湖南省长望浏宁四市县区2012届高三5月联考试题数学(理

一、选择题 （本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。 ）
1．设全集 U 1,2,3,4,5 ，集合 A {1,2,4} ， B {4,5} ，则图中的阴影部分表示的集合为
A． 4
B
．5
C． 1,2
D
． 3,5
2. “ lg x,lg y,lg z 成等差数列”是“ y2 xz ”成立的
A. 2 1
B.
32
4 1 C. 36
21
D.
66
21 32
6．若函数 y log a( x2 ax 2) 在区间
,1 上为减函数，则 a 的取值范围是
A ．（ 0，1）
B． 2,
C． 2,3
D ． (1,3)
7．已知函数 f ( x) x2 5x 4 ，则不等式组
y
x=1 5
x=4 x-y=0
y
x=1 5
) cos2 的最大值。
18．（本小题满分 12 分）
2012 年 4 月 15 日，央视《每周质量报告》曝光某省一些厂商用生石灰处理皮革废料，熬制
成工业明胶，卖给一些药用胶囊生产企业，由于皮革在工业加工时，要使用含铬的鞣制剂，因此这
样制成的胶囊，往往重金属铬超标，严重危害服用
者的身体健康。该事件报道后，某市药监局立即
EAM 与 FCM 都是等腰直角三角形．
EMA FMC 45 ．
EMF 90 ，即 EM MF （也可由勾股定理证得） ．………………………………
MF BM M ，
EM 平面 MBF ．而 BF 平面 MBF ，
EM BF ． ………………………………………………………………………………
（ 2）延长 EF 交 AC 于 G ，连 BG ，过 C 作 CH BG ，连结 FH ．
A．充分非必要条件； B. 必要非充分条件； C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
3．为得到函数 y=cos(x+ ) 的图象，只需将函数 y＝sinx 的图象 3
A. 向左平移 个长度单位 6
B. 向右平移 个长度单位 6
C. 向左平移 5 个长度单位 6
D. 向右平移 5 个长度单位 6
4．11．近年来，能源消耗大幅攀升、机动车保有量急增，我国许多大城市灰霾现象频发，造成灰霾
天气的 “元凶 ”之一是空气中 pm2.5（直径小于等于 2.5 微米的颗粒物） . 如下左图是某市某月（按 30
天计）根据对“pm2.5” 24 小时平均浓度值测试的结果画成的频率分布直方图， 若规定空气中 “ pm2.5”
24 小时平均浓度值不超过 0.075 毫克 /立方米为达标，那么该市当月 “ pm2.5”含量不达标的天数为
2
2
1
22
1
2
2 1 19
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )
5
3
3
53
3
5
3 3 45
P( X 2) P( A1A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3)
22
1
2 21 2
2 1 16
(1 ) (1 )
(1 )
53
3
5 33 5
3 3 45
221 4 P ( X 3) P ( A1 A2 A3)
2
②函数 f ( x) 是偶函数； ③函数 f ( x) 的图象关于直线 x 对称； ④函数 f ( x) 在区间 0, 上是增
4
2
函数，其中错误命题的序号是
.
16. 对于数列 xn ，如果存在一个正整数 m ，使得对任意的 n (n N ) 都有 xn m xn 成立，那么就
把这样一类数列 xn 称作周期为 m 的周期数列， m 的最小正值称作数列 xn 的最小正周期，以下
由 1 bc sin 3 及 2 3 bccos 6得 1 tan
3∴
2
, ----5 分 43
（ 2） f ( ) 1
∵
, ∴2
43
2 sin(2
)
4
5 , 4 4 12
--------8 分
y sin x在
5 ,
是增函数
4 12
又 sin 5 sin( 2
)
6
2
--------11
分
12
34
4
∴当
准备用黄金分割法找到它的最优加入量 . 如果加入柠檬汁误差不超出 1g，需要
次试验 .
( log6.18 0.8)
（二）必做题 （ 12 16 题）
12. ( x 1 )5 的二项展开式中第二项的系数是 x
13．如下左图程序，执行后输出的结果是 S=
i1 S0 WHILE
WEND PRINT END
2
B
10．如右图， AB 是圆 O 的直径，直线 CE 与圆 O 相切于点 C ，
AD CE 于点 D ，若圆 O 的面积为 4 ， ABC 30 ，
_____.
O A
则 AD 的长为
．
11．调酒师为了调制一种鸡尾酒 . 每 100k g 烈性酒中需要加入柠檬汁的量为
CD
E
1000g 到 2000g 之间， 现
A1 , A2, A3
32 2
54 2
12 1
P ( A1)
, P( A2 )
, P ( A3 )
53 5
65 3
23 3
该药用胶囊能通过检测进行销售的批次数为
X 的可能取值为
2
2
12
P( X
0)
P( A1 A2 A3 )
(1
) 5
(1 ) 3
(1 ) 3
15
0，1， 2， 3
P( X 1) P( A1 A2 A3 A1 A2 A3 A1 A2 A3 )
的直线 l 与 E1 , E2 依次交于 A,C,D,B 四点 (如图 ).当直线 l 过 E2 的上顶点时 , 直线 l 的倾斜角为 .
6
(1) 求椭圆 E2 的方程 ; (2) 求证 : AC DB ; (3) 若 AC 1,求直线 l 的方程 .
22．（本小题满分 13 分）
设函数 y f ( x) 对任意的实数 x ，都有 f (x) （ 1）若 x [1,2] 时，求 y f ( x) 的解析式；
1，则 S2012
.
三、解答题 （本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 ）
17．（本小题满分 12 分）
已知△ ABC的面积为 3，且满足 2 3 AB AC 6 ，设 AB 和 AC 的夹角是 ， （ 1）求 的取 值范围；
（ 2）求函数 f ( ) 2sin 2 ( 4
A．2 B．3
C． 28
D． 27
频率 /组距 160/3
120/3
100/3
80/3 60/3
40/3
20/3 0
24 小时平均浓度 （毫克 / 立方米） 0.065 0.070 0.075 0.080 0.085 0.090 0.095 0.100 0.105
5. 已知某几何体的三视图如上右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图 由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为
第 1 批次
第 2 批次
第 3 批次
3
第一轮检测
5
第二轮检测
2
3
记该药用胶囊能通过检测进行销售的批次数为
5
1
6
2
4
2
5
3
X ，求 X 的分布列及数学期望 EX
19．（本小题满分 12 分）
如图， ABC 是直角三角形， BAC 30 ， BM AC 交 AC 于点 M ， EA 平 面 ABC ，
FC // EA ， AC 2BC 4, EA 3, FC 1．
1 f ( x 1) ，且当 x [0,1] 时， f (x)
2
27x2(1 x) 。
（ 2）对于函数 y f ( x) (x [0, )) ，试问：在它的图象上是否存在点 P ，使得函数在点 P 处的
切线与 x y 0 平行。若存在，那么这样的点 P 有几个；若不存在，说明理由。
（ 3）已知 n N ，且 xn [ n, n 1] ，记 Sn f (x1) f ( x2 )
f ( xn ) ，求证： 0 Sn 4 。
2012 年五月长、望、浏、宁四县联合考试试题
理科数学参考答案
1-8 BACD CCCD
9. (2 2, ) 10. 1 11.16
12.-5 13.5050 14.
5
4
2
15 ③
16.(1)-1, (2) 3
17. 解：（ 1）设△ ABC角 A、 B、 C 的对边分别是 a、b、 c
（ 2）为了增大水渠的过水量，现要把这条水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的水渠，使水
渠的底面与地面平行（不改变渠深） ，要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求 出这个底宽。
46
6
21．（本小题满分 13 分）
x2 2y2
x2 y2
已知椭圆 E1 : 10 5 1, E2 : a 2 b2 1(a b 0) . E1 与 E2 有相同的离心率 ,过点 F ( 3,0)
E （1）证明： EM BF ；
（2）求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 ．
F
A
M
C
B 20．（本小题满分 13 分）
平地上有一条水渠，其横断面是一段抛物线弧，如图，已知渠宽为
4 6 m ，渠深为 6 m 。
（ 1）若渠中水深为 4 m ，求水面的宽，并计算水渠横断面上的过水面积；
而 EM 平面 ACFE ， BM EM ． ……………………………………… 3 分
ABC 是直角三角形， AC 2BC ， ABC 90 ．
又 BAC 30 ，AC 4 ， AB 2 3，BC 2，AM 3,CM 1．
EA 平面 ABC ，FC // EA ， FC 1， FC 平面 ABCD ．
5 3 3 45 则随机变量 X 的分布列为：
X
0
1
2
3
2
19
16
4
P
15
45
45
45
则 EX
2 19
16
4
0
1
2
3
7
15 45
45 45 5
19. 解：（法一）（ 1） EA 平面 ABC，BM 平面 ABC ， EA BM ．…………… 1 分
又 BM AC，EA AC A ， BM 平面 ACFE ，
简称周期。例如当 xn 2时 , xn 是周期为 1 的周期数列；当 yn sin( n) 时， yn 是周期为 4 的 2
周期数列。设数列 an 满足 an 2
an 1 an (n N ), a1 1,a2 2 .
（ 1）若数列 an 是周期为 3 的周期数列，则常数 的值是
；
（ 2）设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若
由（ 1）知 FC 平面 ABC ， BG 平面 ABC ， FC BG ．
i 100 S Si ii1
S
（用源自文库字作答） . .
C D
A
B
14. 如上右图，在 △ ABC 中， AB 3 ， AC 2 ， D 是边 BC 的中点，则 AD BC ________ 。 15. 已知函数 f ( x) sin 2x 3 ( x R) ，给出下面四个命题：①函数 f ( x) 的最小正周期为 ；
时，
3
f(
)max
3 3 --------12 2
分
18. 解：（ 1）依题知，随机抽取一件该药品为
合格的概率为 2 ，不合格的概率为 1 ，则
3
3
记 5 件药用胶囊恰有 2 件不能销售的概率为事件
2
3
A，则 P ( A)
C
2 5
1
2
80
33
243
（ 2）记该药用胶囊的 3 个批次分别进行两轮检测为合格记为事件
绝密 ★ 启封并使用完毕前
2012 年 5 月长望浏宁四市县区高三联考 数学（理科）试题
时量 :120 分钟 总分 :150 分 做答要求 ：
1．考生领到试卷和答题卡后，请认真检查有无缺印、漏印、重印等问题，如有问题，请举手提 出更换要求；
2．请在试卷和答题卡指定位置 规范填涂考生信息； 3．所有答案必须全部填涂和填写到答题卡上，凡是答在试卷上的答案一律无效。
x=4 x-y=0
f ( x) f ( y) 0
表示的平面区域为
1x4
y
x=1 5
x=4 x-y=0
y
x=1 5
x=4 x-y=0
o1
A
x 45
x+y-5=0
o1
B
x
45
o1
x+y-5=0
C
x 45
x+y-5=0
x
o1
45 x+y-5=0
D
8. 记点 P 到图形 C 上每一个点的距离的最小值称为点 P 到图形 C 的距离，那么平面内到定圆
距离与到定点 A 的距离相等的点的轨迹不可．能．．是
A. 圆
B.椭圆
C.双曲线的一支
D. 直线
C的
二、填空题 （本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应
题号后的横线上。 ）
（一）选做题 （从下列三题中任意选做两题，若三题全做，则只按前两题记分）
9．在极坐标系中，点 A(2, ) 关于直线 l : cos 1的对称点的一个极坐标为
成立调查组， 要求所有的药用胶囊在进入市场前必须进行两轮检测，
只有两轮都合格才能进行销售，
否则不能销售，两轮检测是否合格相互没有影响。
（ 1）某药用胶囊共生产 3 个不同批次，经检测发现有 2 个批次为合格，另 1 个批次为不合格，现随
机抽取该药用胶囊 5 件，求恰有 2 件不能销售的概率；
（ 2）若对某药用胶囊的 3 个不同批次分别进行两轮检测，药品合格的概率如下表：