高考数学 极限单元测试卷
高等数学极限试卷
极限
选择题
当0→x 时，)1ln(x +与x 比较是（ ）
A ．高阶无穷小量
B ．等价无穷小量
C ．同阶无穷小量，但不是等价无穷小量
D ．低阶无穷小量 当22)1(lim e x
k x =-
∞→，则=k A ．2B ．2-C ．21D ．21- 下列极限值等于1的是
A ．x x x 1sin lim 0→
B ．x x x sin lim 0→
C ．x
x x sin lim ∞→D ．x x x sin lim ∞→ 下列各式中正确的是( ) A ．e x
x x =-∞→)11(lim B ．e x x x =+∞→1)1(lim C ．e x x x =+-→10)1(lim D ．e x x x =+→10)1(lim 极限4
)2sin(lim
22--→x x x 等于 A ．0B ．41C ．21D ．1 x x x sin lim 0→的值是（ ）
A ．1
B ．1-
C ．0
D ．不存在
下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是
A ．)0(1sin →x x
B ．)0(1→x e
x C ．)0()1ln(2→+x x D ．)3(932→--x x x 当0→x 时，x sin 与2x 比较是（ ）
A ．高阶无穷小量
B ．等价无穷小量
C ．同阶无穷小量，但不是等价无穷小量
D ．低阶无穷小量
设m 是常数，则2
30sin lim x m x x →等于 A ．0B ．
21m
C ．2m
D ．1 极限d bx x x a +∞→+)1(lim 等于 A ．e B ．b e C ．ab e D ．d ab e +
高考数学总复习 极限单元测试题
高考数学总复习极限单元测试题
一.选择题： 1．9
3
lim 23-+-→x x x =
( )
A ．6
1-
B ．0
C ．
6
1 D ．
3
1 2．用数学归纳法证)"(212111211214131211"*N n n
n n n n ∈+++++=--++-+-
的过程中，当n=k 到n=k+1时，左边所增加的项为 ( )
A ．221+-
k B ．121+k C ．221121+-+k k D ．11
11++-k k 或 3．已知两点O （0,0），Q （a ,b ）,点P 1是线段OQ 的中点，点P 2是线段QP 1的中点，P 3是线段
P 1P 2的中点，┅，2+n P 是线段n P 1+n P 的中点，则点n P 的极限位置应是( ) A ．（
2a ,2b ） B.(3,3b a ) C.(32,32b a ) D. (4
3,43b
a ) 4． 10x x>1
若f(x)= 5 x=1 则 -→1
lim x )(x f 的值为 ( )
7-x x<1
A ． 5 B. 6 C. 10 D. 不存在
5．∞→x lim 1
23233+++x x x 的值为 ( )
A ．
2
1
B. 不存在
C. 3
D. 0 6.+∞
→x lim
)11(--+x x x 的值为 ( )
A ． 0 B. 不存在 C. 2
1
D. 1 7．lim n →∞2
123n
n ++++＝( )
A ．2
B ．4
C ．
2
1
D ．0
8．若f(x)在[a,b]上连续且单调递减，又f(x)在[a,b]上的值域为[m,n]，则下列正确的 是( )
极限练习题及答案
极限练习题及答案
一. 选择题
1.设F是连续函数f的一个原函数，”M?N”表示“M 的充分必要条件是N”，则必有.
F是偶函数?f)是奇函数.F是奇函数?f是偶函数. F是周期函数?f是周期函数. F是单调函数?f是单调函数．设函数f?
1
x
,则
ex?1?1
x?0，x x?0，x
?1都是f?1都是f
的第一类间断点. 的第二类间断点
x?0是f的第一类间断点，x?1是f的第二类间断点. x?0是f的第二类间断点，x3．设f?x??
x?1x
?1是f
的第一类间断点.
1，则f[，x?0、，
1f
]?
1
A） 1?xB） 1?x4．下列各式正确的是 C）
X
D） x
1+ )?e
xx11lim??elimC） D）?e
xx
A） lim
x?0
?
1
x
?1B）lim
x?0
1
x
?
x?x
x??x??
5．已知lim
?9，则a?。
A.1；
B.?；
C.ln3；
D.2ln3。．极限：lim x
?
?2
A.1；
B.?；
C.e7．极限：lim
； D.e。
2
x??
x3?2
= x3
A.1；
B.?；
C.0；
D.2．
8．极限：lim
x?0
x?1?1x
=
A.0；
B.?；C 1； D.2．
2
9. 极限：lim=
x??
?
A.0；
B.?；
C.2；
D. 1．
2
sinx
10．极限: limtanx?=
x?0
sin2x
A.0；
B.?；
C.
二. 填空题 11．极限limxsin
x??
116
； D.16．
2xx?1
2
= ； 12. limarctanx= ；
x?0
x
13. 若y?f在点x0连续，则lim[f?f]= ； x?x?
14. lim
sin5xx
x?0
高数求极限题库
以下是一些高数求极限的题目：
1.lim (x->0) (sinx/x) = 1
2.lim (x->0) (x/sinx) = 1
3.lim (x->0) (ln(1+x)/x) = 1
4.lim (x->0) ((e^x-1)/x) = 1
5.lim (x->∞) (1+(1/x)^x) = e
6.lim (x->∞) (1+(2/x)^x) = e^2
7.lim (x->∞) (1+(3/x)^x) = e^3
8.lim (x->∞) ((ln(x+1))/x) = 0
9.lim (x->∞) ((ln(e^x+1))/x) = 1
10.lim (x->∞) ((ln(e^(2x)+1))/x) = 2
以上题目涵盖了求极限的一些基本题型，包括无穷小量、指数函数、对数函数等。在解决这些题目时，需要掌握求极限的基本方法，如等价无穷小量替换、洛必达法则、泰勒展开等。
大学高数极限考试题及答案
大学高数极限考试题及答案
# 大学高数极限考试题及答案
一、选择题
1. 下列函数中，极限不存在的是（）
A. \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \) 当 \( x \to 1 \)
B. \( g(x) = \sin(x) \) 当 \( x \to \pi \)
C. \( h(x) = x^2 \) 当 \( x \to 2 \)
D. \( k(x) = \frac{\sin(x)}{x} \) 当 \( x \to 0 \)
答案：A
2. 计算极限 \( \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{x + 1} \) 的结果是（）
A. \( \infty \)
B. \( 1 \)
C. \( 0 \)
D. \( \frac{1}{2} \)
答案：A
二、填空题
1. \( \lim_{x \to 0} x \cdot \sin(\frac{1}{x}) = \) ______
答案：0
2. \( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = \) ______
答案：0
三、计算题
1. 计算极限 \( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} \)。
解答：
\( \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 9}{x - 3} = \lim_{x \to 3}
\frac{(x - 3)(x + 3)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x + 3) = 3 + 3 = 6 \)
2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \)。
高三数学函数极限试题答案及解析
高三数学函数极限试题答案及解析
1.已知定义在上的函数满足.当时.设在
上的最大值为，且数列的前项和为，则 . （其中）
【答案】
【解析】依题意可得函数.所以，，，…，.
所以数列是一个首项为1，公比为的等比数列.所以.所以.
【考点】1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题.
2.计算：= .
【答案】
【解析】这属于“”型极限问题，求极限的方法是分子分母同时除以（的最高次幂），化为一
般可求极限型，即．
【考点】“”型极限
3.计算：=_________．
【答案】3
【解析】这种极限可先把待求极限式变形，然后观察是哪种展开式的极限再选用相应的方法，
．
【考点】“”型极限．
4.若，则．
【答案】
【解析】由已知可得，所以，
解得．
【考点】极限的计算
5.函数在处的极限是（）
A．不存在B．等于C．等于D．等于
【答案】A
【解析】分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限.
[点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。
6.等差数列，的前n项和分别为，则
【答案】
【解析】解：
7.已知，则_______
【答案】-2
【解析】得，所以-2.
8.若展开式的第项为，则________
【答案】 2
【解析】略
9.设，求的最大值
【答案】
【解析】略
10.___________
【答案】
【解析】略
11.函数在点处可导，则，
b=
【答案】
【解析】略
12.极限存在是函数在点处连续的（）
A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件
C．充要条件D．既不充分也不必要的条件
【答案】B
【解析】略
13.函数f (x)＝在点x=1和x=2处的极限值都为0，而在点x=-2处不连续，则x·f(x)<0的解集是（）
高数极限习题
5. lim 1? x ? 1 x? 0 3? x ? 3
6.
lim
x? 1
sin( x3 ? 1) x3 ? 1
1 ? cos 2x
7.
lim x? 0 x sin x
8.
lim(1 ? 2 )3x
x? ?
x
9. lim(1 ? x )2x
x? ? x
1 0.
lim
x? 0
tan
x ? sin x3
x? ? x
1 0.
lim
x? 0
tan
x ? sin x3
x
5.设下列极限：
解 (1) (2)
(3)
(4) 注意到当x→0时, x为无穷小,
为有界函数 , 所以
(5)
∴ 原式 (6) 注意到当x→0时,
sinx～x, ln(1+4x)～4x,
所以
6.判断下列函数是否有间断点 ,若有,指出其间断点 ,并 判断其类型 .
lim 3x4 ? x x? ? 6x4 ? 3x ? 2
5. lim 1? x ? 1 x? 0 3? x ? 3
6.
lim
x? 1
sin( x3 ? 1) x3 ? 1
1 ? cos 2x
7.
lim x? 0 x sin x
8.
lim(1 ? 2 )3x
《 高等数学 》函数、极限、连续单元测试题测试试卷
《 高等数学 》函数、极限、连续单元测试题（A)
一、填空题
1.设)(x f y =的定义域是]1,0(，x x ln )(=ϕ，则复合函数)]([x f y ϕ=的定义域为 。
2.x
x
x sin lim
∞→= 。
3.当0→x 时，a x a -+3)0(>a 与k
x 为等价无穷小，则=k a = 。
4.函数2
3122+--=x x x y 的间断点是 。
5. 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数x
x x f 1
sin
)(=，则函数值(0)f = 。
二、选择题
1.如果0
lim ()x x f x →+
与0
lim ()x x f x →-
存在，则 （ ）
A.0
lim ()x x
f x →存在且00
lim ()()x x
f x f x →= B.0
lim ()x x
f x →存在但不一定有00
lim ()()x x
f x f x →=
C.0lim ()x x
f x → 一定不存在 D.0
lim ()x x
f x →不一定存在
2. 当+
→0x 时，以下为无穷小量的是 ( )
A. 1sin x x
B. 1
x e C. ln x D. 1
sin x x
3.函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的 （ ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件
4.已知0)(lim 3
=→x f x ，且1)3(=f ，那么 （ ）
A. ()f x 在3=x 处连续
B.()f x 在3=x 处不连续
C. )(lim 3
x f x →不存在 D.1)
高三数学 极限训练题
高三数学极限训练题
班级： 某某： 学号： 评分：
一 选择题（本题共12小题，每小题5分，共计60分）
1. 22lim 21
n an bn c an n →∞+++-等于( ) A.1 B.2b C. c D.1或2
b 2．设A={1，2，3。。。n }，用n S 表示A 的所有非空真子集中元素之和，n B 表示A 的子集个数，则lim ∞→n n
n B n s 2= A
21 B 4
1 C 1 D
2 3.已知数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4。。。。。。则这个数列的第2006个数是
A 62
B 。63
C 64
D 65
4．设f(x)=⎩⎨⎧>≤+)
0()0(2x e x b x x 若lim 0→x f(x)存在，则常数b 为
A 0
B 1
C 2
D e
5.已知a,b 时互不相等的正数，则lim n n
n n
n a b a b →∞-+等于（ ） A.1 B.1或-1 C.0 D.0或-1
6.函数f （x ）=1122--x x x 的不连续点为
A x=1±
B x=1
C x=1-
D 以上答案都不对
7用数学归纳法证明：1+x+2x +…+1n x
+=211n x x
+--（*1,x n N ≠∈），在验证n=1时等式左边的项是（ ）
A.1
B.1+x
C. 1+x+x 2
D.1+x+x 2+x 3
8若31()1
x f x x -=-在点x=1处连续，则f(1)等于（ ） A 32 B 23
C 0
D 3 9用数学归纳法证明（n+1）(n+2)(n+3)…..(n+n)=2n ·1·3….(2n+1) (n *N ∈)时，从n=k
高考数学 极限单元测试卷
极限单元测试卷 (满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下面四个命题中，不正确．．．
的是( ) A ．若函数f (x )在x ＝x 0处连续，则lim x →x ＋0f (x )＝lim x →x －0
f (x )
B ．函数f (x )＝x ＋2
x 2－4
的不连续点是x ＝2和x ＝－2
C ．若函数f (x )、g (x )满足lim x
→∞[f (x )－g (x )]＝0，则lim x
→∞f (x )＝lim x
→∞
g (x ) D.lim x →
1 x －1x －1
＝1
2 答案：C 解析：A 中由连续的定义知函数f (x )在x ＝x 0处连续，一定有lim n →x ＋0
f (x )＝lim x →x －0
f (x )，且还
满足lim x →x ＋0f (x )＝lim x →x －0f (x )＝f (x 0)，故A 对．B 中函数f (x )＝x ＋2
x 2－4在x ＝2和x ＝－2无定义，故不连续，B 对．C 中只有lim x
→∞f (x )，lim x
→∞g (x )存在时，才有lim x
→∞f (x )＝lim x
→∞
g (x )，否则不成立． D 中lim x →
1
x －1x －1＝lim x →1 1x ＋1
＝1
2，故D 对．故选C. 2．下列命题中： ①如果f (x )＝1
3x ，那么lim x →∞
f (x )＝0
②如果f (x )＝1
x
，那么lim x →∞f (x )＝0
③如果f (x )＝x ＋3x
高等数学极限习题100道
设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==0
[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞
+-1
求极限．lim sin x x x →+011 求极限．lim arctan x x x x →∞+2112
求极限limarctan arcsin x x x
→∞⋅1
)sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限
[]A
x f A
u f u x u x x x u u x x =ϕ=≠ϕ=ϕ→→→)(lim )(lim )()(lim 0
00试证：，又，且设
设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；
当时，为无穷大。
f x x x
a b x a f x x b f x ()ln ()()=
-→→1
设，问：当趋于何值时，为无穷小。f x x
x x f x ()tan ()=2
．
该邻域内 的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00
x f x g x A
B B x g A x f x x x x >>==→→
设，试证明：
对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。
lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0
00010201221εδδδε
．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim
0)(lim 0
{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +
高等数学单元测试题1
高等数学测试题（一）极限、连续部分（答案）
一、选择题（每小题4分，共20分）分） 1、 当0x ®+时，（A ）无穷小量。）无穷小量。
A 1sin x x B 1
x e C ln x D 1
sin x x
2、点1x =是函数311
()1131x x f x x x x -<ìï==íï->î
的（C ）。
A 连续点连续点 B 第一类非可去间断点第一类非可去间断点 C 可去间断点可去间断点 D 第二类间断点第二类间断点 3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（D ）。
A 充分非必要条件充分非必要条件 B 必要非充分条件必要非充分条件 C 充要条件充要条件 D 无关条件无关条件
4、已知极限22
lim()0x x ax x
®¥++=，则常数a 等于（A ）
。 A -1 B 0 C 1 D 2
5、极限2
1lim cos 1
x x e x ®--等于（D ）
。 A ¥ B 2 C 0 D -2
二、填空题（每小题4分，共20分）分）
1、21
lim(1)x x x
®¥
-=2
2
e -
2、 当0x ®+时，无穷小ln(1)Ax a =+与无穷小sin 3x b =等价，则常
数A=3
3、 已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ¹时，函数2
1
()2x f x -=，
则函数值(0)f =0 4、 1
11lim[
]12
23
(1)
n n n ®¥
+
++
··+=1
5、 若lim ()x f x p
®存在，且sin ()2lim ()x x
f x f x x
p p
高数极限习题测验及答案
练习题
1. 极限
x
x x x x x x x x
x x x x x x 1lim
)4(1
1lim
)3(15
86
5lim )2(31lim )1(2
3
1
2
2
32
---+-+-+++-∞
→→→∞→
(5) 已知011lim 2
=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--++∞→b ax x x x , 求常数a , b .
(6) x x x x sin 1sin lim 20→ (7) 211lim 22x x x x ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+-∞
→
(8) x
x x
21lim 0
-→ (9)
x x x sin )
31ln(lim 0-→
(10)
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-∞→1lim 1
x
x e x
2. 函数的连续性
(1) 确定b 的值, 使函数
⎩
⎨⎧<≥+==-00
2)(1
x e x b x x f y x 在x =0点连续.
(2) 确定a , b 的值, 使函数
1
lim
)(22
1
2+-+==-∞
→n
n n x bx
ax x
x f y 在整个实数轴上连续.
(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.
①
x x
x f sin )(=
② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=≠+-=00
01212)(1
1
x x x f x
x
3. 连续函数的性质 (1) 设
1)(1
-+++=-x x
x x f n n ,
证明：
)(x f 有一个不大于1的正根.
(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞
→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.
提高
1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得
高三数学单元练习题极限
高三数学单元练习题：极限
一 选择题（本题共10小题，每小题5分，共计50分） 1.22lim 21
n an bn c an n →∞+++-等于 ( ) A.1 B.2b C. c D.1或2
b 2．下列极限存在的是 ( )
①21lim x x →∞ ②01lim x x → ③221lim 32x x x x →∞+++ ④211lim 1x x →- A.①②④ B.②③ C.①③ D.①②③④
3．不等式22n n >在n=1,2,3,4,5,6的范围内 （ ）
A ．只当n=1正确 B.只当n=1,3,5时正确
C.只当n=1,5,6时正确
D.只当n=1,6正确
4. 数列
12，23456,,,,510172637
，……的第20项是 （ ） A.20325 B.20362 C. 20401 D.20442
5.已知a,b 时互不相等的正数，则lim n n
n n n a b a b →∞-+等于 （ ） A.1 B.1或－1 C.0 D.0或－1
6．已知()()()()()()()()10102,11002
x x f x g x f x g x x x ⎧≥⎪≥⎧⎪⎪==⋅⎨⎨-<⎪⎪⎩-<⎪⎩则,在x=0处 （ ） A 不连续 B 连续 C 无法确定 D 以上判断都不对 7.用数学归纳法证明：1+x+2x +…+1n x
+=211n x x
+--（*1,x n N ≠∈），在验证n=1时等式左边的项是 （ ）
A.1
B. 1+x
C. 1+x+2x
D.1+x+2x +3x 8.若31()1
2019数学高考单元测试数学归纳法、极限、函数连续性
2019数学高考单元测试数学归纳法、极限、函数连
续性
注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！
无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
数学归纳法、极限、函数连续性测试卷
【一】选择题〔本大题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一
项为哪一项符合题目要求的。〕 1、 函数)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =有极限的〔 〕
A 、充分不必要条件
B 、必要不充分条件。
C 、充要条件。
D 、既不充分也不必要条件
2、用数学归纳法证明“对于足够的的自然数n ，总有3
2n n
>”时，验证第一步不等式成立
所
取
的
第
一
个
最
小
值
n 应该是
〔 〕
A 、1
B 、大于1且小于10的某个整数
C 、10
D 、11
3、函数⎪
⎩⎪
⎨⎧≠--==)3(3
3)3()(2x x x x k x f ，假设函数)(x f 在R 上处处连续，那么k 的值为
〔 〕
A 、3
B 、32
C 、3
D 、0
4、4
1
121lim 22=---+∞→x x kx x ，那么常数k 为 〔 〕
A 、2
B 、
21 C 、2- D 、2
高考数学极限测试题及参考答案
高考数学极限测试题
考试要求：1、理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。2、了解数列极限和函数极限的概念。3、掌握极限的四则运算法则，会求某些数列与函数的极限。
4、了解函数连续的意义，理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。
1、)]2
11()511)(411)(311([lim +----∞→n n n 等于： A ．0 B ．3
2 C ．1 D ．2 2、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2:1:,4811311872==+++a a a a a a ，则n
n n S na 2lim ∞→等于： A.41 B.2
1 C.1 D.
2 3、等差数列}{n a 的前3项的和为21，前6项的和为24，则其首项为 ，若数列}
{n a 的前n 项的和为S n ，则=∞→2
lim n S n n . 4、若6
)1(x
x x -的展开式中的第五项是2
15, 设n n x x x S ---+++= 21 , 则n n S ∞→lim 等于： A. 1 B. 21 C. 41 D. 61 5、已知(32)()n x n N ++∈的展开式中各项的二项式系数之和为n S ，各项系数之和为n T ，则lim n n n n n
S T S T →∞-+的值为: A. -1 B. 0 C.
12 D. 1 6、等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知),0(9
lim
112>-=∞→a a n S n n 则当n S 取最大值时n 的值为 7、函数)(x f 在0x x =点处连续是)(x f 在0x x =处有极限的：
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极限单元测试卷
(满分：150分 时间：120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下面四个命题中，不正确．．．
的是( ) A ．若函数f (x )在x ＝x 0处连续，则lim x →x ＋0f (x )＝lim x →x －0f (x )
B ．函数f (x )＝x ＋2
x 2－4
的不连续点是x ＝2和x ＝－2
C ．若函数f (x )、g (x )满足lim x →∞[f (x )－g (x )]＝0，则lim x →∞f (x )＝lim x →∞g (x ) D.lim x →1
x －1x －1＝1
2
答案：C 解析：A 中由连续的定义知函数f (x )在x ＝x 0处连续，一定有lim n →x ＋0
f (x )＝lim x →x －0f (x )，且还满足lim x →x ＋0f (x )＝lim x →x －0f (x )＝f (x 0)，故A 对．B 中函数f (x )＝x ＋2
x 2－4在x ＝2和x ＝－2无定义，故不连续，B 对．C 中只有lim x →∞f (x )，lim x →∞g (x )存在时，才有lim x →∞f (x )＝lim x →∞
g (x )，否则不成立． D 中lim x →1
x －1x －1＝lim x →1 1x ＋1＝1
2
，故D 对．故选C. 2．下列命题中：
①如果f (x )＝1
3x ，那么lim x →∞
f (x )＝0 ②如果f (x )＝1
x
，那么lim x →∞f (x )＝0 ③如果f (x )＝x 2＋3x
x ＋3
，那么lim x →－3f (x )不存在 ④如果f (x )＝⎩⎨⎧
x (x ≥0)x ＋2 (x <0)
，那么lim x →0
f (x )＝0 其中错误命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D
解析：②中x →－∞时无意义； ③中lim x →－3f (x )＝lim x →－3
x ＝－3； ④中左、右极限不相等．故选D.
3．(2009·阳泉模拟)lim n →∞ 1＋2＋3＋…＋n
n 2
等于( ) A ．2 B ．1 C.1
2
D ．0
答案：C
解析：lim n →∞ 1＋2＋3＋…＋n n 2＝lim n →∞ n ＋12n ＝lim n →∞ 1＋1n 2＝1
2
.故选C. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x －3x －1 (x >1)ax ＋1 (x ≤1)
在点x ＝1处连续，则a 的值是( )
A ．2
B ．－2
C ．3
D ．－4 答案：C
解析：∵lim x →1＋f (x )＝lim x →1＋ x 2＋2x －3
x －1＝lim x →1＋
(x ＋3)＝4， 又lim x →1－f (x )＝lim x →1－ (ax ＋1)＝a ＋1，f (1)＝a ＋1. ∴要使f (x )在x ＝1处连续， 需lim x →1＋f (x )＝lim x →1－f (x )＝f (1)． 即a ＋1＝4，∴a ＝3.故选C.
5．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2＋2x ＋1 (x ≤0)ax ＋b (x >0)在x ＝0处连续且可导，则a 、b 的值依次为( )
A ．1,1
B ．2,1
C ．1,2
D ．2,2
答案：B
解析：由连续性知b ＝1；由可导性知a ＝2.选B.
6．(2009·天津六县区联考)lim n →∞ C 02n ＋C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n
2n
1－4n
等于( ) A ．－1 B ．－1
2
C ．－14
D ．0
答案：B
解析：∵C 02n ＋C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n 2n
＝12×22n ＝12×4n ， ∴lim n →∞ C 02n ＋C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n
2n 1－4n ＝lim n →∞
12×4n 1－4n
＝lim n →∞ 12(14
)n －1＝－1
2
.故选B. 7．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1
3n －1
(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )
A.13n ＋2
B.13n ＋13n ＋1
C.13n ＋1＋13n ＋2
D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2
答案：D
解析：∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋1
3n －1
∴f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋1
3n ＋2
∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋1
3n ＋2.故选D.
8.lim n →∞ (1n ＋1－2n ＋1＋3
n ＋1－…＋2n －1n ＋1－2n n ＋1)的值为( ) A ．－1 B ．0
C.12
D ．1
答案：A
解析：原式＝lim n →∞
(－1)×n
n ＋1
＝－1.故选A. 9．设正数a ，b 满足lim x →2 (x 2
＋ax －b )＝4，则lim n →∞ a n ＋1＋ab n －
1
a n －1＋2
b n
等于( ) A ．0 B.1
4
C.12
D ．1 答案：B
解析：由lim x →2
(x 2＋ax －b )＝4，即22＋2a －b ＝4，得2a ＝b ，∴lim n →∞ a n ＋1＋a ·b n －1a n －1＋2·b n
＝lim n →∞
a n ＋1＋2n －1·a n
a n －1＋2n ＋1·a n
＝lim n →∞ 12n ＋1＋14·1a 12
n ＋1·1a 2＋1a ＝1
4
.故选B. 10．数列{a n }中a 1＝2，且a n ＝12(a n －1＋3
a n －1)(n ≥2)，若lim n →∞a n 存在，则lim n →∞a n 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．±3 D. 6
答案：A
解析：∵a 1＝2，a n ＝12(a n －1＋3
a n －1
)，则a n >0，
∴lim n →∞a n ≥0，又lim n →∞a n ＝lim n →∞a n －1∴lim n →∞a n ＝12(lim n →∞
a n －1＋3
lim n →∞
a n －1
)， 解得：lim n →∞
a n ＝ 3. 11．若(1＋5x 2)n 的展开式中各项系数之和是a n ，(2x 3＋5)n 的展开式中各项的二项式系数
之和为b n ，则lim n →∞ a n －2b n
3a n ＋4b n
的值为( ) A ．－23 B ．－12
C.12
D.13 答案：D
解析：令x ＝1，得各项系数之和为a n ＝6n ，(2x 3＋5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ＝2n ，
∴lim n →∞
a n －2
b n 3a n ＋4b n ＝lim n →∞ 6n
－2×2n
3×6n ＋4×2n ＝lim n →∞ 1－2×(13)n
3＋4×(13
)n ＝1
3
. 12．数列{a n }中，有lim n →∞[(5n ＋2)a n ]＝2，并有lim n →∞a n 存在，则lim n →∞ (na n )的值为( ) A ．0
B ．2