(完整版)初二数学四边形难题(含答案)
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)四边形几何专题回顾(含解析)
八年级数学四边形几何专题回顾一．三角形中位线定理（共4小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（ ）A．B．1C．D．22．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（ ）A．B．C．1D．3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（ ）A．1B．2C．4D．4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）A．2B．5C．7D．9二．平行四边形的性质（共2小题）5．如图，在▱ABCD 中，BE 平分∠ABC 交AD 于点E ，CF 平分∠BCD 交AD 于点F ，若BE ＝4，CF ＝3，EF ＝1，求AB 为（ ）A ．3B ．2.5C ．3.5D ．46．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，AB ＝，∠AOB ＝60°，过点O 作OE ⊥AC ，交AD 于点E ，过点E 作EF ⊥BD ，垂足为F ，则OE +2EF 的值为（ ）A ．+1B ．C ．D ．三．菱形的性质（共2小题）7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，AC ＝8，BD ＝12，E 是OB 的中点，P 是CD 的中点，连接PE ，则线段PE 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．8．在菱形ABCD 中，∠D ＝60°，CD ＝4，E 为菱形内部一点，且AE ＝2，连接CE ，点F 为CE 中点，连接BF ，取BF 中点G ，连接AG ，则AG 的最大值为 ．四．矩形的性质（共6小题）9．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且AD ＝6，CD ＝8，P 是AB 上的动点，PM⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（ ）A．4.8B．6.4C．9.6D．2.410．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE ⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（ ）A．10B．9.6C．4.8D．2.411．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC 于点F，连接AF，若AD＝3，则AF的长为（ ）A．B．C．2D．312．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（ ）A．B．2C．D．213．如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE，点A与点P关于DE对称，连接EP、DP、BP，若AB＝3，AD＝5，则BP的最小值为 ．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为 ．五．矩形的判定与性质（共1小题）15．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（ ）A．B．C．D．六．正方形的性质（共4小题）16．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（ ）A．4B．5C．10D．517．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（ ）A．B．C．D．18．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（ ）A．B．C．D．19．如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ）A．B．4C．D．七．翻折变换（折叠问题）（共3小题）20．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，把△ABC沿AC翻折得到△ADC．则（1）四边形ABCD是 形；（2）若∠B＝120°，点P、E、F分别为线段AC、AD、DC上的任意1点，则PE+PF的最小值为 ．22．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．八．旋转的性质（共3小题）23．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA 交GF于点K．若正方形ABCD的边长为，则HD的长为（ ）A．﹣1B．﹣1C．1﹣D．1﹣24．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（ ）A．5B．5C．5D．25．如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM 并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（ ）A．B．C．D．九．旋转的性质（共1小题）26．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）A．B．C．D．参考答案与试题解析一．三角形中位线定理（共4小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为CA，CB的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若，则DF的长为（ ）A．B．1C．D．2【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝4，由勾股定理得：AB＝＝6，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠EBF，∵D，E分别为CA，CB的中点，∴DE∥AB，DE＝AB＝3，BE＝BC＝2，∴∠ABF＝∠EFB，∴∠EFB＝∠EBF，∴EF＝BE＝2，∴DF＝DE﹣EF＝1，故选：B．2．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝（ ）A．B．C．1D．【解答】解：取BF的中点H，连接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴DH＝FC，DH∥AC，∴∠HDE＝∠FAE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴AF＝FC，∵AC＝4，∴AF＝，故选：B．3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（ ）A．1B．2C．4D．【解答】解：延长CF交AB于G，∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG＝AC＝4，FG＝CF，∴BG＝AB﹣AG＝6﹣4＝2，∵AE为△ABC的中线，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝1，故选：A．4．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝12，AD＝5，点M、N分别为线段BC、AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E、F分别为DM、MN的中点，则EF长度的可能为（ ）A．2B．5C．7D．9【解答】解：连接DN，∵ED＝EM，MF＝FN，∴EF＝DN，∴DN最大时，EF最大，DN最小时，EF最小，∵N与B重合时DN最大，此时DN＝DB＝＝＝13，∴EF的最大值为6.5．∵∠A＝90°，AD＝5，∴DN≥5，∴EF≥2.5，∴EF长度的可能为5；故选：B．二．平行四边形的性质（共2小题）5．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，CF平分∠BCD交AD于点F，若BE＝4，CF ＝3，EF＝1，求AB为（ ）A．3B．2.5C．3.5D．4【解答】解：如图，过点E作EG∥FC交BC延长线于点G，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AE＝AB，同理可证：DC＝DF，∵AB∥DC，∴∠ABC+∠DCB＝180°，∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∴∠EBC+∠FCB＝×180°＝90°，∴BE⊥CF，∵EG∥FC，∴BE⊥EG，∵EF∥CG，∴四边形EFCG是平行四边形，∴EG＝FC，在△BEG中，BE＝4，EG＝CF＝3，根据勾股定理，得BG＝，∵AB＝AE＝CD＝DF，EF＝CG＝1，AD＝BC，∴BG＝BC+CG＝AE+DE+CG＝AE+DF﹣EF+EF＝2AB，∴5＝2AB，∴AB＝2.5．故选：B．6．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝，∠AOB＝60°，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+2EF的值为（ ）A．+1B．C．D．【解答】解：∵∠BAO＝90°，∠AOB＝60°，∴∠ABO＝30°，∴BO＝2AO，∵AB＝，∴AO＝1，BO＝2，∴S△ABO＝AO•AB＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝BO＝2，S△ADO＝S△ABO＝，∵OF⊥AO，EF⊥OD，∴S△ADO＝S△AEO+S△EDO＝＝＝，即OE+2EF＝．故选：B．三．菱形的性质（共2小题）7．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，E是OB的中点，P是CD 的中点，连接PE，则线段PE的长为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，取OD的中点H，连接HP，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，OB＝OD＝6，∵点H是OD中点，点E是OB的中点，点P是CD的中点，∴OH＝3，OE＝3，HP＝OC＝2，HP∥AC，∴EH＝6，∠DOC＝90°，∴EP＝＝＝2，故选：A．8．在菱形ABCD中，∠D＝60°，CD＝4，E为菱形内部一点，且AE＝2，连接CE，点F为CE中点，连接BF，取BF中点G，连接AG，则AG的最大值为 ．【解答】解：如图所示：连接BD交AC于点O，连接FO，取OB的中点H，连接HG和AH，∵在菱形ABCD中，∴O为AC中点，∵F为CE中点，∴OF＝AE＝1，当C、F、E、A共线时，OF也为1，∵G为BF中点、H为OB中点，∴GH＝OF＝，∵在菱形ABCD中且∠D＝60°，∴∠ABO＝∠ABC＝∠ADC＝30°，∠BOA＝90°，∴OA＝AB＝2，，∴OB＝＝，∴OH＝，∴AH＝＝，∵AG≤AH+HG，∴AG≤，∴AG的最大值为．故答案为：．四．矩形的性质（共6小题）9．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AD＝6，CD＝8，P是AB上的动点，PM ⊥AC于M，PN⊥BD于N，则PM+PN的值为（ ）A．4.8B．6.4C．9.6D．2.4【解答】解：连接PO，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，∴AD＝BC＝6，∠DAB＝90°，BO＝OD，由勾股定理得：BD＝＝＝10，∴BO＝DO＝5，∴S△DAB＝×AD×AB＝×8×6＝24，∴S△AOB＝S△DAB＝12，∴×AO×PM+×BO×PN＝12，∴PM+PN＝4.8．故选：A．10．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是AD边上的一个动点，过点P分别作PE ⊥AC于点E，PF⊥BD于点F．若AB＝6，BC＝8，则PE+PF的值为（ ）A．10B．9.6C．4.8D．2.4【解答】解：连接OP，∵矩形ABCD的两边AB＝6，BC＝8，∴S矩形ABCD＝AB•BC＝48，OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，AC＝＝10，∴S△AOD＝S矩形ABCD＝12，OA＝OD＝5，∴S△AOD＝S△AOP+S△DOP＝OA•PE+OD•PF＝OA（PE+PF）＝×5×（PE+PF）＝12，∴PE+PF＝＝4.8．故选：C．11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC 于点F，连接AF，若AD＝3，则AF的长为（ ）A．B．C．2D．3【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝3，OA＝OB＝OC＝OD，∵DF垂直平分OC，∴OD＝OC，∴△OCD是等边三角形，设CD＝x，则AC＝2x，在Rt△ACD中，由勾股定理得可知：AD2+CD2＝AC2，即32+x2＝（2x）2，解得x＝，∴，∴，∵△OCD是等边三角形，DF⊥OC，∴，设CF＝y，则DF＝2y，在Rt△CDF中，由勾股定理可知：CF2+CD2＝DF2，即，解得y＝1，∴CF＝1，BF＝2，在Rt△ABF中，由勾股定理可知：AB2+BF2＝AF2，即，∴，故选：B．12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AC交BC于点F，EF⊥BD于点F，则OE+EF的值为（ ）A．B．2C．D．2【解答】解：∵AB＝2，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为8，AC＝＝＝2，∴BO＝CO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△BOC的面积为2，∵EO⊥AO，EF⊥DO，∴S△BOC＝S△BOE+S△COE，2＝CO×EO+BO×EF，∴2＝××EO+×EF，∴（EO+EF）＝4，∴EO+EF＝，故选：A．13．如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AB上的一动点，连接DE，点A与点P关于DE对称，连接EP、DP、BP，若AB＝3，AD＝5，则BP的最小值为 ﹣5 ．【解答】解：如图，连接BD，AP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝3，AD＝5，∴BD＝＝＝，∵点A与点P关于DE对称，∴DE垂直平分AP，∴PD＝AD＝5，∵BP+PD≥BD，∴BP+5≥，∴BP≥﹣5，∴BP的最小值为﹣5，故答案为：﹣5．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝5，点P在边AD上，点Q在边BC上，且AP＝CQ，连接CP，QD，则PC+QD的最小值为 13 ．【解答】解：如图，连接BP，在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，∵AP＝CQ，∴AD﹣AP＝BC﹣CQ，∴DP＝QB，DP∥BQ，∴四边形DPBQ是平行四边形，∴PB∥DQ，PB＝DQ，则PC+QD＝PC+PB，则PC+QD的最小值转化为PC+PB的最小值，在BA的延长线上截取AE＝AB＝6，连接PE，∵PA⊥BE，∴PA是BE的垂直平分线，∴PB＝PE，∴PC+PB＝PC+PE，连接CE，则PC+QD＝PC+PB＝PC+PE≥CE，∵BE＝2AB＝12，BC＝AD＝5，∴CE＝＝13．∴PC+PB的最小值为13．故答案为：13．五．矩形的判定与性质（共1小题）15．如图，矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，AE⊥BD于E，则EC＝（ ）A．B．C．D．【解答】解：作EF⊥BC于F，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，AB＝CD＝，∠BAD＝90°．∴tan∠ADB＝＝，∴∠ADB＝30°，∴∠ABE＝60°，∴在Rt△ABE中cos∠ABE＝＝＝，∴BE＝，∴在Rt△BEF中，cos∠FBE＝＝＝，∴BF＝，∴EF＝＝，∴CF＝3﹣＝，在Rt△CFE中，CE＝＝．故选：D．六．正方形的性质（共4小题）16．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（ ）A．4B．5C．10D．5【解答】解：过E作GH∥AD交AB于G，交DC于H，如图：，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，AB＝CD＝BC＝4，∴△BGE、△DHE是等腰直角三角形，BD＝BC＝4，∴EH＝DE＝×3＝3，BE＝BD﹣DE＝4﹣3＝，∴BG＝GE＝BE＝1，∴AG＝AB﹣BG＝3＝EH，∴AE＝＝＝，∵AE⊥EF，∴∠AEG＝90°﹣∠FEH＝∠EFH，又∠AGE＝∠EHF＝90°，∴△AGE≌△EHF（AAS），∴AE＝EF＝，∴△AEF的面积为AE•EF＝××＝5，故选：B．17．正方形ABCD的边长为4，点E、F分别是BC，CD上的一动点，且BE＝CF，连结AE，BF，两线交于点P，连接CP，则CP的最小值是（ ）A．B．C．D．【解答】解：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠BCD，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠BAE＝∠CBF，∵∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的圆上，设AB的中点为G，当CPG在同一直线上时，CP有最小值，如图所示：∵正方形ABCD的边长为4，∴BC＝4，BG＝2，∴CG＝＝＝2，∵PG＝AG＝BG＝2，∴CP＝2﹣2，故选：A．18．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，延长BG交CH于点E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：A．19．如图所示，正方形ABCD中，AB＝4，点E为BC中点，BF⊥AE于点G，交CD边于点F，连接DG，则DG长为（ ）A．B．4C．D．【解答】解：如图，作DL⊥AE于点H，交AB于点L，∵BF⊥AE，∴DL∥BF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB＝BC＝CD，∠ABE＝∠C＝90°，∴BL∥DF，∴四边形BFDL是平行四边形，∵∠AGB＝90°，∠BAE＝90°﹣∠ABG＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴BE＝CF，∵E为BC中点，∴BE＝CF＝BC＝CD，∴DF＝CF＝CD，∴BL＝DF＝CD＝AB，∴AL＝BL＝AB，∴＝＝1，∴AH＝GH，∵DA＝AB＝4，∴DG＝DA＝4，故选：B．七．翻折变换（折叠问题）（共3小题）20．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，AB＝1，将它沿AB翻折得到△ABD，则四边形ADBC的形状是 菱 形，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．【解答】解：∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，故答案为菱；如图作出F关于AB的对称点M，再过M作ME⊥AD，交AB于点P，此时PE+PF最小，此时PE+PF ＝ME，过点A作AN⊥BC，∵AD∥BC，∴ME＝AN，作CH⊥AB，∵AC＝BC，∴AH＝，由勾股定理可得，CH＝，∵，可得，AN＝，∴ME＝AN＝，∴PE+PF最小为，故答案为．21．如图，在等腰△ABC中，AB＝BC＝4，把△ABC沿AC翻折得到△ADC．则（1）四边形ABCD是 菱 形；（2）若∠B＝120°，点P、E、F分别为线段AC、AD、DC上的任意1点，则PE+PF的最小值为 ．【解答】解：（1）∵AB＝BC，△ABC沿AC翻折得到△ADC，∴AB＝BC＝AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形．故答案为菱．（2）作CM⊥AD交AD的延长线于M，连接PD．当PE⊥AD，PF⊥CD时，PE+PF最短，∵∠B＝∠ADC＝120°，∴∠CDM＝60°，∵CD＝AB＝4，∠CMD＝90°，∴sin60°＝，∴CM＝2，∵S△ADC＝S△ADP+S△CDP＝•AD•PE+•CD•PF＝•AD•CM，∴PE+PF＝CM＝2，∴PE+PF的最小值为2．故答案为2．22．如图，在△ABC中，AC＝BC＝5，AB＝6，将它沿AB翻折得到△ABD，点P、E、F分别为线段AB、AD、DB的任意点，则PE+PF的最小值是 ．【解答】解：作出F关于AB的对称点M，再过M作ME′⊥AD，交AB于点P′，此时P′E′+P ′F最小，此时P′E′+P′F＝ME′，过点A作AN⊥BC，CH⊥AB于H，∵△ABC沿AB翻折得到△ABD，∴AC＝AD，BC＝BD，∵AC＝BC，∴AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC是菱形，∵AD∥BC，∴ME′＝AN，∵AC＝BC，∴AH＝AB＝3，由勾股定理可得，CH＝＝4，∵×AB×CH＝×BC×AN，可得，AN＝，∴ME′＝AN＝，∴PE+PF最小为，故答案为．八．旋转的性质（共3小题）23．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA 交GF于点K．若正方形ABCD的边长为，则HD的长为（ ）A．﹣1B．﹣1C．1﹣D．1﹣【解答】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH＝∠ABC＝∠BEH＝∠F＝90°，由旋转的性质得：AB＝EB，∠CBE＝30°，∴∠ABE＝60°，在Rt△ABH和Rt△EBH中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），∴∠ABH＝∠EBH＝∠ABE＝30°，AH＝EH，∴AH＝AB•tan∠ABH＝×＝1，∴HD＝AD﹣AH＝﹣1．故选：A．24．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝4，CG＝3，则CE的长为（ ）A．5B．5C．5D．【解答】解：如图所示，连接EG，由旋转可得，△ADE≌△ABF，∴AE＝AF，DE＝BF，又∵AG⊥EF，∴H为EF的中点，∴AG垂直平分EF，∴EG＝FG，设CE＝x，则DE＝7﹣x＝BF，FG＝CF﹣CG＝11﹣x，∴EG＝11﹣x，∵∠C＝90°，∴Rt△CEG中，CE2+CG2＝EG2，即x2+32＝（11﹣x）2，解得x＝，∴CE的长为，故选：C．25．如图，在边长为a正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM 并延长交CD于N，连接MC，则△MNC的面积为（ ）A．B．C．D．【解答】解：作MG⊥BC于G，MH⊥CD于H，则BG＝GC，AB∥MG∥CD，∴AM＝MN，∵MH⊥CD，∠D＝90°，∴MH∥AD，∴NH＝HD，由旋转变换的性质可知，△MBC是等边三角形，∴MC＝BC＝a，由题意得，∠MCD＝30°，∴MH＝MC＝a，CH＝a，∴DH＝a﹣a，∴CN＝CH﹣NH＝a﹣（a﹣a）＝（﹣1）a，∴△MNC的面积＝××（﹣1）a＝a2，故选：C．九．旋转的性质（共1小题）26．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为（ ）A．B．C．D．【解答】解：作MH⊥DE于H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝1，∠B＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∵正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，∴AE＝AB＝1，∠1＝30°，∠AEF＝∠B＝90°，∴∠2＝60°，∴△AED为等边三角形，∴∠3＝∠4＝60°，DE＝AD＝1，∴∠5＝∠6＝30°，∴△MDE为等腰三角形，∴DH＝EH＝，在Rt△MDH中，MH＝DH＝×＝，∴S△MDE＝×1×＝．故选：D．。
初二数学经典四边形习题道(附标准答案)
初二数学经典四边形习题道(附答案)————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。
6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。
_O_A_ B_ D_C_ E_E_F_ A_B_D_ C_G _A _ B_D_ C_E _F _D _A _B _ C_E _F _A_B_D _C _O_D _C_F_E若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ， 使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF ∥AC 。
8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边， 在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。
初二数学经典四边形习题50道(附答案)
1．已知：在矩形ABCD 中，AE BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。
6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。
_O_A_D_C_E_F_B _D_C_G _A _B_D _C_E _F _D _A _B _C_E _F _A_B_D _C _O_D _C_H _F _G_E7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E 若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ， 使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF ∥AC 。
8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边， 在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。
10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线 上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。
(专题精选)初中数学四边形难题汇编附答案
（专题精选）初中数学四边形难题汇编附答案一、选择题1．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（）A．七边形 B．六边形 C．五边形 D．四边形【答案】C【解析】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.2．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若150∠=o，则AEF∠=（）A．110°B．115°C．120°D．130°【答案】B【解析】【分析】根据翻折的性质可得∠2=∠3，再求出∠3，然后根据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形ABCD沿EF对折后两部分重合，150∠=o，∴∠3=∠2=180-502︒︒=65°，∵矩形对边AD∥BC，∴∠AEF=180°-∠3=180°-65°=115°．故选：B．【点睛】本题考查了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的关键．3．如图，在平行四边形ABCD 中，2=AD AB ，CE 平分BCD ∠交AD 于点E ，且8BC =，则AB 的长为（ ）A ．4B ．3C ．52D ．2【答案】A【解析】【分析】 利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出AE=DE=AB 即可得出答案．【详解】∵CE 平分∠BCD 交AD 边于点E ，∴∠ECD=∠ECB ，∵在平行四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，∴∠DEC=∠ECB ，∠DEC=∠DCE ，∴DE=DC ，∵AD=2AB ，∴AD=2CD ，∴AE=DE=AB ．∵8AD BC ==，2=AD AB∴AB=4，故选：A ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，得出∠DEC=∠DCE 是解题关键．4．如图，在菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，1AB =，点P 是这个菱形内部或边上的一点，若以点P ，B ，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则P ，D （P ，D 两点不重合）两点间的最短距离为（ ）A ．12B ．1C ．3D ．31-【答案】D【解析】【分析】分三种情形讨论①若以边BC 为底．②若以边PC 为底．③若以边PB 为底．分别求出PD 的最小值，即可判断．【详解】解：在菱形ABCD 中，∵∠ABC=60°，AB=1，∴△ABC ，△ACD 都是等边三角形，①若以边BC 为底，则BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短“，即当点P 与点A 重合时，PD 值最小，最小值为1；②若以边PC 为底，∠PBC 为顶角时，以点B 为圆心，BC 长为半径作圆，与BD 相交于一点，则弧AC （除点C 外）上的所有点都满足△PBC 是等腰三角形，当点P 在BD 上时，PD 最小，最小值为31-③若以边PB 为底，∠PCB 为顶角，以点C 为圆心，BC 为半径作圆，则弧BD 上的点A 与点D 均满足△PBC 为等腰三角形，当点P 与点D 重合时，PD 最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；上所述，PD 的最小值为 31-故选D ．【点睛】本题考查菱形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．5．如图，在矩形ABCD 中， 4,6,AB BC ==点E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且1,CF =若在此矩形上存在一点P ，使得PEF V 是等腰三角形，则点P 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【解析】【分析】根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，③当EF 为底，P 为顶角顶点时，分别确定点P 的位置，即可得到答案．【详解】∵在矩形ABCD 中，461AB BC CF ===，，，点E 是AD 的中点， 32184EF ∴==>．∴PEF V 是等腰三角形，存在三种情况：①当EF 为腰，E 为顶角顶点时，根据矩形的轴对称性，可知：在BC 上存在两个点P ，在AB 上存在一个点P ，共3个，使PEF V 是等腰三角形；②当EF 为腰，F 为顶角顶点时，186,<Q∴在BC 上存在一个点P ，使PEF V 是等腰三角形；③当EF 为底，P 为顶角顶点时，点P 一定在EF 的垂直平分线上，∴EF 的垂直平分线与矩形的交点，即为点P ，存在两个点．综上所述，满足题意的点P 的个数是6．故选D ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，矩形的性质，熟练掌握等腰三角形的定义和矩形的性质，学会分类讨论思想，是解题的关键．6．如图，四边形ABCD 和四边形AEFG 均为正方形，连接CF ，DG ，则DG CF=（ ）A ．23B ．22C 3D 3【答案】B【解析】【分析】连接AC 和AF ，证明△DAG ∽△CAF 可得DG CF的值． 【详解】连接AC 和AF ，则2 AD AGAC AF==，∵∠DAG=45°-∠GAC，∠CAF=45°-GAC，∴∠DAG=∠CAF．∴△DAG∽△CAF．∴22 DG ADCF AC==．故答案为：B.【点睛】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是构造相似三角形．7．如图，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过点P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E、F，设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】【详解】图象是函数关系的直观表现，因此须先求出函数关系式．分两段求：当P在BO上和P在OD上，分别求出两函数解析式，根据函数解析式的性质即可得出函数图象．解：设AC与BD交于O点，当P在BO上时，∵EF∥AC，∴EF BPAC BO=即43y x=，∴43y x =；当P在OD上时，有643 DP EF y x DO AC-==即，∴y=48 3x-+．故选C．8．如图，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD=60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点，作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连结MO、NO，以下四个结论：①△OMN是等腰三角形；②tan∠OMN=3；③BP=4PK；④PM•PA=3PD2，其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】B【解析】【分析】 根据菱形的性质得到AD ∥BC ，根据平行线的性质得到对应角相等，根据全等三角形的判定定理△ADP ≌△ECP ，由相似三角形的性质得到AD=CE ，作PI ∥CE 交DE 于I ，根据点P 是CD 的中点证明CE=2PI ，BE=4PI ，根据相似三角形的性质得到1=4KP PI KB BE =，得到BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ，根据平行线等分线段定理得到MG=NG ，又OG ⊥MN ，证明△MON 是等腰三角形，故①正确；根据直角三角形的性质和锐角三角函数求出∠②正确；然后根据射影定理和三角函数即可得到PM•PA=3PD 2，故④正确．【详解】解：作PI ∥CE 交DE 于I ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAP=∠CEP ，∠ADP=∠ECP ，在△ADP 和△ECP 中， DAP CEP ADP ECP DP CP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP ≌△ECP ，∴AD=CE ， 则PI PD CE DC =，又点P 是CD 的中点， ∴1=2PI CE ， ∵AD=CE ， ∴1=4KP PI KB BE =， ∴BP=3PK ，故③错误；作OG ⊥AE 于G ， ∵BM 丄AE 于M ，KN 丄AE 于N ，∴BM ∥OG ∥KN ，∵点O 是线段BK 的中点，∴MG=NG ，又OG ⊥MN ，∴OM=ON ，即△MON是等腰三角形，故①正确；由题意得，△BPC，△AMB，△ABP为直角三角形，设BC=2，则CP=1，由勾股定理得，BP=3，则AP=7，根据三角形面积公式，BM=2217，∵点O是线段BK的中点，∴PB=3PO，∴OG=13BM=22121，MG=23MP=27，tan∠OMN=3=OGMG，故②正确；∵∠ABP=90°，BM⊥AP，∴PB2=PM•PA，∵∠BCD=60°，∴∠ABC=120°，∴∠PBC=30°，∴∠BPC=90°，∴PB=3PC，∵PD=PC，∴PB2=3PD，∴PM•PA=3PD2，故④正确．故选B．【点睛】本题考查相似形综合题．9．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH的长是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】 试题分析：设CH ＝x ， 因为BE ：EC ＝2：1，BC ＝9，所以，EC ＝3， 由折叠知，EH ＝DH ＝9－x ，在Rt △ECH 中，由勾股定理，得：222(9)3x x -=+，解得：x ＝4，即CH=4考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理10．如图，在边长为8的菱形ABCD 中，∠DAB =60°，以点D 为圆心，菱形的高DF 为半径画弧，交AD 于点E ，交CD 于点G ，则图中阴影部分的面积是 （ ）A ．183π-B ．183πC ．32316πD ．1839π-【答案】C【解析】【分析】 由菱形的性质得出AD=AB=8，∠ADC=120°，由三角函数求出菱形的高DF ，图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积，根据面积公式计算即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∠DAB=60°，∴AD=AB=8，∠ADC=180°-60°=120°，∵DF 是菱形的高，∴DF ⊥AB ，∴DF=AD •sin60°=3832⨯=∴图中阴影部分的面积=菱形ABCD 的面积-扇形DEFG 的面积 =2120(43)84332316ππ⨯⨯-=-． 故选：C.【点睛】本题考查了菱形的性质、三角函数、菱形和扇形面积的计算；由三角函数求出菱形的高是解决问题的关键．11．如图，ABC V 中，5AB AC ==，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D 5【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形三线合一可得AE ⊥BC ，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半即可求得DE 的长度．【详解】解：∵5AB AC ==，AE 平分BAC ∠，∴AE ⊥BC ，又∵点D 为AB 的中点，∴1 2.52DE AB ==， 故选：B ．【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一和直角三角形斜边上的中线．熟练掌握相关定理，并能正确识图，得出线段之间的关系是解题关键．12．如图，菱形ABCD 中，对角线BD 与AC 交于点O ， BD =8cm ，AC =6cm ，过点O 作OH⊥CB 于点H ，则OH 的长为( )A ．5cmB ．52cmC ．125cmD ．245cm 【答案】C【解析】【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OB 、OC ，再利用勾股定理列式求出BC ，然后根据△BOC 的面积列式计算即可得解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，111163,842222OC AC OB BD ==⨯===⨯= 在Rt △BOC 中，由勾股定理得，2222345BC OB OC =+=+=∵OH ⊥BC ，1122BOC S OC OB CB OH ∴=⋅=⋅V ∴1143522OH ⨯⨯=⨯ ∴125OH =故选C ．【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的面积，熟记性质是解题的关键，难点在于利用两种方法表示△BOC 的面积列出方程．13．四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，∠DHO ＝20°，则∠CAD 的度数是（）.A ．25°B ．20°C ．30°D ．40°【答案】B【解析】 ∵四边形ABCD 是菱形，∴OB=OD ，AC ⊥BD ，∵DH ⊥AB ，∴OH=OB=12BD ， ∵∠DHO=20°， ∴∠OHB=90°-∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，∴∠CAD=∠CAB=90°-∠ABD=20°．故选A ．14．如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 的中点，AE 、AF 分别交BD 于点G 、H ，则图中阴影部分图形的面积与□ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72 【答案】B【解析】【分析】 根据已知条件想办法证明BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AB=CD ，AD=BC ，∵DF=CF ，BE=CE ，∴12DH DF HB AB ==，12BG BE DG AD ==， ∴13DH BG BD BD ==， ∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ，∴S 平行四边形ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ：ABCD S 平行四边形=1：6，∵E 、F 分别是边BC 、CD 的中点,∴12 EFBD=,∴14EFCBCDDSS=VV,∴18EFCABCDSS=V四边形,∴1176824AGH EFCABCDS SS+=+=V V四边形=7∶24,故选B.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．15．已知ABCDY(AB BC>)，用尺规在ABCD内作菱形，下列作法错误的是()A．如图1所示，作对角线AC的垂直平分线EF，则四边形AECF为所求B．如图2所示，在AB DC，上截取AE AD DF DA==，，则四边形AEFD为所求C．如图3所示，作ADC ABC∠∠、的平分线DE BF，，则四边形DEBF为所求D．如图4所示，作BDE BDC DBF DBA∠=∠∠=∠，，则四边形DEBF为所求【答案】C【解析】【分析】根据平行四边形的性质及判定、菱形的判定逐个判断即可．【详解】解：A、根据线段的垂直平分线的性质可知AB＝AD，一组邻边相等的平行四边形是菱形；符合题意；B、根据四条边相等的四边形是菱形，符合题意；C、根据两组对边分别平行四边形是平行四边形，不符合题意；D、根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了复杂作图，解决本题的关键是利用平行四边形的性质及判定、菱形的判定．16．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连结BF，交AC于点M，连结DE，BO．若∠BOC=60°，FO=FC，则下列结论：①AE=CF；②BF 垂直平分线段OC；③△EOB≌△CMB；④四边形是BFDE菱形．其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】利用ASA定理证明△AOE≌△COF，从而判断①；利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论②；在△EOB和△CMB中，对应直角边不相等，则两三角形不全等，从而判断③；连接BD，先证得BO=DO， OE=OF，进而证得OB⊥EF，因为BD、EF互相垂直平分，即可证得四边形EBFD是菱形，从而判断④．【详解】解：∵矩形ABCD中，O为AC中点∴∠DCA=∠BAC，OA=OC，∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF∴AE=CF，故①正确∵矩形ABCD中，O为AC中点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC，∵FO=FC，∴FB垂直平分OC，故②正确；∵△BOC为等边三角形，FO=FC，∴BO⊥EF，BF⊥OC，∴∠CMB=∠EOB=90°，∴BO≠BM，∴△EOB与△CMB不全等；故③错误；连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，且BO=DO由①可知△AOE≌△COF，∴OE=OF∴四边形EBFD是平行四边形由②可知，OB=CB，OF=FC又∵BF=BF∴△OBF≌△OCF∴BD⊥EF∴平行四边形EBFD是菱形，故④正确所以其中正确结论的个数为3个；故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质以及三角函数等的知识．17．如图，在ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．证明△DFE≌△FCG 得EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题；详解：如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．∵CD=2AD，DF=FC，∴CF=CB，∴∠CFB=∠CBF，∵CD∥AB，∴∠CFB=∠FBH，∴∠CBF=∠FBH，∴∠ABC=2∠ABF．故①正确，∵DE∥CG，∴∠D=∠FCG，∵DF=FC，∠DFE=∠CFG，∴△DFE≌△FCG，∴FE=FG，∵BE⊥AD，∴∠AEB=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBG=90°，∴BF=EF=FG，故②正确，∵S△DFE=S△CFG，∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确，∵AH=HB，DF=CF，AB=CD，∴CF=BH，∵CF∥BH，∴四边形BCFH是平行四边形，∵CF=BC，∴四边形BCFH是菱形，∴∠BFC=∠BFH，∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD，∴FH⊥BE，∴∠BFH=∠EFH=∠DEF，∴∠EFC=3∠DEF，故④正确，故选D．点睛：本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．18．下列结论正确的是（）A．平行四边形是轴对称图形B．平行四边形的对角线相等C．平行四边形的对边平行且相等D．平行四边形的对角互补，邻角相等【答案】C【解析】【分析】分别利用平行四边形的性质和判定逐项判断即可．【详解】A、平行四边形不一定是轴对称图形，故A错误；B、平行四边形的对角线不相等，故B错误；C、平行四边形的对边平行且相等，故C正确；D、平行四边形的对角相等，邻角互补，故D错误．故选：C．【点睛】此题考查平行四边形的性质，掌握特殊平行四边形与一般平行四边形的区别是解题的关键．19．如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定正确．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，∴∠ABF=∠E，∵DE=CD，∴AB=DE，在△ABF和△DEF中，∵===ABF EAFB DFE AB DE∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABF≌△DEF（AAS），∴AF=DF，BF=EF；可得③⑤正确，故选：B．【点睛】此题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．20．一个多边形的每一个外角都是72°，那么这个多边形的内角和为( )A．540°B．720°C．900°D．1080°【答案】A【解析】【详解】解：∵多边形的每一个外角都是72°，∴多边形的边数为：3605 72=，∴该多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．故选A．【点睛】外角和是360°，除以一个外角度数即为多边形的边数．根据多边形的内角和公式可求得该多边形的内角和．。
(完整版)初二数学经典难题(带答案及解析)
初二数学经典难题、解答题（共 10 小题，满分 100 分）2．（10分）已知：如图，在四边形 ABCD 中， AD=BC ，M 、N 分别是 AB 、CD 的中点， AD 、BC 的延长线交 MN 于 E 、 F ．求证： ∠DEN= ∠F ．3．（ 10分）如图，分别以 △ABC 的边 AC 、BC 为一边，在 △ABC 外作正方形 ACDE 和CBFG ，点 P 是EF 的中点，4．（10 分）设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且 ∠PBA=∠PDA ． 求证： ∠PAB= ∠PCB ．5．（10 分） P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA=a ， PB=2a ， PC=3a ，求正方形的边长．P 是正方形 ABCD 内点 ∠PAD=∠PDA=15 °．求证： △ PBC 是正三角形． 初二） 10 分）已知：如图，求证：点 P 到 AB 的距离是 AB 的一半．6．（10 分）一个圆柱形容器的容积为V 立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管 2 倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间t 分．求两根水管各自注水的速度．7．（10分）（2009?郴州）如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A、B．（1）写出正比例函数和反比例函数的关系式；（2）当点Q在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q，使得△ OBQ 与△OAP面积相等？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；8．（10分）（2008?海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD 对角线AC 上一动点（P与A、C 不重合），点E在线段BC 上，且PE=PB ．（1）求证：① PE=PD ；② PE⊥PD；（2）设AP=x ，△ PBE 的面积为y．① 求出y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；② 当x 取何值时，y 取得最大值，并求出这个最大值．9．（10分）（2010?河南）如图，直线y=k 1x+b 与反比例函数（x>0）的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1、k2 的值．2）直接写出 时 x 的取值范围；3）如图，等腰梯形 OBCD 中，BC ∥OD ，OB=CD ，OD 边在 x 轴上，过点 C 作 CE ⊥OD 于点函数的图象交于点 P ，当梯形 OBCD 的面积为 12 时，请判断 PC 和 PE 的大小关系，并说明理由．E ，CE 和反比例10．（10 分）（ 2007?福州）如图，已知直线与双曲线交于 A ， B 两点，且点 A 的横坐标为 4．1）求 k 的值； 2）若双曲线上一点 C 的纵坐标为 8，求 △AOC 的面积；3）过原点 O 的另一条直线 l 交双曲线 于 P ，Q 两点（ P 点在第一象限） ，若由点A ，B ，P ，Q 为P 的坐标．求点初二数学经典难题参考答案与试题解析、解答题（共 10 小题，满分 100 分）考点 ： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定。
(完整版)初二数学四边形难题(含答案)
初二数学四边形难题(含答案)1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。
6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。
_ D_ C_ B _ C_ A _ B_ A _ B_ E _A_ B7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E 若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ， 使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF ∥AC 。
8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边， 在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ， AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。
10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。
(完整版)初中数学经典难题(含答案)
经典难题（一）1、已知：如图，O 是半圆的圆心，C 、E 是圆上的两点，CD ⊥AB ，EF ⊥AB ，EG ⊥CO ． 求证：CD ＝GF ．（初二）2、已知：如图，P 是正方形ABCD 内点，∠PAD ＝∠PDA ＝150． 求证：△PBC 是正三角形．（初二）3、如图，已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1都是正方形，A 2、B 2、C 2、D 2分别是AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点．求证：四边形A 2B 2C 2D 2是正方形．（初二）4、已知：如图，在四边形ABCD 中，AD ＝BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，AD 、BC的延长线交MN 于E 、F ．求证：∠DEN ＝∠F ．A P C DB A F G CE BO D D 2 C 2B 2 A 2D 1 C 1 B 1C B DA A 1 A N FE CDMBP CG FB QA D E1、已知：△ABC 中，H 为垂心（各边高线的交点），O （1）求证：AH ＝2OM ； （2）若∠BAC ＝600，求证：AH ＝AO ．（初二）2、设MN 是圆O 外一直线，过O 作OA ⊥MN 于A ，自A 及D 、E ，直线EB 及CD 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设MN 是圆O 的弦，过MN 的中点A 任作两弦BC 、DE ，设CD 、EB 分别交MN 于P 、Q ． 求证：AP ＝AQ ．（初二）4、如图，分别以△ABC 的AC 和BC 为一边，在△ABC 的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，点P 是EF 的中点．求证：点P 到边AB 的距离等于AB 的一半．（初二）· A D HE M C B O · GAO D B EC Q P NM · O Q PB DEC N M · A1、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，AE ＝AC ，AE 与CD 相交于F ．求证：CE ＝CF ．（初二）2、如图，四边形ABCD 为正方形，DE ∥AC ，且CE ＝CA ，直线EC 交DA 延长线于F ．求证：AE ＝AF ．（初二）3、设P 是正方形ABCD 一边BC 上的任一点，PF ⊥AP ，CF 平分∠DCE ．求证：PA ＝PF ．（初二）4、如图，PC 切圆O 于C ，AC 为圆的直径，PEF 为圆的割线，AE 、AF 与直线PO 相交于B 、D ．求证：AB ＝DC ，BC ＝AD ．（初三）D AF D E C B E DA CB F A E PC B A OD BFAECP1、已知：△ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5．求：∠APB 的度数．（初二）2、设P 是平行四边形ABCD 内部的一点，且∠PBA ＝∠PDA ． 求证：∠PAB ＝∠PCB ．（初二）3、Ptolemy （托勒密）定理：设ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB ·CD ＋AD ·BC ＝AC ·BD ． （初三）4、平行四边形ABCD 中，设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点，AE 与CF 相交于P ，且 AE ＝CF ．求证：∠DPA ＝∠DPC ．（初二）AP C B P A D CB C B DAF PD E C B A1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点，l ＝PA ＋PB ＋PC ，求证：3≤L ＜2．2、已知：P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值．3、P 为正方形ABCD 内的一点，并且PA ＝a ，PB ＝2a ，PC ＝3a ，求正方形的边长．4、如图，△ABC 中，∠ABC ＝∠ACB ＝800，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，∠DCA ＝300，∠EBA ＝200，求∠BED 的度数．APCBACBPDEDCB AA CBPD经典难题（一）1、2、3、4、经典难题（二）1、2、4、经典难题（三）1、3、4、1、2、3、4、证明：过D 作DQ ⊥AE ，DG ⊥CF,并连接DF 和DE ，如右图所示 则S △ADE =21S ABCD =S △DFC ∴21 AE ﹒DQ = 21 DG ﹒FC 又∵AE=FC,∴DQ=DG,∴PD 为∠APC 的角平分线，∴∠DPA=∠DPC1、2、3、3、4、。
初二数学经典四边形习题50道(附答案)
初二数学经典四边形习题50道(附答案)1.在矩形ABCD中，已知AE垂直于BD于点E，且角DAE是角BAE的三倍。
求角EAC的度数。
2.在直角梯形ABCD中，BC=CD=a，且角BCD为60度。
点E和F分别为梯形的腰AB和DC的中点。
求EF的长度。
3.在等腰梯形ABCD中，AB平行于DC，AD=BC，E和F分别为AD和BC的中点。
BD平分角ABC，与EF交于点G，且EG=18，GF=10.求等腰梯形ABCD的周长。
4.在梯形ABCD中，AB平行于CD，以AD和EAC为邻边作平行四边形ACED。
DC的延长线交于BE于点F。
证明：F是BE的中点。
5.在梯形ABCD中，AB平行于CD，AC垂直于CB，AC平分角A，且角B为60度。
已知梯形的周长为20厘米。
求AB的长度。
6.从平行四边形ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别是E、F、G、H。
证明：EF平行于GH。
7.在梯形ABCD中，对角线交点为E。
在平行边的一边BC的延长线上取一点F，使得三角形ABC和三角形EBF的面积相等。
证明：DF平行于AC。
8.在正方形ABCD中，直线EF平行于对角线AC，与边AB和BC相交于点E和F。
在DA的延长线上取一点G，使AG等于AD。
若EG与DF相交于点H，证明：AH等于正方形的边长。
9.以直角三角形ABC的边AB为边，在三角形ABC的外部作正方形ABDE。
AF是BC边的高，延长FA使AG等于BC。
证明：BG等于CD。
10.在正方形ABCD中，E和F分别是AB和AD延长线上的一点，且AE、AF和AC相等。
EF交BC于点G，交AC于点K，交CD于点H。
证明：EG等于GC等于CH等于HF。
11.在正方形ABCD的对角线BD上，取BE等于AB。
过点E作BD的垂线EF，与CD相交于点F。
证明：CF等于ED。
12.在平行四边形ABCD中，角A和角D的平分线相交于点XXX与DC和AB的延长线交于点G和F。
初二平行四边形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)
A C BD 初二平行四边形所有知识点总结和常考题知识点：1、平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
2、平行四边形的性质：⑴平行四边形的对边相等；⑵平行四边形的对角相等：⑶平行四边形的对角线互相平分。
3平行四边形的判定：⑴.两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ⑵对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑶两组对角分别相等的四边形是平行四边形； ⑷一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
4、矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形。
5、矩形的性质：⑴矩形的四个角都是直角；⑵矩形的对角线相等。
6、矩形判定定理：⑴ 有三个角是直角的四边形是矩形；⑵对角线相等的平行四边形是矩形。
7、中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
（连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
）8、菱形的定义 ：有一组邻边相等的平行四边形。
9、菱形的性质：⑴菱形的四条边都相等；⑵菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
S 菱形=1/2×ab （a 、b 为两条对角线长）10、菱形的判定定理：⑴四条边相等的四边形是菱形。
⑵对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
11、正方形定义：一个角是直角的菱形或邻边相等的矩形。
12正方形判定定理：⑴ 邻边相等的矩形是正方形。
⑵有一个角是直角的菱形是正方形。
（矩形+菱形=正方形）常考题：一．选择题（共14小题）1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）A ．两组对边分别平行B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．两组对角分别相等2．平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD 是矩形，那么这个条件是（ ）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD3．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形4．顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形5．在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）6．如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．8 B．9 C．10 D．117．如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．168．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°9．如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．1010．如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．1711．如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2 B．4 C．4 D．812．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．1913．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF ⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1 B．C．4﹣2D．3﹣414．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°二．填空题（共13小题）15．已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为cm2．16．如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD的周长等于．17．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO 的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=厘米．18．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD 和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为．19．如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是．20．如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于度．21．如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是．22．如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．23．如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．24．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C （0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为．25．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，2），C（2，0）．请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．26．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．27．如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为．三．解答题（共13小题）28．如图，已知：AB∥CD，BE⊥AD，垂足为点E，CF⊥AD，垂足为点F，并且AE=DF．求证：四边形BECF是平行四边形．29．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．30．如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE．已知∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF．（1）试说明AC=EF；（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．31．如图，矩形ABCD中，AC与BD交于点O，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E，F．求证：BE=CF．32．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．33．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．34．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．（1）求证：CE=CF；（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？35．如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）求证：EO=FO；（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．36．如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF．求证：（1）△AEH≌△CGF；（2）四边形EFGH是菱形．37．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，BA⊥AD，BC=DC，BE⊥CD于点E．（1）求证：△ABD≌△EBD；（2）过点E作EF∥DA，交BD于点F，连接AF．求证：四边形AFED是菱形．38．如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE=度．39．在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．40．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE=EF．经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证△AME≌△ECF，所以AE=EF．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．初二平行四边形所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2013•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．2．（2014•河池）平行四边形ABCD中，AC、BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD【分析】根据对角线相等的平行四边形是矩形判断．【解答】解：A、是邻边相等，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；B、是对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；C、是对角线互相垂直，可得到平行四边形ABCD是菱形，故不正确；D、无法判断．故选B．【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．3．（2008•扬州）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A．当AB=BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形C．当∠ABC=90°时，它是矩形D．当AC=BD时，它是正方形【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据所给条件可以证出邻边相等；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形；根据对角线相等的平行四边形是矩形．【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故A选项正确；B、∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=OD，∵AC⊥BD，∴AB2=BO2+AO2，AD2=DO2+AO2，∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形，故B选项正确；C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确；D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误；综上所述，符合题意是D选项；故选：D．【点评】此题主要考查学生对正方形的判定、平行四边形的性质、菱形的判定和矩形的判定的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，学生答题时容易出错．4．（2011•张家界）顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形【分析】顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形，一组对边平行并且等于原来四边形某一对角线的一半，说明新四边形的对边平行且相等．所以是平行四边形．【解答】解：连接BD，已知任意四边形ABCD，E、F、G、H分别是各边中点．∵在△ABD中，E、H是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH=BD．∵在△BCD中，G、F是DC、BC中点，∴GF∥BD，GF=BD，∴EH=GF，EH∥GF，∴四边形EFGH为平行四边形．故选：A．【点评】本题三角形的中位线的性质考查了平行四边形的判定：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．5．（2006•南京）在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A，B，D的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），则顶点C的坐标是（）A．（3，7） B．（5，3） C．（7，3） D．（8，2）【分析】因为D点坐标为（2，3），由平行四边形的性质，可知C点的纵坐标一定是3，又由D点相对于A点横坐标移动了2，故可得C点横坐标为2+5=7，即顶点C的坐标（7，3）．【解答】解：已知A，B，D三点的坐标分别是（0，0），（5，0），（2，3），∵AB在x轴上，∴点C与点D的纵坐标相等，都为3，又∵D点相对于A点横坐标移动了2﹣0=2，∴C点横坐标为2+5=7，∴即顶点C的坐标（7，3）．故选：C．【点评】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示及平行线的性质和互为余（补）角的等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．6．（2014•河南）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A．8 B．9 C．10 D．11【分析】利用平行四边形的性质和勾股定理易求BO的长，进而可求出BD的长．【解答】解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∴BO=DO，AO=CO，∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，∴BO==5，∴BD=2BO=10，故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，是中考常见题型，比较简单．7．（2013•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12 B．24 C．12D．16【分析】在矩形ABCD中根据AD∥BC得出∠DEF=∠EFB=60°，由于把矩形ABCD 沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，所以∠EFB=∠DEF=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中可知∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°故△EFB′是等边三角形，由此可得出∠A′B′E=90°﹣60°=30°，根据直角三角形的性质得出A′B′=AB=2，然后根据矩形的面积公式列式计算即可得解．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠DEF=∠EFB=60°，∵把矩形ABCD沿EF翻折点B恰好落在AD边的B′处，∴∠DEF=∠EFB=60°，∠B=∠A′B′F=90°，∠A=∠A′=90°，AE=A′E=2，AB=A′B′，在△EFB′中，∵∠DEF=∠EFB=∠EB′F=60°∴△EFB′是等边三角形，Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E=90°﹣60°=30°，∴B′E=2A′E，而A′E=2，∴B′E=4，∴A′B′=2，即AB=2，∵AE=2，DE=6，∴AD=AE+DE=2+6=8，∴矩形ABCD的面积=AB•AD=2×8=16．故选D．【点评】本题考查了矩形的性质，翻折变换的性质，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等的性质，解直角三角形，作辅助线构造直角三角形并熟记性质是解题的关键．8．（2013•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【分析】连接BF，根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAC，∠BCF=∠DCF，四条边都相等可得BC=DC，再根据菱形的邻角互补求出∠ABC，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF=BF，根据等边对等角求出∠ABF=∠BAC，从而求出∠CBF，再利用“边角边”证明△BCF和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CDF=∠CBF．【解答】解：如图，连接BF，在菱形ABCD中，∠BAC=∠BAD=×80°=40°，∠BCF=∠DCF，BC=DC，∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣80°=100°，∵EF是线段AB的垂直平分线，∴AF=BF，∠ABF=∠BAC=40°，∴∠CBF=∠ABC﹣∠ABF=100°﹣40°=60°，∵在△BCF和△DCF中，，∴△BCF≌△DCF（SAS），∴∠CDF=∠CBF=60°．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性强，但难度不大，熟记各性质是解题的关键．9．（2015•河南）如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC 于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A．4 B．6 C．8 D．10【分析】由基本作图得到AB=AF，加上AO平分∠BAD，则根据等腰三角形的性质得到AO⊥BF，BO=FO=BF=3，再根据平行四边形的性质得AF∥BE，所以∠1=∠3，于是得到∠2=∠3，根据等腰三角形的判定得AB=EB，然后再根据等腰三角形的性质得到AO=OE，最后利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长．【解答】解：连结EF，AE与BF交于点O，如图，∵AB=AF，AO平分∠BAD，∴AO⊥BF，BO=FO=BF=3，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AF∥BE，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AB=EB，而BO⊥AE，∴AO=OE，在Rt△AOB中，AO===4，∴AE=2AO=8．故选C．【点评】本题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分．也考查了等腰三角形的判定与性质和基本作图．10．（2013•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14 B．15 C．16 D．17【分析】根据菱形得出AB=BC，得出等边三角形ABC，求出AC，长，根据正方形的性质得出AF=EF=EC=AC=4，求出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∵∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC=AB=4，∴正方形ACEF的周长是AC+CE+EF+AF=4×4=16，故选C．【点评】本题考查了菱形性质，正方形性质，等边三角形的性质和判定的应用，关键是求出AC的长．11．（2013•泰安）如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，∠BAD的平分线与BC 的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG=1，则AE的边长为（）A．2 B．4 C．4 D．8【分析】由AE为角平分线，得到一对角相等，再由ABCD为平行四边形，得到AD与BE平行，利用两直线平行内错角相等得到一对角相等，等量代换及等角对等边得到AD=DF，由F为DC中点，AB=CD，求出AD与DF的长，得出三角形ADF 为等腰三角形，根据三线合一得到G为AF中点，在直角三角形ADG中，由AD 与DG的长，利用勾股定理求出AG的长，进而求出AF的长，再由三角形ADF 与三角形ECF全等，得出AF=EF，即可求出AE的长．【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线，∴∠DAE=∠BAE，∵DC∥AB，∴∠BAE=∠DFA，∴∠DAE=∠DFA，∴AD=FD，又F为DC的中点，∴DF=CF，∴AD=DF=DC=AB=2，在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG=，则AF=2AG=2，∵平行四边形ABCD，∴AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，在△ADF和△ECF中，，∴△ADF≌△ECF（AAS），∴AF=EF，则AE=2AF=4．故选：B【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键．12．（2013•菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19【分析】由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．【解答】解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；∴S2的面积为EC2==8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选：B．【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．13．（2013•连云港）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD上，且∠BAE=22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为（）A．1 B．C．4﹣2D．3﹣4【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得∠ABD=∠ADB=45°，再求出∠DAE 的度数，根据三角形的内角和定理求∠AED，从而得到∠DAE=∠AED，再根据等角对等边的性质得到AD=DE，然后求出正方形的对角线BD，再求出BE，最后根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍计算即可得解．【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABD=∠ADB=45°，∵∠BAE=22.5°，∴∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣22.5°=67.5°，在△ADE中，∠AED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠DAE=∠AED，∴AD=DE=4，∵正方形的边长为4，∴BD=4，∴BE=BD﹣DE=4﹣4，∵EF⊥AB，∠ABD=45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF=BE=×（4﹣4）=4﹣2．故选：C．【点评】本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线平分一组对角，等角对等边的性质，正方形的对角线与边长的关系，等腰直角三角形的判定与性质，根据角的度数的相等求出相等的角，再求出DE=AD是解题的关键，也是本题的难点．14．（2014•福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC、BE 相交于点F，则∠BFC为（）A．45°B．55°C．60°D．75°【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，又∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD=DE，∠DAE=60°，∴AB=AE，∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°，∴∠ABE=（180°﹣150°）÷2=15°，又∵∠BAC=45°，∴∠BFC=45°+15°=60°．故选：C．【点评】本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，本题的关键是求出∠ABE=15°．二．填空题（共13小题）15．（2008•恩施州）已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为24cm2．【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．【解答】解：由已知得，菱形的面积等于两对角线乘积的一半即：6×8÷2=24cm2．故答案为：24．【点评】此题主要考查菱形的面积等于两条对角线的积的一半．16．（2015•梅州）如图，在▱ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则▱ABCD 的周长等于20．【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC，AB=CD，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE，∴AE+DE=AD=BC=6，∴AE+2=6，∴AE=4，∴AB=CD=4，∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20，故答案为：20．【点评】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出∠ABE=∠AEB．17．（2013•厦门）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF=3厘米．【分析】根据AC+BD=24厘米，可得出出OA+OB=12cm，继而求出AB，判断EF 是△OAB的中位线即可得出EF的长度．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，又∵AC+BD=24厘米，∴OA+OB=12cm，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB=6cm，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=AB=3cm．故答案为：3．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．18．（2007•临夏州）如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O 的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为3．【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；又∵∠AOE=∠COF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF，∴S△AOE =S△COF，∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．S△BCD=BC×CD=×2×3=3．故答案为：3．【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．19．（2014•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B 的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是（5，4）．【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标．【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D 在y轴上，∴AB=5，∴DO=4，∴点C的坐标是：（5，4）．故答案为：（5，4）．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及坐标与图形的性质，得出DO的长是解题关键．20．（2015•黄冈）如图，在正方形ABCD中，点F为CD上一点，BF与AC交于点E．若∠CBF=20°，则∠AED等于65度．【分析】根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用SAS证明△ABE与△ADE 全等，再利用三角形的内角和解答即可．【解答】解：∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE，在△ABE与△ADE中，，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴∠AEB=∠AED，∠ABE=∠ADE，∵∠CBF=20°，∴∠ABE=70°，∴∠AED=∠AEB=180°﹣45°﹣70°=65°，故答案为：65【点评】此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质得出∠BAE=∠DAE，再利用全等三角形的判定和性质解答．21．（2013•十堰）如图，▱ABCD中，∠ABC=60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF=，则AB的长是1．【分析】根据平行四边形性质推出AB=CD，AB∥CD，得出平行四边形ABDE，推出DE=DC=AB，根据直角三角形性质求出CE长，即可求出AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=CD，∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AB=DE=CD，即D为CE中点，∵EF⊥BC，∴∠EFC=90°，∵AB∥CD，∴∠DCF=∠ABC=60°，∴∠CEF=30°，∵EF=，∴CE==2，∴AB=1，故答案为：1．【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，平行线性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线性质，含30度角的直角三角形性质等知识点的应用，此题综合性比较强，是一道比较好的题目．22．（2013•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF ⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．【分析】根据已知条件解直角三角形ABE可求出AE的长，再由菱形的面积等于底×高计算即可．【解答】解：∵菱形ABCD的边长为4，∴AB=BC=4，∵AE⊥BC于E，∠B=60°，∴sinB==，∴AE=2，∴菱形的面积=4×2=8，故答案为8．【点评】本题考查了菱形的性质：四边相等以及特殊角的三角函数值和菱形面积公式的运用．23．（2013•鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是11．【分析】利用勾股定理列式求出BC的长，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EH=FG=AD，EF=GH=BC，然后代入数据进行计算即可得解．【解答】解：∵BD⊥CD，BD=4，CD=3，∴BC===5，∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，∴EH=FG=AD，EF=GH=BC，∴四边形EFGH的周长=EH+GH+FG+EF=AD+BC，又∵AD=6，∴四边形EFGH的周长=6+5=11．故答案为：11．【点评】本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理的应用，熟记三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解题的关键．24．（2015•攀枝花）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，矩形OABC中，A（10，0），C（0，4），D为OA的中点，P为BC边上一点．若△POD为等腰三角形，则所有满足条件的点P的坐标为（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．【分析】由矩形的性质得出∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，求出OD=AD=5，分情况讨论：①当PO=PD时；②当OP=OD时；③当DP=DO时；根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P的坐标．【解答】解：∵四边形OABC是矩形，∴∠OCB=90°，OC=4，BC=OA=10，∵D为OA的中点，∴OD=AD=5，①当PO=PD时，点P在OD得垂直平分线上，∴点P的坐标为：（2.5，4）；②当OP=OD时，如图1所示：则OP=OD=5，PC==3，∴点P的坐标为：（3，4）；③当DP=DO时，作PE⊥OA于E，则∠PED=90°，DE==3；分两种情况：当E在D的左侧时，如图2所示：OE=5﹣3=2，∴点P的坐标为：（2，4）；当E在D的右侧时，如图3所示：OE=5+3=8，∴点P的坐标为：（8，4）；综上所述：点P的坐标为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）；故答案为：（2.5，4），或（3，4），或（2，4），或（8，4）．【点评】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理；本题有一定难度，需要进行分类讨论才能得出结果．25．（2013•阜新）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣1，2），C（2，0）．请直接写出以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D 的坐标（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．【分析】首先根据题意画出图形，分别以BC，AB，AC为对角线作平行四边形，即可求得答案．【解答】解：如图：以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标分别为：（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．故答案为：（3，2），（﹣5，2），（1，﹣2）．【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意坐标与图形的关系．26．（2014•丹东）如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为．【分析】延长AB至M，使BM=AE，连接FM，证出△DAE≌EMF，得到△BMF 是等边三角形，再利用菱形的边长为4求出时间t的值．。
初二数学经典四边形习题50道(附答案)
1．已知：在矩形ABCD 中，AE BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。
6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。
_O_A_D_C_E_F_B _D_C_G _A _B_D _C_E _F _D _A _B _C_E _F _A_B_D _C _O_D _C_H _F _G_E7、已知：梯形ABCD 的对角线的交点为E 若在平行边的一边BC 的延长线上取一点F ， 使S ABC ∆=S EBF ∆，求证：DF ∥AC 。
8、在正方形ABCD 中，直线EF 平行于 对角线AC ，与边AB 、BC 的交点为E 、F ， 在DA 的延长线上取一点G ，使AG=AD ， 若EG 与DF 的交点为H ，求证：AH 与正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC 的边AB 为边， 在三角形ABC 的外部作正方形ABDE ，AF 是BC 边的高，延长FA 使AG=BC ，求证：BG=CD 。
10、正方形ABCD ，E 、F 分别是AB 、AD 延长线 上的一点，且AE=AF=AC ，EF 交BC 于G ，交AC 于K ，交CD 于H ，求证：EG=GC=CH=HF 。
人教版初二数学8年级下册 第18章(平行四边形)正方形中45°角的问题 专题训练(含答案)
人教版初二数学8年级下册 第18章（平行四边形）微专题7 正方形中45°角的问题1.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝45°，∠BCD ＝90°，CA 平分∠BCD ，若AC ＝，BD ＝5，求四边形ABCD 的面积.2.如图，在四边形AECD 中，∠E ＝∠C ＝90°，AE ＝CE ，M 为EC 上一点，若∠MAD ＝45°，CD ＝6，CM ＝8，求EM 的长.ABC DM AE CD3.如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 中点, ∠1＝∠2.(1)求证：AE ＝45°(2)求BFCF4.如图，在正方形ABCD 中，点E 是AD 上的一动点，连接BE .将△ABE 沿直线BE 折叠，A 落在正方形ABCD 形内的点F ，直线CF 交直线BE 于P ，求证：CFEF PA B C D5．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别为边AD 、BC 上的点，EF，点G 、H 别为AB 、CD 边上的点，连接GH ，若线段GH 与EF 的夹角为45°，求GH 的长．6．已知，正方形ABCD 中，点M 、N 为AB 、CD 上的点，AP ⊥M 于E ，交BC 于P ．(1)如图1，求证：AP =MN ；(2)如图2，若EA =EF ，连CF ，点G 为CF 中点，连DG 、DE ，求证：DE；(3)在(2)的条件下，若DA =DE ，且DN =32，BM =2，则DGHGF E DCB A A BC DE N MM E A B C D F G N7．点P 为正方形ABCD 外一点(1)如图1，∠APB =45°，∠ABP =30°，求证：ABAP(2)如图2，PB 平分∠APC ，AE ⊥BP ，连DP ，求证：PB +PD =2BE ；(3)如图3，AB =1，PA//BD ，PB =BD ，则PAAPB =30°DC B A P P A B CDE P A B CD微专题7 正方形中45°角的问题1.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝45°，∠BCD ＝90°，CA 平分∠BCD ，若AC ＝，BD ＝5，求四边形ABCD 的面积.解：过点A 作AQ ⊥CD ，AP ⊥BC ，垂足分别为Q 、P ，则四边形AQCP 为正方形延长BP 至G ，使GP ＝DQ ，易证△AGP ≌△ADQ (SAS )，则AG ＝AD ，∠GAP ＝∠DAQ由∠BAD ＝45°可得∠GAB ＝45°，则△GAB ≌△BAD (SAS )∴BD ＝GB s ＝S 正方形APCQ －S △AGB ＝36－12GB ×AP ＝36－12×5×6＝212.如图，在四边形AECD 中，∠E ＝∠C ＝90°，AE ＝CE ，M 为EC 上一点，若∠MAD ＝45°，CD ＝6，CM ＝8，求EM 的长.解：延长CD ，作AF ⊥CD 于点F ，则四边形AECF 为正方形延长CF 至B ，使BF ＝ME ，易证△AEM ≌△AFB (SAS )，则AM ＝AB ，∠EAM ＝∠FAB由∠BAD ＝45°,则∠EAM ＋∠DAF ＝45°∴∠DAB ＝45°,则△MAD ≌△BAD (SAS ) ∴BD ＝MD ＝10设EM ＝x ∴DF ＝10－x ＝8＋x －6； x ＝4，即EM ＝4AB C D G P QABCD3.如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 中点, ∠1＝∠2.(1)求证：AE ＝45°(2)求BFCF(1)证明：过A 作AM ⊥EF ∵AB ∥CD ∴∠AED ＝∠1∵∠1＝∠2 ∴∠AED ＝∠2 又∵AE ＝AE ∠D ＝∠AME ＝90°∴△AEM ≌△AED (AAS ) ∴AM ＝AD ∠MAE ＝∠DAE同理可证△ABF ≌△AMF ∴∠BAF ＝∠FAM ∴∠FAE ＝12∠BAD ＝45°(2)解：设正方形边长为2a BF ＝x ∵E 为CD 中点，∴DE ＝CE ＝a ，CF ＝2a －x由(1)知FE ＝BF ＋DE ＝a ＋x 在Rt △CEP 中，由勾股定理得a 2＋(2a －x )2＝(a ＋x )2∴x ＝23a ∴BF CF ＝124.如图，在正方形ABCD 中，点E 是AD 上的一动点，连接BE .将△ABE 沿直线BE 折叠，A 落在正方形ABCD 形内的点F ，直线CF 交直线BE 于P ，求证：CF证明：作DQ ⊥PC ，BH ⊥FC ，易证△DQC ≌△CHB ∴DQ ＝HC ＝HF易证BH ＝HP ＝QC ∴PQ ＝HC ＝HF ∴PDPQHC而FC ＝2HC ，∴ FCPDM A E C DM BFA ECD5．如图，正方形ABCD 的边长为2，点E 、F 分别为边AD 、BC 上的点，EF，点G 、H 别为AB 、CD 边上的点，连接GH ，若线段GH 与EF 的夹角为45°，求GH 的长．解：过B 作BM//EF ，BN//GH 由题意得∠MBN =45∴AM +CN =MN又∵EF，AB =2，∴AM =1，设NC =x∴DN =2－x ，MN =x +1∴(x +1)2=(2－x )2+1，∴x =23∴GH =BN6．已知，正方形ABCD 中，点M 、N 为AB 、CD 上的点，AP ⊥M 于E ，交BC 于P ．(1)如图1，求证：AP =MN ；(2)如图2，若EA =EF ，连CF ，点G 为CF 中点，连DG 、DE ，求证：DE；(3)在(2)的条件下，若DA =DE ，且DN =32，BM =2，则DG证明：(1)作BF//MN ，∴四边形MBFN 为平行四边形∴MN =BF可证△BFC ≌△APB ，∴BF =AP ，∴AP =MN(2)连EG 并延长使得EG =QG ，连CQ ，∴CQ 平行且等于EFEF PA B C D HQ E FP A BC D HGF E DCB A A BC DE N MM E A B C D F G N连DQ ，可证∠DCQ =∠CNE =∠EAD 且CQ =EF =AE∴易证△DAE ≌△DCQ ，∴DE ⊥DQ 且DE =DQ∴△DEG 为等腰Rt △，∴DE7．点P 为正方形ABCD 外一点(1)如图1，∠APB =45°，∠ABP =30°，求证：ABAP(2)如图2，PB 平分∠APC ，AE ⊥BP ，连DP ，求证：PB +PD =2BE ；(3)如图3，AB =1，PA//BD ，PB =BD ，则PAAPB =30°证明：(1)作AM ⊥BP ，设AM =aAP，而AB =2a ，∴ABAP(2)作BM ⊥PC ，BN ⊥AP∴BP 平分∠APC ，∴BN =BM ，又∵BA =BC ，∴△ABN ≌△CBM ，∴∠MAB =∠MCB ∴∠BAP +∠BCP =180°，∴∠ABC +∠APC =180°，∴∠APB =∠BPC =45°作CQ ⊥PC 交PB 的延长线于点Q ，可证△PDC ≌△QBC∴∠Q =∠DPC =45°，∴PD +PBPC过C 作CH ⊥BP ，可证CH =BE又∵PCHC ，∴PCBE ，∴PB +PD =2BE D C B A P PAB C D E PA B CD。
初二数学经典四边形习题50道(附答案)
1．已知：在矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ， ∠DAE=3∠BAE ，求：∠EAC 的度数。
2．已知：直角梯形ABCD 中，BC=CD=a 且∠BCD=60︒，E 、F 分别为梯形的腰AB 、 DC 的中点，求：EF 的长。
3、已知：在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ， AD=BC ，E 、F 分别为AD 、BC 的中点，BD 平分∠ABC 交EF 于G ，EG=18，GF=10 求：等腰梯形ABCD 的周长。
4、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，以AD ， AC 为邻边作平行四边形ACED ，DC 延长线 交BE 于F ，求证：F 是BE 的中点。
5、已知：梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥CB ， AC 平分∠A ，又∠B=60︒，梯形的周长是 20cm, 求：AB 的长。
6、从平行四边形四边形ABCD 的各顶点作对角线的垂线AE 、BF 、CG 、DH ，垂足分别是E 、F 、G 、H ，求证：EF ∥GH 。
_ D_ C_B _ C_ A _ B_ A _ B_ E _A_ B7、已知：梯形ABCD的对角线的交点为E 若在平行边的一边BC的延长线上取一点F，使SABC∆=SEBF∆，求证：DF∥AC。
8、在正方形ABCD中，直线EF平行于对角线AC，与边AB、BC的交点为E、F，在DA的延长线上取一点G，使AG=AD，若EG与DF的交点为H，求证：AH与正方形的边长相等。
9、若以直角三角形ABC的边AB为边，在三角形ABC的外部作正方形ABDE，AF是BC边的高，延长FA使AG=BC，求证：BG=CD。
10、正方形ABCD，E、F分别是AB、AD延长线上的一点，且AE=AF=AC，EF交BC于G，交AC于K，交CD于H，求证：EG=GC=CH=HF。
11、在正方形ABCD的对角线BD上，取BE=AB，若过E作BD的垂线EF交CD于F，求证：CF=ED。
_B_C_B_F_B_C_F_C_D _B_F_B_A_E12、平行四边形ABCD 中，∠A 、∠D 的平分线相交于E ，AE 、DE 与DC 、AB 延长线交于G 、F ，求证：AD=DG=GF=FA 。
(专题精选)初中数学四边形难题汇编及答案
（专题优选）初中数学四边形难题汇编及答案一、选择题1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝ 8， BD＝ 6，点 E， F 分别是边A B， BC的中点，点P 在 AC上运动，在运动过程中，存在PE＋ PF 的最小值，则这个最小值是（）A．3B．4C．5D．6【答案】 C【分析】【剖析】先依据菱形的性质求出其边长，再作 E 对于 AC 的对称点E′，连结 E′F，则 E′F即为 PE+PF 的最小值，再依据菱形的性质求出E′F的长度即可．【详解】解：如图∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=6， BD=8，∴A B= 3242 =5，作 E 对于 AC 的对称点 E′，连结 E′F，则 E′F即为 PE+PF的最小值，∵AC 是∠ DAB 的均分线， E 是 AB 的中点，∴E′在 AD 上，且 E′是 AD 的中点，∵AD=AB，∴AE=AE′，∵F 是 BC的中点，∴E′F=AB=5．应选 C．2．如图，把矩形ABCD 沿 EF 对折后使两部分重合，若 1 50o，则AEF =（）A．110 °B． 115 °C． 120 °D． 130 °【答案】 B【分析】【剖析】依据翻折的性质可得∠2=∠ 3，再求出∠ 3，而后依据两直线平行，同旁内角互补列式计算即可得解．【详解】∵矩形 ABCD 沿 EF 对折后两部分重合， 1 50 o，180 -50=65 °，∴∠ 3=∠ 2=2∵矩形对边 AD∥ BC，∴∠ AEF=180°-∠ 3=180°-65 °=115°．应选： B．【点睛】本题考察了矩形中翻折的性质，两直线平行的性质，平角的定义，掌握翻折的性质是解题的重点．AB 为8cm，BC 长为3．如图，小莹用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AE)．则此时EC=()cm 10cm．当小莹折叠时，极点 D 落在BC 边上的点F处 (折痕为A．4B．2C．22D．3【答案】 D【分析】【剖析】DE=EF，在 Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF=6，则 CF=BC﹣ BF=4，设 CE=x，则 DE=EF=8﹣x，在 Rt△CEF中利用勾股定理获得 :42+x2=（ 8﹣ x）2，而后解方程即可．【详解】解：∵四边形 ABCD为矩形，∴ AB=CD=8， BC=AD=10，∠ B=∠C=90°．∵长方形纸片 ABCD折纸，极点 D 落在 BC 边上的点 F 处（折痕为AE），∴AF=AD=10， DE=EF，在 Rt△ABF 中， AB=8， AF=10，∴ BF=AF 2AB26∴C F=BC﹣ BF=4．设 CE=x，则 DE=EF=8﹣x，在 Rt△CEF中，∵ CF2 2 2， +CE=EF∴42+x2 =（ 8﹣ x）2，解得 x=3∴EC的长为 3cm ．应选： D【点睛】本题考察了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；娴熟掌握折叠的性质和矩形的性质，依据勾股定理得出方程是解题重点．4．以下命题错误的选项是（）A．平行四边形的对角线相互均分B．两直线平行，内错角相等C．等腰三角形的两个底角相等D．若两实数的平方相等，则这两个实数相等【答案】 D【分析】【剖析】依据平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，分别进行判断，即可获得答案.【详解】解： A、平行四边形的对角线相互均分，正确；B、两直线平行，内错角相等，正确；C、等腰三角形的两个底角相等，正确；D 错误；D、若两实数的平方相等，则这两个实数相等或互为相反数，故应选： D.【点睛】本题考察了判断命题的真假，以及平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、乘方的定义，解题的重点是娴熟掌握所学的性质进行解题.5．如图，若Y OABC的极点O ，A ， C 的坐标分别为(0,0)， (4,0)， (1,3) ，则极点BA．(4,1)B．(5,3)C．(4,3)D．(5, 4)【答案】 B【分析】【剖析】依据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标 .【详解】解：∵四边形OABC是平行四边形，∴OC∥ AB， OA∥ BC，∴点 B 的纵坐标为3，∵点 O 向右平移 1 个单位，向上平移∴点 A 向右平移 1 个单位，向上平移3 个单位获得点3 个单位获得点C，B，∴点 B 的坐标为：（ 5， 3）；应选： B.【点睛】本题考察了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的重点是娴熟掌握平行四边形的性质进行解题 .6．如图，已知AD是三角形纸片ABC的高，将纸片沿直线EF折叠，使点A与点D重合，给出以下判断：① EF 是V ABC的中位线；② VDEF 的周长等于VABC周长的一半：③若四边形 AEDF 是菱形，则 AB AC ；④若 BAC 是直角，则四边形AEDF是矩形．此中正确的选项是()A．①②③B．①②④C．②④D．①③④【答案】 A【分析】依据折叠可得 EF 是 AD 的垂直均分线，再加上条件 AD 是三角形纸片 ABC 的高能够证明 EF∥BC ，从而可得 △AEF ∽△ ABC ，从而得AEAF AO 1 ，从而获得 EF 是 △ABC 的中 ABAC AD 2位线；再依据三角形的中位线定理可判断出△AEF 的周长是 △ABC 的一半，从而获得 △DEF的周长等于 △ABC 周长的一半；依据三角形中位线定理可得AE=1AB ， AF=1 AC ，若四边形22AEDF 是菱形则 AE=AF ，即可获得 AB=AC ．【详解】解：∵ AD 是 △ABC 的高，∴AD ⊥ BC ，∴∠ ADC=90°，依据折叠可得： EF 是 AD 的垂直均分线，∴AO=DO= 1AD ， AD ⊥ EF ，2∴∠ AOF=90°，∴∠ AOF=∠ADC=90°，∴ E F ∥ BC ，∴△ AEF ∽△ ABC ，AEAF AO 1 ABACAD，2∴ E F 是 △ABC 的中位线，故① 正确；∵EF 是 △ABC 的中位线，∴△ AEF 的周长是 △ABC 的一半，依据折叠可得 △AEF ≌△ DEF ，∴△ DEF 的周长等于 △ABC 周长的一半，故② 正确；∵EF 是 △ABC 的中位线，∴ A E= 1 AB ， AF= 1AC ，2 2若四边形 AEDF 是菱形，则 AE=AF ，∴AB=AC ，故③ 正确；依据折叠只好证明∠BAC=∠ EDF=90°，不可以确立∠ AED 和∠ AFD 的度数，故④错误；应选： A．【点睛】本题主要考察了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，重点是掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半．7．如图，点M 是正方形ABCD边 CD 上一点，连结AM ，作 DE⊥ AM 于点 E， BF⊥AM 于点F，连结 BE，若 AF＝ 1，四边形ABED的面积为6，则∠ EBF的余弦值是（）A．2 13B．3 13C．2D．131313313【答案】 B【分析】【剖析】第一证明△ABF≌△ DEA获得 BF=AE；设 AE=x，则 BF=x， DE=AF=1，利用四边形ABED的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和获得1x 获得 AE=BF=3，?x?x+?x × 1=6，解方程求出2则 EF=x-1=2，而后利用勾股定理计算出BE，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD为正方形，∴BA＝ AD，∠ BAD＝ 90°，∵DE⊥AM 于点 E， BF⊥ AM 于点 F，∴∠ AFB＝ 90°，∠ DEA＝ 90°，∵∠ ABF+∠ BAF＝ 90°，∠ EAD+∠ BAF＝90°，∴∠ ABF＝∠ EAD，在△ABF 和△DEA 中BFA DEAABF EADAB DA∴△ ABF≌△ DEA（ AAS），∴B F＝ AE；设 AE＝ x，则 BF＝ x，DE＝ AF＝ 1，∵四边形 ABED的面积为 6，∴11 x 13 x 2 4x xx 1 6 ，解得＝﹣＝ ，（舍去），22∴ E F ＝ x ﹣ 1＝2，在 Rt △BEF 中， BE22 32 13 ，BF3 3 13 ∴cos EBF13．BE13应选 B ． 【点睛】本题考察了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形拥有四边形、平行四边形、矩形、菱形的全部性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考察认识直角三角形．8．在平面直角坐标系中， A ， B ， C 三点坐标分别是（ 0，0），（ 4，0），（ 3， 2），以A ，B ，C 三点为极点画平行四边形，则第四个极点不行能在（ ） .A ．第一象限 【答案】 CB ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】A 点在原点上，B 点在横轴上，C 点在第一象限，依据平行四边形的性质：两组对边分别平 行，可知第四个极点可能在第一、二、四象限，不行能在第三象限，应选C9．已知，如图，在V ABC中，ACB90，A 30，求证：BC1AB．在证明2该结论时，需增添协助线，则作法不正确的选项是（ ）A ．延伸 BC 至点 D ，使 CDBC ，连结 AD B ．在 ACB 中作 BCEB ，CE 交 AB 于点 EC ．取 AB 的中点 P ，连结 CPD ．作 ACB 的均分线 CM ，交 AB 于点 M 【答案】 D【分析】【剖析】分别依据各选项的要求进行证明，推出正确结论，则问题可解.解：选项 A ： 如图，由协助线可知，VABC ; ADC ，则有 AB=AD ，再由ACB 90 ，由 BAC 30，则 B 60，∴ △ABD 是等边三角形∴BC1DB1AB22应选项 A 正确；选项 B:如图，由协助线可知， △ EBD 是等边三角形则BECEAC ECA 60 ,BE=EC∵A 30∴ECAA 30∴ A E=EC∴ BC 1AB2应选项 B 正确选项 C 如图，有协助线可知， CP 为直角三角形斜边上的中线∴ A P=CP=BP∵ A 30∴ B 60∴VPBC 是等边三角形1∴BC BP AB综上可知选项 D 错误故应选 D【点睛】本题主要考察了全等三角形的判断，等边三角形的判断与性质的综合应用，依据条件选择正确的证明方法是解题的重点．10．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是 ()A．8B． 9C． 10D． 12【答案】 A【分析】试题剖析：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，依据多边形的相邻的内角与外角互补可的方程x+3x=180，解可得外角的度数，再用外角和除之外角度数即可获得边数．解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，由题意得： x+3x=180，解得 x=45，这个多边形的边数：360°÷45=8°，应选 A．考点：多边形内角与外角．11．在四边形 ABCD中， AD∥ BC，要使四边形ABCD是平行四边形，可增添的条件不正确的是（）A． AB∥ CD B．∠ B＝∠ D C． AD＝ BC D． AB＝ CD【答案】 D【分析】【剖析】依据平行四边形的判断解答即可．【详解】∵AD∥ BC， AB∥ CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故 A 正确；∵AD∥ BC， AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形，故 C 正确；∵AD∥ BC，∴∠ D+∠ C=180°，∵∠ B=∠D，∴∠ B+C=180°，∴AB∥ CD，∴四边形ABCD是平行四边形，故 B 正确；应选： D．【点睛】本题考察平行四边形的判断，解题重点是依据平行四边形的判断解答．12．以下说法中正确的选项是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．两条对角线相互垂直的四边形是菱形C．两条对角线相互垂直均分的四边形是正方形D．两条对角线相等的菱形是正方形【答案】 D【分析】【剖析】本题考察了菱形，矩形，正方形的判断方法，娴熟掌握菱形，矩形，正方形的判断方法是解题的重点 .【详解】A. 有一个角是直角的四边形是矩形,错误；B.两条对角线相互垂直的四边形是菱形，错误；C.两条对角线相互垂直均分的四边形是正方形，错误；D.两条对角线相等的菱形是正方形，正确.应选 D.【点睛】本题考察了菱形，矩形，正方形的判断方法，娴熟掌握菱形，矩形，正方形的判断方法是解题的重点，考察了学生娴熟运用知识解决问题的能力.13．如图，△ABC中， AB＝ AC＝ 10，BC＝ 12， D 是 BC的中点， DE⊥AB 于点 E，则 DE 的长为（）681224 A．B．C．D．5555【答案】 D【分析】【剖析】连结 AD，依据已知等腰三角形的性质得出三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连结ADAD⊥ BC 和 BD=6，依据勾股定理求出AD，依据∵A B=AC，D 为BC 的中点，BC=12，∴AD⊥ BC， BD=DC=6，在 Rt△ADB 中，由勾股定理得：2222AD=AB BD10 6 8，∵S△ADB= 1× AD× BD＝1× AB×，DE 22∴DE= ADBD8 624，AB105应选 D．【点睛】本题考察了等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）、勾股定理和三角形的面积，能求出AD 的长是解本题的重点．14．如图，菱形 OBCD在平面直角坐标系中的地点如下图，极点B（0，2 3），∠DOB=60 °P是对角线OC上的一个动点，已知A10AP+BP的最小值为，点（﹣，），则（）A．4B．5C．33D．19【答案】 D【分析】【剖析】点 B 的对称点是点D，连结 AD，则 AD 即为 AP+BP的最小值，求出点 D 坐标解答即可．【详解】解：连结AD，如图，∵点 B 的对称点是点 D ，∴AD 即为 AP+BP 的最小值，∵四边形 OBCD 是菱形，极点 B （ 0， 2 3 ），∠ DOB=60°，∴点 D 的坐标为（ 3，3 ），∵点 A 的坐标为（﹣ 1， 0），∴AD= ( 3)24219，应选： D ．【点睛】本题考察菱形的性质，重点是依据两点坐标得出距离．15． 用三种边长相等的正多边形地砖铺地，其极点拼在一同，恰好能完整铺满地面．已知正多边形的边数为1 1 1 ）x ， y ， z ，则y的值为（xzA ．121 1B ．C ．D ．323【答案】 C 【分析】剖析：依据边数求出各个多边形的每个内角的度数，联合镶嵌的条件列出方程，从而即可求出答案．详解：由题意知，这 3 种多边形的 3 个内角之和为 360 度，已知正多边形的边数为 x 、 y 、z ，那么这三个多边形的内角和可表示为：（ x 2） 180 （y2） 180 （ z 2） 180180 得： 1﹣2 2 +y+=360，两边都除以+1﹣+1﹣xzxy21 1 1 1 ．z =2，两边都除以2 得： x + y + z = 2应选 C ．点睛：解决本题的重点是知道这 3 种多边形的3 个内角之和为360 度，据此进行整理剖析得解．16． 如图，在 □ ABCD 中， E 、F 分别是边 BC 、CD 的中点， AE 、 AF 分别交 BD 于点 G 、 H ，则图中暗影部分图形的面积与 □ABCD 的面积之比为（ ）A ．7 : 12B ．7 : 24C ．13 : 36D ．13 : 72【答案】 B【分析】【剖析】依据已知条件想方法证明 BG=GH=DH ，即可解决问题；【详解】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB ∥ CD ， AD ∥ BC ， AB=CD ， AD=BC ，∵ D F=CF ， BE=CE ，∴ DHDF1 ， BG BE 1 ， HBAB 2 DG AD 2∴ DHBG 1 ， BDBD3∴BG=GH=DH ，∴S △ABG =S △AGH =S △ADH ， ∴S 平行四边形 ABCD =6 S △AGH ，∴S △AGH ： S平行四边形 ABCD =1： 6， ∵E 、 F 分别是边 BC 、 CD 的中点 ,∴EF 1, BD 2S VEFC1∴S V BCDD 4,SVEFC1∴8 ,S 四边形 ABCDS V AGH S VEFC 1 1 7∴6 824 =7∶24,S四边形ABCD应选 B.【点睛】本题考察了平行四边形的性质、平行线分线段成比率定理、等底同高的三角形面积性质，题目的综合性很强，难度中等．17． 如图，在矩形 ABCD 中， AD=2 AB ，∠ BAD 的均分线交 B C 于点 E ，DH ⊥ AE 于点 H ，连结 BH 并延伸交 CD 于点 F ，连结 DE 交 BF 于点 O ，以下结论： ① ∠ AED=∠ CED ；②OE=OD；③ BH=HF ；④ BC ﹣ CF=2HE；⑤ AB=HF，此中正确的有（）A．2 个B．3 个C．4 个D．5 个【答案】 C【分析】【剖析】【详解】试题剖析：∵在矩形ABCD中， AE 均分∠ BAD，∴∠ BAE=∠ DAE=45°，∴△ ABE 是等腰直角三角形，∴A E= 2 AB，∵A D= 2 AB，∴AE=AD，又∠ ABE=∠ AHD=90°∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ ADE=∠ AED= 1（ 180°﹣45°）=67.5 °，2∴∠ CED=180°﹣ 45°﹣ 67.5 °=67.5 °，∴∠ AED=∠ CED，故①正确；∵∠ AHB=1（ 180°﹣ 45°） =67.5 °，∠ OHE=∠AHB（对顶角相等），2∴∠ OHE=∠ AED，∴OE=OH，∵∠ OHD=90°﹣ 67.5 °=22.5 °，∠ ODH=67.5°﹣45°=22.5 °，∴∠ OHD=∠ ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；∵∠ EBH=90°﹣ 67.5 °=22.5 °，∴∠ EBH=∠ OHD，又 BE=DH，∠ AEB=∠HDF=45°∴△ BEH≌△ HDF（ ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；由上述①、② 、③可得 CD=BE、 DF=EH=CE， CF=CD-DF，∴BC-CF=（CD+HE） -（ CD-HE）=2HE，因此④正确；∵A B=AH，∠ BAE=45°，∴△ABH 不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即 AB≠HF，故⑤错误；综上所述，结论正确的选项是①②③④共4个．应选 C．【点睛】考点： 1、矩形的性质； 2、全等三角形的判断与性质； 3、角均分线的性质； 4、等腰三角形的判断与性质18．如图，△ABC中， AB=4， AC=3， AD、 AE 分别是其角均分线和中线，过点 C 作 CG⊥ AD 于 F，交 AB 于 G，连结 EF，则线段EF的长为（）A．1321 B．C．D．432【答案】 D【分析】【剖析】由等腰三角形的判断方法可知△AGC是等腰三角形，因此 F 为 GC 中点，再由已知条件可得EF 为△CBG的中位线，利用中位线的性质即可求出线段EF的长．【详解】∵AD 是△ABC 角均分线， CG⊥AD 于 F，∴△ AGC是等腰三角形，∴AG=AC=3， GF=CF，∵AB=4， AC=3，∴B G=1，∵AE 是△ABC 中线，∴B E=CE，∴E F 为△CBG的中位线，∴E F=1BG=1，22应选： D．【点睛】本题考察等腰三角形的判断和性质、三角形的中位线性质定理，解题重点在于掌握三角形的中位线平行于第三边，而且等于第三边的一半．19．以下结论正确的选项是（）A．平行四边形是轴对称图形B．平行四边形的对角线相等C．平行四边形的对边平行且相等【答案】 CD．平行四边形的对角互补，邻角相等【分析】【剖析】分别利用平行四边形的性质和判断逐项判断即可．【详解】A、平行四边形不必定是轴对称图形，故 A 错误；B、平行四边形的对角线不相等，故 B 错误；C、平行四边形的对边平行且相等，故C正确；D、平行四边形的对角相等，邻角互补，故应选： C．D 错误．【点睛】本题考察平行四边形的性质，掌握特别平行四边形与一般平行四边形的差别是解题的重点．20．如图，矩形ABCD的对角线 AC、 BD 订交于点O， AB： BC＝ 2：1，且 BE∥ AC， CE∥DB，连结 DE，则 tan ∠ EDC＝（）11C．23A．B．6D．4610【答案】 B【分析】【剖析】过点 E 作 EF⊥直线 DC 交线段 DC 延伸线于点 F，连结 OE 交 BC 于点 G．依据邻边相等的平行四边形是菱形即可判断四边形OBEC是菱形，则OE与 BC垂直均分，易得EF=1 x，2CF=x．再由锐角三角函数定义作答即可．【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC、BD 订交于点O， AB： BC＝ 2： 1，∴BC＝ AD，设 AB＝ 2x，则 BC＝ x．如图，过点 E 作 EF⊥直线 DC 交线段 DC延伸线于点F，连结 OE交 BC于点 G．∵BE∥AC， CE∥BD，∴四边形BOCE是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝ OC，∴四边形BOCE是菱形．∴OE 与 BC 垂直均分，∴E F＝1AD＝1x， OE∥ AB，22∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE＝AB＝ 2x，∴C F＝1OE＝ x．2∴tan ∠ EDC＝EF＝1x＝12．DF2x x6应选： B．【点睛】本题考察矩形的性质、平行四边形的判断与性质、菱形的判断与性质以及解直角三角形，解题的重点是娴熟掌握矩形的性质和菱形的判断与性质，属于中考常考题型．。