高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数单元质量测试理
高考数学一轮复习 第一部分 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 考点测试36 合
考点测试36 合情推理与演绎推理高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度考纲研读1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会合情推理在数学发现中的作用2．了解演绎推理的含义，掌握演绎推理的“三段论”，并能运用“三段论”进行一些简单推理3．了解合情推理和演绎推理的联系和差异一、基础小题1．对于大于或等于2的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…根据以上规律，若m，p均为正整数且m2＝1＋3＋5＋…＋11，p3的分解式中的最小正整数为21，则m＋p＝( )A．9 B．10C．11 D．12答案 C解析∵m2＝1＋3＋5＋…＋11＝1＋112×6＝36，∴m＝6.∵23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，∴53＝21＋23＋25＋27＋29.∵p3的分解式中最小的正整数是21，∴p3＝53，p＝5，∴m＋p＝6＋5＝11，故选C.2．将棱长相等的正方体按如图所示的形状摆放，从上往下依次为第1层，第2层，第3层，…，则第2019层正方体的个数为( )A．2018 B．4028C．2037171 D．2039190答案 D解析 设第n 层正方体的个数为a n ，则a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)，所以a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12(n ≥2)，故a 2019＝1010×2019＝2039190，故选D.3．某演绎推理的“三段论”分解如下：①函数f (x )＝13x 是减函数；②指数函数y ＝a x (0<a <1)是减函数；③函数f (x )＝13x 是指数函数．则按照演绎推理的“三段论”模式，排序正确的是( )A ．①→②→③B ．③→②→①C ．②→①→③D ．②→③→①答案 D解析 易知大前提是②，小前提是③，结论是①.故排列的次序应为②→③→①.故选D. 4．甲、乙、丙、丁四名同学参加某次过关考试，甲、乙、丙三个人分别去老师处询问成绩，老师给每个人只提供了其他三人的成绩．然后，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；丙说：甲、乙、丁恰好有一人过关．假设他们说的都是真的，则下列结论一定正确的是( )A ．甲没过关B ．乙过关C ．丙过关D ．丁过关 答案 C解析 基于他们说的都是真的情况下，因为，甲说：我们四人中至少两人不过关；乙说：我们四人中至多两人不过关；所以，可以推出，他们四人中一定只有两人过关，再由丙说：甲、乙、丁恰好有一人过关．所以得到，丙一定过关，故选C.5．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下．依次类推，已知六十四卦中的“屯”卦的符号为“”，则其表示的十进制数是( )卦名 符号表示的二进制数表示的十进制数坤 000 0 艮 001 1 坎 010 2 巽011 3C ．36D ．35答案 B解析 由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×20＋1×21＋0×22＋0×23＋0×24＋1×25＝34.故选B.6．已知P 是圆x 2＋y 2＝R 2上的一个动点，过点P 作曲线C 的两条互相垂直的切线，切点分别为M ，N ，MN 的中点为E .若曲线C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且R 2＝a 2＋b 2，则点E 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b 2＝x 2＋y 2a 2＋b2.若曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，且R 2＝a 2－b 2，则点E 的轨迹方程是( ) A.x 2a 2－y 2b 2＝x 2＋y 2a 2＋b 2 B ．x 2a 2－y 2b 2＝x 2＋y 2a 2－b 2 C.x 2a 2＋y 2b 2＝x 2＋y 2a 2＋b2 D ．x 2a 2＋y 2b 2＝x 2＋y 2a 2－b2 答案 B解析 由于椭圆与双曲线定义中的运算互为逆运算，所以猜想与双曲线对应的点E 的轨迹方程为x 2a 2－y 2b 2＝x 2＋y 2a 2－b 2.7．若数列{a n }是等差数列，则数列{b n }⎝⎛⎭⎪⎫其中b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{}是等比数列，且{d n }也是等比数列，则d n 的表达式应为( )A ．d n ＝c 1＋c 2＋…＋nB ．d n ＝c 1·c 2·…·nC ．d n ＝n c n 1＋c n 2＋…＋c n nnD ．d n ＝nc 1·c 2·…·答案 D解析 若{a n }是等差数列，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －12d ，所以b n ＝a 1＋n －12d ＝d2n ＋a 1－d 2，即{b n }为等差数列；若{}是等比数列，则c 1·c 2·…·＝c n 1·q1＋2＋…＋(n －1)＝c n 1·qn n －12，所以d n ＝n c 1·c 2·…·＝c 1·q n －12，即{d n }为等比数列．故选D. 8．在△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝b ，BC ＝a ，则△ABC 的外接圆的半径r ＝a 2＋b 22，把上面的结论推广到空间，则类似的结论为__________________．答案 取空间中有三条侧棱两两垂直的三棱锥A －BCD ，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，三棱锥的外接球的半径r ＝a 2＋b 2＋c 22解析 取空间中有三条侧棱两两垂直的四面体A －BCD ，且AB ＝a ，AC ＝b ，AD ＝c ，可以将四面体补成一个长方体，则体对角线即为外接球的直径，即2r ＝a 2＋b 2＋c 2，所以r ＝a 2＋b 2＋c 22.则此三棱锥的外接球的半径r ＝a 2＋b 2＋c 22.9．如图所示，椭圆中心在坐标原点，F 为左焦点，当FB ⊥AB 时，其离心率为5－12，此类椭圆被称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”可推出“黄金双曲线”的离心率e 等于________．答案5＋12解析 类比“黄金椭圆”，设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则F (－c,0)，B (0，b )，A (a,0)，所以FB →＝(c ，b )，AB →＝(－a ，b )．易知FB →⊥AB →，所以FB →·AB →＝b 2－ac ＝0，所以c 2－a 2－ac ＝0，即e 2－e －1＝0，又e ＞1，所以e ＝5＋12. 10．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案 1∶8解析 由平面图形的面积类比立体图形的体积得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的底面积之比为1∶4，对应高之比为1∶2，所以体积比为1∶8.11．在矩形ABCD 中，对角线AC 与相邻两边所成的角为α，β，则有cos 2α＋cos 2β＝1.类比到空间中的一个正确命题是：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与相邻三个面所成的角为α，β，γ，则________．答案 cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2解析 设长方体的长，宽，高分别为a ，b ，c ，如图所示，所以AC 1与下底面所成角为∠C 1AC ，记为α，AC 1与平面A 1D 1DA 所成的角记为β，AC 1与平面A 1B 1BA 所成的角记为γ，所以cos 2α＝AC 2AC 21＝a 2＋b 2a 2＋b 2＋c 2，同理cos 2β＝a 2＋c 2a 2＋b 2＋c 2，cos 2γ＝b 2＋c 2a 2＋b 2＋c2，所以cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2.12．若f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，且f (1)＝2，则f 2f 1＋f 4f 3＋f 6f 5＋…＋f 2020f 2019＝________.答案 2020解析 因为f (a ＋b )＝f (a )f (b )(a ，b ∈N *)，令b ＝1，则f a ＋1f a ＝f (1)＝2，所以f 2f 1＝f 4f 3＝…＝f 2020f 2019＝2.所以原式＝2＋2＋…＋21010个＝2020. 二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅱ)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测． 甲：我的成绩比乙高． 乙：丙的成绩比我和甲的都高． 丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为( )A ．甲、乙、丙B ．乙、甲、丙C ．丙、乙、甲D ．甲、丙、乙答案 A解析 由于三人成绩互不相同且只有一个人预测正确．若甲预测正确，则乙、丙预测错误，于是三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙；若甲预测错误，则甲、乙按成绩由高到低的次序为乙、甲，又假设丙预测正确，则乙、丙按成绩由高到低的次序为丙、乙，于是甲、乙、丙按成绩由高到低排序为丙、乙、甲，从而乙的预测也正确，与已知矛盾；若甲、丙预测错误，则可推出乙的预测也错误．综上所述，三人按成绩由高到低的次序为甲、乙、丙．故选A.14．(2017·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩答案 D解析由题意可知，“甲看乙、丙的成绩后，不知道自己的成绩”，说明乙、丙两人中一个优秀一个良好，则乙看了丙的成绩，可以知道自己的成绩；丁看了甲的成绩，也可以知道自己的成绩．故选D.15．(2016·高考)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( ) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C．乙盒中红球不多于丙盒中红球D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多答案 B解析解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C错误．故选B.解法二：设袋中共有2n个球，最终放入甲盒中k个红球，放入乙盒中s个红球．依题意知，甲盒中有(n－k)个黑球，乙盒中共有k个球，其中红球有s个，黑球有(k－s)个，丙盒中共有(n－k)个球，其中红球有(n－k－s)个，黑球有(n－k)－(n－k－s)＝s个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.16．(2017·高考)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.(1)记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是________；(2)记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是________．答案 (1)Q 1 (2)p 2解析 设线段A i B i 的中点为C i (x i ，y i )．(1)由题意知Q i ＝2y i ，i ＝1,2,3，由题图知y 1最大，所以Q 1，Q 2，Q 3中最大的是Q 1. (2)由题意知p i ＝2y i 2x i ＝y ix i，i ＝1,2,3.y ix i的几何意义为点C i (x i ，y i )与原点O 连线的斜率． 比较OC 1，OC 2，OC 3的斜率，由题图可知OC 2的斜率最大，即p 2最大．17．(2016·全国卷Ⅱ)有三X 卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一X 卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2.”乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1.”丙说：“我的卡片上的数字之和不是5.”则甲的卡片上的数字是________．答案 1和3解析 由丙说的话可知丙的卡片上的数字一定不是2和3.若丙的卡片上的数字是1和2，则乙的卡片上的数字是2和3，甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；若丙的卡片上的数字是1和3，则乙的卡片上的数字是2和3，此时，甲的卡片上的数字只能是1和2，不满足题意．故甲的卡片上的数字是1和3.18．(2015·某某高考)一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．答案 5解析 因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的第5位码元是错的，所以k ＝5.三、模拟小题19．(2019·某某二模)已知“正三角形的内切圆与三边相切，切点是各边的中点”，利用类比的方法可以猜想：正四面体的内切球与各面相切，切点是( )A ．各面内某边的中点B ．各面内某条中线的中点C ．各面内某条高的三等分点D ．各面内某条角平分线的四等分点 答案 C解析 平面上关于正三角形的内切圆的性质可类比为空间中关于正四面体的内切球的性质，可以推断，在空间几何中有“正四面体的内切球与各面相切，切点是各面的中心”，即各面内某条高的三等分点．故选C.20．(2019·某某一模)设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n(n >2，n ∈N )，经计算可得f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，观察上述结果，可得出的一般结论是( )A ．f (2n )>2n ＋12(n ≥2，n ∈N )B ．f (n 2)≥n ＋22(n ≥2，n ∈N )C ．f (2n )>n ＋22(n ≥2，n ∈N ) D ．f (2n )≥n ＋22(n ≥2，n ∈N )答案 C解析 不等式f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，…，可化为f (22)>2＋22，f (23)>3＋22，f (24)>4＋22，f (25)>5＋22，…，由此归纳，可得f (2n)>n ＋22，故选C. 21．(2019·某某联考)有一个由奇数组成的数列1,3,5,7,9，…，现进行如下分组：第1组含有一个数{1}，第2组含有两个数{3,5}，第3组含有三个数{7,9,11}，…，则第n 组各数之和为( )A ．n 2B ．n 3C ．n 4D ．n (n ＋1)答案 B解析 第一组各数之和为1＝13，第2组各数之和为8＝23，第3组各数之和为27＝33，…，观察规律，归纳可得，第n 组各数之和为n 3.故选B.22．(2019·某某高三调研)一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是( )A．甲B．乙C．丙D．丁答案 B解析由题可知，乙、丁两人的观点一致，即同真同假，假设乙、丁说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说的是真话，推出丙是罪犯，由甲说的是假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯，显然两个结论相互矛盾，所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话，由甲、丙供述可得，乙是罪犯．23．(2019·某某模拟)如图，将一X等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……，根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作( )A．31次B．32次C．33次D．34次答案 C解析由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个，……，由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.故共需要操作33次．24．(2019·某某一模)某学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》《茶馆》《天籁》《马蹄声碎》四部话剧，每天一部，受多种因素影响，话剧《雷雨》不能在周一和周四上演，《茶馆》不能在周一和周三上演，《天籁》不能在周三和周四上演，《马蹄声碎》不能在周一和周四上演，那么下列说法正确的是( )A．《雷雨》只能在周二上演B．《茶馆》可能在周二或周四上演C．周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》D．四部话剧都有可能在周二上演答案 C解析由题目可知，周一上演《天籁》，周四上演《茶馆》，周三可能上演《雷雨》或《马蹄声碎》，故选C.25．(2019·某某吕梁一模)在某次语文考试中，A ，B ，C 三名同学中只有一名同学优秀，当他们被问到谁得到了优秀时，C 说：“A 没有得优秀”；B 说：“我得了优秀”；A 说：“C 说的是真话”．事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．答案 C解析 假如A 说的是假话，则C 说的也是假话，不成立；假如B 说的是假话，即B 没有得优秀，又A 没有得优秀，故C 得优秀；假如C 说的是假话，即A 得优秀，则B 说的也是假话，不成立；故得优秀的同学为C .26．(2019·株洲二模)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术，得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：223＝223，338＝338，4415＝4415，5524＝5524，…，则按照以上规律，若88n＝88n具有“穿墙术”，则n ＝________.答案 63 解析 因为223＝223＝221×2＋1，338＝338＝332×3＋2，4415＝4415＝443×4＋3，5524＝5524＝554×5＋4，则88n＝88n＝887×8＋7＝8863.即n ＝63.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2019·某某某某模拟)设f (x )＝a x ＋a －x2，g (x )＝a x －a －x2(其中a ＞0，且a ≠1)．(1)请你由5＝2＋3推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示；(2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广． 解 (1)由于f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32·a 2－a －22＋a 3－a －32·a 2＋a －22 ＝a 5－a －52，又g (5)＝a 5－a －52，因此g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，得g (2＋3)＝f (3)·g (2)＋g (3)f (2)， 于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．证明：因为f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x 2， 所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a －x ＋y 2，g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y 2， 所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2·a y ＋a －y 2＝a x ＋y －a －x ＋y2＝g (x ＋y )．2．(2019·某某期末)已知i 为虚数单位，观察下列各等式：(cos1＋isin1)(cos2＋isin2)＝cos3＋isin3；(cos3＋isin3)(cos4＋isin4)＝cos7＋isin7；(cos5＋isin5)(cos6＋isin6)＝cos11＋isin11；(cos7＋isin7)(cos8＋isin8)＝cos15＋isin15.记f (α)＝cos α＋isin α，α∈R .(1)根据以上规律，试猜想f (α)，f (β)，f (α＋β)成立的等式，并加以证明；(2)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 6. 解 (1)猜想f (α)f (β)＝f (α＋β)，证明：f (α)f (β)＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β)＝(cos αcos β－sin αsin β)＋(sin αcos β＋cos αsin β)i＝cos(α＋β)＋isin(α＋β)＝f (α＋β)．(2)因为f (α)f (β)＝f (α＋β)，所以f n(α)＝f (α)·f (α)·…·f (α)＝f (nα)＝cos nα＋isin nα， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋12i 6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π66＝cosπ＋isinπ＝－1.。
18年高考数学考点通关练第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数41复数课件理
b＋ 1＝ a， 1－ b＝ 0，
由 (1 ＋ i)(1 － bi) ＝ a ， 得 1 ＋ b ＋ (1 － b)i＝ a ，则
a＝ 2， 解得 b＝ 1，
a 所以 ＝设 a∈R .若复数(1 ＋ i)(a＋ i)在复平 面内对应的点位于实轴上，则 a＝________. －1
解析
－i －i1－ i －1－i i2015 ＝ ＝ ＝ ，故选 C. 2 2 1＋ i 1＋ i
3－i 25．[2017· 湖北联考 ]在复平面内，复数 对应的点的 1－i 坐标为( ) B．(1，－2) D．(2，－1) A． (2,1) C．(1,2)
解析
3－ i 3－ i1＋ i 4＋ 2i z＝ ＝ ＝ ＝ 2＋ i， 所对应的点 2 1－ i 1－ i1＋ i
解析
)
1 1 B．－ ＋ i 2 2 1 1 D. ＋ i 2 2
i2＋ i3＋ i4 － 1＋ － i＋ 1 －i ＝ ＝ 1－ i 1－ i 1－ i
－ i1＋ i 1－ i 1 1 ＝ ＝ ＝ － i. 2 2 2 1－ i1＋ i
1＋ai 7．设 i 是虚数单位，复数 为纯虚数，则实数 a 为 2－i ( ) A．2 1 C．－ 2 B．－2 1 D. 2
＝ i，∴ |z|＝ |i|＝ 1，故选 A.
19 ． [2015· 湖北高考 ]i 为虚数单位， i607 的共轭复数为 ( ) A． i C．1
解析
B．－ i D．－1
∵ i607＝ i4
×151＋ 3
＝ (i4 )151· i3＝－ i，
∴ i607 的共轭复数为 i.
20．[2016· 天津高考]已知 a，b∈R，i 是虚数单位．若(1 a 2 ＋ i)· (1－b i)＝a，则 的值为________ ． b
高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数单元质量测试理
单元质量测试(五)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2017·安徽安庆质检]设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13 C ．3D ．－3答案 C解析a ＋i 2－i ＝2a －1＋＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．[2016·广东测试]若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i71＋ai＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i71＋ai ＝2－i1＋2i＝2－－2＋2－2＝－3i 3＝－i.3．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )A ．ab <b 2<1 B ．log 12 b <log 12a <0C ．2b<2a <2D ．a 2<ab <1答案 C解析 ∵y ＝2x是单调递增函数，且0<b <a <1，∴2b <2a <21，即2b<2a<2.4．命题p ：∃α、β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；命题q ：∀m ∈R ，m ＋1m≥2，则下列结论正确的是()A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧q 是假命题D ．(綈p )∨q 是真命题答案 C解析 存在α、β满足题意，例如α＝0，β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．而m ＋1m≥2必须在m >0时才能成立，所以p 真q 假．所以选C.5．不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)答案 B解析 ①当x －2>0，即x >2时，原不等式可化为(x －2)2≥4，∴x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，原不等式可化为(x －2)2≤4，∴0≤x <2.6．[2016·福建宁德调研]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x≥1，x ＋y≤2，x －y≤2，若不等式ax －y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，4]B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2D ．[2,4]答案 B解析 不等式组表示的平面区域如图所示，不等式ax －y ≤3恒成立，即y ≥ax －3恒成立，平面区域ABC 在直线y ＝ax －3上及上方，由图可知得A (1,1)，B (2,0)，C (1，－1)三点在直线上及上方，满足⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤4，2a≤3，a ＋1≤3，得a ≤32，故答案为B.7．[2017·深圳调研]按下图所示的程序框图，若输入a ＝110011，则输出的b ＝( )。
高考考点完全题数学(文)考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 34 Word版含答案
考点测试34 二元一次不等式组与简单的线性规划一、基础小题1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于( )A ．32 B ．23 C ．43 D ．34答案 C解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，即△ABC .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4，得交点A 的坐标为(1,1)．又B 、C 两点的坐标分别为(0,4)，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，故S △ABC ＝12·|BC |·|x A |＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫4－43×1＝43，故选C.2．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤1，x ≤2，x －y ≥0，则x ＋3y 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D解析 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)，易知z ＝x ＋3y 过点B (2,1)时取得最大值，z max ＝2＋3×1＝5.故选D.3．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －7≤0，x ≥1，y ≥1，则|y －x |的最大值是( )A ．2 2B ．322C ．4D ．3答案 D解析 画出不等式组表示的平面区域(如图)，计算得A (1,2)，B (4,1)，当直线z ＝x －y 过点A 时z min ＝－1，过点B 时z max ＝3，则－1≤x －y ≤3，则|y －x |≤3.4．若点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥x ，y ≤－x ＋4，则x 2＋y 2的最大值为( )A ．10B ．8C ．16D ．10答案 D解析 画出不等式组对应的可行域如图所示，易得A (1,1)，|OA |＝2，B (2,2)，|OB |＝22，C (1,3)，|OC |＝10，故|OP |的最大值为10，即x 2＋y 2的最大值等于10.故选D.5．若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则yx的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ． B ．(22，32] C ．(32，25] D ．(0,22)∪(25，＋∞)答案 D解析 圆C 不经过区域D 有两种情况：①区域D 在圆外；②区域D 在圆内．由于不等式组中的一个不等式对应的直线y ＝x 正好经过圆的圆心，故利用圆的性质即可求解出r 的取值范围．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤4，y －x ≥0，x －1≥0表示的平面区域，得到如图所示的△MNP 及其内部，其中M (1,1)，N (2,2)，P (1,3)，且MN ⊥PN .∵圆C ：(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝r 2(r >0)表示以C (－1，－1)为圆心，r 为半径的圆．∴由图可得，当半径满足r <CM 或r >CP 时，圆C 不经过区域D 上的点．又∵CM ＝＋2＋＋2＝22，CP ＝＋2＋＋2＝25，∴当0<r <22或r >25时，圆C 不经过区域D 上的点．12．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，则w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8的最小值为________．答案 92解析 目标函数w ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8＝(x －2)2＋(y －2)2，其几何意义是点(2,2)与可行域内的点的距离的平方．由实数x ，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所示，由图可知，点(2,2)到直线x ＋y －1＝0的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又|2＋2－1|2＝322，所以w min ＝92.二、高考小题13．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是( )A ．4B ．9C ．10D ．12答案 C解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示，x 2＋y 2表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点A (3，－1)到原点的距离最大，所以x 2＋y 2的最大值是10，故选C.14．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是( )A ．355B ． 2C ．322D ． 5答案 B解析 作出可行域如图．由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y －3＝0，x ＋y －3＝0，得A (2,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x －2y ＋3＝0，得B (1,2)．斜率为1的平行直线l 1，l 2分别过A ，B 两点时它们之间的距离最小，且最小值为A 、B 两点之间的距离|AB |＝ 2.故选B.15．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1≥0，x －2y －1≤0，x ≤1，则z ＝2x ＋3y －5的最小值为________． 答案 －10解析 可行域如图所示(包括边界)，直线2x －y ＋1＝0与x －2y －1＝0相交于点(－1，－1)，当目标函数线过(－1，－1)时，z 取最小值，z min ＝－10.16．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y ＋1≤0，2x －y ＋2≥0，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．答案 4解析 由线性约束条件画出可行域，如图．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，x －2y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即A 点坐标为(1,1)．当动直线3x ＋y －z ＝0经过点A (1,1)时，z 取得最大值，z max ＝3×1＋1＝4.17．某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时．生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．答案 216000解析 设生产产品A x 件，产品B y 件，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，设生产产品A ，产品B 的利润之和为E 元，则E ＝2100x＋900y .画出可行域(图略)，易知最优解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝60，y ＝100，此时E max ＝216000.18．当实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4≤0，x －y －1≤0，x ≥1时，1≤ax ＋y ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32解析 作出题中线性规划条件满足的可行域如图阴影部分所示，令z ＝ax ＋y ，即y ＝－ax ＋z .作直线l 0：y ＝－ax ，平移l 0，最优解可在A (1,0)，B (2,1)，C ⎝⎛⎭⎪⎫1，32处取得．故由1≤z ≤4恒成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤4，1≤2a ＋1≤4，1≤a ＋32≤4，解得1≤a ≤32.三、模拟小题19．若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1C ．32D ．2答案 B解析 约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的虚线位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x得A 点坐标为(1,2)，∴m 的最大值是1，故选B.20．已知实数x ，y 满足：⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x <2，x ＋y －1≥0.则z ＝2x －2y －1的取值范围是( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，5B ．C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，5 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5 答案 D解析 画出不等式组所表示的区域，如图阴影部分所示，作直线l ：2x －2y －1＝0，平移l 可知2×13－2×23－1≤z <2×2－2×(－1)－1，即z 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－53，5.21．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域的形状是三角形，则a 的取值范围是( )A ．a ≥43B ．0<a ≤1C ．1≤a ≤43D ．0<a ≤1或a ≥43答案D解析 作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域(如图中阴影部分)．由图知，要使原不等式组表示的平面区域的形状为三角形，只需动直线l ：x ＋y ＝a 在l 1、l 2之间(包含l 2，不包含l 1)或l 3上方(包含l 3)．故选D.22．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y －1≤0，若目标函数z ＝ax ＋y (其中a >0)仅在点(1,1)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A ．(0,2)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 答案 B解析 约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l ：ax ＋y ＝0，过点(1,1)作l 的平行线l ′，要满足题意，则直线l ′的斜率介于直线x ＋2y －3＝0与直线y ＝1的斜率之间，因此，－12<－a <0，即0<a <12.故选B.23．已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，4x ＋3y －12≤0，y －2≥0，则z ＝2x －y ＋1x ＋1的最大值为( )A ．54 B ．45 C ．916 D ．12答案 B解析 因为z ＝2x －y ＋1x ＋1＝2x ＋2－y －1x ＋1＝2－y ＋1x ＋1，所以要求z 的最大值，只需求u ＝y ＋1x ＋1的最小值，画出可行域(图略)可知，使u ＝y ＋1x ＋1取得最小值的最优解为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2，代入z＝2x －y ＋1x ＋1，可求得z 的最大值为45，故选B.24．一个平行四边形的三个顶点的坐标为(－1,2)，(3,4)，(4，－2)，点(x ，y )在这个平行四边形的内部或边上，则z ＝2x －5y 的最大值是( )A ．16B ．18C ．20D ．36答案 C解析 平行四边形的对角线互相平分，如图，当以AC 为对角线时，由中点坐标公式得AC 的中点为⎝⎛⎭⎪⎫32，0，也是BD 的中点，可知顶点D 1的坐标为(0，－4)．同理，当以BC 为对角线时，得D 2的坐标为(8,0)，当以AB 为对角线时，得D 3的坐标为(－2,8)，由此作出(x ，y )所在的平面区域，如图阴影部分所示，由图可知当目标函数z ＝2x －5y 经过点D 1(0，－4)时，取得最大值，最大值为2×0－5×(－4)＝20，故选C.一、高考大题1．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润． 解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20,24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.所以生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元． 二、模拟大题2．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．解 (1)作出可行域如图，可求得A (3,4)，B (0,1)，C (1,0)．平移初始直线12x －y ＝0，过A (3,4)取最小值－2，过C (1,0)取最大值1.∴z 的最大值为1，最小值为－2.(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知－1<－a2<2，解得－4<a <2.故所求a 的取值范围是(－4,2)．3．为保增长、促发展，某地计划投资甲、乙两项目，市场调研得知：甲项目每投资百万元需要配套电能2万千瓦，可提供就业岗位24个，增加GDP 260万元；乙项目每投资百万元需要配套电能4万千瓦，可提供就业岗位32个，增加GDP 200万元．已知该地为甲、乙两项目最多可投资3000万元，配套电能100万千瓦，并要求它们提供的就业岗位不少于800个，如何安排甲、乙两项目的投资额，增加的GDP 最大？解 设甲项目投资x (单位：百万元)， 乙项目投资y (单位：百万元)， 两项目增加的GDP 为z ＝260x ＋200y ，依题意，x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤30，2x ＋4y ≤100，24x ＋32y ≥800，x ≥0，y ≥0，所确定的平面区域如图中阴影部分．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，2x ＋4y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝10，y ＝20，即A (10,20)；解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝30，24x ＋32y ＝800，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20，y ＝10，即B (20,10)．设z ＝0，得y ＝－1.3x ，将直线y ＝－1.3x 平移至经过点B (20,10)，即甲项目投资2000万元，乙项目投资1000万元，两项目增加的GDP最大．。
高考数学考点通关练第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试39复数高三全册数学
D．
2 5
1－i 1－i3－4i －1－7i 解法一：因为 z＝3＋4i＝3＋4i3－4i＝ 25 ，所以|z|＝
－2152＋－2752＝ 52.故选 D.
解法二：因为
1－i
1－i |1－i|
z＝3＋4i，所以|z|＝|3＋4i|＝|3＋4i|＝
52.故选
D.
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解析 答案
4．已知复数 z＝(1＋ai)(1－2i)(a∈R)为纯虚数，则实数 a＝( )
A. 3
B． 5
C．3
D．5
解析 ∵z＝2＋i，∴－z ＝2－i.∴z·－z ＝(2＋i)(2－i)＝5.故选 D.
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解析 答案
1－i 17．(2018·全国卷Ⅰ)设 z＝1＋i＋2i，则|z|＝( )
A．0
B．12
C．1
D． 2
1－i
1－i2
－2i
解析 因为 z＝ 1＋i＋2i＝ 1＋i1－i＋2i＝ 2 ＋2i＝ i， 所以|z|＝
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第1步 基础练 狂刷小题 · (xiǎo tí)
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一、基础小题
1．(－1＋i)(2i＋1)＝( )
A．1－i
B．1＋i
C．－3－i
D．－3＋i
解析 由题意，得(－1＋i)(2i＋1)＝－2i－1－2＋i＝－3－i，故选 C.
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解析 答案
2．已知 m 为实数，i 为虚数单位，若 m＋(m2－4)i>0，则m2－＋22ii＝(
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解析 答案
二、高考小题
13．(2019·全国卷Ⅰ)设复数 z 满足|z－i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x，
高考考点完全题数学(文)考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 37 word版含答案
考点测试37 直接证明与间接证明一、基础小题1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了( ) A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法答案 B解析因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．2．用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于60°”，应假设( )A．三个内角至多有一个大于60°B．三个内角都不大于60°C．三个内角都大于60°D．三个内角至多有两个大于60°答案 C解析“三角形内角至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”，其否定为“三角形内角都大于60°”．故选C.3．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.证明过程如下：∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立．∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.此证法是( )A．分析法B．综合法C．分析法与综合法并用D．反证法答案 B解析由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac <3a”索的因应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案 C解析b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.5．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，则P、Q的大小关系是( )A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案 C解析令a＝0，则P＝7≈2.6，Q＝3＋4≈3.7，∴P<Q.据此猜想a≥0时P<Q.证明如下：要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证2a＋7＋2a a＋7<2a＋7＋2a＋3a＋4，只要证a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立．故选C.6．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )A.48,49 B ．62,63 C ．75,76 D ．84,85答案 D解析 由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D 符合条件．7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确命题的序号是________． 答案 ①③ 解析 ①⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β，又∵m ⊂β，∴l ⊥m ，①正确； ②l ⊥α，当l ⊂β且m 不垂直α时， 则l 必与m 相交，故②错误； ③⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α，又m ⊂β，∴β⊥α，故③正确； ④若α∩β＝n ，且m ∥n 时，l ⊥α⇒l ⊥n ⇒l ⊥m ，故④错误．8．记S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则S 与1的大小关系是________．答案 S <1解析 ∵1210＋1<1210，1210＋2<1210，…，1211－1＝1210＋210－1<1210， ∴S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1.二、高考小题9．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A解析 “方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的否定是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．三、模拟小题10．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案 B解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故选B. 11．设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3答案 C解析 ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．12．设a ，b ，c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a三个数( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2答案 D解析 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都小于2，则有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6.因为a ，b ，c 都是正数， 所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2a ·1a ＋2b ·1b＋2c ·1c＝6与a ＋1b＋b ＋1c＋c ＋1a<6矛盾．故假设不成立，所以a ＋1a ，b ＋1b ，c ＋1a至少有一个不小于2，故选D.13．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________． 答案 n >m解析 解法一(取特殊值法)：取a ＝2，b ＝1，则m <n . 解法二(分析法)：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．一、高考大题1．设函数f (x )＝x 3＋11＋x ，x ∈．证明：(1)f (x )≥1－x ＋x 2； (2)34<f (x )≤32.证明 (1)因为1－x ＋x 2－x 3＝1－－x41－－x＝1－x 41＋x， 由于x ∈，有1－x 41＋x ≤1x ＋1，即1－x ＋x 2－x 3≤1x ＋1，所以f (x )≥1－x ＋x 2. (2)由0≤x ≤1，得x 3≤x ，故f (x )＝x 3＋1x ＋1≤x ＋1x ＋1＝x ＋1x ＋1－32＋32＝x －12x ＋12x ＋1＋32≤32，所以f (x )≤32.由(1)得f (x )≥1－x ＋x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1924>34，所以f (x )>34.综上，34<f (x )≤32.2．设数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，n ∈N *. (1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，n ∈N *，证明：|a n |≤2，n ∈N *.证明 (1)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，得|a n |－12|a n ＋1|≤1，故 |a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *， 所以|a 1|21－|a n |2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n－1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1<1，因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2)．(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m >n ，|a n |2n －|a m |2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m－1|2m －1－|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1<12n －1，故|a n |<⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋|a m |2m ·2n ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －1＋12m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ·2n＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n.从而对于任意m >n ，均有|a n |<2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n. ①由m 的任意性得|a n |≤2.否则，存在n 0∈N *，有|a n 0|>2，取正整数m 0>log 34|a n 0|－22n且m 0>n 0，则2n 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34m 0<2n0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 34 |a n 0|－22n0 ＝|a n 0|－2，与①式矛盾， 综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2.3．记U ＝{1,2，…，100}．对数列{a n }(n ∈N *)和U 的子集T ，若T ＝∅，定义S T ＝0；若T ＝{t 1，t 2，…，t k }，定义S T ＝a t 1＋a t 2＋…＋a t k .例如：T ＝{1,3,66}时，S T ＝a 1＋a 3＋a 66.现设{a n }(n ∈N *)是公比为3的等比数列，且当T ＝{2,4}时，S T ＝30.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k (1≤k ≤100)，若T ⊆{1,2，…，k }，求证：S T <a k ＋1； (3)设C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D ，求证：S C ＋S C ∩D ≥2S D . 解 (1)由已知得a n ＝a 1·3n －1，n ∈N *.于是当T ＝{2,4}时，S T ＝a 2＋a 4＝3a 1＋27a 1＝30a 1. 又S T ＝30，故30a 1＝30，即a 1＝1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1，n ∈N *.(2)证明：因为T ⊆{1,2，…，k }，a n ＝3n －1>0，n ∈N *，所以S T ≤a 1＋a 2＋…＋a k ＝1＋3＋…＋3k －1＝12(3k －1)<3k.因此，S T <a k ＋1. (3)下面分三种情况证明．①若D 是C 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S D ≥S D ＋S D ＝2S D . ②若C 是D 的子集，则S C ＋S C ∩D ＝S C ＋S C ＝2S C ≥2S D . ③若D 不是C 的子集，且C 不是D 的子集．令E ＝C ∩∁U D ，F ＝D ∩∁U C ，则E ≠∅，F ≠∅，E ∩F ＝∅. 于是S C ＝S E ＋S C ∩D ，S D ＝S F ＋S C ∩D ，进而由S C ≥S D ，得S E ≥S F . 设k 为E 中的最大数，l 为F 中的最大数，则k ≥1，l ≥1，k ≠l . 由(2)知S E <a k ＋1.于是3l －1＝a l ≤S F ≤S E <a k ＋1＝3k，所以l －1<k ，即l ≤k .又k ≠l ，故l ≤k－1.从而S F ≤a 1＋a 2＋…＋a l ＝1＋3＋…＋3l －1＝3l －12≤3k －1－12＝a k －12≤S E －12，故S E ≥2S F ＋1，所以S C －S C ∩D ≥2(S D －S C ∩D )＋1， 即S C ＋S C ∩D ≥2S D ＋1.综合①②③，得S C ＋S C ∩D ≥2S D . 二、模拟大题4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解 (1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，，＋1.①，所以r －q ，r －p ∈N *.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证．。
高考数学考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数39数学归纳法试题理
考点测试39 数学归纳法一、基础小题1．在应用数学归纳法证明凸n 边形的对角线为12n (n －3)条时，第一步检验第一个值n 0等于( )A ．1B ．2C ．3D ．0答案 C解析 边数最少的凸n 边形是三角形．2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a n ＝1－an ＋11－a，a ≠1，n ∈N *”，在验证n ＝1时，左边是( )A ．1B ．1＋aC ．1＋a ＋a 2D ．1＋a ＋a 2＋a 3答案 B解析 当n ＝1时，代入原式有左边＝1＋a .故选B.3．对于不等式n2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下：(1)当n ＝1时， 12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k2＋k <k ＋1，则n ＝k ＋1时，＋＋＋＝k2＋3k ＋2<＋3k ＋＋＋＝＋＝(k ＋1)＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法( ) A ．过程全都正确B ．n ＝1检验不正确C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确答案 D解析 n ＝1的验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求，故应选D.4．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N *)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k项答案 D解析 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－⎝ ⎛1＋12＋13＋…＋⎭⎪⎫12k －1＝12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1，共增加了2k项． 5．某个命题与自然数n 有关，若n ＝k (k ∈N *)时命题成立，那么可推得当n ＝k ＋1时该命题也成立，现已知n ＝5时，该命题不成立，那么可以推得( )A ．n ＝6时该命题不成立B ．n ＝6时该命题成立C ．n ＝4时该命题不成立D ．n ＝4时该命题成立答案 C解析 假设n ＝4时该命题成立，由题意可得n ＝5时，该命题成立，而n ＝5时，该命题不成立，所以n ＝4时，该命题不成立，而n ＝5，该命题不成立，不能推得n ＝6该命题是否成立，故选C.6．用数学归纳法证明1＋12＋14＋…＋12n －1>12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取( )A ．7B ．8C ．9D ．10答案 B解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8.故选B.7．下列代数式(其中k ∈N *)能被9整除的是( )A ．6＋6·7kB ．2＋7k －1C ．2(2＋7k ＋1)D ．3(2＋7k) 答案 D解析 (1)当k ＝1时，显然只有3(2＋7k )能被9整除．(2)假设当k ＝n (n ∈N *)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，。
高考数学一轮复习第一部分考点通关练第五章不等式推理与证明算法初步与复数考点测试基本不等式含解析苏教版
考点测试35 根本不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题、填空题，分值5分，中等难度 考纲研读1.了解根本不等式的证明过程2．会用根本不等式解决简单的最大(小)值问题一、根底小题1．以下说法正确的选项是( ) A ．假设a ，b ∈R ，那么b a ＋a b≥2 B ．假设x <0，那么x ＋4x≥－2x ·4x＝－4 C ．假设ab ≠0，那么b 2a ＋a 2b≥a ＋bD ．假设x <0，那么2x＋2－x>2 答案 D解析 对于A ，当ab <0时不成立；对于B ，假设x <0，那么x ＋4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋4－x ≤－2－x ·4－x＝－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立，因此B 项不成立；对于C ，取a ＝－1，b ＝－2，b 2a ＋a 2b ＝－92<a ＋b ＝－3，所以C 项不成立；对于D ，假设x <0，那么2x ＋2－x>2成立．应选D.2．不等式x 2＋x <a b ＋ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，那么实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) C ．(－2,1) D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)答案 C解析 根据题意，由于不等式x 2＋x <a b ＋b a对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，那么x 2＋x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a min ，因为a b ＋b a ≥2a b ·b a＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x 2＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2,1)．3．m >0，n >0,2m ＋n ＝1，那么14m ＋2n 的最小值为( )A ．4B ．2 2C ．92D ．16答案 C解析 由于m >0，n >0,2m ＋n ＝1，那么14m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫14m ＋2n ＝52＋n 4m ＋4m n ≥52＋2n 4m ·4m n ＝92，当且仅当n ＝23，m ＝16时取等号．应选C. 4．设x ＞0，那么函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为( ) A ．0 B ．12 C ．1 D ．32答案 A解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.应选A. 5．x ＞0，y ＞0，且4x ＋y ＝xy ，那么x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16答案 B解析 由4x ＋y ＝xy ，得4y ＋1x＝1，那么x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y ＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝〞，应选B.6．假设3x ＋2y ＝2，那么8x ＋4y的最小值为( ) A ．4 B ．4 2 C ．2 D ．2 2答案 A解析 ∵3x ＋2y ＝2，∴8x＋4y＝23x＋22y≥223x·22y＝223x ＋2y＝4，当且仅当3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立，∴8x ＋4y 的最小值为4.应选A.7．向量a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，其中x >0，y >0.假设a ⊥b ，那么xy 的最大值为( ) A.14 B ．12 C ．1D ．2。
高考数学考点完全题(理)考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 35 含答案
示，由图可知，点(2,2)到直线 x＋y－1＝0 的距离为其到可行域内点的距离的最小值，又
|2＋2－1| 3 2
9
2 ＝ 2 ，所以 wmin＝2.
二、高考小题
13．若变量 x，y 满足Error!则 x2＋y2 的最大值是( )
A．4
B．9
C．10
D．12
答案 C
解析 作出不等式组所表示的平面区域，如图(阴影部分)所示，
4．若点 P(x，y)的坐标满足条件Error!则 x2＋y2 的最大值为( )
A. 10 C．16 答案 D
B．8 D．10
解析 画出不等式组对应的可行域如图所示，易得 A(1,1)，|OA|＝ 2，B(2,2)，|OB|
＝2 2，C(1,3)，|OC|＝ 10，故|OP|的最大值为 10，即 x2＋y2 的最大值等于 10.故选 D.
12．已知实数 x，y 满足Error!则 w＝x2＋y2－4x－4y＋8 的最小值为________． 9
答案 2
解析 目标函数 w＝x2＋y2－4x－4y＋8＝(x－2)2＋(y－2)2，其几何意义是点(2,2)与
可行域内的点的距离的平方．由实数 x，y 所满足的不等式组作出可行域如图中阴影部分所
x2＋y2 表示平面区域内的点到原点的距离的平方，由图易知平面区域内的点 A(3，－ 1)到原点的距离最大，所以 x2＋y2 的最大值是 10，故选 C.
14．在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投影．由区
域Error!中的点在直线 x＋y－2＝0 上的投影构成的线段记为 AB，则|AB|＝( )
两点的坐标分别为(0,4)，0， 3
，故
S△ABC＝2·|BC|·|xA|＝2×
高考数学 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、算
总的费用 y＝80x0＋x8≥2
80x0·8x＝20，
当且仅当800＝ x 时取等号，得 x8
x＝80(件)，故选
B.
11．设 a>b>c>0，则 2a2＋a1b＋aa1－b－10ac＋25c2 的
最小值是(
)
A．2
B．4
C．2 5
D．5
解析 2a2＋a1b＋aa1－b－10ac＋25c2 ＝2a2＋aab－ab－ ＋bb－10ac＋25c2
其全程的平均时速为 v，则(
)
A．a<v< ab a＋b
C. ab<v< 2
B．v＝ ab D．v＝a＋ 2 b
解析 设甲乙两地相距为 s，
则
v＝s＋ 2s s ab
＝1＋2 1 ab
.
由于 a<b，∴1a＋1b<2a，∴v>a.
又1a＋1b>2
1， ab
∴v< ab.故 a<v< ab，故选 A.
B．(1，－2)
C．(1,1)
D．(0,2)
解析 y＝x＋x＋ 121＋1＝(x＋1)＋x＋1 1≥2，当 x＝0 时取
最小值．
5．设 0<a<b，则下列不等式中正确的是(
)
A．a<b<
a＋b ab< 2
B．a<
a＋b ab< 2 <b
C．a<
a＋b ab<b< 2
a＋b D. ab<a< 2 <b
M＝1a－11b－11c
－1，且
a＋b＋c＝1，a，b，c
∈(0，＋∞)，则 M 的取值范围是_[_8_， __＋__∞ __)_．
高考数学 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 37 合情推理与演绎推理试题 理-
考点测试37 合情推理与演绎推理一、基础小题1．一个蜂巢里有1只蜜蜂，第一天，它飞出去带回了5个伙伴；第二天，6只蜜蜂飞出去各自带回了5个伙伴；……，如果这个过程继续下去，那么第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂( )A.666－16－1只B．66只C．63只D．62只答案 B解析根据题意可知，第一天共有蜜蜂1＋5＝6只；第二天共有蜜蜂6＋6×5＝62只；第三天共有蜜蜂62＋62×5＝63只；……；故第6天所有蜜蜂归巢后，蜂巢中共有蜜蜂65＋65×5＝66只，选B.2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2a n(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想a n＝( )A.2n＋12B.2n n＋1C.22n－1D.22n－1答案 B解析 由a 1＝1，可得a 1＋a 2＝4a 2，即a 2＝13，同理可得a 3＝16，a 4＝110，所以选B.3．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．28B ．76C ．123D ．199答案 C解析 记a n＋b n＝f (n )，则f (3)＝f (1)＋f (2)＝1＋3＝4；f (4)＝f (2)＋f (3)＝3＋4＝7；f (5)＝f (3)＋f (4)＝11.通过观察不难发现f (n )＝f (n －1)＋f (n －2)(n ∈N *，n ≥3)，则f (6)＝f (4)＋f (5)＝18；f (7)＝f (5)＋f (6)＝29；f (8)＝f (6)＋f (7)＝47；f (9)＝f (7)＋f (8)＝76；f (10)＝f (8)＋f (9)＝123.所以a 10＋b 10＝123.4．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．某校高三有8个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推各班人数都超过50人B ．由三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1＋1a n －1，由此归纳出{a n }的通项公式答案 C解析 A 、D 是归纳推理；B 是类比推理；C 运用了“三段论”是演绎推理．5．观察(x 2)′＝2x ，(x 4)′＝4x 3，(cos x )′＝－sin x ，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝f (x )，记g (x )为f (x )的导函数，则g (－x )＝( )A ．f (x )B ．－f (x )C ．g (x )D ．－g (x )答案 D解析 由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数，因此当f (x )是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g (－x )＝－g (x )．6．给出下面类比推理命题(其中Q 为有理数，R 为实数集，C 为复数集)：①“若a ，b ∈R ，则a －b ＝0⇒a ＝b ”类比推出“a ，c ∈C ，则a －c ＝0⇒a ＝c ”；②“若a ，b ，c ，d ∈R ，则复数a ＋b i ＝c ＋d i ⇒a ＝c ，b ＝d ”类比推出“a ，b ，c ，d ∈Q ，则a ＋b 2＝c ＋d 2⇒a ＝c ，b ＝d ”；③“若a ，b ∈R ，则a －b >0⇒a >b ”类比推出“若a ，b ∈C ，则a－b >0⇒a >b ”；④“若x ∈R ，则|x |<1⇒－1<x <1”类比推出“若z ∈C ，则|z |<1⇒－1<z <1”．其中类比结论正确的个数有( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 B解析 ①在复数C 中，若两个复数满足a －b ＝0，则它们的实部和虚部均相等，则a 、b 相等，故①正确；②在有理数Q 中，若a ＋b 2＝c ＋d 2，则|a －c |＋2(b －d )＝0，解得a ＝c ，故②正确；③若a ，b ∈C ，当a ＝1＋i ，b ＝i 时，a －b ＝1>0，但a 、b 是两个虚数，不能比较大小，故③错误；④若Z ∈C ，当Z ＝12i 时，|Z |<1，但是Z 是虚数，不能比较大小，故④错误，故只有两个结论正确，选B.7．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，若 a ＋7t＝a7t(a ，t 均为正实数)，类比以上等式，可推测a ，t 的值，则t －a ＝( )A ．31B ．41C ．55D ．71答案 B解析 观察所给的等式，等号左边是2＋23， 3＋38， 4＋415，…，等号的右边是223，338，…，则第n 个式子的左边是 n ＋1＋n ＋1n ＋12－1，右边是(n ＋1)·n ＋1n ＋12－1，故a ＝7，t ＝72－1＝48.t －a ＝41，故选B.8．已知结论：“在正△ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是△ABC 的重心，则AG GD＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A －BCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等”，则AOOM＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM ＝63，此时易知点O 即为正四面体内切球的球心，设其半径为r ，利用等积法有4×13×34r ＝13×34×63，r ＝612，故AO ＝AM －MO＝63－612＝64，故AO ∶OM ＝64∶612＝3. 9．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n 条“金鱼”需要火柴棒的根数为________． 答案 6n ＋2解析 由图形间的关系可以看出，第一个图中有8根火柴棒，第二个图中有8＋6根火柴棒，第三个图中有8＋2×6根火柴棒，以此类推第n 个“金鱼”需要火柴棒的根数是8＋6(n －1)，即6n ＋2.10．在△ABC 中，角C 的内角平分线CE 分△ABC 的面积所成的比例为S △AEC S △BEC ＝ACBC.将这个结论类比到空间：在三棱锥A －BCD 中，平面DEC 平分二面角A －CD －B 且与AB 交于点E ，则类比的结论为________．答案V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BDC解析 此类问题由平面类比到空间，则可由面积类比体积，由长度类比面积，由S △AEC S △BEC ＝ACBC，类比得V A －CDE V B －CDE ＝S △ACDS △BDC. 11.如图所示，将正整数从小到大沿三角形的边成螺旋状排列起来，2在第一个拐弯处，4在第二个拐弯处，7在第三个拐弯处，……，则在第二十个拐弯处的正整数是________．答案 211解析 观察题图可知， 第一个拐弯处2＝1＋1， 第二个拐弯处4＝1＋1＋2， 第三个拐弯处7＝1＋1＋2＋3， 第四个拐弯处11＝1＋1＋2＋3＋4， 第五个拐弯处16＝1＋1＋2＋3＋4＋5，发现规律：拐弯处的数是从1开始的一串连续正整数相加之和再加1，在第几个拐弯处，就加到第几个正整数，所以第二十个拐弯处的正整数就是1＋1＋2＋3＋…＋20＝211.12．对于命题：如果O 是线段AB 上一点，则|OB →|·OA →＋|OA →|·OB →＝0；将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，有S △OBC ·OA →＋S △OCA ·OB →＋S △OBA ·OC →＝0；将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体A －BCD 内一点，则有________．答案 V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0 解析 由线段到平面，线段的长类比为面积， 由平面到空间，面积可以类比为体积，由此可以类比得一命题为：O 是四面体A －BCD 内一点，则有V O －BCD ·OA →＋V O －ACD ·OB →＋V O －ABD ·OC →＋V O －ABC ·OD →＝0. 二、高考小题13．[2016·高考]袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则( )A ．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B ．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多C ．乙盒中红球不多于丙盒中红球D ．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 答案 B解析 解法一：假设袋中只有一红一黑两个球，第一次取出后，若将红球放入了甲盒，则乙盒中有一个黑球，丙盒中无球，A 错误；若将黑球放入了甲盒，则乙盒中无球，丙盒中有一个红球，D 错误；同样，假设袋中有两个红球和两个黑球，第一次取出两个红球，则乙盒中有一个红球，第二次必然拿出两个黑球，则丙盒中有一个黑球，此时乙盒中红球多于丙盒中的红球，C 错误．故选B.解法二：设袋中共有2n 个球，最终放入甲盒中k 个红球，放入乙盒中s 个红球．依题意知，甲盒中有(n －k )个黑球，乙盒中共有k 个球，其中红球有s 个，黑球有(k －s )个，丙盒中共有(n －k )个球，其中红球有(n －k －s )个，黑球有(n －k )－(n －k －s )＝s 个．所以乙盒中红球与丙盒中黑球一样多．故选B.14．[2014·高考]学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有( ) A．2人B．3人C．4人D．5人答案 B解析用A，B，C分别表示优秀、及格和不及格．显然，语文成绩得A的学生最多只有一人，语文成绩得B的也最多只有1人，得C的也最多只有1人，所以这组学生的成绩为(AC)，(BB)，(CA)满足条件，故学生最多为3人．15．[2015·某某高考]观察下列各式：C01＝40；C03＋C13＝41；C05＋C15＋C25＝42；C07＋C17＋C27＋C37＝43；…照此规律，当n∈N*时，＝________.C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－1答案4n－1＝4n－1.解析由题知C02n－1＋C12n－1＋C22n－1＋…＋C n－12n－116．[2014·某某高考]观察分析下表中的数据：答案F＋V－E＝2解析因为5＋6－9＝2,6＋6－10＝2,6＋8－12＝2，故可猜想F＋V－E＝2.17．[2014·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．答案 A解析 根据甲、乙、丙说的可列表得18．[2015·某某高考]x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1,2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0,0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于________．答案 5解析 因为x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的前3位码元都是对的；因为x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，所以二元码1101101的第6、7位码元也是对的；因为x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1≠0，所以二元码1101101的第5位码元是错的，所以k ＝5.三、模拟小题19．[2016·某某调研]①已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；②由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则①②两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理答案 A解析 ①由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；②由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.20．[2017·某某某某质检]某市为了缓解交通压力实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( ) A．今天是周六B．今天是周四C．A车周三限行D．C车周五限行答案 B解析因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.21．[2016·某某模拟]如图，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1,2,3,4,5,6的横、纵坐标分别对应数列{a n}(n∈N*)的前12项(即横坐标为奇数项，纵坐标为偶数项)，按如此规律下去，则a2009＋a2010＋a2011等于( )A．1003 B．1005C．1006 D．2011答案 B解析观察点坐标的规律可知，偶数项的值等于其序号的一半．则a4n－3＝n，a4n－1＝－n，a2n＝n.又2009＝4×503－3,2011＝4×503－1，∴a2009＝503，a2011＝－503，a2010＝1005.∴a 2009＋a 2010＋a 2011＝1005.22．[2016·某某一检]设函数y ＝f (x )的定义域为D ，若对于任意x 1，x 2∈D ，当x 1＋x 2＝2a 时，恒有f (x 1)＋f (x 2)＝2b ，则称点(a ，b )为函数y ＝f (x )图象的对称中心．研究函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1图象的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f (－2016)＋f (－2015)＋f (－2014)＋…＋f (2015)＋f (2016)＝( )A ．0B ．2016C ．4032D ．4033答案 D解析 函数y ＝x 3与y ＝sin x 均是奇函数，因此y ＝x 3＋sin x 是奇函数，其图象关于点(0,0)对称，函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1的图象关于点(0,1)对称，于是有f (－x )＋f (x )＝2，因此f (－2016)＋f (2016)＝2，f (－2015)＋f (2015)＝2，…，f (0)＝1，所求的和等于1＋2016×2＝4033，选D.23．[2016·某某诊断]已知cos π3＝12；cos π5cos 2π5＝14；cos π7cos 2π7cos 3π7＝18；…根据以上等式，可猜想出的一般结论是________． 答案 cos π2n ＋1cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N *解析 观察所给等式，左侧项数依次递增，角的分母是奇数列，右侧分母是2n，故可猜想出一般结论为cos π2n ＋1·cos 2π2n ＋1…cos n π2n ＋1＝12n ，n ∈N *.24．[2016·某某日照一模]36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36＝22×32，所以36的所有正约数之和为(1＋3＋32)＋(2＋2×3＋2×32)＋(22＋22×3＋22×32)＝(1＋2＋22)(1＋3＋32)＝91，参照上述方法，可求得200的所有正约数之和为________．答案 465解析 类比求36的所有正约数之和的方法，200的所有正约数之和可按如下方法求得：因为200＝23×52，所以200的所有正约数之和为(1＋2＋22＋23)(1＋5＋52)＝465.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．[2016·某某质检]阅读下面材料： 根据两角和与差的正弦公式，有sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β①， sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β②，由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β③. 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得sin A ＋sin B ＝2sinA ＋B2cosA －B2.(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2；(2)若△ABC 的三个内角A ，B ，C 满足cos2A －cos2B ＝1－cos2C ，试判断△ABC 的形状． (提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论) 解 (1)证明：因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，① cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，②①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③ 令α＋β＝A ，α－β＝B ，有α＝A ＋B2，β＝A －B2，代入③得cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2.(2)由二倍角公式，cos2A －cos2B ＝1－cos2C 可化为 1－2sin 2A －1＋2sin 2B ＝1－1＋2sin 2C ， 所以sin 2A ＋sin 2C ＝sin 2B .设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 由正弦定理可得a 2＋c 2＝b 2.根据勾股定理的逆定理知△ABC 为直角三角形．2．[2017·某某质检]某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解 (1)选择②式，计算如下： sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15° ＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32sin αcos α＋14sin 2α－32sin αcos α－12sin 2α＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 3．[2016·海淀期末]设A 是由m ×n 个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行(或某一列)各数之和为负数，则改变该行(或该列)中所有数的符号，称为一次“操作”．(1)数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表(写出一种方法即可)；表1(2)数表A 如表2与每列的各数之和均为非负整数，求整数a 的所有可能值；表2解(1)解法一：改变第4列――→改变第2行――→解法二：改变第2行――→改变第4列――→解法三：改变第1列――→――→改变第4列(2)1,1. ①如果首先操作第三列，则则第一行之和为2a －1这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以a ≤12或a ≥52.当a ≤12时，则接下来只能操作第一行，则此时每列之和分别为2必有2－2a 2≥0，解得a ＝0，－1. 当a ≥52时，则接下来操作第二行，则此时第4②如果首先操作第一行，则则每一列之和分别为2当a ＝1时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉； 当a ≠1时，2－2a,2a －2至少有一个为负数，所以此时必须有2－2a 2≥0，即－1≤a ≤1，所以a ＝0或a ＝－1， 经检验，a ＝0或a ＝－1符合要求． 综上a ＝0，－1.。
高考数学 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、算
＝2－a＋52a＋1i为纯虚数，所以 2－a＝0，a＝2.
解法二：令12＋ －aii＝mi(m≠0)， ∴1＋ai＝(2－i)mi＝m＋2mi. ∴ma＝ ＝21m，， ∴a＝2.
8．在复平面内，向量A→B对应的复数是 2＋i，向量C→B对
应的复数是－1－3i，则向量C→A对应的复数为(
C．4
D．5
解析 由题意知 x＋yi＝3＋i 4i＝4－3i，所以|x＋yi|＝|4
－3i|＝ 42＋－32＝5.
4．若复数 z 满足1＋z 2i＝i(i 为虚数单位)，则 z 的虚部为
(
)
A．－2
B．2
C．1
D．－1
解析 由1＋z 2i＝i，可得 z＝1＋i 2i＝i＋i22i2＝－－2＋ 1 i＝2－ i，所以 z 的虚部为－1，故选 D.
解析 设 z＝a＋bi(a、b∈R)，则 2z＋ z ＝2(a＋bi)＋a －bi＝3a＋bi＝3－2i，∴a＝1，b＝－2，∴z＝1－2i，故选
B.
17．[2016·四川高考]设 i 为虚数单位，则(x＋i)6 的展开
式中含 x4 的项为(
)
A．－15x4
B．15x4
D.12＋12i
解析
i2＋ i3＋ 1－i
i4＝－1＋ 1－－i i＋1＝1－－ii
＝1－－ii1＋ 1＋ii＝1－ 2 i＝12－12i.
7．设 i 是虚数单位，复数12＋ －aii为纯虚数，则实数 a 为
(
)
A．2
B．－2
C．－12
1 D.2
解析 解法一：因为12＋ －aii＝12＋ －aii22＋ ＋ii
第一部分 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、
高考考点完全题数学(文)考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 33 Word版含答案
考点测试33 一元二次不等式及其解法一、基础小题1．不等式(x －1)(3－x )<0的解集是( ) A ．(1,3)B ．C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．{x |x ≠1且x ≠3}答案 C解析 根据题意，(x －1)(3－x )<0⇔(x －1)(x －3)>0，所以其解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选C.2．若不等式ax 2＋bx －2<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－2<x <14，则ab ＝( ) A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26答案 C解析 ∵－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝－2×14＝－12，－b a ＝－74，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝7，∴ab ＝28.3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为( )A ．{x |x ≥4}B ．{x |x <4}C ．{x |－3<x <0}D ．{x |x <－3}答案 B解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2.当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0.综上，x <4.故f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}．4．不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( ) A ．B ．(－4,4)C ．(－∞，－4]∪∪ C ．∪(0，＋∞)D ．∪(0，＋∞)．6．不等式|x 2－x |<2的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－1,1) C ．(－2,1) D ．(－2,2)答案 A解析 由|x 2－x |<2，得－2<x 2－x <2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x <2， ①x 2－x >－2. ②由①，得－1<x <2.由②，得x ∈R .所以解集为(－1,2)，故选A.7．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点分别为(－2，0)，(2，0)，则ax 2＋bx ＋c >0的解的情况是( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x >2或x <－2}C ．{x |x ≠±2}D ．不确定，与a 的符号有关答案 D解析 当a >0时，解集为{x |x >2或x <－2}；当a <0时，解集为{x |－2<x <2}，故选D.8．如果二次函数y ＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1]上是减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2]D ．上是减函数，∴－a －2×3≥1，解得a ≤－2.故选C.9．设a ∈R ，关于x 的不等式ax 2＋(1－2a )x －2>0的解集有下列四个命题：①原不等式的解集不可能为∅；②若a ＝0，则原不等式的解集为(2，＋∞)；③若a <－12，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，2；④若a >0，则原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1a ∪(2，＋∞)．其中正确命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 C解析 原不等式等价于(ax ＋1)(x －2)>0.当a ＝0时，不等式化为x －2>0，得x >2.当a ≠0时，方程(ax ＋1)(x －2)＝0的两根分别是2和－1a ，若a <－12，解不等式得－1a<x <2；若a ＝－12，不等式的解集为∅；若－12<a <0，解不等式得2<x <－1a ；若a >0，解不等式得x <－1a或x >2.故①为假命题，②③④为真命题．10．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪ 答案 D解析 由题意知，对于任意x ∈R ，x 2＋ax ＋1≥0恒成立，则Δ＝a 2－4×1×1＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2，故选D.11．设函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3，g (x )＝ax －2a ，若存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0和g (x 0)<0同时成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(7，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(6，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2)∪(7，＋∞)答案 A解析 由f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3知f (0)＝a ＋3，f (1)＝4，又存在x 0∈R ，使得f (x 0)<0，知Δ＝a 2－4(a ＋3)>0，即a <－2或a >6.又g (x )＝ax －2a 的图象恒过(2,0)，故当a >6时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图1所示，当a <－2时，作出函数f (x )和g (x )的图象如图2所示．由函数的图象知，当a >6时，g (x 0)<0⇔x 0<2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >6，f，∴a >7.当a <－2时，g (x 0)<0⇔x 0>2，此时函数f (x )＝x 2－ax ＋a ＋3的图象的对称轴x ＝a2<0，故函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，＋∞上为增函数，又f (1)＝4，∴f (x 0)<0不成立．综上，实数a 的取值范围为a >7，故选A.12．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间内的所有零点之和等于________．答案 4解析 因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以函数f (x ＋1)的图象关于点(0,0)对称，把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，可得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x ，所以－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，再令x 取x ＋1可得－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋x ，所以有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，可得f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，图象如图所示，故方程f (x )＝－12在区间内的所有零点之和为12×2×4＝4.二、高考小题13．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0<f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( ) A ．c ≤3 B ．3<c ≤6 C ．6<c ≤9 D ．c >9答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧f－＝f －，f －＝f －，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －b ＝7，4a －b ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝11.则有f (－1)＝c －6，由0<f (－1)≤3，得6<c ≤9.14．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N ＝( ) A ．(0,4] B ．答案 B解析 由题意可得M ＝{x |－1<x <4}，所以M ∩N ＝{x |0≤x <4}．15．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A ．52 B ．72 C ．154D ．152答案 A解析 解法一：∵由x 2－2ax －8a 2<0(a >0)， 得(x －4a )(x ＋2a )<0，即－2a <x <4a ， ∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝4a －(－2a )＝6a ＝15， ∴a ＝52.故选A.解法二：由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2， 故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.16．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________(用区间表示)．答案 (－4,1)解析 不等式－x 2－3x ＋4>0等价于x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1.17．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈，都有f (x )<0，则实数m 的取值范围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 解析 由题可得f (x )<0对于x ∈恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧f m ＝2m 2－1<0，fm ＋＝2m 2＋3m <0，解得－22<m <0.18．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .那么，不等式f (x ＋2)<5的解集是________．答案 (－7,3)解析 当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为x <2是x 2－3x ＋2<0成立的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 由x 2－3x ＋2<0，解得1<x <2，再根据已知条件易知选A. 20．关于x 的不等式x －a x －bx －c≥0的解为－1≤x <2或x ≥3，则点P (a ＋b ，c )位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析 由不等式的解集可知－1,3是方程(x －a )(x －b )＝0的两个根，且c ＝2，不妨设a ＝－1，b ＝3，∴a ＋b ＝2，即点P (a ＋b ，c )的坐标为(2,2)，位于第一象限．21．对于任意实数x ，不等式(a －2)x 2－2(a －2)x －4<0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，2]C ．(－2,2)D ．(－2,2]答案 D解析 当a －2＝0，即a ＝2时，－4<0，恒成立；当a －2≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a －2＋a －，解得－2<a <2，∴－2<a ≤2.故选D.22．“已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，解关于x 的不等式cx 2＋bx＋a >0.”给出如下的一种解法：解：由ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1,2)，得a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫12，1，即关于x的不等式cx 2＋bx ＋a >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.参考上述解法：若关于x 的不等式bx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则关于x 的不等式b x －a －x －bx －c>0的解集为( )A ．(－1,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 答案 B 解析 由bx ＋a ＋x ＋b x ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，得b －x ＋a ＋－x ＋b －x ＋c <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1，即b x －a －x －b x －c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.故选B.23．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，x 2－6x ＋2，x >0，则关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为( )A ．(－3，－3)B ．(－3,1)C ．(－∞，2－3)∪(2＋3，＋∞)D ．(－3,1)∪(2＋3，＋∞) 答案 D解析 画出函数f (x )的图象如图所示，可知函数f (x )在(－∞，3)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．∵3－x 2≤3，故分以下几种情形：(1)若3－x 2≤0且2x ≤0，即x ≤－3，则2－(3－x 2)<2－2x .解得－3<x <1，∴－3<x ≤－ 3.(2)若－3<x ≤0，则0<3－x 2≤3,2x ≤0，观察图象知f (3－x 2)<f (2x )恒成立． (3)若0<x ≤3，则2x <3－x 2或3－(3－x 2)<2x －3(3－x 2离对称轴直线x ＝3比2x 离对称轴近)，解得0<x <1.(4)若x >3，则3－x 2<0,2x >0，要求2－(3－x 2)<(2x )2－6×2x ＋2，解得x >2＋ 3. 综上，得关于x 的不等式f (3－x 2)<f (2x )的解集为(－3,1)∪(2＋3，＋∞)． 24．已知函数f (x )＝2x 2＋bx ＋c (b ，c ∈R )的值域为已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a 、b 的值． 解 (1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3，∴原不等式可化为a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a－a3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.2．已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )<0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈，f (x )<5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒m ＝0或－4<m <0⇒－4<m ≤0.故m 的取值范围是(－4,0]． (2)∵f (x )<－m ＋5⇒m (x 2－x ＋1)<6， ∵x 2－x ＋1>0， ∴m <6x 2－x ＋1对于x ∈恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈，记h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈上为增函数．则g (x )在上为减函数， ∴min ＝g (3)＝67，∴m <67.∴m 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，67.3．已知抛物线y ＝(m －1)x 2＋(m －2)x －1(x ∈R )． (1)当m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？(2)若关于x 的方程(m －1)x 2＋(m －2)x －1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m 的取值范围．解 (1)根据题意，m ≠1且Δ>0，即Δ＝(m －2)2－4(m －1)(－1)>0，得m 2>0， 所以m ≠1且m ≠0.(2)在m ≠0且m ≠1的条件下，⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝m －21－m，x 1·x 2＝11－m，因为1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝m －2，所以1x 21＋1x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 22－2x 1x 2＝(m －2)2＋2(m －1)≤2. 得m 2－2m ≤0，所以0≤m ≤2.所以m 的取值范围是{m |0<m <1或1<m ≤2}． 4．已知函数f (x )＝ax 2＋x －a ，a ∈R . (1)若函数f (x )有最大值178，求实数a 的值；(2)解不等式f (x )>1(a ∈R )．解 (1)当a ≥0时不合题意，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12a 2－1＋4a 24a ，当a <0时，f (x )有最大值，且－1＋4a 24a ＝178，解得a ＝－2或－18.(2)f (x )>1，即ax 2＋x －a >1，(x －1)(ax ＋a ＋1)>0， ①当a ＝0时，{x |x >1}；②当a >0时，(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1a >0，即⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x >1或x <－1－1a ；③当a ＝－12时，(x －1)2<0，解集为∅；④当－12<a <0时，(x －1)·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1a <0， 即⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <－1－1a ；⑤当a <－12时，(x －1)·⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1a <0， 即⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1－1a<x <1.。
高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 38 Word版含答案
考点测试38 直接证明与间接证明一、基础小题1．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”过程应用了( ) A．分析法B．综合法C．综合法、分析法综合使用D．间接证明法答案 B解析因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．2．用反证法证明结论“三角形内角至少有一个不大于60°”，应假设( )A．三个内角至多有一个大于60°B．三个内角都不大于60°C．三个内角都大于60°D．三个内角至多有两个大于60°答案 C解析“三角形内角至少有一个不大于60°”即“三个内角至少有一个小于等于60°”，其否定为“三角形内角都大于60°”．故选C.3．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.证明过程如下：∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac.又∵a，b，c不全相等，∴以上三式至少有一个“＝”不成立．∴将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．∴a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.此证法是( )A．分析法B．综合法C．分析法与综合法并用D．反证法答案 B解析由已知条件入手证明结论成立，满足综合法的定义．4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a>b>c，且a＋b＋c＝0，求证b2－ac <3a”索的因应是( )A．a－b>0 B．a－c>0C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0答案 C解析b2－ac<3a⇔b2－ac<3a2⇔(a＋c)2－ac<3a2⇔a2＋2ac＋c2－ac－3a2<0⇔－2a2＋ac＋c2<0⇔2a2－ac－c2>0⇔(a－c)(2a＋c)>0⇔(a－c)(a－b)>0.5．若P＝a＋a＋7，Q＝a＋3＋a＋4，a≥0，则P、Q的大小关系是( )A．P>Q B．P＝QC．P<Q D．由a的取值确定答案 C解析令a＝0，则P＝7≈2.6，Q＝3＋4≈3.7，∴P<Q.据此猜想a≥0时P<Q.证明如下：要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证2a＋7＋2a a＋<2a＋7＋2a＋a＋，只要证a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证0<12，∵0<12成立，∴P <Q 成立．故选C.6．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是( )C ．75,76D ．84,85答案 D解析 由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案中的4组座位号知，只有D 符合条件．7．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，有下列命题： ①α∥β⇒l ⊥m ；②α⊥β⇒l ∥m ； ③l ∥m ⇒α⊥β；④l ⊥m ⇒α∥β. 其中正确命题的序号是________． 答案 ①③ 解析 ①⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥αα∥β⇒l ⊥β，又∵m ⊂β，∴l ⊥m ，①正确； ②l ⊥α，当l ⊂β且m 不垂直α时， 则l 必与m 相交，故②错误； ③⎭⎪⎬⎪⎫l ∥m l ⊥α⇒m ⊥α，又m ⊂β，∴β⊥α，故③正确； ④若α∩β＝n ，且m ∥n 时，l ⊥α⇒l ⊥n ⇒l ⊥m ，故④错误．8．记S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则S 与1的大小关系是________．答案 S <1解析 ∵1210＋1<1210，1210＋2<1210，…，1211－1＝1210＋210－1<1210， ∴S ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1<1210＋1210＋…＋1210＝1.二、高考小题9．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根 B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根 C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根 D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根 答案 A解析 “方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”的否定是“方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根”．三、模拟小题10．用反证法证明：若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理数根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案 B解析 “至少有一个”的否定为“都不是”，故选B. 11．设a ，b ，c 是不全相等的正数，给出下列判断： ①(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≠0； ②a >b ，a <b 及a ＝b 中至少有一个成立； ③a ≠c ，b ≠c ，a ≠b 不能同时成立， 其中正确判断的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 ①②正确；③中，a ≠b ，b ≠c ，a ≠c 可以同时成立，如a ＝1，b ＝2，c ＝3，故正确的判断有2个．12．设a ，b ，c 都是正数，则a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a三个数( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2答案 D解析 假设a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a 都小于2，则有a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6.因为a ，b ，c 都是正数， 所以a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a ＋⎝⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c ＋1c ≥2a ·1a ＋2b ·1b＋2c ·1c＝6与a ＋1b＋b ＋1c＋c ＋1a<6矛盾．故假设不成立，所以a ＋1a ，b ＋1b ，c ＋1a至少有一个不小于2，故选D.13．设a >b >0，m ＝a －b ，n ＝a －b ，则m ，n 的大小关系是________． 答案 n >m解析 解法一(取特殊值法)：取a ＝2，b ＝1，则m <n .解法二(分析法)：a －b <a －b ⇐b ＋a －b >a ⇐a <b ＋2b ·a －b ＋a －b ⇐2b ·a －b >0，显然成立．一、高考大题1．设数列A ：a 1，a 2，…，a N (N ≥2)．如果对小于n (2≤n ≤N )的每个正整数k 都有a k <a n ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”．记G (A )是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合．(1)对数列A ：－2,2，－1,1,3，写出G (A )的所有元素； (2)证明：若数列A 中存在a n 使得a n >a 1，则G (A )≠∅；(3)证明：若数列A 满足a n －a n －1≤1(n ＝2,3，…，N )，则G (A )的元素个数不小于a N －a 1.解 (1)G (A )的元素为2和5. (2)证明：因为存在a n 使得a n >a 1， 所以{i ∈N *|2≤i ≤N ，a i >a 1}≠∅. 记m ＝min{i ∈N *|2≤i ≤N ，a i >a 1}，则m ≥2，且对任意正整数k <m ，a k ≤a 1<a m . 因此m ∈G (A )．从而G (A )≠∅. (3)证明：当a N ≤a 1时，结论成立． 以下设a N >a 1. 由(2)知G (A )≠∅.设G (A )＝{n 1，n 2，…，n p }，n 1<n 2<…<n p .记n 0＝1，则a n 0<a n 1<a n 2<…<a n p . 对i ＝0,1，…，p ，记G i ＝{k ∈N *|n i <k ≤N ，a k >a n i }． 如果G i ≠∅，取m i ＝min G i ，则对任意1≤k <m i ，a k ≤a n i <a m i . 从而m i ∈G (A )且m i ＝n i ＋1.又因为n p 是G (A )中的最大元素，所以G p ＝∅. 从而对任意n p ≤k ≤N ，a k ≤a n p ，特别地，a N ≤a n p . 对i ＝0,1，…，p －1，a n i ＋1－1≤a n i .因此a n i ＋1＝a n i ＋1－1＋(a n i ＋1－a n i ＋1－1)≤a n i ＋1.所以a N －a 1≤a n p －a 1＝∑pi ＝1 (a n i －a n i －1)≤p .因此G (A )的元素个数p 不小于a N －a 1. 2．设数列{a n }满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，n ∈N *. (1)证明：|a n |≥2n －1(|a 1|－2)，n ∈N *；(2)若|a n |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫32n ，n ∈N *，证明：|a n |≤2，n ∈N *.证明 (1)由⎪⎪⎪⎪⎪⎪a n －a n ＋12≤1，得|a n |－12|a n ＋1|≤1，故 |a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1≤12n ，n ∈N *， 所以|a 1|21－|a n |2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 1|21－|a 2|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a 2|22－|a 3|23＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n－1|2n －1－|a n |2n ≤121＋122＋…＋12n －1<1，因此|a n |≥2n －1(|a 1|－2)．(2)任取n ∈N *，由(1)知，对于任意m >n ，|a n |2n －|a m |2m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n |2n －|a n ＋1|2n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a n ＋1|2n ＋1－|a n ＋2|2n ＋2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|a m －1|2m －1－|a m |2m ≤12n ＋12n ＋1＋…＋12m －1<12n －1，故|a n |<⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋|a m |2m ·2n ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤12n －1＋12m ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32m ·2n＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n.从而对于任意m >n ，均有|a n |<2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34m ·2n. ①由m 的任意性得|a n |≤2.否则，存在n 0∈N *，有|a n 0|>2，取正整数m 0>log 34|a n 0|－22n且m 0>n 0，则2 n0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34m 0<2n 0·⎝ ⎛⎭⎪⎫34log 34 |a n 0|－22n0 ＝|a n 0|－2，与①式矛盾，综上，对于任意n ∈N *，均有|a n |≤2. 二、模拟大题3．已知函数f (x )＝3x －2x ，求证：对于任意的x 1，x 2∈R ，均有f x 1＋f x 22≥f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.证明 要证明f x 1＋f x 22≥f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，即证明x1－2x 1＋x 2－2x 22≥3x 1＋x 22－2·x 1＋x 22，因此只要证明3 x1＋3 x22－(x 1＋x 2)≥3x 1＋x 22－(x 1＋x 2)，即证明3 x1＋3 x22≥3x 1＋x 22 ，因此只要证明3 x1＋3 x22≥3 x 1·3 x2，由于x 1，x 2∈R 时，3 x1>0,3 x2>0，由基本不等式知3 x1＋3 x 22≥3 x 1·3 x2显然成立，故原结论成立．4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋S n ＝2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：数列{a n }中不存在三项按原来顺序成等差数列． 解 (1)当n ＝1时，a 1＋S 1＝2a 1＝2，则a 1＝1. 又a n ＋S n ＝2，所以a n ＋1＋S n ＋1＝2， 两式相减得a n ＋1＝12a n ，所以{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，所以a n ＝12n －1.(2)证明(反证法)：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为a p ＋1，a q ＋1，a r ＋1(p <q <r ，且p ，q ，r ∈N *)，则2·12q ＝12p ＋12r ，所以2·2r －q ＝2r －p＋1.①又因为p <q <r ，所以r －q ，r －p ∈N *.所以①式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立． 所以假设不成立，原命题得证．。
高考数学一轮复习 第一部分 考点通关练 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 考点测试32 不
第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试32 不等关系与不等式高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中、低等难度 考纲研读1.了解现实世界和日常生活中的不等关系2．了解不等式(组)的实际背景 3．掌握不等式的性质及应用一、基础小题1．设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B D ．A >B答案 B解析 由题意，得B 2－A 2＝－2ab ≤0，且A ≥0，B ≥0，可得A ≥B .故选B. 2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2<b 2B ．ab <b 2C ．a ＋b <0D ．|a |＋|b |>|a ＋b |答案 D解析 ∵1a <1b<0，∴b <a <0，∴b 2>a 2，ab <b 2，a ＋b <0，∴A ，B ，C 均正确，∵b <a <0，∴|a |＋|b |＝|a ＋b |，D 错误，故选D.3．设a <b <0，c >0，则下列不等式中不成立的是( ) A.c a >cbB ．ca －b >c aC ．|a |c >－bcD ．－ac>－bc答案 B解析 由题设得a <a －b <0，所以有1a －b <1a ，又因为c >0，所以c a －b <c a，所以B 中式子不成立．4．已知a ，b ∈R ，若a >b ，1a <1b同时成立，则()A ．ab >0B ．ab <0C ．a ＋b >0D ．a ＋b <0答案 A解析 因为1a <1b ，所以1a －1b ＝b －aab<0，又a >b ，所以b －a <0，所以ab >0.5．若m <0，n >0且m ＋n <0，则下列不等式中成立的是() A ．－n <m <n <－m B ．－n <m <－m <n C ．m <－n <－m <n D ．m <－n <n <－m答案 D解析 解法一：(取特殊值法)令m ＝－3，n ＝2分别代入各选项检验，可知D 正确． 解法二：m ＋n <0⇒m <－n ⇒n <－m ，又由于m <0<n ，故m <－n <n <－m 成立．故选D. 6．已知a <b <|a |，则以下不等式中恒成立的是( ) A ．|b |<－a B ．ab >0 C ．ab <0 D ．|a |<|b |答案 A解析 解法一：由a <b <|a |，可知a <0，但b 不能确定，当b ＝0时，|b |＝0<－a 成立；当b >0时，|b |＝b <|a |＝－a ，|b |<－a 成立；当b <0时，－b <－a ，则|b |<－a 成立．综上，|b |<－a .解法二：因为a <b <|a |，令a ＝－2，b ＝0，代入各选项验证，可排除B ，C ，D ，故选A. 7．已知a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2<b 2<c 2B ．a |b |<c |b |C ．ba <caD ．ca <cb答案 D解析 因为a <b <c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a <0，c >0，b 的符号不确定，对于a <b ，两边同时乘以正数c ，不等号方向不变．故选D.8．已知a ，b ，c ∈R ＋，若ca ＋b <ab ＋c <ba ＋c，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <a <bB ．b <c <aC ．a <b <cD ．c <b <a答案 A解析 因为a ，b ，c ∈R ＋，由ca ＋b <ab ＋c，得cb ＋c 2<a 2＋ab ，整理得(c －a )(a ＋b ＋c )<0，因为a ＋b ＋c >0，所以c －a <0，所以c <a ，同理，由ab ＋c <ba ＋c，得a <b ，所以c <a <b .9．若6<a <10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，则c 的取值X 围是( )A ．[9,18]B ．(15,30)C ．[9,30]D ．(9,30)答案 D解析 ∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a .∵6<a <10，∴9<c <30.故选D.10．设a ，b ∈R ，定义运算“⊗”和“⊕”如下：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ⊗n ≥2，p ⊕q ≤2，则( )A ．mn ≥4且p ＋q ≤4B ．m ＋n ≥4且pq ≤4C ．mn ≤4且p ＋q ≥4D ．m ＋n ≤4且pq ≤4答案 A解析 结合定义及m ⊗n ≥2可得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≤n 或⎩⎪⎨⎪⎧n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4；结合定义及p ⊕q ≤2可得⎩⎪⎨⎪⎧p ≤2，p >q 或⎩⎪⎨⎪⎧q ≤2，p ≤q ，即q <p ≤2或p ≤q ≤2，所以p ＋q ≤4.故选A.11．有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为x ，y ，z ，且x <y <z ，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m 2)分别为a ，b ，c ，且a <b <c .在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是( )A ．ax ＋by ＋czB ．az ＋by ＋cxC ．ay ＋bz ＋cxD ．ay ＋bx ＋cz答案 B解析 因为x <y <z ，a <b <c ，所以ax ＋by ＋cz －(az ＋by ＋cx )＝a (x －z )＋c (z －x )＝(x －z )(a －c )>0，故ax ＋by ＋cz >az ＋by ＋cx ；同理，ay ＋bz ＋cx －(ay ＋bx ＋cz )＝b (z －x )＋c (x －z )＝(x －z )(c －b )<0，故ay ＋bz ＋cx <ay ＋bx ＋cz .因为az ＋by ＋cx －(ay ＋bz ＋cx )＝a (z －y )＋b (y －z )＝(a －b )(z －y )<0，故az ＋by ＋cx <ay ＋bz ＋cx .故最低费用为az ＋by ＋cx .故选B.12．已知－1<x <4,2<y <3，则x －y 的取值X 围是________，3x ＋2y 的取值X 围是________． 答案 (－4,2) (1,18)解析 ∵－1<x <4,2<y <3，∴－3<－y <－2，∴－4<x －y <2.由－1<x <4,2<y <3，得－3<3x <12，4<2y <6，∴1<3x ＋2y <18.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅱ)若a >b ，则( ) A ．ln (a －b )>0 B ．3a <3bC ．a 3－b 3>0 D ．|a |>|b |答案 C解析 解法一：不妨设a ＝－1，b ＝－2，则a >b ，可验证A ，B ，D 错误，只有C 正确． 解法二：由a >b ，得a －b >0.但a －b >1不一定成立，则ln (a －b )>0 不一定成立，故A 不一定成立．因为y ＝3x 在R 上是增函数，当a >b 时，3a >3b ，故B 不成立．因为y ＝x 3在R 上是增函数，当a >b 时，a 3>b 3，即a 3－b 3>0，故C 成立．因为当a ＝3，b ＝－6时，a >b ，但|a |<|b |，所以D 不一定成立．故选C.14．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，∴1a ＝log 0.30.2，1b ＝log 0.32，∴1a ＋1b＝log 0.30.4，∴0<1a ＋1b <1，即0<a ＋b ab<1，又a >0，b <0，∴ab <0，∴ab <a ＋b <0.故选B.15．(2018·高考)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A答案 D解析 若(2,1)∈A ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－1≥1，2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32.结合四个选项，只有D 说法正确．故选D.16．(2017·某某高考)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b ＜b2a ＜log 2(a ＋b )B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1bC ．a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2aD ．log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2a答案 B解析 (特殊值法)令a ＝2，b ＝12，可排除A ，C ，D.故选B.17．(2016·高考)已知x ，y ∈R ，且x >y >0，则( ) A.1x －1y>0B ．sin x －sin y >0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0 D ．ln x ＋ln y >0答案 C解析 ∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，∴当x >y >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y<0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，∴由x >y >0⇒1x <1y ⇒1x －1y<0，故A 错误；函数y＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，∴当x >y >0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；令x ＝1,0<y <1，则x >y >0，而ln x ＋ln y ＝ln y <0，故D 错误．18．(2016·某某高考)已知实数a ，b ，c .( ) A ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2＋c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 B ．若|a 2＋b ＋c |＋|a 2＋b －c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 C ．若|a ＋b ＋c 2|＋|a ＋b －c 2|≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 D ．若|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≤1，则a 2＋b 2＋c 2<100 答案 D解析 利用特殊值法验证．令a ＝3，b ＝3，c ＝－11.5，排除A ；令a ＝4，b ＝－15.5，c ＝0，排除B ；令a ＝11，b ＝－10.5，c ＝0，排除C.由1≥|a 2＋b ＋c |＋|a ＋b 2－c |≥|a 2＋a＋b 2＋b |得－1≤a 2＋a ＋b 2＋b ≤1，即－12≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋122≤32，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122≤32，－2<－12－62≤a ≤－12＋62<1.同理－2<b <1.再由1≥|a ＋b 2－c |≥|c |－|a |－|b 2|>|c |－2－4，得|c |<7.所以a 2＋b 2＋c 2<4＋4＋49＝57<100.故选D.19．(2015·某某高考)设x ∈R ，[x ]表示不超过x 的最大整数．若存在实数t ，使得[t ]＝1，[t 2]＝2，…，[t n]＝n 同时成立，则正整数n 的最大值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 若n ＝3，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤t <2，2≤t 2<3，3≤t 3<4，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤t 6<64，8≤t 6<27，9≤t 6<16，得9≤t 6<16，即当33≤t <34时，有[t ]＝1，[t 2]＝2，[t 3]＝3，∴n ＝3符合题意．若n ＝4，则⎩⎪⎨⎪⎧ 33≤t <34，4≤t 4<5，即⎩⎪⎨⎪⎧34≤t 12<44，43≤t 12<53，得34≤t 12<53，即当33≤t <45时，有[t ]＝1，[t 2]＝2，[t 3]＝3，[t 4]＝4，故n ＝4符合题意．若n ＝5，则⎩⎪⎨⎪⎧33≤t <45，5≤t 5<6，即⎩⎨⎧33≤t <45，55≤t <56，①∵63<35，∴56<33，故①式无解，即n ＝5不符合题意，则正整数n 的最大值为4. 三、模拟小题20．(2019·某某省某某市高三上学期期末)若a <b <0，则下列不等式一定成立的是( ) A.1a <1bB ．1a －b >1bC.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b D ．a 3>b 3答案 C解析 若a <b <0，则1a >1b，A 错误；因为a －b <0，则a －b 与b 大小关系不确定，B 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫12a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 成立，C 正确；a 3<b 3，D 错误．故选C. 21．(2019·某某百校联盟模拟)设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件答案 B解析 由(a －b )a 2≥0，解得a ≥b 或a ＝0，b ∈R .因为a 2≥0，a ≥b ，所以(a －b )a 2≥0，故“(a －b )a 2≥0”是“a ≥b ”的必要不充分条件．故选B.22．(2019·某某某某一中模拟)若a <b <0，给出下列不等式：①a 2＋1>b 2；②|1－a |>|b－1|；③1a ＋b >1a >1b.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 D解析 由于a <b <0，所以|a |>|b |>0，a 2>b 2，故a 2＋1>b 2，①正确；－a >－b >0，－a ＋1>－b ＋1>1，故|1－a |>|b －1|，②正确；因为a ＋b <a <b <0，所以1a ＋b >1a >1b，③正确．故选D. 23．(2019·某某模拟)已知a ＝2，b ＝55，c ＝77，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．b >a >c D ．b >c >a答案 A解析 a ＝2，b ＝55，c ＝77，则a 70＝235＝(25)7＝327＝(27)5＝1285，b 70＝514＝(52)7＝257，c 70＝710＝(72)5＝495，∴a >b >c ，故选A.24．(2019·某某期末)已知a ，b ，c >0，则b a ，c b ，ac的值( ) A ．都大于1B ．都小于1C ．至多有一个不小于1D ．至少有一个不小于1答案 D解析 令a ＝b ＝c ，则b a ＝c b ＝a c ＝1，排除A ，B ；令a ＝1，b ＝2，c ＝4，则b a ＝c b ＝2，a c＝14，排除C ；对于D ，假设b a <1，c b <1，ac <1，则b <a ，c <b ，a <c ，相加得a ＋b ＋c <a ＋b ＋c ，矛盾，故选D.25．(2019·某某第一中学月考)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值X 围为( )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3) 答案 B解析 由已知及三角形的三边关系得⎩⎪⎨⎪⎧a <b ＋c ≤3a ，a ＋b >c ，a ＋c >b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋c a≤3，1＋b a >c a ，1＋c a >b a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1<b a ＋ca ≤3，－1<c a －ba <1，两式相加得，0<2×ca <4，∴c a的取值X 围为(0,2)．26．(2019·某某某某模拟)已知m ＝a －a －2，n ＝a －1－a －3，其中a ≥3，则m ，n 的大小关系为( )A ．m >nB ．m ＝nC ．m <nD ．大小不确定答案 C解析 ∵a ≥3，m ＝a －a －2＝2a ＋a －2，n ＝a －1－a －3＝2a －1＋a －3，又0<a －1＋a －3<a ＋a －2，∴2a ＋a －2<2a －1＋a －3，∴m <n .27．(2019·某某二模)设a ≥b ≥c ，且1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个实根，则ca的取值X 围为( ) A ．[－2,0] B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 答案 C解析 ∵1是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个实根，∴a ＋b ＋c ＝0，得b ＝－a －c ，∵a ≥b ≥c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－a －c ，－a －c ≥c ，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－c ，－a ≥2c .若a >0，则不等式等价为⎩⎪⎨⎪⎧ 2≥－ca，－1≥2ca ，即⎩⎪⎨⎪⎧ c a ≥－2，c a ≤－12，得－2≤c a ≤－12；若a <0，则不等式等价为⎩⎪⎨⎪⎧2≤－c a，－1≤2ca，即⎩⎪⎨⎪⎧c a ≤－2，c a ≥－12，此时不等式无解．综上，c a 的取值X 围为－2≤c a ≤－12，故选C.28．(2019·某某二中检测)若a >b >0，给出以下几个不等式： ①b a <b ＋5a ＋5；②lg a ＋b 2<lg a ＋lg b 2；③a ＋1b >b ＋1a；④a －b >a －b . 其中正确的是________(请填写所有正确的序号)． 答案 ①③ 解析 对于①，b a －b ＋5a ＋5＝b a ＋5－a b ＋5a a ＋5＝5b －a a a ＋5<0，所以b a <b ＋5a ＋5，①正确；对于②，因为a ＋b2>ab ，所以lga ＋b2>lg ab ＝12(lg a ＋lg b )，故②错误；对于③，因为a >b >0，所以0<1a <1b ，所以a ＋1a <a ＋1b ，b ＋1a <a ＋1a ，所以a ＋1b >b ＋1a ，故③正确；对于④，取a ＝4，b ＝1，而a －b ＝1，a －b ＝3，所以a －b >a －b 不成立，故④错误．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2020·某某一中高三月考)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12.记f (x )>－1的解集为M .(1)求集合M ；(2)已知a ∈M ，比较a 2－a ＋1与1a的大小．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤0，3x －1，0<x <12，－x ＋1，x ≥12.由f (x )>－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧0<x <12，3x －1>－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，－x ＋1>－1，解得0<x <2，故M ＝{x |0<x <2}． (2)由(1)知0<a <2，因为a 2－a ＋1－1a ＝a 3－a 2＋a －1a＝a －1a 2＋1a，当0<a <1时，a －1a 2＋1a<0，所以a 2－a ＋1<1a；当a ＝1时，a －1a 2＋1a ＝0，所以a 2－a ＋1＝1a；当1<a <2时，a －1a 2＋1a>0，所以a 2－a ＋1>1a.综上所述，当0<a <1时，a 2－a ＋1<1a；当a ＝1时，a 2－a ＋1＝1a ；当1<a <2时，a 2－a ＋1>1a.2．(2020·某某中学月考)(1)已知－3<a <b <1，－2<c <－1，求证：－16<(a －b )c 2<0； (2)已知a ≠b ，试比较a 4－b 4与4a 3(a －b )的大小．解 (1)证明：因为－3<a <b <1，所以－1<－b <3，－3<a <1，所以－4<a －b <4， 又a <b ，所以a －b <0，所以－4<a －b <0， 所以0<b －a <4，又－2<c <－1，所以1<c 2<4，所以0<(b －a )c 2<16，所以－16<(a －b )c 2<0. (2)a 4－b 4－4a 3(a －b )＝(a －b )(a ＋b )(a 2＋b 2)－4a 3·(a －b ) ＝(a －b )(a 3＋a 2b ＋ab 2＋b 3－4a 3)＝(a －b )[(a 2b －a 3)＋(ab 2－a 3)＋(b 3－a 3)] ＝－(a －b )2(3a 2＋2ab ＋b 2) ＝－(a －b )2[2a 2＋(a ＋b )2]，因为2a 2＋(a ＋b )2≥0(当且仅当a ＝b ＝0时取等号)，且a ≠b ， 所以(a －b )2>0,2a 2＋(a ＋b )2>0， 所以－(a －b )2[2a 2＋(a ＋b )2]<0， 故a 4－b 4<4a 3(a －b )．。
最新高考考点完全题数学(理)考点通关练习题 第五章 不等式、推理与证明、算法初步与复数 41
考点测试41 复数一、基础小题1．若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为( ) A ．3＋5i B ．3－5i C ．－3＋5i D ．－3－5i答案 A解析 z ＝11＋7i 2－i ＝11＋7i2＋i 2－i2＋i ＝15＋25i5＝3＋5i.2.如图，在复平面内，点A 表示复数z ，由图中表示z 的共轭复数的点是( )A ．AB ．BC ．CD ．D答案 B解析 表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B. 3．若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 由题意知x ＋y i ＝3＋4i i ＝4－3i ，所以|x ＋y i|＝|4－3i|＝42＋－32＝5.4．若复数z 满足1＋2iz＝i(i 为虚数单位)，则z 的虚部为( )A ．－2B ．2C ．1D ．－1答案 D解析 由1＋2i z ＝i ，可得z ＝1＋2i i ＝i ＋2i 2i 2＝－2＋i －1＝2－i ，所以z 的虚部为－1，故选D.5．复数z ＝i1＋i 在复平面上对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A 解析 因为z ＝i 1＋i ＝1＋i 2，所以对应点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，故在第一象限，选A. 6．复数i 2＋i 3＋i41－i ＝( )A ．－12－12iB ．－12＋12iC.12－12iD.12＋12i 答案 C解析 i 2＋i 3＋i 41－i ＝－1＋－i ＋11－i ＝－i 1－i＝－i 1＋i 1－i 1＋i ＝1－i 2＝12－12i.7．设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i 为纯虚数，则实数a 为( )A ．2B ．－2C ．－12D.12答案 A解析 解法一：因为1＋a i 2－i ＝1＋a i2＋i2－i 2＋i＝2－a ＋2a ＋1i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2.解法二：令1＋a i2－i ＝m i(m ≠0)，∴1＋a i ＝(2－i)m i ＝m ＋2m i.∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，a ＝2m ，∴a ＝2.8．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数为( )A ．1－2iB ．－1＋2iC ．3＋4iD ．－3－4i答案 D解析 CA →＝CB →－AB →＝－1－3i －2－i ＝－3－4i ，故选D. 9．设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2<0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0 D ．若z 是纯虚数，则z 2<0答案 C解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝a 2－b 2＋2ab i ，由z 2≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝0，a 2≥b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，|a |≥|b |或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，|a |≥|b |.所以a ＝0时b ＝0，b ＝0时a ∈R .故z 是实数，所以A 为真命题；由于实数的平方不小于0，所以当z 2<0时，z 一定是虚数，故B 为真命题；由于i 2＝－1<0，故C 为假命题，D 为真命题．10．关于复数z ＝1＋i21－i，下列说法中正确的是( )A ．在复平面内复数z 对应的点在第一象限B ．复数z 的共轭复数z ＝1－iC ．若复数z 1＝z ＋b (b ∈R )为纯虚数，则b ＝1D ．设a ，b 为复数z 的实部和虚部，则点(a ，b )在以原点为圆心，半径为1的圆上 答案 C解析 由题可知z ＝1＋i21－i ＝2i 1－i＝－1＋i ，若z ＋b (b ∈R )为纯虚数，则b ＝1，故选C.11．如图，在复平面内，已知复数z 1，z 2，z 3对应的向量分别是OA →，OB →，OC →，i 是虚数单位，若复数z ＝z 1·z 2z 3，则|z ＋112i|＝( )A ．3 B.10＋11 C.6＋11 D.32答案 A解析 由题图可知，z 1＝3＋i ，z 2＝1－2i ，z 3＝－2＋2i ，则z ＝z 1·z 2z 3＝3＋i 1－2i －2＋2i ＝－52，∴z ＋112i ＝－52＋112i ，|z ＋112i|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1122＝3，故选A.12．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则y x的最大值为________． 答案3解析 |z －2|＝x －22＋y 2＝3， ∴(x －2)2＋y 2＝3，⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax ＝31＝ 3.二、高考小题 13．若z ＝1＋2i ，则4iz z －1＝( )A ．1B ．－1C ．iD ．－i答案 C解析 ∵z z ＝(1＋2i)(1－2i)＝5，∴4iz z －1＝4i4＝i.故选C.14．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 B解析 ∵x ，y ∈R ，(1＋i)x ＝1＋y i ，∴x ＋x i ＝1＋y i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴|x ＋y i|＝|1＋i|＝12＋12＝ 2.故选B.15．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)答案 A解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3>0，m －1<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m >－3，m <1⇒－3<m <1.故选A.16．若复数z 满足2z ＋z ＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2iD ．－1－2i答案 B解析 设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，则2z ＋z ＝2(a ＋b i)＋a －b i ＝3a ＋b i ＝3－2i ，∴a ＝1，b ＝－2，∴z ＝1－2i ，故选B.17．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 4答案 A解析 T 3＝C 26x 4i 2＝－15x 4，故选A. 18．设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2答案 A解析 由已知1＋z 1－z ＝i ，可得z ＝i －1i ＋1＝i －12i ＋1i －1＝－2i－2＝i ，∴|z |＝|i|＝1，故选A.19．i 为虚数单位，i 607的共轭复数为( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1答案 A 解析 ∵i 607＝i4×151＋3＝(i 4)151·i 3＝－i ，∴i 607的共轭复数为i.20．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(1＋i)·(1－b i)＝a ，则ab的值为________． 答案 2解析 由(1＋i)(1－b i)＝a ，得1＋b ＋(1－b )i ＝a ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＋1＝a ，1－b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以ab＝2.21．设a ∈R .若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________. 答案 －1解析 (1＋i)(a ＋i)＝(a －1)＋(a ＋1)i ， ∵a ∈R ，该复数在复平面内对应的点位于实轴上， ∴a ＋1＝0，∴a ＝－1.22．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________． 答案 5解析 (1＋2i)(3－i)＝3＋5i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部为5.23．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a ＋i)是纯虚数，则实数a 的值为________． 答案 －2解析 ∵(1－2i)(a ＋i)＝2＋a ＋(1－2a )i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ≠0，2＋a ＝0，解得a ＝－2.三、模拟小题24．已知i 是虚数单位，则i 20151＋i ＝( )A.1－i2 B.1＋i2 C.－1－i2D.－1＋i2答案 C解析 i 20151＋i ＝－i 1＋i ＝－i 1－i 2＝－1－i2，故选C.25．在复平面内，复数3－i 1－i 对应的点的坐标为( )A ．(2,1)B ．(1，－2)C ．(1,2)D ．(2，－1)答案 A解析 z ＝3－i 1－i ＝3－i1＋i 1－i 1＋i ＝4＋2i2＝2＋i ，所对应的点的坐标是(2,1)，故选A.26．复数z 满足：(3－4i)z ＝1＋2i ，则z ＝( ) A ．－15＋25iB.15－25i C ．－15－25iD.15＋25i 答案 A解析 由(3－4i)z ＝1＋2i ，得z ＝1＋2i3－4i＝1＋2i 3＋4i 3－4i3＋4i＝3＋4i ＋6i －825＝－5＋10i 25＝－15＋25i ，故选A. 27．已知复数z 满足z i ＝2i ＋x (x ∈R )，若z 的虚部为2，则|z |＝( )A ．2B ．2 2 C. 5 D. 3答案 B解析 由z i ＝2i ＋x ，得z ＝2i ＋x i ＝2i ＋xi i×i＝－2＋x i－1＝2－x i ，又z 的虚部为2，得x ＝－2，得z ＝2＋2i ，所以|z |＝22＋22＝22，故选B.28．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a －i 与2＋b i 互为共轭复数，则(a ＋b i)2＝( ) A ．5－4i B ．5＋4i C ．3－4i D ．3＋4i答案 D 解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以(a ＋b i)2＝(2＋i)2＝3＋4i.故选D.29．设复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－i ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2z 2＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 D解析 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2z 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋2i ＋21－i ＝|3＋2i ＋(1＋i)|＝|4＋3i|＝5.30．已知z 为复数，(1－i)2z ＝(1＋i)3(i 为虚数单位)，则z ＝( ) A ．1＋i B ．－1＋i C ．1－i D ．－1－i答案 B解析 由题意，得z ＝1＋i31－i2＝2i 1＋i－2i＝－1－i ，则z ＝－1＋i.31．设i 为虚数单位，已知z 1＝1－i 1＋i ，z 2＝－12＋32i ，则|z 1|，|z 2|的大小关系是( )A ．|z 1|<|z 2|B ．|z 1|＝|z 2|C ．|z 1|>|z 2|D ．无法比较答案 B解析 ∵|z 1|＝|1－i||1＋i|＝22＝1，|z 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ＝1，∴|z 1|＝|z 2|.32．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若a ＋i ＝3－b i ，则a ＋b i1－i＝( )A ．2－iB ．2＋iC ．1－2iD ．1＋i答案 B解析 ∵a ＋i ＝3－b i ，∴a ＝3，b ＝－1，则a ＋b i 1－i＝3－i1－i＝2＋i ，故选B. 33．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，i 是虚数单位，z 是z 的共轭复数，则下列判断正确的是( )A ．z ＋z 是纯虚数B ．z 2≥0C.z 的虚部为－b i D ．若z 2＝－1，则z ＝±i答案 D解析 z ＋z ＝2a 是实数，排除A ；z 的平方不一定是实数，则z 2≥0错误，排除B ；z 的虚部为－b ，排除C ；若z 2＝－1，则z ＝±i，D 正确，故选D.34．若复数(2＋a i)2(a ∈R )是实数，则a ＝________. 答案 0解析 因为(2＋a i)2(a ∈R )＝4＋4a i ＋a 2i 2＝4－a 2＋4a i 为实数，∴a ＝0，故答案为0.本考点在近三年高考中未涉及此题型．。
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单元质量测试(五)时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．[2017·安徽安庆质检]设i 是虚数单位，如果复数a ＋i2－i 的实部与虚部相等，那么实数a 的值为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3答案 C 解析a ＋i 2－i＝2a －1＋a ＋5，由题意知2a －1＝a ＋2，解之得a ＝3.2．[2016·广东测试]若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i＝2－－2＋2i－2＝－3i 3＝－i.3．设0<b <a <1，则下列不等式成立的是( )A ．ab <b 2<1 B ．log 12 b <log 12 a <0C ．2b<2a <2 D ．a 2<ab <1答案 C解析 ∵y ＝2x是单调递增函数，且0<b <a <1， ∴2b<2a<21，即2b <2a<2.4．命题p ：∃α、β∈R ，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；命题q ：∀m ∈R ，m ＋1m≥2，则下列结论正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧q 是假命题D ．(綈p )∨q 是真命题答案 C解析 存在α、β满足题意，例如α＝0，β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．而m ＋1m≥2必须在m >0时才能成立，所以p 真q 假．所以选C.5．不等式4x －2≤x －2的解集是( )A ．(－∞，0]∪(2,4]B ．[0,2)∪[4，＋∞)C ．[2,4)D ．(－∞，2]∪(4，＋∞)答案 B解析 ①当x －2>0，即x >2时，原不等式可化为(x －2)2≥4，∴x ≥4；②当x －2<0，即x <2时，原不等式可化为(x －2)2≤4，∴0≤x <2.6．[2016·福建宁德调研]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤2，x －y ≤2，若不等式ax －y ≤3恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，4]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，32C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，2D ．[2,4]答案 B解析 不等式组表示的平面区域如图所示，不等式ax －y ≤3恒成立，即y ≥ax －3恒成立，平面区域ABC 在直线y ＝ax －3上及上方，由图可知得A (1,1)，B (2,0)，C (1，－1)三点在直线上及上方，满足⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤4，2a ≤3，a ＋1≤3，得a ≤32，故答案为B.7．[2017·深圳调研]按下图所示的程序框图，若输入a ＝110011，则输出的b ＝( )A ．51B ．49C ．47D ．45答案 A解析 由题意知b ＝1×20＋1×21＋0×22＋0×23＋1×24＋1×25＝51.故选A.8．[2017·武汉调研]若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ≤y ，x ＋y ≤4，则1x ＋2y的最大值为( )A.53 B ．2 C.32 D ．3答案 D解析 要求1x ＋2y的最大值，只要使x ，y 同时取得最小值即可，作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图知x ，y 在点B 处同时取得最小值，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y max ＝11＋21＝3，故选D. 9．不等式x 2＋2x <a b ＋16ba对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,0) B ．(－∞，－2)∪(0，＋∞) C ．(－4,2) D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)答案 C解析 不等式x 2＋2x <a b ＋16b a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，等价于x 2＋2x <⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋16b a min ，由于a b＋16ba ≥2a b ·16b a＝8(当a ＝4b 时等号成立)，∴x 2＋2x <8，解得－4<x <2，故选C. 10．[2016·湖北黄冈检测]在程序框图中，输入N ＝8，按程序运行后输出的结果是( )A ．6B ．7C ．10D ．12答案 C解析 由于程序中根据k 的取值不同，产生的T 值也不同，故可将程序中的k 值从小到大，每四个分为一组，即(1,2,3,4)，(5,6,7,8)．∵当k 为偶数时，T ＝k 2；当k ＋12为偶数，即k ＝4n ＋3，n ∈Z 时，T ＝k ＋14；否则，即k ＝4n ＋1，n ∈Z 时，T ＝－k ＋34.故可知：每组的4个数中，偶数值乘以12累加至S ，但两个奇数对应的T 值相互抵消，即S ＝12(2＋4＋6＋8)＝10，故选C.11．在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间可以得到类似结论，已知正四面体P －ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( )A.18B.19C.127D.164答案 C解析 从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，如图，设正四面体的棱长为a ，E 为等边三角形ABC 的中心，O 为内切球与外接球球心．则AE ＝33a ，DE ＝63a ， 设OA ＝R ，OE ＝r ， 则OA 2＝AE 2＋OE 2， 即R 2＝⎝⎛⎭⎪⎫63a －R 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2，∴R ＝64a ，r ＝612a .∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是3∶1.故正四面体P －ABC 的内切球体积V 1与外接球体积V 2之比等于127，故选C.12．[2017·邯郸调研]若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则4a －1＋16b －1的最小值为( )A ．16B ．25C ．36D ．49答案 A解析 因为a ，b >0，1a ＋1b ＝1，所以a ＋b ＝ab ，所以4a －1＋16b －1＝b －＋a －a －b －＝4b ＋16a －20ab －a ＋b ＋1＝4b ＋16a －20.又4b ＋16a ＝4(b ＋4a )＝4(b ＋4a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝20＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋4a b ≥20＋4×2b a ·4a b ＝36，当且仅当b a ＝4a b 且1a ＋1b ＝1，即a ＝32，b ＝3时取等号． 所以4a －1＋16b －1≥36－20＝16. 第Ⅱ卷 (非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．[2016·云南名校联考]观察下列等式：13＝12,13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，…，根据上述规律，第n 个等式为________．答案 13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋22解析 由第一个等式13＝12，得13＝(1＋0)2；第二个等式13＋23＝32，得13＋23＝(1＋2)2；第三个等式13＋23＋33＝62，得13＋23＋33＝(1＋2＋3)2；第四个等式13＋23＋33＋43＝102，得13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，由此可猜想第n 个等式为13＋23＋33＋43＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n n ＋22.14．[2016·江西南昌摸底]已知某程序框图如图所示．若a ＝0.62，b ＝30.5，c ＝log 0.55，则输出的数是________．答案3解析 由程序框图可知，程序的功能是求三个数中的最大值，a ＝0.62＝0.36<1，b ＝30.5>1，c ＝log 0.55<0，故c <a <b ，所以输出的数为b ＝ 3.15．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则当每台机器运转________年时，年平均利润最大，最大值是________万元．答案 5 8解析 每台机器运转x 年的年平均利润为y x＝18－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ，而x >0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x ＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．16．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．答案 4解析 依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2x ＋y ＋＝6，即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知复数z 1满足(z 1－2)(1＋i)＝1－i (i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2，且z 1·z 2是实数，求z 2.解 由(z 1－2)(1＋i)＝1－i ，得z 1－2＝1－i1＋i ，即z 1＝1－i1＋i＋2＝－2＋－＋2＝2－i.设z 2＝a ＋2i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(2－i)(a ＋2i)＝(2a ＋2)＋(4－a )i. 又z 1·z 2是实数，∴4－a ＝0，∴a ＝4.∴z 2＝4＋2i.18．(本小题满分12分)已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg (xy )≤lg 10＝1. ∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y20＝120⎝⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋25y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2x y 时，等号成立． 由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5y ＝20，5yx ＝2xy，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020. 19．(本小题满分12分)设a 、b 、c 都是正数，求证：bc a ＋ac b ＋abc≥a ＋b ＋c . 证明 ∵a 、b 、c 都是正数， ∴bc a ，ca b ，abc 都是正数．∴bc a ＋ca b≥2c ，当且仅当a ＝b 时等号成立，ca b ＋abc≥2a ，当且仅当b ＝c 时等号成立， ab c ＋bca≥2b ，当且仅当a ＝c 时等号成立． 三式相加，得2⎝ ⎛⎭⎪⎫bc a＋ca b＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )， 即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．20．[2016·苏锡常镇调研](本小题满分12分)记f n (x ，y )＝(x ＋y )n－(x n＋y n)，其中x ，y 为正实数，n ∈N *.给定正实数a ，b 满足a ＝bb －1.用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，f n (a ，b )≥f n (2,2)．证明 欲证不等式为 (a ＋b )n －a n －b n ≥22n －2n ＋1.(*)(1)当n ＝1时，不等式(*)左边＝0，右边＝0，不等式(*)成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式(*)成立， 即(a ＋b )k－a k－b k≥22k－2k ＋1.由a >0，b >0及a ＝bb －1，得a ＋b ＝ab .∵a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ， 从而ab ≥4，a ＋b ＝ab ≥4. 进而a k b ＋ab k≥2abk ＋1≥24k ＋1＝2k ＋2，则当n ＝k ＋1(k ∈N *)时， 不等式(*)左边＝(a ＋b )k ＋1－a k ＋1－bk ＋1＝(a ＋b )[(a ＋b )k－a k－b k]＋a kb ＋ab k≥4[(a ＋b )k－a k－b k]＋2k ＋2≥4×(22k－2k ＋1)＋2k ＋2＝22(k ＋1)－2(k ＋1)＋1＝不等式(*)右边，∴当n ＝k ＋1时，不等式(*)成立．由(1)(2)知，对n ∈N *，不等式(*)成立，即原不等式成立． 21．(本小题满分12分)已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0.(1)是否存在m 对所有的实数x 不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由；(2)设不等式对于满足|m |≤2的一切m 的值都成立，求x 的取值范围． 解 (1)不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，f (x )＝1－2x ，不满足f (x )<0恒成立； 当m ≠0时，f (x )＝mx 2－2x －m ＋1，要使f (x )<0恒成立，需⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝4－4m －m ，则m 无解．综上可知，不存在这样的m . (2)设g (m )＝(x 2－1)m ＋(1－2x )，则g (m )为一个以m 为自变量的一次函数，其图象是直线． 由题意知，当－2≤m ≤2时，g (m )的图象为在x 轴下方的线段，∴⎩⎪⎨⎪⎧g－，g ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2x 2－2x ＋3<0， ①2x 2－2x －1<0， ②解①得x <－1－72或x >－1＋72，解②得1－32<x <1＋32.由①②，得－1＋72<x <1＋32.∴x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－1＋72<x <1＋32. 22．(本小题满分12分)首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？解 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80000x－11 200≥212x ·80000x －200＝200(400≤x ≤600)，当且仅当12x ＝80000x，即x ＝400时等号成立． 故该单位每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)不获利．设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y＝100x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80000＝－12x 2＋300x －80000＝－12(x －300)2－35000.∵400≤x ≤600，∴S max ＝－12(400－300)2－35000＝－40000.故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴40000元才能不亏损.。