直线的方程 高考考点精讲

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高考直线知识点总结

高考直线知识点总结

高考直线知识点总结高考是中国学生十分重要的考试,其中数学是高考的一门必考科目。

直线作为数学中的基础知识,是高考数学中的重点考查内容之一。

本文将对高考直线知识点进行总结,以帮助考生更好地备考和应对高考数学考试。

一、直线的一般方程直线的一般方程一般形式为Ax + By + C = 0,其中A、B、C为常数,并且A和B不同时为0。

直线的一般方程具有以下特点:1. 直线的斜率为-m,其中m为直线的斜率,m = -A/B。

2. 直线在坐标系中的截距为(-C/A, 0)和(0, -C/B)。

二、直线的点斜式直线的点斜式一般形式为y - y₁ = m(x - x₁),其中(x₁, y₁)为直线上已知的一点,m为直线的斜率。

直线的点斜式具有以下特点:1. 直线的斜率为m。

2. 直线过已知点(x₁, y₁)。

三、直线的斜截式直线的斜截式一般形式为y = mx + c,其中m为直线的斜率,c为直线在y轴上的截距。

直线的斜截式具有以下特点:1. 直线的斜率为m。

2. 直线与y轴的交点为(0, c)。

3. 直线过点(1, m + c)。

四、直线的两点式直线的两点式一般形式为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁),其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两个已知点。

直线的两点式具有以下特点:1. 直线过已知点(x₁, y₁)和(x₂, y₂)。

2. 直线的斜率为(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)。

五、直线的垂直与平行关系两条直线的斜率满足以下关系时,它们之间具有特殊的垂直或平行关系:1. 如果两条直线的斜率相等,且不为无穷大,则它们互相平行。

2. 如果两条直线的斜率乘积为-1,则它们互相垂直。

六、直线的角平分线和垂直平分线直线的角平分线和垂直平分线具有以下特点:1. 直线的角平分线将角平分为两个相等的角。

2. 直线的垂直平分线将线段平分为两个相等的部分。

3. 直线的角平分线和垂直平分线的交点即为对应的角的角平分点和线段的中点。

《直线的方程》全章知识点总结及典型例题

《直线的方程》全章知识点总结及典型例题

、考点、热点回顾已知条件图示方程形式适用条件 局限 点斜式点 P (x 0, y 0)和斜不能表示斜率不y -y 0=k (x -x )斜率存在存在的直线率k斜率 k 和直线在不能表示斜率不斜截式y = kx +b斜率存在y 轴上的截距 b存在的直线x 1≠x 2 ,y 1≠y 2 即P 1(x 1,y 1),P (x ,y - y 1 x - x 1斜率存在且两点式能表示与坐标轴y 2),其中 x 1y 2- y 1 x 2- x 1不为 0平行的直线y 1≠y 2在 x ,y 轴上的截斜率存在且不能表示与坐标截距式距分别为 a , bx+y =1不为 0,不过原轴平行及过原点ab的直线且 a ≠0,b ≠0点一般形式Ax + By +C = 0A ,B 不同时为 0无知识点二、线段的中点坐标公式若点 P 1, P 2的坐标分别为 (x 1,y 1),(x 2,y 2),设 P (x ,y )是线段 P 1P 2 的中点,则知识点三、直线的一般式求直线平行或垂直设直线 l 1与 l 2的方程分别为 A 1x +B 1y +C 1=0(A 1,B 1 不同时为 0),A 2x +B 2y +C 2=0(A 2,B 2不同时为0),A1B2- A2B1= 0,A1 B1 C1 则 l 1∥l 2?或 A1 B1 C1(A 、B 、C 均不为零 )B 1C 2-B 2C 1≠0或A 1C 2- A 2C 1≠ 0. A 2B 2C 2直线的方程x =x 1+ x 2 y 1+y 2l1⊥ l2? A1A2+B1B2= 0.二、典型例题考点一、直线的点斜式方程例 1、写出下列直线的点斜式方程.(1)经过点 A(2,5),且与直线 y=2x+ 7 平行;(2)经过点 C(-1,- 1),且与 x轴平行;(3)经过点 D(1,2),且与 x 轴垂直.变式训练 1、(1)经过点 (-3,1)且平行于 y 轴的直线方程是__ .(2) ________________________________________________________________________ 直线 y=2x +1绕着其上一点 P(1,3)逆时针旋转 90°后得到直线 l,则直线 l 的点斜式方程是_________________ .(3) ______________________________________________________________________________ 一直线 l1过点 A(-1,-2),其倾斜角等于直线 l2:y=33x的倾斜角的 2 倍,则 l1的点斜式方程为_________ .考点二、直线的斜截式方程例 2、 (1) 倾斜角为 60°,与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3 的直线的斜截式方程是 ___ __.(2)已知直线 l1的方程为 y=- 2x+ 3, l 2的方程为 y=4x-2,直线 l与 l 1平行且与 l2在y轴上的截距相同,求直线 l 的方程.变式训练 2、已知直线 l 的斜率为1,且和两坐标轴围成面积为 3 的三角形,求 l 的斜截式方程.6考点三、直线过定点问题例 3、求证:不论 m 为何值时,直线 l:y=(m-1)x+2m+1 总过第二象限 .变式训练 3、已知直线 l:5ax-5y- a+ 3= 0.求证:不论 a 为何值,直线 l 总经过第一象限考点四、直线的两点式方程例4、已知 A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2),在△ABC 中,(1)求 BC 边的方程;(2)求 BC 边上的中线所在直线的方程.变式训练 4、若点 P(3,m)在过点 A(2,- 1),B(- 3,4)的直线上,则 m=_考点五、直线的截距式方程6 的直线方程是 ( )例 5、过点 P(1,3) ,且与 x 轴、 y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于A.3x+y-6=0 B.x+ 3y- 10= 0C.3x- y=0 D.x-3y+8= 0变式训练 5、直线 l 过点 P(34, 2),且与两坐标正半轴围成的三角形周长为 12,求直线 l 的方程.3A.2 条 B.3 条 C.4 条 D .无数多条变式训练 6、过点 P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有 ( )A.1 条 B.2 条 C.3条 D.无数多条考点六、直线的一般式方程(1)斜率是 3,且经过点 A(5,3) ;(2)斜率为 4,在 y 轴上的截距为- 2;(3)经过点 A(- 1,5),B(2,- 1)两点;(4)在 x轴,y 轴上的截距分别为- 3,-1.变式训练 7、根据条件写出下列直线的一般式方程:1(1)斜率是-21,且经过点 A(8,- 6)的直线方程为 ____________ ;(2)经过点 B(4,2),且平行于 x 轴的直线方程为 ______________ ;3(3) __________________________________________________ 在 x轴和 y轴上的截距分别是2和-3 的直线方程为 ________________________________________________________________(4) ____________________________________________ 经过点 P1(3,- 2),P2(5,- 4)的直线方程为 _____________________________________________________________________ .例 8、设直线 l 的方程为(m2- 2m- 3)x-(2m2+m- 1)y+ 6-2m= 0.(1)若直线 l 在 x 轴上的截距为- 3,则 m=;(2)若直线 l 的斜率为 1,则 m= __ .变式训练 8、若方程(a2+5a+6)x+(a2+2a)y+ 1=0 表示一条直线,则实数 a 满足.考点七、由直线的一般式研究直线的平行与垂直命题角度 1 利用两直线的位置关系求参数例 9、(1)已知直线 l 1: 2x+(m+ 1)y+4= 0与直线 l2:mx+3y-2=0 平行,求 m的值;(2)当 a 为何值时,直线 l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0 与直线 l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直?变式训练 9、已知直线 l1:ax+2y-3=0,l2:3x+(a+1)y-a=0,求满足下列条件的 a 的值.(1)l1∥ l2;(2)l1⊥l2.例 10、已知直线 l 的方程为 3x+ 4y-12= 0,求满足下列条件的直线 l′的方程:(1)过点(-1,3),且与 l 平行;(2)过点(-1,3),且与 l 垂直.变式训练 10、已知点 A(2,2)和直线 l:3x+ 4y-20=0. 求:(1)过点 A 和直线 l 平行的直线方程;(2)过点 A 和直线 l 垂直的直线方程.三、课后练习一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.不论 m为何值,直线(m- 1)x+(2m- 1)y= m- 5 恒过定点()1A. 1,B. (- 2,0)C. (2,3)D. (9 ,- 4)范围为()A. B. C. D.3.若直线 l1:x+ay+6=0与 l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则 l1与 l2之间的距离为()A. B. C. D.4.若点A 1,1 关于直线y kx b 的对称点是B 3,3 ,则直线y kx b 在y 轴上的截距是()A. 1B. 2C. 3D. 4 5.已知直线l1 :x y 1 0,动直线l2 : k 1 x ky k 0 k R ,则下列结论错误..的是()A. 存在k,l1使得l2的倾斜角为 90° B. 对任意的k,l1与l2都有公共点C. 对任意的k,l1与l2都不.重合D. 对任意的k,l1与l2都不.垂.直.6.设点A 2, 3 ,B 3, 2 ,直线 l 过点P 1,1 ,且与线段AB 相交,则 l 的斜率k 的取值范围()33A. k 或k 4B. 4 k 44C. 3k 4D. 以上都不对47.图中的直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3 ,则有()A. k1 k2 k3 B. k3k1k2 C. k3k2k1 D. k2k3k18.直线x 3y1 0 的倾斜角为().A. B. C. D.9.直线的斜率和在轴上的截距分别是()A. B. C. D.10 .过点,且平行于向量的直线方程为()2.已知不等式组表示的平面区域为18.已知 的三个顶点坐标分别为 , , .11.过点 A (3,3) 且垂直于直线 的直线方程为二、填空题13.已知 a,b, c 为直角三角形的三边长, c 为斜边长,若点 M m,n 在直线 l :ax by 2c 0上,则 m 2 n 2的 最小值为 __________ .14.m R ,动直线 l 1:x my 1 0过定点 A ,动直线 l 2:mx y 2m 3 0过定点 B ,若直线 l 与l 2相交于 点 P (异于点 A,B ),则 PAB 周长的最大值为 ________15.过点 (2,- 3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 _________ .16.定义点 到直线 的有向距离为 .已知点 到直线 的有向距离分别是 ,给出以下命题: ① 若 ,则直线 与直线 平行; ② 若 ,则直线 与直线 平行; ③若,则直线与直线 垂直;④若 ,则直线 与直线 相交;其中正确命题的序号是 _______________ . 三、解答题17.求符合下列条件的直线方程: ( 1)过点 ,且与直线 平行; ( 2)过点 ,且与直线垂直;( 3)过点, 且在两坐标轴上的截距相等.1)求边 上的高所在直线的一般式方程;A. B. C. D.12.在平面直角坐标系中,已知 A 1,2, 3,0 ,那么线段 AB 中点的坐标为().A. 2, 1B. 2,1C. 4,D.1,22)求边上的中线所在直线的一般式方程19.已知直线l :3x y 2 2 x 4y 2 0( 1)求证:直线 l 过定点。

高考数学知识点解析直线的方程与性质

高考数学知识点解析直线的方程与性质

高考数学知识点解析直线的方程与性质高考数学知识点解析:直线的方程与性质在高考数学中,直线的方程与性质是一个重要的知识点,它不仅在几何问题中有着广泛的应用,还与代数、三角函数等其他知识板块紧密相连。

理解和掌握直线的方程与性质,对于解决各类数学问题都具有关键作用。

一、直线的倾斜角与斜率首先,我们来了解直线的倾斜角。

直线的倾斜角是指直线与 x 轴正方向所成的角,范围是0, π)。

当直线与 x 轴平行或重合时,倾斜角为 0;当直线垂直于 x 轴时,倾斜角为π/2。

而直线的斜率则是倾斜角的正切值,通常用 k 表示。

如果已知直线上两个不同的点 P₁(x₁, y₁),P₂(x₂, y₂),那么直线的斜率 k =(y₂ y₁) /(x₂ x₁)。

需要注意的是,当直线垂直于 x 轴时,斜率不存在。

斜率的正负决定了直线的倾斜方向。

当斜率为正时,直线从左下方向右上方倾斜;当斜率为负时,直线从左上方向右下方倾斜;当斜率为 0 时,直线与 x 轴平行或重合。

二、直线的方程1、点斜式如果已知直线上一点 P₀(x₀, y₀),并且直线的斜率为 k,那么直线的点斜式方程为 y y₀= k(x x₀)。

2、斜截式如果直线的斜率为 k,且在 y 轴上的截距为 b(即直线与 y 轴交点的纵坐标),那么直线的斜截式方程为 y = kx + b。

3、两点式已知直线上两个不同的点 P₁(x₁, y₁),P₂(x₂, y₂),则直线的两点式方程为(y y₁) /(y₂ y₁) =(x x₁) /(x₂ x₁)。

4、截距式如果直线在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 a 和 b(a ≠ 0,b ≠ 0),那么直线的截距式方程为 x / a + y / b = 1。

5、一般式直线的一般式方程为 Ax + By + C = 0(A、B 不同时为 0)。

在具体解题时,我们需要根据题目所给的条件,选择合适的直线方程形式,以便更简便地进行计算和推理。

三、直线的位置关系1、平行两条直线平行,它们的斜率相等。

高考数学知识考点精析9 直线与方程

高考数学知识考点精析9 直线与方程

高考数学知识考点精析9 直线与方程1、直线的倾斜角:(1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。

当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0。

(2)直线的倾斜角的范围[)π,0。

(3)在直线的倾斜角的定义中抓住三个重要条件:“逆时针旋转、与直线l 重合、最小正角”。

2、直线的斜率:(1)定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率。

直线的斜率常用k 表示,即k =tan α(α≠90°).(2)倾斜角为90°的直线没有斜率。

(3)经过两点P 1(x 1, x 2),P 2 (y 1,y 2)的直线的斜率公式为()212121x x x x y y k ≠--= 3、直线方程的五种形式:(1)点斜式:已知直线过点(x ,y )斜率为k ,则直线方程为:y-y =k (x-x ),它不包括垂直于x 轴的直线。

(2)斜截式:已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ,则直线方程为:y=kx+b,它不包括垂直于x 轴的直线。

(3)两点式:已知直线经过(x 1,y 1),(x 2,y 2)两点,则直线方程为:121121x x x x y y y y --=--,它不包括垂直于坐标轴(包括x,y 轴)的直线。

(4)截距式:已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a,b,则直线方程为:1=+by a x,它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。

(5)一般式:任何直线均可写成:Ax+By+C=0(A,B 不同时为0)的形式。

在求直线方程时,要注意斜率是否存在,利用截距式时,不能忽视截距为0的情形,同时要区分“截距”和“距离”。

“截距”不是距离,可正可负可为0。

4、点与直线的位置关系:(1)若点P (x ,y )在直线上,则Ax +By +C=0.(2) 若点P (x ,y )不在直线上,则Ax +By +C ≠0,此时点P (x ,y )直线的距离d=2200B A CBy Ax +++,(3)由此可得,两平行线l 1:A 1x+B 1y+C 1=0,l 2:A 2x+B 2y+C 2=0,间的距离为d=2221B A C C +-5、直线与直线的位置关系:(1)斜率存在的两直线:l 1: y=k 1x+b 1, l 2:y=k 2x+b 2,有若l 1∥l 2⇔ k 1=k 2,且b 1≠b 2,若l 1⊥l 2,⇔ k 1 k 2=-1,若l 1与l 2相交⇔ k 1≠k 2,若l 1与l 2重合⇔ k 1=k 2,b 1=b 2。

高中数学直线方程知识点

高中数学直线方程知识点

高中数学直线方程知识点在高中数学中,直线方程是一个重要的知识点,它不仅在数学学科中有着广泛的应用,还为解决其他学科和实际生活中的问题提供了有力的工具。

接下来,让我们一起深入了解直线方程的相关内容。

一、直线的倾斜角与斜率1、倾斜角直线与 x 轴正方向所成的角叫做直线的倾斜角。

倾斜角的范围是0, π)。

当直线与 x 轴平行或重合时,倾斜角为 0;当直线垂直于 x 轴时,倾斜角为π/2。

2、斜率直线的斜率是指倾斜角不是 90°的直线,其倾斜角的正切值。

记为k =tanα(α 为倾斜角)。

(1)过两点 P₁(x₁, y₁),P₂(x₂, y₂)(x₁≠x₂)的直线的斜率 k =(y₂ y₁)/(x₂ x₁)。

(2)斜率的性质:当直线平行于 x 轴时,斜率 k = 0;当直线垂直于 x 轴时,斜率不存在;斜率越大,直线越陡峭;斜率为正,直线上升;斜率为负,直线下降。

二、直线方程的几种形式1、点斜式若直线过点 P(x₀, y₀),且斜率为 k,则直线方程为 y y₀= k(xx₀)。

2、斜截式若直线斜率为 k,在 y 轴上的截距为 b,则直线方程为 y = kx + b。

3、两点式若直线过两点 P₁(x₁, y₁),P₂(x₂, y₂)(x₁≠x₂,y₁≠y₂),则直线方程为(y y₁)/(y₂ y₁) =(x x₁)/(x₂ x₁) 。

4、截距式若直线在 x 轴、y 轴上的截距分别为 a、b(a≠0,b≠0),则直线方程为 x/a + y/b = 1 。

5、一般式Ax + By + C = 0(A、B 不同时为 0)。

三、直线方程的应用1、求直线的方程已知直线上一点和直线的斜率,或者已知直线上两点,都可以求出直线的方程。

2、判断直线的位置关系(1)两条直线平行:若两条直线斜率都存在,且斜率相等,则两条直线平行;若两条直线的一般式方程分别为 A₁x + B₁y + C₁= 0 和 A₂x + B₂y + C₂= 0,当 A₁B₂ A₂B₁= 0 且 A₁C₂ A₂C₁≠ 0 时,两条直线平行。

高考数学复习考点知识讲解课件41 直线的方程

高考数学复习考点知识讲解课件41 直线的方程

的取值范围为____13_,____3_ ____.
— 14 —
(新教材) 高三总复习•数学
[解析] (1)直线xsinα-y+1=0的斜率是k=sinα,
— 返回 —
又∵-1≤sinα≤1,∴-1≤k≤1.
当0≤k≤1时,倾斜角的范围是0,4π, 当-1≤k<0时,倾斜角的范围是34π,π.故选D. (2)如图,过A(2,1),P(-1,0)的直线的斜率为k1=2-1--01=13,过B(0, 3),P(-1,0)
取值范围是23π,34π.
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(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
考点二 直线的方程——自主练透
对点训练
1.已知点M是直线l:2x-y-4=0与x轴的交点,将直线l绕点M按逆时针方向旋转
45°,得到的直线方程是( D )
A.x+y-3=0
B.x-3y-2=0
C.3x-y+6=0
D.3x+y-6=0
高考数学复习考点知识讲解课件
第一节 直线的方程
基础知识夯实 核心考点突破
(新教材) 高三总复习•数学
— 返回 —
考试要求:1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,探索确定直线位置的几何要 素;2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,经历用代数方法刻画直线斜率的过程,掌握过 两点的直线斜率的计算公式;3.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线方程的 几种形式(点斜式、两点式及一般式).
____(-__∞__,__-____3_]∪___[1_,__+__∞__)_____.
[解析] (1)直线l的斜率k=csoinsαα=tanα, ∵α∈-2π,0,∴π+α∈π2,π, 故k=tanα=tan(π+α). ∴直线l的倾斜角为π+α.

高考数学中的直线方程

高考数学中的直线方程

高考数学中的直线方程高考数学中的知识点众多,而直线方程是其中比较常见且基础的知识点之一。

直线方程是指在平面直角坐标系中,描述一条直线的方程式。

了解直线方程是高中数学的基础,也是在高考数学中取得好成绩的必备知识点。

下面将从什么是直线方程、直线方程的种类、怎样求直线方程三个方面对直线方程进行详细的介绍。

一、什么是直线方程在平面直角坐标系中,一条直线上任意两点的坐标(x1, y1)和(x2, y2)之间总是存在一定的关系,我们可以通过确定这种关系来描述这条直线的方程式。

通常我们使用一元一次方程式来描述一条直线,即y=ax+b的形式。

其中,a和b是常数,而x和y则是未知数。

在这种形式下,a决定了这条直线的斜率,而b则决定了这条直线和y轴的交点。

二、直线方程的种类在高考数学中,我们需要掌握三种直线方程的形式:斜截式、点斜式和一般式。

下面我们分别进行详细介绍。

1.斜截式斜截式指的是y=ax+b的形式,其中a是这条直线的斜率,而b则是这条直线和y轴的交点。

在斜截式中,a的值决定了这条直线的斜率,也就是这条直线的倾斜程度。

当a的值为正数时,这条直线呈现上升的趋势;当a的值为负数时,则呈现下降的趋势。

而当a的值为0时,则表示这条直线为水平线。

在计算斜率时,通常我们需要注意两点之间的水平距离是否为0,如果是,则斜率不存在。

2.点斜式点斜式指的是y-y1=k(x-x1)的形式,其中k是这条直线的斜率,而(x1,y1)是这条直线上的一个点的坐标。

在点斜式中,我们需要发现这条直线的斜率,以及找到该直线上的一个点,然后通过点斜式计算出直线方程。

在计算时,我们可以使用任意一个点,因此对于一条直线,可以使用多个不同的点来计算直线方程。

3.一般式一般式指的是Ax+By+C=0的形式,在一般式中,A、B和C都是常数,而x和y为未知数。

在使用一般式来求解直线方程时,我们通常需要将其转化为斜截式或者点斜式。

具体的转化方式可以通过数学公式和推导来实现,在高考数学中,我们需要掌握这些转化方式,以便快速的解决具体的问题。

专题11 直线的方程(深度精讲)

专题11 直线的方程(深度精讲)
(2)由 得 ,交点为 .
又因为所求直线与 垂直,所以所求直线斜率
故所求直线方程为
21.已知正方形的中心为直线2x-y+2=0,x+y+1=0的交点,正方形一边所在的直线方程为x+3y-5=0,求正方形其他三边的方程.
【答案】3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.
【解析】设与直线l:x+3y-5=0平行的边的直线方程为l1:x+3y+c=0.
当x1=x2时,直线方程为x=x1;
当y1=y2时,直线方程为y=y1.
重点四、直线的截距式方程
(1)定义:如图所示,直线l与两坐标轴的交点分别是P1(a,0)、P2(0,b)(其中a≠0,b≠0),则方程为 + =1叫做直线l的截距式方程,简称截距式.
(2)说明:一条直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线在x轴上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.
由 ,得正方形的中心坐标P(-1,0),
由点P到两直线l,l1的距离相等,
则 ,
得c=7或c=-5(舍去).∴l1:x+3y+7=0.
又∵正方形另两边所在直线与l垂直,
∴设另两边方程为3x-y+a=0,3x-y+b=0.
∵正方形中心到四条边的距离相等,
∴ ,得a=9或-3,
∴另两条边所在的直线方程为
考点8、平行与垂直的应用
例8.已知点 和直线 .求:
(1)过点 与直线 平行的直线方程;
(2)过点 与直线 垂直的直线方程.
【基础精练】
13.已知直线方程为 .
(1)证明:直线恒过定点;
(2) 为何值时,点 到直线的距离最大,最大值为多少?
(3)若直线分别与 轴, 轴的负半轴交于 两点,求 面积的最小值及此时直线的方程.

高考直线必考知识点

高考直线必考知识点

高考直线必考知识点高考是众多中国学生所迎接的重要考试,其中数学科目无疑是一项关键挑战。

为了帮助学生们更好地备考数学高考,本文将列举一些直线的必考知识点,供大家参考。

一、直线的方程1.一般式方程:Ax + By + C = 0,其中A、B、C为实数且A和B不同时为0。

2.斜截式方程:y = kx + b,其中k为直线的斜率,b为y轴截距。

3.点斜式方程:y - y₁ = k(x - x₁),其中(x₁, y₁)为直线上的一点,k为直线的斜率。

4.两点式方程:(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁),其中(x₁,y₁)和(x₂, y₂)为直线上的两点。

二、直线的性质1.斜率:直线的斜率表示为k,并可用斜率公式计算:k = (y₂ -y₁)/(x₂ - x₁)。

2.平行和垂直关系:若两条直线的斜率相等,则它们平行;若两条直线的斜率乘积为-1,则它们垂直。

3.点与直线的位置关系:设直线方程为Ax + By + C = 0,对于点P(x₀, y₀),代入方程可以判断点在直线上、直线上方或直线下方。

4.距离公式:点P(x₀, y₀)到直线Ax + By + C = 0的距离为d =|Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)。

三、直线的特殊情况1.过两点的直线方程:已知两点P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂),可以使用两点式方程求得直线的方程。

2.过点且垂直于某条直线的直线方程:设直线L的斜率为k,直线L'垂直于L且过点P(x₀, y₀),则直线L'的斜率为-1/k,应用点斜式可以求得直线方程。

通过对这些直线的必考知识点的梳理和理解,学生们可以更好地备考高考数学,提高解题的准确性和速度。

同时,对常见题型的训练也是非常重要的,例如求直线方程、判断两条直线的关系等等。

因此,建议学生们多进行真题的练习,加深对知识点的理解和应用能力。

直线的一般式方程精讲(5大题型)(原卷版)

直线的一般式方程精讲(5大题型)(原卷版)

直线的一般式方程重点:掌握直线的一般式方程,理解直线的一般式方程与二元一次方程;难点:能正确进行直线方程的关系五种形式之间的转化,灵活运用直线方程解决问题。

一、直线的一般式方程1、定义:关于x 、y 的二元一次方程0++=Ax By C (其中A 、B 不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式。

2、适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示。

3、系数的几何意义:当0≠B 时,-=A k B (斜率),=-C b B(y 轴上的截距) 当0=B 时,则=-C a A (x 轴上的截距),此时斜率不存在。

二、直线的一般式方程与其他形式方程的互化三、一般式直线方程的平行与垂直已知直线12,l l 的方程分别是1111:0++=l A x B y C (11,A B 不同时为0),2222:0++=l A x B y C (22,A B 不同时为0)(1)若1212120+=⇔⊥A A B B l l(2)若12211212210//0-=⎫⇔⎬-≠⎭A B A B l l A C A C 四、一般式方程下平行和垂直的直线的设法1、平行:与直线0++=Ax By n 垂直的直线方程可设为0++=Ax By m2、垂直:与直线0++=Ax By n 垂直的直线方程可设为0-+=Bx Ay m题型一 直线的一般式方程【例1】(2023·全国·高二专题练习)平面直角坐标系中下列关于直线的几何性质说法中,正确的有几个( )①直线:过点②直线在轴的截距是2③直线的图像不经过第四象限④直线的倾斜角为A .1B .2C .3D .4l 30x y +-=()1,2P 2y kx =-y 40x y -+=10x +=30【变式11】(2022秋·四川凉山·高二校考)已知直线经过第一、二、四三个象限,则( )A .若,则,B .若,则,C .若,则,D .若,则,【变式12】(2023·江苏·高二假期作业)(多选)在同一平面直角坐标系中,直线和直线不可能是( )A .B .C .D .【变式13】(2022秋·吉林长春·高二东北师大附中校考期中)已知ABC 的三个顶点是()1,2A ,()2,1B --,()3,2C -.求:(1)边AC 上的中线BD 所在直线方程;(2)边AC 上的高BE 所在直线方程.题型二 直线过定点问题【例2】(2023·全国·高二专题练习)无论取何实数时,直线恒过定点,则定点的坐标为( )A .B .C .D . 【变式21】(2023·全国·高二专题练习)不论m ,n 取什么值,直线必过一定点,试证明,并求此定点.【变式22】(2022秋·广东深圳·高二深圳市南头中学校考期中)已知点,.若直线与线段相交,则实数的取值范围是( )A .B .C .D . 【变式23】(2023·全国·高二课堂例题)已知直线.求证:不论a 为何值,直线l 总经过第一象限.题型三 由一般式方程判断之间平行与垂直【例3】(2022秋·新疆巴音郭楞·高二校考期中)在平面直角坐标系中,直线21x y +=与直线0ax by c 0c >0a >0b >0c >0a <0b >0c <0a >0b <0c <0a >0b >1:0l ax y b ++=2:0l bx y a ++=m ()()()13110m x m y m --+--=75,22⎛⎫ ⎪⎝⎭57,22⎛⎫ ⎪⎝⎭35,22⎛⎫ ⎪⎝⎭53,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()()320m n x m n y n -++-=()2,3A -()3,2B --():11l y m x =-+AB m (]3,4,4⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦[)3,4,4⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦34,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦:5530l ax y a --+=1102x y +-=的位置关系为( ) A .相交但不垂直 B .垂直 C .平行 D .重合【变式31】(2022秋·广西河池·高二校联考)直线20x y m ++=与直线420x y n +-=的位置关系是( )A .平行B .相交C .不确定D .重合【变式32】(2023·全国·高二专题练习)直线0cx dy a ++=与0dx cy b -+= (,c d 不同时为0)的位置关系是( )A .平行B .垂直C .斜交D .与a b c d ,,,的值有关【变式33】(2022秋·湖南郴州·高二校考阶段练习)若点()00,P x y 是直线l :0Ax By C ++=外一点,则方程()000Ax By C Ax By C ++-++= 表示( )A .过点P 且与l 垂直的直线B .过点P 且与l 平行的直线C .不过点P 且与l 垂直的直线D .不过点P 且与l 平行的直线题型四 由直线平行与垂直求参数【例4】(2023·全国·高二专题练习)若直线210x y +-=与220mx y -+=平行,则实数m 的值为( )A .3-B .1-C .1D .2【变式41】(2022秋·江苏徐州·高二统考期中)直线210ax y ++=和直线()33102x a y +--=平行,则实数a 的值为( )A .2-B .2或3-C .3D .2-或3【变式42】(2023秋·浙江温州·高二乐清市知临中学校考开学考试)设直线1:250l x ay +-=,()2:3120l a x ay ---=,则1a =是12l l ⊥的( ) A .充要条件 B .必要不充分条件C .充分不必要条件D .既不充分也不必要条件【变式43】(2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习)已知直线1:0l x ay a +-=和直线2:(23)10l ax a y ---=,若12l l ⊥,则a 的值为( )A .2B .3-C .0或2D .1或3-题型五 由直线平行与垂直求方程【例5】(2023春·湖北恩施·高二校考期末)过点()2,3A 且平行于直线250x y +-=的直线方程为( )A .240x y -+=B .270x y +-=C .230x y -+=D .250x y -+=【变式51】(2023·全国·高二专题练习)经过点(1,2),且与直线2100x y +-=垂直的直线方程为( )A .230x y -+=B .230x y +-=C .230x y --=D .230x y +-=【变式52】(2022秋·江西景德镇·高二统考期中)求满足下列条件的直线方程. (1)直线过点()1,2,且与直线10x y +-=平行;(2)直线过点()1,1,且与直线310x y +-=垂直.【变式53】(2023·全国·高二课堂例题)已知直线l 的方程为34120x y +-=,求直线l '的方程,使l '满足:(1)过点()1,3-,且与l 平行;(2)过点()1,3-,且与l 垂直;(3)l '与l 垂直,且l '与两坐标轴围成的三角形面积为4.。

高考数学直线方程知识点

高考数学直线方程知识点

高考数学直线方程知识点数学是高中学业水平测试中的重要科目之一,而直线方程是数学中的基础知识点之一。

掌握直线方程的相关知识对于解题和应用数学思维具有重要意义。

本文将介绍高考数学中关于直线方程的知识点,帮助学生深入了解和掌握这一内容。

1. 直线方程的一般式和斜截式在高考数学中,直线方程通常以一般式和斜截式来表示。

一般式使用 Ax + By + C = 0 的形式,其中 A、B、C 为常数。

斜截式使用 y = kx + b 的形式,其中 k 为斜率,b 为截距。

这两种表示方式可以相互转化,但需要根据具体问题进行转换。

2. 直线方程的斜率和截距斜率和截距是直线方程中的重要概念。

斜率表示了直线的倾斜程度,可以用两个点的纵坐标之差除以横坐标之差来表示。

斜截式的斜率即为直线的斜率。

截距表示了直线与纵轴的交点在纵轴上的坐标,即直线在 y 轴上的截距。

斜截式的截距即为直线的截距。

3. 直线方程的平行和垂直关系在直线方程中,平行和垂直是两种重要的关系。

两条直线平行时,它们的斜率相等;两条直线垂直时,它们的斜率乘积为-1。

根据这些特性,可以判断两条直线是否平行或垂直,并且可以求出平行或垂直直线的方程。

4. 直线方程的应用直线方程在实际应用中有广泛的应用。

例如,在几何问题中,可以通过直线方程来描述两点之间的直线关系,计算线段的长度等;在经济学中,可以通过直线方程来表示成本与产量的关系,进行经济分析等。

掌握直线方程的应用方法,可以帮助学生解决实际问题,提高数学解题能力。

5. 直线方程的解法和图象表示解直线方程的问题通常涉及求解交点、判断位置关系等。

对于一般式的直线方程,可以通过代入和求解方程组的方法来求解;对于斜截式的直线方程,可以直接读出截距和斜率来求解。

此外,直线方程还可以通过绘制直线图象来表示,通过图象来进行可视化的解决问题。

6. 注意事项和解题技巧在学习直线方程时,需要注意以下几个方面。

首先,要熟练掌握直线方程的转化和求解方法,避免在复杂问题中出现计算错误。

高三直线方程的知识点总结

高三直线方程的知识点总结

高三直线方程的知识点总结一、直线方程的三种基本形式在高三数学中,我们经常会涉及到直线的方程。

直线方程的形式有三种基本形式,分别是一般式、截距式和斜截式。

1. 一般式:设直线的方程为Ax + By + C = 0,其中A、B、C为常数,且A与B不同时为0。

2. 截距式:设直线与x轴和y轴的交点分别为(A, 0)和(0, B),直线的方程可表示为x/A + y/B = 1。

3. 斜截式:设直线与y轴的交点为(0, B),直线的斜率为k,直线的方程可表示为y = kx + B。

二、直线的斜率与截距1. 斜率:直线的斜率表示了直线的倾斜程度。

斜率可以通过两点之间的纵坐标差与横坐标差的比值来计算。

设点(x1, y1)和点(x2, y2)在直线上,则直线的斜率k为k = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

2. 截距:直线与y轴相交的点称为截距。

斜截式方程中的B即为直线的截距,表示直线与y轴的交点的纵坐标。

三、直线方程的相互转换在高三的学习中,我们需要掌握直线方程的相互转换方法,便于在不同形式的方程之间进行转换和运用。

1. 一般式与截距式的转换:已知直线方程为Ax + By + C = 0,其中A、B、C为常数,且A与B不同时为0。

将其转换为截距式,只需做一些简单的变形即可得到截距式方程。

2. 斜截式与截距式的转换:已知直线方程为y = kx + B,将其转换为截距式,只需将k和B带入截距式的公式即可。

四、直线的性质和应用1. 平行和垂直关系:两条直线平行,意味着它们的斜率相等;两条直线垂直,意味着它们的斜率的乘积为-1。

2. 直线的交点:两条直线的交点即为其方程组的解,可以通过联立方程组求解来确定交点的坐标。

3. 直线的应用:直线的方程在解决实际问题时有着广泛的应用,例如在经济学、物理学、工程学等领域,直线方程常被用于描述和分析物体的运动、表达经济模型等。

综上所述,高三直线方程的知识点主要包括直线方程的三种基本形式、斜率与截距的概念、直线方程的相互转换方法以及直线的性质和应用。

专题11 直线的方程(深度精讲)(含解析)

专题11 直线的方程(深度精讲)(含解析)

专题直线的方程【重难点精讲】重点一、直线的点斜式方程(1)定义:如下图所示,直线l过定点P(x0,y0),斜率为k,则把方程y-y0=k(x-x0)叫做直线l的点斜式方程.(2)说明:如下图所示,过定点P(x0,y0),倾斜角是90°的直线没有点斜式,其方程为x=x0.重点二、直线的斜截式方程(1)定义:如下图所示,直线l的斜率为k,且与y轴的交点为(0,b),则方程y=kx+b叫做直线l的斜截式方程.(2)说明:一条直线与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距.倾斜角是90°的直线没有斜截式方程.强调:(1)截距是坐标,它可能是正数,也可能是负数,还可能是0,不能将其理解为“距离”.(2)并不是每条直线都有横截距和纵截距,如直线x=1没有纵截距,直线y=2没有横截距.重点三、直线的两点式方程(1)定义:如图所示,直线l经过点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2),则方程y-y1y2-y1=x-x1x2-x1叫做直线l的两点式方程,简称两点式.(2)说明:与坐标轴垂直(或平行)的直线没有两点式方程.[归纳总结] 直线的两点式方程应用的前提条件是:x 1≠x 2,y 1≠y 2,即直线的斜率不存在及斜率为零时,没有两点式方程.当x 1=x 2时,直线方程为x =x 1; 当y 1=y 2时,直线方程为y =y 1. 重点四、直线的截距式方程(1)定义:如图所示,直线l 与两坐标轴的交点分别是P 1(a,0)、P 2(0,b )(其中a ≠0,b ≠0),则方程为x a +yb =1叫做直线l 的截距式方程,简称截距式.(2)说明:一条直线与x 轴的交点(a,0)的横坐标a 叫做直线在x 轴上的截距.与坐标轴垂直和过原点的直线均没有截距式.[归纳总结] (1)截距式是两点式的特例,当已知直线上的两点分别是与两坐标轴的交点(原点除外)时,由两点式可得直线方程的形式为x a +yb =1(ab ≠0),即为截距式.用截距式可以很方便地画出直线.(2)直线方程的截距式在结构上的特点:直线方程的截距式为x a +yb =1,x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距,y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距,中间以“+”相连,等式的另一端是1,由方程可以直接读出直线在两轴上的截距,如:x 3-y 4=1,x 3+y4=-1就不是直线的截距式方程. 重点五、中点坐标公式若点P 1、P 2的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),且线段P 1P 2的中点M 的坐标为(x ,y ),则有121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩.此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式.重点六、直线的一般式方程(1)定义:关于x 、y 的二元一次方程Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.(2)适用范围:平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一般式表示. (3)系数的几何意义:①当B ≠0时,则-A B =k (斜率),-CB=b (y 轴上的截距);②当B =0,A ≠0时,则-CA=a (x 轴上的截距),此时不存在斜率.(4)二元一次方程与直线的关系:二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标,这个方程的全体解组成的集合,就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合,这些点的集合就组成了一条直线.二元一次方程与平面直角坐标系中的直线是一一对应的. 重点七、直线方程的一般式与其他形式的互化 一般式化斜截式的步骤: ①移项:By =-Ax -C ;②当B ≠0时,得斜截式:y =-A B x -CB .一般式化截距式的步骤:①把常数项移到方程右边,得Ax +By =-C ; ②当C ≠0时,方程两边同除以-C ,得Ax -C +By-C =1;③再化为截距式:x -C A +y-C B=1.【典题精讲】考点1、直线的点斜式方程例1.已知点P 是直线l 上的一点,将直线l 绕点P 逆时针方向旋转角02παα⎛⎫<<⎪⎝⎭,所得直线方程是20x y --=,若将它继续旋转2πα-角,所得直线方程是210x y +-=,则直线l 的方程是______.【答案】230x y --= 【解析】()1,120210x x y P y -⎧⇒-⎨--=+⎩=由于直线210x y +-=可看成直线l 先绕点P 逆时针方向旋转角α,再继续旋转2πα-角得到,则直线210x y +-=与直线l 垂直,即直线l 的斜率为12所以直线l 的方程为11(1)2y x +=-,即230x y --= 故答案为:230x y --=考点点睛:求直线的点斜式方程的步骤:定点(x 0、y 0)→定斜率k →写出方程y -y 0=k (x -x 0). 点斜式方程y -y 0=k ·(x -x 0)可表示过点P (x 0、y 0)的所有直线,但x =x 0除外.考点2、直线的斜截式方程例2.过点()3,0P作一直线,使它夹在两直线1l :220x y --=与2l:30x y ++=之间的线段AB 恰被点P 平分,则此直线的方程为______. 【答案】8240x y --= 【解析】设过点(3,0)P 的一条直线为l ,与1l 和2l 分别交于点,A B ,则点,A B 关于点P 对称. 设()00,22A x x -,则()006,22B x x --.将点B 坐标代入直线2l :30x y ++= 可得()0062230x x -+-+=,解得0113x =. 则1116716,,,3333A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以直线l 方程的斜率为160381133k -==-. 所以此直线方程为8(3)y x =-,整理后即为8240x y --=. 故答案为:8240x y --= 考点点睛:斜截式是点斜式的特例,应用斜截式方程时,应注意斜率不存在的情形.当k ≠0时,斜截式方程y =kx +b 是一次函数的形式;而一次函数y =kx +b 中,k 是直线的斜率,常数b 是直线在y 轴上的截距.考点3、直线的两点式方程例3.已知ABC ∆中,()3,2A ,(1,5)B -,点C 在直线330x y -+=上,若ABC ∆的面积为10,则点C 的坐标为______.【答案】()1,0-或5,83⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】设点C 到直线AB 的距离为d , 由题意知:5AB ==,11510,422ABC S AB d d d ∆=⋅=⨯⨯=∴=, 直线AB 的方程为235213y x --=---,即34170x y +-=, C 点在直线330x y -+=上,设()00,33C x x +,001553145x d x -∴===-=,00314,1x x ∴-=±∴=-或53,C 的坐标为()1,0-或5,83⎛⎫ ⎪⎝⎭,故答案为()1,0-或5,83⎛⎫⎪⎝⎭.考点点睛:对直线的两点式方程的理解:(1)方程也可写成y -y 2y 1-y 2=x -x 2x 1-x 2,两者形式有异但实质相同;(2)当直线斜率不存在(x 1=x 2)或斜率为零(y 1=y 2)时,不能用两点式表示;(3)如果将直线两点式转化为:(x 2-x 1)(y -y 1)=(y 2-y 1)(x -x 1),此时只要直线上两点不重合,都可以用它表示出来(即这个变形方程可以表示过任意已知两点的直线).考点4、直线的截距式方程例4.过点(-1,2)且在坐标轴上的截距相等的直线的一般式方程是______. 【答案】2x +y =0或x +y -1=0 【解析】当直线过原点时,斜率等于20210-=---,故直线的方程为2y x =-,即20x y +=,当直线不过原点时,设直线的方程为0x y m ++=,把()1,2P -代入直线的方程得1m =-,故求得的直线方程为 10x y +-=综上,满足条件的直线方程为430x y +=或10x y ++=,故答案为20x y += 或10x y +-=.考点点睛:(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式直线方程,用待定系数法确定其系数即可. (2)选用截距式直线方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.考点5、忽视截距为0的情形例5.过点(4,1)A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程是( ) A .5x y +=B .5x y -=C .5x y +=或40x y -=D .5x y -=或04=+y x【答案】C 【解析】设过点A(4,1)的直线方程为y-1=k(x-4)(k≠0), 令x=0,得y=1-4k;令y=0,得x=4-.由已知得1-4k=4-,∴k=-1或k=14, ∴所求直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.故选C.考点点睛:截距式方程中a ≠0,b ≠0,即直线与坐标轴垂直或直线过原点时不能用截距式方程.注意在两坐标轴上存在截距的直线不一定有截距式方程,此时在x 、y 轴上的截距均为0,即过原点.考点6、直线的一般式方程例6.已知点00(,)P x y 不在直线:0l Ax By C ++=上,则方程()000Ax By C Ax By C +++++=表示( )A .过点P 且与l 垂直的直线B .过点P 且与l 平行的直线C .不过点P 且与l 垂直的直线D .不过点P 且与l 平行的直线 【答案】D【解析】点()00,P x y 不在直线0Ax By C ++=上 000Ax By C ∴++≠∴直线()000Ax By C Ax By C +++++=不经过点P又直线()000Ax By C Ax By C +++++=与直线:0l Ax By C ++=平行∴方程()000Ax By C Ax By C +++++=不过点P 且与l 平行的直线本题正确选项:D考点7、直线的一般式方程的应用例7.已知直线l 的方程为()23y k x +=-. (1)若直线l 过原点,求实数k 的值. (2)求证:无论k 取何实数,直线l 恒过定点. (3)若直线l 不经过第三象限,求实数k 的取值范围. 【答案】(1)23k =-;(2)恒过定点()3,2-;(3)23k ≤- 【解析】(1) 直线l 过原点,所以()0203k +=-, 故23k =-; (2)令3020x y -=⎧⎨+=⎩ ,解得:32x y =⎧⎨=-⎩ ,即无论k 取何实数,直线l 恒过定点()3,2-;(3)由(2)得:直线l 不经过第三象限,则直线的纵截距230k --≥, 即 23k ≤-, 故实数k 的取值范围为23k ≤-.考点点睛:(1)在题目中出现“截距相等”、“截距互为相反数”、“一截距是另一截距的几倍”等条件时要全面考察,直线l 不经过某象限不要漏掉过原点的情况.(2)由直线的一般式方程Ax +By +C =0(A 2+B 2≠0)求直线在两轴上的截距时,令x =0得纵截距;令y =0得横截距.由两截距位置可知直线的位置.考点8、平行与垂直的应用例8.已知点()4,2P -和直线370l x y --=:.求: (1)过点P 与直线l 平行的直线方程; (2)过点P 与直线l 垂直的直线方程.【答案】(1)3140x y -+=; (2)320x y +-=. 【解析】(1)设所求直线的方程是()307x y m m -+=≠-, 点()4,2P -在直线上,()342m 0∴⨯-+-=,m 14∴=,即所求直线方程是3140x y -+=.(2)设所求直线的方程是30x y n ++=, 点()4,2P -在直线上, ∴432n 0+⨯+=-,n 2∴=-,即所求直线方程是320x y +-=.考点点睛:1.与直线Ax +By +C =0平行的直线可设为Ax +By +m =0(m ≠C ),与直线Ax +By +C =0垂直的直线可设为Bx -Ay +m =0.2.直线l 1∶A 1x +B 1y +C 1=0,直线l 2:A 2x +B 2y +C 2=0若l 1⊥l 2则:A 1A 2+B 1B 2=0;若A 1A 2+B 1B 2=0则l 1⊥l 2.若l 1∥l 2,则A 1B 2-A 2B 1=0,反之若A 1B 2-A 2B 1=0,则l 1∥l 2或l 1与l 2重合. 3.过一点与已知直线平行(垂直)的直线方程的求法:(1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写方程; (2)可利用如下待定系数法:与直线Ax +By +C =0平行的直线方程可设为Ax +By +C 1=0,再由直线所过的点确定C 1;与直线Ax +By +C =0垂直的直线方程可设为Bx -Ay +C 2=0,再由直线所过的点确定C 2.【基础精练】13.已知直线方程为()()221340m x m y m -++++=. (1)证明:直线恒过定点;(2)m 为何值时,点()3,4Q 到直线的距离最大,最大值为多少?(3)若直线分别与x 轴,y 轴的负半轴交于,A B 两点,求AOB 面积的最小值及此时直线的方程.【答案】(1)证明见解析(2)47=m ;3)最小值为4;此时直线的方程240x y ++= 【解析】(1)证明:直线方程为()()221340m x m y m -++++=,可化为()()24230x y m x y +++-++=,对任意m 都成立,所以230240x y x y -++=⎧⎨++=⎩,解得12x y =-⎧⎨=-⎩,所以直线恒过定点()1,2--;(2)解:点()3,4Q 到直线的距离最大,可知点Q 与定点()1,2P --的连线的距离就是所求最大值,=423312PQ k +==+, ()()221340m x m y m -++++=的斜率为23-,可得22321m m --=-+,解得47=m .(3)解:若直线分别与x 轴,y 轴的负半轴交于,A B 两点,直线方程为()21y k x +=+,k 0<, 则21,0A k ⎛⎫-⎪⎝⎭,()0,2B k -,()121221212224222AOB k S k k k k k -⎛⎫⎛⎫=--=--=++≥+= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭△,当且仅当2k =-时取等号,面积的最小值为4. 此时直线的方程240x y ++=.14.已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为()4,2A --,()4,2B ,()13C ,. (1)求边AB 上的高所在直线的一般式方程; (2)求边AB 上的中线所在直线的一般式方程. 【答案】(1)250x y +-=;(2)30x y -=. 【解析】(1)∵()4,2A --,()4,2B ,∴12AB k =, ∴边AB 上的高所在直线的一般式方程为,即250x y +-=(2)AB 的中点为D ,∵()4,2A --,()4,2B ∴()00D ,∴边AB 的中线CD 的斜率为3k =,∴边AB 上的中线CD 的一般式方程为30x y -=15.已知ABC ∆的三个顶点(),A m n 、()2,1B 、()2,3C -. (1)求BC 边所在直线的方程;(2)BC 边上中线AD 的方程为2360x y -+=,且7ABC S ∆=,求点A 的坐标. 【答案】(1)240x y +-=;(2)点A 坐标为()3,4、()3,0-【解析】(1)由()2,1B 、()2,3C -得BC 边所在直线方程为123122y x --=---,即240x y +-=.(2)BC ==A 到BC 边所在直线240x y +-=的距离为d =A 在直线2360x y -+=上,故1722360ABC S BC d m n ∆⎧=⋅⋅=⎪⎨⎪-+=⎩,即2472360m n m n ⎧+-=⎨-+=⎩,解得()3,4A 或()30A -,. 16.求适合下列条件的直线方程.(1)经过点(3,2)P 且在两坐标轴上的截距相等;(2)过点(1,1)A -与已知直线1:260l x y +-=相交于B 点且5AB =. 【答案】(1)230x y -=或50x y +-=;(2)1x =或3410x y ++=.【解析】(1)设直线l 在,x y 轴上的截距均为a , 若0a =,即l 过点(0,0)和(3,2),l ∴的方程为23y x =,即230x y -=. 若0a ≠,则设l 的方程为1x ya a +=,l 过点(3,2),321a a∴+=,5a ∴=,l ∴的方程为50x y +-=,综上可知,直线l 的方程为230x y -=或50x y +-=. (2)①过点(1,1)A -与y 轴平行的直线为1x =.解方程组1,260,x x y =⎧⎨+-=⎩求得B 点坐标为(1,4),此时5AB =, 即1x =为所求.②设过(1,1)A -且与y 轴不平行的直线为1(1)(2)y k x k +=-≠-,解方程组260,1(1).x y y k x +-=⎧⎨+=-⎩ 得两直线交点为7,242,2k x k k y k +⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩则B 点坐标为742,22k k k k +-⎛⎫⎪++⎝⎭. 22274211522k k k k +-⎛⎫⎛⎫∴-++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭, 解得34k =-,11(1)4y x ∴+=--,即3410x y ++=.综上可知,所求直线方程为1x =或3410x y ++=.17.已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -. (1)求AB 的中垂线方程;(2)求过点(2,3)P -且与直线AB 平行的直线l 的方程. 【答案】(1)34230x y --=; (2)4310x y ++=. 【解析】(1)8252+=,6222-+=- ∴AB 的中点坐标为()5,2- 624823AB k --==--,∴AB 的中垂线斜率为34∴由点斜式可得()3254y x +=- ∴AB 的中垂线方程为34230x y --=(2)由点斜式()4323y x +=-- ∴直线l 的方程4310x y ++=18.求分别满足下列条件的直线l 的方程.(1)经过直线220x y ++=和直线310x y ++=的交点且与直线2350x y ++=垂直; (2)与直线4310x y --=平行且与坐标轴围成的三角形面积为3.【答案】(1)32110x y --=;(2)430x y -+=或430x y --=. 【解析】(1)将220x y ++=与310x y ++=联立得220310x y x y ++=⎧⎨++=⎩,解得14x x =⎧⎨=-⎩ 所以交点坐标为()1,4-.由所求直线与直线2350x y ++=垂直,则所求直线斜率为32, 所以方程为)324(1y x +=-,从而所求直线方程为32110x y --=(2)依题意设直线方程为430x y m -+=,则直线过点,04m -⎛⎫⎪⎝⎭、0,3m ⎛⎫⎪⎝⎭所以13243m mS =-=,解得m =±故直线方程为430x y -+=或430x y --=【能力提升】11.直线l 过点()1,1A ,且l 在y 轴上的截距的取值范围为()0,2,则直线l 的斜率的取值范围为__________. 【答案】()1,1-【解析】设直线l 方程为11y k x -=-(), 令0x = ,可得1y k =-,∵直线l 在y 轴上的截距的取值范围是()0,2, 012,11k k ∴-∴-<<<<12.(江西省赣州市十四县(市)2018届高三下期中)记直线:210l x y -+=的倾斜角为α,则1tan2sin2αα+的值为________.【答案】112-【解析】∵直线:210l x y -+=的斜率为2, ∴tan 2α=,∴22222sin cos 2tan 224sin2=sin cos 1tan 125ααααααα⨯===+++, 222tan 224tan21tan 123ααα⨯===---, ∴1541tan2sin24312αα+=-=-. 答案: 112-13.(2019届高考全程训练)过点(-1,2)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是________. 【答案】或【解析】①所求的直线与两坐标轴的截距为时,设该直线的方程为.∵直线过点∴,即∴直线的方程为,即.②所求的直线与两坐标轴的截距不为时,设该直线的方程为.∵直线过点∴∴直线的方程为.综上,过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是或.故答案为或.14.(山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺)直线()sin 30x y R αα+-=∈的倾斜角的取值范围是_______.(6分) 【答案】3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】若sin 0α=,则直线的倾斜角为90;若sin 0α≠,则直线的斜率][()1,11,,sin k α=-∈-∞-⋃+∞设直线的倾斜角为θ,则][()tan ,11,θ∈-∞-⋃+∞,故,42ππθ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭ 3,24ππ⎛⎤⎥⎝⎦,综上可得直线的倾斜角的取值范围是3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,故答案为3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 15.已知直线l 过点()1,1A ,且l 在y 轴上的截距的取值范围为(0,2),则直线l 的斜率的取值范围是__________.(6分) 【答案】(-1,1)【解析】设直线l 的方程为:y −1=k(x −1),化为:y=kx+1−k , 由题意可得:0<1−k<2, 解得−1<k<1.∴直线l 的斜率的取值范围为(−1,1).16.(天津市七校(静海一中、杨村中学等)2017-2018学年高二上期中(文))一只虫子从点(0,0)出发,先爬行到直线:10l x y -+=上的P 点,再从P 点出发爬行到点(1,1)A ,则虫子爬行的最短路程是__________.(6分) 【答案】2【解析】如图所示:12345123451234512345xyO A B C设(1,1)A 关于直线1y x =+的对称点是(,)B a b , 连接OB 和直线1y x =+交于C 点, 则OC CA +最短, 由11111122b a b a -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪=+⎪⎩,解得(0,2)B ,故直线OB 和1y x =+的交点是(0,1), 故112OC CA +=+=. 故答案为:2.17.(四川省成都市2019届摸底)已知,,若直线与直线互相垂直,则的最大值是__________.(6分)【答案】. 【解析】因为直线与直线互相垂直,所以,,又,所以,当且仅当,即时,等号成立.所以的最大值为.18.等腰△ABC 的顶点A (-1,2),AC 3B (-3,2),求直线AC 、BC 及∠A 的平分线所在直线方程. 【答案】【解析】AC :y =3x +2+3. ∵AB∥x 轴,AC 的倾斜角为60°, ∴BC 倾斜角为30°或120°. 当α=30°时,BC 方程为y =33x +2+3,∠A 平分线倾斜角为120°, ∴所在直线方程为y =-3x +2-3.当α=120°时,BC 方程为y =-3x +2-3 3,∠A 平分线倾斜角为30°, ∴所在直线方程为y =3x +2+3. 19.设直线的方程为,根据下列条件分别求的值.(1)在轴上的截距为1; (2)斜率为1; (3)经过定点.【答案】(1)1;(2);(3)或.【解析】(1)∵直线过点P ′(1,0), ∴m 2-2m -3=2m -6. 解得m =3或m =1.又∵m =3时,直线l 的方程为y =0,不符合题意, ∴m =1.(2)由斜率为1,得解得m =.(3)直线过定点P (-1,-1),则- (m 2-2m -3)-(2m 2+m -1)=2m -6, 解得m =或m =-2. 20.(重庆市綦江区2017-2018学年高二上期末(文))(1)求经过点(1,1)且在x 轴上截距等于y 轴上截距的直线方程;(2)求过直线022=+-y x 与022=--y x 的交点,且与直线0143=++y x 垂直的直线方程. 【答案】(1)0=-y x 或02=-+y x ;(2)0234=--y x【解析】(1)当直线过原点时,直线方程为0=-y x ; ……2分 当直线不过原点时,由横纵截距相等可设横纵截距a ,直线方程为a y x =+……3分直线经过)1,1(∴a =+11即2=a∴直线方程为02=-+y x ……4分综上所述:直线方程为0=-y x 或02=-+y x ……6分 (2)由⎩⎨⎧=--=+-022022y x y x 得⎩⎨⎧==22y x ,交点为)2,2(.又因为所求直线与0143=++y x 垂直,所以所求直线斜率34=k 故所求直线方程为0234=--y x21.已知正方形的中心为直线2x -y +2=0,x +y +1=0的交点,正方形一边所在的直线方程为x +3y -5=0,求正方形其他三边的方程.【答案】3x -y +9=0,x +3y +7=0,3x -y -3=0.【解析】设与直线l :x +3y -5=0平行的边的直线方程为l 1:x +3y +c =0. 由22010x y x y -+=⎧⎨++=⎩,得正方形的中心坐标P (-1,0),由点P 到两直线l ,l 1的距离相等,=,得c =7或c =-5(舍去).∴l 1:x +3y +7=0. 又∵正方形另两边所在直线与l 垂直, ∴设另两边方程为3x -y +a =0,3x -y +b =0. ∵正方形中心到四条边的距离相等,=,得a =9或-3,∴另两条边所在的直线方程为 3x -y +9=0,3x -y -3=0. 综上,另三边所在的直线方程分别为 3x -y +9=0,x +3y +7=0,3x -y -3=0.。

直线的方程知识点总结

直线的方程知识点总结

直线的方程知识点总结一、直线的性质1. 直线的定义直线是由一组无限多个点构成的集合,在直线上任取两点,直线上的任意一点都可以表示为这两点的线性组合。

直线是一维的几何图形,可以用一个点和一个方向来描述。

2. 直线的斜率直线的斜率是描述直线倾斜程度的重要参数,斜率的计算公式为:m=(y2-y1)/(x2-x1),其中(x1, y1)和(x2, y2)是直线上的两个点。

斜率代表了直线与x轴正方向的夹角的正切值,斜率为正表示直线向右上方倾斜,斜率为负表示直线向右下方倾斜,斜率为零表示直线平行于x轴。

3. 直线的截距直线与坐标轴的交点称为直线的截距,可以分为x轴截距和y轴截距。

直线与x轴的交点的横坐标称为直线的x轴截距,直线与y轴的交点的纵坐标称为直线的y轴截距。

直线的斜截式方程就是以斜率和截距作为参数的直线方程表示形式。

4. 直线的性质直线是一维的几何图形,它具有以下性质:(1)两点确定一条直线(2)直线的斜率存在且唯一(3)平行于同一直线的两条直线的斜率相等(4)垂直于同一直线的两条直线的斜率互为相反数二、直线的方程表示形式1. 截距式方程直线的截距式方程是直线的一种表示形式,以截距作为参数。

一条直线的截距式方程可以表示为:x/a+y/b=1,其中a和b分别是直线与x轴和y轴的截距。

2. 斜截式方程直线的斜截式方程是直线的一种表示形式,以斜率和截距作为参数。

一条直线的斜截式方程可以表示为:y=mx+b,其中m是直线的斜率,b是直线与y轴的截距。

3. 一般式方程直线的一般式方程是直线的一种表示形式,以直线的一般系数作为参数。

一条直线的一般式方程可以表示为:Ax+By+C=0,其中A、B和C是直线的一般系数。

4. 对称式方程直线的对称式方程是直线的一种表示形式,以直线的斜率和截距的倒数作为参数。

一条直线的对称式方程可以表示为:xcosα+ysinα=p,其中α是直线的倾斜角,p是直线与原点的距离。

三、直线的求解方法1. 点斜式方程的求解点斜式方程是直线的一种表示形式,以直线上一点和直线的斜率作为参数。

高考数学直线方程知识点总结

高考数学直线方程知识点总结

高考数学直线方程知识点总结高考数学直线方程是高中数学中的一项基础知识,也是高考数学试题中经常出现的考点。

直线方程的掌握程度直接影响到解题的准确性和速度。

下面将对高考数学直线方程的知识点进行总结,希望对你的学习有所帮助。

一、直线的一般式方程直线的一般式方程表示为Ax+By+C=0。

通过两个点P(x1, y1)和Q(x2, y2)的坐标可以确定一条直线的一般式方程。

当直线过点P(x1, y1)且斜率存在时,直线的一般式方程可以表示为y-y1=k(x-x1),其中k为直线的斜率。

二、直线的斜截式方程直线的斜截式方程表示为y=kx+b。

其中k为直线的斜率,b为直线在y轴上的截距。

通过直线的斜截式方程可以确定一条直线在平面直角坐标系中的位置。

三、直线的点斜式方程直线的点斜式方程表示为y-y1=k(x-x1)。

其中k为直线的斜率,(x1, y1)为直线上的一点。

通过直线的点斜式方程可以确定一条直线在平面直角坐标系中的位置。

四、直线的截距式方程直线的截距式方程表示为x/a+y/b=1。

其中a、b为直线在x轴和y轴上的截距。

通过直线的截距式方程可以确定一条直线在平面直角坐标系中的位置。

五、直线的平行和垂直关系1. 平行关系:两条直线的斜率相等时,两条直线平行。

2. 垂直关系:两条直线的斜率的乘积为-1时,两条直线垂直。

六、直线的截线式方程直线的截线式方程表示为x/a+y/b=1。

其中a、b为直线在x轴和y轴上的截距。

通过直线的截截式方程可以确定一条直线在平面直角坐标系中与坐标轴的交点。

七、直线的交点和距离1. 直线的交点:两条直线的交点可以通过联立方程求解得到。

2. 直线的距离:设直线L的一般式方程为Ax+By+C1=0,点P(x0, y0)到直线L的距离为d=|Ax0+B y0+C1|/√(A²+B²)。

八、直线的性质和常见问题1. 直线的斜率和方向角:直线的斜率k=tanθ,其中θ为直线的方向角。

直线方程知识点总结

直线方程知识点总结

直线方程知识点总结一、直线的一般方程:直线的一般方程是Ax+By+C=0。

这里A、B和C都是实数,同时也不能同为零。

在一般方程中,A和B的值决定了直线的斜率和方向,C的值决定了直线与坐标轴的交点。

二、直线的斜截式方程:直线的斜截式方程是y=mx+b。

在这个方程中,m代表了直线的斜率,b代表直线在y 轴上的截距。

斜截式方程是一种非常直观和易于理解的形式,它可以帮助我们快速确定直线的斜率和截距。

三、直线的点斜式方程:直线的点斜式方程是y-y1=m(x-x1)。

其中m代表直线的斜率,而(x1,y1)代表直线上的某一点。

点斜式方程可以帮助我们通过一个点和斜率来确定一条直线。

四、直线的两点式方程:直线的两点式方程是(y-y1)/(x-x1)=(y-y2)/(x-x2)。

在这个方程中,(x1,y1)和(x2,y2)分别代表直线上的两个点。

两点式方程可以帮助我们通过两个点来确定一条直线。

五、直线的垂直和平行关系:如果两条直线的斜率的乘积为-1,则它们是垂直的;如果两条直线的斜率相等,则它们是平行的。

根据这个定义,我们可以很容易地确定两条直线之间的关系。

六、直线的距离及垂线方程:如果直线的一般方程是Ax+By+C=0,那么从点(x1,y1)到直线的距离可以用公式d=|Ax1+By1+C|/sqrt(A^2+B^2)来表示。

此外,我们还可以通过斜率m来求得垂线方程。

七、直线与坐标轴的交点:如果已知直线的一般方程Ax+By+C=0,那么它分别与x轴和y轴的交点可以用以下方式求得:1. 交x轴时,直线的交点为(-C/A, 0)2. 交y轴时,直线的交点为(0, -C/B)以上就是直线方程的一些基本知识点总结,通过掌握这些知识,我们可以更好地理解和运用直线方程,从而解决各种相关问题。

直线方程知识点归纳总结高中

直线方程知识点归纳总结高中

直线方程知识点归纳总结(高中)1. 直线的一般方程直线的一般方程可以表示为Ax + By + C = 0,其中A、B和C是实数,且A和B不同时为0。

例如,2x + 3y - 5 = 0就是一条直线的一般方程。

2. 直线的斜截式方程直线的斜截式方程可以表示为y = mx + b,其中m是直线的斜率,b是直线在y轴上的截距。

例如,y = 2x + 3就是一条直线的斜截式方程,斜率为2,截距为3。

3. 直线的点斜式方程直线的点斜式方程可以表示为y - y₁ = m(x - x₁),其中m是直线的斜率,(x₁, y₁)是直线上的一点。

例如,y - 2 = 3(x - 4)就是一条直线的点斜式方程,斜率为3,通过点(4, 2)。

4. 直线的两点式方程直线的两点式方程可以表示为(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁),其中(x₁, y₁)和(x₂, y₂)是直线上的两个点。

例如,(y - 1)/(x - 2) = (3 - 1)/(5 - 2)就是一条直线的两点式方程,通过点(2, 1)和(5, 3)。

5. 直线的垂直平行关系如果两条直线的斜率相等且截距不同,那么它们是平行的。

如果两条直线的斜率互为倒数,那么它们是垂直的。

6. 直线的角平分线直线的角平分线是指将一个角平分成两个相等的角的直线。

对于两条直线l₁和l₂,如果l₁和l₂的斜率之积为-1,那么l₁和l₂是互相垂直的。

7. 直线的距离公式直线Ax + By + C = 0到点(x₁, y₁)的距离可以用公式d = |Ax₁ + By₁ + C| / √(A² + B²)来计算。

8. 直线与坐标轴的交点直线与x轴的交点可以通过令y = 0来求解。

直线与y轴的交点可以通过令x = 0来求解。

这些交点可以作为直线的特殊点,用于确定直线的方程。

9. 直线的平移与旋转直线的平移可以通过改变直线的截距来实现。

高中直线方程知识点总结

高中直线方程知识点总结

高中直线方程知识点总结一、直线的斜率直线的斜率是指直线上任意两点之间的纵坐标的差值与横坐标的差值的比值。

直线的斜率可以通过斜率公式来计算,斜率公式为:m = (y2 - y1) / (x2 - x1)。

其中,m表示直线的斜率,(x1, y1)和(x2, y2)分别表示直线上的两个点的坐标。

二、直线的一般方程直线的一般方程形式为Ax + By + C = 0,其中A、B、C为实数,并且A和B不能同时为0。

一般方程中的A、B、C可以通过直线的斜率和截距来确定。

三、直线的截距直线的截距是指直线与坐标轴的交点。

直线与x轴的交点称为x截距,直线与y轴的交点称为y截距。

直线的截距可以通过一般方程的形式来确定。

四、直线的点斜式方程直线的点斜式方程是指通过直线上的一个点和直线的斜率来确定直线方程的形式。

点斜式方程的形式为:y - y1 = m(x - x1)。

其中,(x1, y1)为直线上的一个点的坐标,m为直线的斜率。

五、直线的斜截式方程直线的斜截式方程是指通过直线的斜率和y截距来确定直线方程的形式。

斜截式方程的形式为:y = mx + b。

其中,m为直线的斜率,b为直线的y截距。

六、直线的法线方程直线的法线方程是指与直线垂直的直线的方程形式。

设直线的斜率为m,法线的斜率为-k(k为任意实数),则法线方程的斜率为-k。

法线方程的形式为:y - y1 = -k(x - x1)。

其中,(x1, y1)为直线上的一个点的坐标。

七、直线的平行和垂直关系两条直线平行的充要条件是它们的斜率相等。

两条直线垂直的充要条件是它们的斜率的乘积为-1。

八、直线的倾斜角直线的倾斜角是指直线与x轴正方向之间的夹角。

直线的倾斜角可以通过直线的斜率来确定。

斜率为k的直线的倾斜角可以通过arctan(k)来计算。

九、直线与圆的交点直线与圆的交点可以通过将直线方程代入圆的方程来求解。

将直线方程代入圆的方程后,可以得到一个关于x的二次方程,通过解这个二次方程可以求得直线与圆的交点的x坐标,再将x坐标代入直线方程可以求得对应的y坐标。

高考数学直线方程知识点总结(2篇)

高考数学直线方程知识点总结(2篇)

高考数学直线方程知识点总结1.直线的倾斜角:一条直线向上的方向与轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角,其中直线与轴平行或重合时,其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是.注:①当或时,直线垂直于轴,它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角,除与轴垂直的直线不存在斜率外,其余每一条直线都有惟一的斜率,并且当直线的斜率一定时,其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式:点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地,当直线经过两点,即直线在轴,轴上的截距分别为时,直线方程是:.注:若是一直线的方程,则这条直线的方程是,但若则不是这条线.附:直线系:对于直线的斜截式方程,当均为确定的数值时,它表示一条确定的直线,如果变化时,对应的直线也会变化.①当为定植,变化时,它们表示过定点(0,)的直线束.②当为定值,变化时,它们表示一组平行直线.3.⑴两条直线平行:∥两条直线平行的条件是:①和是两条不重合的直线.②在和的斜率都存在的前提下得到的.因此,应特别注意,抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.(一般的结论是:对于两条直线,它们在轴上的纵截距是,则∥,且或的斜率均不存在,即是平行的必要不充分条件,且)推论:如果两条直线的倾斜角为则∥.⑵两条直线垂直:两条直线垂直的条件:①设两条直线和的斜率分别为和,则有这里的前提是的斜率都存在.②,且的斜率不存在或,且的斜率不存在.(即是垂直的充要条件)4.直线的交角:⑴直线到的角(方向角);直线到的角,是指直线绕交点依逆时针方向旋转到与重合时所转动的角,它的范围是,当时.⑵两条相交直线与的夹角:两条相交直线与的夹角,是指由与相交所成的四个角中最小的正角,又称为和所成的角,它的取值范围是,当,则有.5.过两直线的交点的直线系方程为参数,不包括在内)____点到直线的距离:⑴点到直线的距离公式:设点,直线到的距离为,则有.注:1.两点P1(____1,y1)、P2(____2,y2)的距离公式:.特例:点P(____,y)到原点O的距离:2.定比分点坐标分式。

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1.直线的倾斜角(1)定义:当直线l 与x 轴相交时,取x 轴作为基准,x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°. (2)范围:直线l 倾斜角的范围是[0°,180°). 2.斜率公式(1)若直线l 的倾斜角α≠90°,则斜率k =tan α.(2)P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)在直线l 上且x 1≠x 2,则l 的斜率k =y 2-y 1x 2-x 1.3.直线方程的五种形式【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.( √ ) (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.( × ) (3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.( × ) (4)直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.( × ) (5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( × )(6)经过任意两个不同的点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)的直线都可以用方程(y -y 1)(x 2-x 1)=(x -x 1)(y 2-y 1)表示.( √ )1.(2016·天津模拟)过点M (-2,m ),N (m,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为( ) A .1 B .4 C .1或3 D .1或4答案 A解析 依题意得m -4-2-m=1,解得m =1.2.(2016·合肥一六八中学检测)直线x +(a 2+1)y +1=0的倾斜角的取值范围是( ) A .[0,π4]B .[3π4,π)C .[0,π4]∪(π2,π)D .[π4,π2)∪[3π4,π)答案 B解析 由直线方程可得该直线的斜率为-1a 2+1,又-1≤-1a 2+1<0,所以倾斜角的取值范围是[3π4,π).3.如果A ·C <0且B ·C <0,那么直线Ax +By +C =0不通过( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限 答案 C解析 由已知得直线Ax +By +C =0在x 轴上的截距-C A >0,在y 轴上的截距-CB >0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.4.(教材改编)直线l :ax +y -2-a =0在x 轴和y 轴上的截距相等,则实数a = . 答案 1或-2解析 令x =0,得直线l 在y 轴上的截距为2+a ; 令y =0,得直线l 在x 轴上的截距为1+2a ,依题意2+a =1+2a,解得a =1或a =-2.5.过点A (2,-3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 .答案 3x +2y =0或x -y -5=0解析 ①当直线过原点时,直线方程为y =-32x ,即3x +2y =0;②当直线不过原点时,设直线方程为x a -ya =1,即x -y =a ,将点A (2,-3)代入,得a =5,即直线方程为x -y -5=0.故所求直线的方程为3x +2y =0或x -y -5=0.题型一 直线的倾斜角与斜率例1 (1)(2016·北京东城区期末)已知直线l 的倾斜角为α,斜率为k ,那么“α>π3”是“k >3”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件(2)直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围为 .答案 (1)B (2)(-∞,-3]∪[1,+∞) 解析 (1)当π2<α<π时,k <0;当k >3时,π3<α<π2.所以“α>π3”是“k >3”的必要不充分条件,故选B.(2)如图,∵k AP =1-02-1=1,k BP =3-00-1=-3, ∴k ∈(-∞,- 3 ]∪[1,+∞). 引申探究1.若将本例(2)中P (1,0)改为P (-1,0),其他条件不变,求直线l 斜率的取值范围. 解 ∵P (-1,0),A (2,1),B (0,3), ∴k AP =1-02-(-1)=13,k BP =3-00-(-1)= 3.如图可知,直线l 斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤13,3.2.若将本例(2)中的B 点坐标改为(2,-1),其他条件不变,求直线l 倾斜角的范围. 解 如图,直线P A 的倾斜角为45°,直线PB 的倾斜角为135°,由图象知l 的倾斜角的范围为[0°,45°]∪[135°,180°).思维升华 直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分⎣⎡⎭⎫0,π2与⎝⎛⎭⎫π2,π两种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当α∈⎣⎡⎭⎫0,π2时,斜率k ∈[0,+∞);当α=π2时,斜率不存在;当α∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,斜率k ∈(-∞,0).(2017·南昌月考)已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y =2-x 2相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取到最大值时,直线l 的倾斜角为( ) A .150° B .135° C .120° D .不存在 答案 A解析 由y =2-x 2得x 2+y 2=2(y ≥0),它表示以原点O 为圆心,以2为半径的圆的一部分,其图象如图所示.显然直线l 的斜率存在,设过点P (2,0)的直线l 为y =k (x -2),则圆心到此直线的距离d =|2k |1+k 2, 弦长|AB |=22-(|2k |1+k 2)2=22-2k 21+k 2, 所以S △AOB =12×|2k |1+k 2×22-2k 21+k 2≤(2k )2+2-2k 22(1+k 2)=1,当且仅当(2k )2=2-2k 2,即k 2=13时等号成立,由图可得k =-33(k =33舍去),故直线l 的倾斜角为150°. 题型二 求直线的方程例2 根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为1010; (2)经过点P (4,1),且在两坐标轴上的截距相等; (3)直线过点(5,10),到原点的距离为5.解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式. 设倾斜角为α,则sin α=1010(0<α<π), 从而cos α=±31010,则k =tan α=±13.故所求直线方程为y =±13(x +4).即x +3y +4=0或x -3y +4=0. (2)设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a . 若a =0,即l 过点(0,0)及(4,1), ∴l 的方程为y =14x ,即x -4y =0.若a ≠0,则设l 的方程为x a +ya =1,∵l 过点(4,1),∴4a +1a =1,∴a =5,∴l 的方程为x +y -5=0.综上可知,直线l 的方程为x -4y =0或x +y -5=0.(3)当斜率不存在时,所求直线方程为x -5=0; 当斜率存在时,设其为k ,则所求直线方程为y -10=k (x -5), 即kx -y +(10-5k )=0. 由点到直线的距离公式,得|10-5k |k 2+1=5,解得k =34.故所求直线方程为3x -4y +25=0.综上知,所求直线方程为x -5=0或3x -4y +25=0.思维升华 在求直线方程时,应先选择适当的直线方程的形式,并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时,直线的斜率必须存在,而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线,截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时,若采用截距式,应注意分类讨论,判断截距是否为零;若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况.求适合下列条件的直线方程:(1)经过点P (3,2)且在两坐标轴上的截距相等;(2)过点A (-1,-3),斜率是直线y =3x 的斜率的-14倍;(3)过点A (1,-1)与已知直线l 1:2x +y -6=0相交于B 点且|AB |=5. 解 (1)设直线l 在x ,y 轴上的截距均为a , 若a =0,即l 过点(0,0)和(3,2), ∴l 的方程为y =23x ,即2x -3y =0.若a ≠0,则设l 的方程为x a +ya =1,∵l 过点(3,2),∴3a +2a =1,∴a =5,∴l 的方程为x +y -5=0,综上可知,直线l 的方程为2x -3y =0或x +y -5=0. (2)设所求直线的斜率为k ,依题意k =-14×3=-34.又直线经过点A (-1,-3),因此所求直线方程为y +3=-34(x +1),即3x +4y +15=0.(3)过点A (1,-1)与y 轴平行的直线为x =1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x =1,2x +y -6=0,求得B 点坐标为(1,4),此时|AB |=5,即x =1为所求.设过A (1,-1)且与y 轴不平行的直线为 y +1=k (x -1),解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x +y -6=0,y +1=k (x -1).得两直线交点为⎩⎪⎨⎪⎧x =k +7k +2,y =4k -2k +2(k ≠-2,否则与已知直线平行),则B 点坐标为(k +7k +2,4k -2k +2).∴(k +7k +2-1)2+(4k -2k +2+1)2=52, 解得k =-34,∴y +1=-34(x -1),即3x +4y +1=0.综上可知,所求直线方程为x =1或3x +4y +1=0. 题型三 直线方程的综合应用命题点1 与基本不等式相结合求最值问题例3 已知直线l 过点P (3,2),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程.解 方法一 设直线方程为x a +yb =1(a >0,b >0),把点P (3,2)代入得3a +2b=1≥26ab,得ab ≥24, 从而S △AOB =12ab ≥12,当且仅当3a =2b 时等号成立,这时k =-b a =-23,从而所求直线方程为2x +3y -12=0.方法二 依题意知,直线l 的斜率k 存在且k <0. 则直线l 的方程为y -2=k (x -3)(k <0), 且有A ⎝⎛⎭⎫3-2k ,0,B (0,2-3k ), ∴S △ABO =12(2-3k )⎝⎛⎭⎫3-2k=12⎣⎡⎦⎤12+(-9k )+4(-k )≥12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12+2 (-9k )·4(-k )=12×(12+12)=12. 当且仅当-9k =4-k,即k =-23时,等号成立.即△ABO 的面积的最小值为12. 故所求直线的方程为2x +3y -12=0. 命题点2 由直线方程解决参数问题例4 已知直线l 1:ax -2y =2a -4,l 2:2x +a 2y =2a 2+4,当0<a <2时,直线l 1,l 2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a 的值.解 由题意知直线l 1,l 2恒过定点P (2,2),直线l 1在y 轴上的截距为2-a ,直线l 2在x 轴上的截距为a 2+2,所以四边形的面积S =12×2×(2-a )+12×2×(a 2+2)=a 2-a +4=⎝⎛⎭⎫a -122+154,当a =12时,面积最小. 思维升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件,由直线方程的几种特殊形式直接写出方程. (3)求参数值或范围.注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程,再结合函数的单调性或基本不等式求解.(2016·潍坊模拟)直线l 过点P (1,4),分别交x 轴的正半轴和y 轴的正半轴于A ,B 两点,O 为坐标原点,当|OA |+|OB |最小时,求直线l 的方程. 解 依题意,直线l 的斜率存在且斜率为负, 设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为y -4=k (x -1)(k <0). 令y =0,可得A (1-4k ,0);令x =0,可得B (0,4-k ). |OA |+|OB |=(1-4k )+(4-k )=5-(k +4k )=5+(-k +4-k)≥5+4=9. ∴当且仅当-k =4-k且k <0,即k =-2时,|OA |+|OB |取最小值. 这时直线l 的方程为2x +y -6=0.11.求与截距有关的直线方程典例 设直线l 的方程为(a +1)x +y +2-a =0(a ∈R ). (1)若l 在两坐标轴上的截距相等,求直线l 的方程; (2)若l 在两坐标轴上的截距互为相反数,求a . 错解展示现场纠错解 (1)当直线过原点时,该直线在x 轴和y 轴上的截距为零,∴a =2,方程即为3x +y =0. 当直线不经过原点时,截距存在且均不为0. ∴a -2a +1=a -2,即a +1=1. ∴a =0,方程即为x +y +2=0.综上,直线l 的方程为3x +y =0或x +y +2=0. (2)由a -2a +1=-(a -2)得a -2=0或a +1=-1,∴a =2或a =-2.纠错心得 在求与截距有关的直线方程时,注意对直线的截距是否为零进行分类讨论,防止忽视截距为零的情形,导致产生漏解.1.(2016·北京顺义区检测)若直线y =-2x +3k +14与直线x -4y =-3k -2的交点位于第四象限,则实数k 的取值范围是( ) A .-6<k <-2 B .-5<k <-3 C .k <-6 D .k >-2答案 A解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y =-2x +3k +14,x -4y =-3k -2得⎩⎪⎨⎪⎧x =k +6,y =k +2,因为直线y =-2x +3k +14与直线x -4y =-3k -2的交点位于第四象限, 所以k +6>0且k +2<0,所以-6<k <-2.2.(2016·威海模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y =-x -1的倾斜角小π4的直线方程是( )A .x =2B .y =1C .x =1D .y =2答案 A解析 ∵直线y =-x -1的斜率为-1,则倾斜角为3π4,依题意,所求直线的倾斜角为3π4-π4=π2,∴斜率不存在,∴过点(2,1)的所求直线方程为x =2.3.(2016·合肥检测)已知点A 在直线x +2y -1=0上,点B 在直线x +2y +3=0上,线段AB 的中点为P (x 0,y 0),且满足y 0>x 0+2,则y 0x 0的取值范围为( )A .(-12,-15)B .(-∞,-15]C .(-12,-15]D .(-12,0)答案 A解析 设A (x 1,y 1),y 0x 0=k ,则y 0=kx 0,∵AB 的中点为P (x 0,y 0),∴B (2x 0-x 1,2y 0-y 1). ∵A ,B 分别在直线x +2y -1=0和x +2y +3=0上, ∴x 1+2y 1-1=0,2x 0-x 1+2(2y 0-y 1)+3=0, ∴2x 0+4y 0+2=0,即x 0+2y 0+1=0.∵y 0=kx 0,∴x 0+2kx 0+1=0,即x 0=-11+2k.又y 0>x 0+2,∴kx 0>x 0+2,即(k -1)x 0>2, 即(k -1)(-11+2k )>2,即5k +12k +1<0, 解得-12<k <-15.故选A.4.已知两点M (2,-3),N (-3,-2),直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( ) A .k ≥34或k ≤-4B .-4≤k ≤34C.34≤k ≤4 D .-34≤k ≤4答案 A解析 如图所示,∵k PN =1-(-2)1-(-3)=34,k PM =1-(-3)1-2=-4. ∴要使直线l 与线段MN 相交, 当l 的倾斜角小于90°时,k ≥k PN ; 当l 的倾斜角大于90°时,k ≤k PM , 由已知得k ≥34或k ≤-4.5.直线ax +by +c =0同时要经过第一、二、四象限,则a ,b ,c 应满足( ) A .ab >0,bc <0 B .ab >0,bc >0 C .ab <0,bc >0 D .ab <0,bc <0 答案 A解析 由于直线ax +by +c =0经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方程变形为y =-a b x -cb .易知-a b <0且-cb>0,故ab >0,bc <0.6.如图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则 ( )A .k 1<k 2<k 3B .k 3<k 1<k 2C .k 3<k 2<k 1D .k 1<k 3<k 2 答案 D解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角,故k 1<0,直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3,所以0<k 3<k 2,因此k 1<k 3<k 2,故选D.7.已知A (3,0),B (0,4),直线AB 上一动点P (x ,y ),则xy 的最大值是 . 答案 3解析 直线AB 的方程为x 3+y4=1,∵动点P (x ,y )在直线AB 上,则x =3-34y ,∴xy =3y -34y 2=34(-y 2+4y )=34[-(y -2)2+4]≤3. 即当P 点坐标为⎝⎛⎭⎫32,2时,xy 取最大值3.8.(2016·潍坊模拟)直线l 过点(-2,2)且与x 轴,y 轴分别交于点(a,0),(0,b ),若|a |=|b |,则直线l 的方程为 . 答案 x +y =0或x -y +4=0解析 若a =b =0,则直线l 过点(0,0)与(-2,2),直线l 的斜率k =-1,直线l 的方程为y =-x ,即x +y =0. 若a ≠0,b ≠0,则直线l 的方程为x a +yb=1,由题意知⎩⎪⎨⎪⎧-2a +2b =1,|a |=|b |,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-4,b =4,此时,直线l 的方程为x -y +4=0.9.设点A (-1,0),B (1,0),直线2x +y -b =0与线段AB 相交,则b 的取值范围是 . 答案 [-2,2]解析 b 为直线y =-2x +b 在y 轴上的截距,如图,当直线y =-2x +b 过点A (-1,0)和点B (1,0)时,b 分别取得最小值和最大值.∴b 的取值范围是[-2,2].10.(2016·山师大附中模拟)函数y =a 1-x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在mx +ny -1=0(mn >0)上,则1m +1n 的最小值为 .答案 4解析 ∵函数y =a 1-x (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A (1,1).∴把A (1,1)代入直线方程得m +n =1(mn >0). ∴1m +1n =(1m +1n )·(m +n )=2+n m +m n ≥4 (当且仅当m =n =12时取等号),∴1m +1n的最小值为4. 11.(2016·太原模拟)已知两点A (-1,2),B (m,3). (1)求直线AB 的方程; (2)已知实数m ∈[-33-1,3-1],求直线AB 的倾斜角α的取值范围. 解 (1)当m =-1时,直线AB 的方程为x =-1, 当m ≠-1时,直线AB 的方程为y -2=1m +1(x +1).即x -(m +1)y +2m +3=0. (2)①当m =-1时,α=π2;②当m ≠-1时,m +1∈[-33,0)∪(0,3],∴k =1m +1∈(-∞,-3]∪[33,+∞),∴α∈[π6,π2)∪(π2,2π3].综合①②知,直线AB 的倾斜角α∈[π6,2π3].12.已知点P (2,-1).(1)求过点P 且与原点的距离为2的直线l 的方程;(2)求过点P 且与原点的距离最大的直线l 的方程,最大距离是多少?(3)是否存在过点P 且与原点的距离为6的直线?若存在,求出方程;若不存在,请说明理由. 解 (1)过点P 的直线l 与原点的距离为2,而点P 的坐标为(2,-1),显然,过点P (2,-1)且垂直于x 轴的直线满足条件,此时直线l 的斜率不存在,其方程为x =2. 若斜率存在,设l 的方程为y +1=k (x -2), 即kx -y -2k -1=0. 由已知得|-2k -1|k 2+1=2, 解得k =34.此时l 的方程为3x -4y -10=0.综上可得直线l 的方程为x =2或3x -4y -10=0.(2)作图可得过点P 与原点O 的距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线,如图所示.由l ⊥OP ,得k l k OP =-1, 所以k l =-1k OP =2.由直线方程的点斜式, 得y +1=2(x -2), 即2x -y -5=0.所以直线2x -y -5=0是过点P 且与原点O 的距离最大的直线,最大距离为|-5|5= 5.(3)由(2)可知,过点P 不存在到原点的距离超过5的直线,因此不存在过点P 且到原点的距离为6的直线.*13.如图,射线OA 、OB 分别与x 轴正半轴成45°和30°角,过点P (1,0)作直线AB 分别交OA 、OB 于A 、B 两点,当AB 的中点C 恰好落在直线y =12x 上时,求直线AB 的方程.解 由题意可得k OA =tan 45°=1, k OB =tan(180°-30°)=-33, 所以直线l OA :y =x ,l OB :y =-33x . 设A (m ,m ),B (-3n ,n ), 所以AB 的中点C ⎝⎛⎭⎪⎫m -3n 2,m +n 2,由点C 在直线y =12x 上,且A 、P 、B 三点共线得⎩⎪⎨⎪⎧m +n 2=12·m -3n 2,m -0m -1=n -0-3n -1,解得m =3,所以A (3,3).又P (1,0),所以k AB =k AP =33-1=3+32,所以l AB :y =3+32(x -1),即直线AB 的方程为(3+3)x -2y -3-3=0.1.判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法:利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系. d <r ⇔相交;d =r ⇔相切;d >r ⇔相离. (2)代数法:――→判别式Δ=b 2-4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔相交;=0⇔相切;<0⇔相离.2.圆与圆的位置关系设圆O 1:(x -a 1)2+(y -b 1)2=r 21(r 1>0), 圆O 2:(x -a 2)2+(y -b 2)2=r 22(r 2>0).【知识拓展】1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程为x 0x +y 0y =r 2.(2)过圆(x -a )2+(y -b )2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程为(x 0-a )(x -a )+(y 0-b )(y -b )=r 2.(3)过圆x 2+y 2=r 2外一点M (x 0,y 0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x 0x +y 0y =r 2. 2.圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数:①内含:0条;②内切:1条;③相交:2条;④外切:3条;⑤外离:4条.(2)当两圆相交时,两圆方程(x 2,y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解,则两圆外切.( × )(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和,则两圆相交.( × )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.( × )(4)过圆O :x 2+y 2=r 2上一点P (x 0,y 0)的圆的切线方程是x 0x +y 0y =r 2.( √ )(5)过圆O :x 2+y 2=r 2外一点P (x 0,y 0)作圆的两条切线,切点分别为A ,B ,则O ,P ,A ,B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x +y 0y =r 2.( √ )1.(教材改编)圆(x -1)2+(y +2)2=6与直线2x +y -5=0的位置关系是( ) A .相切 B .相交但直线不过圆心 C .相交过圆心 D .相离答案 B解析 由题意知圆心(1,-2)到直线2x +y -5=0的距离d =|2×1-2-5|22+1=5<6且2×1+(-2)-5≠0,所以直线与圆相交但不过圆心.2.(2016·全国甲卷)圆x 2+y 2-2x -8y +13=0的圆心到直线ax +y -1=0的距离为1,则a 等于( )A .-43B .-34 C. 3 D .2答案 A解析 由圆的方程x 2+y 2-2x -8y +13=0,得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d =|1×a +4-1|1+a 2=1,解之得a =-43.3.(2016·西安模拟)若直线x -y +1=0与圆(x -a )2+y 2=2有公共点,则实数a 的取值范围是( )A .[-3,-1]B .[-1,3]C .[-3,1]D .(-∞,-3]∪[1,+∞)答案 C解析 由题意可得,圆的圆心为(a,0),半径为2, ∴|a -0+1|12+(-1)2≤2,即|a +1|≤2,解得-3≤a ≤1.4.(2016·黑龙江大庆实验中学检测)已知圆C 1:(x -2)2+(y -3)2=1,圆C 2:(x -3)2+(y -4)2=9,M ,N 分别是圆C 1,C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PM |+|PN |的最小值为( ) A .6-2 2B .52-4C.17-1D.17答案 B解析 圆C 1关于x 轴对称的圆C 1′的圆心为C 1′(2,-3),半径不变,圆C 2的圆心为(3,4),半径r =3,|PM |+|PN |的最小值为圆C 1′和圆C 2的圆心距减去两圆的半径,所以|PM |+|PN |的最小值为(3-2)2+(4+3)2-1-3=52-4.5.已知圆C 1:(x -a )2+(y +2)2=4与圆C 2:(x +b )2+(y +2)2=1外切,则ab 的最大值为________. 答案 94解析 由两圆外切可得圆心(a ,-2),(-b ,-2)之间的距离等于两圆半径之和, 即(a +b )2=(2+1)2,即9=a 2+b 2+2ab ≥4ab , 所以ab ≤94,当且仅当a =b 时取等号,即ab 的最大值是94.题型一 直线与圆的位置关系的判断例1 (1)已知点M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,则直线ax +by =1与圆O 的位置关系是( ) A .相切 B .相交 C .相离D .不确定(2)(2016·江西吉安月考)圆x 2+y 2-2x +4y =0与直线2tx -y -2-2t =0(t ∈R )的位置关系为( ) A .相离 B .相切C .相交D .以上都有可能答案 (1)B (2)C解析 (1)因为M (a ,b )在圆O :x 2+y 2=1外,所以a 2+b 2>1,而圆心O 到直线ax +by =1的距离d =|a ·0+b ·0-1|a 2+b 2=1a 2+b 2<1. 所以直线与圆相交.(2)直线2tx -y -2-2t =0恒过点(1,-2), ∵12+(-2)2-2×1+4×(-2)=-5<0, ∴点(1,-2)在圆x 2+y 2-2x +4y =0内.直线2tx -y -2-2t =0与圆x 2+y 2-2x +4y =0相交, 故选C.思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法:利用d与r的关系.(2)代数法:联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法:若直线恒过定点且定点在圆内,可判断直线与圆相交.上述方法中最常用的是几何法,点与圆的位置关系法适用于动直线问题.已知方程x2+xtan θ-1sin θ=0有两个不等实根a和b,那么过点A(a,a2),B(b,b2)的直线与圆x2+y2=1的位置关系是________.答案相切解析由题意可知过A,B两点的直线方程为(a+b)x-y-ab=0,圆心到直线AB的距离d=|-ab| (a+b)2+1,而a+b=-1tan θ,ab=-1sin θ,因此d=⎪⎪⎪⎪1sin θ⎝⎛⎭⎫-1tan θ2+1,化简后得d=1,故直线与圆相切.题型二圆与圆的位置关系例2(1)(2016·山东)已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线x+y=0所得线段的长度是22,则圆M与圆N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2017·重庆调研)如果圆C:x2+y2-2ax-2ay+2a2-4=0与圆O:x2+y2=4总相交,那么实数a的取值范围是______________________.答案(1)B(2)(-22,0)∪(0,22)解析(1)∵圆M:x2+(y-a)2=a2(a>0),∴圆心坐标为M(0,a),半径r1为a,圆心M到直线x+y=0的距离d=|a|2,由几何知识得⎝⎛⎭⎫|a|22+(2)2=a2,解得a=2.∴M(0,2),r1=2.又圆N的圆心坐标N(1,1),半径r2=1,∴|MN|=(1-0)2+(1-2)2=2,r1+r2=3,r1-r2=1.∴r1-r2<|MN|<r1+r2,∴两圆相交,故选B.(2)圆C的标准方程为(x-a)2+(y-a)2=4,圆心坐标为(a,a),半径为2. 依题意得0<a2+a2<2+2,∴0<|a|<2 2.∴a∈(-22,0)∪(0,22).思维升华判断圆与圆的位置关系时,一般用几何法,其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长;(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ,求r 1+r 2,|r 1-r 2|; (3)比较d ,r 1+r 2,|r 1-r 2|的大小,写出结论.已知两圆x 2+y 2-2x -6y -1=0和x 2+y 2-10x -12y +m =0.(1)m 取何值时两圆外切; (2)m 取何值时两圆内切;(3)求m =45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.解 两圆的标准方程分别为(x -1)2+(y -3)2=11,(x -5)2+(y -6)2=61-m , 圆心分别为M (1,3),N (5,6),半径分别为11和61-m . (1)当两圆外切时,(5-1)2+(6-3)2=11+61-m , 解得m =25+1011.(2)当两圆内切时,因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5, 故只有61-m -11=5,解得m =25-1011. (3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2+y 2-2x -6y -1)-(x 2+y 2-10x -12y +45)=0, 即4x +3y -23=0,所以公共弦长为 2(11)2-(|4×1+3×3-23|42+32)2=27.题型三 直线与圆的综合问题 命题点1 求弦长问题例3 (2016·全国丙卷)已知直线l :mx +y +3m -3=0与圆x 2+y 2=12交于A ,B 两点,过A ,B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ,D 两点,若|AB |=23,则|CD |=________. 答案 4解析 设AB 的中点为M ,由题意知,圆的半径R =23,|AB |=23,所以|OM |=3,解得m =-33,由⎩⎨⎧x -3y +6=0,x 2+y 2=12解得A (-3,3),B (0,23),则AC 的直线方程为y -3=-3(x +3), BD 的直线方程为y -23=-3x ,令y =0,解得C (-2,0),D (2,0),所以|CD |=4.命题点2 直线与圆相交求参数范围例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C :(x -2)2+(y -3)2=1交于M ,N 两点. (1)求k 的取值范围;(2)若OM →·ON →=12,其中O 为坐标原点,求|MN |. 解 (1)由题设,可知直线l 的方程为y =kx +1, 因为l 与C 交于两点,所以|2k -3+1|1+k2<1. 解得4-73<k <4+73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4-73,4+73. (2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将y =kx +1代入方程(x -2)2+(y -3)2=1,整理得 (1+k 2)x 2-4(1+k )x +7=0. 所以x 1+x 2=4(1+k )1+k 2,x 1x 2=71+k 2. OM →·ON →=x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1 =4k (1+k )1+k 2+8. 由题设可得4k (1+k )1+k 2+8=12,解得k =1,所以l 的方程为y =x +1. 故圆心C 在l 上,所以|MN |=2. 命题点3 直线与圆相切的问题例5 已知圆C :(x -1)2+(y +2)2=10,求满足下列条件的圆的切线方程. (1)与直线l 1:x +y -4=0平行; (2)与直线l 2:x -2y +4=0垂直; (3)过切点A (4,-1).解 (1)设切线方程为x +y +b =0, 则|1-2+b |2=10,∴b =1±25, ∴切线方程为x +y +1±25=0. (2)设切线方程为2x +y +m =0,则|2-2+m |5=10,∴m =±52, ∴切线方程为2x +y ±52=0. (3)∵k AC =-2+11-4=13,∴过切点A (4,-1)的切线斜率为-3,∴过切点A (4,-1)的切线方程为y +1=-3(x -4), 即3x +y -11=0.思维升华 直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法,即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形. (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径,从而建立关系解决问题.(1)(2015·课标全国Ⅱ)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M 、N 两点,则|MN |等于( )A .2 6B .8C .4 6D .10(2)若直线x cos θ+y sin θ-1=0与圆(x -1)2+(y -sin θ)2=116相切,且θ为锐角,则该直线的斜率是( ) A .-33 B .- 3 C.33D. 3 答案 (1)C (2)A解析 (1)由已知,得AB →=(3,-1),BC →=(-3,-9), 则AB →·BC →=3×(-3)+(-1)×(-9)=0, 所以AB →⊥BC →,即AB ⊥BC ,故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径, 得其方程为(x -1)2+(y +2)2=25, 令x =0,得(y +2)2=24,解得y 1=-2-26,y 2=-2+26, 所以|MN |=|y 1-y 2|=46,选C.(2)依题意得,圆心到直线的距离等于半径, 即|cos θ+sin 2θ-1|=14,|cos θ-cos 2θ|=14,所以cos θ-cos 2θ=14或cos θ-cos 2θ=-14(不符合题意,舍去).由cos θ-cos 2θ=14,得cos θ=12,又θ为锐角,所以sin θ=32, 故该直线的斜率是-cos θsin θ=-33,故选A.7.高考中与圆交汇问题的求解考点分析 与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值,求点到直线的距离的最值,求相关参数的最值等方面.解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化;直线与圆的综合问题主要包括弦长问题,切线问题及组成图形面积问题,解决方法主要依据圆的几何性质.一、与圆有关的最值问题典例1 (1)(2015·湖南)已知点A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上运动,且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0),则|P A →+PB →+PC →|的最大值为( ) A .6 B .7 C .8 D .9(2)过点(2,0)引直线l 与曲线y =1-x 2相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于( ) A.33 B .-33 C .±33D .- 3 解析 (1)∵A ,B ,C 在圆x 2+y 2=1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆的直径,故P A →+PC →=2PO →=(-4,0),设B (x ,y ),则x 2+y 2=1且x ∈[-1,1],PB →=(x -2,y ),∴P A →+PB →+PC →=(x -6,y ).故|P A →+PB →+PC →|=-12x +37, ∴当x =-1时有最大值49=7,故选B. (2)∵S △AOB =12|OA ||OB |sin ∠AOB=12sin ∠AOB ≤12. 当∠AOB =π2时,△AOB 面积最大. 此时O 到AB 的距离d =22.设AB 方程为y =k (x -2)(k <0), 即kx -y -2k =0.由d =|2k |k 2+1=22得k =-33.(也可k =-tan ∠OPH =-33). 答案 (1)B (2)B 二、直线与圆的综合问题典例2 (1)(2015·重庆)已知直线l :x +ay -1=0(a ∈R )是圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0的对称轴,过点A (-4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB |等于( ) A .2 B .4 2 C .6 D .210(2)在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y -4=0相切,则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C .(6-25)π D.54π解析 (1)由于直线x +ay -1=0是圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0的对称轴,∴圆心C (2,1)在直线x +ay -1=0上,∴2+a -1=0,∴a =-1,∴A (-4,-1). ∴|AC |2=36+4=40.又r =2,∴|AB |2=40-4=36. ∴|AB |=6.(2)∵∠AOB =90°,∴点O 在圆C 上. 设直线2x +y -4=0与圆C 相切于点D ,则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x +y -4=0的距离,∴点C 在以O 为焦点,以直线2x +y -4=0为准线的抛物线上,∴当且仅当O ,C ,D 共线时,圆的直径最小为|OD |. 又|OD |=|2×0+0-4|5=45, ∴圆C 的最小半径为25, ∴圆C 面积的最小值为π(25)2=45π.答案 (1)C (2)A1.(2017·广州调研)若点A (1,0)和点B (4,0)到直线l 的距离依次为1和2,则这样的直线有( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 答案 C解析 如图,分别以A ,B 为圆心,1,2为半径作圆.依题意得,直线l 是圆A 的切线,A 到l 的距离为1,直线l 也是圆B 的切线,B 到l 的距离为2,所以直线l 是两圆的公切线,共3条(2条外公切线,1条内公切线).2.若圆C 1:x 2+y 2=1与圆C 2:x 2+y 2-6x -8y +m =0外切,则m 等于( ) A .21 B .19 C .9 D .-11 答案 C解析 圆C 2的标准方程为(x -3)2+(y -4)2=25-m . 又圆C 1:x 2+y 2=1,∴|C 1C 2|=5.又∵两圆外切,∴5=1+25-m ,解得m =9.3.(2016·南昌二模)若圆C 1:x 2+y 2-2ax +a 2-9=0(a ∈R )与圆C 2:x 2+y 2+2by +b 2-1=0(b ∈R )内切,则ab 的最大值为( ) A. 2 B .2 C .4 D .2 2 答案 B解析 圆C 1:x 2+y 2-2ax +a 2-9=0(a ∈R ). 化为(x -a )2+y 2=9,圆心坐标为(a,0),半径为3.圆C 2:x 2+y 2+2by +b 2-1=0(b ∈R ),化为x 2+(y +b )2=1,圆心坐标为(0,-b ),半径为1, ∵圆C 1:x 2+y 2-2ax +a 2-9=0(a ∈R )与圆C 2:x 2+y 2+2by +b 2-1=0(b ∈R )内切, ∴a 2+b 2=3-1,即a 2+b 2=4,ab ≤12(a 2+b 2)=2.∴ab 的最大值为2.4.(2016·泰安模拟)过点P (3,1)作圆C :(x -1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则直线AB 的方程为( ) A .2x +y -3=0 B .2x -y -3=0 C .4x -y -3=0 D .4x +y -3=0答案 A解析 如图所示:由题意知:AB ⊥PC ,k PC =12,∴k AB =-2,∴直线AB 的方程为y -1=-2(x -1),即2x +y -3=0.5.若直线l :y =kx +1(k <0)与圆C :x 2+4x +y 2-2y +3=0相切,则直线l 与圆D :(x -2)2+y 2=3的位置关系是( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .不确定答案 A解析 因为圆C 的标准方程为(x +2)2+(y -1)2=2,所以其圆心坐标为(-2,1),半径为2,因为直线l 与圆C 相切.所以|-2k -1+1|k 2+1=2,解得k =±1,因为k <0,所以k =-1,所以直线l 的方程为x +y -1=0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d =|2+0-1|2=22<3,所以直线l与圆D 相交.6.已知A (-2,0),B (0,2),实数k 是常数,M ,N 是圆x 2+y 2+kx =0上两个不同点,P 是圆x 2+y 2+kx =0上的动点,如果M ,N 关于直线x -y -1=0对称,那么△P AB 面积的最大值是( ) A .3- 2 B .4 C .3+ 2 D .6 答案 C解析 依题意得圆x 2+y 2+kx =0的圆心(-k2,0)位于直线x -y -1=0上,于是有-k2-1=0,即k =-2,因此圆心坐标是(1,0),半径是1.由题意可得|AB |=22,直线AB 的方程是x -2+y2=1,即x -y +2=0,圆心(1,0)到直线AB 的距离等于|1-0+2|2=322,点P 到直线AB 的距离的最大值是322+1,∴△P AB 面积的最大值为12×22×32+22=3+2,故选C.7.(2016·全国乙卷)设直线y =x +2a 与圆C :x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ,B 两点,若|AB |=23,则圆C 的面积为________. 答案 4π解析 圆C :x 2+y 2-2ay -2=0,即C :x 2+(y -a )2=a 2+2,圆心为C (0,a ),C 到直线y =x +2a 的距离d =|0-a +2a |2=|a |2.又由|AB |=23,得⎝⎛⎭⎫2322+⎝⎛⎭⎫|a |22=a 2+2,解得a 2=2,所以圆的面积为π(a 2+2)=4π.8.(2016·天津四校联考)过点(1,2)的直线l 将圆(x -2)2+y 2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l 的斜率k =________. 答案22解析 ∵(1-2)2+(2)2=3<4,∴点(1,2)在圆(x -2)2+y 2=4的内部.当劣弧所对的圆心角最小时,圆心(2,0)与点(1,2)的连线垂直于直线l . ∵2-01-2=-2,∴所求直线l 的斜率k =22.9.(2015·山东)过点P (1,3)作圆x 2+y 2=1的两条切线,切点分别为A ,B ,则P A →·PB →=________. 答案 32解析 由题意,圆心为O (0,0),半径为1.如图所示,∵P (1,3),∴PB ⊥x 轴,|P A |=|PB |= 3. ∴△POA 为直角三角形,其中|OA |=1,|AP |=3, 则|OP |=2,∴∠OP A =30°,∴∠APB =60°.∴P A →·PB →=|P A →||PB →|·cos ∠APB =3×3×cos 60°=32.10.在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2+y 2-8x +15=0,若直线y =kx -2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C 有公共点,则k 的最大值是________. 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x -4)2+y 2=1,圆心为(4,0). 由题意知(4,0)到kx -y -2=0的距离应不大于2,即|4k -2|k 2+1≤2.整理,得3k 2-4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.11.已知圆C :x 2+y 2+2x -4y +1=0,O 为坐标原点,动点P 在圆C 外,过P 作圆C 的切线,设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处,求此时切线l 的方程; (2)求满足条件|PM |=|PO |的点P 的轨迹方程.解 把圆C 的方程化为标准方程为(x +1)2+(y -2)2=4, ∴圆心为C (-1,2),半径r =2.(1)当l 的斜率不存在时,此时l 的方程为x =1, C 到l 的距离d =2=r ,满足条件. 当l 的斜率存在时,设斜率为k , 得l 的方程为y -3=k (x -1), 即kx -y +3-k =0, 则|-k -2+3-k |1+k 2=2,解得k =-34.∴l 的方程为y -3=-34(x -1),即3x +4y -15=0.综上,满足条件的切线l 的方程为x =1或3x +4y -15=0. (2)设P (x ,y ),则|PM |2=|PC |2-|MC |2 =(x +1)2+(y -2)2-4, |PO |2=x 2+y 2,∵|PM |=|PO |, ∴(x +1)2+(y -2)2-4=x 2+y 2, 整理,得2x -4y +1=0,∴点P 的轨迹方程为2x -4y +1=0.12.设M ={(x ,y )|y =2a 2-x 2,a >0},N ={(x ,y )|(x -1)2+(y -3)2=a 2,a >0},且M ∩N ≠∅,求a 的最大值和最小值.解 M ={(x ,y )|y =2a 2-x 2,a >0},即{(x ,y )|x 2+y 2=2a 2,y ≥0}, 表示以原点O 为圆心,半径等于2a 的半圆(位于横轴或横轴以上的部分). N ={(x ,y )|(x -1)2+(y -3)2=a 2,a >0}, 表示以O ′(1,3)为圆心,半径等于a 的一个圆. 再由M ∩N ≠∅,可得半圆和圆有交点, 故半圆和圆相交或相切.当半圆和圆相外切时,由|OO ′|=2=2a +a , 求得a =22-2;当半圆和圆相内切时,由|OO ′|=2=2a -a , 求得a =22+2,故a 的取值范围是[22-2,22+2], a 的最大值为22+2,最小值为22-2.*13.(2016·湖南六校联考)已知直线l :4x +3y +10=0,半径为2的圆C 与l 相切,圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方. (1)求圆C 的方程;(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ,B 两点(A 在x 轴上方),问在x 轴正半轴上是否存在定点N ,使得x 轴平分∠ANB ?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由. 解 (1)设圆心C (a,0)(a >-52),则|4a +10|5=2⇒a =0或a =-5(舍). 所以圆C 的方程为x 2+y 2=4.(2)当直线AB ⊥x 轴时,x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时,设直线AB 的方程为y =k (x -1),N (t,0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2=4,y =k (x -1),得(k 2+1)x 2-2k 2x +k 2-4=0, 所以x 1+x 2=2k 2k 2+1,x 1x 2=k 2-4k 2+1.若x 轴平分∠ANB ,则k AN =-k BN ⇒y 1x 1-t +y 2x 2-t =0⇒k (x 1-1)x 1-t +k (x 2-1)x 2-t=0 ⇒2x 1x 2-(t +1)(x 1+x 2)+2t =0 ⇒2(k 2-4)k 2+1-2k 2(t +1)k 2+1+2t =0⇒t =4,所以当点N 为(4,0)时,能使得∠ANM =∠BNM 总成立.。

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