2018年高考一轮江苏数学文科第2章第6课函数的奇偶性与周期性

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江苏专用高考数学一轮复习考点06函数的奇偶性与周期性必刷题含解析

江苏专用高考数学一轮复习考点06函数的奇偶性与周期性必刷题含解析1．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，且对任意0x >都有成立，则不等式的解集是______.【答案】【解析】等价于0()0x f x ≠⎧⎨>⎩，令，则，当0x >时，有()'0g x >，故()g x 为()0,∞+上的增函数，而()10g =，故当0x >时，()0g x >的解为()1,+∞，故当0x >时，()0f x >的解为()1,+∞，因，故()g x 为偶函数，当0x >时，()0f x >等价于()0g x <，因()g x 为偶函数，故当0x <时，()0g x <的解为()1,0-即当0x <时，()0f x >的解为()1,0-，综上，的解集是，填.2．已知函数则不等式的解集为____．【答案】【解析】由题可得：函数为奇函数，不等式等价于，即：当时，由，解得：当时，由，解得：综上所述：或所以不等式的解集为3．已知偶函数的定义域为R，且在[0，)上为增函数，则不等式的解集为_______．【答案】【解析】因为是偶函数，所以，所以等价于又在[0，)上为增函数，且，，所以.即：，解得：，即或所以的解集为4．已知函数是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m(m为常数)，则的值为____．【答案】【解析】为上的奇函数又本题正确结果：5．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______.【答案】【解析】设，则，所以．因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以当时，，当时，.当时，当0≤时，.所以0≤.当x＜0时，所以-2＜x＜0.综上不等式的解集为.故答案为：6．已知函数，且，则______【答案】-5【解析】设，则为奇函数，且．∵，∴．∴．故答案为．7．已知函数是定义在上的奇函数，且．当时，，则实数a 的值为_____．【答案】2【解析】函数是定义在上的奇函数，所以，，又因为，所以，，即，即，所以，，解得：.故答案为：2.8．已知，函数为偶函数，且在上是减函数，则关于的不等式的解集为_________．【答案】【解析】解：因为＝为偶函数，所以，，，又因为在上是减函数，所以，，由二次函数图象可知：的解集为，的图象看成是的图象向右平移2个单位，得到，所以，的解集为故答案为：9．奇函数是R上的增函数，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】根据题意，为R上的奇函数，且，则，且又由是R上的增函数，若，则有，则有，解可得：，即不等式的解集为；故答案为．10．若函数是奇函数，则为___________．【答案】【解析】若函数是奇函数，则f（﹣x）＝1即解得：m＝2，故答案为：2．11．已知函数为奇函数，则不等式的解集为_______．【答案】【解析】依题意，有：，即再由对数不等式的解法得到结果.＝，所以，即：，所以，k＝±1，当k＝1时，没有意义，舍去，所以，k＝－1，不等式即为：＜1＝所以，0＜＜2，由＞0，得：x＜－1或x＞1，由＜2，即＜0，即＞0，得：x＜1或x＞3，综上可得：x＜－1或x＞3，所以，解集为：（－∞，－1）∪（3，＋∞）12．已知函数，则不等式的解集为________. 【答案】【解析】,∴函数在R上位增函数，∵，∴函数为奇函数，由可得又函数在R上为增函数，∴，∴不等式的解集为故答案为：13．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，．若f (a)＜4＋f (－a)，则实数a的取值范围是_____．【答案】【解析】∵f (x)为奇函数，∴∴f (a)＜4＋f (－a)可转化为f (a)＜2作出的图象，如图：由图易知：a＜2故答案为：14．定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，则实数k的取值范围为__．【答案】【解析】由定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，可得函数f（x）在区间[﹣3，3]的图象如图所示，在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，等价于y＝f（x）的图象与直线y＝k（x+3）在区间[﹣3，3]内有6个交点，又y＝k（x+3）过定点（﹣3，0），观察图象可知实数k的取值范围为：，故答案为：（0，]15．已知函数()f x 的周期为4，且当(0,4]x ∈时，，则的值为______. 【答案】0 【解析】∵函数()f x 的周期为4，且当(]0,4x ∈时，∴∴故答案为：0 16．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数.若，，使成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】根据题意，对于函数，当时，，可得：当时，，有最大值，最小值，当时，，函数的图像关于直线对称，则此时有，又由函数是定义在区间内的2级类周期函数，且；则在上，，则有，则，则函数在区间上的最大值为8，最小值为0；对于函数，有，得在上，，函数为减函数，在上，，函数为增函数，则函数在上，由最小值.若，，使成立，必有，即，解可得，即的取值范围为.故答案为：.17．函数满足，且在区间上，则的值为____．【答案】【解析】由得函数的周期为4，所以因此18．若是定义在上的周期为3的函数，且,则的值为_________．【答案】【解析】f（x）是定义在R上的周期为3的函数，且，可得f（0）=f（3），即有a=﹣18+18=0，则f（a+1）=f（1）=1+1=2，故答案为：219．函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于______________ 【答案】132【解析】由f (x )⋅f (x +2)=13得,f (x +2)f (x +4)=13，即f (x )=f (x +4)，所以函数f (x )是周期为4的周期函数。

2018高考数学第一轮复习函数的奇偶性与周期性精品优选公开课件

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例：设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数，则下列结
论恒成立的是
( )．
A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数
C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－g(x)是奇函数
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3.已知定义在R上的奇函数f(x),满足f(x+4)=f(x),则f(8)
(D)2 012
(2)(2012·江苏高考)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，
ax1,1 x＜0,
在区间［-1，1］上，
f
x

bx

2
其中a,b∈R,若
f ( 1 ) f ( 3 ), 则a+3b的值为_____x_.1 ,0 x 1,
22
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【规范解答】(1)选B.∵f(x+6)=f(x),∴T=6.
解得2<x< 6 ,即不等式的解集为(2, 6 ). 答案:(2, 6 )
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(2)当a=1时，f
x

2x
1, 1
此时
fx2 2 x x 1 11 1 2 2x x2 2x x 1 1
=-f(x), ∴f(x)是其定义域上的奇函数.
当f 即
2 2 xx x a a22 xx aa2 2x x是 a a 其, 定1 1 a义域2 2x x上a 的a 奇2 2x x函, 数1 a时a，, fa( -x)1=.-f(x),
=…=f(2 005)+f(2 006)+…+f(2 010)=1, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 010)=1× 2 0 1 0 =335.

2018届高三数学文一轮复习课件：2-3 函数的奇偶性与周期性精品

微知识❻ 函数周期性的常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x： ①若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2a(a＞0)； ②若 f(x＋a)＝f1x，则 T＝2a(a＞0)； ③若 f(x＋a)＝－f1x，则 T＝2a(a＞0)。
微知识❼ 函数的对称性与周期性的关系 (1)如果函数 f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴 x＝a，x＝b(a＜b)，则函数 f(x)是周期函数，且周期 T＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同)。 (2)如果函数 f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心 A(a,0)，B(b,0)(a＜ b)，那么函数 f(x)是周期函数，且周期 T＝2(b－a)。 (3)如果函数 f(x)，x∈D 在定义域内有一条对称轴 x＝a 和一个对称中心 B(b,0)(a≠b)，那么函数 f(x)是周期函数，且周期 T＝4|b－a|。
(4)若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称。 (√ )
解析：正确。函数 y＝f(x＋b)关于点(0,0)中心对称，则函数 y＝f(x)关于点(b,0)中心对称。
2．下列函数为偶函数的是( )
A．f(x)＝x－1
B．f(x)＝x2＋x
C．f(x)＝2x－2－x
【微练 2】(1)设 f(x)为定义在 R 上的奇函数。当 x≥0 时，f(x)＝2x＋2x＋b(b
第二章函数、导数及其应用
第三节函数的奇偶性与周期性
微知识小题练微考点大课堂微考场新提升
微知识小题练
教材回扣基础自测
一、知识清单微知识❶ 偶函数的概念一般地，如果对函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数。微知识❷ 奇函数的概念一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数。微知识❸ 奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于 y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称。

(江苏专用)2018年高考数学一轮复习第二章函数 2.2 函数的基本性质课件

3
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22
思路分析利用函数的奇偶性将原不等式转化为f(2|a-1|)>f( 2),结合函数f(x)在(0,+∞)上单调递减即可求得a的取值范围.
C组教师专用题组
1.(2013四川理改编,10,5分)设函数f(x)= ex x a (a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sin x上存
a,b,c的大小关系为
.(用“<”连接)
答案 b<a<c
解析本题考查函数的奇偶性、单调性的应用,对数值大小的比较.
奇函数f(x)在R上是增函数,当x>0时, f(x)>f(0)=0,当x1>x2>0时, f(x1)>f(x2)>0,∴x1 f(x1)>x2 f(x2),∴g(x) 在(0,+∞)上单调递增,且g(x)=xf(x)是偶函数,∴a=g(-log25.1)=g(log25.1).2<log25.1<3,1<20.8<2,由g(x)在 (0,+∞)上单调递增,得g(20.8)<g(log25.1)<g(3),∴b<a<c.
3.(2017江苏泰州中学第一学期第一次质量检测,10)已知函数f(x)=
x x

ln x 5,0 9 m, x
x 1
x
1
1,
的值域为R,
则实数m的取值范围为
.
答案 m≤1
解析当0<x≤1时,f(x)=x+ln x+5∈(-∞,6],当x>1时,f(x)=x+ 9 +m=x+1+ 9 +m-1≥2
在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是

2018届高三数学文一轮总复习江苏专用课件：第二章第三节函数的奇偶性及周期性精品

2．设 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的函数，当 x∈[－1,1)时， f(x)＝－ x，4x2＋0≤2，x<－1，1≤x<0，则 f 32＝________. 解析：由题意得，f 32＝f －12＝－4×－122＋2＝1. 答案：1
3．函数 f(x)＝(2x＋2)
22＋－xx的奇偶性为________．
∴f(∴x)f既(x)是是奇奇函函数数．又是偶函数． (2)∵(关5)函于易数原知点函f(对x数)称＝的，定又3义－当域2为x>＋(0－时∞2，，x－0)3∪的(0定，义＋∞域)，为32，不关f(x于)＝坐x标2＋原x，点对称，
则当 x<0 时，－x>0，
∴函故数f(－f(xx))＝既x不2－是x＝奇f函(x)数；，也不是偶函数．
2．设函数 f(x)＝x＋1xx＋a为奇函数，则 a＝________. 解析：∵f(x)＝x＋1xx＋a为奇函数， ∴f(1)＋f(－1)＝0，即1＋111＋a＋－1＋1－1－1＋a＝0， ∴a＝－1. 答案：－1
角度二：单调性与奇偶性结合 3．(2016·刑台摸底考试)已知定义在(－1,1)上的奇函数 f(x)，其
答案：(1， 2)
角度三：周期性与奇偶性结合 4．已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f(1)＜1，
f(5)＝2aa＋－13，则实数 a 的取值范围为________．
解析：∵f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数， ∴f(5)＝f(5－6)＝f(－1)＝f(1)， ∵f(1)＜1，f(5)＝2aa＋－13， ∴2aa＋－13＜1，即aa－＋41＜0，解得－1＜a＜4. 答案：(－1,4)
(2)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0， f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. 又∵f(x)是周期为 4 的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝… ＝f(2012)＋f(2 013)＋f(2 014)＋f(2 015)＝0， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝0.

江苏2018版高考数学复习第二章函数概念与基本初等函数I2.3函数的奇偶性与周期性教师用书文苏教版

2.3 函数的奇偶性与周期性1.函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f (x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.【知识拓展】1.函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇.2.函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a(a>0).(3)若f(x＋a)＝－1f x，则T＝2a(a>0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点.( ×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称.( √)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.( √)(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.( √)(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期.( √)1.(教材改编)对于定义域是R的任意奇函数f(x)，下列结论正确的有________.(填序号)①f(x)－f(－x)＞0；②f(x)－f(－x)≤0；③f(x)·f(－x)≤0; ④f(x)·f(－x)＞0.答案③解析①②显然不正确.对任意奇函数f(x)，有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故③正确，④不正确.2.(教材改编)函数y＝f(x)为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(|a|)＝3，则f(－a)＝________. 答案 3解析若a≥0，则f(－a)＝f(a)＝f(|a|)＝3；若a<0，则f(－a)＝f(|a|)＝3.故对a∈R，总有f(－a)＝3.3.(教材改编)若函数f(x)＝(x＋1)(x－a)为偶函数，则a＝________.答案 1解析∵f(x)＝(x＋1)(x－a)＝x2＋(1－a)x－a为偶函数，∴f(－x)＝f(x)对任意x∈R恒成立，∴(1－a)x＝(a－1)x恒成立，∴1－a＝0，∴a＝1.4.(教材改编)设函数y＝f(x)是偶函数，它在[0,1]上的图象如图所示，则它在[－1,0]上的解析式为________.答案f(x)＝x＋2解析由题意知f(x)在[－1,0]上为一条线段，且过(－1,1)、(0,2)，设f(x)＝kx＋b，代入解得k＝1，b＝2.所以f(x)＝x＋2.5.(2016·四川)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0<x<1时，f(x)＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.答案－2解析 ∵f (x )为定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，又0<x <1时，f (x )＝4x，∴f (12)＝124＝2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2) ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋f (2) ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0) ＝－2＋0＝－2.题型一判断函数的奇偶性例1 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是________. ①y ＝1＋x 2； ②y ＝x ＋1x；③y ＝2x＋12x ；④y ＝x ＋e x.答案 ④解析 ①中的函数是偶函数；②中的函数是奇函数；③中的函数是偶函数；只有④中的函数既不是奇函数也不是偶函数.(2)判断函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0的奇偶性.解当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )；当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x ).∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，均有f (－x )＝－f (x ). ∴函数f (x )为奇函数.思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断.(1)(2016·北京海淀区模拟)下列函数中为偶函数的是________.①y ＝1x；②y ＝lg|x |；③y ＝(x －1)2； ④y ＝2x.(2)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)＝________. 答案 (1)② (2)3解析 (1)②中，函数y ＝lg|x |的定义域为{x |x ≠0}且lg|－x |＝lg|x |， ∴函数y ＝lg|x |是偶函数.(2)∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，∴－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，得g (1)＝3. 题型二函数的周期性例2 (1)(2016·淮安模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______. 答案 (1)0 (2)2.5解析 (1)由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)， ∴f (x )的周期为4，∴f (2 017)＝f (1)，f (2 019)＝f (3)＝f (－1)，又∵f (1)＝f (－1)＝g (0)＝0， ∴f (2 017)＋f (2 019)＝0.(2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1fx ＋＝－1－1f x＝f (x ).故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5). ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5. 引申探究例2(2)中，若将f (x ＋2)＝－1f x改为f (x ＋2)＝－f (x )，其他条件不变，则f (105.5)的值为________. 答案 2.5解析 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数的周期为4(下同例题).思维升华函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质.对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )，当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝________. 答案 339解析 ∵f (x ＋6)＝f (x )，∴T ＝6. ∵当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2；当－1≤x <3时，f (x )＝x ，∴f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝f (－3)＝－1，f (4)＝f (－2)＝0，f (5)＝f (－1)＝－1， f (6)＝f (0)＝0，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)＋f (2 016) ＝1×2 0166＝336.又f (2 017)＝f (1)＝1，f (2 018)＝f (2)＝2， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 018)＝339. 题型三函数性质的综合应用命题点1 解不等式问题例3 (1)(2016·南通模拟)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是____________.(2)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为______.答案 (1)(13，23) (2)(－1,4)解析 (1)因为f (x )是偶函数，所以其图象关于y 轴对称，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增，f (2x －1)<f (13)，所以|2x －1|<13，所以13<x <23.(2)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4. 命题点2 求参数问题例4 (1)函数f (x )＝lg(a ＋21＋x)为奇函数，则实数a ＝________. (2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________.答案 (1)－1 (2)－10解析 (1)根据题意得，使得函数有意义的条件为a ＋21＋x>0且1＋x ≠0，由奇函数的性质可得f (0)＝0.所以lg(a ＋2)＝0，即a ＝－1，经检验a ＝－1满足函数的定义域. (2)因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题. (2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |).②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)奇函数f (x )的定义域为R .若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝________. 答案 (1)－32(2)1解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝2ax ＝ln e 2ax，即1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x＋1＝e 2ax ＋3x(e 3x＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)由f (x ＋2)是偶函数可得f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，又由f (x )是奇函数得f (－x ＋2)＝－f (x －2)，所以f (x ＋2)＝－f (x －2)，f (x ＋4)＝－f (x )，f (x ＋8)＝f (x )，故f (x )是以8为周期的周期函数，所以f (9)＝f (8＋1)＝f (1)＝1，又因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，所以f (8)＝f (0)＝0，故f (8)＋f (9)＝1.2.抽象函数问题考点分析抽象函数问题在高考中也时常遇到，常常涉及求函数的定义域，由函数的周期性求函数值或判断函数的奇偶性等.一般以填空题来呈现，有时在解答题中也有所体现.此类题目较为抽象，易失分，应引起足够重视. 一、抽象函数的定义域典例 1 已知函数y ＝f (x )的定义域是[0,8]，则函数g (x )＝f x 2－2－log 2x ＋的定义域为________.解析要使函数有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧0≤x 2－1≤8，x ＋1>0，2－log 2x ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧1≤x 2≤9，x >－1，x ≠3，解得1≤x <3，所以函数g (x )的定义域为[1,3). 答案 [1,3)二、抽象函数的函数值典例2 若定义在实数集R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f x，对任意x ∈R 恒成立，则f (2 019)＝________. 解析因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f x ，所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1fx ＋＝11f x＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1). 因为函数f (x )为偶函数，所以f (2 019)＝f (－1)＝f (1). 当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f－，得f (1)＝1f.即f (1)＝1，所以f (2 019)＝f (1)＝1. 答案 1三、抽象函数的单调性与不等式典例3 设函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，且满足f (xy )＝f (x )＋f (y ).若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求实数a 的取值范围. 规范解答解因为f (xy )＝f (x )＋f (y )且f (3)＝1，所以2＝2f (3)＝f (3)＋f (3)＝f (9).又f (a )>f (a －1)＋2，所以f (a )>f (a －1)＋f (9). 再由f (xy )＝f (x )＋f (y )，可知f (a )>f [9(a －1)]，因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －，aa －，解得1<a <98.故所求实数a 的取值范围是(1，98).1.(教材改编)已知f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，则f (x )＝____________. 答案 x 2－2解析 f (－x )＋g (－x )＝x 2－x －2，由f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，得f (x )－g (x )＝x 2－x －2，又f (x )＋g (x )＝x 2＋x －2，两式联立得f (x )＝x 2－2.2.(2016·苏州模拟)设f (x )是R 上的任意函数，则下列叙述正确的有________.(填序号) ①f (x )f (－x )是奇函数； ②f (x )|f (－x )|是奇函数； ③f (x )－f (－x )是奇函数； ④f (x )＋f (－x )是偶函数. 答案 ③④解析对于①，设g (x )＝f (x )f (－x )，g (－x )＝f (－x )f (x )＝g (x )，∴f (－x )f (x )是偶函数；对于②，设g (x )＝f (x )|f (－x )|，g (－x )＝f (－x )|f (x )|≠g (x )，g (－x )≠－g (x )，∴f (x )|f (－x )|是非奇非偶函数；对于③，设g (x )＝f (x )－f (－x )，g (－x )＝f (－x )－f (x )＝－[f (x )－f (－x )]＝－g (x )，∴f (x )－f (－x )是奇函数；对于④，设g (x )＝f (x )＋f (－x )，g (－x )＝f (－x )＋f (x )＝g (x )，∴f (x )＋f (－x )是偶函数.3.已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x 2，则f (2019)＝________. 答案 2解析由f (x ＋4)＝f (x )知，f (x )是周期为4的周期函数，f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)，又f (x ＋4)＝f (x )，∴f (3)＝f (－1)，由－1∈(－2,0)得f (－1)＝2， ∴f (2 019)＝2.4.(2016·南京模拟)若函数f (x )＝2x －k ·2－x2x ＋k ·2－x (k 为常数)在定义域内为奇函数，则k 的值为________. 答案 ±1解析依题意，得f (－x )＝2－x－k ·2x2－x ＋k ·2x＝－2x－k ·2－x2x ＋k ·2－x ，整理得k 2＝1，k ＝±1.5.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos π6x ＜x ，log 2x x，则f (f (－16))＝________.答案 12解析由题意f (－16)＝－f (16)＝－log 216＝－4，故f (f (－16))＝f (－4)＝－f (4)＝－cos 4π6＝12.6.(2016·盐城模拟)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________. 答案 13解析依题意得f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，又a －1＝－2a ， ∴a ＝13，∴a ＋b ＝13.7.(2017·苏北四市联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，g x ，x <0，若f (x )为奇函数，则g (－14)＝________. 答案 2解析 g (－14)＝f (－14)＝－f (14) ＝－log 214＝－log 22－2＝2. 8.(2016·常州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________.答案 0解析由f (x ＋1)是偶函数得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x －1)，即－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，即f (x )＋f (x ＋2)＝0，所以f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.9.函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案－－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1.10.(2016·南京模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调递增函数.如果实数t 满足f (ln t )＋f (ln 1t)≤2f (1)，那么t 的取值范围是________. 答案 [1e，e] 解析由于函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (ln t )＝f (ln 1t)，由f (ln t )＋f (ln 1t)≤2f (1)，得f (ln t )≤f (1).又函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调递增函数，所以|ln t |≤1，即－1≤ln t ≤1，故1e≤t ≤e. 11.(2016·江苏苏北四市二调)定义在R 上的奇函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)＋(a －1)x ＋b (a ，b 为常数)，若f (2)＝－1，则f (－6)的值为________.答案 4解析由已知得f (0)＝0＝1＋b ，∴b ＝－1，又f (2)＝2＋2(a －1)－1＝－1，∴a ＝0，∴f (x )＝log 2(x ＋2)－x －1(x ≥0)，∴f (－6)＝－f (6)＝－3＋6＋1＝4.12.(2016·江苏扬州中学开学考试)已知f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m ，如果∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是____________.答案 [－5，－2]解析 ∵f (x )是定义在[－2,2]上的奇函数，∴f (0)＝0，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x－1的值域为(0,3]，∴当x ∈[－2,2]时，f (x )的值域为[－3,3]，若∀x 1∈[－2,2]，∃x 2∈[－2,2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则g (x )max ≥3且g (x )min ≤－3，∵g (x )＝x 2－2x ＋m ＝(x －1)2＋m －1，∴当x ∈[－2,2]时， g (x )max ＝g (－2)＝8＋m ，g (x )min ＝g (1)＝m －1，故8＋m ≥3且m －1≤－3，解得m ≥－5且m ≤－2，故－5≤m ≤－2.13.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积.解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数.∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x ).从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称.又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示.设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×(12×2×1)＝4。

江苏版2018年高考数学一轮复习专题2.3函数奇偶性讲20171129329

专题2.3 函数奇偶性【考纲解读】【直击考点】题组一常识题1．[教材改编] 函数f (x )＝x 2－1，f (x )＝x 3，f (x )＝x 2＋cos x ，f (x )＝1x＋|x |中偶函数的个数是________．【答案】2【解析】f (x )＝x 2－1和f (x )＝x 2＋cos x 为偶函数．2．[教材改编] 已知f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x －1，则f (－2)＝________．【答案】1－ 2【解析】f (－2)＝－f (2)＝－(2－1)＝1－ 2.3．[教材改编] 已知函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 4(x 2＋3)，则f (2017)＝________．【答案】1题组二常错题4．函数f (x )＝lg （1－x 2）|x ＋3|－3是________(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)函数．【答案】奇【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，|x ＋3|－3≠0，得－1＜x ＜1，且x ≠0，∴函数f (x )的定义域为(－1，0)∪(0，1)．∵f (x )＝lg （1－x 2）|x ＋3|－3＝lg （1－x 2）x ，∴f (－x )＝lg （1－x 2）－x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．5．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，给出下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号) 【答案】①③6．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2014)＝________．【答案】2【解析】∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，∴f 2014＝f (671×3＋1)＝f (1)＝2. 题组三常考题7．下列函数为奇函数的是________．(填序号) ①y ＝1x2，②y ＝tan 2x ，③y ＝x ＋cos x ，④y ＝e x ＋e －x.【答案】②【解析】y ＝1x2和y ＝e x ＋e －x是偶函数，y ＝x ＋cos x 是非奇非偶函数，只有y ＝tan 2x 是奇函数．8．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________．【答案】2【解析】令x ＝－1得，f (－1)－g (－1)＝(－1)2＋1＝2.因为f (x )，g (x )分别是偶函数和奇函数，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，即f(1)＋g(1)＝2.9．函数f(x)＝2x＋aa·2x＋b是R上的奇函数，则a·b＝________．【答案】1【知识清单】1 函数奇偶性的判断2 函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．利用奇偶性关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．（4）抽象函数的奇偶性就是要判断－x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或y轴对称，结合函数的图形作出进一步的判断．【考点深度剖析】函数的奇偶性在高考中占有重要的地位，在命题时主要是与函数的概念、图像、性质综合在一起考查．而近几年的高考中加大了对非三角函数的周期性和抽象函数的奇偶性、周期性的考查力度．【重点难点突破】考点1 函数奇偶性的判断【1-1】判断函数f(x)＝1－x2＋x2－1的奇偶性；【答案】f (x )既是奇函数又是偶函数．【解析】解：∵由221010x x ⎧-≥⎨-≤⎩得x ＝±1∴f (x )的定义域为{－1,1}．又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0，即f (x )＝±f (－x )．∴f (x )既是奇函数又是偶函数．【1-2】判断函数f (x )＝4－x2|x ＋3|－3的奇偶性；【答案】f (x )是奇函数．【解析】∵由240|3|30x x ⎧-≥⎨+-≠⎩得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3＝4－x 2x ＋3 －3＝4－x2x ，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．【1-3】判断函数f (x )＝22,0,0x x x x x x ⎧+>⎨-<⎩的奇偶性；【答案】f (x )是偶函数．【1-4】判断函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的奇偶性；【答案】f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．【解析】∵函数f (x )＝3－2x ＋2x －3的定义域为3{}2，不关于坐标原点对称，∴函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数【思想方法】1．判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法：(2)图像法：2.判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f (－x )与f (x )的关系，只有对各段上的x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．【温馨提醒】定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件考点2 函数奇偶性的应用【2-1】已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________. 【答案】－1.【2-2】设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，且f (2)＝0，则不等式()()0f x f x x+->的解集为________.【答案】 (－∞，－2)∪(0,2)．【解析】∵f (x )为偶函数， ∴()()2()0f x f x f x x x+-=>∴xf (x )>0.()00f x x >⎧∴⎨>⎩或()00f x x <⎧⎨<⎩又f (－2)＝f (2)＝0，f (x )在(0，＋∞)上为减函数，故x ∈(0,2)或x ∈(－∞，－2)．【2-3】设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意x ∈R 都有f (x )＝f (x ＋4)，当x ∈[－2，0)时，f (x )＝2x，则f (2 014)－f (2 013)的值为_______.【答案】14【解析】由题可知函数的周期为4，故f (2 014)－f (2 013)＝f (2)－f (1)．因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (2)＝－f (－2)＝－2－2＝－14，f (1)＝－f (－1)＝－2－1＝－12，所以f (2 014)－f (2 013)＝－14＋12＝14.【2-4】已知函数f (x )＝x 2－m是定义在区间[－3－m ，m 2－m ]上的奇函数，则f (m )＝________.【答案】-1【思想方法】①若函数f (x )为偶函数，则函数在y 轴两侧单调性相反；若函数f (x )为奇函数，则函数在原点两侧的单调性相同．②利用函数的奇偶性把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上的问题，是简化问题的一种途径．【温馨提醒】奇偶函数的不等式求解时，要注意到：奇函数在对称的单调区间上有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间上有相反的单调性．【易错试题常警惕】f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0，1)时，f (x )＝2x4x ＋1.(1)求f (1)和f (－1)的值； (2)求f (x )在[－1，1]上的解析式. 解 (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1，0)时，－x ∈(0，1). 由f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x ＋1，综上，在[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈（0，1），－2x 4x＋1，x ∈（－1，0），0，x ∈{－1，0，1}.。

2018届江苏高考数学一轮复习课件函数的图象与性质

利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．
1 0，2， cos πx，x∈ 已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝则 1 2x－1，x∈ ，＋∞， 2
象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知 k≥2 或 k＝0，即实数 k 的取值范围为 k＝0 或 k≥2.
[ 规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性． 2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围． 3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．
|a－1|
1 1 3 ＜ 2，即|a－1|＜2，所以2＜a＜2.]
☞角度 2
奇偶性与周期性结合
(2017· 南通二模)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈[0，＋∞)，满足 f(x＋2)＝f(x)，若当 x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数 y ＝f(x)－1 在区间[ －2,4] 上的零点个数为________．
7 [由 f(x＋2)＝f(x)可知，f(x)在[0，＋∞)上是周期为 2 的函数，又 x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，且 f(x)为偶函数，故 f(x)在[ －2,4] 上的图象如图所示．由图可知 y＝f(x)与 y＝1 有 7 个交点，故函数 y＝f(x)－1 在区间[ －2,4] 上有 7 个零点． ]
－ ∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a 1|)>f(－ 2)，则 a 的取值范围是________．

2018版高考数学江苏专用文科大一轮复习讲义：第二章

第3讲函数的奇偶性与周期性基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2017·镇江期末)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是________．解析 y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lg x 2－2与y ＝x sin x 为偶函数．答案 22．(2015·湖南卷改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则下列结论：①奇函数，且在(0,1)内是增函数； ②奇函数，且在(0,1)内是减函数； ③偶函数，且在(0,1)内是增函数； ④偶函数，且在(0,1)内是减函数．其中正确的有________(填序号)．解析易知f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，则y ＝f (x )为奇函数，又y ＝ln(1＋x )与y ＝－ln(1－x )在(0,1)上是增函数，所以f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )在(0,1)上是增函数．答案 ①3．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.解析由于f (－x )＝f (x )， ∴ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，则2a ＋3＝0， ∴a ＝－32.答案－324．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)＝________.解析由已知得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－f＋g ＝2，f ＋g＝4，解得g (1)＝3.答案 35．(2017·南通调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －b ，x ≥0，axx ＋，x <0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．解析法一因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝a －1＋，－b ＝2a －2＋解得a ＝－1，b ＝2.经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1. 法二因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称，当x >0时，二次函数的图象顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，－b 24，当x <0时，二次函数的图象顶点为(－1，－a )，所以－b 2＝－1，－b 24＝a ，解得a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1. 答案－16．(2017·泰安一模改编)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为________．解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0. 从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4. ∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2. 答案 27．(2017·南通调研)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x－x ，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.解析由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.答案5168．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________．解析由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，得函数y ＝f (x )在 (－∞，0)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0， ∴f (x )>0时，x >12或－12<x <0.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <0或x >12 二、解答题9．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间上的表达式．解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．又f (x )的定义域为R ， ∴f (x )是偶函数． (2)当x ∈时，－x ∈，则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈，，－x ＋2，x ∈[1，2].10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2017·苏、锡、常、镇调研)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为________．解析 ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4. 答案 (－1,4)12．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝________.解析 y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称，即函数f (x )是偶函数，令x ＝－1，则f (－1＋2)－f (－1)＝2f (1)， ∴f (1)－f (1)＝2f (1)＝0，即f (1)＝0，则f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，则函数的周期是2，又f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝f (1)＋f (0)＝0＋2＝2. 答案 213．(2017·郑州模拟)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间上与x 轴的交点个数为________．解析因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0. 又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间上与x 轴的交点有7个．答案 714．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得，f (x ＋4)＝f ＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f ＝－f (x －1)＝f ，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。

2018高考一轮江苏数学(文)(练习)第2章第6课函数的奇偶性与周期性Word版含答案

第6课函数的奇偶性与周期性[最新考纲]1．函数的奇偶性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作f (x )的最小正周期．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )(2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( )(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( ) (4)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．13 [依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴b ＝0且a ＝13，则a ＋b ＝13.]3．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x ＜0时，f (x )＝________.x (1－x ) [当x ＜0时，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．]4．下列函数中，①y ＝x ；②y ＝|sin x |；③y ＝cos x ；④y ＝e x －e －x 为奇函数的是________．(填函数序号)④ [①中函数的定义域为[0，＋∞)，其不关于原点对称，故①不是奇函数，②③是偶函数，④是奇函数．]5．(2016·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．－25 [因为函数f (x )的周期为2，结合在[－1,1)上f (x )的解析式，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，得－12＋a ＝110，解得a ＝35.所以f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.](1)f (x )＝x 3－2x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ＞0，x 2－x ，x ＜0.[解] (1)定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝－x 3＋2x ＝－(x 3－2x )＝－f (x )． ∴该函数为奇函数．(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(3)易知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又当x ＞0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x ＜0时，－x ＞0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2－x ，则当x ＞0时，－x ＜0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )，故原函数是偶函数．[规律方法] 1.利用定义判断函数奇偶性的步骤：2．判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性；也可以利用函数的图象进行判断．[变式训练1](1)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是________．(填序号)①f(x)g(x)是偶函数；②|f(x)|g(x)是奇函数；③f(x)|g(x)|是奇函数；④|f(x)g(x)|是奇函数．(2)判断函数f(x)＝3－x2＋x2－3的奇偶性．(1)③[①：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，①错．②：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，②错．③：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，③正确．④：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，④错．](2)由⎩⎨⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，∴x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(1)【导学号：62172030】(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________.(1)1(2)⎩⎨⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0[(1)∵f (x )为偶函数，∴f (－x )－f (x )＝0恒成立，∴－x ln(－x ＋a ＋x 2)－x ln(x ＋a ＋x 2)＝0恒成立，∴x ln a ＝0恒成立，∴ln a＝0，即a ＝1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.][规律方法] 1.已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值；2．已知函数的奇偶性求函数值或解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性得出关于f (x )的方程(组)，从而可得f (x )的值或解析式．[变式训练2] (2017·南通一模)若函数f (x )＝⎩⎨⎧x (x －b )，x ≥0，ax (x ＋2)，x <0，(a >0，b >0)为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．－1 [∵f (x )为奇函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (2)＝－f (－2)，f (1)＝－f (－1)，即⎩⎪⎨⎪⎧2(2－b )＝0，1－b ＝a (－1＋2)，解得a ＝－1，b ＝2. ∴f (a ＋b )＝f (1)＝1－b ＝－1.]时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝________. 【导学号：62172031】1 009 [∵f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )的周期T ＝2.又当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2，∴f (0)＝0，f (1)＝1，f (0)＋f (1)＝1. ∴f (0)＋f (1)＝f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＝…＝f (2 016)＋f (2 017)＝1， ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＝1 009.][迁移探究1] 若将本例中“f (x ＋2)＝f (x )”改为“f (x ＋1)＝－f (x )”，则结论如何？[解] ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝－f(x＋1)＝f(x)．故函数f(x)的周期为2.由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.[迁移探究2]若将本例中“f(x＋2)＝f(x)”改为“f(x＋1)＝1f(x)”，则结论如何？[解]∵f(x＋1)＝1f(x)，∴f(x＋2)＝f[(x＋1)＋1]＝1f(x＋1)＝f(x)．故函数f(x)的周期为2.由本例可知，f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 017)＝1 009.[规律方法] 1.判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质．2．函数周期性的三个常用结论：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a，(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a，(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a(a＞0)．[变式训练3](2017·南通第一次学情检测)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且x∈(0,2)时f(x)＝x2＋1，则f(7)的值为________．－2[∵由f(x＋4)＝f(x)可知f(x)的周期T＝4，∴f(7)＝f(7－4×2)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，故f(－1)＝－f(1)．又f(x)＝x2＋1，x∈(0,2)，故f(1)＝2.∴f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.][思想与方法]1．函数奇偶性的三个常用性质(1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.(2)若f(x)为偶函数，则f(|x|)＝f(x)．(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．利用函数奇偶性可以解决以下问题(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用．[易错与防范]1．判断函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．3．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不能用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．课时分层训练(六)A 组基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是________．2 [y ＝x cos x 是奇函数，y ＝lg x 2－2和y ＝x sin x 是偶函数，y ＝e x ＋x 2是非奇非偶函数．]2．函数y ＝log 21＋x1－x的图象关于________对称．(填序号) ①原点；②y 轴；③y ＝－x ；④y ＝x . ① [由1＋x1－x ＞0得－1＜x ＜1，即函数定义域为(－1,1)，又f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝－log 21＋x1－x＝－f (x )，∴函数y＝log21＋x1－x为奇函数．]3．(2016·苏州期中)定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝2x－x2，则f(－1)＋f(0)＋f(3)＝________.－2[∵f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0.又x>0时，f(x)＝2x－x2，∴f(－1)＋f(0)＋f(3)＝－f(1)＋0＋f(3)＝－2＋1＋0＋8－9＝－2.]4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(2 019)＝________.－2[∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是以4为周期的周期函数，∴f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)＝－2×12＝－2，即f(2 019)＝－2.]5．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________. 【导学号：62172032】－－x－1[∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，∴当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)，即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.]6．(2017·安徽蚌埠二模)函数f(x)＝(x＋2)(x＋a)x是奇函数，则实数a＝________. 【导学号：62172033】－2[由题意知，g(x)＝(x＋2)(x＋a)为偶函数，∴a ＝－2.]7．(2016·山东高考改编)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝________.2 [由题意知当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则当x >0时，f (x ＋1)＝f (x )．又当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)．又当x <0时，f (x )＝x 3－1， ∴f (－1)＝－2，∴f (6)＝2.]8．(2016·四川高考)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.－2 [∵f (x )是周期为2的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2，f (2)＝f (0)＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2＋0＝－2.]9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是________. 【导学号：62172034】(－2,1) [∵f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为R 上的奇函数，故f (x )在(－∞，0)上单调递增．∴f (x )在R 上是单调递增函数．又f (2－a 2)>f (a )可知2－a 2>a ，解得－2<a <1.] 10．(2017·泰州中学高三摸底考试)函数y ＝1－sin xx 4＋x 2＋1(x ∈R )的最大值与最小值之和为________．2 [因为y ＝sin xx 4＋x 2＋1为奇函数，其最大值与最小值之和为0，因此函数y＝1－sin xx 4＋x 2＋1(x ∈R )的最大值与最小值之和为2.]二、解答题11．若f (x )，g (x )是定义在R 上的函数，f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，求f (x )的表达式．[解] 在f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1中用－x 代替x ，得f (－x )＋g (－x )＝1(－x )2－(－x )＋1，又f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，所以－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，联立方程⎩⎨⎧f (x )＋g (x )＝1x 2－x ＋1，－f (x )＋g (x )＝1x 2＋x ＋1，两式相减得f (x )＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－x ＋1－1x 2＋x ＋1＝x x 4＋x 2＋1. 12．已知定义在R 上的奇函数f (x )有最小正周期2，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1. (1)求f (1)和f (－1)的值；(2)求f (x )在[－1,1]上的解析式. 【导学号：62172035】 [解] (1)∵f (x )是周期为2的奇函数， ∴f (1)＝f (2－1)＝f (－1)＝－f (1)， ∴f (1)＝0，f (－1)＝0.(2)由题意知，f (0)＝0.当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)．由f (x )是奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )＝－2－x4－x ＋1＝－2x4x＋1，综上，在[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x4x＋1，x ∈(0，1)，－2x 4x＋1，x ∈(－1，0)，0，x ∈{－1，0，1}.B 组能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，在[0,3]上单调递减，并且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－a 5>f (－m 2＋2m －2)，则m 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2，12 [因为函数f (x )在定义域[2－a,3]上是偶函数，所以2－a ＋3＝0，所以a ＝5.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2－a 5>f ()－m 2＋2m －2，即f (－m 2－1)>f (－m 2＋2m －2)，所以偶函数f (x )在[－3,0]上单调递增，而－m 2－1<0，－m 2＋2m －2＝－(m －1)2－1<0，所以由f (－m 2－1)>f (－m 2＋2m －2)得，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤－m 2－1≤0－3≤－m 2＋2m －2≤0，－m 2－1>－m 2＋2m －2解得1－2≤m ≤12.]2．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎨⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．－10 [因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数，(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． [解] (1)设x ＜0，则－x ＞0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x ＜0时， f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增．结合f (x )的图象(略)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2＞－1，a －2≤1，所以1＜a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．4．(2017·南京模拟)已知f (x )是偶函数，定义x ≥0时，f (x )＝⎩⎨⎧x (3－x )，0≤x ≤3，(x －3)(a －x )，x >3.(1)求f (－2)；(2)当x <－3时，求f (x )的解析式；(3)设函数f (x )在区间[－5,5]上的最大值为g (a )，试求g (a )的表达式． [解] (1)由题意，得f (－2)＝f (2)＝2×(3－2)＝2.(2)当x <－3时，－x >3，所以f (x )＝f (－x )＝(－x －3)(a ＋x )＝－(x ＋3)(a ＋x )，所以当x <－3时，f (x )的解析式为f (x )＝－(x ＋3)(a ＋x )．(3)因为f (x )是偶函数，所以它在区间[－5,5]上的最大值即为它在区间[0,5]上的最大值．当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，0≤x ≤3，－x 2＋(a ＋3)x －3a ，x >3.①当a ≤3时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，5上单调递减，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94. ②当3<a <7时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，3＋a 2上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3＋a 2，5上单调递减，所以此时只需比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2＝(a －3)24的大小．(ⅰ)当3<a ≤6时，94≥(a －3)24，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94；(ⅱ)当6<a <7时，94<(a －3)24，所以g (a )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋a 2＝(a －3)24.③当a ≥7时，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，[3,5]上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上单调递减，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝94<f (5)＝2(a －5)，所以g (a )＝f (5)＝2(a －5)．综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧94，a ≤6，(a －3)24，6<a <7，2(a －5)，a ≥7.。

2018年高考数学一轮温习第二章函数导数及其应用课时达标6函数的奇偶性与周期性理

3．已知f(x)在R上是奇函数，且知足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，那么f(2 015)＝( A )
A．－2B．2
C．－98D．98
解析：因为f(x＋4)＝f(x)，因此f(x)是以4为周期的周期函数，因此f(2 015)＝f(503×4＋3)＝f(3)＝f(－1)．
因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝0.
三、解答题
10．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求实数m的值；
(2)假设函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．
解析：(1)设x<0，那么－x>0，
因此f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，
又f(x)为奇函数，因此f(－x)＝－f(x)，
2．已知f(x)＝3ax2＋bx－5a＋b是偶函数，且其概念域为[6a－1，a]，那么a＋b＝( A )
A． B．－1
C．1D．7
解析：因为偶函数的概念域关于原点对称，因此6a－1＋a＝0，因此a＝ .又因为f(x)为偶函数，因此3a(－x)2－bx－5a＋b＝3ax2＋bx－5a＋b，得b＝0，因此a＋b＝，应选A．
解析：f(x)是概念在R上的奇函数，且y＝f(x)的图象关于直线x＝对称，因此f(－x)＝－f(x)，
f ＝f ⇒f(x)＝f(1－x)，
因此f(－x)＝f(1＋x)＝－f(x)，
f(2＋x)＝－f(1＋x)＝f(x)，
因此f(0)＝f(1)＝f(3)＝f(5)＝0，f(0)＝f(2)＝f(4)＝0，
(2)f(x)为偶函数，证明如下：
令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，
因此f(－1)＝ f(1)＝0.

高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件第6讲函数的奇偶性与周期性

0(x∈R)．( )
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第6讲函数的奇偶性与周期性
双
向
固基
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
础
[解析] (1)由题意得定义域必须关于原点对称，所以 a－1 ＋2a＝0，即 a＝13.
(2)例如指数函数的定义域为 R，关于原点对称，但它是非奇非偶函数．
(3)定义域不一定是 R，可以是其关于原点对称的子集，如(－1，1)，{－1，1}．
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第6讲函数的奇偶性与周期性
［思考流程］第一步，求解函数的定义域，判断是否关
点于原点对称；第二步，如果定义域不对称，则函数为非奇非
面偶函数；第三步，如果定义域对称，再判断 f(x)与 f(－x)的
讲考
关系．
向
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第6讲函数的奇偶性与周期性
解：(1)∵由1x2－－x12≥≥00，，得 x＝±1，
• 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/7/312021/7/312021/7/317/31/2021 7:59:21 PM
• 11、一个好的教师，是一个懂得心理学和教育学的人。2021/7/312021/7/312021/7/31Jul-2131-Jul-21
• 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/7/312021/7/312021/7/31Saturday, July 31, 2021
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第6讲函数的奇偶性与周期性
双
向
固
2．函数奇偶性的图像特征
基础
(1)偶函数的图像一定与 y 轴相交．( )
(2)奇函数的图像一定通过原点．( )
[答案] (1)× (2)× [解析] 当 y＝f(x)在 x＝0 处无定义时，(1)(2)都不正确．

2018年高考数学(文)(江苏专用)总复习教师用书第二章函数概念与基本初等函数1第3讲函数的奇偶性与周期性

第3讲函数的奇偶性与周期性考试要求 1.函数奇偶性的含义及判断，B级要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周期的含义，周期性的判断及应用，B级要求．知识梳理1．函数的奇偶性(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝0.(4)定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．3．函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数．( )(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.( )(3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．( )(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称．( ) 解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错．(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错．答案(1)×(2)×(3)√(4)√2．(2015·福建卷改编)给出下列函数：①y＝x；②y＝|sin x|；③y＝cos x；④y＝e x－e－x.其中为奇函数的是________(填序号)．解析因为函数y ＝x 的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，所以函数y ＝x 为非奇非偶函数，排除①；因为y ＝|sin x |为偶函数，所以排除②；因为y ＝cos x 为偶函数，所以排除③；因为y ＝f (x )＝e x －e －x 定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x)＝－f (x )，所以函数y ＝e x －e －x为奇函数．答案 ④3．(必修1P43习题4改编)已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．解析依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴a ＝13，则a ＋b ＝13.答案 134．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________.解析 ∵f (x )的周期为2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，又∵当－1≤x <0时，f (x )＝－4x 2＋2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1. 答案 15．(2014·全国Ⅱ卷)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________.解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (1)＝f (3)．∴f (－1)＝3. 答案 3考点一函数奇偶性的判断【例1】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝－x 2|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝－x2－x.又∵f (－x )＝lg[1－－x2]x＝－－x2x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数. 规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．【训练1】 (1)(2017·扬州中学质检)给出下列四个函数： ①y ＝x ＋sin 2x ；②y ＝x 2－cos x ；③y ＝2x＋12x ；④y ＝x 2＋sin x .其中既不是奇函数，也不是偶函数的是________(填序号)．(2)(2014·全国Ⅰ卷改编)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，给出下列四个结论：①f (x )g (x )是偶函数；②|f (x )|g (x )是奇函数； ③f (x )|g (x )|是奇函数；④|f (x )g (x )|是奇函数．则上述结论中正确的是________(填序号)．解析 (1)对于①，定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于②，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于③，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数；y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数．(2)依题意得对任意x ∈R ，都有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此，f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－[f (x )·g (x )]，f (x )g (x )是奇函数，①错；|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )，|f (x )|g (x )是偶函数，②错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－[f (x )|g (x )|]，f (x )|g (x )|是奇函数，③正确；|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，|f (x )g (x )|是偶函数，④错．答案 (1)④ (2)③ 考点二函数奇偶性的应用【例2】 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于________．(2)(2015·全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1. 答案 (1)1 (2)1规律方法 (1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值． (2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式或函数值．【训练2】 (1)(2015·山东卷改编)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为________．(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________. 解析 (1)易知f (－x )＝2－x＋12－x －a ＝2x＋11－a 2x ，由f (－x )＝－f (x )，得2x＋11－a 2x ＝－2x＋12x－a，即1－a 2x＝－2x＋a ，化简得a (1＋2x)＝1＋2x，所以a ＝1，f (x )＝2x＋12x －1，由f (x )>3，得0<x <1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，则f (x )＝－x 2－4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.答案 (1)(0,1) (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.考点三函数的周期性及其应用【例3】 (2016·四川卷)若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________.解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (0)＝0，又f (x )在R 上的周期为2， ∴f (2)＝f (0)＝0.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝－2.答案－2规律方法 (1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间．(2)若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期．【训练3】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______. 解析 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1fx ＋＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5.∴f (105.5)＝2.5. 答案 2.5考点四函数性质的综合运用【例4】 (1)(2016·山东卷改编)已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝________. (2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________．解析 (1)当x >12时，由f (x ＋12)＝f (x －12)，得f (x )＝f (x ＋1)，∴f (6)＝f (1)，又由题意知f (1)＝－f (－1)，且f (－1)＝(－1)3－1＝－2. 因此f (6)＝－f (－1)＝2.(2)由y ＝f (x )为偶函数，且f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)．∴f (log 2a )＋f (－log 2a )≤2f (1)⇒f (log 2a )≤f (1)，又f (log 2a )＝f (|log 2a |)且f (x )在[0，＋∞)上递增， ∴|log 2a |≤1⇔－1≤log 2a ≤1.解得12≤a ≤2.答案 (1)2 (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 规律方法 (1)函数单调性与奇偶性的综合．注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性的综合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)单调性、奇偶性与周期性的综合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．【训练4】 (1)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为________．(2)设函数f (x )＝x ＋2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m .则M ＋m ＝________.解析 (1)由题意，得g (－x )＝f (－x －1)，又∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x －1)＋f (x ＋1)＝0. ∴f (2 017)＋f (2 019)＝f (2 018－1)＋f (2 018＋1)＝0.(2)f (x )＝x 2＋2x ＋1＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin xx 2＋1，令g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，故M ＋m ＝2. 答案 (1)0 (2)2[思想方法]1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性．3．在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． [易错防范]1．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．2．函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2017·镇江期末)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是________．解析 y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lg x 2－2与y ＝x sin x 为偶函数．答案 22．(2015·湖南卷改编)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则下列结论：①奇函数，且在(0,1)内是增函数； ②奇函数，且在(0,1)内是减函数； ③偶函数，且在(0,1)内是增函数； ④偶函数，且在(0,1)内是减函数．其中正确的有________(填序号)．解析易知f (x )的定义域为(－1,1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，则y ＝f (x )为奇函数，又y ＝ln(1＋x )与y ＝－ln(1－x )在(0,1)上是增函数，所以f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )在(0,1)上是增函数．答案 ①3．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 解析由于f (－x )＝f (x )， ∴ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，则2a ＋3＝0， ∴a ＝－32.答案－324．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)＝________.解析由已知得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－f＋g ＝2，f ＋g＝4，解得g (1)＝3. 答案 35．(2017·南通调研)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧xx －b ，x ≥0，ax x ＋，x <0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．解析法一因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，即⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝a －1＋，－b ＝2a －2＋解得a ＝－1，b ＝2.经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1. 法二因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )的图象关于原点对称，当x >0时，二次函数的图象顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫b2，－b 24，当x <0时，二次函数的图象顶点为(－1，－a )，所以－b 2＝－1，－b 24＝a ，解得a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件，所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1. 答案－16．(2017·泰安一模改编)奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为________．解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，则f (－x )＝f (x ＋2)，又y ＝f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )＝f (x ＋2)，且f (0)＝0. 从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，y ＝f (x )的周期为4. ∴f (4)＋f (5)＝f (0)＋f (1)＝0＋2＝2. 答案 27．(2017·南通调研)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －x ，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.解析由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.答案5168．定义在R 上的奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则满足f (x )>0的x 的集合为________．解析由奇函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，得函数y ＝f (x )在(－∞，0)上递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0， ∴f (x )>0时，x >12或－12<x <0.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <0或x >12 二、解答题9．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1,2]上的表达式．解 (1)∵f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，∴f (－x )＝f (x )．又f (x )的定义域为R ， ∴f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0,1]时，－x ∈[－1,0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈，，－x ＋2，x ∈[1，2].10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．能力提升题组 (建议用时：20分钟)11．(2017·苏、锡、常、镇调研)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为________．解析 ∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4.答案 (－1,4)12．对任意的实数x 都有f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)，若y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，且f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝________.解析 y ＝f (x －1)的图象关于x ＝1对称，则函数y ＝f (x )的图象关于x ＝0对称，即函数f (x )是偶函数，令x ＝－1，则f (－1＋2)－f (－1)＝2f (1)，∴f (1)－f (1)＝2f (1)＝0，即f (1)＝0，则f (x ＋2)－f (x )＝2f (1)＝0，即f (x ＋2)＝f (x )，则函数的周期是2，又f (0)＝2，则f (2 015)＋f (2 016)＝f (1)＋f (0)＝0＋2＝2.答案 213．(2017·郑州模拟)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点个数为________．解析因为当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x .又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且f (0)＝0，则f (6)＝f (4)＝f (2)＝f (0)＝0.又f (1)＝0，∴f (3)＝f (5)＝f (1)＝0，故函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点有7个．答案 714．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得， f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数，所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4.(2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示．当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.。

2018年高考一轮江苏数学文科 第2章 第6课 函数的奇偶性与周期性