【名师一号】2016届高考数学一轮总复习 2.4函数的奇偶性与周期性课件
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高考数学(文通用)一轮复习课件：第二章第4讲函数的奇偶性及周期性
第二章基本初等函数、导数及其应用函数的奇偶性及周期性教材回顾▼夯实基础课本温故追根求源和课梳理1.函数的奇偶性2. 周期性(1)周期函数：对于函数j=/(x),如果存在一个非零常数T,那么就称函数y=/a )为周期函数，称F 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/(兀)的所有周期中存在一个正周期.要点整會尸1. 辨明三个易误点 （1）应用函数的周期性时，应保证自变量在给定的区间内.使得当兀取定义域内的任何值时，都有 f(x+T)=f(x)的正数，那么这个最小 正数就叫做沧)的最小（2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. （3）判断函数/（兀）是奇函数，必须对定义域内的每一个x,均有/（一兀）=一/（兀），而不能说存在丸使/（一兀0）=—/（兀0），对于偶函数的判断以此类推.2.活用周期性三个常用结论对/(*)定义域内任一自变量的值(1)®f(x+a)= —f(x)9则T=2a；i⑵若Z(x+a)=y (乂),则T=2a； (1)(3)若f(x-\-a)=—屮(比)“,则T= 2a.3.奇、偶函数的三个性质(1)在奇、偶函数的定义中，f(-x)=-f(x)^ 定义域上的恒等式.(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立.利用这一性质可简化一些函数图象的画法.(3)设心)，g(x)的定义域分别是Di，6,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇＞＜奇=偶，偶+偶=偶，偶X偶 =偶,奇乂偶=奇.（2015•高考福建卷）下列函数为奇函数的是（D B. y=e D. j=e x -e"x 双基自测 C ・ j=cosx1.2.已知/(x)=«x 2+Z»x 是定义在［«-1,加］上的偶函数，那 么"+方的值是(B )解析：因为f(x)=ax 2-\-bx 是定义在［«-1,加］上的偶函数, 所以a~l+2a=0,所以 a =-. 3X/(—x)=/(x),所以方=0,所以a+b=£ 3 A.D. 3 23.（2016•河北省五校联盟质量监测）设/（兀）是定义在R上的周期为3的函数，当xe[ - 2, 1)时，f(x)=4x2— 2, — 2WxW 0,X, 0<x<l,B. 1A. 0D. -1解析:因为心）是周期为3的周期函数，所以龙）=/（一扌+3）4.(必修1 P39习题1.3B组T3改编)若/(x)是偶函数且在(0,+ 8)上为增函数，则函数心)在(一8, °)上捋函数5.(必修1 P39习题X3A组T6改编)已知函数/(x)是定义在R 上的奇函数，当xMO时，gx) = x(1+x),则xVO时，/(x) = x(l—x)解析：当xVO时，则一x>0,所以/(—x) = (—x)(1—x)・又/(X)为奇函数，所以/(-x) = -/(x) = (-x)(1-x),所以/(X)=x(1—X)・國例1 (2014-高考安徽卷)若函ft/(x)(xe R)是周期为4的典例剖析护考点突破」 考点一函数的周期性名师导悟以例说法奇函数，且在［0 , 2］上的解析式为/(x)=\x (1—x) , OWxWl, 、sin Ji x, 1<X W2, 5/?)+眉)=—^因为当 1 <xW2 时，/(x)=sin Tix,所以 XS =sinZ r =_2-所以 3因为当 OWxWl 时，/(x)=x(l-x), 所以简兮X 。
高三数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性课件
【例2】 设a>0，f(x)＝
是R上的偶函数，求实数a的值．
解：解法一：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－x)＝f(x)在R上恒成立．
即
，即(a2－1)e2x＋1－a2＝0，对任意的 x 恒成
立，
∴
解得a＝1.
解法二：∵f(x)是R上的偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，∴
＋ae＝
，
∴
e＋
＝0，
∴
(e2－1)＝0，
(1)计算不到位，找不到函数取值的规律，归纳不出函数的周期． (2)有的考生心理素质较差，没有耐心计算，干脆放弃了．
f(2 009)＝f(2 008)－f(2 007)
＝f(2 007)－f(2 006)－f(2 007)＝－f(2 006)
＝－[f(2 005)－f(2 004)]
＝－[f(2 004)－f(2 003)－f(2 004)]＝f(2 003)．
，则f(x)是以2a为周期的函数；
4．若函数f(x)有两条对称轴x＝a，x＝b，则f(x)是以2(b－a)为周期的函数(b>a).
∴a－ ＝0.又a>0，∴a＝1.
经验证当a＝1时，有f(－x)＝f(x)．
∴a＝1
变式2：已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－2x. 求f(x)在R上的解析式． 解：设x<0，则－x>0，由题设f(－x)＝(－x)2－2(－x)＝x2＋2x. ∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x)＝－x2－2x. ∴f(x)＝
2．函数的周期性 对于函数y＝f(x)，如果存在一个不为零的 常数 T，使得当x取定义域内的 每个值时，f(x＋T)＝f(x)都成立，那么就把函数y＝f(x)叫做周期函数．对 于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在着一个最小的正数，就把 这个最小的正数叫做 最小正周期 . 提示：(1)一个周期函数不一定有最小正周期； (2)若T为f(x)的周期，则kT(k∈Z，k≠0)也一定是f(x)的周期．
高考数学一轮复习 2.4 函数的奇偶性与周期性课件
奇函
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有__f_(_－__x_)＝__－__f_(_x_) ____,那么函数f(x)是
关于_原__点__
数
对称
奇函数
2.函数的周期性 (1)周期的定义 一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取 定义域内的每一个值时，都有_f_(_x_＋__T_)_＝__f(_x_)__，则称函数f(x) 为周期函数，非零常数T称为函数f(x)的周期． (2)最小正周期 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小 的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的__最__小__正__周__期___．
f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，
所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0
＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2
【思路分析】 可从定义域入手，在定义域关于原点对称情
况下，考查f(－x)与f(x)的关系．
【解】 (1)函数的定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，
且 f(x)＝lg(x2·x12)＝0(x≠0)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)此函数的定义域为{x|x>0}，由于定义域关于原点不对称， 故 f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)当 x<0 时，－x>0， 则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)； 当 x>0 时，－x<0， 则 f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)． 综上，对 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有 f(－x)＝－f(x)． ∴f(x)为奇函数．
高考数学一轮复习《函数的奇偶性与周期性》课件
奇函数 __f(_－__x_)＝__－__f_(_x)_，那么函数 f(x)就叫做奇函数
关于_原__点__对称
2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域 内的任何值时，都有__f_(x_＋__T_)_＝__f_(x_)_，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这 个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_最__小__的__正__数___， 那么这个__最__小__正__数___就叫做 f(x)的最小正周期．
5．(教材改编)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x(1 ＋x)，则 x＜0 时，f(x)＝________.
x(1－x) [当 x＜0 时，则－x＞0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)． 又 f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝(－x)(1－x)， ∴f(x)＝x(1－x)．]
2．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是( )
A．－13
1 B.3
1 C.2
D．－12
B [依题意 b＝0，且 2a＝－(a－1)，
∴b＝0 且 a＝13，则 a＋b＝13.]
3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )
A．y＝ 1＋x2
B．y＝x＋1x
C．y＝2x＋21x
D．y＝x＋ex
D [A 选项定义域为 R，由于 f(－x)＝ 1＋－x2＝ 1＋x2＝f(x)，所以是偶
函数．B 选项定义域为{x|x≠0}，由于 f(－x)＝－x－1x＝－f(x)，所以是奇函数．C
选项定义域为 R，由于 f(－x)＝2－x＋21－x＝21x＋2x＝f(x)，所以是偶函数．D 选项
2015-2016高考数学总复习精品课件：2-4 函数的奇偶性和周期性(共57张PPT)(新人教版理科)
(5)去掉绝对值符号，根据定义判断．
2 1－x ≥0， 由 |x＋2|－2≠0，
－1≤x≤1， 得 x≠0且x≠－4.
故 f(x)的定义域为[－1,0)∪(0,1]，关于原点对称，且有 x＋2 1－x2 1－x2 1－－x2 ＞0.从而有 f(x)＝ ＝ x ， 这时有 f(－x)＝ ＝ x＋2－2 －x 1－x2 － x ＝－f(x)，故 f(x)为奇函数．
5．周期函数 若 f(x)对于定义域中任意 x 均有 f(x＋T)＝f(x) (T 为不等于 0 的常数)，则 f(x)为周期函数． 6．函数的对称性 若 f(x)对于定义域中任意 x，均有 f(x)＝f(2a－x)，或 f(a＋x) ＝f(a－x)，则函数 f(x)关于 x＝a 对称．
1．(2013· 广东)定义域为 R 的四个函数 y＝x3，y＝2x，y＝x2 ＋1，y＝2sinx 中，奇函数的个数是( A．4 C．2
1．奇函数、偶函数、奇偶性 对于函数 f(x)，其定义域关于原点对称： (1)如果对于函数定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ， 那么函数 f(x)就是奇函数； (2)如果对于函数定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那 么函数 f(x)就是偶函数； (3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其 定义域内具有奇偶性．
4．一些重要类型的奇偶函数
－ － (1)函数 f(x)＝ax＋a x 为 偶 函数， 函数 f(x)＝ax－a x 为 奇 函
数； ax－a－x a2x－1 (2)函数 f(x)＝ x －x＝ 2x (a>0 且 a≠1)为 奇 函数； a ＋a a ＋1 1－x (3)函数 f(x)＝loga 为 奇 函数； 1＋x (4)函数 f(x)＝loga(x＋ x2＋1)为 奇 函数．
【成功新学案】高三数学一轮复习 2.4《函数的奇偶性与周期性》课件
＝________.
答案： －1
1．用定义判断(或证明)函数的奇偶性的一般步骤： (1)验证定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则为非奇非偶函 数． (2)证明f(－x)＝±f(x)是否成立．若f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数； 若f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数．
解析：
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝„＝f(2 008)
＋f(2 009)＋f(2 010)＋f(2 011)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋f(2 011)＝0.
[变式训练] 3.已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x≥0，
(1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋f(2 011)．
解析：
(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数．
(2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得 f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2， 又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2， ∴f(x)＝x2＋2x.
递推法：若f(x＋2)＝－f(x)，
则f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴周期T＝4.
换元法：若f(x＋2)＝f(x－2)，令x＋2＝t，x＝t－2，
∴f(t)＝f(t－4)，∴周期T＝4.
设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－
f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.
高考数学理一轮复习 2-4函数的奇偶性与周期性 精品课件
[分析]
证明函数是周期函数，只需满足定义f(T＋x)＝
f(x)(T≠0)即可．本题有两个条件，一是函数为奇函数，则f(－ x)＝－f(x)，二是函数关于x＝1对称，则f(2－x)＝f(x)，结合这 两个条件证明．
[解] (1)∵函数f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)， 令x＝0，则f(0)＝－f(0)，即2f(0)＝0，∴f(0)＝0. (2)函数f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)① 又f(x)关于直线x＝1对称．
备选例题1判断函数f(x)＝ 性．
2 x ＋x 2 － x ＋x
(x＜0) (x＞0)
的奇偶
解：当x＜0时，－x＞0，则 f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)； 当x＞0时，－x＜0， f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x
＝－(－x2＋x)＝－f(x)．
综上可知，对任意的x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 都有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数.
的最小正周期．
(2)若f(x)的周期为T，则f(ωx)(ω＞0)的周期为 (3)周期函数的图象特征是函数图象重复出现，因此若函 数f(x)是周期函数，研究其值域、最值、单调性等问题时，通 常在一个周期长的区间上考虑，再推广到整个 定义域 上．
重点 辨析
判断函数的奇偶性： ①定义域关于原点对称，是函数具有奇偶 性的必要不充分条件；
[分析]
先判断函数的定义域是否关于原点对称，再判
断f(－x)与f(x)之间的关系．
[解] (1)此函数的定义域为R. ∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)， ∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数． (2)此函数的定义域为{x|x＞0}，由于定义域关于原点不 对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数． (3)此函数的定义域为{2}，由于定义域关于原点不对称， 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
2016年高三一轮复习《函数的奇偶性与周期性》课件资料
2
1 ∵f(－x)＝log2[－x＋ （－x） ＋1]＝log2 x＋ x2＋1 ＝－log2(x＋ x2＋1)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
对于g(x)，由|x－2|＞0，得x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}．
基础诊断 考点突破 课堂总结
∵g(x)的定义域关于原点不对称，
∴g(x)为非奇非偶函数． 法二 易知f(x)的定义域为R.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.
答案 5个定义域上的
性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判 断，利用函数周期性求值．
基础诊断 考点突破 课堂总结
【训练 2】 (2014· 长春一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇 函数，且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0，1)时， f(x)＝2 －1，则 f(log26)的值为
f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则 f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3. 答案 (1)D (2)3
基础诊断 考点突破 课堂总结
规律方法
比较不同区间内的自变量对应的函数值的大
小．对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对
称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图
考点三
函数性质的综合应用 ( )
【例3】 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且 在区间[0，2]上是增函数，则
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－f(x)，
1 ∵f(－x)＝log2[－x＋ （－x） ＋1]＝log2 x＋ x2＋1 ＝－log2(x＋ x2＋1)＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
对于g(x)，由|x－2|＞0，得x≠2. ∴g(x)的定义域为{x|x≠2}．
基础诊断 考点突破 课堂总结
∵g(x)的定义域关于原点不对称，
∴g(x)为非奇非偶函数． 法二 易知f(x)的定义域为R.
∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)＝2.5.
答案 5个定义域上的
性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判 断，利用函数周期性求值．
基础诊断 考点突破 课堂总结
【训练 2】 (2014· 长春一模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇 函数，且是以 2 为周期的周期函数．若当 x∈[0，1)时， f(x)＝2 －1，则 f(log26)的值为
f(－x)＝f(4＋x)，又f(－x)＝f(x)，所以f(x)＝f(4＋x)，则 f(－1)＝f(4－1)＝f(3)＝3. 答案 (1)D (2)3
基础诊断 考点突破 课堂总结
规律方法
比较不同区间内的自变量对应的函数值的大
小．对于偶函数，如果两个自变量的取值在关于原点对
称的两个不同的单调区间上，即正负不统一，应利用图
考点三
函数性质的综合应用 ( )
【例3】 (1)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且 在区间[0，2]上是增函数，则
A．f(－25)＜f(11)＜f(80)
B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25)
D．f(－25)＜f(80)＜f(11)
(2)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋2)＝－f(x)，
高考数学一轮总复习 2.4函数的奇偶性与周期性课件
答案 2
6．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2， 则f(8)－f(14)＝________.
解析 f(8)＝f(5＋3)＝f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2， f(14)＝f(15－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
所以f(8)－f(14)＝－2－(－1)＝－1.
问题2 奇函数与偶函数的图象有什么特点？ 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称， 反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以 利用它去判断函数的奇偶性．
问题3 关于函数的周期性有哪些常见结论？ 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝f1x，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－f1x，则T＝2a.(a>0)
知识点三 函数的周期性
1.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就称 函数y＝f(x)为周期函数，称非零常数T为这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期．
听 课 记 录 由题意，知f(－x)＝－f(x)， g(－x)＝g(x)， 对于A选项，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)， f(x)g(x)为奇函数，故A错误； 对于B选项，|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)， |f(x)|g(x)为偶函数，故B错误； 对于C选项，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|， f(x)|g(x)|为奇函数，故C正确；
对点自测 知识点一 函数奇偶性的概念 1.判断下列说法是否正确 (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原 点．( )
6．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2， 则f(8)－f(14)＝________.
解析 f(8)＝f(5＋3)＝f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2， f(14)＝f(15－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，
所以f(8)－f(14)＝－2－(－1)＝－1.
问题2 奇函数与偶函数的图象有什么特点？ 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称， 反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以 利用它去判断函数的奇偶性．
问题3 关于函数的周期性有哪些常见结论？ 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； (2)若f(x＋a)＝f1x，则T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－f1x，则T＝2a.(a>0)
知识点三 函数的周期性
1.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就称 函数y＝f(x)为周期函数，称非零常数T为这个函数的周期．
2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 最小 的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期．
听 课 记 录 由题意，知f(－x)＝－f(x)， g(－x)＝g(x)， 对于A选项，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)， f(x)g(x)为奇函数，故A错误； 对于B选项，|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)， |f(x)|g(x)为偶函数，故B错误； 对于C选项，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|， f(x)|g(x)|为奇函数，故C正确；
对点自测 知识点一 函数奇偶性的概念 1.判断下列说法是否正确 (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( ) (2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原 点．( )
2016届新课标数学一轮复习课件 第二章 第4讲 函数的奇偶性及周期性
第二章 基本初等函数、导数及其应用
栏 第二十八页，编辑于星期五：十九点导三引十分。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
栏目 第二十九页，编辑于星期五：十九点导三引十分。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
C
A
栏目 第三十页，编辑于星期五：十九点 导三十引分。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
3
第二章 基本初等函数、导数及其应用
B
栏目 第八页，编辑于星期五：十九点 三导十分引。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
考点一 函数的周期性 考点二 判定函数的奇偶性 考点三 函数奇偶性的应用(高频考点)
栏目 第九页，编辑于星期五：十九点 三导十分引。
考点一 函数的周期性
第二章 基本初等函数、导数及其应用
栏目 第三十一页，编辑于星期五：十九点导三引十分。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
栏目 第三十二页，编辑于星期五：十九点导三引十分。
第二章 基本初等函数、导数及其应用
考题溯源——对函数f(x)＝[x]的再理解
D
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
考点三 函数奇偶性的应用(高频考点)
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
C
[－1，1)
－2
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第二章 基本初等函数、导数及其应用
2016届高三数学一轮复习课件：2.3函数的奇偶性与周期性
1 x 由于定义域关于原点不对称， ∴函数 f (x)是非奇非偶函数；
第十一页，编辑于星期五：二十点 八分。
（3）函数的定义域为x x 0关于原点对称，
当 x 0时， x 0, f (x) x2 2x 1 f (x)，
当 x 0 时， x 0, f (x) x2 2x 1 f (x)
A.2
B.154 C.174 D.a2
【解析】（1)∵g（x)为偶函数，f（x)为奇函数，
∴g（2)＝g（－2)＝a，f（－2)＝－f（2)，
∴f（2)＋g（2)＝a2－a－2＋2，①
f（－2)＋g（－2)＝－f（2)＋g（2)＝a－2－a2＋2，②
联立①②解得g（2)＝2＝a，f（2)＝a2－a－2＝22－2－2＝
【解析】(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，
所以 f(0)＝0，即 1 b 0，解得 b＝1， 2a
从而有 f (x) 2x 1. 2x1 2
又由 f(1)＝－f(－1)，
知
2
1
1 2
1 ，解得
a＝2.
4 a 1 a
第十九页，编辑于星期五：二十点 八分。
(2)由(1)知 f (x) 2x 1＝ 1 1 , 2x1 2 2 2x 1
第五页，编辑于星期五：二十点 八分。
4．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－ 1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为________．
【解析】 f(x)的图象如图．
当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1，0)； 当x∈(0，1)时，由xf(x)>0，得x∈?； 当x∈(1，3)时，由xf(x)>0，得x∈(1，3)． ∴x∈(－1，0)∪(1，3)． 【答案】 (－1，0)∪(1，3)
第十一页，编辑于星期五：二十点 八分。
（3）函数的定义域为x x 0关于原点对称，
当 x 0时， x 0, f (x) x2 2x 1 f (x)，
当 x 0 时， x 0, f (x) x2 2x 1 f (x)
A.2
B.154 C.174 D.a2
【解析】（1)∵g（x)为偶函数，f（x)为奇函数，
∴g（2)＝g（－2)＝a，f（－2)＝－f（2)，
∴f（2)＋g（2)＝a2－a－2＋2，①
f（－2)＋g（－2)＝－f（2)＋g（2)＝a－2－a2＋2，②
联立①②解得g（2)＝2＝a，f（2)＝a2－a－2＝22－2－2＝
【解析】(1)因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数，
所以 f(0)＝0，即 1 b 0，解得 b＝1， 2a
从而有 f (x) 2x 1. 2x1 2
又由 f(1)＝－f(－1)，
知
2
1
1 2
1 ，解得
a＝2.
4 a 1 a
第十九页，编辑于星期五：二十点 八分。
(2)由(1)知 f (x) 2x 1＝ 1 1 , 2x1 2 2 2x 1
第五页，编辑于星期五：二十点 八分。
4．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0，2]时，f(x)＝x－ 1，则不等式xf(x)>0在[－1，3]上的解集为________．
【解析】 f(x)的图象如图．
当x∈(－1，0)时，由xf(x)>0，得x∈(－1，0)； 当x∈(0，1)时，由xf(x)>0，得x∈?； 当x∈(1，3)时，由xf(x)>0，得x∈(1，3)． ∴x∈(－1，0)∪(1，3)． 【答案】 (－1，0)∪(1，3)
2016年高考数学总复习课件：第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性
考点 1 判断函数的奇偶性
例 1：(1)(2014 年广东)下列函数为奇函数的是(
)
A．y＝2x－21x C．y＝2cosx＋1
B．y＝x3sinx D．y＝x2＋2x
第七页，编辑于星期五：二十三点 二十八分。
解析：对于A选项中的函数f(x)＝2x－
1 2x
＝2x－2－x，函数定
义域为R，f(－x)＝2－x－2－(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，则该函数为奇
答案：4
第十四页，编辑于星期五：二十三点 二十八分。
【规律方法】已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的
值常常用待定系数法：先利用 fx±f－x＝0 得到关于待求参数
的恒等式，再利用恒等式的性质列方程求解.
第十五页，编辑于星期五：二十三点 二十八分。
【互动探究】
2．设函数
f(x)＝
x＋1x＋a 为奇函数，则
第二十一页，编辑于星期五：二十三点 二十八 分。
●易错、易混、易漏●
⊙判断函数奇偶性时没有考虑定义域
例题：给出四个函数：
①y＝lg
2－x 2＋x
；
②y＝lg(2－x)－lg(2＋x)； ③y＝lg[(x＋2)(x－2)]； ④y＝lg(x＋2)＋lg(x－2)．
其中奇函数是__________，偶函数是__________．
(4)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下
列结论恒成立的是(
)
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数
B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数
D．|f(x)|－g(x)是奇函数
解析：∵g(x)是 R 上的奇函数，∴|g(x)|是 R 上的偶函数，
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(3)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0)上 是减函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是[－2，2]．( )
答案 (1)√ (2)√ (3)×
知识点三
函数的周期性
3 5.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f x＋2 ，且f(1)＝2，
则f(2 014)＝________.
1)x＋1为偶函数，则实数a的值为( A．1 1 C．1或－2 1 B．－ 2 D．0
(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2 －x，则f(x)的解析式为______．
解析
(1)因为f(x)为偶函数，
所以f(x)－f(－x)＝0， 即ax2＋(2a2－a－1)x＋1－[ax2－(2a2－a－1)x＋1]＝0. 亦即(2a2－a－1)x＝0，又因为对x∈R恒成立， 所以2a2－a－1＝0， 1 解得a＝1或－ . 2
)
解析
(1)因为f(－x)＝3 x＋3x＝f(x)，
－ －
g(－x)＝3 x－3x＝－g(x)， 所以f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，故选B. x2＋x＋1 x x (2)根据题意，f(x)＝ 2 ＝1＋ 2 ，而h(x)＝ 2 是奇 x ＋1 x ＋1 x ＋1 函数，故f(－a)＝1＋h(－a)＝1－h(a)＝2－[1＋h(a)]＝2－f(a)＝2 2 4 －3＝3.
(1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点 对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (2)判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均 有f(－x)＝－f(x)、f(－x)＝f(x)，而不能说存在x0使f(－x0)＝－ f(x0)、f(－x0)＝f(x0)．
听 课 记 录
(1)因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和
奇函数，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)．因为f(x)－g(x)＝x3＋ x2＋1，所以f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1，即f(1)＋g(1) ＝1.故选C. (2)因为f(x)为偶函数， 所以f(－x)＝f(x)＝f(|x|)， 故不等式f(x－1)>0可化为f(|x－1|)>0. 因为f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，
解析
依题意b＝0，且2a＝－(a－1)，
1 1 ∴b＝0且a＝3，则a＋b＝3.
答案 B
知识点二
奇函数、偶函数的性质
4.判断下列说法是否正确 (1)(教材习题改编)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函 数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )
2
1 (2)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x ＋ ，则f(－1) x ＝－2.( )
最小 的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期．
对 点 自 测 知识点一 1.判断下列说法是否正确 (1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( ) 函数奇偶性的概念
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原 点．( )
答案 (1)× (2)×
1 2．函数f(x)＝ －x的图象关于( x A．y轴对称 C．坐标原点对称
1 (3)若f(x＋a)＝－ ，则T＝2a.(a>0) fx
高 频 考 点 考点一 【例1】 函数奇偶性的判断
(2014· 新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域
都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是 ( ) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g
函数的周期性及其应用
已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的
图象关于x＝1对称，当x∈[0,1]时，f(x)＝2x－1. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[1,2]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋f(2 013)的值．
(2)由已知得f(0)＝0，当x<0时，则－x>0，而x>0时，f(x)＝x2 －x，所以f(－x)＝x2＋x，又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所 以得f(x)＝－x2－x， －x2－x，x<0， 综上可知f(x)＝0，x＝0， x2－x，x>0.
－x2－x，x<0， (2)f(x)＝0，x＝0， x2－x，x>0
解析
)
B．直线y＝－x对称 D．直线y＝x对称
1 －x
f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝
1 －(－x)＝－ x－x＝－f(x)，则f(x)为奇函数，图象关于原点对称．
答案 C
3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a ＋b的值是( 1 A．－ 3 1 C.2 ) 1 B. 3 1 D．－2
对于D选项，|f(－x)g(－x)|＝|f(x)· g(x)|， |f(x)g(x)|是偶函数，故D错误．
答案 C
【规律方法】
判断函数奇偶性除利用定义法和图象法，应
学会利用性质，具体如下： (1)“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇· 奇”是偶， “奇÷ 奇”是偶． (2)“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶· 偶”是偶， “偶÷ 偶”是偶． (3)“奇· 偶”是奇，“奇÷ 偶”是奇．
答案 (1)B (2)C
考点二 【例2】
函数奇偶性的应用
(1)(2014· 湖南卷)已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的 )
偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝( A．－3 C．1 B．－1 D．3
(2)(2014· 新课标全国卷Ⅱ)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调 递减，f(2)＝0.若f(x－1)>0，则x的取值范围是________．
听
课
记
录
(1)证明：函数f(x)为奇函数，则f(－x)＝－
f(x)，函数f(x)的图象关于x＝1对称，则f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)， 所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4为周期 的周期函数． (2)当x∈[1,2]时，2－x∈[0,1]，又f(x)的图象关于x＝1对称， 则f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]．
f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性 常与函数的其它性质综合命题，是高考考查的重点问题．
变式思考 3
(1)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函 )
数f(x)＝x－[x]在R上为( A．奇函数 C．增函数
B．偶函数 D．周期函数
(2)设f(x)是以2为周期的函数，且当x∈[1,3)时，f(x)＝x－2， 则f(－1)＝________.
J 基础回扣· 自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
知 识 梳 理 知识点一 函数的奇偶性的概念与图象特征
1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 有 f(－x)＝f(x) 有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)就叫做偶函数．
2．一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都 ，那么函数f(x)就叫做奇函数． 3．奇函数的图象关于 原点 对称；偶函数的图象关于 y轴 对称.
解析 f(8)＝f(5＋3)＝f(3)＝f(3－5)＝f(－2)＝－f(2)＝－2，
f(14)＝f(15－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－1， 所以f(8)－f(14)＝－2－(－1)＝－1.
答案 －1
R 热点命题· 深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
问 题 探 究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点？
所以|x－1|<2，即－2<x－1<2，解得－1<x<3. 所以x的取值范围是(－1,3)．
答案 (1)C (2)(－1,3)
【规律方法】 法 (1)求函数值：
应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方
将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式： 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求 出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的 解析式．
(3)求函数解析式中参数的值： 利用待定系数法求解，根据f(x)± f(－x)＝0得到关于待求参数 的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参 数的值． (4)画函数图象和判断单调性 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上 的单调性．
变式思考 2
(1)(2015· 济南模拟)若函数f(x)＝ax2＋(2a2－a－ )
(3)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0， f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1， 又f(x)是以4为周期的周期函数． ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋„＋f(2 013)＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋ f(1)＝1.
【规律方法】
判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝
变式思考 1 均为R，则( )
(1)若函数f(x)＝3x＋3 x与g(x)＝3x－3 x的定义域
－ －
A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数
x2＋x＋1 2 (2)已知函数f(x)＝ 2 ，若f(a)＝ ，则f(－a)＝( 3 x ＋1 2 A. 3 4 C. 3 2 B．－ 3 4 D．－ 3
听课记录
由题意，知f(－x)＝－f(x)，
g(－x)＝g(x)， 对于A选项，f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)， f(x)g(x)为奇函数，故A错误； 对于B选项，|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)， |f(x)|g(x)为偶函数，故B错误； 对于C选项，f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|， f(x)|g(x)|为奇函数，故C正确；