2018版高考帮·数学-第8章第二讲 空间几何体的表面积与体积
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3
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高考帮·数学
知识全通关 7
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
【名师提醒】
(1)球的表面积只与半径有关,且面积比等于半径 比的平方;
(2)球的体积之比等于其半径之比的立方;
(3)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距 离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题 的主要途径.
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题型全突破
空间几何体的表面积与体积
考 点一 柱体、锥体、台体的表面积
1.旋转体的表面积
圆柱(底面半径为r,母 线长为l)
圆锥(底面半径为r,母 线长为l)
圆台(上、下底面半径分别 为r',r,母线长为l)
侧面 展开 图
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底面积 S底=πr2 S底=πr2 S上底=πr'2,S下底=πr2
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知识全通关 2
图8-2-12 思路分析 求底面面积和高较难 拼接几何体 转化底面和高 体积转化 运算
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题型全突破 13
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
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题型全突破 14
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
考法三
求球的表面积和体积
考法指导 1.求球的表面积和体积的关键是求出球的半径.反之,若已知球的表面积
命题趋势
空间几何
体的体积
【90%】
·2015浙江,2,5分
·2014山东,13,5分 ·2014天津,10,5分
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考情精解读 4
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
考纲解读
1.热点预测 求多面体、旋转体以及简单组合体
命题规律
的表面积和体积是高考的热点,已知三视图还原 几何体的直观图,并进行面积、体积的计算是高 考考查的重点,题型以选择题、填空题为主,分值
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题型全突破 9
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
(3)等体积法.一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面
积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变
形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积, 特别是三棱锥的体积. 3.由三视图求相关几何体的体积 已知几何体三视图求体积的思路与已知几何体三视图求表面积的思路相同,求解时注 意三视图中的垂直关系在几何体中的位置,确定几何体中的线面垂直等关系,进而利用 求体积的方法求解.
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题型全突破 1
第八章·第二讲 考法一
空间几何体的表面积与体积
求空间几何体的表面积
考法指导 1.规则几何体的表面积可利用有关公式求解,求多面体的表面积,只需将它们沿 着棱剪开展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面 积,可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,正确确定它们的底面半径、母线长与对 应侧面展开图中的边长关系,进而求表面积. 2.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求出这些 基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积.
图8 - 2 - 1
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知识全通关 6
第八章·第二讲 考点三
空间几何体的表面积与体积
球的表面积和体积
设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径 R唯一确定，是以R为自变量的函数， 2 ，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍，其体积公式 其表面积公式为 s球 4R
为 V球 3 R
图8-2-6
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第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
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题型全突破 5
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
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题型全突破 6
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
思路分析 由题意画出几何体的直观图 四棱锥的表面积 求出a2+h2=4,再用均值不等式求出a,h的值 即可求得
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题型全突破 15
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空间几何体的表面积与体积
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题型全突破 16
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
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第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
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题型全突破 18
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
考情精解读 2
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
考纲解读
考点
2016全国
2015全国
2014全国
自主命题区域
命题规律
命题趋势
空间几何体
·全国Ⅰ,6,5分
的表面积
【50%】
·全国Ⅱ,6,5分
·全国Ⅲ,9,5分
·全国Ⅰ,11,5分 ·全国Ⅱ,9,5分
·2016浙江,11,6分
·2015北京,5,5分
目 录 Contents
考情精解读 A.知识全通关 B.题型全突破 C.能力大提升
考点1
考点2
考法1
考法2
专题探究
考点3
考法3
考情精解读
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考情精解读 1
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
考纲解读 考试大纲 命题规律
01
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
命题趋势
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或体积,那么就可以得到球的半径. 2.处理与几何体外接球有关的问题时,一般需依据球和几何体的对称性,确定球心与 几何体的特殊点间的关系.解决与长方体有关的问题时需注意运用长方体的体对角
线即外接球直径这一知识.
3.与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题,解题的关键是明确球的体积与水 的容积之间的关系,正确建立等量关系.
空间几何体的表面积与体积
示例7 如图8-2-16所示,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于
A,B的任意一点,AA1=AB=2.
(1)求证:BC⊥平面A1AC; (2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.
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图8-2-16
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能力大提升 3
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
·2014浙江,3,5分
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考情精解读 3
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
考纲解读
考点
2016全国
2015全国
2014全国
自主命题区域
·2016江苏,17,14分 ·2016四川,13,5分
命题规律
·2016天津,11,5分 ·2016山东,5,5分 ·2016北京,6,5分 ·全国Ⅰ,6,5分 ·全国Ⅱ,6,5分 ·2016浙江,11,6分 ·2015天津,10,5分 ·2015江苏,9,5分 ·全国Ⅱ,6,5分 ·全国Ⅱ,18(Ⅱ) ·2015山东,7,5分
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能力大提升 4
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
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能力大提升 5
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
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能力大提升 6
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
【技巧点拨】
求空间几何体的表面积和体积最值的基本方法是函数方法和不等式方法.函数方法就 是建立所求的表面积、体积关于某个变量的函数,然后通过研究这个函数的最值解决 表面积和体积的最值;不等式方法就是根据空间几何体中某些变量的和或者积是常数, 把空间几何体的表面积或者体积用这些变量表示出来,然后利用基本不等式求得其最 值.
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命题趋势
约5分,有时以解答题的一问呈现,分值5~7分.
2.趋势分析 以三视图为载体求几何体的表面积 和体积,以及利用展开图考查侧面积的命题趋势 逐步增强,在2018年高考复习时应引起重视,另外,
体积与函数、不等式的综合问题在复习时也应
给予关注.
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第八章·第二讲
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第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
【辨析比较】
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第八章·第二讲 考 点二
空间几何体的表面积与体积
柱体、锥体、台体的体积
几何体 柱体 锥体
体积(S,S'为底面面积,r,r'为底面半径,h为高) V柱体=Sh,V圆柱=πr2h
台体
解决此类问题的一般思路有两个:一是根据几何体的结构特征和体积、表 面积的计算公式,将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值,根 据平面图形的有关结论直接进行判断;二是利用基本不等式或是建立关于 表面积和体积的函数关系式,然后利用函数或者导数方法解决.
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能力大提升 2
第八章·第二讲
思路分析 根据线面垂直的判定找到所需条件
BC⊥平面A1AC
列出三棱锥A1-ABC
体积的表达式
利用基本不 等式求得体积的最大值
解析 (1)因为C是底面圆周上异于A,B的一点,且AB为底面圆的直径,所以BC⊥AC. 因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以AA1⊥BC.
因为AA1∩AC=A,AA1⊂平面A1AC,AC⊂平面A1AC,所以BC⊥平面A1AC.
【突破攻略】
计算球的表面积或体积,必须求出球的半径,一般方法有:(1)根据球心到内接多面 体各顶点的距离相等确定球心,然后求出半径;(2)依据已知的线线或线面之间的
关系推理出球心位置,然后求出半径.
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能力大提升
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第八章·第二讲 专题探究
空间几何体的表面积与体积
空间几何体表面积和体积的最值
图8-2-8
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第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
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第八章·第二讲 考法二
空间几何体的表面积与体积 求空间几何体的体积
考法指导 1.处理体积问题的思路 (1)“转”:指的是转换底面与高,将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面,或将 原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高. (2)“拆”:指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算. (3)“拼”:指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱, 将一个三棱柱复原成一个四棱柱,这些都是拼补的方法. 2.求空间几何体的体积的常用方法 (1)公式法.对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解. (2)割补法.把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积计算;或者把不规则的几何 体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积.
3.求以三视图为载体的表面积问题时,关键是先分析三视图,确定几何体中各元素之间的位
置关系及数量,再利用上面的方法求表面积.
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题型全突破 2
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
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题型全突破 3
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
思路分析 三视图 解析
画出直观图 分别求各个面的面积 面积求和
.
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题型全突破 10
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
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题型全突破 11
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
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题型全突破 12
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
考法示例4 如图8-2-12所示,已知三棱锥D-ABC中, AD⊥BC,AD,BC之间的距离为h, 且AD=a,BC=b,求三棱锥D-ABC的体积.
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
侧面积
S侧=2πrl
S侧=πrl
S侧=π(r'l+rl)
表面积
S表=2πr(r+l)
S表=πr(r+l)
S表=π(r'2+r2+r'l+rl)
2.多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积. 注意 (1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与所有底面 面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
注意 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式
的几何体进行解决. (2)求与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性.
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第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
【辨析比较】
柱体、锥体、台体体积间的关系 柱体、锥体、台体体积公式间的关系如图8-2-1 所示.
3
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空间几何体的表面积与体积
【名师提醒】
(1)球的表面积只与半径有关,且面积比等于半径 比的平方;
(2)球的体积之比等于其半径之比的立方;
(3)利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距 离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题 的主要途径.
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空间几何体的表面积与体积
考 点一 柱体、锥体、台体的表面积
1.旋转体的表面积
圆柱(底面半径为r,母 线长为l)
圆锥(底面半径为r,母 线长为l)
圆台(上、下底面半径分别 为r',r,母线长为l)
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底面积 S底=πr2 S底=πr2 S上底=πr'2,S下底=πr2
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图8-2-12 思路分析 求底面面积和高较难 拼接几何体 转化底面和高 体积转化 运算
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第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
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空间几何体的表面积与体积
考法三
求球的表面积和体积
考法指导 1.求球的表面积和体积的关键是求出球的半径.反之,若已知球的表面积
命题趋势
空间几何
体的体积
【90%】
·2015浙江,2,5分
·2014山东,13,5分 ·2014天津,10,5分
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第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
考纲解读
1.热点预测 求多面体、旋转体以及简单组合体
命题规律
的表面积和体积是高考的热点,已知三视图还原 几何体的直观图,并进行面积、体积的计算是高 考考查的重点,题型以选择题、填空题为主,分值
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第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
(3)等体积法.一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面
积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.等体积法也称等积转化或等积变
形,它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,多用来解决有关锥体的体积, 特别是三棱锥的体积. 3.由三视图求相关几何体的体积 已知几何体三视图求体积的思路与已知几何体三视图求表面积的思路相同,求解时注 意三视图中的垂直关系在几何体中的位置,确定几何体中的线面垂直等关系,进而利用 求体积的方法求解.
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第八章·第二讲 考法一
空间几何体的表面积与体积
求空间几何体的表面积
考法指导 1.规则几何体的表面积可利用有关公式求解,求多面体的表面积,只需将它们沿 着棱剪开展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积.求旋转体的表面 积,可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,正确确定它们的底面半径、母线长与对 应侧面展开图中的边长关系,进而求表面积. 2.求不规则几何体的表面积时,通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体,先求出这些 基本的柱、锥、台体的表面积,再通过求和或作差,求出几何体的表面积.
图8 - 2 - 1
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第八章·第二讲 考点三
空间几何体的表面积与体积
球的表面积和体积
设球的半径为R，它的体积与表面积都由半径 R唯一确定，是以R为自变量的函数， 2 ，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍，其体积公式 其表面积公式为 s球 4R
为 V球 3 R
图8-2-6
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空间几何体的表面积与体积
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空间几何体的表面积与体积
思路分析 由题意画出几何体的直观图 四棱锥的表面积 求出a2+h2=4,再用均值不等式求出a,h的值 即可求得
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题型全突破 16
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空间几何体的表面积与体积
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题型全突破 17
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空间几何体的表面积与体积
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空间几何体的表面积与体积
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考点
2016全国
2015全国
2014全国
自主命题区域
命题规律
命题趋势
空间几何体
·全国Ⅰ,6,5分
的表面积
【50%】
·全国Ⅱ,6,5分
·全国Ⅲ,9,5分
·全国Ⅰ,11,5分 ·全国Ⅱ,9,5分
·2016浙江,11,6分
·2015北京,5,5分
目 录 Contents
考情精解读 A.知识全通关 B.题型全突破 C.能力大提升
考点1
考点2
考法1
考法2
专题探究
考点3
考法3
考情精解读
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考情精解读 1
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
考纲解读 考试大纲 命题规律
01
了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式.
命题趋势
高考帮·数学
或体积,那么就可以得到球的半径. 2.处理与几何体外接球有关的问题时,一般需依据球和几何体的对称性,确定球心与 几何体的特殊点间的关系.解决与长方体有关的问题时需注意运用长方体的体对角
线即外接球直径这一知识.
3.与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题,解题的关键是明确球的体积与水 的容积之间的关系,正确建立等量关系.
空间几何体的表面积与体积
示例7 如图8-2-16所示,A1A是圆柱的母线,AB是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上异于
A,B的任意一点,AA1=AB=2.
(1)求证:BC⊥平面A1AC; (2)求三棱锥A1-ABC的体积的最大值.
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图8-2-16
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空间几何体的表面积与体积
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2015全国
2014全国
自主命题区域
·2016江苏,17,14分 ·2016四川,13,5分
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·2016天津,11,5分 ·2016山东,5,5分 ·2016北京,6,5分 ·全国Ⅰ,6,5分 ·全国Ⅱ,6,5分 ·2016浙江,11,6分 ·2015天津,10,5分 ·2015江苏,9,5分 ·全国Ⅱ,6,5分 ·全国Ⅱ,18(Ⅱ) ·2015山东,7,5分
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空间几何体的表面积与体积
【技巧点拨】
求空间几何体的表面积和体积最值的基本方法是函数方法和不等式方法.函数方法就 是建立所求的表面积、体积关于某个变量的函数,然后通过研究这个函数的最值解决 表面积和体积的最值;不等式方法就是根据空间几何体中某些变量的和或者积是常数, 把空间几何体的表面积或者体积用这些变量表示出来,然后利用基本不等式求得其最 值.
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命题趋势
约5分,有时以解答题的一问呈现,分值5~7分.
2.趋势分析 以三视图为载体求几何体的表面积 和体积,以及利用展开图考查侧面积的命题趋势 逐步增强,在2018年高考复习时应引起重视,另外,
体积与函数、不等式的综合问题在复习时也应
给予关注.
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空间几何体的表面积与体积
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第八章·第二讲 考 点二
空间几何体的表面积与体积
柱体、锥体、台体的体积
几何体 柱体 锥体
体积(S,S'为底面面积,r,r'为底面半径,h为高) V柱体=Sh,V圆柱=πr2h
台体
解决此类问题的一般思路有两个:一是根据几何体的结构特征和体积、表 面积的计算公式,将体积或表面积的最值转化为平面图形中的有关最值,根 据平面图形的有关结论直接进行判断;二是利用基本不等式或是建立关于 表面积和体积的函数关系式,然后利用函数或者导数方法解决.
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思路分析 根据线面垂直的判定找到所需条件
BC⊥平面A1AC
列出三棱锥A1-ABC
体积的表达式
利用基本不 等式求得体积的最大值
解析 (1)因为C是底面圆周上异于A,B的一点,且AB为底面圆的直径,所以BC⊥AC. 因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC, 所以AA1⊥BC.
因为AA1∩AC=A,AA1⊂平面A1AC,AC⊂平面A1AC,所以BC⊥平面A1AC.
【突破攻略】
计算球的表面积或体积,必须求出球的半径,一般方法有:(1)根据球心到内接多面 体各顶点的距离相等确定球心,然后求出半径;(2)依据已知的线线或线面之间的
关系推理出球心位置,然后求出半径.
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空间几何体的表面积与体积
空间几何体表面积和体积的最值
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空间几何体的表面积与体积 求空间几何体的体积
考法指导 1.处理体积问题的思路 (1)“转”:指的是转换底面与高,将原来不易求面积的底面转换为易求面积的底面,或将 原来不易看出的高转换为易看出并易求解长度的高. (2)“拆”:指的是将一个不规则的几何体拆成几个简单的几何体,便于计算. (3)“拼”:指的是将小几何体嵌入一个大几何体中,如将一个三棱锥复原成一个三棱柱, 将一个三棱柱复原成一个四棱柱,这些都是拼补的方法. 2.求空间几何体的体积的常用方法 (1)公式法.对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解. (2)割补法.把不规则的图形分割成规则的图形,然后进行体积计算;或者把不规则的几何 体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积.
3.求以三视图为载体的表面积问题时,关键是先分析三视图,确定几何体中各元素之间的位
置关系及数量,再利用上面的方法求表面积.
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空间几何体的表面积与体积
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思路分析 三视图 解析
画出直观图 分别求各个面的面积 面积求和
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第八章·第二讲
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空间几何体的表面积与体积
考法示例4 如图8-2-12所示,已知三棱锥D-ABC中, AD⊥BC,AD,BC之间的距离为h, 且AD=a,BC=b,求三棱锥D-ABC的体积.
第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
侧面积
S侧=2πrl
S侧=πrl
S侧=π(r'l+rl)
表面积
S表=2πr(r+l)
S表=πr(r+l)
S表=π(r'2+r2+r'l+rl)
2.多面体的表面积 多面体的表面积就是各个面的面积之和,也就是展开图的面积. 注意 (1)几何体的侧面积是指(各个)侧面面积之和,而表面积是侧面积与所有底面 面积之和. (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理.
注意 (1)求一些不规则几何体的体积常用割补的方法将几何体转化成已知体积公式
的几何体进行解决. (2)求与三视图有关的体积问题注意几何体还原的准确性及数据的准确性.
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第八章·第二讲
空间几何体的表面积与体积
【辨析比较】
柱体、锥体、台体体积间的关系 柱体、锥体、台体体积公式间的关系如图8-2-1 所示.