高中数学一元二次不等式教案

第2课时：§一元二次不等式（1）

【三维目标】：

一、知识与技能

1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；

2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，尝试设计求解的程序框图；

3.掌握利用因式分解和讨论来求解一元二次不等式的方法及这种方法的推广运用；

4.培养数形结合、分类讨论、等价转化的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力；通过看图象找解集，培养学生从“从形到数”的转化力，“由具体到抽象”、“从特殊到一般”的归纳概括能力。

二、过程与方法

经历从实际情境中抽象出一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系，获得一元二次不等式的解法；

三、情感、态度与价值观

1.激发学生学习数学的热情，培养勇于探索的精神，培养学生的合作意识和创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想；通过等与不等的对立统一关系的认识，对学生进行辨证唯物主义教育.

2.创设问题情景，激发学生观察、分析、探求的学习激情、强化学生参与意识及主体作用。

【教学重点与难点】：

重点：从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；一元二次不等式的解法。

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。

【学法与教学用具】：

1.学法：

2.教学方法：诱思引探教学法

3.教学用具：多媒体、实物投影仪.

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

观察函数2510 4.8y x x =-+的图象，可以看出，一元二次不等式2510 4.80x x -+<的解集就是二次函数2510 4.8y x x =-+的图象（抛物线）位于x 轴下方的点所对应的x 值的集合．

因此，求解一元二次不等式可以先解相应的一元二次方程，确定抛物线与x 轴交点的横坐标，再根据图象写出不等式的解集．

第一步：解方程2510 4.80x x -+=，得120.8, 1.2x x ==；

第二步：画出抛物线2510 4.8y x x =-+的草图；

第三步：根据抛物线的图象，可知2510 4.80x x -+<的解集为{|0.8 1.2}x x <<．

二、研探新知

求解一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>的过程，可用下图所示和流程图来描述：

一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1解下列不等式：

（1）27120x x -+>；（2）2230x x --+≥；（3）2210x x -+<；（4）2220x x -+<．

解：（1）方程27120x x -+=的解为123,4x x ==．根据2712y x x =-+的图象，可得原不等式27120x x -+>的解集是{|34}x x x <>或．

（2）不等式两边同乘以1-，原不等式可化为2230x x +-≤．方程2230x x +-=的解为123,1x x =-=．根据223y x x =+-的图象，可得原不等式2230x x --+≥的解集是{|31}x x -≤≤．

（3）方程2210x x -+=有两个相同的解121x x ==．根据221y x x =-+的图象，可得原不等式2210x x -+<的解集为∅．

（4）因为0∆<，所以方程2220x x -+=无实数解，根据222y x x =-+的图象，可得原不等式2220x x -+<的解集为∅．

思考：（1）求解一元二次不等式20(0)ax bx c a ++<>的过程，怎样用流程图来描述？

（2）求解一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>的过程，怎样用流程图来描述？

（3）不等式20(0)ax bx c a ++<<和20(0)ax bx c a ++><的解法？

结论：

1.一元二次不等式的解集：

（1）不等式)0(0))((21><--a x x x x a 的解集为}|{21x x x x <<

（2）不等式)0(0))((21>>--a x x x x a 的解集为1|{x x x <或}2x x >（其中21x x <）

2.归纳解一元二次不等式的步骤：

（1）二次项系数化为正数； （2）解对应的一元二次方程；

（3）根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；（4）写出不等式的解集． 即：一化正→二算Δ→三求根→四写解集

例2已知关于x 的不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，求实数,m n 之值． 解：Q 不等式20x mx n -+≤的解集是{|51}x x -≤≤，∴125,1x x =-=是20x mx n -+=的

两个实数根，∴由韦达定理知：5151m n -+=⎧⎨-⨯=⎩∴45

m n =-⎧⎨=-⎩．

例3已知不等式20ax bx c ++>的解集为{|23}x x <<求不等式20cx bx a -+>的解集．

解：由题意23230b a c a a ⎧+=-⎪⎪⎪⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩

，即560b a c a a =-⎧⎪=⎨⎪<⎩．代入不等式20cx bx a -+>得：2650(0)ax ax a a ++=<．

即26510x x ++<，∴所求不等式的解集为11{|}32

x x -<<-． 例4已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ，求m 的取值范围． 解：Q 2(2)2(2)4y m x m x =-+-+为二次函数，2m ∴≠

Q 二次函数的值恒大于零，即2(2)2(2)40m x m x -+-+>的解集为R ．

200m ->⎧∴⎨∆<⎩，即224(2)16(2)0m m m >⎧⎨---<⎩，解得：226

m m >⎧⎨<<⎩ m ∴的取值范围为{|26}m m <<（2m =适合）．

拓展：1．已知二次函数2(2)2(2)4y m x m x =-+-+的值恒大于零，求m 的取值范围．

2．已知一元二次不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+≤的解集为φ,求m 的取值范围．

3．若不等式2(2)2(2)40m x m x -+-+≤的解集为φ,求m 的取值范围．

结论：一元二次不等式恒成立的情况：

（1）02>++c bx ax )0(≠a 恒成立⎩⎨⎧<∆>⇔00a ；（2）02<++c bx ax )0(≠a 恒成立⎩⎨⎧<∆<⇔0

0a

例5若不等式0122>-+-m x mx 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求实数x 的取值范围

解：已知不等式可化为2(1)(12)0x m x -+-<．

设2()(1)(12)f m x m x =-+-，这是一个关于m 的一次函数（或常数函数），从图象上看，要使()0f m <在22m -≤≤时恒成立，其等价条件是：

22(2)2(1)(12)0,(2)2(1)(12)0,f x x f x x ⎧=-+-<⎪⎨-=--+-<⎪⎩ 即222230,2210.

x x x x ⎧+->⎪⎨--<⎪⎩

x <<．