相似三角形基础知识总结

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三角形的相似性知识点

三角形的相似性知识点相似三角形是高中数学中的重要概念，理解和掌握三角形的相似性对于解决与三角形相关的问题非常重要。

本文将介绍三角形相似性的定义、判定方法以及相似三角形的性质。

在学习相似性知识点时，我们需要掌握比例、角度和边长的关系，并且能够应用相似三角形的性质解决实际问题。

一、三角形相似性的定义相似三角形是指具有相同形状但可能不等大的三角形。

正式定义为，如果两个三角形的对应角度相等，那么这两个三角形是相似的。

通常用符号~表示相似关系。

二、相似三角形的判定方法1. AA判定法：如果两个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形是相似的。

2. SSS判定法：如果两个三角形的三个边分别成比例，那么这两个三角形是相似的。

3. SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，另外两个边成比例，那么这两个三角形是相似的。

三、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形的对应角都相等。

2. 对应边成比例性质：相似三角形的对应边之间的比值相等。

3. 比例性质：相似三角形的相应边长比例等于相应角度的边长比例。

四、相似三角形的应用相似三角形的性质可以应用于实际问题的解决中，例如测量高楼的高度、影子长度的测量等。

以下是一个例子：假设有一根高塔，在地面上有一杆测量仪器，测量仪器与塔尖的距离为1.5米，同时测量仪器与杆子的投影长度为0.5米。

如果知道测量仪器与塔尖的连线与水平面的夹角为30度，求塔的高度。

解决这个问题可以利用相似三角形的性质。

我们可以将测量仪器与塔尖的连线、杆子和塔的高度组成一个相似三角形。

根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：(塔的高度) / (杆子的长度) = (测量仪器与塔尖的距离) / (测量仪器与杆子的投影长度)即 h / 0.5 = 1.5 / 0.5解以上比例可得 h = 1.5 米因此，塔的高度为1.5米。

结语：相似三角形的知识点是解决与三角形相关问题的基础，我们通过掌握相似三角形的定义、判定方法以及性质，能够更好地解决实际问题。

相似三角形的性质和判定知识点

相似三角形的性质和判定知识点相似三角形是初中数学中的重要概念，它在几何学中具有广泛的应用。

相似三角形的性质和判定是学习和解题的基础，本文将详细介绍相似三角形的性质和判定的知识点。

一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相同形状但不同大小的三角形。

两个三角形相似的条件是它们对应角相等，即对应边的比例相等。

二、相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质，如下：1. 对应角相等性质：如果两个三角形相似，它们的对应角相等。

2. 对应边成比例性质：如果两个三角形相似，它们的对应边成比例，即对于第一个三角形的一条边与第二个三角形的相应边的比等于第一个三角形的另一条边与第二个三角形的相应边的比。

3. 半角性质：如果两个三角形相似，它们的角的一半也相等。

4. 高线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的高线与底边之比等于相应边之比。

5. 中线成比例性质：如果两个三角形相似，它们的中线与底边之比等于相应边之比。

这些性质对于判断和解决相似三角形的问题非常有用。

三、相似三角形的判定判定两个三角形是否相似有几个常用的方法，如下：1. AAA相似判定：如果两个三角形的对应角相等，则它们相似。

2. AA相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角分别对应两个角相等，则它们相似。

3. SSS相似判定：如果两个三角形的对应边成比例，则它们相似。

4. SAS相似判定：如果两个三角形的一个角相等，并且两个角的相邻边的比相等，则它们相似。

这些判定方法能够帮助我们快速确定两个三角形是否相似，从而解决相关问题。

四、相似三角形的实际应用相似三角形的概念和性质在几何学中有广泛的应用。

下面介绍一些实际应用的例子：1. 相似三角形的测量：通过测量一个三角形的边长和角度，可以利用相似三角形的性质计算出其他三角形的边长和角度。

2. 地图比例尺：地图上的比例尺是通过相似三角形的性质确定的。

通过观察地图上的两个相似三角形，可以计算出地图上的实际距离。

3. 光学测距：在实际测量中，通过利用相似三角形的性质可以测量较远距离的物体高度、距离等。

初中相似三角形知识点归纳

初中相似三角形知识点归纳分享借鉴.初中相似三角形知识点11.相似三角形定义:对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.2.相似三角形的表示方法:用符号∽ 表示,读作相似于 .3.相似三角形的相似比:相似三角形的对应边的比叫做相似比.4.相似三角形的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所截成的三角形与原三角形相似.从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的对应边相等的条件改为对应边成比例就可得到相似三角形的判定定理,这就是我们数学中的用类比的方法,在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法.6.直角三角形相似:(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的`斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.7.相似三角形的性质定理:(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.8. 相似三角形的传递性如果△ABC∽△A1B1C1,△A1B1C1∽△A2B2C2,那么△ABC∽A2B2C2初中相似三角形知识点21.相似三角形的定义对应角相等.对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.如果三边分别对应A,B,C和a,b,c:那么:A/a=B/b=C/c即三边边长对应比例相同.2.相似三角形判定对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似(AA)判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似(SAS)判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似(SSS)判定定理4:两三角形三边对应平行,则两三角形相似.判定定理5:两个直角三角形中,斜边与直角边对应成比例,那么两三角形相似.其他判定:由角度比转化为线段比:h1/h2=Sabc3.相似三角形性质(1)相似三角形的对应角相等.(2)相似三角形的对应边成比例.(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.(4)相似三角形的周长比等于相似比.(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.初中相似三角形知识点3一.平行线分线段成比例定理及其推论:1.定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.2.推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.3.推论的逆定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条线段平行于三角形的第三边.二.相似预备定理:平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.三.相似三角形:1.定义:对应角相等,对应边成比例的三角形叫做相似三角形.2.性质:(1)相似三角形的对应角相等;(2)相似三角形的对应线段(边.高.中线.角平分线)成比例;(3)相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.说明:①等高三角形的面积比等于底之比,等底三角形的面积比等于高之比;②要注意两个图形元素的对应.3. 判定定理:(1)两角对应相等,两三角形相似;(2)两边对应成比例,且夹角相等,两三角形相似;(3)三边对应成比例,两三角形相似;(4)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例,那么这两个直角三角形相似.四.三角形相似的证题思路:五.利用相似三角形证明线段成比例的一般步骤:一定:先确定四条线段在哪两个可能相似的三角形中;二找:再找出两个三角形相似所需的条件;三证:根据分析,写出证明过程.如果这两个三角形不相似,只能采用其他方法,如找中间比或引平行线等. 六.相似与全等:全等三角形是相似比为1的相似三角形,即全等三角形是相似三角形的特例,它们之间的区别与联系:1.共同点它们的对应角相等,不同点是边长的大小,全等三角形的对应边相等,而相似三角形的对应的边成比例.2.判定方法不同,相似三角形只求形状相同的,大小不一定相等,所以改对应边相等成对应边成比例.初中相似三角形知识点。

初中数学知识归纳相似三角形的性质与比例

初中数学知识归纳相似三角形的性质与比例相似三角形是初中数学中重要的概念之一。

在研究相似三角形时，我们需要了解相似三角形的性质以及相关的比例关系。

本文将归纳相似三角形的性质与比例，并通过实例进行说明。

一、相似三角形的性质（1）对应角相等性质：如果两个三角形的对应角相等，那么它们是相似的。

换句话说，如果三角形 ABC 与三角形 DEF 的对应角相等（∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F），则三角形 ABC 相似于三角形DEF。

（2）对应边成比例性质：如果两个三角形的对应边成比例，那么它们是相似的。

设三角形 ABC 与三角形 DEF 的对应边满足 AB/DE = BC/EF = AC/DF，则三角形 ABC 相似于三角形 DEF。

（3）三角形的形状相似性质：如果两个三角形的所有角相等或者所有边成比例，那么它们是相似的。

也就是说，如果三角形 ABC 的所有角与三角形 DEF 的所有角相等，或者三角形 ABC 的所有边与三角形 DEF 的所有边成比例，则三角形 ABC 相似于三角形 DEF。

二、相似三角形的比例关系当两个三角形相似时，我们可以得到一些有用的比例关系。

（1）边长比例关系：设三角形 ABC 相似于三角形 DEF，即三角形ABC ~ 三角形 DEF。

则有 AB/DE = BC/EF = AC/DF。

这意味着三角形中对应边的比例是相等的。

（2）角度比例关系：设三角形 ABC 相似于三角形 DEF，即三角形ABC ~ 三角形 DEF。

则有∠A/∠D = ∠B/∠E = ∠C/∠F。

这意味着三角形中对应角的比例是相等的。

（3）面积比例关系：设三角形 ABC 相似于三角形 DEF，即三角形ABC ~ 三角形 DEF。

则有△ABC 的面积 / △DEF 的面积 = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2。

这意味着两个三角形的面积比例是边长比例的平方。

三、示例分析为了更好地理解相似三角形的性质与比例关系，我们举例进行分析。

初中相似三角形知识点

初中相似三角形知识点一、相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边长成比例的三角形。

也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，那么角A等于角D，角B等于角E，角C等于角F，并且边AB与边DE、边BC与边EF、边CA与边DF之间的长度成同一比例。

二、相似三角形的标记在标记相似三角形时，我们通常使用一个字母来表示一个三角形，例如三角形ABC。

如果两个三角形相似，我们可以用一个比例系数（通常用字母k表示）来标记它们的对应边。

例如，如果AB/DE = BC/EF = AC/DF = k，那么我们说三角形ABC与三角形DEF相似，并且边长比例为k。

三、相似三角形的性质1. 角的对应性：相似三角形的对应角相等。

2. 边的成比例性：相似三角形的对应边成比例。

3. 面积的比例：相似三角形的面积比等于边长比的平方。

即，如果三角形ABC与三角形DEF相似，且边长比为k，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积之比为k^2。

4. 周长的比例：相似三角形的周长比也等于它们边长的比例。

四、相似三角形的判定1. 三角形相似判定定理：如果两个三角形的两组对应角分别相等，那么这两个三角形相似。

2. 边角边（SAS）判定定理：如果两个三角形有两边及其夹角分别相等，那么这两个三角形相似。

3. 边边边（SSS）判定定理：如果两个三角形的所有对应边分别成比例，那么这两个三角形相似。

五、相似三角形的应用相似三角形的概念在解决实际问题中非常有用，例如在测量、建筑、设计和其他领域。

通过使用相似三角形的性质，我们可以解决涉及长度、面积和角度的问题，尤其是在没有直接测量工具的情况下。

六、练习题1. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB = 6cm, BC = 8cm, AC = 10cm，DE = 3cm，求EF的长度。

2. 如果三角形PQR的面积是24平方厘米，并且与三角形ABC相似，且三角形ABC的面积是144平方厘米，求三角形PQR的边长。

初中数学知识归纳相似三角形的性质

初中数学知识归纳相似三角形的性质相似三角形是初中数学中重要的概念之一，它在几何学和应用数学中都具有广泛的应用。

相似三角形是指具有相同形状但大小不同的两个三角形。

在本文中，我们将归纳相似三角形的性质，全面了解相似三角形的特点和应用。

一、相似三角形的定义相似三角形的定义是指两个三角形的对应角相等，对应边成比例。

具体表达为：若ΔABC∽ΔA'B'C'，则有∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，且AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。

二、相似三角形的性质1. 对应角相等性质：相似三角形的对应角相等，即∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。

2. 对应边成比例性质：相似三角形的对应边成比例，即AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'。

3. 相似三角形的边比例性质：在相似三角形中，各边之间的比值相等。

例如，若ΔABC∽ΔA'B'C'，则有AB/BC = A'B'/B'C' = AC/BC =A'C'/B'C'。

三、相似三角形的判定1. AA判定法：若两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。

即若∠A=∠A'，∠B=∠B'，则ΔABC∽ΔA'B'C'。

2. SAS判定法：若两个三角形的一个角相等，且两个角的对边成比例，则这两个三角形相似。

即若∠A=∠A'，AB/A'B' = AC/A'C'，则ΔABC∽ΔA'B'C'。

3. SSS判定法：若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似。

即若AB/A'B' = BC/B'C' = AC/A'C'，则ΔABC∽ΔA'B'C'。

相似三角形知识点归纳

相似三角形知识点归纳1.相似三角形的定义：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形是相似的。

记作△ABC∽△DEF。

2.相似三角形的判定条件：(1)AA相似判定法：如果两个三角形的两个角相等，则这两个三角形是相似的。

(2)SAS相似判定法：如果两个三角形的对应两边成比例并且夹角相等，则这两个三角形是相似的。

(3)SSS相似判定法：如果两个三角形的对应三条边成比例，则这两个三角形是相似的。

3.相似三角形的性质：(1)对应边成比例：在相似三角形中，对应边的长度之比相等。

即AB/DE=BC/EF=AC/DF。

(2)对应角相等：在相似三角形中，对应角的度数相等。

即∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

(3) 对应角的正弦值成比例：在相似三角形中，如果一个角和其对边的正弦值成比例，则另一个角和其对边的正弦值也成比例。

即sin∠A/sin∠D = sin∠B/sin∠E = sin∠C/sin∠F。

(4)图形相似：除了三角形外，相似三角形所在的图形也是相似的。

4.角平分线的性质：(1)在相似三角形中，角平分线之间的关系相等。

即角平分线所分的两个角对应的另外两个角也是相等的。

(2)在相似三角形中，角平分线和对应边长成比例。

即角平分线与对应边所分出的线段之比相等。

5.高度的性质：(1)在相似三角形中，高度之间的关系成比例。

即两个相似三角形的高度之比等于对应边长之比。

(2)在相似三角形中，高度与底边成比例。

即两个相似三角形的高度和底边之比等于对应边长之比。

6.面积的性质：(1)在相似三角形中，面积之间的关系成比例。

即两个相似三角形的面积之比等于对应边长之比的平方。

(2)在相似三角形中，面积与任意一边平方成比例。

即两个相似三角形的面积和任意一边的平方之比等于对应边长之比。

7.相似三角形的应用：(1)根据相似三角形的性质，可以通过测量一个三角形和两条边的比例，计算出另一个三角形的边长和面积。

(2)在地图上，可以利用相似三角形的性质，测量无法直接测量的远距离。

相似三角形基础知识

内容提要一、本章的两套定理第一套（比例的有关性质）：涉及概念：①第四比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。

第二套：注意：①定理中“对应”二字的含义;②平行→相似（比例线段）→平行。

二、相似三角形性质:1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。

三、相关作图:①作第四比例项;②作比例中项。

四、证（解）题规律、辅助线 1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。

2．找相似找不到，找中间比。

方法：将等式左右两边的比表示出来。

⑴)(,为中间比n m n m d c n m b a ==⑵'',,n n nmd c n m b a === ⑶),(,''''''nm n m n n m m n m d c n m b a =====或 3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。

4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。

5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。

反比性质：cda b = 更比性质：dbc a a c bd ==或合比性质：ddc b b a ±=± ⇒=⇔=bc ad d c b a （比例基本定理） ba n db mc a nd b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质相似基本定理推论 (骨干定理) 平行线分线段成比例定理 (基本定理) 应用于△中相似三角形定理1定理2 定理3 Rt △推论推论的逆定理推论ADB C【课前热身】1.6:x =(5+x ):2 中的x = ；2:3=(5x -):x 中的x = ；2.若a :3 =b :4 =c :5 , 且6=-+c b a , ___________,____,===c b a ；3.已知x :y :z = 3:4:5 , 且12=++z y x , 那么_______,___,===z y x ；4.已知x :4 =y :5 = z :6 , 则 ①x :y :z = , ② )(y x +:____)(=+z y ；5.若9810zy x ==,则______=+++z y z y x ；若322=-y y x , 则_____=y x ； 6.若43===f e d c b a , 则______=++++fd b ec a ； 7．两个相似三角形对应边上中线的比等于3：2，则对应边上的高的比为______，周长之比为________，面积之比为_________．8．若两个相似三角形的周长的比为4：5，且周长之和为45，则这两个三角形的周长分别为__________．【考点链接】一、相似三角形的定义三边对应成_________，三个角对应________的两个三角形叫做相似三角形．二、相似三角形的判定方法1. 两个角对应相等的两个三角形__________．2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似．3. 三边对应成比例的两个三角形___________．三、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应边_________，对应角________．2. 相似三角形的对应边的比叫做________，一般用k 表示．3. 相似三角形的对应角平分线，对应边的________线，对应边上的_______•线的比等于_______比，周长之比也等于________比，面积比等于_________．四、相似三角形基本图形训练 1、类：（1）型（2）型 ∽ABC ∆ ∽ABC ∆ =__________=BC DE AB AD ==__________2、型3、型∽ABC ∆ ∽ABC ∆ =__________=BC DE =__________=BC CDE AD C BEA D CBA D CBBC DEA4、型ABC ∆∽ ∽ABAC =_____⇒_______2=AC 同理有：____________2= ____________2=5、型 ABC ∆∽)(AC =_____=_____⇒ __________⋅=⋅AC【典例精析】例1：下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似．（2）所有的等腰三角形都相似．（3）所有的等腰直角三角形都相似．（4）所有的等边三角形都相似．例2：已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3：如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例4：已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例5：如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例6：如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．AB C D E AB C DO 图1 B A C D E 第9题BCD E A 例7：在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例8．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？【中考演练】1.（08大连）如图，若△ABC ∽△DEF ，则∠D 的度数为______________．2.(08杭州) 在Rt ABC ∆中, C ∠为直角, AB CD ⊥于点D ,5,3==AB BC , 写出其中的一对相似三角形是 _ 和 _ ；并写出它的面积比_____.3.(08常州) 如图，在△ABC 中,若DE∥BC,AD DB ＝12,DE ＝4cm,则BC 的长为 ( ) A.8cm B.12cm C.11cm D.10cm4.两个相似三角形对应高的比为 1∶3，则它们的相似比为；对应中线的比为；对应角平分线的比为；周长比为；面积比为；5.（2008湖北襄樊）如图1,已知AD 与VC 相交于点O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,则∠AOC 的大小为（）A.60°B.70°C.80°D.120°6.（2008湘潭市）如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADE DBCE S S :=:8,四边形那么:AE AC 等于（） A ．1 : 9 B ．1 : 3 C ．1 : 8 D ．1 : 27.（2008贵州贵阳)1:2，那么它们的面积比是（） A.1:2 B ．1:4 C ．2 D ．2:1A B C DEA BCDE PEH FGBA（（第10题图）8.（2008浙江金华）如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图,点P 处放一水平的平面镜,光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（） A 、6米 B 、8米 C 、18米 D 、24米9.（2008湖南株洲）如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，若6BC =，则DE 等于（）A ．5B ．4C ．3D ．210.（2008山东烟台）如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（）A 、b a c =+B 、b ac =C 、222b ac =+ D 、22b a c ==11.（2008山东潍坊）如图,Rt △ABAC 中,AB ⊥AC,AB=3,AC=4,P 是BC 边上一点,作PE ⊥AB 于E,PD ⊥AC 于D,设BP=x,则PD+PE=（） A.35x + B.45x -C.72D.21212525x x -12.（2008广东茂名）如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的（）Ａ．91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．9413、(2008江苏常州)如图,在△ABC 中,若DE ∥BC,AD DB =12,DE=4cm,则BC 的长为（）A.8cmB.12cmC.11cmD.10cm14、（2008江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）15、（2008湖北黄石）如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中ABC △相似的是（）16、（2008江苏盐城）如图，D E ，两点分别在ABC △的边AB AC ，上，DE 与BC 不平行，当满足条件（写出一个即可）时，ADE ACB △∽△． 17、（2008上海）如图5，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，A ．B ．C ．D ．ABC（第7题） A ． B ． C ． D ．EC DA FB A EC B D如果23BE BC =，那么BFFD= ． 18、（2008泰州）在比例尺为1︰2000的地图上测得AB 两地间的图上距离为5cm ，则AB 两地间的实际距离为 m ． 19、（2008南宁）如图4，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1，BD=4，那么AB=20、(2008广东梅州) 如图3，要测量A 、B 两点间距离，在O 点打桩，取OA 的中点 C ，OB的中点D ，测得CD =30米，则AB =___ _米．21、（2008新疆）如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为．（精确到0.01）22、如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，•要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，•这个正方形零件的边长是多少？ 23、（2008广东）如图5，在△ABC 中，BC>AC ，点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连结EF. （1）求证：EF ∥BC.（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.24、(2008 湖南怀化)如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ．求证：（1）CG AE =；（2）.MN CN DN AN •=•4.（08无锡）如图，已知E 是矩形ABCD 的边CD 上一点，BF AE ⊥于F ，试证明ABF EAD △∽△．三、习题：1．如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B ，则下列等式成立的是（）A ．AD AEAB AC=B ．AE AD BC BD = C ．DE AE BC AB = D ．DE AD BC AC = 2．在△ABC 与△A′B ′C ′中，有下列条件：（1）''''AB BC A B B C =（2）''''BC ACB C A C =（3）∠A=∠A′（4）∠C=∠C′．如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断△ABC ∽△A′B ′C ′共有（）组 A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.（2009莆田）如图，A B 、两处被池塘隔开，为了测量A B 、两处的距离，在AB 外选一适当的点C ，连接AC BC 、，并分别取线段AC BC 、的中点E F 、，测得EF =20m ，则AB =__________m ．4．已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，则ABCD 的面积为 5．（2009牡丹江）如图，Rt ABC △中，90ACB ∠=°，直线EF BD ∥，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交AD 于点F ，若13AEG EBCG S S =△四边形，则CFAD= ．6．（2009日照）将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是． 7．（2009长春）如图，矩形ABCD 中，点E F 、分别在边AD DC 、上，ABE DEF △∽△，692AB AE DE ===，，，求EF 的长．9.（2009安徽）如图，M 为线段AB 的中点，AE 与BD 交于点C ，∠DME ＝∠A ＝∠B ＝α，且DM 交AC 于F ，ME 交BC 于G ．（1）写出图中三对相似三角形，并证明其中的一对；（2）连结FG ，如果α＝45°，AB ＝42AF ＝3，求FG 的长．。

相似三角形知识点梳理

相似三角形知识点梳理相似三角形是指两个或者更多个三角形的对应边成比例，并且对应角相等。

在数学中，相似三角形是一个重要的概念，它不仅在几何学中有广泛应用，而且在物理学、工程学等领域也有重要作用。

下面是关于相似三角形的知识点的详细梳理。

1.相似三角形的定义：两个三角形相似，意味着它们的对应角相等，并且对应边成比例。

也就是说，如果两个三角形的对应角相等，并且它们的对应边成比例，那么这两个三角形是相似的。

2.相似三角形的性质：a.对应角相等：相似三角形的对应角相等，即对应角角度相等。

b.对应边成比例：相似三角形的对应边成比例，即对应边的长度之比相等。

例如，如果两个相似三角形的边长比为a/b，那么它们的各边的比例为a/b。

3.相似三角形的判定方法：a.AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，则它们是相似三角形。

b.SAS判定法：如果两个三角形的两边成比例，并且它们夹角相等，则它们是相似三角形。

c.SSS判定法：如果两个三角形的三边成比例，则它们是相似三角形。

4.相似三角形的性质：a.相似三角形的高和底边之比等于高和底边对应的边之比。

b.相似三角形的面积之比等于边长之比的平方。

c.相似三角形的内角之比等于边长之比的平方。

5.相似三角形的应用：a.实际问题中的尺寸比较：相似三角形的边长比例可以用来比较不同尺寸的物体之间的大小关系。

例如，可以用相似三角形的原理来比较建筑物的高度，或者计算地球与月球之间的距离。

b.利用相似三角形进行测量：可以利用相似三角形的原理来测量高度、距离等不可测量的物理量。

例如，在无法直接测量一棵树的高度时，可以使用相似三角形的原理来间接测量树的高度。

c.相似三角形的证明：在证明几何定理和性质时，常常会用到相似三角形的概念。

通过证明相似三角形，可以推导出其他几何定理和性质。

相似三角形是几何学中重要的概念，它是许多几何问题的基础。

通过研究相似三角形，我们可以更好地理解几何学中的其他概念和定理，并将它们应用到实际问题中。

数学三角形相似基础知识

数学三角形相似基础知识一、平行线分线段成比例定理及其推论：1、定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

2、推断：平行于三角形一边的直线封盖其他两边（或两边的延长线）税金的对应线段成比例。

3、推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条线段平行于三角形的第三边。

二、相近trained定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

三、相近三角形：1、定义：对应角相等，对应边成比例的`三角形叫做相似三角形。

2、性质：（1）相似三角形的对应角相等；（2）相近三角形的对应线段（边、低、中线、角平分线）成比例；（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。

表明：①等高三角形的面积比等于底之比，等底三角形的面积比等于高之比；②必须特别注意两个图形元素的对应。

3、判定定理：（1）两角对应成正比，两三角形相近；（2）两边对应成比例，且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相近；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

数学自学技巧1、求教与自学相结合在自学过程中，即为必须谋求教师的指导和协助，但是又无法过分倚赖教师，必须自己主动地回去自学、回去积极探索、回去以获取，必须在自己认真学习和研究的基础上回去谋求教师和同学的协助。

2、学习与思考相结合在自学过程中，对课本的内容必须深入细致研究，明确提出疑点，追本究源。

对每一个概念、公式、定理都必须弄清楚其来龙去脉、前因后果、内在联系，以及蕴藏于推论过程中的数学思想和方法。

在解决问题时，必须尽量使用相同的途径和方法，必须消除那种固守书本、机械呆板、无人知晓变通的自学方法。

3、学用结合，勤于实践在自学过程中，必须精确地掌控抽象概念的本质含义，介绍从实际模型中抽象化为理论的演进过程。

相似三角形-知识点总结

相似三角形-知识点总结第一节相似形与相似三角形基本概念：1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，我们称它们互为相似形。

2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。

1．几个重要概念与性质（平行线分线段成比例定理）（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.已知a∥b∥c,ADaBEbCFc可得等.（2）推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.ADEBC由DE∥BC可得：.此推论较原定理应用更加广泛,条件是平行.（3）推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.（4）定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.（5）①平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

②比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段。

2．比例的有关性质①比例的基本性质：如果，那么ad=bc。

如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么。

②合比性质：如果，那么。

③等比性质：如果==(b+d++n≠0)，那么④b是线段a、d的比例中项，则b2＝ad.典例剖析例1：①在比例尺是1：38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm，则它的实际长度约为______Km.②若=则=__________.③若=则a：b=__________.3．相似三角形的判定（1）如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。

（2）两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。

（3）三边对应成比例的两个三角形相似。

补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。

初中数学知识点三角形：相似三角形定理

初中数学知识点三角形：相似三角形定理
1.相似三角形定义：
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。

2.相似三角形的表示方法：用符号〝∽〞表示，读作〝相似于〞。

3.相似三角形的相似比：
相似三角形的对应边的比叫做相似比。

4.相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相交，所截成的三角形与原三角形相似。

5.相似三角形的判定性质
〔1〕三角形相似的判定方法与全等的判定方法的联系列表如下：从表中可以看出只要将全等三角形判定定理中的〝对应边相等〞的条件改为〝对应边成比例〞就可得到相似三角形的判定定理，这就是我们数学中的用类比的方法，在旧知识的基础上找出新知识并从中探究新知识掌握的方法。

6.直角三角形相似：
〔1〕直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。

〔2〕如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

7.相似三角形的性质定理：
〔1〕相似三角形的对应角相等。

〔2〕相似三角形的对应边成比例。

〔3〕相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

〔4〕相似三角形的周长比等于相似比。

〔5〕相似三角形的面积比等于相似比的平方。

8.相似三角形的传递性
如果△ABC∽△A1B1C1，△A1B1C1∽△A2B2C2，那么△ABC∽A2B2C2。

《相似三角形的判定》知识清单

《相似三角形的判定》知识清单相似三角形是初中数学中的重要内容，它在解决几何问题和实际应用中都有着广泛的用途。

下面为大家梳理相似三角形的判定相关知识。

一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比。

二、相似三角形的判定方法1、两角分别相等的两个三角形相似这是判定相似三角形最常用的方法之一。

如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

例如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果∠A ＝∠A'，∠B＝∠B'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似当两个三角形两组对应边的比相等，并且它们所夹的角相等时，这两个三角形相似。

比如，在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，如果\（＼frac{AB}｛A'B'｝＝＼frac{AC}｛A'C'｝＼），且∠A ＝∠A'，那么三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

3、三边成比例的两个三角形相似如果两个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

假设在三角形 ABC 和三角形 A'B'C'中，＼（＼frac{AB}｛A'B'｝＝＼frac{BC}｛B'C'｝＝＼frac{AC}｛A'C'｝＼），则三角形 ABC 相似于三角形 A'B'C'。

三、相似三角形判定的应用1、证明两个三角形相似在几何证明题中，常常需要通过上述判定方法来证明两个三角形相似，从而得出相关的角相等或边成比例的结论。

2、求解未知边的长度当已知两个相似三角形的相似比和其中一些边的长度时，可以通过相似三角形对应边成比例的性质来求解未知边的长度。

相似三角形判定基础知识

一、定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。

二、性质定理(1)相似三角形的对应角相等;(2)相似三角形的对应边成比例;(3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比;(4)相似三角形的周长比等于相似比;(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方.(6)不必是在同一平面内的三角形里。

(7)若a/b =b/c，即b²=ac，b叫做a,c的比例中项(8)相似比等于面积比的算术平方根。

三、判定方法1、预备定理平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。

(这是相似三角形判定定理，是以下判定方法证明的基础。

这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明)2、判定定理常用的判定定理有以下6条:判定定理1如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为:两角对应相等，两个三角形相似。

)(AA)判定定理2如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似。

(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

)(SAS)判定定理3如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。

(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似。

)(SSS)判定定理4两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

(简叙为:三边对应平行，两个三角形相似。

)判定定理5如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。

(简叙为:斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

)(HL)判定定理6如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似(相似比为1:1)(简叙为:全等三角形相似)。

相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。

四、一定相似符合下面的情况中的任何一种的两个(或多个)三角形一定相似:1.两个全等的三角形全等三角形是特殊的相似三角形，相似比为1:1。

相似三角形中考复习(知识点+题型分类练习)

相似三角形一、知识概述1.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其它直线上截得的线段也相等。

2.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

３.相似三角形的定义对应边成比例、对应角相等的两个三角形叫做相似三角形.４．相似三角形的基本性质①相似三角形的对应边成比例、对应角相等.②相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。

③相似三角形的周长比等于相似比④面积比等于相似比的平方温馨提示：①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1．所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．②相似比具有顺序性．例如△ABC∽△A′B′Ｃ′的对应边的比,即相似比为k，则△Ａ′B′Ｃ′∽△ＡBＣ的相似比，当且仅当它们全等时,才有k＝ｋ′＝1.③相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出．5. 相似三角形的判定定理①平行于三角形一边的直线和其他两边或其延长线相交，所得的三角形与原三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似;③两角对应相等的两个三角形相似;④两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。

温馨提示：（１)判定三角形相似的几条思路：①条件中若有平行,可采用判定定理1；②条件中若有一对角相等(包括隐含的公共角或对顶角),可再找一对角相等或找夹边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例,可找夹角相等;但是，在选择利用判定定理２时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.④条件中若有等腰关系，可找顶角相等或底角相等,也可找腰和底对应成比例。

（2）在综合题中,注意相似知识的灵活运用，并熟练掌握线段代换、等比代换、等量代换技巧的应用,培养综合运用知识的能力。

(3）运用相似的知识解决一些实际问题，要能够在理解题意的基础上，把它转化为纯数学知识的问题，要注意培养当数学建模的思想。

相似三角形知识点总结

相似三角形知识点总结相似三角形是初中数学中的重要内容之一，学好相似三角形的知识对于解决各种几何问题非常有帮助。

相似三角形包含了多个知识点，接下来将对这些知识点进行总结。

1. 相似三角形的定义和判定相似三角形的定义是：如果两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例，那么这两个三角形就是相似的。

用符号表示为∆ABC∼∆DEF。

判定两个三角形相似的方法有几种：（1）AAA相似判定法：如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形相似。

（2）SAS相似判定法：如果两个三角形的一个角相等，而这个角的两边分别与另一个角的两边成比例，则这两个三角形相似。

（3）SSS相似判定法：如果两个三角形的对应边分别成比例，则这两个三角形相似。

2. 相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等。

相似三角形的对应角相等是相似的基本性质，也是判定相似三角形的一个重要标志。

如果两个三角形的对应角分别相等，那么这两个三角形就是相似的。

（2）相似三角形的对应边成比例。

相似三角形的对应边成比例是相似三角形的另一个重要性质。

即使两个三角形的对应边依次成比例，那么这两个三角形就是相似的。

（3）相似三角形的边比例与面积比例的关系。

如果两个三角形相似，那么它们的边比例的平方等于它们的面积比例。

即若∆ABC∼∆DEF，则AB/DE = BC/EF = AC/DF，并且[(AB/DE)^2] = [(BC/EF)^2] = [(AC/DF)^2] = ∆ABC的面积/∆DEF的面积。

3. 相似三角形中的一些重要定理（1）相似三角形的高定理如果两个三角形相似，那么它们的高也成比例。

具体地说，若∆ABC∼∆DEF，则(AD/DF) = (BE/EF) = (CF/DF)，其中AD、BE和CF分别是∆ABC和∆DEF的高。

（2）相似三角形的角平分线定理如果两个三角形相似，那么它们的内角的角平分线也成比例。

具体地说，若∆ABC∼∆DEF，则∠BAC的平分线与∠EDF的平分线相交于点K，而∠ABC的平分线与∠DEF的平分线相交于点L，则AK/KE = BL/LF。

三角相似判断知识整理

三角相似判断知识整理
嘿，朋友们！咱们今天来聊聊三角相似这个有趣的知识。

你想想，三角形就像咱们生活中的小伙伴，有的长得差不多，这就是相似啦。

那怎么判断它们相似呢？
先来说说“两角对应相等”这个法子。

这就好比两个人，眼睛和嘴巴长得都很像，那整体模样不就差不多了嘛。

要是两个三角形有两个角分别相等，那它们大概率就是相似的。

比如说一个三角形的两个角是30 度和 60 度，另一个三角形也有 30 度和 60 度的角，这不就对上了？
再看看“两边对应成比例且夹角相等”。

这就像两个队伍，人数比例一样，站在中间指挥的人的角度也一样，那这两个队伍的排列不就很像嘛。

比如说一个三角形的两条边分别是 3 和 4，夹角是 60 度，另一个三角形对应的两条边是 6 和 8，夹角也是 60 度，这能不相似？
还有“三边对应成比例”。

这就好比三根不同长度的绳子，它们的长度比例都一样，那摆出来的形状能差到哪儿去？比如一个三角形的三边分别是 3、4、5，另一个三角形三边是 6、8、10，比例都 3:4:5，它们肯定相似呀！
在实际做题的时候，可别马虎。

要仔细观察三角形的角和边，就像侦探找线索一样，一个都不能放过。

有时候一个小角度的差别，或者一条边比例的不同，都能让相似的结论不成立。

你说，这三角相似的判断是不是挺有趣？就像我们在生活中分辨相
似的东西一样，得有一双火眼金睛。

多做几道题，多琢磨琢磨，这三
角相似的判断就能轻松拿下啦！
所以呀，只要咱们用心，三角相似的判断知识就能被咱们牢牢掌握，为解决更多的数学问题打下坚实的基础！。