21.2.3 因式分解法
21.2.3 因式分解法
因式分解，得 r 5 2r r 5 2r 0
于是得 r1 5( 2 1), r2 5( 2 1) （舍去）.
答：小圆形场地的半径是 （ 5 2 1）m
概念
因
式
分
原理
解
法
步骤
将方程左边因式分解，右边=0 因式分解的常用方法有： ma+mb+mc=m(a+b+c)； a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).
如果a ·b=0，那么 a=0或b=0
右化零 左分解 两因式 各求解
谢 谢 观 看！
思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法来解 方程①？
21.2.3 因式分解法
10x-4.9x2 =0
因式分解
x(10-4.9x) =0
两个因式乘积为 0，说明什么？
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
x =0 或 10-4.9x=0 降次，化为两个一次方程
解两个一次方程，得出原方程的根
(3)3 x2 6 x 3 解：化为一般式为
x2－2x+1 = 0.
因式分解，得
x 12 0
有 x－1= 0 或 x－1= 0， x1 = x2 = 1.
可以试用多种 方法解本例中的几 个方程.
21.2.3 因式分解法
基本思路
将二次方程化为一次方程，即降次
直接开平 方法
用平方根的意义直接进行降次
因式分解法的基本步骤： 一移——方程的右边=0; 二分——方程的左边因式分解; 三化——方程化为两个一元一次方程; 四解—因式分解法
九年级数学：21.2.3 因式分解法
课堂作业
1.用因式分解法解方程，下列方程中正确是（ A）
A.（2x-2）（3x-4）=0， ∴2x-2=0或3x-4=0
B.（x+3）（x-1）=1，
∴x+3=0或x-1=1
C.（x+2）（x-3）=6，
∴x+2=3或x-3=2
D. x（x+2）=0，
∴x+2=0
课堂作业
2.当x= 1或2
时，代数式x²-3x的值是-2.
5.如图，把小圆形场地的半径增加5m得到大圆场地， 场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径.
课堂小结
1.用因式分解法解一元二次方程有哪些优 缺点？需注意哪些细节问题？
2.通过本节课的学习，你还有哪些收获和 体会？
课后思考
试比较配方法、公式法和因式 分解法各自的优缺点.
2.配方法、公式法适用于所有的一元二次方程，而 因式分解法则只适用于某些一元二次方程，不是 所有的一元二次方程都适用因式分解法来求解.
典题精讲
例1 解下列方程： （1）x（x-2）+x-2=0
解：因式分解，得（x-2）（x+1）=0 故有x-2=0或x+1=0 ∴x1=2，x2=-1
典题精讲
(2)5x2 2x 1 x2 2x 3
x（10 - 4.9x）= 0
两个因式的积等于零
x = 0 或 10 - 4.9x = 0 至少有一个因式为零
x
1
=
0，x
2
=
100 49
举例讲解
解方程： x（10-4.9x）=0
解：∵x（10-4.9x）=0
∴x=0或10-4.9x=0，
100 49
∴x1=0，x2= ≈2.04
九年级上册数学人教版21.2.3 解一元二次方程-因式分解法
学科
初中数学
主备人
节次
第 周
第 节
课题
21.2.3 解一元二次方程-因式分解法
课时
1
课型
新授课
教学目标
1.能用因式分解法解一些一元二次方程；
2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。
教学重点
能用因式分解法解一些一元二次方程.
教学难点
能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法.
3. 根据“ab=0,则a=0或b=0”,转化为两个一元一次方程.
4.分别解这两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
第五步：
师友反馈
环节1：师友检测
1.用公式法解下列方程：
环节2：教师评价
一、本节课最佳师友是…
二、
二、课后作业
必做：
选做：
板书设计
教学后记
课 堂 教 学 设 计
教学环节
教学过程
二次备课
第一步：
交流预习
环节1：教师提问
1、什么是一元二次方程
2、一元二次方程的一般形式是什么吗？
3、二次项、一次项、常数项分别是什么？
环节2:师友释疑
问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么物体经过x s离地面的高度(单位：m)为10x－4.9x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面(结果保留小数点后两位)？
(1)解：设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0m，
即10x－4.9x2＝0.
思考：除了配方法或公式法之外，能找到更简单的方法吗？
第二步：
互助探究
环节1:师友探究
人教版九年级上 21.2.3 因式分解法(包含答案)
21.2.3因式分解法知识要点：1.把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法．2.因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式、完全平方公式以及十字相乘法等；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程，即可得到原方程的解1．方程x （x +2）＝﹣x （x +2）的根是（ ）A ．x 1＝0，x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝﹣2C ．x ＝0D ．x ＝2 【答案】B2．若实数x ，y 满足()()2222x y 3x y -30+++=，则22x y +的值为( )A ．3或-3B ．3C ．-3D ．1 【答案】B3．方程)1)(14()1)(13(--=-+x x x x 的解是（ ） A ．121,0x x ==B ．121,2x x =-=C ．121,2x x ==D ．无解【答案】C 4．方程20x x -=的根是（ ）A ．1x =B ．120x x ==C ．121x x ==D ．10x =，21x =【答案】D 5．已知2x =-是关于x 的一元二次方程22502x x a --=的一个根，则a 的值为（ ） A ．3± B ．3- C ．3D ．1或1- 【答案】A6．若关于 x 的方程 250x x k -+= 的一个根是0，则另一个根是（） A ．1B ．－1C ．5D ．12【答案】C7．一元二次方程 (1)x x x -= 的解是（ ）A ．1或－1B ．2C ．0或2D ．0【答案】C8．2(3)5(3)x x x --- 因式分解结果为（ ）A ．221115x x -+B ．(5)(23)x x --C ．(25)(3)x x +-D ．(25)(3)x x --【答案】D9．将4个数 a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义 a bad bc c d =-，上述记号就叫做2阶行列式．若11611x x x x +-=-+，则x 的值为（ ）.A ．BC ．2±D ．2【答案】A10．三角形一边长为 10，另两边长是方程 214480x x -+= 的两实根，则这是一个（ ）. A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形【答案】A11．若(x 2＋y 2)2－5(x 2＋y 2)－6＝0，则x 2＋y 2＝_____________．【答案】612．一小球以15 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h ＝15t －5t 2，则小球经过____s 达到10 m 高．【答案】1或213．已知2215500(0)x xy y xy -+=≠，则x y 的值是_____________． 【答案】5或1014．对于实数a ，b ，我们定义一种运算“※”为：a ※b=a 2-ab ，例如：1※3=12-1×3.若x ※4=0，则_____【答案】x=0或4.15．解方程：(1)(2)4x x -+=【答案】x 1=2，x 2=-3．16．若2222()(2)80x y x y ++--=，求22xy +的值．【答案】417．用因式分解法解下列方程：（1）23(5)2(5)x x -=-；（补全解题过程） 解：原方程可变形为23(5)2(5)0x x ---=，分解因式，得______________________________．∴50x -=，或1330x -=．∴15=x ，2133x =． （2）24410x x -+=．【答案】（1）(5)(133)0x x --=；（2）1212x x ==。
21.2.3因式分解法
22.2.3因式分解法教学内容用因式分解法解一元二次方程．教学目标知识与技能：掌握用因式分解法解一元二次方程．过程与方法：经历因式分解法解一元二次方程的过程，提高合理选择方法和分析问题解决问题能力。
情感、态度与价值观：用数学解决问题的例子，培养学生乐于了解数学、应用数学的态度.教学重点用因式分解法解一元二次方程．教学难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题简便．教学方法自主合作探究教学准备学生课前预习，教师制作课件教学过程设计（含各环节中的教师活动和学生活动以及设计意图）教学过程活动一、复习与思考（1）2x2+x=0（用配方法）（2）3x2+6x=0（用公式法）活动二、自学教材，解读目标自学教材38—39页内容，明确因式分解法解一元二次方程的一一般方法步骤，主要依据，会用因式分解法节简单的一元二次方程，通过演练40页练习题1，43页习题6检验自己自学效果，小组讨论解决疑难问题，15分钟后抽同学展示学习成果。
活动三、交流展示，解疑释惑展示1：教材习题、练习题板演与错解更正、总结因式分解法解一元二次方程的步骤与主要依据。
展示2：1．x2-5x因式分解结果为_______；2x（x-3）-5（x-3）因式分解的结果是______．2．方程（2x-1）2=2x-1的根是________．3．如果不为零的n是关于x的方程x2-mx+n=0的根，那么m-n的值为（）． A．-12B．-1 C．12D．14.下面一元二次方程解法中，正确的是（）．A．（x-3）（x-5）=10×2，∴x-3=10，x-5=2，∴x1=13，x2=7B．（2-5x）+（5x-2）2=0，∴（5x-2）（5x-3）=0，∴x1=25，x2=35C．（x+2）2+4x=0，∴x1=2，x2=-2D．x2=x 两边同除以x，得x=15.解方程（1）4x2=11x （2）（x-2）2=2x-4（3）25y2-16=0 （4）x2-12x+36=0活动四、总结反思，拓展提高反思自己是否达到本科时学习目标要求，没达标的同学解决前面疑难问题，达到目标的同学可以尝试演练下列提高题：6.已知9a2-4b2=0，求代数式22a b a bb a ab+--的值．7．今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m，问鸡场长与宽各为多少？（其中a≥20m）本课作业《金榜行动》课时作业板书设计22.2.3因式分解法1、自学教材，解读目标2、展示1：·····展示2：······提高题······。
21.2.3一元二次方程的解—— 因式分解法(优秀经典公开课比赛课件)
—— 因式分解法
一、预习检测 1．把下列各式因式分解： am+bm+cm=因式分解的方法有： 2．按要求解下列方程： ⑴2x2+x=0（用配方法）
⑵3x2+6x=0（用公式法）
二、探究案 阅读教材 12–14,结合教材例题格式完成下面问题 ： 1.用因式分解 法解下列方程
__
___法．
2．解一元二次方程，首先看能否用__
___；
再看能否用__
___；否则就用__
___；
若二次项系数为 1，一次项系数为偶数可先用__ ___．
四、课堂练习
知识点 1：用因式分解法解一元二次方程
1．方程(x＋2)(x－3)＝0 的解是( )
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝－3 2．一元二次方程 x(x－5)＝5－x 的根是( )
则该方程可以为（ ）
A．（x+5）（x－7）=0
B．（x－5 ）（x+7）=0
B． C．（x+5）（x+7）=0
D．（x－5）（x－7）=0
三、知识点归纳
1．当一元二次方程的一边为 0，另一边可以分解
成两个一次因式的乘积时，通常将一元二次方程
化为_____的乘积等于 0 的形式，再使这两个一
次式分别等于 0，从而实现降次，这种解法叫做
5．方程 x2－2x＝0 的解为_____．
6．方程 x2－2x＋1＝0 的根是____．
7．用因式分解法解下列方程：
(1)x2－4＝0；
(2)x2－2 3x＝0；
(3)(3－x)2－9＝0；
知识点 2：用适当的方法解一元二次方程
21.2.3 解一元二次方程—因式分解法
21.2.3 解一元二次方程—因式分解法学习目标：1.会利用因式分解法解某些简单数字系数的一元二次方程；2.经历探索因式分解法解一元二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力； 重点难点:重点: 应用分解因式法解一元二次方程难点：灵活应用各种分解因式的方法解一元二次方程.一、复习导入1、因式分解有如下几种方法，分别是________,_________,_________;2、对以下整式进行因式分解：142-x 96x 2+-x )2()2(x 2x --- 16x 6x 2-+二、自主学习1、思考：(1) x(2x+1)=0; (2) 3x(x+2)=0;问题：（1）你能观察出这两题的特点吗？（2）你知道方程的解吗？说说你的理由归纳：因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于零，那么这两个的值就至少有一个为____.即：若ab=0,则_____或______。
由上述过程我们知道：当方程的一边能够分解成两个一次因式的乘积形式而另一边等于0时，即可解之。
这种方法叫做因式分解法。
2、解下列方程0196x 2=- ）12(3)12(x +=+x x 012x 4x 2=-+三、合作探究用适当的方法解下列一元二次方程( x-2)2 -x+2 =0 (2x+1)2=(x-1)2 49122=+-x x （x ＋2）2－16＝0x （3x ＋2）－6(3x ＋2)＝0. 044)12(22=----x x x 01032=+-x x四、达标训练1、说出下列方程的根：（1）(8)0x x -= （2）(31)(25)0x x +-=2、用因式分解法解下列方程：x 2-4x=0 4x 2-49=0 5x 2-20x+20=0 22(3)9x x -=-小结：因式分解法解一元二次方程的思路：将原方程变形为一边是0，这一步很重要，因为只有当一边是0，即两个因式的积是0，两个因式才分别是0，从而得到两个一元一次方程。
因式分解法解一元二次方程的步骤：① 将一元二次方程化成一般形式，即方程右边为0。
第21章 21.2.3 因式分解法
17．小明给出解方程x2－|x|－2＝0的过程： 解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0.解得x1＝2，x2＝－1(不合题 意，舍去)； (2)当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝ －2. ∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2 请参照小明的解题过程，解方程x2－|x－1|－1＝0.
产生漏根．.
16．用适当的方法解方程： (1)x2－3x＋1＝0； 解：x1＝3＋2 5，x2＝3－2 5(公式法) (2)(x－1)2＝3； 解：x1＝1＋ 3，x2＝1－ 3(直接开平方法) (3)4x2－12x＋9＝0； 解：x1＝x2＝23(因式分解法) (4)x2－2x＝4. 解：x1＝1＋ 5，x2＝1－ 5(配方法)
会用因式分解法解一元二次方程． 【例2】用因式分解法解一元二次方程： (1)3x2－5x＝0； (2)4(x－3)2－25(x－2)2＝0； (3)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0. 【思路分析】 (1)方程的左边可用提公因式分解因式；(2)方程的左边可用 平方差公式分解因式；(3)方程的左边可用完全平方公式分解因式． 【规范解答】 (1)因式分解， 得x(3x－5)＝0，于是得x＝0， 或3x－5＝0 x1＝0，x2＝35
解：(1)当x－1≥0时，原方程化为x2－x＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)， x2＝1； (2)当x－1＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)， x2＝－2，∴原方程的根是x1＝1，x2＝－2.
(4)3(t－1)2＋2t＝2 解：t1＝1，t2＝13
8．方程x2－5x＝0的解是1＝x2＝0
C．x1＝0，x2＝5
D．x1＝－5，x2＝0
9．方程(1－x)2＋1＝x的根是( C )
21.2.3 因式分解法解一元二次方程
====> 直接开平方法
====> 因式分解法 因式分解法 ax2+bx+c=0 ====> 公式法（配方法） 2、公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用， 但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能 否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法， 若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法） 3、方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单 方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为 一般形式再选取合理的方法。
比较总结
先考虑因式分解法；
再用公式法； 最后才用配方法；
基础练习
用适当的方法解下列一元二次方程
1、x(2x-7)=2x
因式分解法 3、x²-5x=-4
2、x²+4x=3
配方法 4、2x²-3x-1=0
因式分解法
公式法
基础练习
例、解方程 2(x-2)2+5(x-2)-3=0
总结：方程中有括号时，应先用整体思想考虑有 没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它 去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。
化方程为一般式
(3)配方法
二解方程： 3x 5 x 2
2
例题讲解
用因式分解法解
3x 5 x 2
2
解:移项,得 3x 2 5 x 2 0 方程左边因式分解,得
解题步骤
①方程右边为零
②方程左边因式分解
( x 2)(3x 1) 0
方法归纳
因式分解法解一元二次方程的基本步骤：
(1) 将方程变形，使方程的右边为零；
(2) 将方程的左边因式分解； (3) 根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元二 次方程转化为解两个一元一次方程；
21.2.3因式分解法解一元二次方程(第1课时)
(6)另一解法 : ( x 4) 2 (5 2 x) 2 x 4 (5 2 x) x 4 5 2 x或x 4 5 2 x 3x 9或x 1 即x1 3，x2 1.
2.把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地, 场地面积增加了一倍,求小圆形场地的半径.
解： 原方程化为 ( x 5)( x 2) 3 6 由x 5 3，得x 8; 由x 2 6，得x 4.
(
)
原方程的解为x1 8或x2 4.
1.解下列方程： 2 (1) x x 0,
(2) x 2 3 x 0,
2
提公因式： x( x 1) 0， 所以有 x 0或x 1 0 即x1 0，x2 1.
提公因式： x( x 2 3 ) 0， 所以有 x 0或x 2 3 0， 即x1 0，x2 2 3.
(3)3 x 2 6 x 3, 移项，得： 3 x 6 x 3 0，
2
2 x 112 x 11 0
2 x 11 0 另一解法 :或2 x 11 0
3
提公因式法
公式法
用因式分解法解一元二次方程的步骤 1o方程右边化为 零 。 2o将方程左边分解成两个 一次因式 的 乘积。 3o至少 有一个 因式为零，得到两个 一元一次方程。 4o两个 一元一次方程的解 就是原方程 的解。
快速回答：下列各方程的根分别是 多少？
(1) x( x 2) 0
①
方程①的右边为0，左边可因式分解，得 除配方法或公式法以 x 10 4.9 x 0. 外，能否找到更简单 的方法解方程① 于是得
x 0 或 10 4.9 x 0,
人教版九年级上册21.2.3解一元二次方程---因式分解法 课件(共19张PPT)
2.课本P14 练习1.
结束寄语
配方法和公式法是解一元二次方程重要方法，要作为一种基本技 能来掌握.而某些方程可以用分解因式法简便快捷地求解.
于是得：2x＋1＝0，或 4x－3＝0，
x1＝－
1 2
，
x2＝
3 4
.
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数.
解：设这个数为x，根据题意，得：2x2＝7x. 移项，得：2x2－7x＝0. 因式分解，得：x(2x－7)＝0.
于是得：x＝0，或 2x－7＝0.
x1
0，x2
7. 2
智慧探讨 二次三项式 ax2＋bx＋c (a≠0)的因式分解.
（3）x2 ( 3 5)x 15 0；（4）2(x 3)2 x x 3；
（5）x2 (3 2)x 18 0； （6）(x 1)2 3 x 1 2 0；
（7）(4x 2)2 x(2x 1)；
（8）x2 12x 27 0；
（9）3x(x 2) 5(x 2)；
（10）2(x 3)2 x2 9 .
参考答案：
1.x1
1 4
；x2
7. 5
2.x1
2 3
；x2
1.
3.x1
3 2
；x2
1. 2
4.x1 3；x2 9.
5.x1 0；x2 4.6.x1来自5；x21. 3
7.x1 1；x2 6.
8.x1 4 2；x2 2.
课下作业
1.用分解因式法解下列方程：
（1）x2 (5 2)x 5 2 0； （2）(3x 1)2 5 0；
a＝1，b＝－3，c＝0.
b2 4ac 32 41 0 9＞0.
x b b2 4ac 3 9 ，
21.2.3 因式分解法-九年级上
(6)移项，得 4(3x＋1)2－25(x－2)2＝0.
∴[2(3x＋1)]2－[5(x－2)]2＝0. ∴[2(3x＋1)＋5(x－2)]·[2(3x＋1)－5(x－2)]＝0.
∴ ∴1(111xx－－88＝)(0x＋或1x2＋)＝102.＝0.∴x1＝181，x2＝－12.
x ( x+1 ) = 0. 于是得 x = 0 或 x + 1 =0，
x1=0 , x2=－1.
（2）x2- 2 3 x=0
解：因式分解，得 x（x-2 3）=0
于是得 x=0 或 x-2 3 =0 x1=0，x2=2 3
巩固练习
21.2 解一元二次方程/
（3）3x2 6x 3, （4） 4x2 121 0.
课堂检测
21.2 解一元二次方程/
若选择③ ，
③适合因式分解法， x2－3x＝0， 因式分解，得 x(x－3)＝0. 解得 x1＝0，x2＝3.
①x2－3x＋1＝0； ②(x－1)2＝3； ③x2－3x＝0； ④x2－2x＝4.
课堂检测
若选择④， ④适合配方法， x2－2x＝4， x2－2x＋1＝4＋1＝5， 即(x－1)2＝5.
②当 y＝4 时，x2＋3＝4，即 x2＝1.解得 x＝±1. 所以原方程的解为 x1＝1，x2＝－1.
课堂小结
21.2 解一元二次方程/
ax2+c=0 ====> 直接开平方法
1.
ax2+bx=0 ====> 因式分解法
ax2+bx+c=0 ====>
因式分解法 公式法（配方法）
人教版 数学 九年级 上册
第五课时21.2.3用因式分解法解一元二次方程
十字相乘法的字母公式
x2 + (a+b)x + ab = (x+a) (x+b) 公式里有二次项，一次项，常数项， 和一元二次方程的一般形式对应起来： 2 一般形式： ax bx c 0(a 0)
二次项 一次项 常数项
分解二次项与常数项后，把交叉相 乘相加，所得的和与一次项比较，判断 分解是否正确。
8、一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数. 解：设这个数为x,根据题意得：
2x2=7x. 2x2-7x=0,
x(2x-7) =0,
∴x=0,或2x-7=0.
7 x1 0, x2 . 2
根据物理学规律，如果把一个物体从 地面以 10 米/秒 的速度竖直上抛，那么经 过 x 秒 物体离地面的高度h（单位：米） 2 2 为10x - 4.9x ．即：h= 10x - 4.9x 你能根据上述规律，求出物体经过多 少秒落回地面吗？
2 2
此即运用平方差公式进行因式分解
用文字表述为：
两个数的平方差等于这两个数的和 与这两个数的差的积。
a 2ab b a b
2 2
2
完全平方式的特点：
1、必须是三项式（或可以看成三项的）
2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍）
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央。
回顾与复习
我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? (1)直接开平方法: x2=a (a≥0) (2)配方法:
(x+h)2=k (k≥0)
2
b b 4 ac 2 (3)公式法: x . b 4ac 0 . 2a
x 1 x 1x 1
人教版数学九年级上册教案21.2.3《因式分解法》
人教版数学九年级上册教案21.2.3《因式分解法》一. 教材分析《因式分解法》是人教版数学九年级上册第21章的一节内容，本节课主要让学生掌握因式分解的方法和技巧，并能运用因式分解法解决一些实际问题。
因式分解是代数学习中的重要内容，也是解决一元二次方程、分式方程等问题的关键。
本节课的内容为后续学习奠定了基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法、完全平方公式等知识，具备了一定的代数基础。
但是，对于因式分解的方法和技巧，部分学生可能还比较陌生，需要通过实例讲解和练习来逐步掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握因式分解的方法和技巧，能够正确地进行因式分解。
2.过程与方法：通过实例分析，让学生学会运用因式分解法解决实际问题。
3.情感态度与价值观：激发学生学习代数的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。
四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法和技巧。
2.难点：如何运用因式分解法解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解因式分解的基本方法和技巧。
2.案例分析法：通过具体实例，让学生学会运用因式分解法解决问题。
3.练习法：让学生在课堂上和课后进行适量练习，巩固所学知识。
六. 教学准备1.课件：制作因式分解的PPT课件，包括基本方法、实例分析等内容。
2.练习题：准备一些因式分解的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一个实际问题：某商店举行打折活动，原价为100元的商品打8折，求打折后的价格。
引导学生思考如何解决这个问题。
2.呈现（10分钟）讲解因式分解的基本方法和技巧，包括提取公因式、完全平方公式等。
通过PPT展示具体实例，让学生理解因式分解的过程。
3.操练（10分钟）让学生在课堂上进行因式分解的练习，教师巡回指导。
选取一些典型题目进行讲解，帮助学生掌握因式分解的方法。
4.巩固（10分钟）让学生继续进行因式分解的练习，巩固所学知识。
教师选取一些题目进行讲解，解答学生的疑问。
人教版九年级上 21.2.3 因式分解法(包含答案)
21.2.3因式分解法知识要点：1.把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法．2.因式分解法的详细步骤：①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式、完全平方公式以及十字相乘法等；③令每一个因式分别为零，得到一元一次方程；④解一元一次方程，即可得到原方程的解1．方程x （x +2）＝﹣x （x +2）的根是（ ）A ．x 1＝0，x 2＝2B ．x 1＝0，x 2＝﹣2C ．x ＝0D ．x ＝2 【答案】B2．若实数x ，y 满足()()2222x y 3x y -30+++=，则22x y +的值为( )A ．3或-3B ．3C ．-3D ．1 【答案】B3．方程)1)(14()1)(13(--=-+x x x x 的解是（ ） A ．121,0x x ==B ．121,2x x =-=C ．121,2x x ==D ．无解【答案】C 4．方程20x x -=的根是（ ）A ．1x =B ．120x x ==C ．121x x ==D ．10x =，21x =【答案】D 5．已知2x =-是关于x 的一元二次方程22502x x a --=的一个根，则a 的值为（ ） A ．3± B ．3- C ．3D ．1或1- 【答案】A6．若关于 x 的方程 250x x k -+= 的一个根是0，则另一个根是（）A ．1B ．－1C ．5D ．12【答案】C7．一元二次方程 (1)x x x -= 的解是（ ）A ．1或－1B ．2C ．0或2D ．0【答案】C8．2(3)5(3)x x x --- 因式分解结果为（ ）A ．221115x x -+B ．(5)(23)x x --C ．(25)(3)x x +-D ．(25)(3)x x --【答案】D9．将4个数 a 、b 、c 、d 排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义 a bad bc c d =-，上述记号就叫做2阶行列式．若11611x x x x +-=-+，则x 的值为（ ）.A ．BC ．2±D ．2【答案】A10．三角形一边长为 10，另两边长是方程 214480x x -+= 的两实根，则这是一个（ ）. A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形【答案】A11．若(x 2＋y 2)2－5(x 2＋y 2)－6＝0，则x 2＋y 2＝_____________．【答案】612．一小球以15 m/s 的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系h ＝15t －5t 2，则小球经过____s 达到10 m 高．【答案】1或213．已知2215500(0)x xy y xy -+=≠，则x y 的值是_____________． 【答案】5或1014．对于实数a ，b ，我们定义一种运算“※”为：a ※b=a 2-ab ，例如：1※3=12-1×3.若x ※4=0，则_____【答案】x=0或4.15．解方程：(1)(2)4x x -+=【答案】x 1=2，x 2=-3．16．若2222()(2)80x y x y ++--=，求22xy +的值．【答案】417．用因式分解法解下列方程：（1）23(5)2(5)x x -=-；（补全解题过程） 解：原方程可变形为23(5)2(5)0x x ---=，分解因式，得______________________________．∴50x -=，或1330x -=．∴15=x ，2133x =． （2）24410x x -+=．【答案】（1）(5)(133)0x x --=；（2）1212x x ==。
第二十一章21.2.3因式分解法
21.2.3 因式分解法
1.已知(x2+y2-1)(x2+y2+3)=0,则x2+y2的值为 ( ) A.1或-3 B.1 C.-3 D.-1或3
栏目索引
答案 B (x2+y2-1)(x2+y2+3)=0,于是有x2+y2-1=0或x2+y2+3=0,∴x2+y2=1或 x2+y2=-3,∵无论x、y为何值,x2+y2都不等于-3,∴x2+y2=1,故选B.
简单.直接降次法和因式分解法适用于特殊的方程.对于一个一元二次
方程,要善于观察,根据其特点选择合适的方法.
21.2.3 因式分解法
题型一 用因式分解法解特殊形式的一元二次方程 例1 用因式分解法解下列方程: (1)4x2-9=0;(2)x2-3x=0; (3)5x(x-3)=(x+1)(x-3). 解析 (1)因式分解,得(2x+3)(2x-3)=0.
于是得2x+3=0或2x-3=0.∴x1=- 32 ,x2= 32 .
(2)因式分解,得x(x-3)=0. 于是得x=0或x-3=0.∴x1=0,x2=3. (3)移项,得5x(x-3)-(x+1)(x-3)=0. 因式分解,得(x-3)(5x-x-1)=0,即(x-3)(4x-1)=0.
于是得x-3=0或4x-1=0.∴x1=3,x2= 1 .
21.2.3 因式分解法
栏目索引
2. (2018广东东莞翰林学校期中,1,★☆☆)方程2(2x+1)(x-3)=0的两根分
别为 ( )
A. 1 和3
2
B.- 1 和3
2
C. 12 和-3
21.2.3因式分解法
21.2.3因式分解法因式分解法是数学中常用的一种方法，能够将一个多项式分解成若干个简单的因子之积，从而方便我们进行计算和研究。
在因式分解法中，我们首先需要了解一些基本概念和规律。
如何判断一个多项式是否可以进行因式分解呢？简单来说，如果一个多项式可以表示成两个或者多个其他多项式之积，那么它就是可分解的。
例如，x^2 - 4x + 3可以分解成(x-1)(x-3)的形式，那么它就是可分解的。
接着，我们需要了解如何去分解一个多项式。
这里介绍两种基本的方法：1.提取公因式法提取公因式法是最常用的因式分解方法之一。
顾名思义，提取公因式就是将一个多项式中的公因式提取出来。
具体步骤如下：（1）观察多项式中是否存在公因式，然后将公因式提取出来，得到一个新的式子。
（2）将原始多项式除以公因式所得到的商式就是另一个因式。
例如，对于多项式6x^2 + 3x，我们可以提取公因式3x，得到3x(2x + 1)。
这样，我们就将原始多项式分解成了两个因式。
不难看出，提取公因式法的优点在于简单易懂，不需要过多的计算。
2.配方法当一个多项式无法通过提取公因式来分解时，我们可以使用配方法。
这种方法比较复杂，但是可以解决更多的问题。
具体步骤如下：（1）将多项式写成两个括号的形式。
（2）首先将两个括号的第一项相乘。
（4）将上面得到的两个积相加。
（5）将原始多项式和上面得到的积进行比较，得到括号中的两个因子。
例如，对于多项式x^2 + 6x + 8，我们可以使用配方法将其分解成(x+2)(x+4)的形式。
具体步骤如下：（1）将多项式写成(x ? ?)(x ? ?)的形式。
可以看出，配方法比较繁琐，需要耐心和细心地计算，但是可以解决多种不同类型的问题，所以在实际应用中非常重要。
最后，需要注意的是，因式分解法既可以用于代数式，也可以用于函数式。
无论是哪种情况，我们都需要灵活运用各种方法来进行分解和运算，从而更好地理解数学的本质和规律。
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11 11 x1 , x2 . 2 2
a 2 b 2 (a b)( a b)
a 2 2ab b 2 (a b)
课堂小结
概 念
将方程左边 因式分解， 右边=0.
因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).
二分-----方程的左边因式分解;
三化-----方程化为两个一元一次方程; 四解-----写出方程两个解;
两因式 各求解
试一试：下列各方程的根分别是多少？
(1) x(x-2)=0； (2) (y+2)(y-3)=0； (3) (3x+6)(2x-4)=0； (4) x2=x. (1) x1=0,x2=2； (2) y1=-2,y2=3 ； (3) x1=-2,x2=2； (4) x1=0,x2=1.
典例精析
例1 解下列方程： 1 x x 2 x 2 0;
2
可以试用多种 方法解本例中 的两个方程 .
1 3 2 5x 2 x x 2 x . 2 4 4 解：（1）因式分解，得 (2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
于是得 x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1.
7 x1 1, x2 2
例3.已知 (m 2 n 2 )( m 2 n 2 2) 8 0 求
m n
2
2
的值。
例4.已知 2 x 2 5 xy 7 y 2 0 ，且 y 0 ,求x:y
4.练习解方程：
2 2 1 3 x 6 x 3 ； 2 4 x 121 0.
面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过xs物体离
地面的高度(单位：m)为10-4.9x2.你能根据上 述规律求出物体经过多少秒落回地面吗(精确 到0.01s)? 分析： 设物体经过xs落回地面，这时它离地面 的高度为0，即 10x-4.9x2 =0 ①
10x-4.9x2 =0 ① 因式分解
如果a ·b = 0， 那么 a = 0或 b = 0.
二、 灵活用因式分解法解一元二次方程
典例精析
例2 用整体方法解方程： （1）； (2 x 3) 2 3(2 x 3) 4
分析：该式可把(2x-3)看成一个整体，
所以用因式分解法解答较快.
解：化简 ( 2 x 3) 2
3(2 x 3) 4 0
[（2x-3)+1][(2x-3)-4]=0 即 (2x-3)+1=0 或 (2x-3)-4 = 0.
x 2 ( p q ) x pq ( x p )( x q )
因式分解法
原 理
如果a · b=0，那么a=0或b=0.
简记歌诀：
步 骤
右化零 两因式
左分解 各求解
21.2 解一元二次方程
21.2.3 因式分解法
情境引入
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程（x+1）（x－1） =0时，可转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求
（x+3）（x－5）=0的解吗？
一、 因式分解法解一元二次方程
问题1 根据物理学规律，如果把一个物体从地
解：化为一般式为 x2－2x+1 = 0.
解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－ 11 ) = 0. 有 2x + 11 = 0 或 2x － 11= 0，
因式分解，得
( x－1 )( x－1 ) = 0.
有 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1.
用到什么乘法公式?
4 x 2 1 0.
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0. 2x＋1=0或2x－1=0, 于是得
1 1 x1 , x2 . 2 2
(3)
y 5 y 6 0
2
(4)
y 5y 6 0
2
练习(2)
6 x 5x 6 0
2
(3) 3x(2x 1) 4x 2
x(10-4.9x) =0 ② 两个因式乘积为 0，说明什么 x =0 ① 或 10-4.9x=0 降次，化为两个一次方程
x1 0, x2 100 2.04
解两个一次方程，得出原方程的根 这种解法是不是很简单？
49
要点归纳
因式分解法的概念 上述解法中,由①到②的过程，先因式分解使方程化为 两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于 0,从而实现降次.这种解法叫做因式分解法. 因式分解法的基本步骤 一移-----方程的右边=0; 简记歌诀： 右化零 左分解