圆锥曲线椭圆双曲线的性质
椭圆双曲线抛物线知识点汇总
椭圆双曲线抛物线知识点汇总一、椭圆椭圆是平面内到定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点 P 的轨迹，F1、F2 称为椭圆的焦点，两焦点的距离|F1F2|称为椭圆的焦距。
1、椭圆的标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。
焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
2、椭圆的性质范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。
顶点：焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近0，椭圆越接近圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
3、椭圆的参数方程焦点在 x 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ a\cos\theta ＼＼ y ＝b\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）焦点在 y 轴上：＼（＼begin{cases}x ＝ b\cos\theta ＼＼ y ＝a\sin\theta\end{cases}＼）（＼（＼theta\）为参数）4、椭圆中的焦点三角形设 P 为椭圆上一点，F1、F2 为焦点，＼（＼angle F1PF2 ＝＼theta\），则三角形 PF1F2 的面积为\（S ＝ b^2\tan\frac{＼theta}｛2}＼）。
解读数学中的圆锥曲线与双曲线
解读数学中的圆锥曲线与双曲线圆锥曲线和双曲线是数学中重要的概念和研究对象。
它们在几何学、物理学、工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将对圆锥曲线和双曲线进行解读，并介绍它们的定义、性质以及应用。
一、圆锥曲线的定义与性质圆锥曲线是由一个平面与一个圆锥相交所得到的曲线。
根据平面与圆锥的位置关系，圆锥曲线分为三种类型：椭圆、抛物线和双曲线。
1. 椭圆：当平面与圆锥的切线小于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为椭圆。
椭圆具有以下性质：a. 椭圆的离心率小于1，且离心率越小，椭圆越接近于圆形；b. 椭圆的焦点是椭圆的特殊点，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和是常数；c. 椭圆的长轴、短轴及焦点之间存在一定的关系，可以通过这些参数来确定椭圆的形状和大小。
2. 抛物线：当平面与圆锥的切线等于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为抛物线。
抛物线具有以下性质：a. 抛物线具有对称性，焦点是抛物线的特殊点，抛物线上任意一点到焦点的距离等于该点到准线的距离；b. 抛物线的形状由焦点和准线的位置决定，焦点越靠近准线，抛物线越扁平。
3. 双曲线：当平面与圆锥的切线大于圆锥的斜边时，所得到的曲线称为双曲线。
双曲线具有以下性质：a. 双曲线的离心率大于1，且离心率越大，双曲线的形状越扁平；b. 双曲线的焦点是双曲线的特殊点，双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差是常数；c. 双曲线的长轴、短轴及焦点之间存在一定的关系，可以通过这些参数来确定双曲线的形状和大小。
二、双曲线的应用双曲线在数学和物理学中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用领域：1. 光学：双曲线是抛物面镜和双曲面镜的截面曲线，这些曲线具有聚焦和发散光线的特性，被广泛应用于光学系统中，如望远镜、显微镜等。
2. 电磁场：在电磁学中，双曲线是电场和磁场的等势线，它们的分布和形状对电磁场的性质和行为有着重要的影响。
3. 天体力学：在天体力学中，双曲线被用来描述天体的轨道形状，如彗星的轨道就是一个双曲线。
圆锥曲线的基本性质
圆锥曲线的基本性质圆锥曲线在数学中占据重要的地位，它具有独特的形状和性质。
本文将探讨圆锥曲线的基本性质，包括椭圆、双曲线和抛物线。
一、椭圆的基本性质1. 定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2距离之和为常数2a的点的轨迹。
这两个定点称为焦点。
椭圆的形状由长轴和短轴决定，其中长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
2. 离心率离心率是椭圆的一个重要参数，用e表示。
公式为e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
离心率描述了椭圆的扁平程度，当e=0时，椭圆退化成一个圆。
3. 形状特征椭圆具有对称性，关于长轴和短轴都具有中心对称性。
它的离心率小于1，且离心率越小，椭圆越圆。
二、双曲线的基本性质1. 定义双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差为常数2a的点的轨迹。
这两个定点称为焦点。
双曲线的形状由长轴和短轴决定，其中长轴的长度为2a，短轴的长度为2b。
2. 离心率双曲线的离心率也是一个重要参数，用e表示。
公式为e = c/a，其中c为焦点到中心的距离。
离心率大于1，且离心率越大，双曲线扁平程度越高。
3. 形状特征双曲线具有两个分支，两个分支分别向无穷远延伸。
与椭圆不同，双曲线没有对称轴，但有渐近线，它们与双曲线的两个分支无限接近。
三、抛物线的基本性质1. 定义抛物线是平面上到一个定点F的距离与到一个直线L的距离相等的点的轨迹。
定点F称为焦点，直线L称为准线。
抛物线的形状由焦点和准线的位置决定。
2. 形状特征抛物线具有对称性，关于焦点的对称轴为对称轴。
焦点和准线之间的距离称为焦距，用2a表示。
焦点到抛物线上任一点的距离与焦距相等。
4. 方程表示抛物线的标准方程为y^2 = 4ax，焦点在x轴右侧时，a为正数；焦点在x轴左侧时，a为负数。
综上所述，圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们具有各自独特的形状和性质。
理解和研究圆锥曲线的基本性质对于数学的学习和应用都具有重要的意义。
(完整版)解圆锥曲线问题常用方法及性质总结
解圆锥曲线问题常用方法+椭圆与双曲线的经典结论+椭圆与双曲线的对偶性质总结解圆锥曲线问题常用以下方法：1、定义法（1）椭圆有两种定义。
第一定义中，r 1+r 2=2a 。
第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。
（2）双曲线有两种定义。
第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。
设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(12222>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。
（2）)0,0(12222>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020=-k by a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p.椭圆与双曲线的对偶性质总结椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y ya b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
圆锥曲线的分类及基本方程
圆锥曲线的分类及基本方程圆锥曲线是解析几何中最为重要的一类曲线，不仅在数学领域有广泛应用，在物理、化学、工程等多个领域中也有着重要的作用。
本文将围绕圆锥曲线的分类及基本方程展开讨论。
一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是指由一个固定点F（焦点）和一个固定直线L（直角母线）所确定的点P（动点）的轨迹。
如果点P在直线L同侧与焦点F的距离大于点P到直线L的距离，则称此为椭圆；如果点P在直线L同侧与焦点F的距离等于点P到直线L的距离，则称此为双曲线；如果点P在直线L的另一侧，且距离相等，则称此为圆。
二、圆锥曲线的分类根据圆锥曲线的定义，可以将它们分为三类：椭圆、双曲线和圆。
下面分别进行讲解。
1. 椭圆椭圆是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之和为定值2a、固定数e小于1的点P所形成的轨迹。
其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴，c为椭圆的焦距，e为椭圆的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1其中，如果椭圆的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 12. 双曲线双曲线是指在平面直角坐标系中，到空间内两个定点F1、F2距离之差为定值2a、固定数e大于1的点P所形成的轨迹。
其中，a为双曲线的半轴，b为双曲线的次轴，c为双曲线的焦距，e为双曲线的离心率，有以下基本方程：(x^2 / a^2) - (y^2 / b^2) = 1其中，如果双曲线的中心在坐标系原点上，则方程为：x^2 / a^2 - y^2 / b^2 = 13. 圆圆是指在平面直角坐标系中离空间内一个固定点O距离相等的点P所组成的轨迹，该固定点称为圆心，离圆心最远的点称为圆的周围。
圆的方程为：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2其中，（a，b）为圆心坐标，r为圆的半径。
三、圆锥曲线的性质1. 椭圆的离心率小于1，且对称轴平行于 y 轴，故对称于 x 轴的部分也是椭圆。
高中圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)规律技巧总结
八、圆锥曲线1.圆锥曲线的两个定义：（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。
若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如（1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．621=+PF PF C ．1021=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）；（2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。
圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点)0,22(Q 及抛物线42x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答：2）2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
圆锥曲线常用二级结论汇总
圆锥曲线常用二级结论汇总以下是圆锥曲线常用的二级结论汇总，包括椭圆、双曲线和抛物线的性质和特点。
详细解析如下：1.椭圆（Ellipse）：-定义：椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
-主要性质：-焦点与直径关系：椭圆的焦点到任意点的距离之和等于该点到直径的距离之和。
-长轴和短轴：椭圆的长轴是通过两个焦点的直线，短轴是垂直于长轴且通过中心点的直线。
-离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴长度之比，介于0和1之间。
-对称性：椭圆具有x轴对称和y轴对称性。
2.双曲线（Hyperbola）：-定义：双曲线是平面上到两个定点F1和F2的距离之差等于常数2a的点P的轨迹。
-主要性质：-焦点与直径关系：双曲线的焦点到任意点的距离之差等于该点到直径的距离之差。
-长轴和短轴：双曲线的长轴是通过两个焦点的直线，短轴是垂直于长轴且通过中心点的直线。
-离心率：双曲线的离心率定义为焦距与长轴长度之比，大于1。
-渐近线：双曲线有两条渐近线，与曲线趋于无穷远时相交。
3.抛物线（Parabola）：-定义：抛物线是平面上到定点F的距离等于点P到定直线l的距离的点P的轨迹。
-主要性质：-焦点与直径关系：抛物线的焦点是位于开口方向上的对称点，与焦点距离相等的两条直线互相平行。
-对称性：抛物线具有顶点对称性，焦点、顶点和直线l三者共线。
-方程形式：抛物线的标准方程为y=ax^2+bx+c，其中a为常数且不为0。
4.曲线参数方程：-椭圆的参数方程：x=a*cosθ,y=b*sinθ，其中a和b分别为长轴和短轴的一半，θ是参数。
-双曲线的参数方程：x=a*coshθ,y=b*sinhθ，其中a和b分别为长轴和短轴的一半，θ是参数。
-抛物线的参数方程：x=at^2,y=2at，其中a为常数，t是参数。
5.曲线图像和方程：-椭圆的标准方程：(x/a)^2+(y/b)^2=1，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
-双曲线的标准方程：(x/a)^2-(y/b)^2=1，其中a和b分别为长轴和短轴的一半。
圆锥曲线与方程双曲线的几何性质
当$x \rightarrow \pm \infty$时，$y \rightarrow \pm b$，因此双曲线有 两条渐进线$y = \pm \frac{b}{a}x$。
双曲线的离心率
双曲线的离心率是渐近线的斜率的绝对值，即$e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + (\frac{b}{a})^2}$。
未考虑具有特殊条件的方程如何影响 双曲线的几何性质。
对于渐近线的斜率和离心率的关系， 仅给出了结论，未进行深入的理论推 导。
对未来研究的建议
01
建议研究其他类型的圆锥曲线 ，如椭圆和抛物线，以比较它 们与双曲线的几何性质的差异 。
02
应关注具有特殊条件的方程如 何影响双曲线的几何性质，以 便在实际应用中更好地应用这 些方程。
研究双曲线的几何性质有助于深入 了解圆锥曲线的性质和应用。
双曲线的定义与分类
双曲线定义为平面内一个动点 与定点(F)的距离的差等于常数
(2a)的轨迹。
双曲线包括实轴和虚轴，其中 实轴与x轴平行，虚轴与y轴平
行。
双曲线分为焦点在x轴和焦点在 y轴两种情况。
研究目的和内容
研究双曲线的几何性质，包括对称性、离心率、渐近线等。 分析双曲线在不同坐标系下的方程及相互转化关系。 对双曲线进行分类，研究各类双曲线的性质和应用。
双曲线的离心率描述了双曲线与渐近线的接近程度，离心率 越大，双曲线与渐近线越不接近。
03
双曲线方程的推导
直角坐标系下的双曲线方程
定义
在直角坐标系中，双曲线是指满 足 |x²/a² - y²/b²| = 1 的点的集 合，其中 a 和 b 是正数，且 a² + b² = c²，c 是焦点到原点的距 离。
圆锥曲线常用的二级结论和椭圆与双曲线对偶结论
圆锥曲线常用的二级结论：
1.零点定理：设F1，F2为椭圆E的两个焦点，P为椭圆上一点，则PF1 + PF2 = 2a（a
为椭圆长轴的一半）;对于双曲线，PF1 - PF2 = 2a，其中a为双曲线的长轴的一半。
2.切线定理：设点P（x0，y0）在曲线C上，则C在点P处的切线方程为F_x（x0，y0）
x + F_y（x0，y0）y = F（x0，y0），其中F（x，y）为曲线C的方程，F_x和F_y为它的偏导数。
3.法线定理：设点P（x0，y0）在曲线C上，则C在点P处的法线方程为F_y（x0，y0）
x - F_x（x0，y0）y = F_y（x0，y0）x0 - F_x（x0，y0）y0。
4.离心率计算公式：设椭圆E的长轴为a，短轴为b，则椭圆的离心率为e = √（a² - b²）
/ a。
5.弦长定理：对于椭圆E，设以焦点F1，F2为端点的弦所对应的直角顶点为P，则弦PF1
+ PF2的长度等于椭圆长轴的长度;对于双曲线，弦PF1 - PF2的长度等于双曲线长轴的长度。
椭圆与双曲线的对偶结论：
1.椭圆E的对称中心为它所包围的正方形的中心，长、短半轴分别为正方形的对角线之
一和另外一边。
2.椭圆的纵轴端点为它所包围正方形的中心连通它上下角的一条直线，椭圆的焦点在这
条直线上。
3.双曲线的渐近线为对应椭圆的渐近线的转置。
4.对于椭圆E的焦点F和双曲线H的焦距f，有e² = 1 + f² / b²。
把椭圆的参数a，b
换成双曲线的参数a，b，即可得到双曲线的离心率计算公式。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b x a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率 )10(<<=e ace )10(<<=e ace 准线2a x c=±2a y c=±参数方程与普通方程22221x y a b +=的参数方程为 ()cos sin x a y b θθθ=⎧⎨=⎩为参数 22221y x a b +=的参数方程为 ()cos sin y a x b θθθ=⎧⎨=⎩为参数3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长〔＜|F 1F 2|〕的点的轨迹〔21212F F a PF PF <=-〔a 为常数〕〕这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：〔1〕距离之差的绝对值.〔2〕2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y 〔a ＞0，b ＞0〕(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，那么焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，那么焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-by a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+k b y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔2 直线与双曲线：〔代数法〕设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，假设0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；假设2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点；假设k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 2020b x k a y >〔00y ≠〕或2020b x bk a a y << 〔00y ≠〕或b k a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点；当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点〔左支一个点右支一个点〕； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =时，过点00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
高考数学中圆锥曲线的对称问题
高考数学中圆锥曲线的对称问题
圆锥曲线的对称问题在高考数学中是一个常见的考点。
这类问题通常涉及到对圆锥曲线（如椭圆、双曲线和抛物线）的对称性质的理解和应用。
首先，我们需要明确圆锥曲线的对称性质：
1. 椭圆：椭圆关于其长轴和短轴都是对称的。
这意味着，如果点P(x, y)在椭圆上，那么点P'(-x, y)和P''(x, -y)也都在椭圆上。
2. 双曲线：双曲线关于其主轴和次轴都是对称的。
如果点P(x, y)在双曲线上，那么点P'(-x, y)和P''(x, -y)也都在双曲线上。
3. 抛物线：抛物线关于其对称轴是对称的。
如果点P(x, y)在抛物线上，那么点P'(x, -y)也在抛物线上。
在解决这类问题时，我们通常会利用这些对称性质来简化计算或找到解题的线索。
例如，如果我们知道一个点在一个圆锥曲线上，那么我们可以利用对称性质来找到其他也在该曲线上的点。
此外，我们还需要注意一些特殊的对称情况，如中心对称和轴对称。
这些对称性质也可以帮助我们更好地理解和解决圆锥曲线的对称问题。
总的来说，解决圆锥曲线的对称问题需要我们对圆锥曲线的对称性质有深入的理解，并能够灵活应用这些性质来解决问题。
同时，我们还需要注意一些特殊的对称情况，以便更好地应对各种复杂的题目。
圆锥曲线知识点总结
圆锥曲线一、椭圆1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：二、双曲线1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．2、双曲线的几何性质：5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线． 三、抛物线1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．4、关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； (4)112.||||FA FB P+= 四、直线与圆锥曲线的位置关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有)位置关系主要适用于直线与圆的(几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线.12.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结
圆锥曲线(椭圆,双曲线,抛物线)的定义、方程和性质知识总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII2椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a b y a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a b xa y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围 x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴 x 轴、y 轴； 长轴长2a ，短轴长2b ； 焦点在长轴上 x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距 )0(221>=c c F F)0(221>=c c F F离心率)10(<<=e ace )10(<<=e ace33. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F 、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
圆锥曲线的性质与像椭圆双曲线抛物线的特点与方程
圆锥曲线的性质与像椭圆双曲线抛物线的特点与方程圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它包括了三种类型：椭圆、双曲线和抛物线。
这些曲线在几何学和物理学中有广泛的应用，对于我们理解自然界的各种现象具有重要意义。
在本文中，我们将探讨圆锥曲线的性质以及椭圆、双曲线和抛物线的特点与方程。
一、圆锥曲线的性质圆锥曲线的定义是平面上点到一个固定点与到一个固定直线的距离之比是一个常数。
根据这个定义，我们可以得到以下性质：1. 椭圆：椭圆是圆锥曲线的一种，其特点是所有点到两个焦点的距离之和是一个常数。
椭圆具有中心对称性，主轴和次轴决定了椭圆的形状和大小。
椭圆还具有离心率的概念，用来描述椭圆的扁平程度，离心率的取值范围是0到1之间。
2. 双曲线：双曲线也是圆锥曲线的一种，其特点是所有点到两个焦点的距离之差是一个常数。
双曲线具有两个分支，分别向两个焦点无限延伸。
双曲线也具有离心率的概念，离心率大于1时，双曲线是开口向外的，离心率小于1时，双曲线是开口向内的。
3. 抛物线：抛物线也是圆锥曲线的一种，其特点是所有点到焦点和直线的距离相等。
抛物线具有对称性，焦点在抛物线的中点上方或下方。
抛物线还具有离心率的概念，离心率等于1时，抛物线是边缘的，离心率大于1或小于1时，抛物线是开口的。
椭圆是圆锥曲线中的一种，具有以下特点：1. 中心对称性：椭圆是中心对称的，其中心是两个焦点的中点。
2. 离心率：椭圆的离心率在0到1之间，离心率越接近0，椭圆越接近于圆形。
3. 长轴和短轴：椭圆具有两个轴，分别称为长轴和短轴。
长轴是两个焦点之间的线段，短轴是通过中心垂直于长轴的线段。
椭圆的方程可以用一般的形式表示为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。
三、双曲线的特点与方程双曲线是圆锥曲线中的一种，具有以下特点：1. 两个分支：双曲线由两个分支组成，分别向两个焦点无限延伸。
高考数学圆锥曲线和解题技巧
椭圆与双曲线的性质椭 圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b +=.7. 椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan2F PF S b γ∆=.8. 椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ).9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是椭圆22221x y a b+=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM AB b k k a ⋅=-，即0202y a x b K AB -=。
12. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+.13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角.2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）上，则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6. 若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ，则过Po 作双曲线的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b-=.7. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=，则双曲线的焦点角形的面积为122t2F PF S b co γ∆=.8. 双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c - , 2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时，10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时，10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9. 设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A 1、A 2为双曲线实轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF.11. AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则0202y a x b K K AB OM =⋅，即0202y a x b K AB =。
圆锥曲线讲义 圆锥曲线知识总结 抛物线,椭圆,双曲线对比图表
3.几何性质： 1）范围 2）对称性 3）顶点 4）渐近线 5）离心率 6）通径
x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) ，y∈R 关于 x 轴，y 轴，原点对称 (a,0),(-a,0)，实轴长为 2a,虚轴长为 2b y=(b/a)x，双曲线与渐近线无限接近，但永远不会相交 双曲线的焦距与实轴长的比 e=c/a 叫做双曲线的离心率,e>1 过焦点并垂直于坐标轴的弦称为通径。双曲线的通径长为（2b^2)/a
2.标准方程：
x a
2 2
)
(
y2 b2
)
1
，a>b>0
焦点是 F1 （-c,0)， F2 (c,0)，且 c2 a2 b2 。
3.几何性质：
1）范围
x∈[-a,a] ，y∈[-b,b]
2）对称性
关于 x 轴，y 轴，原点对称
3）顶点
(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)，长轴长为 2a,短轴长为 2b
1.定义：平面内与两个顶点 F1 ，F2 ,的距离的差的绝对值等于常数（小于| F1 F2 |且不等于零）
的点的轨迹叫做双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。
2.标准方程：
x a
2 2
)
(
y b
2 2
)
1
，a>0，b>0
焦点是 F1 （-c,0)， F2 (c,0)，且 c2 a2 b2 。
2.标准方程： y2 2 px ，(p>0)
F( p ,0) 焦点是 2
3.几何性质： 1）范围 2）对称性 3）顶点 4）离心率 5）通径
x∈[0,+∞) ,y∈R 关于 x 轴对称。抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。 (0,0) 抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的比 e=c/a 叫做抛物线的离心率,e=1 过焦点并垂直于轴的弦称为通径。抛物线的通径长为 2p
平面几何中的圆锥曲线与双曲线性质
平面几何中的圆锥曲线与双曲线性质在平面几何中，圆锥曲线与双曲线是两种重要的曲线类型，它们具有许多独特的性质和特点。
本文将详细介绍圆锥曲线和双曲线的性质，并对其在几何学中的应用进行探讨。
一、圆锥曲线的性质圆锥曲线是由一个动点P和一个定点F（焦点）以及一条定直线（准线）L构成的。
圆锥曲线分为三种类型：椭圆、抛物线和双曲线。
1. 椭圆椭圆是圆锥曲线的一种，其性质有：- 椭圆是一个闭合曲线，其形状类似于椭圆形。
- 椭圆的焦点到准线的距离之和是恒定的，这个值称为椭圆的长轴。
- 椭圆的焦点之间的距离是恒定的，这个值称为椭圆的短轴。
- 椭圆的离心率小于1，且离心率越小，椭圆形状越接近于一个圆。
2. 抛物线抛物线是圆锥曲线的一种，其性质有：- 抛物线是一个开口向上或向下的曲线。
- 抛物线的焦点在曲线的顶点上。
- 抛物线的准线与曲线对称，准线被曲线上的任意点对称分割。
- 抛物线的切线与准线垂直。
3. 双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，其性质有：- 双曲线是一个开口向外的曲线。
- 双曲线的焦点在曲线的中心上。
- 双曲线的准线与曲线对称，准线被曲线上的任意点对称分割。
- 双曲线的离心率大于1，且离心率越大，曲线的形状越细长。
二、双曲线的性质除了圆锥曲线中的双曲线外，双曲线还有其他形式的表示方式，如双曲函数、双曲正弦等。
双曲线在数学和物理学中具有广泛的应用。
1. 双曲函数双曲函数是一类与双曲线相关的特殊函数，其中包括双曲正弦、双曲余弦和双曲正切等函数。
这些函数在数学分析、微积分、概率论等领域中有着重要的应用。
2. 双曲线的应用双曲线在物理学和工程学中有广泛的应用，以下是其中一些典型应用：- 光学中的双曲线反射定律：当光线通过介质边界时，遵循双曲线反射定律。
- 电子学中的双曲线函数：双曲线函数在电子电路和信号处理中有广泛应用。
- 弹性力学中的双曲线方程：双曲线方程常用于描述材料的力学性质和应力分布。
三、结论圆锥曲线和双曲线是平面几何中重要的曲线类型，它们具有独特的性质和特点。
圆锥曲线 偏心率
圆锥曲线偏心率
圆锥曲线的偏心率（eccentricity）是一个描述曲线形状的重要参数。
不同的圆锥曲
线（椭圆、双曲线、抛物线）有不同的偏心率定义和性质。
1.椭圆：对于椭圆，偏心率e 定义为c/a，其中a 是椭圆的长半轴，c 是从
椭圆中心到焦点的距离。
偏心率 e 的取值范围是0 < e < 1。
e 越接近0，椭圆越接近圆形；e 越接近1，椭圆越扁平。
2.双曲线：对于双曲线，也有两种可能的焦点位置，这取决于曲线的开口方
向。
对于每种情况，偏心率 e 都定义为c/a，其中a 是从双曲线中心到顶点的距离，c 是从双曲线中心到焦点的距离。
对于双曲线的两支都开口的情况，偏心率 e > 1；对于双曲线的一支开口、另一支与x 轴相交的情况，
偏心率0 < e < 1。
3.抛物线：抛物线的偏心率始终为1，因为抛物线可以看作是一个椭圆或双
曲线在其中一个焦点移动到无穷远时的极限情况。
偏心率是圆锥曲线的一个重要属性，它有助于我们理解和分类不同的曲线形状。
在物理学和工程学中，偏心率也经常被用来描述轨道的形状，例如行星绕太阳的轨道或卫星绕地球的轨道。
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圆锥曲线椭圆双曲线的性质
1.直线x y 3-=与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 相交于B A ,两点,以线段AB 为直径的圆过椭圆的右焦点,
则椭圆离心率为
13-
解:如图,由题可得,圆的直径为AB ,也为21F F ,且︒=∠1202AOF ,连接
21,AF AF ,则︒=∠⊥60,2121F AF AF AF .由题知c F F 2||21=,则c AF c AF 3||,||21==.由椭圆的定义得a AF AF 2||||21=+,则
a c c 23=+,则a c 2)31(=+.解得离心率13-=e .
2.设21,F F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左右焦点,以||1OF 为半径的圆交双曲线左枝于B A ,两
点,2ABF ∆为等边三角形,双曲线的离心率为13+
解:如图,由题可得,圆的直径为21F F ,连接1AF ,则︒=∠⊥60,2121F AF AF AF .由题知c F F 2||21=,则c AF c AF 3||,||21==.由双曲线的定义得
a AF AF 2||||12=-,即a c c 23=-,则a c 2)13(=-.解得离心率13+=e .
3.设21,F F 是椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 左右焦点,过1F 作直线l 交椭圆于B A ,两点,若2ABF ∆是等腰直
角三角形,︒=∠902B AF ,椭圆离心率为
12-
解:如图,由题可设),(A y c A -,因为点A 在椭圆上,则
1)(22
22=+-b
y a c A
,解得a
b y A 2
=.由题知c F F 2||21=.
因为2ABF ∆是等腰直角三角形,则21F AF ∆也是等腰直角三角形,则||||211F F AF =,
即c a
b 22
=,则ac b 22=. 即ac c a 22
2
=-,即e e 212
=-,解得12-=
e .
4.过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的右焦点F 作直线l 交双曲线渐近线于B A ,两点,且直线l 的倾斜角
是倾斜角为锐角的渐近线倾斜角的2倍,若2=,则双曲线的离心率为
3
3
2 解:由题可得渐近线方程为x a b
y ±=,直线l 的斜率2
22
2212b
a a
b a
b a b
k -=-=,则直线l 的方程为)(222c x b a ab y --=
,联立方程,解得2
22232,2b
a abc
y b a abc y B A --=+=. 因为2=,则||2||B A y y =,则2222342b a abc
b a ab
c -=
+,则3
1=a b 所以33
2122=+=a
b e。