课题：绝对值三角不等式

合集下载

绝对值不等式

绝对值不等式知识总结：1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x |<a 与|x |>a 的解集：不等式 a >0 a ＝0 a <0 |x |<a (－a ，a ) ∅∅ |x |>a(－∞，－a )∪(a ，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax ＋b |≤c (c >0)和|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法： ①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .题型一：绝对值不等式的解法例1：不等式1≤|2x －1|<2的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，32 D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)例2：若关于x 的不等式|x －1|－|x －3|>a 2－3a 的解集为非空数集，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a <2 B.3－172<a <3＋172C ．a <1或a >2D ．a ≤1或a ≥2举一反三：变式1：设不等式|x －2|<a (a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A ，则a ＝________.变式2:不等式|x －2|＋|x ＋2|≥5的解集为______________．题型二：利用绝对值不等式求最值例1：对于任意实数a 和b (b ≠0)，不等式|a ＋b |＋|a －b |≥|b |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，则实数x 的取值范围是________．例2：记max{p ，q }＝⎩⎨⎧p ，p ≥q ，q ，p <q ，设M (x ，y )＝max{|x 2＋y ＋1|，|y 2－x ＋1|}，其中x ，y ∈R ，则M (x ，y )的最小值是________．举一反三：变式1：若关于x 的不等式|x ＋t 2－2|＋|x ＋t 2＋2t －1|<3t 无解，则实数t 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1 B ．(－∞，0] C ．(－∞，1]D ．(－∞，5]变式2：(2020·浙江第二次联盟联考)定义min{x ，y }＝⎩⎨⎧x ，x ≤y ，y ，x >y ，已知x 是不为2或8的实数，若S ＝min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫2|x －2|，1|x －8|，则S 的最大值为________．题型三：绝对值不等式的综合应用例1：已知a ，b 为实数，不等式|x 2＋ax ＋b |≤|x 2－7x ＋12|对一切实数x 都成立，则a ＋b ＝________.例2：已知函数f (x )＝x |x －a |－1.①当a ＝1时，解不等式f (x )<x －1；②当x ∈(0,1]时，f (x )≤12x 2恒成立，求实数a 的取值范围．举一反三：变式1：已知函数f (x )＝|x －2|，g (x )＝－|x ＋3|＋m .(1)解关于x 的不等式f (x )＋a －1>0(a ∈R )；(2)若函数f (x )的图象恒在函数g (x )图象的上方，求m 的取值范围．课后练习：1．不等式|2x －1|<3的解集是( ) A ．(1,2) B ．(－1,2)C ．(－2，－1)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)2．不等式|2x －1|－|x －2|<0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <－1} C ．{x |x >1}D ．{x |x <－1或x >1}3．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．74．已知数列{a n }为等差数列，且a 8＝1，则2|a 9|＋|a 10|的最小值为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．05．设函数f (x )＝|2x －1|，若不等式f (x )≥|a ＋1|－|2a －1||a |对任意实数a ≠0恒成立，则x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)B ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)6．若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4D ．－4或87．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π2x ，|x |≤1，x 2－1，|x |>1.若|f (x )＋f (x ＋l )－2|＋|f (x )－f (x ＋l )|>2(l >0)对任意的实数x都成立，则正数l 的取值范围为( ) A ．(0,23) B ．(23，＋∞) C ．(0,23]D ．[23，＋∞)8．若a ，b ，c ∈R ，且|a |≤1，|b |≤1，|c |≤1，则下列说法正确的是( ) A.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2 B.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b 2 C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab ＋bc ＋ca ＋32≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －b －c 2 D ．以上都不正确9．若关于x 的不等式|x |＋|x ＋a |<b 的解集为(－2,1)，则实数a ＝________，b ＝________.10．已知f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1x －a ＋2x －2a (x >0)的最小值为32，则实数a ＝________.11．当1≤x ≤3时，|3a ＋2b |－|a －2b |≤|a |⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋m x ＋1对任意的实数a ，b 都成立，则实数m 的取值范围是________．12．对任意的x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为________；若正实数x ，y ，z 满足x 2＋2y 2＋z 2＝1，则t ＝433xy ＋2yz ＋xz 的最大值是________．13．已知函数f (x )＝x －1，若|f (x )－1|＋1|f (x －1)|－a >0对任意的x ∈R 且x ≠2恒成立，则实数a的取值范围为________；不等式|f (2x )|≤5－|f (2x －1)|的解集为__________．14．已知a >0，若集合A ＝{x ∈Z ||2x 2－x －a －2|＋|2x 2－x ＋a －2|－2a ＝0}中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为______．15．已知a ，b ∈R ，f (x )＝|2x ＋ax ＋b |，若对于任意的x ∈[0,4]，f (x )≤12恒成立，则a ＋2b ＝________.。

第一讲(二)(1)：绝对值三角不等式

定理2: 如果a,b,c是实数,则
|a-c||a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立. 证明:根据定理1,有: |a-c|=|(a-b)+(b-c)| |a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.
9
知识应用
例1 已知 0， | x a | ，| y b | . 求证：| 2 x 3 y 2a 3b | 5 .
例:解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
（0，2）
解不等式 | 5x-6 | < 6 – x
有更一般的结论：
|f(x)|<g(x) |f(x)|>g(x) -g(x)<f(x)<g(x) f(x)>g(x) 或f(x)<-g(x)
-2 0 2 -a a 类比：|x|<3的解 |x|>3 的解 -a<x<a 归纳：|x|<a（a>0)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
|x|<-2的解
|x|>a (a>0) |x|>-2的解 X>a 或 x<-a
引伸：
如果把|x|<2中的x换成“x-1”,也就是 | x-1 | <2如何解？
如果把|x|>2中的x换成“3x-1”,也就是
巩固练习：
求下列不等式的解集
① |2x+1|<5
② 3|1-4x|>9 ③ |4x|<-1
（-3，2）（-∞，-1/2）∪（1，+ ∞）

R
④ |x2-5x|>-6
⑤ 3<| 2x+1 | <5

绝对值三角不等式课件

证明:∵m 等于|a|,|b|和 1 中最大的一个,|x|>m,
|| > ≥ ||
|| > ||,

||
||
>

≥
||
∴
⇒
∴ + 2 ≤
+ 2 = +
2

||
|| > |b|.
|| > ≥ 1
||
2
|| ||
<
+ 2 =2.故原不等式成立.
2
||
||
∴-4≤y≤4.
∴yma x=4,y min =-4.
迁移与应用
如果关于 x 的不等式|x-3|+|x-4|<a 的解集为空集,求参数 a
的取值范围.
解:只要 a 不大于|x-3|+|x-4|的最小值,则|x-3|+|x-4|<a 的解集
为空集,而|x-3|+|x-4|=|x-3|+|4-x|≥|x-3+4-x|=1,
=|(x-a)(x+a-1)|
=|x-a||x+a-1|
<|x+a-1|
=|Байду номын сангаас-a+2a-1|
≤|x-a|+|2a-1|
<1+|2a|+1
=2(|a|+1),
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
迁移与应用
已知 f(x)=x2 -2x+7,且|x-m|<3,求证:|f(x)-f(m)|<6|m|+15.

绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)

提出问题:
你能看出下面两个不等式的解集吗?
⑴ x 1
⑵ x 1
主要方法有:
法一:利用绝对值的几何意义观察；法二:利用绝对值的定义去掉绝对值符号,需要分类讨论; 法三:两边同时平方去掉绝对值符号; 法四:利用函数图象观察.
这也是解其他含绝对值不等式的四种常用思路.
探索：不等式|x|<1的解集.
方法一：利用绝对值的几何意义观察
思考四：若变为不等式|x-1|+|x+2|<k的解集为，则k的取值范围是 k 3
练习：解不等式│x+1│–│x–2│≥1
x | x 1
作出f (x) │x +1│–│x – 2│的图像，并思考f (x)的最大和最小值
│x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是 │x +1│–│x – 2│ k恒成立，k的取值范围是
2x 4， x 1
例1. 解不等式|x-1|+|x+2|≥5
y
2x 6, x 2 y 2， 2 x 1
2x 4， x 1
如图,作出函数的图象,
函数的零点是-3,2.
-2 1
-3
2x
-2
由图象可知,当x 3或x 2时,y 0,
∴原不等式的解集为{x|x≤-3 或 x≥2}.
ab a b
当向量 a, 共b 线时，
同向： a b a b 反向： a b a b
y
ab b
a
O
x
ab a b
定理1 如果a,b是实数，则 a b a b
定理1的完善
绝对值三角不等式
a b ab a b
a b ab a b
定理1的推广如果a,b，c是实数，则

绝对值三角不等式的证明方法

绝对值三角不等式的证明方法绝对值三角不等式是解决三角函数不等式问题的重要方法之一。

在证明绝对值三角不等式时，我们可以采用以下简单的策略。

1. 利用三角函数的定义：- 对于正弦函数，我们有sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。

- 对于余弦函数，我们有cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x))。

2. 利用绝对值的性质：- 任何数x的绝对值为|x|，即x的绝对值是x的非负值。

- 绝对值函数满足|x| = -x 当且仅当x ≤ 0。

3. 利用三角函数的周期性：- 正弦和余弦函数的周期都是2π。

即sin(x + 2π) = sin(x) 和cos(x + 2π) = cos(x)。

下面是一个例子，展示了利用以上策略证明绝对值三角不等式的方法：假设我们要证明sin(x) ≤ |cos(x)|，即正弦函数的值永远小于等于余弦函数的绝对值。

证明过程：1. 根据三角函数的定义，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x))。

2. 将右边的cos(x)替换为|cos(x)|，因为余弦函数的绝对值是非负的。

即sin(x) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。

3. 根据绝对值的性质，我们知道|cos(x)|^2 = cos^2(x)。

因此，sin(x) = sqrt(1 - cos^2(x)) = sqrt(1 - |cos(x)|^2)。

4. 由于平方根函数的值永远是非负的，所以sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2)。

5. 根据三角函数的周期性，我们可以在等式两边加上2π的整数倍，不改变不等式的成立性。

因此，sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x)|^2) 可以转变为sin(x) ≤ sqrt(1 - |cos(x + 2πn)|^2)，其中n为整数。

6. 综上所述，我们证明了sin(x) ≤ |cos(x)|。

根据以上证明方法，我们可以尝试证明其他类似的绝对值三角不等式。

绝对值三角不等式及其应用

【例3】已知二次函数f(x)=x2+ax+b(a，b∈R）的定义域为［-1，1］，且|f(x)|的最大值为M. (1)证明： |1+b|≤M; (2)证明: M 1 ; 2 (2)当 M 1 时，试求出f（x）的解析式. 2 思维启迪由|f(x)|在［-1，1］上的最大值为M 建立不等式M≥|f（1）|，M≥|f（0）|，M≥ |f（-1）|是解决问题的关键.
∵|2b|=|a+b+c-（a-b+c）| ≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2， ∴|b|≤1， ∴|f（2）|=|4a+2b+c|=|f（1）+3a+b| ≤|f（1）|+3|a|+|b|≤1+6+1=8，即|f（2）|≤8. 方法二 ∵当|x|≤1时，|f（x）|≤1， ∴|f（0）|≤1，| f（1）| ≤1，|f（-1）|≤1. 由f（1）=a+b+c， f（-1）=a-b+c，f（0）=c知
猜想： a b ≤ a b
（当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
已知 a, b 是实数，试证明： a b ≤ a b
（当且仅当 ab≥0 时，等号成立.）
证明:10 .当ab≥0时,
20. 当ab<0时,
ab | ab |,
ab | ab |,
| a b | (a b)2 a2 2ab b2
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等号成立。
绝对值三角不等式的应用
例1 已知ε> 0,|x - a|<ε,|y - b|<ε,
求证: |2x + 3y - 2a - 3b|< 5ε

绝对值三角不等式

性质求最值时要注意等号成立的条件,这也是关键.
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】设f(x)=x2-x+13,实数a满足|x-a|<1.求证:|f(x)f(a)|<2(|a|+1).
证明:|f(x)-f(a)|=|(x-a)·(x+a-1)|<|x+a-1|≤|x|+|a|+1.
∵|x|-|a|≤|x-a|<1,
A.|a|<|b|+|c|
B.|c|<|a|+|b|
C.b>||c|-|a||
D.b<|a|-|c|
)
题型一
题型二
题型三
解析:由|a-c|<b,知b>0,∴b=|b|.
∵|a|-|c|≤|a-c|,
∴|a|-|c|<b,则|a|<b+|c|=|b|+|c|.
故A成立.
同理由|c|-|a|≤|a-c|,得|c|-|a|<b,
∴|x|≤|a|+1.
∴|x|+|a|+1<2(|a|+1).
∴|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
谢谢！
1+||+||
||
||
||
||
+
≤
+
,
1+||+|| 1+||+|| 1+|| 1+||
| + |
||
||
∴
≤
+
.
1 + | + | 1 + || 1 + ||

学案1：1 绝对值三角不等式

1.2.1 绝对值三角不等式学习目标1．理解绝对值的几何意义．2．能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a ＋b |≤|a |＋|b |；(2)|a －b |≤|a －c |＋|c －b |.预习导学1．研究在绝对值符号内含有未知数的不等式(也称绝对值不等式)，关键在于去掉绝对值符号，化成普通的不等式．主要的依据是绝对值的意义．在数轴上，一个点到原点的距离称为这个点所表示的数的绝对值．即|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ＞0，0，x ＝0，－x ，x ＜0.思考1 求下列各数的绝对值：(1)3； (2)－8； (3)0.2．绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．关于定理1的几点说明：(1)定理1的证明：|a ＋b |≤|a |＋|b |⇔(a ＋b )2≤(|a |＋|b |)2⇔a 2＋b 2＋2ab ≤a 2＋b 2＋2|a ||b |⇔ab ≤|a ||b |⇔ab ≤|ab |，由已知知识可知ab ≤|ab |一定成立，因而不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |成立．又由于上面每一步都是恒等变形及ab ＝|ab |⇔ab ≥0可知，当且仅当ab ≥0时，等号成立．(2)对定理的几何说明，实际上是利用了绝对值的几何意义，证明了不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |.(3)定理1还可以变形为|a －b |≤|a |＋|b |，等号成立的充要条件是ab ≤0.(4)由定理1还可以得出许多正确的结论，例如：如果a ，b 是实数，那么|a |－|b |≤|a ＋b |≤|a |＋|b |；|a |－|b |≤|a －b |≤|a |＋|b |.思考2 说出下列不等式等号成立的条件：(1)|a |＋|b |≥|a ＋b |；(2)|a |－|b |≤|a ＋b |；(3)|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.3．含有绝对值的不等式的证明中，常常利用|a |≥a ，|a |≥－a 及绝对值的和的性质．思考3 当|a |>a 时，a ∈________；当|a |>－a 时，a ∈(0，＋∞)．当堂检测1．若|x －a |<m ，|y －a |<n ，则下列不等式一定成立的是( )A ．|x －y |<2mB ．|x －y |<2nC ．|x －y |<n －mD ．|x －y |<n ＋m2．设ab >0，下面四个不等式：①|a ＋b |>|a |；②|a ＋b |<|b |；③|a ＋b |<|a －b |；④|a ＋b |>|a |－|b |.其中正确的是( )A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④3．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2，则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________．4．方程|x |＋|log a x |＝|x ＋log a x |(a >1)的解集是________________．5．|x －A |<ε2，|y －A |<ε2是|x －y |<ε的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.即不充分也不必要条件6．若不等式|x －4|＋|x －3|>a 对一切实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，1)B.(1，＋∞)C.(3，4)D.[3，＋∞)7．“a ＜4”是“对任意实数x ，|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立”的( )A.必要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.即不充分也不必要条件8．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值是________，最小值是________．9．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，|x －2y ＋1|的最大值是________．10．x ，y ∈R ，若|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|≤2，则x ＋y 的取值范围为____________．11．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a ＞0)，证明：f (x )≥2. 12．设a ，b ∈R 且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，求|a |＋|b |的最大值．13．已知实数x ，y 满足：|x ＋y |<13，|2x －y |<16，求证：|y |<518.14．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是平面直角坐标系xOy 上的两点，现定义点A 到点B 的一种折线距离为ρ(A ，B )＝|x 2－x 1|＋|y 2－y 1|，对于平面xOy 上给定的不同的两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若点C (x ，y )是平面xOy 上的点，试证明：ρ(A ，C )＋ρ(C ，B )≥ρ(A ，B )．方法小结1．在掌握本节知识过程中，要充分认识和理解绝对值的意义和性质：设a ∈R ，则|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a ＜0.|a |≥0，－|a |≤a ≤|a |，|a |2＝a 2. 2．绝对值不等式的性质定理的推广：|a 1＋a 2＋a 3|≤|a 1|＋|a 2|＋|a 3|；|a 1＋a 2＋…＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |；||a |－|b ||≤|a －b |≤|a |＋|b |.3．在应用含绝对值的不等式求某些函数的最值时，一定要注意等号成立的条件： |a ＋b |＝|a |＋|b |(ab ≥0)；|a －b |＝|a |＋|b |(ab ≤0)；||a |－|b ||＝|a ＋b |(ab ≤0)；||a |－|b ||＝|a －b |(ab ≥0)．参考答案思考1 (1)3 (2)8 (3)0思考2 (1)等号成立的条件是：ab ≥0；(2)等号成立的条件是：ab ≤0且a ≥b .(3)等号成立的条件是：(a －b )(b －c )≥0思考3 (－∞，0)当堂检测1.答案: D2.答案: C3.答案: 5 04.答案: {x |x ≥1}5.答案: A6.答案: A7．答案：B解析：∵|2x －1|＋|2x ＋3|≥|2x －1－(2x ＋3)|＝4，∴当a ＜4时⇒|2x －1|＋|2x ＋3|≥a 成立，即充分条件；当|2x －1|＋|2x ＋3|≥a ⇒a ≤4，不能推出a ＜4，即必要条件不成立．8．答案：4 －4解析：解法一 ∵||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.解法二把函数看作分段函数y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x ＜－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x ＞3.∴－4≤y ≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.9．答案：5解析：|x －2y ＋1|＝|x －1－2(y －2)－2|≤|x －1|＋2|y －2|＋|－2|≤1＋2＋2＝5.10．答案：[0，2]解析：由|a |＋|b |≥|a －b |知，|x |＋|x －1|≥|x －(x －1)|＝1，同理|y |＋|y －1|≥1，故|x |＋|y |＋|x －1|＋|y －1|＝2，所以0≤x ≤1且0≤y ≤1，即0≤x ＋y ≤2.11．解析：(1)由a ＞0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪x ＋1a －（x －a ）＝1a＋a ≥2. 所以f (x )≥2.12．解析：|a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b ＋1|＋|－1|≤1＋1＝2|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5|≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16. ①当ab ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2；②当ab ＜0时，则a (－b )＞0，|a |＋|b |＝|a |＋|－b |＝|a ＋(－b )|≤16.总之，恒有|a|＋|b|≤16.而a＝8，b＝－8时，满足|a＋b＋1|＝1，|a＋2b＋4|＝4，且|a|＋|b|＝16.因此|a|＋|b|的最大值为16.13．证明：∵3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)＋(y－2x)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，由题意设|x＋y|<13，|2x－y|<16，∴3|y|<2×13＋16＝56.∴|y|<518.14．证明：由绝对值不等式知，ρ(A，C)＋ρ(C，B)＝|x－x1|＋|x2－x|＋|y－y1|＋|y2－y|≥|(x－x1)＋(x2－x)|＋|(y－y1)＋(y2－y)|＝|x2－x1|＋|y2－y1|＝ρ(A，B)．当且仅当(x－x1)·(x2－x)≥0且(y－y1)·(y2－y)≥0时等号成立．。

绝对值三角形不等式公式推导

绝对值三角形不等式公式推导绝对值三角形不等式公式推导一、引言绝对值三角形不等式是解决绝对值不等式问题的基本工具之一，在数学中有着广泛的应用。

它主要用于解决包括代数和几何问题在内的多种数学问题。

在本文中，我将深入探讨绝对值三角形不等式的导出过程，并结合具体例子进行解释，以帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学概念。

二、绝对值三角形不等式公式的基本定义为了全面了解绝对值三角形不等式的公式推导过程，我们需要先了解其基本定义。

假设a和b是实数，那么绝对值三角形不等式可以表达为：|a + b| ≤ |a| + |b|这一不等式是指，两个数的绝对值之和不大于其各自绝对值的和。

这一概念对于处理绝对值的复杂运算问题起到了重要的作用。

接下来，我将详细介绍绝对值三角形不等式的推导过程，帮助读者全面理解这一概念。

三、绝对值三角形不等式公式的推导过程为了推导绝对值三角形不等式的公式，我们可以利用数轴的性质和绝对值的定义进行推导。

我们假设a和b是实数且a≥0，b≥0。

现在，我们来看一下具体的推导过程：1. 我们假设a≥0，b≥0。

根据数轴的性质，a和b对应的点分别为A 和B，那么|a|和|b|分别表示点A和B到原点的距离。

2. 现在，我们考虑点C，它表示a+b对应的实数。

根据数轴的性质，我们可以知道|a+b|表示点C到原点的距离。

3. 根据三角形两边之和大于第三边的性质，我们可以得出结论：|a + b| ≤ |a| + |b|通过以上推导过程，我们可以得出绝对值三角形不等式的公式。

这一推导过程清晰地展现了绝对值三角形不等式的基本原理和应用。

四、绝对值三角形不等式公式的应用举例为了更好地理解绝对值三角形不等式的应用，我们可以通过具体的例子来说明。

例1：求解|2x + 1| ≤ 5的解集。

解：根据绝对值三角形不等式的公式，我们可以得出：|2x + 1| ≤ 5-5 ≤ 2x + 1 ≤ 5-6 ≤ 2x ≤ 4-3 ≤ x ≤ 2|2x + 1| ≤ 5的解集为-3 ≤ x ≤ 2。

绝对值不等式

绝对值不等式一、绝对值三角不等式1．定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab ≥0时，等号成立．2．定理2：如果a ，b ，c 是实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．二、绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集不等式a >0 a ＝0 a <0 |x |<a－a <x <a ∅ ∅ |x |>a x >a 或x <－a x ≠0 R2．|a x ＋b|≤c(c>0)和|a x ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|a x ＋b|≤c ⇔－c ≤a x ＋b ≤c ；(2)|a x ＋b|≥c ⇔a x ＋b ≥c 或a x ＋b ≤－c .3．|x －a |＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a |＋|x －b |≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．二、绝对值不等式的解法 1．含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a 的解集不等式 a >0 a ＝0a <0 |x |<a －a <x <a ∅∅ |x |>a x >a 或x <－a x ≠0 R 2．|a x ＋b|≤c(c>0)和|a x ＋b|≥c(c>0)型不等式的解法(1)|a x ＋b|≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ；(2)|a x ＋b|≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .3．|x －a|＋|x －b|≥c(c>0)和|x －a|＋|x －b|≤c(c>0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；方法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．例1：解不等式x ＋|2x －1|<3.解：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0， x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3.解得12≤x <43或－2<x <12. 例2：已知函数f(x)＝|x －2|－|x －5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x ＋15的解集．解：(1)证明：f (x )＝|x －2|－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ≤2，2x －7，2<x <5，3，x ≥5.当2<x <5时，－3<2x －7<3.所以－3≤f (x )≤3.(2)由(1)可知，当x ≤2时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为空集；当2<x <5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x <5}；当x ≥5时，f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5≤x ≤6}．综上，不等式f (x )≥x 2－8x ＋15的解集为{x |5－3≤x ≤6}．例3：对于任意实数a (a≠0)和b ，不等式|a ＋b|＋|a －b|≥|a |(|x －1|＋|x －2|)恒成立，求实数x 的取值范围．解：由题知，|x －1|＋|x －2|≤|a －b |＋|a ＋b ||a |恒成立，故|x －1|＋|x －2|不大于|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值． ∵|a ＋b |＋|a －b |≥|a ＋b ＋a －b |＝2|a |，当且仅当(a ＋b )(a －b )≥0时取等号，∴|a －b |＋|a ＋b ||a |的最小值等于2.∴x 的取值范围即为不等式|x －1|＋|x －2|≤2的解．解不等式得12≤x ≤52. 1．不等式|a|－|b|≤|a ＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a －b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.2．|x －a|＋|x －b|≥c 表示到数轴上点A(a)，B(b)距离之和大于或等于c 的所有点，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．例4：若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 对任意x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解：由于|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以只需a≤3即可．若本题条件变为“∃x ∈R 使不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 成立为假命题”，求a 的范围．解：由条件知其等价命题为对∀x ∈R ，|x ＋1|＋|x －2|≥a 恒成立，故a≤(|x ＋1|＋|x －2|)min ，又|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，∴a≤3. 例5：不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解：由绝对值的几何意义知：|x －4|＋|x ＋5|≥9，则log3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2所以要使不等式log3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a<2.例6：某地街道呈现东——西，南——北向的网络状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点．若以相互垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点(－2,2)，(3,1)，(3,4)，(－2,3)，(4,5)，(6,6)为报刊零售点，请确定一个格点(除零售点外)________为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短．解：设格点(x ，y)(其中x ，y ∈Z)为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间的路程的和最短，即使(|x ＋2|＋|y －2|＋(|x －3|＋|y －1|)＋(|x －3|＋|y －4|)＋(|x ＋2|＋|y －3|)＋(|x －4|＋|y －5|)＋(|x －6|＋|y －6|)＝[(|x ＋2|＋|x －6|)＋(|x ＋2|＋|x －4|)＋2|x －3|]＋[|y －1|＋|y －2|＋|y －3|＋|y －4|＋|y －5|＋|y －6|]取得最小值的格点(x ，y)(其中x ，y ∈Z)．注意到[(|x ＋2|＋|x －6|)＋(|x ＋2|＋|x －4|) ＋2|x －3|]≥|(x ＋2)－(x －6)|＋|(x ＋2)－(x －4)|＋0＝14，当且仅当x ＝3取等号；|y －1|＋|y －2|＋|y －3|＋|y －4|＋|y －5|＋|y －6|＝(|y －1|＋|y －6|)＋(|y －2|＋|y －5|＋(|y －3|＋|y －4|)≥|(y －1)－(y －6)|＋|(y －2)－(y －5)|＋|(y －3)－(y －4)|＝9，当且仅当y ＝3或y ＝4时取等号．因此，应确定格点(3,3)或(3,4)为发行站．又所求格点不能是零售点，所以应确定格点(3,3)为发行站．1．对绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中等号成立的条件要深刻理解，特别是用此定理求函数的最值时．2．该定理可以强化为：||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它经常用于证明含绝对值的不等式．3．对于求y ＝|x －a|＋|x －b|或y ＝|x ＋a|－|x －b|型的最值问题利用绝对值三角不等式更简洁、方便.例7：设函数f(x)＝|x －a|＋3x ，其中a>0.(1)当a ＝1时，求不等式f(x)≥3x ＋2的解集；(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a 的值．解：(1)当a ＝1时f(x)≥3x ＋2可化为|x －1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.故不等式f(x)≥3x ＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．(2)由f(x)≤0得|x －a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥a ，x －a ＋3x ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤a ，a －x ＋3x ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ≤a 4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a ，x ≤－a 2.因为a >0，所以不等式组的解集为{x |x ≤－a 2}．由题设可得－a 2＝－1，故a ＝2. 例8：不等式|x ＋1|＋|x －1|<3的实数解为________．解：当x >1时，原不等式等价于2x <3⇒x <32，∴1<x <32；当－1≤x ≤1时，原不等式等价于x ＋1－x ＋1<3，此不等式恒成立，∴－1≤x ≤1；当x <－1时，原不等式等价于－2x <3⇒x >－32，∴－32<x <－1.综上可得：－32<x <32。

绝对值的三角不等式公式证明

绝对值的三角不等式公式证明
绝对值三角不等式是一个非常强大且非常有用的数学公式，它可以帮助我们精确地解决很多问题。

它的数学形式可以表述为：|x-y| < = a+b，其中x、y、a、b 都是实数，|x-y|表示x-y的绝对值。

绝对值三角不等式的证明由单射定理开始，它是数学中一个基本定理，其定义可以表达为：如果a＞b，则存在c＞0，使得a - c < b。

根据这个定理，关于x、y、a、b之间的关系可以写成更加清楚的等式形式：a-b<x-y < a+b。

接下来，假设y-x>0，也就是说x<y，此时有y-x<a+b，带入单射定理可得a-(y-x)<b，也就是说a-y+x < b，整理得x-y<a+b，故可证|x-y|<=a+b。

同理，如果y-x<0，也就是说x>y，此时有x-y<a+b，根据单射定理可得a-(x-y)<b，整理得a-x+y<b，故可证|x-y|<=a+b。

综上所述，可以看出绝对值三角不等式的证明基于单射定理，从而为我们提供了一个精确地解决数学问题的有效方法。

正是由于绝对值三角不等式的重要性和有效性，它被广泛用于各种数学领域中，如超越几何、微积分、概率论等。

如何巧用绝对值三角不等式解题

绝对值三角不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.显然，当且仅当ab ≥0时等号成立.由该不等式可推出定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时等号成立；定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时等号成立.绝对值三角不等式在解答含有绝对值的不等式、函数问题中应用广泛，下面结合实例,来谈一谈如何巧妙运用绝对值三角不等式解题.一、求解绝对值不等式问题绝对值不等式问题有很多种，如解绝对值不等式、证明绝对值不等式、求绝对值不等式中参数的取值范围.解答此类问题，通常需先将不等式进行合理的变形，然后根据绝对值三角不等式将不等式进行放缩，以便使不等式左右两边的式子成为同构式，再利用函数的单调性来解不等式，或将问题转化为函数最值问题，利用函数的性质、图象来解题.例1.若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是_____．解：∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4.解答本题,主要利用了绝对值三角不等式.将问题转化为解绝对值不等式，通过解不等式，便可求得参数的取值范围.例2.已知二次函数f ()x =ax 2+bx +c 满足||f ()-1≤1，||f ()0≤2，||f ()1≤1，试证明：当||x ≤1时，不等式||f ()x ≤178成立.证明：由||f ()-1≤1，||f ()0≤2，||f ()1≤1，得ìíîïïf ()-1=a -b +c,f ()0=c,f ()1=a +b +c,即ìíîïïïïa =12f ()1-f ()0+12f ()-1，b =12f ()1-12f ()-1，c =f ()0，因此||f ()x =||ax 2+bx +c =|||éëùû12f ()1-f ()0+12f ()-1x 2|||+éëùû12f ()1-12f ()-1x +f ()0=|||12f ()1()x 2+x +f ()0()1-x 2|||+12f ()-1()x 2-x ≤12||f ()1|x 2+x +||f ()0|1-x 2+12·||f ()-1|x 2-x ≤12||x ||x +1+2||1-x 2+12||x ||x -1=12||x ·()x +1+2()1-x 2+12||x ()1-x =||x +2()1-x 2，当||x ≤1时，||x +2()1-x 2=||x +2()1-||x 2=-2·æèöø||x -142+178，其最大值为178，因此||f ()x ≤178.我们需先通过整体代换，用f ()-1、f ()1、f ()0来表示f ()x ，而||f ()x 中含有多个绝对值，为了证明不等式||f ()x ≤178，需巧妙利用绝对值三角不等式，将目标式进行放缩，从而去掉部分绝对值符号，将问题转化为求||x +2()1-||x 2的最值.二、解答含有绝对值的函数最值问题求解含有绝对值的函数最值问题，可巧用绝对值三角不等式，将含有绝对值的式子进行适当的放缩，使其简化，然后根据绝对值三角不等式取“=”的条件来寻找目标式取得最值时自变量的值.运用绝对值三角不等式，能使含有绝对值的函数最值问题变得简单，可省去许多对绝对值进行分类讨论的过程.例3.求函数y =||x +1+||x +2+…+||x +99的最小值.解：由绝对值三角不等式可得：||x +1+||x +99≥||()x +1-()x +99=98，当且仅当()x +1()x +99≤0时成立，即当-99≤x ≤-1时，“=”成立，因此，当-99≤x ≤-1时，()||x +1+||x +99min=98，当-98≤x ≤-2时，()||x +2+||x +98min =96，当-97≤x ≤-3时，()||x +3+||x +97min =94，⋯，当-51≤x ≤-49时，()||x +49+||x +51min =2，可得当x =-50时，y =||x +1+||x +2+…+||x +99=98+96+…+2+0=2450，即y =||x +1+||x +2+…+||x +99的最小值为2450.运用绝对值不等式求解含有绝对值的函数最值问题，需充分关注绝对值三角不等式：||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |取“=”时的情况.总之，在解答含有绝对值的不等式、函数问题时，同学们要注意将问题与绝对值三角不等式关联起来，灵活运用绝对值三角不等式,将含有绝对值的式子进行放缩，使其简化，再根据绝对值不等式、函数的性质来解题.（作者单位：江苏省南通市海门证大中学）思路探寻45。

绝对值三角不等式

综合法 : ab a b , 且当且仅当ab 0取等 a2 b2 2ab a2 b2 2 a b (a b)2 a 2 b 2 2 a b (a b)2 ( a b )2 当且仅当ab 0等号成立
绝对值三角不等式：
若 a,b 是实数，则 a b a b a b
oa b ba o
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b
b
oa
ao
b
综上 ab 0时，a b a b ab 0时，a b a b
当a 0,b 0时，a b a b 当a 0,b 0时，a b a b 当a b 0时，a b a b
应用一：证明不等式成立源自定理2 如果a、b、c是实数,
-
-------那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|
-------当且仅当(a-b)(b-c) ≥0时,等号成立.
证明：由绝对值三角不等式
a b b c (a b) (b c) a c
ab bc ac
当且仅当(a b)(b c) 0时等号成立
的点 B 之间的距离.如图:
即，
a b AB a b的几何意义?
关于绝对值还有什么性质呢?
① a a2
a 2 a2
② ab a b , a a ,…… bb
猜想：
① a b 与 a b 之间有什么关系？ ② a b 与 a b 之间有什么关系？
在数轴上表示 a 、b 、a b 时需要注意些什么？
rr r r 角形法则,易知 a b ≤ a b .(同向时取等号)
rr
ab
r
rb
a
rr ab
rr ab
推论 1 a1 a2 L an ≤ a1 a2 L an

绝对值三角不等式在代数问题中的应用

绝对值三角不等式在代数问题中的应用绝对值三角不等式是解决代数问题中常用的数学工具。

它可以帮助我们确定变量的取值范围，并在求解方程和不等式时提供指导。

在代数学中，绝对值三角不等式有着广泛的应用，特别是在求解含有绝对值的方程和不等式方面。

绝对值三角不等式的一般形式是：$$|a| + |b| ≥ |a + b|$$其中，a和b是实数。

这个不等式的意义在于，两个实数的绝对值之和大于等于它们的和的绝对值。

绝对值三角不等式在代数问题中的应用之一是用于求解带有绝对值的方程。

举个例子，考虑方程：$$|3x + 2| = 5$$我们可以利用绝对值三角不等式来确定方程的解。

根据绝对值三角不等式，我们可以将方程转化为两个不等式：$$3x + 2 ≥ 5 \quad \text{和} \quad -(3x + 2) ≥ 5$$解这两个不等式，我们可以得到方程的解集。

通过求解这两个不等式，我们可以得到方程的解为：$$x ≥ \frac{3}{2} \quad \text{和} \quad x ≤ -\frac{7}{2}$$绝对值三角不等式在求解含有绝对值的不等式方面也是非常有用的。

考虑不等式：$$|2x - 1| < 3$$我们可以利用绝对值三角不等式来确定不等式的解集。

根据绝对值三角不等式，我们可以将不等式转化为两个不等式：$$2x - 1 < 3 \quad \text{和} \quad -(2x - 1) < 3$$解这两个不等式，我们可以得到不等式的解集。

通过求解这两个不等式，我们可以得到不等式的解为：$$-\frac{2}{5} < x < 2$$绝对值三角不等式在代数问题中的应用不止于此。

在求解含有绝对值的方程和不等式时，绝对值三角不等式可以帮助我们确定变量的取值范围，并提供求解的指导。

通过灵活运用绝对值三角不等式，我们可以更加高效地解决各种代数问题。

因此，绝对值三角不等式在代数问题中的应用是非常重要的。

1-2-1绝对值三角不等式

＝fx＋2 1－fx－2 1. 当－1≤x≤1 时，有 0≤x＋2 1≤1，－1≤x－2 1≤0. ∴ |g(x)| ＝ fx＋2 1－fx－2 1 ≤ fx＋2 1 ＋ fx－2 1 ≤2. ∴ |g(x)|≤2.
规律技巧当函数 f(x)中 x 的最高次项含有字母时，要对字母进行分类讨论，如方法一，方法二思维巧妙，构造函数，不需讨论，方法简捷．
二绝对值不等式
1 绝对值三角不等式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识夯实基础
学习目标 1. 理解绝对值的几何意义． 2．掌握绝对值三角不等式及其几何意义． 3．掌握三个实数的绝对值不等式及应用.
课前预习 1.定理 1 如果 a，b 是实数，那么 |a＋b|≤|a|＋|b|. 当且仅当________时，等号成立．在上面的不等式中，用向量 a，b 分别替换实数 a，b，当 a， b 不共线时，由向量加法的三角形法则知 a＋b，a，b 构成三角形，因此有向量形式的不等式________．
当 a<0 时，g(x)＝ax＋b 在[－1,1]上是减函数， ∴g(1)≤g(x)≤g(－1)． ∵－1≤x≤1 时，|f(x)|≤1，∴|c|＝|f(0)|≤1. ∴g(－1)＝－a＋b＝－f(－1)＋c≤|f(－1)|＋|c|≤2， g(1)＝a＋b＝f(1)－c≥－(|f(－1)|＋|c|)≥－2. ∴|g(x)|≤2. 当 a＝0 时，g(x)＝b，f(x)＝bx＋c. ∵－1≤x≤1，
由此可以得到绝对值三角不等式的完整形式． |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 也可表示为： |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. 应用时应注意左、右两边等号成立的条件．该公式的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边．故该公式称为“三角不等式”．

绝对值三角不等式经典例题

绝对值三角不等式经典例题1. 引言：绝对值的奇妙之旅嘿，大家好！今天咱们来聊聊一个数学界的小明星，那就是绝对值三角不等式。

你有没有想过，为什么我们在数学中总是能遇到一些神奇的规则呢？绝对值就像一个调皮的小精灵，它总是想办法让我们在解决问题的时候，不走弯路。

三角不等式是其中最有趣的一条。

说到这里，你是不是有点好奇了？别急，慢慢来，让我们一步步揭开这个神秘的面纱。

2. 什么是绝对值三角不等式？2.1 理论基础好啦，先来简单介绍一下什么是绝对值三角不等式。

通俗点说，就是对于任意两个数 ( a ) 和 ( b )，我们有这样的关系：(|a + b| leq |a| + |b|)。

这句话的意思就是，两个数相加后的绝对值，总是小于等于这两个数各自绝对值的和。

是不是听上去有点高大上？但其实它就像生活中的一条小道理：我们走的路越多，越容易迷路。

所以，尽量走短路，省事又省力。

2.2 生活中的例子想象一下，假如你要从家里去超市，走直路的话只要十分钟，但如果你绕来绕去，可能得二十分钟。

这就是绝对值三角不等式的精髓所在。

无论你怎么走，实际上走的路程总是要比最短的那条路多，或者说等于。

如果你还记得小时候的游戏“捉迷藏”，总是要找最快的路径去抓小伙伴，这不就是在用三角不等式吗？3. 绝对值三角不等式的经典例题3.1 例题解析现在我们来看看一个具体的例题，帮助大家更好地理解这个不等式。

假设 ( a = 3 )，( b = 4 )。

我们要验证 (|a + b| leq |a| + |b|)。

首先计算一下左边：(|3 + 4| = |1| = 1)。

接着，右边呢：(|3| + |4| = 3 + 4 = 7)。

那么，比较一下：1 ≤ 7，这下子就明白了，绝对值三角不等式在这里成立！3.2 再看一个例子再来个更复杂的，假如 ( a = 5 )，( b = 2 )。

我们依旧先算左边：(|5 + (2)| = |7| = 7)。

然后，右边：(|5| + |2| = 5 + 2 = 7)。

绝对值三角不等式(优质课)

定理1的完善如果a, b是实数，则
பைடு நூலகம்
a b a b a b
ab 0 当且仅当_________时，右边等号成立。
当且仅当
ab 0 时，左边等号成立； ab
小结
请你诊断
学完定理1后，小明和小红分别提出了新见解。小明认为，如果a, b, c是实数，则
abc a b c
.
1
证明：在 a b 0 时，显然成立. 当 a b 0 时，左边
1 1 ab
1 1 ab

ab a b . 1 a b 1 a 1 b 1
小红认为，如果a, b是实数，则
a b a b a b
如果你是老师，你能帮他们评判一下吗？
小结
1、 a b 的几何意义；
2、定理1：如果a, b是实数，则当且仅当 ab
a b a b
0时，等号成立。（向量形式、复数形式）
3、定理1的完善：
a b a b a b
a b a b
ab 0 时，等号成立。
如果把定理1中的实数a,b分别换为向量
a, b ，
能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？
当向量 a, b 不共线时， ab a b 当向量 a, b 共线时，同向：a b a b 反向： ab a b
练习
1、如果a, b, c是实数，证明
a c a b b c
a bb c 0 当且仅当________________时，等号成立。
2、如果a, b是实数，你能比较大小吗？并说明理由。
a b 与 a b 的

课题：绝对值三角不等式

绝对值不等式

第一讲(二)(1)：绝对值三角不等式

绝对值三角不等式 课件

绝对值不等式(绝对值三角不等式与绝对值不等式的解法)

绝对值三角不等式的证明方法

绝对值三角不等式及其应用

绝对值三角不等式

学案1：1 绝对值三角不等式

绝对值三角形不等式公式推导

绝对值不等式

绝对值的三角不等式公式证明

如何巧用绝对值三角不等式解题

绝对值三角不等式

绝对值三角不等式在代数问题中的应用

1-2-1绝对值三角不等式

绝对值三角不等式经典例题

绝对值三角不等式(优质课)

绝对值三角不等式课件