《子集、全集、补集》教案(1)(1)
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子集、全集、补集
教学目标:理解子集、真子集概念,会判断和证明两个集合包含关系,会判断简单集合的相等关系.
教学重点:子集的概念,真子集的概念.
教学难点:元素与子集,属于与包含间的区别;描述法给定集合的运算.
课 型:新授课
教学手段:讲、议结合法
教学过程:
一、创设情境
在研究数的时候,通常都要考虑数与数之间的相等与不相等(大于或小于)关系,而对于集合而言,类似的关系就是“包含”与“相等”关系 二、活动尝试 1.回答概念:集合、元素、有限集、无限集、空集、列举法、描述法、文氏图
2.用列举法表示下列集合: ①32{|220}x x x x --+= {-1,1,2}
②数字和为5的两位数} {14,23,32,41,50}
3.用描述法表示集合:1111{1,,,,}2345 *1{|,5}x x n N n n =∈≤且
4.用列举法表示:“与2相差3的所有整数所组成的集合”{||2|3}x Z x ∈-=={-1,5}
5.问题:观察下列两组集合,说出集合A 与集合B 的关系(共性)
(1)A={-1,1},B={-1,0,1,2}
(2)A=N ,B=R
(3)A={x x 为北京人},B= {x x 为中国人}
(4)A =∅,B ={0}
(集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素)
三、师生探究
通过观察上述集合间具有如下特殊性
(1)集合A 的元素-1,1同时是集合B 的元素.
(2)集合A 中所有元素,都是集合B 的元素.
(3)集合A 中所有元素都是集合B 的元素.
(4)A 中没有元素,而B 中含有一个元素0,自然A 中“元素”也是B 中元素.
由上述特殊性可得其一般性,即集合A 都是集合B 的一部分.从而有下述结论.
四、数学理论
1.子集
定义:一般地,对于两个集合A 与B ,如果集合A 中的任何一个元素
都是集合B 的元素,我们就说集合A 包含于集合B ,或集合B 包含集
合A.记作A ⊆B (或B ⊇A ),这时我们也说集合A 是集合B 的子集.
请同学们各自举两个例子,互相交换看法,验证所举例子是否符合定义.
2.真子集:对于两个集合A 与B ,如果B A ⊆,并且B A ≠,我们就说集合A 是集合B 的真
R Q Z N 子集,记作:A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A 这应理解为:若A ⊆B ,且存在b ∈B ,但b ∉A ,称A 是B 的真子集.
注意:子集与真子集符号的方向
3.当集合A 不包含于集合B ,或集合B 不包含集合A 时,则记作A B (或
B A ).
如:A ={2,4},B ={3,5,7},则A B.
4.说明
(1)空集是任何集合的子集Φ⊆A
(2)空集是任何非空集合的真子集Φ A 若A ≠Φ,则Φ A
(3)任何一个集合是它本身的子集A A ⊆
(4)易混符号
①“∈”与“⊆”:元素与集合之间是属于关系;
集合与集合之间是包含关系如,,1,1R N N N ⊆∉-∈Φ⊆R ,{1}⊆{1,2,3}
②{0}与Φ:{0}是含有一个元素0的集合,Φ是不含任何元素的集合
如 Φ⊆{0}不能写成Φ={0},Φ∈{0}
五、巩固运用
例1(1) 写出N ,Z ,Q ,R 的包含关系,并用文氏图表示
(2)判断下列写法是否正确 ①Φ⊆A ②Φ A ③A A ⊆ ④A A
解(1):N ⊂Z ⊂Q ⊂R
(2)①正确;②错误,因为A 可能是空集;③正确;④错误;
思考1:A B ⊆与B A ⊆能否同时成立?
结论:如果A ⊆B ,同时B ⊆A ,那么A =B.
如:{a ,b ,c ,d}与{b ,c ,d ,a}相等;{2,3,4}与{3,4,2}相等;{2,3}与{3,2}相等. 问:A ={x |x =2m +1,m ∈Z},B ={x |x =2n -1,n ∈Z}.(A=B )
稍微复杂的式子特别是用描述法给出的要认真分辨.
思考2:若A B ,B C ,则A C ?
真子集关系也具有传递性若A B ,B C ,则A C.
例2写出{a 、b}的所有子集,并指出其中哪些是它的真子集.
分析:寻求子集、真子集主要依据是定义.
解:依定义:{a ,b}的所有子集是∅、{a}、{b}、{a ,b},其中真子集有∅、{a}、{b}. 变式:写出集合{1,2,3}的所有子集
解:Φ、{1}、{2}、{3}、{1,2}、{1,3}、{2,3}、{1,2,3}
猜想:(1)集合{a,b,c,d}的所有子集的个数是多少?(1624=)
(2)集合{}n a a a ,,21Λ的所有子集的个数是多少?(n 2)
注:如果一个集合的元素有n 个,那么这个集合的子集有2n 个,真子集有2n -1个.
六、回顾反思
1.概念:子集、集合相等、真子集
2.性质:(1)空集是任何集合的子集Φ⊆A (2)空集是任何非空集合的真子集Φ A (A ≠Φ) (3)任何一个集合是它本身的子集A A ⊆
(4)含n 个元素的集合的子集数为n 2;非空子集数为12-n ;真子集数为12-n ;非空真子集数为22-n
七、课外练习
1.下列各题中,指出关系式A ⊆B 、A ⊇B 、A B 、A B 、A =B 中哪些成立:
(1)A ={1,3,5,7},B ={3,5,7}.
解:因B 中每一个元素都是A 的元素,而A 中每一个元素不一定都是B 的元素,
故A ⊇B 及A B 成立.
(2)A ={1,2,4,8},B ={x |x 是8的约数}.
解:因x 是8的约数,则x :1,2,4,8
那么集合A 的元素都是集合B 的元素,集合B 的元素也都是集合A 的元素,故A =B. 式子A ⊆B 、A ⊇B 、A =B 成立.
2.判断下列式子是否正确,并说明理由.
(1)2⊆{x |x ≤10} 解:不正确.因数2不是集合,也就不会是{x |x ≤10}的子集.
(2)2∈{x |x ≤10} 解:正确.因数2是集合{x |x ≤10}中数.故可用“∈”.
(3){2}{x |x ≤10}
解:正确.因{2}是{x |x ≤10}的真子集.
(4) ∅∈{x |x ≤10}
解:不正确.因为∅是集合,不是集合{x |x ≤10}的元素.
(5) ∅{x |x ≤10}
解:不正确.因为∅是任何非空集合的真子集.
(6) ∅{x |x ≤10}
解:正确.因为∅是任何非空集合的真子集.
(7){4,5,6,7}{2,3,5,7,11}
解:正确.因为{4,5,6,7}中4,6不是{2,3,5,7,11}的元素.
(8){4,5,6,7}{2,3,5,7,11}
解:正确.因为{4,5,6,7}中不含{2,3,5,7,11}中的2,3,11.
3.设集合A={四边形},B={平行四边形},C={矩形} D={正方形},试用Venn 图表示它们之间的关系。