3.1周髀算经与九章算术

也许正是这种原因， 决定了《九章算术》 所特有的处理方式， 并形成了中国传统 的数学体系。

宋刻《九章算术》书影
3.1.3《九章算术》

《九章算术》全书采用问题集的形式。 书中每道题皆有问有答有术，其中“术”通常 是解题的思想方法、公式和法则，有的一题一 术，有的多题一术，有的一题多术。
3.1.3《九章算术》
中世纪的中国数学
3.1《周髀算经》和 《九章算术》
3Hale Waihona Puke Baidu1.1古代背景

１、背景：我国在公元前两千多年前（大禹时 期）进入奴隶社会，于公元前400多年左右 （战国时期）进入封建社会，以后有几段太平 盛世，形成超稳定社会结构。生产力发展较快， 数学研究也处于较高水平。在萌芽期，水平与 古埃及、巴比伦相当，春秋战国至魏晋南北朝 时期数学可与古希腊媲美，中世纪宋元时期则 发展为一枝独秀。
3.1.2《周髀算经》



中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的 数学家赵爽给出的。 赵爽是中国历史上首次对《周髀》进行认真研 究和注释的学者。 他的工作主要包括三个方面的内容：一为文字 解释；二为较详细地数学理论推演，三是补图。
3.1.2《周髀算经》

其中最为精彩的是“勾股圆方图注”。在这篇 500多字的注文中，赵爽首先给出勾股定理的 一般证明：“按弦图又可以勾、股相乘为朱实 二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘，为中 黄实。加差实一，亦成弦实。”

宋刻《周髀算经》
3.1.3《九章算术》



标志着中国传统数学理论体系形成的是《九章 算术》的成书。 该书的作者和成书年代难以确切地考证，多数 学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元1 世纪初。 中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有 很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在的联 系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联 系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数 学概念，但没有成功。
3.1.3《九章算术》 的几何方面

刍童体积公式
3.1.3《九章算术》

刍童体积公式
3.1.3《九章算术》


《九章算术》注重实际问题和长于计算的特点， 对中国传统数学的发展有着极其深刻的影响， 可以说，与西方数学的演绎推理相映生辉的具 有中国特色的算法体系的形成即始于《九章算 术》。 《九章算术》成书以后，便成为中国传统数学 的经典，特别是唐代以来，经官方认定该书成 为“算经十书”中最重要的一部，成为后来的 数学家们学习、研究和著述的依据。
3.1.3《九章算术》

《九章算术》给出的表示方法相当于下列矩阵 1 2 3 上禾 2 3 2 中禾 3 1 1 下禾 26 34 39 实
3.1.3《九章算术》

其解法相当于下列图示方法：
3.1.3《九章算术》

“方程”章的另一个重点就是对负数的概念、 运算进行了研究。在解方程的过程中，由于无 法回避被减数小于减数的情况出现，在《九章 算术》提出了“以正负术入之”，即引入负数 及其运算法则：“正负术曰：同名相除，异名 相益，正无入正之；其异名相除，同名相益， 正无入正之，负无入负之。”
3.1.3《九章算术》
如将《九章算术》的主要内容，按算术、代数 和几何三部分来概括，则有： 1.算术方面：分数四则运算法则，比例算法，盈 不足术（契丹算法）； 2.代数方面：方程术，正负术，开方术 3.几何方面：面积计算，体积计算，勾股定理及 其应用。

3.1.3《九章算术》的算术方面


“盈不足”主要论述盈亏问题的解法。盈不足的 典型问题是这样的：若干人共买一物，若每人 出a1钱，则多出b1钱；若每人出a2（a2＜a1） 钱，则又不足b2钱，求人数与物价。 《九章算术》给出的方法相当于公式： 人数= 物价= 这一方法除了对于线性问题给出精确的解外， 也为非线性问题提供了一个有效的近似解法。
3.1.2《周髀算经》


《周髀算经》，该书原名《周 髀》，大约成书于公元前2世 纪的西汉时期，其许多内容甚 至可以追溯到西周。 唐代李淳风在为国子监明算科 选定教科书时将其列入《算经 十书》，并改名为《周髀算 经》。
3.1.2《周髀算经》


严格地讲，《周髀算经》并不是一本数学专著， 而是一部介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著 作，但它包含了相当深刻的数学内容，其主要 成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量 中的应用。 天圆地方
3.1.3《九章算术》
在解方程组时，将方程组的系数（包括
常数）分离出来排成一个数表，相当于 现在线性代数中的增广矩阵，然后通过 类似于矩阵初等变换的方法消元，这一 思想方法在数学发展史上是非常重要的， 在西方被称为“高斯消元法”。
3.1.3《九章算术》的代数方面


上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆， 共出粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆， 下等禾谷一捆，共出粮三十四斗；上等禾谷一捆， 中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，共出粮二十六斗。 问上中下等禾谷每捆出粮各多少？ 设上、中、下等禾谷每捆出粮分别为x,y,z斗，则 有


接着，在陈子与荣方的“师 生对话”中，借陈子之口又 给出了一般的勾股定理： “求邪至日者，以日下为勾， 日高为股。勾股各自乘，并 而开方除之，得邪至日。” 这是从天文测量中总结出来 的普遍定理 讨论测量“日高”的方法

现实生活中，我们有一件常用的物品， 也蕴涵了“天圆地方”的思想。想想 看，这是什么物品？

练习：今有醇酒一斗（一斗 有十升），直錢五十；行酒 一斗，直錢一十。今將錢三 十，得酒二斗。問醇、行酒 各得幾何。

《九章算術》的解法：設醇酒佔５升，則行酒有15升，值







錢25＋15＝40， 盈10。 設醇酒佔２升，行酒有18升，值錢10＋18＝28， 不足2。 據公式３ 醇酒：（5×2＋2×10）÷（10＋2）＝2.5升 行酒：（15×2＋18×10）÷（10＋2）＝17.5 升 這個題目用現代的代數解法亦屬易事。設醇酒有a升，行 酒有b升，便可建立出下面兩個聯立的二元一次方程 a＋b ＝ 20 ; 5a＋b ＝ 30 由此可立刻看出 a ＝ (10/4)升 ＝ 2.5升。於是 b ＝ (20 － 2.5)升 ＝ 17.5升。
十进位值制记数法(筹算记数)


“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵。 千十相望，百万相当。”(《孙子算经》) 用筹算表示数有纵横两种摆法：

十进位值制记数法是中国古代数学对人类的特 殊贡献
精湛的几何思想



春秋战国时代的人们还对数的起源问题提出了 一些看法，事实上数与物质的关系是涉及到数 学的一个重要哲学问题。 《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左 规矩，右准绳”. 战国时代的著作《考工记》中看到与手工业制 作有关的实用几何知识。
3.1.2《周髀算经》

“昔者周公问于商高曰：……古者包牺立周天 历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度， 请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方， 方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为勾 广三，股修四，径隅五。……故禹之所以治天 下者，此数之所生也。”这是勾股定理的特例。
3.1.2《周髀算经》



全书共有246个应用题，基本上都是与生产实 践、日常生活有联系的实际应用问题。 这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、 商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。 对于每类问题，《九章算术》中都给出了统一 的解法，它们相当于一些初等数学定理和公式， 但没有证明。
3.1.3《九章算术》的主要内容