第四章 相似原理和量纲分析

m p


(24.38m)
1.225kg/m 9.324kg/m
3 3

60m 48.5m

1.2 105 Pa s 1.789 105 Pa
4.1.2.1 相似第一定律
相似第一定律：彼此相似的现象必定具有数值相同的同名相似准数。 相似第一定律是现象相似的必要条件，它揭示了相似现象的基本性质——相似准数相等。
有些教材将相似第一定律称为相似第一定理/相似正定理。 相似准数相等等价于相似指标等于一，因此也可以将相似第一定律表示为“彼此相似的现象的相似指标等于一。”
Ne

Fd v 2 L2
Cf
Ne

FL v 2 L2
CL
式中：FL——升力(kg·m/s2)； CL——升力系数。
4.1.2 相似三定律
根据上一节的介绍，用模型研究法进行实验研究必须保证模型和原型对应的物理现象彼此相似，相似 三定律说明了如何判断原型和模型对应的物理现象是否相似以及彼此相似现象的性质。
例 4-1 模型车和原型车的相似 一辆新型两厢车在 25°C 时的时速是 80km/h，工程师建立了一个 1/5 尺寸的模型车进行风洞测试，风洞中
4
的温度为 5°C，确定风洞的速度达到多少才能保证模型和原型的相似。
例 4-1 图
假设：(1)空气为不可压缩流体(待验证)；(2)风洞壁面离模型车足够远，对空气阻力无影响；(3)模型和原型 几何相似；(4)风洞采用一个移动带模拟汽车下方的地面(以保证流动中每一处特别是汽车下方地面处的动 力学相似)。 解： 该问题属于前面介绍的外部流动问题，相关物理量为空气阻力 Fd、汽车速度 v、特征长度 L、空气密度 和粘度 µ。该问题可以表示为
图 4-1 第四章主要内容导读 教材中和本章有关的内容包括：第八章。
1
4.1 相似原理
4.1.1 相似的基本概念
遵循同一物理方程的现象称为同类现象。如果两个同类现象对应物理量成比例(在对应的时空点，两个 现象各标量物理量大小成比例，各向量物理量大小成比例、方向相同)，称这两个现象为相似现象(similar phenomena)。
根据相似第三定律，任何定解问题的积分结果都可以表示成由这一定解问题所导出的相似准数之间的函数关系——准数 方程，方程中的每个准数由有关物理量构成，所以准数方程实际上就是定解问题的解。
当需要用实验手段找出具体准数方程时，实验的变量不是一般的物理变量，而是由物理量构成的独立的无量纲相似准数， 使实验变量的个数大大减少。


48.5m/s
183K、5atm 时氮气的密度为
p M p nitrogen (5atm)(28kg/kmol) 9.324kg/m 3
R0T
(8.314J/(mol K))(183K)
因此，模型飞机的翼展为
Lm

Lp
p m

vp vm

m p

p m

Lp Lm


(80km/h
)
17.4 106 kg/(m s) 18.35 106 kg/(m s)

1.185kg/m 3 1.27kg/m 3
(5)

354km/h
这个速度非常大(大约为 100m/s)，一般的风洞在该速度下难以运行。而且这样的高速度下，空气的不可压缩假设可能不 能成立(Ma≈0.3)。
(3)欧拉数(Euler number)
欧拉数表示压力(压差力)和惯性力之比，可以表示为
Eu

p v2
式中：Eu——欧拉数。
欧拉数常常用于描述压力对流速分布影响较大的流动，例如空化、气泡现象。
(4)斯特劳哈尔数(Strouhal number)
斯特劳哈尔数表示区域惯性力和对流惯性力之比，可以表示为
对该问题可以采取以下几种解决方法：(1)采用大的风洞(汽车制造商一般在非常大型的风洞中测试，对轿车采用 3/8 尺 寸模型，对货车和公共汽车采用 1/8 尺寸模型)；(2)采用其它流体进行实验。根据相似第二定律，即使采用不同的流体进行 实验，只要相应的相似准数相等，原型和模型就可以保持彼此相似，因此汽车、飞行器可以在水洞中进行相似实验，潜艇可
上述三类相似中，几何相似是运动相似和动力相似的前提和依据，动力相似是决定模型和原型流动相似的主导因素，运 动相似是几何相似和动力相似的表现。
全部相似条件都能满足的情况称为完全相似，只能满足部分相似条件的情况称为部分相似/不完全相似。 完全的几何相似一般并不容易达到。例如，采用小尺寸模型模拟原型时，一般很难按照原型的表面粗糙度等比例缩小来 加工模型的表面粗糙度，除非能够将模型表面加工得比原型光滑得多；研究沉淀物的传输时，不能将河床上的物质按比例缩 小成粉末，因为细微的粉末之间有内聚力，无法模拟砂粒的特性；研究河流流动时，水平方向的尺寸远大于垂直方向的尺寸， 受实验空间的限制又必须对水平方向采用较大比例尺进行缩小，如果将同样的比例尺用于垂直方向，有可能产生太浅的流动， 导致毛细作用影响明显，而且河床的斜率太小会使流动保持层流。因此，研究河流流动时往往采用畸变模型——垂直方向的 比例尺比水平方向大得多。 其它传输现象还需要满足其它相似条件，例如热相似。 有些流体力学教材将时间相似单独列为一项相似条件。
Sr fl v
式中：Sr——斯特劳哈尔数； f——特征频率(s-1)。
斯特劳哈尔数反映了流体运动随时间变化的情况，是研究非稳态流动和脉动流动时的重要相似准数。 (5)马赫数(Mach number)
马赫数表示弹性力和惯性力之比，反映了流动的压缩程度，适用于流体压缩程度很大时。具体描述见第三章。 (6)韦伯数(Weber number)
动量传输中的常用相似准数如下。 (1)雷诺数(Renolds number)
雷诺数表示惯性力和粘性力之比，反映了流体流动中粘性力的影响程度。具体描述见第三章。 (2)弗劳德数(Froude number)
弗劳德数表示惯性力和重力之比，可以表示为
Fr v gl
式中：Fr——弗劳德数。 弗劳德数反映了流体流动中重力的影响程度，是研究具有自由表面的液体流动(例如潮汐流动、液体表面波动等问题)时
同类现象所遵循的物理方程同时包括控制方程和定解条件。
对于动量传输问题，模型(model)和原型(prototype)之间必须满足如下相似条件才能成为相似现象(图 4-2)：(1)几何相似/空间相似，要求模型和原型外形完全一样；对应线段成比例；对应夹角相等；有粗糙度 时粗糙度相似；(2)运动相似。要求模型和原型对应流线几何相似；对应点速度大小成比例，方向相同；(3) 动力相似/受力相似，要求模型和原型的两个对应流场受同种外力作用；对应点上对应作用力成比例。
几何相似、运动相似和受力相似的相似常数均可以大于、等于或小于一。这些相似常数可以相等也可以不相等。
根据匀速运动的特点，要保证原型和模型之间相似，上述相似常数必须满足
式中：C——相似指标。 上式也可以表示为
C CvC 1 Cl
2
vp p vm m
lp
lm
因此，也可以根据综合数群 vτ/l 判断原型和模型是否相似，这种用于判断原型和模型是否相似的综合 数群称为相似准数(similarity parameters)。
4 相似原理和量纲分析
4.0 本章主要内容导读
本章介绍传输现象的实验研究方法，包括相似原理、量纲分析和模型研究法三大部分内容(图 4-1)。
用数学分析方法研究动量传输问题具有较大的局限性，许多情况下无法得到问题的解析解，需要采用实验研究方法和数 值计算方法进行研究。实验研究方法包括原型观测、模型实验、系统实验和模拟实验等多种研究方法。模型实验研究是最常 用的实验研究方法，它的理论指导基础是相似原理，具体实践方法是量纲分析。
(1) 该问题中的决定性准数是雷诺数 Re 和马赫数 Ma，因此有
5
Rem

mvm Lm m

Re p

pvp Lp p
模型飞机的速度为
Mam

vm cnitrogen

Re p

vp cair
vm

vp

cnitrogen cair


(60m/s)
275m/s 340m/s
图 4-2 几何相似、运动相似和动力相似
为了同时满足上述几类相似，原型和模型的相应物理量之间必须满足一定的约束条件。以匀速运动为 例，原型和模型之间必须首先满足
vp / vm Cv lp / lm Cl p / m C
式中：m、p——模型和原型物理量。 Cv、Cl、Cτ——速度、位移和时间的相似常数。
韦伯数表示惯性力和表面张力之比，可以表示为
Wb v2l
式中：Wb——韦伯数。 韦伯数适用于研究气液、液液及液固界面上有显著表面张力作用的情况。
(7)牛顿数(Newton number)
3
牛顿数表示外力和流体惯性力之比，可以表示为
Ne

F v2l 2
式中：Ne——牛顿数。
当外力为阻力或者升力时，牛顿数 Ne 可以表示为
实际应用中，常将准数方程表示为如下形式
f ( , ,, ) i undetermined
i 1determined 2 determined
m determined
i 1，, n，m
对准数方程进一步处理的理论依据是白金汉 π 定理，因此许多教材将白金汉 π 定理称为相似第二定律，将上述相似第 二定律称为相似第三定律。白金汉 π 定理的详细介绍见 4.2 节。
4.1.2.3 相似第三定律
相似第三定律：描述某现象的各种物理量之间的关系式可以表示成相似准数之间的函数关系式。该关 系式称为准数方程/准数关系式，可以表示为
f (1,2,,n ) 0
式中：πi——第 i 个相似准数。 相似第三定律反映了实验数据的处理方法——将物理量的关系表示为准数方程形式。
最重要的相似准数。 在某些流动情况下，流体的粘性力和重力、惯性力同样重要，此时需要同时考虑雷诺数和弗劳德数。同时满足雷诺数和
弗劳德数相等的唯一方法是在模型中采用粘度不同于原型流体的流体。 有时也将弗劳德数表示为
Fr

gl v2
如果流体承受的不是重力而是任意质量力，弗劳德数可以表示为
Fr

Fl v2
式中：F——单位流体质量所受质量力。
Fd f (v, L, , )
相应的准数方程为
Cf
源自文库

Fd v 2 L2

f (Re)
f

vL

显然，必须保证雷诺数 Re 相等才能满足模型和原型的相似。因此有
2,m
Rem

mvm Lm m
2,p

Re p

pvp Lp p
即
vm

vp

4.1.2.2 相似第二定律
相似第二定律：同类现象如果定解条件相似并且由定解条件的物理量所组成的相似准数在数值上相等， 这些现象必定相似。
相似第二定律反映了现象相似的三个充分必要条件——同类现象、定解条件相似、相似准数相等。
有些教材将相似第二定律称为相似第二定理/相似逆定理。 有些教材将该定律中的“定解条件相似”描述成“单值条件相似”，即要求同时满足几何相似、物理相似和定解条件相 似(初始条件相似、边界条件相似)。
以在风洞中进行相似实验。对同样尺寸的模型，水洞所需速度远远低于风洞速度(对本问题，水洞所需速度约为 11m/s)；(3) 对风洞加压和/或调节温度(效果有限)；(4)在接近最大速度的几个速度下进行风洞实验，然后根据自模化外推到全尺寸雷诺 数情况。
例 4-1A 低温风洞中的相似 一个风洞用温度 Tm=183K、压力 pm=5atm 的低温高压氮气作为工作流体进行实验。已知原型飞机的翼展 Lm=24.38m，在温度 Tp=288K、压力 pp=1atm 的海平面上的飞行速度 vp=60m/s，288K、1atm 时空气的密度 ρp=1.225kg/m3，动力粘度 μp=1.789×10-5Pa·s，音速 cair=340m/s，氮气的摩尔质量 Mnitrogen=28kg/kmol，183K、 5atm 时氮气的动力粘度 μm=1.2×10-5Pa·s，音速 cnitrogen=275m/s。确定：(1)模型飞机的速度和翼展；(2)作用 在模型飞机和原型飞机上的力的比值。 假设：(1)氮气和空气均为理想气体。 解：