江苏专用2019高考数学二轮复习解答题专项练3应用题理20190109289
江苏省2019高考数学二轮复习 自主加餐的3大题型 3个附加题综合仿真练(二)(理)(含解析)
3个附加题综合仿真练(二）(理科)1．本题包括A、B、C三个小题，请任选二个作答A．[选修4－2:矩阵与变换]已知变换T将平面上的点错误!，（0，1）分别变换为点错误!，错误!.设变换T对应的矩阵为M.（1）求矩阵M；(2)求矩阵M的特征值．解：（1）设M＝错误!，则错误!错误!＝错误!，错误!错误!＝错误!，即错误!解得错误!则M＝错误!。
(2）设矩阵M的特征多项式为f（λ)，可得f(λ）＝错误!＝(λ－3)（λ－4)－6＝λ2－7λ＋6,令f（λ)＝0，可得λ＝1或λ＝6.B．［选修4－4:坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．直线l：错误!ρsin错误!（t为参数）．当圆心C到直线l的距离为2时，求＝m(m∈R),圆C的参数方程为｛x＝1＋3cos t，y＝－2＋3sin tm的值．解：由错误!ρsin错误!＝m，得错误!ρsin θcos错误!－错误!ρcos θsin错误!＝m，即x－y＋m＝0,即直线l的直角坐标方程为x－y＋m＝0，圆C的普通方程为（x－1)2＋(y＋2）2＝9,圆心C到直线l的距离d＝错误!＝错误!，解得m＝－1或m＝－5。
C．［选修4－5：不等式选讲]已知x，y，z都是正数且xyz＝8，求证：(2＋x)（2＋y)·（2＋z)≥64.证明:因为x为正数,所以2＋x≥2错误!.同理2＋y≥2错误!，2＋z≥2错误!.所以（2＋x）( 2＋y）（ 2＋z）≥2错误!·2错误!·2错误!＝8错误!.因为xyz＝8，所以(2＋x)（2＋y）（2＋z）≥64.2．如图，在棱长为3的正方体ABCD。
A1B1C1D1中，A1E＝CF＝1.（1）求两条异面直线AC 1与BE 所成角的余弦值； (2)求直线BB 1与平面BED 1F 所成角的正弦值．解：（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz ，如图所示，则A (3，0,0）,C 1（0，3，3）,B (3，3，0)，E （3,0,2），AC 1，―→＝(－3，3,3），错误!＝(0，－3，2)，所以cos 〈错误!，错误!〉＝错误! ＝错误!＝－错误!，故两条异面直线AC 1与BE 所成角的余弦值为错误!.（2)由(1）知错误!＝（0，－3,2）,又D 1（0,0,3），B 1（3，3,3）， 所以错误!＝（3,0，－1），错误!＝（0,0，3）． 设平面BED 1F 的法向量为n ＝（x ,y ，z )，则错误!即错误!令x ＝1，得y ＝2，z ＝3，n ＝(1,2，3）是平面BED 1F 的一个法向量． 设直线BB 1与平面BED 1F 所成的角为α，则 sin α＝错误!＝错误!＝错误!，所以直线BB 1与平面BED 1F 所成角的正弦值为错误!。
苏教版2019年高考数学(文科)二轮专题复习大题规范练三(含答案)
大题规范练(三)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本题满分12分)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE ，其中三角形区域ABE 为生活区，四边形区域BCDE 为教学区，AB ，BC ，CD ，DE ，EA ，BE 为学校的主要道路(不考虑宽度)．∠BCD ＝∠CDE ＝2π3，∠BAE ＝π3，DE ＝3BC ＝3CD ＝910km.(1)求道路BE 的长度；(2)求生活区△ABE 面积的最大值．解：(1)如图，连接BD ，在△BCD 中，BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos∠BCD ＝27100，∴BD ＝3310km.∵BC ＝CD ，∴∠CDB ＝∠CBD ＝π－23π2＝π6，又∠CDE ＝2π3，∴∠BDE ＝π2.∴在Rt△BDE 中，BE ＝BD 2＋DE 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33102＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9102＝335(km)． 故道路BE 的长度为335 km.(2)设∠ABE ＝α，∵∠BAE ＝π3，∴∠AEB ＝2π3－α. 在△ABE 中，易得AB sin∠AEB ＝AE sin∠ABE ＝BEsin∠BAE ＝335sinπ3＝65， ∴AB ＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α，AE ＝65sin α. ∴S △ABE ＝12AB ·AE sin π3＝9325sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－αsin α＝9325⎣⎢⎡⎦⎥⎤12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＋14≤9325⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＝273100(km 2)． ∵0＜α＜2π3，∴－π6＜2α－π6＜7π6.∴当2α－π6＝π2，即α＝π3时，S △ABE 取得最大值，最大值为273100km 2，故生活区△ABE 面积的最大值为273100km 2.2．(本题满分12分)一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄(单位：岁)在[20，60]内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如下表：(1)12 000人(年龄在[20，60]内)购物，试根据上述数据估计该商场当天应准备多少个环保购物袋．(2)某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式选出7人进行跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的概率．解：(1)由表可知，该日该商场使用移动支付的顾客人数与顾客总人数之比为7∶12，若某日该商场有12 000人购物，则估计该商场要准备环保购物袋的个数为12 000×712＝7 000.(2)由题知，抽样比为1∶15，所以应从年龄在[20，30)内的顾客中选出3人，[30，40)内的顾客中选出2人，[40，50)内的顾客中选出1人，[50，60]内的顾客中选出1人．记从年龄在[20，30)内的顾客中选出的3人分别为A ，B ，C ，其他4人分别为a ，b ，c ，d ，从7个人中选出2人赠送额外礼品，有以下情况：AB ，AC ，Aa ，Ab ，Ac ，Ad ，BC ，Ba ，Bb ，Bc ，Bd ，Ca ，Cb ，Cc ，Cd ，ab ，ac ，ad ，bc ，bd ，cd ，共21种，其中获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的情况有3种， 所以获得额外礼品的2人的年龄都在[20，30)内的概率为321＝17.3．(本题满分12分)如图所示，△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，且AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝2，∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中点，点N 在线段AC 上．(1)若AN NC＝λ，且DN ⊥AC ，求λ的值； (2)在(1)的条件下，求三棱锥B DMN 的体积．解：(1)如图，取BC 的中点O ，连接ON ，OD ，因为四边形BCDE 为菱形，∠BCD ＝60°，所以DO ⊥BC ，因为△ABC 所在的平面与菱形BCDE 所在的平面垂直，所以DO ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以DO ⊥AC ，又DN ⊥AC ，且DN ∩DO ＝D ，所以AC ⊥平面DON ， 因为ON ⊂平面DON ，所以ON ⊥AC ， ∴△OCN ∽△OBA ，∴CN CB ＝OC CA ＝122，由O 为BC 的中点，AB ＝BC ，可得NC ＝14AC ，所以AN NC＝3，即λ＝3.(2)由平面ABC ⊥平面BCDE ，AB ⊥BC ，可得AB ⊥平面BCDE ，由AB ＝2，AN NC ＝3，可得点N 到平面BCDE 的距离h ＝14AB ＝12，由∠BCD ＝60°，点M 为BE 的中点，可得DM ⊥BE ， 且DM ＝DE 2－EM 2＝22－12＝3， 所以△BDM 的面积S ＝12×DM ×BM ＝32，所以三棱锥B DMN 的体积V B DMN ＝V N BDM ＝13Sh ＝13×32×12＝312.选考题：共10分．请考生在第4、5题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分． 4．(本题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝－4＋t (t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.直线l 交曲线C 于A ，B 两点．(1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P 的直角坐标为(－2，－4)，求点P 到A ，B 两点的距离之积．解：(1)由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t ，y ＝－4＋t (t 为参数)，得直线l 的普通方程为x －y －2＝0.∴直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－2＝0. 易得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)∵直线l ：x －y －2＝0经过点P (－2，－4)，∴直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22T ，y ＝－4＋22T (T 为参数)．将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22T ，y ＝－4＋22T ，代入y 2＝2x ，化简得T 2－102T ＋40＝0，∴|PA |·|PB |＝|T 1T 2|＝40.5．(本题满分10分)[选修4－5：不等式选讲] 已知函数f (x )＝|2x ＋1|，g (x )＝|x －1|＋a . (1)当a ＝0时 ，解不等式f (x )≥g (x )；(2)若对任意的x ∈R ，都有f (x )≥g (x )成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝0时，由f (x )≥g (x )得|2x ＋1|≥|x －1|， 两边平方，整理得x 2＋2x ≥0，解得x ≥0或x ≤－2， 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[0，＋∞)． (2)由f (x )≥g (x )得a ≤|2x ＋1|－|x －1|， 令h (x )＝|2x ＋1|－|x －1|，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －2，x ≤－12，3x ，－12＜x ＜1，x ＋2，x ≥1，所以h (x )min ＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－32.故所求实数a 的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32.。
【23份】江苏省2019年高考理科数学二轮复习精准提分
【23份】江苏省2019年高考理科数学二轮复习精准提分目录附加题满分练 (2)附加题满分练1 (2)附加题满分练2 (5)附加题满分练3 (8)解答题满分练 (13)解答题满分练1 (13)解答题满分练2 (20)解答题满分练3 (26)解答题专项练 (33)1.立体几何 (33)2.三角函数与解三角形 (40)3.应用题 (45)4.解+析几何 (53)5.函数与导数 (60)6.数列 (67)填空题满分练 (76)填空题满分练(1) (76)填空题满分练(2) (81)填空题满分练(3) (86)填空题满分练(4) (92)填空题满分练(5) (98)填空题满分练(6) (105)填空题满分练(7) (111)填空题满分练(8) (118)压轴小题组合练 (124)压轴小题组合练(A) (124)压轴小题组合练(B) (130)压轴小题组合练(C) (138)附加题满分练附加题满分练11.如图，过点P 作圆O 的切线PC ，切点为C ，过点P 的直线与圆O 交于点A ，B (P A <PB )，且AB 的中点为D .若圆O 的半径为2，PC ＝4，圆心O 到直线PB 的距离为2，求线段P A 的长.解 连结OC ，OD ，因为O 为圆心，AB 中点为D ， ∴OD ⊥AB ，又PC 为圆O 的切线，∴OC ⊥PC ， 由条件可知OD ＝2，∴AB ＝2OA 2－OD 2＝22，由切割线定理可得PC 2＝P A ·PB ， 即16＝P A ·(P A ＋22)， 解得P A ＝2 2.2.(2018·江苏省盐城中学调研)已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b0满足：Ma i ＝λi a i ，其中λi (i ＝1,2)是互不相等的实常数，a i (i ＝1,2)是非零的平面列向量，λ1＝1，a 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，求矩阵M . 解 由题意，λ1，λ2是方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ －a －b λ＝λ2－ab ＝0的两根. 因为λ1＝1，所以ab ＝1.又因为Ma 2＝λ2a 2，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 a b 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，从而⎩⎪⎨⎪⎧a ＝λ2，b ＝λ2， 所以λ22＝ab ＝1.因为λ1≠λ2，所以λ2＝－1，从而a ＝b ＝－1，故矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 0 －1－1 0.3.(2018·苏州、南通等六市模拟)在极坐标系中，求以点P ⎝⎛⎭⎫2，π3为圆心且与直线l: ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2相切的圆的极坐标方程.解 以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系xOy . 则点P 的直角坐标为()1，3.将直线l: ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2的方程变形为： ρsin θcos π3－ρcos θsin π3＝2，化为普通方程得3x －y ＋4＝0.∴P ()1，3到直线l: 3x －y ＋4＝0的距离为4()32＋()－12＝2.∴所求圆的普通方程为()x －12＋()y －32＝4，化为极坐标方程得ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6. 4.已知实数x >0，y >0，z >0，证明：⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＋3z ⎝⎛⎭⎫x 2＋y 4＋z 6≥92. 证明 因为x >0，y >0，z >0， 所以1x ＋2y ＋3z 3≥36xyz ，x 2＋y 4＋z 63≥ 3xyz48， 所以⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＋3z ⎝⎛⎭⎫x 2＋y 4＋z 6≥92.当且仅当x ∶y ∶z ＝1∶2∶3时，等号成立. 5.已知点A (1,2)在抛物线F ：y 2＝2px 上.(1)若△ABC 的三个顶点都在抛物线F 上，记三边AB ，BC ，CA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3, 求1k 1－1k 2＋1k 3的值；(2)若四边形ABCD 的四个顶点都在抛物线F 上，记四边AB ，BC ，CD ，DA 所在直线的斜率分别为k 1，k 2，k 3，k 4，求1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4的值.解 (1)由点A (1,2)在抛物线F 上，得p ＝2， ∴抛物线F ：y 2＝4x ，设B ⎝⎛⎭⎫y 214，y 1，C ⎝⎛⎭⎫y 224，y 2， ∴1k 1－1k 2＋1k 3＝y 214－1y 1－2－y 224－y 214y 2－y 1＋1－y 2242－y 2＝y 1＋24－y 2＋y 14＋2＋y 24＝1.(2)另设D ⎝⎛⎭⎫y 234，y 3，则1k 1－1k 2＋1k 3－1k 4＝y 1＋24－y 2＋y 14＋y 3＋y 24－2＋y 34＝0.6.已知f n (x )＝C 0n x n －C 1n (x －1)n ＋…＋(－1)k C k n (x －k )n ＋…＋(－1)n C n n (x －n )n，其中x ∈R ，n ∈N *，k ∈N ，k ≤n .(1)试求f 1(x )，f 2(x )，f 3(x )的值；(2)试猜测f n (x )关于n 的表达式，并证明你的结论.解 (1)f 1(x )＝C 01x －C 11(x －1)＝1，f 2(x )＝C 02x 2－C 12(x －1)2＋C 22(x －2)2＝x 2－2(x －1)2＋(x －2)2＝2，f 3(x )＝C 03x 3－C 13(x －1)3＋C 23(x －2)3－C 33(x －3)3＝x 3－3(x －1)3＋3(x －2)3－(x －3)3＝6.(2)猜测f n (x )＝n ！，n ∈N *. 以下用数学归纳法证明.①当n ＝1时，f 1(x )＝1，等式成立.②假设当n ＝m (m ≥1，m ∈N *)时，等式成立，即f m (x )＝∑k ＝0m(－1)k C k m (x －k )m ＝m ！.当n ＝m ＋1时，则f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1·(x －k )m ＋1. 因为C k m ＋1＝C k m ＋C k －1m ，k C k m ＋1＝(m ＋1)·C k －1m ，其中k ＝1,2，…，m ， 且C 0m ＋1＝C 0m ，C m ＋1m ＋1＝C m m ，所以f m ＋1(x )＝∑k ＝0m ＋1(－1)k C k m ＋1(x －k )m ＋1 ＝x ∑k ＝0m ＋1(－1)kC k m ＋1(x －k )m－∑k ＝0m ＋1 (－1)k k C k m ＋1(x －k )m＝x ∑k ＝0m(－1)kC k m (x －k )m ＋x ∑k ＝1m ＋1 (－1)k C k －1m (x －k )m －(m ＋1)∑k ＝1m ＋1(－1)k C k －1m (x －k )m＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)∑k ＝0m(－1)k C k m ·[(x －1)－k ]m＝x ·m ！＋(－x ＋m ＋1)·m! ＝(m ＋1)·m ！＝(m ＋1)！. 即当n ＝m ＋1时，等式也成立.由①②可知，对n ∈N *，均有f n (x )＝n ！.附加题满分练21.(2018·江苏省盐城中学质检)已知AB 是圆O 的直径，P 是上半圆上的任意一点，PC 是∠APB 的平分线，E 是下半圆的中点.求证：直线PC 经过点E .证明 连结AE ，EB ，OE ，则∠AOE ＝∠BOE ＝90°. 因为∠APE 是圆周角，∠AOE 同弧上的圆心角， 所以∠APE ＝12∠AOE ＝45°.同理可得∠BPE ＝45°，所以PE 是∠APB 的平分线.又PC 也是∠APB 的平分线，∠APB 的平分线有且只有一条，所以PC 与PE 重合. 所以直线PC 经过点E .2.(2018·苏州、南通等六市模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2.设变换T 1, T 2对应的矩阵分别为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2， N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，求对△ABC 依次实施变换T 1, T 2后所得图形的面积.解 依题意，依次实施变换T 1, T 2所对应的矩阵NM ＝ ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2. 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤60， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤44.∴A ()0，0，B ()3，0，C ()2，2分别变为点A ′()0，0，B ′()6，0，C ′()4，4.∴所得图形的面积为12×6×4＝12.3.已知两个动点P ，Q 分别在两条直线l 1：y ＝x 和l 2：y ＝－x 上运动，且它们的横坐标分别为角θ的正弦，余弦，θ∈[0，π]，记OM →＝OP →＋OQ →，求动点M 的轨迹的普通方程.解 设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ－cos θ，两式平方相加得x 2＋y 2＝2.又x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4，y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4， θ∈[0，π]， 所以x ∈[－1，2]，y ∈[－1，2].所以动点M 轨迹的普通方程为x 2＋y 2＝2(x ，y ∈[－1，2]).4.(2018·江苏省盐城中学质检)已知a >0，b >0，证明：(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2. 证明 因为a >0，b >0，所以a 2＋b 2＋ab ≥33a 2·b 2·ab ＝3ab >0， ab 2＋a 2b ＋1≥33ab 2·a 2b ·1＝3ab >0， 所以(a 2＋b 2＋ab )(ab 2＋a 2b ＋1)≥9a 2b 2.5.甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜，投篮进行到有人获胜或每人都已投球3次时结束.设甲每次投篮命中的概率为25，乙每次投篮命中的概率为23，且各次投篮互不影响.现由甲先投. (1)求甲获胜的概率；(2)求投篮结束时甲的投篮次数X 的概率分布与数学期望.解 (1)设甲第i 次投中获胜的事件为A 1(i ＝1,2,3)，则A 1，A 2，A 3彼此互斥. 甲获胜的事件为A 1＋A 2＋A 3. P (A 1)＝25，P (A 2)＝35×13×25＝225，P (A 3)＝⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫132×25＝2125.所以P (A 1＋A 2＋A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝25＋225＋2125＝62125.(2)X 的所有可能取值为1,2,3. 则P (X ＝1)＝25＋35×23＝45，P (X ＝2)＝225＋35×13×35×23＝425，P (X ＝3)＝⎝⎛⎭⎫352×⎝⎛⎭⎫132×1＝125. 即X 的概率分布为所以数学期望E (X )＝1×45＋2×425＋3×125＝3125.6.设n 个正数a 1，a 2，…，a n 满足a 1≤a 2≤…≤a n (n ∈N *且n ≥3). (1)当n ＝3时，证明：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3；(2)当n ＝4时，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋a 3a 4a 1＋a 4a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3＋a 4也成立，请你将其推广到n (n ∈N *且n ≥3)个正数a 1，a 2，…，a n 的情形，归纳出一般性的结论并用数学归纳法证明. 证明 (1)因为a n (n ∈N *且n ≥3)均为正实数，左—右＝12⎝⎛⎭⎫a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3－2a 1＋12⎝⎛⎭⎫a 2a 3a 1＋a 1a 2a 3－2a 2＋12⎝⎛⎭⎫a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2－2a 3≥12⎝⎛⎭⎫2a 1a 3a 2×a 1a 2a 3－2a 1＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 2a 3－2a 2＋12⎝⎛⎭⎫2a 2a 3a 1×a 1a 3a 2－2a 3＝0，所以原不等式a 2a 3a 1＋a 1a 3a 2＋a 1a 2a 3≥a 1＋a 2＋a 3成立.(2)归纳的不等式为：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n ≥3). 记F n ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a n )，当n ＝3(n ∈N *)时，由(1)知，不等式成立； 假设当n ＝k (k ∈N *且k ≥3)时，不等式成立，即F k ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a 1＋a k a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k )≥0.则当n ＝k ＋1时，F k ＋1＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a k －2a k －1a k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1)＝F k ＋a k －1a k a k ＋1＋a k a k ＋1a 1＋a k ＋1a 1a 2－a k －1a k a 1－a k a 1a 2－a k ＋1＝F k ＋a k －1a k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a k ＋1－1a 1＋a k ＋1⎝⎛⎭⎫a k a 1－1＋a 1a 2(a k ＋1－a k )≥0＋a 2k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a k ＋1－1a 1＋a k ＋1⎝⎛⎭⎫a k a 1－1＋a 1a k (a k ＋1－a k )＝(a k ＋1－a k )⎝ ⎛⎭⎪⎫a k a 1＋a 1a k －a k ＋1＋a k a k ＋1， 因为a k ＋1≥a k ，a k a 1＋a 1a k ≥2，a k ＋1＋a k a k ＋1≤a k ＋1＋a k ＋1a k ＋1＝2，所以F k ＋1≥0，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立.综上所述，不等式a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n －2a n －1a n ＋a n －1a n a 1＋a n a 1a 2≥a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *且n ≥3)成立.附加题满分练31.如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，BF 是⊙O 的切线，连结CF 交⊙O 于D ，交AB 于E .若BC ＝BF ＝4，CE ∶ED ＝6∶5，求⊙O 的半径.解 如图，连结BD ，因为BF 是⊙O 的切线，所以∠DBF ＝∠BCF ，因为BC ＝BF ，所以∠BCF ＝∠BFC ， 所以∠DBF ＝∠BFC ，所以BD ＝DF ，又∠BEF ＋∠BFC ＝90°，∠EBD ＋∠DBF ＝90°， 所以∠BEF ＝∠EBD ，所以BD ＝ED ，所以ED ＝DF . 设CE ＝6x ，ED ＝5x (x >0)，则DF ＝5x ， 因为BF ＝4，根据切割线定理知BF 2＝DF ·CF ， 所以16＝5x ×16x ，解得x ＝55， 所以EF ＝ED ＋DF ＝25，因为BF 为⊙O 的切线，所以AB ⊥BF ， 所以BE 2＋BF 2＝EF 2，所以BE ＝2，根据相交弦定理知AE ·BE ＝CE ·ED ，得AE ＝3， 所以AB ＝5，因为AB 为⊙O 的直径，所以⊙O 的半径为52.2.若二阶矩阵M 满足⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－212 2－1M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3 0 4 －1，求曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0在矩阵M 所对应的变换作用下得到的曲线的方程.解 记矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 12 2 －1，det(A )＝(－2)×(－1)－2×12＝1≠0， 故A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －12－2 －2，所以M ＝A －1⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3 0 4 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1 －12－2 －2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－3 0 4 －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 112－2 2，即矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 12－2 2. 设曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0上任意一点P (x ，y )在矩阵M 对应的变换作用下得到点P ′(x ′，y ′).所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎤ 1 12－2 2 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x ＋12y －2x ＋2y ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝x ＋12y ，y ′＝－2x ＋2y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4x ′－y ′6，y ＝2x ′＋y ′3，又点P (x ，y )在曲线4x 2＋4xy ＋y 2－12x ＋12y ＝0上，代入整理得2x ′2＋3y ′＝0， 由点P (x ，y )的任意性可知，所求曲线的方程为2x 2＋3y ＝0.3.已知直线的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22，圆M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝－2＋2sin θ(其中θ为参数).(1)将直线的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求圆M 上的点到直线的距离的最小值. 解 (1)极点为直角坐标原点O ， ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ＋22cos θ＝22， ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1，其直角坐标方程为x ＋y －1＝0.(2)将圆的参数方程化为普通方程为x 2＋(y ＋2)2＝4，圆心为M (0，－2)， ∴点M 到直线的距离为d ＝|0－2－1|2＝32＝322，∴圆上的点到直线距离的最小值为32－42.4.已知函数f (x )＝|x ＋m |＋|x －2|(m >0)的最小值为4，正实数a ，b 满足1a ＋1b ＝ 3.求证：1a 2＋2b2≥m .证明 易知|x ＋m |＋|x －2|≥|(x ＋m )－(x －2)|＝|m ＋2|， 故由f (x )的最小值为4得|m ＋2|＝4，又m >0，所以m ＝2.又⎝⎛⎭⎫1a 2＋2b 2⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫122≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ×1＋2b ×122＝3，当且仅当a ＝32，b ＝3时等号成立， 故1a 2＋2b2≥2＝m ，即结论成立.5.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ＝2，AB ⊥AC ，M 是棱BC 的中点，点P 在线段A 1B 上.(1)若P 是线段A 1B 的中点，求直线MP 与直线AC 所成角的大小； (2)若N 是CC 1的中点，直线A 1B 与平面PMN 所成角的正弦值为77，求线段BP 的长度. 解 分别以AB ，AC ，AA 1所在直线为x 轴，y轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，A 1(0,0,2)，M (1,1,0). (1)若P 是线段A 1B 的中点，则P (1,0,1)，MP →＝(0，－1,1)，AC →＝(0,2,0). 所以cos 〈MP →，AC →〉＝MP →·AC →||MP →·||AC→＝－22.又〈MP →，AC →〉∈[0，π]，所以〈MP →，AC →〉＝3π4.所以直线MP 与直线AC 所成的角的大小为π4.(2)由N (0,2,1)，得MN →＝(－1,1,1). 设P (x ，y ，z )，BP →＝λBA 1,0≤λ≤1，则(x －2，y ，z )＝λ(－2,0,2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－2λ，y ＝0，z ＝2λ，所以P (2－2λ，0,2λ)，所以MP →＝(1－2λ，－1,2λ).设平面PMN 的法向量n ＝(x 1，y 1，z 1)， 则n ⊥MN →，n ⊥MP →，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＋y 1＋z 1＝0，(1－2λ)x 1－y 1＋2λz 1＝0，取n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12λ，12λ，1. 因为BA 1＝(－2,0,2)，设直线A 1B 与平面PMN 所成的角为θ.由sin θ＝||cos 〈n ，BA 1〉＝|n ·BA 1|||n ·||BA 1＝⎪⎪⎪⎪(－2)×⎝⎛⎭⎫1＋12λ＋2⎝⎛⎭⎫1＋12λ2＋⎝⎛⎭⎫12λ2＋1·22＝77，得λ＝14(舍负). 所以BP →＝14BA 1，所以BP ＝14BA 1＝22.6.已知⎝⎛⎭⎫1＋12x n 展开式的各项依次记为a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )，…，a n (x )，a n ＋1(x ).设F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)·a n ＋1(x ).(1)若a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次成等差数列，求n 的值； (2)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，恒有|F (x 1)－F (x 2)|≤2n －1(n ＋2)－1.(1)解 依题意a k (x )＝C k －1n⎝⎛⎭⎫12x k －1，k ＝1,2,3，…，n ＋1， a 1(x )，a 2(x )，a 3(x )的系数依次为C 0n ·⎝⎛⎭⎫120＝1，C 1n ·12＝n 2，C 2n ·⎝⎛⎭⎫122＝n (n －1)8， 所以2×n2＝1＋n (n －1)8，解得n ＝8或n ＝1(舍去).(2)证明 F (x )＝a 1(x )＋2a 2(x )＋3a 3(x )＋…＋na n (x )＋(n ＋1)a n ＋1(x )＝C 0n ＋2C 1n ⎝⎛⎭⎫12x ＋3C 2n ⎝⎛⎭⎫12x 2＋…＋n C n －1n ⎝⎛⎭⎫12x n －1＋(n ＋1)C n n ⎝⎛⎭⎫12x n ， F (2)＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， 设S n ＝C 0n ＋2C 1n ＋3C 2n ＋…＋n C n －1n ＋(n ＋1)C n n ， 则S n ＝(n ＋1)C n n ＋n C n －1n ＋…＋3C 2n ＋2C 1n ＋C 0n ， 考虑到C k n ＝C n －k n ，将以上两式相加得 2S n ＝(n ＋2)(C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )，所以S n ＝2n －1(n ＋2)，又当x ∈[0,2]时，F ′(x )>0恒成立，从而F (x )是[0,2]上的单调递增函数，所以对任意x 1，x 2∈[0,2]，|F (x 1)－F (x 2)|≤F (2)－F (0)＝2n －1(n ＋2)－1.解答题满分练解答题满分练11.如图，已知直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB ＝2CD ＝2BC ，EA ⊥EB .(1)求证：AB ⊥DE ；(2)在线段EA 上是否存在点F ，使得EC ∥平面FBD ？若存在，求出EFEA 的值；若不存在，请说明理由.(1)证明 取AB 的中点O ，连结OE ，OD .因为EB ＝EA ，所以OE ⊥AB .因为四边形ABCD 为直角梯形，AB ＝2CD ＝2BC ，AB ⊥BC ， 所以四边形OBCD 为正方形， 所以AB ⊥OD .又OD ∩OE ＝O ，OE ，OD ⊂平面EOD ， 所以AB ⊥平面EOD ， 又DE ⊂平面EOD ， 所以AB ⊥DE .(2)解 连结CA 交BD 于点M ，由AB ∥CD 可得CM AM ＝CD AB ＝12.假设线段EA 上存在点F ，使得EC ∥平面FBD ，又平面ACE ∩平面FBD ＝FM ， 故EC ∥FM ，从而EF F A ＝CM AM ＝12，故EF EA ＝13，所以当EF EA ＝13时，EC ∥平面FBD .2.(2018·江苏省常州市三校联考)已知a ＝()1＋cos ωx ，－1， b ＝()3，sin ωx ( ω>0)，函数f (x )＝a ·b ，函数f (x )的最小正周期为2π. (1)求函数f (x )的表达式；(2)设θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且f ()θ＝3＋65，求cos θ的值. 解 (1)f (x )＝a ·b ＝3()1＋cos ωx －sin ωx ＝ 3－2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3， ∵为函数f (x )的最小正周期为2π， ∴2πω＝2π， 解得ω＝1. ∴f (x )＝3－2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 . (2) 由f (θ)＝3＋65，得sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－35. ∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2 ∴θ－π3∈⎝⎛⎭⎫－π3，π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝45， ∴cos θ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＋π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3cos π3－sin ⎝⎛⎭⎫θ－π3sin π3 ＝45×12－⎝⎛⎭⎫－35×32＝4＋3310.3.某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示)，该扇环面是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米.设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度).(1)求θ关于x 的函数关系式；(2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为y ，求y 关于x 的函数关系式，并求出x 为何值时， y 取得最大值？解 (1)扇环的圆心角为θ，则30＝θ(10＋x )＋2(10－x )， ∴θ＝10＋2x 10＋x(0<x <10).(2)由(1)可得花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0<x <10)，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，∴花坛的面积与装饰总费用的比y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010(17＋x )，令t ＝17＋x ，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤3910－110·2·t ·324t ＝310，当且仅当t ＝324t ， 即t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.答 当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大.4.(2018·江苏六市模拟)如图，在平面直角坐标系xOy 中，B 1，B 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴端点，P 是椭圆上异于点B 1，B 2的一动点.当直线PB 1的方程为y ＝x ＋3时，线段PB 1的长为4 2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点Q 满足： QB 1⊥PB 1, QB 2⊥PB 2.求证：△PB 1B 2与△QB 1B 2的面积之比为定值.(1)解 设P ()x 0，y 0.在y ＝x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，从而b ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2＋y 29＝1，y ＝x ＋3得x 2a 2＋()x ＋329＝1.∴x 0＝－6a 29＋a 2.∵PB 1＝x 20＋()y 0－32＝2||x 0，∴42＝2·6a 29＋a 2，解得a 2＝18. ∴椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1.(2)证明 设P (x 0，y 0)，Q (x 1，y 1). 方法一 直线PB 1的斜率为1PB k ＝y 0－3x 0，由QB 1⊥PB 1，则直线QB 1的斜率为1QB k ＝－x 0y 0－3.于是直线QB 1的方程为y ＝－x 0y 0－3x ＋3.同理， QB 2的方程为y ＝－x 0y 0＋3x －3. 联立两直线方程，消去y ，得x 1＝y 20－9x 0.∵P ()x 0，y 0在椭圆x 218＋y 29＝1上，∴x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202. ∴x 1＝－x 02.∴1212PB B QB B S S＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝2.方法二 设直线PB 1, PB 2的斜率为k, k ′，则直线PB 1的方程为y ＝kx ＋3. 由QB 1⊥PB 1，直线QB 1的方程为y ＝－1k x ＋3.将y ＝kx ＋3代入x 218＋y 29＝1，得()2k 2＋1x 2＋12kx ＝0，∵P 是椭圆上异于点B 1, B 2的点， ∴x 0≠0，从而x 0＝－12k2k 2＋1.∵P ()x 0，y 0在椭圆x 218＋y 29＝1上，∴x 2018＋y 209＝1，从而y 20－9＝－x 202. ∴k ·k ′＝y 0－3x 0·y 0＋3x 0＝y 20－9x 20＝－12，得k ′＝－12k .由QB 2⊥PB 2，得直线QB 2的方程为y ＝2kx －3. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ＋3，y ＝2kx －3，得x ＝6k 2k 2＋1，即x 1＝6k2k 2＋1.∴1212PB B QB B S S＝⎪⎪⎪⎪x 0x 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12k2k 2＋16k 2k 2＋1＝2. 5.设函数f (x )＝x －a sin x (a >0).(1)若函数y ＝f (x )是R 上的单调增函数，求实数a 的取值范围； (2)设a ＝12，g (x )＝f (x )＋b ln x ＋1()b ∈R ，b ≠0， g ′(x )是g (x )的导函数.①若对任意的x >0，g ′(x )>0，求证：存在x 0，使g (x 0)<0； ②若g (x 1)＝g (x 2) (x 1≠x 2)，求证： x 1x 2<4b 2.(1)解 由题意，得 f ′()x ＝1－a cos x ≥0对x ∈R 恒成立. ∵a >0，∴1a ≥cos x 对x ∈R 恒成立， ∵(cos x )max ＝1， ∴1a≥1，从而0<a ≤1. (2)证明 ①g ()x ＝x －12sin x ＋b ln x ＋1，则g ′(x )＝1－12cos x ＋bx.若b <0，则存在－b2>0，使g ′⎝⎛⎭⎫－b 2＝－1－12cos ⎝⎛⎭⎫－b 2<0，不合题意. ∴b >0. 取x 0＝3eb-，则0<x 0<1.此时g ()x 0＝x 0－12sin x 0＋b ln x 0＋1<1＋12＋b ln 3e b -＋1＝－12<0.∴存在x 0>0，使g ()x 0<0.②依题意，不妨设0<x 1<x 2，令x 2x 1＝t ，则t >1.由(1)知函数y ＝x －sin x 单调递增， 则x 2－sin x 2>x 1－sin x 1， 从而x 2－x 1>sin x 2－sin x 1. ∵g (x 1)＝g (x 2)，∴x 1－12sin x 1＋b ln x 1＋1＝x 2－12sin x 2＋b ln x 2＋1，∴－b (ln x 2－ln x 1)＝x 2－x 1－12(sin x 2－sin x 1)>12()x 2－x 1.∴－2b >x 2－x 1ln x 2－ln x 1>0.下面证明x 2－x 1ln x 2－ln x 1>x 1x 2，即证明t －1ln t >t ，只要证明ln t －t －1t <0. (*)设h ()t ＝ln t －t －1t ()t >1， 则h ′()t ＝－()t －122t t<0在()1，＋∞上恒成立.∴h (t )在()1，＋∞上单调递减，故h (t )<h (1)＝0， 从而(*)式得证.∴－2b >x 1x 2，即x 1x 2<4b 2.6.已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *).若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1a n －1b n (n ∈N *)，记数列{c n }的前n 项和为S n .(i)求S n ；(ii)求正整数k ，使得对任意n ∈N *均有S k ≥S n . 解 (1)∵a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *)，① 当n ≥2，n ∈N *时，a 1a 2a 3…a n －1＝(2)1n b -，②由①②知a n ＝(2)1n n b b --，令n ＝3，则有a 3＝(2)32b b -.∵b 3＝6＋b 2，∴a 3＝8.∵{a n }为等比数列，且a 1＝2，设{a n } 的公比为q ， ∴则q 2＝a 3a 1＝4，由题意知a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝2. ∴a n ＝2n (n ∈N *).又由a 1a 2a 3…a n ＝(2)n b(n ∈N *)，得 21×22×23…×2n ＝(2)n b， 即(1)22n n +＝(2)n b，∴b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *).(2)(i)∵c n ＝1a n －1b n ＝12n －1n (n ＋1)＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝12－⎝⎛⎭⎫11－12＋122－⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1 ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1 ＝1－12n －1＋1n ＋1＝1n ＋1－12n .(ii)∵c 1＝0，c 2＞0，c 3＞0，c 4＞0， 当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2n －1，而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1＞0，得n (n ＋1)2n ≤5×(5＋1)25＜1，∴当n ≥5时，c n ＜0.综上，对任意的n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.解答题满分练21.如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面P AD ⊥底面ABCD, P A ⊥PC ； (1)求证：平面P AB ⊥平面PCD ； (2)若过点B 的直线l 垂直于平面PCD ， 求证： l ∥平面P AD .证明 (1)因为ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ，因为侧面P AD ⊥底面ABCD ，侧面P AD ∩底面ABCD ＝AD, CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面P AD ，因为AP ⊂平面P AD ，所以P A ⊥CD ，又P A ⊥PC, PC ∩CD ＝C, CD ，PC ⊂平面PCD ， 所以AP ⊥平面PCD ，又AP ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PCD . (2)由(1)知，AP ⊥平面PCD ，又l ⊥平面PCD ， 所以l ∥P A ，又l ⊄平面P AD, AP ⊂平面P AD ，所以l ∥平面P AD .2.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，且满足cos B cos C ＋b2a ＋c ＝0 .(1)求角B 的值；(2)若c ＝2，AC 边上的中线BD ＝32，求△ABC 的面积. 解 (1)cos B cos C ＋b 2a ＋c ＝0⇔cos B cos C ＋sin B2sin A ＋sin C ＝0,所以cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0， 所以2sin A cos B ＋sin(B ＋C )＝0， 所以sin A (2cos B ＋1)＝0， 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12.所以B ＝2π3.(2)延长BD 到E ，使BD ＝DE ，易知四边形AECB 为平行四边形，在△BEC 中，EC ＝2，BE ＝2BD ＝ 3 ，因为∠ABC ＝2π3，所以∠BCE ＝π3 ，由余弦定理得，BE 2＝EC 2＋BC 2－2EC ·BC ·cos ∠BCE ， 即3＝22＋a 2－2·2a ·cos π3，即a 2－2a ＋1＝0， 解得a ＝1，S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×2×32＝32.3.某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高4.5米，隧道口截面的拱线近似地看成抛物线形状的一部分，如图所示建立平面直角坐标系xOy .(1)若最大拱高h 为6米，则隧道设计的拱宽l 是多少？(2)为了使施工的土方工程量最小，需隧道口截面面积最小.现隧道口的最大拱高h 不小于6米，则应如何设计拱高h 和拱宽l ，使得隧道口截面面积最小？(隧道口截面面积公式为S ＝23lh )解 (1)设抛物线的方程为y ＝－ax 2(a ＞0)，则抛物线过点⎝⎛⎭⎫10，－32， 代入抛物线方程得a ＝3200，令y ＝－6，解得x ＝±20，则隧道设计的拱宽l 是40米.(2)抛物线最大拱高为h 米，h ≥6，抛物线过点⎝⎛⎭⎫10，－⎝⎛⎭⎫h －92， 代入抛物线方程得a ＝h －92100.令y ＝－h ，则－h －92100x 2＝－h ，解得x 2＝100hh －92，则⎝⎛⎭⎫l 22＝100h h －92，h ＝92l 2l 2－400，∵h ≥6，∴92l 2l 2－400≥6，即20＜l ≤40，∴S ＝23lh ＝23l ·92l 2l 2－400＝3l 3l 2－400，20<l ≤40，∴S ′＝9l 2(l 2－400)－3l 3·2l (l 2－400)2＝3l 2(l 2－1 200)(l 2－400)2＝3l 2(l ＋203)(l －203)(l 2－400)2，当20<l <203时，S ′＜0；当203<l ≤40时，S ′＞0， 即S 在(20,203)上单调递减，在(203，40]上单调递增， ∴当l ＝203时，S 取得最小值，此时l ＝203，h ＝274.答 当拱高为274米，拱宽为203米时，使得隧道口截面面积最小.4.已知圆C 与y 轴相切，圆心在直线2x －y ＝0上，且直线x －y ＝0被圆C 截得的弦长为2 2. (1)求圆C 的标准方程；(2)已知两定点A (0,1)，B (0，－1)，P 为圆C 上的动点，求P A 2＋PB 2的取值范围. 解 (1)由已知可设圆心C (a,2a )，则r ＝|a |. 圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝|a －2a |2＝|a |2，则⎝⎛⎭⎫|a |22＋(2)2＝|a |2，解得a ＝±2，从而所求圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝4 或(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝4. (2)设P (x ，y )，则P A 2＋PB 2＝x 2＋(y －1)2＋x 2＋(y ＋1)2＝2(x 2＋y 2)＋2， 要求P A 2＋PB 2的取值范围，只需求x 2＋y 2的取值范围，而x 2＋y 2的几何意义为圆C 上的点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离的平方. 由圆心C 到原点O 的距离OC ＝25，知点P (x ，y )到原点O 的距离的最大值，最小值分别为25＋2,25－2，则x 2＋y 2的取值范围为[24－85，24＋85]，故P A 2＋PB 2的取值范围为[50－165，50＋165].5.已知函数f (x )＝a ln x ＋bx (a ，b ∈R )在x ＝12处取得极值，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直. (1)求实数a ，b 的值；(2)若关于x 的不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 有大于0的实数解，求实数k 的取值范围； (3)若对于任意的x ∈[1，＋∞)，不等式f (x )≤(m －2)x －mx 恒成立，求实数m 的取值范围.解 (1)f ′(x )＝ax＋b ，由题设可知f ′(1)＝－1且f ′⎝⎛⎭⎫12＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝－1，2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2.代回检验可得，满足题意.所以实数a ，b 的值分别为1和－2.(2)由(1)可知f (x )＝ln x －2x ，所以不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 即x 2－x －ln x ＋k ≤0.令g (x )＝x 2－x －ln x ＋k (x >0)，则g ′(x )＝2x －1－1x ＝2x 2－x －1x ＝(2x ＋1)(x －1)x，所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，则g (x )min ＝g (1)＝k . 因此，欲使不等式f (x )≥x 2－3x ＋k 有大于0的实数解，则k ≤0. 即实数k 的取值范围是(－∞，0].(3)对于任意的x ∈[1，＋∞)，f (x )≤(m －2)x －mx 恒成立，等价于ln x －m ⎝⎛⎭⎫x －1x ≤0在x ∈[1，＋∞)上恒成立.设h (x )＝ln x －m ⎝⎛⎭⎫x －1x (x ≥1)， 则h ′(x )＝1x －m ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2＝－mx 2＋x －m x 2. 若m ≤0，则h ′(x )>0，h (x )在[1，＋∞)上为增函数， h (x )≥h (1)＝0， 这与题设h (x )≤0矛盾.若m >0，方程－mx 2＋x －m ＝0的判别式Δ＝1－4m 2.(i)当Δ≤0，即m ≥12时，h ′(x )≤0，所以h (x )在[1，＋∞)上单调递减，所以h (x )≤h (1)＝0，即不等式成立；(ii)当0<m <12时，设方程－mx 2＋x －m ＝0的两根为x 1，x 2(x 1<x 2)，x 1＝1－1－4m 22m∈(0,1)，x 2＝1＋1－4m 22m∈(1，＋∞)，当x ∈[1，x 2)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )≥h (1)＝0，与题设矛盾. 综上所述，m ≥12.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞.6.(2018·江苏泰州中学模拟)已知数列{}a n ，{}b n ，S n 为数列{}a n 的前n 项和，向量x ＝(1，b n )，y ＝(a n －1，S n )，x ∥y .(1)若b n ＝2，求数列{}a n 的通项公式； (2)若b n ＝n2，a 2＝0.①证明：数列{}a n 为等差数列；②设数列{}c n 满足c n ＝a n ＋3a n ＋2，问是否存在正整数l ，m (l <m ，且l ≠2，m ≠2)，使得c l ，c 2，c m成等比数列？若存在，求出l ，m 的值；若不存在，请说明理由. (1)解 由x ＝(1，b n )，y ＝(a n －1，S n )，x ∥y ， 得：S n ＝(a n －1)b n ，若b n ＝2，则S n ＝2a n －2.①当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，即a 1＝2， 又S n ＋1＝2a n ＋1－2，②②－①得：S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n ， 即a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n ＝2，又a 1＝2，所以{}a n 是首项为2，公比为2的等比数列. 所以a n ＝2n .(2)①证明 因为b n ＝n2，则2S n ＝na n －n ，③当n ＝1时，2S 1＝a 1－1，即a 1＝－1， 又2S n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－(n ＋1)，④④－③得：2S n ＋1－2S n ＝(n ＋1)a n ＋1－na n －1， 即(n －1)a n ＋1－na n －1＝0，⑤ 又na n ＋2－(n ＋1)a n ＋1－1＝0，⑥⑥－⑤得：na n ＋2－2na n ＋1＋na n ＝0，即a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，所以数列{}a n 为等差数列. ②解 因为a 1＝－1，a 2＝0，数列{a n }为等差数列， 所以数列{}a n 是首项为－1，公差为1的等差数列. a n ＝－1＋(n －1)×1＝n －2，所以c n ＝n ＋1n，假设存在正整数l ，m (l <m ，且l ≠2，m ≠2)，使得c l ，c 2，c m 成等比数列， 即c 22＝c l c m ， 可得94＝l ＋1l ·m ＋1m，整理得5lm －4l ＝4m ＋4，即l ＝4m ＋45m －4，由4m ＋45m －4≥1，得1≤m ≤8, 一一代入检验⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，l ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，l ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，l ＝1611或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，l ＝54或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，l ＝87或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝6，l ＝1413或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝7，l ＝3231或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝8，l ＝1.又l ，m 为正整数，l <m ，且l ≠2，m ≠2， 所以存在l ＝1，m ＝8符合题意.解答题满分练31.已知函数f ()x ＝a ·b ，其中a ＝(2cos x ，－3sin 2x )，b ＝(cos x,1)，x ∈R . (1)求函数y ＝f (x )的单调减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，f ()A ＝－1，a ＝7且向量m ＝(3，sin B )与向量n ＝(2，sin C )共线，求△ABC 的面积.解 (1)f (x )＝2cos 2x －3sin 2x ＝cos 2x －3sin 2x ＋1＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1， 令2k π≤2x ＋π3≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z )，∴函数y ＝f (x )的单调减区间为⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z ). (2)∵f (A )＝－1，∴2cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＋1＝－1，即cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π3＝－1，∴2A ＋π3＝π＋2k π(k ∈Z )， ∴A ＝π3＋k π(k ∈Z )，又∵0<A <π， ∴A ＝π3，∵a ＝7，∴由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝(b ＋c )2－3bc ＝7.①∵向量m ＝(3，sin B )与n ＝(2，sin C )共线， ∴2sin B ＝3sin C ，由正弦定理得2b ＝3c ，②由①②得b ＝3，c ＝2，∴S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×2×3×32＝332.2.(2018·常州市武进区期中)如图所示，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ⊥平面ABCD ，且AB ＝2，AD ＝4，AP ＝4，F 是线段BC 的中点. (1)求证：平面P AF ⊥平面PDF ；(2)若E 是线段AB 的中点，在线段AP 上是否存在一点G ，使得EG ∥平面PDF ？若存在，求出线段AG 的长度；若不存在，说明理由.(1)证明 ∵P A ⊥平面ABCD, DF ⊂平面ABCD, ∴P A ⊥DF ，又∵在底面ABCD 中， AF ＝DF ＝22，AD ＝4， ∴AF 2＋DF 2＝AD 2, ∴AF ⊥DF ，∵AP ∩AF ＝A ，AF ⊂平面P AF ，AP ⊂平面P AF ， ∴DF ⊥平面P AF ，∵DF ⊂平面PDF ， ∴平面P AF ⊥平面PDF .(2)解 方法一 假设在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF .延长AB 交DF 的延长线于点M ，连结PM .∵F 是线段BC 的中点，底面ABCD 是矩形， ∴MB ＝AB,∵EG ∥平面PDM, EG ⊂平面P AM ，平面P AM ∩平面PDM ＝PM ， ∴EG ∥PM ，∵AE ＝14AM, ∴AG ＝14AP ＝1，故在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF ， 此时AG ＝1.方法二 假设在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF .取DF 的中点I ，连结EI ，过点G 作AD 的平行线交PD 于点H ，连结GH ，HI . ∵E 是线段AB 的中点，∴EI 是梯形ABFD 的中位线， ∴EI ＝3，EI ∥GH ，∵EG ∥平面PDF , EG ⊂平面GEIH ， 平面GEIH ∩平面PDF ＝IH ， ∴EG ∥IH ，∴四边形GEIH 是平行四边形， ∴EI ＝GH ＝3，∴PG ＝34AP ＝3, ∴AG ＝1，故在线段AP 上存在点G ，使得EG ∥平面PDF ， 此时AG ＝1.3.如图，某生态园将一块三角形地ABC 的一角APQ 开辟为水果园，已知角A 为2π3，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆.(1)若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何操作可使得三角形地块APQ 的面积最大？ (2)已知竹篱笆长为50 3 米， AP 段围墙高1米， AQ 段围墙高2米，造价均为每平方米100元，求围墙总造价的取值范围. 解 (1)设AP ＝x 米，则AQ ＝(200－x )米， 所以S △APQ ＝12x ()200－x sin 2π3＝34x ()200－x ≤34⎝⎛⎭⎫20022＝2 500 3 (平方米)， 当且仅当x ＝200－x 时，取等号.即AP ＝AQ ＝100 米， S max ＝2 500 3 平方米. (2)由正弦定理AP sin ∠AQP ＝AQ sin ∠APQ ＝PQ sin A ，得AP ＝100sin ∠AQP ，AQ ＝100sin ∠APQ ，故围墙总造价y ＝100()AP ＋2AQ ＝10 000(sin ∠AQP ＋2sin ∠APQ )＝10 0003cos ∠AQP ， 因为0<∠AQP <π3， ∴12<cos ∠AQP <1，所以y ∈ ()5 0003，10 0003.答 围墙总造价的取值范围为()5 0003，10 0003(元).4.(2018·盐城模拟)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，并且椭圆经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，直线l 的方程为x ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)已知椭圆内一点E (1,0)，过点E 作一条斜率为k 的直线与椭圆交于A ，B 两点，交直线l于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.解 (1)因为椭圆的离心率为32， 所以b 2a 2＝1－⎝⎛⎭⎫322＝14，又椭圆过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，所以1a 2＋34b 2＝1，所以a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，令x ＝4，则y ＝3k ，所以点M (4,3k )，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝k (x 1－1)－32x 1－1＋k (x 2－1)－32x 2－1＝2k －32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 2＋4y 2＝4，可得()1＋4k 2x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0.所以x 1,2＝4k 2±23k 2＋11＋4k2， 所以x 1＋x 2＝8k 21＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－41＋4k 2，所以k 1＋k 2＝2k －32·8k 21＋4k 2－24k 2－41＋4k 2－8k 21＋4k 2＋1 ＝2k －33. 又因为k 3＝3k －323＝k －36，所以k 1＋k 2＝2k 3，所以存在λ＝2，使得k 1＋k 2＝2k 3. 5.已知函数f (x )＝ x －bx，g (x )＝ 2a ln x .(1)若b ＝0，函数f (x )的图象与函数g (x )的图象相切，求a 的值；(2)若a >0, b ＝－1，函数F (x )＝xf (x )＋g (x )满足对任意x 1，x 2∈(]0，1(x 1≠x 2)，都有||F ()x 1－F ()x 2<3⎪⎪⎪⎪1x 1－1x 2恒成立，求a 的取值范围； (3)若b ＝1，函数G (x )＝f (x )＋ g (x )，且G (x )有两个极值点x 1，x 2，其中x 1∈⎝⎛⎦⎤0，13，求G ()x 1－G ()x 2的最小值.解 (1)若b ＝0，函数f (x )＝x 的图象与g (x )＝2a ln x 的图象相切，设切点为(x 0,2a ln x 0)， 则切线方程为y ＝2ax 0x －2a ＋2a ln x 0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a x 0＝1，－2a ＋2a ln x 0＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝e ，a ＝e 2.所以a ＝e 2. (2)当a >0，b ＝－1时，F (x )＝x 2＋1＋2a ln x ，F ′(x )＝2x ＋2ax >0，所以F (x )在(0,1]上单调递增.不妨设0<x 1<x 2≤1，原不等式⇔F (x 2)－F (x 1)<3⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 2，即F (x 2)＋ 3x 2< F (x 1)＋3x 1. 设h (x )＝F (x )＋3x ＝ x 2＋1＋2a ln x ＋3x ，x ∈(0,1]，则原不等式⇔h (x )在(0,1]上单调递减，即h ′(x )＝2x ＋2a x －3x 2≤0在(0,1]上恒成立，所以2a ≤3x－2x 2在(0,1]上恒成立.设y ＝3x －2x 2，它在(0,1]上单调递减，所以y min ＝3－2＝1，所以2a ≤1，又a >0，所以0<a ≤12.(3)若b ＝1，函数G (x )＝f (x )＋g (x )＝x －1x＋2a ln x ，G ′(x )＝ x 2＋2ax ＋1x 2(x >0)，由题意知x 1，x 2是x 2＋2ax ＋1＝0的两根， 所以x 1,2＝－2a ±4a 2－42，x 2＝1x 1，2a ＝－x 1－1x 1，G (x 1)－G (x 2)＝G (x 1)－G ⎝⎛⎭⎫1x 1＝2⎣⎡⎦⎤x 1－1x 1－⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1ln x 1. 令H (x )＝2⎣⎡⎦⎤x －1x －⎝⎛⎭⎫x ＋1x ln x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，13， H ′(x )＝2⎝⎛⎭⎫1x 2－1ln x ＝2()1＋x()1－x ln x x 2，当x ∈⎝⎛⎦⎤0，13时，H ′(x )<0, H (x )在⎝⎛⎦⎤0，13上单调递减，H (x )的最小值为H ⎝⎛⎭⎫13＝20ln 3－163. 即G (x 1)－G (x 2) 的最小值为20ln 3－163. 6.(2018·常州市武进区期中)已知数列{}a n 中， a 1＝3，前n 项和S n 满足a n ＋1＝2S n ＋3(n ∈N *). (1) 求数列{}a n 的通项公式； (2)记b n ＝a n()a n －1()a n ＋1－1，求数列{}b n 的前n 项和T n ；(3)是否存在整数对()m ，n (其中m ∈Z ,n ∈N *)满足a 2n －()m ＋2a n ＋7m ＋5＝0？若存在，求出所有的满足题意的整数对()m ，n ，若不存在，请说明理由. 解 (1)当n ≥2时，a n ＋1＝2S n ＋3与a n ＝2S n －1＋3相减， 得a n ＋1－a n ＝2()S n －S n －1＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)， 在a n ＋1＝2S n ＋3中，令n ＝1可得，a 2＝9，即a 2＝3a 1. 故a n ＋1＝3a n (n ∈N *)，故数列{}a n 是首项为3，公比为3的等比数列，其通项公式为a n ＝3n (n ∈N *). (2)由(1) 知，b n ＝a n()a n－1()a n ＋1－1＝3n()3n－1()3n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1， 则T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫12－18＋⎝⎛⎭⎫18－126＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12－13n ＋1－1(n ∈N *). (3)a 2n －()m ＋2a n ＋7m ＋5＝0，即32n －()m ＋23n ＋7m ＋5＝0，则m ＝32n －2×3n ＋53n －7＝()3n －7()3n ＋5＋403n －7＝()3n＋5＋403n －7，若存在整数对()m ，n ，则403n －7必须是整数，其中3n －7只能是40的因数，可得n ＝1时， m ＝－2; n ＝2时， m ＝34; n ＝3时， m ＝34. 综上所有的满足题意的整数对为()－2，1， ()34，2， ()34，3.解答题专项练1.立体几何1.(2018·江苏省金陵中学月考)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AP ＝AD ，点M 在棱PD 上， AM ⊥PD ，点N 是棱PC 的中点，求证：(1) MN ∥平面P AB ； (2) AM ⊥平面PCD .证明 (1)因为在△P AD 中， AP ＝AD ，AM ⊥PD ， 所以点M 是棱PD 的中点. 又点N 是棱PC 的中点， 所以MN 是△PDC 的中位线， 所以MN ∥DC .因为底面ABCD 是矩形， 所以AB ∥DC ，。
(江苏专用)2019届高考数学(理科)二轮复习：填空、解答题满分练(14套,Word版,含答案)
填空题满分练(1)1.复数z ＝x ＋(x ＋2)i(其中i 为虚数单位，x ∈R )满足2＋iz是纯虚数，则|z |＝________.答案：253解： 根据题意可设2＋iz＝b i(b ∈R 且b ≠0)，∴2＋i ＝[x ＋(x ＋2)i]×b i ＝－b (x ＋2)＋xb i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2＝－b (x ＋2)，1＝xb ，解：得x ＝－23，∴z ＝－23＋43i ，∴|z |＝253.2.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知集合U ＝{－1,0,1,2,3}，A ＝{－1,0,2}，则∁U A ＝________. 答案： {1,3}解： ∵集合U ＝{－1,0,1,2,3}，A ＝{－1,0,2}， ∴∁U A ＝{1,3}.3.某工厂生产A ，B ，C ，D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号有16件，那么此样本的容量n 为________. 答案： 88解： 根据分层抽样的特点，样本中A 种型号产品应是样本容量的22＋3＋5＋1＝211，所以样本的容量n ＝16÷211＝88.4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边，已知2sin A ＝3cos A ，且有a 2－c 2＝b 2－mbc ，则实数m ＝__________.答案： 1解： ∵2sin A ＝3cos A ，∴2sin 2A ＝3cos A ， ∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0， ∴cos A ＝12或cos A ＝－2(舍).由a 2－c 2＝b 2－mbc ，得cos A ＝m 2，∴m 2＝12，∴m ＝1.5.已知等差数列{}a n 满足a 3＋a 5＝14, a 2a 6＝33，则a 1a 7＝________. 答案： 13解： 由题意得a 2＋a 6＝a 3＋a 5＝14, a 2a 6＝33，所以a 2＝3，a 6＝11或a 2＝11，a 6＝3. 当a 2＝3，a 6＝11时，d ＝11－36－2＝2，a 1＝1，a 7＝13，∴a 1a 7＝13；当a 2＝11，a 6＝3时，d ＝3－116－2＝－2，a 1＝13，a 7＝1，∴a 1a 7＝13.6.在△ABC 中，点D 满足BC →＝3BD →，则AD →＝________.(用AB →，AC →表示) 答案： 23AB →＋13AC →解： 因为BC →＝3BD →， 所以AC →－AB →＝3(AD →－AB →)， 即AD →＝23AB →＋13AC →.7.给出30个数：1, 2, 4, 7, 11, 16，…，要计算这30个数的和.如图给出了该问题的流程图，那么图中①处和②处分别填入____________.答案： i ≤30和p ＝p ＋i 解： 由于要计算30个数的和，故循环要执行30次，由于循环变量的初值为1，步长为1，故终值应为30， 即①中应填写i ≤30. 又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，即1＋1＝2， 第3个数比第2个数大2，即2＋2＝4， 第4个数比第3个数大3，即4＋3＝7，…， 故②中应填写p ＝p ＋i .8.已知实数x, y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y －3≤0，x ＋y －2≥0，－x ＋2y －2≤0，则z ＝(x －1)2＋y 2的最小值为________. 答案： 12解： 作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)，易知z 表示可行域内的点(x ，y )到点(1,0)的距离的平方，所以z min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|1＋0－2|12＋122＝12.9.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2,0)，且双曲线C 的离心率为22，则双曲线C 的渐近线方程为________. 答案： y ＝±7x解： 依题意知，双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为(2,0)，∴c ＝2，∵双曲线的离心率为22，∴c a ＝2a ＝22，∴a ＝22， ∵c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝142， ∴渐近线方程为y ＝±b ax ＝±7x .10.已知圆柱M 的底面半径为2，高为6，圆锥N 的底面直径和母线长相等.若圆柱M 和圆锥N 的体积相同，则圆锥N 的高为________.答案： 6解： 设圆锥N 的底面半径为r ，则它的母线长为2r ，高为3r ，由圆柱M 与圆锥N 的体积相同，得4π×6＝13πr 2×3r ，解：得r ＝23，因此圆锥N 的高h ＝3r ＝6.11.将圆的一组n 等分点分别涂上红色或蓝色，从任意一点开始，按逆时针方向依次记录k (k ≤n )个点的颜色，称为该圆的一个“k 阶段序”，当且仅当两个k 阶段序对应位置上的颜色至少有一个不相同时，称为不同的k 阶段序.若某圆的任意两个“k 阶段序”均不相同，则称该圆为“k 阶魅力圆”，则“3阶魅力圆”中最多可有的等分点个数为________. 答案： 8解： “3阶段序”中，每个点的颜色有两种选择，故“3阶段序”共有2×2×2＝8(种)，一方面，n 个点可以构成n 个“3阶段序”，故“3阶魅力圆”中的等分点的个数不多于8个；另一方面，若n ＝8，则必须包含全部共8个“3阶段序”，不妨从(红，红，红)开始按逆时针方向确定其它各点颜色，显然“红，红，红，蓝，蓝，蓝，红，蓝”符合条件，故“3阶魅力圆”中最多可有8个等分点.12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若AF 2→＝2F 2C →，则椭圆的离心率为________. 答案：55解： 设C (x ，y )，由AF 2→＝2F 2C →，得 ⎩⎪⎨⎪⎧|y |b 2a ＝12，x ＝2c ，∴C ⎝⎛⎭⎪⎫2c ，±b 22a .又C 为椭圆上一点， ∴(2c )2a2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫±b 22a 2b2＝1，解：得e ＝55. 13.已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝(x ＋1)e x，则对任意m ∈R ，函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有________个. 答案： 3解： 当x <0时，f ′(x )＝(x ＋2)e x，由此可知f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，f (－2)＝－e －2，f (－1)＝0，且f (x )<1.又f (x )是R 上的奇函数，f (0)＝0，而当x ∈(－∞，－1)时，f (x )<0，所以f (x )的图象如图所示.令t ＝f (x )，则当t ∈(－1,1)时，方程f (x )＝t 至多有3个根，当t ∉(－1,1)时，方程f (x )＝t 没有根，而对任意m ∈R ，方程f (t )＝m 至多有一个根t ∈(－1,1)，从而函数F (x )＝f (f (x ))－m 的零点个数至多有3个.14.已知正四面体P －ABC 的棱长均为a ，O 为正四面体P －ABC 的外接球的球心，过点O 作平行于底面ABC 的平面截正四面体P －ABC ，得到三棱锥P －A 1B 1C 1和三棱台ABC －A 1B 1C 1，那么三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为________. 答案：27π32a 2解： 设底面△ABC 的外接圆半径为r ， 则asinπ3＝2r ，所以r ＝33a . 所以正四面体的高为a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝63a ， 设正四面体的外接球半径为R ， 则R 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2，∴R ＝64a .因为64∶63＝3∶4， 所以三棱锥P －A 1B 1C 1的外接球的表面积为 4π×⎝⎛⎭⎪⎫64a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＝27π32a 2. 填空题满分练(2)1.若复数z 满足1＋iz －i ＝i(i 是虚数单位)，则z ＝________.答案： 1解： 由题设有z ＝1＋ii＋i ＝－i ＋1＋i ＝1.2.已知集合A ＝{2,0，－2}，B ＝{x |x 2－2x －3>0}，集合P ＝A ∩B ，则集合P 的子集个数是________. 答案： 2解： 由题设有B ＝(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 故P ＝A ∩B ＝{－2}， 所以P 的子集的个数为2.3.已知cos α＝17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝________.答案：1314解： ∵cos α＝17，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＝cos αcos π3＋sin αsin π3＝17×12＋437×32＝1314.4.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知某高级中学高一、高二、高三学生人数分别为880,860,820，现用分层抽样的方法从该校抽调128人，则在高二年级中抽调的人数为________. 答案： 43解： 由题意可知，在高二年级中抽调的人数为128×860880＋860＋820＝43.5.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，….该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，则(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2015a 2017－a 22016)＝________. 答案： －1解： 根据斐波那契数列可知，a 1a 3－a 22＝1，a 2a 4－a 23＝－1，a 3a 5－a 24＝1，a 4a 6－a 25＝－1，…， 所以根据计算的规律可得，当n 为偶数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝－1， 当n 为奇数时，a n a n ＋2－a 2n ＋1＝1，所以(a 1a 3－a 22)(a 2a 4－a 23)(a 3a 5－a 24)…(a 2 015a 2 017－a 22 016)＝－1.6.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是________.(填序号)①函数f (x )的最小正周期为π2； ②直线x ＝－π12是函数f (x )图象的一条对称轴；③函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6上单调递增； ④将函数f (x )的图象向左平移π3个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )＝2sin2x .答案： ④解： A ＝2, T 2＝2π3－π6＝π2，即πω＝π2，即ω＝2, π2＋2π32＝7π12，当x ＝7π12时， 2×7π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π，解：得φ＝－2π3，所以函数是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，函数的最小正周期为π；当x ＝－π12时， 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12－2π3＝－5π6，不是函数的对称轴；当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π6时，2x －2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π2，－π3，f (x )先单调递减后单调递增；函数向左平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－2π3＝2sin 2x ，所以④正确.7.如图是一个输出一列数的算法流程图，则这列数的第三项是________.答案： 30解： 第一次输出a ＝3，n ＝2；第二次输出a ＝3×2＝6，n ＝3；第三次输出a ＝6×5＝30，n ＝4.故这列数的第三项为30.8.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥4，x ＋2y ≤4，y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值是________.答案： 6解： 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界).当动直线y ＝32x －z2过点(2,0)时，z 取最小值6.9.大约2000多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并获得了大量的成果，古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面再渐渐倾斜得到椭圆.若用周长为24的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆Γ，且Γ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆Γ在平面直角坐标系中的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，测得Γ的离心率为32，则椭圆Γ的方程为________. 答案：x 216＋y 24＝1 解： 由题意得4a ＋4b ＝24，即a ＋b ＝6①，由c a ＝32得a ＝2b ②，由①②解：得a ＝4，b ＝2.所以椭圆Γ的方程为x 216＋y 24＝1.10.若曲线y ＝ln x ＋1的一条切线是y ＝ax ＋b ，则4a ＋e b的最小值是________. 答案： 4解： 设切点为(m ，ln m ＋1)(m >0)，f ′(x )＝1x ，f ′(m )＝1m，故切线方程为y －(ln m ＋1)＝1m(x －m )，即y ＝1m x ＋ln m ，所以a ＝1m ，b ＝ln m,4a ＋e b＝4m ＋m ≥24m·m ＝4，当且仅当4m＝m ，即m ＝2时取等号. 11.过点M ⎝⎛⎭⎪⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，l 与x 轴的交点为抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，l 与抛物线E 交于A ，B 两点，则AB 的中点到抛物线E 的准线的距离为________. 答案： 4 2解： 由题意得，过点M ⎝⎛⎭⎪⎫22，－22作圆x 2＋y 2＝1的切线l ，可得直线l 的方程为x －y －2＝0， 此时直线l 与x 轴的交点坐标为(2，0)，又点(2，0)与抛物线的焦点重合，即p2＝2，解：得p ＝22，即y 2＝42x ，且准线方程为x ＝－2，联立方程组⎩⎨⎧y 2＝42x ，x －y －2＝0，整理得x 2－62x ＋2＝0，Δ＝(62)2－8>0，x 1,2＝62±82＝32±4，则x 1＋x 2＝62，所以x 1＋x 22＝32，所以AB 的中点到抛物线的准线的距离为x 1＋x 22＋2＝4 2.12.已知圆心角为120°的扇形AOB 的圆心为O ，在其弧AB 上任取一点P ，则使∠AOP 和∠BOP 同时大于50°的概率为________. 答案： 16解： 由几何概型的定义和几何概型的公式可知，使∠AOP 和∠BOP 能同时大于50°的概率为120°－50°－50°120°＝20°120°＝16.13.在四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝CD ＝DA ＝1，设△ABD ，△BCD 的面积分别为S 1，S 2，则当S 21＋S 22取最大值时，BD ＝________.答案：102解： 设BD ＝b ，S 21＋S 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×2×sin A 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×1×1×sin C 2＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2A ＋14cos 2C ＝34－2b 4－10b 2＋1316＝34－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－522＋1216， 所以当b 2＝52，即b ＝102时，S 21＋S 22取得最大值.14.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12018log x ，0<x <1，log 2018x ，x ≥1，若0<a <b ，且f (a )＝f (b )，则4a 2＋b 2＋2a ＋b 的取值范围是________.答案： [4＋22，＋∞)解： 先作出f (x )的图象如图所示，通过图象可知，0<a <1<b ，设f (a )＝f (b )＝t ，则⎩⎪⎨⎪⎧12018log a ＝t ，log 2 018b ＝t(t >0)，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2 018－t，b ＝2 018t，所以ab ＝1,2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t， 而2 018t>0，所以2a ＋b ＝22 018t ＋2 018t ≥22，当且仅当2 018t＝2时等号成立.令m ＝2a ＋b ，则m ≥22，故4a 2＋b 2＋2a ＋b ＝(2a ＋b )2＋(2a ＋b )－4＝m 2＋m －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122－174，因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122－174在[22，＋∞)上单调递增，所以4a 2`＋b 2＋2a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋122－174≥4＋2 2.填空题满分练(3)1.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知全集为R ，集合A ＝{x |2x ≥4}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}，则A ∩(∁R B )＝________. 答案： [2,3)解： A ＝{x |2x ≥4}＝{x |x ≥2}，B ＝{x |x 2－3x ≥0}＝{x |x ≤0或x ≥3}，∁R B ＝(0,3)，则A ∩(∁RB )＝[2,3).2.已知i 为虚数单位，复数1＋a i2－i(a ∈R )为纯虚数，则a 的值为________. 答案： 2解： 因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝(2－a )＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＝0，2a ＋1≠0，所以a ＝2.3.中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{a n }的前n 项和S n ＝14n 2，n ∈N *，等比数列{b n }满足b 1＝a 1＋a 2，b 2＝a 3＋a 4，则b 3＝________.(用数字表示) 答案： 9解： 由题意可得b 1＝a 1＋a 2＝S 2＝14×22＝1，b 2＝a 3＋a 4＝S 4－S 2＝14×42－14×22＝3，则等比数列的公比q ＝b 2b 1＝31＝3，故b 3＝b 2q ＝3×3＝9.4.设向量a ＝(3，1)，b ＝(x ，－3)，c ＝(1，－3)，若b ∥c ，则a －b 与b 的夹角为________.(用度数表示) 答案： 150°解： ∵b ∥c ，∴－3x ＝(－3)×1，∴x ＝3， ∴b ＝(3，－3)，a －b ＝(0,4).∴a －b 与b 的夹角θ的余弦值cos θ＝－124×23＝－32，又∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝150°.5.设变量x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －y ＋3≥0，x ＋y －3≥0，则z ＝2x －y 的取值范围是________.答案： [－3，＋∞)解： 不等式组对应的可行域如图阴影部分所示(含边界)，目标函数z ＝2x －y 经过点(0,3)时有最小值，且最小值为－3，由图可得，无最大值，则z ＝2x －y 的取值范围是[)－3，＋∞.6.将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O －EFG 体积的最大值是________. 答案： 4解： 设Rt△EFG 的两条直角边分别为a ，b ，则a 2＋b 2＝16，三棱锥O －EFG 的高为3，从而V O －EFG ＝13S △EFG ·3＝12ab ≤a 2＋b24＝4，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，故三棱锥O －EFG的体积的最大值为4.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)执行如图所示的流程图，输出的S 为________.答案： 17解： 开始时，S ＝27，i ＝1，第一次循环，S ＝47，i ＝2，第二次循环，S ＝17，i ＝3，第三次循环，S ＝27，i ＝4，第四次循环，S ＝47，i ＝5，第五次循环，S ＝17，5<5不满足条件，输出S ＝17.8.某高中在今年的期末考试历史成绩中随机抽取n 名考生的笔试成绩，作出其频率分布直方图如图所示，已知成绩在[75,80)中的学生有1名，若从成绩在[75,80)和[90,95)两组的所有学生中任取2名进行问卷调查，则2名学生的成绩都在[90,95)中的概率为________.答案： 35解： 因为成绩在[75,80)的频率为5×0.01＝0.05，所以n ＝10.05＝20， 成绩在[90,95)的频率为1－5×(0.01＋0.02＋0.06＋0.07)＝0.2， 所以成绩在[90,95)中的学生人数为20×0.2＝4，所以成绩在[75,80)中有1个人，设为a ，成绩在[90,95)中有4个人，设为A ，B ，C ，D ， 从5个人中任意取2个人有(a ，A )，(a ，B )，(a ，C )，(a ，D )，(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共10个基本事件，2名学生成绩都在[90,95)的事件有(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(B ，C )，(B ，D )，(C ，D )，共6个基本事件， 所以由古典概型的概率公式，得所求概率为610＝35.9.将函数f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3的图象向左平移t (t >0)个单位长度，所得图象对应的函数为奇函数，则t 的最小值为________. 答案：π6解： f (x )＝23cos 2x －2sin x cos x －3＝23×1＋cos 2x 2－sin 2x －3＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，平移后函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t ＋π6为奇函数，所以2t ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解：得t ＝k π2＋π6，k ∈Z ，所以当k ＝0时，t 有最小值π6.10.如图，已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象关于点M (2,0)对称，且f (x )的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将f (x )的图象向右平移13个单位长度，得到函数g (x )的图象，则g (x )的单调递增区间为____________.答案： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k －23，4k ＋43(k ∈Z ) 解： 由图知A ＝3，不妨设两个相邻的最高点和最低点分别为P ，Q ，过P 作PH ⊥x 轴于点H ，如图所示.令HM ＝m (m >0)，则m 2＋(3)2＝4，得m ＝1，所以P (1，3)，Q (3，－3)，设函数f (x )的最小正周期为T ，则T 2＝2，T ＝4＝2πω，ω＝π2，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ， 将(2,0)代入得π＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )， 因为|φ|<π2，所以φ＝0，f (x )＝3sin π2x ，所以g (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π6.由2k π－π2≤π2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解：得4k －23≤x ≤4k ＋43()k ∈Z .所以g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤4k －23，4k ＋43k ∈Z .11.已知抛物线C ：y 2＝4x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝________.答案：833解： 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，所以S △MFN ＝12×p ×|y 1－y 2|＝12×2×|y 1－y 2|＝|y 1－y 2|，直线方程是y ＝3(x －1)，与抛物线方程联立，消去x ， 整理得3y 2－4y －43＝0，所以y 1＋y 2＝43，y 1y 2＝－4，所以|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝163＋16＝833. 12.在△ABC 中，a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2ab sin C ＝3()b 2＋c 2－a 2，若a＝13，c ＝3，则△ABC 的面积为________. 答案： 3 3解： 由题意得2ab sin C 2bc ＝3·b 2＋c 2－a 22bc ，即a sin Cc＝3cos A ，由正弦定理得sin A ＝3cos A, 所以tan A ＝3，A ＝π3.由余弦定理得13＝32＋b 2－2×3b cos π3，解：得b ＝4，故面积为12bc sin A ＝12×4×3×32＝3 3.13.如图，已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点为F 1，左、右顶点分别为A ，B ，M 在双曲线上且在x 轴的上方，MF 1⊥x 轴，直线MA ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，若OP ＝eOQ (e 为双曲线的离心率)，则e ＝________.答案：2＋1解： 由已知得，A (－a,0)，B (a,0)，F 1(－c,0)，M ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a . 由△BOQ ∽△BF 1M 可得，OQ MF 1＝OBBF 1，即OQ b 2a＝a a ＋c ，解：得OQ ＝b 2a ＋c . 由△AOP ∽△AF 1M 可得，OP MF 1＝OA AF 1， 即OP b 2a＝a c －a ，解：得OP ＝b 2c －a . 由已知得OP ＝eOQ ，可得b 2c －a＝e ×b 2a ＋c，所以a ＋c ＝e (c －a )，即1＋e ＝e (e －1)， 整理得e 2－2e ＝1，又e >1，所以e ＝2＋1.14.设函数g (x )＝e x＋3x －a (a ∈R ，e 为自然对数的底数)，定义在R 上的连续函数f (x )满足：f (－x )＋f (x )＝x 2，且当x ＜0时，f ′(x )＜x ，若∃x 0∈{x |f (x )＋2≥f (2－x )＋2x }，使得g ()g ()x 0＝x 0，则实数a 的取值范围为________.答案：(]－∞，e ＋2解： 设F (x )＝f (x )－x 22，则F ′(x )＝f ′(x )－x ，所以当x <0时，F ′(x )<0，故函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，0上的单调递减函数，又由f (－x )＋f (x )＝x 2可知，F (－x )＋F (x )＝f (－x )＋f (x )－2×x 22＝0，则函数F (x )＝f (x )－x 22是奇函数，所以函数F (x )＝f (x )－x 22是()－∞，＋∞上的单调递减函数.由题设中f (x )＋2≥f ()2－x ＋2x 可得F (x )≥F ()2－x ，解：得x ≤1，由g (g (x 0))＝x 0，得g (x 0)＝x 0，所以问题转化为x ＝e x＋3x －a 在(]－∞，1上有解：，即a ＝e x＋2x 在(]－∞，1上有解：，令h (x )＝e x＋2x ，x ∈(－∞，1]， 则h ′(x )＝e x＋2>0，故h (x )＝e x＋2x 在(]－∞，1上单调递增，则h (x )≤h (1)＝e ＋2，即a ≤e＋2.填空题满分练(4)1.(2018·南通、徐州、扬州等六市模拟)已知复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，其中i 为虚数单位，若z 1z 2为纯虚数，则实数a 的值为________. 答案： 43解： ∵复数z 1＝a ＋i ，z 2＝3－4i ，∴z 1z 2＝a ＋i 3－4i ＝(a ＋i )(3＋4i )(3－4i )(3＋4i )＝3a －4＋(4a ＋3)i 25， ∵z 1z 2为纯虚数，∴3a －4＝0且4a ＋3≠0，即a ＝43.2.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x －1|<1}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1，则A ∩(∁U B )＝________. 答案： {x |1≤x <2}解： 由题意得A ＝{x ||x －1|<1}＝{x |－1<x －1<1}＝{x |0<x <2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2x －5x －1≥1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －4x －1≥0＝{x |x <1或x ≥4}， ∴∁U B ＝{x |1≤x <4}， ∴A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}.3.在等差数列{a n }中，a 4，a 7是函数f (x )＝x 2－3x －18的两个零点，则{a n }的前10项和为________. 答案： 15解： 由题意得a 4，a 7是方程x 2－3x －18＝0的两根， ∴a 4＋a 7＝3，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5(a 1＋a 10)＝5(a 4＋a 7)＝5×3＝15.4.在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长度的取值范围为________. 答案： [6－2，6＋2] 解： 设BC 的中点为M (x ，y ). 因为OB 2＝OM 2＋BM 2＝OM 2＋AM 2， 所以4＝x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝32，所以点M 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，62为半径的圆，所以AM 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤6－22，6＋22，所以BC 的取值范围是[6－2，6＋2]. 5.已知直线m ，n ，平面α，β，给出下列命题： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β； ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β； ③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β. 其中正确的命题是________.(填序号) 答案： ①解： ①若m ⊥α，n ⊥β，且m ⊥n ，则α⊥β，正确.∵n ⊥β，且m ⊥n ，可得出m ∥β或m ⊂β，又m ⊥α，故可得α⊥β. ②若m ∥α，n ∥β，且m ∥n ，则α∥β，不正确. 两平面有可能相交.③若m ⊥α，n ∥β，且m ⊥n ，则α⊥β，不正确.m ⊥α且m ⊥n ，可得出n ∥α或n ⊂α，又n ∥β，故不能得出α⊥β.6.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解：放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有________种. 答案： 24解： 分两类求解：.①甲单独一人时，则甲只能去另外两个景点中的一个，其余三人分为两组然后分别去剩余的两个景点，故方案有C 12C 23A 22＝12(种)；②甲与另外一人为一组到除瓷器口之外的两个景点中的一个，其余两人各去一个景点，故方案有C 13C 12A 22＝12(种).由分类加法计数原理，可得总的方案数为24.7.函数y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，函数单调递增，若f (1)＝1，则满足－1≤f (x ＋2)≤1的x 的取值范围是________. 答案： [－3，－1]解： 函数y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，由f (1)＝1，可知f (－1)＝－1.当x ≥0时，函数单调递增，由y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，得y ＝f (x )在R 上单调递增. 则由－1≤f (x ＋2)≤1，可得－1≤x ＋2≤1， 解：得－3≤x ≤－1.8.如图所示的流程图输出的结果为510，则判断框内的条件是________.答案： n ≤8(或n <9)解： 由题意得该程序的功能是计算2＋22＋23＋ (2). ∵2＋22＋23＋ (2)＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2，∴当n ＝7时，2n ＋1－2＝28－2＝254，不合题意；当n ＝8时，2n ＋1－2＝29－2＝510，符合题意.∴判断框中的条件为n ≤8或n <9.9.已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4≥0，x －2≤0，x ＋y ≥0，x ，y ∈R ，则x 2＋y 2的最大值为________.答案： 8解： 画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).x 2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到原点距离的平方.由图形可得，可行域内的点A 或点B 到原点的距离最大，且A (2，－2)，B (2,2)，又OA ＝OB ＝22， ∴(x 2＋y 2)max ＝8.10.设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有顶点都在同一个球面上，且球的表面积是40π，AB ＝AC＝AA 1，∠BAC ＝120°，则此直三棱柱的高是________. 答案： 2 2解： 设AB ＝AC ＝AA 1＝x ， 在△ABC 中，∠BAC ＝120°， 则由余弦定理可得BC ＝3x .由正弦定理，可得△ABC 外接圆的半径为r ＝x ， ∵球的表面积是40π， ∴球的半径为R ＝10.设△ABC 外接圆的圆心为O ′，球心为O ，在Rt△OBO ′中，有⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋x 2＝10，解：得x ＝22，即AA 1＝2 2.∴直三棱柱的高是2 2.11.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，P 为双曲线左支上一点，△ABP为等腰三角形且外接圆的半径为5a ，则双曲线的离心率为________. 答案：153解： 由题意知在等腰△ABP 中，AB ＝AP ＝2a ，设∠ABP ＝∠APB ＝θ，F 1为双曲线的左焦点，则∠F 1AP ＝2θ，其中θ必为锐角. ∵△ABP 外接圆的半径为5a ， ∴25a ＝2asin θ，∴sin θ＝55，cos θ＝255， ∴sin 2θ＝2×55×255＝45， cos 2θ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫2552－1＝35. 设点P 的坐标为(x ，y )， 则x ＝－a －AP cos 2θ＝－11a 5， y ＝AP sin 2θ＝8a5，故点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－11a 5，8a 5.由点P 在双曲线上，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－11a 52a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫8a 52b 2＝1，整理得b 2a 2＝23，∴e ＝c a＝1＋b 2a 2＝153. 12.七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为“东方魔板”，它是由五块等腰直角三角形(两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形)、一块正方形和一块平行四边形组成的.如图在一个用七巧板拼成的正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率是________.答案：316解： 由七巧板的构造可知，△BIC ≌△GOH ，故黑色部分的面积与梯形EFOH 的面积相等， 则S EFOH ＝34S △DOF ＝34×14S ABDF ＝316S ABDF ，∴所求的概率为P ＝S EFOH S ABDF ＝316. 13.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝S n ＋3n(n ∈N *，n ≥1)，则数列{S n }的通项公式为________. 答案： S n ＝3n－2n解： ∵a n ＋1＝S n ＋3n＝S n ＋1－S n ， ∴S n ＋1＝2S n ＋3n，∴S n ＋13n ＋1＝23·S n 3n ＋13， ∴S n ＋13n ＋1－1＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫S n 3n －1， 又S 13－1＝13－1＝－23， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n 3n －1是首项为－23，公比为23的等比数列，∴S n 3n －1＝－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n， ∴S n ＝3n－2n.14.德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,1805—1859)在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈Q ，0，x ∈∁R Q ，其中R 为实数集，Q 为有理数集.则关于函数f (x )有如下四个命题：①f (f (x ))＝0；②函数f (x )是偶函数；③任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对任意的x ∈R 恒成立；④存在三个点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))，C (x 3，f (x 3))，使得△ABC 为等边三角形.其中真命题的个数是________. 答案： 3解： 当x 为有理数时，f (x )＝1；当x 为无理数时，f (x )＝0，∴当x 为有理数时，f (f (x ))＝f (1)＝1；当x 为无理数时，f (f (x ))＝f (0)＝1，∴无论x 是有理数还是无理数，均有f (f (x ))＝1，故①不正确；∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，∴对任意x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )，故②正确；当T ∈Q 时，若x 是有理数，则x ＋T 也是有理数；若x 是无理数，则x ＋T 也是无理数，∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T ，f (x ＋T )＝f (x )对x ∈R 恒成立，故③正确；取x 1＝33，x 2＝0，x 3＝－33，f (x 1)＝0，f (x 2)＝1，f (x 3)＝0，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫33，0，B (0,1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，△ABC 恰好为等边三角形，故④正确. 填空题满分练(5)1.i 是虚数单位，(1－i)z ＝2i ，则|z |＝________. 答案：2解： 由题意知z ＝2i 1－i ＝2i (1＋i )(1－i )(1＋i )＝－1＋i ，则|z |＝(－1)2＋12＝ 2. 2.已知集合P ＝{x |－1≤x <2}，集合Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0<x ≤52，则P ∩Q ＝________. 答案： (0,2) 解： P ∩Q ＝(0,2).3.已知e 1，e 2是夹角为90°的两个单位向量，且a ＝3e 1－e 2,b ＝2e 1＋e 2，则a ，b 的夹角为________.(用度数表示) 答案： 45°解： ∵e 1，e 2是夹角为90° 的两个单位向量， ∴||e 1||＝e 2＝1，e 1·e 2＝0， ∴||a ＝()3e 1－e 22＝9||e 12－6e 1·e 2＋||e 22＝10，||b ＝()2e 1＋e 22＝4||e 12＋4e 1·e 2＋||e 22＝5，a ·b ＝()3e 1－e 2·()2e 1＋e 2＝6||e 12－||e 22＝5，设a 与b 的夹角为θ， 则cos θ＝a ·b ||a ||b ＝510×5＝22，∵0°≤θ≤180°， ∴θ＝45°.4.已知整数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7≥0，x ＋2y －5>0，则3x ＋4y 的最小值是________.答案： 16解： 可行域如图所示，令z ＝3x ＋4y ，当动直线3x ＋4y －z ＝0过点A 时，z 有最小值.又由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，故A (3,1)，但点A (3,1)不在可行域内，故当直线过可行域内的整点(4,1)时，z 有最小值16.5.已知一个样本为x,1，y,5，若该样本的平均数为2，则它的方差的最小值为________. 答案： 3解： 样本x ,1，y ,5的平均数为2，故x ＋y ＝2，故s 2＝14[(x －2)2＋(y －2)2＋10]＝52＋14(x2＋y 2)≥52＋14×(x ＋y )22＝52＋14×2＝3，当且仅当x ＝y ＝1时取等号，故方差的最小值是3.6.(2018·江苏省盐城市东台中学模拟)下面求2＋5＋8＋…＋2018的值的伪代码中，正整数m 的最大值为________. I ←2S ←0While I <m S ←S ＋I I ←I ＋3 EndWhile Print S 答案： 2021解： 由伪代码知，这是当型循环结构的算法， 由于累加项的步长为3， 循环变量I 的终值为2018， 故2018<m <2022，由于m 是正整数，所以最大值为2021.7.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)已知关于实数x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0构成的平面区域为Ω，若∃(x 0，y 0)∈Ω，使得(x 0－1)2＋(y 0－4)2≤m ，则实数m 的取值范围是________. 答案： [20，＋∞)解： 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0，x －y ＋8≥0，2x ＋y －14≤0表示的可行域如图阴影部分所示(含边界).(x 0－1)2＋(y 0－4)2表示可行域内一点与点(1,4)之间的距离的平方和， ∵点(1,4)到直线x ＋2y －19＝0的距离为25， 故[(x 0－1)2＋(y 0－4)2]min ＝20， 故实数m 的取值范围是[20，＋∞).8.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度得到函数g (x )的图象，则函数g (x )＝________.答案： 2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 解： ∵由图象知，14T ＝π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π4，∴T ＝π，ω＝2.∵2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝2，∴2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z .∵|φ|<π，∴φ＝2π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.f (x )的图象向右平移π6个单位长度后得到的图象解：式为g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋2π3＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.9.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)与抛物线y 2＝8x 有相同的焦点F ，过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A, B 两点，与双曲线交于C, D 两点，当AB ＝2CD 时，双曲线的离心率为________. 答案：5＋12解： 由题意知F (2,0), c ＝2，∵过点F 且垂直于x 轴的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，与双曲线交于C, D 两点， 在y 2＝8x 中，令x ＝2，则y 2＝16，即y ＝±4. ∴AB ＝8，∴CD ＝4，将x ＝2代入到双曲线的方程，可得y ＝±b 4a 2－1，则2b4a 2－1＝4.∵a 2＋b 2＝c 2＝4，∴a ＝5－1， ∴双曲线的离心率为e ＝c a＝25－1＝5＋12.10.已知△ABC 的顶点A ∈平面α，点B ，C 在平面α的同侧，且AB ＝2，AC ＝3，若AB ，AC 与α所成的角分别为π3，π6，则线段BC 长度的取值范围为________.答案： [1，7]解： 如图，过B ，C 作平面的垂线，垂足分别为M ，N ， 则四边形BMNC 为直角梯形.在平面BMNC 内，过C 作CE ⊥BM 交BM 于点E . 又BM ＝2sin∠BAM ＝2sinπ3＝3，AM ＝2cos π3＝1， CN ＝3sin∠CAN ＝3sinπ6＝32，AN ＝3cos π6＝32， 所以BE ＝BM －CN ＝32，故BC 2＝MN 2＋34. 又AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ， 即12＝AN －AM ≤MN ≤AM ＋AN ＝52， 所以1≤BC 2≤7，即1≤BC ≤7.11.已知数列{a n }是各项均为正整数的等差数列，公差d ∈N *，且{a n }中任意两项之和也是该数列中的一项，若a 1＝6m，其中m 为给定的正整数，则d 的所有可能取值的和为__________. 答案： 12(2m ＋1－1)(3m ＋1－1)解： ∵公差d 是a 1＝6m 的约数， ∴d ＝2i·3j(i ，j ＝0,1,2，…，m )，∴d 的所有可能取值之和为∑i ＝0m2i ·∑j ＝0m3j ＝12(2m ＋1－1)·(3m ＋1－1).12.已知点M 为单位圆x 2＋y 2＝1上的动点，点O 为坐标原点，点A 在直线x ＝2上，则AM →·AO →的最小值为________. 答案： 2解： 设A (2，t )，M (cos θ，sin θ)，则AM →＝(cos θ－2，sin θ－t )，AO →＝(－2，－t )， 所以AM →·AO →＝4＋t 2－2cos θ－t sin θ. 又(2cos θ＋t sin θ)max ＝4＋t 2， 故AM →·AO →≥4＋t 2－4＋t 2.令s ＝4＋t 2，则s ≥2，又4＋t 2－4＋t 2＝s 2－s ≥2， 当s ＝2，即t ＝0时等号成立，故(AM →·AO →)min ＝2.13.已知函数f (x )＝x 2－2mx ＋m ＋2，g (x )＝mx －m ，若存在实数x 0∈R ，使得f (x 0)<0且g (x 0)<0同时成立，则实数m 的取值范围是________. 答案： (3，＋∞)解： 当m >0，x <1时，g (x )<0， 所以f (x )<0在(－∞，1)上有解：，则⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m >0或⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，Δ>0，f (1)≥0，m <1，即m >3或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m 2－m －2>0，3－m ≥0，m <1，故m >3.当m <0，x >1时，g (x )<0，所以f (x )<0在(1，＋∞)上有解：， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (1)<0，m <0，此不等式组无解：.综上，m 的取值范围为(3，＋∞).14.已知实数a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1＋a2，x ＜0，ex －1＋a 2x 2－()a ＋1x ＋a 2，x ≥0，若关于x 的方程f (－f (x ))＝e －a ＋a2有三个不等的实根，则实数a 的取值范围是________.答案： ⎝⎛⎭⎪⎫2，2＋2e 解： 当x ＜0时，f (x )为增函数， 当x ≥0时，f ′(x )＝ex －1＋ax －a －1, f ′(x )为增函数，令f ′(x )＝0，解：得x ＝1，故函数f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 最小值为f (1)＝0.由此画出函数f (x )的图象如图所示.令t ＝－f (x )，因为f (x )≥0，所以t ≤0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f ()t ＝e－a＋a2，f ()t ＝et －1＋a2，解：得－a ＝t －1，所以t ＝－a ＋1，所以f (x )＝a －1. 所以方程要有三个不同的实数根，则需a 2＜a －1＜1e ＋a 2，解：得2＜a ＜2e＋2.填空题满分练(6)1.已知全集U ＝R ，N ＝{x |x (x ＋3)<0}，M ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合是________.答案： {x |－1≤x <0}2.(2018·江苏省高考冲刺预测卷)若复数z ＝1－i2－i ，则z 的虚部为________.答案： －15解： z ＝1－i 2－i ＝(1－i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝3－i5，其虚部为－15.3.已知数列{a n }满足：对于∀m ，n ∈N *，都有a n ·a m ＝a n ＋m ，且a 1＝12，那么a 5＝________.答案：132解： 由于a n ·a m ＝a n ＋m (m ，n ∈N *)，且a 1＝12.令m ＝1，得12a n ＝a n ＋1，所以数列{a n }是公比为12，首项为12的等比数列.因此a 5＝a 1q 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝132.4.如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录绘制了日销售量的频率分布直方图.若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________.答案： 9解： 这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为(0.004＋0.002)×50×30＝9.5.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P为底边的等腰三角形，且60°<∠PF 1F 2<120°，则该椭圆的离心率的取值范围是________. 答案： ⎝⎛⎭⎪⎫3－12，12 解： 由题意可得PF 1＝F 1F 2＝2c ，再由椭圆的定义可得PF 2＝2a －PF 1＝2a －2c . 设∠PF 1F 2＝θ，又60°<∠PF 1F 2<120°， ∴－12<cos θ＜12.在△PF 1F 2中，由余弦定理可得cos θ＝c 2－a 2＋2ac 2c2， 由－12＜cos θ＜12，可得e 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12，12.6.若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，x －2y ＋2≥0，则z ＝yx －3的最小值是________.答案： －2解： 画出满足约束条件的可行域，如图中阴影部分所示(含边界)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y ＝0，解：得A (2,2)，z ＝y x －3的几何意义为可行域内的点与定点P (3,0)的连线的斜率. ∵k PA ＝2－02－3＝－2，∴z ＝y x －3的最小值是－2.7.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 依次成等差数列，BC 边上的中线AD ＝7，AB ＝2，则S △ABC ＝________. 答案： 3 3解： ∵A ，B ，C 成等差数列，∴B ＝60°，在△ABD 中，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD ·cos B ，即7＝4＋BD 2－2BD ，∴BD ＝3或－1(舍去)，可得BC ＝6，∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×2×6×32＝3 3.8.已知三棱锥P －ABC 内接于球O ，PA ＝PB ＝PC ＝2，当三棱锥P －ABC 的三个侧面的面积之和最大时，球O 的表面积为________. 答案： 12π解： 由于三条侧棱相等，根据三角形面积公式可知，当PA ，PB ，PC 两两垂直时，侧面积之和最大.此时PA ，PB ，PC 可看成正方体一个顶点的三条侧棱，其外接球直径为正方体的体对角线，即4R 2＝3·22＝12，故球的表面积为4πR 2＝12π.9.给出如图所示的流程图，若输入的x 的值为－5，则输出的y 值是________.答案： 0解： 由流程图知，若输入的x 的值为－5，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－5＝25＝32>2，程序继续运行x ＝－3，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝23＝8>2，程序继续运行x ＝－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，不满足⎝ ⎛⎭⎪⎫12x>2，∴执行y ＝log 2x 2＝log 21＝0.10.若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π4ω，函数f ′(x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f (x )的最小正周期是________.答案： π解： 由f (x )＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫tan φ＝b a 图象的对称轴方程为x ＝π4ω可知，π4＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，解：得φ＝π4＋k π，k ∈Z ，即ba＝tan φ＝1，所以a ＝b .又f ′(x )＝a ωcos ωx －b ωsin ωx 的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝0，即a ω⎝⎛⎭⎪⎫cosωπ8－sin ωπ8＝0，所以ωπ8＝π4＋k π，k ∈Z ，解：得ω＝2＋8k ，k ∈Z ，又因为0<ω<5，所以ω＝2，所以T ＝2πω＝π.11.在正三角形ABC 内任取一点P ，则点P 到A ，B ，C 的距离都大于该三角形边长一半的概率为________. 答案： 1－3π6解： 满足条件的正三角形ABC 如图所示.设边长为2，其中正三角形ABC 的面积S △ABC ＝34×4＝ 3. 满足到正三角形ABC 的顶点A ，B ，C 的距离至少有一个小于等于1的平面区域如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为1的半圆， 则S 阴影＝12π，则使取到的点到三个顶点A ，B ，C 的距离都大于1的概率P ＝1－3π6. 12.已知△ABC 的三个顶点的坐标为A (0,1)，B (1,0)，C (0，－2)，O 为坐标原点，动点M 满足|CM →|＝1，则|OA →＋OB →＋OM →|的最大值是________. 答案：2＋1解： 设点M 的坐标是(x ，y )，∵C (0，－2)，且|CM →|＝1，∴x 2＋(y ＋2)2＝1，x 2＋(y ＋2)2＝1，则点M 的轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆. ∵A (0,1)，B (1,0)，∴OA →＋OB →＋OM →＝(x ＋1，y ＋1)，则|OA →＋OB →＋OM →|＝(x ＋1)2＋(y ＋1)2，其几何意义表示圆x 2＋(y ＋2)2＝1上的点与点P (－1，－1)间的距离.又点P (－1，－1)在圆C 的外部，∴|OA →＋OB →＋OM →|max ＝|PC →|＋1＝(0＋1)2＋(－2＋1)2＋1＝2＋1.13.已知P 为函数y ＝4x的图象上任一点，过点P 作直线PA ，PB 分别与圆x 2＋y 2＝1相切于A ，B 两点，直线AB 交x 轴于M 点，交y 轴于N 点，则△OMN 的面积为________.答案： 18解： 不妨设点P 在第一象限，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，4x 0，则PO 2＝x 20＋16x 20，PA 2＝PB 2＝PO 2－12＝x 20＋16x 20－1，故以P 为圆心，PA 为半径的圆的方程为()x －x 02＋⎝⎛⎭⎪⎫y －4x2＝x 20＋16x 20－1，联立x 2＋y 2＝1，两圆方程作差可得直线AB 的方程为x 0x ＋4x 0y －1＝0，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 0，0，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，x 04， 所以△OMN 的面积为12·1x 0·x 04＝18.14.函数y ＝f (x )的定义域为D ，若∀x ∈D ，∃a ∈[1,2]，使得f (x )≥ax 恒成立，则称函数y ＝f (x )具有性质P ，现有如下函数：①f (x )＝ex －1；②f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－1(x ≤0)； ③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (1－x )，x <0，(x －1)3＋1，x ≥0.则具有性质P 的函数f (x )为________.(填序号) 答案： ①② 解： ①设φ(x )＝ex －1－x (x ∈R )，则φ′(x )＝ex －1－1.当x >1时，φ′(x )>0；当x <1时，φ′(x )<0.。
2019高考数学二轮复习含解析27套
2019年江苏地区高考数学理科二轮复习解答专项三【应用题】精练卷及答案解析
2019年江苏地区高考数学理科二轮复习解答专项三【应用题】精练卷1.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC (如图).设计要求彩门的面积为S (单位：m 2)，高为h (单位：m)(S ，h 为常数).彩门的下底BC 固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架组成，设腰和下底的夹底为α，不锈钢支架的长度之和记为l .(1)请将l 表示成关于α的函数l ＝f (α)；(2)问：当α为何值时l 最小，并求最小值.解(1)过D 作DH ⊥BC 于点H ，则∠DCB ＝αDH ＝h ，设AD ＝x .则DC ＝h sin α，CH ＝h tan α，BC ＝x ＋2htan α.因为S ＋x h ，则x ＝S h －h tan α，则l ＝f (α)＝2DC ＋AD＝Sh＋α(2)f ′(α)＝h h ·1－2cos αsin 2α，令f ′(α)＝h ·1－2cos αsin 2α＝0，得α＝π3.当α变化时，f ′(α)，f (α)的变化情况如下表：所以l min ＝f ＝3h ＋Sh.答当α＝π3时，l 取最小值3h ＋Sh(m).2.某宾馆在装修时，为了美观，欲将客户的窗户设计成半径为1m 的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD 为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD 区域设计为可推拉的窗口.(1)若窗口ABCD 为正方形，且面积大于14m 2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；(2)若四根木条总长为6m，求窗口ABCD 面积的最大值.解(1)设一根木条长为x m，则正方形的边长为＝4－x 2m.因为S 四边形ABCD ＞14，所以4－x 2＞14，即x ＜152.所以42＜4x ＜215.答四根木条总长的取值范围为(42，215).(2)方法一设AB 所在的木条长为a m，则BC 所在的木条长为(3－a )m.因为a ∈(0,2)，3－a ∈(0,2)，所以a ∈(1,2).窗口ABCD 的面积S ＝41－a 24·1－(3－a )24＝4－a 2·4－(3－a )2＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20，设f (a )＝a 4－6a 3＋a 2＋24a －20，则f ′(a )＝4a 3－18a 2＋2a ＋24＝2(a ＋1)(2a －3)(a －4)，令f ′(a )＝0，得a ＝32a ＝－1(舍去)或a ＝4(舍去).当a 变化时，f ′(a )，f (a )的变化情况如下表：所以当a ＝32时，f (a )max ＝f ＝4916，即S max ＝74.答窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.方法二设AB 所在的木条长为a m，BC 所在的木条长为b m.由条件知，2a ＋2b ＝6，即a ＋b ＝3.因为a ，b ∈(0,2)，所以b ＝3－a ∈(0,2)，从而a ，b ∈(1,2).由于AB ＝21－b 24，BC ＝21－a 24，S 矩形ABCD ＝41－b 241－a 24＝4－b 24－a 2，因为4－b 24－a 2≤8－(a 2＋b 2)2≤8－(a ＋b )222＝74，当且仅当a ＝b ＝32∈(1,2)时，S 矩形ABCD ＝74为最大值.答窗口ABCD 面积的最大值为74m 2.3.(2018·江苏省启东中学模拟)为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个半径为2百米，圆心角为π3的扇形展示区的平面示意图.点C 是半径OB 上一点(异于O ，B 两点)，点D 是圆弧AB 上一点，且CD ∥OA .为了实现“以展养展”，现在决定：在线段OC 、线段CD 及圆弧DB 三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC 处每百米为2a 元，线段CD 及圆弧DB 处每百米均为a 元.设∠AOD ＝x 弧度，广告位出租的总收入为y 元.(1)求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)试问x 为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值.解(1)因为CD ∥OA ，所以∠ODC ＝∠AOD ＝x 弧度，在△OCD 中，∠OCD ＝2π3，∠COD ＝π3－x ，OD ＝2百米，由正弦定理得OC sin x ＝CD π3－x ＝2sin 2π3＝433，得OC ＝433sin x 百米，CD ＝433sin π3－x 又圆弧DB 长为2π3－x百米.所以y ＝2a ×433sin x ＋a ×433sin π3－x ＋2π3－x ＝2a 3sin x ＋cos x －x ＋π3x ∈0，π3.(2)记f (x )＝2a ×3sin x ＋cos x －x ＋π3，则f ′(x )＝2a ×(3cos x －sin x －1)＝2a ×2cosx ＋π6－1，x ∈0，π3.令f ′(x )＝0，得x ＝π6.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：所以f (x )在x ＝π6处取得极大值，这个极大值就是最大值，即f .所以当x ＝π6时广告位出租的总收入最大，最大值为元.4.(2018·连云港质检)如图(1)是一直角墙角，∠AOB ＝90°，墙角的两堵墙面和地面两两互相垂直.ABCD 是一块长AB 为6米，宽BC 为2米的板材，现欲用板材与墙角围成一个直棱柱空间堆放谷物.(1)若按如图(1)放置，如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大？(2)由于墙面使用受限，OA 面只能使用2米，OB 面只能使用4米.此矩形板材可以折叠围成一个直四棱柱空间，如图(2)，如何折叠板材才能使这个空间最大？解(1)设OA ＝x ，OB ＝y ，x ，y ∈(0,6)，且x 2＋y 2＝36，因为直三棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大.∵∠AOB ＝90°，∴S △AOB ＝12xy ≤x 2＋y 24＝9，当且仅当x ＝y ＝32时取到等号.即板材放置时，使得板材与墙面OA 成45°角.(2)因为直四棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，又S △AOB 为定值，只需寻找S △APB 的最大值.又在△APB 中，AB ＝25，只需寻找AB 边上高的最大值即可.如图，作PH ⊥AB 于点H ，设PA ＝x ，x ∈(0,6)，AH ＝y ，y ∈(0,25)，则PB ＝6－x ，HB ＝25－y ，PH 2＝x 2－y 2＝(6－x )2－(25－y )2，∴3x －5y ＝4，PH ＝x 2－y 2＝－4y 2＋85y ＋169，当y ＝5时，PH 最大，此时x ＝3，即板材放置时，沿中间折叠，使得PA ＝PB .5.在我国某海域O 处有一海警执法舰发现位于北偏西60°的A 处有一艘走私船，并测得O ，A 两点相距12海里，且走私船行驶速度是海警执法舰行驶速度的一半.现以点O 为坐标原点，东西方向为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系.(1)若两者均沿直线匀速行驶，求走私船能被海警执法舰截获的路径的曲线方程；(2)若满足3x －y ＋40<0的点(x ，y )组成的区域是公海，试问海警执法舰是否一定能在我国领海内截获走私船？若能，请说明理由；若不能，则需要使用巡逻艇进行快速追击，请问巡逻艇的速度至少应为走私船速度的几倍才能在我国领海内截获走私船？解(1)由条件可得，点A 的坐标为(－63，6)，设走私船在点P (x ，y )处被海警执法舰截获，则PO ＝2PA ，从而x 2＋y 2＝2(x ＋63)2＋(y －6)2，化简整理得(x ＋83)2＋(y －8)2＝64，所以所求路径是以点(－83，8)为圆心，8为半径的圆，其方程为(x ＋83)2＋(y －8)2＝64.(2)由(1)得，点(－83，8)到直线3x －y ＋40＝0的距离为|－83×3－8＋40|2＝4<8，故直线与圆相交，说明海警执法舰不一定能在我国领海内截获走私船.设巡逻艇的速率为走私船速度的t (t >2)倍，此时有x 2＋y 2＝t (x ＋63)2＋(y －6)2，化简得(t 2－1)x 2＋(t 2－1)y 2＋123t 2x －12t 2y ＋144t 2＝0，－63t 2t 2－1，，半径为12tt 2－1.由|－63t 2t 2－1×3－6t 2t 2－1＋40|2≥12t t 2－1和t >2，得2t 2－3t －5≥0，所以t ≥52，故巡逻艇的速度至少应为走私船速度的2.5倍才能在我国领海内截获走私船.6.(2018·常熟调研)如图所示的自动通风设施.该设施的下部ABCD 是等腰梯形，其中AB 为2米，梯形的高为1米，CD 为3米，上部 CmD是个半圆，固定点E 为CD 的中点.MN 是由电脑控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计)，且滑动过程中始终保持和CD 平行.当MN 位于CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形MNGH (阴影部分均不通风).(1)设MN 与AB 之间的距离为x x <52且x 试将通风窗的通风面积S (平方米)表示成关于x 的函数y ＝S (x )；(2)当MN 与AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积S 取得最大值？解(1)当0≤x <1时，过A 作AK ⊥CD 于K (如图)，则AK ＝1,DK ＝CD －AB 2＝12，HM ＝1－x ，由AK DK ＝MHDH得DH ＝HM 2＝1－x2，∴HG ＝3－2DH ＝2＋x ，∴S (x )＝HM ·HG ＝(1－x )(2＋x )＝－x 2－x ＋2.当1<x <52时，过E 作ET ⊥MN 于T ，连结EN (如图)，∴MN ＝294－(x －1)2，∴S (x )＝MN ·ET ＝294－(x －1)2·(x －1)，综上，S (x )x2－x ＋2，0≤x <1，(x －1)94－(x －1)2，1<x <52.(2)①当0≤x <1时，S (x )＝－x 2－x ＋94在[0，1)上单调递减，∴S (x )max ＝S (0)＝2.②当1<x <52时，S (x )＝2(x －1)94－(x －1)2≤2·(x －1)2＋94－(x －1)22＝94，当且仅当(x －1)＝94－(x －1)2，即x ＝324＋1∈∴S (x )max ＝94，此时S (x )max ＝94>2，∴S (x )的最大值为94.答当MN 与AB S 取得最大值.。
江苏专用2019高考数学二轮复习解答题专项练三角函数与解三角形
2.三角函数与解三角形1.已知α为锐角，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝55. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3的值. 解 (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝255，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2.(2)因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝45， cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－1＝－35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π2－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2sin π6＝43＋310.2.已知△ABC 中，AC ＝2，A ＝2π3，3cos C ＝3sin B .(1)求AB ；(2)若D 为BC 边上一点，且△ACD 的面积为334，求∠ADC 的正弦值.解 (1)因为A ＝2π3，所以B ＝π3－C ，由3cos C ＝3sin B 得，cos C ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－C ，所以cos C ＝3⎝⎛⎭⎪⎫32cos C －12sin C ＝32cos C －32sin C ，所以12cos C ＝32sin C ，即tan C ＝33.又因为C ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π3，所以C ＝π6，从而得B ＝π3－C ＝π6，所以AB ＝AC ＝2.(2)由已知得12·AC ·CD sin π6＝334，所以CD ＝332，在△ACD 中，由余弦定理得，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ＝74，即AD ＝72， 由正弦定理得，ADsin C ＝ACsin∠ADC ，故sin∠ADC ＝AC sin C AD ＝277. 3.已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(A ＞0，ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，32. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若角α满足f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，α∈(0，π)，求角α的值. 解 (1)由条件知周期T ＝2π， 即2πω＝2π，所以ω＝1，即f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，所以A sin 2π3＝32，所以A ＝1，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)由f (α)＋3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π2＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，所以2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝1， 即sin α＝12.因为α∈(0，π)，所以α＝π6或5π6.4.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且b sin 2C ＝c sin B . (1)求角C 的大小；(2)若sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，求sin A 的值.解 (1)由b sin 2C ＝c sin B ，根据正弦定理得 2sin B sin C cos C ＝sin C sin B .因为sin B ＞0，sin C ＞0，所以cos C ＝12.又C ∈(0，π)，所以C ＝π3.(2)因为C ＝π3，所以B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2π3，所以B －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3＝35，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝45.又A ＋B ＝2π3，即A ＝2π3－B ，所以sin A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－B ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3 ＝sin π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫B －π3－cos π3sin ⎝⎛⎭⎪⎫B －π3＝32×45－12×35＝43－310. 5.已知向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，求t 的值；(2)若t ＝1，且a·b ＝1，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值.解 (1)方法一 因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )，且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.由cos α－sin α＝15，得(cos α－sin α)2＝125，即1－2sin αcos α＝125，从而2sin αcos α＝2425.所以(cos α＋sin α)2＝1＋2sin αcos α＝4925.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＋sin α＝75，所以sin α＝(cos α＋sin α)－(cos α－sin α)2＝35，从而t ＝sin 2α＝925.方法二 因为向量a ＝(2cos α，sin 2α)，b ＝(2sin α，t )， 且a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，0，所以cos α－sin α＝15，t ＝sin 2α.又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α＋152＝1，整理得50sin 2α＋10sin α－24＝0， 解得sin α＝－45或sin α＝35.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝35， 从而t ＝sin 2α＝925.(2)方法一 因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α≠0，从而tan α＝14.所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝815. 从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tanπ41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237.方法二 因为t ＝1，且a·b ＝1，所以4sin αcos α＋sin 2α＝1，即4sin αcos α＝cos 2α. 所以2sin 2α＝1＋cos 2α2，即4sin 2α－cos 2α＝1，又sin 22α＋cos 22α＝1，所以sin 22α＋(4sin 2α－1)2＝1， 整理得17sin 22α－8sin 2α＝0， 解得sin 2α＝817或sin 2α＝0.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以2α∈(0，π)，所以sin 2α＞0，所以sin 2α＝817，代入4sin 2α－cos 2α＝1，得cos 2α＝1517，因为tan 2α＝sin 2αcos 2α＝815，从而tan ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝tan 2α＋tanπ41－tan 2α·tan π4＝815＋11－815＝237.6.已知函数f (x )＝23·sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且角A 满足f (A )＝3＋1，若a ＝3，BC 边上的中线长为3，求△ABC 的面积S .解 (1)f (x )＝23sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x＝3sin 2x ＋cos 2x ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋ 3.令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z .(2)由f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋3＝3＋1，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12，因为A ∈(0，π)，所以2A ∈(0,2π)，2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，所以2A ＋π6＝5π6，则A ＝π3，又BC 边上的中线长为3，所以|AC →＋AB →|＝6，所以|AC →|2＋|AB →|2＋2AC →·AB →＝36，即b 2＋c 2＋2bc cos A ＝36，所以b 2＋c 2＋bc ＝36， ①由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝9， ②由①②得，bc ＝272，所以S ＝12bc sin A ＝2738.。
苏教版2019年高考数学(文科)二轮专题复习小题提速练三(含答案)
小题提速练(三)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合A ＝{x ∈N |x ≤6}，B ＝{x ∈R |x 2－3x ＞0}，则A ∩B ＝( ) A ．{3，4，5，6} B ．{x |3＜x ≤6} C ．{4，5，6}D ．{x |x ＜0或3＜x ≤6}解析：选C.依题意得A ＝{0，1，2，3，4，5，6}，B ＝{x |x ＜0或x ＞3}，因此A ∩B ＝{4，5，6}，选C. 2．已知a ＋ii＝b ＋2i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a －b ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．1解析：选A.依题意得1－a i ＝b ＋2i ，因此a ＝－2，b ＝1，a －b ＝－3，选A.3．某班有青年志愿者男生3人，女生2人，现需选出2名青年志愿者到社区做公益宣传活动，则选出的2名志愿者性别相同的概率为( )A.35 B ．25 C.15D ．310解析：选B.将3名男生记为M 1，M 2，M 3，2名女生记为W 1，W 2，从这5名志愿者中选出2名的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 1，W 1)，(M 1，W 2)，(M 2，M 3)，(M 2，W 1)，(M 2，W 2)，(M 3，W 1)(M 3，W 2)，(W 1，W 2)，共有10种，其中所选的2名志愿者性别相同的基本事件为(M 1，M 2)，(M 1，M 3)，(M 2，M 3)，(W 1，W 2)，共有4种，因此选出的2名志愿者性别相同的概率为410＝25，选B.4．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )A ．96里B ．48里C ．192里D ．24里解析：选 A.依题意得，该人每天所走的路程依次排列形成一个公比为12的等比数列．记为{a n }，其前6项和等于378，于是有a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1261－12＝378，解得a 1＝192，因此a 2＝12a 1＝96，即该人第二天走了96里，选A.5．已知抛物线x 2＝8y 与双曲线y 2a2－x 2＝1(a ＞0)的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若|MF |＝5，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．5x ±3y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±5y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析：选B.设点M (x 0，y 0)，则有|MF |＝y 0＋2＝5，y 0＝3，x 20＝24，由点M (x 0，y 0)在双曲线y 2a 2－x 2＝1上，得y 20a 2－x 20＝1，9a 2－24＝1，a 2＝925，所以双曲线y 2a 2－x 2＝1的渐近线方程为y 2a2－x 2＝0，即3x ±5y ＝0，选B. 6．如图所示的程序框图的算法思路源于数学名著《几何原本》中的“辗转相除法”，执行该程序框图(图中“m MOD n ”表示m 除以n 的余数)，若输入的m 、n 分别为495，135，则输出的m ＝( )A ．0B ．5C ．45D ．90解析：选C.执行程序框图，m ＝495，n ＝135，r ＝90，m ＝135，n ＝90，不满足退出循环的条件；r ＝45，m ＝90，n ＝45，不满足退出循环的条件；r ＝0，m ＝45，n ＝0，退出循环．故输出的m ＝45，选C.7．△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO →＝AB →＋AC →，且|OA →|＝|AB →|，则向量CA →在向量CB →方向上的投影为( )A.12 B ．－32C ．－12D ．32解析：选D.依题意知，圆心O 为BC 的中点，即BC 是△ABC 的外接圆的直径，AC ⊥AB .又AO ＝OB ＝AB ＝1，因此∠ABC ＝60°，∠ACB ＝30°，|CA →|＝ 3，CA →在CB →方向上的投影为|CA →|cos 30°＝3×32＝32，选D.8．已知x ，y ∈N *且满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＜1，2x －y ＞2，x ＜5，则x ＋y 的最小值为( )A ．1B ．4C ．6D ．7解析：选C.依题意，画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示及直线x ＋y ＝0，平移该直线，因为x ，y ∈N *，所以易知目标函数在点(3，3)处取得最优解，所以(x ＋y )min ＝6，故选C.9．定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3，将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin ωx 1 cos ωx (ω＞0)的图象向左平移2π3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是( )A.14 B ．54 C.74D ．34解析：选B.依题意得f (x )＝ 3cos ωx －sin ωx ＝ 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，且函数f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＝ 2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋2ωπ3＋π6是偶函数，于是有2ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ，即ω＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫k －16，k ∈Z .又ω＞0，所以ω的最小值是32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16＝54，选B.10．设曲线f (x )＝ m 2＋1cos x (m ∈R )上任一点(x ，y )处的切线斜率为g (x )，则函数y ＝x 2g (x )的部分图象可以为( )解析：选D.依题意得g (x )＝－ m 2＋1sin x ，y ＝x 2g (x )＝－ m 2＋1x 2sin x ，易知函数y ＝－ m 2＋1x 2sinx 是奇函数，其图象关于原点中心对称，故B ，C 均不正确，又当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2时，y ＝－ m 2＋1x 2sin x ＜0，故选D.11．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)( )A.89πB ．169πC.4（2－1）3πD ．12（2－1）3π解析：选A.依题意知，题中的工件形状是一个底面半径为1、高为2的圆锥，设新工件的长、宽、高分别为a ，b ，c ，截去的小圆锥的底面半径、高分别为r ，h ，则有a 2＋b 2＝4r 2，h ＝2r ，该长方体的体积为abc ＝ab (2－2r )≤（a 2＋b 2）（2－2r ）2＝4r 2(1－r )．记f (r )＝4r 2(1－r )，则有f ′(r )＝4r (2－3r )，当0＜r ＜23时，f ′(r )＞0，当23＜r ＜1时，f ′(r )＜0，因此f (r )＝4r 2(1－r )的最大值是f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝1627，则原工件材料的利用率为1627÷⎝ ⎛⎭⎪⎫13π×12×2＝89π，选A.12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2＋2x ＋2，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，若关于x 的方程f (x )＝a 有四个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4，且x 1＜x 2＜x 3＜x 4，则x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4的取值范围是( ) A ．(－3，＋∞) B ．(－∞，3) C ．[－3，3)D ．(－3，3]解析：选D.在坐标平面内画出函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，当且仅当a ∈(0，2]时，直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象有4个不同的交点，即方程f (x )＝a 有四个不同的解，此时有x 1＋x 2＝－4，|log 2x 3|＝|log 2x 4|(0＜x 3＜1＜x 4≤4)，即有－log 2x 3＝log 2x 4，x 3x 4＝1，所以x 1＋x 2x 4＋1x 23x 4＝x 4－4x 4(1＜x 4≤4)，易知函数y ＝x 4－4x 4在区间(1，4]上是增函数，因此其值域是(－3，3]，选D.二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．)13．设命题p ：2x －1≤1，命题q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：解不等式2x －1≤1，得12≤x ≤1，故满足命题p 的集合P ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，解不等式(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，得a ≤x ≤a ＋1，故满足命题q 的集合Q ＝[a ，a ＋1]．又q 是p 的必要不充分条件，则P 是Q 的真子集，即a ≤12且a ＋1≥1，解得0≤a ≤12，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1214．在△ABC 中，B ＝π3，AB ＝2，D 为AB 的中点，△BCD 的面积为334，则AC 等于________．解析：因为S △BCD ＝12BD ·BC sin B ＝12×1×BC sin π3＝334，所以BC ＝3.由余弦定理得AC 2＝4＋9－2×2×3cos π3＝7，所以AC ＝7.答案：715．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线为l .若l 与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________．解析：依题意得，y ′⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＝1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x x ＝1＝2，切线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋（a ＋2）x ＋1，消去y 得ax 2＋(a ＋2)x ＋1＝2x －1，即ax 2＋ax ＋2＝0，Δ＝a 2－8a ＝0(a ≠0)，解得a ＝8(a ＝0舍去)．答案：816．已知F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，P 是椭圆上一点(异于左、右顶点)，过点P 作∠F 1PF 2的角平分线交x 轴于点M ，若2|PM |2＝|PF 1|·|PF 2|，则该椭圆的离心率为________．解析：在△PF 1F 2中，由角平分线定理，得|PF 1||PF 2|＝|F 1M ||F 2M |，即|PF 1||PF 1|＋|PF 2|＝|F 1M ||F 1M ＋F 2M |.由椭圆定义得|PF 1|2a ＝|F 1M |2c ⇒c a ＝|F 1M ||PF 1|.同理c a ＝|F 2M ||PF 2|. 又在△PF 1M 和△PF 2M 中，由余弦定理得cos ∠F 1MP ＋cos ∠F 2MP ＝0.即|PM |2＋|F 1M |2－|PF 1|22|PM |·|F 1M |＋|PM |2＋|F 2M |2－|PF 2|22|PM |·|F 2M |＝0，⇒(|PM |2＋|F 1M ||F 2M |)(|F 1M |＋|F 2M |)＝|PF 1|2|F 2M |＋|PF 2|2|F 1M |⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫12|PF 1||PF 2|＋c 2a 2|PF 1||PF 2|×2c ＝c a |PF 1|2|PF 2|＋c a |PF 2|2|PF 1|⇒⎝⎛⎭⎪⎫1＋2c 2a 2c ＝ca (|PF 1|＋|PF 2|) 即1＋2e 2＝2，解得e＝22.答案：2 2。
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3.应用题1.某单位将举办庆典活动，要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门BADC(如图).设计要求彩门的面积为S(单位：m2)，高为h(单位：m)(S，h为常数).彩门的下底BC固定在广场底面上，上底和两腰由不锈钢支架组成，设腰和下底的夹底为α，不锈钢支架的长度之和记为l.(1)请将l表示成关于α的函数l＝f(α)；(2)问：当α为何值时l最小，并求最小值.π解(1)过D作DH⊥BC于点H，则∠DCB＝α(0＜α＜2)，DH＝h，设AD＝x.h h 2h则DC＝，CH＝，BC＝x＋.sin αtan αtan α1 2h 因为S＝·h，2(x＋x＋tan α)S h则x＝－，h tan α则l＝f(α)＝2DC＋ADS 2 1 π＝h＋h ( tan α)(0＜α＜2).－sin α－2cos α－1 1－2cos α(2)f′(α)＝h·( ＝h·，－sin2α)sin2αsin2α1－2cos απ令f′(α)＝h·＝0，得α＝.sin2α 3当α变化时，f′(α)，f(α)的变化情况如下表：πα(0，3) πππ3 ( ，332) f′(α) －0 ＋f(α) ↘极小值↗πS所以l min＝f (3 )＝3h＋.hπS答当α＝时，l取最小值3h＋(m).3 h12.某宾馆在装修时，为了美观，欲将客户的窗户设计成半径为1 m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口.1(1)若窗口ABCD为正方形，且面积大于m2(木条宽度忽略不计)，求四根木条总长的取值范围；4(2)若四根木条总长为6 m，求窗口ABCD面积的最大值.解(1)设一根木条长为x m，x则正方形的边长为2 1－(2 )2＝4－x2 m.1 1 15因为S四边形ABCD＞，所以4－x2＞，即x＜.4 4 2又因为四根木条将圆分成9个区域，所以x＞2，所以4 2＜4x＜2 15.答四根木条总长的取值范围为(4 2，2 15).(2)方法一设AB所在的木条长为a m，则BC所在的木条长为(3－a)m.因为a∈(0,2)，3－a∈(0,2)，所以a∈(1,2).a 2窗口ABCD的面积S＝4 1－·43－a21－4＝4－a2· 4－3－a2＝a4－6a3＋a2＋24a－20，设f(a)＝a4－6a3＋a2＋24a－20，则f′(a)＝4a3－18a2＋2a＋24＝2(a＋1)(2a－3)(a－4)，3令f′(a)＝0，得a＝或a＝－1(舍去)或a＝4(舍去).2当a变化时，f′(a)，f(a)的变化情况如下表：3 a (1，2 )3 32 (，2 )22 (，2 )f′(a) ＋0 －f(a) ↗极大值↘3 3 49 7所以当a＝2时，f(a)max＝f (2 )＝，即S max＝.16 427 答窗口ABCD面积的最大值为m2.4方法二设AB所在的木条长为a m，BC所在的木条长为b m.由条件知，2a＋2b＝6，即a＋b＝3.因为a，b∈(0,2)，所以b＝3－a∈(0,2)，从而a，b∈(1,2).b2 a2由于AB＝2 1－，BC＝2 1－，4 4b2 a2S矩形ABCD＝4 1－1－＝4－b2 4－a2，4 4a＋b 28－8－a2＋b2 2 7因为4－b2 4－a2≤≤＝，2 2 43 当且仅当a＝b＝∈(1,2)时，27S矩形ABCD＝为最大值.47 答窗口ABCD面积的最大值为m2.43.(2018·江苏省启东中学模拟)为了庆祝江苏省启东中学九十周年校庆，展示江苏省启东中学九十年来的办学成果及优秀校友风采，学校准备校庆期间搭建一个扇形展览区，如图，是一个π半径为2百米，圆心角为的扇形展示区的平面示意图.点C是半径OB上一点(异于O，B两3点)，点D是圆弧AB上一点，且CD∥OA.为了实现“以展养展”，现在决定：在线段OC、线段CD 及圆弧DB三段所示位置设立广告位，经测算广告位出租收入是：线段OC处每百米为2a元，线段CD及圆弧DB处每百米均为a元.设∠AOD＝x弧度，广告位出租的总收入为y元.(1)求y关于x的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)试问x为何值时，广告位出租的总收入最大，并求出其最大值.解(1)因为CD∥OA，所以∠ODC＝∠AOD＝x弧度，2ππ在△OCD中，∠OCD＝，∠COD＝－x，OD＝2百米，3 3OC CD 2 4 3由正弦定理得＝＝＝，sin xπ2π 3sin( －x) sin3 334 3得 OC ＝ sin x 百米，3 4 3 π CD ＝ sin百米.3( －x )3π又圆弧 DB 长为 2( －x )百米.34 34 3π π 所以 y ＝2a × 3 sin x ＋a ×[sin ( －x )＋2( －x )]333ππ＝2a ×(3sin x ＋cos x －x ＋ 3)，x ∈(0， 3).π(2)记 f (x )＝2a ×( 3sin x ＋cos x －x ＋ 3)，则 f ′(x )＝2a ×( 3cos x －sin x －1)ππ＝2a ×[2cos (x ＋ 6)－1]，x ∈(0， 3).π令 f ′(x )＝0，得 x ＝ .6当 x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化如下表：πx(0， 6)ππ π6( ，663)f ′(x ) ＋ 0 － f (x )↗极大值↘ππ π 所以f (x )在 x ＝ 处取得极大值，这个极大值就是最大值，即 f＝2a .6 (6 ) ( 3＋ 6)ππ 所以当 x＝ 6时广告位出租的总收入最大，最大值为 2( 3＋ 6)a 元.4.(2018·连云港质检)如图(1)是一直角墙角，∠AOB ＝90°，墙角的两堵墙面和地面两两互相 垂直.ABCD 是一块长 AB 为 6米，宽 BC 为 2米的板材，现欲用板材与墙角围成一个直棱柱空间 堆放谷物.(1)若按如图(1)放置，如何放置板材才能使这个直棱柱空间最大？(2)由于墙面使用受限，OA面只能使用2米，OB面只能使用4米.此矩形板材可以折叠围成一个直四棱柱空间，如图(2)，如何折叠板材才能使这个空间最大？4解(1)设OA＝x，OB＝y，x，y∈(0,6)，且x2＋y2＝36，因为直三棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大.∵∠AOB＝90°，1 x2＋y2∴S△AOB＝xy≤＝9，2 4当且仅当x＝y＝3 2时取到等号.即板材放置时，使得板材与墙面OA成45°角.(2)因为直四棱柱的高为定值，故底面面积最大时体积最大，又S△AOB为定值，只需寻找S△APB 的最大值.又在△APB中，AB＝2 5，只需寻找AB边上高的最大值即可.如图，作PH⊥AB于点H，设PA＝x，x∈(0,6)，AH＝y，y∈(0,25)，则PB＝6－x，HB＝2 5－y，PH2＝x2－y2＝(6－x)2－(2 5－y)2，∴3x－5y＝4，－4y2＋8 5y＋16PH＝x2－y2＝，9当y＝5时，PH最大，此时x＝3，即板材放置时，沿中间折叠，使得PA＝PB.5.在我国某海域O处有一海警执法舰发现位于北偏西60°的A处有一艘走私船，并测得O，A 两点相距12海里，且走私船行驶速度是海警执法舰行驶速度的一半.现以点O为坐标原点，东西方向为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系.(1)若两者均沿直线匀速行驶，求走私船能被海警执法舰截获的路径的曲线方程；(2)若满足3x－y＋40<0的点(x，y)组成的区域是公海，试问海警执法舰是否一定能在我国领海内截获走私船？若能，请说明理由；若不能，则需要使用巡逻艇进行快速追击，请问巡逻艇的速度至少应为走私船速度的几倍才能在我国领海内截获走私船？5解 (1)由条件可得，点 A 的坐标为(－6 3，6)，设走私船在点 P (x ，y )处被海警执法舰截获，则 PO ＝2PA ， 从而 x 2＋y 2＝2x ＋6 32＋y －62，化简整理得(x ＋8 3)2＋(y －8)2＝64，所以所求路径是以点(－8 3，8)为圆心，8为半径的圆，其方程为(x ＋8 3)2＋(y －8)2＝64. |－8 3 × 3－8＋40|(2)由(1)得，点(－8 3，8)到直线 3x －y ＋40＝0的距离为 ＝4<8，2故直线与圆相交，说明海警执法舰不一定能在我国领海内截获走私船. 设巡逻艇的速率为走私船速度的 t (t >2)倍， 此时有 x 2＋y 2＝tx ＋6 32＋y －62，化简得(t 2－1)x 2＋(t 2－1)y 2＋12 3t 2x －12t 2y ＋144t 2＝0，6 3t 2 6t 212t 其圆心坐标为(－t 2－1)，半径为.， t 2－1 t 2－16 3t 26t 2|－＋40|× 3－t 2－1t 2－112t由 ≥ 和 t >2，得 2t 2－3t －5≥0，2t 2－15 所以 t ≥ ， 2故巡逻艇的速度至少应为走私船速度的 2.5倍才能在我国领海内截获走私船.6.(2018·常熟调研)如图所示的自动通风设施.该设施的下部 ABCD 是等腰梯形，其中 AB 为 2 米，梯形的高为 1米，CD 为 3米，上部C ¼mD是个半圆，固定点 E 为 CD 的中点. MN 是由电脑 控制可以上下滑动的伸缩横杆(横杆面积可忽略不计)，且滑动过程中始终保持和 CD 平行.当 MN 位于 CD 下方和上方时，通风窗的形状均为矩形 MNGH (阴影部分均不通风).5(1)设 MN 与 AB 之间的距离为 x (0 ≤ x < 且x ≠ 1)米，试将通风窗的通风面积 S (平方米)表2 示成关于 x 的函数y ＝S (x )；(2)当 MN 与 AB 之间的距离为多少米时，通风窗的通风面积 S 取得最大值？解 (1)当 0≤x <1时，过 A 作 AK ⊥CD 于 K (如图)，6CD－AB 1则AK＝1, DK＝＝，HM＝1－x，2 2AK MH由＝＝2，DK DHHM1－x得DH＝＝，2 2∴HG＝3－2DH＝2＋x，∴S(x)＝HM·HG＝(1－x)(2＋x)＝－x2－x＋2.5当1<x< 时，过E作ET⊥MN于T，连结EN(如图)，2MN 3 92 (2 )2－(x－1 )2 －(x－1 )24则ET＝x－1, TN＝＝＝，9∴MN＝2 －(x－1 )2，49∴S(x)＝MN·ET＝2 －(x－1 )2·(x－1 )，4综上，S(x)＝Error!1 9(x＋2 )2＋在[0，1 )上单调递减，(2)①当0≤x<1时，S(x)＝－x2－x＋2＝－4∴S(x)max＝S(0 )＝2.5 9②当1<x< 时，S(x)＝2(x－1 ) －(x－1 )2≤2 49(x－1 )2＋－(x－1 )24 92·＝，2 49当且仅当(x－1 )＝－(x－1 )2，43 2 5即x＝ 4 ＋1∈(1，2 )时取“＝”，9 9∴S(x)max＝，此时S(x)max＝>2，4 479∴S(x)的最大值为.43 2答当MN与AB之间的距离为( ＋1)米时，通风窗的通风面积S取得最大值.48。