【金版新学案】2013版高考数学总复习 课时作业44 均值不等式 理 新人教B版
2013版《金版新学案》高考总复习数学(理)课时作业31
课时作业(三十一) 等比数列及其前n 项和A 级1．若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －a ，数列{a n }为等比数列，则实数a 的值是( ) A ．3 B ．1 C ．0D ．－12．设数列{a n }满足：2a n ＝a n ＋1(n ∈N *)，且前n 项和为S n ，则S 4a 2的值为( )A.152 B.154 C ．4D ．23．已知函数f (x )＝log a x ，且所有项为正数的无穷数列{a n }满足log a a n ＋1－log a a n ＝2，则数列{a n }( )A ．一定是等比数列B ．一定是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列4．(2012·威海模拟)在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12 B.32C ．1D ．－325．(2012·山西四校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{a n }的奇数项的前n 项和为( )A.2n ＋1－13B.2n ＋1－23C.22n －13D.22n －236．已知各项不为0的等差数列{a n }，满足2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.7．(2012·南京模拟)等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 为________．8．(2012·江西卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，则对任意的n ∈N *，都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.9．(2012·潍坊模拟)已知函数f (x )＝2x ＋3，数列{a n }满足：a 1＝1且a n ＋1＝f (a n )(n ∈N *)，则该数列的通项公式a n ＝________.10．S n 是无穷等比数列{a n }的前n 项和，且公比q ≠1，已知1是12S 2和13S 3的等差中项，6是2S 2和3S 3的等比中项．(1)求S 2和S 3；(2)求此数列{a n }的前n 项和公式．11．已知在正项数列{a n }中，a 1＝2，点A n (a n ，a n ＋1)在双曲线y 2－x 2＝1上，数列{b n }中，点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，其中T n 是数列{b n }的前n 项和．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．B 级1．(2012·武汉模拟)等比数列{a n }的公比为q ，则“a 1＞0，且q ＞1”是“对于任意正整数n ，都有a n ＋1＞a n ”的( )A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件2．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n＋2＞19的最大正整数n 的值为________． 3．(2012·济宁模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n ＋1}成等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)数列{a n }中是否存在连续三项可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的三项；若不存在，请说明理由．答案课时作业(三十一)A 级1．B 可用特殊值法，由S n ＝3n －a 得a 1＝3－a ，a 2＝6，a 3＝18， 由等比数列的性质可知a ＝1.2．A 由题意知，数列{a n }是以2为公比的等比数列，故S 4a 2＝a 1(1－24)1－2a 1×2＝152，选A.3．A 由log a a n ＋1－log a a n ＝2得log a a n ＋1a n ＝2＝log a a 2.故a n ＋1a n＝a 2，又a ＞0且a ≠1，所以数列{a n }为等比数列．故选A.4．B 因为a 3a 4a 5＝3π＝a 34，所以a 4＝3π3，log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7＝log 3(a 1a 2…a 7)＝log 3a 74＝7log 33π3＝7π3， 所以sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7) ＝32. 5．C 依题意，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－1＝1，a n ＝2n －1也适合a 1.因此，a n ＝2n －1，a n ＋1a n＝2，数列{a n }是等比数列，数列{a n }的奇数项的前n项和为1×(1－22n )1－22＝22n －13，选C. 6．解析： 由题意可知，b 6b 8＝b 27＝a 27＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，∵a 7≠0，∴a 7＝4，∴b 6b 8＝16. 答案： 167．解析： 由a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1得a 4－a 3＝2(S 3－S 2)＝2a 3， ∴a 4＝3a 3，∴q ＝a 4a 3＝3.答案： 38．解析： 由题意知a 3＋a 2－2a 1＝0，设公比为q ，则a 1(q 2＋q －2)＝0.由q 2＋q －2＝0解得q ＝－2或q ＝1(舍去)，则S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝1－(－2)53＝11.答案： 119．解析： 由题意知a n ＋1＝2a n ＋3，∴a n ＋1＋3＝2(a n ＋3)， ∴数列{a n ＋3}是以a 1＋3＝4为首项，以2为公比的等比数列． ∴a n ＋3＝4×2n －1＝2n ＋1，∴a n ＝2n ＋1－3. 答案： 2n ＋1－310．解析： (1)根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧12S 2＋13S 3＝2，(2S 2)(3S 3)＝36.整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3S 2＋2S 3＝12，(3S 2)(2S 3)＝36.解得3S 2＝2S 3＝6，即⎩⎪⎨⎪⎧S 2＝2，S 3＝3.(2)∵q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝2，a 1(1＋q ＋q 2)＝3.可解得q ＝－12，a 1＝4.∴S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1＋12＝83－83⎝⎛⎭⎫－12n.11．解析： (1)由已知点A n 在y 2－x 2＝1上知，a n ＋1－a n ＝1， ∴数列{a n }是一个以2为首项，以1为公差的等差数列， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋n －1＝n ＋1.(2)证明：∵点(b n ，T n )在直线y ＝－12x ＋1上，∴T n ＝－12b n ＋1，①∴T n －1＝－12b n －1＋1(n ≥2)，②①②两式相减得b n ＝－12b n ＋12b n －1(n ≥2)，∴32b n ＝12b n －1，∴b n ＝13b n －1(n ≥2)． 令n ＝1，得b 1＝－12b 1＋1，∴b 1＝23，∴{b n }是一个以23为首项，以13为公比的等比数列．B 级1．A 易知，当a 1＞0且q ＞1时，a n ＞0，所以a n ＋1a n ＝q ＞1，表明a n ＋1＞a n ；若对任意自然数n ，都有a n ＋1＞a n 成立， 当a n ＞0时，同除a n 得q ＞1， 但当a n ＜0时，同除a n 得0＜q ＜1. 也可举反例，如a n ＝－12n .2．解析： 因为a 2·a 4＝4＝a 23，且a 3＞0，所以a 3＝2， 又a 1＋a 2＋a 3＝2q 2＋2q ＋2＝14，所以1q ＝－3(舍)或1q ＝2，即q ＝12，a 1＝8.又a n ＝a 1q n －1＝8·⎝⎛⎭⎫12n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －4，所以a n ·a n ＋1·a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫123n －9＞19，即23n －9＜9，∴3n －9＜log 29即n ＜3＋log 239 而3＋log 239＞3＋log 238＝4，∴n 的最大值为4. 答案： 43．解析： (1)证明：由S n ＝2a n －n 及S n ＋1＝2a n ＋1－(n ＋1)⇒a n ＋1＝2a n ＋1. 又∵a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1，a 1＋1≠0，∴a n ＋1＋1a n ＋1＝2.∴{a n ＋1}成等比数列．(2)由(1)知，a n ＋1＝(a 1＋1)·2n －1，故a n ＝2n －1，n ∈N *.(3)假设存在k ∈N *，使得a k ，a k ＋1，a k ＋2成等差数列，则2a k ＋1＝a k ＋a k ＋2， 即2(2k ＋1－1)＝(2k －1)＋(2k ＋2－1)⇒2k ＝0. 因k ∈N *，所以2k ≠0，∴不存在{a n }中的连续三项使得它们可以构成等差数列．。
2013版《金版新学案》高考总复习数学(理)课时作业27
课时作业(二十七) 平面向量的数量积与平面向量应用举例A 级1．(2012·辽宁卷)已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是( ) A ．a ∥b B ．a ⊥b C ．|a |＝|b |D ．a ＋b ＝a －b2．向量AB →与向量a ＝(－3,4)的夹角为π，|AB →|＝10，若点A 的坐标是(1,2)，则点B 的坐标为( )A ．(－7,8)B ．(9，－4)C ．(－5,10)D ．(7，－6)3．已知A ，B ，C 为平面上不共线的三点，若向量AB →＝(1,1)，n ＝(1，－1)，且n ·AC →＝2，则n ·BC →等于( )A ．－2B ．2C ．0D ．2或－24．(2012·天津卷)在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP →＝－2，则λ＝( )A.13B.23 C.43D ．25．(2012·郑州二模)设A ，B ，C 是圆x 2＋y 2＝1上不同的三个点，且OA →·OB →＝0，存在实数λ，μ，使得OC →＝λOA →＋μOB →，实数λ，μ的关系为( )A ．λ2＋μ2＝1 B.1λ＋1μ＝1 C ．λ·μ＝1D ．λ＋μ＝16．(2012·聊城模拟)设向量a ，b 满足|a |＝2，a ·b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |＝________.7．(2012·浙江卷)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 8．已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(x ，－2)，c ＝(3，y )，若a ∥b ，(a ＋b )⊥(b －c )，M (x ，y )，N (y ，x )，则向量MN →的模为________．9．如图所示，在平面四边形ABCD 中，若AC ＝3，BD ＝2，则(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝________.10．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ； (2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值； (3)求向量a 在b 方向上的投影．11．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若AB →·AC →＝BA →·BC →＝k (k ∈R )． (1)判断△ABC 的形状； (2)若c ＝2，求k 的值．B 级1．(2012·郑州三模)△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为2，OA →＋AB →＋AC →＝0，且|OA →|＝|AB →|，则CA →在CB →方向上的投影为( )A ．1B ．2 C. 3D ．32．已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a ＋b 与向量k a －b 垂直，则k ＝________.3．(2012·太原模拟)已知f (x )＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)(x ∈R )． (1)求f (x )的周期和单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，f (A )＝－1，a ＝7，AB →·AC →＝3，求边长b 和c 的值(b ＞c )．答案课时作业(二十七)A 级1．B 因为|a ＋b |＝|a －b |，所以(a ＋b )2＝(a －b )2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .2．D 设点B 的坐标为(m ，n )，由题意，cos 180°＝－1＝AB →·a|AB →||a |＝(m －1)×(－3)＋4×(n －2)5×(m －1)2＋(n －2)2，化简得，(－3m ＋4n －5)2＝25[(m －1)2＋(n －2)2]，选项D 符合题意，故选D. 3．B n ·BC →＝n (BA →＋AC →)＝n ·BA →＋n ·AC →＝(1，－1)·(－1，－1)＋2＝0＋2＝2.4．B 由题意可知BQ →＝AQ →－AB →＝(1－λ)AC →－AB →，CP →＝AP →－AC →＝λAB →－AC →，且AB →·AC →＝0，故BQ →·CP →＝－(1－λ)AC →2－λAB →2＝－2.又AB ＝1，AC ＝2，代入上式解得λ＝23.5．A 依题意得，OA →2＝OB →2＝OC →2＝1，又OC →2＝(λOA →＋μOB →)2，∴OC →2＝λ2OA →2＋μ2OB →2＋2λμOA →·OB →，即1＝λ2＋μ2，选A. 6．解析： 由已知得|a ＋b |2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝4＋3＋|b |2＝8， ∴|b |＝1. 答案： 1 7.解析： 如图所示，AB →＝AM →＋MB →，AC →＝AM →＋MC →＝AM →－MB →，∴AB →·AC →＝(AM →＋MB →)·(AM →－MB →)＝AM →2－MB →2＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 答案： －168．解析： ∵a ∥b ，∴x ＝4，∴b ＝(4，－2)， ∴a ＋b ＝(6，－3)，b －c ＝(1，－2－y )． ∵(a ＋b )⊥(b －c )，∴(a ＋b )·(b －c )＝0， 即6－3(－2－y )＝0，∴y ＝－4， 故向量MN →＝(－8,8)，|MN →|＝8 2. 答案： 8 29．解析： 由于AB →＝AC →＋CB →，DC →＝DB →＋BC →， 所以AB →＋DC →＝AC →＋CB →＋DB →＋BC → ＝AC →－BD →.(AB →＋DC →)·(AC →＋BD →)＝(AC →－BD →)·(AC →＋BD →) ＝|AC →|2－|BD →|2＝9－4＝5. 答案： 510．解析： (1)∵a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)， ∴c ＝4a ＋b ＝(4,8)＋(2，－2)＝(6,6)． ∴b ·c ＝2×6－2×6＝0， ∴(b ·c )a ＝0a ＝0.(2)a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1,2－2λ)， 由于a ＋λb 与a 垂直，∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝52.∴λ的值为52.(3)设向量a 与b 的夹角为θ，向量a 在b 方向上的投影为|a |cos θ. ∴|a |cos θ＝a ·b |b |＝1×2＋2×(－2)22＋(－2)2＝－222＝－22.11．解析： (1)∵AB →·AC →＝cb cos A ，BA →·BC →＝ca cos B ， 又AB →·AC →＝BA →·BC →，∴bc cos A ＝ac cos B ，∴sin B cos A ＝sin A cos B ， 即sin A cos B －sin B cos A ＝0， ∴sin(A －B )＝0，∵－π＜A －B ＜π， ∴A ＝B ，即△ABC 为等腰三角形．(2)由(1)知，AB →·AC →＝bc cos A ＝bc ·b 2＋c 2－a 22bc ＝c 22＝k ，∵c ＝2，∴k ＝1.B 级1．C如图，设D 为BC 的中点，由OA →＋AB →＋AC →＝0得OA →＋2AD →＝0，即AO →＝2AD →，∴A 、O 、D 共线且|AO →|＝2|AD →|，又O 为△ABC 的外心，∴AO 为BC 的中垂线，∴|AC →|＝|AB →|＝|OA →|＝2，|AD →|＝1， ∴|CD →|＝3，∴CA →在CB →方向上的投影为 3. 2．解析： ∵(a ＋b )⊥(k a －b )， ∴(a ＋b )·(k a －b )＝0， 即k a 2＋(k －1)a ·b －b 2＝0，(*) 又∵a ，b 为两不共线的单位向量， ∴(*)式可化为k －1＝－(k －1)a ·b ，若k －1≠0，则a ·b ＝－1，这与a ，b 不共线矛盾； 若k －1＝0，则k －1＝－(k －1)a ·b 恒成立． 综上可知，k ＝1时符合题意． 答案： 13．解析： (1)由题意知：f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝1＋cos 2x －3sin 2x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 ∴f (x )的最小正周期T ＝π，∵y ＝cos x 在[2k π，2k π＋π](k ∈Z )上单调递减， ∴令2kπ≤2x ＋π3≤2k π＋π，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，∴f (x )的单调递减区间⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3，k ∈Z . (2)∵f (A )＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1， 又π3＜2A ＋π3＜7π3，∴2A ＋π3＝π，∴A ＝π3. ∵AB →·AC →＝3，即bc ＝6，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc,7＝(b ＋c )2－18， b ＋c ＝5，又b ＞c ，∴b ＝3，c ＝2.。
高考数学均值不等式专题含答案家教文理通用
高考：均值不等式专题◆知识梳理1．常见基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则b b m a a m +<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。
ab b a R b a 2,,22≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈2．均值不等式:两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,ab b a 222≥+等。
3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值（2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22Sxy 积有最大值（）4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。
注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”；② 熟悉一个重要的不等式链：ba 112+2a b+≤≤≤222b a +。
◆课前热身1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 .4. 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时；③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为◆考点剖析 一、基础题型。
1.直接利用均值不等式求解最值。
例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R +∈，且满足134x y+=，则xy 的最大值为 。
《金版新学案》高三数学一轮复习-均值不等式及不等式的应用课件(文)全国重庆专版
❖ 3．算术平均数与几何平均数
❖ 4．利用均值不等式求最值问题
❖ 已知x＞0，y＞0，则
❖ (1)如果积xy是定值p，那么当且x＝仅y 当
最时小 ，x＋y有
值是 .(简记：
积定和最小)
x＝y
❖ (最2)大如果和x＋y是定值p，那么当且仅当时，
❖ (1)若进水量选择2级，试问：水塔中水的 剩余量何时开始低于10吨？
第五节 均值不等式及不等式的应用
❖ 1．均值不等式
均值不 等式
不等式 成立 的条 件
a＞0，b ＞0
等号成 立的 条件
a＝b
❖ 上述四个不等式等号成立的条件是什 么？
❖ 【提示】 都是a＝b.
❖ 两个不等式取等号的条件是当且仅当“a ＝b”时，应理解为：
❖ (1)“当”就是a＝b时，a2＋b2＝2ab；
【答案】 B
❖ 【答案】 B
【答案】 3
❖ 5．某公司一年购买某种货物400吨，每次 都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总 存储费用为4x万元，要使一年的总运费与 总存储费用之和最小，则x＝________ 吨【解．析】 每年购买次数为40x0.
∴总费用＝40x0·4＋4x≥2 6 400＝160.
❖ A．2 ❖ B．4 ❖ C．8 ❖ D．16
❖ 【答案】 B
2．下列结论中不正确的是 A．a＞0 时，a＋1a≥2 B.ba＋ab≥2 C．a2＋b2≥2ab D．a2＋b2≥(a＋2 b)2
()
【解析】 ∵ba＋ab≥2，只有当 a、b 同号且不为零 时成立，
故ba＋ab≥2 不一定成立．
【金版新学案】高考数学总复习 课时作业4 函数及其表示 理 北师大版
课时作业(四) 函数及其表示A 级1．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±12．(2012·江西卷)下列函数中，与函数y ＝13x 定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x3．(2012·杭州模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．(2012·安徽卷)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ． f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x <0f x －＋1， x ≥0，则f (2 013)＝( )A ．2 010B ．2 011C ．2 012D ．2 0136．函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 8．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.9．(2012·珠海模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是________．10．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0－1， x <0，求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式．11．设x ≥0时，f (x )＝2；x <0时，f (x )＝1，又规定：g (x )＝3fx －－f x －2(x >0)，试写出y ＝g (x )的解析式，并画出其图像．B 级1．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋32．(2012·枣庄模拟)对于实数x ，y ，定义运算x *y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋yxy x ＋byxy，已知1]2)的序号为________．(填写所有正确结果的序号)①2* 2 ②－2* 2 ③－32*2 2 ④32*(－22)3．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值范围． 详解答案课时作业(四)A 级1．C a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1. 2．D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A不对；选项B 中x ＞0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.3．D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝1＝1，∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝a ＝1，∴a ＝1，当a <0时，f (a )＝－a ＝1，∴a ＝－1.4．C A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )，满足要求； B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )，满足要求； C ，f (2x )＝2x ＋1≠2(x ＋1)＝2f (x )，不满足要求； D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，满足要求．5．C 由已知得f (0)＝f (0－1)＋1＝f (－1)＋1＝－1－1＋1＝－1，f (1)＝f (0)＋1＝0， f (2)＝f (1)＋1＝1， f (3)＝f (2)＋1＝2，…f (2 013)＝f (2 012)＋1＝2 011＋1＝2 012.6．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0∴x ≥4且x ≠5.答案： {x |x ≥4且x ≠5}7．解析： 由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋p ＋q ＝022＋2p ＋q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2. ∴f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案： 68．解析： 由图像知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案： f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1<x ≤29．解析： ∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1， 即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]10．解析： 当x ≥0时，g (x )＝x 2，f (g (x ))＝2x 2－1； 当x <0时，g (x )＝－1，f (g (x ))＝－2－1＝－3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥0，－3， x <0.又∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g (f (x ))＝(2x －1)2；当2x －1<0，即x <12时，g (f (x ))＝－1；∴g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≥12，－1， x <12.11．解析： 当0<x <1时，x －1<0，x －2<0，∴g (x )＝3－12＝1.当1≤x <2时，x －1≥0，x －2<0，∴g (x )＝6－12＝52；当x ≥2时，x －1>0，x －2≥0，∴g (x )＝6－22＝2.故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x 52xx ，其图像如图所示．B 级1．B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6，故选B.2．解析： ∵1]2x ＋y (xy >0)x ＋3y (xy <0)∴①2*2＝22＋2＝3 2 ②－2*2＝－2＋32＝2 2 ③－32*22＝－32＋3×22＝3 2 ④32*(－22)＝32＋3×(－22)＝－3 2. 答案： ①③3．解析： (1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1， g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4.∴716≤x <12.。
2013版《金版新学案》高考总复习数学(理)课时作业35
课时作业(三十五) 一元二次不等式及其解法 A 级1．不等式x －1x ＋2＜0的解集为( ) A ．(1，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)2．不等式(x －1)x ＋2≥0的解集是( )A ．{x |x ＞1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1或x ＝－2}D ．{x |x ≥－2且x ≠－1}3．(2012·济宁模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则不等式f (－x )＜6的解集是( )A ．{x |－2＜x ＜3}B ．{x |－3＜x ＜2}C ．{x |x ＞3或x ＜－2}D ．{x |x ＞2或x ＜－3}4．(2012·长春模拟)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞a 2x －4＜2a 有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－1,3)B ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)5．(2012·长沙模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1(a ∈Z )，且函数f (x )在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f (x )＞1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)D ．(0,1)6．(2012·长春模拟)已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．7．不等式|x －2|－|x －1|＞0的解集为________．8．若关于x 的不等式ax 2－6x ＋a 2＜0的解集为(1，m )，则实数m ＝________.9．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是________．10．已知二次函数y ＝x 2＋px ＋q ，当y ＜0时，有－12＜x ＜13，解不等式qx 2＋px ＋1＞0. 11．行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s (m)与汽车的车速v (km/h)满足下列关系：s ＝n v 100＋v 2400(n 为常数，且n ∈N )，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中⎩⎪⎨⎪⎧6＜s 1＜814＜s 2＜17， (1)求n 的值；(2)要使刹车距离不超过12.6 m ，则行驶的最大速度是多少？B 级1．已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．－1＜b ＜0B ．b ＞2C ．b ＜－1或b ＞2D ．不能确定2．若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝⎛⎭⎫12n ≥0对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实常数λ的取值范围是________．3．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．答案课时作业(三十五)A 级1．C 原不等式化为(x －1)(x ＋2)＜0，解得－2＜x ＜1，∴原不等式的解集为(－2,1)．2．C 由(x －1)x ＋2≥0，可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x －1≥0或x ＋2＝0， 解得x ≥1或x ＝－2.3．A ∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f (x )＝x 2＋x .又∵f (－x )＜6，∴(－x )2－x ＜6，即x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.4．A ∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＞a 2x －4＜2a ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞a 2＋1x ＜2a ＋4， 由题意得a 2＋1＜2a ＋4，即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.5．C ∵f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1，Δ＝(a ＋2)2－4a ＝a 2＋4＞0，∴函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋1必有两个不同的零点，又f (x )在(－2，－1)上有一个零点，则f (－2)f (－1)＜0，∴(6a ＋5)(2a ＋3)＜0，∴－32＜a ＜－56，又a ∈Z ， ∴a ＝－1，不等式f (x )＞1即为－x 2－x ＞0，解得－1＜x ＜0.6．解析： 由题意可得Δ＝a 2－16＞0，即a ＞4或a ＜－4.答案： {a |a ＞4或a ＜－4}7．解析： 原不等式等价于|x －2|＞|x －1|，则(x －2)2＞(x －1)2，解得x ＜32. 答案： ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜32 8．解析： 由已知得1，m 是ax 2－6x ＋a 2＝0的两根，且a ＞0，∴a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3(舍)．又1＋m ＝6a，∴m ＝2. 答案： 29．解析： 由题意得，3 860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7 000， 化简得(x %)2＋3·x %－0.64≥0，解得x %≥0.2，或x %≤－3.2(舍去)．∴x ≥20，即x 的最小值为20.答案： 2010．解析： 因为当y ＜0时，有－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根．由根与系数的关系得⎩⎨⎧ 13－12＝－p ，13×⎝⎛⎭⎫－12＝q ，解得⎩⎨⎧ p ＝16，q ＝－16，所以不等式qx 2＋px ＋1＞0⇔－16x 2＋16x ＋1＞0⇔x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3，即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．11．解析： (1)依题意得⎩⎨⎧ 6＜40n 100＋1 600400＜814＜70n 100＋4 900400＜17，解得⎩⎪⎨⎪⎧5＜n ＜1052＜n ＜9514，又n ∈N ，所以n ＝6.(2)s ＝3v 50＋v 2400≤12.6⇒v 2＋24v －5 040≤0⇒－84≤v ≤60，因为v ≥0，所以0≤v ≤60，即行驶的最大速度为60 km/h.B 级1．C 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )图象关于直线x ＝1对称，即a 2＝1得a ＝2. 又f (x )开口向下，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )为增函数，∴f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2.2．解析： 由题意得x 2＋12x ≥⎝⎛⎭⎫12n max ＝12，∴x ≥12或x ≤－1. 又x ∈(－∞，λ]，∴λ∈(－∞，－1]．答案： (－∞，－1]3．解析： (1)由题意可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围为(－4,0]．(2)∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6，∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立， 记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]， 记h (x )＝x 2－x ＋1，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数，∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，67.。
《金版新学案》高考数学总复习 6.2算术平均数与几何平均数课件 文 大纲人教版
某厂家拟在2011年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销 售量(即该厂的年产量)x(万件)与年促销费用m(万元)
解析：
(1)由题意可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k即k＝2，
[变式训练] 3.西北西康羊皮手套公司准备投入适当的广告费，对生产 的羊皮手套进行促销．在1年内，据测算年销售量S
解析： (1)由题意知，羊皮手套的年成本为(16S＋3)万元．
年销售收入为(16S＋3)×150%＋x·50%.
年利润L＝(16S＋3)×150%＋x·50%－(16S＋3)－x.
通过对近三年高考试题的统计分析可以看出，整个命题过程中有以下的规 律： 1．考查热点：均值不等式的应用．
2．考查形式：选择题、填空题和解答题均可能出现，作为工具在解答题
中经常出现．
[变式训练] 1.已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，
证明：
基本不等式求最值需注意的问题 (1)各数(或式)均为正；
(2)和或积为定值；
(3)等号能否成立，即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可．
若无明显“定值”，则用配凑的方法，使和为定值或积为定值．
当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要 注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问 题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，而且也是检验转换是否 有误的一种方法．
第2课时
算术平均数与几何平均数
1．基本不等式
若a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时取“＝”号．
2．均值不等式
3．利用均值不等式求最大、最小值问题
答案： A
2．已知两个正数a，b的等差中项为4，则a，b的等比中项的最大值 为( A ．2 C ．8 ) B ．4 D．16
【金版新学案】2013版高考数学总复习 课时作业40 数列的综合应用 理 新人教B版
课时作业(四十) 数列的综合应用A 级1．(2012·聊城模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，过点P (n ，S n )和Q (n ＋1，S n ＋1)(n ∈N *)的直线的斜率为3n －2，则a 2＋a 4＋a 5＋a 9的值等于( )A ．52B ．40C ．26D ．202．已知数列{a n }，{b n }都是公差为1的等差数列，其首项分别为a 1，b 1，且a 1＋b 1＝5，a 1＞b 1，a 1，b 1∈N *(n ∈N *)，则数列{ab n }的前10项的和等于( )A ．65B ．75C ．85D ．953．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．644．(2011·某某卷)设{a n }是各项为正数的无究数列，A i 是边长为a i ，a i ＋1的矩形的面积(i ＝1,2，…)，则{A n }为等比数列的充要条件为( )A ．{a n }是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同5．小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本金和利息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．6．(2012·某某模拟)若数列{a n }满足1a n ＋1－1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，则称数列{a n }为“调和数列”．已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为“调和数列”，且x 1＋x 2＋…＋x 20＝200，则x 3x 18的最大值是________．7．在等比数列{a n }中，a n >0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，当S 11＋S 22＋…＋S nn 取最大值时，求n 的值．8．(2012·某某模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧12a n ＋n n 为奇数，n ∈N *a n －2n n 为偶数，n ∈N *.(1)求a 2，a 3；(2)设b n ＝a 2n －2，n ∈N *，求证：数列{b n }是等比数列，并求其通项公式； (3)已知＝log 12|b n |，求证：1c 1c 2＋1c 2c 3＋…＋1－1＜1.B 级1．祖国大陆允许某某农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和某某农民创业园，某某农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元，设f (n )表示前n 年的纯收入．(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？2．(2012·某某市调研)已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝3，且a n ＋1＝a n ＋2a n －1(n ≥2)． (1)设b n ＝a n ＋1＋λa n ，是否存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 详解答案课时作业(四十)A 级1．B 由题意，知S n ＋1－S nn ＋1－n＝3n －2，∴S n ＋1－S n ＝3n －2，即a n ＋1＝3n －2，∴a n ＝3n －5， 因此数列{a n }是等差数列，a 5＝10， ∴a 2＋a 4＋a 5＋a 9＝2(a 3＋a 7)＝4a 5＝40.2．C 应用等差数列的通项公式得 a n ＝a 1＋n －1，b n ＝b 1＋n －1， ∴ab n ＝a 1＋b n －1＝a 1＋(b 1＋n －1)－1 ＝a 1＋b 1＋n －2＝5＋n －2＝n ＋3，∴数列{ab n }也是等差数列，且前10项和为10×4＋132＝85.3．D 依题意有a n a n ＋1＝2n，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2.所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…也成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2.所以a 10＝2·24＝32，a 11＝1·25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64.4．D ∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，…. ∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列．5．解析： 由题意知，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋2ar ＋ar ＝1212＋12ar ＝78ar . 答案： 78ar6．解析： 因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1x n 为“调和数列”，所以x n ＋1－x n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，即数列{x n }为等差数列，由x 1＋x 2＋…＋x 20＝200得20x 1＋x 202＝20x 3＋x 182＝200，即x 3＋x 18＝20，易知x 3，x 18都为正数时，x 3x 18取得最大值，所以x 3x 18≤⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋x 1822＝100，即x 3x 18的最大值为100.答案： 1007．解析： (1)因为a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，所以a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25， 又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.又a 3与a 5的等比中项为2，所以a 3a 5＝4. 而q ∈(0,1)，所以a 3>a 5，所以a 3＝4，a 5＝1， 所以q ＝12，a 1＝16，所以a n ＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝25－n.(2)b n ＝log 2a n ＝5－n ，所以b n ＋1－b n ＝－1， 故{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， 所以S n ＝n 9－n2，所以S n n ＝9－n2.当n ≤8时，S nn>0；当n ＝9时，S nn＝0；当n >9时，S n n<0； 所以当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋S 33＋…＋S nn 取最大值．8．解析： (1)由数列{a n }的递推关系易知：a 2＝32，a 3＝－52.(2)证明：b n ＋1＝a 2n ＋2－2＝12a 2n ＋1＋(2n ＋1)－2＝12a 2n ＋1＋(2n －1)＝12(a 2n －4n )＋(2n －1) ＝12a 2n －1＝12(a 2n －2)＝12b n . 又b 1＝a 2－2＝－12，∴b n ≠0，∴b n ＋1b n ＝12，即数列{b n }是公比为12，首项为－12的等比数列，b n ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n .(3)证明：由(2)有＝log 12|b n |＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝n .∵1n －1n ＝1n －1－1n (n ≥2)．∴1c 1c 2＋1c 2c 3＋…＋1－1＝11×2＋12×3＋…＋1n －1n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－1n＜1.B 级1．解析： 由题意，知每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯利润与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n ＋n n －12×4－72＝－2n 2＋40n －72.(1)获取纯利润就是要求f (n )＞0， 故有－2n 2＋40n －72＞0，解得2＜n ＜18. 又n ∈N *，知从第三年开始获利． (2)①平均利润为f n n ＝40－2⎝⎛⎭⎪⎫n ＋36n ≤16，当且仅当n ＝6时取等号．故此方案获利6×16＋48＝144(万美元)，此时n ＝6. ②f (n )＝－2n 2＋40n －72＝－2(n －10)2＋128， 当n ＝10时，f (n )max ＝128.故此方案共获利128＋16＝144(万美元)．比较两种方案，第①种方案只需6年，第②种方案需要10年，故选择第①种方案． 2．解析： (1)假设存在实数λ，使数列{b n }为等比数列， 设b nb n －1＝q (n ≥2)． 即a n ＋1＋λa n ＝q (a n ＋λa n －1)，得a n ＋1＝(q －λ)a n ＋qλa n －1. 与已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1比较，令⎩⎪⎨⎪⎧q －λ＝1qλ＝2，解得λ＝1或λ＝－2.所以存在实数λ，使数列{b n }为等比数列．当λ＝1时，q ＝2，b 1＝4，则数列{b n }是首项为4，公比为2的等比数列； 当λ＝－2时，q ＝－1，b 1＝1，则数列{b n }是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)由已知a n ＋1＝a n ＋2a n －1得a n ＋1－2a n ＝－a n ＋2a n －1 ∴a n ＋1－2a n a n －2a n －1＝－1，∴a n ＋1－2a n ＝(－1)n ＋1(n ≥1)，所以a n ＋12n ＋1－a n2n ＝－1n ＋12n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋1(n ≥1)，当n ≥2时，a n 2n ＝a 121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 222－a 121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 323－a 222＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n －a n －12n －1＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝12＋16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1. 因为a 121＝12也适合上式．所以a n 2n ＝12＋16⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1(n ≥1)，所以a n ＝13[]2n ＋1＋－1n.。
【金版新学案】2013版高考数学总复习 课时作业4 函数及其表示 理 北师大版
课时作业(四) 函数及其表示A 级1．已知a 、b 为实数，集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫ba，1，N ＝{a,0}，f ：x →x 表示把M 中的元素x 映射到集合N 中仍为x ，则a ＋b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．±12．(2012·某某卷)下列函数中，与函数y ＝13x 定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x3．(2012·某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±14．(2012·某某卷)下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， x <0f x －1＋1， x ≥0，则f (2 013)＝( )A ．2 010B ．2 011C ．2 012D ．2 0136．函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．7．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________. 8．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.9．(2012·某某模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是________．10．已知函数f (x )＝2x －1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0－1， x <0，求f (g (x ))和g (f (x ))的解析式．11．设x ≥0时，f (x )＝2；x <0时，f (x )＝1，又规定：g (x )＝3fx －1－f x －22(x >0)，试写出y ＝g (x )的解析式，并画出其图像．B 级1．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋32．(2012·枣庄模拟)对于实数x ，y ，定义运算x *y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋yxy >0x ＋by xy <0，已知1]2)的序号为________．(填写所有正确结果的序号)①2*2②－2*2③－32*2 2 ④32*(－22)3．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )；(2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值X 围． 详解答案课时作业(四)A 级1．C a ＝1，b ＝0，∴a ＋b ＝1. 2．D 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A不对；选项B 中x ＞0，故B 不对；选项C 中x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.3．D ∵f (a )＋f (－1)＝2，且f (－1)＝1＝1，∴f (a )＝1，当a ≥0时，f (a )＝a ＝1，∴a ＝1，当a <0时，f (a )＝－a ＝1，∴a ＝－1.4．C A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )，满足要求； B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )，满足要求； C ，f (2x )＝2x ＋1≠2(x ＋1)＝2f (x )，不满足要求； D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，满足要求．5．C 由已知得f (0)＝f (0－1)＋1＝f (－1)＋1＝－1－1＋1＝－1，f (1)＝f (0)＋1＝0， f (2)＝f (1)＋1＝1， f (3)＝f (2)＋1＝2，…f (2 013)＝f (2 012)＋1＝2 011＋1＝2 012.6．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0∴x ≥4且x ≠5.答案： {x |x ≥4且x ≠5} 7．解析： 由f (1)＝f (2)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧12＋p ＋q ＝022＋2p ＋q ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－3q ＝2，∴f (x )＝x 2－3x ＋2. ∴f (－1)＝(－1)2＋3＋2＝6. 答案： 68．解析： 由图像知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案： f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1<x ≤29．解析： ∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1， 即F (x )的值域为[－5，－1]． 答案： [－5，－1]10．解析： 当x ≥0时，g (x )＝x 2，f (g (x ))＝2x 2－1； 当x <0时，g (x )＝－1，f (g (x ))＝－2－1＝－3；∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥0，－3， x <0.又∵当2x －1≥0，即x ≥12时，g (f (x ))＝(2x －1)2；当2x －1<0，即x <12时，g (f (x ))＝－1；∴g (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －12，x ≥12，－1， x <12.11．解析： 当0<x <1时，x －1<0，x －2<0，∴g (x )＝3－12＝1.当1≤x <2时，x －1≥0，x －2<0，∴g (x )＝6－12＝52；当x ≥2时，x －1>0，x －2≥0，∴g (x )＝6－22＝2.故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 0<x <152 1≤x <22 x ≥2，其图像如图所示．B 级1．B 由f (x )＋2f (3－x )＝x 2可得f (3－x )＋2f (x )＝(3－x )2，由以上两式解得f (x )＝13x 2－4x ＋6，故选B.2．解析： ∵1]2x ＋y (xy >0)x ＋3y (xy <0)∴①2*2＝22＋2＝3 2 ②－2*2＝－2＋32＝2 2 ③－32*22＝－32＋3×22＝3 2 ④32*(－22)＝32＋3×(－22)＝－3 2. 答案： ①③3．解析： (1)∵x ＝716时，4x ＝74，∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1， g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1， ∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧1≤4x <2，3≤16x －4<4.∴716≤x <12.。
【金版新学案】2013版高考数学总复习 课时作业65 离散型随机变量的均值与方差、正态分布 理 北师
课时作业(六十五) 离散型随机变量的均值与方差、正态分布A 级1．已知ξ的分布列ξ＝－1,0,1，对应P ＝12，16，13，且设η＝2ξ＋1，则η的期望是( )A ．－16 B.23C.2936D ．12．已知X 的分布列为，且Y ＝aX ＋3，E (Y )＝73，则a 为( )A ．1B ．2C ．3D ．43．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后剩余子弹数目ξ的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.44．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，且二次方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，则μ等于( )A ．1B ．2C ．4D ．不能确定5．某校高考的数学成绩近似服从正态分布N (100,100)，则该校成绩位于(80,120)内的人数占考生总人数的百分比约为( )A ．22.8%B ．45.6%C ．95.44%D ．97.22%6．(2012·某某某某)随机变量ξ服从正态分布N (40，σ2)，若P (ξ＜30)＝0.2，则P (30＜ξ＜50)＝________.7．若p 为非负实数，随机变量X 的概率分布如下表，则E (X )的最大值为__________，D (X )的最大值为__________.8.10次试验中，成功次数X的期望是________．9．一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标有数字0，两个面上标有数字1，一个面上标有数字2.将这个小正方体抛掷2次，则向上的面上的数学之积的数学期望是________．10．某商场一号电梯从1层出发后可以在2,3,4层停靠．已知该电梯在1层载有4位乘客，假设每位乘客在2,3,4层下电梯是等可能的．(1)求这4位乘客中至少有一位乘客在第2层下电梯的概率；(2)用X表示这4位乘客在第4层下电梯的人数，求X的分布列和数学期望．11．某市出租车的起步价为6元，行驶路程不超过3 km时，租车费为6元，若行驶路程超过3 km，则按每超出1 km(不足1 km也按1 km计程)收费3元计费．设出租车一次行驶的路程数X(按整km数计算，不足1 km的自动计为1 km)是一个随机变量，则其收费也是一个随机变量．已知一个司机在某一天每次出车都超过了 3 km，且一次的总路程数可能的取值是20、22、24、26、28、30(km)，它们出现的概率依次是0.12、0.18、0.20、0.20、100a2＋3a、4a.(1)求这一天中一次行驶路程X的分布列，并求X的均值和方差；(2)求这一天中一次所收出租车费Y的均值和方差．B 级1．甲、乙等五名大运会志愿者被随机分到A、B、C、D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；(2)求甲、乙两人不在同一岗位服务的概率；(3)设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列及数学期望．2．为迎接2012“龙”年的到来，某机构举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题：问题A有四个选项，问题B有五个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A可获奖金m元，正确回答问题B可获奖金n元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序：如果第一个问题回答错误，则该参与者猜奖活动中止，一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生，因而准备靠随机猜测回答问题，试确定回答问题的顺序使获奖金额的期望值较大．详解答案课时作业(六十五)A 级1．B Eξ＝(－1)×12＋0×16＋1×13＝－16，∵η＝2ξ＋1，∴Eη＝2Eξ＋1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＋1＝23.2．B 先求出E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13.再由Y ＝aX ＋3得E (Y )＝aE (X )＋3. ∴73＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋3，解得a ＝2. 3．C ξ＝0,1,2,3，此时P (ξ＝0)＝0.43，P (ξ＝1)＝0.6×0.42，P (ξ＝2)＝0.6×0.4，P (ξ＝3)＝0.6，E (ξ)＝2.376.故选C.4．C 因为方程x 2＋4x ＋ξ＝0无实数根的概率为12，由Δ＝16－4ξ＜0，得ξ＞4，即P (ξ＞4)＝12＝1－P (ξ≤4)，故P (ξ≤4)＝12，∴μ＝4.5．C 设该校高考数学成绩为X ，由X ～N (100,102)知，正态分布的两个参数为μ＝100，σ＝10，所以P (80＜X ＜120)＝P (100－20＜X ＜100＋20)＝0.954 4.6．解析： 根据正态分布曲线的对称性可得P (30＜ξ＜50)＝1－2P (ξ＜30)＝0.6. 答案： 0.67．解析： ∵⎩⎪⎨⎪⎧0≤12－p <10≤p <1，∴p ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，∴E (X )＝p ＋1≤32，D (X )＝－p 2－p ＋1≤1.答案： 3218．解析： 由题意一次试验成功的概率为1－23×23＝59，10次试验为10次独立重复试验，则成功次数X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，59，所以E (X )＝509. 答案：5099．解析： 设抛掷1次，向上的面上的数字为X ，抛掷2次，向上的面上的数字之积为Y ，则由题意可知，P (X ＝0)＝12，P (X ＝1)＝13，P (X ＝2)＝16，所以P (Y ＝0)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＝34，P (Y ＝1)＝13×13＝19，P (Y ＝2)＝2×13×16＝19，P (Y ＝4)＝16×16＝136， 所以E (Y )＝1×19＋2×19＋4×136＝49.答案： 4910．解析： (1)设4位乘客中至少有一位乘客在第2层下电梯的事件为A ， 由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13，方法一：P (A )＝C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＋C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝6581，方法二：P (A )＝1－P (A )＝1－C 04⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝6581.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4，方法一：由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响，所以，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，13.E (X )＝4×13＝43. 方法二：由题意可得每人在第4层下电梯的概率均为13.∴P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1681，P (X ＝1)＝C 14×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝3281，P (X ＝2)＝C 24×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝2481， P (X ＝3)＝C 34×⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝881，P (X ＝4)＝C 44×⎝ ⎛⎭⎪⎫134＝181. ∴X 的分布列为∴E (X )＝0×1681＋1×81＋2×81＋3×81＋4×81＝3.11．解析： (1)由概率分布的性质有0．12＋0.18＋0.20＋0.20＋100a 2＋3a ＋4a ＝1. ∴100a 2＋7a ＝0.3，∴1 000a 2＋70a －3＝0， ∴a ＝3100或a ＝－110(舍去)，即a ＝0.03.∴100a 2＋3a ＝0.18,4a ＝0.12， ∴X 的分布列为∴E (X )25(km)．D (X )＝52×0.12＋32×0.18＋12×0.20＋12×0.20＋32×0.18＋52×0.12＝9.64.(2)由已知Y ＝3X －3(X ＞3，X ∈N )，∴E (Y )＝E (3X －3)＝3E (X )－3＝3×25－3＝72(元)，D (Y )＝D (3X －3)＝32D (X )＝86.76.B 级1．解析： (1)记“甲、乙两人同时参加A 岗位服务”为事件A 1，则P (A 1)＝A 33C 25A 44＝140.故甲、乙两人同时参加A 岗位服务的概率为140.(2)记“甲、乙两人在同一岗位服务”为事件A 2，则P (A 2)＝C 14A 33C 25A 44＝110.故甲、乙两人不在同一岗位服务的概率为P (A 2)＝1－P (A 2)＝910.(3)由题知，随机变量ξ的所有可能取值为1,2，则P (ξ＝2)＝C 25A 33C 25A 44＝14，P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝2)＝34.故ξ的分布列为数学期望E (ξ)＝1×34＋2×14＝4.2．解析： 随机猜对问题A 的概率P 1＝14，随机猜对问题B 的概率P 2＝15，回答问题的顺序有两种，分别讨论如下： (1)先回答问题A ，再回答问题B . 参与者获奖金额ξ可取0，m ，m ＋n ， 则P (ξ＝0)＝1－P 1＝34，P (ξ＝m )＝P 1(1－P 2)＝14×45＝15， P (ξ＝m ＋n )＝P 1P 2＝14×15＝120.Eξ＝0×34＋m ×15＋(m ＋n )×120＝m 4＋n20.(2)先回答问题B ，再回答问题A ， 参与者获奖金额η可取0，n ，m ＋n ，则P (η＝0)＝1－P 2＝45，P (η＝n )＝P 2(1－P 1)＝15×34＝320， P (η＝m ＋n )＝P 2P 1＝15×14＝120.Eη＝0×45＋n ×320＋(m ＋n )×120＝m 20＋n5.Eξ－Eη＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋n 20－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 20＋n 5＝4m －3n 20.于是，当m n ＞34时，Eξ＞Eη，先回答问题A ，再回答问题B ，获奖金的期望值较大；当m n ＝34时，Eξ＝Eη， 两种顺序获奖金的期望值相等；当m n ＜34时，Eξ＜Eη， 先回答问题B ，再回答问题A ，获奖金的期望值较大．。
【金版新学案】2013版高考数学总复习 课时作业68 离散型随机变量及其分布列 理 新人教B版
课时作业(六十八) 离散型随机变量及其分布列A 级1．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)的值为( )A ．1B ．12 C.13D ．152．带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只做实验，X 表示放出的蜂中工蜂的只数，则X ＝2时的概率是( )A.C 120C 410C 530B ．C 220C 310C 530C.C 320C 210C 530D ．C 420C 110C 5303．设ξ是一个离散型随机变量，其分布列为ξ －1 0 1P141－qq 2则q 的值为( ) A ．1 B ．22C±12D ．124．从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是( )A.3235 B ．1235 C.335D ．2355．随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2，3,4)，其中a 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52的值为( )A.23 B ．34 C.45D ．566．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后，若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则ξ＝3停止抽球后，袋中红球的个数为________个．7．已知随机变量ξ的分布列为若η＝2ξ－3，则8．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________．9．已知随机变量ξ只能取三个值：x1，x2，x3，其概率依次成等差数列，则公差d的取值X围是________．10．在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2，…，6)，求：(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数X的分布列与期望．11．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A饮料，另外4杯为B饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X表示此人选对A饮料的杯数．假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．(1)求X的分布列；(2)求此员工月工资不少于2 800元的概率．B 级1．为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养，促进高等教育教学改革，教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛．该竞赛分为预赛和决赛两个阶段，参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序．通过预赛，选拔出甲、乙等五支队伍参加决赛．(1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率；(2)若决赛中甲队和乙队之间间隔的队伍数记为X ，求X 的分布列．2．2012年10月1日，为庆祝中华人民某某国成立63周年，来自大学和清华大学的6名大学生志愿者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有1名大学志愿者的概率是35.(1)求打扫卫生岗位恰好有大学、清华大学志愿者各1名的概率；(2)设随机变量ξ为在维持秩序岗位服务的大学志愿者的人数，求ξ的分布列．详解答案课时作业(六十八)A 级1．C 设X 的分布列为：X 0 1 Pp2p即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功，设失败的概率为p ，成功的概率为2p .由p ＋2p ＝1，则p ＝13，因此选C.2．B X 服从超几何分布，P (X ＝2)＝C 220C 310C 530.3．D 由题意知14＋(1－q )＋q 2＝1，解得q ＝12.4．B 设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，它的可能的取值为0,1,2，相应的概率为P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235.5．D ∵P (X ＝n )＝an n ＋1(n ＝1,2,3,4)，∴a1×2＋a 2×3＋a 3×4＋a 4×5＝1，解得a ＝54， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝54×12＋54×16＝56.6．解析： ξ＝3表示抽取第3次时抽到红球，则前两次抽到黑球，依题意，袋中共有红球10＋2＝12个．答案： 127．解析： ∵1＜η≤5，∴1＜2ξ－3≤5，∴2＜ξ≤4， ∴P (1＜η≤5)＝P (ξ＝3)＋P (ξ＝4)＝0.4＋0.2＝0.6. 答案： 0.68．解析： 设所选女生人数为X ，则X 服从超几何分布， 其中N ＝6，M ＝2，n ＝3，则P (X ≤1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝C 02C 34C 36＋C 12C 24C 36＝45.答案： 459．解析： 设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，∴a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥013＋d ≥0得－13≤d ≤13.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，1310．解析： (1)设A 表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”，则A 表示“甲、乙的演出序号均为偶数”，由等可能性事件的概率计算公式，得P (A )＝1－P (A )＝1－C 23C 26＝1－15＝45.(2)X 的所有可能值为0,1,2,3,4，且P (X ＝0)＝5C 26＝13，P (X ＝1)＝4C 26＝415，P (X ＝2)＝3C 26＝15，P (X ＝3)＝2C 26＝215，P (X ＝4)＝1C 26＝115. 从而知X 的分布列为：11.解析： (1)X P (X ＝i )＝C i 4C 4－i4C 48(i ＝0,1,2,3,4)，即(2)令Y 则P (Y ≥2 800)＝P (Y ＝2 800)＋P (Y ＝3 500) ＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝835＋170＝1770所以此员工月工资不少于2 800元的概率是1770.B 级1．解析： (1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件A ，则 P (A )＝2A 33A 55＝2×3！5！＝110.所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为110.(2)由题意知随机变量X 的可能取值为0,1,2,3. P (X ＝0)＝A 22A 44A 55＝2！×4！5！＝25，P (X ＝1)＝3A 22A 33A 55＝3×2！×3！5！＝310，P (X ＝2)＝2A 22A 33A 55＝2×2！×3！5！＝15，P (X ＝3)＝A 22A 33A 55＝2！×3！5！＝110.所以随机变量X 的分布列为：2.解析： (1)A ，则事件A 的对立事件为“没有大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”，设有大学志愿者x 名，1≤x ＜6，那么P (A )＝1－C 26－x C 26＝35，解得x ＝2，即来自大学的志愿者有2名，来自清华大学的志愿者有4名．记“打扫卫生岗位恰好有大学、清华大学志愿者各1名”为事件B ，则P (B )＝C 12C 14C 26＝815，所以打扫卫生岗位恰好有大学、清华大学志愿者各1名的概率是815.(2)在维持秩序岗位服务的大学志愿者的人数ξ服从超几何分布， 其中N ＝6，M ＝2，n ＝2，于是P (ξ＝k )＝C k 2C 2－k4C 26，k ＝0,1,2，∴P (ξ＝0)＝C 02C 24C 26＝25，P (ξ＝1)＝C 12C 14C 26＝815，P (ξ＝2)＝C 22C 04C 26＝115.所以ξ的分布列为。
【金版新学案】2013版高考数学总复习 课时作业19 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 理 北师大版
课时作业(十九) 两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 级1．化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为( ) A.12B.32 C ．－12D ．－322．已知α为锐角，cos α＝55，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－17C ．－43D ．－73．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值是( )A ．－233B ．±233C ．－1D ．±14．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是( )A ．－14B.154C ．－154D.145．(2011·某某卷)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 36．若tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝25，则tan α＝________. 7．(2012·苏锡常镇调研)满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝12的锐角x ＝________.8．tan 15°＋tan 30°＋tan 15°·tan 30°的值是________． 9．化简sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α的结果是________．10．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.11．(2011·某某卷)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，x ∈R .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．B 级1．已知cos α＝13，cos(α＋β)＝－13，且α、β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos(α－β)的值等于( )A ．－12B.12 C ．－13D.23272．已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－513，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是35，则cos α＝________.3．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值． 详解答案课时作业(十九)A 级1．A cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45° ＝cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45° ＝cos(15°＋45°)＝cos 60°＝12，故选A.2．B 依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4＝－43， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17. 3．C cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.4．C ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，∴cos θ－sin θ<0，∵(sin θ－cos θ)2＝1－sin 2θ＝1－116＝1516，∴cos θ－sin θ＝－154.5．D ∵sin 2α＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(1－2sin 2α)＝14，∴sin 2α＝34.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝32，∴cos α＝12，∴tan α＝ 3.6．解析： tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25， ∴5tan α＋5＝2－2tan α. ∴7tan α＝－3，∴tan α＝－37.答案： －377．解析： 由已知可得 cos 4π5cos x ＋sin 4π5sin x ＝12，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫45π－x ＝12，又x 是锐角，所以4π5－x ＝π3，即x ＝715π.答案：715π 8．解析： 原式＝tan(15°＋30°)·(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30°＝tan 45°(1－tan 15°·tan 30°)＋tan 15°·tan 30°＝1.答案： 19．解析： 原式＝1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π32＋1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π32－sin 2α＝1－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3－sin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案： 1210．解析： 原式＝124cos 4x －4cos 2x ＋12·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝2cos 2x －124sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .11．解析： (1)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －π6，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12－π6＝2sin π4＝ 2.(2)∵α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝65，∴2sin α＝1013，2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π2＝65.即sin α＝513，cos β＝35.∴cos α＝1213，sin β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665.B 级1．D ∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴2α∈(0，π)．∵cos α＝13，∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－79，∴sin 2α＝1－cos 22α＝429， 而α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝223， ∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)] ＝cos 2αcos(α＋β)＋sin 2αsin(α＋β)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－79×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋429×223＝2327. 2．解析： 由题意及三角函数定义知sin β＝1213，cos β＝－513，sin(α＋β)＝35，cos(α＋β)＝－45.∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－513＋35×1213＝5665.答案：56653．解析： (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43.(2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425. 又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425，又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725，又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525.。
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课时作业(四十四) 均值不等式A 级1．(2012·太原模拟)设a ，b ∈R ，已知命题p ：a 2＋b 2≤2ab ；命题q ：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，则p 是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－43．(2012·福建卷)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋14＞lg x (x ＞0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R )D.1x 2＋1＞1(x ∈R ) 4．设OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b,0)，a ＞0，b ＞0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b的最小值是( )A ．4B ．6C ．8D ．105．(2011·北京卷)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件6．已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________．7．(2013·西安长安一中质检)已知a ＞0，b ＞0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是________．8．(2012·豫西五校联考)已知a ，b ∈R ，且ab ＝50，则|a ＋2b |的最小值是________．9．当x 2－2x ＜8时，函数y ＝x 2－x －5x ＋2的最小值是________．10．(1)求函数y ＝x (a －2x )(x ＞0，a 为大于2x 的常数)的最大值； (2)已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，求z ＝2x ＋5y的最小值．11．已知lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)． (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋y 的最小值．B 级1．(2012·陕西卷)小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )A ．a ＜v ＜abB ．v ＝ab C.ab ＜v ＜a ＋b2D ．v ＝a ＋b22．(2012·皖北四市联考)已知二次函数f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为__________． 3．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入15x 万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．详解答案课时作业(四十四)A 级1．B 命题p ：(a －b )2≤0⇔a ＝b ；命题q ：(a －b )2≥0.显然，由p 可得q 成立，但由q 不能推出p 成立，故p 是q 的充分不必要条件．2．C ∵x ＜0，∴－x ＞0， ∴x ＋1x －2＝－⎝⎛⎭⎪⎫－x ＋1－x －2≤－2－x ·1－x－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x ，即x ＝－1时，等号成立．3．C 应用基本不等式：x ，y ∈R ＋，x ＋y2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析，注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x ＞0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋14≥lg x (x ＞0)，故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等，而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确；由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确． 4．C AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)， ∵AB →与AC →共线，∴2(a －1)＋b ＋1＝0，即2a ＋b ＝1. ∵a ＞0，b ＞0，∴1a ＋2b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab≥4＋4＝8，当且仅当b a ＝4ab，即b ＝2a 时等号成立． 5．B 若每批生产x 件产品，则每件产品的生产准备费用是800x ，存储费用是x8，总的费用是800x ＋x8≥2800x ·x 8＝20，当且仅当800x ＝x8时取等号，即x ＝80. 6．解析： ∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝3y ，4x ＋3y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2.时xy 取得最大值3.答案： 37．解析： 由已知条件ln(a ＋b )＝0得a ＋b ＝1，又a ＞0，b ＞0，1a ＋1b＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab ≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，b a ＝ab，即a ＝b ＝12时取“＝”号，所以1a ＋1b的最小值是4.答案： 48．解析： 依题意得，a ，b 同号，于是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |×|2b |＝22|ab |＝2100＝20(当且仅当|a |＝|2b |时取等号)，因此|a ＋2b |的最小值是20.答案： 209．解析： 由x 2－2x ＜8得x 2－2x －8＜0， 即(x －4)(x ＋2)＜0，得－2＜x ＜4，∴x ＋2＞0，而y ＝x 2－x －5x ＋2＝x ＋22－5x ＋2＋1x ＋2＝(x ＋2)＋1x ＋2－5≥2－5＝－3. 等号当且仅当x ＝－1时取得． 答案： －310．解析： (1)∵x ＞0，a ＞2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋a －2x 22＝a28，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28.(2)由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10. 则2x ＋5y ＝2y ＋5x 10≥210xy 10＝2.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5y min ＝2.当且仅当2y ＝5x ，即x ＝2，y ＝5时等号成立．故z 的最小值为2.11．解析： 由lg(3x )＋lg y ＝lg(x ＋y ＋1)得⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0y ＞03xy ＝x ＋y ＋1(1)∵x ＞0，y ＞0，∴3xy ＝x ＋y ＋1≥2xy ＋1， ∴3xy －2xy －1≥0，即3(xy )2－2xy －1≥0，∴(3xy ＋1)(xy －1)≥0，∴xy ≥1，∴xy ≥1， 当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立．∴xy 的最小值为1. (2)∵x ＞0，y ＞0，∴x ＋y ＋1＝3xy ≤3·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，∴3(x ＋y )2－4(x ＋y )－4≥0，∴[3(x ＋y )＋2][(x ＋y )－2]≥0，∴x ＋y ≥2， 当且仅当x ＝y ＝1时取等号，∴x ＋y 的最小值为2.B 级1．A 设甲乙两地相距为s ，则v ＝2ss a ＋s b ＝21a ＋1b. 由于a ＜b ，∴1a ＋1b ＜2a，∴v ＞a ，又1a ＋1b ＞21ab，∴v ＜ab .故a ＜v ＜ab ，故选A.2．解析： ∵f (x )＝ax 2＋2x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)， ∴a ＞0且Δ＝4－4ac ＝0，∴c ＝1a，∴a ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋11a＋1a ＋1a ＝⎝⎛⎭⎪⎫a 2＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a ≥4(当且仅当a ＝1时取等号)，∴a ＋1c ＋c ＋1a的最小值为4. 答案： 43．解析： (1)设每件定价为t 元， 依题意，有⎝⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋15有解，∵150x ＋16x ≥2150x ·16x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)， ∴a ≥10.2.∴当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．。