3.2.2复数的乘法与除法
3.2.2 复数代数形式的乘除运算
+
������������2������+-���������������2��� i(c+di≠0).
名师点拨复数的除法和实数的除法有所不同,实数的除法可以直
接约分、化简得出结果;而复数的除法是先将两复数的商写成分式,
然后分母实数化(分子、分母同乘分母的共轭复数).
【做一做 3】 计算:24+-33ii.
集.
答案:B
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
一题多解(变)——复数的综合问题
典例
(1)已知复数
z=(1-
3+i 3i)2
,
������是
z
的共轭复数,则
z·������等于(
)
A.1
B.1
4
2
C.1
D.2
(2)已知复数 z 满足|z|= 5,且(1-2i)z 是实数,求������.
3 4
−
4i ,∴z·������
=
14.
法二:∵z=(1-3+3ii)2,
3.实数范围内整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立,即对 复数z,z1,z2和自然数n,m,有:
zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·z2)n=������1������ ·������2������ .
课前篇自主预习
【做一做1】 (1)(4-i)(3+2i)=
.
(2)(-3+2i)2=
=0×504+i2 016=1.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
课堂篇探究学习
反思感悟利用i幂值的周期性解题的技巧 1.熟记i的幂值的4个结果,当幂指数除以4所得的余数是0,1,2,3时, 相应的幂值分别为1,i,-1,-i. 2.对于n∈N*,有in+in+1+in+2+in+3=0.
高中优质公开课教学课件推选复数的乘除法运算
写成代数形式(分母实数化).即
(a bi) (c di) a bi c di
(a bi)(c di) (c di)(c di)
(ac
bd ) c2
(bc d2
ad )i
分母实数化
例4.计算 (1 2i) (3 4i)
解:
四、【巩固新知】
求
已知 z1 3 2i
z1 z2 , z1 z2
z1+z2=(a+c)+(b+d)i; z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分 别相加(减).
二、【新课探究】
1.复数的乘法法则
两个复数的乘法可以按照多 项式的乘法运算来进行，只
是在遇到 i2 时，要把 i2 换
成-1，并把最后的结果写成
a bi(a,b R) 的形式。
=9+16=25
练习：计算 （1）(a bi)(a bi)
a2 abi abi b2i2
a2 b2
3、共轭复数的定义
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时， 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于０的 两个共轭复数也叫做共轭虚数。
特别地，实数的共轭复数是实数本身。
Z的共轭复数记作Ｚ 思考：若z1 、 z2 ，是共轭复数，那么
1
2
3
1
2
3
•（ ） • •
1
2
312来自13三、【例题讲解】
例1
已知1 1 2i, 2 3 4i
计算1 • 2。
解:
1 • 2 （1 2i）(3 4i)
3 4i 6i 8i2
11 2i
例2(1 2i)(3 4i)(2 i)
复数的乘法与除法
复数的乘法与除法复数是由实数部分和虚数部分构成的数字，可用于解决实际问题，尤其在数学和物理领域中具有重要的应用。
复数的乘法与除法是复数运算中的两个基本操作，通过这两个操作可以实现复数之间的相乘和相除运算。
本文将详细介绍复数的乘法与除法，并探讨其性质和应用。
一、复数的乘法复数的乘法可以通过展开括号并应用虚数单位 i 的定义进行计算。
设 z1 = a+bi 和 z2 = c+di 是两个复数，其中 a、b、c、d 是实数，则它们的乘积为：z1 * z2 = (a+bi) * (c+di)= ac + adi + bci + bdi^2= (ac - bd) + (ad+bc)i根据乘法的定义，在计算过程中需要注意虚数单位 i 的特性：i^2 =-1。
通过展开括号并整理得到的结果为一个新的复数，实部为原复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部为原复数实部和虚部的乘积之和。
二、复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数来实现。
设 z1 = a+bi 和 z2 = c+di 是两个复数，其中 a、b、c、d 是实数且z2 ≠ 0，则它们的除法为：z1 / z2 = (a+bi) / (c+di)为了简化计算，可以将分子和分母同乘以共轭复数的分子，并利用共轭复数的特性进行化简。
共轭复数 z2 的定义为 c-di，则乘以共轭复数相当于分母中的虚部相互抵消。
经过整理得到的结果为：z1 / z2 = [(a+bi)*(c-di)] / [(c+di)*(c-di)]= [(a*c + b*d) + (b*c - a*d)i] / (c^2 + d^2)类似于乘法，除法的计算结果也是一个新的复数，实部为原复数实部和虚部的乘积之和，虚部为正负交替相乘的结果。
三、复数乘法和除法的性质1. 乘法交换律：对于任意两个复数 z1 和 z2，满足 z1 * z2 = z2 * z1。
2. 乘法结合律：对于任意三个复数 z1、z2 和 z3，满足 (z1 * z2) * z3 = z1 * (z2 * z3)。
3.2.2复数代数形式的乘除运算(学、教案)
3. 2.2复数代数形式的乘除运算（学案）预习目标： 1.复数的代数形式的乘除运算及共轭复数的概念2.掌握复数的代数形式的乘、除运算。
预习内容：1.虚数单位i :----------------------------------2. i 与－1的关系: ---------------------------------------3. i 的周期性：----------------------------------------------------4.复数的定义------------------------------------------------------------ 3. 复数的代数形式: -------------------------------------------------------------------4. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：-------------------------- --5. 两个复数相等的定义：-------------------------------------------------6. 复平面、实轴、虚轴：-------------------------------------------------------8．复数z 1与z 2的和的定义：-----------------------------9. 复数z 1与z 2的差的定义：----------------------------------------- 10. 复数的加法运算满足交换律: ------------------------------------ 11. 复数的加法运算满足结合律:-----------------------------------------------------提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：掌握复数的代数形式的乘、除运算。
复数乘除法教案
【典例分析】
例1计算
引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.
点拨：在复数的乘法运算过程中注意将 换成－1.
提示：复数 为纯虚数，故可设 ，再代入求解即可.
【总结提升】
复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把 换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.
【作业布置】
习题5-2：2,4题目
反思
3.情感态度价值观
培养学生严密的推理能力，周到细密的计算能力.
重难点
重点:复数代数形式的除法运算
难点:对复数除法法则的运用.
课件名称
复数代数形式的乘除运算
上课时间
教学过程
【知识链接】
1.复数 与 的和的定义： ；
2.复数 与 的差的定义： ；
3.复数的加法运算满足交换律: ；
4.复数的加法运算满足结合律: ；
例4计算
引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.
点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.
【目标检测】
1.复数 等于（ ）
A． B． C． D．
2.设复数 满足 ，则 （ห้องสมุดไป่ตู้）
A． B． C． D．
3.复数 的值是（ ）
A. B. C. D.1
4.已知复数 与 都是纯虚数，求 .
（2）
（3）
点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
复数代数形式的乘除运算
复数代数形式的乘除运算说课稿说课教师：张晶晶一教材分析1、教材的地位和作用《§3.2.2 复数代数形式的乘除运算》是高中数学选修2-2（人教A版）第三章的第二小节，其主要内容是复数代数形式的乘除运算。
前面已学习了《§3.1.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义》, 在此基础上，继续学习复数的乘除运算，让学生认识到实数集中的许多性质在复数集中仍然适用，同时也是对学习复数知识的加深和巩固。
它进一步揭示了虚数与实数辩证统一的关系，对培养学生类比学习的观点和转化的思想起到了一定的帮助作用，为提高学生的推理论证能力和解决问题的能力也起到了十分重要的作用。
2．教学重点与难点教学重点：复数代数形式的乘法与除法运算法则.教学难点：对复数除法运算法则的运用(分母实数化的问题)。
3. 教学目标（1）知识与技能：通过类比学习熟练掌握复数代数形式的乘法与除法运算法则，深刻体会复数的除法运算实质是分母实数化的问题。
（2）过程与方法：通过学生自学、兵教兵、探究等教学形式提高学生分析问题和解决问题的能力。
（3）情感与价值观：在教学中要注重培养学生思维的灵活性，辩证性和创新性，活跃课堂气氛，激发学生学习数学的热情，培养学生学习数学的兴趣，增强他们学习数学的信心。
二教法分析1、要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架；其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。
2、根据上述教材分析和目标分析，在教学中采用“洋思模式”，以学生为主体，学生自学为核心构建课堂教学，培养问题意识，孕育创新精神，提出恰当的对学生的数学思维有适度启发的问题，引导学生自学，培养学生良好的学习方法。
3、“先学后教，当堂训练”：通过展示“自学指导”让学生阅读课本，小组内讨论，结合前面学习的知识来解决提出的问题，强化类比转化的思想。
2022版高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.2复数代数形式的乘除运算课件新人教A版选修2_
复数z,z1,z2和自然数n,m,有zm·zn=zm+n,(zm)n=zmn,(z1·
=z2)n
1 ·2 .
知识梳理
【做一做1-1】 复数z1=2+i,z2=1-i,那么z=z1·z2在复平面内对
应的点位于(
)
A.第一象限 B.第二象限
=(-8-8 3i)(2-2
=-16+16 3i-16
(4)(方法 1)
=
2i 4
-2i
3 − i)2]3=(2-2 3i)3
3i)
3i)
3i-48=-64.
1+i 8
1-i
=
4
1+i 2
1-i
= (-1)4=1.
1+i
(1+i)2
(方法 2)因为 1-i = (1-i)(1+i) =
所以
1+i 8
=
21-28i+3i-4i 2
25
(i-2)(i-1)
(4)
=
(1+i)(i-1)+i
-2-i+6i+3i 2
5
(5)原式 =
=
=
=
25-25i
= 1-i.
25
2
i -i-2i+2
i-1+i 2 -i+i
-5+5i
=
1-3i
-2+i
=
(1-3i)(-2-i)
(-2+i)(-2-i)
= −1+i.
5
(-1+ 3i)2 (-1+ 3i)
复数的四则运算
练 习
（1）已知 z
求
z1 z1 z2 , z1 z2 , z1 z2 , z2
1
3 2i , z2 1 4i
（2）已知 求
z1 4 2 , z1 , ( z1 z2 ) z2
z1 1 i , z2 2 i
（3） (1 i) 2i;
2
1 1 i i; i; i 1 i
* n n
所有可能的取值.
练习:
(A) 1
2015-3-26
1+i1+i2+i3+…+i 2004的值为( A )
(B) -1 (C) 0 (D) i
2.复数的乘法与除法
(1)复数乘法的法则 复数的乘法与多项式的乘法是类似 的,但必须在所得的结果中把i2换成-1, 并且把实部合并.即:
2 (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi
1 i i. 1 i
拓
展
求满足下列条件的复数z:
(1)z+(3－4i)=1; (2)(3+i)z=4+2i
分母实数化
a bi (a bi ) (c di ) c di
例3.计算
(1 2i) (3 4i)
1 2i 解: (1 2i ) (3 4i ) 3 4i (1 2i)(3 4i) (3 4i )(3 4i ) 3 8 6 i 4 i 5 10 i 2 2 3 4 25 1 2 i 5 5
2
2 2
a b
2
2
2
2 2 2
（2） (a bi) a 2abi b i
复数的运算
引言：复数的运算是数学中的重要概念之一，它涉及到复数的加减乘除以及其他运算规则。
在上一篇文章中，我们已经介绍了复数的加减法运算，本文将进一步探讨复数的乘法和除法运算，并对其进行详细阐述。
通过学习本文，读者将更深入地理解复数的运算规则，并能够熟练进行相关计算。
概述：复数的乘法和除法运算是在实数基础上对虚数单位i进行运算的结果。
通过乘法和除法运算，我们可以更灵活地处理复数，并应用于复杂的数学问题中。
本文将依次介绍复数的乘法和除法运算的基本规则，包括运算法则、运算性质以及应用实例等。
正文内容：一、复数乘法运算1.1乘法法则1.1.1乘法的定义1.1.2乘法的交换律1.1.3乘法的结合律1.1.4乘法的零元和幺元1.1.5乘法的分配律1.2乘法性质1.2.1乘法的逆元1.2.2乘法的平方1.2.3乘法的倒数1.2.4乘法的绝对值1.2.5乘法的应用实例二、复数除法运算2.1除法法则2.1.1除法的定义2.1.2除法的零除法2.1.3除法的结合律2.1.4除法的分配律2.1.5除法的可逆性2.2除法性质2.2.1除法的逆元2.2.2除法的倒数2.2.3除法的绝对值2.2.4除法的应用实例三、复数乘法与除法运算综合应用3.1解复数方程3.2求复数的倒数3.3求复数的幂3.4求复数的乘法逆元3.5求复数的绝对值3.6综合应用实例四、常见乘法与除法的错误和注意事项4.1乘法与除法计算中的常见错误4.1.1忘记交换律和结合律4.1.2遗忘乘法的特殊性质4.1.3忽略乘法的分配律4.2乘法与除法运算的注意事项4.2.1注意复数的特殊形式4.2.2注意分母为零的情况4.2.3注意复数运算的结果4.2.4注意保留有效数字总结：复数的乘法和除法运算是数学中的重要概念，通过本文的介绍，我们对复数乘法和除法运算有了更深入的认识。
学习复数的运算规则和性质，有助于我们更好地理解复数的数学特性，并能够灵活应用于实际问题中。
在进行复数乘法和除法的计算时，我们还需要注意一些常见错误和注意事项，以确保计算的准确性和有效性。
4.复数的乘法与除法
已知|z|=1,求|z2+z+1|的最值 的最值. 例7:已知 已知 求 的最值 解1:设z=x+yi(x,y∈R),则x2+y2=1,|x|≤1,|y|≤1. 设 ∈ 则 故|z2+z+1|=|x2+2xyi-y2+x+yi+1| =|(x2-y2+x+1)+(2xy+y)i| =|(2x2+x)+(2x+1)yi| =|2x+1||x+yi|=|2x+1|. 所以,当 所以 当x=1时,|z2+z+1|最大值=3; 时 当x=-1/2时,|z2+z+1|最小值=0. 时 由于z 故若设z=x+yi(x,y∈R),则有 解2:由于 z=|z|2=1,故若设 由于 故若设 ∈ 则有 |z2+z+1|=|z2+z+z z|=|z||z+1+z|=|2x+1|(以下同解 以下同解1). 以下同解
∴ OB = OA + OC , 即 z B = z A + zC .
→ → →
y B
a ∴−2a + 3i = a + i + (−b + ai) 2 3 即− 2a + 3i = (a − b) + ai. 2
c
A x O
− 2a = a − b a = 2 3 . ∴ ⇒ b = 6 3= 2a
zC − 6 + 2i ∴ = = −2 + 2i . zA 2+ i
已知复数z满足 是纯虚数,求 例5:已知复数 满足 已知复数 满足|z|=5且(3+4i)z是纯虚数 求 z. 且 是纯虚数 解1:设z=a+bi(a,b∈R),则(3+4i)z=(3a-4b)+(4a+3b)i. 设 ∈ 则
高三数学教案：复数的乘法与除法
高三数学教案：复数的乘法与除法一、复数的乘法复数的乘法有以下两种形式：1. 两个复数相乘，直接将实部相乘，虚部相乘，再将结果相加。
设 z1=a1+bi，z2=a2+ci，则它们的乘积为：z1×z2=(a1+bi)×(a2+ci)=(a1a2-bc) + (a1c+b2i)2. 复数与实数相乘，将复数的实部与虚部分别乘以该实数。
二、复数的除法复数的除法有以下两种形式：1. 将两个复数的实部和虚部分别乘以被除数的共轭复数，并将结果相加。
设 z1=a1+bi，z2=a2+bi，则 z1÷z2= (a1+bi) ÷ (a2+bi) =[(a1a2+b1b2) + (a2b1-a1b2)i] ÷ (a2^2+b2^2)2. 将复数的实部和虚部分别除以被除数的共轭复数的模的平方。
教学步骤：1. 复习复数的基本概念和表示方法，包括实部、虚部和共轭复数的概念。
2. 介绍复数的乘法规则，通过例题讲解和练习巩固。
3. 引导学生通过观察乘法规则的特点，总结复数相乘的基本性质。
4. 介绍复数的除法规则，通过例题讲解和练习巩固。
5. 引导学生通过观察除法规则的特点，总结复数相除的基本性质。
6. 练习复数的乘法与除法，包括计算复数的乘幂数和课堂练习。
教学重点：1. 理解复数的乘法和除法的运算规则。
2. 掌握复数乘法的计算方法和复数相除的计算方法。
3. 熟悉复数乘法和除法的基本性质。
教学延伸：可以引导学生通过解决实际问题来应用复数的乘法和除法，例如电路分析、振动问题等。
通过解决实际问题，提高学生对复数乘法和除法的应用能力和解决问题的能力。
复数代数形式的乘除运算总结
z
＝3－i i＝－1－3i.
例 3 已知 1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的一个根(b，c∈R)． (1)求 b，c 的值； (2)试证明 1－i 也是方程的根．
解：(1)∵1＋i 是方程 x2＋bx＋c＝0 的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0， 即 b＋c＋(2＋b)i＝0，
∴2b＋＋bc＝＝00，， 解得bc＝＝2－. 2， (2)证明：由(1)知方程为 x2－2x＋2＝0， 把 1－i 代入方程左边得 左边＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0＝右边，即方程成立， ∴1－i 也是方程的根．
[思考] 实数集内乘法、乘方的一些重要结论和一些运算 法则，在复数集内一定成立吗？
解：不一定，如：(1)当 z∈R 时，|z|2＝z2；当 z∈C 时， |z|2∈R，而 z2∈C，所以|z|2≠z2.(2)当 z∈R 时， z21＋z22＝0⇔z1 ＝0 且 z2＝0；当 z∈C 时， z21＋z22＝0≠＞ z1＝0 且 z2＝0，但 z1＝0，z2＝0⇒z21＋z22＝0.
【变式巩固】 求－16＋30i 的平方根．
[分析] 由于复数的平方根仍然是复数，设出该复数的平 方根的复数形式，再结合复数乘法与除法的关系，利用复数 相等的充要条件求得．
解：设－16＋30i 的平方根为 x＋yi(x，y∈R)， 则(x＋yi)2＝－16＋30i， 即 x2－y2＋2xyi＝－16＋30i，由复数相等的条件，得 x2－y2＝－16，① xy＝15，② 解得 x＝±3，y＝±5，又由方程②可知 x、y 同号， 所以－16＋30i 的平方根为 3＋5i，－3－5i.
2．共轭复数的常用性质
①z·z
＝ z
＝ 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
复数代数形式的乘除运算
3.乘法运算律 对任意z1 ,z2 ,z3 ∈C. 有
z 1· z2=z2· z1
(z1· z 2) · z3= z1· (z2· z 3) z1(z2+z3)=z1· z2+z1· z3
(交换律)
(结合律) (分配律)
例2.计算：
(1) (3+4i)(3-4i)
(2) (1+i)2 解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2 =9-(-16)=25; (2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i. 点评：实数集中的完全平方公式、平方差 等公式在复数集中仍然适用.
§3.2.2 复数代数形式的 乘除运算
教学目标： 知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法 与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算 过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质 是分母实数化问题 情感、态度与价值观：让学生体会自主学习 自主探究提高运算能力的过程。 教学重点：复数代数形式的除法运算。 教学难点：对复数除法法则的运用
变式：计算： （1）(-3+4i)(3+4i) （2）(1-i)2 （3） i(2-i)(1-2i) 解：（1）(-3+4i)(3+4i)=(4i)2-32=-16-9=-25 （2）(1-i)2=1-2i+i2=-2i （3） i(2-i)(1-2i)=(2i+1)(1-2i)=1-(4i)2=17
z1 z2 z2 z1
即对于任意z1 , z2 ,z3 ∈C,有
,
( z1 z2 ) z3 z1 ( z2 z3 ),
z1 ( z2 z3 ) z1 z2 z1 z3 .
复数的乘法与除法规则
复数的乘法与除法规则复数是数学中的一个重要概念，它由实数和虚数构成，可以表示为a+bi的形式，其中a和b分别为实数，i为虚数单位。
在进行复数的乘法和除法运算时，有一些规则需要遵循，本文将详细介绍复数的乘法与除法规则。
一、复数的乘法规则复数的乘法是指两个复数相乘所得的结果。
设有两个复数z1=a+bi和z2=c+di，其中a、b、c、d为实数。
根据乘法定义，我们可以得到复数的乘法规则如下：1. 实部与实部相乘，虚部与虚部相乘：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bdi²2. 虚部的平方为-1，即i²=-1，根据此性质可简化乘法运算：(a+bi)(c+di) = ac + adi + bci + bd(-1)= (ac - bd) + (ad + bc)i通过上述规则，我们可以进行复数的乘法运算。
下面通过一个例子来说明：例：计算(3+4i)(2+5i)根据乘法规则，我们有：(3+4i)(2+5i) = (3*2 - 4*5) + (3*5 + 4*2)i= (6 - 20) + (15 + 8)i= -14 + 23i因此，(3+4i)(2+5i)的结果为-14+23i。
二、复数的除法规则复数的除法是指一个复数除以另一个复数所得的结果。
设有两个复数z1=a+bi 和z2=c+di，其中a、b、c、d为实数。
根据除法定义，我们可以得到复数的除法规则如下：1. 将除数和被除数都乘以共轭复数的结果：(a+bi)/(c+di) = (a+bi)(c-di) / (c+di)(c-di)2. 分子和分母进行乘法运算：(a+bi)(c-di) = ac - adi + bci - bdi²= ac + bd + (bc - ad)i(c+di)(c-di) = c² - cdi + cdi - d²i²= c² + d²3. 将结果进行合并：(a+bi)/(c+di) = (ac + bd + (bc - ad)i) / (c² + d²)通过上述规则，我们可以进行复数的除法运算。
根据高中数学复数定理总结：复数的运算与表示方式
根据高中数学复数定理总结：复数的运算与表示方式1. 复数的定义与表示方式复数是由实部和虚部组成的数。
通常情况下，可以用 a+bi 的形式来表示一个复数，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位，满足 i^2 = -1。
例如，复数 z 可以表示为 z = a + bi。
2. 复数的运算规则2.1 复数的加法与减法复数的加法和减法可以分别通过实部和虚部的运算来进行。
具体规则如下：- 加法：将实部和虚部分别相加。
- 减法：将实部和虚部分别相减。
例如，给定两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，它们的和为 z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i，差为 z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i。
2.2 复数的乘法与除法复数的乘法和除法可以通过展开公式来进行。
具体规则如下：- 乘法：实部相乘减去虚部相乘，并将实部与虚部相乘后再相加。
- 除法：将被除数与除数的共轭复数相乘，再除以除数的模的平方。
例如，给定两个复数 z1 = a + bi 和 z2 = c + di，它们的乘积为z1 \* z2 = (ac - bd) + (ad + bc)i，商为 z1 / z2 = [(ac + bd) / (c^2 + d^2)] + [(bc - ad) / (c^2 + d^2)]i。
3. 复数的共轭与模3.1 复数的共轭一个复数的共轭是指保持实部不变，虚部取相反数的复数。
共轭复数可以通过改变虚部的符号来得到。
例如，给定一个复数 z = a + bi，则它的共轭为 z* = a - bi。
3.2 复数的模一个复数的模是指将实部和虚部的平方和的平方根。
模可以表示复数到原点的距离。
例如，给定一个复数 z = a + bi，则它的模为|z| = √(a^2 + b^2)。
总结复数的运算与表示方式包括复数的加法、减法、乘法和除法。
复数的加法和减法可以通过实部和虚部运算得到，乘法和除法可以通过展开公式或共轭复数得到。
3.2.2复数的乘法、3.2.3复数的除法练习题 有答案
1+i 1-i3.2.2 复数的乘法、3.2.3 复数的除法课后练习题一、选择题：1．设复数 z 1=1+i,z 2=x+2i(x ∈R ),若 z 1z 2∈R ,则 x 等于( )A.-2B.-1C.1D.22. 集合 M={x|x=i n+1,n ∈N }的真子集的个数是( )A.1 B .15 C.3 D.163. 设 z 的共轭复数是z ,若 z-z =4i,z·z =8,则 z=( )A.-2-2iB.2+2iC.-2+ 2iD.2+2i 或-2+2i4. 复数 z=m -2 i (m∈R ,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于() 1+2iA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限n5．若 +n=2,则 n 的值可能为( )A.4B.5C.6D.7二、填空题：6. 设 i 为虚数单位,则复数(1+i )2= .1-i7. 若 a∈R ,且a+i 是纯虚数,则 a= .2+i 8. 已知复数 z 满足(1+2i)z =4+3i,那么 z= .三、解答题： 9. 若4-3mi(m∈R )为纯虚数,求 3+mi4 的值.10. 已知 z 是虚数,求证:z+4是实数的充要条件是|z|=2.z 1-i 1+ i 2+mi 2-mi3.2.2 复数的乘法、3.2.3 复数的除法课后练习题答案一、选择题：1．答案：A解析：∵z 1z 2=(1+i)(x+2i)=(x-2)+(x+2)i,又∵z 1,z 2∈R ,∴x+2=0,∴x=-2.2. 答案：B解析：当 n ∈N 时,x=i n+1 的值只有 i,-i,1,-1,故 M 中有 4 个元素,所以 M 一共有 24-1=15个真子集.3. 答案：D解析：设 z=x+yi(x,y∈R ),则z =x-yi,依题意有 (x + yi )-(x -yi ) = 4i , 即 (x + yi )(x -yi ) = 8, 解得 x = 2 , 或 x = -2,即 z=2+2i 或-2+2i.2yi = 4i , x 2 + y 2 = 8, y = 2 4. 答案：Ay = 2.解析：由已知 z=m -2i = (m -2i )(1-2i ) = 1 [(m-4)-2(m+1)i]在复平面内的对应点如果在第一1+2i (1+2i )(1-2i )5 象限,则 m -4 > 0, 而此不等式组无解,即在复平面上对应的点不可能位于第一象限. m + 1 ✈ 0.5. 答案：A解析：∵1+i =i,1-i =-i ,∴i n +(-i)n= 2, n = 4k , 0, n = 4k + 1, k∈N , 1-i 1+i -2, n = 4k + 2, + 0, n = 4k + 3 ∴n 的值可能为 4.二、填空题：6．答案：-1+i解析：(1+i )2= (2i )(1+i )=-1+i. 1-i2 7．答案：-1 2 解析：a+i = (a+i )(2-i ) = (2a+1)+(2-a )i ,因此必有 2a+1=0,a=-1. 2+i (2+i )(2-i ) 5 28．答案：2+i解析：由(1+2i)z =4+3i,得z = 4+3i =2-i,∴z=2+i. 1+2i2+mi 2-mi 1+i 1-i 2+mi 2-mi 1-i 1+i 4y x 2+y 2三、解答题：9．解：因为4-3mi = (4-3mi )(3-mi )=(12-3m 2)-13mi 是纯虚数,3+mi 9+m 2 9+m 2 所以 12-3m 2 = 0,解得 m=±2.-13m ≠ 0,4 于是当 m=2 时, = 4当 m=-2 时, = 4 4 = =i 4=1;44 = =(-i)4=1.综上, 4=1.10．证明：设 z=x+yi(x,y∈R ,y≠0).则 z+4=x+yi+ 4 =x+yi+4x -4yi = x + + y - i. z x+yi x 2+y 2(充分性)当|z|=2 时,x 2+y 2=4,y- 4yx 2+y 2 =0,x+ 4x x 2+y 2=2x∈R ,故 z+4是实数;z(必要性)当 z+4是实数时,必有 y- 4y =0,又 y ≠0,所以 x 2+y 2=4,即|z|=2.z x 2+y 2因此 z+ 4是实数的充要条件是|z|=2.z 2+2i2-2i 2-2i 2+2i 2+mi 2-mi 4xx 2+y 2。
复数的乘法与除法
3.2.2复数的乘法和除法命题人：赵红艳 审核：高二数学组 日期：2012-3-9 学习目标：1．掌握复数的代数形式的乘法、除法的运算法则及有关运算律。
学习重点：掌握复数的乘法、除法的运算法则以及有关运算律。
学习难点：复数中有关()()221,1,i i i -+的运算以及复数除法运算。
一、知识链接：1．复数的加法与减法公式以及几何意义。
2．已知i x y y x z )4()3(1-++=，i y x x y z )35()24(2+--=，),(R y x ∈，设21z z z -=且i z 213+=，求21,z z二．自学指导1. 复数的乘法(1)定义：))((di c bi a ++=(2)运算律：对任意的C z z z ∈321,,交换律结合律乘法对加法的分配律(3)复数的乘方：对任意复数21,,z z z 和自然数n m ,有n m z z ⋅=n m z )(= ， nz z )(21⋅= （4）幂的运算性质：i 1=_________ i 2=____________ i 3=____________i 4 =_________ 总结：i 4n+1= i 4n+2=- i 4n+3= i 4n =2. 共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于 对称(2)实数的共轭复数是 ，⇔=z z (3)z z ⋅= ＝ =R z ∈2||3.复数的倒数及除法法则设bi a z +=1，di c z +=2，)0(≠+di c ，则=21Zdi c bi a z z ++=21=牛刀小试：1. 设复数,11i z +=i z 322-=，则=⋅21z z2. i 是虚数单位，=++-3)2)(1(i i i思考：.若1z ，R z ∈2，02221=+z z 则021==z z ，此命题对1z ，C z ∈2还成立吗？三、例题分析：例１：已知122,35z i z i =+=-，计算12z z ⋅ ，21Z Z例2 计算（1）2(13)i - （2）(12)(32)i i +÷-（3）i i i i 4342)1)(41(++++- （4） 81()1i i -+四、当堂检测AB 组：1．)21)(32(i i ++-=2．复数i i2134++的实部是3．复数3)1(i -的虚部为4．设R a ∈，且i i a 2)(+为正实数，则a =5．设z 的共轭复数为z ，若4=+z z ，8=⋅z z ，则=z z6．若复数z 满足)2(z i z -=，则z =C 组：1.已知i z i 32)33(-=+，那么复数z 对应的点位于复平面内的 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ． 第三象限D ．第四象限2．设复数：2121),(2,1z z R x i x z i z 若∈+=+=为实数，则x =（ ）A ．－2B ．－1C ．1D ．2 3．若2121,43,2z z i z i a z 且-=+=为纯虚数，则实数a 的值为 ________________ 4.设a 、b 、c 、d R ∈，若a bi c di ++为实数，则（ ） A ．0bc ad +≠ B ．0bc ad -≠ C ．0bc ad -= D ．0bc ad +=5．()()221111ii i i -++=+-（ ）（A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1-6. 若a 为实数，i i ai 2212-=++，求a 的值。
复数运算的基本法则
引言：复数运算是数学中的重要概念，在许多领域都有广泛应用。
本文将介绍复数运算的基本法则，包括复数的加减、乘法、除法规则，以及复数的共轭和模等概念。
概述：复数由实数部分和虚数部分组成，通常表示为a+bi的形式，其中a和b为实数，i为虚数单位。
复数的运算包括加减、乘法、除法等基本操作，这些操作有一定的规则，下文将逐一介绍。
正文：（大点1）复数的加法规则1.1实部的加法规则：两个复数的实部相加，虚部保持不变。
1.2虚部的加法规则：两个复数的虚部相加，实部保持不变。
1.3复数的加法运算可用坐标表示：复数加法的运算可以看作是向量相加，即将两个复数的实部和虚部分别相加。
（大点2）复数的减法规则2.1实部的减法规则：两个复数的实部相减，虚部保持不变。
2.2虚部的减法规则：两个复数的虚部相减，实部保持不变。
2.3复数的减法可用向量表示：复数的减法运算可以视为从第一个复数到第二个复数的向量差。
（大点3）复数的乘法规则3.1复数的乘积公式：(a+bi)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)i。
3.2实数与复数的乘法规则：实数与复数相乘时只需将实数乘以复数的实部和虚部。
3.3复数的乘法可用极坐标表示：复数的乘法运算可以用极坐标表示，即将模相乘，幅角相加。
（大点4）复数的除法规则4.1复数的除法公式：(a+bi)/(c+di)=[(ac+bd)+(bcad)i]/(c^2+d^2)。
4.2除数的倒数：如果一个复数的模为1，那么它的倒数等于它的共轭。
4.3复数的除法可用极坐标表示：复数的除法运算可以用极坐标表示，即将模相除，幅角相减。
（大点5）复数的共轭和模5.1复数的共轭定义：一个复数的共轭将虚部的符号取反。
5.2复数共轭的性质：共轭的和等于和的共轭，共轭的差等于差的共轭，共轭的积等于积的共轭。
5.3复数的模定义：复数的模是实部和虚部构成的向量的长度。
5.4复数的模的性质：复数的模大于等于0，模为0的复数为零，模相等的复数相等。
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z mn ,
z1 z 2 n z1n z 2 n .
（二）复数的除法 1.z 的倒数：
1 z （ 证明见课本 p 95 页） 。 z z2
2.复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数 x+yi(x,y∈R)叫复数
a+bi 除以复数 c+di 的商，记为：(a+bi) (c+di)或者 3.除法运算规则： z 1 = a+bi 则 ,
1 z 1 例 6 已知 z 是虚数，且 z+ 是实数，求证： 是纯虚数. z z 1
证明：设 z=a+bi(a、b∈R 且 b≠0)，于是
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z+
1 a bi a b 1 a 2 (b 2 )i . =a+bi+ =a+bi+ 2 2 2 z a b a b a b2 a bi b 1 ∈R，∴b－ 2 =0. z a b2
2 2
∵z+
∵b≠0，∴a +b =1. ∴
z 1 (a 1) bi [(a 1) bi][(a 1) bi] z 1 (a 1) bi (a 1) 2 b 2 a 2 1 b 2 [(a 1)b (a 1)b]i 0 2bi b i. 2 2 a b 2a 1 1 2a 1 a 1
b i 是纯虚数 a 1
王新敞
奎屯 新疆
∵b≠0，a、b∈R，∴ 课堂巩固 1.设 z=3+i,则
1 等于 z
B.3－i C.
A.3+i 2.
a bi a bi 的值是 b ai b ai
B.i C.－i
3 1 i 10 10
D.
3 1 i 10 10
A.0
D.1
3.已知 z1=2－i,z2=1+3i,则复数 A.1 4. 设 B.－1
例题讲解 例 1 计算： i ， i ， i ， i 并总结规律(课本 P94 ).
例 2 计算 (1 i) 2 ， (1 i) 2 ， (1 i) 2008 ， (1 i) 2009
例 3 已知：
3
1 3i ,求证： （1） , 2
2
(2) 1 ,(3) 1 0
a bi c di
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z 2 = c+diபைடு நூலகம்
（a,b,c,d∈R ）
z1 z1 z 2 (ac bd ) (bc ad )i ac bd bc ad 2 i = c2 d 2 c d 2 c2 d 2 z2 z2 z2
37 28 19 90
日照实验高中 2007 级数学导学案
3.2.2 复数的乘法 3.2.3 复数的除法 学习目标： 掌握复数的乘法和复数的除法的运算法则以及有关运算率。 学习重点、难点：复数中有关 i， （1- i) . （1+ i) .及 (
2 2
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1 3i n 1 i ) ， 1 i 2
例 4 计算 (1 2i) (3 4i)
王新敞
奎屯
新疆
解： (1 2i) (3 4i)
1 2i 3 4i
王新敞
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(1 2i)(3 4i) 3 8 6i 4i 5 10i 1 2 i 2 2 (3 4i)(3 4i) 3 4 25 5 5
2
z 等于 D z
(D) ±i
（B）-i
(C)±1 ） C． 3i
4 3i 的值是（ z
2i 等于 （ 1 2i
B．2
A．0 5.
D． 3i ） C． 2 D． 2
Z C ，若 z z 1 2i 则
A．2i
B． 2i
6.设 a，b R 且 b 0 ，若复数 (a bi) 是实数，则（
3
）
2 2
A． b 3a
2
2
B． a 3b
2
2
C． b 9a
2
2
D． a 9b ．
7.若复数 z 满足 z i(2 z )
(i 是虚数单位)，则 z=
的运算。 自主学习 一、知识再现： 复数的加减法及其几何意义 二、.新课研究： （一）复数的乘法 １．乘法运算法则： 设 z1=a+bi ， z2=c+di(a 、 b 、 c 、 d ∈R)是任意两个复数，那么它们的积 (a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 2 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把 i 换 成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 2.乘法运算律： （1）交换律：z1z2= z2 z1， (2) 结合律：z1(z2z3)=(z1z2)z3 ， (3) 乘法对加法的分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3。 练习 计算（1）(1-2i)(3+4i)(-2+i) ； （2）. (3+4i) (3-4i) 3.共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭 复数 虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数. 通常记复数 z 的共轭
i z2 的虚部为 z1 5
D.－i (x ∈ R,y ∈ R), 则
C.i
x 3 y 1 i 2 i 1 i
x=___________,y=___________.
答案：1.D 2.A 3.A
4.
3 9 , － 5 5
归纳反思
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课后探究 1. 已知复数 z 满足
例 5 计算
(1 4i)(1 i ) 2 4i 3 4i
王新敞
奎屯
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解：
(1 4i)(1 i ) 2 4i 1 4 3i 2 4i 7 i (7 i)(3 4i) 3 4i 3 4i 32 42 3 4i
21 4 3i 28i 25 25i 1 i. 25 25
王新敞
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复数为 z 。 4.共轭复数的性质 （1） z z z
2
z
2
； z 2 z ； z1 z 2 z1 z 2 .(此性质必须记牢并
2
会应用) （2）z R z= z 5.复数的乘方：对复数 z, z1, z2 和自然数 m，n 有 z m
z m z n z m n ,
z z 2i z 8 6i ，求复数 z.
2. 复数 z=a+bi,a,b∈R,且 b≠0,若 z 4bz 是实数，则有序实数对（a,b）可
2
以是
.(写出一个有序实数对即可)
3.设 z 的共轭复数是 z ，或 z+ z =4,z· z ＝8，则 （A）1 4.计算复数 (1 i )