2020-2021学年高三上期8月开学考试数学试卷(文科)答案
江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期8月开学测试数学试题
江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期8月开学测试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________1．若集合{|A x y ==，{|B x y ==，则A B =（ ）A ．[)1,+∞B ．[][)2,11,--+∞ C ．[)2,+∞D ．[][)2,12,--+∞2．设i 是虚数单位，则复数21ii-在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若方程22153x y m m +=-+表示椭圆，则m 的取值范围是（ ）A ．()3,5-B ．()5,3-C ．()()3,11,5- D ．()()5,11,3-4．若函数(31)4,1(),1a x a x f x ax x -+<⎧=⎨-≥⎩，是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．1183⎡⎫⎪⎢⎣⎭，B ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，C ．1,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．11,,83⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭5．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+B ．()4sin 0πsin y x x x=+<<C ．e 4exxy -=+D ．y =6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，2()4f x x x =-，则不等式(2)5f x +<的解集为（ ）A ．(3,7)-B ．()4,5-C ．(7,3)-D ．()2,6-7．函数()23ln sin x x f x x x+=+的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()sin f x x a x =-，对任意的实数1x ，()2,x ∈-∞+∞，且12x x ≠，不等式()()1212f x f x a x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a <B ．12a ≤C ．12a >D ．12a ≥9．若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，则数列{}n a 中的项的值可能为（ ） A ．15B ．25C ．45D ．6510．下面命题正确的是（ ） A ．“1a > ”是“11a<”的充分不必要条件 B ．命题“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”. C ．设,x y R ∈，则“2x ≥且2y ≥ ”是“224x y +≥”的必要而不充分条件 D ．设,a b ∈R ，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件11．已知函数()3f x ax bx c =++（0ac <），则函数()y f x =的图像不可能是（ ）A ．B ．C ．D ．12．设函数()ln f x x x =，()()f x g x x'=，给定下列命题，其中是正确命题的是（ ）A ．不等式()0g x >的解集为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．函数()g x 在()0,e 单调递增，在()e,+∞单调递减C ．若m 1≥，则当120x x >>时，有()()()2212122m x x f x f x ->- D ．若函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则实数10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭13．已知()538f x x ax bx =++-，若()210f -=，则()2f = ． 14．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且2log (1),0()(),0x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩，则[(7)]g f -的值为_____.15．已知命题p ：实数m 满足m 2＋12a 2<7am(a>0)，命题q ：实数m 满足方程21x m -＋22y m-＝1表示的焦点在y 轴上的椭圆，且p 是q 的充分不必要条件，a 的取值范围为________． 16．已知函数()2e 2ln xf x k x kx x=-+，若2x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值集合是________．17．在①222b a c +=+,②cos sin a B b A =,③sin cos B B +=中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题.已知ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ______________,3A π=,b =求ABC ∆的面积.18．已知函数()3f x ax x b =-+（0a ≠），若函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程是230x y -+=．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 的单调区间．19．2018年，在《我是演说家》第四季这档节目中，英国华威大学留学生游斯彬的“数学之美”的演讲视频在微信朋友圈不断被转发，他的视角独特，语言幽默，给观众留下了深刻的印象．某机构为了了解观众对该演讲的喜爱程度，随机调查了观看了该演讲的140名观众，得到如下的列联表：（单位：名）（1）根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（精确到0．001）（2）从这60名男观众中按对该演讲是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，然后随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率． 附：临界值表参考公式：22()=)()()()n ad bc K a b c d a c b d （-++++，+n a b c d =++．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥底面ABCD ，BC ∥AD ，AB ⊥BC ，PA AB =22AD BC ==，M 是PD 的中点.（1）求证：CM ∥平面P AB ； （2）求二面角M AC D --的余弦值.21．某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每批产品的非原料总成本y （元）与生产该产品的数量x （千件）有关，经统计得到如下数据：根据以上数据，绘制如图所示的散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用对数函数模型ln y a b x =+和指数函数模型xy c d =⋅分别对两个变量的关系进行拟合．（1）根据散点图判断，ln y a b x =+与xy c d =⋅（c ，d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为非原料总成本y 关于生产该产品的数量x 的回归方程类型；（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 关于x 的回归方程；（3）已知每件产品的原料成本为10元，若该产品的总成本不得高于123470元，请估计最多能生产多少千件产品． 参考数据：其中lg i i v y =，117ni i v v ==∑．参考公式：对于一组数据()11,u v ，()22,u v ，…，(),n n u v ，其回归直线ˆˆˆva u β=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1221ˆni i i nii u v nuvunu β==-=-∑∑，ˆˆav u β=-． 22．已知函数3()ln ()f x x k x k R =+∈，()'f x 为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．参考答案1．B 【解析】 【分析】求函数定义域确定集合,A B 后再交集定义计算． 【详解】∵[)2,A =-+∞，(][),11,B =-∞-+∞，∴[][)2,11,A B =--+∞.故选：B 【点睛】本题考查集合的交集，考查运算求解能力.交集运算口诀：“越交越少，公共部分”. 2．B 【解析】试题分析：由题意得()()()2121111i i i i i i i +==-+--+ ，所以在复平面内表示复数1i -+的点为()1,1-在第二象限．故选B ．考点：复数的运算；复数的代数表示以及几何意义. 3．C 【解析】 【分析】由方程22153x ym m +=-+表示椭圆可得503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解出即可. 【详解】若方程22153x y m m +=-+表示椭圆，则503053m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得31m -<<或15m <<. 故选：C. 【点睛】本题考查对椭圆标准方程的理解，属于基础题. 4．A 【解析】 【分析】本题根据减函数的定义再结合一次函数的性质直接求解即可. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的减函数，所以3100314a a a a a-<⎧⎪-<⎨⎪-+≥-⎩，解得1183a ≤<.故选：A. 【点睛】本题考查减函数的定义，一次函数的性质，是基础题. 5．C 【解析】 【分析】逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断. 【详解】 A 项，4y x x=+没有最值，故A 项错误； B 项，令sin t x =，则01t <≤，4y t t=+，由于函数在(]0,1上是减函数， 所以min ()(1)5f x f ==，故B 项错误； C项，4e 4e e 4e x x x x y -=+=+≥=，当且仅当4e e x x =， 即e 2x =时，等号成立，所以函数e 4e xxy -=+的最小值为4，故C 项正确；D 项，y =≥=，=时，等号成立，所以函数y =的最小值为D 项错误． 故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题. 6．C 【解析】 【分析】首先求出当0x ≥时不等式的解集，在根据偶函数的对称性求出当0x <时不等式的解集，从而求出()5f x <的解集，则525x -<+<，即可得解． 【详解】当0x ≥时，2()45f x x x =-<的解为05x <；当0x <时，根据偶函数图像的对称性知不等式()5f x <的解为5x 0-<<，所以不等式()5f x <的解集为{55}xx -<<∣， 所以不等式(2)5f x +<的解集为{525}{73}xx x x -<+<=-<<∣∣． 故选：C 【点睛】本题考查偶函数的性质及其应用，考查一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识点理解掌握水平. 7．C 【解析】 【分析】先由函数解析式，确定定义域和奇偶性，排除AD ；再由特殊值验证，可排除B ，得出结果. 【详解】由()23ln sin x x f x x x+=+可得0x ≠，即定义域为()(),00,-∞⋃+∞，排除A ；又()()()()()2233ln ln sin sin x x x x f x f x x xx x -+-+-===----+-，所以()f x 为奇函数，图像关于原点对称，排除D ；又2233111ln 1101111sin sin e e e f e e e e e ⎛⎫+-+ ⎪⎛⎫⎝⎭==< ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，排除B ； 故选：C. 【点睛】本题主要考查由解析式判定函数的图像，属于常考题型. 8．B 【解析】 【分析】 由题可得()11122212sin sin 0x ax a x x ax a x x x ----->-，构造函数()sin g x x ax a x =--，可知()g x 在R 上为增函数，利用导数即可求出. 【详解】()()1212f x f x a x x ->-，且()sin f x x a x =-，()()11221112221212sin sin sin sin 0x a x x a x x ax a x x ax a x a x x x x --------∴-=>--，令()sin g x x ax a x =--，则1212()()0g x g x x x ->-对任意的实数1x ，()2,x ∈-∞+∞，且12x x ≠都成立，()g x ∴在R 上为增函数，即()1cos 0g x a a x '=--≥恒成立，整理得()1cos 1x a +≤，可知1cos 0x +≥ 当1cos 0x +=时，不等式成立，当1cos 0x +>时，11cos a x ≤+恒成立，又111cos 2x ≥+，12a ∴≤. 故选：B. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 9．ABC 【解析】 【分析】利用数列{}n a 满足的递推关系及135a =，依次取1,2,3,4n =代入计算2345,,,a a a a ，能得到数列{}n a 是周期为4的周期数列，得项的所有可能值，判断选项即得结果. 【详解】数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩，135a =，依次取1,2,3,4,...n =代入计算得，211215a a =-=，32225a a ==，43425a a ==，5413215a a a =-==，因此继续下去会循环，数列{}n a 是周期为4的周期数列，所有可能取值为：1234,,,5555. 故选：ABC. 【点睛】本题考查了数列的递推公式的应用和周期数列，属于基础题. 10．ABD 【解析】 【分析】分别判断充分性与必要性，即可得出选项ACD 的正误；根据全称命题的否定是特称命题，判断选项B 的正误． 【详解】 对于A ，()1110100a a a a a a -<⇔>⇔->⇔<或1a >，则“1a >”是“11a<”的充分不必要条件，故A 对；对于B ，全称命题的否定是特称命题，“任意x ∈R ，则210x x ++<”的否定是“存在x ∈R ，则210x x ++≥”，故B 对；对于C ，“2x ≥且2y ≥” ⇒ “224x y +≥”， “2x ≥且2y ≥” 是 “224x y +≥”的充分条件，故C 错；对于D ，00ab a ≠⇔≠且0b ≠，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，故D 对； 故选：ABD ． 【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查充分条件与必要条件的判断，考查不等式的性质与分式不等式的解法，属于易错的基础题． 11．ACD 【解析】 【分析】由3()g x ax bx =+是奇函数，()f x 的图像是()g x 的图像向上或向下平移得到的，可知A不可能；分别讨论0a >和0a <，根据0ac <，结合函数的图象，可知C 、D 不可能. 【详解】设3()g x ax bx =+，()g x 是奇函数，其图像关于原点对称，∵()()f x g x c =+，∴()f x 的图像是()g x 的图像向上或向下平移得到的，∴A 项不可能，符合题意； 由2()3f x ax b '=+，知当0a >，x →+∞时，()0f x '>，函数单调递增，又0ac <， ∴0c <，即(0)0f c =<，∴D 项不可能，符合题意；当0a <，x →+∞时，()0f x '<，函数单调递减，又0ac <，∴0c >， 即(0)0f c =>，∴C 项不可能，符合题意； 结合以上几种情况可判断B 可能，不符合题意. 故选：ACD. 【点睛】本题考查了三次函数图象的性质，考查了数形结合思想和逻辑推理能力，属于基础题目. 12．ACD 【解析】【分析】求出函数的导数，根据函数的单调性分别判断即可. 【详解】因为函数()ln f x x x =，定义域{}|0x x >， 所以()'ln 1f x x =+， 则()()'ln 1f x x g x x x+==，()2ln 'xg x x =-， 对于A ，()0g x >，即ln 10x x+>， ln 10x +>，即1x e>，故A 正确；对于B ，()2ln 'xg x x=-， 当()0,1x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增，故B 错误； 对于C ，若120x x >>时，总有()()()2212122m x x f x f x ->-恒成立， 则22111222ln ln 22m m x x x x x x ->-，在()0,∞+上恒成立， 即maxln (0)2m x x x ⎛⎫>> ⎪⎝⎭， 令()()ln 0x h x x x=>，则()21ln 'xh x x -=，令()'0h x =，解得x e =，故()h x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减， 故()()max 112h x h e e ==<，因为m 1≥，所以122m ≥，故m 1≥成立，C 正确对于D ，函数()()2F x f x ax =-有两个极值点，则()()''2F x f x ax =-有两个零点，即ln 120x ax +-=，则ln 12x a x +=， 令()ln 1x G x x+=，则()2ln 'x G x x =-，()G x 在()0,1递增，在()1,+∞单调递减，()11G =，即()20,1a ∈，10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，D 正确，. 故选：ACD. 【点睛】此题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于较难题. 13．26- 【解析】试题分析：设()53()8g x f x x ax bx =+=++，则()()g x g x -=-，所以函数()g x 为奇函数，由()210f -=，则()()22818g f -=-+=，则()218g =-，则()()22818g f =+=-，所以()226f =-．考点：函数奇偶性应用． 14．2-. 【解析】 【分析】由已知函数解析式，结合奇函数的定义可知()()f x f x -=-，代入即可求解. 【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且2log (1),0,()(),0,x x f x g x x +≥⎧=⎨<⎩所以2(7)(7)log 83f f -=-=-=-，则2[(7)](3)(3)(3)log 42g f g f f -=-=-=-=-=-. 故答案为：2- 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值问题，其中解答熟练应用函数的奇偶性，结合分段函数的分段条件是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 15．[13，38] 【解析】 【分析】根据命题p 、q 分别求出m 的范围，再根据p 是q 的充分不必要条件列出关于m 的不等式组，解不等式组即可 【详解】解：由227120(0)m am a a -+<>，则34a m a << 即命题:34p a m a <<由22112x y m m +=--表示焦点在y 轴上椭圆可得：210m m ->->，∴312m << 即命题3:12q m <<p 是q 的充分不必要条件从而有：31342a a ⎧⎪⎨⎪⎩∴1338a【点睛】本题考查充分条件、必要条件，一元二次不等式的解法，椭圆的定义等相关知识，要求对基础知识有比较好的把握．属简单题16．2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】 【分析】由已知可知2x =是0fx唯一的根，进而可转化为2e xk x-=在0x >时没有变号零点，构造函数()()2e 0xg x x x=>，结合导数及函数的性质可求．【详解】解：函数定义域0,，()()()2243e 2e 2e 2x x x kx x x x kf x k x x x+--'=-+=， 由题意可得，2x =是0fx 唯一的根，故20x e kx +=在0,上没有变号零点，即2e xk x-=在0x >时没有变号零点，令()2e xg x x =，0x >，则()()3e 2x x g x x-'=， 当2x >时，0g x，函数单调递增，当02x <<时，0g x，函数单调递减，故当2x =时，()g x 取得最小值()2e 24g =，故2e 4k -≤即2e 4k ≥-．故答案为：2e ,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．【点睛】本题考查根据极值点以及极值点个数求解参数范围，其中涉及到利用参变分离法求解参数范围，难度较难.参变分离法求解参数范围的主要过程：构造新函数，分析新函数的单调性以及值域从而求解出参数的范围. 17．答案不唯一,具体见解析 【解析】 【分析】（1）选①222b a c +=+,先用余弦定理求出角B ,根据三角形内角和为π可算出角C ,再由正弦定理求出a 边,最后用三角形的面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求面积即可. （2）选②,先用正弦定理的推论将cos sin a B b A =边化角,整理得角B ,根据三角形内角和为π可算出角C ,再由正弦定理求出a 边,最后用三角形的面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求面积即可. 【详解】解：（1）若选择①222b a c +=+,由余弦定理222cos 2a c b B ac +-===, 因为(0,)B π∈,所以4B π=;由正弦定理sin sin a b A B=,得sin sin sin 2b Aa Bπ===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以113sin 2244ABC S ab C ∆+===. （2）若选择②cos sin a B b A =, 则sin cos sin sin A B B A =, 因为sin 0A ≠,所以sin cos B B =, 因为(0,)B π∈,所以4B π=;由正弦定理sin sin a bA B=,得sin sin sin 2b Aa Bπ===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以11sin 22ABC S ab C ∆===（3）若选择③sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭,因为(0,)B π∈,所以5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭, 所以42B ππ+=,所以4B π=;由正弦定理sin sin a b A B=,得sin sin sin b Aa Bπ===因为3A π=,4B π=,所以53412C ππππ=--=,所以5sin sinsin sin cos cos sin 124646464C πππππππ⎛⎫==+=+=⎪⎝⎭,所以11sin 22ABC S ab C ∆===【点睛】本题考查用正弦、余弦定理解三角形,熟记公式是解题的关键.18．（1）()35f x x x =-+；（2）增区间为,3⎛-∞ ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭，减区间为33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．【解析】 【分析】（1）求出()f x 的导数，则=(1)k f '切，即可求出a ，求出切点，将点代入函数即可求出b ，继而得出解析式；（2）根据()f x 的导数的正负即可得出单调区间. 【详解】（1）由()3f x ax x b =-+，得()231f x ax '=-，所以()1312f a '=-=，所以1a =．把1x =代入230x y -+=，得切点为()1,5，所以()1115f b =-+=，得5b =， 所以()35f x x x =-+．（2）由（1）知，()231f x x '=-，令()2310f x x '=->，解得x >x <；令()2310f x x '=-<，解得x <<．所以()f x 的增区间为,3⎛-∞ ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭,+，减区间为,33⎛- ⎝⎭．【点睛】本题考查已知切线求参数，考查利用导数求函数的单调区间，属于基础题. 19．（1）见解析；（2）0.4 【解析】 【分析】(1)根据独立性检验求出()221406020402071.167 3.8418060100406K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，即得不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关．（2）利用古典概型求选到的两名观众都喜爱该演讲的概率． 【详解】（1）假设：观众性别与喜爱该演讲无关，由已知数据可求得，()221406020402071.167 3.8418060100406K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ ∴ 不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为观众性别与喜爱该演讲有关． （2）抽样比为616010=，样本中喜爱的观众有40×110=4名， 不喜爱的观众有6﹣4=2名．记喜爱该演讲的4名男性观众为a ，b ，c ，d ，不喜爱该演讲的2名男性观众为1，2，则 基本事件分别为：（a ，b ），（a ，c ），（a ，d ），（a ，1），（a ，2），（b ，c ），（b ，d ），（b ，1），（b ，2），（c ，d ），（c ，1），（c ，2），（d ，1），（d ，2），（1，2）． 其中选到的两名观众都喜爱该演讲的事件有6个， 故其概率为P （A ）=60.415= 【点睛】本题主要考查独立性检验和古典概型，意在考查学生对这些知识的理解能力，掌握水平和应用能力.20．（1）证明见解析（2 【解析】 【分析】（1）取AP 的中点E ，可证得四边形BCME 为平行四边形，从而得到//MC BE ，由线面平行判定定理可证得结论；（2）根据垂直关系可以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）如图，取AP 的中点E ，连接,BE EM .,E M 分别为,PA PD 的中点，1//2EM AD ∴， 又//BC AD 且2AD BC =，//EM BC ∴，∴四边形BCME 为平行四边形，//BE CM ∴，又CM ⊄平面PAB ，BE ⊂平面PAB ，//MC ∴平面PAB .（2）由题意知：,,PA AB AD 两两垂直，以A 为坐标原点，,,AB AD AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0A ，()0,2,0D，)C，0,1,2M ⎛ ⎝⎭，(P ， ()2,1,0AC ∴=，0,1,2AM ⎛= ⎝⎭，(AP =， 设平面MAC 的法向量(),,n x y z =， 则2020AC n x yAM n y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令y =，则1x =-，2z =-，()1,2,2n ∴=--. PA ⊥平面ABCD ，AP ∴为平面ACD 的一个法向量，cos ,2AP nAP n AP n ⋅∴<>===⋅， 二面角M AC D --为锐二面角，∴二面角M AC D --的余弦值为7. 【点睛】本题考查立体几何中线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题；考查学生的逻辑推理、运算和求解能力，属于常考题型.21．（1）x y c d =⋅适宜；（2）0.253.4710x y =⨯；（3）12千件产品．【解析】【分析】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜；（2）由x y c d =⋅，两边同时取常用对数得()lg lg lg lg x y c d c x d =⋅=+．设lg y v =，可得lg lg v c x d =+，根据表格数据、参考数据和参考公式求出y 关于x 的回归方程； （3）生产总成本=非原料总成本+原料总成本.写出生产总成本为()g x 的解析式，根据()g x 的单调性，可求产品数量x 的最大值.【详解】（1）根据散点图判断，x y c d =⋅适宜作为非原料总成本y 关于生产该产品的数量x 的回归方程类型．（2）由x y c d =⋅，两边同时取常用对数得()lg lg lg lg x y c d c x d =⋅=+．设lg y v =，∴lg lg v c x d =+，∵7214, 1.54,140i i x v x ====∑，∴7172221750.1274 1.547lg 0.2514074287i ii i i x v xv d xx ==--⨯⨯====-⨯-∑∑． 把(4,1.54)代入lg lg v c x d =+，得lg 0.54c =，∴ˆ0.540.25vx =+，∴ˆlg 0.540.25y x =+， ∴0.540.250.25ˆ10 3.4710x x y +⨯==，即y 关于x 的回归方程为0.25ˆ 3.4710x y =⨯．（3）设生产了x 千件该产品.则生产总成本为0.25() 3.4710101000x g x x =⨯+⨯⨯． 又0.25() 3.471010000x g x x =⨯+在其定义域内单调递增，且3(12) 3.4710120000123470g =⨯+=，故最多能生产12千件产品．【点睛】本题考查非线性回归方程的求法，属于较难的题目.22．（Ⅰ）；（i ）98y x =-；（ii ）单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）（i ）把6k =代入函数解析式，求导，即可根据切点和斜率写出切线方程.（ii ）根据（i ）写出函数323()6ln 3g x x x x x=+-+()0x > ，求导判断函数的单调性和极值即可. （Ⅱ）欲证()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-，即证 ()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以把3()ln f x x k x =+及其导数代入并化简，再利用（i ）（ii ）中的结论即可.【详解】（Ⅰ）（i ）当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+． 可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-．（ii ）依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x=-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x '=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x '-+=． 令()0g x '>，解得1x >，令()0g x '<，解得01x <<，所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3k f x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--⎡⎤⎣⎦()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭，① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x=--∈+∞． 当1x >时，22121()110h x x x x '⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭， 由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0t t t-->，因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-， 所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-． ② 由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故32336ln 10t t t t-++->，③ 由①②③可得()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-． 【点睛】本题考查了利用导数求切线方程，求函数的单调区间和极值，以及不等式恒成立问题，属于较难题.。
2021年高三上学期期初数学试卷(文科)含解析
2021年高三上学期期初数学试卷（文科）含解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的口号内（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|x2≥1}，则M∩N=（）A．[0，1] B．[1，2] C．[0，2] D．[﹣1，1]2．函数y=的定义域是（）A．[﹣，﹣1）∪（1，] B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）3．已知Sn 是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A．B．5 C．7 D．94．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）5．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}6．设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）A． B． C．0 D．﹣7．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A． B． C． D．108．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2丨丨，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．9．函数f（x）=2sinωx在区间上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．10．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）二、填空题：请把答案写在题中横线上（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．12．函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．13．在△ABC中，，则=．14．已知各项皆为正数的等比数列{a n}（n∈N*），满足a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n使得=4a1，则+的最小值为．15．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共6个大题，共75分）16．已知函数，其图象过点（，）．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g （x）若A是锐角△ABC的最小内角，求g（A）的值域．17．已知向量=（sin x，sinx），=（sinx，﹣cosx），设函数，若函数g（x）=﹣f（﹣x）．（Ⅰ）求函数g（x）在区间[﹣，]上的最大值，并求出此时x的取值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（﹣）+g（+）=﹣，b+c=7，bc=8，求边a的长．18．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（Ⅰ）若存在实数x，f（x）＜0成立，求m的取值范围；（Ⅱ）若对于x∈[1，4]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．19．已知等差数列{a n}的公差大于零，且a2、a4是方程x2﹣18x+65=0的两个根；各项均为正数的等比数列{b n}的前n项和为S n，且满足b3=a3，S3=13．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n=，求数列的前项和T n．20．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间及在[2，4]上的最值．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．xx学年山东省青岛九中高三（上）期初数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的口号内（本大题共10个小题，每小题5分，共50分）1．集合M={x|x2﹣2x≤0}，N={x|x2≥1}，则M∩N=（）A．[0，1]B．[1，2]C．[0，2]D．[﹣1，1]【考点】交集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合M，N，然后直接利用交集运算求解．【解答】解：由M={x|x2﹣2x≤0}=[0，2]，N={x|x2≥1}=（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞），得M∩N=[1，2]．故选：B．2．函数y=的定义域是（）A．[﹣，﹣1）∪（1，]B．（﹣，﹣1）∪（1，）C．[﹣2，﹣1）∪（1，2] D．（﹣2，﹣1）∪（1，2）【考点】函数的定义域及其求法；对数的运算性质．【分析】由函数表达式知，被开方数大于或等于0，故对数的真数大于0且对数值小于或等于1，x2﹣1＞0，且x2﹣1≤1；解可得答案．【解答】解：﹣≤x＜﹣1或1＜x≤．∴y=的定义域为[﹣，﹣1）∪（1，]．答案：A3．已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=（）A． B．5 C．7 D．9【考点】等差数列的前n项和．【分析】由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3．再利用等差数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质，a1+a3+a5=3=3a3，解得a3=1．则S5==5a3=5．故选：B．4．已知函数f（x）=，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）是增函数C．f（x）是周期函数D．f（x）的值域为[﹣1，+∞）【考点】余弦函数的单调性．【分析】由三角函数和二次函数的性质，分别对各个选项判断即可．【解答】解：由解析式可知当x≤0时，f（x）=cosx为周期函数，当x＞0时，f（x）=x2+1，为二次函数的一部分，故f（x）不是单调函数，不是周期函数，也不具备奇偶性，故可排除A、B、C，对于D，当x≤0时，函数的值域为[﹣1，1]，当x＞0时，函数的值域为（1，+∞），故函数f（x）的值域为[﹣1，+∞），故正确．故选：D5．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1或x＞}，则f（10x）＞0的解集为（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2}D．{x|x＜﹣lg2}【考点】其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．【分析】由题意可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的单调性可得解集．【解答】解：由题意可知f（x）＞0的解集为{x|﹣1＜x＜}，故可得f（10x）＞0等价于﹣1＜10x＜，由指数函数的值域为（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化为10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指数函数的单调性可知：x＜﹣lg2故选：D6．设函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，则f（）=（）A． B． C．0 D．﹣【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】利用已知条件，逐步求解表达式的值即可．【解答】解：∵函数f（x）（x∈R）满足f（x+π）=f（x）+sinx．当0≤x＜π时，f（x）=0，∴f（）=f（）=f（）+sin=f（）+sin+sin=f（）+sin+sin+sin=sin+sin+sin==．故选：A．7．设x，y∈R，向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则|+|=（）A． B． C． D．10【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的模；平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】由两个向量垂直的性质可得2x﹣4=0，由两个向量共线的性质可得﹣4﹣2y=0，由此求出x=2，y=﹣2，以及的坐标，从而求得||的值．【解答】解：∵向量=（x，1），=（1，y），=（2，﹣4）且⊥，∥，则有2x﹣4=0，﹣4﹣2y=0，解得x=2，y=﹣2，故=（3，﹣1 ）．故有||==，故选B．8．若两个非零向量，满足|+|=|﹣|=2丨丨，则向量与的夹角为（）A． B． C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】设||=1，则|+|+|﹣|=2，故以、为邻边的平行四边形是矩形．设向量与的夹角为θ，则由cosθ==求得θ的值．【解答】解：设||=1，则|+|=|﹣|=2，故以、为邻边的平行四边形是矩形，且||=．设向量与的夹角为θ，则cosθ==，∴θ=，故选B．9．函数f（x）=2sinωx在区间上的最小值为﹣2，则ω的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据正弦函数图象及性质对ω＞0，ω＜0讨论即可得到答案．【解答】解：当ω＞0时，x∈，那么ωx∈[，]，由题意：解得：ω≥2．当ω＜0时，ωx∈[，﹣]，由题意：解得：ω≤所以：ω的取值范围是（]∪[2，+∞）故选B．10．已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则实数a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣2）【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】由题意可得f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可．【解答】解：∵f（x）=ax3﹣3x2+1，∴f′（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2），f（0）=1；①当a=0时，f（x）=﹣3x2+1有两个零点，不成立；②当a＞0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上有零点，故不成立；③当a＜0时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（0，+∞）上有且只有一个零点；故f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上没有零点；而当x=时，f（x）=ax3﹣3x2+1在（﹣∞，0）上取得最小值；故f（）=﹣3•+1＞0；故a＜﹣2；综上所述，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）；故选：D．二、填空题：请把答案写在题中横线上（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b+c=2a，3sinA=5sinB，则角C=．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由3sinA=5sinB，根据正弦定理，可得3a=5b，再利用余弦定理，即可求得C．【解答】解：∵3sinA=5sinB，∴由正弦定理，可得3a=5b，∴a=∵b+c=2a，∴c=∴cosC==﹣∵C∈（0，π）∴C=故答案为：12．函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．13．在△ABC中，，则=．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，可得三角形为正三角形，从而代入即可求值得解．【解答】解：在△ABC中，∵=bcsinA=，∴可得：c=2，∴由余弦定理可得：a===2，可得：A=B=C=60°，∴===．故答案为：．14．已知各项皆为正数的等比数列{a n}（n∈N*），满足a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n使得=4a1，则+的最小值为．【考点】基本不等式在最值问题中的应用；等比数列的通项公式．【分析】利用等比数列的通项公式可得m+n=6，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设各项皆为正数的等比数列{a n}的公比为q＞0（n∈N*），∵a7=a6+2a5，∴=a5q+2a5，化为q2﹣q﹣2=0，解得q=2．∵存在两项a m、a n使得，∴=4a1，∴2m+n﹣2=24，∴m+n=6．则==≥=，当且仅当n=2m=4时取等号．∴的最小值为．故答案为：．15．若函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）满足f（1+x）=f（1﹣x），且f（x）在[m，+∞）上单调递增，则实数m的最小值等于1．【考点】指数函数单调性的应用．【分析】根据式子f（1+x）=f（1﹣x），对称f（x）关于x=1对称，利用指数函数的性质得出：函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R），x=a为对称轴，在[1，+∞）上单调递增，即可判断m的最小值．【解答】解：∵f（1+x）=f（1﹣x），∴f（x）关于x=1对称，∵函数f（x）=2|x﹣a|（a∈R）x=a为对称轴，∴a=1，∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，∵f（x）在[m，+∞）上单调递增，∴m的最小值为1．故答案为：1．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（共6个大题，共75分）16．已知函数，其图象过点（，）．（Ⅰ）求φ的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g （x）若A是锐角△ABC的最小内角，求g（A）的值域．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】（Ⅰ）由条件利用f（x）的图象过点（，），求得φ的值．（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（A）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得g（A）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵函数的其图象过点（，），∴sinφ+cosφ﹣cosφ=，即sin（φ+）=，∴sin（φ+）=1，∴φ=，f（x）=sin2x+﹣=sin（2x+）．（Ⅱ）将函数y=f（x）=sin（2x+）的图象上个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=sin（4x+）的图象，若A是锐角△ABC的最小内角，则A∈∈（0，），∴4A+∈（，），∴sin（4A+）∈（﹣1，1]，∴g（A）∈（﹣4，4]，即g（A）的值域为（﹣4，4]．17．已知向量=（sin x，sinx），=（sinx，﹣cosx），设函数，若函数g（x）=﹣f（﹣x）．（Ⅰ）求函数g（x）在区间[﹣，]上的最大值，并求出此时x的取值；（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若f（﹣）+g（+）=﹣，b+c=7，bc=8，求边a的长．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（I）求出函数f（x）的解析式，并利用辅助角（和差角）公式化为正弦型函数，进而可得函数g（x）的解析式，进而可得函数g（x）在区间[﹣，]上的最大值，及最大值点；（Ⅱ）根据f（﹣）+g（+）=﹣，b+c=7，bc=8，解三角形，可得边a的长．【解答】解：（Ⅰ）∵向量=（sin x，sinx），=（sinx，﹣cosx），∴函数=sin2x﹣sinxcosx=﹣cos2x﹣sin2x=﹣sin（2x+），∴g（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣sin（﹣2x+）]=sin（2x+）﹣，当x∈[﹣，]时，2x+∈[，]，故当2x+=，即x=﹣时，函数取最大值；（Ⅱ）∵f（﹣）+g（+）=﹣sin[2（﹣）+）]+sin[2（+）+]﹣=﹣2sinA=﹣，∴sinA=，则cosA=，∵b+c=7，bc=8，∴当cosA=时，a2=b2+c2+bc=（b+c）2﹣bc=41，此时a=，当cosA=时，a2=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=25，此时a=5．18．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1（Ⅰ）若存在实数x，f（x）＜0成立，求m的取值范围；（Ⅱ）若对于x∈[1，4]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）问题是关于存在性问题，要注意对二次项次数的讨论，是二次不等式问题要注意二次不等式与二次函数之间的互相转化；（Ⅱ）函数在区间上恒成立问题，要转化为函数在给定区间上的最值问题，通过求解函数的最值，列出关于实数m的不等式，达到求解该题的目的．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=2mx﹣m=m（2x﹣1），m＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：x＜，∴f（x）在（﹣∞，）递减，在（，+∞）递增，若存在实数x，f（x）＜0成立，则只需f（x）min=f（）=﹣m﹣1＜0，显然成立，m＜0时，f（x）开口向下，满足题意，m=0时，f（x）=﹣1，满足题意，综上，m∈R；（Ⅱ）当m=0时，f（x）=﹣1＜0显然恒成立；当m≠0时，该函数的对称轴是x=，f（x）在x∈[1，4]上是单调函数．当m＞0时，由于f（1）=﹣1＜0，要使f（x）＜0在x∈[1，4]上恒成立，只要f（4）＜0即可．即16m﹣4m﹣1＜0得m＜，即0＜m＜；当m＜0时，若△＜0，由（1）知显然成立，此时﹣4＜m＜0；若△≥0，则m≤﹣4，由于函数f（x）＜0在x∈[1，4]上恒成立，只要f（1）＜0即可，此时f（1）=﹣1＜0显然成立，综上可知：m＜．19．已知等差数列{a n}的公差大于零，且a2、a4是方程x2﹣18x+65=0的两个根；各项均为正数的等比数列{b n}的前n项和为S n，且满足b3=a3，S3=13．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）若数列{c n}满足c n=，求数列的前项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差d＞0，依题意知a2+a4=18，a2•a4=65，可求得a2=5，与d=4，从而可得数列{a n}的通项公式；同理，可求得等比数列{b n}的通项公式；（2）由于数列{c n}满足c n=，分n≤6与n＞6讨论，分别利用等差数列与等比数列的求和公式即可求得数列{c n}的前项和T n．【解答】解：（1）依题意等差数列{a n}的公差d＞0，且a2+a4=18，a2•a4=65，解得：a4=13，a2=5，由a4=a2+2d得：d=4，∴a n=a2+（n﹣2）×4=4n﹣3．∴a3=9，依题意，公比为q（q＞0）的等比数列{b n}中，b3=a3=9，S3=b1+b2+9=13，即，解得：b1=1，q=3，故b n=3n﹣1．（2）∵c n=，数列{c n}的前项和为T n，∴当n≤6时，T n=a1+a2+…+a n==2n2﹣n；当n＞6时，T n=（a1+a2+…+a6）+（S n﹣S6）=（2×62﹣6）+（﹣）=66+（﹣）=﹣．∴T n=．20．已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x．（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；（2）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）的单调区间及在[2，4]上的最值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）对函数f（x）=x3﹣ax2﹣3x进行求导，转化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，求出参数a的取值范围；（2）先求导，再根据f′（3）=0，求得a=5，再根据导数求出函数极值，和端点值，求出最值即可．【解答】解：（1）y=3x2﹣2ax﹣3，∵f（x）在[1，+∞）上是增函数，∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，即3x2﹣2ax﹣3≥0在[1，+∞）上恒成立．则必有≤1且f′（1）=﹣2a≥0，∴a≤0；实数a的取值范围是（﹣∞，0]．（2）∵f（x）=x3﹣ax2+3x．∴f′（x）=3x2﹣2ax+3．由题意有f′（3）=0，解得a=5，故f（x）=x3﹣5x2+3x，∴f′（x）=3x2﹣10x+3．令f′（x）=0，解得x=3∈[2，4]，x= （舍去），易知f（x）在区间[2，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，而f（2）=﹣6，f（4）=﹣4，f（3）=﹣9，故f（x）在区间[2，4]上的最大值为﹣4，最小值为﹣9．21．设函数f（x）=lnx+a（1﹣x）．（Ⅰ）讨论：f（x）的单调性；（Ⅱ）当f（x）有最大值，且最大值大于2a﹣2时，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；（2）先求出函数的最大值，再构造函数（a）=lna+a﹣1，根据函数的单调性即可求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=lnx+a（1﹣x）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣a=，若a≤0，则f′（x）＞0，∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则当x∈（0，）时，f′（x）＞0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，（Ⅱ），由（Ⅰ）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上无最大值；当a＞0时，f（x）在x=取得最大值，最大值为f（）=﹣lna+a﹣1，∵f（）＞2a﹣2，∴lna+a﹣1＜0，令g（a）=lna+a﹣1，∵g（a）在（0，+∞）单调递增，g（1）=0，∴当0＜a＜1时，g（a）＜0，当a＞1时，g（a）＞0，∴a的取值范围为（0，1）．xx年12月8日; 28019 6D73 浳:\?P22745 58D9 壙c25509 63A5 接28103 6DC7 淇34801 87F1 蟱37926 9426 鐦p。
2020-2021学年高三数学(文科)学业水平考试试题及答案解析
绝密★启用前最新度高中三年级学业水平考试数学(文科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}A x x x =-≤，{0,1,2,3}B =，则A B =I(A) {12}， (B) {012}，， (C) {1} (D){123}，， 2．已知复数z 满足(21)2z i +=，则z = (A)12i --(B) 12i -+ (C) 12i --(D)12i - 3．已知向量(1,2),(1,1)a b =-=-r r ，则()a b a -⋅=r r r(A) 8 (B)5 (C) 4 (D)4- 4．若方程()20f x -=在区间(0,)+∞有解，则函数()y f x =的图象可能是5．在等差数列{}n a 中，已知35710132,9,a a a a a +=++=则此数列的公差为(A)31 (B)3 (C)12 (D)166．利用计算机在区间 (0,1)上产生随机数a ，则不等式ln(31)0a -<成立的概率是 (A)12(B)23(C)31 (D)147．抛物线28y x =的焦点到双曲线2213y x -=的渐近线的距离是 (A) 12 (B)32 (C) 1 (D) 38．函数22()cos ()cos ()44f x x x ππ=--+的最大值和最小正周期分别为(A)1,2π(B)1,π(C)1,22π(D)1,2π9．某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年20%的速度折旧，图1是描 述汽车价值变化的算法流程图，则当4n =时，最后输出的S 为 (A)9.6(B)7.68(C)6.144(D)4.915210．已知棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1 D 1在一半球底面上，且A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为(A) (B)(C)(D)11．已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若20FP FQ +=u u u r u u u r r，则||QF =(A)3 (B)4 (C)6 (D)812．若关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解,则实数m 的取值范围为(A)4m >或4m <-(B)45m <<(C)48m <<(D)5m >或4m =第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题:第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题:第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题i =1输入S =15否i =i +1开始结束输出Si >n ？S ＝S (1-20%)是图1x时间（分钟）0.003608040201000.002频率/组距0.025图4卡相应的横线上．13． 已知121(),(,1);4()log ,[1,).xx f x x x ⎧∈-∞⎪⎪=⎨⎪∈+∞⎪⎩，则((2))f f -=．14．设变量x ，y 满足约束条件222y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则3z x y =-的最小值为．15．如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截 去部分的几何体的表面积为．16．数列{}n a 的通项公式(1)2cos()n nn a n n π=-⋅+⋅，其前n 项和为n S ，则10S 等于.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 3sin cos c A a C =. （I ）求C 的值；（II ）若7c a =，23b =ABC ∆的面积． 18．（本小题满分12分）某中学随机抽取50名高一学生调查其每天运动的时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图3），其中运动的时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0,20),[20,40),[40,60),[60,80),[80,100].（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）定义运动的时间不少于1小时的学生称为“热爱运动”， 若该校有高一学生1200人，请估计有多少学生“热爱运动”； （Ⅲ）设,m n 表示在抽取的50人中某两位同学每天运动的图3图3B 1C 1A 1DCBA图4OEBD CPA时间，且已知,[40,60)[80,100]m n ∈⋃，求事件“||20m n ->”的概率. 19．（本小题满分12分）如图4，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的 等边三角形，D 为AB 中点．(Ⅰ)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)若四边形CB B 1C 1是正方形，且15,A D =求多面体11CAC BD 的体积. 20. （本小题满分12分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在y 轴上，且长轴的长为4，离心率等于22. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 在第一象限的一点P 的横坐标为1，过点P 作倾斜角互补的两条不同的直线PA ，PB 分别交椭圆C 于另外两点A ，B ，求证：直线AB 的斜率为定值． 21．（本小题满分12分）已知函数(1)()ln ,b x f x a x x+=+ 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 2.y = （Ⅰ）求a 、b 的值；（Ⅱ）当0x >且1x ≠时，求证：(1)ln ().1x xf x x +>-22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图5，四边形ABCD 内接于，过点A 作的切线EP 交CB的延长线于P ，已知025PAB ∠=．（I ）若BC 是⊙O 的直径，求D ∠的大小； (II ）若025DAE ∠=，求证：2DA DC BP =⋅． 23．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为2cos 324sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程是4ρ=． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标系方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求AOB ∠的值. 24．（本小题满分10分）选修4-5不等式选讲图4图5已知函数()|2|f x x =-.（Ⅰ）解不等式()(1)2f x f x ++≤； （Ⅱ）若0a <,求证：()()(2).f ax af x f a -≥数学(文科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：BCADAC DBCACD 解析：9.依题意知，设汽车x 年后的价值为S ,则15(120%)xS =-，结合程序框图易得当4n =时，415(120%) 6.144S =-=．10. 设半球的半径为r ，依题意可得 2222(2)r +=，解得6r =所以此半球的体积为32463r ππ=.11. 如右图，根据已知条件结合抛物线的定义易得：|'|||2|'|||3FF PF QQ PQ ==|'|6QQ ⇒=.12. 令sin ,x u =则(0,1]u ∈，关于x 的方程24sin sin 10x m x -+=在(0,)π内有两个不同的实数解等价于方程2()410f u u mu =-+=在(0,1]上有唯一解2160,0.8m m ⎧∆=-=⎪⇔⎨>⎪⎩或(1)50f m =-<，解得4m =或5m >.[或方程2()410f u u mu =-+=在(0,1]上有唯一解等价于直线y m =与关于u 的函数14y u u=+，(0,1]u ∈图象有唯一交点，结合图象易得．二、填空题：13.4-；14. -8；15.54183+16.687．解析：15.依题意知该几何体如右图示：则被截去部分的几何体的表面积为x=-2y 2=8xyxOF 'Q 'F (2,0)QP22365424⨯+⨯=+16.21010(2)(2)(2)S =-+-++-L cos 2cos210cos10πππ++++L 102[1(2)]5687.1(2)---=+=--三、解答题： 17．解：（I ）∵A 、C 为ABC ∆的内角，sin cos A a C =知sin 0,cos 0A C ≠≠，结合正弦定理可得：sin cos sin A a AC c C==------------------------------------------------------------3分⇒tan 3C =,-----------------------------------------------------------------4分 ∵0C π<< ∴6C π=.--------------------------------------------------------5分（II ）解法1：∵c =，b =由余弦定理得：227122a a =+-⨯，----------------------------------------7分 整理得： 220a a +-= 解得：1a =或2a =-（不合舍去）--------------------------9分 ∴1a =，由1sin 2ABC S ab C ∆=得ABC ∆的面积11122ABC S ∆=⨯⨯=．--------------------------------------12分【解法2：由c =结合正弦定理得：sin14A C ==，---------------------6分∵a c <， ∴A C <, ∴cos 14A ==,-----------------------------7分 ∴sin sin[()]sin()B A C A C π=-+=+D 1B 1C 1A 1DC B AEB 1C 1A 1D CBA sin cos cos sin A C A C =+=11421427+=----------------------------9分 由正弦定理得：sin 1sin b Aa B==，-------------------------------------------------10分 ∴ABC ∆的面积111222ABC S ∆=⨯⨯=．------------------------------------12分】 18.解：（1）由20(0.0020.00320.025)1x ⨯+⨯++=得0.017x =；-------------------2分（Ⅱ）运动时间不少于1小时的频率为20(0.0020.003)0.1⨯+=，--------------------3分 不少于1小时的频数为12000.1120⨯=，所以该校估计“热爱运动”的学生有120人；------5分（Ⅲ）由直方图知，成绩在[40,60)的人数为50200.0033⨯⨯=人，设为,,A B C ；------6分 成绩在[80,100] 的人数为50200.0022⨯⨯=人，设为,x y .---------------------------7分 若,[40,60)m n ∈时，有,,AB AC BC 三种情况；若,[80,100]m n ∈时，只有xy 一种情况；-------------------------------------------8分 若,m n 分别在[40,60),[80,100]内时，则有,,,,,Ax Ay Bx By Cx Cy 共有6种情况.所以基本事件总数为10种，------------------------------------------------------------------10分 事件“||20m n ->”所包含的基本事件个数有6种. ∴P （||20m n ->）=63.105=----------------------------------------------------12分 19.（I)证法1：连结AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点E ，连接DE ， 则E 为AC 1中点，-------------------------------2分 ∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1，------------------4分 ∵BC 1Ë平面A 1CD ，DE Ì平面A 1CD ，------------5分 ∴BC 1∥平面A 1CD . -----------------------------6分 【证法2：取11A B 中点1D ，连结1BD 和11C D ，-----1分 ∵BD 平行且等于11A D ∴四边形BD 11A D 为平行四边形 ∴11//A D BD -----------------------------------2分 ∵1A D ⊂平面1A CD ，1BD ⊄平面1A CD∴1//BD 平面1A CD ,------------------------------3分 同理可得11//C D 平面1A CD ------------------------4分 ∵1111BD C D D =I ∴平面1A CD //平面11BD C 又∵1BC ⊂平面11BD C∴BC 1∥平面A 1CD. -------------------------------6分】(Ⅱ) 222115AD +A A =A D Q =1,A A AD \^-------------------------------------7分又111,//B B BC B B A A ^1A A BC \^，EH B 1C 1A 1DCB A又AD BC B =I 1A A \^面ABC -------------------------------------------9分（法一）∴所求多面体的体积V =1111111ABC A B C A ACD B A B C V V V ----------------------------10分111111133ABC ACD A B C AA S AA S BB S ∆∆∆=⨯-⋅⨯-⋅⨯112ABC AA S ∆=⋅⨯2112222=⋅⋅= 即所求多面体11CAC BD分【（法二）过点1A 作111A H B C ⊥于H ，∵平面11BB C C ⊥平面111A B C 且平面11BB C C I 平面111A B C 11B C =∴1A H ⊥平面11BB C C ,----------------------------------------------------------10分 ∴所求多面体的体积V =1111A ACD A A CC V V --+1111133BCD BCC S AA S A H ∆∆=⋅+⋅111142432432=⨯⨯⨯+⨯⨯=.------------------------------------------12分】 20.解：（Ⅰ）设椭圆的方程为22221(0)y x a b a b+=>>--------------------------------1分由题意22224a b c a c a ⎧⎪=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2,a b ==-----------------------------------------4分所以，椭圆的方程为22142y x +=．-------------------------------------------------5分 （Ⅱ）由椭圆的方程22142y x +=，得P ．-------------------------------------6分 由题意知，两直线PAPA 的斜率为k ， 则PA 的直线方程为(1)y k x -=-．--------------------------------------------7分由22(1)124y k x xy ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩得：222(2)2))40k x k k x k ++-+--=．-------------8分(1)ln ()1x xf x x +>-设A (x A , y A )，B (x B , y B )，则22212A A k x x k --=⋅=+，-------------------------------9分同理可得2222B k x k+-=+----------------------------------------------------10分则B A x x -=，28(1)(1)2B A B Aky y k x k x k -=----=+． 所以直线AB的斜率A BAB A By y k x x -==-----------------------------------12分21.解：（Ⅰ）∵2(),a bf x x x'=-----------------------------------------------------1分 由直线2y =的斜率为0，且过点(1,2)得(1)2,1(1),2f f =⎧⎪⎨'=⎪⎩即1,0,b a b =⎧⎨-=⎩------------------------------------------------------3分 解得1, 1.a b ==-----------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）当1x >时，不等式(1)ln 1()2ln 0.1x x f x x x x x +>⇔-->---------------------------6分当01x <<时，不等式(1)ln 1()2ln 0.1x x f x x x x x+>⇔--<------------------------------7分 令22211221()2ln ,()1,x x g x x x g x x x x x -+'=--=+-=∴当0x >时，()0,g x '≥ 所以函数()g x 在(0,)+∞单调递增，------------------------9分当1x >时，()(1)0,g x g >=故(1)ln ()1x xf x x +>-成立------------------------------10分当01x <<时，()(1)0,g x g <=故(1)ln ()1x xf x x +>-也成立-------------------------11分所以当0x >且1x ≠时，不等式 总成立----------------------------12分 22.解：（I ）Q EP 与⊙O 相切于点A ，025ACB PAB ∴∠=∠=，-----------------------1分 又BC 是⊙O 的直径，065ABC ∴∠=----------------------------------------------3分Q 四边形ABCD 内接一于⊙O ，0180ABC D ∴∠+∠=0115.D ∴∠=-------------------------------------------------------------------5分（II ）025,DAE ∠=Q ,,ACD PAB D PBA ∴∠=∠∠=∠.ADC PBA ∴∆∆:---------------------------------------------------------------7分 .DA DC BP BA∴=-------------------------------------------------------------------8分 又,DA BA =2.DA DC BP ∴=⋅--------------------------------------------------10分23.解：（I ）直线l 40y +-=，------------------------------------2分 曲线C 的直角坐标系方程为2216.x y +=--------------------------------------------4分（II ）⊙C 的圆心（0，0）到直线40l y +-=的距离2,d ==------------------------------------------------------------6分∴121cos,242AOB ∠== --------------------------------------------------------8分 ∵10,22AOB π<∠<1,23AOB π∴∠=故23AOB π∠=．-----------------------------------------------10分 24.解：（I ）由题意，得()(1)|1||2|f x f x x x ++=-+-，因此只须解不等式|1||2|2x x -+-≤---------------------------------------------1分当x ≤1时，原不式等价于-2x+3≤2，即112x ≤≤；------------------------------------2分 当12x <≤时，原不式等价于1≤2，即12x <≤；------------------------------------3分当x>2时，原不式等价于2x-3≤2，即522x <≤.--------------------------------------4分综上,原不等式的解集为15|22x x ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. -------------------------------------------5 分 （II ）由题意得()()22f ax af x ax a x -=---------------------------------------6分&知识就是力量& =2222ax a ax ax a ax -+-≥-+----------------------------------------------8分 22(2).a f a =-=--------------------------------------------------------------9分所以()()(2)f ax af x f a -≥成立．------------------------------------------------10分。
2021届高三上学期期中考试数学(文科)试卷(附答案)
2020—2021学年度上学期期中考试高三数学（文科）试卷考试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合||32M x x =-<<∣，1|42xN x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则（ ）A ．(2,2)M N ⋂=-B ．(3,2)M N ⋂=-C ．[2,)M N ⋃=-+∞D ．()3,M N ⋃=-+∞ 2. 设iiz +-=11，则z = （ ） A.2B.3C.2D.13. 某口罩生产工厂为了了解口罩的质量，现将生产的50个口罩编号为01，02，…，50，利用如下随机数表从中抽取10个进行检测.若从下表中第1行第7列的数字开始向右依次读取2个数据作为1个编号，则被抽取的第8个个体的编号为（ ）A ．18B ．17C ．11D ．504．函数sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于直线4x π=对称C ．关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D ．关于直线3x π=对称5．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示.若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的x =（ ） A ．35 B ．911 C ．2123 D ．45476．已知实数,x y 满足不等式组2034802x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ） （第5题图） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ） A ．4 B ．22C ．7D ．28．已知(),0,a b ∈+∞，且不等式226a b m m +≤-+对任意[]2,3m ∈恒成立，则11a b +++的最大值为（ ） （第7题图）A ．2B ．22C ．4D ．429.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中．“n 阶幻方()*3,n n ≥∈N ”是由前2n 个正整数组成的—个n 阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的n 个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）．则“5阶幻方”的幻和为（ ） （第9题图） A ．75B ．65C ．55D ．4510．函数||4x e y x=的图象可能是（ ）A B C D11．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为（ ）A . 7 B. 8C. 9D. 1012．已知函数()()11332cos 1x x x f x --+=+--，则()()0.52310.5log 9log 2f f f -⎛⎫ ⎪⎝⎭、、的大小关系（ ） A . ()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭ B.)9(log )5.0()21(log 25.03f f f >>- C.)9(log )21(log )5.0(235.0f f f >>- D.)21(log )5.0()9(log 35.02f f f >>-第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2163S =，则31119a a a ++=14．设平面上向量(cos ,sin ),(0)a αααπ=≤<，1,22b ⎛=- ⎝⎭，若||3|b a b +=-，则角α的大小为15．已知定义在R 上的函数()y f x =对任意x 都满足()()1f x f x +=-，且当01x ≤<时，()f x x =，则函数()()ln ||g x f x x =-的零点个数为16. 在四面体ABCD 中，若AB CD ==2==AC BD ，AD BC ==ABCD 的外接球的表面积为三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做第一个题目计分.）17. (本小题满分12分)在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且2cos 2c B a b =+. (1)求角C ;(2)若ABC 的面积为3S c =,求ab 的最小值.18. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()12n n n c a a =+，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T .19．(本小题满分12分)2020年寒假，因为“新冠”疫情全体学生只能在家进行网上学习，为了研究学生网上学习的情况，某学校随机抽取100名学生对线上教学进行调查，其中男生与女生的人数之比为9:11，抽取的学生中男生有30人对线上教学满意，女生中有10名表示对线上教学不满意.（1）完成22⨯列联表，并回答能否有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）从被调查的对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生，再在这5名学生中抽取2名学生，作线上学习的经验介绍，求其中抽取一名男生与一名女生的概率. 附：.))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=20．(本小题满分12分) 如图，矩形ABCD 中，3AB =，1BC =，E 、F 是边DC 的三等分点.现将DAE ∆、CBF ∆分别沿AE 、BF 折起，使得平面DAE 、平面CBF 均与平面ABFE 垂直.（1）若G 为线段AB 上一点，且1AG =，求证：//DG 平面CBF ； （2）求多面体CDABFE 的体积.21. （本小题满分12分）已知函数()()2122x t f x x e x x =---，()2x g x e t x=--. （1）求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 有两个极值点1x ，()212x x x <且()15102f x e +-<，求证：12t e>+.22.（本小题满分10分）（选修4—4：极坐标与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线22:4cos 2sin 40C ρρθρθ+-+=. （1）写出曲线1C ，2C 的普通方程； （2）过曲线1C 的左焦点且倾斜角为4π的直线l 交曲线2C 于A ，B 两点，求AB . 23.（本小题满分10分）（选修4-5：不等式选讲） 已知函数()23f x x x a =-++. （1）当1a =时，解不等式()5f x ≥；（2）若存在0x 满足()00223f x x +-<，求实数a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【答案】D 2. 【答案】D 3. 【答案】B 4. 【答案】A 5. 【答案】C1i =时，21x x =-；2i =时，()221143x x x =--=-；3i =时，()243187x x x =--=-；4i =时，退出循环.此时，1873x x -=，解得2123x =.故选C6．【答案】D 【解析】如图由2z x y =-，令0z =，则目标函数的一条等值线为20x y -=当该等值线经过点()2,0A 时，目标函数有最大值 所以max 2204z =⨯-= 故选：D 7．【答案】B 【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥11P DCC D -，底面11DCC D 是边长为2的正方形，侧面11PC D ∆是边长为2的正三角形，且侧面11PC D ⊥底面11DCC D ．根据图形可得四棱锥中的最长棱为1PC 和1PD ，结合所给数据可得11PC PD ==，所以该四棱锥的最长棱为．故选B ． 8．【答案】C 【解析】由题意不等式226a b m m +≤-+对任意[]2,3m ∈恒成立又()[]2226=156,9m m m -+-+∈∴a +b ≤6则292a b ab +⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭当且仅当3a b ==成立2=226+2+8=16a b a b +++=+++4≤故选：C 9.【答案】B【解析】依题意“5阶幻方”的幻和为12525122526555+⨯+++==，故选B. 10．【答案】C 【详解】设||()4x e f x x =，定义域为{|0}x x ≠，||()()4x e f x f x x -=-=-，所以()f x 为奇函数，故排除选项B ；又(1)14e f =<，排除选项A ；3(3)112e f =>，排除选项D.故选：C 11．【答案】C【解析】由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1aca c a c=++=，因此1144(4)()559,c a a c a c a c a c +=++=++≥+【解析】令()(1)332cos xxg x f x x -=+=+-，()()g x g x -=，所以()g x 是偶函数； ()ln 3(33)2sin x x g x x -'=-+，当(0,)x π∈时，()0g x '>，()g x 在(0,)π上是增函数，将()g x 图像向右平移一个单位得到()f x 图像， 所以()f x 关于直线1x =对称，且在(1,1)π+单调递增. ∵23log 94<<，0.50.5-=()3312log 2log 22,32-=+∈， ∴0.52314log 92log 0.512->>->>， ∴()()0.5231log 92log 0.52f f f -⎛⎫>-> ⎪⎝⎭， 又∵()f x 关于直线1x =对称，∴3311log 2log 22f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()()0.5231log 9log 0.52f f f -⎛⎫>> ⎪⎝⎭.故选：A第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.【答案】9【解析】由等差数列性质可知：21112163S a ==，解得：113a =311191139a a a a ∴++==14．【答案】6π【解析】因为(cos ,sin )a αα=，1,22b ⎛=- ⎝⎭，所以||||1a b ==，因为|||3|b a b +=-，所以22||3|b a b +=-，所以2222323233a a b b a a b b +⋅+=-⋅+即311233b a b +⋅+=-⋅+，所以1cos 022a b αα⋅=-+=，所以tan 3α=，由0απ≤<可得6πα=.【解析】当10x -<时，则011x +<， 此时有()(1)1f x f x x =-+=--， ∵()()1f x f x +=-，∴()()21[()]()f x f x f x f x +=-+=--=，∴函数()y f x =是周期为2的周期函数． 令()()ln 0g x f x x =-=，则()ln f x x =，由题意得函数()()ln g x f x x =-的零点个数即为函数()y f x =的图象与函数y ln x =的图象交点的个数．在同一坐标系内画出函数()y f x =和函数y ln x =的图象（如图所示），结合图象可得两函数的图象有三个交点， ∴函数()()ln g x f x x =-的零点个数为3． 16.【答案】6π【解析】由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD 的四个面为全等的三角形，2x ，y ，z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为x ，y ，z 的长方体，并且x 2+y 2＝3，x 2+z 2＝5，y 2+z 2＝4，则有（2R ）2＝x 2+y 2+z 2＝6（R 为球的半径），得2R 2＝3，所以球的表面积为S ＝4πR 2＝6π． 故答案为6π．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】(1)2π3；(2) 12. 【解析】(1)由正弦定理及已知可得2sin cos 2sin sin ,C B A B =+ ……………… 2分()2sin cos 2sin sin C B B C B =++则有，2sin cos sin 0,B C B ∴+= (4)分1,sin 0,cos .2B BC ∴≠∴=-为三角形的内角2π,.3C C ∴=又为三角形的内角 ……………………… 6分(2)11sin ,.22S ab C c ab ==∴= ……………………… 8分 222222cos ,c a b ab C a b ab =+-=++又222234a b a b ab ab ∴=++≥， 12ab ∴≥，当且仅当a b =时等号成立.故ab 的最小值为12. ……………………… 12分 18.【答案】（1）21n a n =-；（2）21n nT n =+. 【解析】（1）14(21)1n n S n a +=-+①，当1n =时，1241S a =+，解得23a = ……………………… 1分 当2n 时，14(23)1n n S n a -=-+②，①减去②得14(21)(23)n n n a n a n a +=---， 整理得1(21)(21)n n n a n a ++=-，即12121n n a n a n ++=-， ……………………… 3分 ∴213a a =，3253a a =，⋯，12123n n a n a n --=-以上各式相乘得121na n a =-，又11a =，所以21n a n =- ……………… 6分 （2）由（1）得11111(2)(21)(21)22121n n n c a a n n n n ⎛⎫===- ⎪+-+-+⎝⎭，………… 8分1111111112323522121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111123352121n n ⎛⎫=-+-+⋯+- ⎪-+⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21n n =+21n n T n ∴=+ ……………… 12分 19.【答案】（1）填表见解析；有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”；（2）35. 【解析】（1）22⨯列联表如下：……………… 3分又()2210030104515 3.03 2.70675254555K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ……………… 5分 这说明有90%的把握认为“对线上教学是否满意与性别有关”. ……………… 6分 （2）由题可知，从被调查中对线上教学满意的学生中，利用分层抽样抽取5名学生， 其中男生2名，设为A 、B ；女生3人设为,,a b c ，则从这5名学生中抽取2名学生的基本事件有：(),A B ，(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),a b ，(),a c ，(),b c ，共10个基本事件， ……………… 8分其中抽取一名男生与一名女生的事件有(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，共6个基本事件， ……………… 10分根据古典概型，从这5名学生中抽取一名男生与一名女生的概率为63105=. … 12分20．【答案】(1)见证明(2) 2【解析】（1）分别取AE ，BF 的中点M ，N ，连接DM ，CN ，MG ，MN ，因为1AD DE ==，90ADE ︒∠=，所以DM AE ⊥，且DM =.因为1BC CF ==，90BCF ∠=，所以CN BF ⊥，且CN =. 因为面DAE 、面CBF 均与面ABFE 垂直，所以DM ⊥面ABFE ，CN ⊥面ABFE ，所以DM CN ，且DM CN =. ……………… 2分 因为cos45AM AG ︒=，所以90AMG ︒∠=，所以AMG ∆是以AG 为斜边的等腰直角三角形，故45MGA ︒∠=，而45FBA ︒∠=，则MG FB ， ……………… 4分 故面DMG 面CBF ，则DG 面CBF . ……………… 6分 （2）如图，连接BE ，DF ，由（1）可知，DM CN ，且DM CN =， 则四边形DMNC 为平行四边形，故22EF AB DC MN +===. 因为D ABE B EFCD V V V --=+ 33D ABE B DEF D ABE D BEF V V V V ----=+=+， …………… 8分所以1131322V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯+ ⎪⎝⎭ 113113222⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. ……………… 12分 （其他方法酌情给分）。
2020-2021学年江苏省扬州市某校高三(上)8月月考数学试卷(有答案)
2020-2021学年江苏省扬州市某校高三（上）8月月考数学试卷一、选择题1. 已知全集U ={x ∈Z|1≤x ≤6}，A ={2,3,4}，B ={1,3,5}，则(∁U A )∩B =( ) A.{1,5} B.{1,5,6} C.{3,6} D.{3,4,5}2. 设a =(13)2，b =213，c =log 213，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.b >c >a B.c >b >aC.a >b >cD.b >a >c3. log m 2=a ，log m 3=b ，则m 2a+b 的值为( ) A.6 B.7C.12D.184. “b =2”是“函数f (x )=(2b 2−3b −1)x α （α为常数）为幂函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5. 函数f(x)=lg (|x|−1)的大致图象是( )A. B. C. D.6. 设函数f(x)=12x 2−9ln x 在区间[a −1, a +1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( ) A.(−∞,2) B. (4,+∞) C.(0,3] D.(1,2]7. 已知函数f (x )对任意的x ∈R 都有f (x +2)−f (x )=f (1)．若函数y =f (x +2)的图象关于x =−2对称，且f (0)=8，则f (99)+f (100)=( ) A.0 B.4 C.5 D.88. 定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足：①对于任意的x ，y ∈(0,+∞)，都有f (x ⋅y )=f (x )+f (y )；②当x >1时，f (x )>0；③f(√6)=1，则关于x 的不等式f (x )−f (15−x )≥2的解集是( )A.[2，3]B.[−√2，−1]∪[0，√2]C.[√2，+∞)D.(0，2]二、多选题若(2x−1)10=a0+a1x+a2x2+⋯+a10x10，x∈R，则下列结论正确的是( ) A.a2=180 B.|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a10|=310C.a1+a2+⋯+a10=1D.a12+a222+a323+⋯+a10210=−1已知在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩X服从正态分布N(100,100)，其中90分为及格线，120分为优秀线.下列说法正确的是()附：随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974．A.该市学生数学成绩的期望为100B.该市学生数学成绩的标准差为100C.该市学生数学成绩及格率超过0.8D.该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等2020年“七夕”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中抽取了40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/ℎ)分成六段：[60,65)，[65,70)，[70,75)，[75,80)，[80,85)，[85,90]，得到如图所示的频率分布直方图．下列结论正确的是( )A.这40辆小型车辆车速的众数的估计值为77.5B.在该服务区任意抽取一辆车，车速超过80km/ℎ的概率为0.35C.若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为1415D.若从车速在[60,70)的车辆中任意抽取2辆，则车速都在[60,65)内的概率为13下列命题中，正确的命题的是( )A.已知随机变量服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=23B.将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C.设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)=p，则P(−1<ξ≤0)=12−pD.某人在10次射击中，击中目标的次数为X，X∼B(10,0.8)，则当X=8时概率最大三、填空题设L为曲线C:y=ln xx在点(1, 0)处的切线，则L的方程为________．已知函数f(x)={(1−2a)x+3a,x<1，2x−1，x≥1的值域为R，则实数a的取值范围为________．若函数f(x)=(1−x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=−2对称，则f′(x)=________.给出以下四个结论：①若函数f(2x)的定义域为[1，2]，则函数f(x2)的定义域是[4，8]；②函数f(x)=log a(2x−1)−1（其中a>0，且a≠1）的图象过定点(1，0)；③当a=0时，幂函数y=x a的图象是一条直线；④若log a12>1，则a的取值范围是(12，1)；⑤若函数f(x)=lg(x2−2ax+1+a2)在区间(−∞，1]上单调递减，则a的取值范围是[1，+∞).其中所有正确结论的序号是________.四、解答题已知函数f(x)=√x+1x−2的定义域为集合A，函数g(x)=√x2−(2a+1)x+a2+a的定义域为集合B．(1)求集合A，B；(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，曲线y=f(x)在点P(0, f(0))处的切线是l:2x−y+3=0．(1)求b，c的值；(2)若f(x)在(0, +∞)上单调递增，求a的取值范围．精诚中学团委组织了“古典诗词”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生（男女各30名），将其成绩分成六组[40,50),[50,60），… [90,100]，其部分频率分布直方图如图所示．(1)求成绩在[70,80)的频率，补全这个频率分布直方图，并估计这次考试的众数和中位数；(2)从成绩在[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率；(3)我们规定学生成绩大于等于80分时为优秀，经统计男生优秀人数为4人，补全下面表格，并判断是否有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关？K2=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)如图，已知正方形ABCD和矩形BDEF所在的平面互相垂直，AC交BD于O点，M为EF的中点，BC=√2，BF=1.(1)求证：BM//平面ACE；(2)求二面角B−AF−C的大小．已知a为常数，且a≠0，函数f(x)=−ax+2+ax ln x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a=1时，若直线y=t与曲线y=f(x)(x∈[1，e])有公共点，求t的取值范围．e+a2x+a ln x，实数a>0．已知函数f(x)=2x(1)讨论函数f(x)在区间(0, 10)上的单调性；(2)若存在x∈(0, +∞)，使得关于x的不等式f(x)<2+a2x成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省扬州市某校高三（上）8月月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 A【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题． 【解答】解：依题意得U ={1,2,3,4,5,6}， 所以∁U A ={1,5,6}， 所以(∁U A )∩B ={1,5}． 故选A ． 2.【答案】 D【考点】指数式、对数式的综合比较 【解析】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较大小，属于基础题． 【解答】解：∵ a =(13)2=19，b =213>20=1， c =log 213<log 21=0， ∴ b >a >c ．故选D ． 3. 【答案】 C【考点】对数的运算性质 【解析】本题考查指对数互化解决指数幂运算问题.将真数化为底数的指数幂的形式进行运算是解题关键． 【解答】解：∵ log m 2=a ，log m 3=b ，∴ m a =2，m b =3，∴ m 2a+b =m 2a m b =(m a )2m b =22×3=12． 故选C ． 4.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断幂函数的概念、解析式、定义域、值域【解析】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题．【解答】解：∵当函数f(x)=(2b2−3b−1)xα为幂函数时，2b2−3b−1=1，解得b=2或−1，2∴ “b=2”是“函数f(x)=(2b2−3b−1)x a为幂函数”的充分不必要条件．故选A．5.【答案】B【考点】对数函数的图象与性质【解析】利用特殊值法进行判断，先判断奇偶性；【解答】解：∵函数f(x)=lg(|x|−1)，∴f(−x)=lg(|x|−1)=f(x)，f(x)是偶函数.又当x=1.1时，y<0，故可排除ACD.故选B.6.【答案】D【考点】利用导数研究函数的单调性已知函数的单调性求参数问题【解析】首先求出函数的单调递减区间，然后结合数轴分析求出m的范围即可．【解答】x2−9ln x，解：∵f(x)=12∴函数f(x)的定义域是(0, +∞)，f′(x)=x−9，x∵x>0，∴由f′(x)=x−9≤0，得0<x≤3．x∵函数f(x)=1x2−9ln x在区间[a−1, a+1]上单调递减，2∴{a−1>0,a+1≤3,7.【答案】D【考点】抽象函数及其应用【解析】本题主要考查利用函数的奇偶性及周期性，求抽象函数的值，同时考查函数的图象的平移变换，属于中档题．【解答】解：因为y=f(x+2)的图象关于直线x=−2对称，所以y=f(x)的图象关于直线x=0对称，即f(x)为偶函数．因为f(x+2)−f(x)=f(1)，所以f(−1+2)−f(−1)=f(1).又f(−1)=f(1)，所以f(1)=0，可得f(x+2)=f(x)，所以f(x)的最小正周期为2，所以f(99)=f(1)=0，f(100)=f(0)=8，所以f(99)+f(100)=8．故选D．8.【答案】A【考点】函数新定义问题抽象函数及其应用函数单调性的判断与证明【解析】证明函数单调递增，f(6)=f(√6)+f(√6)=2，变换不等式为f(x)≥f(65−x)，利用函数单调性解得答案．【解答】解：设0<x1<x2，则f(x2)−f(x1)=f(x2x1⋅x1)−f(x1)=f(x2x1)>0，即函数在(0，+∞)上单调递增．∵ f(√6)=1，∴ f(6)=f(√6)+f(√6)=2．∵ f(x)−f(15−x)≥2，∴ f(x)≥f(15−x )+f(6)=f(65−x)，故满足{x>0，65−x>0，x≥65−x，二、多选题【答案】 A,B,D 【考点】二项式系数的性质二项展开式的特定项与特定系数【解析】本题主要考查二项式的通项，二项式系数的和，还考查了赋值法的应用，属于中档题． 【解答】解：A ，因为(2x −1)10=a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a 10x 10，所以有C 108(2x )2(−1)8=180x 2，所以a 2=180，故A 正确；B ，因为(2x +1)10=|a 0|+|a 1|x +|a 2|x 2+⋯+|a 10|x 10， 令x =1，得|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 10|=310，故B 正确；C ，令x =0，得a 0=1，令x =1得： a 0+a 1+a 2+⋯+a 10=1， 所以a 1+a 2+⋯+a 10=0，故C 错误，D ，令x =12，得a 0+a 12+a 222+a 323+⋯+a10210=0，所以a 12+a 222+a 323+⋯+a 10210=−1，故D 正确．故选ABD ．【答案】 A,C【考点】正态分布的密度曲线 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：因为学生的数学成绩X 服从正态分布N(100,100)，所以该市学生的数学成绩的期望为100，标准差为10，故A 正确，B 错误； P(X ≥90)=1−P(X <90)=1−12[1−P(90<X <110)]=0.8413，故该市学生数学成绩及格率超过0.8，故C 正确； P(X <90)=12[1−P(90<X <110)]=0.1587，P(X ≥120)=12[1−P(80<X <120)]=0.0228，故该市学生数学成绩不及格人数和优秀的人数不相等，故D 错误. 故选AC . 【答案】 A,B,C 【考点】用频率估计概率众数、中位数、平均数 古典概型及其概率计算公式【解析】众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值可判断A ；用频率估计概率可判断B ；在C 中，由题可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型的概率计算公式即可判断C 、D ． 【解答】解：由题图可知，众数的估计值为最高的矩形的中点对应的值75+802=77.5，故A 正确；车速超过80km/ℎ的频率为0.05×5+0.02×5=0.35，用频率估计概率知P =0.35，故B 正确；由题可知，车速在[60,65)内的车辆数为2，车速在[65,70)内的车辆数为4，运用古典概型求概率得，至少有一辆车的车速在[65,70)的概率为P =1−C 22C 62=1−115=1415，所以车速都在[60,65)内的概率为115，故C 正确，D 错误. 故选ABC ．【答案】 B,C,D 【考点】二项分布与n 次独立重复试验的模型 正态分布的密度曲线 命题的真假判断与应用【解析】由二项分布、独立重复试验、正态分布逐个进行判断. 【解答】解：可得，E (X )=np =30，D (X )=np (1−p )=20， 解得p =13，所以A 错误；根据数据方差的计算公式可知，将一组数据中的每个数据都加上同一常数后， 方差恒不变，所以B 正确；由正态分布的图象的对称性可得， P (−1<ξ≤0)=1−2P (ξ>1)2=1−2p 2=12−p ，所以C 正确；由独立重复试验的概率计算公式可得，P (X =8)=C 108×(0.8)8×(1−0.8)2，由组合数公式，可得当X =8时取得最大值，所以D 正确. 所以正确命题为BCD . 故选BCD . 三、填空题【答案】 x −y −1=0 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，即切线的斜率，由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由y=ln xx ，得y′=1−ln xx2，∴y′|x=1=1−ln112=1，即曲线C:y=ln xx在点(1, 0)处的切线的斜率为1，∴曲线C:y=ln xx在点(1, 0)处的切线方程为y−0=1×(x−1)，即x−y−1=0．故答案为：x−y−1=0．【答案】[0, 1 2 )【考点】分段函数的应用函数的值域及其求法【解析】根据分段函数的表达式，分别求出每一段上函数的取值范围进行求解即可．【解答】解：当x≥1时，f(x)=2x−1≥1，当x<1时，f(x)=(1−2a)x+3a，∵函数f(x)={(1−2a)x+3a,x<1，2x−1，x≥1的值域为R，∴(1−2a)x+3a的取值必须到负无穷，即满足：{1−2a>01−2a+3a≥1，解得0≤a<1 2 .故答案为：[0, 12)．【答案】−4x3−24x2−28x+8【考点】函数的对称性导数的运算【解析】【解答】解：∵函数f(x)=(1−x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=−2对称，∴f(−1)=f(−3)=0，且f(1)=f(−5)=0，即[1−(−3)2][(−3)2+a⋅(−3)+b]=0，且[1−(−5)2][(−5)2+a⋅(−5)+b]=0，整理得{9−3a+b=0,25−5a+b=0,解得{a =8,b =15,因此，f (x )=(1−x 2)(x 2+8x +15)=−x 4−8x 3−14x 2+8x +15， 求导得f ′(x )=−4x 3−24x 2−28x +8. 故答案为：−4x 3−24x 2−28x +8. 【答案】 ①④⑤ 【考点】已知函数的单调性求参数问题 对数函数的图象与性质 命题的真假判断与应用幂函数的概念、解析式、定义域、值域 函数的定义域及其求法【解析】 无【解答】解：对于①，因为1≤x ≤2，2≤2x ≤4， 所以f (x )的定义域为[2，4]，令2≤x2≤4，故4≤x ≤8，即f (x2)的定义域为[4，8]，故①正确； 对于②，当x =1，y =−1，图象恒过定点(1,−1)，故②错误；对于③，幂函数要求x ≠0，故y =x 0的图象是两条射线，故③错误； 对于④，原不等式等价于log a 12>log a a ， 故 {a >1，a <12，（无解）或 {0<a <1，a >12，故12<a <1，故④正确；对于⑤，实数应满足{a ≥1，1−2a +1+a 2>0，解得a ≥1，故⑤正确.综上，正确结论的序号为①④⑤． 故答案为：①④⑤. 四、解答题 【答案】 解：(1)由x+1x−2≥0且x −2≠0可得x >2或x ≤−1，由x 2−(2a +1)x +a 2+a ≥0可得x ≥a +1或x ≤a ， ∴ A =(−∞, −1]∪(2, +∞)，B =(−∞, a]∪[a +1, +∞). (2)∵ A ∩B =A ， ∴ A ⊆B ， ∴ {a ≥−1，a +1≤2，解得−1≤a ≤1.【考点】函数的定义域及其求法集合的包含关系判断及应用【解析】（1）分别解得集合A，B即可；（2）根据A∩B＝A，得出A⊆B，借助数轴解得即可．【解答】解：(1)由x+1x−2≥0且x−2≠0可得x>2或x≤−1，由x2−(2a+1)x+a2+a≥0可得x≥a+1或x≤a，∴A=(−∞, −1]∪(2, +∞)，B=(−∞, a]∪[a+1, +∞).(2)∵ A∩B=A，∴ A⊆B，∴{a≥−1，a+1≤2，解得−1≤a≤1.【答案】解：(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c，∴f′(x)=3x2+2ax+b.∵曲线y=f(x)在点P(0, f(0))处的切线是l:2x−y+3=0，即y=2x+3，∴f(0)=c=3，f′(0)=b=2，即b=2，c=3.(2)∵b=2，c=3，∴f(x)=x3+ax2+2x+3，∴f′(x)=3x2+2ax+2.∵f(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立.①当a≥0时，f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，满足条件．②当a<0时，要使f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，则Δ=4a2−4×3×2≤0，即a2≤6，∴−√6≤a<0.综上可知a≥−√6．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）利用导数的几何意义，建立导数和切线之间的关系，求b，c的值；（2）利用f(x)在(0, +∞)上单调递增，则f′(x)≥0恒成立，即可求a的取值范围．【解答】解：(1)∵f(x)=x3+ax2+bx+c，∴f′(x)=3x2+2ax+b.∵曲线y=f(x)在点P(0, f(0))处的切线是l:2x−y+3=0，即y=2x+3，∴f(0)=c=3，f′(0)=b=2，即b=2，c=3.(2)∵b=2，c=3，∴f(x)=x3+ax2+2x+3，∴f′(x)=3x2+2ax+2.∵f(x)在(0, +∞)上单调递增，∴f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立.①当a≥0时，f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，满足条件．②当a<0时，要使f′(x)≥0在(0, +∞)上恒成立，则Δ=4a2−4×3×2≤0，即a2≤6，∴−√6≤a<0.综上可知a≥−√6．【答案】解：(1)根据频率和为1，计算[70,80)的频率为：1−10(0.01+0.015+0.015+0.025+0.005)=0.3，所以[70,80)对应的频率直方图高度为0.03，如图所示：由频率分布直方图知众数为75；由0.1+0.15+0.15=0.4<0.5，0.4+0.3=0.7>0.5可知，中位数在[70,80)内，计算中位数为70+0.10.03=2203．(2)成绩在[40, 50)内有60×0.1=6人，在[90, 100]内有60×0.05=3人；从这9人中选2人，基本事件为C92=36（种），其中在同一分数段的基本事件为C62+C32=18（种），故所求的概率为P=1836=12.(3)由题意填写列联表如下：计算K2=60×(4×16−14×26)230×30×18×42≈7.937>6.635，所以有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关．【考点】众数、中位数、平均数频率分布直方图独立性检验古典概型及其概率计算公式【解析】本题主要考查了频率直方图的应用与利用组合求解概率的问题，同时也考查了独立性检验判定事件是否与某变量有关的问题．属于中档题．本题主要考查了频率直方图的应用与利用组合求解概率的问题，同时也考查了独立性检验判定事件是否与某变量有关的问题．属于中档题．本题主要考查了频率直方图的应用与利用组合求解概率的问题，同时也考查了独立性检验判定事件是否与某变量有关的问题．属于中档题．【解答】解：(1)根据频率和为1，计算[70,80)的频率为：1−10(0.01+0.015+0.015+0.025+0.005)=0.3，所以[70,80)对应的频率直方图高度为0.03，如图所示：由频率分布直方图知众数为75；由0.1+0.15+0.15=0.4<0.5，0.4+0.3=0.7>0.5可知，中位数在[70,80)内，计算中位数为70+0.10.03=2203．(2)成绩在[40, 50)内有60×0.1=6人，在[90, 100]内有60×0.05=3人；从这9人中选2人，基本事件为C92=36（种），其中在同一分数段的基本事件为C62+C32=18（种），故所求的概率为P=1836=12.(3)由题意填写列联表如下：计算K2=60×(4×16−14×26)230×30×18×42≈7.937>6.635，所以有99%的把握认为成绩是否优秀与性别有关． 【答案】(1)证明：连接EO ，如图.∵ AC 交BD 于O 点，M 为EF 的中点， ∴ 四边形BMEO 是平行四边形，OE//BM . 又BM ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴ BM//平面ACE ．(2)解：以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，如图，则B(√2,√2,0)，A(√2,0,0)，F(√2,√2,1)，C(0,√2,0)， AB →=(0,√2,0)，AF →=(0,√2,1)，AC →=(−√2,√2,0). 设平面CAF 的法向量n →=(x,y,z )， 则{n →⋅AC →=−√2x +√2y =0,n →⋅AF →=√2y +z =0, 取x =√2，得n →=(√2,√2,−2). 又平面ABF 的法向量m →=(1,0,0)， ∴ cos ⟨n →,m →⟩=√2√8=12，而⟨n →,m →⟩∈[0,π]，∴ ⟨n →,m →⟩=60∘，∴ 二面角B −AF −C 的平面角为60∘． 【考点】用空间向量求平面间的夹角 直线与平面平行的判定 【解析】此题暂无解析 【解答】(1)证明：连接EO ，如图.∵ AC 交BD 于O 点，M 为EF 的中点， ∴ 四边形BMEO 是平行四边形，OE//BM . 又BM ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ， ∴ BM//平面ACE ．(2)解：以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在直线为y 轴，DE 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系D −xyz ，如图，则B(√2,√2,0)，A(√2,0,0)，F(√2,√2,1)，C(0,√2,0)， AB →=(0,√2,0)，AF →=(0,√2,1)，AC →=(−√2,√2,0). 设平面CAF 的法向量n →=(x,y,z )， 则{n →⋅AC →=−√2x +√2y =0,n →⋅AF →=√2y +z =0, 取x =√2，得n →=(√2,√2,−2). 又平面ABF 的法向量m →=(1,0,0)， ∴ cos ⟨n →,m →⟩=√2√8=12，而⟨n →,m →⟩∈[0,π]，∴ ⟨n →,m →⟩=60∘，∴ 二面角B −AF −C 的平面角为60∘．【答案】解：(1)∵ f(x)=−ax +2+ax ln x ，定义域为(0,+∞)， ∴ f ′(x )=a ln x ． 因为a ≠0，故：①当a >0时，由f ′(x )>0得x >1，由f ′(x )<0得0<x <1；②当a<0时，由f′(x)>0得0<x<1，由f′(x)<0得x>1．综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．(2)当a=1时，f(x)=−x+2+x ln x，f′(x)=ln x．由(1)可得，当x在区间[1e，e]内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)(x∈[1e，e])的值域为[1,2]．又∵ 2−2e <2，直线y=t与曲线y=f(x)[1e，e]总有公共点，∴t的取值范围是[1,2]．【考点】利用导数研究与函数零点有关的问题利用导数研究函数的单调性【解析】（1）先求导数f(x)然后在函数的定义域内解不等式f(x)>0和f(x)<0，f(x)>0的区间为单调增区间，f(x)<0的区间为单调减区间；（2）要使直线y=t与曲线y=f(x)（x∈[1e ,e]）有公共点，只需t在f(x)在区间[1e,e]内值域内即可，再利用导数研究函数的最值即可求解．【解答】解：(1)∵f(x)=−ax+2+ax ln x，定义域为(0,+∞)，∴f′(x)=a ln x．因为a≠0，故：①当a>0时，由f′(x)>0得x>1，由f′(x)<0得0<x<1；②当a<0时，由f′(x)>0得0<x<1，由f′(x)<0得x>1．综上，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞)，单调递减区间为(0,1)；当a<0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1,+∞)．(2)当a=1时，f(x)=−x+2+x ln x，f′(x)=ln x．由(1)可得，当x在区间[1e，e]内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)(x∈[1e，e])的值域为[1,2]．又∵ 2−2e<2，直线y =t 与曲线y =f (x )[1e，e]总有公共点，∴ t 的取值范围是[1,2]． 【答案】解：(1)f ′(x)=−2x 2+a 2+ax =a 2x 2+ax−2x 2=(ax+2)(ax−1)x 2(x >0).令f ′(x)=0，可得x =1a ，x =−2a （舍）． ①当a >110时，1a <10．函数f(x)在区间(0, 1a)上单调递减，在区间(1a, 10)上的单调递增；②当0<a ≤110时，函数f(x)在区间(0, 10)上单调递减．(2)存在x ∈(0, +∞)，使得不等式f(x)<2+a 2x 成立等价于存在x ∈(0, +∞)，使得不等式2x +a ln x −2<0成立， 令g(x)=2x +a ln x −2(x >0)， g ′(x)=−2x 2+ax =ax−2x 2.∵ a >0，∴ g ′(x)>0⇒x >2a ，g ′(x)<0⇒0<x <2a ， ∴ g(x)在(0, 2a )上递减，在(2a , +∞)上递增， ∴ g(x)min =g(2a)=a +a ln 2a−2，则a +a ln 2a−2<0恒成立．又a >0，所以ln 2a +1−2a <0恒成立． 令ℎ(x )=ln x +1−x (x >0)， 则ℎ′(x )=1x −1=1−x x，在(0,1)上，ℎ′(x )>0，ℎ(x )单调递增； 在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0，ℎ(x )单调递减， 所以ℎ(x )≤ℎ(1)=0，因此解ln 2a +1−2a <0可得2a >0，且2a ≠1，即a >0且a ≠2， 所以实数a 的取值范围是(0,2)∪(2,+∞). 【考点】利用导数研究不等式恒成立问题 利用导数研究函数的单调性 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：(1)f ′(x)=−2x 2+a 2+ax =a 2x 2+ax−2x 2=(ax+2)(ax−1)x 2(x >0).令f ′(x)=0，可得x =1a ，x =−2a （舍）． ①当a >110时，1a<10．函数f(x)在区间(0, 1a)上单调递减，在区间(1a, 10)上的单调递增；②当0<a ≤110时，函数f(x)在区间(0, 10)上单调递减．(2)存在x ∈(0, +∞)，使得不等式f(x)<2+a 2x 成立等价于存在x ∈(0, +∞)，使得不等式2x +a ln x −2<0成立， 令g(x)=2x +a ln x −2(x >0)，g ′(x)=−2x 2+a x =ax−2x 2.∵ a >0，∴ g ′(x)>0⇒x >2a ，g ′(x)<0⇒0<x <2a ， ∴ g(x)在(0, 2a )上递减，在(2a , +∞)上递增， ∴ g(x)min =g(2a )=a +a ln 2a −2， 则a +a ln 2a −2<0恒成立．又a >0，所以ln 2a+1−2a<0恒成立．令ℎ(x )=ln x +1−x (x >0)， 则ℎ′(x )=1x −1=1−x x，在(0,1)上，ℎ′(x )>0，ℎ(x )单调递增； 在(1,+∞)上，ℎ′(x )<0，ℎ(x )单调递减， 所以ℎ(x )≤ℎ(1)=0，因此解ln 2a +1−2a <0可得2a >0，且2a ≠1，即a >0且a ≠2， 所以实数a 的取值范围是(0,2)∪(2,+∞).。
2021-2022年高三8月开学测试数学含答案
2021-2022年高三8月开学测试数学含答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）已知函数，则下列结论正确的是（A）是偶函数（B）在上是增函数（C）是周期函数（D）的值域为（4）已知函数，. 若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）（5）已知向量的夹角为，且，，则（A）（B）（C）（D）（6）函数的零点个数为（A）（B）（C）（D）（7）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（A）（B）（C）（D）（8）对于函数，若存在非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则称为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是（A ） （B ） （C ） （D ）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） （9） 已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则 .（10）设，，，若∥，则 .（11）已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则不等式的解集为 .（12）在中，内角所对的边分别是. 已知，，则的值为 .（13）已知菱形的边长为，，点分别在边上，，. 若，则的值为 . （14）若集合，且下列四个关系：① ； ② ； ③ ； ④ .有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是 .三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值. （16）（本小题14分）在中，内角所对的边分别是. 已知，，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积.（17）（本小题13分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：① 假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数； ② 若花店一天购进枝玫瑰花，以天记录的的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，【文科学生继续做】 求当天的利润不少于元的概率.【理科学生继续做】 求当天的利润（单位：元）的分布列与数学期望.（18）（本小题14分） 设函数，.（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求的极小值； （Ⅱ）讨论函数零点的个数.（19）（本小题13分） 设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-，且. 曲线在点 处的切线的斜率为.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若存在，使得，求的取值范围.（20）（本小题13分） 已知椭圆：（）的焦距为，且过点. （Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；（Ⅱ）设（）为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为. 取点，连接. 过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点.试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.xx第一学期第一次练习高三数学试卷答案（考试时间120分钟满分150分）第I卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的的四个选项中,选出符合题目要求的一项）（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）解：，，选A.（2）设，则“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件解法一：按的符号分类讨论解法二：构造函数，利用在上为增函数，选C.（3）已知函数，则下列结论正确的是（A）是偶函数（B）在上是增函数（C）是周期函数（D）的值域为解：作出的图象，选D.（4）已知函数，. 若方程有两个不相等的实根，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）解：作出函数的图象，易得. 选B.（5）已知向量的夹角为，且，，则（A）（B）（C）（D）解：，，224141cos4510b b︒⨯-⨯⋅+=，，. 选D.（6）函数的零点个数为（A）（B）（C）（D）解：令，得. 转化为与的交点个数，画出它们的图象，知有两个交点. 选B.（7）若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是（A ） （B ） （C ） （D ）解：，()()24f x x πϕϕ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦，令，再取，得，.当时，得的最小正值是. 选C. （8）对于函数，若存在非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，则称为准偶函数. 下列函数中是准偶函数的是（A ） （B ） （C ） （D ）解：由题设知的图象关于直线（非轴）对称，选D.第II 卷 （非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）已知，是虚数单位.若与互为共轭复数，则 .解：. . （10）设，，，若∥，则 .解：，，由题设知，， .（11）已知函数()()()11330log 0x x f x x x +⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，则不等式的解集为 .解法一：代数法解法二：图象法，解集为.（12）在中，内角所对的边分别是. 已知，，则的值为 .解：由及正弦定理得，即. 又，故.所以()2222223212cos 32422c c c b c a A bc c c ⎛⎫+- ⎪+-⎝⎭===-⋅⋅.（13）已知菱形的边长为，，点分别在边上，，. 若，则的值为 .解法一：以为基底..解法二：分别以为轴，建立平面直角坐标系. 用坐标法解. （14）若集合，且下列四个关系：① ； ② ； ③ ； ④ .有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是 .解：分类讨论（1）若 ① 真，则 ② ③ ④ 均假. 即，，，. 于是，矛盾！ （2）若 ② 真，则 ① ③ ④ 均假. 即，，，. 此时有个解： 与.（3）若 ③ 真，则 ① ② ④ 均假. 即, ,,. 此时有个解： .（4）若 ④ 真，则 ① ② ③均假. 即,,,. 此时有个解：()()()5,2,1,0,1,2,5,0,0,2,5,1.故符合条件的有序数组的个数是.三、解答题 （本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程） （15）（本小题13分）已知函数()2cos sin 34f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在上的最小值和最大值.()()113AE AF AB BE AD DF AB BC AD DC λ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22111111333AB AD AD AB AB AB AD AD λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+=++⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭222111102212cos120213333λλλ︒⎛⎫=+++=-= ⎪⎝⎭解：（Ⅰ）()2cos sin 3f x x x x π⎛⎫=⋅++ ⎪⎝⎭21cos sin 224x x x x ⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭21sin cos 224x x x =-+ 2分)1sin 21cos 24x x =++ 4分6分 的最小正周期为. 7分 （Ⅱ）5121sin 24463632x x x ππππππ⎛⎫-≤≤⇒-≤-≤⇒-≤-≤ ⎪⎝⎭ 9分 当，即 时，取最小值； 11分当， 即 时，取最大值. 13分（16）（本小题14分）在中，内角所对的边分别是. 已知，，. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的面积.解：（Ⅰ）因，故sin 3A ===. 2分因，故sin sin cos 23B A A π⎛⎫=+== ⎪⎝⎭. 4分由正弦定理，得3sin sin a Bb A⨯=== 6分（Ⅱ）cos cos sin 23B A A π⎛⎫=+=-=- ⎪⎝⎭. 8分 ()()sin sin sin C A B A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦ 10分sin cos cos sin A B A B =+ 11分13⎛=+= ⎝⎭. 12分的面积为111sin 3223ab C =⨯⨯= 14分（17）（本小题13分）某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.（Ⅰ）若花店一天购进枝玫瑰花，求当天的利润（单位：元）关于当天需求量（单位：枝，）的函数解析式；（Ⅱ）花店记录了天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：① 假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花，求这天的日利润（单位：元）的平均数； ② 若花店一天购进枝玫瑰花，以天记录的的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，【文科学生继续做】 求当天的利润不少于元的概率.【理科学生继续做】 求当天的利润（单位：元）的分布列与数学期望. 解：（Ⅰ） ，. 5分（Ⅱ）① 平均数为551065207516855476.4100⨯+⨯+⨯+⨯=. 8分②【文科学生继续做】利润不少于元当且仅当日需求量不少于枝，所求概率为. 13分 ②【理科学生继续做】 . ，，，.550.1650.2750.16850.5476.4EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 13分（每个结果各1分）（18）（本小题14分） 设函数，.（Ⅰ）当（为自然对数的底数）时，求的极小值； （Ⅱ）讨论函数零点的个数.解：（Ⅰ）当时，，其定义域为. 1分2分令，. 3分5分故当时，取得极小值. 6分（Ⅱ）()()322133333x m x x m x g x f x x x x--'=-=--=，其定义域为. 7分 令，得. 8分设，其定义域为. 则的零点为与的交点. 9分()()()2111h x x x x '=-+=-+-故当时，取得最大值. 11分 作出的图象，可得① 当时，无零点； 12分 ② 当或时，有且仅有个零点； 13分 ③ 当时，有两个零点. 14分（19）（本小题13分） 设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-，且. 曲线在点 处的切线的斜率为. （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若存在，使得，求的取值范围.解：（Ⅰ）， 2分 由曲线在点处的切线的斜率为，得， 3分即，. 4分 （Ⅱ）由，得()21ln 2a f x a x x x -=+-. ()()()()()211111x a x a a x x a a f x a x x x x---⎡⎤--+⎣⎦'=+--==5分令，得，. 6分① 当时，，在上，，为增函数，()()()min 111122a a f x f ---==-=， 令，即，解得. 8分② 当时，，不合题意，无解. 10分③ 当时，，符合题意. 12分 综上，的取值范围是()()11,+∞. 13分（20）（本小题13分）已知椭圆：（）的焦距为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率；（Ⅱ）设（）为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为. 取点，连接. 过点作的垂线交轴于点，点是点关于轴的对称点.试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.解：（Ⅰ）由题设，得22224231a b a b⎧=+⎪⎨+=⎪⎩， 2分 解得，故椭圆的方程为. 4分离心率. 5分（Ⅱ）由题意知点. 设点，则，又， 由，得，，. 7分由点是点关于轴的对称点，得点. 8分()()()2min ln 112111a a a a a f x f a a a a a a ⎛⎫==++> ⎪-----⎝⎭直线的斜率为000200088y x y x x x =--因点在椭圆上，故，即.于是直线的斜率为，其方程为. 10分 联立方程组2200018482x y x y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎪=-- ⎪⎪⎝⎭⎩ ，11分 代入消元得 ()2222000021664160x y x x x y +-+-=，利用，化简得. 12分因，故方程组有两组相同的实数解，所以直线与椭圆相切. 13分28063 6D9F 涟21727 54DF 哟20557 504D 偍27978 6D4A 浊Cu H37717 9355 鍕39056 9890 颐24406 5F56 彖t37270 9196 醖$。
九师联盟2020-2021学年度第一学期高三8月质量检测文科数学试题(答案和解析)(2020.08)
2020〜2021学年高三8月质量检测文科数学考生注意；1 •本试卷分选择題和非逸择姻两部分。
满分150分•考试时间120分钟。
2.答題亦考生务必用克锂0. 5臺米黑色晏水签字笔将密封线内项F1填写 清楚.3•考生作答时，请杵答案答在答題卡上.选择題毎小題选出答案后，用2B 铅 笔把签泄卡上对应題目的签案标号涂驚；非选择题请用克径0.5毫米驚色 •密朮务宇笔庄签题卡上於題的签题区戎内作签•超出答题区域书写的答 睾冇班，卒联尊李碍稱爭占作等尹坯。
.4•上蠢Piffle 1 e •'一■选择题:本題共12小题■每小题5分■共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要 求的。
1.已知集合 M={j-|j 2-r<0},N^{-l,0,1,2},则MDN=A. {-hO.l}B. { — 1・0}C. {1.2}D. {0.1} 2.设z=]—击（i 为虛数单位〉・则在殳平而内z 所对应的点位于九第一象限 13.第二彖飆 C.第三線限 D.第叫彖限3某工厂生产AJ3.C 三种不同型号的产品■某刀生产这三种产品的数址之比依次为 H 3■现用分层 抽样方法抽取一个容员为120的样本•已知B 种型9产品抽取了 60件•则« =A.3 114 4•执行如图所示的程序框图•则输;I ； S 的值为A. 15B. 17C.18 5. 圆C ；F+b — 4$ = 0破直线人忆r-y — 1 =0所截得的弦氏为A . 1 B. 2 C. 3 C.5IX 6 D. 19D.46.2019年北京世园会的占祥物“小曲芽”“小萌花”是一对代表苕生命与希垫、勤劳与萸好、活泼可爱的园艺小兄妹•造型创意來口东方文化中百子图的“吉祥妊娃”,通过头饰、道见、服装创恿的巧妙组合，被賦予了普及园艺知识、传播绿色理念的持殊使命•现从4张分别印有“小萌芽”“小萌花”“壮丹花”•'菊花”的这4个图案的卡片（卡片的形状、大小、质地均相同）中随机选取2张，则2张恰好是“小萌芽”和•'小萌花”卡片的概率为a T7•函数/（才）=舟的图象大致堆& 将函数 /（.r）=sin（coi, +于）3>0）的图象向左平移于个单位长度，若所得图象与原图象关于.r轴对称，则/（于）=A.=fB.0C.噜D.y9.在正方体ABCD■儿5GD中•异而直线a和”分别在上底而人5GD和下底而AI3CD上运动, 且“丄若AD与〃所成的角为60°时•则a与侧面ADD.A.所成角的大小为A.90°B60°C・43°D・30°10.“探积术”是山北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰卞富和发展的一类数列求和方法，有英亞垛、方垛、三角垛等.现有100根相同的関柱形铅笔，某同学要将它们堆放成横就而为正三角形的垛•耍求第一层为1根口从第二层起每一层比上一层多1根•并使得剩余的関形铅笔根数嚴少•则剰余的铅笔的根数是A.9 BIO C. 12 D.1311.在△AEC中aan C=|,H在边EC上•乔• BC=0,AC=BC，则过点B以儿H为两焦点的双曲线的离心率为12.3D打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础•运用粉末状金屈或塑料笞可粘合材料•通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法”）.过去常在模具制造、工业设计等领域被川于制造模型，现正用于一些产品的应接制造，持別是一些高价值应川（比如掘关节、牙齿或一些飞机零部件等）.已知利用3D打印技术制作如图所示的模型.该模型为在圆锥底内挖去一个正方体后的剩余部分（正方体四个顶点在圆锥母线上•四个顶点在圆锥底面上），圆锥底而tE径为10^2 cm.母线与底面所成角的正切值为挖•打卬所用原料密度为1 g/cmh不考虑打卬损卷制作该模型所需原料的质屋约为（取兀~3. 14,粘确到0. 1）A. 609. 4 gB. 417. 3 gC. 39& 3 g D・ 357. 3 g二■填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分。
高三数学上学期8月考试试题含解析 试题
卜人入州八九几市潮王学校仙桃2021届高三数学上学期8月考试试题〔含解析〕一:选择题1.“〞是“直线的倾斜角大于〞的〔〕A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】设直线的倾斜角为，那么.假设，得，可知倾斜角大于；由倾斜角大于得，或者，即或者，所以“〞是“直线的倾斜角大于〞的充分而不必要条件，应选A.2.〔5分〕〔2021•〕集合A={〔x，y〕|x，y为实数，且x2+y2=1}，B=|〔x，y〕|x，y为实数，且x+y=1}，那么A∩B的元素个数为〔〕A.4B.3C.2D.1【答案】C【解析】法一由题得∴或者A∩B={(1,0),(0,1)}.应选C.法二显然圆x2+y2=1上两点(1,0),(0,1)在直线x+y=1上,即直线与圆相交.应选C.【此处有视频，请去附件查看】为两个不同的平面，直线，那么“〞是“〞成立的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：当满足时可得到成立，反之，当时，与可能相交，可能平行，因此前者是后者的充分不必要条件考点：充分条件与必要条件那么是的充分条件，是的必要条件4.某几何体的三视图如以下图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如以下图所示的组合体，其体积，应选A.考点：1.三视图；2.多面体的体积.的底面是以为斜边的等腰直角三角形，且，那么该三棱锥的外接球的体积为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，可得S在面ABC上的射影为AB中点H，平面，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，那么O为SABC的外接球球心，OS为球半径，由此可得该三棱锥的外接球的体积.【详解】因为三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形，，所以S在ABC上的射影为AB中点H，所以平面，所以SH上任意一点到A,B,C的间隔相等，因为，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，那么O为的外接球球心，所以，即，解得，所以该三棱锥的外接球的体积为，应选D.【点睛】该题考察的是有关球的体积的问题，涉及到的知识点是三棱锥的外接球，在解题的过程中，需要明确几何体的外接球的特征，注意考虑球心所处的位置，建立相应的等量关系，求得半径，利用公式求得体积.6.，为抛物线上异于原点的两个点，为坐标原点，直线斜率为2，那么重心的纵坐标为〔〕A.2B.C.D.1【答案】C【解析】试题分析：设，那么，因此重心的纵坐标为，选C.考点：直线与抛物线位置关系的焦点坐标是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】，焦点坐标为，即为，应选B.8.执行如以下图的程序框图，输出S的值是〔〕A. B. C. D.1【答案】B【解析】由题意可知=.应选B.对任意恒成立，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意可得的图象在上恒位于直线的下方或者在直线上，数形结合可得或者，分别求其解集，再取并集，即得所求.【详解】由不等式对任意时恒成立，可得的图象在上恒位于直线的下方或者在直线上，如以下图：所以或者，解得或者，故实数的范围是，应选B.【点睛】该题考察的是有关参数的取值范围，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，数形结合的思想以及分类讨论的思想，注意对问题的正确转化是解题的关键.的值域是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数运算可以先将函数解析式化简为：的形式，再由根本不等式得出函数的值域.【详解】因为，令，因为且，所以，所以或者，所以，应选D.【点睛】该题考察的是有关对数型函数的值域问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有换元法，根本不等式，注意函数的定义域是解题的关键.的大致图象是〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】由于，，且，故此函数是非奇非偶函数，排除；又当时，满足，即的图象与直线的交点中有一个点的横坐标为，排除，应选B．时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除上的偶函数满足,且当时,,那么函数的零点个数是A.2B.4C.6D.8【答案】C【解析】由题意,所以周期为2,当时,,且偶函数,即函数图象关于y轴对称,分别画出y=和y=的图象,观察可得交点个数为6个,即函数的零点个数是6个,此题选择C选项.点睛：函数零点的求解与判断(1)直接求零点：令f(x)＝0，假设能求出解，那么有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．二:解答题13.，那么的最小值为__________．【答案】【解析】，当且仅当时取等号点睛：在利用根本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑〞等技巧，使其满足根本不等式中“正〞(即条件要求中字母为正数)、“定〞(不等式的另一边必须为定值)、“等〞(等号获得的条件)的条件才能应用，否那么会出现错误.，侧面积为，那么该球的外表积为____【答案】【解析】【分析】根据题的条件，求得内接圆柱的底面半径与圆柱的高，结合几何体的特征，求得球的半径，然后利用球的外表积公式求得结果.【详解】因为球的内接圆柱的底面积为，侧面积为，所以圆柱的底面半径为2，高为3，所以外接球的半径为，有，所以球的半径为，所以球的外表积为，故答案是.【点睛】该题考察的是有关球的外表积问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有球的内接圆柱的相关内容，会利用轴截面中相关的边长，找出其关系，求得球的半径，得到结果.在点〔1,2〕处的切线也与圆相切，那么实数的值是________________.【答案】【解析】【分析】首先根据抛物线所过的一个点，求得抛物线的方程，从函数的角度去求其切线，对函数求导，代入求得直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，利用圆心到直线的间隔等于半径，求得参数的值，得到结果.【详解】抛物线过点可得抛物线可化为，从而由知切线斜率为，切线方程为即又圆的方程可化为且圆与抛物线也相切解得【点睛】该题考察的是有关曲线的切线问题，涉及到的知识点有抛物线的方程的求解，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，圆与直线的位置关系，点到直线的间隔公式，正确应用公式是解题的关键.16.是定义在上的周期为3奇函数，当时，，那么__________．【答案】【解析】∵是定义在上的周期为3奇函数，当时，，∴，，那么，故答案为.三:解答题：方程：，.为真，务实数的取值范围；〔Ⅱ〕假设为真，为真，务实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】试题分析：〔Ⅰ〕分类讨论及结合一元二次不等式的性质进展求解即可；〔Ⅱ〕假设为真，为真，那么pq试题解析：为真，当时，，∴，故；当时，，符合题意；当时，恒成立.综上，.〔Ⅱ〕假设为真，那么，即.∵假设为真，为真，∴真假，∴，解得.18.“一共享单车〞的出现，为我们提供了一种新型的交通方式.某机构为了调查人们对此种交通方式的满意度，从交通拥堵不严重的A城和交通拥堵严重的B城分别随机调查了个用户，得到了一个用户满意度评分的样本，并绘制出茎叶图如图：〔1〕根据茎叶图，比较两城满意度评分的平均值的大小及方差的大小〔不要求计算详细值，给出结论即可〕；分，那么认为该用户对此种交通方式“认可〞，否那么认为该用户对此种交通方式“不认同〞，请根据此样本完成此列联表，并据此样本分析是否有的把握认为城拥堵与认可一共享单车有关；〔3〕假设此样本中的A城和B城各抽取人，那么在此2人中恰有一人认可的条件下，此人来自B城的概率是多少？A B 合计认可不认可合计附：【答案】⑴见解析；⑵见解析；⑶【解析】【分析】〔1〕根据茎叶图，即可比较两城满意度评分的平均值和方差；〔2〕求出，与临界值比较，即可得出结论；〔3〕利用列举法确定根本领件，即可求出来自不同城的概率.【详解】〔Ⅰ〕城评分的平均值小于城评分的平均值；城评分的方差大于城评分的方差；〔Ⅱ〕合计认可 5 10 15不认可15 10 25合计20 20 40所以没有95%的把握认为城拥堵与认可一共享单车有关；〔Ⅲ〕设事件：恰有一人认可；事件：来自城的人认可；事件包含的根本领件数为，事件包含的根本领件数为，那么所求的条件概率.【点睛】该题考察的是有关统计的问题，涉及到的知识点有茎叶图的识别，HY性检验，随机事件发生的概率，在解题的过程中，纯熟掌握根底知识是解题的关键.19.如图，在四棱锥中，，，平面，.设分别为的中点.〔1〕求证：平面∥平面；〔2〕求三棱锥的体积.【答案】〔1〕证明见解析〔2〕三棱锥的体积【解析】试题分析：〔1〕由中位线定理可得∥∥平面.再证得∥∥平面平面∥平面；〔2〕由〔1〕知，平面∥平面点到平面的间隔等于点到平面的间隔.试题解析：〔1〕证明：∵分别为的中点，那么∥.又∵平面，平面，∴∥平面.在中，，∴.又∵，∴∥.∵平面，平面，∴∥平面.又∵，∴平面∥平面.〔2〕由〔1〕知，平面∥平面，∴点到平面的间隔等于点到平面的间隔.由，，，，∴，∴三棱锥的体积.上的点到点的间隔与到直线的间隔之差为，过点的直线交抛物线于两点.〔1〕求抛物线的方程；〔2〕假设的面积为，求直线的方程.【答案】⑴；⑵或者；【解析】【分析】〔1〕根据题中的条件，列出相应的式子，求得对应的参数，求得抛物线的方程；〔2〕先分类讨论，分直线的斜率不存在与存在两种情况，设出直线的方程，利用题中所给的条件，建立相应的等量关系式，求得结果.【详解】〔1〕设，由定义知，，，故抛物线方程为；〔2〕设，由〔1〕知假设直线的斜率不存在，那么方程为，此时，所以的面积为，不满足，所以直线的斜率存在；设直线的方程为，带入抛物线方程得：所以，，所以，点到直线的间隔为，所以，解得：直线的方程为或者.【点睛】该题考察的是有关直线与抛物线的综合题，涉及到的知识点有抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，点到直线的间隔，三角形的面积，正确应用公式是解题的关键.，〔1〕设，假设函数在上没有零点，务实数的取值范围；〔2〕假设对，均，使得，务实数的取值范围.【答案】⑴；⑵【解析】【分析】〔1〕求出的最小值，根据最小值大于0，求出b的取值范围即可；〔2〕问题转化为，设，得到，问题转化为对恒成立，根据函数的单调性求出b的取值范围即可.【详解】⑴，在上没零点⑵设，对恒成立那么在上单调递增那么对恒成立对恒成立设，，在递减,即【点睛】该题考察的是有关导数的应用的问题，涉及到的知识点有利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，利用导数研究恒成立问题求参数的范围，正确求导是解题的关键.四:选做题中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)分别写出曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；(2)假设点为曲线上的一动点，点为曲线上的一动点，求的最小值.【答案】⑴：；：；⑵【解析】【分析】〔1〕利用同角三角函数平方关系进展消参，求得曲线的普通方程，根据极坐标和直角坐标互化公式求解，即可得到曲线的直角坐标方程；〔2〕利用，曲线是以为圆心，半径为的圆，得到，借助于三角函数的取值情况进展求解即可.【详解】⑴由题意可知曲线的普通方程曲线的直角坐标方程⑵因为曲线是以为圆心，半径为的圆，所以又从而可知的最小值为【点睛】该题考察的是有关参数方程与极坐标的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，极坐标方程向直角坐标方程的转化，以及有关间隔的最值的求解问题，正确应用相关的公式是解题的关键.．(Ⅰ)当时，求的解集；(Ⅱ)当时，恒成立，求的取值范围．【答案】⑴；⑵【解析】【分析】〔1〕问题转化为解关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；〔2〕根据x的范围，去掉绝对值符号，从而求出a的范围即可.【详解】⑴当时，由，可得，①或者②或者③解①得：解②得：解③得：综上所述，不等式的解集为⑵假设当时，成立，即故即对时成立故【点睛】该题考察的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有绝对值不等式的解法，有关恒成立求参数的取值范围，在解题的过程中，注意等价转化是正确解题的关键.。
2020-2021学年上期高三年级8月第一次周练文数试卷答案
2020-2021学年上期高三年级8月第一次周练文数试卷1．已知集合A ＝{ x | y ＝－x 2＋1}，B ＝(0,1)，则A ∩B ＝ ( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．[－1,1]答案：B 解析：由题意得A ＝[－1,1]，又B ＝(0,1)，∴A ∩B ＝(0,1)．故选B.2．“若x <1，则x 2－3x ＋2>0”的否命题是 ( )A ．若x 2－3x ＋2≤0，则x ≥1B ．若x <1，则x 2－3x ＋2≤0C ．若x ≥1，则x 2－3x ＋2>0D ．若x ≥1，则x 2－3x ＋2≤0答案：D 解析：本题考查否命题的概念．“若p ，则q ”的否命题为“若非p ，则非q ”，即命题的否命题为“若x ≥1，则x 2－3x ＋2≤0”．故选D.3．已知函数f (x )＝21x ，则 ( )A ．∃x 0∈R ，使得f (x 0)<0B ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0 C ．∀x >0，f (x )>0 D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2) 答案：C 解析：由f (x )＝x ，定义域为[0，＋∞)，值域为[0，＋∞)，并且是递增函数，所以A 不成立．根据单调性可知B 也不成立．而D 中，当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)，所以D 不成立．故选C.4．已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )答案：B 解析：y ＝|f (x )|＝|2x －2|＝⎩⎨⎧ 2x －2，x ≥1，2－2x ，x <1，易知函数y ＝|f (x )|的图象的分段点是x ＝1，且过点(1,0)，(0,1)，|f (x )|≥0，又|f (x )|在(－∞，1)上单调递减．故选B.5．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2,2]B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪[2，＋∞)答案：A 解析：f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，∴Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2.6．已知奇函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]答案：D 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1. 故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3.故选D.7．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A. [1,2]B. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 D. (0,2] 答案：C 解析：由已知条件得f (－x )＝f (x )，则f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )．又∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴f (log 2a )≤f (1)．又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上单调递增，∴|log 2a |≤1⇒－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2.故选C.8．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为___________________．答案：[0,1) 解析：由 ⎩⎨⎧ x ≥0，1－x >0，得0≤x <1，即所求定义域为[0,1).9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤1，log 3x ，x >1，若f (x 0)＝2，则x 0的值为________． 答案：－1或9解析：若x 0≤1，则2－x 0＝2，解得x 0＝－1；若x 0>1，则log 3x 0＝2，解得x 0＝9.10．设甲、乙、丙、丁是四个命题，甲是乙的充分不必要条件，丙是乙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，那么丁是甲的________条件．答案：必要不充分 解析：因为甲是乙的充分不必要条件，即甲⇒乙，乙⇒/ 甲；又因为丙是乙的充要条件，即乙⇔丙；又因为丁是丙的必要不充分条件，即丙⇒丁，丁⇒/ 丙；故甲⇒丁，丁⇒/ 甲，即丁是甲的必要不充分条件．11．若函数)(x f ＝1＋|x |＋x 3，则)2(lg f )21(lg f +)5(lg f +=+)51(lg f ________．答案：6 解析： f (－x )＋f (x )＝2＋2|x |. ∵ lg 12＝－lg 2，lg 15＝－lg 5，12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-=>-=-0,410,00,14(x x x x f x x ）(1)判断)(x f 在),(+∞-∞上的奇偶性，并证明； (2)求不等式1-3(≤≤）x f 的解集。
2020-2021学年吉林省长春市某校高三(上)8月月考数学(文)试卷答案及解析
2020-2021学年吉林省长春市某校高三（上）8月月考数学（文）试卷一、选择题1. 复数z =cos 23π+i sin 23π在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 已知集合A ={x|(x +2)(x −3)<0}，则A ∩N (N 为自然数集)为( ) A.(−∞,−2)∪(3,+∞) B.(2,3) C.{0,1,2} D.{1,2}3. 已知向量a →=(0,1)，b →=(2,−1)，则|2a →+b →|=( ) A.2√2 B.√5C.2D.44. 我国南宋数学家秦九韶所著《数书九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约( ) A.184石 B.188石C.189石D.193石5. 命题：“∃x 0>0，使2x 0⋅(x 0−a)>1”，这个命题的否定是( ) A.∀x >0，使2x ⋅(x −a)>1 B.∀x >0，使2x ⋅(x −a)≤1 C.∀x ≤0，使2x ⋅(x −a)≤1 D.∀x ≤0，使2x ⋅(x −a)>16. 按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则M 处条件可以是( )A.k >32B.k ≥16C.k ≥32D.k <167. 已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1=2，a 1+a 4=a 5，若S n >32，则n 的最小整数值为( ) A.3 B.4C.5D.68. 某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是( )A.4+32π B.6+3πC.6+32πD.12+32π9. 已知圆(x −1)2+(y −1)2=4上到直线y =x +b 的距离等于1的点有且仅有2个，则b 的取值范围是( )A.(−√2,0)∪(0,√2)B.(−3√2,3√2)C.(−3√2,−√2)∪(√2,3√2)D.(−3√2,−√2]∪(√2,3√2]10. “龟兔赛跑”是一则国学经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，起初兔子的平均速度为v 1，乌龟的平均速度为v 2，v 1>v 2，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当他醒来后看到乌龟已经领先了，因此他用更快的速度v 3去追，结果还是乌龟先到了终点．设路程为S ，请根据故事选出符合的位移——时间图像( )A. B.C. D.11. 双曲线x 2−y 2b 2=1的左右焦点分别为F 1，F 2，P 为右支上一点，且|PF 1→|=8，PF 1→⋅PF 2→=0，则双曲线的离心率为( ) A.3 B.5 C.√26 D.5412. 已知函数f (x )={x 2+2x,x ≥0,2x −x 2,x <0,函数g (x )=|f (x )|−1，若g (2−a 2)>g (a )，则实数a 的取值范围是( ) A.(−2,1) B.(−∞,−2)∪(2,+∞)C.(−2,2)D.(−∞,−2)∪(−1,1)∪(2,+∞)二、填空题为了调查某校高中生的学习需求，从该校学生中按照分层抽样的方式选出20名学生进行问卷，已知高一、高二、高三人数比为4:3:3，则应选出高三年级学生________人．函数f (x )=4√x +√x (x −1)的定义域为________.动点P(x,y)满足{2x −y ≥0，y ≥0，x +y −3≥0，则z =x +2y 的最小值为________.已知三棱锥S −ABC ，满足SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA =SB =SC =2，Q 是三棱锥S −ABC 外接球上一动点，则点Q 到平面ABC 的距离的最大值为________． 三、解答题已知f (x )=cos x sin x −√3cos 2x +√32. (1)求f (x )的单调增区间；(2)在△ABC 中，A 为锐角且f (A )=√32，D 为BC 中点， AD =3，AB =√3，求sin ∠BAD .某人种植一种经济作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455kg ．已知当年产量低于350kg 时，单位售价为20元/kg ，若当年产量不低于350kg 而低于550kg 时，单位售价为15元/kg ，当年产量不低于550kg 时，单位售价为10元/kg .(1)求图中b 的值；(2)估计年销售额大于5000元小于6000元的概率？已知四棱锥P −ABCD 中，底面为矩形，PA ⊥底面ABCD ，PA =BC =1，AB =2，M 为PC 的中点．(1)在图中作出平面ADM 与PB 的交点N ，并指出点N 所在位置（不要求给出理由）；(2)求平面ADM 将四棱锥P −ABCD 分成上下两部分的体积比．已知函数f (x )=x 2+2x −3，g (x )=k ln x x，且函数f (x )与g (x )的图像在x =1处的切线相同．(1)求k 的值；(2)令F (x )={|f (x )| (x ≤1),g (x ) (x >1),若函数F (x )−m 存在2个零点，求实数m 的取值范围．以边长为4的等边三角形ABC 的顶点A 以及BC 边的中点D 为左、右焦点的椭圆过B ，C 两点． (1)求该椭圆的方程；(2)过点D 且与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于M ，N 两点，求证直线BM 与CN 的交点在一条直线上．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为{x =2+cos θ,y =sin θ（θ为参数）． (1)求曲线C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R )，求C 1与C 2的公共点的极坐标．已知函数f(x)=|x −1|−2|x +1|的最大值为k ． (1)求k 的值；(2)若a ，b ，c ∈R +，a 2+c 22+b 2=k ，求b(a +c)的最大值．参考答案与试题解析2020-2021学年吉林省长春市某校高三（上）8月月考数学（文）试卷一、选择题 1.【答案】 B【考点】复数的代数表示法及其几何意义 【解析】利用三角函数求值、几何意义即可得出． 【解答】解：由题意可知，z =cos 23π+i sin 23π=−12+√32i ， 对应点为(−12,√32)，在第二象限． 故选B . 2.【答案】 C【考点】 交集及其运算 【解析】求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与N 的交集即可． 【解答】解：∵ A ={x|(x +2)(x −3)<0}={x|−2<x <3}， ∴ A ∩N ={0,1,2}. 故选C . 3. 【答案】 B【考点】平面向量的坐标运算 向量的模【解析】本题考查平面向量的几何表示中的加、数乘、求模等运算． 【解答】解：由题意可知2a →+b →=(2,1)， 故|2a →+b →|=√5． 故选B ． 4.【答案】C【考点】用样本的数字特征估计总体的数字特征 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1512×27216=189（石）. 故选C . 5.【答案】 B【考点】 命题的否定 【解析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，该命题的否定为：∀x >0，使2x ⋅(x −a)≤1. 故选B ． 6.【答案】 C【考点】 程序框图 【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k ，S 的值，输出结果为31，退出循环，即可得出结论． 【解答】解：由题意，k =1，S =0，S =S +k =1， k =2，不满足条件框，S =3， k =4，不满足条件框，S =7， k =8，不满足条件框，S =15， k =16，不满足条件框，S =31， k =32，符合条件输出. 故选C . 7.【答案】 D【考点】等差数列的前n 项和 等差数列的通项公式【解析】本题考查等差数列基本量的求取，以及等差数列求和．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由已知a1=2且a1+a4=a5，可得d=2，因此S5=30，S6=42>32.故选D．8.【答案】C【考点】由三视图求体积（组合型）【解析】此题暂无解析【解答】解：此几何体为柱体，地面大小为正视图面积，所以几何体体积为V=(12π×12+12×2×2)×3=6+3π2.故选C.9.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：由已知，圆的半径为2，圆心为(1,1)，设圆心到直线的距离为d，可知圆心到直线的距离d∈(1,3)时，满足只有两个圆上的点到直线l的距离为1，根据点到直线的距离公式可得1<2<3，因此b∈(−3√2,−√2)∪(√2,3√2).故选C.10.【答案】C【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】本题背景基于经典国学故事，考查图像对函数特点的描述．【解答】解：由故事内容不难看出，v3>v1>v2，且最终乌龟先到达终点.故选C．11.【答案】B【考点】双曲线的离心率双曲线的定义【解析】利用双曲线x2−y2b2=1的定义，通过|PF1→|=8，PF1→⋅PF2→=0，求出a，c，即可得到双曲线的离心率．【解答】解：由已知a=1，|PF1→|=8，所以|PF2→|=6．又PF1→⋅PF2→=0，则PF1→⊥PF2→，根据勾股定理得，|F1F2|=10，即c=5，则双曲线的离心率为ca=5.故选B．12.【答案】D【考点】函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断函数单调性的性质【解析】D由题可知，f(x)为单调递增的奇函数，则g(x)为偶函数，又g(2−a2)>g(a)，因此[2−a2|>|a|，即(2−a2)2>a2，利用换元法解得α的取值范围是(−∞,−2)∪(−1,1)∪(2,+∞)．故选D．【解答】解：由题可知，当x≥0时，−x≤0，且f(−x)=−2x−x2=−(x2+2x)=−f(x)，所以f(x)为单调递增的奇函数，则g(x)为偶函数.又g(2−a2)>g(a)，因此|2−a2|>|a|，即(2−a2)2>a2，利用换元法解得a的取值范围是(−∞,−2)∪(−1,1)∪(2,+∞)．故选D．二、填空题【答案】6【考点】分层抽样方法【解析】由分层抽样的基本原理可知，20人中高三年级学生占310．故为6人． 【解答】解：由分层抽样的基本原理可知，选出的20人中高三年级学生占34+3+3=310， 故应选出高三年级学生20×310=6（人）． 故答案为：6. 【答案】{x|x ≥1或x =0} 【考点】函数的定义域及其求法 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由根号下式子的非负性可知，函数f(x)的自变量必须满足：{x ≥0,x (x −1)≥0,解得{x|x ≥1或x =0}.故答案为：{x|x ≥1或x =0}. 【答案】 3【考点】求线性目标函数的最值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由线性约束条件作出可行域，如图中阴影部分.直线x +2y =0如图中虚线所示，当直线平移经过点A 时，z =x +2y 取得最小值， 由{y =0,x +y −3=0,得A(3,0)， 此时z =x +2y =3，∴ z =x +2y 的最小值为3. 故答案为：3. 【答案】 4√33【考点】 球内接多面体 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：把三棱锥S −ABC 放入正方体中，则正方体的八个顶点在三棱锥的外接球上. 当过点Q 的直线为球的直径时，点Q 到平面ABC 的距离的最大. 如图所示，连接QS ，QS 交平面ABC 于点H ，则QS ⊥平面ABC .在△ABC 中，AH=23×2√2×√32=2√63， ∴QH =√(2√2)2−(2√63)2=4√33. 故答案为：4√33. 三、解答题 【答案】解：(1)由题可知f (x )=12sin 2x −√32(1+cos 2x )+√32=sin (2x −π3)，令2kπ−π2≤2x −π3≤2kπ+π2，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为[kπ−π12,kπ+5π12]，k ∈Z ． (2)由f (A )=√32， 所以sin (2A −π3)=√32， 解得A =π3或A =π2（舍）.又D 为BC 中点，以AB ，AC 为邻边作平行四边形ABEC .因为AD =3，所以AE =6.在△ABE 中，AB =√3，∠ABE =120∘， 由正弦定理可得√3sin ∠AEB=6√32，解得sin ∠AEB =14且cos ∠AEB =√154， 因此sin ∠BAD =sin (π3−∠AEB) =sin π3cos ∠AEB −cos π3sin ∠AEB=√32×√154−12×14=3√5−18． 【考点】二倍角的正弦公式 二倍角的余弦公式 两角和与差的正弦公式 正弦定理复合三角函数的单调性 【解析】答案未提供解析。
高三数学上学期开学考试8月试题 文 试题
第HY 学2021届高三数学上学期开学考试〔8月〕试题 文制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日考前须知：1．在答题之前，先将本人的姓名、准考证号填写上在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的规定的正确位置。
2．选择题的答题：每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的答题：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．在在考试完毕之后以后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题一一共12小题，每一小题5分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的． 1．复数22i 1i ⎛⎫⎪+⎝⎭等于〔 〕A ．4iB ．4i -C ．2iD ．2i -【答案】C【解析】()2222i 4i 42i 1i 2i 1i -⎛⎫=== ⎪+⎝⎭+，应选C ．2．集合{|A x y ==，{}0,1,2,3,4B =，那么A B =〔 〕A ．∅B ．{}0,1,2C ．{}0,1,2,3D ．(]{},34-∞【答案】C【解析】集合{{}||3A x y x x ===≤，{}0,1,2,3,4B =， ∴{}0,1,2,3AB =，应选C ．3．函数lncos 22y x x ⎛⎫=-<π< ⎝π⎪⎭的图象是〔 〕A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由题得()()()ln cos ln cos f x x x f x -=-==，所以函数()f x 是偶函数， 所以图像关于y 轴对称，所以排除A ，C ．由题得1ln 032f π⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以D 错误，故答案为B ．4．两个单位向量a 和b 夹角为60︒，那么向量-a b 在向量a 方向上的投影为〔 〕 A ．1- B ．1C ．12-D ．12【答案】D【解析】1cos602⋅=︒⋅=a b a b ， 那么向量-a b 在向量a 方向上的投影为：()21cos 2ϕ-⋅-⋅-===a ab a b aa b aa． 应选D ．5．双曲线221(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，那么双曲线的HY 方程为〔 〕A ．22124x y -=B ．22148x y -=C ．2218y x -=D ．22128x y -=【答案】D【解析】双曲线221(0)6x y m m m -=>+的虚轴长是实轴长的2倍，可得2=6m m +2m =，那么双曲线的HY 方程是22128x y -=．应选D ．6．从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动，那么甲被选中的概率为〔 〕 A ．14B ．13C ．12D ．23【答案】C【解析】从甲、乙、丙、丁四人中随机选出人参加志愿活动， 包括：甲乙；甲丙；甲丁；乙丙；乙丁；丙丁6种情况， ∴甲被选中的概率为3162=．应选C ． 7．就如程序中的循环体，送走一届，又会招来一级。
2020-2021学年度第一学期高三期末联考(文科数学)
第一学期期末高三联考数学科（文科）试题本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
第一部分 选择题（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设I 是全集，I={0，1，2，3，4}，集合A={0，l ，2，3}，集合B={4}，则=B C A C I I Y（ ）A ．{0}B ．{0，1}C ．{0，1，2，3，4}D ．{0，1，4} 2．2)3(31i i +-= （ ）A ．i 4341+ B ．i 4341-- C ．i 2321+ D ．i 2321-- 3. 已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x，则1[()]4f f 的值是 （ ）A ．9B ．91C ．－9D ．－91 4．设,)cos 21,31(),43,(sin x b x a ==→-→-且→-→-b a //，则锐角x为 （ ） A ．6π B ．4π C ．3πD ．π1255．如图，该程序运行后输出的结果为 （ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．16 6．不等式组⎩⎨⎧≤≤-≥+--+210)1)(1(x y x y x 所表示的平面区域是 （ ） A ．一个三角形 B ．一个梯形 C ．直角三角形 D ．两个等腰直角三角形7．设下表是某班学生在一次数学考试中数学成绩的分布表分数段 [)0,90 [)90,100 [)100,110 [)110,120 [)120,130 [)130,150人 数7681266那么分数在[)100,110中的频率和分数不满110分的累积频率约分别是 （ ） A ．0.18, 0.47 B ．0.47, 0.18 C ．0.18, 1 D ．0.38, 18．已知等比数列}{n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得1S ＝8，2S ＝20，3S ＝36，4S ＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为 （ ） A ．1S B ．2S C ．3S D ．4S 9．已知 则实数 时均有 当 且a x f x a x x f a a x,21)()1,1(,)(,102<-∈-=≠>的取值范围是 （ ）A ．[)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛，，221 0Y B ．(]4,11,41 Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ C ．(]2 11,21， Y ⎪⎭⎫⎢⎣⎡ D ．[)∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛， 441,0Y 10．定义两种运算：,22b a b a -=⊕a ⊗b=2)(b a -，则函数f(x)＝2)2(2-⊗⊕x x 为（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．奇函数且为偶函数D ．非奇函数且非偶函数第二部分 非选择题（共100分）二、填空题：（每小题5分，共20分，其中14小题为选做题，考生从给出的两题中选择其中一道作答，若两题全答的只计算前一题得分。
2021年高三8月联考数学文试题 含答案
2021年高三8月联考数学文试题含答案本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．参考公式：椎体体积公式：一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1、集合，，则（）A．B．C．D．2、已知复数的实部是，虚部是，则（其中为虚数单位）在复平面对应的点在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3、函数（且）的定义域是（）A． B．C． D．4、圆上的点到直线的距离最大为（）A．B．C．D．5、“平面向量平行”是“平面向量满足”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6、一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示，则这个几何体的体积是（）A． B. C． D. 第6题图7、已知实数满足约束条件，则的最小值是（）A．B．C．D．8、已知，，且与垂直，则与的夹角是（）A． B．C．D．9、已知等差数列的前项和为，若，则（）A． B． C．D．10、定义在R上的奇函数和定义在上的偶函数分别满足，，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．(一)必做题（11～13题）11、已知中，角、、的对边分别为、、，且，，，则．12、阅读右面的程序框图.若使输出的结果不大于31，则输入的整数的最大值为．13、若不等式对任意的恒成立，则的最大值是．第12题图(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线=与圆相切于极轴上方，则．15．（几何证明选讲选做题）如图，是半圆的直径，是半圆上异于的点，，垂足为. 若，，则半圆的面积为．第15题图三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、（本题满分12分）已知函数的最大值是2，且．（1）求的值；（2）已知锐角的三个内角分别为，，，若，求的值．17、（本题满分12分）某体育杂志针对xx年巴西世界杯发起了一项调查活动，调查“各球队在世界杯的名次与该队历史上的的实力和表现有没有关系”，在所有参与调查的人中，持“有关系”“无关系”40岁以上（含40岁）100 150 300 （1）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从持“有关系”态度的人中抽取45人，求n的值，并求从持其他两种态度的人中应抽取的人数；（2）在持“不知道”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任选取2人，求至少一人在40岁以下的概率.18、（本题满分14分）如图，直角梯形中，,,平面平面,为等边三角形，分别是的中点，.(1)证明：;(2)证明：平面;(3)若,求几何体的体积.19、（本题满分14分）已知各项均为正数的等差数列满足：，各项均为正数的等比数列满足：，.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足：，其前项和为，证明.20、（本题满分14分）已知抛物线C:与直线相切，且知点和直线，若动点在抛物线C上（除原点外），点处的切线记为，过点且与直线垂直的直线记为.(1)求抛物线C的方程；（2）求证：直线相交于同一点.21、（本题满分14分）已知函数和（1）若函数在区间不单调，求的取值范围；（2）当时，不等式恒成立，求的最大值.xx届高三上学期六校第一次联考文科数学答案一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．(一)必做题（11～13题）11、 12、5 13、9(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14、2 15、三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16、解：（1）∵函数的最大值是2，∴……………………………………………………………………………………………2分∵又∵∴……………………………………………………………4分（2）由（1）可知…………………………………………6分……………8分∵∴，………10分∴…………………………………………………………………12分17、解：（Ⅰ）由题意，得n30015010020045080045100800+++++=+ …………………………2分从持“无关系”态度的人中，应抽取人…………………………3分 从持“不知道”态度的人中，应抽取人…………………………4分 （Ⅱ）设所选取的人中，有m 人在40岁以下，则，解得m=2. ……6分就是40岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作则从中任取2人的所有基本事件为),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(32312121322212312111B B B B B B A A B A B A B A B A B A B A 共10个……………………………………………………………………………9分 其中至少有1人在40岁以下的基本事件为),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(21322212312111A A B A B A B A B A B A B A 共7个 (11)分记事件“选取2人中至少一人在40岁以下”为,则所以选取2人中至少一人在40岁以下的概率为 ………………………12分18、(1)证明： 为等边三角形，是的中点………………………………………………………………1分 又因为平面平面，交线为,平面根据面面垂直的性质定理得 平面; ………………………3分 又平面………………………………………………………………4分 (2)证明：取中点G ，连接,且 ………………6分,,且 ………………8分四边形是平行四边形………………9分 又平面，平面平面 ………………10分 (3)解：依题，直角梯形中，,,1,2,2AB CD AB BC AB CD BC ⊥===则直角梯形的面积为11()(12)2322ABCD S AB CD BC =+⨯=+⨯=梯形 ……12分 由（1）可知平面，是四棱锥的高在等边中，由边长,得 ………13分 故几何体的体积为 1133333E ABCDABCD V S EF -=⋅⋅=⨯=梯形 ………14分19、解：（1）设的公差为，的公比为，则依题意有121123*********()3()(2)1534a a a a d a a a d a d b b b b q b b q =+=⎧⎪=++=⎪⎨+=+=⎪⎪==⎩解得,，．…………………………4分所以，．…………………………6分（2）．…………………………7分，① ，②②－①得，…………………………11分又因为，所以，所以…………………13分 综上 得证. …………………14分 20、（1）解：联立消去得因为抛物线C 与直线相切，所以 ………3分解得（舍）或 ………4分所以抛物线的方程为 …………………5分 （2）证明：由得，求导有 ………………6分 设，依题其中，则处的切线方程为：切线方程 …………………8分 与直线联立得：，即直线相交于 …………9分 直线的斜率为因为与直线垂直，所以 …………………11分 因为过点，所以的方程为 …………………12分 与直线联立得：，即直线也相交于 ………13分故直线相交于于同一点. ………………14分21、解：（1） …………………1分 ①当时，，所以在单调递减，不满足题意；………2分 ②当时，在上单调递减，在上单调递增，因为函数在区间不单调，所以，解得 ………4分综上的取值范围是. …………………5分 （2）令3()()()(2)2xh x f x g x x e kx x =-=--++依题可知在上恒成立 …………………6分 ，令=，有且 …………………7分 ①当即时，因为，所以所以函数即在上单调递增，又由 故当时，，所以在上单调递增又因为，所以在上恒成立，满足题意；…………………10分②当即时，当，，函数即单调递减，又由，所以当，所以在上单调递减，又因为，所以时，这与题意在上恒成立相矛盾，故舍. …………………13分综上，即的最大值是. …………………14分35805 8BDD 话21602 5462 呢24727 6097 悗31956 7CD4 糔]22410 578A 垊36252 8D9C 趜~35443 8A73 詳i 31063 7957 祗33126 8166 腦。
2020-2021学年重庆市某校高三(上)8月月考数学试卷答案及解析
2020-2021学年重庆市某校高三（上）8月月考数学试卷一、选择题1. 下列关系中正确的是( ) A.a ⊆{a,b,c } B.{0}∈{x|x 2=x } C.{0,1}⊆N ∗ D.0∈{x|√x 2+1=1}2. 下列是相同函数的是( ) A.y =√x 2与y =(√x)2B.y =x 与y =√x 33C.y =1与y =x 0D.y =x+1x 2−1与y =x −13. 下列关于命题的说法错误的是( )A.命题“若x 2−3x +2=0，则x =1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2−3x +2≠0”B.“a =2”是“函数f (x )=log a x 在区间(0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件C.命题“∃x ∈(−∞,0)，2x <3x ”是真命题D.若命题p ：∃n ∈N ，2n >1000，则¬p ：∀n ∈N ，2n ≤10004. 若函数y =x 2+(2a −1)x +1在区间(−∞, 2]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A.[−32, +∞)B.(−∞, −32]C.[32, +∞)D.(−∞, 32]5. 设函数y =√4−x 2的定义域为集合A ，函数y =ln (1−x)的定义域为集合B ，则A ∩B =( ) A.(1, 2) B.(1, 2] C.(−2, 1) D.[−2, 1)6. 方程f (x )=2x +x −2的零点所在区间是( ) A.(−1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)7. 若函数f (x )={2x ,x ≥4,f (x +3),x <4,则f (log 238)等于( )A.3B.4C.16D.248. 已知 a =2−13，b =log 213,c =log 1213，则( )A.c >a >bB.a >c >bC.a >b >cD.c >b >a9. 函数y =x 2+ln |x|的图象大致为( )A.B.C. D.10. 已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0,+∞)上单调增，且f (1)=3，则不等式f(log 2x)>3的解集为( ) A.(2,+∞) B.(0,12)C.(0,12)∪(2,+∞)D.(−∞,12)∪(2,+∞)11. 已知函数满足f (x )={a x (x <0),(a −3)x +4a(x ≥0)对于任意x 1≠x 2都有f (x 2)−f (x 1)x 1−x 2>0成立，则a 的取值范围是( ) A.(0,14]B.(0,1)C.[14,1)D.(3,+∞)12. 函数f(x)是定义在(0, +∞)上的单调函数，且对定义域内的任意x ，均有f(f(x)−ln x −x 3)=2，则f(e)=( )A.e 3+1B.e 3+2C.e 3+e +1D.e 3+e +2二、填空题 1.5−13×(−76)0+80.25×√24−√(−23)23+32log 32=________．已知集合M ={1,ab ，b}，N ={0, a +b, b 2}，若M =N ，则a 2010+b 2011=________．已知点(2, √22)在幂函数f(x)的图象上，则f(9)=________．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x −1)=f (x +3)+f (2)，且当x ∈[0,2]时，y =f (x )单调递减，给出以下四个命题： ①f (2)=0；②x =−4为函数y =f (x )图象的一条对称轴； ③函数y =f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )=m 在[−6,−2]上的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=−8. 则所有正确命题的序号为________. 三、解答题已知全集U =R ，若集合A ={x|−2<x <4},B ={x|x −m <0}． (1)若m =3，求A ∩(∁U B )；(2)若A ∩B =A ，求实数m 的取值范围．设命题p ：实数x 满足x 2−2x +1−m 2≤0，其中m >0，命题q:12x+2≥1．(1)若m =2且p ∨q 为真命题，求实数x 的取值范围；(2)若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．已知函数f(x)=4x −a ⋅2x −(a +1)． (1)若a =2，解不等式f(x)<0；(2)若f(x)有零点，求实数a 的取值范围．已知f(x)是定义在[−1, 1]上的奇函数且f(1)=1，若a ，b ∈[−1, 1]，a +b ≠0，有f(a)+f(b)a+b>0．(1)判断函数f(x)在[−1, 1]上是增函数还是减函数，并用定义证明你的结论；(2)解不等式f(x +12)>f(2x −12)；(3)若f(x)≤m 2−2am +1对所有x ∈[−1, 1]，a ∈[−1, 1]恒成立，求实数m 的取值范围．某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善．该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图．已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：(1)根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；(2)根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）．①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率．已知函数f(x)=2xln x ．(1)求曲线y =f(x)与直线2x +y =0垂直的切线方程；(2)若存在x 0∈[e, +∞)，使函数g(x)=ae ln x +12x 2−a+e 2⋅ln x ⋅f(x)≤a 成立，求实数a 的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年重庆市某校高三（上）8月月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 D【考点】集合的包含关系判断及应用 元素与集合关系的判断 【解析】求解方程化简集合，解题关键时区分∈，⊂之间的关系. 【解答】解：A 选项中，a 为集合{a,b,c }中的一个元素，a ∈{a,b,c }，故A 错误； B 选项中，{x |x 2=x }={0,1}，{0}⊆{0,1}，故B 错误；C 选项中，N ∗表示正整数集合，{0,1}不是N ∗的子集，故C 错误；D 选项中，{x |√x 2+1=1}={0}，故D 正确. 故选D . 2. 【答案】 B【考点】判断两个函数是否为同一函数 【解析】A 中两个函数定义域不同，y =√x 2中定义域为R ，y =(√x)2中定义域为{x |x ≥0}，B 中两个函数相同，C 中两个函数定义域不同，y=1，x ∈R ，y =x 0中，x 不等于0，D 中第一个函数x 不等于1且不等于-1，第二个x 为全体实数，所以选B 【解答】解：A 中两个函数定义域不同，y =√x 2中定义域为R ，y =(√x)2中定义域为{x |x ≥0}，该选项不符合题意； B 中两个函数相同，该选项符合题意；C 中两个函数定义域不同，y =1，x ∈R ，y =x 0中，x 不等于0，该选项不符合题意；D 中两个函数定义域不同，第一个函数x ≠±1，第二个函数x ∈R ，该选项不符合题意. 故选B . 3.【答案】 C【考点】复合命题及其真假判断必要条件、充分条件与充要条件的判断 命题的真假判断与应用命题的否定【解析】选项A 是写一个命题的逆否命题，只要把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论即可；选项B 看由a =2能否得到函数f (x )=log a x 在区间(0,+∞)上为增函数，反之又是否成立；选项C 、D 是写出特称命题的否定，注意其否定全称命题的格式． 【解答】解：因为命题“若x 2−3x +2=0，则x =1“的逆否命题为“若x ≠1，则x 2−3x +2≠0，所以A 正确； 由a =2能得到函数f (x )=log a x 在区间(0,+∞)上为增函数，反之，函数f (x )=log a x 在区间(0,+∞)上为增函数，a 不一定等于2，所以”a =2“是“函数f (x )=log a x 在区间(0,+∞)上为增函数”的充分不必要条件，所以B 正确； 因为当x <0时恒有2x >3x ，所以命题“∃x ∈(−∞,0)，2x <3x ”为假命题，所以C 不正确． 命题p ：∃n ∈N ，2n >1000，的否定为¬p ：∀n ∈N ，2n ≤1000，所以D 正确. 故选C . 4.【答案】 B【考点】二次函数的性质 【解析】由已知中函数的解析式，结合二次函数的图象和性质，可以判断出函数y =x 2+(2a −1)x +1图象的形状，分析区间端点与函数图象对称轴的关键，即可得到答案． 【解答】解：∵ 函数y =x 2+(2a −1)x +1的图象是开口方向朝上， 以直线x =2a−1−2为对称轴的抛物线.又∵ 函数在区间(−∞, 2]上是减函数， 故2≤2a−1−2,解得a ≤−32. 故选B ． 5. 【答案】 D【考点】函数的定义域及其求法 交集及其运算【解析】根据幂函数及对数函数定义域的求法，即可求得A 和B ，即可求得A ∩B ． 【解答】解：由4−x 2≥0，解得：−2≤x ≤2，则函数y =√4−x 2的定义域为[−2, 2].由对数函数的定义域可知：1−x >0，解得：x <1， 则函数y =ln (1−x)的定义域为(−∞, 1)，则A∩B=[−2, 1).故选D．6.【答案】B【考点】函数零点的判定定理【解析】由函数的解析式求得f(0)f(1)<0，再根据根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=2x+x−2的零点所在的区间．【解答】解：函数f(x)=2x+x−2在R上单调递增，∵ f(0)=1+0−2=−1<0，f(1)=2+1−2=1>0，∴ f(0)⋅f(1)<0，∴ 根据函数零点的判定定理可知零点所在的区间是(0,1).故选B．7.【答案】D【考点】对数的运算性质函数的求值【解析】先根据对数函数的性质判断log23的范围，代入相应的解析式求解，再判断所得函数值的范围，再代入对应解析式求解，利用对数的恒等式进行求解．【解答】解：因为log238<4，所以f(log238)=f(log238+3)=f(log23).因为log23<4，所以f(log23)=f(log23+3)=f(log224).因为log224>4，所以f(log224)=2log224=24.故选D．8.【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较【解析】此题暂无解析【解答】解：a=2−13，则0<a<1，b=log213，则b<0，c=log1213>log1212，则c>1，故c>a>b.故选A.9.【答案】A【考点】函数图象的作法【解析】此题暂无解析【解答】解：由题得f(−x)=f(x)且x≠0，所以f(x)为偶函数，故排除B，C；当x>0时，y=x2+ln x为增函数，故排除D．故选A．10.【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合函数奇偶性的性质函数单调性的性质【解析】偶函数的图像关于y轴对称，所以f(−1)=3，并且在（−∞，0）上f(x)单调递减，则不等式等价为log2(x)<−1或log2(x)>1,(f(x)定义域为{x|x≥0}），所以不等式的解集为（0，12）∪（2，+∞）选C【解答】解：∵ 偶函数的图象关于y轴对称，∴ f(−1)=3，并且在(−∞，0)上f(x)单调递减，则不等式等价为log2x<−1或log2x>1，且log2x的定义域为{x|x>0}，∴ 不等式的解集为(0，12)∪(2，+∞).故选C.11.【答案】A【考点】已知函数的单调性求参数问题函数单调性的判断与证明【解析】由条件可知f(x)在R上为减函数，列出不等式组即可得出a的范围．【解答】解：∵ 对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0成立，∴ f (x )在R 上是减函数，∴ {0<a <1，a −3<0，a 0≥(a −3)×0+4a ，解得：0<a ≤14． 故选A ． 12.【答案】 B【考点】已知函数的单调性求参数问题 函数解析式的求解及常用方法【解析】由题意得f(x)−ln x −x 3是定值，令f(x)−ln x −x 3=t ，得到ln t +t 3+t =2，求出t 的值，从而求出f(x)的表达式，求出f(e)即可． 【解答】解：∵ 函数f(x)是定义在(0, +∞)上的单调函数， 且对定义域内的任意x ，均有f(f(x)−ln x −x 3)=2， 则f(x)−ln x −x 3是定值. 不妨令f(x)−ln x −x 3=t ， 则f(t)=ln t +t 3+t =2， 解得t =1，∴ f(x)=ln x +x 3+1，∴ f(e)=ln e +e 3+1=e 3+2. 故选B ． 二、填空题【答案】 6【考点】对数的运算性质根式与分数指数幂的互化及其化简运算 【解析】利用幂的性质和运算以及根式与幂的互化解决． 【解答】解：原式=(23)13+(23)14×214−(23)13+3log 322=234+14+22=6.故答案为：6. 【答案】−1【考点】 集合的相等 【解析】由题设知{a b =0b 2=1b ≠1，先求出a =0，b =−1．再求a 2010+b 2011=02010+(−1)2011=−1．【解答】解：由题意知b ≠0，且由集合元素的互异性知b ≠1， ∴ ab =0，即a =0，∴ b 2=1. 又∵ b ≠1， ∴ b =−1，∴ a 2010+b 2011=02010+(−1)2011=−1． 故答案为：−1． 【答案】13【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域 函数的求值【解析】先设出函数的解析式，利用待定系数法求出函数的表达式，代入求值即可． 【解答】解：设幂函数的解析式为：f(x)=x α，点(2, √22)在幂函数f(x)的图象上， 则2α=√22=2−12，∴ α=−12， ∴ f(9)=9−12=13.故答案为：13． 【答案】 ①②④ 【考点】 函数的周期性 函数奇偶性的性质 函数单调性的判断与证明【解析】①由于f (x +4)=f (x )+f (2)，令x =−2，及函数f (x )是偶函数即可得出；②由①可知：f (x +4)=f (x )，可得周期T =4，再利用函数f (x )是偶函数，关于y 轴对称，可得x =4也是其对称轴；③当x∈[0,2]时，y=f(x)单调递减，又函数f(x)是偶函数，可得函数f(x)在x∈[0,2]时单调递增．再利用其周期性可得：函数f(x)在区间[6,8]上单调递增；④利用当x∈[0,2]时，y=f(x)单调递减，f(2)=0，可知：在x∈[0,2]时，只有f(2)=0同理在区间[−2,0）上只有f(−2)=0，即可得出．【解答】解：∵f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(−x)=f(x).可得f(−2)=f(2)，在f(x−1)=f(x+3)+f(2)中令x=−1得f(−2)=f(2)+f(2)，∴f(−2)=f(2)=0.∴f(x−1)=f(x+3)，即f(x)=f(x+4)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数.又当x∈[0, 2]时，y=f(x)单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f(x)的简图，如图所示,从图中可以得出：①f(2)=0；②x=−4为函数y=f(x)图象的一条对称轴；③函数y=f(x)在[8, 10]上单调递减，故③错误；④若方程f(x)=m在[−6, −2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=−8．故答案为：①②④．三、解答题【答案】解：(1)当m=3时，B={x|x<3}，所以∁U B={x|x≥3}.因为A={x|−2<x<4}，所以A∩(∁U B)={x|3≤x<4}．(2)由A∩B=A得，A⊆B.因为A={x|−2<x<4}，B={x|x<m}，所以m≥4．【考点】交、并、补集的混合运算集合的包含关系判断及应用【解析】无无【解答】解：(1)当m=3时，B={x|x<3}，所以∁U B={x|x≥3}.因为A={x|−2<x<4}，所以A∩(∁U B)={x|3≤x<4}．(2)由A∩B=A得，A⊆B.因为A={x|−2<x<4}，B={x|x<m}，所以m≥4．【答案】解：(1)∵ m=2且p∨q为真命题，由命题p:x2−2x−3≤0为真命题，解得−1≤x≤3.由命题q:12x+2≥1为真命题，化为x−10x+2≤0，解得−2<x≤10．∴实数x的取值范围是[−1, 3]∪(−2, 10]=(−2, 10]．(2)对于命题p：实数x满足x2−2x+1−m2≤0，其中m>0，化为[x−(1−m)][x−(1+m)]≤0，解得1−m≤x≤1+m，记为A=[1−m, 1+m](m>0)．对于命题q:12x+2≥1，解得−2<x≤10，记为B=(−2, 10]．∵¬q是¬p的充分不必要条件，∴p是q的充分不必要条件，∴{1−m>−2,1+m≤10,解得m<3．又m>0，∴实数m的取值范围是(0, 3)．【考点】逻辑联结词“或”“且”“非”根据充分必要条件求参数取值问题【解析】（1）m=2且p∨q为真命题，由命题P:x2−2x−3≤0为真命题，利用一元二次不等式解法可得解集；由命题q:12x+2≥1为真命题，化为x−10x+2≤0，转化为(x+2)(x−10)≤0，且x+2≠0，解出取并集即可．（2）对于命题p：实数x满足x2−2x+1−m2≤0，其中m>0，化为[x−(1−m)][x−(1+m)]≤0，可得解集A=[1−m, 1+m](m>0)．得到￢p:∁R A=(−∞, 1−m)∪(1+m, +∞)．同理可得￢q:∁R B=(−∞, −2]∪(10, +∞)．根据￢q是￢p的充分不必要条件，可得{1−m≤−21+m≥10，但是等号不同时成立，解出即可．【解答】解：(1)∵ m=2且p∨q为真命题，由命题p:x2−2x−3≤0为真命题，解得−1≤x≤3.由命题q:12x+2≥1为真命题，化为x−10x+2≤0，解得−2<x≤10．∴实数x的取值范围是[−1, 3]∪(−2, 10]=(−2, 10]．(2)对于命题p：实数x满足x2−2x+1−m2≤0，其中m>0，化为[x−(1−m)][x−(1+m)]≤0，解得1−m≤x≤1+m，记为A=[1−m, 1+m](m>0)．对于命题q:12x+2≥1，解得−2<x≤10，记为B=(−2, 10]．∵¬q是¬p的充分不必要条件，∴p是q的充分不必要条件，∴{1−m>−2,1+m≤10,解得m<3．又m>0，∴实数m的取值范围是(0, 3)．【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=4x−2×2x−3，所以不等式f(x)<0可化为4x−2×2x−3<0，令t=2x，t>0，则t2−2t−3<0，解得0<t<3，即0<2x<3，所以x<log23，所以不等式的解集为(−∞，log23).(2)∵函数f(x)有零点，∴4x−a⋅2x−(a+1)=0，(2x+1)[2x−(a+1)]=0.又∵2x>0，∴2x=a+1>0，∴a>−1.【考点】函数恒成立问题函数的零点【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)当a=2时，f(x)=4x−2×2x−3，所以不等式f(x)<0可化为4x−2×2x−3<0，令t=2x，t>0，则t2−2t−3<0，解得0<t<3，即0<2x<3，所以x<log23，所以不等式的解集为(−∞，log23).(2)∵函数f(x)有零点，∴4x−a⋅2x−(a+1)=0，(2x+1)[2x−(a+1)]=0.又∵2x>0，∴2x=a+1>0，∴a>−1.【答案】解：(1)函数f(x)在区间[−1, 1]上是增函数．证明如下：设−1≤x1<x2≤1，则f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1)+f(−x2)x1−x2(x1−x2)<0，可知f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[−1, 1]上是增函数．(2)由f(x)在[−1, 1]上是增函数知：不等式f(x+12)>f(2x−12)等价为：{−1≤x+12≤1,−1≤2x−12≤1,x+12>2x−12,解得−14≤x≤12，故不等式的解集为[−14,12]．(3)∵f(x)在[−1, 1]上是增函数，∴f(x)≤f(1)=1，即f(x)max=1.依题意有m2−2am+1≥1，对a∈[−1, 1]恒成立，即m2−2am≥0恒成立．令g(a)=−2ma+m2，它的图象是一条线段，则{g(−1)=m2+2m≥0,g(1)=m2−2m≥0,即{m≥0或m≤−2,m≥2或m≤0,∴m∈(−∞, −2]∪{0}∪[2, +∞)．【考点】函数恒成立问题函数单调性的性质函数单调性的判断与证明【解析】（1）根据函数单调性的定义进行判断和证明．（2）根据函数的单调性将不等式f(x+12)>f(2x−12)进行转化即可得不等式的解集．（3）将不等式恒成立转化求函数的最值，即可得到结论．【解答】解：(1)函数f(x)在区间[−1, 1]上是增函数．证明如下：设−1≤x1<x2≤1，则f(x1)−f(x2)=f(x1)+f(−x2)=f(x1)+f(−x2)x1−x2(x1−x2)<0，可知f(x1)<f(x2)，∴f(x)在[−1, 1]上是增函数．(2)由f(x)在[−1, 1]上是增函数知：不等式f(x +12)>f(2x −12)等价为：{−1≤x +12≤1,−1≤2x −12≤1,x +12>2x −12,解得−14≤x ≤12，故不等式的解集为[−14,12]．(3)∵ f(x)在[−1, 1]上是增函数，∴ f(x)≤f(1)=1，即f(x)max =1.依题意有m 2−2am +1≥1，对a ∈[−1, 1]恒成立，即m 2−2am ≥0恒成立． 令g(a)=−2ma +m 2，它的图象是一条线段， 则{g(−1)=m 2+2m ≥0,g(1)=m 2−2m ≥0,即{m ≥0或m ≤−2,m ≥2或m ≤0,∴ m ∈(−∞, −2]∪{0}∪[2, +∞)． 【答案】解：(1)由频率分布直方图可得， 空气质量指数在(90,110]的频率为30−7−14−6−130=230，即天数为2天，所以估计空气质量指数在(90,100]的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为7+14+6+1=28天．(2)①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天， ∴ P(X =0)=C 242C 302=92145，P(X =1)=C 61⋅C 241C 302=48145，P(X =2)=C 62C 302=129.∴ X 的分布列为：EX =0×92145+1×48145+2×129=25.②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，∴ P =C 32⋅(110)2⋅910⋅C 21⋅310⋅710=56750000.【考点】频率分布直方图离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）由频率分布点为图可得，空气质量指数在(90,110]的天数为2天，所以估计空气质量指数在(90,100]的天数为1天，故在站40天中官（随量等级树于优感良的无数为28天 . .【解答】解：(1)由频率分布直方图可得， 空气质量指数在(90,110]的频率为30−7−14−6−130=230，即天数为2天，所以估计空气质量指数在(90,100]的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为7+14+6+1=28天．(2)①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天， ∴ P(X =0)=C 242C 302=92145，P(X =1)=C 61⋅C 241C 302=48145，P(X =2)=C 62C 302=129.∴ X 的分布列为：EX =0×92145+1×48145+2×129=25.②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，∴ P =C 32⋅(110)2⋅910⋅C 21⋅310⋅710=56750000.【答案】解：(1)因为f(x)=2xln x ， 所以f ′(x)=2(ln x−1)(ln x)2. 设切点坐标为(a, 2a ln a)，而曲线y =f(x)与直线2x +y =0垂直的切线的斜率k =12，故2(ln a−1)(ln a)2=12，解得a =e 2，则切点坐标是(e 2, e 2)，故切线方程是y −e 2=12(x −e 2)，即12x −y +12e 2=0.(2)因为g(x)=ae ln x +12x 2−(a +e)x ， 由已知，若存在x 0∈[e, +∞)， 使函数g(x)=ae ln x +12x 2−a+e 2⋅ln x ⋅f(x)≤a 成立，则只需满足当x ∈[e, +∞)，g(x)min ≤a 即可.又g(x)=ae ln x+12x2−(a+e)x，则g′(x)=(x−a)(x−e)x.若a≤e，则g′(x)≥0在x∈[e, +∞)上恒成立，∴g(x)在[e, +∞)上单调递增，∴g(x)min=g(e)=−e22，∴a≥−e22.∵a≤e，∴−e22≤a≤e.若a>e，则g(x)在[e, a)上单调递减，在[a, +∞)上单调递增，∴g(x)在[e, +∞)上的最小值是g(a).∵g(a)<g(e)，a>e，∴满足题意.综上所述，a≥−e 22．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（1）设出切点坐标，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，由f′(x)<0得0<x<1或1<x<e，即可求出单调递减区间；（3）由已知，若存在x0∈[e, +∞)，使函数g(x)≤a成立，则只需满足当x∈[e, +∞)，g(x)min≤a即可．【解答】解：(1)因为f(x)=2xln x，所以f′(x)=2(ln x−1)(ln x)2.设切点坐标为(a, 2aln a)，而曲线y=f(x)与直线2x+y=0垂直的切线的斜率k=12，故2(ln a−1)(ln a)2=12，解得a=e2，则切点坐标是(e2, e2)，故切线方程是y−e2=12(x−e2)，即12x−y+12e2=0.(2)因为g(x)=ae ln x+12x2−(a+e)x，由已知，若存在x0∈[e, +∞)，使函数g(x)=ae ln x+12x2−a+e2⋅ln x⋅f(x)≤a成立，则只需满足当x∈[e, +∞)，g(x)min≤a即可.又g(x)=ae ln x+12x2−(a+e)x，则g′(x)=(x−a)(x−e)x.若a≤e，则g′(x)≥0在x∈[e, +∞)上恒成立，∴g(x)在[e, +∞)上单调递增，∴g(x)min=g(e)=−e22，∴a≥−e22.∵a≤e，∴−e22≤a≤e.若a>e，则g(x)在[e, a)上单调递减，在[a, +∞)上单调递增，∴g(x)在[e, +∞)上的最小值是g(a).∵g(a)<g(e)，a>e，∴满足题意.综上所述，a≥−e22．。
2020-2021学年安徽省某校高三(上)8月摸底数学试卷(文科)
2020-2021学年安徽省某校高三（上）8月摸底数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 若集合A＝{−6, 6}．B＝{x|（）＝1}，则（）A.A∩B＝{−6}B.A∪B＝{−6, 1, 6}C.A⊆BD.B⊆A2. 已知复数z＝，则|z|＝（）A. B. C. D.13. 某省新高考采取的是“3+1+2”模式，“3”指“语文、数学、外语”均为必考科目，“1”指在“物理、历史”中选择1科为考试科目，“2”指在“化学、生物、政治、地理”中选择2科为考试科目．为了帮助学生正确的看出学科的优劣，指导学生合理进行选科，班主任唐老师将每个学生选考科目的成绩制作成5分制的雷达图．已知甲同学成绩的雷达图如图所示，以全年级同学成绩为比较标准，甲同学较为理想的选科为（）A.物理+历史+地理B.物理+生物+地理C.历史+生物+地理D.物理+历史+生物4. 已知a>0，则“0<a<2”是“函数f(x)＝log2(x2−3ax+2a2)在(4, +∞)上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 设a＝20.4，b＝log0.42，c＝log0.52，则（）A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a 6. 若点M是△ABC所在平面内的一点，且＝+，则＝（）A.3B.C.4D.7. 函数f(x)＝-在[−π, π]上的图象大致为（）A.B.C.D.8. 执行如图所示的程序框图，若输入的S=3，则输出的S的值是（）A.243B.729C.2187D.65619. 已知角θ+的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P(3, −1)，则sin(2θ+）＝（）A. B.- C.- D.10. 已知圆C经过三点(5, 3)，(−2, 2)，(−1, −5)，若直线l:3x+4y+8＝0与圆C交于A，B两点，则|AB|＝（）A. B. C.2 D.211. 已知函数f(x)＝，则y＝f[f(x−1)]的零点个数为（）A.3B.4C.5D.612. 已知F1，F2为双曲线C：-＝1(a>0, b>0)的左、右焦点，若P为双曲线右支上一点，PF1＝2b，在x轴上存在动点T(x0, 0)到直线PF1与PF2的距离相等，当x0∈（，）（c是双曲线的半焦距）时，双曲线C的离心率的取值范围是（）A.（，2)B.（，）C.（，）D.(2，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）已知实数x，y满足，则z＝3x−4y的最大值为________．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2021＝S2021＝2021，则a1＝________．已知抛物线C:y2＝8x的焦点为F，点M在抛物线C上，点M在y轴上的投影为点N，若•≥λ恒成立，则实数λ的取值范围为________．三棱锥P−ABC中，PA＝PB＝PC＝2，∠ABC＝，AC＝，则三棱锥P−ABC外接球表面积的最小值是________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2ab sin C+c2＝(a2+b2)．(Ⅰ)求角C的大小；(Ⅱ)若△ABC的面积为，c＝2，求△ABC的周长．已知a∈R，设p:∀x∈[2, 3]，(a+1)x−1>0恒成立，命题q:∃x0∈R，使得x02+ax0+1<0．(1)若p∧q是真命题，求a的取值范围；(2)若p∧(¬q)为假，p∨(¬q)为真，求a的取值范围．某工厂对生产的一批零件的尺寸进行测量，共计测量20000个，测量所得数据制成如图所示频率分布直方图：(Ⅰ)求图中a的值以及尺寸在[70, 80)内的零件数量；(Ⅱ)求这批零件尺寸的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中间值代替，结果精确到0.1）；(Ⅲ)现采用分层抽样的方法，从尺寸在[40, 50)和[70, 80)内的零件中随机抽取6个，再从这6个零件中任取2个，求至少有1个零件的尺寸在[40, 50)内的概率．如图，三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长都相等，平面AA1C1C⊥平面ABC，∠AA1C＝60∘，点D为线段AC的中点，点E在线段AB上．(Ⅰ)求证：平面A1DE⊥平面ABC；(Ⅱ)若AB＝2，求点C到平面ABC1的距离．已知椭圆C：+＝1(a>b>0)的右焦点为F，下顶点为B1，上顶点为B2，离心率为，且•＝−2．(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；(Ⅱ)设椭圆C的右顶点为A，椭圆C上有一点P（不与A重合），直线PF与直线x＝2相交于点M，若|AM|＝，求点P的横坐标．已知函数f(x)＝ax2−ln x(a≠0)，f′(x)是f(x)的导函数．(Ⅰ)求f(x)的极值；(Ⅱ)若直线y＝x+1与曲线y＝f(x)有两个不同的交点，其横坐标分别为x1，x2，求证：f′(x1+x2)>2−a．参考答案与试题解析2020-2021学年安徽省某校高三（上）8月摸底数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.【答案】B【考点】交集及其运算集合的包含关系判断及应用并集及其运算【解析】由于集合A＝{−6, 6}．B＝{x|（）＝1}＝{1, 6}，所以根据集合运算及集合之间的关系判断即可．【解答】∵集合A＝{−6, 6}）＝1}＝{2，∴A∩B＝{6}，故A错误；A∪B＝{−6, 3, 6}；−6∈A，但−5∉B；1∈B，故B⊄A；故C，D均错误．【点评】本题考查了集合的表示，集合的运算以及集合之间的关系，属于基础题．2.【答案】C【考点】复数的模【解析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．【解答】z＝＝＝＝1−i，则|z|＝．【点评】本题主要考查复数模长的计算，比较基础3.【答案】B【考点】进行简单的合情推理【解析】由雷达图得到甲同学各科与年级平均分相比较的优劣，根据“3+1+2”模式的规则，即可得到甲同学较为理想的选科科目．【解答】由雷达图得，甲同学物理，地理科目的分数高于年级平均分，但物理，历史中只能选择1科为考试科目，则甲同学较为理想的选科为物理+生物+地理．【点评】本题主要考查了简单的合情推理，是基础题．4.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】直接利用复合函数的单调性同增异减的性质和充分条件和必要条件的应用求出结果．【解答】函数f(x)＝log2(x2−6ax+2a2)在(4, +∞)上单调递增”所以，解得a≤2，由于a>0，所以：8<a≤2，所以“0<a<4”是“函数f(x)＝log2(x2−8ax+2a2)在(4, +∞)上单调递增”的充分不必要条件．【点评】本题考查的知识要点：对数型函数的性质，复合函数的性质的应用，充分条件和必要条件的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．5.【答案】B【考点】对数值大小的比较【解析】根据对数函数以及指数函数的性质判断即可．【解答】根据对数函数的性质得：0>b＝log0.62>c＝log0.62，而a＝22.4>0，故c<b<a，【点评】本题考查了对数函数以及指数函数的性质，考查转化思想，是一道基础题．6.【答案】D【考点】平面向量的基本定理【解析】因为＝+，可得B，M，C共线，然后结合向量的线性表示及及平面向量基本定理可求．【解答】设＝λ，因为＝+，且＝8，所以B，M，C共线，设＝λ，则＝＝＝(1−λ)+，由平面向量基本定理得，λ＝．【点评】本题主要考查了向量共线定理及平面向量基本定理，属于基础题．7.【答案】A【考点】函数的图象与图象的变换【解析】利用排除法，判断函数的奇偶性和特殊函数值即可排除不正确答案．【解答】∵f(−x)＝-＝f(x)，∴函数f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，f(π)＝-，排除C，f（）＝-）<4，【点评】本题考查了函数图象的识别，属于基础题．8.【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得S=3，i=1满足条件i≤6，执行循环体，S=9，i=2满足条件i≤6，执行循环体，S=27，i=3满足条件i≤6，执行循环体，S=81，i=4满足条件i≤6，执行循环体，S=243，i=5满足条件i≤6，执行循环体，S=729，i=6满足条件i≤6，执行循环体，S=2187，i=7此时，不满足条件i≤6，退出循环，输出S的值为2187．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9.【答案】D【考点】二倍角的三角函数任意角的三角函数【解析】先由已知求出角的正余弦值，然后利用正弦的倍角公式以及诱导公式求出cos2θ，进而可以求解．【解答】由已知可得：sin（）＝，cos(θ）＝，所以sin2（）＝sin(2＝5sin（）cos（，所以sin(4）＝−cos6θ＝，【点评】本题考查了三角函数的定义以及正余弦的诱导公式和倍角公式的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．10.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【解析】设出圆的一般方程，由已知列关于D、E、F的方程组，求得D、E、F的值，可得圆的方程，化为标准方程，求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，然后利用垂径定理求弦长．【解答】设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝3．由题意可得，解得D＝−4，F＝−20．∴圆C的方程为x2+y4−4x+2y−20＝3，化为(x−2)2+(y+8)2＝25．得圆C的圆心坐标为(2, −2)．圆心C到直线l:3x+4y+7＝0的距离d＝＝2．∴直线l:6x+4y+8＝7被圆C所截的弦长为，【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，训练了利用垂径定理求弦长，是基础题．11.【答案】A【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值【解析】先利用导数与函数单调性的关系分析y＝f(x)在x<0时的图象，再利用分段函数图象的作法作出函数y＝f(x)的图象，然后利用换元法令t＝f(x−1)，将零点问题转化为方程根的个数，先求出t的值，然后再利用数形结合，求出t＝f(x−1)根的个数，从而得到y＝f[f(x−1)]的零点个数．【解答】当x<0时，f′(x)＝−3x8+8x＝−x(3x−5)<0，则f(x)在(−∞，令f(a)＝0，作出函数y＝f(x)的图象如图所示，令t＝f(x−2)，则f(t)＝0，所以f(x−1)＝2或f(x−1)＝a，当f(x−1)＝5时，根据图象可得，则方程f(x−1)＝0有两个根；当f(x−7)＝a(−2<a<−1)时，根据图象可得，则方程f(x−8)＝0有一个根；综上可得，y＝f[f(x−1)]的零点个数为8个，【点评】本题考查了函数零点个数的判断，对于零点个数问题一般转化为方程根的个数，进一步转化为两个函数图象的交点个数，再利用数形结合法分析，本题解题的关键是正确作出函数y＝f(x)的图象，经常运用了导数与函数单调性的关系分析函数的特征进行作图．12.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】利用双曲线的定义可得PF2＝2b−2a，由动点T(x0, 0)到直线PF1与PF2的距离相等，可得PT平分∠F1PF2，由角平分线的性质可得＝，从而可求得x0＝，进而可得的取值范围，从而可求得双曲线C的离心率的取值范围．【解答】因为P为双曲线右支上一点，PF1＝2b，PF5−PF2＝2a，所以PF8＝2b−2a，在x轴上存在动点T(x4, 0)到直线PF1与PF5的距离相等，所以PT平分∠F1PF2，由角平分线的性质可得＝，即＝＝，整理可得x3＝，因为x0∈（，），所以<<，化简得<，所以<1+，<<，即e＝＝∈（，）．【点评】本题主要考查双曲线的性质，双曲线的定义，考查角平分线的性质的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）【答案】8【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，根据y的系数的正负得到直线z＝3x−4y过点A时，z的值最大，联立方程求出A的坐标即可求出结果．【解答】作出不等式组对应的平面区域如图：∵y的系数−4<0，∴由图可知，当直线z＝4x−4y过点A时，联立方程，解得，−2)，∴z max＝3×0−4×(−4)＝8，【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．【答案】−2019【考点】等差数列的前n项和【解析】根据等差数列前n项和公式，列方程求解即可．【解答】等差数列{a n}中，a2021＝S2021＝2021，所以S2021＝＝2021，所以a7+a2021＝2，所以a1＝2−a2021＝2−2021＝−2019．【点评】本题考查了等差数列前n项和公式应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．【答案】(−∞, −1]【考点】抛物线的性质【解析】设出M的坐标，进而求出N的坐标，结合数量积的运算以及二次函数的性质即可求解结论．【解答】设M（，a)，则N(2, a)，0)，∴＝（-，＝(2−，∴•＝(2−）＝（2−7≥−1，∴实数λ的取值范围为(−∞−1]．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其应用，考查了向量的数量积，考查了计算能力，属于基础题．【答案】【考点】球的表面积和体积球内接多面体棱锥的结构特征【解析】直接利用正弦定理，球的表面积公式，勾股定理的应用求出结果．【解答】三棱锥P−ABC中，PA＝PB＝PC＝2，AC＝，如图所示：在△ABC中，利用正弦定理：设外接圆的半径为r，所以，解得r＝，故PH＝，设三棱锥的外接球的半径为R，所以(ℎ−R)6+12＝R5，整理得R＝，所以．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，球的表面积公式，勾股定理，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）【答案】（1）因为2ab sin C+c8＝(a2+b7)，可得2+b2−c2，由余弦定理可得＝2ab cos C，因为C∈(0, π)，可得C＝．（2）因为C＝，△ABC的面积为＝×ab，又因为c＝2，由余弦定理c4＝a2+b2−5ab cos C，可得4＝a2+b5−ab＝(a+b)2−3ab＝(a+b)6−12，解得a+b＝4，可得△ABC的周长a+b+c＝4+7＝6．【考点】余弦定理正弦定理【解析】(Ⅰ)由已知利用余弦定理，同角三角函数基本关系式可求得tan C＝，结合范围C∈(0, π)，可求C的值．(Ⅱ)由已知利用三角形的面积公式可求ab的值，根据余弦定理进而可求a+b的值，即可得解△ABC的周长的值．【解答】（1）因为2ab sin C+c8＝(a2+b7)，可得2+b2−c2，由余弦定理可得＝2ab cos C，因为C∈(0, π)，可得C＝．（2）因为C＝，△ABC的面积为＝×ab，又因为c＝2，由余弦定理c4＝a2+b2−5ab cos C，可得4＝a2+b5−ab＝(a+b)2−3ab＝(a+b)6−12，解得a+b＝4，可得△ABC的周长a+b+c＝4+7＝6．【点评】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．【答案】解：(1)若p为真，即p:∀x∈[2,3]，(a+1)x−1>0恒成立，得{2(a+1)−1>0,3(a+1)−1>0,解得a>−12.若q为真，即q:∃x0∈R，使得x02+ax0+1<0，则Δ=a2−4>0，解得a>2或a<−2，若p∧q是真命题，则p，q为真，得{a>−12,a<−2或a>2,所以a>2，所以a的取值范围是(2,+∞)．(2)因为p∧(¬q)为假，p∨(¬q)为真，所以p，(¬q)一真一假，即p，q同真同假，当p ，q 都真时，由(1)，得a >2， 当p ，q 都假时， {a ≤−12,−2≤a ≤2, 解得−2≤a ≤−12．综上，a 的取值范围为[−2,−12]∪(2,+∞).【考点】复合命题及其真假判断 【解析】（I ）先结合一次函数的性质求出p 为真时a 的范围，(II)由p ∧(￢q)一真一假即p ，q 同真同假，然后结合复合命题的真假关系可求a 的范围． 【解答】解：(1)若p 为真，即p:∀x ∈[2,3]，(a +1)x −1>0恒成立， 得{2(a +1)−1>0,3(a +1)−1>0, 解得a >−12.若q 为真，即q:∃x 0∈R ，使得x 02+ax 0+1<0， 则Δ=a 2−4>0， 解得a >2或a <−2，若p ∧q 是真命题，则p ，q 为真，得{a >−12,a <−2或a >2,所以a >2，所以a 的取值范围是(2,+∞)．(2)因为p ∧(¬q )为假， p ∨(¬q )为真， 所以p ，(¬q )一真一假，即p ，q 同真同假， 当p ，q 都真时，由(1)，得a >2， 当p ，q 都假时， {a ≤−12,−2≤a ≤2, 解得−2≤a ≤−12．综上，a 的取值范围为[−2,−12]∪(2,+∞).【点评】本题主要考查了复合命题的真假关系的应用，体现了转化思想的应用． 【答案】（1）由频率分布直方图得：(0.005+0.010+4.015+0.030+a +0.015+4.005)×10＝1． 解得a ＝0.020．∴ 尺寸在[70, 80)内的零件数量为：3.020×10×20000＝4000． （2）这批零件尺寸的平均数为：35×0.005×10+45×0.010×10+55×5.015×10+65×0.030×10+75×0.020×10+85×7.015×10+95×0.005×10＝66.5．∵ [30, 60)的频率为：(6.005+0.010+0.015)×10＝6.3， [60, 70)的频率为0.030×10＝4.3，∴ 中位数为：60+≈66.7．(Ⅲ)采用分层抽样的方法，从尺寸在[40, 80)内的零件中随机抽取6个，则从尺寸在[40, 50)内的零件中抽取：6×，从尺寸在[70, 80)内的零件中抽取：6×，再从这2个零件中任取2个，基本事件总数n ＝，至少有1个零件的尺寸在[40, 50)内包含的基本事件个数m ＝．∴ 至少有1个零件的尺寸在[40, 50)内的概率P ＝＝＝．【考点】频率分布直方图 【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图的性质列出方程，能求出a ，由此能求出尺寸在[70, 80)内的零件数量． (Ⅱ)由频率分布直方图能求出这批零件尺寸的平均数和中位数．(Ⅲ)采用分层抽样的方法，从尺寸在[40, 50)和[70, 80)内的零件中随机抽取6个，则从尺寸在[40, 50)内的零件中抽取2个，从尺寸在[70, 80)内的零件中抽取4个，再从这6个零件中任取2个，基本事件总数n ＝＝15，至少有1个零件的尺寸在[40, 50)内包含的基本事件个数m ＝＝9．由此能求出至少有1个零件的尺寸在[40, 50)内的概率． 【解答】（1）由频率分布直方图得：(0.005+0.010+4.015+0.030+a +0.015+4.005)×10＝1． 解得a ＝0.020．∴ 尺寸在[70, 80)内的零件数量为：3.020×10×20000＝4000． （2）这批零件尺寸的平均数为：35×0.005×10+45×0.010×10+55×5.015×10+65×0.030×10+75×0.020×10+85×7.015×10+95×0.005×10＝66.5．∵ [30, 60)的频率为：(6.005+0.010+0.015)×10＝6.3， [60, 70)的频率为0.030×10＝4.3，∴中位数为：60+≈66.7．(Ⅲ)采用分层抽样的方法，从尺寸在[40, 80)内的零件中随机抽取6个，则从尺寸在[40, 50)内的零件中抽取：6×，从尺寸在[70, 80)内的零件中抽取：6×，再从这2个零件中任取2个，基本事件总数n＝，至少有1个零件的尺寸在[40, 50)内包含的基本事件个数m＝．∴至少有1个零件的尺寸在[40, 50)内的概率P＝＝＝．【点评】本题考查频率、概率、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【答案】（1）证明：因为AA1＝AC，∠AA1C＝60∘，所以△ACA4是等边三角形，又因为D为线段AC的中点，所以A1D⊥AC，因为平面AA1C3C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，A6D⊂平面AA1C1C所以A4D⊥平面ABC，又A1D⊂平面A1DE，所以平面A8DE⊥平面ABC；（2）过点C1作C1F⊥AC的延长线于点F，连结BF，可得C5F⊥平面ABC，且，所以＝，在△ABC4中，AB＝2，，＝，所以，所以，则，设点C到ABC1的距离为ℎ，则，解得，所以点C到平面ABC1的距离为．【考点】平面与平面垂直点、线、面间的距离计算【解析】(Ⅰ)根据题意得到A1D⊥AC，由面面垂直的性质定理得到线面垂直，在利用面面垂直的判定定理，得平面A1DE⊥平面ABC；(Ⅱ)过点C1作C1F⊥AC的延长线于点F，连结BF，然后再利用等体积法，即可求出点C到平面ABC1的距离．【解答】（1）证明：因为AA1＝AC，∠AA1C＝60∘，所以△ACA4是等边三角形，又因为D为线段AC的中点，所以A1D⊥AC，因为平面AA1C3C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，A6D⊂平面AA1C1C所以A4D⊥平面ABC，又A1D⊂平面A1DE，所以平面A8DE⊥平面ABC；（2）过点C1作C1F⊥AC的延长线于点F，连结BF，可得C5F⊥平面ABC，且，所以＝，在△ABC4中，AB＝2，，＝，所以，所以，则，设点C到ABC1的距离为ℎ，则，解得，所以点C到平面ABC1的距离为．【点评】本题考查了平面与平面垂直的性质定理和判定定理、点到直线距离的求解，对于点到直线距离的求解，一般会选用等体积法，这类问题一般对学生的空间想象能力以及逻辑推理能力有一定要求，属中档题．【答案】（1）设点F(c, 0)得，，即a＝7c，再由a2＝b2+c8可得，b＝，则点B1(5，-），B2(8，），所以，则，故c＝8，所以a＝2，b＝，故椭圆C的方程为；（2）由(Ⅰ)可知点F(1, 7)，0)，设点P(x0, y2)，则(−20≠1)，直线PF的方程为y＝，令x＝2可得，M(2，），所以|AM|＝|4−|＝||，则|AM|＝，由条件可得，即3x，所以x或，故点P的横坐标为8或．【考点】椭圆的应用椭圆的标准方程椭圆的离心率直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)由椭圆可得a＝2c，再由a2＝b2+c2可得b＝c，根据已知条件求出c的值，进而得到椭圆C的标准方程；(Ⅱ)由(Ⅰ)可知点F(1, 0)，A(2, 0)，设点P(x0, y0)，则得到直线PF的方程，令x＝2，得到|AM|2，进而解得点P的横坐标．【解答】（1）设点F(c, 0)得，，即a＝7c，再由a2＝b2+c8可得，b＝，则点B1(5，-），B2(8，），所以，则，故c＝8，所以a＝2，b＝，故椭圆C的方程为；（2）由(Ⅰ)可知点F(1, 7)，0)，设点P(x0, y2)，则(−20≠1)，直线PF的方程为y＝，令x＝2可得，M(2，），所以|AM|＝|4−|＝||，则|AM|＝，由条件可得，即3x，所以x或，故点P的横坐标为8或．【点评】本题考查了椭圆的方程和性质，以及直线与椭圆的位置关系的应用，考查了学生的运算能力和推理能力，属于中档题．【答案】（1）f(x)＝ax2−ln x(a≠0)，则f′(x)＝7ax−＝，①当a<0时，f′(x)<3在x>0时恒成立，则f(x)单调递减，f(x)无极值；②当a>0时，x∈(5，，f′(x)<7，+∞)时，故f(x)在(5，）递减，+∞)递增，故f(x)极小值＝f（）＝，函数无极大值；综上：当a<6时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)极小值＝f（）＝，函数无极大值；（2）证明：令f(x)＝x+3，则有ax2−ln x−x−1＝2，y＝x+1与y＝f(x)的交点的横坐标为x1，x5，则有，①-②得a＝，由于f(x)的定义域是(2, +∞)，∴x1>0，x2>0，令t＝x1+x6，则t>0，证明f′(x1+x3)>2−a，即证f′(t)>2−a，f′(t)＝>3−a，整理得(2t+1)(at−7)>0，∵2t+6>0，故即证at−1>5，将a＝，t＝x6+x2代入at−1中，得at−3＝(x8+x2)−1＝，∵x1−x2与ln x4−ln x2同号，∴at−1>5，即f′(x1+x2)>6−a，得证．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究函数的极值【解析】(Ⅰ)求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(Ⅱ)设y＝x+1与y＝f(x)的交点的横坐标为x1，x2，求出a＝，t＝x1+x2，问题转化为证at−1>0即可．【解答】（1）f(x)＝ax2−ln x(a≠0)，则f′(x)＝7ax−＝，①当a<0时，f′(x)<3在x>0时恒成立，则f(x)单调递减，f(x)无极值；②当a>0时，x∈(5，，f′(x)<7，+∞)时，故f(x)在(5，）递减，+∞)递增，故f(x)极小值＝f（）＝，函数无极大值；综上：当a<6时，f(x)无极值；当a>0时，f(x)极小值＝f（）＝，函数无极大值；（2）证明：令f(x)＝x+3，则有ax2−ln x−x−1＝2，y＝x+1与y＝f(x)的交点的横坐标为x1，x5，则有，①-②得a＝，由于f(x)的定义域是(2, +∞)，∴x1>0，x2>0，令t＝x1+x6，则t>0，证明f′(x1+x3)>2−a，即证f′(t)>2−a，f′(t)＝>3−a，整理得(2t+1)(at−7)>0，∵2t+6>0，故即证at−1>5，将a＝，t＝x6+x2代入at−1中，得at−3＝(x8+x2)−1＝，∵x1−x2与ln x4−ln x2同号，∴at−1>5，即f′(x1+x2)>6−a，得证．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．。
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2020-2021学年高三上期8月开学考试数学试卷（文科）
一．选择题
1．设集合}0,1{A ，}A ,A ,|{B y x x y t t ，则 B A （ ）
A ．}1{
B ．}1{
C ．}1,1{
D ．}0,1{
2．函数)45(log )(2 x x f 的单调增区间是 （ ）
A ．),(
B ．),54
( C ．)54
,( D ．),5
4
[ 3．已知函数x x f 5log )( ，则对于任意的 b a ,),0( ，下列关系中成立的是 （ ）
A. )(b a f )()(b f a f
B. )(ab f )()(b f a f
C. )(b a f )()(b f a f
D. )(ab f )()(b f a f
4．设函数x b x x f sin cos )( （b 为常数），则“0 b ”是“)(x f 为偶函数”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而充分不条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．函数12)(2
x x x f 的值域是 （ ） A ．]2,( B ．),0(
C ．),2[
D ．]2,0[ 6．已知7log 2 a ，8log 3 b ，2.03
.0 c ，则c b a ,,的大小关系是 （ ） A ．a b c B ．c b a C ．a c b D ．b a c
7．用二分法求方程x x lg 2 在)3,1(内的近似解，则近似解所在的区间为 （ ）
A ．)23,1(
B ．)2,23(
C ．)25,2(
D ．)3,2
5( 8．设函数 )(x f
)0(,)(),0(,log 3x x g x x 是奇函数，则 )]27([f g （ ） A ．3
B ．1
C ．0
D ． 1 9．函数2cos sin )(x
x x x x f 在的图像大致为 （ ）
10．已知函数x x f 2)( ，且0 c b a ，则1)( a a f ，1)( b b f ，1
)( c c f 的大小关系为（ ） .A 1)(a a f 1)(b b f 1)( c c f .B 1)(b b f 1)(a a f 1)( c c f
.C
1)(c c f 1)(a a f 1)( b b f .D 1)(c c f 1)(b b f 1)( a a f 11．函数3
1)( x ax x f 在区间),3( 上单调递增，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．)31,0( B ．),31( C ．),3( D ． )3,( ),3( 12．对任意实数b a ,定义运算“⊗”： b
a a
b a b b a ,,，设 )(x f )5()1(2 x x ，若函数k x f y )( 至少有两个零点，则k 的取值范围是 （ ） A ．]1,3[
B ．]1,3(
C ．)1,3[
D ．)1,3( 二．填空题
13．已知函数4)(2 x a x f （0 a ，且1 a ）的图象恒过定点A ，则A 的坐标为 ．
14．已知函数x a x f x x 233)( 是奇函数，则常数 a ．
15．指数函数x a x f )(（0 a ，且1 a ）在]2,1[上最大值与最小值之差为6，则 a ．
16．已知实数a ，b 满足等式b a 20202019 ，下列五个关系式：
①0 b a ；②a b 0；③0 a b ；④b a 0；⑤ a b ．其中可能成立的关系式有 ．
三．解答题
17．设集合}422|{A 5 x x ，}0,032|{B 22 m m mx x x ．
（1）若2 m ，求B A ； （2）若A B ，求实数m 的取值范围．
18．已知函数x a a a x f )33()(2 是指数函数．
（1）判断函数)()()(x f x f x F 的奇偶性，并加以证明； （2）解不等式：)2(log )1(log x x a a ．
19．已知二次函数)(x f 满足2)2()0( f f ，1)1( f ．
（1）求函数)(x f 的解析式； （2）设mx x f x h )()(在]3,[1上是单调函数，求实数m 的取值范围．
20．已知函数)4(log )2(log )(22x x x f .
（1）求函数)(x f 的最小值； （2）求2)( x f 时x 的值.
21．已知函数1)(2 x b ax x f 是定义在)1,1( 上的奇函数，且5
4)21( f ． （1）求函数)(x f 的解析式； （2）判断当)1,1( x 时函数)(x f 的单调性，并用定义证明．
22．已知函数b ax ax x g 12)(2（0 a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设x
x g x f )()( ． （1）求a 、b 的值； （2）若不等式02)2( x x k f 在]1,1[ x ]上恒成立，求实数k 的取值范围．。