高考数学模拟试卷10月 江苏 文科数学(三)学生版

高三文科数学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上．1．若集合{}{}1,0,1,2,0,2,3P Q =-=，则P Q =__________．2．若()()i 12i 5a b +-=（,,i a b ∈R 为虚数单位），则a b +的值为__________． 3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽取的学生人数为__________．4．如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是__________．5．记函数()f x =D ．若在区间[－5，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率为__________．6．已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=．若12l l ⊥，则实数a 的值是 ． 7．已知向量()()1,3,3,1AP PB ==-，则AP 和AB 的夹角等于__________． 8．已知函数32()2f x x x mx =-++，若对任意12,x x ∈R ，均满足[]1212()()0x x f x f x -->（），则实数m 的取值范围是 ． 9．将函数()sin 2f x x =的图象沿x 轴向右平移(0)ϕϕ>个单位长度后得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则当ϕ取最小值时，()0g =__________． 10．如图，在梯形ABCD 中，,4,3,2,2A B C D A B A D C D A M M D====∥．若3AC BM⋅=-，则AD AB ⋅=__________．11．已知动圆C 与直线20x y ++=相切于点()0,2A -，圆C 被x 轴所截得的弦长为2，则满足条件的所有圆C 的半径之积是__________． 12．已知,x y ∈R ，且222,x y x y +=≠，则()()2211x y x y ++-的最小值是__________．13．若函数()22e 3x f x a x =-+(a 为常数，e 是自然对数的底）恰有两个极值点，则实数a 的取值范围是__________．14．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若ABC △为锐角三角形，且满足22b a ac -=，则11sin tan tan B A B-+的取值范围是__________． 二、解答题：本题包括6小题，共计90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）如图，在ABC △中，21,3AB AC BAC π==∠=． （1）求AB BC ⋅的值；（2）设点P 在以A 为圆心，AB 为半径的圆弧BC 上运动，且AP xAB yAC=+，其中,x y ∈R ．求xy 的取值范围．16．（本小题满分14分）已知函数()()22f x x x =+-．（1）若不等式()f x a ≤在[]3,1-上恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解不等式()3f x x >．17．（本小题满分14分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4cos 5B =． （1）若2c a =，求sin sin BC的值； （2）若4C B π-=，求sin A 的值．18．（本小题满分16分）如图所示，某工厂要设计一个三角形原料，其中AB =． （1）若2BC =，求ABC △的面积的最大值；（2）若ABC △的面积为1，问BAC θ∠=为何值时BC 取得最小值．19．（本小题满分16分）已知圆22:4O x y +=与坐标轴交于1212A A B B 、、、（如图）．（1）点Q 是圆O 上除12A A 、外的任意点（如图1），12AQ Q A 、与直线30y +=交于不同的两点,M N ，求MN 的最小值；（2）点P 是圆O 上除1212A A B B 、、、外的任意点（如图2），直线2B P 交x 轴于点F ，直线12A B 交2A P 于点E ．设2A P 的斜率为,k EF 的斜率为m ，求证：2m k -为定值．20．（本小题满分16分）已知函数()e 2x f x ax =--，其中a 为常数． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）若e 2y x =-是()e 2x f x ax =--的一条切线，求a 的值；（3）已知1,a k =为整数，若对任意()0,x ∈+∞，都有()()10x k f x x +'->恒成立，求k 的最大值．高三文科数学（三）答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 1．【答案】{}0,2【解析】根据集合交集的定义，两个集合的公共元素为0，2，所以{}02P Q =，，故填P Q ={}02，．2．【答案】3【解析】因为()()()i 12i 22i 5a b a b b a +-=++-=，根据复数相等则25a b +=，20b a -=，解得1,2a b ==，所以3a b +=，故填3． 3．【答案】16【解析】因为高校甲乙丙丁四个专业分别有150，150，400，300名学生，所以本校共有学生1000名，因为用分层抽样的方法从该校四个专业共抽取40名学生进行调查，所以每个个体被抽到的概率是401100025=，因为丙专业有400人，所以要抽取14001625⨯=人． 4．【答案】9【解析】当1,9x y ==时，不满足x y >，故5,7x y ==， 当5,7x y ==时，不满足x y >，故x ＝9，y ＝5， 当9,5x y ==时，满足x y >，故输出的x 值为9．5．【答案】12【解析】由2430x x --≥，得41x -≤≤，因为[]4,1D =-，所以由几何概型概率公式，在区间上随机取一个数x ，则x D ∈的概率()()411552P --==--，故答案为12．6．【答案】0或－3【解析】由题意得：(2)00 3.a a a a a ++=⇒==-或 7．【答案】4π【解析】因为(()(1AB AP PB =+=+=cos 2AP AB AP ABθ⋅===⨯，()0,θ∈π，所以4θπ=． 8．【答案】1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】由[]1212()()0x x f x f x -->（）可知()f x 在R 上为增函数，所以()0f x '≥在R 上恒成立，而2()32f x x x m '=-+，所以4120m ∆=-≤，所以13m ≥．9．【答案】1-【解析】由题意，()()sin 22g x x ϕ=-，因为函数关于y 轴对称知，2,2k k ϕπ=π+∈Z ，所以,24k k ϕππ=+∈Z ，最小值4ϕπ=，此时()0sin 12g π=-=-，故填1-． 10．【答案】32【解析】设DAB θ∠=，()()()23AC BM AD CD AM AB AD CD AD AB ⎛⎫⋅=--=-- ⎪⎝⎭222||33AD AD AB CD AD CD AB =-⋅-⋅+⋅ 22934cos 23cos 2428cos 333θθθ=⨯-⨯+⨯⨯-⨯=--=-， 所以1cos 8θ=，故AD AB ⋅=13cos 3482AD AB θ⋅=⨯⨯=，故填32．11．【答案】10【解析】∵动圆C 与直线20x y ++=相切于点()0,2A -，故直线AC 与直线20x y ++=垂直，故C 落在直线20x y --=上，设C 点坐标为(),2a a -，则圆的半径r =，则圆的方程为：()()22222x a y a a -+-+=．令0y =，则()()22222x a a a -+-+=，即22440x ax a --+=，∵C 被x 轴所截得的弦长为22=，解得：5a =-或1a =，故所有圆C 的半径之积为510=，故答案应填10． 12．【答案】1【解析】令,u x y v x y =+=-，则,22u v u vx y +-==， ∵222x y +=，∴()()228u v u v ++-=，∴224u v +=，由柯西不等式得：()2222114u v uv ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当u v ==x =0y =或0x =，y =()()2211x y x y ++-的最小值是1，故填1．13．【答案】10,e ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为()2e 2x f x a x '=-，函数有两个极值点，即()2e 20x f x a x '=-=恰有两零点，显然0a ≤时，不符合题意，当0a >时，令()2e 20xf x a x '=-=得ex xa =利用导数可知()e x x g x =在（－∞，1）单调递增，（1，＋∞）单调递减，故()g x 有最大值()11eg =，所以只要10,e a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭即可，故填10,e ⎛⎫⎪⎝⎭．14．【答案】⎛ ⎝⎭【解析】由正弦定理得：22sin sin sin sin B A A C -=，由降幂公式得cos 2cos 2sin sin 2A BA C -=，再结合和差化积得：()sin sinB A A -=， 在三角形中得2B A =，所以π3C A =-，由三角形为锐角三角形得：,6432A B ππππ<<<<，而111sin sin tan tan sin B B A B B-+=+， ∵32B ππ<<，∴sin B ⎫∈⎪⎪⎝⎭，令sin t B ⎫=∈⎪⎪⎝⎭， 函数1y t t =+在(]0,1递减，所以26y <<，故填⎛ ⎝⎭． 二、解答题：本题包括6小题，共计90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分） 【答案】（1）32-；（2）[]0,1． 【解析】（1）()AB BC AB AC AB ⋅=⋅-213||122AB AC AB =⋅-=--=-．（2）建立如图所示的平面直角坐标，则()11,0,2B C ⎛- ⎝⎭，设()2cos ,sin ,0,3P θθθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由AP xAB yAC =+，得()()1cos ,sin 1,02x y θθ⎛=+- ⎝⎭．所以cos ,sin 2y x y θθ=-=．所以cos ,x y θθθ==．221121cos sin cos 2sin 2333363xy θθθθθθπ⎛⎫=+=+=-+ ⎪⎝⎭-． 因为270,,2,3666θθππππ⎡⎤⎡⎤∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以，当262θππ-=时，即3θπ=时，xy 的最大值为1； 当266θππ-=-或7266θππ-=即0θ=或23θπ=时，xy 的最小值为0．所以xy 的取值范围为[]0,1． 16．（本小题满分14分）【答案】（1）[)4,+∞；（2）{|4}x x >或41}x -<<．【解析】（1）当[]3,1x ∈-时，()()()()222224f x x x x x x =+-=+-=-+．231,09x x -∴≤≤≤≤．于是2544x --+≤≤，即函数()f x 在[]3,1-上的最大值等于4．∴要使不等式()f x a ≤在[]3,1-上恒成立，实数a 的取值范围是[)4,+∞． （2）不等式()3f x x >，即()2230x x x +-->．当2x ≥时，原不等式等价于2430x x -->，解得4x >或1x <-．又2,4x x ∴>≥．当2x <时，原不等式等价于2430x x -->，即2340x x +-<，解得41x -<<，满足2x <．综上可知，原不等式的解集为{|4x x >或41}x -<<． 17．（本小题满分14分）【答案】（1；（2）50． 【解析】（1）解法1：在ABC △中，因为4cos 5B =，所以222425a cb ac +-=． 因为2c a =，所以22242522c c b c c ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⨯，即22920b c =，所以b c =． 又由正弦定理得sin sin B bC c =，所以sin sin B C =． 解法2：因为()4cos ,0,5B B =∈π，所以3sin 5B ==．因为2c a =，由正弦定理得sin 2sin C A =，所以()68sin 2sin cos sin 55C B C C C =+=+，即sin 2cos C C -=．又因为22sin cos 1,sin 0C C C +=>，解得sin C =，所以sin sin B C =． （2）因为4cos 5B =，所以27cos 22cos 125B B =-=． 又0B <<π，所以3sin 5B =，所以3424sin 22sin cos 25525B B B ==⨯⨯=．因为4C B π-=，即4C B π=+，所以()324A B C B π=π-+=-， 所以333sin sin 2sin cos 2cos sin 2444A B B B πππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭7242525⎛=-⨯= ⎝⎭ 18．（本小题满分16分） 【答案】（1（2）6θπ=时，()f θ有最小值，即BC 最小． 【解析】（1）以BC 所在直线为x 轴，BC 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则()()1,0,1,0B C -，设(),A x y，由AB =得()()2222131x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，化简得()2223x y -+=．所以A 点的轨迹为以()2,0（除去与x轴的交点），所以max 11222S BC d =⋅=⨯=． （2）设,,AB c BC a AC b ===，由AB =得c =．22211sinsin ,sin 2233sin S bc A A b b θθ==∴=∴=，222224cos 2cos 4cossin a b c bc A b A θθ=+-=-=-， 令()()4cos ,0,sin f θθθθ=∈π，()24sin f θθ=+='， 令()0f θ'=得cos 6θθπ==，列表：略． ()f θ∴在0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,6π⎛⎫π ⎪⎝⎭上单调递增，当6θπ=时，()f θ有最小值，即BC 最小． 19．（本小题满分16分）【答案】（1）2；（2）证明见解析．【解析】（1）由题设可以得到直线2A Q 的方程为()2y k x =-，直线1AQ 的方程为()12,0y x k k=-+≠， 由()2 30y k x y =-+=⎧⎨⎩，解得32 3x k y =-=-⎧⎪⎨⎪⎩；由()12 30y x k y =-++=⎧⎪⎨⎪⎩，解得32 3x k y =-=-⎧⎨⎩． 所以，直线2A Q 与直线30y +=的交点32,3M k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，直线1AQ 与直线30y +=的交点()32,3N k --，所以3|34|MN k k=+-． 当0k >时，3|34|642MN k k =+--=≥，等号成立的条件是1k =． 当0k <时，()3|34||46|10MN k k=+---=≥，等号成立的条件是1k =-．故线段MN 长的最小值是2．（2）由题意可知()()()()12122,0,2,0,0,2,0,2A A B B --，2A P 的斜率为,k∴直线2A P 的方程为()2y k x =-，由()222 4y k x x y =-+=⎧⎨⎩，得222224,11k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，则直线2B P 的方程为121k y x k +=-+-，令0y =，则()211k x k -=+，即()21,01k F k ⎛⎫-⎪+⎝⎭， 直线12A B 的方程为20x y -+=，由()20 2x y y k x -+==-⎧⎨⎩，解得222241, ,4111k x k k k E k k k y k +⎧=⎪+⎪⎛⎫-∴⎨ ⎪--⎝⎭⎪=⎪-⎩， EF ∴的斜率()4111,22121222211kk k k m m k k k k k k ++-==∴-=⋅-=-+--+（定值）． 20．（本小题满分16分）【答案】（1）若0a ≤时，在(),-∞+∞上单调递增；若0a >时，()f x 在(),ln a -∞上递减，在()ln ,a +∞上递增；（2）0a =；（3）2．【解析】（1）函数()f x 的定义域为()(),,e x f x a -∞+∞=-'． 若0a ≤时，则()0f x '>，所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增；若0a >时，则当(),ln x a ∈-∞时，()0f x '<，当()ln ,x a ∈+∞时，()0f x '>， 所以()f x 在(),ln a -∞上递减，在()ln ,a +∞上递增．（2）设切点为()00,x y 则：000000e e e 2 e 2x x a y x y ax ⎧-=⎪=-⎨⎪=--⎩，解得0010 ,0e 2x a a y =⎧⎪=∴=⎨⎪=-⎩．（3）当1a =时，对任意()0,x ∈+∞，都有()()10x k f x x -++>'恒成立等价于1e 1x x k x +<+-对0x >恒成立． 令()1(0)e 1x x g x x x +=+>-，则()()()2e e 2e 1x x x x g x ---'=， 由（1）知，当1a =时，()e 2x f x x =--在()0,+∞上递增．因为()()0020f f <>，，所以()e 2x f x x =--在()0,+∞上存在唯一零点， 所以()g x '在()0,+∞上也存在唯一零点，设此零点为0x ，则()01,2x ∈． 因为当()00,x x ∈时，()0g x '<，当()0,x x ∈+∞时，()0g x '>，所以()g x 在()0,+∞上的最小值为()00001e 1x x g x x +=+-，所以0001e 1x x k x +<+-， 又因为()000e 20x g x x =--='，所以00e 2x x =+，所以01k x <+． 又因为k 为整数且0213x <+<，所以k 的最大值是2．。