3.1周髀算经与九章算术
《周髀算经》与《九章算术》介绍
[键入文字]《周髀算经》与《九章算术》介绍《周髀算经》是我国最早的一部数学及天文算学着作。
髀即股，在周朝时立八尺之杆（立柱）为表（表即股），表的影子为勾，故合称之为勾股。
可想而知，这是一部有关勾股定理方面的数学着作。
该书成书于公元前一世纪。
在天文算学方面，主要阐明当时关于宇宙见解的“盖天说”和“四分历法”。
这在当时都是相当先进的。
该书最引人注目的是最早阐述了勾股定理。
《周髀算经》一开始就记载了公元前1100 年西周时周公与商高的一段对话，商高说；“……折矩以为勾广三，股修四，径隅五。
”也就是说，把一根直尺折成直角，直立的一边长四，横躺的一边为三，则直尺的两端距离必然是五。
因为是商高讲的，有的书也把勾股定理叫做“商高定理”。
据西方国家记载，古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前550 年首先证明了这个定理时，他十分高兴，杀了一百头牛，以示庆贺。
国外称这个定理为“毕达哥拉斯定理”。
其实，他要比我国商高晚了五百五十多年。
《周髀算经》还记载了公元前六七世纪荣方和陈子的对话。
在这些对话中，他们提到了进行各种数据计算的方法，其中包括测量太阳高度的方法。
其方法大致如下：夏至时（太阳直射北回归线），观测者在北方立一八尺高杆，其日影长度刚好是六尺。
标杆每向南移动一千里，在同一时刻的日影长度就减少一寸。
也就是说，当日影减少六尺（即没有日影）时，标竽就向南移动了：60×1000=60000 里这时标杆在太阳的正下方。
根据平面几何的相似原理可知，若勾为六万里，则股为八万里。
再由勾股定理即可算出测量者与太阳间的距离为10 万里。
这种推理，从数学角度是正确的，当然与实际情况相差不少。
至少，他没有考虑地球是圆的这个因素。
但与号称西方“测量之祖”的希腊学者塔利斯相比，陈子的水平要高多了。
塔利斯在公元前六世纪，利用日影测量了埃及金字塔的高度，但金字塔只有一百多尺高，并且人可以接近它，而陈子测的却是地球与太阳之间的距离。
1。
《数学史》周髀算经》与《九章算术》教学文案
仪 生 四 象 ， 四 象 生 八 卦 。 ”
易 有 太 极 ， 是 生 两 仪 ， 两
“
太极八卦图
图中每个阳、阴爻分别代表数9与 数6，其中数字的配置依照“九六”说， 是一种均衡的数字配置。在八卦中，相对 称的卦象，如乾与坤，其象数之和均为45。 它与洛书中1至9的数字之和相同
周(约公元前11世纪～公元前 256年)：奴隶制经济获得进一步 的发展. “数”作为六艺之一，开 始形成一个学科。
商代(又称殷代，约公元前17世 纪～约前11世纪)：1899年在河南 安阳发掘出来的殷墟龟甲和兽骨上 所刻的象形文字(甲骨文，公元前14 世纪)。
自然数的记法：10进位制，最大 的数字是3万。
中国古代数学的萌芽
▪ 与此同时，殷人用十个天干和十二个地支组成甲子、乙丑、丙寅、 丁卯等60个名称来记60天的日期；在周代，又把以前用阴、阳符号 构成的八卦表示八种事物发展为六十四卦，表示64种事物。
《墨经》：
点：端,体之无厚而最前者也; 直线：直, 参也; 圆：圆, 一中同长也.
3.1.2《周髀算经》
▪“周髀”是测 量日影的工 具—八尺长竿
在现存的中国古代数学著作中，《周髀算经》是最早的 一部。 作者不祥，成书年代应不晚于公元前2世纪西汉时期， 但书中涉及的数学、天文知识，有的可追溯到西周（公元前 11世纪-前8世纪）。这部著作实际上是从数学上讨论“盖天 说”（天圆地方）宇宙模型，反映了中国古代数学与天文学 的密切联系。从数学上看，《周髀算经》主要的成就是分数 运算、勾股定理及其在天文测量中的应用，其中关于勾股定 理的论述最为突出。
▪ 儒家以“九数”为核心，具有鲜明的政治和人文色彩，并以《周易》 象数学宇宙论为哲学依托.
▪ 墨家则以几何学为核心，具有一定的抽象性和思辨性，以《墨经》 的逻辑学为其论说的工具。
中国古代的数学贡献
中国古代的数学贡献
中国古代的数学贡献主要体现在以下几个方面：
1.《周髀算经》：这是我国现存最早的数学著作，约成书于公元前1世纪。
该书系统地叙述了当时的盖天说和四分历法，并且提出了若干数学问题。
《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪。
该书主要阐明当时的盖天说和四分历法，并且列举了一些关于勾股定理的问题，被国外的学者赞誉为中国数学史上的第一颗明珠。
2.《九章算术》：这是中国古代第一部数学专著，约成书于公元1世纪左右。
该书记载了246个应用题及其解法，涉及的内容有分数四则、比例、面积、体积、等差数列等。
3.算经十书：这是汉唐时期十部著名的数学著作，包括《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《张丘建算经》《夏侯阳算经》《五经算经》《缉古算经》《缀术》《五曹算经》《孙子算经》。
这些著作在中国数学史上具有重要的地位，对后世数学的发展产生了深远的影响。
4.南北朝时期的数学家：南北朝时期的数学家在中国数学史上也有重要的地位。
例如祖冲之，他在圆周率方面的研究取得了杰出的成果，精确地计算出圆周率小数点后七位数字，这一成果比欧洲早了一千年。
5.元代数学家：元代是中国数学史上的重要时期之一，其中代表性人物有朱世杰、杨辉等。
他们不仅继承了中国古代的数学传统，而
且在一些领域取得了创新性的成果。
总的来说，中国古代的数学贡献十分丰富，不仅在理论方面取得了重要的突破，而且在实际应用方面也积累了大量的经验和方法。
这些成果对于推动中国数学的发展以及对于人类文明的进步都产生了深远的影响。
九章算术的主要内容
九章算术的主要内容《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，该书共九章，篇幅较为详细，内容包括整数、分数、方程、几何学等多个方面。
在中国古代数学发展史上具有重要的地位，不仅对中国古代数学的研究有较大地推动作用，也对数学史研究有一定的价值。
第一章为“方程”，讨论一元二次方程、二元一次方程等的解法。
第二章为“为多设方”，解决了多元方程组的问题，包括几何问题和商业问题。
第三章为“尺规作图”，讲述几何作图知识，包括平分角、作正方形等。
第四章为“检释方程”，介绍了方程根的概念，并通过实例说明了解二次方程的公式的计算方法，着重考虑到符号问题，并将数学符号化的初步工作已经体现。
第五章为“释方程”，主要关注除方、截方等求式方法，包括负数的表示方法、分数的计算等。
第六章为“省广义”，扩展了原来二次方程根的计算方法，提出了“愚人捷径”——用最大的平方数来分拆，使得分解后的两个数差最小，而且只用变号加减。
第七章为“杂项”，囊括了诸如勾股定理和证明两平方等于和差平方等几何问题。
第八章为“五经解数术”，介绍了《孙子算经》、《周髀算经》等古代算学文献中的数学方法。
最后一章为“分数”，着重介绍了分数的计算方法，以及混合数字的运算，加减乘除等。
此外，本书介绍了计算平方、根号等数学运算方法，还提出了许多实际问题的解决方法，如商业计算、土地面积计算等。
总之，《九章算术》集中体现了中国古代数学家的智慧与才能，对后世学者影响深远，它是古代数学研究与教学的经典著作之一。
其思想和方法论，对现代数学的发展和研究有着深远的影响，是我们在学习和研究数学的历程中不可缺少的珍贵文献。
九章算术是在中国古代的汉朝时期编写完成的，该时期是中国历史上文化与科技发展的黄金时期，也是我国在各个领域进行了大量发展的时期。
汉朝是我国发展最为快速的一个朝代，社会经济、文化思想也积极开展，这些因素促进了古代中国的数学知识的发展。
在整个汉代历史中，文化和科技的发展逐渐成为重要的方向，为数千年后的中国文化和科技做出了巨大的贡献。
九章算术简介
九章算术
九章算术，又称《九章算术》、《九章算经》，是古代中国数学的一部重要著作，是中国古代数学的经典之一。
这部著作编纂完成的时间约在战国时期（公元前5世纪至公元前2世纪），具体的编纂时间和作者等信息在历史上并不清晰。
《九章算术》是一部系统的数学著作，内容广泛涵盖了算术、代数、几何、概率等多个数学领域。
它分为九篇，每篇都探讨了不同的数学问题和方法。
这九篇分别是：
1．《海岛算经》：主要涉及实际问题，如土地测量、田亩分配等。
2．《精说第一》：主要论述一次至六次方程的解法。
3．《精说第二》：讨论一次至二十次方程的解法。
4．《周髀算经》：以乡土土地的规划为背景，涉及几何问题。
5．《五经算術》：介绍一些实际问题中的算术和代数方法。
6．《算数》：讨论分数、比例、变比等。
7．《雜論》：包括多种数学题目，如勾股定理的应用、经济问题等。
8．《方程》：主要涉及一次至二十次方程的解法。
9．《杂题》：包括了各种杂项的数学问题。
《九章算术》的影响深远，对中国古代数学和世界数学的发展都产生了
积极的影响。
其中包含了许多具体的问题和解法，展示了古代中国数学家在解决实际问题时的高超数学技巧。
这部著作在中国数学史上具有重要地位，被视为中国古代数学的巅峰之作之一。
[资料]中国数学史
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中国数学史中国数学史1. 中国数学从公元前后至公元 14 世纪，先后经历了三次发展高潮，即 ___________ 、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中 ___________ 时期达到了中国古典数学发展的顶峰。
3.1 《周髀算经》与《九章算术》 1. 《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”，这里的规是指 ________ ，矩则是指 _____________ 。
2 “一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自我国古代名著 ( ) 。
A. 《考工记》B. 《墨经》C. 《史记》D. 《庄子》3. 在现存的中国古代数学著作中，《 ________ 》是最早的一部。
卷上叙述的关于荣方与陈子的对话，包含了 ________ 的一般形式。
4 中国历史上最早叙述勾股定理的著作是《 ______ 》，中国历史上最早完成勾股定理证明的数学家是三国时期的 ______ 。
5 《九章算术》是从先秦至 ___________ 的长时期里经众多学者编撰、修改而成的一部数学著作。
6 、“九数”是指：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、赢不足、旁要。
7 、《九章算术》就是从九数发展来的。
8 《九章算术》 " 方田 " 、 " 商功 " 、 " 勾股 " 三章处理几何问题。
其中 " 方田 " 章讨论 _________ ， " 勾股 " 章则是关于_________ 。
9 《九章算术》的“少广”章主要讨论（）。
A. 比例术B. 面积术C. 体积术D. 开方术10 《九章算术》内容丰富，全书共有 ________ 章，大约有 ________ 个问题。
11. 世界上讲述方程最早的著作是 ( )A. 中国的《九章算术》B. 阿拉伯花拉子米的《代数学》C. 卡尔丹的《大法》D. 牛顿的《普遍算术》12 《九章算术》中 " 方程术 " 的关键算法是 "__________" ，实质上这就是我们今天所使用的解线性联立方程组的___________ 。
《数学史》周髀算经》与《九章算术》
中国古代数学体系形成
▪ 《九章算术》是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总 结，就其数学成就来说，堪称是世界数学名著。例如分数四则运算、 今有术(西方称三率法)、开平方与开立方(包括二次方程数值解法)、 盈不足术(西方称双设法)、各种面积和体积公式、线性方程组解法、 正负数运算的加减法则、勾股形解法(特别是勾股定理和求勾股数的 方法)等，水平都是很高的。其中方程组解法和正负数加减法则在世 界数学发展上是遥遥领先的。就其特点来说，它形成了一个以筹算为 中心、与古希腊数学完全不同的独立体系。
▪ 《汉书·艺文志》：“名家者流，盖出於礼官。” ▪ 梁启超 《论诸家之派别》：“名家言起於郑之邓析 ，而
宋之惠施及赵之公孙龙大昌之。”
中国古代数学的萌芽
▪ 墨家认为名来源于物，名可以从不同方面和不同深度反映物。墨家 给出一些数学定义。例如圆、方、平、直、次(相切)、端(点)等等。
▪ 墨家是中国古代主要哲学派别之一，约产生于战国时期。创始人为 墨翟。墨家是一个纪律严密的学术团体，其首领称“矩子”，其成 员到各国为官必须推行墨家主张，所得俸禄亦须向团体奉献。墨家 学派有前后期之分，前期思想主要涉及社会政治、伦理及认识论问 题；后期墨家在逻辑学方面有重要贡献 。
与希腊数学相比，中世纪的东方数学表现出强烈的算法精 神，特别是中国与印度数学，着重算法的概括，不讲究命题的 数学推导。
就繁荣时期而言，中国数学在上述三个地区是延续最长的。 从公元前后至公元14世纪，先后经历了三次发展高潮，即两汉时 期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到了中国古 典数学的顶峰。
《墨经》：
点：端,体之无厚而最前者也; 直线：直, 参也; 圆：圆, 一中同长也.
二 《九章算术》
把方程组的系数从上至下 摆成三列，运算采用“遍乘直 除”的方法，
0 4 0 4 0 0
26 34 39
11 17 37
把某一列系数全部乘 一个适当的倍数，然后再 直接减去另一列的若干倍， 一直算到每一列上只剩下 分别与三个未知数对应的 系数.
《九章算术》中的一次方程组有两元、 三元、四元和五元的，全部用上述演算程 序. 多元方程组的解法在印度最早出现在7 世纪初婆罗摩芨多所著的书中.在欧洲，最 早提出三元一次方程组解法的人是16世纪 的法国数学家比特奥.而多元一次方程组的 一般解法直到18世纪才由法国数学家贝祖 建立.
《九章算术》 （东汉，公元100年）
1.《九章算术》的重要成就举例
《九章算术》以应用问题集的形式表述， 收有246个数学问题，分为九章．它们的主 要内容分别是：第一章“方田”：田亩面积 计算；第二章“粟米”：谷物粮食的按比例 折换；第三章“衰分”：比例分配问题；第 四章“少广”：已知面积、体积、求其一边 长和径长等；第五章“商功”：土石工程、 体积计算；第六章“均输”：合理摊派赋税；
正负术
方程的每一行是由多项未 知量和一个已知量所组成的等 式，其中可能有相反意义的数 量；再者，在通过“遍乘直除” 来求解多元一次方程组时，也 会出现大数减小数的情况，由 此产生正数与负数的对立概念.
负数记号
《九章算术》最早给出的正负数加减法 则的条文如下：正负术曰，同名相除，异名 相益.正无入负之，负无入正之.其异名相除， 同名相益.正无入正之，负无入负之. 刘徽在《九章算术注》中给出了正、负 数的定义：两算得失相反，要令“正”“负” 以名之.同时用红色算筹表示正数，用黑色的 表示负数；12世纪，李冶首创了在数字上加 斜划以表示负数.
按代数解法，可设人数为x，物价为y，则有 方程组：
中国古代的数学智慧
中国古代的数学智慧中国古代数学是世界数学发展史上的重要组成部分，具有独特的特点和智慧。
从古代的九章算术到《周髀算经》，再到《数书九章》和《海岛算经》，中国古代数学作为一门独立的学科，经历了漫长的发展过程，积累了丰富的数学知识和经验。
中国古代数学的智慧在很大程度上体现了中国古代人民的智慧和思维方式。
在古代社会，中国古人对数学的研究主要集中在算术和几何两个方面。
算术是数学的基础，而几何则是应用数学。
中国古人在算术方面的智慧体现在他们对数的认识和计算方法的发展上。
他们首先认识到了自然数的存在和重要性，并逐渐发展出了对自然数的认识和计算方法。
在古代的《九章算术》中，就记载了一些关于自然数的性质和计算方法，如整数的加减乘除和求平方根等。
这些方法虽然比现代的方法简单和繁琐，但却是古代数学智慧的体现。
通过对自然数的认识和计算方法的发展，中国古人逐渐掌握了计算的技巧和方法，为后来的科学研究和应用奠定了基础。
除了算术之外，中国古代人还对几何学进行了深入的研究。
几何是研究空间和形状的学科，与算术相比较，几何更加抽象和复杂。
在中国古人的几何研究中，最有代表性的是《周髀算经》和《海岛算经》。
《周髀算经》是中国古代最早的几何学著作之一，它包含了许多关于几何学的重要内容，如勾股定理和等腰三角形的性质等。
这些内容反映了古代中国人民对几何学的深刻认识和研究成果。
《海岛算经》是中国古代另一部重要的几何学著作，它记录了中国古代人民对几何学的研究和应用。
这些几何学的研究成果在当时对农业生产和土地测量等方面具有重要意义。
除了算术和几何学之外，中国古代人还对其他数学问题进行了研究。
在古代的数学研究中，最有代表性的是对无理数的研究。
无理数是指不能表示为两个整数之比的数，如π和√2等。
中国古代人对无理数的研究主要集中在π的计算和近似值的求解上。
他们通过几何图形和算术方法，逐渐接近了π的真实值。
虽然他们并没有得到π的精确值，但他们的研究成果为后来对π的研究和应用奠定了基础。
《九章算术》
A.9x+11=6x-16
B. 9x-11=6x+16
C. x 11 x 16
9
6
D. x 11 x 16
9
6
四、探索与拓展:
4.我国南宋时期的数学家秦九韶在《数书九章》中给出一种求多项式值的简 化算法.即使在现代，利用计算机解决多项式求值问题时，秦九韶算法依然
是最优的算法例如，计算“当x=8时，求多项式 3x3 4x2 35x 8 的值”， 按照该算法，将多项式 3x3 4x2 35x 8 变形为：
4. 我国是最早认识负数，并进行相关运算的国家。在古代数学
名著《九章算术》里，就记载了利用算筹实施“正负术”的方
法，图1表示的是计算3+（-4）的过程.按照这种方法，图2表
示的过程应是在计算( )
A.（-5）+（-2） B.（-5）+2
C.5+（-2） D.5+2
三、应用与演练:
5.我国古代数学著作《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面 垂直的三棱柱称为“堑堵”某“堑堵”的三视图如图所示(网格图中每个小正方 形的边长均为1)，则该“堑堵”中所有侧棱的长之和为( )
一、赏读与思考:
《九章算术》的内容十分丰富，共九章：第一章“方田”、 第二章“粟米”、第三章“衰(音cui)分”、第四章“少广”、 第五章“商功”、第六章“均输”、第七章“盈不足”、第八 章“方程”第九章“勾股”.《九章算术》采用问题集的形式， 收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有 问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一 题一术，有的是多题一术或一题多术.
专题： 数学名著赏读与应用
《九章算术》
九章算术
九章算术与希腊数学旳发展同步，中国数学也有了长足旳进步．一系列旳数学思想和著作开始流传，到了西汉时代旳《九章算术》，标志着中国数学已逐渐形成体系．流传至今旳最早旳数学思想，当推墨经中旳几何学与逻辑学旳叙述．《庄子》中旳“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，蕴涵了无限旳数学思想．到公元前两百年，已有数学著作流传．1984年在湖北江陵张家山出土旳《算数书》竹简，总字数约7000余，有60余小标题，如“方田”，“税田”，“金价”，“合分”，“约分”，“少广”，“程禾”，“贾盐”等等，涉及面积计算、开方、分数运算等．由于全部竹简尚未公开，其内涵有待进一步研究，与《算数书》几乎同时旳还有《周髀算经》，涉及天文学上旳分数运算、比例、等差级数等问题，而以勾股定理旳论述最为重要．此后还有《淮南子》，《三统历》、《许商算术》、《杜忠算术》等著作，涉及数学问题．而集大成旳，就是《九章算术》，就其内容和标题来分折，它是《算数书》旳继续与发展．现传本《九章算术》成书于何时，目前众说纷纭，多数认为在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后．《九章算术》旳内容十分丰富，全书采用问题集旳形式，收有246个与生产、生活实践有联系旳应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题旳步骤，但没有证明)，有旳是一题一术，有旳是多题一术或一题多术．这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下表所示．《九章算术》旳作者不详．很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成旳集体创作结晶．由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要旳有：三国时曹魏刘徽注，唐朝李淳风注，南宋杨辉著《详解九章算法》选用《九章算术》中80道典型旳题作过详解并分类，清李潢(？～1811年)所著《九章算术细草图说》对《九章算术》进行了校订、列算草、补插图、加说明．现代钱宝琮(1892～1974年)曾对包括《九章算术》在内旳《算经十书》进行了校点，用通俗语言、近代数学术语对《九章算术》及刘、李注文详加注释．80年代以来，今人白尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版．现将《九章算术》旳主要内容，按算术、代数和几何三部分概要介绍如下：一、《九章算术》中旳算术部分1．分数《九章算术》中有比较完整旳分数计算方法，包括四则运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内子，“内”读为纳)等等．其步骤与方法大体与现代旳雷同．分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数旳分母相同，然后进行加减．加法旳步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子．“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”．就是分子小于分母时便以分数形式保留．其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同旳分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可．关于分数乘法，《九章算术》中提出旳步骤是“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一”．《九章算术》对分数除法虽然没有提出一般法则，但算法也很清楚．如第一章方田章旳第18个题“有三人三分人之一（即313），分六钱三分钱之一（即316），四分钱之三（即43），问人得几何”．“答曰：人得二钱八分钱之一”（即每人得812钱）．“经分（分数除法称经分）术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一” ．即313)43316(÷+．在计算过程中首先需要把带分数化为假分数，然后分数相除，即相当于现在所说旳“颠倒相乘”．2．最大公约数与最小公倍数《九章算术》中还有求最大公约数和约分旳方法．求最大公约数旳方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也．以等数约之．”这里所说旳“等数”就是我们现在旳最大公约数．可半者是指分子分母都是偶数，可以折半旳先把它们折半，即可先约去2．不都是偶数了，则另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数．如方田章第六题：“又有九十一分之四十九，问约之得几何”．将更相减损这一运算写成现代旳图式就是于是7就是所求得旳等数，再以它约9149得简约分数137．更相减损法实质上是辗转相减法．辗转相减法与欧几里得旳辗转相除法在步骤上虽然略有不同，但在理论上却是一致旳．《九章算术》在分数旳加减运算中，已知用最小公倍数作公分母，例如少广章第六题相当于分数旳运算，这个公分母420正是1，2，3，4，5，6，7旳最小公倍数．3．比例算法在《九章算术》旳第二、三、六等章内，广泛地使用了各种比例解应用问题．粟米章旳开始就列举了各种粮食间互换旳比率如下：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”(图1－23)这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……．例如，粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何”．它旳解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”．用现代旳方式来表达，即为公式：或所求数∶所有数＝所求率∶所有率．这个题是欲将粟米换成粝米，其中“粟米一斗(十升)”是“所有数”，粝米数即为“所求数”，按规定“粟率五十”为“所有率”，粝米30为“所求率”．于是得所求数为10×30÷50＝6(升)，这就是说一斗谷子可以砻得六升糙米．因而可以根据物与物旳比率，再由今有数(所有数)即可求得未知数据(所求数)，因为这类应用问题大都依据“今有”旳数据，问所求旳数，因此我国古代数学家刘徽就用“今有术”作为这类比例问题解法旳专用名词．在《九章算术》中，今有术应用特别广泛，是一种普遍旳解题方法．与比率有关旳其他一些算法一般都是在今有术旳基础上演化而来旳．《九章算术》中另一个常用旳比率算法是衰分术，所谓“衰分”就是差分．比例分配旳意思，它是古代处理配分问题旳一般方法，“衰分术曰，各置列衰(即所配旳比率)，副并(得所配比率旳和)为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一”，刘徽“注”说：“列衰各为所求率，副并(所得旳和)为所有率，所分为所有数”，用“今有术”计算，就可以得到各所求数．例如衰分章第二题：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰，我羊食半马(所食)，马主曰，我马食半牛(所食)，今欲衰偿之，问各几何”，依照羊主人、马主人旳话，牛、马、羊所食粟相互之比率是4∶2∶1，就用4、2、1各为所求率，4＋2＋1＝7为所有率，粟50升为所有数．以“今有术”演算分别得牛主人应偿7450 ＝7428（升），马主人应偿7214升，羊主人应偿717升． 《九章算术》中有相当复杂旳比例问题，例如均输章中，既有按正比“列衰”也有按反比“列衰”旳比例分配问题等等．因此《九章算术》已包括了现代算术中旳全部比例旳内容，形成了一个完整旳体系．4．盈亏问题《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有(人)共买物，(每)人出八(钱)，盈(余)三钱；人出七(钱)，不足四(钱)，问人数、物价各几何”，“答曰：七人，物价53(钱)．”“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下．令维乘(即交错相乘)所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一……置所出率，以少减多，余，以约法、实．实为物价，法为人数”．如以算筹演算大致如图1－24所示．用现代旳符号来表示：设每人出a1钱，盈b1钱；每人出a2钱，不足b2钱，求物价u和人数v．依据术文得下列二公式：当然我们还可以算出每人应该分摊旳钱数因此上述旳盈不足术实际上包含着三个公式．盈不足章旳第9到第20题，是一般旳算术应用题，有些问题还相当难，初学者不易解达．如果通过两次假设(分别各假设一个答数)然后分别验算其盈余和不足旳数量，这样任何算术问题都可以改造成为一个盈亏问题来解．因此盈不足术是中国数学史上解应用问题旳一种别开生面旳创造，它在我国古代算法中占有相当重要旳地位．盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”，后来又传入欧洲，中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们旳数学王国．二、《九章算术》中旳代数部分《九章算术》中旳代数内容同样很丰富，具有当时世界旳先进水平．1．开平方和开立方《九章算术》中讲了开平方、开立方旳方法，而且计算步骤和现在旳基本一样．所不同旳是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算旳步骤，“今有积五万五千二百二十五步．问为方几何”．“答曰：二百三十五步”．这里所说旳步是我国古代旳长度单位．“开方(是指开平方，由正方形面积求其一边之长．)术曰：置积为实(即指筹算中把被开方数放置于第二行，称为实)借一算(指借用一算筹放置于最后一行，如图1－25(1)所示用以定位)．步之(指所借旳算筹一步一步移动)超一等(指所借旳算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现代笔算开平方中分节相当如图1－25(2)所示)．议所得(指议得初商，由于实旳万位数字是5，而且22＜5＜32，议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位，如图1－25(3)所示)．以一乘所借一算为法(指以初商2乘所借算一次为20000，置于“实”下为“法”，如图1－25(4)所示)而以除(指以初商2乘“法”20000得40000，由“实”减去得：55225－40000＝15225，如图1－25(5)所示)除已，倍法为定法，其复除，折法而下(指将“法”加倍，向右移一位，得4000为“定法”因为现在要求平方根旳十位数字，需要把“借算”移至百位，如图1－25(6)所示)．复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除(这一段是指：要求平方根旳十位数字，需置借算于百位．因“实”旳千位数字为15，且4×3＜15＜4×4，于是再议得次商为3．置3于商旳十位．以次商3乘借算得3×100＝300，与定法相加为4000＋300＝4300．再乘以次商，则得：3×4300＝12900，由“实”减去得：15225－12900＝2325．如图1－25(7)所示，以所得副从定法，复除折下如前(这一段是指演算如前，即再以300×1＋4300＝4600向右移一位，得460，是第三位方根旳定法，再把借算移到个位，如图1－25(8)所示；又议得三商应为5，再置5于商旳个位如图1－25(9)所示，以5＋460＝465，再乘以三商5，得465×5＝2325经计算恰尽如图1－25(10)所示，因此得平方根为235．)上述由图1－25(1)～(10)是按算筹进行演算旳，看起来似乎很繁琐，实际上步骤十分清楚，易于操作．它旳开平方原理与现代开平方原理相同．其中“借算”旳右移、左移在现代旳观点下可以理解为一次变换和代换．《九章算术》时代并没有理解到变换和代换，但是这对以后宋、元时期高次方程旳解法是有深远影响旳．2．二次方程问题《九章算术》勾股章第二十题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何．”“答曰：二百五十步”．已知：如图1－26所示，CD＝20步，EB＝14步，BF＝1775步，求CE．按题意，得或 EC(CE＋CD＋EB)＝2CD·BF．设x＝EC．经整理，得x2＋34x＝71000．这是一个解数字二次方程旳问题．这种二次方程有一个正系数旳一次项在二次项后面，我国古代称这个一次项为“从法”．《九章算术》少广章开平方术虽然专为开整平方而建立，但是也可以利用来解一般旳二次方程问题．解这种二次方程只需开带“从法”旳平方，或简称为“开带从平方”．从而即可求得方程旳正根．因此上述勾股章第20题旳解法为：“术曰以出北门步数乘西行步数倍之，(2CD·BF＝2×20×1775＝71000)为实，并出南门步数为从法(20＋14＝34)，开方除之，即邑方．”现列出开带从平方旳筹算步骤如图1－27所示．(注：为了不易搞错，空位补上0)如果我们将上述开带从平方旳演算过程与55225旳开平方旳演算过程作一比较旳话，我们就可以发现：在55225开平方过程中，议平方根旳第二位和第三位数字时，所列旳算式是一个有“从法”旳开方式相当于我们分别用开带从平方旳方法解二次方程：）—，（参阅图)6(251152254000100222=+x x以及）—．（参阅图)8(2512325460323=+x x不过要注意旳是前者旳正根是10x 2＝35，而后者旳正根是x 3＝5．3．多元一次方程组及其解法《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”旳含义并不相同．《九章算术》中多元一次方程组旳解法，是将它们旳系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)．消元旳过程相当于现代大学课程高等代数中旳线性变换．方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题若按现代旳记法．设x 、y 、z 依次为上、中、下禾各一秉旳谷子数，则上述问题是求解三元一次方程组：《九章算术》用算筹演算：“方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方．中、左行列如右方(图1－28)以右行上禾徧乘(即遍乘)中行而以直除(这里“除”是减，“直除”即连续相减．)……(引文下略)”．现将遍乘直除法解方程组旳过程，按算筹演算如图1－29所示：这题旳答案：《九章算术》方程章第一题“答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一（419斗）；中禾一秉，四斗四分斗之一（414斗）；下禾一秉，二斗四分斗之三（432斗）． 《九章算术》方程章中共计18个题，其中二元旳8题，三元旳6题，四元、五元旳各2题都用上述旳演算法解决，直除法是我国古代解方程组旳最早旳方法．多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)在欧洲最早提出三元一次方程组和解法旳是16世纪中(1559年)旳法国数学家布丢(Buteo)．至于线性方程组旳一般理论直到18世纪(1779年)才由法国数学家别朱(E．Be－zout)建立．可见《九章算术》中旳方程术，不但是中国古代数学中旳伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得我们自豪旳宝贵遗产．4．正负数由于《九章算术》在用直除法解一次方程组过程中，不可避免地要出现正负数旳问题，于是在方程章第三题中明确提出了正负术．刘徽在该术旳注文里实质上给出了正、负数旳定义：“两算得失相反，要令‘正’、‘负’以名之”．并在计算工具即算筹上加以区别“正算赤，负算黑，否则以邪正为异”．这就是规定正数用红色算筹，负数用黑色算筹．如果只有同色算筹旳话，则遇到正数将筹正放，负数时邪(同斜)放．宋代以后出现笔算也相应地用红、黑色数码字以区别正、负数，或在个位数上记斜划以表示负数，如(即—1824)，后来这种包括负数写法在内旳中国数码字还传到日本．关于正、负数旳加减运算法则，“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之．其异名相除，同名相益，正无入正之，负无人负之”．这里所说旳“同名”、“异名”分别相当于现在所说旳同号、异号．“相益”、“相除”是指二数相加、相减．术文前四句是减法运算法则：(1)如果被减数绝对值大于减数绝对值，即a＞b≥0，则同名相除：(±a)－(±b)＝±(a－b)，异名相益：(±a)－(b)＝±(a＋b)．(2)如果被减数绝对值小于减数绝对值，即b＞a≥0．①如果两数皆正则a－b＝a－[a＋(b－a)]＝－(b－a)．中间一式旳a和a对消，而(b－a)无可对消，则改“正”为“负”，即“正无入负之”．“无入”就是无对，也就是无可对消(或不够减或对方为零)．②如果两数皆负则(－a)－(－b)＝－a－[(－a)－(b－a)］＝＋(b－a)．在中间旳式子里(－a)和(－a)对消，而－(b－a)无可对消，则改“负”为“正”所以说“负无入正之”．③如果两数一正一负．则仍同(1)旳异名相益．术文旳后四句是指正负数加法运算法则．(1)同号两数相加，即同名相益，其和旳绝对值等于两数绝对值和．如果a＞0，b＞0，则a＋b＝a＋b，(－a)＋(－b)＝－(a＋b)(2)异号两数相加，实为相减，即异名相除．如果正数旳绝对值较大，其和为正，即“正无入正之”．如果负数旳绝对值较大，其和为负，即“负无入负之”．用符号表示为①如果a＞b≥0，则a＋(－b)＝［b＋(a－b)]＋(－b)＝a－b，或 (－a)＋b＝［(－b)－(a－b)]＋b＝－(a－b)．②如果b＞a≥0，则a＋(－b)＝a＋[(－a)－(b－a)]＝－(b－a)，或 (－a)＋b＝(－a)＋［a＋(b－a)]＝b－a．关于正负数旳乘除法则，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数旳乘除运算．可惜书中并未论及，直到元代朱世杰于《算学启蒙》(1299年)中才有明确旳记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，“同名相除所得为正，异名相除所得为负”，因此至迟于13世纪末我国对有理数四则运算法则已经全面作了总结．至于正负数概念旳引入，正负数加减运算法则旳形成旳历史记录，我国更是遥遥领先．国外首先承认负数旳是七世纪印度数学家婆罗门岌多(约598-？)欧洲到16世纪才承认负数．三、《九章算术》中旳几何部分《九章算术》总结了生产、生活实践中大量旳几何知识，在方田、商功和勾股章中提出了很多面积、体积旳计算公式和勾股定理旳应用，现分别介绍如下1．面积计算《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆旳面积计算方法．《九章算术》方田章第一题“今有田广十五步，从(音纵zong)十六步．问为田几何．”“答曰：一亩”．这里“广”就是宽，“从”即纵，指其长度，“方田术曰：广从步数相乘得积步，(得积步就是得到乘积旳平方步数)以亩法二百四十步(实质应为积步)除之，即亩数．百亩为一顷．”当时称长方形为方田或直田．称三角形为圭田，面积公式为“术曰：半广以乘正从”．这里广是指三角形旳底边，正从是指底边上旳高，刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者，以盈补虚，为直田也．”“亦可以半正从以乘广”(图1－30)．盈是多余，虚乃不足．“以盈补虚”就是以多余部分填补不足旳部分，这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所用旳传统旳“出入相补”旳方法，由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积旳直田，于是得到了圭田旳面积计算公式．方田章第二十七、二十八题把直角梯形称为“邪田”(即斜田)它旳面积公式是：“术曰：并两邪(即两斜，应理解为梯形两底)而半之，以乘正从……，又可半正从……以乘并．”刘徽在注中说明他旳证法仍是“出入相补”法．在方田章第二十九、三十题把一般梯形称为“箕田”，上、下底分别称为“舌”、“踵”，面积公式是：“术曰：并踵舌而半之，以乘正从”．至于圆面积，在《九章算术》方田章第三十一、三十二题中，它旳面积计算公式为：“半周半径相乘得积步”．这里“周”是圆周长，“径”是指直径．这个圆面积计算公式是正确旳．只是当时取径一周三(即π≈3)．于是由此计算所得旳圆面积就不够精密．除了上述面积计算公式以外，《九章算术》中还有近似计算公式，方田章第三十六题中有弧田(指现在旳弓形)面积计算公式：“术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一”(图1－31)．用现代旳记号表示为)(212h bh S +=弓．这是一个经验公式，所得近似值不很精密．综上所述，可以认为《九章算术》时代关于常见旳平面图形(直线形与圆)面积计算已经大都可以转化为运用上述公式来进行计算了．2．体积计算《九章算术》商功章收集旳都是一些有关体积计算旳问题．但是商功章并没有论述长方体或正方体旳体积算法．看来《九章算术》是在长方体或正方体体积计算公式：V ＝abh 旳基础上来计算其他立体图形体积旳．《九章算术》商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠，因其功用不同因而名称各异，其实质都是正截面为等腰梯形旳直棱柱，他们旳体积计算方法：“术曰：并上、下广而半之，以高若深乘之，又以袤乘之，即积尺”．这里上、下广指横截面旳上、下底(a ，b )高或深(h )，袤是指城垣……旳长(l )．因此城、垣…旳体积计算术公式hl b a V )(21+=． 刘徽在注释中把对于平面图形旳出入相补原理推广应用到空间图形，成为“损广补狭”以证明几何体体积公式．刘徽还用棋验法来推导比较复杂旳几何体体积计算公式．所谓棋验法，“棋”是指某些几何体模型即用几何体模型验证旳方法，例如长方体本身就是“棋”[图1－32(1)]斜解一个长方体，得两个两底面为直角三角形旳直三棱柱，我国古代称为“堑堵”[图1－32(2)]，所以堑堵旳体积是长方体体积旳二分之一．abh V 21=堑堵再解开右后边旳堑堵[图1－32(3)]．得一个底面为长方形而有一棱和底面垂直旳四棱锥(古代称之为“阳马”)和一个底面为直角三角形而有一棱和底面垂直旳三棱锥(古代称之为“鳖臑”(臑音闹)[图1－32(4)]这个阳马又可以对分为两个“鳖臑”[图1－32(5)]，如果原长方体为正方体旳话，则极容易看出：由一个堑堵分解出来旳三个鳖臑是等积旳．刘徽可以证明在长方体旳情况下，由一个堑堵分解出来旳三个鳖臑仍然是等积旳．于是阳马体积应是长方体体积旳三分之一． abh V 31=阳马， abh V 61=鳖臑 这样我们可以把正四棱锥(古代称为“方锥”)分解为四个阳马，因此方锥体积为h a V 231=方锥． 正四棱台(古代称为“方亭”)可分解为一个正四棱柱，四个堑堵和四个阳马，因此h ab b a V )(3122++=方亭．《九章算术》商功章还有圆锥、圆台(古代称“圆亭”)旳体积计算公式．甚至对三个侧面是等腰梯形，其他两面为勾股形旳五面体(古代称“羡除”)[图1－33(1)]，上、下底为矩形旳拟柱体(古代称“刍童”)以及上底为一线段，下底为一矩形旳拟柱体(古代称“刍甍”)(甍音梦)［图1－33(2)]等都可以计算其体积．3．勾股定理及其应用《九章算术》以前虽然已经有了勾股定理，但主要是在天文方面旳应用．在《九章算术》中已经用得很广，而且在勾股章一开始就先讲了勾股定理及其变形，前三个题旳“勾股术曰：勾股各自乘，并而开方除之，即弦．又股自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即勾．又勾自乘，以减弦自乘，其余开方除之，即股”． 如果以a 、b 、c 各表示直角三角形旳勾、股、弦．则上述三句话即相当于： 22b a c +=，22b c a -=，22a c b -=．因此，勾股术可以理解为已知直角三角形两边推求第三边旳方法．刘徽在注文中，曾对勾股定理用出入相补原理来论证这一定理，可惜所绘旳弦图早已散失，没有能够和注文一起留传下来．《九章算术》勾股章除了勾股定理及其变形旳三个题以及涉及勾股容方、容圆各一题以外，其余十九个题全是应用问题．例如勾股章第六题“今有池方一，葭(音jia ，一种芦苇类植物)生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何．” “答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺．”术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之，余，倍出水除之，即得水深、加出水数，得葭长”．如图1－34所示，设池方为2a ，水深为b ，葭长为c ，则按术得：水深12215)(2)(222=-=---=b c b c a b ，。
九章算术详细内容九章算术作者
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《九章算术》作者不详，是一部现有传本的、最古老的中国数学书，它的编纂年代大约是在东汉初期。
书中汇集了二百四十六个应用问题的解法，分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、句股九章。
春秋、战国时期社会生产力的逐渐提高，促进了数学知识和计算技能的发展。
当时各国的统治阶级要按亩收税，必须有测量土地、计算面积的方法；要储备粮食，必须有计算仓库容积的方法；要修建灌溉渠道、治河堤防和其他土木工事，必须能计算工程人功；要修订一个适合农业生产的历法，必须能运用有关的天文数据。
那时的百姓掌握了相当丰富的、由日常生活中产生的数学知识和计算技能。
虽然没有一本先秦的数学书流传到后世，但无可怀疑的是九章算术方田、粟米、衰分、少广、商功等章中的题解方法，绝大部分是产生于秦以前的。
汉书艺文志术数类著录有许商算术二十六卷，杜忠算术十六卷，这两部算术虽早已失传，应该是东汉初编纂的九章算术的前身，它们的主要教材应当被保存于九章算术各章之内。
周礼大司徒篇说：「保氏掌谏王恶而养国子以道。
乃教之六艺：一曰五礼，二曰六乐，三曰五射，四曰五驭，五曰六书，六曰九数。
」这是说，主持贵族子弟教育的保氏以礼、乐、射、驭、书、数为「小学」的六门课程，每一门课程又各有若干细目，例如「数」学中有九个细目。
但在周礼里没有把「九数」列举出来，我们就无法考证它的内容。
汉武帝时这部周礼开始受到经学家的注意。
到东汉时期，郑众、马融等都为「九数」作了注解。
东汉末郑玄周礼注引郑众说：「九数：方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、盈不足、旁要，今有重差、句股。
」事实上，郑众所说「九数」中的「均输」已是汉武帝太初元年以后的赋税制度，决不是周礼九数原有的一个细目。
「方田、粟米、差分、少广、商功、均输、方程、盈不足、旁要」大概是西汉末传统算术的主要纲目，「今有重差、句股」说明数学有了新的发展。
九章算术
九章算术与希腊数学的发展同步，中国数学也有了长足的进步、一系列的数学思想和著作开始流传，到了西汉时代的《九章算术》，标志着中国数学已逐渐形成体系、流传至今的最早的数学思想，当推墨经中的几何学与逻辑学的表达、《庄子》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，蕴涵了无限的数学思想、到公元前两百年，已有数学著作流传、1984年在湖北江陵张家山出土的《算数书》竹简，总字数约7000余，有60余小标题，如“方田”，“税田”，“金价”，“合分”，“约分”，“少广”，“程禾”，“贾盐”等等，涉及面积计算、开方、分数运算等、由于全部竹简尚未公开，其内涵有待进一步研究，与《算数书》几乎同时的还有《周髀算经》，涉及天文学上的分数运算、比例、等差级数等问题，而以勾股定理的论述最为重要、此后还有《淮南子》，《三统历》、《许商算术》、《杜忠算术》等著作，涉及数学问题、而集大成的，就是《九章算术》，就其内容和标题来分折，它是《算数书》的继续与发展、现传本《九章算术》成书于何时，目前众说纷纭，多数认为在西汉末到东汉初之间，约公元一世纪前后、《九章算术》的内容十分丰富，全书采用问题集的形式，收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是一题一术，有的是多题一术或一题多术、这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下表所示、《九章算术》的作者不详、很可能是在成书前一段历史时期内通过多人之手逐次整理、修改、补充而成的集体创作结晶、由于二千年来经过辗转手抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》文字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有：三国时曹魏刘徽注，唐朝李淳风注，南宋杨辉著《详解九章算法》选用《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类，清李潢(？～1811年)所著《九章算术细草图说》对《九章算术》进行了校订、列算草、补插图、加说明、现代钱宝琮(1892～1974年)曾对包括《九章算术》在内的《算经十书》进行了校点，用通俗语言、近代数学术语对《九章算术》及刘、李注文详加注释、80年代以来，今人白尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版、现将《九章算术》的主要内容，按算术、代数和几何三部分概要介绍如下：【一】《九章算术》中的算术部分1、分数《九章算术》中有比较完整的分数计算方法，包括四那么运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内子，“内”读为纳)等等、其步骤与方法大体与现代的雷同、分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进行加减、加法的步骤是“母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一”这里“实”是分子、“法”是分母，“实如法而一”也就是用法去除实，进行除法运算，《九章算术》还注意到两点：其一是运算结果如出现“不满法者，以法命之”、就是分子小于分母时便以分数形式保留、其二是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进行加减，运算时不必通分，使分子直接加减即可、关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，子相乘为实，实如法而一”、《九章算术》对分数除法虽然没有提出一般法那么，但算法也很清楚、如第一章方田章的第18个题“有三人三分人之一〔即313〕，分六钱三分钱之一〔即316〕，四分钱之三〔即43〕，问人得几何”、“答曰：人得二钱八分钱之一”〔即每人得812钱〕、“经分〔分数除法称经分〕术曰：以人数为法，钱数为实，实如法而一”、即313)43316(÷+、在计算过程中首先需要把带分数化为假分数，然后分数相除，即相当于现在所说的“颠倒相乘”、2、最大公约数与最小公倍数《九章算术》中还有求最大公约数和约分的方法、求最大公约数的方法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也、以等数约之、”这里所说的“等数”就是我们现在的最大公约数、可半者是指分子分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2、不都是偶数了，那么另外摆(即副置)分子分母算筹进行计算，从大数中减去小数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数、如方田章第六题：“又有九十一分之四十九，问约之得几何”、将更相减损这一运算写成现代的图式就是于是7就是所求得的等数，再以它约9149得简约分数137、更相减损法实质上是辗转相减法、辗转相减法与欧几里得的辗转相除法在步骤上虽然略有不同，但在理论上却是一致的、《九章算术》在分数的加减运算中，用最小公倍数作公分母，例如少广章第六题相当于分数的运算，这个公分母420正是1，2，3，4，5，6，7的最小公倍数、3、比例算法在《九章算术》的第【二】【三】六等章内，广泛地使用了各种比例解应用问题、粟米章的开始就列举了各种粮食间互换的比率如下：“粟米之法：粟率五十，粝米三十，粺米二十七，糳米二十四，……”(图1－23)这是说：谷子五斗去皮可得糙米三斗，又可舂得九折米二斗七升，或八拆米二斗四升，……、例如，粟米章第一题：“今有粟米一斗，欲为粝米，问得几何”、它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”、用现代的方式来表达，即为公式：或所求数∶所有数＝所求率∶所有率、这个题是欲将粟米换成粝米，其中“粟米一斗(十升)”是“所有数”，粝米数即为“所求数”，按规定“粟率五十”为“所有率”，粝米30为“所求率”、于是得所求数为10×30÷50＝6(升)，这就是说一斗谷子可以砻得六升糙米、因而可以根据物与物的比率，再由今有数(所有数)即可求得未知数据(所求数)，因为这类应用问题大都依据“今有”的数据，问所求的数，因此我国古代数学家刘徽就用“今有术”作为这类比例问题解法的专用名词、在《九章算术》中，今有术应用特别广泛，是一种普遍的解题方法、与比率有关的其他一些算法一般都是在今有术的基础上演化而来的、《九章算术》中另一个常用的比率算法是衰分术，所谓“衰分”就是差分、比例分配的意思，它是古代处理配分问题的一般方法，“衰分术曰，各置列衰(即所配的比率)，副并(得所配比率的和)为法，以所分乘未并者各自为实，实如法而一”，刘徽“注”说：“列衰各为所求率，副并(所得的和)为所有率，所分为所有数”，用“今有术”计算，就可以得到各所求数、例如衰分章第二题：“今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰，我羊食半马(所食)，马主曰，我马食半牛(所食)，今欲衰偿之，问各几何”，依照羊主人、马主人的话，牛、马、羊所食粟相互之比率是4∶2∶1，就用4、2、1各为所求率，4＋2＋1＝7为所有率，粟50升为所有数、以“今有术”演算分别得牛主人应偿7450 ＝7428〔升〕，马主人应偿7214升，羊主人应偿717升、 《九章算术》中有相当复杂的比例问题，例如均输章中，既有按正比“列衰”也有按反比“列衰”的比例分配问题等等、因此《九章算术》已包括了现代算术中的全部比例的内容，形成了一个完整的体系、4、盈亏问题《九章算术》第七章“盈不足”专讲盈亏问题及其解法其中第一题：“今有(人)共买物，(每)人出八(钱)，盈(余)三钱；人出七(钱)，不足四(钱)，问人数、物价各几何”，“答曰：七人，物价53(钱)、”“盈不足术曰：置所出率，盈、不足各居其下、令维乘(即交错相乘)所出率，并以为实，并盈，不足为法，实如法而一……置所出率，以少减多，余，以约法、实、实为物价，法为人数”、如以算筹演算大致如图1－24所示、用现代的符号来表示：设每人出a 1钱，盈b 1钱；每人出a 2钱，不足b 2钱，求物价u 和人数v 、依据术文得以下二公式：当然我们还可以算出每人应该分摊的钱数因此上述的盈不足术实际上包含着三个公式、盈不足章的第9到第20题，是一般的算术应用题，有些问题还相当难，初学者不易解达、如果通过两次假设(分别各假设一个答数)然后分别验算其盈余和不足的数量，这样任何算术问题都可以改造成为一个盈亏问题来解、因此盈不足术是中国数学史上解应用问题的一种别开生面的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位、盈不足术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”，后来又传入欧洲，中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国、【二】《九章算术》中的代数部分《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进水平、1、开平方和开立方《九章算术》中讲了开平方、开立方的方法，而且计算步骤和现在的基本一样、所不同的是古代用筹算进行演算，现以少广章第12题为例，说明古代开平方演算的步骤，“今有积五万五千二百二十五步、问为方几何”、“答曰：二百三十五步”、这里所说的步是我国古代的长度单位、“开方(是指开平方，由正方形面积求其一边之长、)术曰：置积为实(即指筹算中把被开方数放置于第二行，称为实)借一算(指借用一算筹放置于最后一行，如图1－25(1)所示用以定位)、步之(指所借的算筹一步一步移动)超一等(指所借的算筹由个位越过十位移至百位或由百位越过千位移至万位等等，这与现代笔算开平方中分节相当如图1－25(2)所示)、议所得(指议得初商，由于实的万位数字是5，而且22＜5＜32，议得初商为2，而借算在万位，因此应在第一行置初商2于百位，如图1－25(3)所示)、以一乘所借一算为法(指以初商2乘所借算一次为20000，置于“实”下为“法”，如图1－25(4)所示)而以除(指以初商2乘“法”20000得40000，由“实”减去得：55225－40000＝15225，如图1－25(5)所示)除已，倍法为定法，其复除，折法而下(指将“法”加倍，向右移一位，得4000为“定法”因为现在要求平方根的十位数字，需要把“借算”移至百位，如图1－25(6)所示)、复置借算步之如初，以复议一乘之，所得副，以加定法，以除(这一段是指：要求平方根的十位数字，需置借算于百位、因“实”的千位数字为15，且4×3＜15＜4×4，于是再议得次商为3、置3于商的十位、以次商3乘借算得3×100＝300，与定法相加为4000＋300＝4300、再乘以次商，那么得：3×4300＝12900，由“实”减去得：15225－12900＝2325、如图1－25(7)所示，以所得副从定法，复除折下如前(这一段是指演算如前，即再以300×1＋4300＝4600向右移一位，得460，是第三位方根的定法，再把借算移到个位，如图1－25(8)所示；又议得三商应为5，再置5于商的个位如图1－25(9)所示，以5＋460＝465，再乘以三商5，得465×5＝2325经计算恰尽如图1－25(10)所示，因此得平方根为235、)上述由图1－25(1)～(10)是按算筹进行演算的，看起来似乎很繁琐，实际上步骤十分清楚，易于操作、它的开平方原理与现代开平方原理相同、其中“借算”的右移、左移在现代的观点下可以理解为一次变换和代换、《九章算术》时代并没有理解到变换和代换，但是这对以后宋、元时期高次方程的解法是有深远影响的、2、二次方程问题《九章算术》勾股章第二十题：“今有邑方不知大小，各中开门，出北门二十步有木，出南门十四步，折而西行一千七百七十五步见木，问邑方几何、”“答曰：二百五十步”、：如图1－26所示，CD＝20步，EB＝14步，BF＝1775步，求CE、按题意，得或EC(CE＋CD＋EB)＝2CD·BF、设x＝EC、经整理，得x 2＋34x ＝71000、这是一个解数字二次方程的问题、这种二次方程有一个正系数的一次项在二次项后面，我国古代称这个一次项为“从法”、《九章算术》少广章开平方术虽然专为开整平方而建立，但是也可以利用来解一般的二次方程问题、解这种二次方程只需开带“从法”的平方，或简称为“开带从平方”、从而即可求得方程的正根、因此上述勾股章第20题的解法为：“术曰以出北门步数乘西行步数倍之，(2CD ·BF ＝2×20×1775＝71000)为实，并出南门步数为从法(20＋14＝34)，开方除之，即邑方、”现列出开带从平方的筹算步骤如图1－27所示、(注：为了不易搞错，空位补上0)如果我们将上述开带从平方的演算过程与55225的开平方的演算过程作一比较的话，我们就可以发现：在55225开平方过程中，议平方根的第二位和第三位数字时，所列的算式是一个有“从法”的开方式相当于我们分别用开带从平方的方法解二次方程：）—，（参阅图)6(251152254000100222=+x x以及）—．（参阅图)8(2512325460323=+x x不过要注意的是前者的正根是10x 2＝35，而后者的正根是x 3＝5、3、多元一次方程组及其解法《九章算术》方程章中所谓“方程”是专指多元一次方程组而言，与现在“方程”的含义并不相同、《九章算术》中多元一次方程组的解法，是将它们的系数和常数项用算筹摆成“方阵”(所以称之谓“方程”)、消元的过程相当于现代大学课程高等代数中的线性变换、方程章第一题：“今有上禾(指上等稻子)三秉(指捆)中禾二秉，下禾一秉，实(指谷子)三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗、问上、中、下禾实一秉各几何”，这一题假设按现代的记法、设x 、y 、z 依次为上、中、下禾各一秉的谷子数，那么上述问题是求解三元一次方程组：《九章算术》用算筹演算：“方程术曰，置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗，于右方、中、左行列如右方(图1－28)以右行上禾徧乘(即遍乘)中行而以直除(这里“除”是减，“直除”即连续相减、)……(引文下略)”、现将遍乘直除法解方程组的过程，按算筹演算如图1－29所示：这题的答案：《九章算术》方程章第一题“答曰：上禾一秉，九斗四分斗之一〔419斗〕；中禾一秉，四斗四分斗之一〔414斗〕；下禾一秉，二斗四分斗之三〔432斗〕、 《九章算术》方程章中共计18个题，其中二元的8题，三元的6题，四元、五元的各2题都用上述的演算法解决，直除法是我国古代解方程组的最早的方法、多元一次方程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)在欧洲最早提出三元一次方程组和解法的是16世纪中(1559年)的法国数学家布丢(Buteo)、至于线性方程组的一般理论直到18世纪(1779年)才由法国数学家别朱(E、Be－zout)建立、可见《九章算术》中的方程术，不但是中国古代数学中的伟大成就，在世界数学史上，也是一份值得我们自豪的宝贵遗产、4、正负数由于《九章算术》在用直除法解一次方程组过程中，不可避免地要出现正负数的问题，于是在方程章第三题中明确提出了正负术、刘徽在该术的注文里实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反，要令‘正’、‘负’以名之”、并在计算工具即算筹上加以区别“正算赤，负算黑，否那么以邪正为异”、这就是规定正数用红色算筹，负数用黑色算筹、如果只有同色算筹的话，那么遇到正数将筹正放，负数时邪(同斜)放、宋代以后出现笔算也相应地用红、黑色数码字以区别正、负数，或在个位数上记斜划以表示负数，如(即—1824)，后来这种包括负数写法在内的中国数码字还传到日本、关于正、负数的加减运算法那么，“正负术曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之、其异名相除，同名相益，正无入正之，负无人负之”、这里所说的“同名”、“异名”分别相当于现在所说的同号、异号、“相益”、“相除”是指二数相加、相减、术文前四句是减法运算法那么：(1)如果被减数绝对值大于减数绝对值，即a＞b≥0，那么同名相除：(±a)－(±b)＝±(a－b)，异名相益：(±a)－(b)＝±(a＋b)、(2)如果被减数绝对值小于减数绝对值，即b＞a≥0、①如果两数皆正那么a－b＝a－[a＋(b－a)]＝－(b－a)、中间一式的a和a对消，而(b－a)无可对消，那么改“正”为“负”，即“正无入负之”、“无入”就是无对，也就是无可对消(或不够减或对方为零)、②如果两数皆负那么(－a)－(－b)＝－a－[(－a)－(b－a)］＝＋(b－a)、在中间的式子里(－a)和(－a)对消，而－(b－a)无可对消，那么改“负”为“正”所以说“负无入正之”、③如果两数一正一负、那么仍同(1)的异名相益、术文的后四句是指正负数加法运算法那么、(1)同号两数相加，即同名相益，其和的绝对值等于两数绝对值和、如果a＞0，b＞0，那么a＋b＝a＋b，(－a)＋(－b)＝－(a＋b)(2)异号两数相加，实为相减，即异名相除、如果正数的绝对值较大，其和为正，即“正无入正之”、如果负数的绝对值较大，其和为负，即“负无入负之”、用符号表示为①如果a＞b≥0，那么a＋(－b)＝［b＋(a－b)]＋(－b)＝a－b，或(－a)＋b＝［(－b)－(a－b)]＋b＝－(a－b)、②如果b＞a≥0，那么a＋(－b)＝a＋[(－a)－(b－a)]＝－(b－a)，或(－a)＋b＝(－a)＋［a＋(b－a)]＝b－A、关于正负数的乘除法那么，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算、可惜书中并未论及，直到元代朱世杰于《算学启蒙》(1299年)中才有明确的记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，“同名相除所得为正，异名相除所得为负”，因此至迟于13世纪末我国对有理数四那么运算法那么已经全面作了总结、至于正负数概念的引入，正负数加减运算法那么的形成的历史记录，我国更是遥遥领先、国外首先承认负数的是七世纪印度数学家婆罗门岌多(约598-？)欧洲到16世纪才承认负数、【三】《九章算术》中的几何部分《九章算术》总结了生产、生活实践中大量的几何知识，在方田、商功和勾股章中提出了很多面积、体积的计算公式和勾股定理的应用，现分别介绍如下1、面积计算《九章算术》方田章主要论述平面图形直线形和圆的面积计算方法、《九章算术》方田章第一题“今有田广十五步，从(音纵zong)十六步、问为田几何、”“答曰：一亩”、这里“广”就是宽，“从”即纵，指其长度，“方田术曰：广从步数相乘得积步，(得积步就是得到乘积的平方步数)以亩法二百四十步(实质应为积步)除之，即亩数、百亩为一顷、”当时称长方形为方田或直田、称三角形为圭田，面积公式为“术曰：半广以乘正从”、这里广是指三角形的底边，正从是指底边上的高，刘徽在注文中对这一计算公式实质上作了证明：“半广者，以盈补虚，为直田也、”“亦可以半正从以乘广”(图1－30)、盈是多余，虚乃不足、“以盈补虚”就是以多余部分填补不足的部分，这就是我国古代数学推导平面图形面积公式所用的传统的“出入相补”的方法，由上图“以盈补虚”变圭田为与之等积的直田，于是得到了圭田的面积计算公式、方田章第二十七、二十八题把直角梯形称为“邪田”(即斜田)它的面积公式是：“术曰：并两邪(即两斜，应理解为梯形两底)而半之，以乘正从……，又可半正从……以乘并、”刘徽在注中说明他的证法仍是“出入相补”法、在方田章第二十九、三十题把一般梯形称为“箕田”，上、下底分别称为“舌”、“踵”，面积公式是：“术曰：并踵舌而半之，以乘正从”、至于圆面积，在《九章算术》方田章第三十【一】三十二题中，它的面积计算公式为：“半周半径相乘得积步”、这里“周”是圆周长，“径”是指直径、这个圆面积计算公式是正确的、只是当时取径一周三(即π≈3)、于是由此计算所得的圆面积就不够精密、除了上述面积计算公式以外，《九章算术》中还有近似计算公式，方田章第三十。
(完整版)3.1周髀算经与九章算术
由此可立刻看出
a ＝ (10/4)升 ＝ 2.5升。於是 b ＝
(20 － 2.5)升 ＝ 17.5升。
3.1.3《九章算术》
在解方程组时，将方程组的系数（包括 常数）分离出来排成一个数表，相当于 现在线性代数中的增广矩阵，然后通过 类似于矩阵初等变换的方法消元，这一 思想方法在数学发展史上是非常重要的， 在西方被称为“高斯消元法”。
設醇酒佔２升，行酒有18升，值錢10＋18＝28， 不足2。
據公式３
醇酒：（5×2＋2×10）÷（10＋2）＝2.5升
升
行酒：（15×2＋18×10）÷（10＋2）＝17.5
這個題目用現代的代數解法亦屬易事。設醇酒有a升，行 酒有b升，便可建立出下面兩個聯立的二元一次方程
a＋b ＝ 20 ;
5a＋b ＝ 30
《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左 规矩，右准绳”.
战国时代的著作《考工记》中看到与手工业制 作有关的实用几何知识。
3.1.2《周髀算经》
《周髀算经》，该书原名《周 髀》，大约成书于公元前2世 纪的西汉时期，其许多内容甚 至可以追溯到西周。
唐代李淳风在为国子监明算科 选定教科书时将其列入《算经 十书》，并改名为《周髀算 经》。
3.1.3《九章算术》
《九章算术》给出的表示方法相当于下列矩阵 1 2 3 上禾 2 3 2 中禾 3 1 1 下禾 26 34 39 实
3.1.3《九章算术》
其解法相当于下列图示方法：
3.1.3《九章算术》
“方程”章的另一个重点就是对负数的概念、 运算进行了研究。在解方程的过程中，由于无 法回避被减数小于减数的情况出现，在《九章 算术》提出了“以正负术入之”，即引入负数 及其运算法则：“正负术曰：同名相除，异名 相益，正无入正之；其异名相除，同名相益， 正无入正之，负无入负之。”
数学史概论教学大纲
《数学史概论》教学大纲一、课程名称《数学史概论》二、课程性质数学及应用数学专业限选课，信息与计算科学专业任选课。
三、课程教学目的本课程主要讲述数学概念、数学思想和数学方法的起源与发展以及与社会、经济和一般文化的联系。
学习数学史有助于学习者了解数学的思想、方法，帮助学习者确立正确的数学观，掌握数学教育的根本方法。
尤其对于师范学校的学生来说，结合以后的教学教育工作讲授数学史知识，传达数学思想方法有帮助。
对于非师范生来说，学习数学史开阔眼界，激发兴趣，提高文化素养。
四、课程教学原则与教学方法1、教学原则：了解教材中所介绍的数学概念、有关数学方法的起源与发展，掌握数学思想的起源与发展。
2、教学方法：本课程以课堂讲授与自学相结合。
在课堂讲授的过程中，可以利用知识相关的图片，有条件还可以利用多媒体教学手段，激发学生的学习兴趣，提高教学效率。
要把握好教学的深广度，根据本课程的目的要求。
根据具体情况有些内容可以不讲或简单讲授。
五、课程总学时与学分40学时，3学分六、课程教学内容要点课程教学内容要点及建议学时分配第0章数学史一人类文明史的重要篇章（计划学时1）一、教学目的通过本章讲授数学史的意义、什么是数学。
对数学有个历史的理解。
了解关于数学史的分期。
二、课程内容0.1数学史的意义0.2什么是数学一历史的理解0.3关于数学史的分期三、重点、难点提示和教学手段教学重点：学习数学史的意义.教学难点：数学史的分期.教学手段：利用多媒体讲授教学内容.第一章数学的起源与早期发展（计划学时2）一、教学目的讲授数与形概念的产生和河谷文明与早期数学二、课程内容1.1数与形概念的产生1.2河谷文明与早期数学1.2.1埃及数学1.2.2美索不达米亚数学三、重点、难点提示和教学手段教学重点：数与形概念的产生与早期数学.教学难点：数与形早期数学.教学手段：利用多媒体讲授教学内容.第二章古代希腊数学（计划学时3）一、教学目的让学生了解论证数学的发端、亚历山大学派（黄金时代）的建立、亚历山大后期和希腊数学的衰落.二、课程内容2.1论证数学的发端2.1.1泰勒斯与毕达哥拉斯2.1.2雅典时期的希腊数学2.2黄金时代-亚历山大学派2.2.1欧几里得与几何《原本》2.2.2阿基米德的数学成就2.2.3阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论2.3亚历山大后期和希腊数学的衰落三、重点、难点提示和教学手段教学重点：论证数学的发端、亚历山大学派（黄金时代）的建立和希腊数学的衰落的原因.教学难点：论证数学的发端和希腊数学的衰落的原因.教学手段：利用多媒体讲授教学内容.第三章中世纪的中国数学（计划学时4）一、教学目的了解《周髀算经》与《九章算术》以及从刘徽到祖冲之、宋元数学的成就。
中国古代数学史之一
精湛的几何思想
战国时期的诸子百家，理论数学的萌芽。 《墨经》记载了许多几何概念，如 “平，同高也”； “中，同长也”； “圆，一中同长也”；…… 这些都是中国古代学者试图用形式逻辑的方法定 义几何概念的明证。
在这部著作中甚至还涉及到有穷和无穷的 概念，称“或不容尺，有穷；莫不容尺， 无穷也。”
一般认为，这一时期的数学成就主要有以 下几点： ◎结绳记事和规矩的使用 ◎十进位值制记数法、分数的应用及筹算 ◎精湛的几何思想 ◎数学教育的开始
结绳记事和规矩的使用
中国古代记数方法的起源是很早的。
据《易· 系辞传》称：“上古结绳而治。”
《易· 九家义》明确地解释了这种方法： “事大，大结其绳；事小，小结其绳。结 之多少，随物众寡。”这种结绳记事的方 法是很古老的。
学大部分内容都是围绕圆和勾股形展开
的，这与古代中国人擅长使用规和矩的
关系是十分密切的。
十进位值制记数法、分数的应用 及筹算
商代，甲骨文已发展成熟。 河南安阳发掘的殷墟甲骨文及周代金文的考古 证明，中国当时已采用了“十进位值制记数 法”，并有十、百、千、万等专用的大数名称。 除了整数以外，中国古代对分数概念的认识也 很早，分数的概念及其应用，在《管子》、 《墨子》(mo)、《商君书》、《考工记》等春 秋战国时代的书籍中都有明确的记载。
关于此条，注家的解释众说纷纭。一般认为 钱宝琮(cong. 中国数学史研究的奠基人， 校点《算经十书》等)的解释最为精当： “用尺来度量路程，如果量到前面只剩不 到一尺的余地，那末，这路程是‘有穷’ 的。如果继续量前面总是长于一尺，那末， 这路程是‘无穷’的” 。
九章算术,几何原本
九章算术《九章算术》应是流传到现在的，中国最早的一部数学专门著作，因为汉代的《周髀算经》虽是最早的数学著作，但同时也是天文学的作品，所以称不上是“专门”。
自周代和秦代以来，中国古代的数学开始形成，经汉代的进一步发展，已成为了一个体系，而《九章算术》便是标志着这一个体系的形成。
它除了是总结了几个世纪的先哲圣贤的心血结晶外，还影响了后来中国的数学发展。
《九章算术》的内容丰富，而且大多和实际生活密切联系。
这些密切联系实际生活的题材，反映出中国古代先贤的智能，同时也显出古代中国数学的研究多以实用性为主。
事实上，《九章算术》是用问题集的形式编写，全书分“九章”，共246 个问题。
通常在举出了一个或几个问题之后，总是列出求解这个问题或这些问题的一般方法，这是《九章算术》所采用的叙述方式。
从这一种叙述方式可以看出它主要使用了归纳的方法。
而这些问题，一方面可以作为读者理解后面的一般解法的例题，另一方面也可以作为把一般解法用来解决各种实际问题的例题。
这种问题集的形式，对后来中国古代数学著作的影响很大，大多数的中国古代数学著作也是用这种形式写成的。
但因为《九章算术》中只是列出了例子及一般的算法，却很少有任何解释和说明，所以有很多人曾为《九章算术》作注，以补充这一点。
而有些注解给《九章算术》的算法提出了简括的证明，证明了些算法的正确性。
同时，这些为《九章算术》作注的人，也透过这个途径来展开自己的研究工作，当中较有名的便是刘徽、李淳风和祖冲之等。
这部《九章算术》如此多采多姿，究竟是谁的著作呢？这个问题的答案是不可肯定的。
从刘徽为《九章算术》作注时的序中可见，在那时候经已说不清楚《九章算术》是由哪个时代，以及谁人编纂了，但同时由序言所知《九章算术》是在周秦以来中国古代数学的基础上逐渐发展、积累，又经过张苍和耿寿昌等人的增删修补而最后成书的。
《九章算术》曾流传到朝鲜和日本，对当地的古代数学的发展有很大的影响。
后来，这部中国古代数学的重要著作受到了世界各国科学界的重视。
中国古代的算学与数学发展
中国古代的算学与数学发展中国古代是世界数学史上一颗璀璨的明珠，其算学与数学发展在古代亦是别具一格。
这一发展之路可溯源至古代的《九章算术》、《周髀算经》等重要著作，经过漫长岁月的积累和完善，最终形成了中国古代算学与数学的独特风格和重要成就。
本文将从不同角度探讨中国古代算学与数学的发展历程。
一、古代算学的起源与特点古代中国算学的起源可以追溯到商周时期，当时人们在日常生活中遇到的计量、交易等问题，推动了算学的萌芽。
随着时代的发展，算学逐渐与其他领域相互渗透，形成了独特的特点与发展趋势。
1.1 算学与天文学的关联中国古代将算学与天文学紧密结合，形成了独特的数学体系。
古代中国人通过观测天象，编制各种星历、日历等，以测算天体运行、定位地理位置等。
这一纯粹理论与实践的结合，使得算学在天文学中扮演着十分重要的角色。
1.2 古代计算工具的发展中国古代算学的发展离不开计算工具的进步。
早期人们常使用的算筹、算木等，为古代算学的发展提供了基础。
随后，计算工具逐渐发展到算盘，使得计算速度有了大幅提高。
这种逐步改进的趋势促进了古代算学的进一步发展。
1.3 古代算学的应用领域中国古代算学主要应用在日常生活和政治经济等方面。
人们通过计算工具进行商业贸易、粮田管理等计量领域的运算。
同时，在土地测量、水利工程等领域，算学也扮演着重要角色并取得了显著成就。
二、中国古代数学的发展历程中国古代的数学发展自商周时期，经历了秦汉、三国两晋、南北朝、隋唐等一系列朝代的推动和发展。
随着时间的推移，中国古代数学的研究逐渐成熟，并取得了重要的成就。
2.1 《九章算术》的出现《九章算术》被誉为中国古代数学的里程碑之作。
它涵盖了很多数学理论和运算方法，包括算法、代数、几何等方面的内容。
这部著作对中国古代数学的发展起到了重要的推动作用，不仅被后世广泛采用，还对外传播，影响了世界上其他文明的数学发展。
2.2 华罗庚等数学家的贡献在中国古代数学发展的过程中，华罗庚等一批杰出的数学家做出了重要的贡献。
九章算术——精选推荐
九章算术九章算术与希腊数学的发展同步，中国数学也有了长⾜的进步、⼀系列的数学思想和著作开始流传，到了西汉时代的《九章算术》，标志着中国数学已逐渐形成体系、流传⾄今的最早的数学思想，当推墨经中的⼏何学与逻辑学的表达、《庄⼦》中的“⼀尺之棰，⽇取其半，万世不竭”，蕴涵了⽆限的数学思想、到公元前两百年，已有数学著作流传、1984年在湖北江陵张家⼭出⼟的《算数书》⽵简，总字数约7000余，有60余⼩标题，如“⽅⽥”，“税⽥”，“⾦价”，“合分”，“约分”，“少⼴”，“程⽲”，“贾盐”等等，涉及⾯积计算、开⽅、分数运算等、由于全部⽵简尚未公开，其内涵有待进⼀步研究，与《算数书》⼏乎同时的还有《周髀算经》，涉及天⽂学上的分数运算、⽐例、等差级数等问题，⽽以勾股定理的论述最为重要、此后还有《淮南⼦》，《三统历》、《许商算术》、《杜忠算术》等著作，涉及数学问题、⽽集⼤成的，就是《九章算术》，就其内容和标题来分折，它是《算数书》的继续与发展、现传本《九章算术》成书于何时，⽬前众说纷纭，多数认为在西汉末到东汉初之间，约公元⼀世纪前后、《九章算术》的内容⼗分丰富，全书采⽤问题集的形式，收有246个与⽣产、⽣活实践有联系的应⽤问题，其中每道题有问(题⽬)、答(答案)、术(解题的步骤，但没有证明)，有的是⼀题⼀术，有的是多题⼀术或⼀题多术、这些问题依照性质和解法分别⾪属于⽅⽥、粟⽶、衰分、少⼴、商功、均输、盈不⾜、⽅程及勾股九章如下表所⽰、《九章算术》的作者不详、很可能是在成书前⼀段历史时期内通过多⼈之⼿逐次整理、修改、补充⽽成的集体创作结晶、由于⼆千年来经过辗转⼿抄、刻印，难免会出现差错和遗漏，加上《九章算术》⽂字简略有些内容不易理解，因此历史上有过多次校正和注释，其中重要的有：三国时曹魏刘徽注，唐朝李淳风注，南宋杨辉著《详解九章算法》选⽤《九章算术》中80道典型的题作过详解并分类，清李潢(？～1811年)所著《九章算术细草图说》对《九章算术》进⾏了校订、列算草、补插图、加说明、现代钱宝琮(1892～1974年)曾对包括《九章算术》在内的《算经⼗书》进⾏了校点，⽤通俗语⾔、近代数学术语对《九章算术》及刘、李注⽂详加注释、80年代以来，今⼈⽩尚恕、郭书春、李继闵等都有校注本出版、现将《九章算术》的主要内容，按算术、代数和⼏何三部分概要介绍如下：【⼀】《九章算术》中的算术部分1、分数《九章算术》中有⽐较完整的分数计算⽅法，包括四那么运算，通分、约分、化带分数为假分数(我国古代称为通分内⼦，“内”读为纳)等等、其步骤与⽅法⼤体与现代的雷同、分数加减运算，《九章算术》已明确提出先通分，使两分数的分母相同，然后进⾏加减、加法的步骤是“母互乘⼦，并以为实，母相乘为法，实如法⽽⼀”这⾥“实”是分⼦、“法”是分母，“实如法⽽⼀”也就是⽤法去除实，进⾏除法运算，《九章算术》还注意到两点：其⼀是运算结果如出现“不满法者，以法命之”、就是分⼦⼩于分母时便以分数形式保留、其⼆是“其母同者，直相从之”，就是分母相同的分数进⾏加减，运算时不必通分，使分⼦直接加减即可、关于分数乘法，《九章算术》中提出的步骤是“母相乘为法，⼦相乘为实，实如法⽽⼀”、《九章算术》对分数除法虽然没有提出⼀般法那么，但算法也很清楚、如第⼀章⽅⽥章的第18个题“有三⼈三分⼈之⼀〔即313〕，分六钱三分钱之⼀〔即316〕，四分钱之三〔即43〕，问⼈得⼏何”、“答⽈：⼈得⼆钱⼋分钱之⼀”〔即每⼈得812钱〕、“经分〔分数除法称经分〕术⽈：以⼈数为法，钱数为实，实如法⽽⼀”、即313)43316(÷+、在计算过程中⾸先需要把带分数化为假分数，然后分数相除，即相当于现在所说的“颠倒相乘”、2、最⼤公约数与最⼩公倍数《九章算术》中还有求最⼤公约数和约分的⽅法、求最⼤公约数的⽅法称为“更相减损”法，其具体步骤是“可半者半之，不可半者，副置分母⼦之数，以少减多，更相减损，求其等也、以等数约之、”这⾥所说的“等数”就是我们现在的最⼤公约数、可半者是指分⼦分母都是偶数，可以折半的先把它们折半，即可先约去2、不都是偶数了，那么另外摆(即副置)分⼦分母算筹进⾏计算，从⼤数中减去⼩数，辗转相减，减到余数和减数相等，即得等数、如⽅⽥章第六题：“⼜有九⼗⼀分之四⼗九，问约之得⼏何”、将更相减损这⼀运算写成现代的图式就是于是7就是所求得的等数，再以它约9149得简约分数137、更相减损法实质上是辗转相减法、辗转相减法与欧⼏⾥得的辗转相除法在步骤上虽然略有不同，但在理论上却是⼀致的、《九章算术》在分数的加减运算中，⽤最⼩公倍数作公分母，例如少⼴章第六题相当于分数的运算，这个公分母420正是1，2，3，4，5，6，7的最⼩公倍数、3、⽐例算法在《九章算术》的第【⼆】【三】六等章内，⼴泛地使⽤了各种⽐例解应⽤问题、粟⽶章的开始就列举了各种粮⾷间互换的⽐率如下：“粟⽶之法：粟率五⼗，粝⽶三⼗，粺⽶⼆⼗七，糳⽶⼆⼗四，……”(图1－23)这是说：⾕⼦五⽃去⽪可得糙⽶三⽃，⼜可舂得九折⽶⼆⽃七升，或⼋拆⽶⼆⽃四升，……、例如，粟⽶章第⼀题：“今有粟⽶⼀⽃，欲为粝⽶，问得⼏何”、它的解法是：“以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法⽽⼀”、⽤现代的⽅式来表达，即为公式：或所求数∶所有数＝所求率∶所有率、这个题是欲将粟⽶换成粝⽶，其中“粟⽶⼀⽃(⼗升)”是“所有数”，粝⽶数即为“所求数”，按规定“粟率五⼗”为“所有率”，粝⽶30为“所求率”、于是得所求数为10×30÷50＝6(升)，这就是说⼀⽃⾕⼦可以砻得六升糙⽶、因⽽可以根据物与物的⽐率，再由今有数(所有数)即可求得未知数据(所求数)，因为这类应⽤问题⼤都依据“今有”的数据，问所求的数，因此我国古代数学家刘徽就⽤“今有术”作为这类⽐例问题解法的专⽤名词、在《九章算术》中，今有术应⽤特别⼴泛，是⼀种普遍的解题⽅法、与⽐率有关的其他⼀些算法⼀般都是在今有术的基础上演化⽽来的、《九章算术》中另⼀个常⽤的⽐率算法是衰分术，所谓“衰分”就是差分、⽐例分配的意思，它是古代处理配分问题的⼀般⽅法，“衰分术⽈，各置列衰(即所配的⽐率)，副并(得所配⽐率的和)为法，以所分乘未并者各⾃为实，实如法⽽⼀”，刘徽“注”说：“列衰各为所求率，副并(所得的和)为所有率，所分为所有数”，⽤“今有术”计算，就可以得到各所求数、例如衰分章第⼆题：“今有⽜、马、⽺⾷⼈苗，苗主责之粟五⽃，⽺主⽈，我⽺⾷半马(所⾷)，马主⽈，我马⾷半⽜(所⾷)，今欲衰偿之，问各⼏何”，依照⽺主⼈、马主⼈的话，⽜、马、⽺所⾷粟相互之⽐率是4∶2∶1，就⽤4、2、1各为所求率，4＋2＋1＝7为所有率，粟50升为所有数、以“今有术”演算分别得⽜主⼈应偿7450 ＝7428〔升〕，马主⼈应偿7214升，⽺主⼈应偿717升、《九章算术》中有相当复杂的⽐例问题，例如均输章中，既有按正⽐“列衰”也有按反⽐“列衰”的⽐例分配问题等等、因此《九章算术》已包括了现代算术中的全部⽐例的内容，形成了⼀个完整的体系、4、盈亏问题《九章算术》第七章“盈不⾜”专讲盈亏问题及其解法其中第⼀题：“今有(⼈)共买物，(每)⼈出⼋(钱)，盈(余)三钱；⼈出七(钱)，不⾜四(钱)，问⼈数、物价各⼏何”，“答⽈：七⼈，物价53(钱)、”“盈不⾜术⽈：置所出率，盈、不⾜各居其下、令维乘(即交错相乘)所出率，并以为实，并盈，不⾜为法，实如法⽽⼀……置所出率，以少减多，余，以约法、实、实为物价，法为⼈数”、如以算筹演算⼤致如图1－24所⽰、⽤现代的符号来表⽰：设每⼈出a 1钱，盈b 1钱；每⼈出a 2钱，不⾜b 2钱，求物价u 和⼈数v 、依据术⽂得以下⼆公式：当然我们还可以算出每⼈应该分摊的钱数因此上述的盈不⾜术实际上包含着三个公式、盈不⾜章的第9到第20题，是⼀般的算术应⽤题，有些问题还相当难，初学者不易解达、如果通过两次假设(分别各假设⼀个答数)然后分别验算其盈余和不⾜的数量，这样任何算术问题都可以改造成为⼀个盈亏问题来解、因此盈不⾜术是中国数学史上解应⽤问题的⼀种别开⽣⾯的创造，它在我国古代算法中占有相当重要的地位、盈不⾜术还经过丝绸之路西传中亚阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”，后来⼜传⼊欧洲，中世纪时期“双设法”曾长期统治了他们的数学王国、【⼆】《九章算术》中的代数部分《九章算术》中的代数内容同样很丰富，具有当时世界的先进⽔平、1、开平⽅和开⽴⽅《九章算术》中讲了开平⽅、开⽴⽅的⽅法，⽽且计算步骤和现在的基本⼀样、所不同的是古代⽤筹算进⾏演算，现以少⼴章第12题为例，说明古代开平⽅演算的步骤，“今有积五万五千⼆百⼆⼗五步、问为⽅⼏何”、“答⽈：⼆百三⼗五步”、这⾥所说的步是我国古代的长度单位、“开⽅(是指开平⽅，由正⽅形⾯积求其⼀边之长、)术⽈：置积为实(即指筹算中把被开⽅数放置于第⼆⾏，称为实)借⼀算(指借⽤⼀算筹放置于最后⼀⾏，如图1－25(1)所⽰⽤以定位)、步之(指所借的算筹⼀步⼀步移动)超⼀等(指所借的算筹由个位越过⼗位移⾄百位或由百位越过千位移⾄万位等等，这与现代笔算开平⽅中分节相当如图1－25(2)所⽰)、议所得(指议得初商，由于实的万位数字是5，⽽且22＜5＜32，议得初商为2，⽽借算在万位，因此应在第⼀⾏置初商2于百位，如图1－25(3)所⽰)、以⼀乘所借⼀算为法(指以初商2乘所借算⼀次为20000，置于“实”下为“法”，如图1－25(4)所⽰)⽽以除(指以初商2乘“法”20000得40000，由“实”减去得：55225－40000＝15225，如图1－25(5)所⽰)除已，倍法为定法，其复除，折法⽽下(指将“法”加倍，向右移⼀位，得4000为“定法”因为现在要求平⽅根的⼗位数字，需要把“借算”移⾄百位，如图1－25(6)所⽰)、复置借算步之如初，以复议⼀乘之，所得副，以加定法，以除(这⼀段是指：要求平⽅根的⼗位数字，需置借算于百位、因“实”的千位数字为15，且4×3＜15＜4×4，于是再议得次商为3、置3于商的⼗位、以次商3乘借算得3×100＝300，与定法相加为4000＋300＝4300、再乘以次商，那么得：3×4300＝12900，由“实”减去得：15225－12900＝2325、如图1－25(7)所⽰，以所得副从定法，复除折下如前(这⼀段是指演算如前，即再以300×1＋4300＝4600向右移⼀位，得460，是第三位⽅根的定法，再把借算移到个位，如图1－25(8)所⽰；⼜议得三商应为5，再置5于商的个位如图1－25(9)所⽰，以5＋460＝465，再乘以三商5，得465×5＝2325经计算恰尽如图1－25(10)所⽰，因此得平⽅根为235、)上述由图1－25(1)～(10)是按算筹进⾏演算的，看起来似乎很繁琐，实际上步骤⼗分清楚，易于操作、它的开平⽅原理与现代开平⽅原理相同、其中“借算”的右移、左移在现代的观点下可以理解为⼀次变换和代换、《九章算术》时代并没有理解到变换和代换，但是这对以后宋、元时期⾼次⽅程的解法是有深远影响的、2、⼆次⽅程问题《九章算术》勾股章第⼆⼗题：“今有⾢⽅不知⼤⼩，各中开门，出北门⼆⼗步有⽊，出南门⼗四步，折⽽西⾏⼀千七百七⼗五步见⽊，问⾢⽅⼏何、”“答⽈：⼆百五⼗步”、：如图1－26所⽰，CD＝20步，EB＝14步，BF＝1775步，求CE、按题意，得或EC(CE＋CD＋EB)＝2CD·BF、设x＝EC、经整理，得x 2＋34x ＝71000、这是⼀个解数字⼆次⽅程的问题、这种⼆次⽅程有⼀个正系数的⼀次项在⼆次项后⾯，我国古代称这个⼀次项为“从法”、《九章算术》少⼴章开平⽅术虽然专为开整平⽅⽽建⽴，但是也可以利⽤来解⼀般的⼆次⽅程问题、解这种⼆次⽅程只需开带“从法”的平⽅，或简称为“开带从平⽅”、从⽽即可求得⽅程的正根、因此上述勾股章第20题的解法为：“术⽈以出北门步数乘西⾏步数倍之，(2CD ·BF ＝2×20×1775＝71000)为实，并出南门步数为从法(20＋14＝34)，开⽅除之，即⾢⽅、”现列出开带从平⽅的筹算步骤如图1－27所⽰、(注：为了不易搞错，空位补上0)如果我们将上述开带从平⽅的演算过程与55225的开平⽅的演算过程作⼀⽐较的话，我们就可以发现：在55225开平⽅过程中，议平⽅根的第⼆位和第三位数字时，所列的算式是⼀个有“从法”的开⽅式相当于我们分别⽤开带从平⽅的⽅法解⼆次⽅程：）—，（参阅图)6(251152254000100222=+x x以及）—．（参阅图)8(2512325460323=+x x不过要注意的是前者的正根是10x 2＝35，⽽后者的正根是x 3＝5、3、多元⼀次⽅程组及其解法《九章算术》⽅程章中所谓“⽅程”是专指多元⼀次⽅程组⽽⾔，与现在“⽅程”的含义并不相同、《九章算术》中多元⼀次⽅程组的解法，是将它们的系数和常数项⽤算筹摆成“⽅阵”(所以称之谓“⽅程”)、消元的过程相当于现代⼤学课程⾼等代数中的线性变换、⽅程章第⼀题：“今有上⽲(指上等稻⼦)三秉(指捆)中⽲⼆秉，下⽲⼀秉，实(指⾕⼦)三⼗九⽃；上⽲⼆秉，中⽲三秉，下⽲⼀秉，实三⼗四⽃；上⽲⼀秉，中⽲⼆秉，下⽲三秉，实⼆⼗六⽃、问上、中、下⽲实⼀秉各⼏何”，这⼀题假设按现代的记法、设x 、y 、z 依次为上、中、下⽲各⼀秉的⾕⼦数，那么上述问题是求解三元⼀次⽅程组：《九章算术》⽤算筹演算：“⽅程术⽈，置上⽲三秉，中⽲⼆秉，下⽲⼀秉，实三⼗九⽃，于右⽅、中、左⾏列如右⽅(图1－28)以右⾏上⽲徧乘(即遍乘)中⾏⽽以直除(这⾥“除”是减，“直除”即连续相减、)……(引⽂下略)”、现将遍乘直除法解⽅程组的过程，按算筹演算如图1－29所⽰：这题的答案：《九章算术》⽅程章第⼀题“答⽈：上⽲⼀秉，九⽃四分⽃之⼀〔419⽃〕；中⽲⼀秉，四⽃四分⽃之⼀〔414⽃〕；下⽲⼀秉，⼆⽃四分⽃之三〔432⽃〕、《九章算术》⽅程章中共计18个题，其中⼆元的8题，三元的6题，四元、五元的各2题都⽤上述的演算法解决，直除法是我国古代解⽅程组的最早的⽅法、多元⼀次⽅程组解法在印度最早出现于第七世纪(约628年)在欧洲最早提出三元⼀次⽅程组和解法的是16世纪中(1559年)的法国数学家布丢(Buteo)、⾄于线性⽅程组的⼀般理论直到18世纪(1779年)才由法国数学家别朱(E、Be－zout)建⽴、可见《九章算术》中的⽅程术，不但是中国古代数学中的伟⼤成就，在世界数学史上，也是⼀份值得我们⾃豪的宝贵遗产、4、正负数由于《九章算术》在⽤直除法解⼀次⽅程组过程中，不可避免地要出现正负数的问题，于是在⽅程章第三题中明确提出了正负术、刘徽在该术的注⽂⾥实质上给出了正、负数的定义：“两算得失相反，要令‘正’、‘负’以名之”、并在计算⼯具即算筹上加以区别“正算⾚，负算⿊，否那么以邪正为异”、这就是规定正数⽤红⾊算筹，负数⽤⿊⾊算筹、如果只有同⾊算筹的话，那么遇到正数将筹正放，负数时邪(同斜)放、宋代以后出现笔算也相应地⽤红、⿊⾊数码字以区别正、负数，或在个位数上记斜划以表⽰负数，如(即—1824)，后来这种包括负数写法在内的中国数码字还传到⽇本、关于正、负数的加减运算法那么，“正负术⽈：同名相除，异名相益，正⽆⼊负之，负⽆⼊正之、其异名相除，同名相益，正⽆⼊正之，负⽆⼈负之”、这⾥所说的“同名”、“异名”分别相当于现在所说的同号、异号、“相益”、“相除”是指⼆数相加、相减、术⽂前四句是减法运算法那么：(1)如果被减数绝对值⼤于减数绝对值，即a＞b≥0，那么同名相除：(±a)－(±b)＝±(a－b)，异名相益：(±a)－(b)＝±(a＋b)、(2)如果被减数绝对值⼩于减数绝对值，即b＞a≥0、①如果两数皆正那么a－b＝a－[a＋(b－a)]＝－(b－a)、中间⼀式的a和a对消，⽽(b－a)⽆可对消，那么改“正”为“负”，即“正⽆⼊负之”、“⽆⼊”就是⽆对，也就是⽆可对消(或不够减或对⽅为零)、②如果两数皆负那么(－a)－(－b)＝－a－[(－a)－(b－a)］＝＋(b－a)、在中间的式⼦⾥(－a)和(－a)对消，⽽－(b－a)⽆可对消，那么改“负”为“正”所以说“负⽆⼊正之”、③如果两数⼀正⼀负、那么仍同(1)的异名相益、术⽂的后四句是指正负数加法运算法那么、(1)同号两数相加，即同名相益，其和的绝对值等于两数绝对值和、如果a＞0，b＞0，那么a＋b＝a＋b，(－a)＋(－b)＝－(a＋b)(2)异号两数相加，实为相减，即异名相除、如果正数的绝对值较⼤，其和为正，即“正⽆⼊正之”、如果负数的绝对值较⼤，其和为负，即“负⽆⼊负之”、⽤符号表⽰为①如果a＞b≥0，那么a＋(－b)＝［b＋(a－b)]＋(－b)＝a－b，或(－a)＋b＝［(－b)－(a－b)]＋b＝－(a－b)、②如果b＞a≥0，那么a＋(－b)＝a＋[(－a)－(b－a)]＝－(b－a)，或(－a)＋b＝(－a)＋［a＋(b－a)]＝b－A、关于正负数的乘除法那么，在《九章算术》时代或许会遇到有关正负数的乘除运算、可惜书中并未论及，直到元代朱世杰于《算学启蒙》(1299年)中才有明确的记载：“同名相乘为正，异名相乘为负”，“同名相除所得为正，异名相除所得为负”，因此⾄迟于13世纪末我国对有理数四那么运算法那么已经全⾯作了总结、⾄于正负数概念的引⼊，正负数加减运算法那么的形成的历史记录，我国更是遥遥领先、国外⾸先承认负数的是七世纪印度数学家婆罗门岌多(约598-？)欧洲到16世纪才承认负数、【三】《九章算术》中的⼏何部分《九章算术》总结了⽣产、⽣活实践中⼤量的⼏何知识，在⽅⽥、商功和勾股章中提出了很多⾯积、体积的计算公式和勾股定理的应⽤，现分别介绍如下1、⾯积计算《九章算术》⽅⽥章主要论述平⾯图形直线形和圆的⾯积计算⽅法、《九章算术》⽅⽥章第⼀题“今有⽥⼴⼗五步，从(⾳纵zong)⼗六步、问为⽥⼏何、”“答⽈：⼀亩”、这⾥“⼴”就是宽，“从”即纵，指其长度，“⽅⽥术⽈：⼴从步数相乘得积步，(得积步就是得到乘积的平⽅步数)以亩法⼆百四⼗步(实质应为积步)除之，即亩数、百亩为⼀顷、”当时称长⽅形为⽅⽥或直⽥、称三⾓形为圭⽥，⾯积公式为“术⽈：半⼴以乘正从”、这⾥⼴是指三⾓形的底边，正从是指底边上的⾼，刘徽在注⽂中对这⼀计算公式实质上作了证明：“半⼴者，以盈补虚，为直⽥也、”“亦可以半正从以乘⼴”(图1－30)、盈是多余，虚乃不⾜、“以盈补虚”就是以多余部分填补不⾜的部分，这就是我国古代数学推导平⾯图形⾯积公式所⽤的传统的“出⼊相补”的⽅法，由上图“以盈补虚”变圭⽥为与之等积的直⽥，于是得到了圭⽥的⾯积计算公式、⽅⽥章第⼆⼗七、⼆⼗⼋题把直⾓梯形称为“邪⽥”(即斜⽥)它的⾯积公式是：“术⽈：并两邪(即两斜，应理解为梯形两底)⽽半之，以乘正从……，⼜可半正从……以乘并、”刘徽在注中说明他的证法仍是“出⼊相补”法、在⽅⽥章第⼆⼗九、三⼗题把⼀般梯形称为“箕⽥”，上、下底分别称为“⾆”、“踵”，⾯积公式是：“术⽈：并踵⾆⽽半之，以乘正从”、⾄于圆⾯积，在《九章算术》⽅⽥章第三⼗【⼀】三⼗⼆题中，它的⾯积计算公式为：“半周半径相乘得积步”、这⾥“周”是圆周长，“径”是指直径、这个圆⾯积计算公式是正确的、只是当时取径⼀周三(即π≈3)、于是由此计算所得的圆⾯积就不够精密、除了上述⾯积计算公式以外，《九章算术》中还有近似计算公式，⽅⽥章第三⼗六题中有弧⽥(指现在的⼸形)⾯积计算公式：“术⽈：以弦乘⽮，⽮⼜⾃乘，并之，⼆⽽⼀”(图1－31)、⽤现代的记号表⽰为)(212h bh S +=⼸、这是⼀个经验公式，所得近似值不很精密、综上所述，可以认为《九章算术》时代关于常见的平⾯图形(直线形与圆)⾯积计算已经⼤都可以转化为运⽤上述公式来进⾏计算了、2、体积计算《九章算术》商功章收集的都是⼀些有关体积计算的问题、但是商功章并没有论述长⽅体或正⽅体的体积算法、看来《九章算术》是在长⽅体或正⽅体体积计算公式：V ＝abh 的基础上来计算其他⽴体图形体积的、《九章算术》商功章提到城、垣、堤、沟、堑、渠，因其功⽤不同因⽽名称各异，其实质都是正截⾯为等腰梯形的直棱柱，他们的体积计算⽅法：“术⽈：并上、下⼴⽽半之，以⾼假设深乘之，⼜以袤乘之，即积尺”、这⾥上、下⼴指横截⾯的上、下底(a ，b )⾼或深(h )，袤是指城垣……的长(l )、因此城、垣…的体积计算术公式hl b a V )(21+=、刘徽在注释中把对于平⾯图形的出⼊相补原理推⼴应⽤到空间图形，成为“损⼴补狭”以证明⼏何体体积公式、刘徽还⽤棋验法来推导⽐较复杂的⼏何体体积计算公式、所谓棋验法，“棋”是指某些⼏何体模型即⽤⼏何体模型验证的⽅法，例如长⽅体本⾝就是“棋”[图1－32(1)]斜解⼀个长⽅体，得两个两底⾯为直⾓三⾓形的直三棱柱，我国古代称为“堑堵”[图1－32(2)]，所以堑堵的体积是长⽅体体积的⼆分之⼀、abh V 21=堑堵再解开右后边的堑堵[图1－32(3)]、得⼀个底⾯为长⽅形⽽有⼀棱和底⾯垂直的四棱锥(古代称之为“阳马”)和⼀个底⾯为直⾓三⾓形⽽有⼀棱和底⾯垂直的三棱锥(古代称之为“鳖臑”(臑⾳闹)[图1－32(4)]这个阳马⼜可以对分为两个“鳖臑”[图1－32(5)]，如果原长⽅体为正⽅体的话，那么极容易看出：由⼀个堑堵分解出来的三个鳖臑是等积的、刘徽可以证明在长⽅体的情况下，由⼀个堑堵分解出来的三个鳖臑仍然是等积的、于是阳马体积应是长⽅体体积的三分之⼀、abh V 31=阳马，abh V 61=鳖臑这样我们可以把正四棱锥(古代称为“⽅锥”)分解为四个阳马，因此⽅锥体积为h a V 231=⽅锥、正四棱台(古代称为“⽅亭”)可分解为⼀个正四棱柱，四个堑堵和四个阳马，因此h ab b a V )(3122++=⽅亭、《九章算术》商功章还有圆锥、圆台(古代称“圆亭”)的体积计算公式、甚⾄对三个侧⾯是等腰梯形，其他两⾯为勾股形的五⾯体(古代称“羡除”)[图1－33(1)]，上、下底为矩形的拟柱体(古代称“刍童”)以及上底为⼀线段，下底为⼀矩形的拟柱体(古代称“刍甍”)(甍⾳梦)［图1－33(2)]等都可以计算其体积、3、勾股定理及其应⽤《九章算术》以前虽然已经有了勾股定理，但主要是在天⽂⽅⾯的应⽤、在《九章算术》中已经⽤得很⼴，⽽且在勾股章⼀开始就先讲了勾股定理及其变形，前三个题的“勾股术⽈：勾股各⾃乘，并⽽开⽅除之，即弦、⼜股⾃乘，以减弦⾃乘，其余开⽅除之，即勾、⼜勾⾃乘，以减弦⾃乘，其余开⽅除之，即股”、如果以a 、b 、c 各表⽰直⾓三⾓形的勾、股、弦、那么上述三句话即相当于： 22b a c +=，22b c a -=，22a c b -=、因此，勾股术可以理解为直⾓三⾓形两边推求第三边的⽅法、刘徽在注⽂中，曾对勾股定理⽤出⼊相补原理来论证这⼀定理，可惜所绘的弦图早已散失，没有能够和注⽂⼀起留传下来、《九章算术》勾股章除了勾股定理及其变形的三个题以及涉及勾股容⽅、容圆各⼀题以外，其余⼗九个题全是应⽤问题、例如勾股章第六题“今有池⽅⼀，葭(⾳jia ，⼀种芦苇类植物)⽣其中央，出⽔⼀尺、引葭赴岸，适与岸齐、问⽔深，葭长各⼏何、”“答⽈：⽔深⼀丈⼆尺；葭长⼀丈三尺、”术⽈：半池⽅⾃乘，以出⽔⼀尺⾃乘，减之，余，倍出⽔除之，即得⽔深、加出⽔数，得葭长”、如图1－34所⽰，设池⽅为2a ，⽔深为b ，葭长为c ，那么按术得：⽔深12215)(2)(222=-=---=b c b c a b ，葭长13)()(2)(22=-+---=b c b c b c a c 、现代解法：设⽔深为x 尺，那么葭长为x ＋1，按题意由勾股定理，得52＋x 2＝(x ＋1)2、整理，得2x ＝52－12，∴x ＝12、两种解法相⽐较，可见实质解法步骤完全⼀致、印度古代有著名的“莲花问题”，其中除了只有数据与《九章算术》的“葭⽣中央问题”不同以外，其余完全相同、但要⽐中国《九章算术》晚了⼀千多年、我国古代数学巨著《九章算术》流传⾄今已达两千余年之久，不仅指导着我国数学的发展，⽽且早已流传到世界各地，翻译成⽇、英、俄、德等多种⽂字，对世界数学的发展也有不可估量的巨⼤贡献和影响、把《九章算术》与西⽅最早的⼀本数学名著欧⼏⾥得的《⼏何原本》相对照，就可以发现从形式到内容都各有特⾊和所长，形成东、西⽅数学的不同风格、《⼏何原本》以形式逻辑⽅法把全部内容贯穿起来，⽽《九章算术》那么按问题的性质和解法把全部内容分类编排、《⼏何原本》中极少提及应⽤问题，⽽《九章算术》那么是解应⽤问题为主，《⼏何原本》以⼏何为主，略有⼀点算术内容，⽽《九章算术》那么包含了算术、代数、⼏何等我国当时数学的全部内容、其中尤其是代数⽆可争辩地是中国所创、在16世纪以前基本上是中国⼀⼿包办了的、因此，完全可以说《九章算术》与《⼏何原本》是世界数学史上东西辉映的两本不朽的传世名著、也是现代数学的两⼤主要源泉、。
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3.1.2《周髀算经》
“昔者周公问于商高曰：……古者包牺立周天 历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度， 请问数安从出？商高曰：数之法，出于圆方， 方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为勾 广三，股修四，径隅五。……故禹之所以治天 下者，此数之所生也。”这是勾股定理的特例。
3.1.2《周髀算经》
3.1.2《周髀算经》
《周髀算经》，该书原名《周 髀》，大约成书于公元前2世 纪的西汉时期，其许多内容甚 至可以追溯到西周。 唐代李淳风在为国子监明算科 选定教科书时将其列入《算经 十书》，并改名为《周髀算 经》。
3.1.2《周髀算经》
严格地讲，《周髀算经》并不是一本数学专著， 而是一部介绍“盖天说”宇宙模型的天文学著 作，但它包含了相当深刻的数学内容，其主要 成就包括分数运算、勾股定理及其在天文测量 中的应用。 天圆地方
3.1.3《九章算术》
《九章算术》给出的表示方法相当于下列矩阵 1 2 3 上禾 2 3 2 中禾 3 1 1 下禾 26 34 39 实
3.1.3《九章算术》
其解法相当于下列图示方法：
3.1.3《九章算术》
“方程”章的另一个重点就是对负数的概念、 运算进行了研究。在解方程的过程中，由于无 法回避被减数小于减数的情况出现，在《九章 算术》提出了“以正负术入之”，即引入负数 及其运算法则：“正负术曰：同名相除，异名 相益，正无入正之；其异名相除，同名相益， 正无入正之，负无入负之。”
宋刻《周髀算经》
3.1.3《九章算术》
标志着中国传统数学理论体系形成的是《九章 算术》的成书。 该书的作者和成书年代难以确切地考证，多数 学者认为，它成书于西汉末东汉初，即公元1 世纪初。 中国的数学，经过长期的积累，到西汉时已有 很丰富的内容，但这些内容之间缺乏内在的联 系，以前人们曾寻求以确定的方式建立某种联 系，例如墨家学派曾尝试过用逻辑方法研究数 学概念，但没有成功。
3.1.3《九章算术》
如将《九章算术》的主要内容，按算术、代数 和几何三部分来概括，则有： 1.算术方面：分数四则运算法则，比例算法，盈 不足术（契丹算法）； 2.代数方面：方程术，正负术，开方术 3.几何方面：面积计算，体积计算，勾股定理及 其应用。
3.1.3《九章算术》的算术方面
“盈不足”主要论述盈亏问题的解法。盈不足的 典型问题是这样的：若干人共买一物，若每人 出a1钱，则多出b1钱；若每人出a2（a2＜a1） 钱，则又不足b2钱，求人数与物价。 《九章算术》给出的方法相当于公式： 人数= 物价= 这一方法除了对于线性问题给出精确的解外， 也为非线性问题提供了一个有效的近似解法。
全书共有246个应用题，基本上都是与生产实 践、日常生活有联系的实际应用问题。 这些问题分别隶属于方田、粟米、衰分、少广、 商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。 对于每类问题，《九章算术》中都给出了统一 的解法，它们相当于一些初等数学定理和公式， 但没有证明。
3.1.3《九章算术》的主要内容
3.1.3《九章算术》 的几何方面
刍童体积公式
3.1.3《九章算术》
刍童体积公式
3.1.3《九章算术》
《九章算术》注重实际问题和长于计算的特点， 对中国传统数学的发展有着极其深刻的影响， 可以说，与西方数学的演绎推理相映生辉的具 有中国特色的算法体系的形成即始于《九章算 术》。 《九章算术》成书以后，便成为中国传统数学 的经典，特别是唐代以来，经官方认定该书成 为“算经十书”中最重要的一部，成为后来的 数学家们学习、研究和著述的依据。
练习：今有醇酒一斗（一斗 有十升），直錢五十；行酒 一斗，直錢一十。今將錢三 十，得酒二斗。問醇、行酒 各得幾何。
《九章算術》的解法：設醇酒佔５升，則行酒有15升，值
錢25＋15＝40， 盈10。 設醇酒佔２升，行酒有18升，值錢10＋18＝28， 不足2。 據公式３ 醇酒：（5×2＋2×10）÷（10＋2）＝2.5升 行酒：（15×2＋18×10）÷（10＋2）＝17.5 升 這個題目用現代的代數解法亦屬易事。設醇酒有a升，行 酒有b升，便可建立出下面兩個聯立的二元一次方程 a＋b ＝ 20 ; 5a＋b ＝ 30 由此可立刻看出 a ＝ (10/4)升 ＝ 2.5升。於是 b ＝ (20 － 2.5)升 ＝ 17.5升。
也许正是这种原因， 决定了《九章算术》 所特有的处理方式， 并形成了中国传统 的数学体系。
宋刻《九章算术》书影
3.1.3《九章算术》
《九章算术》全书采用问题集的形式。 书中每道题皆有问有答有术，其中“术”通常 是解题的思想方法、公式和法则，有的一题一 术，有的多题一术，有的一题多术。
3.1.3《九章算术》
3.1.3《九章算术》
在解方程组时，将方程组的系数（包括
常数）分离出来排成一个数表，相当于 现在线性代数中的增广矩阵，然后通过 类似于矩阵初等变换的方法消元，这一 思想方法在数学发展史上是非常重要的， 在西方被称为“高斯消元法”。
3.1.3《九章算术》的代数方面
上等禾谷三捆，中等禾谷二捆，下等禾谷一捆， 共出粮三十九斗；上等禾谷二捆，中等禾谷三捆， 下等禾谷一捆，共出粮三十四斗；上等禾谷一捆， 中等禾谷二捆，下等禾谷三捆，共出粮二十六斗。 问上中下等禾谷每捆出粮各多少？ 设上、中、下等禾谷每捆出粮分别为x,y,z斗，则 有
接着，在陈子与荣方的“师 生对话”中，借陈子之口又 给出了一般的勾股定理： “求邪至日者，以日下为勾， 日高为股。勾股各自乘，并 而开方除之，得邪至日。” 这是从天文测量中总结出来 的普遍定理 讨论测量“日高”的方法
现实生活中，我们有一件常用的物品， 也蕴涵了“天圆地方”的思想。想想 看，这是什么物品？
Байду номын сангаас
十进位值制记数法(筹算记数)
“凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵。 千十相望，百万相当。”(《孙子算经》) 用筹算表示数有纵横两种摆法：
十进位值制记数法是中国古代数学对人类的特 殊贡献
精湛的几何思想
春秋战国时代的人们还对数的起源问题提出了 一些看法，事实上数与物质的关系是涉及到数 学的一个重要哲学问题。 《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左 规矩，右准绳”. 战国时代的著作《考工记》中看到与手工业制 作有关的实用几何知识。
3.1.2《周髀算经》
中国关于勾股定理的证明最早是由三国时期的 数学家赵爽给出的。 赵爽是中国历史上首次对《周髀》进行认真研 究和注释的学者。 他的工作主要包括三个方面的内容：一为文字 解释；二为较详细地数学理论推演，三是补图。
3.1.2《周髀算经》
其中最为精彩的是“勾股圆方图注”。在这篇 500多字的注文中，赵爽首先给出勾股定理的 一般证明：“按弦图又可以勾、股相乘为朱实 二，倍之为朱实四。以勾股之差自相乘，为中 黄实。加差实一，亦成弦实。”
中世纪的中国数学
3.1《周髀算经》和 《九章算术》
3.1.1古代背景
１、背景：我国在公元前两千多年前（大禹时 期）进入奴隶社会，于公元前400多年左右 （战国时期）进入封建社会，以后有几段太平 盛世，形成超稳定社会结构。生产力发展较快， 数学研究也处于较高水平。在萌芽期，水平与 古埃及、巴比伦相当，春秋战国至魏晋南北朝 时期数学可与古希腊媲美，中世纪宋元时期则 发展为一枝独秀。