1.1 固体物理基础

RH 1.096775758 107 m1
RH为氢的里德堡常数，这个值为实验测量值。
(3) 每个m，对应一个谱线系：
m =1 (n = 2, 3, 4, …) 谱线系，紫外区 —— 赖曼系 （1914年） m =2 (n =3, 4, 5, … ) 谱线系，可见区 —— 巴耳末系 （1885年） m =3 (n =4, 5, 6, … ) 谱线系，红外区 —— 帕邢系 （1908年） m =4 (n =5, 6, 7, … ) 谱线系，红外区 —— 布拉开系 （1922年） m =5 (n =6, 7, 8, … ) 谱线系，红外区 —— 普丰特系 （1924年）
4 0 2 0.0529nm 玻尔半径 r1 me2
1 e2 基态能量 E1 13.6eV 8 0 r1

成功与局限
成功：把氢原子结构和光谱线结构联系起来。 局限：
（1）理论本身仍是以经典理论为基础的，而所引进的电子处于定态 时不发出辐射的假设却又和经典理论相矛盾的； （2）量子化条件的引进没有适当的理论解释； （3）对谱线的强度、线宽、偏振等问题无法处理。
光强B2、E2（即光波的波函数的平方）
发现一个光子的概率光波函数的平方 类比得，发现一个实物粒子的几率德布罗意波函数的平方2
4. 波函数的统计解释---物质波是概率波
1926年，波恩提出德布罗意波的统计意义：波函数体现粒子在某处 出现的概率，波函数在空间中某一点的强度（波函数绝对值的平方）和 在该点找到粒子的几率成正比。
v 1 e m r 4 0 r 2
轨道半径为
2
2
角动量量子化假设 L=mvr=nћ
e2 1 me 2 r 2 r 2 4 0 mv 4 0 n 2 2 1
4 0 2 rn n 2 n 2 r1 me2
n 1, 2,3
电子能量为
1 2 1 e2 1 e 2 E1 En mv 2 2 4 0 rn 8 0 rn n

经典理论不能建立这样一个稳定的原子模型：根据经典电 动力学，电子环绕原子核的运动是加速运动，因而不断以 辐射的方式发射出能量，电子运动轨道的曲率半径也就不 断减小。根据经典理论，加速电子的辐射，其频率是连续 分布的。这些推论与实际原子的稳定性和原子发射线状光 谱的事实相矛盾。如何说明 实际原子的稳定性成了棘手 的问题。
黑体辐射 光的粒子性 光的波粒二象性
光电效应
原子光谱 ……
原子结构的量子论


光的波动性：光的干涉和衍射现象 光的粒子性：黑体辐射、光电效应、康普顿散 射„„ 光的波粒二象性——光具有微粒和波动的双重性质。 波动性用波长λ和频率ν描述 粒子性用光子的质量、能量和动量描述
E h E mc 2 m h / c 2 h / c p mv h /

2
说明： 1. 波函数本身没有物理意义，只有模的平方才表示粒子的几率 2. 粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在各点的相对强度，而 不决定于强度的绝对大小。

d 1



2 2

d
故，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
1. 宏观物体的测量和微观物体的测量 宏观物体的观测：用可见光或电磁波跟踪宏观物体。 2. 测不准原理 海森堡根据理想实验和德布罗意关系得到：
理解： 海森堡对测不准原理的解释“在位置被测定的一瞬，即当光子正被电子偏转时， 电子的动量发生一个不连续的变化，因此，在确知电子位置的瞬间，关于它的 动量我们就只能知道相应于其不连续变化的大小的程度。于是，位置测定得越 准确，动量的测定就越不准确，反之亦然。” 光子的波动性，导致光点 光斑，从而导致了测不准关系

1885年瑞士数学教师巴耳末首先将这组线系的波长表述成巴耳末公式 ，因此称为巴耳末系。其中最重要的是Hα线（波长656.3nm），是由 瑞典物理学家安德斯·埃格斯特朗于1853年首先观测到的。

在氢原子光谱的基础上，里德伯、里兹发现其他元 素也可分为若干系，其频率也有和氢原子光谱相似 的规律。
E h h p

1. 氢原子光谱实验规律
（1）氢原子的光谱由许多分立的线状谱线组成； （2）谱线的波数可表式为里德伯公式（经验公式）： m 1,2,3, 1 1 =1/ RH 2 2 n m 1, m 2, m 3, m n
频率为，波长为的波沿单位矢量 式表示：
ˆ n的方向传播的平面波，可用下
ˆ r n A cos 2 t A cos k r t


写成复数形式：
Ae
i k r t

3. 物质波的实验验证： 革末—戴维孙电子散射实验(1927年)，观测到电子衍射现象，验证 了德布罗意波的存在。
xpx h， Et h
由量子力学的推导得到：
xpx / 2， Et / 2
Δx 、Δpx分别表示x 、px的不确定量 3. 测不准关系的物理解释 1） 粒子的波动性使得微观粒子的位置坐标 x 、动量分量 px 不能同 时具有确定的值。 例 2）不确定关系划分了经典力学和量子力学的界限
能量算符， 哈密顿算符量子力学的基本方程，它揭示了微观物理世界物质运动 的基本规律，是微观粒子的动力学方程。 对于定态问题，只要知道势能函数，求解定态薛定谔方程，就可以得 到体系的能量E及相应的波函数。
ˆ ˆ ˆ e x e y ez x y z
kn En Ek h
（3）角动量量子化假设：在电子绕核运动作圆周运动中，其定态电子的角动量L 必须满足：
L mvr n n
h 2
h v为电子绕核速率，r为电子绕核轨道半径， 为约化普朗克常数。 2

分析氢原子结构
根据经典力学，电子绕核做圆周运动，向心力是库仑力：
电子=粒子+波
实验事实：粒子流衍射实验中，衍射图样和入射粒子流强度无关。如果减 小入射粒子流强度，同时延长实验的时间，使投射到照片上粒子的总数保 持不变，则得到的衍射图样将完全相同。 分析：如果入射电子流强度很小，电子一个一个地从晶体表面反射，这时 照片上就出现一个一个的点子，显示出电子的微粒性，这些点在照片上的 位置并不都是重合在一起的。但随着时间的延长，点子数目逐渐增多，它 们在照片上的分布就形成了衍射图样，显示出波动性。 由此可见，实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验中的统 计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 波函数是为 了描写粒子的波动性而引入的。 光强光子数发现一个光子的几率

巴耳末经验公式、里德伯-里兹公式对原子光谱的 准确描述反映了原子的内在规律。
1 1 =1/ RH 2 2 m n m 1,2,3, n m 1, m 2, m 3,
卢瑟福核型原子模型：在原子的中心有一个很小的核，叫做原子核，原子的 全部正电荷和几乎全部质量都集中在原子核里，带负电的电子在核外空间里 绕着核旋转. 原子核所带的单位正电荷数等于核外的电子数. 电子绕着核旋 转.

三个基本假设
（1）定态假设：原子系统中的电子只能处在一系列不连续的能量状态，在这些状 态中，虽然电子绕核做加速运动，但并不辐射电磁波，这些状态称为原子系 统的稳定状态（简称定态）。 （2）跃迁辐射：只有当电子由一个定态跃迁到另一定态时，才产生辐射的吸收或发 射现象。当电子由En定态跃迁到Ek定态时，发射或吸收的光子的频率为：
E h h p= k

这种和物质相联系的波称为德布罗意波，或物质波。

h h h v2 1 2 p mv m0v c
2 物质波的描述——德布罗意波函数（复数）
例：自由粒子的能量和动量都是常量，根据德布罗意关系得到，与自由 粒子相联系的波是一个频率和波矢都不变的平面波。
2
表示能级的寿命
2. 定态薛定谔方程
定态波函数满足定态薛定谔方程：
只要势能函数和时间无关，则必有定态 存在，所以当粒子处于不含时势场中， 就满足定态薛定谔方程。 描述粒子所处的外力势场的势 能函数，和时间无关
2 2 H r U r r E r 2

量子力学是反映微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）运动 规律的理论，是解释构成一切物质的原子和原子集团所表现的宏观现 象的行为的科学。它的建立揭示了微观世界的基本规律，为原子物理 学，固体物理学和粒子物理学的发展奠定了理论基础。

19世纪末，经典物理学理论已经发展到相当完善的阶段，但是对于 这个时候出现的迈克耳孙-莫雷实验、黑体辐射问题却不能做出很好 的解释。
2 2 2 2 2 2 2 x y z

微粒的粒子性（E, p）与波动性（, 或, k）的关系为：
E h , p

h
量子力学中用波函数描写微观体系的状态。 自由粒子波函 数为平面波: 用描写的粒子的几率密度为： 2 i k r t
例1：波长很短的γ射线显微镜的测量电子位置的情况
ph/ px p sin px (max) p sin h sin c 另一方面，分辨率决定的最小分辨距离 px 2 p sin 2 c sin h c 所以 px x =2 sin =2h c sin 实际的不确定性更大，可以写成 x / sin h c
1. 德布罗意假设(1924年)
将爱因斯坦建立的光量子公式应用到了光子以外的其他粒子上，假 设实物粒子和光一样具有波粒二象性；
波动性（，） 光 实物粒子 √ ？
粒子性（m,p） √ √
质量为m 的粒子在以速度v匀速运动时，具有能量E和动量p ；波动性 （，）粒子性（m, p）之间满足德布罗意关系式：
xpx h
1. 波函数：具有能量E和动量P的自由运动的微观粒子的 i 平面波函数 (r , t ) 0e ( p r Et ) 2. 定态波函数
能量具有确定值的状态称为定态，描述定态的波函数
称为定态波函数。定态波函数的模方 和时间无关， 即几率密度随时间推移是不变的，因为 E 0 根据不确定关系可得 t 2 E

何为量子，量子化？ 在经典物理学中，对体系物理量变化的最小值没有限制，它们可以任 意连续变化。实际上，在微观领域中，某些物理量的变化是以最小的 单位跳跃式进行的，而不是连续的。这种物理量只能取某些分离数值 的特征叫作量子化。而物理量变化的最小的单位则称为量子。
例如：频率为υ的谐振子，其能量不是连续变化，而是只能以 hυ(h=6.63×10-34 J·s为普朗克常数)的整数倍变化，欲使其能量改变hυ的 几分之几是不可能的。微粒的角动量也是量子化的，其固有量子是h/2π。量 子化是微观体系基本的运动规律之一，它与经典力学是不相容的。




1900年普朗克为了解释黑体辐射问题，提出了振荡偶极子的能量是 以不连续的量值改变的量子假设，由此导出了和实验结果相符合的黑 体辐射公式。 爱因斯坦，康普顿提出了“光子学说”，认识到电磁辐射以微粒的形 式吸收和发射，揭示了光具有微粒和波动的双重特性，即波粒二象性。 1913年玻尔提出了氢原子的量子论。 1924年德布罗意提出了“物质波”假说，认为电子、质子、中子等 微观实物粒子和光子一样具有波粒二象性。 1925-1932年，薛定谔、海森堡、波恩和狄拉克等人在物质波的基 础上建立了描述微观实物粒子运动的新理论，即量子力学。