高考数学 极限单元测试卷
高数极限基础练习题
高数极限基础练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\sin x}{x}\) 的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无穷2. 函数 \( f(x) = x^2 \sin(\frac{1}{x}) \) 在 \( x = 0 \) 处的极限为：A. 0B. 1C. 无定义D. \( \frac{\pi}{2} \)3. 函数 \( g(x) = \frac{\sin x}{x} \) 在 \( x = \pi \) 处的极限为：A. 0B. 1C. \(\frac{1}{\pi}\)D. \(-1\)4. 极限 \(\lim_{{n \to \infty}} \frac{n^2}{e^n}\) 的值为：A. 0B. 1C. 无穷D. \(\frac{1}{2}\)5. 函数 \( h(x) = \frac{1}{1+x^2} \) 在 \( x = 2 \) 处的极限为：A. \(\frac{1}{5}\)B. \(\frac{1}{4}\)C. \(\frac{1}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题（每空2分，共20分）6. 极限 \(\lim_{{x \to 1}} (x^2 - 1)\) 等于______。
7. 函数 \( f(x) = \frac{\ln(x)}{x} \) 在 \( x = e \) 处的极限为______。
8. 极限 \(\lim_{{x \to \infty}} \frac{\sin x}{x}\) 存在，其值为______。
9. 函数 \( g(x) = x - \tan^{-1}(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的极限为______。
10. 极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{e^x - 1}{x}\) 的值为______。
三、计算题（每题10分，共30分）11. 计算极限 \(\lim_{{x \to 0}} \frac{\ln(1+x)}{x}\)。
高三数学函数极限练习题及答案
高三数学函数极限练习题及答案一、单项选择题（每题2分，共40分）1. 已知函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求lim(x->2)(f(x))的值。
A. 16B. 18C. 20D. 242. 已知函数g(x) = sin(2x) / x，求lim(x->0)(g(x))的值。
A. -2B. -1C. 0D. 23. 已知函数h(x) = (x^2 + x - 2) / (x - 1)，求lim(x->1)(h(x))的值。
A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知函数k(x) = (x - 3) / (x^2 - 9)，求lim(x->3)(k(x))的值。
A. 1B. 0C. 1/3D. 35. 已知函数m(x) = sqrt(x + 1) - 1，求lim(x->0)(m(x))的值。
A. 0B. 1/2C. 1D. 26. 已知函数n(x) = e^x - 1，求lim(x->0)(n(x))的值。
A. 1B. eC. 0D. 27. 已知函数p(x) = ln(1 + x)，求lim(x->0)(p(x))的值。
A. 1B. ln(2)C. -1D. 08. 已知函数q(x) = (1 - cosx) / (x^2)，求lim(x->0)(q(x))的值。
A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/59. 已知函数r(x) = tanx / x，求lim(x->0)(r(x))的值。
A. 1B. 0C. ∞D. -∞10. 已知函数s(x) = x^2 / (1 - cosx)，求lim(x->0)(s(x))的值。
A. 0B. 1C. 2D. ∞11. 已知函数t(x) = (x - sinx) / x^3，求lim(x->0)(t(x))的值。
A. 0B. 1/2C. 1D. ∞12. 如果lim(x->a)(f(x))存在，则称函数f(x)在x=a处的极限存在。
高中数学极限试题及答案
高中数学极限试题及答案1. 极限的概念（1）若函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)的某个去心邻域内有定义，且存在常数\( A \)，使得当\( x \)在\( x_0 \)的去心邻域内且\( x \neq x_0 \)时，都有\( |f(x) - A| < \epsilon \)，则称\( A \)是函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处的极限，记作\( \lim_{x \to x_0}f(x) = A \)。
（2）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，则称\( f(x) \)在\( x_0 \)处的极限存在，否则称为极限不存在。
2. 极限的运算法则（1）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) + g(x)) = A + B \)。
（2）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) \cdot g(x)) = A\cdot B \)。
（3）若\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)，\( \lim_{x \to x_0} g(x) = B \)，则\( \lim_{x \to x_0} (f(x) / g(x)) = A / B \)（前提是\( B \neq 0 \)）。
3. 极限的计算（1）计算极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)。
答案：\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)。
（2）计算极限\( \lim_{x \to 2} (3x^2 - 4x + 2) \)。
函数极限连续单元测试及答案.docx
函数单元测试（ A ）一、填充题：1、设的定义域为0,1，则f (x 2)的定义域是 ________________。
2、 f ( x)x 2, q(x) sin x 1，则 f q( x)________,q f x__________。
3、设 f x1 x 22x 2 ，则 f x_____________。
f xsin x , x 1) _________, f ( ) _________0,x, f (4、1 42。
5、已知函数 f x 是偶函数，且在 0,上是减函数，则函数f x在,0 上必是 ____________函数。
6、设yu 3 , u 1 v , v arccos x ，则复合函数 y f x _____________ 。
7、 设函数 f x sin 2 x cos 2 x 其周期为__________ ____ 。
( ) , 二、选择题：ln(1 x) ,xf (x)21、函数sin x ,x2（ A ） ln(1)24 （B ） 22、设 f (x)x2, g(x)e x ，则（ A ） e x 22 x（B ）ef ( ) 等于（）则 4 （ C ） 2（D ） 4f [ g( x)]（）（C ） xx 2（ D ） e x3、设函数 f x的定义域是 [ 0,1]，则fx 2 的定义域是（）（ A ） [-1 ，1] （B ）[0 ，1]（C ）[-1 ， 0]（ D ）（- ∞， +∞）4、函数fx 10x10 x 是（）（ A ）奇函数（B ）偶函 数（ C ）非奇非偶函（D ）既是奇函数又是偶函数5、函数yarcsin 3x1 2 的复合过程是（）( A)yu 2 , uarcsin 3x 1( B) y arcsin 2 u, u 3x 1(C ) y u 2,uarcsin v, v 3x1 (D) yu 2 ,usin v,v sin 3x16、y34x的反函数是（）( A)yx 34(B) y x 4 3( C) y 4 x 3(D) y 4 x 37、下列函数中为基本初等函数的是（）( A) f ( x) ln( x31) ( B) f ( x)0, x 01, x(C) f ( x) arctan(5x 1) ( D ) f ( x) x 2 1 三、判断题：1、确定函数的两个要素是定义域和对应关系。
高三数学极限、导数与复数单元训练题(理)
极限、导数与复数单元训练题（理）本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1、1＋i＋i2＋i3＋…＋i2006的值是（）A．0B．1C．－1D．i2、函数f(x)=ax3＋x＋1有极大值的充要条件是（）A．a>0B．a≥0C．a<0D．a≤03、设函数，在点x=3处连续，则a等于（）A．B．C．D．－4、在复平面内，设向量p1=(x1,y1),p2=(x2,y2),又设复数z1=x1＋y1i;z2=x2＋y2i (x1, x2, y1, y2∈R)，则p1·p2等于（）A．B．C．D．5、用数学归纳法证明不等式成立，则n的第一个值应取（）A．7B．8C．9D．106、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f′(x)g(x)－f(x)g′(x) >0，且g(－3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集是（）A．(－3,0)∪(3,＋∞)B．(－3,0)∪(0，3)C．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0，3)7、数列{a n}中，a1=,,n∈N*，则的值等于（）A．B．C．D．8、在复平面内，复数对应的向量为，复数对应的向量为，那么，向量对应的复数是（）A．1B．－1C．D．－9、已知f(x)=x2＋2xf′(1)，则f′(0)等于（）A．0B．－4C．－2D．210、如果复数z满足|z＋1|=|z－i|，那么|z＋i|的最小值是（）A．B．C．1D．11、设f(x)为可导函数，且满足，则过曲线y=f(x)上的点(1，f(1))处的斜率为（）A．2B．－1C．1D．－212、如图，仔细读图，完成以下（1）～（4）的命题判断（）（1）在点x=a处没有定义但极限存在的是____________；（2）在点x=a处有定义，有极限，但不连续的是_________；（3）的是_____________；（4）在点x=a处没有极限的是_____________．A．（1）①（2）②（3）③（4）④B．（1）③（2）②（3）①（4）④C．（1）④（2）①（3）②（4）③D．（1）②（2）④（3）③（4）①第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。
极限计算测试题及答案高中
极限计算测试题及答案高中一、选择题（每题3分，共15分）1. 函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)在点x=0处的极限是（）A. 1B. 0C. 无穷大D. 不存在2. 如果\( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) = 2 \)，那么\( \lim_{x \to 1} \frac{1}{x - 1} \)等于（）A. 1B. 2C. 无穷大D. 不存在3. 函数\( f(x) = x^2 \)在x=2处的极限是（）A. 4B. 2C. 0D. 无穷大4. 函数\( f(x) = \sin(x) \)在x=0处的极限是（）A. 1B. 0C. -1D. 不存在5. 函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)在x=2处的极限是（）A. 2B. 4C. 8D. 12二、填空题（每题4分，共20分）6. 函数\( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \)在x=2处的极限是______。
7. 如果\( \lim_{x \to 3} (x - 3) = 0 \)，那么\( \lim_{x \to 3} \frac{1}{x - 3} \)等于______。
8. 函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=0处的极限是______。
9. 函数\( f(x) = \frac{\tan(x)}{x} \)在x=0处的极限是______。
10. 函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=π处的极限是______。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 计算函数\( f(x) = \frac{\sin(x)}{x} \)在x=0处的左极限和右极限，并判断其极限是否存在。
12. 证明函数\( f(x) = x^2 \)在任何实数x处的极限都存在，并求出这个极限。
13. 给定函数\( f(x) = \frac{1}{x} \)，计算其在x=1处的极限，并说明其性质。
高考数学 极限单元测试卷
极限单元测试卷 (满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下面四个命题中，不正确．．．的是( ) A ．若函数f (x )在x ＝x 0处连续，则lim x →x ＋0f (x )＝lim x →x －0f (x )B ．函数f (x )＝x ＋2x 2－4的不连续点是x ＝2和x ＝－2C ．若函数f (x )、g (x )满足lim x→∞[f (x )－g (x )]＝0，则lim x→∞f (x )＝lim x→∞g (x ) D.lim x →1 x －1x －1＝12 答案：C 解析：A 中由连续的定义知函数f (x )在x ＝x 0处连续，一定有lim n →x ＋0f (x )＝lim x →x －0f (x )，且还满足lim x →x ＋0f (x )＝lim x →x －0f (x )＝f (x 0)，故A 对．B 中函数f (x )＝x ＋2x 2－4在x ＝2和x ＝－2无定义，故不连续，B 对．C 中只有lim x→∞f (x )，lim x→∞g (x )存在时，才有lim x→∞f (x )＝lim x→∞g (x )，否则不成立． D 中lim x →1x －1x －1＝lim x →1 1x ＋1＝12，故D 对．故选C. 2．下列命题中： ①如果f (x )＝13x ，那么lim x →∞f (x )＝0②如果f (x )＝1x，那么lim x →∞f (x )＝0③如果f (x )＝x ＋3xx ＋3，那么lim x →－3f (x )不存在④如果f (x )＝⎩⎨⎧x (x ≥0)x ＋2 (x <0)，那么lim x →0f (x )＝0其中错误命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案：D解析：②中x →－∞时无意义； ③中lim x→－3f (x )＝lim x→－3x ＝－3； ④中左、右极限不相等．故选D.3．(2009·阳泉模拟)lim n →∞1＋2＋3＋…＋nn 2等于( )A ．2B ．1 C.12D ．0答案：C解析：lim n →∞ 1＋2＋3＋…＋n n 2＝lim n →∞n ＋12n ＝lim n →∞ 1＋1n 2＝12.故选C.4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3x －1 (x >1)ax ＋1 (x ≤1)在点x ＝1处连续，则a 的值是( ) A ．2 B ．－2 C ．3 D ．－4答案：C解析：∵lim x →1＋f (x )＝lim x →1＋ x 2＋2x －3x －1＝lim x →1＋ (x ＋3)＝4， 又lim x →1－f (x )＝lim x →1－(ax ＋1)＝a ＋1，f (1)＝a ＋1. ∴要使f (x )在x ＝1处连续， 需lim x →1＋f (x )＝lim x →1－f (x )＝f (1)． 即a ＋1＝4，∴a ＝3.故选C.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1 (x ≤0)ax ＋b (x >0)在x ＝0处连续且可导，则a 、b 的值依次为( )A ．1,1B ．2,1C ．1,2D ．2,2答案：B解析：由连续性知b ＝1；由可导性知a ＝2.选B.6．(2009·天津六县区联考)lim n →∞ C 02n ＋C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n2n1－4n等于( )A ．－1B ．－12C ．－14D ．0答案：B解析：∵C 02n ＋C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n2n＝12×22n ＝12×4n ， ∴lim n →∞ C 02n ＋C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n 2n 1－4n＝lim n →∞ 12×4n1－4n ＝lim n →∞ 12(14)n－1＝－12.故选B.7．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2答案：D解析：∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1∴f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.故选D.8.lim n →∞ (1n ＋1－2n ＋1＋3n ＋1－…＋2n －1n ＋1－2n n ＋1)的值为( ) A ．－1 B ．0 C.12D ．1 答案：A 解析：原式＝lim n→∞(－1)×nn ＋1＝－1.故选A. 9．设正数a ，b 满足lim x →2 (x 2＋ax －b )＝4，则lim n →∞ a n ＋1＋ab n －1a n －1＋2b n等于( )A ．0 B.14C.12D ．1 答案：B解析：由lim x →2(x 2＋ax －b )＝4，即22＋2a －b ＝4，得2a ＝b ，∴lim n→∞a n ＋1＋a ·b n －1a n －1＋2·b n＝lim n→∞a n ＋1＋2n －1·a na n －1＋2n ＋1·a n＝lim n→∞12n ＋1＋14·1a12n ＋1·1a 2＋1a＝14.故选B.10．数列{a n }中a 1＝2，且a n ＝12(a n －1＋3a n －1)(n ≥2)，若lim n →∞a n 存在，则lim n →∞a n 等于( )A. 3B ．－ 3C ．±3 D. 6答案：A解析：∵a 1＝2，a n ＝12(a n －1＋3a n －1)，则a n >0，∴lim n →∞a n ≥0，又lim n →∞a n ＝lim n →∞a n －1∴lim n →∞a n ＝12(lim n →∞a n －1＋3lim n →∞a n －1)， 解得：lim n→∞a n ＝ 3. 11．若(1＋5x 2)n 的展开式中各项系数之和是a n ，(2x 3＋5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ，则lim n →∞ a n －2b n3a n ＋4b n 的值为( )A ．－23B ．－12C.12D.13 答案：D解析：令x ＝1，得各项系数之和为a n ＝6n ，(2x 3＋5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ＝2n ，∴lim n →∞ a n －2b n 3a n ＋4b n ＝lim n →∞ 6n－2×2n3×6n ＋4×2n ＝lim n →∞ 1－2×(13)n3＋4×(13)n ＝13.12．数列{a n }中，有lim n→∞[(5n ＋2)a n ]＝2，并有lim n→∞a n 存在，则lim n→∞(na n )的值为( ) A ．0 B ．2 C.25D ．不存在答案：C解析：因为lim n→∞a n 存在，可设lim n→∞a n ＝a ， 又有lim n →∞[(5n ＋2)a n]＝2，且lim n →∞ 1n ＝0， ∴lim n →∞ 1n(5n ＋2)a n ＝0×2＝0. 又lim n →∞ 1n (5n ＋2)a n ＝lim n →∞(5a n＋2a nn ) ＝5lim n →∞a n＋2lim n →∞ a nn ＝5a ＋0＝0， ∴a ＝lim n→∞a n ＝0. ∴lim n →∞[(5n ＋2)a n ]＝lim n→∞(5na n ＋2a n ) ＝lim n→∞5na n ＋lim n→∞2a n ＝5lim n→∞na n ＋0＝2. ∴lim n →∞(na n)＝25. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在数列{a n }中，a 1＝9，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，则lim n →∞ a n(n ＋1)2＝________. 答案：9解析：由题意，得a n －a n －1＝3，∴{a n }是等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)×3＝3n . ∴a n ＝9n 2.∴lim n →∞ a n (n ＋1)2＝lim n →∞ 9n 2(n ＋1)2＝lim n →∞9(1＋1n )2＝9.14.lim x →π (x －π)cos xx －π＝________.答案：－2π 解析：lim x →π(x －π)cos xx －π＝lim x →π(x ＋π)cos x ＝(x ＋π)cos π＝－2π. 15.如右图，连结△ABC 的各边中点得到一个新的△A 1B 1C 1，又连结△A 1B 1C 1的各边中点得到△A 2B 2C 2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2、…，这一系列三角形趋向于一个点M ，已知A (0,0)，B (3,0)，C (2,2)，则点M 的坐标是 .答案：(53，23)解析：由条件结合图象可知，三角形的顶点都在△ABC 的三条中线上，由极限知识知M点的坐标是△ABC 的重心，∴(53，23)即为所求．16．将杨辉三角中的每一个数C r n 都换成分数1(n ＋1)C r n，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．从莱布尼茨三角形可看出1(n ＋1)C r n ＋1(n ＋1)C x n ＝1nC r n －1，其中x ＝________.令a n ＝13＋112＋130＋160＋…＋1nC 2n －1＋1(n ＋1)C 2n，则lim n →∞a n ＝________.11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16 17 142 1105 1140 1105 142 17答案：r ＋1，12解析：令n ＝3，14C r 3＋14C x 3＝13C r 2.当r ＝1时，14×3＋14C x 3＝13×2，14C x 3＝16－112＝112，∴C x 3＝3.∴x ＝1,2.当r ＝2时，14C 23＋14C x 3＝13.∴14C x 3＝13－112＝312＝14. ∴C x 3＝1.∴x ＝3.归纳x ＝r ＋1. 利用裂项求和求极限求出lim x→∞a n 的值． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知f (x )＝a ·b x (a 、b 为常数)的图象经过点P (1，18)和Q (4,8)．(1)求f (x )的解析式；(2)记a n ＝log 2f (n )，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和，求lim n →∞ S n3n 2＋1.解：(1)∵f (x )的图象经过点P (1，18)和Q (4,8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝18，ab 4＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，b ＝4.∴f (x )＝132×4x ＝4x －52＝22x －5.(2)a n ＝log 2f (n )＝log 222n －5＝2n －5. ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－5－(2n －5)＝2， ∴{a n }是以－3为首项，公差为2的等差数列． ∴S n ＝n (－3＋2n －5)2＝n 2－4n .∴lim n →∞ S n3n 2＋1＝lim n →∞ n 2－4n 3n 2＋1＝13.18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)且a 1＝13.(1)求a 2、a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明； (3)求lim n→∞S n . 解：(1)由a 2＝13＋a 22×3，得a 2＝13×5，由a 1＝11×3，a 2＝13×5，得a 3＝13＋13×5＋a 33×5，得a 3＝15×7.(2)猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，显然成立．②假设n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，得S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1，同时S k ＝k (2k －1)a k ＝k2k ＋1.两式相减，得a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k 2k ＋1，即k (2k ＋3)a k ＋1＝k2k ＋1.∴a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)，即n ＝k ＋1时，猜想成立．综上，a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)(3)lim n →∞S n＝lim n →∞[11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)] ＝lim n →∞ 12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝lim n →∞ 12(1－12n ＋1)＝12. 19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，且有lim n →∞ (a 12＋q －q n )＝14，求首项a 1的取值范围． 解：∵lim n →∞ (a 12＋q－q n)＝14，∴0<|q |<1或q ＝1.当0<|q |<1时，即有0<|4a 1－2|<1.解之，得14<a 1<34，a 1≠12；当q ＝1时，lim n →∞(a 13－1)＝14，即a 13－1＝14，得a 1＝154. 故a 1的取值范围为14<a 1<34且a 1≠12或a 1＝154.20．(本小题满分12分)在边长为l 的等边△ABC 中 ，⊙O 1为△ABC 的内切圆，⊙O 2与⊙O 1外切，且与AB 、BC 相切，…，⊙O n ＋1与⊙O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去，记⊙O n 的面积为a n (n ∈N *)．(1)证明{an }是等比数列； (2)求lim n→∞(a 1+a 2+…+an )的值． (1)证明：记r n 为⊙O n 的半径，则r 1＝l 2·tan30°＝36l ，r n －1－r n r n －1＋r n＝sin30°＝12，∴r n ＝13r n －1(n ≥2)．于是a 1＝πr 21＝πl 212，a n a n －1＝(r n r n －1)2＝19，故{a n }成等比数列． (2)解：∵a n ＝(19)n －1a 1，∴lim n →∞(a 1＋a 2＋…＋a n )＝a 11－19＝3πl 232.21．(本小题满分12分)已知公比为q (0<q <1)的无穷等比数列{a n }各项的和为9，无穷等比数列{a 2n }各项的和为815. (1)求数列{a n }的首项a 1和公比q ；(2)对给定的k (k ＝1,2，…，n )，设T (k )是首项为a k ，公差为2a k －1的等差数列，求数列T (2)的前10项之和；(3)设b i 为数列T (i )的第i 项，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n ，并求正整数m (m >1)，使得lim n→∞S nn m存在且不等于零． (注：无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限)解：(1)依题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q ＝9a 211－q2＝815⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝23.(2)由(1)，知a n ＝3×(23)n －1，所以数列T (2)的首项为t 1＝a 2＝2，公差d ＝2a 2－1＝3，S 10＝10×2＋12×10×9×3＝155，即数列T (2)的前10项之和为155， (3)b i ＝a i ＋(i －1)(2a i －1) ＝(2i －1)a i －(i －1)＝3(2i －1)(23)i －1－(i －1)S n ＝45－(18n ＋45)(23)n －n (n －1)2，lim n →∞ S n n m ＝lim n →∞ (45n m －18n ＋45n m (23)n －n (n －1)2n m )．当m ＝2时，lim n →∞ S n nm ＝－12， 当m >2时，lim n →∞ S nnm ＝0，所以m ＝2. 22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)．(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)令f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x )在点x ＝1处的导数f ′(1)，并比较2f ′(1)与23n 2－13n 的大小．(1)证明：由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，∴n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4.两式相减，得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1. 从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5， ∴a 1＋a 2＝2a 1＋6. 又a 1＝5，∴a 2＝11. 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)．故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *. 又∵a 1＝5，∴a n ＋1≠0. 从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2，即{a n ＋1}是以a 1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列． (2)解：由(1)知a n ＝3×2n －1.∵f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， ∴f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1， 从而f ′(1)＝a 1＋2a 2＋…＋na n＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n (3×2n －1) ＝3(2＋2×22＋…＋n ×2n )－(1＋2＋…＋n ) ＝3[n ×2n ＋1－(2＋…＋2n )]－n (n ＋1)2＝3(n ×2n ＋1－2n ＋1＋2)－n (n ＋1)2＝3(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2＋6.由上，知2f ′(1)－(23n 2－13n ) ＝12(n －1)·2n －12(2n 2－n －1) ＝12(n －1)·2n －12(n －1)(2n ＋1) ＝12(n －1)[2n －(2n ＋1)]．(*) 当n ＝1时，(*)式＝0， ∴2f ′(1)＝23n 2－13n ； 当n ＝2时，(*)式＝－12<0， ∴2f ′(1)<23n 2－13n ； 当n ≥3时，n －1>0，又2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥2n ＋2>2n ＋1，∴(n －1)[2n －(2n ＋1)]>0，即(*)>0，从而2f ′(1)>23n 2－13n . 〔或用数学归纳法：n ≥3时，猜想2f ′(1)>23n 2－13n . 由于n －1>0，只要证明2n >2n ＋1.事实上， ①当n ＝3时，23>2×3＋1.不等式成立． ②设n ＝k 时(k ≥3)，有2k >2k ＋1， 则2k ＋1>2(2k ＋1)＝4k ＋2 ＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)． ∵k ≥3，∴2k －1<0.从而，2k ＋1>2(k ＋1)＋1＋(2k －1)>2(k ＋1)＋1，即n ＝k ＋1时，亦有2n >2n ＋1. 综合①②，知2n >2n ＋1对n ≥3，n ∈N *都成立．∴n ≥3时，有2f ′(1)>23n 2－13n .〕 综上，n ＝1时，2f ′(1)＝23n 2－13n ； n ＝2时，2f ′(1)<23n 2－13n ； n ≥3时，2f ′(1)>23n 2－13n .。
高数极限习题测验及答案
练习题1. 极限xx x x x x x x xx x x x x x 1lim)4(11lim)3(15865lim )2(31lim )1(2312232---+-+-+++-∞→→→∞→(5) 已知011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x , 求常数a , b .(6) x x x x sin 1sin lim 20→ (7) 211lim 22x x x x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→(8) xx x21lim 0-→ (9)x x x sin )31ln(lim 0-→(10)⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞→1lim 1xx e x2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x e x b x x f y x 在x =0点连续.(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x xx f sin )(=② ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.2. 函数的连续性(1) 确定b 的值, 使函数⎩⎨⎧<≥+==-002)(1x ex b x x f y x在x =0点连续.解:1)(lim )(lim )0(-→→====-+e x f b x f f x x(2) 确定a , b 的值, 使函数1lim)(2212+-+==-∞→nn n x bxax xx f y 在整个实数轴上连续.解:⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=++-=-+<->==121121111)(2x b a x ba x bx ax x x x f yb a x f x f b a f x x -====-+=-+→→)(lim 1)(lim 21)1(11 b a x f x f b a f x x +==-==++-=--→-→-)(lim 1)(lim 21)1(_111,0-==b a(3) 讨论下列函数的连续性, 并判断其间断点的类型.①x x x f sin )(=解: x =0为可去间断点.②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠+-=0001212)(11x x x f xx解:1)(lim 1)(lim 0-=≠=-+→→x f x f x x , x =0为跳跃间断点.3. 连续函数的性质 (1) 设1)(1-+++=-x xx x f n n ,证明：)(x f 有一个不大于1的正根.解: 若n=1, 则显然有解x =1. 若n>1, 则01)1(,01)0(>-=<-=n f f , 由零点定理可知在(0, 1)内至少有一个根..(2) 若),()(∞+-∞∈C x f , 且A x f x =∞→)(lim , 证明: ),()(∞+-∞在x f 内有界.解: 由A x f x =∞→)(lim 可知: 0>∃X , 当X x >时, 1)(<-A x f , 故1)(+<A x f由),()(∞+-∞∈C x f 可知]1,1[)(+--∈X X C x f , 故01>∃M ,当1+<X x 时, 1)(M x f <取}1,max{1+=A M M 即可.提高1º),()(∞+-∞在x f 内至少有一个最值存在. 2º 对于最值与A 间的任意值C , 存在21,ξξ, 使得C f f ==)()(21ξξ.证明: 若A x f ≡)(, 则显然结论成立.设存在A x f >)(0, 则存在X >0, 当X x ≥时, 有2)()(0Ax f A x f -<- 于是: )(2)()(00x f A x f x f <+< 由],[)(X X C x f -∈, 可知存在],[X X -∈ξ{})(],[:)(max )(0x f X X x x f f ≥-∈=ξ从而),()(∞+-∞在x f 内有最大值)(ξf .对于任意的C , )(ξf C A <<, 存在X 1>0, 当1X x ≥时, 有 C AC x f <+<2)( 于是有CAC X f <+<±2)(1. 分别在闭区间],[],,[11X X ξξ-上使用介值定理即可得结论2º.。
高数极限基础练习题
高数极限基础练习题一、数列极限1. 计算下列数列的极限：(1) $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}$(2) $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n+3}$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 1}{n^2 + 1}$(4) $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n^2 + n}}{n + 1}$ 2. 判断下列数列极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{n \to \infty} (1)^n$(2) $\lim_{n \to \infty} \sin(n\pi)$(3) $\lim_{n \to \infty} \frac{n!}{n^n}$二、函数极限1. 计算下列函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^2 1}{x 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$(4) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x 1}{x}$2. 判断下列函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x}$(3) $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^x$三、无穷小与无穷大1. 判断下列表达式是否为无穷小：(1) $\frac{1}{x^2}$ 当 $x \to \infty$(2) $\sin \frac{1}{x}$ 当 $x \to \infty$(3) $e^{x}$ 当 $x \to \infty$2. 判断下列表达式是否为无穷大：(1) $x^3$ 当 $x \to \infty$(2) $\ln x$ 当 $x \to \infty$(3) $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 当 $x \to 0^+$四、极限运算法则1. 利用极限运算法则计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} (3x^2 + 2x 1)$(2) $\lim_{x \to 1} \frac{x^3 3x^2 + 2x}{x^2 2x + 1}$(3) $\lim_{x \to \infty} (x^3 2x^2 + 3)$2. 利用极限的性质，计算下列极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot\frac{1}{\cos x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x + 1}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x e^{x}}{2x}$五、复合函数极限1. 计算下列复合函数的极限：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\sqrt{x^2 + 1})}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} 1}{x^2}$2. 判断下列复合函数极限是否存在，若存在，求出其极限值：(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(\tan x)}{x}$(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln(e^x + 1)}{x}$(3) $\lim_{x \to 0} \frac{1 \cos(\sqrt{x})}{x}$六、极限的应用1. 计算下列极限问题：(1) 设 $f(x)2. 已知函数 $f(x) = \frac{x^2 1}{x 1}$，求 $\lim_{x \to 1} f(x)$。
数列、极限、数学归纳法1
高考第一轮复习数学单元测试卷数列、极限、数学归纳法说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）1、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、若构成A、等差数列B、等比数列C、是等差数列也是等比数列D、不是等差数列也不是等比数列2、是等差数列，S10>0，S11<0，则使<0的最小的n值是A、5B、6C、7D、83、一个等比数列的前n项和为48，前2n项和为60，则前3n项和为A、183B、108C、75D、634、某商品降价10％后欲恢复原价，则应提价A、10％B、11％C、％D、12％5、已知等比数列的各项均为正数，公比Q=，则P与Q的大小关系是A、P>QB、P<QC、P=QD、无法确定6、等差数列和的前n项和分别为S n和T n，对一切自然数n都有，则等于B、 C、 D、7、已知数列的通项公式为3n-50，则其前n项和S n的最小值是A、-784B、-392C、-389D、-3688、公差不为0的等差数列中，依次成等比数列，则公比等于A、 B、 C、2 D、39、数列的前100项的和为A、 B、 C、 D、10、无穷数列各项的和等于A、1B、C、D、211、是实数构成的等比数列，S n是其前n项和，则数列中A、任一项均不为0B、必有一项为0C、至多有有限项为0D、或无一项为0，或无穷多项为012、在数列中，等于A0 B1 C、2 D3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）2、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13、等差数列中，成等比数列，则公差d=_________，公比q=___________。
14、一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是100，最小内角1000，则边数n=_______。
15、一个无穷递减等比数列的首项为1，且每一项都等于它以后所有项的和的k倍，则k的取值范围是________________________。
函数与极限单元测试题及答案
函数与极限单元测试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2+1在x=-1处的极限是：A. 0B. 1C. 2D. 32. 如果f(x)在点x=a处连续，那么f(x)在x=a处的极限等于：A. f(a)B. f(a+1)C. f(a-1)D. 03. 函数f(x)=sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. π/2D. 14. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x在x=1处的导数是：A. -1B. 0C. 1D. 25. 如果lim(x→∞)f(x)/g(x)=0，那么f(x)和g(x)是：A. 同阶无穷小B. 同阶无穷大C. 同阶无穷大且g(x)>f(x)D. 异阶无穷小...（此处省略其他选择题）二、填空题（每题2分，共10分）6. 函数f(x)=1/x在x=0处的极限是_________。
7. 函数f(x)=x^2在x=-2处的极限是_________。
8. 函数f(x)=x+1/x在x=0处的极限是_________。
9. 函数f(x)=sin(x)/x在x=0处的极限是_________。
10. 若lim(x→0)[(sinx)/x]=a，则a的值为_________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 求函数f(x)=x^2-4x+3在x=2处的极限，并说明理由。
12. 证明函数f(x)=x^3在x=0处的连续性。
13. 讨论函数f(x)=x^2-6x+8在x=3处的可导性，并求导数。
四、综合题（每题15分，共30分）14. 已知函数f(x)=x^2-2x，求其在区间[0, 5]上的最大值和最小值。
15. 讨论函数f(x)=1/x在x=1处的连续性，并求其在该点的导数。
答案：一、选择题1. C2. A3. B4. D5. C二、填空题6. 不存在7. 48. 无穷大9. 110. 1三、解答题11. 函数f(x)在x=2处的极限为f(2)=2^2-4*2+3=4-8+3=-1。
高等数学单元测试题一(极限+连续)及答案
高等数学单元测试题一（极限+连续）一、选择题（每小题4分，共20分） 1、当0x →+时，（ ）无穷小量。
A.1sin x xB. 1x e C. ln x D. 1sin x x2、点1x =是函数311()1131x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪->⎩的（ ）。
A.连续点B.第一类非可去间断点C.可去间断点D.第二类间断点3、函数()f x 在点0x 处有定义是其在0x 处极限存在的（ ）。
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.无关条件4、已知极限22lim()0x x ax x→∞++=，则常数a 等于（ ）。
A.-1B.0C.1D.25、极限201lim cos 1x x e x →--等于（ ）。
A.∞B.2C.0D.-2 二、填空题（每小题4分，共20分）1、21lim(1)x x x→∞-=1、当0x →+时，无穷小ln(1)Ax α=+与无穷小sin 3x β=等价，则常数A=2、已知函数()f x 在点0x =处连续，且当0x ≠时，函数21()2x f x -=，则函数值(0)f =3、111lim[]1223(1)n n n →∞+++••+=14、若lim ()x f x π→存在，且sin ()2lim ()x xf x f x x ππ→=+-，则lim ()x f x π→= 三、解答题（8小题，共60分） 1、（7分）计算极限 222111lim(1)(1)(1)23n n→∞---2、（7分）计算极限 30tan sin lim x x xx→-3、（7分）计算极限 123lim()21x x x x +→∞++4、（7分）计算极限 01x e →-5、（7分）设3214lim 1x x ax x x →---++ 具有极限l ，求,a l 的值6、（8分）设3()32,()(1)n x x x x c x αβ=-+=-，试确定常数,c n ，使得()()x x αβ7、（7分）试确定常数a ，使得函数21sin 0()0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在(,)-∞+∞连续8、（10分）设函数()f x 在开区间(,)a b 连续，12a x x b <<<，试证：在开区间(,)a b 至少存在一点c ，使得11221212()()()()(0,0)t f x t f x t t f c t t +=+>>高等数学单元测试题一（极限+连续）参考答案一、选择题（每小题4分，共20分）1、A2、C3、D4、A5、D二、填空题（每小题4分，共20分）1、2e-2、 33、 04、 15、 1三、解答题1、（7分）解：原式=132411111 lim()()()lim223322 n nn n nn n n→∞→∞-++•••=•=2、（7分）解：原式=2322 000sin1sin1cos1 cos2lim lim limcos cos2 x x xxx xxxx x x x x→→→--===3、（7分）解：原式=11122112221lim(1)lim(1)121211lim(1)lim(1)1122xxx xxx xx xe x x+++→∞→∞+→∞→∞+=+++=+•+=++4、（7分）解：原式=201sin 12lim 2x x xx →=5、（7分）解：因为1lim(1)0x x →-+=，所以 321lim(4)0x x ax x →---+=，因此 4a = 并将其代入原式321144(1)(1)(4)lim lim 1011x x x x x x x x l x x →-→---++--===++ 6、（8分）解：32221()32(1)(2)(1)(2)3lim ,3,2(1)x x x x x x x x c n c x cα→=-+=-+-+=∴==- 此时，()()x x αβ7、（7分）解：当0x >时，()f x 连续，当0x <时，()f x 连续。
高考数学第一轮复习单元试卷18极限
第十八单元 极限一。
选择题： 1．93lim 23-+-→x x x = （ ）A ．61-B ．0C ．61D ．312．用数学归纳法证)"(212111211214131211"*N n nn n n n ∈+++++=--++-+- 的过程中,当n=k到n=k+1时，左边所增加的项为( )A ．221+-k B ． 121+k C ．221121+-+k kD ．1111++-k k 或3．已知两点O （0，0），Q （a ,b ），点P 1是线段OQ 的中点,点P 2是线段QP 1的中点，P 3是线段P 1P 2的中点，┅，2+n P 是线段nP1+n P 的中点，则点nP 的极限位置应是 （ ）A ．(2a ,2b ） B 。
（3,3b a ） C.(32,32b a ) D 。
（43,43b a )4． 10x x>1若f （x ）= 5 x=1 则 -→1lim x )(x f 的值为（ ）7-x x 〈1A ． 5 B. 6 C 。
10 D 。
不存在 5．∞→x lim123233+++x x x 的值为( ）A ．21 B. 不存在 C 。
3D. 06。
+∞→x lim )11(--+x x x 的值为（ ）A ． 0B 。
不存在C 。
21D 。
1 7．limn →∞2123nn ++++＝（ ） A ．2B ．4C ．21D ．08．若f(x)在［a ，b]上连续且单调递减,又f （x ）在[a,b ］上的值域为是A ．+→a x limn x f =)( B.-→a x lim m x f =)( C.+→b x lim m x f =)( D 。
-→b x lim n x f =)(9。
f(x ）在x 0处连续,是f （x 0)有定义的__________条件 （ ）A ．充分不必要B 。
充要C 。
必要不充分D 。
既不充分也不必要 10．=--=--→→)22(1lim,11)1(lim 11x f x x x f x x 则若 （ )A ．－1B ．1C ．－21 D ．21二.填空题：11．等比数列1，21，41,81,……所有项和为___________。
高三数学高考文非课改单元测试11：极限、导数 试题
卜人入州八九几市潮王学校高三上学期文科数学单元测试〔11〕[原人]极限、导数本套试卷分第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部，一共150分；答题时间是150分钟。
第一卷〔选择题一共60分〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分〕．1．曲线26x y =的一条切线的斜率为13，那么切点的横坐标为〔〕A ．16B ．13C ．6D ．32．直线40ax by --=与曲线3y x =在点p(1，1)处的切线具有一样的纵截距，那么b 为〔〕 A ．2B ．－2C ．D ．－ 3．设f(x)在x ＝x 0处可导，且p[f(x 0＋)－f(x 0－)]＝q ，那么f(x 0)=〔〕 A ．4q B ．2q C ． D ． 4．抛物线y ＝41x 2在点Q (2，1)处的切线方程为〔〕A ．－x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝05．函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，那么a ，b 的值分别为〔〕A ．1，－3B ．1，3C ．－1，3D ．－1，－3 6．设f 〔x 〕＝a x 3＋3x 2＋10，假设f〔－1〕＝9，那么a 的值等于〔〕A ．5B ．6C ．7D ．87．函数)(x f 在定义域R 内可导，假设)2()(x f x f -=，且当)1,(-∞∈x 时，0)()1(<'-x f x ，设).3(),21(),0(f c f b f a===那么〔〕A ．c b a<< B ．b a c << C ．a b c<< D ．a c b <<8．设函数2()()f x g x x =+，曲线()y g x =在点(1,(1))g 处的切线方程为21y x =+，那么曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为〔〕A ．4B ．14-C ．2D ．12- 9．曲线y ＝x n在x ＝3处的导数为108，那么n 等于〔〕 A ．1 B ．2 C ．3D ．410．设a ＜b,函数2()()y x a x b =--的图像可能是〔〕11．函数f (x )＝x 3－3a 2x －a 在(0，1)内有最小值，那么a 的取值范围为〔〕 A ．0≤a ＜1 B ．0＜a ＜1或者 －1＜a ＜0C ．－1＜a ＜1D ．0＜a ＜或者＜a ＜012．设曲线1(*)n y x n N +=∈在点〔1，1〕处的切线与x 轴的交点的横坐标为n x ,令lg nn a x =，那么12lim[()2]n n a a a n →∞+++-的值是〔〕A ．B ．1C ．2D ．4第二卷〔非选择题一共90分〕二、填空题：请把答案填在题中横线上〔本大题一一共4个小题，每一小题4分，一共16分〕. 13．曲线31()13f x x x =++的切线中倾斜角最小的角是．14．函数f(x)＝x 2(ax ＋b)(a ，b∈R )在x ＝2时有极值，其图象在点(1，(1))处的切线与直线3x ＋y ＝0平行，那么a ＋b ＝______．15．函数y ＝x 3－3x ，那么它的单调增区间是．16．函数f(x)＝x 3＋ax ＋1在(－∞，－1)上为增函数，在(－1，1)上为减函数，那么f(1)为_______________．三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〔本大题一一共6个大题，一共74分〕. 17．设函数f(x)＝2x 3＋3ax 2＋3bx ＋3在x ＝1及x ＝2时获得极值．(Ⅰ)求a 、b 的值；(Ⅱ)求函数f(x)在区间[0，3]上的最大值和最小值. 18．设函数2()()f x x x a =--〔x ∈R 〕，其中a ∈R ． 〔Ⅰ〕当1a =时，求曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程； 〔Ⅱ〕当0a>时，求函数()f x 的极大值和极小值.19．〔12分〕设函数22()21(0)f x tx t x t x t =++-∈>R ，．〔Ⅰ〕求()f x 的最小值()h t ；〔Ⅱ〕假设()2h t t m <-+对(02)t ∈，恒成立，务实数m 的取值范围．20．函数229()(3) ().32f x x x ax a R =--∈ 〔Ⅰ〕假设函数f 〔x 〕图象上点),1(m P 处的切线方程为03=+-b y x ，求m 的值；〔Ⅱ〕假设函数)(x f 在)2,1(内是增函数，求a 的取值范围．21．某汽车消费企业上年度消费一品牌汽车的投入本钱为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆.本年度为适应场需求，方案进步产品档次，适当增加投入本钱，假设每辆车投入本钱增加的比例为x 〔0＜x ＜1)，那么出厂价相应进步的比例为0.7x ，年销售量也相应增加.年利润=〔每辆车的出厂价－每辆车的投入本钱〕×年销售量.〔Ⅰ〕假设年销售量增加的比例为0.4x ，为使本年度的年利润比上年度有所增加，那么投入本钱增加的比例x 应在什么范围内？ 〔Ⅱ〕年销售量关于x 的函数为)352(32402++-=x x y ，那么当x 为何值时，本年度的年利润最大？最大利润为多少？22．〔本小题14分〕函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx 的导函数f(x)的图像如图，且f(x)的图像过点(3，3).〔Ⅰ〕求函数f(x)的解析式；〔Ⅱ〕试讨论直线y ＝m(m≤0)与f(x)的图像的交点情况.参考答案一、选择题 1．A 解析：因3x y '=，那么由133x =，得x ＝1，故纵坐标16y =． 2．A 解析：因为23y x '=，那么切线斜率为3，切线方程为320x y --=，其纵截距为－2，那么由条件知b ＝2．3．D 解析：p[f(x 0＋)－f(x 0－)]=p[f(x 0＋)－f(x 0)] ＝4＝4f (x 0)＝q ，∴f (x 0)＝． 4．A 解析：221||12x x ky x =='===，∴切线方程为y －1＝x －2，即x －y －1＝0． 5．A 解析：∵f (x )＝3ax 2＋b ，∴f (1)＝3a ＋b ＝0…①，又x ＝1时有极值－2，∴a ＋b ＝－2…②，联立①②并解得. 6．A 解析；∵f (－1)＝f(x)|x =1＝(3ax 2＋6x )|xx =1＝3a －6，∴3a －6＝9，故a ＝5.7．B 解析：由)2()(x f x f -=知函数的对称轴为x ＝1，又x ＜1时，0)()1(<'-x f x ，即()0f x '>，所以函数在区间〔－∞，1〕上为增函数，在〔1，＋∞〕上为减函数，故f(3)＝f(－1)＜f(0)＜f()． 8．A 解析：由(1)2g '=，而()()2f x g x x ''=+，所以(1)(1)214f g ''=+⨯=．9．D 解析：由题意得n ·3n 1＝81，∵108＝4×341，而n ∈N*，∴n ＝4．10．C 解析：()(3)y x a x a b '=---，由0y '=，得x a =或者23a bx +=，∴当x a =时， y 取极大值0，当23a bx +=时y 取极小值且极小值为负,应选C ． 或者当xb <时0y <，当x b >时，0y >选C11．B 解析：f (x)＝3x 2－3a 2，由于f(x)在(0，1)内有最小值，故a ＞0且f (x)＝0的解为x 1＝a ，x 2＝－a ，同时｜a ｜∈(0，1)，即0＜a ＜1或者－1＜a ＜0．12．2解析：因(1)n y n x '=+，∴在点〔1，1〕处的切线斜率为k ＝1n +，切线方程为1(1)(1)y n x -=+-，令y ＝0得切点的横坐标为1nnx n =+，那么 12n a a a +++12lg n x x x =⋅⋅⋅=12lg 231n n ⋅⋅⋅=+11n +， 所以12lim[2()]n n n a a a →∞+++＝22lim()lim(2)11n n n n n →∞→∞=-++＝2．二、填空题13．45解析：2()1f x x '=+≥1，即tanθ≥1，即最小倾斜角为45．14．－2解析：∵f(x)＝ax 3＋bx 2，f′(x)＝3ax 2＋2bx ，∴，即， 15．(－∞，－1)与(1，＋∞)解析：由y ＝x 3－3x ，得y＝3x 2y＞0，得函数y ＝x 3－3x 的单调增区间为(－∞，－1)及(1，＋∞)． 16．解析：∵f (x)＝x 2＋a ，又f (－1)＝0，∴a＝－1，f(1)＝－1＋1＝.三、解答题17．解：(Ⅰ)f (x)＝6x 2＋6ax ＋3b ，因为函数f(x)在x ＝1和x ＝2获得极值，那么有f (1)＝0，f(2)＝0．即，解得a ＝－3，b ＝4.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，f (x)＝6x 2－18x ＋12＝6(x －1)(x －2)，令f (x)＝0，得x ＝1或者2，∴f(1)＝8，f(2)＝7，f(0)＝3，f(3)＝12．那么 当x∈[0，3]时，函数的最大值为12；最小值为3. 18．解：〔Ⅰ〕当1a=时，232()(1)2f x x x x x x =--=-+-，得(2)2f =-，且2()341f x x x '=-+-，(2)5f '=-．所以，曲线在点(22)-，处的切线方程是25(2)y x +=--，即580x y +-=．〔Ⅱ〕2322()()2f x x x a x ax a x =--=-+-22()34(3)()f x x ax a x a x a '=-+-=---．令()0f x '=，解得3ax =或者x a =． 当0a >，当x 变化时，()f x '的正负如下表：因此，函数()f x 在3ax =处获得极小值3a f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且34327a f a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；函数()f x 在x a =处获得极大值()f a ，且()0f a =．19．解：〔Ⅰ〕23()()1(0)f x t x t t t x t =+-+-∈>R ，，∴当x t =-时，()f x 取最小值3()1f t t t -=-+-，即3()1h t t t =-+-．〔Ⅱ〕令3()()(2)31g t h t t m t t m =--+=-+--，由2()330g t t '=-+=得1t =，1t =-〔不合题意，舍去〕． 当t 变化时()g t '，()g t 的变化情况如下表：()g t ∴在(02)，内有最大值(1)1g m =-．()2h t t m <-+在(02)，内恒成立等价于()0g t <在(02)，内恒成立，即等价于10m -<，所以m 的取值范围为1m >．20．解：〔Ⅰ〕∵,3232)(23x ax x x f --=∴.342)(2--='ax x x f 那么过P 〔1，m 〕的切线斜率为k ＝()/114f a =--.又∵切线方程为03=+-b y x ，∴14a --＝3，即1-=a ，∴,3232)(23x x x x f -+=又∵P 〔1，m 〕在f 〔x 〕的图象上，∴31-=m . 〔Ⅱ〕函数)(x f 在)2 ,1(内是增函数，∴0342)(2≥--='ax x x f 对于一切)2 ,1(∈x 恒成立，即3242-≤x ax，∴xx a 432-≤， x x 432-在)2 ,1(上单调递增，∴)85,41(432-∈-x x ，41-≤∴a .21．解：〔Ⅰ〕由题意得：上年度的利润为〔13－10〕×5000=15000万元；本年度每辆车的投入本钱为10(1)x ⨯+；本年度每辆车的出厂价为13(10.7)x ⨯+；本年度年销售量为5000(10.4)x ⨯+， 因此本年度的利润为 由,650,1500015000150018002<<>++-x x x 解得 所以当65<<x 时，本年度的年利润比上年度有所增加. 〔Ⅱ〕本年度的利润为那么),3)(59(972)5.46.97.2(3240)(2'--=+-⨯=x x x x x f由,395,0)('===x x x f 或解得当)(,0)()95,0('x f x f x >∈时，是增函数；当)(,0)()1,95('x f x f x <∈时，是减函数.∴当95=x 时，20000)95()(=f x f 取极大值万元，因为()f x 在〔0，1〕上只有一个极大值，所以它是最大值，所以当95=x 时，本年度的年利润最大，最大利润为20000万元。
高三单元试题之十三极限
高三单元试题之十三极限一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（理）用数学归纳法证明命题时，此命题左式为111123421n++++-，则n=k+1与n=k 时相比，左边应添加（ ）A ．1121k +-B ．111122121k k k ++++-C ．111112212221k k k k +++++++-D ．111221k k ++-(文)(1)(2)lim(21)(21)n n n n n →∞++=-+（ ）A ．1B ．21 C ．41 D ．42．2212lim 45x x x x x →+-=+- （ ）A ．21B ．1C ．52 D ．41 3．1lim x x→-∞= （ ）A ．21B ．1C ．2D ．0 4．lim x →-∞＝( )A ．2B ．－2C ．1D ．－15．已知等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的和为S n ，若集合M ＝{S |S ＝2limnx nS S →∞，q ≠－1}，则M 等于（ ）A ．{0}B ．{0，21，1} C ．{1，21} D ．{0，21} 6．3111lim()11x x x →-=--( ) A ．－1 B ．1C ．0D ．不存在7．若lim[1()]11nn r r→∞-=+，则r 的取值范围是 （ ）A ．－21<r <21B ．r >－21C ．r >21 D ．r <－18．在等差数列{a n }中，a 1＝125，第10项开始比1大，记t ＝2lim n n n a S n →∞+，则t 的取值范围1 11 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1………… AB 是 （ ）A ．t >475B ．837525t <≤C ．437550t << D ．437550t <≤9．已知{a n }是无穷等比数列，且121lim()3n n a a a →∞+++=，则首项a 1的取值范围是( )A ．(0，1)B ．(13，1)C ． (13，23)D ．(0，13)∪(13，23)10．已知221lim()21x x ax b x →∞+-+=+，则b 的值为 （ ）A ．0B ．4C ．－4D ．不能确定11．1111lim[(1)(1)(1)(1)]3452n n n →∞----=+（ ） A ．0 B ．23C ．1D ．212．若能通过适当选择常数a 、b ，使20lim x cx a x b x→-++存在，则常数c 是 （ ） A ．正数 B ．零 C ．负数 D ．不能判断c 的符号二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上．13．973250(1)(21)lim (2)x x x x →∞+-=+____________． 14．在杨辉三角中，斜线AB 上方一斜行的前n 个数字和S (n )=1+3+6+…，则=∞→)(lim3n S n n ____． 15．若11lim n nn n n a b b a b--→∞+=--，则正常数a ，b 的大小关系是 . 16．（理）设2,2()4,22a x f x x x x =⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩在R 内每一点处都连续，那么a ＝（文）33x a a x→=- 。
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极限单元测试卷(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．下面四个命题中，不正确．．．的是( ) A ．若函数f (x )在x ＝x 0处连续，则lim x →x ＋0f (x )＝lim x →x －0f (x )B ．函数f (x )＝x ＋2x 2－4的不连续点是x ＝2和x ＝－2C ．若函数f (x )、g (x )满足lim x →∞[f (x )－g (x )]＝0，则lim x →∞f (x )＝lim x →∞g (x ) D.lim x →1x －1x －1＝12答案：C 解析：A 中由连续的定义知函数f (x )在x ＝x 0处连续，一定有lim n →x ＋0f (x )＝lim x →x －0f (x )，且还满足lim x →x ＋0f (x )＝lim x →x －0f (x )＝f (x 0)，故A 对．B 中函数f (x )＝x ＋2x 2－4在x ＝2和x ＝－2无定义，故不连续，B 对．C 中只有lim x →∞f (x )，lim x →∞g (x )存在时，才有lim x →∞f (x )＝lim x →∞g (x )，否则不成立． D 中lim x →1x －1x －1＝lim x →1 1x ＋1＝12，故D 对．故选C. 2．下列命题中：①如果f (x )＝13x ，那么lim x →∞f (x )＝0 ②如果f (x )＝1x，那么lim x →∞f (x )＝0 ③如果f (x )＝x 2＋3xx ＋3，那么lim x →－3f (x )不存在 ④如果f (x )＝⎩⎨⎧x (x ≥0)x ＋2 (x <0)，那么lim x →0f (x )＝0 其中错误命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D解析：②中x →－∞时无意义； ③中lim x →－3f (x )＝lim x →－3x ＝－3； ④中左、右极限不相等．故选D.3．(2009·阳泉模拟)lim n →∞ 1＋2＋3＋…＋nn 2等于( ) A ．2 B ．1 C.12D ．0答案：C解析：lim n →∞ 1＋2＋3＋…＋n n 2＝lim n →∞ n ＋12n ＝lim n →∞ 1＋1n 2＝12.故选C. 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3x －1 (x >1)ax ＋1 (x ≤1)在点x ＝1处连续，则a 的值是( )A ．2B ．－2C ．3D ．－4 答案：C解析：∵lim x →1＋f (x )＝lim x →1＋ x 2＋2x －3x －1＝lim x →1＋(x ＋3)＝4， 又lim x →1－f (x )＝lim x →1－ (ax ＋1)＝a ＋1，f (1)＝a ＋1. ∴要使f (x )在x ＝1处连续， 需lim x →1＋f (x )＝lim x →1－f (x )＝f (1)． 即a ＋1＝4，∴a ＝3.故选C.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1 (x ≤0)ax ＋b (x >0)在x ＝0处连续且可导，则a 、b 的值依次为( )A ．1,1B ．2,1C ．1,2D ．2,2答案：B解析：由连续性知b ＝1；由可导性知a ＝2.选B.6．(2009·天津六县区联考)lim n →∞ C 02n ＋C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n2n1－4n等于( ) A ．－1 B ．－12C ．－14D ．0答案：B解析：∵C 02n ＋C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n 2n＝12×22n ＝12×4n ， ∴lim n →∞ C 02n ＋C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n2n 1－4n ＝lim n →∞12×4n 1－4n＝lim n →∞ 12(14)n －1＝－12.故选B. 7．设f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1(n ∈N *)，那么f (n ＋1)－f (n )等于( )A.13n ＋2B.13n ＋13n ＋1C.13n ＋1＋13n ＋2D.13n ＋13n ＋1＋13n ＋2答案：D解析：∵f (n )＝1＋12＋13＋…＋13n －1∴f (n ＋1)＝1＋12＋13＋…＋13n －1＋13n ＋13n ＋1＋13n ＋2∴f (n ＋1)－f (n )＝13n ＋13n ＋1＋13n ＋2.故选D.8.lim n →∞ (1n ＋1－2n ＋1＋3n ＋1－…＋2n －1n ＋1－2n n ＋1)的值为( ) A ．－1 B ．0C.12D ．1答案：A解析：原式＝lim n →∞(－1)×nn ＋1＝－1.故选A. 9．设正数a ，b 满足lim x →2 (x 2＋ax －b )＝4，则lim n →∞ a n ＋1＋ab n －1a n －1＋2b n等于( ) A ．0 B.14C.12D ．1 答案：B解析：由lim x →2(x 2＋ax －b )＝4，即22＋2a －b ＝4，得2a ＝b ，∴lim n →∞ a n ＋1＋a ·b n －1a n －1＋2·b n＝lim n →∞a n ＋1＋2n －1·a na n －1＋2n ＋1·a n＝lim n →∞ 12n ＋1＋14·1a 12n ＋1·1a 2＋1a ＝14.故选B. 10．数列{a n }中a 1＝2，且a n ＝12(a n －1＋3a n －1)(n ≥2)，若lim n →∞a n 存在，则lim n →∞a n 等于( ) A. 3 B ．－ 3 C ．±3 D. 6答案：A解析：∵a 1＝2，a n ＝12(a n －1＋3a n －1)，则a n >0，∴lim n →∞a n ≥0，又lim n →∞a n ＝lim n →∞a n －1∴lim n →∞a n ＝12(lim n →∞a n －1＋3lim n →∞a n －1)， 解得：lim n →∞a n ＝ 3. 11．若(1＋5x 2)n 的展开式中各项系数之和是a n ，(2x 3＋5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ，则lim n →∞ a n －2b n3a n ＋4b n的值为( ) A ．－23 B ．－12C.12D.13 答案：D解析：令x ＝1，得各项系数之和为a n ＝6n ，(2x 3＋5)n 的展开式中各项的二项式系数之和为b n ＝2n ，∴lim n →∞a n －2b n 3a n ＋4b n ＝lim n →∞ 6n－2×2n3×6n ＋4×2n ＝lim n →∞ 1－2×(13)n3＋4×(13)n ＝13. 12．数列{a n }中，有lim n →∞[(5n ＋2)a n ]＝2，并有lim n →∞a n 存在，则lim n →∞ (na n )的值为( ) A ．0B ．2C.25D ．不存在答案：C解析：因为lim n →∞a n 存在，可设lim n →∞a n ＝a ， 又有lim n →∞[(5n ＋2)a n ]＝2，且lim n →∞ 1n＝0， ∴lim n →∞ 1n(5n ＋2)a n ＝0×2＝0. 又lim n →∞ 1n (5n ＋2)a n ＝lim n →∞ (5a n＋2a nn) ＝5lim n →∞a n＋2lim n →∞ a nn ＝5a ＋0＝0， ∴a ＝lim n →∞a n ＝0. ∴lim n →∞[(5n ＋2)a n ]＝lim n →∞ (5na n ＋2a n ) ＝lim n →∞5na n ＋lim n →∞2a n ＝5lim n →∞na n ＋0＝2. ∴lim n →∞ (na n)＝25. 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．在数列{a n }中，a 1＝9，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线x －y －3＝0上，则lim n →∞ a n(n ＋1)2＝________. 答案：9解析：由题意，得a n －a n －1＝3，∴{a n }是等差数列． ∴a n ＝a 1＋(n －1)×3＝3n . ∴a n ＝9n 2.∴lim n →∞a n (n ＋1)2＝lim n →∞ 9n 2(n ＋1)2＝lim n →∞ 9(1＋1n )2＝9.14.lim x →π (x －π)cos xx －π＝________.答案：－2π 解析：lim x →π(x －π)cos xx －π＝lim x →π (x ＋π)cos x ＝(x ＋π)cos π＝－2π. 15.如右图，连结△ABC 的各边中点得到一个新的△A 1B 1C 1，又连结△A 1B 1C 1的各边中点得到△A 2B 2C 2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2、…，这一系列三角形趋向于一个点M ，已知A (0,0)，B (3,0)，C (2,2)，则点M 的坐标是 .答案：(53，23)解析：由条件结合图象可知，三角形的顶点都在△ABC 的三条中线上，由极限知识知M点的坐标是△ABC 的重心，∴(53，23)即为所求．16．将杨辉三角中的每一个数C r n 都换成分数1(n ＋1)C r n，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．从莱布尼茨三角形可看出1(n ＋1)C r n ＋1(n ＋1)C x n ＝1nC r n －1，其中x ＝________.令a n ＝13＋112＋130＋160＋…＋1nC 2n －1＋1(n ＋1)C 2n，则lim n →∞a n ＝________. 11 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15 16 130 160 160 130 16 17 142 1105 1140 1105 142 17答案：r ＋1，12解析：令n ＝3，14C r 3＋14C x 3＝13C r 2.当r ＝1时，14×3＋14C x 3＝13×2，14C x 3＝16－112＝112，∴C x 3＝3.∴x ＝1,2.当r ＝2时，14C 23＋14C x 3＝13.∴14C x 3＝13－112＝312＝14. ∴C x 3＝1.∴x ＝3.归纳x ＝r ＋1. 利用裂项求和求极限求出lim x →∞a n 的值． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分10分)已知f (x )＝a ·b x (a 、b 为常数)的图象经过点P (1，18)和Q (4,8)．(1)求f (x )的解析式；(2)记a n ＝log 2f (n )，n ∈N *，S n 是数列{a n }的前n 项和，求lim n →∞ S n3n 2＋1. 解：(1)∵f (x )的图象经过点P (1，18)和Q (4,8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＝18，ab 4＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝132，b ＝4.∴f (x )＝132×4x ＝4x －52＝22x －5.(2)a n ＝log 2f (n )＝log 222n －5＝2n －5. ∵a n ＋1－a n ＝2(n ＋1)－5－(2n －5)＝2， ∴{a n }是以－3为首项，公差为2的等差数列． ∴S n ＝n (－3＋2n －5)2＝n 2－4n .∴lim n →∞ S n3n 2＋1＝lim n →∞n 2－4n 3n 2＋1＝13. 18．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ＝S n n (2n －1)且a 1＝13.(1)求a 2、a 3；(2)猜想数列{a n }的通项公式，并用数学归纳法加以证明； (3)求lim n →∞S n . 解：(1)由a 2＝13＋a 22×3，得a 2＝13×5，由a 1＝11×3，a 2＝13×5，得a 3＝13＋13×5＋a 33×5，得a 3＝15×7.(2)猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).证明：①当n ＝1时，显然成立．②假设n ＝k 时，猜想成立，即a k ＝1(2k －1)(2k ＋1)，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1(k ＋1)(2k ＋1)，得S k ＋1＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1，同时S k ＝k (2k －1)a k ＝k2k ＋1.两式相减，得a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝(k ＋1)(2k ＋1)a k ＋1－k 2k ＋1，即k (2k ＋3)a k ＋1＝k2k ＋1.∴a k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋3)，即n ＝k ＋1时，猜想成立．综上，a n ＝1(2n －1)(2n ＋1)(3)lim n →∞S n＝lim n →∞[11×3＋13×5＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)] ＝lim n →∞ 12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1) ＝lim n →∞ 12(1－12n ＋1)＝12. 19．(本小题满分12分)已知等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，且有lim n →∞ (a 12＋q －q n)＝14，求首项a 1的取值范围．解：∵lim n →∞ (a 12＋q －q n)＝14， ∴0<|q |<1或q ＝1.当0<|q |<1时，即有0<|4a 1－2|<1.解之，得14<a 1<34，a 1≠12；当q ＝1时，lim n →∞ (a 13－1)＝14， 即a 13－1＝14，得a 1＝154. 故a 1的取值范围为14<a 1<34且a 1≠12或a 1＝154.20．(本小题满分12分)在边长为l 的等边△ABC 中 ，⊙O 1为△ABC 的内切圆，⊙O 2与⊙O 1外切，且与AB 、BC 相切，…，⊙O n ＋1与⊙O n 外切，且与AB 、BC 相切，如此无限继续下去，记⊙O n 的面积为a n (n ∈N *)．(1)证明{an }是等比数列； (2)求lim n →∞(a 1+a 2+…+an )的值． (1)证明：记r n 为⊙O n 的半径，则r 1＝l 2·tan30°＝36l ，r n －1－r n r n －1＋r n＝sin30°＝12，∴r n ＝13r n －1(n ≥2)．于是a 1＝πr 21＝πl 212，a n a n －1＝(r n r n －1)2＝19，故{a n }成等比数列． (2)解：∵a n ＝(19)n －1a 1，∴lim n →∞ (a 1＋a 2＋…＋a n )＝a 11－19＝3πl 232. 21．(本小题满分12分)已知公比为q (0<q <1)的无穷等比数列{a n }各项的和为9，无穷等比数列{a 2n }各项的和为815. (1)求数列{a n }的首项a 1和公比q ；(2)对给定的k (k ＝1,2，…，n )，设T (k )是首项为a k ，公差为2a k －1的等差数列，求数列T (2)的前10项之和；(3)设b i 为数列T (i )的第i 项，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求S n ，并求正整数m (m >1)，使得lim n →∞ S nn m存在且不等于零． (注：无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限)解：(1)依题意，可知⎩⎪⎨⎪⎧a 11－q＝9a 211－q 2＝815⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝23.(2)由(1)，知a n ＝3×(23)n －1，所以数列T (2)的首项为t 1＝a 2＝2，公差d ＝2a 2－1＝3，S 10＝10×2＋12×10×9×3＝155，即数列T (2)的前10项之和为155， (3)b i ＝a i ＋(i －1)(2a i －1) ＝(2i －1)a i －(i －1)＝3(2i －1)(23)i －1－(i －1)S n ＝45－(18n ＋45)(23)n －n (n －1)2，lim n →∞S n n m ＝lim n →∞ (45n m －18n ＋45n m (23)n －n (n －1)2n m)． 当m ＝2时，lim n →∞ S n n m ＝－12， 当m >2时，lim n →∞ S nn m ＝0，所以m ＝2. 22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的首项a 1＝5，前n 项和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋n ＋5(n ∈N *)．(1)证明数列{a n ＋1}是等比数列；(2)令f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，求函数f (x )在点x ＝1处的导数f ′(1)，并比较2f ′(1)与23n 2－13n 的大小．(1)证明：由已知S n ＋1＝2S n ＋n ＋5，∴n ≥2时，S n ＝2S n －1＋n ＋4.两式相减，得S n ＋1－S n ＝2(S n －S n －1)＋1，即a n ＋1＝2a n ＋1. 从而a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 当n ＝1时，S 2＝2S 1＋1＋5， ∴a 1＋a 2＝2a 1＋6. 又a 1＝5，∴a 2＝11. 从而a 2＋1＝2(a 1＋1)．故总有a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，n ∈N *. 又∵a 1＝5，∴a n ＋1≠0. 从而a n ＋1＋1a n ＋1＝2，即{a n ＋1}是以a 1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列． (2)解：由(1)知a n ＝3×2n －1. ∵f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ， ∴f ′(x )＝a 1＋2a 2x ＋…＋na n x n －1， 从而f ′(1)＝a 1＋2a 2＋…＋na n＝(3×2－1)＋2(3×22－1)＋…＋n (3×2n －1) ＝3(2＋2×22＋…＋n ×2n )－(1＋2＋…＋n ) ＝3[n ×2n ＋1－(2＋…＋2n )]－n (n ＋1)2＝3(n ×2n ＋1－2n ＋1＋2)－n (n ＋1)2＝3(n －1)·2n ＋1－n (n ＋1)2＋6.由上，知2f ′(1)－(23n 2－13n ) ＝12(n －1)·2n －12(2n 2－n －1) ＝12(n －1)·2n －12(n －1)(2n ＋1) ＝12(n －1)[2n －(2n ＋1)]．(*) 当n ＝1时，(*)式＝0， ∴2f ′(1)＝23n 2－13n ； 当n ＝2时，(*)式＝－12<0， ∴2f ′(1)<23n 2－13n ； 当n ≥3时，n －1>0，又2n ＝(1＋1)n ＝C 0n ＋C 1n ＋…＋C n －1n ＋C n n ≥2n ＋2>2n ＋1，∴(n －1)[2n －(2n ＋1)]>0，即(*)>0，从而2f ′(1)>23n 2－13n . 〔或用数学归纳法：n ≥3时，猜想2f ′(1)>23n 2－13n . 由于n －1>0，只要证明2n >2n ＋1.事实上， ①当n ＝3时，23>2×3＋1.不等式成立． ②设n ＝k 时(k ≥3)，有2k >2k ＋1， 则2k ＋1>2(2k ＋1)＝4k ＋2 ＝2(k ＋1)＋1＋(2k －1)． ∵k ≥3，∴2k －1<0.从而，2k ＋1>2(k ＋1)＋1＋(2k －1)>2(k ＋1)＋1，即n ＝k ＋1时，亦有2n >2n ＋1. 综合①②，知2n >2n ＋1对n ≥3，n ∈N *都成立．∴n ≥3时，有2f ′(1)>23n 2－13n .〕 综上，n ＝1时，2f ′(1)＝23n 2－13n ； n ＝2时，2f ′(1)<23n 2－13n ； n ≥3时，2f ′(1)>23n 2－13n .。