2018年高考总复习知识导学案(文科)7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图

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7.1立体几何的结构特征及三视图直观图

(对应学生用书 P128)
几种常见的多面体的结构特征 (1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．特别地，当底面是正多边形时，叫正棱柱(如正三棱柱，正四棱柱)．
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(2)正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心的棱锥．
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【解析】若为D选项，则主视图为： D选项．
【答案】 D
，故不可能是
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(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．
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对应学生用书 P127)
1．空间几何体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等的多边形．多 (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共点面的三角形．体 (3)棱台可由平行于棱锥底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．
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【思路启迪】利用有关几何体的概念判断所给命题的真假．
【解析】命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的．

8-1 空间几何体的结构特征及三视图和直观图

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【解析】
命题①符合平行六面体的定义，故命题①是
正确的，底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的，因直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的，命题④由棱台的定义知是正确的．
【答案】 ①④
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解析：A错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定是棱锥．
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B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．
时，其侧视图为D. (2)A图是两个圆柱的组合体的俯视图；B图是一个四棱柱与一个圆柱的组合体的俯视图；C图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用排除法，故选D.
【答案】 (1)D (2)D
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C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长． D正确．
答案：D
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18届高三数学一轮复习第八章立体几何第一节空间几何体及其三视图、直观图课件文

1.下列说法正确的是 (
)
A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥 D.棱台各侧棱的延长线交于一点答案 D 由棱柱和棱锥的概念可知,A、B、C均错误.由于棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥所得到的截面与底面之间的部分,故棱台各侧棱的延长线交于一点.
2 4
3-1 如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'
=6 cm,O'C'=2 cm,则原图形是 ( )
A.正方形 C.菱形 B.矩形 D.一般的平行四边形
内部文件，请勿外传
答案 C 将直观图还原得▱OABC,如图,
因为O'D'= 2 O'C'=2 2 cm,所以OD=2O'D'=4 2 cm,
图中长度为原来的一半
不变 ,平行于y轴的线段长度在直观
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. (×)
(2)正方体、球、圆锥各自的三视图中,三个视图均相同. (×) (3)夹在两个平行的平面之间,其余的面都是梯形的几何体一定是棱台. (×) (4)用两平行平面截圆柱,夹在两平行平面间的部分仍是圆柱. (×) (5)斜二测画法中,原图形中的平行或垂直关系在直观图中不变. (×) (6)用一个平面去截一个球,截面是一个圆面. (√)
方法技巧解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧
(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全方面分析,多观察

【推荐精选】2018届高考数学一轮复习第七章立体几何第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图学案

第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图1.能画出柱、锥、台、球等简易组合体的三视图，并能识别三视图所表示的立体模型．会用斜二测画法画出它们的直观图．2．了解平行投影与中心投影，了解空间图形的不同表示形式．知识点一空间几何体的结构特征1．多面体(1)棱柱的侧棱都________，上下底面是______且______的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．(3)棱台可由________________的平面截棱锥得到，其上下底面是________且______的多边形．2．旋转体(1)圆柱可以由______绕其任一边旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由______于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕____________旋转得到．答案1．(1)互相平行互相平行全等(2)公共顶点(3)平行于棱锥底面相互平行相似2．(1)矩形(2)一条直角边所在直线(3)平行(4)直径所在直线1．下列说法正确的是( )A．有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点解析：A错，如图1；B正确，如图2，其中底面ABCD是矩形，可证明∠PAB，∠PCB都是直角，这样四个侧面都是直角三角形；C错，如图3；D错，由棱台的定义知，其侧棱必相交于同一点．答案：B2．下图所示的几何体中，是棱柱的为________(填写所有正确的序号)．解析：根据棱柱的结构特征可知③⑤是棱柱．答案：③⑤知识点二空间几何体的三视图1．三视图的名称几何体的三视图包括________、________、________.2．三视图的画法(1)画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．(2)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的______方、______方、______方观察几何体得到的正投影图．答案1．正视图侧视图俯视图2．(2)正前正左正上3．(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧(左)视图为( )解析：由正视图、俯视图得原几何体的形状如图所示，则该几何体的侧视图为B.答案：B4．如图所示，图①②③是图④所示的几何体的三视图，若图①是正视图，则图②是________，图③是________．解析：根据三视图的概念知图②是侧视图，图③是俯视图．答案：侧视图俯视图知识点三空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用________画法来画，其规则是：1．原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为____，z′轴与x′轴和y′轴所在平面______．2．原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别____________．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段在直观图中长度变为__________．答案斜二测 1.45°或135°垂直2．平行于坐标轴不变原来的一半5．用斜二测画法画一个水平放置的水平图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )解析：由直观图的画法可知，落在y轴上的对角线的长度为2 2.答案：A热点一空间几何体的结构特征【例1】给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；③在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；④存在每个面都是直角三角形的四面体；⑤棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．【解析】①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；②正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；③正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；④正确，如图，正方体AC1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形；⑤正确，由棱台的概念可知．【答案】②③④⑤给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；②不一定，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，如图1所示；③不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；④错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．答案：A热点二空间几何体的三视图考向1 由直观图判断三视图【例2】(2017·贵州七校联考)如图所示，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图是(用①②③④⑤⑥代表图形)( )A ．①②⑥B ．①②③C ．④⑤⑥D ．③④⑤【解析】正视图应该是边长为3和4的矩形，其对角线左下到右上是实线，左上到右下是虚线，因此正视图是①；侧视图应该是边长为5和4的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此侧视图是②；俯视图应该是边长为3和5的矩形，其对角线左上到右下是实线，左下到右上是虚线，因此俯视图是③.【答案】 B考向2 由三视图还原直观图【例3】 (2016·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A .16B .13C .12D ．1【解析】由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥A －BCD ，将其放在长方体中如图所示，其中BD ＝CD ＝1，CD⊥BD，三棱锥的高为1，所以三棱锥的体积为13×12×1×1×1＝16.故选A .【答案】 A考向3 由部分视图确定剩余视图【例4】已知某组合体的正视图与侧视图相同，如图所示，其中AB ＝AC ，四边形BCDE 为矩形，则该组合体的俯视图可以是________(把你认为正确的图的序号都填上)．【解析】直观图如图1的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为①；直观图如图2的几何体(上部是一个正四棱锥，下部是一个圆柱)的俯视图为②；直观图如图3的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个圆柱)的俯视图为③；直观图如图4的几何体(上部是一个圆锥，下部是一个正四棱柱)的俯视图为④.【答案】 ①②③④(1)(2017·南昌一模)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，点P是平面A1B1C1D1内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧视图的面积之比为( )A．B．C．D．(2)(2017·汕头模拟)一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )(3)(2016·四川卷)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．解析：(1)根据题意，三棱锥P －BCD 的正视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高；侧视图是三角形，且底边为正四棱柱的底面边长、高为正四棱柱的高，故三棱锥P －BCD 的正视图与侧视图的面积之比为(2)A ，B ，D 选项满足三视图作法规则，C 不满足三视图作法规则中的宽相等，故C 不可能是该锥体的俯视图．(3)由正视图知，底面三角形是腰长为2，底边为23的等腰三角形，三棱锥的高为1，所以该三棱锥的体积V ＝13×(12×23×1)×1＝33.答案：(1)A (2)C (3)33热点三空间几何体的直观图【例5】如图所示，四边形A′B′C′D′是一平面图形的水平放置的斜二测画法的直观图，在斜二测直观图中，四边形A′B′C′D′是一直角梯形，A′B′∥C′D′，A′D′⊥C′D′，且B′C′与y′轴平行，若A′B′＝6，D′C′＝4，A′D′＝2.求这个平面图形的实际面积．【解】根据斜二测直观图画法规则可知该平面图形是直角梯形，且AB ＝6，CD ＝4保持不变．由于C′B′＝2A′D′＝2 2.所以CB ＝4 2. 故平面图形的实际面积为12×(6＋4)×42＝20 2.已知平面△ABC 的直观图A′B′C′是边长为a 的正三角形，求原△ABC 的面积．解：如图所示，△A′B′C′是边长为a 的正三角形，作C′D′∥A′B′交y′轴于点D′，则D′到x′轴的距离为32a ，∵∠D′A′B′ ＝45°，∴A′D′＝62a ，由斜二测画法的法则知，在△ABC 中，AB ＝A′B′＝a ，AB 边上的高是A′D′的二倍，即为6a ，∴S △ABC ＝12a·6a ＝62a 2.1．对于基本概念和能用公式直接求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决，这种题目难度不大．2．在绘制三视图时，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线．在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被挡住的轮廓线画成虚线．并做到“长对正、高平齐、宽相等”．3．能够由空间几何体的三视图得到它的直观图；也能够由空间几何体的直观图得到它的三视图．提升空间想象能力．找出三视图中扰人的最大值关于三视图，主要有两种考查形式：一是根据给定几何体判断或补画视图，二是由三视图想象出原几何体，进而计算它的面积或体积．而在考查第二种形式时会发现，有一种和求最大值相关的题型，尤其是最大面的面积问题，学生容易理解不到位，感到比较棘手，因此本文对此类问题作详细分析，以便让学生透彻理解这扰人的最大值，使得这类问题的解答变得简单流畅．【例1】某四面体的三视图如图所示，该四面体的六条棱的长度中，最大的是( )A．2 5 B．2 6C．27 D．4 2【解析】由三视图可知该四面体为三棱锥V －ABC ，如图，其中EC ＝CB ＝2，AE ＝23，VC ＝2，AE⊥BE，VC⊥平面ABE ，所以六条棱中，最大的棱为VA 或者AB.AC 2＝AE 2＋EC 2＝(23)2＋22＝16，所以VA 2＝AC 2＋VC 2＝16＋22＝20，此时VA ＝20＝25，AB 2＝AE 2＋EB 2＝(23)2＋42＝28，所以AB ＝28＝27>25，所以棱长最大的为27，选C .【答案】 C解题策略：立体几何中的大量问题均以棱锥为背景，其中出现最频繁的莫过于三棱锥，此题只要将三视图还原为三棱锥，利用垂直关系，理清位置和数量关系，由勾股定理可得到答案．【例2】一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是( )A ．2B ．2 2C . 3D ．2 3【解析】将该几何体放入边长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，由三视图可知该四面体为D －BD 1C 1，由直观图可知，最大的面为等边三角形BDC 1.在等边三角形BDC 1中，BD ＝22，所以△BDC 1的面积S ＝12×(22)2×32＝23，选D .【答案】 D解题策略：由于正方体本身就是一个完美的对称体，比较容易观察和了解到它基本的图形性质，棱柱、平行六面体等几何体一般都可看作是正方体演化而来的．立体几何中的所有点、线、面之间的相互位置关系都可以在正方体中找到，所以当找不到模型时不妨回到正方体中找找看，且它在高考立体几何题中也是大量问题的背景．本题考查将三视图还原为几何体，线面垂直关系，将几何体放入正方体中是解题的关键，考查了空间想象能力和转化能力．【例3】某几何体的三视图如图所示，当a ＋b 取最大值时，这个几何体的体积为( )A .16B .13C .23D .12【解析】该几何体是长方体的一部分，如图所示，可知AC ＝6，BD ＝1，BC ＝b ，AB ＝a.设CD ＝x ，AD ＝y ，则x 2＋y 2＝6，x 2＋1＝b 2，y 2＋1＝a 2，消去x 2，y 2得a 2＋b 2＝8≥＋22，所以a ＋b≤4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立，此时x ＝3，y ＝3，所以V ＝13×12×1×3×3＝12.故选D . 【答案】 D解题策略：本题主要考查三视图，三视图是高考必考题目，因此，要明确三视图的视图规则，准确地还原几何体，明确几何体的特征，以便进一步解题．本题与基本不等式相结合，扩大了试题考查的覆盖面．。

【创新课堂】高考数学总复习专题07 第1节空间几何体的结构及其三视图和直观图课件文

()
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④
4. 如图，几何体的正视图和侧视图都正确的是 ( )
5. 如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图，已知O′B′＝4， A′B′∥y′轴，且△ABO的面积为16，过A′作A′C′⊥x′轴，则A′C′的长为________．
答案：
1. C 解析：由棱柱定义可判断，最简单的棱柱为三棱柱，故C
答案：2 3 解析：由正视图和俯视图可知几何体是正方体切割后的一部分
(四棱锥C1ABCD)，还原在正方体中，如图所示．
多面体最长的一条棱即为正方体的体对角线，
由正方体棱长AB=2知最长棱的长为2 3
9.若一个底面是正三角形的直三棱柱的正视图如图所示，
则其侧面积等于
()
A. 3
B．2
C．2 3
D．6
图1
图2
高考体验
(2012 高考浙江文 3)已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是
A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3
【答案】C
【解析】由题意判断出，底面是一个直角三角形，两个直角
边分别为 1 和 2，整个棱锥的高由侧视图可得为 3，所以三棱
锥的体积为
1 3
3. D 解析：由母线的定义可知①、③错．
4. B 解析：注意实、虚线的区别．
5.2 2 解析：由题意知，在△ABO中，边OB上的高AB=16/4*2=8，
则在直观图中A′B′=4，∴A′C′=A′B′sin 45°=4*
2 2 2. 2
6.如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是 ( )

2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：7.1空间几何体的结构及其三视图和直观图

【规范解答】(1)选B.A错,如图1;B正确,如图2,其中底面ABCD是矩形,可证明∠PAB,∠PCB都是直角,这样四个侧面都是直角三角形;C错,如图3;D错,由棱台的定义知, 其侧棱必相交于同一点.
(2)选B.命题①错,因为这条边若是直角三角形的斜边, 则得不到圆锥;命题②错,因为这条腰必须是垂直于两底的腰;命题③对;命题④错,必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可以.
【变式训练】(2017·济宁模拟)下列结论正确的是 ( A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥 B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥 )
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
2.三视图的长度特征:长对正,高平齐,宽相等. 3.斜二测画法中,原图形面积S与其直观图面积S′的关系:S′= 2 S .
4
4.底面是梯形的四棱柱,侧放后易被看作是四棱台.
【小题快练】链接教材练一练
1.(必修2P10T1改编)如图,长方体ABCD-A′B′C′D′ 被截去一部分,其中EH∥A′D′.剩下的几何体是 ( )
(2)三视图的画法: ①在画三视图时,重叠的线只画一条,挡住的线要画成虚线 _____. ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体正前方、_____ 正左方、_____ 正上方观察到的几何体的正的_____ 投影图.
4.空间几何体的直观图
斜二测画法来画,其规则是: 空间几何体的直观图常用_______
【规律方法】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧 (1)关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概念,要善于通过举反例对概念进行辨析, 即要说明一个命题是错误的,只需举一个反例即可.

高考数学大一轮复习 8.1 空间几何体、三视图和直观图导学案理

空间几何体、三视图和直观图导学目标： 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，并且会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图．自主梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱的上下底面________，侧棱都________且____________，上底面和下底面是________的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个________的三角形．(3)棱台可由__________________的平面截棱锥得到，其上下底面的两个多边形________．2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕其____________旋转得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕其__________________旋转得到．(3)圆台可以由直角梯形绕__________________或等腰梯形绕上下底中点的连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕其________旋转得到．3．空间几何体的三视图空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括________、____________、________.4．空间几何体的直观图画空间几何体的直观图常用________画法，基本步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝________.(2)已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于__________的线段．(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度________，平行于y轴的线段，长度变为___________________．(4)在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度________．5．中心投影与平行投影(1)平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线相交于一点．(2)从投影的角度看，三视图和用斜二测画法画出的直观图都是在平行投影下画出来的图形．自我检测1．如图，下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是( )A．①② B．①③ C．①④ D．②④2．(2011·浙江)若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )3．(2011·金华月考)将正三棱柱截去三个角(如图1所示)，A，B，C分别是△GHI三边的中点，得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为( )4.(2010·广东)如图，△ABC为正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝32BB′＝CC′＝AB ，则多面体ABC －A′B′C′的正视图(也称主视图)是( )5．(2011·山东)如图是长和宽分别相等的两个矩形，给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．0探究点一空间几何体的结构例1给出下列命题：①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；②用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；⑤存在每个面都是直角三角形的四面体；⑥棱台的侧棱延长后交于一点．其中正确命题的序号是________．变式迁移1 下列结论正确的是( )A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线探究点二空间几何体的三视图例2 (2009·福建)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是( )变式迁移2 (2011·课标全国)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为( )探究点三直观图及斜二测画法例3用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形是( )变式迁移3 一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )A.24a2B．22a2C.22a2D.223a2(满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A．底面是正方形，有两个侧面是矩形B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面C．底面是菱形，具有一个顶点处的三条棱两两垂直D．每个侧面都是全等矩形的四棱柱2．(2011·汕头月考)已知水平放置的△ABC的直观图△A′B′C′(斜二测画法)是边长为2a的正三角形，则原△ABC的面积为( )A.2a2B.3 2a2C.62a2D.6a23．有一个正三棱柱，其三视图如图所示：则其体积等于( )A．3 cm3B．1 cm3C.332cm3D．4 cm34．(2011·青岛模拟)如下图，一个简单空间几何体的三视图其正视图与侧视图都是边长为2的正三角形，其俯视图轮廓为正方形，则其体积是( )A.36B.423C.433D.835．(2011·福州质检)某简单几何体的一条对角线长为a，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为2的线段，则a等于( )A. 2B. 3 C．1 D．2二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2010·湖南)图中的三个直角三角形是一个体积为20 cm3的几何体的三视图，则h＝________cm.7．已知正三角形ABC的边长为a，则△ABC的水平放置直观图△A′B′C′的面积为________．8．(2011·宜昌月考)棱长为a的正四面体ABCD的四个顶点均在一个球面上，则此球的半径R＝________.三、解答题(共38分)9．(12分)画出下列几何体的三视图．10．(12分)如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．11．(14分)(2011·石家庄月考)已知正三棱锥V－ABC的正视图和俯视图如图所示．(1)画出该三棱锥的侧视图和直观图．(2)求出侧视图的面积．学案40 空间几何体、三视图和直观图自主梳理1．(1)平行平行长度相等全等 (2)公共顶点(3)平行于棱锥底面相似 2.(1)一边所在直线 (2)一条直角边所在直线 (3)垂直于底边的腰所在直线 (4)直径 3.正视图侧视图俯视图 4.斜二测 (1)45°(或135°) (2)x′轴、y′轴 (3)不变原来的一半 (4)不变自我检测1．D [在各自的三视图中①正方体的三个视图都相同；②圆锥有两个视图相同；③三棱台的三个视图都不同；④正四棱锥有两个视图相同．]2．D [A ，B 的正视图不符合要求，C 的俯视图显然不符合要求，答案选D .] 3．A [∵原几何体是正三棱柱，且AE 在平面EG 中， ∴在侧视图中，AE 应为竖直的．]4．D [由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC ，知BB′⊥平面ABC.又CC′＝32BB′，且△ABC 为正三角形，故正视图应为D 中的图形．]5．A [底面是等腰直角三角形的三棱柱，当它的一个矩形侧面放置在水平面上时，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此①正确；若长方体的高和宽相等，则存在满足题意的两个相等的矩形，因此②正确；当圆柱侧放时(即侧视图为圆时)，它的正视图和俯视图可以是全等的矩形，因此③正确．]课堂活动区例1解题导引解决这种判断题的关键是：①准确理解棱柱、棱锥、棱台的概念；②正确运用平行、垂直的判定及性质定理进行判断，整体把握立体几何知识．③④⑤⑥解析①错误，因为棱柱的底面不一定是正多边形，故侧面不一定都全等；②错误，必须用平行于底面的平面去截棱锥，才能得到棱台；③正确，因为三个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角；④正确，因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，又垂直于底面；⑤正确，如图所示，正方体AC1中的四棱锥C1—ABC，四个面都是直角三角形；⑥正确，由棱台的概念可知．因此，正确命题的序号是③④⑤⑥.变式迁移1 D [A错误．如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如下图，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．]例2 解题导引三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．解决此类问题的关键是弄清三视图“长、宽、高”的关系．C [当俯视图为A 中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为12，高为1的圆柱，体积为π4；当俯视图为C 中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为12；当俯视图为D中扇形时，几何体为圆柱的14，且体积为π4.]变式迁移2 D [由几何体的正视图和俯视图可知，该几何体的底面为半圆和等腰三角形，其侧视图可以是一个由等腰三角形及底边上的高构成的平面图形，故应选D .]例3 解题导引本题是已知直观图，探求原平面图形，考查逆向思维能力．要熟悉运用斜二测画法画水平放置的直观图的基本规则，注意直观图中的线段、角与原图中的对应线段、角的关系．A [按照斜二测画法的作图规则，对四个选项逐一验证，可知只有选项A 符合题意．] 变式迁移3B [根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x 轴上(或与x 轴平行)的线段，其长度保持不变；在y 轴上(或与y 轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以，若设原平面图形的面积为S ，则其直观图的面积为S′＝12·22·S＝24S.可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝24S ，本题中直观图的面积为a 2，所以原平面四边形的面积S ＝a 224＝22a 2.]课后练习区1．C2．D [斜二测画法中原图面积与直观图面积之比为1∶24，则易知24S ＝34(2a)2，∴S＝6a 2.]3．D [由给出的三视图可以得知该正三棱柱的高等于正视图和侧视图的高为 3 cm ，若设该正三棱柱的底面边长为a cm ，则有32a ＝2，所以a ＝433，故该正三棱柱的体积为V ＝12·32·⎝ ⎛⎭⎪⎫4332·3＝4 (cm 3)．] 4．C [由三视图知该几何体为一正四棱锥，记为S —ABCD ，如图，其中AB ＝2，△SCD 中CD 上的高为2，即SE ＝2，设S 在底面上的射影为O ，在Rt △SOE 中，SO ＝SE 2－OE 2，∴SO＝22－12＝3.∴V＝13S ABCD ×SO＝13×4×3＝433.] 5．B [可以把该几何体形象为一长方体AC 1，设AC 1＝a ，则由题意知A 1C 1＝AB 1＝BC 1＝2，设长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则x 2＋y 2＝2，y 2＋z 2＝2，z 2＋x 2＝2，三式相加得2(x 2＋y 2＋z 2)＝2a 2＝6.∴a＝ 3.] 6．4解析由三视图可知该几何体是一个三棱锥，其底面是一个直角边长分别是5和6的直角三角形，几何体的高为h ，则该几何体的体积V ＝13·12·5·6·h＝20.∴h＝4.7.616a 2解析如图A′B′＝AB ＝a ，O′C′＝12OC ＝34a ，过点C′作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝22O′C′＝68a ，所以S △A‘B ’‘′＝12A′B′·C′D′＝616a 2. 8.64a 解析如图所示，设正四面体ABCD 内接于球O ，由D 点向底面ABC 作垂线，垂足为H ，连接AH ，OA ，则可求得AH ＝33a ， DH ＝a 2－⎝⎛⎭⎪⎫33a 2＝6a 3，在Rt △AOH 中，⎝ ⎛⎭⎪⎫33a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫63a －R 2＝R 2，解得R ＝64a. 9．解图(1)中几何体的三视图如图①、②、③，图(2)中几何体的三视图如图④、⑤、⑥.(6分)(12分)10．解 (1)由该几何体的正视图及俯视图可知几何体是正六棱锥．(4分) (2)侧视图(如图)(6分)其中AB ＝AC ，AD⊥BC，且BC 长是俯视图正六边形对边间的距离，即BC ＝3a ，AD 是正棱锥的高，AD ＝3a ，所以侧视图的面积为S ＝12×3a×3a ＝32a 2.(12分)11．解 (1)如图．(7分)(2)根据三视图间的关系可得BC ＝23，侧视图中VA 为42－23×32×232＝12＝23，∴S △VBC ＝12×23×23＝6.(14分)。

[广东理数一轮]7.1空间几何体的结构三视图及直观图

三视图的形成
物体向投影面投影所得到的图形称为视图。如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊平在一个平面上，则就是三视图。
• 三视图 • 主视图——从正面看到的图 • 左视图——从左面看到的图 • 俯视图——从上面看到的图 • 画物体的三视图时,要符合如下原则: • 位置：主视图左视图 • 俯视图 • 大小：长对正,高平齐,宽相等.
按照底面多边形的边数可分为三棱锥,四棱锥,五棱锥…
S E A B C D
(5)正棱锥的定义:
底面是正多边形,顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心,这样的棱锥是正棱锥. S
O
3、棱台: (1)定义: 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥 ,底面与截面之间的部分，这样的几何体叫棱台。 (2)棱台的上下底面、侧面、侧棱、顶点、高 (3)棱台的表示: 用表示顶点的字母表示. 如棱台ABCD—A1B1C1D1 (4)棱台的分类: 按照底面多边形的边数可分为三棱台,四棱台, 五棱台……
斜二测画法的步骤： (1)画轴： (2)平行处理： (3)长度处理：
3、用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图；例1、用斜二侧画法画水平放置的正六边形的直观图
y
o
x
x′
直棱柱的直观图的画法
E’ F’ A’
z’
B’ y’
D’ C’
E F A O’
D C x’ B
正棱锥的直观图的画法
S
z’
y’ D E A O’ B C x’
1cm 1cm
主视图
侧视图
2cm
2cm
俯视图
根据三视图想象物体原形, 画出物体的实物草图,并求体积.
1cm 1cm
主视图

数学(文)一轮总复习3.立体几何初步(1)空间几何体的结构与三视图、直观图

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【名师点评】熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变动模型中的线面位置关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定，是解决这类题目的基本思考方法．
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考点二几何体的三视图
1．画几何体的三视图时，可以把垂直投射面的视线想象成平行光线，体会可见的轮廓线(包括被遮挡住，但可以经过想象透视到的光线)的投影就是要画出的视图，可见的轮廓线要画成实线，不可见的轮廓线要画成虚线．
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例1
给出以下命题：①底面是矩形的四棱柱是长方体；②直角三角形绕着它的一边旋转一周形成的几何体叫做圆锥；③四棱锥的四个侧面可以都是直角三角形．其中说法正确的是 __________．
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【思路点拨】根据几何体的结构特征，借助熟悉的几何体模型进行判定．
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命题探究
1.纵观近几年高考试题可知，高考命题形式比较稳定，主要考查形式有： (1)以几何体为依托考查几何体的结构特征，几何体的三视图、直观图、表面积与体积．
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命题探究
(2)直线与平面的平行与垂直的判定、线面间距离的计算作为考查的重点，尤其以多面体为载体的线面位置关系的论证，更是年年考，并在难度上也始终以中等题为主． (3)判断并证明两个平面的垂直关系，通常是在几何体中出现． (4)高考中多以一小一大形式出现，分值为17分左右，试题难度较小．
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考纲解读
1.空间几何体 (1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． (2)能画出简单空间图形的三视图，能识别三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．

2018高考数学文科一轮复习讲义 3.1 第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图

第三板块必修2 第一章空间几何体第二章点、直线、平面之间的位置关系【学科点悟】传道解惑，高屋建瓴高考纵横:新课标高考立体几何的客观题考查的主要内容是空间点、线、面的位置关系、三视图与直观图、空间几何体的表面积与体积,考查了考生通过直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等方法认识和探索几何图形及其性质的基本方法, 用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证，对一些简单几何体的表面积与体积的计算方法；解答题主要考查空间几何体的点线面位置关系的证明及空间角度与距离问题的求解,培养和发展考生的空间想像能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力, 感受、体会从整体到局部、从具体到抽象，由浅入深、由表及里、由粗到细等人类认识事物的一般科学方法.命题趋向:本部分主要考查分解与组合、转化与化归的思想方法，以及逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力.本部分主要从以下几个方面考查,1.空间位置关系的论证.这类问题应熟练掌握公理、定理、定义或用空间向量来论证，位置关系的论证要注意其间的转化．如线面平行可转化为线线平行等,通过一题多解，把所学知识真正学活、会用．2.最值问题.求解立体几何最值问题主要应用代数中有关函数知识和不等式有关知识求解.解题的关键是恰当引人参变量〔一元或二元），建立目标函数，然后由表达式的特点求最值与组合体有关的几何体的表面积、体积的最大值和最小值，以及取得最值时有关空间元素的位置、大小等.这一类问题有时可能转化到平面内，运用平面几何中的极值方法处理，有时还需综合运用一些其他的代数方法来求解.3.综合性问题立体几何综合题常以多面体、旋转体为载体，融直线与平面的位置关系于几何体之中，考查侧重于基本线面关系、多面体、旋转体的图形与性质同时结合逻辑思维能力和运算能力的综合考查.但新课程中特别关注空间几何与生产实践的相结合，关注对考生动手能力的考查而且横向可与平面几何、解析几何、代数、三角等问题综合，互为补充，相互渗透求解综合题，需要在数学思想方法的指导下，沟通知识的联系，善于进行问题转,广泛联想与类比.状元心得:1.运用运动变化的观点去认识棱柱、棱锥、棱台等的辩证关系,认识几何体的重要特点.2.一般有如下一些途径求最值：①“选变量，寻定值”，运用不等式最值定理；②运用立体几何的有关定义求最值；③运用对称变换求最值；④运用三角函数的有界性求最值；⑤运用一元二次方程的判别式求最值；⑥运用一元二次函数求最值.立体几何中空间距离、截面面积的最大值或最小值，3.在学习中,要激发好奇心和求知欲,要发现和提出问题,善于独立思考和钻研问题,创造性地解决问题.运用立体几何知识选择课题进行探究,有助于深化所学知识,解决实际问题,培养创新意识和实践能力.学科知识体系结构图:第一节空间几何体的结构及其三视图和直观图【考点点知】知己知彼，百战不殆三视图和直观图是认知几何体的基本内容，重点是物体的三视图和直观图的关系，高考对三视图与直观图的考查主要有两个方面：一是考三视图与直观图的基本知识和基本的视图能力；二是根据三视图与直观图进行简单的计算，常以选择、填空题的形式出现．难度不大，却是高考的热点内容，一定要引起足够的重视．考点一:棱柱、棱锥和棱台1.一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱.平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面,多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面.2.当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到几何体叫做棱锥.3.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,得到两个几何体,一个仍然叫棱锥,另一个我们称之为棱台. 即棱锥被平行于底面的平面所截,截面和底面间的部分.考点二:圆柱、圆锥、圆台和球1.将矩形绕着它的一边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆柱;将直角三角形绕着它的一条直角边所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆锥;将直角梯形绕着它的垂直与底面的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体叫做圆台;这条直线叫做轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面.无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线.轴被两底面截的线段叫做高2.半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球.半圆弧旋转而成的曲面叫做球面. 半圆的圆心叫做球的球心,半圆的直径叫做球的直径,半圆的半径叫做球的半径.3.一般地,一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体. 这条定直线叫做轴，过轴的平面截几何体得到的截面叫做轴截面.这条平面曲线旋转而成的曲面叫做旋转面，无论旋转到什么位置，这条平面曲线叫做母线.4.除了柱、锥、台、球等基本几何体外,还有大量的几何体是由柱、锥、台、球等基本几何体组合而成的.这些几何体叫做组合体.考点三: 中心投影和平行投影1.投影是投射线(光线)通过物体,向选定的面(投影面)投射,在该面上得到的图形的方法.(1)投影线均通过投影中心的投影法称为中心投影法.其投影的大小随物体与投影中心间距离的变化而变化，所以其投影不能反映物体的实形.(2)投影线相互平行的投影法称为平行投影法.其中，投影线倾斜于投影面叫平行斜投影法；投影线垂直于投影面叫平行正投影法简称正投影法(3)平行投影或中心投影的本质区别在于:①平行投影的投射线都互相平行,中心投影的投射线是由同一个点发出的.②平行投影对物体投影后得到的是与物体等大小、等形状的投影;中心投影对物体投影后得到的是比原物体大的、形状与原物体的正投影相似的投影.③中心投影与平行投影在日常生活中的应用非常广泛,工程上常用各种投影法来绘制用途不同的工程图样.中心投影法，它与照相成影的原理相似，但它不能直接反映物体真实的几何形状和大小,由于采用中心投影法，空间平行的直线，投影后就不平行了.而平行投影法的却能保持这一特征,因而平行投影,尤其是正投影更易于研究物体的几何特征.考点四: 三视图的概念光线自物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图,自上向下的称为俯视图,自左向右的称为左视图,用这三种视图刻画空间物体的结构，我们称之为三视图.学习三视图时应注意：(1)选取三个两两垂直的平面作为投射面,一个水平放置,叫做水平投射面,投射到这个平面内的图形叫做俯视图.俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；(2)一个投射面放置在正前方,这个投射面叫做直立投射面,投射到这个平面内的图形叫主视图. 主视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； (3)和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射面,通常把这个平面放在直立投影面的右面,投射到这个平面内的图形叫做左视图. 左视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度;(4)将空间图形向这三个平面作正投影,然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内,这样构成的图形叫做空间图形的三视图.考点五: 直观图.1.直观图按平行投影法,把空间图形在纸上画得既富有立体感,又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系（主要是长、宽、高三个方面）,我们把这种投影图叫做直观图.2.斜二侧画法：(1)在已知图形中建立直角坐标系xoy ，画直观图时，它们分别对应x'轴和y'轴，两轴交于点O'，且使∠x'o'y'=45°，它们确定的平面表示水平平面.(2)已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图形中分别画成平行于x'轴和y'轴的线段.(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度为原来的12. 3.画立体图形的直观图时,主要有下面几个步骤: (1)画底面，这时使用斜二测画法即可.(2)画Z'轴，Z'轴过O'点，且与x'轴夹角为90°，并画高线(与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图.(3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示.【考题点评】分析原因，醍醐灌顶例1.(基础·2007山东卷理科3文科3)下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④ 思路透析:①正方体的三个三视图均为正方形;②圆锥的三个三视图有两个为等腰三角形,一个为圆(含圆心);③三棱台的三视图有两个为梯形,一个为三角形内含一个相似三角形的多边形; ④正四棱锥的三视图有两个为等腰三角形,一个为正方形(含对角线), 综上可得②圆锥④正四棱锥的两个视图相同, 故应选D.点评:考生将三棱台的三视图与中心投影的概念相混淆,将三棱台也看作为两个正方形与正方体的三视图相同而误选 B.解三视图问题中要注意使用的投影是平行投影,不能将原①正方体 ②圆锥 ③三棱台 ④正四棱锥PD有的几何体“变形”而得“图”例2.(基础·2006江西文)如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题．．．是（）Ａ．等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等Ｂ．等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补Ｃ．等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆Ｄ．等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上思路透析:如右图所示,等腰四棱锥的侧棱均相等,其侧棱在底面的射影也相等,则其腰与底面所成角相等,即A正确;底面四边形必有一个外接圆,即C正确;在高线上可以找到一个点O,使得该点到四棱锥各个顶点的距离相等,这个点即为外接球的球心,即D正确;但四棱锥的侧成与底面所成角不一定相等或互补(若为正四棱锥则成立).故仅命题B为假命题,应选B.点评:利用四棱锥的概念及平面几何知识加以一一判断即可得结论.本题考查了新定义概念中四棱锥的几何性质的探究.考查了考生的空间想象能力及分析问题与解决问题的能力.例3.(综合·2007宁夏卷理科8文科8)已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）Ａ．34000cm3Ｂ．38000cm3Ｃ．32000cmＤ．34000cm思路透析:由几何体的三视图可作出该几何体的直观图如右图所示,该几何体为四棱锥P-ABCD, 其底面ABCD是边长为20cm的正方形,高PO=20cm,∴21180002020333P ABCD ABCDV S PO-=⋅=⨯⨯=,故应选B.点评:本题考查了通过三视图回塑对应实物（或几何体）的形状,并求该几何体的体积,考查了考生空间想象能力及空间.很多考生不能够准确定位该三视图所对应的几何体,将四棱锥的高线的位置放置错误,导致求解不正确.通过三视图想象对应的几何体的形状，通常从俯视图下手分析，灵活使用“长对正、高平齐、宽相等”,只有确立俯视图中每个位置及数量关系，几何体的形状自然就确定了.例4.(综合·2007佛山模拟)由一些大小相同的小正方体组成简单几何体的正视图和俯视图如图所示.(Ⅰ)请你画出这个几何体的左视图；(Ⅱ)若组成这个几何体的小正方体的块数为n，请你写出n的所有可能值.思路透析:在俯视图上根据正视图填上符合条件的每个位置小正方形的块数，情况如下：根据这15种情况可以画出左视图共有5种情况，同时也可以确定相应几何体所需的小正方体的块数.（Ⅰ）左视图共有5种情况：图（1）（6）（11）的左视图如图1所示; 图（2）（3）（7）（12）（13）的左视图如图2所示; 图（4）（5）（9）（10）（14）的左视图如图3所示．图（8）的左视图如图4所示; 图（15）的左视图如图5所示.正视图俯视图（1）（2）（3）（4）（5）（7）（8）（6）（9）（12）（11）（10）（13）（14）（15）图1 图2 图3 图4 图5ABCG A 1 B 1 C 1EFM NABCG A 1 B 1C 1EFM NP Q （Ⅱ）（1）中n=11（2）中n=10（3）中n=9（4）中n=10（5）中n=9（6）中n=10（7）中n=9（8）中n=8（9）中n=9（10）中n=8（11）中n=10（12）中n=9（13）中n=8（14）中n=9（15）中n=8,所以n 的值为8、9、10、11.点评:本题中可以看出,物体的准确定位,三视图是一个必要的条件,缺少其中的一个,则出现实物出现的可能情形就非常得多.这种在学习的过程中不断通过反思,体会通过图形位置及其变换来认识图形的思维方法,可以真正体会立体图形和平面图形间的转化关系,渗透应用数学的意识.例5.(创新探究·2007黄冈模)已知圆锥的底面半径为r,高为h,正方体ABCD-A 1B I C l D 1内接于圆锥,则这个正方体的棱长为 ..思路透析:如图所示, 过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，如图所示，设圆锥内接正方体的棱长为x ,则在轴截面中,正方体的对角面A 1ACC 1的一组邻边的长分别为x 和2x .∵11VAC ∆∽VMN ∆ ,1h xx h h-==-, 22rh rx =-, ∴x =点评:由于正方体中只有惟一的基本量一一棱长,建立其方程之后便可求解,要建立方程就要和圆锥的基本量建立联系,这样就需要借助于轴截面来发现这种联系,从而使问题得解.圆柱、圆锥和圆台的轴截面有无数个,作图时要注意：选取那一个最合适;明确已知量和未知量的关系,适当的设出未知数，利用方程来解决.例6.(创新探究·2007全国Ⅰ理,16)一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为__________.思路透析:解法一:如右图所示, EFG ∆为直角三角形, 由题意可知FE ⊥GE, 取斜边FG 的中点M,AB边中点N,连结ME 、MN 、NC, 则22FG ME NC ==,∵ABC ∆是边长为2的等边三角形, ∴NC =∴FG =解法二:如右图所示, EFG ∆为直角三角形, FG 为斜边,且FE ⊥GE,过点E作EP//AC 、EQ//BC,连结PQ, 过点G 作GM//AB, 设FG=x , 则2EG x =, PF QG ===FM =,∵2FM PF =,=解之得x FG ==点评:以棱柱为载体考查线面关系或进行有关计算，是高考中常见题型.解题关键是结合图形，准确把握棱柱的性质.【画龙点睛】探索规律，豁然开朗 1.规律总结:①三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的正前方、正上方、正左方看到的物体轮廓的正投影围成的平面图形.任意一个物体的长、宽、高,一般指的是物体占有空间的左右、前后、上下的最大距离.②一个物体的三视图的排列规则．．．．．．．．是,俯视图放在主视图的下面,长度与主视图一样,左视图放在主视图的右面,高度与主视图一样,宽度与俯视图的宽度一样.为了便于记忆,通常说:“长对正、高平齐、宽相等”或说“主左一样高、主俯一样长、俯左一样宽”.③画三视图时应注意：被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；Φ表示直径，R表示半径；单位不注明时按mm计.④对于简单的几何体,如一块砖,向两个互相垂直的平面作正投影,就能真实地反映它的大小和形状.一般只画出它的主视图和俯视图(二视图).对于复杂的几何体,三视图可能还不足以反映它的大小和形状,还需要更多的投射平面.(4)关于斜二侧画法注意以下几点：①斜二侧画法是一个画水平放置的平面图形的直观图方法，画图时，直角坐标系xoy 是原图所处的平面内的一个坐标系，而x'o'y'是水平放置的平面中的一个坐标系，它们分处两个不同平面．在建立直角坐标系x'o'y'时，也可以使∠x'o'y'=135°，其它的规则一样，这样所画出的直观图效果也一样.②原图中在x,y轴上的线段，在直观图依然在x',y'轴上．③原图中不平行坐标轴的线段可以通过作平行坐标轴的线段来完成作图.2.学以致用:(1)下列几何体中是棱台的有( )个.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个(2)如图示最左边的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则截得的图形可能是( )45，(3)如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底面为0腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A 22+B221+ C 222+ D 21+ (4)判断正误：（对的打√，错的打×）①半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球（） ②到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球（） ③经过球面上不同的两点只能作一个大圆（） ④球面和球是同一个概念（）答案:(1)A 解析:由棱柱、棱锥和棱台的结构特征,①③④符合棱柱的结构特征; ⑥符合棱锥的结构特征; ②是一个三棱柱被截去了一段; ⑤符合棱台的结构特征, 故应选A .(2)D 解析:截面(2)(3)的外轮廓是整个的矩形，所以是错的.故排除A 、B;截面（4）圆锥的轮廓是抛物线而不是三角形，所以是错的.故选D.(3)A 解析:恢复后的原图形为一直角梯形1(11)222S =+⨯=+,故应选A ． (4)①√;②√;③×;④×解析:①半圆以其直径为轴旋转所成的曲面叫球,正确; ②到定点的距离等于定长的所有点的集合叫球,正确; ③经过球面上不同的两点只能作一个大圆,若两点恰好为大圆的直径,则过此两点的大圆的无数个,故错误; ④球面和球是同一个概念,错误.故①√;②√;③×;④×.3.易错分析:(1)动手操作题,需要通过运动实践去探究结论,而一般同学的动手操作能力受到很多限制.(2)需要运用运动变化的观点去认识棱柱、棱锥、棱台等的的辩证关系,而学生在空间想象能力这一关上不能容易过关.(3)立体几何入门难,难在其开始部分的理论太抽象,应用的操作性不是很强,计算性的内容不多,再加上空间构图及想象能力各有不同,从而造成了学生在学习此段内容过程中总是觉得非常难.此问题解决可以通过空间几何体模型的三视图训练及作图去强化空间想象能力.【能力训练】学练结合，融会贯通一、选择题:1.若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（）A. 2，23B. 22，2C. 4，2D. 2，4 2.下列说法正确的是（）A.所有的棱柱都有对角线B.棱柱的顶点最少有6个C.棱柱的侧棱最少有4条D.棱柱的棱最少有4条3.过球面上两点可以作的大圆个数是（）A ．1个B ．1个或无数个C ．2个D ．2个或无数个 4.三棱锥的四个侧面中,下列说法正确的是( )主视图俯视图左视图A.不能都是直角三角形B.不能都是锐角三角形C.不能都是等腰三角形D.可能都是钝角三角形5.用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如下图所示，则搭成该几何体最少需要的小正方体的块数是（）A．8 B．7C．6 D．56.正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A:1B:2C2D:3二、填空题:7.圆柱的底面周长为Q,轴截面面积为P,则圆柱的高为 .8.六角螺母是由和两个简单几何体构成的.9.下图是由哪个平面图形旋转得到的 .A B C D10. 图（1）为长方体积木块堆成的几何体的三视图，此几何体共由________块木块堆成; 图（2）中的三视图表示的实物为_____________三、解答题:11.如图所示,一块木板上有三个孔(方孔、圆孔、三角孔),试设计一个几何体,使它能沿三个不同的方向不留空隙地通过这三个孔.图（1）图（2）12.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1:4,母线长10cm , 求圆锥的母线长.13.圆台上底周长是下底周长的31，轴截面面积等于392,母线与底面夹角为45O ,求此圆台高、母线长及两底半径.14.给出两块相同的正三角形硬纸板,请将其中一块折成三棱锥,另一块拼折成三棱柱.请你想出一种拼折法?【能力训练】参考答案一、选择题:1. D2. B3. B4. D5. B6. D二、填空题:7. PQ π 8. 正六棱柱，圆柱 9. A 10. （1）4 （2）圆锥三、解答题:11.解析:我们可以把这三个孔的形状看成几何体的三视图，由前两孔，我们很容易联想到一个等边圆柱（轴截面是正方形）,下面由三角形孔来考虑如何将这个等边圆柱进行修理,使它在一个方向上的正投影是正三角形就可以了.如图所示,可以得到这样一个几何体,12.解析:如图所示,设圆锥的母线长为l ,圆台上、下底半径为,r R , ∵10l l l R -=, ∴1014l l -=, ∴40()3l cm =, 即圆锥的母线长为40()3cm . 13.解析:如图所示,圆台上、下底面圆的半径分别为,r R ,高为h ,母线长为l ,则2123r R ππ=, ∴3R r =,过点A /作A /B ⊥OA 交OA 于B,则AB=R-r =2r ,∠A /AO=450 , ∴AB=A /B=2r, l =, ∴223922r R S h +==⋅截, 解得7r =,33721,R r ==⨯=,22714h A B r '===⨯=,l ==14.解析:本题的答案有很多种,下面给出一种折叠方法,按下图示法操作即可得一个三棱锥和三棱柱.。

2018高考数学文全国大一轮复习课件：第七篇立体几何第1节空间几何体的结构、三视图和直观图精品

3.平面图形的直观图与原图形面积的关系:S直观图=
2 S原图. 4
对点自测
1.(2016·合肥校级月考)下列判断正确的是( C (A)①不是棱柱 (B)②是圆台 (C)③是棱锥 (D)④是棱台 )
2.(2016· 长沙模拟)已知某几何体的三视图如图,则该几何体是( C
)
(A)圆柱
(C)圆台
(B)圆锥
⑤有两个面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:①若旋转轴为斜边所在直线,则旋转体为两个同底的圆锥构成的组合体,故①不正确; ②圆台的任意两条母线都相交,交点为截得该圆台的圆锥顶点,故②不正确; ③如图①所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥ 平面ABCD,则可以得到四个侧面都是直角三角形.故③正确; ④如图②所示,在三棱锥中,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,则可得该棱锥的四个面都为直角三角形,故④正确;
第 1节
空间几何体的结构、三视图和直观图
最新考纲 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所
表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图. 图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.
征描述现实生活中简单物体的结构. .会用平行投影方法画出简单空间
知识链条完善考点专项突破易混易错辨析
知识链条完善
【教材导读】
把散落的知识连起来
1.两面平行,其余各面都是平行四边形的几何体就是棱柱吗? 提示:不是.其余各面中相邻两面的公共边不一定都平行,如图几何体就
不是棱柱.
2.用一个平面截锥体就会得到一个台体吗? 提示:不一定.截面必须与锥体的底面平行. 3.几何体三视图中的实线与虚线如何区分? 提示:看得见的轮廓线和棱为实线,看不见的为虚线.

第7章-第1节-空间几何体的结构特征及其三视图和直观图

(2)由题目所给旳几何体旳正视图和俯视图，可知该几何体为半圆锥和三棱锥旳组合体，如图所示．
进而可知侧视图为等腰三角形，且轮廓线为实线，故选D. 答案：D
(3)由正视图、侧视图可知，当体积最小时，底层有3个小正方体，上面有2个，共5个；当体积最大时，底层有9个小正方体，上面有2个，共11个．故这个几何体旳最大致积与最小体积旳差是6.
一、空间几何体旳构造特征
名称
构造特征
(1)棱柱旳侧棱都平行且相等
全等
旳多边形，而且相平互行
，上下底面是 .
多面体
(2)棱锥旳底面是任意多边形，侧面是有一种
公共顶点
旳三角形.
(3)棱台可由平行于底面
旳平面截棱锥得
到，其上下底面是相同多边形．
名称
构造特征
(1)圆柱能够由矩形
绕其任一边旋转得到.
答案：A
(2)因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，所以EH∥平面BCC1B1，又EH⊂平面EFGH，平面 EFGH∩平面BCC1B1＝FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A，C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以 EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B 也正确．故选D.
【典例剖析】 (1)(2023·湖南高考)某几何体旳正视图和侧视图均
如图所示，则该几何体旳俯视图不可能是
(2)在一个几何体旳三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应旳侧视图可觉得
(3)(2023·广州模拟)用若干个体积为1旳正方体搭成一种几何
体，其正视图、侧视图都是如图所示旳图形，则这个几何体旳
答案：C

高考数学一轮复习空间几何体的结构特征及三视图和直观图学案

【学习目标】1.能说出柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能画出简单空间图形长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图.3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式.4.会画某些建筑物的三视图与直观图在不影响图形特征的基础上，尺寸、线条等没有严格要求【学习重点】能说出柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，能画出简单空间图形长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合的三视图。

【考纲要求】高手【学习过程】一、考点1 空间几何体的结构特征考点2 空间几何体的三视图1.三视图的形成与名称2．三视图的画法考点3 空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用画法来画，基本步骤是：1．画几何体的底面 2．画几何体的高二、 1. [课本改编]下列结论正确的是( )A. 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B. 以正方形的一条对角线旋转一周围成的几何体叫圆锥C. 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则此棱锥可能是正六棱锥D. 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线2. [课本改编]有一个几何体的三视图如图所示，这个几何体应是一个( )A. 棱台B. 棱锥C. 棱柱D. 都不对3. 如图，直观图所表示的平面图形是( )A. 正三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 直角三角形4. [2015·济宁模拟]下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是( )是5种四棱锥，并画出他们的三视图正方形，粗实线画出四棱柱画几何体的三视图可以想象自己站在几何体的正前方、正左方和正上方②要注意组合体是由哪些几何体组成，弄清楚它们的生成方式；空间几何体的直观图(1)[2015·桂林模拟]已知正三角形ABC的边长为′的面积为( )2 C.68a2 D.616a2①和② B. ③和①C. ④和③ D. ④和②四、学后反思。

37 空间几何体的结构及其三视图和直观图(教学案)-2018年高考数学(文)一轮复习资料含解析

1．认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构．2。

能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图．3。

会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式．1．空间几何体的结构特征多面体（1)棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等的多边形.(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。

(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形。

旋转（1）圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线2【方法与技巧】1．三视图的画法特征“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽．2．求空间几何体的侧面积、体积的思想与方法(1）转化与化归思想:计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行,即将侧面展开化为平面图形,“化曲为直”来解决，因此要熟悉常见旋转体的侧面展开图的形状及平面图形面积的求法．（2）求体积的两种方法：①割补法：求一些不规则几何体的体积时,常用割补法转化成已知体积公式的几何体进行解决．②等积法:等积法包括等面积法和等体积法．等体积法的前提是几何图形（或几何体）的面积(或体积）通过已知条件可以得到，利用等积法可以用来求解几何图形的高或几何体的高,特别是在求三角形的高和三棱锥的高时,这一方法回避了通过具体作图得到三角形（或三棱锥)的高，而通过直接计算得到高的数值．【失误与防范】1．画三视图应注意的问题(1)若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．(2)确定正视、侧视、俯视的方向，观察同一物体方向不同，所画的三视图也不同．2．求空间几何体的表面积应注意的问题（1)求组合体的表面积时,要注意各几何体重叠部分的处理．（2）底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混淆，在识别时要紧扣定义，以防出错.高频考点一空间几何体的结构特征例1、给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是( ）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【方法技巧】解决与空间几何体结构特征有关问题的技巧（1)要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全面地去分析,多观察实物，提高空间想象能力;（2）紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定；(3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．【变式探究】下列结论正确的是（）A。