)单调递增.又当x →∞时, f(x)<0, f(1+√5)=f(1-√5)=16,∴f(x)的最大值为16. 四、解答题17.解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d. ∵a 2=3,a 5=6,∴{a 1+d =3,a 1+4d =6,解得{a 1=2,d =1,(2分) ∴a n =a 1+(n-1)d=n+1.(4分) (2)由(1)知a n =n+1,∴b n =1a n a n+1=1(n+1)(n+2)=1n+1-1n+2,(6分)∴S n =b 1+b 2+…+b n =12-13+13-14+…+1n+1-1n+2(8分)=12-1n+2=n2(n+2).(10分)18.解析 (1)由已知得, f(x)的定义域为R, f'(x)=e x (x-1)+e x -e a x=x(e x -e a ), f'(0)=0. 又f(0)=-1,∴切点坐标为(0,-1).∴曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程为y=-1.(4分) (2)由(1)知f'(x)=x(e x -e a ). 令f'(x)=0,得x=0或x=a(a<0).当x 发生变化时, f'(x), f(x)的变化情况如下表:x (-∞,a) a (a,0) 0 (0,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x)↗极大值↘极小值↗∴f(x)在(-∞,a),(0,+∞)上单调递增,在(a,0)上单调递减.∴f(x)在x=0处取得极小值,且极小值为f(0)=-1.(8分)(3)由(2)知f(x)的极大值为f(a)=e a (a-1)-12e a a 2=(a -1-12a 2)e a <0(a<0),f(0)=-1<0, f(2)=e 2-2e a . ∵a<0,∴0<e a <1,∴f(2)>0. ∴函数f(x)的零点个数为1.(12分)19.解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, 令n=1,得1a 1a 2=13,所以a 1a 2=3.①(1分) 令n=2,得1a 1a 2+1a 2a 3=25,所以a 2a 3=15.②(3分)由①②得a 1=1,d=2,所以a n =2n-1.(5分) (2)由(1)知b n =2n ·22n-1=n ·4n , 所以T n =1·41+2·42+…+n ·4n ,所以4T n =1·42+…+(n-1)·4n +n ·4n+1,(7分) 两式相减,得-3T n =41+42+…+4n -n ·4n+1(9分) =4(1−4n )1−4-n ·4n+1=1−3n 3·4n+1-43,(11分)所以T n =3n -19·4n+1+49=4+(3n -1)·4n+19.(12分)20.解析 (1)由题意得a 1=2 000(1+50%)-d=3 000-d,a 2=a 1(1+50%)-d=32a 1-d=4 500-52d,(2分)a n+1=a n (1+50%)-d=32a n -d.(5分)(2)由(1)得a n =32a n-1-d=32·(32a n -2-d)-d=(32)2·a n-2-32d-d=…=(32)n -1a 1-d1+32+(32)2+…+(32)n -2,(7分)整理得a n =(32)n -1(3 000-d)-2d ·[(32)n -1-1]=(32)n -1(3 000-3d)+2d.(9分)由题意知a m =4 000,所以(32)m -1(3 000-3d)+2d=4 000,解得d=[(32)m -2]×1 000(32)m -1=1 000(3m -2m+1)3m -2m.(11分)故该企业每年上缴资金d 的值为1 000(3m -2m+1)3m -2m万元时,经过m(m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元.(12分) 21.解析 (1)依题意得,∠AOC=2π3-θ2=π3-θ2,(2分)则y=12×(π3-θ2)×202×40×2+12×202×sin θ×50+12×θ×202-12×202×sin θ×30 =16 000×(π3-θ2)+10 000sin θ+6 000θ-6 000sin θ =16 000π3+4 000sin θ-2 000θ,0<θ<2π3.(6分)(2)由(1)得,y'=4 000cos θ-2 000, 令y'=0,得cos θ=12,又0<θ<2π3,所以θ=π3,(8分)当0<θ<π3时,y'>0,当π3<θ<2π3时,y'<0,(10分)所以θ=π3是函数的极大值点,且唯一;所以当θ=π3时,日效益总量达到最大值.(12分)22.解析 (1)由f(x)=ln(2x+a), 得f'(x)=22x+a,因此f'(1)=22+a.(1分)又因为f(1)=ln(2+a),所以曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y-ln(2+a)=22+a(x-1),即y=22+ax+ln(2+a)-22+a.(2分)由题意得,ln(2+a)-22+a=ln 3-23,易得a=1,符合上式.(3分) 令φ(a)=ln(2+a)-22+a(a>0),则φ'(a)=12+a +2(2+a)>0,所以φ(a)为单调递增函数,故a=1是唯一解.(4分) (2)由(1)可知,g(x)=ln(2x+1)-2x(x>0),h(x)=ln(2x+1)-2x 2x+1(x>0),则g'(x)=22x+1-2=-4x2x+1<0,所以g(x)=f(x)-2x(x>0)为单调递减函数.(6分) 因为h'(x)=22x+1-2(2x+1)=4x(2x+1)>0,所以h(x)=f(x)-2x 2x+1(x>0)为单调递增函数.(8分)(3)证明:由a 1=25,a n+1=f(a n )=ln(2a n +1),易得a n >0.所以5−2n+12<1a n-2等价于a n <2n5.(9分)由(2)可知,g(x)=f(x)-2x=ln(2x+1)-2x 在(0,+∞)上为单调递减函数. 因此,当x>0时,g(x)<g(0)=0,即f(x)<2x. 令x=a n-1(n ≥2),得f(a n-1)<2a n-1, 即a n <2a n-1.因此,当n ≥2时,a n <2a n-1<22a n-2<…<2n-1·a 1=2n5.所以5−2n+12<1a n-2成立.(10分)下面证明:1a n-2<0.由(2)可知,h(x)=f(x)-2x2x+1=ln(2x+1)-2x2x+1在(0,+∞)上为单调递增函数,因此,当x>0时,h(x)>h(0)=0, 即f(x)>2x 2x+1>0.因此1f(x)<12x+1,即1f(x)-2<12(1x-2). 令x=a n-1(n ≥2), 得1f(a n -1)-2<12(1an -1-2),即1a n-2<12(1an -1-2).当n=2时,1a n-2=1a 2-2=1f(a 1)-2=1f(25)-2=1ln1.8-2.因为ln 1.8>ln √3>ln √e =12,所以1ln1.8-2<0,所以1a 2-2<0.(11分)所以,当n ≥3时,1a n-2<12(1an -1-2)<12(1an -2-2)<…<12(1a 2-2)<0.所以,当n ≥2时,1a n-2<0成立. 综上所述,当n ≥2时,5−2n+12n<1a n-2<0成立.(12分)。

人教版A版(2019)高中数学必修第二册：第八章立体几何初步综合测试(附答案与解析)

第八章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是（）A .三角形的直观图仍然是一个三角形B .90︒角的直观图为45︒角C .与y 轴平行的线段长度变为原来的一半D .原来平行的线段仍然平行2.已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出m β⊥的是（）A .αβ∥，且m α⊂B .m n ∥，且n β⊥C .m n ⊥，且n β⊂D .m n ⊥，且n β∥3.圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？这个问题的答案为（注：1丈等于10尺）（）A .29尺B .24尺C .26尺D .30尺4.设,,αβγ为三个不同的平面，,m n 为两条不同的直线，则下列命题中为假命题的是（）A .当αβ⊥时，若βγ∥，则αγ⊥B .当m α⊥，n β⊥时，若αβ∥，则m n ∥C .当m α⊂，n β⊂时，若αβ∥，则,m n 是异面直线D .当m n ∥，n β⊥时，若m α⊂，则αβ⊥5.已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为4，底面边长为.若点M 是线段11A C 的中点，则直线BM 与底面ABC 所成角的正切值为（）A .53B .43C .34D .456.如图所示，表面积为）AB .13πC .23πD7.已知三棱锥P ABC -中，PA =3AB =，4AC =，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABC ，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为（）A .16B .28C .64D .968.如图，在边长为1的正方形ABCD 中，点,E F 分别为边,BC AD 的中点，将ABF △沿BF 所在的直线进行翻折，将CDE △沿DE 所在的直线进行翻折，在翻折过程中，下列说法错误的是（）A .无论翻折到什么位置，A C 、两点都不可能重合B .存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为60︒C .存在某个位置，使得直线AF 与直线CE 所成的角为90︒D .存在某个位置，使得直线AB 与直线CD 所成的角为90︒9.等体积的球和正方体的表面积的大小关系是（）A .S S 正方体球＞B .S S 正方体球＜C .S S =正方体球D .无法确定10.1111ABCD A B C D 内有一圆柱，此圆柱恰好以直线1AC ，为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（）A .B .CD 二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.下列命题为真命题的是（）A .若两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合B .若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直C .垂直于同一条直线的两条直线相互平行D .若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面不垂直12.如图所示，在四个正方体中，l 是正方体的一条体对角线，点M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出l ⊥平面MNP 的图形为（）A B C D 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为________，体积为________.（本题第一空2分，第二空3分）14.已知正四棱锥的侧棱长为，侧棱与底面所成的角为60︒，则该四棱锥的高为________.15.如图所示，直线a ∥平面α，点A 在α另一侧，点,,B C D a ∈，线段,,AB AC AD 分别交α于点,,E F G .若44,5,BD CF AF ===,则EC =________.16.如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 是CD 的中点，沿AE 将DAE △向上折起，使D 到'D 的位置，且平面'AED ⊥平面ABCE ，则直线'AD 与平面ABC 所成角的正弦值为________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 也相等，用a 将h 表示出来。

(人教版)高中数学必修二(全册)单元测试卷汇总

（人教版）高中数学必修二（全册）单元测试卷汇总、阶段通关训练（一）（60分钟 100分）一、选择题（每小题5分，共3。

分）1・已知某几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是□ □便視囲A. 长方体 C.匹棱锥【解析】选A.该几何体是长方体，如图所示» 入城商中目字必零二01 ：酚俭1王训停爺人椒版為中教学宕偌2!； &馈通关训号信，奴薮版快9E 必偌二好：阶段遑关训澤司：人馭艇苣中数猝偌二桂測：跻蜀■美训遂琼人板版毫中gtl 修二窗I ；樓埃蜃量怦估 S 人会版毎中數⑴ C 2） Word 版言眾忻 Word 版合解忻 W 。

招版含解忻（AS ） Word 板合樹ff （B 卷）WordB.圆性 D.四棱台正視图悟视图2.以钝角三角形旳较小边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是（）A .两个圆锥拼桜而成的组合体B.一个圖台C.一个圆锥D . 一个圆锥挖去一个同底的小圆维【解析】选D.如图以AB为轴所得的几何体是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥.3.已知AAB攏边长为2a的正三角形，那么△ABCE勺平面直观图△ A'B‘ C'的面积为（）D.\Ga~【鮮析】选C.直观图面积S与原图面积S具有关系：S' Mfs.因为S 好芸12a）所以S …c 三•X\/3a'=^a .4- 4 4【补偿训练】某三角形的直观图是斜边长为2的等腰直角三角形，如图所示，则原三信形的面积是【解析】根据宜观图和原图形的关系可知原图形的面积为X 2vl X 2二2卮答案：2^24. 某三梭锥的三视图如图所示，则该三検锥的体积是【解析】选B .由三视图可判断该三棱锥底面为等腰直角三角形，三棱锥旳高为 2. RI V=x x 1 x 1 x 2=.^【补偿洲练】已知正三棱镣V-ABC 的正视图、侧视图和帽视图如图所示，则该正三枝锥侧视图的面积是A.B. C. D.1A.v39B.6\,r 3D.6俯视C.即3【解析】选D .如图，根据三视图间的关系可得BCM3,所以侧视图中VA 二\|铲一任X ? X 2妁七整，所以三橙锥侧视图面积S- 海=x 2V 3X 2\顶二6,故选 D.5.（2016 •蚌瑋高二检测）若一个回锥的侧面展开图是面积为 2工的半圆面,则该圆锥的体积为B.V3 X C .拓x【解析】选A.设园锥的母线长为I,底面半径为r,由题意|7苗2 = 211,vnl = 2TTT ,解得'所以圆锥的高为 h=\F —尸=寸3 , V= * r 2h= r x 12x r = L . 6.(2016 •雅安高二检测）设正方体的全面积为 24,邪么其内切球的体积是A .扼KB.兀32 D.—【解析】选B.正方体的全面积为24,所以，设正方体的棱长为a.6 宀 24, a 二2,正方体的内切球的直径就是正方体的校长，所以球的半径为1,内切球旳体积：V = 7t . ID RC乙第*已回刮寻詠回王曲＞=s '哥USS 甲'里蛔国皿【果到】&&価91实逐刘t ¥豈我到国丑屬T 風濕&一天喔宰邕€好日-6肝里N 二縛：毒虽•*+£，W=M*£Axl X >t=S rft凰峯4 Z^A^Ax^ x=A '風刘"坦 NN 八一醇E3HI 诳乙弟学段皿期一旧耳闻1/峯'皓也乎书屋絶三零净【爆蜴】醇車回1/溟【四'（国⑰）国隴三阳财回廿必日（脈玛二堆※困• 9L0S1-8LL :孝晶U=x 韧 N 刮’壽」三三）阜尚‘X 興覃毋号密祺［菓到】麹*辛矣廚留丄壬至藏乌去廖犯讪目丄竺羽诲同争宙【睾里區墙】^实些阳号屛醇斟濯施*09实邊回回淮即回通士互士 .乙屿％邊国基’9L 实雙団驚勢N（G&详‘&9鲤W 辱）谴乏帯 '二=M 媛苴'務nD所以AQ=\吃，A O=R^/6.所以S丼二4兀F<=24T.答案：24 x10•圖台的底面半径分别为1和2,母线长为3,则此圖台的体积为【解析】圆台的高h= 732 - （2 - I）2 =2 <1 ,所以体积71 2 aV=y(R+Rr4-r )h=^^i(. 答案：學三、解答题（共4小题，共50分）11.（12分）如區几何体上半部分是母线长为5,底面圆半径为3的圆锥，下半部分是下底面圆半径为2,母线长为2的圆台，计算该几何体的表面枳和体枳【韻析】圖锥侧面积为S = X rl=15r ,圖台的侧面积为缶冗(r+r ' )1二10冗，圖台的底面宜积为订’』牝，所以表面积为:S=S+S+S s=15i +10兀+4H=29X;圆锥的体积V-xr2hi=12x ,圆台的体积V：= r h2（r ：+rr , +「’ 2）=^y^r ,所以体积为：V=V+U=12i------ X .312.(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图(1)试判断该几何体是什么几何体？(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积.(3)求出该几何体的体积.【解析】(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥.(2)该几何体的側视图如图.其中AB=AC AD^BC,且BC的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC=v3a, AD是正六棱锥的高，即AD十3a,所以该平面图形的面积(3)没这个正六棱锥的底面积是S,体积为V,则S=6< —a=—a\4 2所以V=x三歯x JJa=a°.13.（13分）如图所示，在四边形ABC畔，Z DAB=90 , ZADCF35 ,AB二5 CD二不臣，AD二2求四边形ABC说AD旋转一周所成几何体的表面积及体积.【鮮析】S 表面二S SOFB +S Bo ma +S 四部面=it x 5~+ i x (2+5) x 5+ r X 2X 2V2=(4 克+60) x .V=V H&-V B*=z (4-r if z+Fj )h- x h148=I (25+10+4) X 4- Jt X 4X 2. x .14.(13分)(2016 ,湖北实验中学高一检测 )如图，△ ABC中，ZACB=90 , Z ABC=30* , BC%3 在三角形内挖去一个半圆(圆心。

人教版A版高中数学必修第二册第九章综合测试02试题试卷含答案答案在前

第九章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】在分层随机抽样中，总体中产品数量比与抽取的样本中产品数量比相等，∴样本中D 类产品的数量为4110402324⨯=+++（件）.2.【答案】D【解析】由随机数法抽取原则可知选D . 3.【答案】D【解析】由题中表格可知，样本数据落在[20,60)内的频数为20303525110+++=，故其频率为1100.55200=. 4.【答案】C【解析】在区间[98,100)的小矩形的面积为0.100×2=0.200，所以在区间[98,100)内的频数为1000.20020⨯=，故选C .5.【答案】D【解析】由题图得样本量为()3500200045002%100002%200++⨯=⨯=，抽取的高中生人数为20002%40⨯=，则近视人数为400.520⨯=，故选D .6.【答案】B【解析】先将每个年级的人数凑整，得高一年级1 800人，高二年级1 600人，高三年级1 500人，三个年级的总人数为1800160015004900++=，则每个年级人数占总人数的比例分别为181615,,494949，因此，各年级抽取的人数分别为18983649⨯=，16983249⨯=，15983049⨯=，故选B . 7.【答案】C【解析】12,,,n x x x 的平均数位x ，1235,35,,35n x x x ∴+++ 的平均数位35x +，()()()2222222111135353535)]39n n s x x x x x x x x s n n '⎡⎛⎡⎤=+--+++--=⨯⨯-++-= ⎢⎣⎦⎝⎣，3s s '∴=. 8.【答案】B【解析】A 中的数据都不大于B 中的数据，所以1n x x ＜，但A 中的数据比B 中的数据波动幅度大，所以A B s s ＞.9.【答案】B【解析】体重在[45,50)内的频率为0.150.5⨯=，体重在[50,55)内的频率为0.0650.3⨯=，体重在[55,60]内的频率为0.0250.1⨯=，0.5:0.3:0.15:3:1= ，∴可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为5:3:1，故选B . 10.【答案】A【解析】由题意，4.5到4.6之间的频率为0.09，4.6到4.7之间的频率为0.27，后6组的频数差值相同，设差值为d ，则60.271510.010.030.09d ⨯+=---，0.05d ∴=-，(0.2746)10078b d ∴=⨯+⨯=，0.27a =.二、11.【答案】ABC【解析】由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为40000.251000⨯=，故B 正确；由频率分布直方图可得，平均分为450.1550.15650.2750.3850.15950.170.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；因为成绩在[40,70)内的频率为0.45，[70,70)的频率为0.3，所以中位数为0.05701071.670.3+⨯≈，故D 错误.故选ABC . 12.【答案】CD【解析】A 错，举反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均数23x =≤，不符合指标.B 错，举反例：0，3，3，3，3，3，6，其平均数3x =，且标准差2s =，不符合指标.C 对，若极差等于0或1，在3x ≤的条件下，显然符合指标；若极差等于2且3x ≤，则每天新增感染人数的最小值与最大值有下列可能：（1）0，2，（2）1，3，（3）2，4，符合指标.D 对，若众数等于1且极差小于或等于4，则最大值不超过5，符合指标.故选CD . 三、13.【答案】众数中位数【解析】甲、乙两个厂家从不同角度描述了一组数据的特征.对甲分析：该组数据8出现的次数最多，故运用了众数；对乙分析：该组数据最中间的是7与9，故中位数是7982+=，故运用了中位数. 14.【答案】149【解析】因为该样本共有106个数据，所以10695%100.7⨯=，将所有数据由小到大排列后，第101个数据是149，所以95%分位数是149mm . 15.【答案】30 【解析】由题意知，12304515120a=++，解得30a =. 16.【答案】70【解析】质量不少于120克的频数为14，∴频率为14100%70%20⨯=. 四、17.【答案】（1）解：依题意，得0.151000x=，解得150x =. （2）解：第一车间的工人数是173177350+=，第二车间的工人数是100150250+=，∴第三车间的工人数是1000350250400--=.设应从第三车间抽取m 名工人，则有504001000m =，解得20m =， ∴应在第三车间抽取20名工人.18.【答案】（1）解：由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数，所以众数应为75.0.004100.006100.02100.040.060.20.3⨯+⨯+⨯=++= ，前三个小矩形面积的和为0.3，而第四个小矩形面积为0.03100.3,0.30.30.5⨯=+＞，∴中位数应位于第四个小矩形内.设中位数为x ，则0.03(70)0.50.3x ⨯-=-，解得76.7x ≈，故中位数约为76.7. （2）平均成绩为45(0.00410)55(0.00610)65(0.0210)75(0.0310)85(0.02410)95(0.01610)76.2⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=19.【答案】解：A 班的5名学生的平均得分为()5899958++++÷=，方差22222211(58)(88)(98)(98)(98) 2.45s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦； B 班的5名学生的平均得分为(678910)58++++÷=，方差22222221(68)(78)(88)(98)(108)25s ⎡⎤=⨯-+-+-+-+-=⎣⎦， 2212s s ＞，∴B 班的预防知识的问卷得分要稳定一些. 20.【答案】（1）由()100.0100.0150.0300.0101a ⨯++++=，得0.035a =. （2）平均数为200.1300.15400.35500.3600.141.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）. 设中位数为x ，则()100.010100.015350.0350.5x ⨯+⨯+-⨯=，解得42.1x ≈.（3）第1，2组的频数分别为2000.120⨯=，2000.1530⨯=，从第1，2组中用分层随机抽样的方法抽取5人，抽取比例为515010=而，所以第1组抽取120210⨯=（人），第2组抽取130310⨯=（人），所以第1，2组抽取10的人数分别为2，3.21.【答案】（1）①求极差，1034558-=；②确定组距与组数，以10为组距，分成7组：[41,51),[51,61),[61,71),[71,81),[81,91),[91,101),[101,111]； ③求出各组的频数，计算频率，列出频率分布表：（2）根据频率分布表，作出频率分布直方图，如图所示.（3）答对下述两条中的一条即可.①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的115；有26天处于良的水平，占当月天数的1315；处于优或良的天数为28，占当月天数的1415，说明该市空气质量基本良好. ②轻微污染有2天，占当月天数的115；污染指数在80以上的接近轻微污染的天数为15，加上处于轻微污染的天数，共17天，占当月天数的1730，超过50%，说明该市空气质量有待进一步改善.22.【答案】（1）当19x ≤时，3800y =；当19x ＞时，3800500(19)5005700y x x =+-=-.所以y 与x 的函数解析式为3800,19,5005700,19x y x x ⎧=⎨-⎩≤＞()x ∈N .（2）由条形图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19. （3）若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为3 800元，20台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 300元，10台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为 4 800元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(380070430020480010)=4000100⨯⨯+⨯+⨯元；若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 000元，10台其每台在购机同时购买易损零件上的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1(400090450010)4050100⨯⨯+⨯=（元）.比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.第九章综合测试一、单项选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.某公司从代理的,,,A B C D 四种产品中，按分层随机抽样的方法抽取容量为110的样本，已知,,,A B C D 四种产品的数量比是2:3:2:4，则该样本中D 类产品的数量为（） A .22件 B .33件 C .40件 D .55件2.已知总体容量为106，若用随机数法抽取一个容量为10的样本，下面对总体的编号最方便的是（） A .1，2，…，106 B .0，1，2，…，105 C .00，01，…，105 D .000，001，…，1053.一个容量为200的样本，其数据的分组与各组的频数如下表：组别 [0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)频数 1515203035组别 [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2520151510则样本数据落在[20,60)内的频率为（） A .0.11 B .0.5 C .0.45 D .0.554.如图为某个容量为100的样本的频率分布直方图，分组为[96,98)，[98,100)，100,[102)，102,[104)，104,[106]，则在区间[98,100)内的频数为（）A .10B .30C .20D .405.图甲和图乙分别表示某地区中小学生人数和近视情况.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取了2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为（）图甲图乙A .100，10B .100，20C .200，10D .200，206.某学校高一年级有1 802人，高二年级有1 600人，高三年级有1 499人，现采用分层随机抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（） A .33，33，30 B .36，32，30 C .36，33，29 D .35，32，317.若数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则1235,35,,35n x x x +++ 的平均数和标准差分别为（） A . x s B .35,x s + C .35,3x s +D .3x +8.如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A x 和B x ，样本标准差分别为A s 和B s 则（）ABA .,AB A B x x s s ＞＞ B .,A B A B x x s s ＜＞C .A ,B A B x x s s ＞＜D .,A B A B x x s s ＜＜9.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生称其体重（单位：kg ），将所得数据整理后，画出了频率分布直方图如图所示，体重在[45,50)内适合跑步训练，体重在[50,55)内适合跳远训练，体重在[55,60]内适合投掷训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的人数之比为（）A .4:3:1B .5:3:1C .5:3:2D .3:2:110.为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如图所示.由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数为1234,,,x x x x ，且满足324123x x x x x x ==，后6组的频数123456,,,,,y y y y y y ，且后6组各频数之间差值相同，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则,a b 的值分别为（）A .0.27，78B .0.27，83C .2.7，78D .2.7，83二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）11.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法中正确的是（）A .成绩在[70,80)分的考生人数最多B .不及格的考生人数为1 000C .考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D .考生竞赛成绩的中位数为75分12.在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标来显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是（） A .平均数3x ≤B .平均数3x ≤且标准差2s ≤C .平均数3x ≤且极差小于或等于2D .众数等于1且极差小于或等于4三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.从甲、乙两个厂家生产的同一种产品中各抽取8件产品，对其使用寿命（单位：年）跟踪调查结果如下：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：3，3，4，7，9，10，11，12.两个厂家在广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数：甲：________，乙：________.（本题第一空2分，第二空3分）14.1895年，在英国伦敦有106块男性头盖骨被挖掘出土.经考证，这些头盖骨的主人死于1665~1666年的大瘟疫.人类学家分别测量了这些头盖骨的宽度（单位：mm ），数据如下：146 141 139 140 145 141 142 131 142 140 144 140 138 139 147 139 141 137 141 132 140 140 141 143 134 146 134 142 133 149 140 140 143 143 149 136 141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137 142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153 158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138 148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139 149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148 138 145 145 142 143 143 148 141 145 141则95%分位数是________mm.15.某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表（每名同学只参加一个小组，单位：人）：篮球组书画组乐器组高一45 30 a高二15 10 2016.从一堆苹果中任取20个称其重量，它们的质量（单位：克）数据分布如下：分组[90,100)[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]频数 1 2 3 10 3 1则这堆苹果中，质量不少于120克的苹果数约占苹果总数的________%.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）某市化工厂三个车间共有工人1000名，各车间男、女工人数如下表：第一车间第二车间第三车间女工人173 100 y男工人177 x z已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工人的可能性是0.15.（1）求x的值；（2）现用分层随机抽样的方法在全厂抽取50名工人，则应在第三车间抽取多少名工人？18.（本小题满分12分）从高三学生中抽出50名学生参加数学竞赛，根据竞赛成绩得到如图所示的频率分布直方图.试利用频率分布直方图估算：（结果保留小数点后一位）（1）这50名学生成绩的众数与中位数；（2）这50名学生的平均成绩.19.（本小题满分12分）有关部门要了解甲型H1N1流感预防知识在学校的普及情况，特制了一份有10道题的问卷到各学校进行问卷调查.某中学,A B两个班各被随机抽取了5名学生接受问卷调查，A班5名学生得分分别为5，8，9，9，9；B班5名学生得分分别为6，7，8，9，10（单位：分）.请你估计A，B两个班中哪个班的预防知识的问卷得分要稳定一些。

新人教版(2019A版)高中数学必修第二册综合测试卷(含答案解析)

新人教版(2019A 版)高中数学必修第二册综合测试卷(时间:120分钟分值:150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的)1.若复数z =2i3-i ,则z 的共轭复数z =( ) A.-15-35I B.-15+35I C.15+35I D.15-35i 答案:A2.某公司生产三种型号的轿车,其中型号Ⅰ的轿车的月产量为 1 200辆,型号Ⅱ的轿车的月产量为6 000辆,型号Ⅲ的轿车的月产量为2 000辆,现用分层抽样的方法抽取92辆车进行检验,则型号Ⅲ的轿车应抽取( )A.12辆B.36辆C.20辆D.60辆答案:C3.2010-2018年之间,受益于基础设施建设对光纤产品的需求,以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级,电动汽车及物联网等新机遇,连接器行业发展较快.2010-2018年全球连接器营收情况如图所示,根据折线图,下列结论正确的个数为 ( )①每年的营收额逐年增长;②营收额增长最快的一年为2013-2014年;③2010-2018年的营收额增长率约为40%;④2014-2018年每年的营收额相对于2010-2014年每年的营收额,变化比较平稳.A.1B.2C.3D.4答案:C4.已知小张每次射击命中十环的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率,先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定2,4,6,8表示命中十环,0,1,3,5,7,9表示未命中十环,再以每三个随机数为一组,代表三次射击的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:321 421 292 925 274 632 800 478 598 663 531 297 396 021 506 318 230 113 507 965据此估计,小张三次射击恰有两次命中十环的概率约为( )A.0.25B.0.3C.0.35D.0.4答案:B5.盒子中有若干个大小和质地完全相同的红球和黄球,从中任意取出2个球,都是红球的概率为328,都是黄球的概率为514,则从盒子中任意取出2个球,恰好是同一颜色的概率为( )A.1328B.57C.1528D.37 答案:A6.某校篮球运动员进行投篮练习,若他前一球投进,则后一球投进的概率为34;若他前一球投不进,则后一球投进的概率为14.若他第1球投进的概率为34,则他第3球投进的概率为( ) A.34 B.58 C.116 D.916 答案:D7.已知数据x 1,x 2,x 3的中位数为k ,众数为m ,平均数为n ,方差为p ,下列说法中,错误的是( )A.数据2x 1,2x 2,2x 3的中位数为2kB.数据2x 1,2x 2,2x 3的众数为2mC.数据2x 1,2x 2,2x 3的平均数为2nD.数据2x 1,2x 2,2x 3的方差为2p答案:D8.一个圆柱的轴截面是正方形,如果这个圆柱的侧面积与一个球的表面积相等,那么圆柱的体积与球的体积之比为( )A.1∶3B.3∶1C.2∶3D.3∶2答案:D二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.如图,已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心,下列结论中正确的是( )A.OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0B.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ -AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(EF ⃗⃗⃗⃗⃗ -DC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C.(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC⃗⃗⃗⃗⃗ D.|OF ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -CB⃗⃗⃗⃗⃗ | 答案:BC10.在发生公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日,甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下,一定符合该标志的是( )甲地:中位数为2,极差为5;乙地:总体平均数为2,众数为2;丙地:总体平均数为1,总体方差大于0;丁地:总体平均数为2,总体方差为3.A.甲地B.乙地C.丙地D.丁地答案:AD11.如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,以下四个选项正确的是( )A.D1C∥平面A1ABB1B.A1D1与平面BCD1相交C.AD⊥平面D1DBD.平面BCD1⊥平面A1ABB1答案:AD12.在△ABC中,三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若b=c cos A,A的平分线交BC于点D,AD=1,cos A=18,以下结论正确的是()A.AC=34B.AB=8C.CDBD =1 8D.△ABD的面积为3√74答案:ACD三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在题中的横线上)13.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).14.从分别写有1,2,3,4,5的五张质地相同的卡片中,任取两张,这两.张卡片上的数字之差的绝对值等于1的概率为2515.(本题第一空2分,第二空3分)随机抽取100名学生,测得他们的身高(单位:cm),按照身高依次分成六组:[155,160),[160,165), [165,170),[170,175),[175,180),[180,185),并得到样本身高的频率分布直方图如图所示,则频率分布直方图中的x的值为0.06;若将身高区间[170,175),[175,180),[180,185)依次记为A,B,C三组,并用分层抽样的方法从这三组中抽取6人,则从A,B,C三组中依次抽取的人数为3,2,1.16.如图所示,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形, PA⊥平面ABC,PA=2 AB.则下列命题中正确的有②④.(填序号)①PB⊥AD;②平面PAB⊥平面PAE;③BC∥平面PAE;④直线PD 与平面ABC所成的角为45°.四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算过程)17.(10分)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为A1B,AC的中点.(1)证明:EF∥平面A1C1D;(2)求三棱锥C-A1C1D的体积.(1)证明:如图,连接BD.因为四边形ABCD为正方形,所以BD交AC于点F,且F为BD的中点.因为E为A1B的中点,所以EF∥A1D.因为EF⊄平面A1C1D,A1D⊂平面A1C1D,所以EF∥平面A1C1D.(2)解:三棱锥C-A1C1D的体积V=V棱锥A1-CC1D =13S△CC1D·A1D1=13×12×2×2×2=43.18.(12分)从含有两件正品a 1,a 2和一件次品b 1的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放回,连续取两次.(1)写出所有可能的结果组成的样本空间.(2)求取出的两件产品中,恰有一件次品的概率.解:(1)每次取出一个,取后不放回地连续取两次,其所有可能的结果有6个,即Ω={(a 1,a 2),(a 1,b 1),(a 2,a 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品,右边的字母表示第2次取出的产品.(2)用A 表示事件“取出的两件产品中,恰好有一件次品”,则A ={(a 1,b 1),(a 2,b 1),(b 1,a 1),(b 1,a 2)},所以P (A )=46=23. 19.(12分)某居民小区为了提高小区居民的读书兴趣,特举办读书活动,准备进一定量的书籍丰富小区图书站.由于不同年龄段需看不同类型的书籍,为了合理配备资源,现对小区内读书者进行年龄调查, 随机抽取了一天中40名读书者进行调查,将他们的年龄分成6段:[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80],得到的频率分布直方图如图所示.(1)估计在这40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数;(2)求这40名读书者年龄的平均数和中位数;(3)从年龄在区间[20,40)上的读书者中任选两名,求这两名读书者年龄在区间[30,40)上的人数恰为1的概率.解:(1)由频率分布直方图知,年龄在区间[40,70)上的频率为(0.020+0.030+0.025)×10=0.75.所以40名读书者中年龄分布在区间[40,70)上的人数为40×0.75=30.(2)40名读书者年龄的平均数为25×0.05+35×0.1+45×0.2+55×0.3+ 65×0.25+75×0.1=54.设40名读书者年龄的中位数为x,0.05+0.1+0.2+(x-50)×0.03=0.5,解得x=55,即40名读书者年龄的中位数为55岁.(3)年龄在区间[20,30)上的读书者有2人,分别记为a,b,年龄在区间[30,40)上的读书者有4人,分别记为A,B,C,D.从上述6人中选出2人,有如下样本点:(a,b),(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C),(b,D),(A,B), (A,C),(A,D),(B,C),(B,D),(C,D),共15个,记选取的两名读书者中恰好有1人年龄在区间[30,40)上为事件A,则事件A包含8个样本点:(a,A),(a,B),(a,C),(a,D),(b,A),(b,B),(b,C), (b,D),故P(A)=8.1520.(12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设△ABC的面积为S,已知3c2=16S+3(b2-a2).(1)求tan B 的值;(2)若S =42,a =10,求b 的值.解:(1)因为3c 2=16S +3(b 2-a 2),所以3(c 2+a 2-b 2)=16S ,即3×2ac cos B =16×12ac sin B , 所以3cos B =4sin B ,即tan B =34. (2)由(1)可得sin B =35,cos B =45, 所以S =12ac sin B =12×10c ×35=3c =42, 所以c =14.由余弦定理可得,45=100+196-b 22×10×14,整理可得,b =6√2.21.(12分)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=1,|xa +b |=√3|a -xb |(x >0,x ∈R).(1)求a ·b 关于x 的解析式f (x );(2)求向量a 与b 夹角的最大值;(3)若a 与b 平行,且方向相同,试求x 的值. 解:(1)由题意得|xa +b |2=3|a -xb |2,即x 2a 2+2xa ·b +b 2=3a 2-6xa ·b +3x 2b 2. 因为|a |=|b |=1,所以8xa ·b =2x 2+2, 所以a ·b =x 2+14x (x >0),即f (x )=14(x +1x ) (x >0). (2)设向量a 与b 夹角为θ,则cos θ=a ·b |a ||b |=f (x )=14[(√x -√x )2+2], 当√x =√x ,即x =1时,cos θ有最小值12.因为0≤θ≤π,所以θmax =π3. (3)因为a 与b 平行,且方向相同,|a |=|b |=1,所以a =b ,所以a ·b =14(x +1x )=1, 解得x =2±√3.22.(12分)如图,在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中,底面ABCD 为菱形,AA 1⊥平面ABCD ,AC 与BD 交于点O ,∠BAD =60°,AB =2,AA 1=√6.(1)证明:平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1;(2)求二面角A -A 1C -B 的大小.(1)证明:由AA 1⊥平面ABCD ,得AA 1⊥BD ,AA 1⊥AC. 因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为AC ∩AA 1=A ,所以BD ⊥平面ACC 1A 1.因为BD ⊂平面A 1BD ,所以平面A 1BD ⊥平面ACC 1A 1.(2)解:如图,过点O 作OE ⊥A 1C 于点E ,连接BE ,DE. 由(1)知BD ⊥平面ACC 1A 1,所以BD ⊥A 1C.因为OE ⊥A 1C ,OE ∩BD =O ,所以A 1C ⊥平面BDE ,所以A 1C ⊥BE. 因为OE ⊥A 1C ,BE ⊥A 1C ,所以∠OEB 为二面角A -A 1C -B 的平面角. 因为△ABD 为等边三角形且O 为BD 中点, 所以OB =12AB =1,OA =OC =√32AB =√3. 因为AA 1⊥AC ,所以A 1C =√AA 12+AC 2=3√2. 因为△A 1AC ∽△OEC ,所以OE AA 1=OC A 1C ,所以OE =OC ·AA 1A 1C =√3×√63√2=1. 在△OEB 中,OB ⊥OE ,所以tan ∠OEB =OBOE =1,即∠OEB =45°. 综上,二面角A -A 1C -B 的大小为45°.。

北师大版高中数学必修二综合试卷(附答案)

北师大版高中数学必修二综合试卷（附答案）
一、单选题
1．直线与圆相交于A、B两点且弦AB的长为，则a的值为（）
A．-1B．0C．D．1
2．甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为，，则（）
A．B．
C．D．
3．已知F为双曲线E：的一个焦点，设直线y=1与双曲线E和两条渐近线的交点从左至右依次为A，B，C，D，若|AD|=3|BC|，则F到渐近线的距离为
A．B．C．D．不能确定
4．用一根长为18cm的铁丝围成正三角形框架，其顶点为，将半径为2cm的球放置在这个框架上（如图）.若M是球上任意一点，则四面体体积的最大值为( )
A．B．C．D．
5．若某空间几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）
A．B．C．D．
6．过点且与直线垂直的直线方程是（）
A．B．C．D．
7．一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为的正方形，则原图形的周长是（）
A．B．C．D．
8．直线过点(－1,2)且与以点 (－3，－2)、 (4,0)为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（）
A．[－，5]
B．[－，0)∪(0,2]。

(人教版A版)高中数学必修第二册第九章综合测试01(含答案)

第九章综合测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.下列两个抽样：①一个城市有210家某商品的代理商，其中大型代理商有20家，中型代理商有40家，小型代理商有150家，为了掌握该商品的销售情况，要从中抽取一个容量为21的样本；②某市质量检查人员从一食品生产企业生产的两箱（每箱12盒）牛奶中抽取4盒进行质量检查.则应采用的抽样方法依次为（）A.简单随机抽样；简单随机抽样B.分层随机抽样；分层随机抽样C.分层随机抽样；简单随机抽样D.简单随机抽样；分层随机抽样2.某学校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人.现用分层抽样的方法从全体师生中抽取一个容量为n的样本，若女学生一共抽取了80人，则n的值为（）A.193B.192C.191D.1903.2019年4月，某学校的学生参加了某考试机构举行的大联考，现从该校参加考试的学生数学成绩在100分及以上的试卷中随机抽取了20份试卷，这20份试卷的得分情况如下：109，112，120，128，135，139，142，150，118，124，127，135，138，144，114，126，126，135，137，148.则这组数据的第75百分位数是（）A.120B.138C.138.5D.1394.在样本频率分布直方图中，共有11个小长方形；若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形面积和的14，且样本容量为160，则中间一组的频数为（）A.32B.0.2C.40D.0.255.小波一星期的总开支分布如图甲所示，一星期的食品开支如图乙所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（）A.1%B.2%C.3%D.5%6.某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1 000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则获得复赛资格的人数为（）A.650B.660C.680D.7007.在某次测量中得到的A样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B样本数据恰好是A样本数据都加6后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是（）A.众数B.平均数C.中位数D.标准差8.某校将从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加全市100米仰泳比赛，现将他们最近集训的10次成绩（单位：秒）的平均数与方差制成表格如下：甲乙丙丁平均数59 57 59 57方差12 12 10 10根据表中的数据，应选哪位选手参加全市的比赛（）A.甲B.乙C.丙D.丁9.某地区某村的前三年的经济收入分别为100，200，300万元，其统计数据的中位数为x，平均数为y，预计今年该村经济收入将在上年基础上翻番，则在这4年里收入的统计数据中，下列说法正确的是（）A.中位数为x，平均数为1.5y B.中位数为1.25x，平均数为yC.中位数为1.25x，平均数为1.5yD.中位数为1.5x，平均数为2y10.某部门对全市高三年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了100名学生，他们身高都处于，，，，五个层次，根据抽样结果得到如图所示统计图，则从图中不能得出的信息是（）A B C D EA.样本中男生人数少于女生人数B.样本中B层次身高人数最多C.样本中D层次身高的男生多于女生D.样本中E层次身高的女生有3人二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中的横线上）11.某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9.已知这组数据的平均数为10，-的值为________.方差为2，则x y12.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为________.，，三所学校高三年级进行教学质量抽样调查，研究人员用分层随机抽样的13.某教研部门对本地区A B C方法从这三所学校中共抽取20个班级进行调查，得到这三所学校所抽取班级的数量、平均数和方差如下：学校A B C数量（个） 5 10 5平均数85 90 95方差14 30 26则抽取到的20个班级的平均数是________，方差________.14.从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：cm）数据绘制成频率分布直方图（如图）.由图中数据可知a=________.若要从身高在[120，130），[130，140），[140，150]三组的学生中，用分层随机抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]的学生中选取的人数应为________.三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.[12分]某高校在2017年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下：组号分组频率第1组[160,165) 0.05第2组[165,170) 0.35第3组[170,175) ①第4组[175,180) 0.2第5组[180,185) 0.1（1）请先求出频率分布表中①处应填写的数据，并完成如图所示的频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层随机抽样的方法抽取6名学生进人第二轮面试，求第3，4，5组每组各应抽取多少名学生进人第二轮面试.16.[12分]甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶所得的环数如图所示.填写下表，请从下列角度对这次结果进行分析.命中9环及平均数中位数方差以上的次数甲乙（1）命中9环及以上的次数（分析谁的成绩好些）；（2）平均数和中位数（分析谁的成绩好些）；（3）方差（分析谁的成绩更稳定）；（4）折线图上两人射击命中环数的走势（分析谁更有潜力）.17.[13分]某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100）.（1）求直方图中x的值；（2）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若该学校有600名新生，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）由频率分布直方图估计该校新生上学所需时间的平均值.18.[13分]蔬菜批发市场销售某种蔬菜，在一个销售周期内，每售出1吨该蔬菜获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元.统计该蔬菜以往100个销售周期的市场需求量，绘制如图所示频率分布直方图. （1）求a的值，并求100个销售周期的平均市场需求量（以各组的区间中点值代表该组的数值）.（2）若经销商在下个销售周期购进了190吨该蔬菜，设T为该销售周期的利润（单位：元），X为该销售周期的市场需求量（单位：吨）.求T与X的函数解析式，并估计销售的利润不少于86 000元的频率.第九章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】①中商店的规模不同，所以应采用分层随机抽样；②中总体没有差异性，容量较小，样本容量也较小，所以应采用简单随机抽样。

高中数学选择性必修二精讲精炼本册综合测试(基础)(含答案)

本册综合测试(基础)一、单选题(每题只有一个选项为正确答案。

每题5分，8题共40分)1．(2021·广西师大附属外国语学校高二月考)数列1，3，6，10，15，…的递推公式是( ) A ．*1,n n a a n n N +=+∈B ． *1,2n n a a n n N n -=+∈≥，C ．()*11,,2n n a a n n N n +=++∈≥D ．*11,2()n n a a n n N n -=+-∈≥，【答案】B【解析】设数列1，3，6，10，15，…为{}n a ，所以2132432,3,4a a a a a a -=-=-=， *5415,2n n a a a a n n N n --=⋯-=∈≥，，，，所以*1,2n n a a n n N n -=+∈≥，.故选：B.2．(2021·青海师大附中)设数列{}n a 是等差数列，n S 为其前n 项和，58a =，36S =，则( ) A ．它的首项是2-，公差是3 B ．它的首项是2，公差是3- C ．它的首项是0，公差是2 D ．它的首项是3，公差是2-【答案】C【解析】因为5148a a d =+=，31336S a d =+= 所以可解得10,2a d == 故选：C3．(2021·河南郑州 )在等比数列{}n a 中，25827a a a ⋅⋅=-，则37a a ⋅=( ) A ．9- B ．9 C ．27- D ．27【答案】B【解析】由等比中项的性质可得：228375a a a a a ⋅=⋅=故325855273a a a a a ⋅⋅=-=∴=-则23759a a a ==⋅故选：B4．(2021·安顺市第三高级中学 )若函数()y f x =可导，则“()0f x '=有实根”是“()f x 有极值”的( )． A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】()0f x '=，但()'f x 在零点左侧和右侧都同时大于零或者小于零时()f x 在零点处无极值，但()f x 有极值则()'f x 在极值处一定等于0.所以“()0f x '=有实根”是“()f x 有极值”的必要不充分条件. 故选：A5．(2021·全国高二专题练习)已知函数()()21xf x x x e =++，则()f x 在(0())0f ，处的切线方程为( )A ．10x y ++=B ．10x y -+=C ．210x y ++=D ．210x y -+=【答案】D 【解析】()()21x f x x x e =++，求导得：()()()()2221132x x xf x x e x x e x x e =++=+'+++，()02f ∴'= ，又()01f =，()f x ∴在(0())0f ，处的切线方程为21y x =+，即210x y -+=.故选：D.6．(2021·全国高二课时练习)函数y ＝ln ||x x的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵y ＝f (－x )＝ln ||x x--＝－f (x )， ∴y ＝f (x )＝ln ||x x为奇函数， ∴y ＝f (x )的图象关于原点成中心对称，可排除B. 又∵当x ＞0时，f (x )＝ln x x ， ()21ln xf x x -'=， ∴当x ＞e 时，()f x '＜0，∴函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减；当0＜x ＜e 时，()f x '＞0， ∴函数f (x )在(0，e )上单调递增. 故可排除A ，D ，而C 满足题意. 故选：C.7．(2021·全国高二课时练习)函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0，2π)上是( ) A ．增函数B ．减函数C ．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D ．在(0，π)上减，在(0，2π)上增【答案】A【解析】∵f ′(x )＝1－cos x >0在(0，2π)上恒成立， ∴f (x )在(0，2π)上为增函数. 故选：A8．(2021·河南郑州·高二期中(理))设n A ，n B 分别为等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．若23n n n n A aB b +=+(a ，b 为常数)，则74a b =( )A ．12881B ．12780C ．3227D ．2726【答案】 C【解析】由题意，23n n n n A a B b+=+ 设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+则76776[(2)(2)]64a A A a a m m =-=+-+=()()434433354b B B b b m m ⎡⎤=-=+-+=⎣⎦7464325427a mb m ∴== 故选：C二、多选题(每题不止一个选项为正确答案，每题5分，4题共20分)9．(2021·全国高二课时练习)函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，则( )A ．12x =为函数()f x 的零点 B ．2x =为函数()f x 的极小值点 C ．函数()f x 在1,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减D ．()2f -是函数()f x 的最小值【答案】BC【解析】解：由()f x '的图象可知，()f x 在12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭和()2,+∞上单调递增，在(),2-∞-和1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2x =为()f x 的极小值点，所以B ，C 均正确； 12x =是()f x '的零点，但不一定是()f x 的零点，所以A 错误； ()2f -是函数()f x 的极小值，但不一定是最小值，所以D 错误.故选：BC.10．(2021·山东潍坊·高二期中)下面是按照一定规律画出的一列“树形图”．其中，第2个图比第I 个图多2个“树枝”，第3个图比第2个图多4个“树枝”，第4个图比第3个图多8个“树枝"．假设第n 个图的树枝数为n a ，数列{}n a 的前n 项和n S ，则下列说法正确的是( ) A ．12n n a -= B ．12nn n a a +=+C ．2n n S a n =-D ．13521221n n a a a a a n -+++⋅⋅⋅+=-+【答案】BC【解析】由题意，由图(3)可得37a =，对于A 中313247a -==≠，所以A 不正确；由图(2)比图(1)多出2个树枝，图(3)比图(2)多出4个树枝，图(4)比图(3)多出8个树枝，，由此可得12n n n a a +-=，即12n n n a a +=+，所以B 正确；由12nn n a a +-=，可得121121112()()12222112n n n n n n a a a a a a ---=+-++-=++++==--，则12(12)2212n n n S n n +-=-=---，所以2n n S a n =-，所以C 正确；由21nn a =-，可得135212(14)2241433n n n a a a a n n --+++⋅⋅⋅+=-=⋅---，又由2212212(21)121n n n a n n n +-+=⋅--+=--，所以D 不正确.故选：BC.11．(2021·全国高二专题练习)斐波那契，公元13世纪意大利数学家．他在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，⋯，其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，这就是著名的斐波那契数列．斐波那契数列与代数和几何都有着不可分割的联系．现有一段长为a 米的铁丝，需要截成n (n >2)段，每段的长度不小于1m ，且其中任意三段都不能构成三角形，若n 的最大值为10，则a 的值可能是( ) A ．100 B ．143 C ．200 D ．256【答案】BC【解析】不妨设10段铁丝长度为1210,,,a a a ，且12310a a a a ≤≤≤≤，依题意可知123a a a +≤，234a a a +≤，……，8910a a a +≤，11a ≥，要使得n 最大，则12,,,n a a a 尽可能小，因此11a =，21a =，32a =，…，10115589a a ==，，记斐波那契数列前n 项和为n S ，其中1011143,232S S ==，则有10111nk k S a a S =≤=<∑，故选：BC .12．(2021·广东汕尾·高二期末)已知函数()331f x x x =-+，则( )A ．函数()f x 的增区间为11,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．函数()f x 的极小值为79C ．若方程()f x a =有三个互不相等的实数根，则71199a D ．函数()f x 的图像关于点()0,1对称【答案】BD【解析】2()91f x x '=-，所以13x <-或13x >时，()0f x '>，1133x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在1(,)3-∞-和1(,)3+∞上递增，在11(,)33-上递减，A 错；函数()f x 的极小值为1739f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，B 正确；函数()f x 的极大值为11139f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以当71199a <<时，()f x a =有三个互不相等的实根，C 错；33()()313()12f x f x x x x x +-=-++⨯-++=，所以()f x 的图象关于点(0,1)对称．D 正确．故选：BD ．三、填空题(每题5分，4题共20分)13．(2021·河北石家庄·高二期末)写出一个恰有1个极值点，且其图象经过坐标原点的函数()f x =_______________．【答案】2x (答案不唯一)【解析】令2()f x x =(答案不唯一)，则(0)0f =，()2f x x '=，令()0f x '=，则0x =，故函数在(),0-∞递减，在()0,∞+递增，故函数2()f x x =只有一个极值点. 故答案为：2x (答案不唯一)．14．(2021·全国高二课时练习)请写出一个符含下列要求的数列{}n a 的通项公式：①{}n a 为无穷数列；②{}n a 为单调递增数列；③02n a <<.这个数列的通项公式可以是______. 【答案】12n a n=-.【解析】因为函数12n a n =-的定义域为*N ，且12n a n =-在*N 上单调递增，1022n <-<，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是12n a n =-，故答案为：12n a n=-.15．(2021·河南高二期末(理))设计一个蒙古包型的仓库，它由上､下两部分组成，上部分的形状是圆锥，下部分的形状是圆柱(如图所示)，圆柱的上底面与圆锥的底面相同，要求圆柱的高是圆锥的高的两倍.若圆锥的母线长是1，则该仓库的最大容积是___________.【解析】设圆锥的母线与轴的夹角为θ，则圆锥的底面半径为sin θ，高为cos θ，则仓库的容积为：()2223177sin cos 2sin cos sin cos cos cos 333V πππθθπθθθθθθ=+==-，02πθ<<，令cos t θ=，3y t t =-，则01t <<，213y t '=-，0t <<0y '>1t <<时，0y '<，所以t =y V .. 16．(2021·辉县市第一高级中学高二月考(理))给出如下关于函数1ln ()xf x x+=的结论： ①对0x ∀>，都有()1f x ≤；②对1(0,1)x ∀∈，都2(1,)x ∃∈+∞，使得()()21f x f x =； ③1322f f ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④00x ∃>，使得()00f x x >.其中正确的有___________.(填上所有你认为正确结论的序号) 【答案】①③④ 【解析】2ln ()xf x x -'=，(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单增；(1,)x ∈+∞，()0f x '<，()f x 单减；故()(1)1f x f ≤=，①正确；0,()x f x →→-∞，故(0,1)x ∈时，()(,1)f x ∈-∞；,()0x f x →+∞→，故(1,)x ∈+∞时，()(0,1)f x ∈，故当(0,1)x ∈，取1()0f x <时，如21()0f e e e<-<，找不到2(1,)x ∃∈+∞，使得()()21f x f x =，②错误；132323232(1ln 2)(1ln )(23ln 2ln )(2ln(8))22323232f f ⎛⎫⎛⎫-=--+=--=-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2(2ln12)03=-<，故③正确； ()21ln 1ln x x x f x x x x x ++--=-=，令2()1ln h x x x =+-，则2112()2x h x x x x -'=-=，0x >，故2x ∈，()0h x '>，()h x单增；()2x ∈+∞，()0h x '<，()h x 单减；故211()1ln ln 222h x h ≤=+=-⎝⎭， ∵11ln 2022->∴11ln 20f -=>⎝⎭，即00x ∃>，使得()00f x x >，④正确；故答案为：①③④四、解答题(17题10分，其余每题12分，共6题70分)17．(2021·福建宁德·高二期中)①x y e =；②ln y x =．若直线y x a =+为__________(选择①、②中的一个)的切线． (1)求切点坐标； (2)求实数a 的值．注：如果条件①和条件②都解答，按第一个解答计分．【答案】若选①，(1)(0,1)P ；(2)1a =；若选②，(1)(1,0)P ；(2)1a =-. 【解析】选择①(1)设切点()00,x P x e ，()xf x e '=，()001x f x e '==，解得000,1xx e ==，所以切点为(0,1)P ．(2)由(1)知切点为(0,1)P ，所以切线为1y x -=，即1y x =+，所以1a =．选择②(1)设切点()00,ln P x x ，()1f x x'=，()0011f x x '==，解得001,ln 0x x ==，所以切点(1,0)P ．(2)由(1)知切点为(1,0)P ，所以切线为1y x =-，所以1a =-．18．(2021·江苏镇江·高二期末)有三个条件：①函数()f x 的图象过点 (0,1)，且1a =；②()f x 在1x =时取得极大值116；③函数()f x 在3x =处的切线方程为4270x y --=，这三个条件中，请选择一个合适的条件将下面的题目补充完整(只要填写序号)，并解答本题．题目：已知函数321()232a f x x x xb =+++存在极值，并且______．(1)求()f x 的解析式；(2)当[1,3]x ∈时，求函数()f x 的最值【答案】选①；(1)3211()2132f x x x x =+++；(2)max 41()2f x =，min 23()6f x =．选②：3213()2132f x x x x =-++；(2)min 5()3f x =，max 5()2f x =；选③：3217()232f x x x x =-+-；(2)max 5()2f x =，min 13()6f x =-．【解析】选①：(1)(0)1==f b ，所以1a b ==，故3211()2132f x x x x =+++；(2)由2217()2024f x x x x ⎛⎫=++=++> ⎪⎝⎭'，所以()f x 单调递增，故max 41()(3)2f x f ==，min 23()(1)6f x f ==．选②：因为321()232a f x x x xb =+++，所以2()2f x x ax '=++由题意知322111(1)1121326(1)120a fb f a ⎧=⨯+⨯+⨯+='⎪⎨⎪=++=⎩，解得31a b =-⎧⎨=⎩，故3213()2132f x x x x =-++，经检验()f x 在1x =时取得极大值，故符合题意，所以3213()2132f x x x x =-++， (2)22()23f x x x '=-+，令22()320f x x x '=-+=，所以1x =或2x =，所以(),1x ∈-∞或()2,+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；()1,2x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减；因此()f x 在()1,2单调递减，在()2,3单调递增，则111(1)213263f =-++=，3215(2)222213233f =⨯-⨯+⨯+=，3215(3)332313232f =⨯-⨯+⨯+=，所以min 5()3f x =，max 5()2f x =；选③：由题意知5(3)2(3)2f f ⎧=⎪⎨⎪=⎩'，又因为2()2f x x ax '=++，所以32215(3)3323322(3)2222a fb f a ⎧=⨯+⨯+⨯+='⎪⎨⎪=++=⎩，解得272a b =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以3217()232f x x x x =-+-， (2)()22()22110f x x x x '=-+=-+>，所以()f x 单调递增，故32max 17()(3)33233522f x f ==⨯-+⨯-=，min 1713()(1)12326f x f ==-+-=-． 19．(2021·甘肃甘州 )已知等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，若2d q ==，且1a ，1b ，2a ，2b 成等差数列.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T . 【答案】(1)21n a n =-，2n n b =；(2)21n n T n =+. 【解析】(1)∵1a ，1b ，2a 成等差数列，∴12111121222a a a d d b a a ++===+=+①，又∵1b ，2a ，2b 成等差数列，∴1221322b b a b +==，得11322a b +=②，由①②得11a =，12b =，∴()()1112121n a a n d n n =+-=+-=-，111222n n n n b b q --==⨯=； (2)()()111111212122121n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， ∴111111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭. 20．(2021·贵州师大附中高二月考(理))已知数列{}n a 满足11()n n a a n N *+=+∈，且22a =.(1)若数列{}n b 满足111,21n n n b b b a +==+-，求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列{}3n a n a ⋅的前n 项和n S .【答案】(1)222n b n n =-+；(2)()121334n nn S +-⋅+=. 【解析】 (1)由11n n a a +=+知数列{}n a 是公差为1的等差数列故212a a d =+=，所以11a =，所以n a n =所以121n n b b n +=+- 所以1(1)(123)13523,22n n n b b n n -+--=++++-=≥ 所以22(1)(123)11(1)22,22n n n b n n n n -+-=+=+-=-+≥ 又11b =满足上式，所以222n b n n =-+；(2)由(1)可得33n a n n a n ⋅=⋅所以1231323333n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯①；234131323333n n S n +=⨯+⨯+⨯++⨯②；①-②得12311313131233n n n n S +=⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-+，所以()13132313n n n S n +--=-⨯- 所以()121334n n n S +-⋅+=21．(2021·天津市第一百中学高三月考)已知函数32()61f x ax x =-+，a R ∈.(1)若2a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若4a =-，求函数在区间[2,3]-的最值；(3)若()f x 恰有三个零点，求a 的取值范围.【答案】(1)()f x 的增区间是(,0)-∞和(2,)+∞，减区间是(0,2)；(2)最大值是9，最小值是161-；(3)((0,42)-．【解析】(1)2a =，32()261f x x x =-+，2()6126(2)f x x x x x '=-=-，0x <或2x >时，()0f x '>，02x <<时，()0f x '<，所以()f x 的增区间是(,0)-∞和(2,)+∞，减区间是(0,2)；(2)4a =-，32()461f x x x =--+，2()121212(1)f x x x x x '=--=-+，21x -<<-或03x <<时，()0f x '<，10x -<<时，()0f x '>，()f x 在(2,1)--、(0,3)是递减，在(1,0)-上递增，()f x 极大值(0)1f ==，()f x 极小值(1)1f =-=-，又(2)9f -=，(3)161f =-，所以函数在区间[2,3]-的最大值是9，最小值是161-；(3)2()3123(4)f x ax x x ax '=-=-，0a =时，2()61f x x =-+是二次函数，不可能是三个零点；0a >时，0x <或4x a >时，()0f x '>，40x a<<时，()0f x '<，即()f x 在(,0)-∞和4(,)a +∞上递增，在4(0,)a 上递减，所以()f x 极大值(0)1f ==，()f x 极小值2432()1f a a ==-+，函数有三个零点，则23210a-+<，a -<<以0a <<0a <时，0x >或4x a <时，()0f x '<，40x a <<时，()0f x '>，即()f x 在4(,)a -∞和(0,)+∞上递减，在4(,0)a 上递增，所以()f x 极大值(0)1f ==，()f x 极小值2432()1f a a ==-+，函数有三个零点，则23210a-+<，a -<<以0a -<；综上，a 的取值范围是((0,42)-．22．(2021·全国高二单元测试)森林资源是全人类共有的宝贵财富，其在改善环境，保护生态可持续发展方面发挥着重要的作用.为了实现到2030年，我国森林蓄积量将比2005年增加60亿立方米这一目标，某地林业管理部门着手制定本地的森林蓄积量规划.经统计，本地2020年底的森林蓄积量为120万立方米，森林每年以25%的增长率自然生长，而为了保证森林通风和发展经济的需要，每年冬天都要砍伐掉s 万立方米(1030s <<)的森林.设n a 为自2021年开始，第n 年末的森林蓄积量(单位：万立方米).(1)请写出一个递推公式，表示1n a +，n a 两者间的关系；(2)将(1)中的递推公式表示成()1n n a k r a k +-=-的形式，其中r ，k 为常数；(3)为了实现本地森林蓄积量到2030年底翻两番的目标，每年的砍伐量s 最大为多少万立方米？(精确到1万立方米) 参考数据：85 5.964⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，957.454⎛⎫≈ ⎪⎝⎭，1059.314⎛⎫≈ ⎪⎝⎭. 【答案】(1)154n n a a s +=-；(2)()15444n n a s a s +-=-；(3)19. 【解析】(1)由题意，得()1120125%150a s s =⨯+-=-，()15125%4n n n a a s a s +=+-=-.① (2)将()1n n a k r a k +-=-化成1n n a ra k rk +=+-，② 比较①②的系数，得54r k rk s⎧=⎪⎨⎪-=-⎩，解得544r k s⎧=⎪⎨⎪=⎩. 所以递推公式为()15444n n a s a s +-=-. (3)因为141505a s s -=-，且()10,30s ∈，所以140a s -≠，由(2)可知140a s -≠，所以14544n n a s a s +-=-，即数列{}4n a s -是以1505s -为首项，54为公比的等比数列，其通项公式为()15415054n n a s s -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，所以()15415054n n a s s -⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭.2030年底的森林蓄积量为数列{}n a 的第10项，()9105415054a s s ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭. 由题意，森林蓄积量到2030年底要达到翻两番的目标，所以104120a ≥⨯，即()95415054804s s ⎛⎫+-⋅≥ ⎪⎝⎭，即()415057.4541117.537.25480s s s s +-⨯=+-≥.解得19.17s ≤. 所以每年的砍伐量最大为19万立方米.。

《成才之路》2015-2016学年人教B版高中数学必修2习题综合测试AWord版含解析

本册综合测试(A)时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知点A(a,3)、B(－1，b＋2)且直线AB的倾斜角为90°，则a、b的值为()A．a＝－1，b∈R且b≠1B．a＝－1，b＝1C．a＝3，b＝1 D．a＝3，b＝－1[答案] A[解析]∵直线AB的倾斜角为90°，∴AB⊥x轴，∴a＝－1，b∈R且b≠1.2．不论m为何值，直线(m－2)x－y＋3m＋2＝0恒过定点()A．(3,8) B．(8,3)C．(－3,8) D．(－8,3)[答案] C[解析]直线方程(m－2)x－y＋3m＋2＝0可化为m(x＋3)－2x－y＋2＝0，∴x＝－3时，m∈R，y＝8，故选C．3．(2015·陕西西安市一中高一期末测试)垂直于同一条直线的两条直线一定()A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能[答案] D[解析]如图正方体ABCD－A1B1C1D1，AD⊥AB，BC⊥AB，AD∥BC，BB1⊥AB，AD与BB1异面，AA1⊥AB，AA1与AD相交，故选D.4．对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得()A．a⊂α，b⊂αB．a⊂α，b∥αC．a⊥α，b⊥αD．a⊂α，b⊥α[答案] B[解析]已知两条不相交的空间直线a和b，可以在直线a上任取一点A，使得A∉b.过A 作直线c∥b，则过a、b必存在平面α，且使得a⊂α，b∥α.5．若点P(a，b)在圆C：x2＋y2＝1的外部，则有直线ax＋by＋1＝0与圆C的位置关系是()A ．相切B ．相离C ．相交D ．相交或相切[答案] C[解析] ∵点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝1的外部，∴a 2＋b 2>1. ∴圆C 的圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋1＝0的距离d ＝1a 2＋b 2<1，即直线ax ＋by ＋1＝0与圆C 相交．6．如图，在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )[答案] C[解析] 当a >0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a >0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a >0，此时，选项A 、B 、C 、D 都不符合；当a <0时，直线y ＝ax 的斜率k ＝a <0，直线y ＝x ＋a 在y 轴上的截距等于a <0，只有选项C 符合，故选C ．7．已知平面α外不共线的三点A 、B 、C 到平面α的距离相等，则正确的结论是( ) A ．平面ABC 必平行于α B ．平面ABC 必不垂直于α C ．平面ABC 必与α相交D ．存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 [答案] D[解析] 平面ABC 与平面α可能平行也可能相交，排除A 、B 、C ，故选D.8．(2015·甘肃天水一中高一期末测试)圆O 1：x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0与圆O 2：x 2＋y 2－8x －6y ＋16＝0的位置关系是( )A ．内切B ．外离C ．内含D ．相交[答案] A[解析] 圆O 1的圆心O 1(2,3)，半径r 1＝1，圆O 2的圆心O 2(4,3)，半径r 2＝3.|O 1O 2|＝(4－2)2＋(3－3)2＝2，r 2－r 1＝2，∴|O 1O 2|＝r 2－r 1，故两圆内切．9．光线沿着直线y ＝－3x ＋b 射到直线x ＋y ＝0上，经反射后沿着直线y ＝ax ＋2射出，则有( )A ．a ＝13，b ＝6B ．a ＝－13，b ＝－6C ．a ＝3，b ＝－16D ．a ＝－3，b ＝16[答案] B[解析] 由题意，直线y ＝－3x ＋b 与直线y ＝ax ＋2关于直线y ＝－x 对称，故直线y ＝ax＋2上点(0,2)关于y ＝－x 的对称点(－2,0)在直线y ＝－3x ＋b 上，∴b ＝－6，y ＝－3x －6上的点(0，－6)，关于直线y ＝－x 对称点(6,0)在直线y ＝ax ＋2上，∴a ＝－13选B.10．(2015·福建南安一中高一期末测试)某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x 的值是( )A ．2B ．94C ．3D ．92[答案] C[解析] 由三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的四棱锥，且直角梯形的上底长为1，下底长为2，高为2，四棱锥的高为x ，其体积为13×(1＋2)×22·x ＝3，∴x ＝3.11．圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0上的动点P 到直线y ＝－x 的最小距离为( ) A ．22－1 B ．2 2 C ． 2 D ．1 [答案] A[解析] 圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0可化为(x －2)2＋(y －2)2＝1，故圆心坐标为(2,2)，半径r ＝1.圆心(2,2)到直线y ＝－x 的距离d ＝|2＋2|2＝2 2.故动点P 到直线y ＝－x 的最小距离为22－1.12．一个几何体的三视图如下图所示，该几何体的表面积为( )A ．280B ．292C ．360D ．372 [答案] C[解析] 该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的4个侧面的面积之和．S ＝2×(10×8＋10×2＋8×2)＋2×(6×8＋8×2)＝360.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2015·云南曲靖市陆良县二中高一期末测试)两平行直线l 1：3x ＋4y －2＝0与l 2：6x ＋8y －5＝0之间的距离为________．[答案]110[解析] 直线l 2的方程可化为3x ＋4y －52＝0，故两平行直线l 1、l 2之间的距离d ＝|－2－(－52)|32＋42＝110. 14．一个正四棱柱的侧面展开图是一个边长为4的正方形，则它的体积为__________． [答案] 4[解析] 由已知得，正四棱柱的底面边长为1，高为4，体积V ＝12×4＝4.15．若点P 在坐标平面xOy 内，点A 的坐标为(0,0,4)且d (P ，A )＝5，则点P 的轨迹方程为________．[答案] x 2＋y 2＝9[解析] 设P (x ，y,0)，则d (P ，A )＝(x －0)2＋(y －0)2＋(0－4)2＝5，即x 2＋y 2＝9. 16．设m 、n 是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m ∥n ；②m ∥α；③n ∥α.以其中两个为条件，余下的一个为结论，构成三个命题，写出你认为正确的一个命题：__________________.[答案] ①②⇒③或(①③⇒②)三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)设A (1，－2，x )，B (x,3,0)，C (7，x,6)，且A 、B 、C 三点能构成直角三角形，求x 的值．[解析] AB 2＝2x 2－2x ＋26，BC 2＝2x 2－20x ＋94，AC 2＝2x 2－8x ＋76，由(2x 2－2x ＋26)＋(2x 2－20x ＋94)＝2x 2－8x ＋76得x 2－7x ＋22＝0无解；由(2x 2－2x ＋26)＋(2x 2－8x ＋76)＝2x 2－20x ＋94得x 2＋5x ＋4＝0，∴x 1＝－4，x 2＝－1；由(2x 2－20x ＋94)＋(2x 2－8x ＋76)＝2x 2－2x ＋26得x 2－13x ＋72＝0无解， ∴x 的值为－4或－1.18．(本题满分12分)(2015·甘肃天水市泰安县二中高一月考)直线l 经过直线x ＋y －2＝0和直线x －y ＋4＝0的交点，且与直线3x －2y ＋4＝0平行，求直线l 的方程．[解析] 解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0x －y ＋4＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝3.即直线l 过点(－1,3)．∵直线l 的斜率为32，∴直线l 的方程为y －3＝32(x ＋1)，即3x －2y ＋9＝0.解法二：由题意可设直线l 的方程为x －y ＋4＋λ(x ＋y －2)＝0，整理得(1＋λ)x ＋(λ－1)y ＋4－2λ＝0， ∵直线l 与直线3x －2y ＋4＝0平行，∴－2(1＋λ)＝3(λ－1)， ∴λ＝15.∴直线l 的方程为65x －45y ＋185＝0，即3x －2y ＋9＝0.19．(本题满分12分)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，AC ∩BD ＝E ，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6，求证：平面PBD ⊥平面P AC ．[解析] ∵P A ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ， ∴BD ⊥P A ．又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33.tan ∠BAC ＝BCAB＝ 3.∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°， ∴∠AED ＝90°，即BD ⊥AC ．又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC ． ∵BD ⊂平面PBD .所以平面PBD ⊥平面P AC ．20．(本题满分12分)在△ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在的直线方程为y ＝0.若B 的坐标为(1,2)，求△ABC 三边所在直线方程及点C 坐标．[解析] BC 边上高AD 所在直线方程x －2y ＋1＝0， ∴k BC ＝－2，∴BC 边所在直线方程为：y －2＝－2(x －1)即2x ＋y －4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋1＝0y ＝0，得A (－1,0)， ∴直线AB ：x －y ＋1＝0，点B (1,2)关于y ＝0的对称点B ′(1，－2)在边AC 上， ∴直线AC ：x ＋y ＋1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝02x ＋y －4＝0，得点C (5，－6)． 21．(本题满分12分)降水量是指水平地面上单位面积所降雨水的深度，用上口直径为38 cm ，底面直径为24 cm ，深度为35 cm 的圆台形容器(轴截面如图)来测量降水量，若在一次降水中，此桶盛得的雨水正好是桶深的17，则本次降雨的降水量是多少？(精确到mm)[解析] 如图，作BE ⊥CD 于点E ，交MN 于点G ，作AH ⊥CD 于H ，交MN 于点P ，则BG BE ＝17，四边形ABEH 、PGEH 均为矩形．∴BG ＝17·BE ＝17×35＝5(cm)．EH ＝PG ＝AB ＝24 cm.又∵四边形ABCD 为等腰梯形， ∴MN ＝PG ＋2GN .又∵EC ＝12(CD －AB )＝12(38－24)＝7(cm)，∴GN ＝17EC ＝1(cm)，∴MN ＝PG ＋2GN ＝24＋2＝26(cm)． ∴此次降雨中雨水的体积为 V ＝13π[(MN 2)2＋(AB 2)2＋(MN 2·AB 2)]·BG＝13π×5×(132＋122＋13×12) ＝23453(cm 3)，降雨中雨水面的面积S ＝π(CD2)2＝361π(cm 2)．∴此次降雨的降水量为h ＝V S ＝2345π3×361π≈2.2(cm)＝22(mm)．即本次降雨的降水量约是22 mm.22．(本题满分14分)已知⊙C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0. (1)若⊙C 的切线在x 轴、y 轴上截距相等，求切线的方程；(2)从圆外一点P (x 0，y 0)向圆引切线PM ，M 为切点，O 为原点，若|PM |＝|PO |，求使|PM |最小的P 点坐标．[解析] ⊙C ：(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，圆心C (－1,2)，半径r ＝2. (1)若切线过原点设为y ＝kx ，则|－k －2|1＋k 2＝2，∴k ＝0或43.若切线不过原点，设为x ＋y ＝a ，则|－1＋2－a |2＝2，∴a ＝1±22， ∴切线方程为：y ＝0，y ＝43x ，x ＋y ＝1＋22和x ＋y ＝1－2 2.(2)x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝x 20＋y 20，∴2x 0－4y 0＋1＝0，|PM |＝x 20＋y 20＋2x 0－4y 0＋1＝5y 20－2y 0＋14∵P 在⊙C 外，∴(x 0＋1)2＋(y 0－2)2>4，将x 0＝2y 0－12代入得5y 20－2y 0＋14>0， ∴|PM |min ＝510.此时P ⎝⎛⎭⎫－110，15.。

人教版B版(2019)高中数学必修第二册：第六章平面向量初步综合测试(附答案与解析)

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
第六章综合测试
一、单项选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知平面向量 a = (−1, 2) ； b = (1,0) ，则向量 3a + b 等于（）
A. (−2,6)
C.若 a 和 b 都是单位向量，则 a = b 或 a = −b
D.零向量与任何向量都共线
uuur uuur uuur
uuur
4.在四边形 ABCD 中，设 AB = a, AD = b, BC = c ，则 DC 等于（）
D. (2, −6) uuur
D. DB
A. a − b + c
B. b − (a + c)
（1）求 3a + b − 3c 的值；（2）求满足 a = mb + nc 的实数 m,n 的值；
uuur （3）若线段 AB 的中点为 M ，线段 BC 的三等分点为 N （点 N 靠近点 B ），求 MN .
6 / 15
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根 22.（12 分）如图，已知河水自西向东流，流速为 v0 = 1 m / s ，设某人在静水中游泳的速度为 v1 ，在水中的
C.外心
D.内心
uuur uuur
uuur
9.已知 O, A, B 是平面内的三个点，直线 AB 上有一点 C ，满足 AB + AC = 0 ，则 OC = （）
uur uuur A. 2OA − OB
uur uuur B. −OA + 2OB
C.
2
uur OA

新课标高中数学测试题(必修2)全套含答案(K12教育文档)

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（数学2必修）第一章空间几何体[基础训练A 组］一、选择题1．有一个几何体的三视图如下图所示,这个几何体应是一个（）A。

棱台B.棱锥C.棱柱D.都不对2．棱长都是1的三棱锥的表面积为( ）A 。

3．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是（ )A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对 4．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）AB2 C．235．在△ABC 中，02, 1.5,120AB BC ABC ==∠=,若使绕直线BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（）A. 92πB. 72π C 。

52π D 。

32π6．底面是菱形的棱柱其侧棱垂直于底面，且侧棱长为5，它的对角线的长分别是9和视图15，则这个棱柱的侧面积是（ )A ．130B ．140C ．150D ．160 二、填空题1．一个棱柱至少有 _____个面，面数最少的一个棱锥有 ________个顶点,顶点最少的一个棱台有 ________条侧棱.2．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们的体积之比是_____________。

3．正方体1111ABCD A B C D - 中，O 是上底面ABCD 中心，若正方体的棱长为a ，则三棱锥11O AB D -的体积为_____________。

高中数学必修2测试试卷

高中数学测试试卷(4)1)0(0=+≠=++y x abc c by ax 与圆|b|，|c|的三角形（）A ．是锐角三角形B ．是直角三角形C ．是钝角三角形D ．不存在 2. a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行且不重合的（） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件3．点M (x 0,y 0)是圆x 2+y 2=a 2 (a>0)内不为圆心的一点，则直线x 0x+y 0y=a 2与该圆的位置关系是（）A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交 4．圆x 2+2x+y 2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个5.命题“∀x >0，都有x 2－x ≤0”的否定是 ( )．A ．∃x 0>0，使得x 02－x 0≤0B ．∃x 0>0，使得x 02－x 0>0C ．∀x >0，都有x 2－x >0D ．∀x ≤0，都有x 2－x >06．长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（）A ．27π B ．56π C ．14π D ．64π7．棱锥被平行于底面的平面所截，当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时，相应的截面面积分别为S 1、S 2、S 3，则（）A ．S 1<S 2<S 3B ．S 3<S 2<S 1C ．S 2<S 1<S 3D ．S 1<S 3<S 28．如图8-24，在一个倒置的正三棱锥容器内，放入一个钢球，钢球恰好与棱锥的四个面都接触上，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是（）9．如图8-25，在三棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q ，且满足A 1P =BQ ，过P 、Q 、C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（） A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1D ．3∶110．图8-23中多面体是过正四棱柱的底面正方形ABCD 的顶点A 作截面AB 1C 1D 1而截得的，且B 1B=D 1D 。