八年级数学上册 14.3 因式分解 14.3.2 公式法 第1课时 运用平方差公式因式分解学案 (新版)新人教版
14.3.2 公式法 第1课时 运用平方差公式因式分解 说课稿 2022-2023学年人教版数学八年
14.3.2 公式法第1课时运用平方差公式因式分解说课稿引言本篇说课稿是针对2022-2023学年人教版数学八年级上册第14章第3节第2课时的内容而撰写的。
本课时主要介绍了运用平方差公式进行因式分解的方法。
通过本节课的学习，学生能够熟练掌握运用平方差公式进行因式分解的基本步骤与方法。
教学目标1.理解平方差公式的含义和特点；2.学会运用平方差公式进行因式分解的基本方法；3.能够独立完成相关的练习题。
教学重点1.理解平方差公式的概念和特点；2.运用平方差公式进行因式分解。
教学难点运用平方差公式进行因式分解的策略与方法。
教学准备1.教师准备好相关教学课件和练习题；2.学生配备上课所需的教材和作业本。
教学过程导入新知1.导入前面所学的因式分解知识，复习平方差公式的相关内容。
学习新知2.引导学生了解平方差公式的概念和特点，包括：–平方差公式的一般形式：a2−b2=(a+b)(a−b)；–平方差公式的含义和作用：将一个二次式转化为两个一次式的乘积。
3.通过示例，引导学生掌握平方差公式的使用方法，并解释其推导过程。
示例包括：–9x2−16y2的因式分解；–4m2−1的因式分解；–a2−49b2的因式分解。
拓展练习4.让学生独立完成一些类似的练习题，巩固平方差公式的运用能力。
归纳总结5.归纳总结平方差公式的使用方法和注意事项，并与学生一起总结相关的解题策略。
课堂小结6.对本节课的要点进行简单总结和梳理，并提醒学生复习巩固相关知识。
课后作业1.完成课堂练习题；2.预习下一节课的内容。
教学反思本节课主要围绕平方差公式进行因式分解展开教学，通过示例和练习的形式，引导学生掌握平方差公式的使用方法和解题策略。
在教学过程中，学生对平方差公式的运用能力逐步提高，但仍有部分学生在推导过程中存在困难。
因此，在今后的教学中，可以采用更多的实例和练习，加强学生对公式的理解和运用能力，提高课堂的互动性，提供更多学生参与交流的机会，增强学生的学习兴趣和主动性。
八年级数学上册 14.3.2 因式分解—公式法课件1 (新版)新人教版
和
差
【预习导学】
点拨精讲：判断是否符合平方差公式结构。 点拨精讲：先提公因式，然后再运用公式；一直要分解到不能分解为止。
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
探究1 求证：当n是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8
的倍数。
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
【跟踪练习】学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路。5分钟
点拨精讲：先分解因式后计算出来，再约分。
【点拨精讲】（3分钟）
1、分解因式的步骤：先排列，第一项系数不为负；然 后提取公因式；再运用公式分解，最后检查各因式是否能 再分解.
2、不能直接用平方差公式分解的，应考虑能否通过变 形，创设应用平方差公式的条件。
第十四章 整式的乘法与 因式分解
14.3.2 因式分解——公式法（1）
【学习目标】 1、能直接利用平方差公式因式分解； 2、掌握利用平方公式因式分解的步骤。
【学习重、难点】 重点：利用平方差公式因式分解。 难点：能熟练运用平方差公式因式分解。
【预习导y2 25
y5y5
平方差
【课堂小结】
（学生总结本堂课的收获与困惑）2分钟
【当堂训练】10分钟
人教版八年级数学上册第14章14.3.2公式法运用完全平方公式因式分解(教案)
4.通过典型例题，让学生掌握运用完全平方公式进行因式分解的步骤和方法。
5.拓展练习：对多项式进行因式分解，强化学生对完全平方公式的运用能力。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生的数学抽象、逻辑推理和数学运算等核心素养。通过以下方式实现：
1.数学抽象：引导学生理解完全平方公式的结构特征，提高对数学表达式的抽象思维能力。
人教版八年级数学上册第14章14.3.2公式法运用完全平方公式因式分解（教案）
一Байду номын сангаас教学内容
人教版八年级数学上册第14章《因式分解》中的14.3.2节，本节课主要围绕公式法展开，运用完全平方公式进行因式分解。内容包括：
1.完全平方公式的回顾与巩固：a^2±2ab+b^2=(a±b)^2。
2.识别完全平方公式的特征，如两项平方项和一项乘积的二倍项。
-通过多次练习，让学生在不断尝试和修正中掌握完全平方公式的应用。
-采用分组讨论和集体讨论的方式，让学生在互动交流中发现问题、解决问题，从而突破难点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《公式法运用完全平方公式因式分解》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在解数学题时，是否遇到过需要将一个二次多项式因式分解的情况？”（如x^2+6x+9）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索完全平方公式因式分解的奥秘。
-演示如何将x^2+6x+9写成(x+3)^2的形式，强调这一步骤是因式分解的关键。
2.教学难点
-判断一个二次多项式是否能够使用完全平方公式进行因式分解。
人教八年级数学上册《14.3.2 公式法》课件
五、布置作业
1.必做题：教材第119页习题14.3第2题. 2.选做题：教材第119~120页习题14.3 第4、7题.
❖1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月21日星期四2022/4/212022/4/212022/4/21 ❖2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/212022/4/212022/4/214/21/2022 ❖3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/212022/4/21April 21, 2022
z x xk
(3)(x+p)2-(x+q) 2.
分析：（1）这些多项式的共同特征都是“平方差”的形
式，都可化为（
）2 -（ ）2.
（2）最后结果都化成积的形式，即（
）（ ）.
二、探究新知
尝试分解
格式：
4x2-4
=(2x ) 2-32 =(2x+2) (2x-2) .
运用平方差公式分解因式的步骤：
（1）先化为（
）2 -（ ）2 的形式.
ห้องสมุดไป่ตู้
（2）再化成积的形式，即（
）（ ）.
二、探究新知
辨别运用
例2 下列多项式能否运用平方差公式分解因式？
(1)4x2+9y2;
(2)81x4-y4; (3) -16x2 +y2; (4) -x2-y2; (5) a2+2ab+b2.
人教版初中数学八年级上册第十四章 公式法(第1课时)
14.3 因式分解/
14.3 因式分解
14.3.2 公式法(第1课时)
导入新知
14.3 因式分解/
如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b
米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此
图形变换，你能得到什么公式？
a米
b米
(a–b)
a米 b米
a2– b2=(a+b)(a–b)
(2)原式＝(a2–4b2)–(a＋2b) ＝(a＋2b)(a–2b)–(a＋2b)
＝(a＋2b)(a–2b–1).
探究新知
14.3 因式分解/
素养考点 3 利用因式分解求整式的值
例3 已知x2–y2＝–2，x＋y＝1，求x–y，x，y的值．
解：∵x2–y2＝(x＋y)(x–y)＝–2，
x＋y＝1①，
(1) 4x2 9;
(2) (x p)2 (x q)2.
解:(1)原式= (2x)2 32 (22x 33)(22x 33) ;
a2 – b2 = ( a+ + b) (a –b)
(x ap)2 (x bq)2
(2)原式=[（x+p）+（x+q）]×[（x+p）-（x+q）]
(2x p q)( p q).
例5 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能 被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n–1)(2n+1–2n+1)=4n•2=8n， ∵n为整数， ∴8n被8整除， 即多项式(2n+1)2–(2n–1)2一定能被8整除．
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积 的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
数学人教版八年级上册14.3.2 因式分解 公式法(第一课时)
14.3.2 因式分解公式法（第一课时）一、内容和内容解析1.内容因式分解平方差公式2.内容解析本节课是在学习了提公因式法后,公式法因式分解的第一课时，它是整式乘法中平方差公式的逆向应用，在教材中处于重要的地位。
平方差公式因式分解要充分理解公式的含义,掌握公式的形式与特点. 公式左边的多项式形式上是二项式,且两项符号相反;公式左边的每一项都可以化成某一个数或式的平方形式。
基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用平方差公式分解因式。
二、目标和目标解析1、目标（1）进一步理解因式分解的概念，体会因式分解在简化计算上的应用。
（2）会用平方差公式进行因式分解，并从中体验“整体”的思路，树立“换元”的意识。
2、目标解析达成目标（1）的标志是：学生能说出因式分解中平方差公式的特点。
知道这里的平方差公式与整式乘法中的平方差公式是互逆变形的关系。
达成目标（2）的标志是：学生在数学活动过程中，体会平方差公式的结构、特征及公式中字母的广泛含义，理解平方差公式的意义，掌握运用平方差公式解决问题的方法.并在练习中，对发生的错误做具体分析，加深对公式的理解。
三、教学问题诊断分析虽然有了第一节提公因式法做基础，但学生有时还会出现因式分解后又反转回去做乘法的错误，解决此问题的关键是让学生正确认识因式分解的概念，理解它与整式乘法的互逆变形关系。
学生在运用平方差公式分解因式的过程中经常遇到的困难是找不准哪个数或式相当于公式中的a ， b 。
因此，教学中引导学生分析公式的结构特征，并运用变式训练揭示公式的本质特征，以加深学生对公式的理解．本节课的教学难点是：灵活运用平方差公式分解因式，并理解因式分解的要求。
四、教学过程设计1.复习引入问题1 你能叙述多项式因式分解的定义吗？提公因式法的定义是什么？因式分解:（1）3mx-6nx 2;（2）4a 2b+10ab-2ab 3;（3）252 y 师生活动：学生独立思考并解答,找同学的答案投影展示。
人教版八年级数学上册14.3.2《公式法》 课件第1课时(共17张PPT)
探究新知
4．将 a2 b2 (a b)(a b) 用文字语言表述， 并说明公式中的字母a，b可以表示什么？
（1）(a b)2 c2 a2 2ab b2 c2 ；
不正确． 对分解因式的概念不清，左边是多项式的形 式，右边应是整式乘积的形式，但右边还是多项 式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进 行因式分解.
课堂练习
（2）a4 1 (a2 )2 1 (a2 1)(a2 1) ．
不正确． 因式分解不彻底．
3．因式分解应进行到每一个因式不能分解为止． 4．计算中应用因式分解，可使计算简便．
课堂小结
本图片资源介绍了用平方差公式分解因式，适用于公 式法的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 用平方差公式分解因式.
课堂小结
本图片资源介绍了因式分解的一般步骤，适用于因式 分解的教学.若需使用，请插入图片【知识点解析】 因式分解的一般步骤.
（1）x2 4 与多项式和 （2）a2 36 进行因式
分解？
（1）x2 4 x2 22 (x 2)(x 2) ； （2） a2 36 a2 62 (a 6)(a 6) ．
例题解析
【例1】分解因式：
（1）4x2 9 ； （2） (x p)2 (x q)2 ．
解：（1）4x2 9 (2x)2 32 (2x 3)(2x 3) ； （2）(x p)2 (x q)2 [(x p)+(x q)][(x p) (x q)] (2x p q)( p q) ．
文字语言表述：两个数的平方差，等于这两个数 的和与这两个数的差的积．字母a 、b可以表示任何 数、单项式或多项式．
八年级数学上册 14.3.2 公式法 第1课时 平方差公式导
第1课时 平方差公式1.能直接利用平方差公式因式分解.2.掌握利用平方差公式因式分解的步骤.阅读教材P116-117“思考及例3、例4”，独立完成下列问题：知识准备(1)填空：4a 2=(±2a )2； 94b 2=(±32b )2； 0.16a 4=(±0.4a 2)2； a 2b 2=(±ab )2.(2)因式分解：2a 2-4a=2a(a-2)；(x+y)2-3(x+y)=(x+y)(x+y-3).(1)计算填空：(x+2)(x-2)=x 2-4;(y+5)(y-5)=y 2-25.(2)根据上述等式填空：x 2-4=(x+2)(x-2);y 2-25=(y+5)(y-5).(3)公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b).语言叙述：两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.自学反馈(1)下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？①x 2+y 2;②x 2-y 2;③-x 2+y 2;④-x 2-y 2.解：①不能，不符合平方差公式；②能，符合平方差公式；③能，符合平方差公式；④不能，不符合平方差公式.判断是否符合平方差公式结构.(2)分解因式：①a 2-251b 2; ②9a 2-4b 2; ③-a 4+16.解：①(a+51b)(a-51b)； ②(3a+2b)(3a-2b)； ③(4+a 2)(2+a)(2-a).活动1 学生独立完成例1 分解因式：(1)x 2y-4y; (2)(a+1)2-1; (3)x 4-1;(4)-2(x-y)2+32; (5)(x+y+z)2-(x-y+z)2.解：(1)原式=y(x 2-4)=y(x+2)(x-2)；(2)原式=(a+1+1)(a+1-1)=a(a+2)；(3)原式=(x 2+1)(x 2-1)=(x 2+1)(x+1)(x-1)；(4)原式=-2［(x-y)2-16］=-2(x-y+4)(x-y-4)；(5)原式=［(x+y+z)+(x-y+z)］［(x+y+z)-(x-y+z)］=(x+y+z+x-y+z)(x+y+z-x+y-z)=2y(2x+2z)=4y(x+z).有公因式的先提公因式，然后再运用平方差公式；一直要分解到不能分解为止.例2 求证：当n 是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.证明：依题意，得(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=8n.∵8n 是8的n 倍，∴当n 是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.先用含n 的代数式表示出两个连续奇数，列出式子后分解因式.例3 已知x-y=2，x 2-y 2=6，求x ，y 的值.解：依题意，得(x+y)(x-y)=6.∴x+y=3.∴⎩⎨⎧=+=3.y x ,2y -x ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x 先将x 2-y 2分解因式后求出x+y 的值，再与x-y 组成方程组求x，y 的值.活动2 跟踪训练1.因式分解：(1)-1+0.09x 2； (2)x 2(x-y)+y 2(y-x)； (3)a 5-a ； (4)(a+2b)2-4(a-b)2.解：(1)(0.3x-1)(0.3x+1)； (2)(x+y)(x-y)2； (3)a(a 2+1)(a+1)(a-1)； (4)3a(4b-a).2.计算： （1-221）（1-231）（1-241）…（1-220071）（1-220081）. 解：40162009. 先分解因式后计算出来，再约分.活动3 课堂小结1.分解因式的步骤是：先排列，首系数不为负；然后提取公因式；再运用公式分解，最后检查各因式是否能再分解.2.不能直接用平方差公式分解的，应考虑能否通过变形，创造应用平方差公式的条件.教学至此，敬请使用学案当堂训练部分.。
苏科版数学八年级上册第十四章14.3.2公式法
第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第1课时运用平方差公式因式分解学习目标：1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．重点：运用平方差公式进行因式分解.难点：综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.一、知识链接1.什么叫多项式的因式分解?2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？它们有什么关系？① a(x+y)=ax+ay；①ax+ay=a(x+y)3. 20162+2016 能否被2016整除？4.计算：（1）（a+5）（a－5）=___________；（2）（4m+3n）（4m－3n）=___________．二、新知预习试一试：观察以上计算结果，并根据因式分解与整式乘法是互逆运算，分解下列因式：（1）a2－25=___________；（2）16m2－9n=___________．做一做：分解因式a2－b2=____________.要点归纳：a2－b2=____________.即两个数的平方差，等于这两个数的_____与这两个数的______的________.三、自学自测填一填：(1)(a＋2)(a－2)＝_____________；a2－4=___________；(2)(5＋b)(5－b)＝______________;25－b2=___________；(3)(x＋4y)(x－4y)=______________;x2－16y2=___________.四、我的疑惑_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________一、要点探究探究点1：用平方差公式分解因式想一想：观察平方差公式a2－b2=（a+b）（a－b），它的项、指数、符号有什么特点？要点归纳：(1)左边是____次____项式，每项都是____的形式，两项的符号相反.(2)右边是两个多项式的____，一个因式是两数的____，另一个因式是这两个数的____．练一练：下列各式中，能用平方差公式分解因式的有()①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；④－x2－y2；⑤1－14a2b2；⑥x2－4.A．2个B．3个C．4个D．5个方法总结:能用平方差公式分解因式的多项式具有以下特征：两数是平方，减号在中央．例1：分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.例2：分解因式：(1)5m2a4－5m2b4；(2)a2－4b2－a－2b.方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．例3：已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.例4：计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.针对训练1.下列因式分解正确的是( )A ．a 2＋b 2＝(a ＋b)(a ＋b)B ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)C ．－a 2＋b 2＝(－a ＋b)(－a －b)D ．－a 2－b 2＝－(a ＋b)(a －b)2.因式分解：(1)a 2－125b 2； (2)x －xy 2；(3)(2x ＋3y)2－(3x －2y)2； (4)3xy 3－3xy ；3.用简便方法计算：8.192×7－1.812×7.4.已知：|a-b-3|+（a+b-2）2=0，求a 2-b 2的值．二、课堂小结当堂检测 运用平方差公式分解因式 公式：a 2-b 2=______________.步骤：1.一提：提______；二套：套______；三查：检查每一个多项式是否都不能再分解因式.1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A．a2＋(－b)2B．5m2－20mnC．－x2－y2D．－x2＋92.分解因式(2x+3)2-x2的结果是（）A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（）A．-21 B．21 C．-10 D．104.把下列各式分解因式：(1) 16a2-9b2=_________________;(2) (a+b)2-(a-b)2=_________________;(3) 9xy3-36x3y=_________________;(4) -a4+16=_________________.5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_____________.6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．8. (1)992-1能否被100整除吗？(2)n为整数,(2n+1)2-25能否被4整除？第十四章整式的乘法与因式分解14.3 因式分解14.3.2 公式法第2课时运用完全平方公式因式分解学习目标：1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．重点：掌握用完全平方公式分解因式.难点：灵活应用各种方法分解因式.一、知识链接1．前面我们学习了因式分解的意义，并且学会了一些因式分解的方法，运用学过的方法你能将a2＋2a＋1分解因式吗？2．(1) 填一填：在括号内填上适当的式子，使等式成立：①(a＋b)2＝________；②(a－b)2＝________.③a2＋________＋1＝(a＋1)2；④a2－________＋1＝(a－1)2.（2）想一想：①你解答上述问题时的根据是什么？②第(1)①②两式从左到右是什么变形？第(1)③④两式从左到右是什么变形？二、新知预习1．观察完全平方公式：____________＝(a＋b)2；_____________＝(a－b)2完全平方公式的特点：左边：①项数必须是________；②其中有两项是________；③另一项是________．右边：________________________________________________.要点归纳：把a²+______+b²和a²-______+b²这样的式子叫作完全平方式.2．乘法公式完全平方公式与因式分解完全平方公式的联系是________．把乘法公式逆向变形为：a2＋2ab＋b2＝________； a2－2ab＋b2＝________.要点归纳：用完全平方公式因式分解，即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.三、自学自测1．下列式子为完全平方式的是( )A．a2＋ab＋b2B．a2＋2a＋2 C．a2－2b＋b2D．a2＋2a＋12．若x2＋6x＋k是完全平方式，则k＝________．3.填空：(1)x²+4x+4= ( )² +2·( )·( )+( )² =( )²(2)m² -6m+9=( )² - 2· ( ) ·( )+( )² =( )²(3)a²+4ab+4b²=( )²+2· ( ) ·( )+( )²=( )²4.分解因式：a2－4a＋4＝________．四、我的疑惑_______________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________二、要点探究探究点1：完全平方式例1：如果x2-6x+N是一个完全平方式,那么N是( )A . 11 B. 9 C. -11 D. -9变式训练如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的值为________.方法总结:本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征，根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．探究点2：用完全平方公式进行因式分解议一议：(1)将一个多项式因式分解的一般步骤是什么？(2)应注意的事项有哪些？(3)分解因式的方法有哪些？要点归纳：（1）利用公式把某些具有特殊形式（如__________，__________等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.（2）分解因式应根据多项式的特征，有公因式的一般先提_________,再套用公式，没有公因式的，则直接套用公式.分解因式应注意最后的结果中，多项式的每一个因式均不能再继续分解.例2：因式分解：(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；(2)(a2＋4)2－16a2.例3：简便计算.(1)1002－2×100×99+99²；(2)342＋34×32＋162.方法总结：在较为复杂的有理数运算中，通常要先观察式子的特征，利用因式分解将其变形，转化为较为简单的运算.例4：已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．.方法总结：此类问题一般情况是将原式进行变形，将其转化为非负数的和的形式，然后利用非负数性质求出未知数的值，然后代入，即可得到所求代数式的值．例5：已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．1.下列式子中为完全平方式的是( )A．a2＋b2B．a2＋2a C．a2－2ab－b2D．a2＋4a＋42.若x2＋mx＋4是完全平方式，则m的值是________．3．分解因式：(1)y2＋2y＋1； (2)16m2－72m＋81.4．分解因式：(1)(x＋y)2＋6(x＋y)＋9； (2)4xy2－4x2y－y3.A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( )A．4xy(x－y)－x3B．－x(x－2y)2C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是________．4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为___________.5.把下列多项式因式分解.（1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1－x2.6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92. （2）20142-2014×4026+20132.7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)2123 3x x-+.小聪和小明的解答过程如下：他们做对了吗？若错误，请你帮忙纠正过来.8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．。
人教版八年级数学上册 第14章14.3.2 公式法 第1课时 利用平方差公式分解因式 教案
14.3.2 公式法第1课时利用平方差公式分解因式【知识与技能】掌握平方差公式并应用于因式分解.【过程与方法】分析平方差公式的结构与特点，提高判断、运算能力.【情感态度】培养学生的观察、联想能力，进一步了解换元思想方法.【教学重点】应用平方差公式分解因式.【教学难点】根据问题特点，选择因式分解的方法.一、情境导入，初步认识思考多项式a2-b2有什么特点？你能将它分解因式吗？【教学说明】教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.鼓励学生思考并合作交流，并大胆地表述出来.教师可提供以下思考步骤：1.多项式的因式分解是整式乘法的逆用，也就是把一个多项式化成几个整式的积的形式.2.提公因式法的第一步是观察多项式各项是否有公因式，如果没有公因式，就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解.3.对不能使用提公因式法分解因式的多项式，不能说不能因式分解.4.对a2-b2，提公因式法不适用，联想（a+b）（a-b）=a2-b2，这启示我们有新的分解因式的方法.【归纳总结】因式分解的公式法中平方差公式为a2-b2=（a+b）（a-b），它具有如下特点：（1）左边是二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.（2）右边是两个多项式的积，一个因式是两数的和，另一个因式是这两数的差.二、思考探究，获取新知例1下列各式中能用平方差公式分解因式的有个（填序号）.【分析】①⑤是两个符号相同的平方项，不能用平方差公式分解；③是三项式，不符合平方差公式的特点；②④⑥都能写成两个数（式）的平方差，在实数范围内能够运用平方差公式.【答案】3【教学说明】能否用平方差公式分解因式，应紧紧抓住平方差公式的特点进行判断，分别从项数、符号、平方项等方面判断.例2分解因式.【教学说明】（1）可以利用加法交换律把负平方项交换放在后面；（2）1是平方项，可以写成“12”.例3分解因式.【教学说明】（1）如果多项式的各项中含有多项式，那么先提起公因式，再运用平方差公式求解.（2）因式分解必须进行到每一个多项式的因式都不能分解为止.三、运用新知，深化理解1.下列多项式能用平方差公式分解的有（）.3.王敏同学去商店买了单价是9.8元/kg的糖果10.2kg，售货员刚拿起计算器，王敏就说应付99.96元，结果与售货员计算的结果相吻合，售货员很惊讶地说：“你好像个神童，怎么算得这么快？”王敏得意地说：“过奖了，我只不过利用数学上的一个公式”.你知道王敏同学是怎样计算的吗？【教学说明】设置上述3个题目是为了加强学生对于平方差公式的结构认识及应用，教师可安排学生上台板书解题过程，师生共同检查.第3题虽然是整式乘法平方差公式应用，主要是为了帮助学生分清整式乘法中的平方差公式与因式分解中的平方差公式的应用区别.【答案】1.D2.（1）（2x+3）（2x-3）；（2）（2x+p+q）（p-q）；（3）（x2+y2）（x+y）（x-y）；（4）ab（a+1）（a-1）；（5）（13x-y）（-x+13y）；（6）x（x2+x+2）（x+1）.3.10.2×9.8=（10+0.2）（10-0.2）=102-0.22=99.96（元）.四、师生互动，课堂小结集体回顾平方差公式结构与分解因式时应注意的事项.1.布置作业：从教材“习题14.3”中选取部分题.2.完成创优作业本课时的“课时作业”部分.本课时教学重点是引导学生因整式乘法中的平方差公式推导出因式分解的平方差公式，教师应组织学生利用这个关系自主认识出新知识，了解公式的结构特征，并交流思考.加深学生对公式变式的认识，从而全方位地掌握平方差公式的应用范围，再指导学生利用实际训练强化对新知识的掌握.。
14.3.2第1课时运用平方差公式分解因式 课件 人教版八年级数学上册
（2） 4a2-9b2
=( 2a )2-( 3b )2=（2a+3b)(2a-3b).
探索新知
知识点 运用平方差公式分解因式
把上边的两个式子反过来：
（1）
x2-16
=(x+4)(x-4);
（2） 4a2-9b2
=( 2a )2-( 3b )2=（2a+3b)(2a-3b);
左边是多项式 右边是整式的积
探索新知
知识点 运用平方差公式分解因式 平方差公式的符号表达形式： (a+b)(a-b)=a2-b2
运用平方差公式计算:
（1）(x+4)(x-4)= x2-16
;
（2）（2a+3b)(2a-3b)=( 2a )2-( 3b )2=
4a2-9b2 .
把上边的两个式子反过来：
（1）
x2-16
=(x+4)(x-4);
一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解. 分解因式时，若有公因式，一般先提公因式，然后再运用平方差公 式.
学以致用
1.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（ A ）
A．-21 B．21
C．-10 D．10
【解析】b2-a2=（b+a）（b-a）=3×（-7）=-21． 故选A．
符合“（）2-（）2”的形式的多项式才能用平方差公式进 行因式分解，可简记为“两数是平方，减号在中央”.
探索新知
知识点 运用平方差公式分解因式
例2 分解因式.
（1）4x2-9；
(2) (x+p)2-(x+q)2 .
可写成(2x)2-32的形式
两者均看成一个整体
解：(1)4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) ; (2)(x+p)2-(x+q)2=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]=(2x+p+q)(p-q) .
14.3.2 公式法 课件 人教版数学八年级上册
必须相同，否则就不是完全平方式，也就不能用完全平方公
式进行因式分解.
3. 用完全平方公式分解因式时，若多项式各项有公因式，要先
提取公因式，再用完全平方公式分解因式.
感悟新知
知2－练
例 2 已知9a2＋ka＋16是一个完全平方式，则k的值是
___±__2_4____.
解题秘方：根据平方项确定乘积项，进而确定字母的值.
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.2 公式法
感悟新知
知识点 1 用平方差公式分解因式
知1－讲
1. 平方差公式法：两个数的平方差，等于这两个数的和与 这两个数的差的积. 即：a2－b2＝(a＋b)(a－b).
a，b可以是单项式，也可以是多项式
感悟新知
知1－讲
2. 平方差公式的特点 (1)等号的左边是一个二项式，各项都是平方的形式且 符号相反； (2)等号的右边是两个二项式的积，其中一个二项式是 这两个数的和，另一个二项式是这两个数的差.
感悟新知
知2－讲
2. 完全平方公式 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，
等于这两个数的和(或差)的平方. 即：a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
感悟新知
3. 公式法分解因式
知2－讲
如果把乘法公式的等号两边交换位置，就可以得到
用于分解因式的公式，用这些公式把某些具有特殊形式
的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
例 3 分解因式： (1)x2－14x＋49； (2)－6ab－9a2－b2；
知2－练
(3)116a2－12ab＋b2； (4)(x2＋6x)2＋18(x2＋6x)＋81.
解题秘方：先确定完全平方公式中的“a”和“b”，再运 用完全平方公式分解因式.
八年级数学上册作业课件：14.3.2 公式法 第1课时 运
15．利用因式分解计算： (1－212)(1－312)(1－412)…(1－912)(1－1102)．
解：原式＝(1－12)(1＋12)(1－13)(1＋13)(1－14)(1＋14)…(1－19)(1＋19)(1－ 110)(1＋110)＝12×32×23×43×34×54…×89×190×190×1110＝12×1110＝2110
解：(1)答案不唯一，如：112－92＝8×5，132－112＝8×6 (2) 任意两个奇数的平方差等于8的倍数 (3)设m，n为整数，两个 奇数可表示为2m＋1和2n＋1，则(2m＋1)2－(2n＋1)2＝4(m－ n)(m＋n＋1)．①当m，n同是奇数或偶数时，m－n一定为偶数， 所以4(m－n)一定是8的倍数；②当m，n一奇一偶时，则m＋n＋ 1一定为偶数，所以4(m＋n＋1)一定是8的倍数．综上所述，任 意两个奇数的平方差是8的倍数
3．分解因式：(1)(2016·济南)a2－4b2＝____(a_＋__2_b_)_(_a_－__2_b_) _____； (2)(2016·威海)(2a＋b)2－(a＋2b)2＝__3_(a_＋__b_)_(_a－__b_)_______．
4．分解因式： (1)πR2－πr2； 解：π(R＋r)(R－r)
知识点1：用平方差公式分解因式 1．下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是( A ) A．－a2－b2 B．－4a2＋b2 C．a2－b4 D．9a2－16b2
2．如图①，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，若 将图①中的阴影部分拼成一个长方形如图②，比较图①和图②中的 阴影部分的面积，你能得到的公式是__a_2－__b_2_＝__(_a_－__b_)(_a_＋__b_)_____．
八年级数学上册第十四章解14.3因式分解14.3.2公式法14.3.2.2运用完全平方公式分解因式教案新版新人教版30
第2课时运用完全平方公式分解因式◇教学目标◇【知识与技能】能运用完全平方公式进行因式分解.【过程与方法】经历探索利用完全平方公式进行因式分解的过程,感受逆向思维的意义,掌握因式分解的基本步骤.【情感、态度与价值观】培养学生逆向思维的意识,同时培养学生团队合作、互帮互助的精神.◇教学重难点◇【教学重点】理解完全平方公式因式分解,并学会应用. [#*^~%]【教学难点】灵活地应用公式法进行因式分解.◇教学过程◇[*~%^#]一、情境导入我们已经知道平方差公式的逆用可以用来因式分解,那么完全平方公式的逆用可以用来因式分解吗?即a2+2ab+b2=(a+b)2和a2-2ab+b2=(a-b)2成立吗? 二、合作探究探究点1 用完全平方公式因式分解的特点[*%#^&]典例1 下列多项式中,能用完全平方公式分解因式的是( )A.-x2+1B.-x2+2x-1C.x2-2x-2D.x2-2x[解析] -x2+1=1-x2=(1-x)(1+x),不能用完全平方公式分解因式,A不合题意;-x2+2x-1=-(x2-2x+1)=-(x-1)2,能用完全平方公式分解因式,B符合题意;x2-2x-2,无法用完全平方公式分解因式,C不合题意;x2-2x=x(x-2),无法用完全平方公式分解因式,D不合题意. [@#~&^][答案] B探究点2 因式分解典例2 因式分解:m2-4mn+4n2= .[#~&%^][解析] m2-4mn+4n2=m2-2×m×2n+(2n)2=(m-2n)2.[答案] (m-2n)2分解因式:(a+b)2-12(a+b)+36= .[答案] (a+b-6)2探究点3 因式分解的基本步骤[~#%*^]典例3 分解因式:-2x2y+16xy-32y= .[解析] 原式=-2y(x2-8x+16)=-2y(x-4)2.[答案] -2y(x-4)2因式分解:-3a3b+6a2b2-3ab3.[解析] 原式=-3ab(a2-2ab+b2)=-3ab(a-b)2.探究点4 因式分解综合练习典例4 下面是某同学对多项式(x2-4x+2)(x2-4x+6)+4进行因式分解的过程. [~@*%^][解析] 设x2-4x=y,原式=(y+2)(y+6)+4(第一步)。
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14．3.2 公式法
第1课时运用平方差公式因式分解
1．能直接利用平方差公式因式分解．
2．掌握利用平方差公式因式分解的步骤．
阅读教材P116“思考及例3、例4”，完成预习内容．
知识探究
1．(1)填空：4a2＝(________)2；4
9
b2＝(________)2；
0．16a4＝(________)2; a2b2＝(________)2.
(2)因式分解：2a2－4a＝________；
(x＋y)2－3(x＋y)＝________.
2．(1)填空：
(x＋2)(x－2)＝________；
(y＋5)(y－5)＝________.
(2)根据上述等式填空：
x2－4＝________；
y2－25＝________.
(3)总结公式：a2－b2＝________，
即两个数的________，等于这两个数的________与这两个数的________的______．自学反馈
(1)下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；④－x2－y2.
判断是否符合平方差公式结构．
(2)分解因式：①a2－1
25
b2；②9a2－4b2；③－a4＋16.
活动1小组讨论
例1分解因式：
(1)x2y－4y；(2)(a＋1)2－1；(3)x4－1；
(4)－2(x －y)2＋32； (5)(x ＋y ＋z)2－(x －y ＋z)2
.
解：(1)原式＝y(x 2－4)＝y(x ＋2)(x －2)．
(2)原式＝(a ＋1＋1)(a ＋1－1)＝a(a ＋2)．
(3)原式＝(x 2＋1)(x 2－1)＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)．
(4)原式＝－2[(x －y)2－16]＝－2(x －y ＋4)(x －y －4)．
(5)原式＝[(x ＋y ＋z)＋(x －y ＋z)][(x ＋y ＋z)－(x －y ＋z)]
＝(x ＋y ＋z ＋x －y ＋z)(x ＋y ＋z －x ＋y －z)
＝2y(2x ＋2z)＝4y(x ＋z)．
有公因式的先提公因式，然后再运用平方差公式；一直要分解到不能分解为止．
例2 求证：当n 是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
证明：依题意，得
(2n ＋1)2－(2n －1)2＝(2n ＋1＋2n －1)(2n ＋1－2n ＋1)＝8n.
∵8n 是8的n 倍，
∴当n 是正整数时，两个连续奇数的平方差一定是8的倍数．
先用含n 的代数式表示出两个连续奇数，列出式子后分解因式．
例3 已知x －y ＝2，x 2－y 2＝6，求x ，y 的值．
解：依题意，得
(x ＋y)(x －y)＝6.∴x＋y ＝3.
∴⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2，x ＋y ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝12.
先将x 2－y 2分解因式后求出x ＋y 的值，再与x －y 组成方程组求x ，y 的值．
活动2 跟踪训练
1．因式分解：
(1)－1＋0.09x 2； (2)x 2(x －y)＋y 2(y －x)；
(3)a 5－a; (4)(a ＋2b)2－4(a －b)2.
2．计算： ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1
22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1
32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1
42…⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1
20172⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－1
20182.
先分解因式后计算出来，再约分．
活动3 课堂小结
1．分解因式的步骤：先排列，首系数不为负；然后提取公因式；再运用公式分解，最后检查各因式是否能再分解．
2．不能直接用平方差公式分解的，应考虑能否通过变形，创造应用平方差公式的条件．
【预习导学】
知识探究
1．(1)±2a ±23
b ±0.4a 2 ±ab (2)2a(a －2) (x ＋y)(x ＋y －3) 2.(1)x 2－4 y 2
－25 (2)(x ＋2)(x －2) (y ＋5)(y －5) (3)(a ＋b)(a －b) 平方差 和 差 积
自学反馈
(1)①不能，不符合平方差公式；②能，符合平方差公式；③能，符合平方差公式；④不能，不
符合平方差公式；(2)①(a＋15b)(a －15
b)；②(3a ＋2b)(3a －2b)；③(4＋a 2)(2＋a)(2－a)． 【合作探究】
活动2 跟踪训练
1．(1)(0.3x －1)(0.3x ＋1)．(2)(x ＋y)(x －y)2.
(3)a(a 2＋1)(a ＋1)(a －1)．(4)3a(4b －a)． 2.2 0194 036
.。