2013年高考总复习数学理精练：第十章10.5 离散型随机变量的均值与方差、正态分布(答案含详解)

2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十章10.5 离

散型随机变量的均值与方差、正态分布练习

一、选择题

1．随机变量X 的分布列为

则E (5X ＋4)等于( )．

A ．15

B ．11

C ．2.2

D ．2.3

2．同时抛两枚均匀的硬币10次，设两枚硬币出现不同面的次数为X ，则DX 等于( )．

A ．158

B ．154

C ．5

2

D ．5

3．(2011湖北高考，理5)已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)＝( )．

A ．0.6

B ．0.4

C ．0.3

D ．0.2

4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴在y 轴的左侧，其中a ，b ，c ∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，在这些抛物线中，若随机变量ξ＝|a －b |的取值，则ξ的数学期望Eξ＝( )．

A ．89

B ．35

C ．25

D ．13

5．(2012福建厦门质检)2011年7月以来，持续的高温少雨天气导致西南五省市部分地区发生较为严重的旱情，为此，某地消防大队紧急抽调1,2,3,4,5号五辆消防车，分配到附近的A ，B ，C ，D 四个村子进行送水抗旱工作，每个村子至少要安排一辆消防车．若这五辆消防车中去A 村的辆数为随机变量ξ，则Eξ的值为( )．

A ．14

B ．34

C ．1

D ．54

6．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p (p ≠0)，发球次数为X ，若X 的数学期望EX ＞1.75，则p 的取值范围是( )．

A ．⎝⎛⎭⎫0，712

B ．⎝⎛⎭⎫712，1

C ．⎝⎛⎭⎫0，12

D ．⎝⎛⎭⎫1

2，1 二、填空题

7．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠，若该电梯在底层有5个乘

客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为1

3

，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人

数，则随机变量ξ的期望Eξ＝__________.

8．已知随机变量x ～N (2，σ2)，若P (x ＜a )＝0.32，则P (a ≤x ＜4－a )的值为__________． 9．现有三枚外观一致的硬币，其中两枚是均匀硬币另一枚是不均匀的硬币，这枚不均匀

的硬币抛出后正面出现的概率为2

3

，现投掷这三枚硬币各1次，设ξ为得到的正面个数，则随

机变量ξ的数学期望Eξ＝__________.

三、解答题

10．某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响．已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用ξ表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．

(1)记“函数f (x )＝x 2＋ξx 为R 上的偶函数”为事件A ，求事件A 的概率； (2)求ξ的分布列和数学期望．

11．(2011陕西高考，理20)如图，A 地到火车站共有两条路径L 1和L 2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：

0.1钟和(1)为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ (2)用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X 的分布列和数学期望．

12．设篮球队A 与B 进行比赛，规定7局4胜且每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定A ，B 在每场比赛中获胜的概率都是1

2

，试求需要比赛场数的期望

参考答案

一、选择题 1．A 解析：∵EX ＝1×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝2.2， ∴E (5X ＋4)＝5EX ＋4＝11＋4＝15.

2．C 解析：∵X ～B ⎝

⎛⎭⎫10，12， ∴DX ＝np (1－p )＝10×12×12＝5

2

.

3．C 解析：根据题意，随机变量ξ的正态分布密度曲线图关于x ＝2对称，故P (0＜ξ＜2)＝P (2＜ξ＜4)＝P (ξ＜4)－P (ξ＜2)＝0.8－0.5＝0.3.

4．A 解析：对称轴在y 轴的左侧(a 与b 同号)的抛物线有111

3372C C C ＝126条，ξ的可能

取值有0、1、2.

P (ξ＝0)＝6×7126＝1

3，

P (ξ＝1)＝8×7126＝4

9，

P (ξ＝2)＝4×7126＝29，E (ξ)＝8

9

.

5．D 解析：由题意知，随机变量ξ的取值是1,2， “ξ＝2”是指“有两辆消防车同时去A 村”，

则P (ξ＝2)＝23532454

C A C A ＝1

4， 所以P (ξ＝1)＝34.

所以Eξ＝1×34＋2×14＝5

4

.

6．C 解析：由已知条件可得P (X ＝1)＝p ，P (X ＝2)＝(1－p )p ，P (X ＝3)＝(1－p )2p ＋(1－p )3＝(1－p )2，

则EX ＝P (X ＝1)＋2P (X ＝2)＋3P (X ＝3)＝p ＋2(1－p )p ＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3＞1.75，解得p ＞52或p ＜12，又由p ∈(0,1)，可得p ∈(0，12)． 二、填空题 7．53 解析：由题意，ξ～B (5，13)，所以Eξ＝53

. 8．0.36 解析：据题意由正态分布的对称性可得P (x ＜a )＝P (x ＞4－a )＝0.32，因此P (a ≤x ＜4－a )＝1－2P (x ＜a )＝0.36.

9．53 解析：抛掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面的概率均为1

2

.易得ξ＝0,1,2,3，由于

各枚出现正反面的概率是相互独立的，所以P (ξ＝0)＝12×12×13＝1

12

；

P (ξ＝1)＝12111112C 223223⨯⨯⨯+⨯⨯＝13；P (ξ＝2)＝22C ×12×12×13＋12C ×12×12×23＝512； P (ξ＝3)＝12×12×23＝1

6.

故Eξ＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝5

3

.

三、解答题惠生活 观影园 爱尚家居 嘟嘟园 迅播影院 请支持我们，会有更多资源给大家 10．解：(1)设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为x 、y 、z ，依题意得