2018高考文科数学一轮复习 两角和差的正弦、余弦和正切.ppt
2018年高考数学总复习配套课件：两角和与差的正弦、余弦与正切公式
3 2
C.-
1 2
D.
1 2
关闭
sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 1 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=2, 故选 D.
D
解析
.(2017 山东高考)已知 cos x=4,则 cos 2x=( A.-4
4+3 3 10
π π 2 2
3 5
4 5
π 3
=cos αcos -sin αsin = × − -
π 3
π 3
4 5
1 2
3 5
×
3 2
=
4+3 3 . 10
关闭
解析
答案
-9知识梳理 双击自测
4.已知 sin α-3cos α=0,则co s 2 ������ -si n 2 ������ =
两角和与差的正弦、余弦与正 切公式
-2-
年份
2017
2016 16(1),7 分 (理)
三角恒 18(2),8 等变换 分 11,6 分(文) 16(1),7 分 18(1),4 分 6,5 分 16(2),7 分 (文) (文) (文) (文) 1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握 考查要 正弦、余弦、正切二倍角的公式. 求 2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 以两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式为基础, 求三角函数的周期、最值、单调性等是考查的重点,选 考向分 择题、填空题、解答题均有可能,难度不大,目前新高考 析 背景下以三角函数和三角恒等变换综合以解答题形式 考查是热点之一.
π
【例 1】 (1)(2017 浙江镇海测试卷)已知 tan ������ + 4 = 2,且=
2018高三数学(理)高考总复习课件：第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2cos2θ－1 cos 2θ π ＝ π ＝ cos4 ＋θ sin4－θ
π 3 2cos4 －θ＝ ． 2
π sin2 －2θ π sin4 －θ
＝
π sin 24－θ π sin4 －θ
2
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α± cos α＝
π . 2sinα± 4
[题体验]
1． 已知
π 1 π ＋ α sin 2 ＝ ， － <α<0， 则 2 2 π cosα－3的值是(
考点二
三角函数公式的逆用与变形应用
[典例引领]
1．(2017· 河北名师俱乐部模拟)已知 2cos2θ－1 14 ＝－ ，则 ＝ 4 π cos4＋θ 2 A． 3 4 B． 3
π θ∈0，4 ，且
sin θ－cos θ ( )
3 C． 4
3 D． 2
π 14 7 解析： 由 sin θ － cos θ ＝－ 得 sin 4 －θ ＝ ，∵ θ ∈ 4 4 π 3 π π π 0， ，∴0< －θ< ，∴cos －θ＝ ． 4 4 4 4 4
＝
答案：D
sin 110° sin 20° 2．计算 2 的值为 2 cos 155° －sin 155° 1 A．－ 2
解析：
( 3 D．－ 2
)
1 B． 2
3 C． 2
π α∈2 ，π， sin
2 5 所以 cos α＝－ 1－sin α＝－ ． 5
2
5 4 2 5 sin 2α＝2sin αcos α＝2× ×－ ＝－ ， 5 5 5
高三数学一轮复习 第3章第5课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式精品课件
已知 α∈0，π2，tan α＝12，求 tan 2α 和 sin2α＋π3的值．
解析：
tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×21122＝43.
∵α∈0，π2，2α∈(0，π)，tan 2α＝43＞0，
∴2α∈0，2π，
∴sin 2α＝45，cos 2α＝35，
∴sin2α＋π3＝sin 2α·cos
＝2csoisn
1100°°－sin
cos 10°·1
10°
2sin 10°
＝2csoisn
1100°°－2cos
10°＝cos
10°－2sin 2si0° 2sin 10°
cos ＝
10°－212cos 10°－ 2sin 10°
3 2 sin
10°＝
解析： (1)方法一：∵cosβ－π4＝cosπ4cos β＋sinπ4sin β
＝
2 2 cos
β＋
2 2 sin
β＝13，
∴cos β＋sin β＝ 32，∴1＋sin 2β＝29，
∴sin 2β＝－79.
方法二：sin 2β＝cosπ2－2β ＝2cos2β－π4－1＝－79. (2)∵0＜α＜2π＜β＜π， ∴π4＜β－4π＜34π，2π＜α＋β＜32π， ∴sinβ－π4＞0，cos(α＋β)＜0.
• tan(α±β)＝ • 其变形为： • tan α＋tan β＝
tan α±tan β 1∓tan αtan β.
.
tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)
；
• tan α－tan β＝ tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)
；
• tan αtan β＝
1－tatnanα＋α＋taβnβ
2018版高考一轮数学文科：第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切ppt课件
课前双基巩固
常用结论 (1)两角和与差的正切公式的变形： tan α ±tan β ＝tan(α± β)(1∓tan α tan β )． (2)二倍角余弦公式的变形： 1－cos 2α 1＋cos 2α 2 2 sin α ＝ ，cos α ＝ . 2 2 (3)一般地，函数 f(α)＝asin α ＋bcos α (a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝ a2＋b2sin(α＋
[ 解 析 ]
A
cos
2
π α＋ 4
＝
π 1＋cos2α＋ 2
2 选 A.
1－sin 2α 1 ＝ ＝6，故 2
真题在线
3．[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 设当 x＝θ 时， 函数 f(x)＝sin x－2cos x 取得最大值，则 cos θ ＝________．
1∓tan α tan β
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin α cos α ． (1)公式 S2α ：sin 2α ＝____________ cos2α －sin2α ＝ (2) 公 式 C2 α ： cos 2 α ＝ ____________ 1－2sin2α 2cos2α －1 ＝____________. ____________ 2tan α (3)公式 T2α ：tan 2α ＝____________ ．
真题在线
2．[2015· 广东卷] 已知 tan α＝2. π (1)求 tanα ＋ 的值； 4 (2) 求 的值． sin 2α sin2α ＋sin α cos α －cos 2α －1
π tan α＋tan 4 tan α＋1 2＋1 π 解：(1)tanα＋ ＝ ＝ ＝ ＝－3. 4 π 1－tan α 1－2 1－tan αtan 4 sin 2α (2) 2 sin α＋sin αcos α－cos 2α－1 2sin αcos α ＝ 2 sin α＋sin αcos α－（2cos2α－1）－1 2sin αcos α 2tan α ＝ 2 ＝ ＝ sin α＋sin αcos α－2cos2α tan2α＋tan α－2 2³2 ＝1. 22＋2－2
一轮复习课件 第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
考情分析
1.会用向量的数量积推导出 两角差的余弦公式．
1.从考查内容看，利用两角和 与差的正弦、余弦、正切公式
2.能利用两角差的余弦公式 进行三角函数式的化简、求值
导出两角差的正弦、正切公 式．
是高考的重点，公式的逆用、
3.能利用两角差的余弦公式 导出两角和的正弦、余弦、
变形应用是高考的热点． 2.从考查题型看，三种题型都 可能出现，常将公式变形与三
辅助角公式中，当 φ 为特殊角，即|ab|的值为 1 或
3或
3 3
时要熟练掌握，对 φ 是非特殊角的情况，只要求会求最值即
可．
【活学活用】 2．已知函数 f(x)＝ 3sin 2x－2sin2x. (1)求函数 f(x)的最大值； (2)求函数 f(x)的零点的集合． 解：(1)f(x)＝ 3sin 2x－(1－cos 2x)＝2sin2x＋π6－1， 所以，当 2x＋π6＝2kπ＋π2，k∈Z，
三角函数式化简要遵循的“三看”原则 (1) 一 看 “ 角 ” ． 这 是 最 重 要 的 一 点 ， 通 过 角 之 间 的 关 系，把角进行合理拆分与拼凑，从而正确使用公式． (2)二看“函数名称”．看函数名称之间的差异，从而确 定使用的公式． (3)三看“结构特征”．分析结构特征，可以帮助我们找 到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
答案：7102
5．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α＝______.
解析：∵2α＝(α＋β)＋(α－β)， ∴tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)] ＝1t－antaαn＋αβ＋＋βttaannαα－－ββ＝1－3＋3×5 5＝－814＝－47. 答案：－47
【考向探寻】 利用公式化简三角函数式．
高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件
Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五
( − ) = ，
( − ) = .
公式六
( + ) = ，
2
( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.
2
;
1
④ cos
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦与正切公式课件理
(2)将三角变换与代数变换密切结合：三角变换主要是 灵活应用相应的三角公式，对于代数变换主要有因式分解、 通分、提取公因式、利用相应的代数公式等，例如，sin4x ＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝1－12sin22x.
第八页，共45页。
[诊断自测] 1．概念思辨 (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意 的．( √ ) (2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sinα＋sinβ 成 立．( √ ) (3)在锐角△ABC 中，sinAsinB 和 cosAcosB 大小关系不 确定．( × ) (4)公式 tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ可以变形为 tanα＋tanβ ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角 α，β 都成立．( × )
第二十页，共45页。
冲关针对训练
已知锐角 α，β 满足 sinα＝ 55，cosβ＝31010，则 α＋β
等于( )
3π A. 4
B.π4或34π
π C.4
D．2kπ＋π4(k∈Z)
第二十一页，共45页。
解析 由 sinα＝ 55，cosβ＝31010，且 α，β 为锐角，可
知 cosα＝255，sinβ＝ 1100，
(1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若函数 g(x)＝f(x)－m 在0，π2上有两个不同的零点 x1，x2，求实数 m 的取值范围，并计算 tan(x1＋x2)的值．
本题采用转化法、数形结合思想．
第二十三页，cosx＋ 3， 化简可得 f(x)＝2sinxcosx－2 3cos2x＋ 3 ＝sin2x－2 312＋21cos2x＋ 3 ＝sin2x－ 3cos2x ＝2sin2x－π3.
高考数学一轮两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第23课两角和与差的正弦、余弦和正切公式[最新考纲]1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β； (3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2．有关公式的变形和逆用 (1)公式T (α±β)的变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan_αtan_β)； ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan_αtan_β)． 3．辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a .1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立．( )(4)公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝________.12 [sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12.]3．(2017·苏州模拟)若α∈(0，π)，cos α＝－45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________.17[∵α∈(0，π)，cos α＝－45，∴sin α＝1－cos 2α＝35，∴tan α＝－34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－34＋11＋34＝17.] 4．若sin α＋3cos α＝1，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则α＝________.π2 [∵sin α＋3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝12，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α＋π3＝5π6，∴α＝π2.]5．若tan α＝13，tan(α＋β )＝12，则tan β＝________.17 [tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17.](2014·江苏高考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α的值．[解] (1)因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－255.故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎪⎫－255＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552＝35，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×35＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＝－4＋3310. [规律方法] 1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．2．使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值． [变式训练1] (1)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝17，则sin α＝________.(2)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－33，则cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的值是________． (1)35 (2)－1 [(1)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α，∴cos α＝－43sin α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴sin 2α＝925.又∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin α＝35.(2)cos x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝－1.]β＝________.【导学号：62172128】(2)sin 50°(1＋3tan 10°)＝________.(1)π3 (2)1 [(1)∵tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3－3tan αtan β1－tan αtan β＝ 3.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝π3.(2)sin 50°(1＋3tan 10°) ＝sin 50°⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3·sin 10°cos 10° ＝sin 50°×cos 10°＋3sin 10°cos 10°＝sin 50°×2⎝⎛⎭⎪⎫12cos 10°＋32sin 10°cos 10°＝2sin 50°·cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°＝cos 10°cos 10°＝1.][规律方法] 1.逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．2．tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．[变式训练2](1)sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·cos(110°－x)的值为________．(2)在斜三角形ABC中，sin A＝－2cos B·cos C，且tan B·tan C＝1－2，则角A的值为________．(1)22(2)π4[(1)原式＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos[90°－(x－20°)]＝sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin 45°＝2 2.(2)由题意知：sin A＝－2cos B·cos C＝sin(B＋C)＝sin B·cos C＋cos B·sin C，在等式两边同除以cos B·cos C得tan B＋tan C＝－2，又tan(B＋C)＝tan B＋tan C1－tan B tan C＝－1＝－tan A，所以A＝π4.](1)设αcos β＝________.【导学号：62172129】(2)若0<α<π2，－π2<β<0，cos⎝⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos⎝⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2等于________．(1)2525 (2)539 [(1)依题意得 sin α＝1－cos 2 α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π， cos α>cos(α＋β)． 因为45>55>－45， 所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos [](α＋β)－α ＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α ＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵0<α<π2，∴π4<π4＋α<34π， 所以由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，又－π2<β<0，∴π4<π4－β2<π2，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63，故cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝539.][规律方法] 1.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎝⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝⎛⎭⎪⎫α2＋β等．[变式训练3]定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a bc d＝ad－bc.若cos α＝17，⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin αsin βcos αcos β＝3314，0＜β＜α＜π2，则β等于________．π3[依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝3314，又0＜β＜α＜π2，∴0＜α－β＜π2，故cos(α－β)＝1－sin2(α－β)＝13 14，而cos α＝17，∴sin α＝437，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝437×1314－17×3314＝32.故β＝π3.][思想与方法]1．三角恒等变换的变“角”与变“名”问题的解题思路(1)角的变换：明确各个角之间的关系(包括非特殊角与特殊角、已知角与未知角)，熟悉角的拆分与组合的技巧，半角与倍角的相互转化，如：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，40°＝60°－20°，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝π2，α2＝2×α4等．(2)名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．2．三角恒等变换的变“形”问题的求解思路根据三角恒等式子的“结构特征”进行变“形”，使得变换后的式子更接近已知的三角函数式，常用技巧有：(1)常值代换：1＝sin2α＋cos2α＝cos 2α＋2sin2α＝tan π4，32＝sin π3＝cosπ6，12＝sinπ6＝cosπ3等．(2)逆用、变用公式：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β，cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β，tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)等．(3)通分、约分：如：1＋3tan α＝2cos⎝⎛⎭⎪⎫α－π3cos α.(4)分解、组合：如：(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2.(5)平方、开方：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α等．[易错与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．课时分层训练(二十三)A组基础达标(建议用时：30分钟)一、填空题1．设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为________． －3 [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3，tan αtan β＝2，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝31－2＝－3.]2．(2017·盐城模拟)tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°的值等于________． －3 [∵tan 120°＝tan(50°＋70°)＝tan 50°＋tan 70°1－tan 50°tan 70°＝－3，∴tan 50°＋tan70°＝－3＋3tan 50°tan 70°，即tan 70°＋tan 50°－3tan 70°tan 50°＝－ 3.]3．在平面直角坐标系中，角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若角α终边经过点P (2,4)，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________. 【导学号：62172130】－3 [由题意可知tan α＝42＝2. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝1＋tan α1－tan α＝1＋21－2＝－3.] 4．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α等于________．17[∵sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45， ∴cos α＝－45.又α是第二象限角，∴sin α＝35，则tan α＝－34. ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝tan π4＋tan α1－tan π4tan α＝1－341＋34＝17.]5．已知sin α＋sin β＝3(cos β－cos α)，α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则sin 3α＋sin 3β＝________.0 [由已知得：sin α＋3cos α＝3cos β－sin β， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6，又α－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，β＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3. 故α－π6＝β＋π6，即α＝β＋π3.∴sin 3α＋sin 3β＝sin(3β＋π)＋sin 3β＝0.]6．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝________.35 [cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝335，32cos α－32sin α＝335，12cos α－32sin α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝35.] 7．若sin ()α＋β＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________.【导学号：62172131】5 [由sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13得 ⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＋cos αsin β＝12， ①sin αcos β－cos αsin β＝13， ②∴⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos β＝512，cos αsin β＝112.∴tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.]8．(2017·苏锡常镇调研二)若tan α＝12，tan(α－β)＝－13，则tan(β－2α)＝________.－17[∵tan α＝12，tan(α－β)＝－13， ∴tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－tan [α＋(α－β)]＝－tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)＝－12－131＋16＝－17.] 9．若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，则α＋β的值是________. 【导学号：62172132】7π4 [∵sin 2α＝55，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2， ∴cos 2α＝－255且α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，又∵sin(β－α)＝1010，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2. ∴cos(β－α)＝－31010.因此sin(α＋β)＝sin [(β－α)＋2α]＝sin(β－α)cos 2α＋cos(β－α)sin 2α＝1010×⎝⎛⎭⎪⎫－255＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×55＝－22，cos(α＋β)＝cos [(β－α)＋2α]＝cos(β－α)·cos2α－sin(β－α)sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010×⎝ ⎛⎭⎪⎫－255－1010×55＝22，又α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π4，2π，所以α＋β＝7π4.]10．(2017·如皋市高三调研一)若sin β＝3sin(2α－β)，则tan(α－β)＋12tan α＝________.0 [由sin β＝3sin(2α－β)得－sin [(α－β)－α]＝3sin [α＋(α－β)]，∴cos(α－β)sin α－sin(α－β)cos α＝3[sin αcos(α－β)＋cos αsin(α－β)]， ∴－4cos αsin(α－β)＝2sin αcos(α－β)， ∴tan(α－β)＝－12tan α.∴tan(α－β)＋12tan α＝－12tan α＋12tan α＝0.] 二、解答题11．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos β的值．[解] (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2＜α＜π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－32.(2)因为π2＜α＜π，π2＜β＜π，所以－π2＜α－β＜π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－43＋310.12．(2017·启东中学高三第一次月考)在△ABC 中，三个内角分别为A ，B ，C ，已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A .(1)求角A 的值；(2)若B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，且cos(A －B )＝45，求sin B .[解] 由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，得32sin A ＋12cos A ＝2cos A ，即sin A ＝3cosA ．因为A ∈(0，π)，且cos A ≠0，所以tan A ＝3，所以A ＝π3.(2)因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，所以A －B ＝π3－B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3.因为sin 2(A －B )＋cos 2(A －B )＝1，所以sin(A －B )＝35，所以sin B ＝sin(A －(A－B ))＝sin A cos(A －B )－cos A sin(A －B )＝43－310.B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知0＜θ＜π，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝17，那么sin θ＋cos θ＝________.－15 [由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝tan θ＋11－tan θ＝17，解得tan θ＝－34，即sin θcos θ＝－34，∴cos θ＝－43sin θ，∴sin 2θ＋cos 2θ＝sin 2θ＋169sin 2θ＝259sin 2θ＝1.∵0＜θ＜π，∴sin θ＝35，∴cos θ＝－45，∴sin θ＋cos θ＝－15.] 2．若tan α＝2tan π5，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝________. 3 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5， ∴原式＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5.又∵tan α＝2tan π5，∴原式＝2tan π5＋tan π52tan π5－tan π5＝3.] 3．已知函数f (x )＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 4＋π6，x ∈R ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝ 2.(1)求A 的值；(2)设α，β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝－3017，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝85，求cos(α＋β)的值．[解] (1)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝A cos π4＝22A ＝2，所以A ＝2.(2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4α＋4π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋π6＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝－2sin α＝－3017，得sin α＝1517，又α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos α＝817.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4β－2π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π6＋π6＝2cos β＝85，得cos β＝45， 又β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以sin β＝35，所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝817×45－1517×35＝－1385.4．(2017·泰州中学高三摸底考试)已知0<α<π2<β<π，且sin(α＋β)＝513，tan α2＝12.(1)求cos α的值； (2)证明：sin β>513.[解] (1)将tan α2＝12代入tan α＝2tan α21－tan 2α2，得tan α＝43，∴⎩⎨⎧sinαcos α＝43，sin 2α＋cos 2α＝1，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，解得cos α＝35.(2)证明：由题意易得π2<α＋β<3π2，又sin(α＋β)＝513， ∴cos(α＋β)＝－1213， 由(1)可得sin α＝45，∴sin β＝sin [(α＋β)－α]＝513×35－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213×45＝6365>513.。
高三数学复习课件【两角和与差的正弦、余弦和正切公式】
练透基点，研通难点，备考不留死角
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考点一 三角函数公式的直接应用 [考什么·怎么考]
三角函数公式的直接应用是基础，直接命题较 少，主要考查三角函数公式的识记，多体现在简单三 角函数求值中.
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1．已知cos α＝－35，α是第三象限角，则cosπ4＋α的值为(
)
2 A. 10
B．－
Hale Waihona Puke 返回解析：∵α∈0，π2，tan α＝2，
∴sin α＝255，cos α＝ 55，
∴cosα－π4＝cos
αcosπ4＋sin
π αsin4
＝
22×2 5 5＋
55＝3
10 10 .
答案：3
10 10
2．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.
(1)求sin(α－β)的值；
，tan(π－β)＝
1 2
，则tan(α－β)的
值为
()
A．－121
2 B.11
11 C. 2
解析：因为sin α＝35，α∈π2，π，
D．－121
所以cos α＝－ 1－sin2α＝－45，所以tan α＝csions αα＝－34.
因为tan(π－β)＝12＝－tan β，所以tan β＝－12，
＝
412c2ossin101°0°－co23s s1i0n°10°＝4sins3i0n°20－°10°＝14.
答案：14
返回
2．在△ABC中，若tan Atan B＝ tan A＋tan B＋1, 则cos C＝
________. 解析：由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得1t－antaAn＋AttaannBB
高考数学一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式
思维升华
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟 悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从 正向思维向逆向思维转化的能力.
跟踪训练 2 (1)(2022·咸阳模拟)已知 sinx－π6＝ 33，则 sin x＋sinx－3π等于
√A.1
B.－1
23 C. 3
A.－1
B.1
√C.0或－3
D.0或1
因为 α＋β＝π4， 所以 tan(α＋β)＝tan π4⇒1t－antαan＋αttaannββ＝1⇒1－1＋mmm＋＋m1＝1⇒m2＋3m＝0，
解得m＝0或m＝－3.
思维升华
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三 角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时， 特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的.
b a2＋b2
，cos
φ＝
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形： (1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β. (2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β. (3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). tan αtan β＝1－tatnanα＋α＋taβnβ＝tatnanα－α－taβnβ－1.
D. 3
因为 sinx－π6＝ 33，
所以
sin
x＋sinx－π3＝sin
x＋12sin
x－
3 2 cos
x＝
3sinx－π6＝1.
(2)满足等式(1＋tan α)(1＋tan β)＝2的数组(α，β)有无穷多个，试写出一个 这样的数组__0_，__π4_(_答__案__不__唯__一__)_.
高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第5节两角和与差的正弦余弦和正切公式课件
sin α＝－2(舍去)或 sin α＝14.∵α 为锐角，∴cos α＝
415，∴sinα＋π3＝14×12＋
15 4
× 23＝1＋83 5，故选 A.]
☞角度 3 给值求角
已知 sin α＝ 55，sin(α－β)＝－ 1100，α，β 均为锐角，则角 β 等于( )
5π
π
A.12
1100＝
2 2.
∴β＝π4.]
[规律方法] 1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察 非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角 的三角函数求解．
2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函 数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
＝2sin c5o0s°·1c0o°s 50°＝scions11000°°＝ccooss 1100°°＝1.]
☞角度 2 给值求值
(1)若 cosπ4－α＝35，则 sin 2α＝(
)
7
1
A.25
B.5
C．－15
D．－275
(2)(2017·浙江金华十校联考)已知 α 为锐角，且 7sin α＝2cos 2α，则 sinα＋π3
∴T＝22π＝π.
法二：∵f(x)＝( 3sin x＋cos x)( 3cos x－sin x) ＝3sin xcos x＋ 3cos2x－ 3sin2x－sin xcos x ＝sin 2x＋ 3cos 2x ＝2sin2x＋π3， ∴T＝22π＝π.故选 B. (2)f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x ＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x ＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)． ∴f(x)max＝1.]
高考数学(文)一轮课件【第20讲】两角和与差的正弦、余弦和正切公式
• 双 向 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 固 (1)公式S2 ：sin 2α ＝________________ 2sin αcos α ． 2 α－ 1 2cos 基 (2)公式C2 ：cos 2α ＝________________ 2 2 ＝____________＝ cos α － sin α 础 ____________ 1－2sin 2α ．
• 双 向 固 基 础 • 点 面 讲 考 向 • 多 元 提 能 力 • 教 师 备 用 题
第20讲 两角和与差的正弦、 余弦和正切公式
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考试说明
1．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式． 2．掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.
Hale Waihona Puke 返回目录第20讲两角和与差的正弦、余弦和正切公式
• 双 向 固 基 础
π 3 α＝－ 5 ，α∈ 2，π ，则
• 双 向 固 基 础
2．[教材改编]
已知cos
π sinα＋3的值是________．
4－3 3 [答案] 10
3 π 4 π [解析] cos α＝－5，α∈（2，π）∴sin α＝5，sin(α＋3)＝ π π 4 1 3 3 4－3 3 sin αcos ＋cos αsin ＝ × ＋(－ )× ＝ . 3 3 5 2 5 2 10
)
2tan α (2)用tan α表示sin 2α，cos 2α，得sin 2α＝ ，cos 1－tan2α 1＋tan2α 2α＝ .( 1－tan2α ) )
π π (3)对任意角α，有sin4－α＝cos4＋α.(
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第20讲
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[答案] (1)³ (2)³
高考数学一轮总复习第3章三角函数解三角形3.5两角和与差的正弦余弦和正切公式课件文
例 1 (1)[2017·衡水中学二调]cos130°－sin1170°＝(
)
A．4
B．2
C．－2
D．－4
[解析]
3－ 1 ＝
3－ 1 ＝
cos10° sin170° cos10° sin10°
3ssiinn1100°°c－osc1o0s°10°＝2sin110°－30°＝－12sin20°＝－4.
3 2
，1，f(x)∈0，1＋
23.
故
f(x)的值域为0，1＋
23.
核心规律 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”； 变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名： 尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理 化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时， 一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式 中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
2sin20°
2sin20°
(2)4cos50°－tan40°＝(
)
A． 2
B．
2＋ 2
3
C． 3 [解析]
D．2 2－1
4cos50°－
tan40°＝
4sin40°cos40°－sin40°＝ cos40°
2sin80°－sin40°
＝
cos40°
2sin100°－sin40°
＝
cos40°
2sin60°＋ cos4400°°－sin40°＝2×
23cos10°＋12sin10° cos20°
考向 三角函数的条件求值
命题角度 1 给值求值问题
例 2 [2016·全国卷Ⅱ]若 cosπ4－α＝35，则 sin2α＝(
高考数学一轮总复习 3.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件
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3
备考知考情 1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式进行化 简、求值是高考考查的热点． 2.常与三角函数的性质、向量、解三角形的知识相结合命题． 3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.
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4
J 基础回扣·自主学习
理教材 夯基础 厚积薄发
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5
知识梳理
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9
知识点三 辅助角公式 函数 f(α)＝acosα＋bsinα(a，b 为常数)，可化为 f(α)＝ a2＋b2 sin(α＋φ)，其中 φ 可由 a，b 的值唯一确定．
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10
对点自测
知识点一 两差＋sin33°cos177°的值为( )
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22
问题 2 三角函数运算中的“三变”是什么？ 重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变 式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变 名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理 化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一 般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异， 再选择适当的三角公式恒等变形．
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19
解析 根据题意，得 f(x)＝2sinx－π6，f(x)≥1， 所以 2sinx－6π≥1，即 sinx－6π≥12. 由图象可知满足π6＋2kπ≤x－π6≤56π＋2kπ(k∈Z)， 解得π3＋2kπ≤x≤π＋2kπ(k∈Z)．
答案 B
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20
R 热点命题·深度剖析
研考点 知规律 通法悟道
知识点一
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)C(α－β)：cos(α－β)＝ cosαcosβ＋sinαsinβ ； (2)C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ ；
2018届高三数学(理)一轮复习课件：4.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. ( (2)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意的. ( ) (3)cos 80°cos 20°-sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=cos
)
60°=2. (
1-tan������
-11-
π + 6
考点1
考点2
考点3
解题心得三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中 要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.
-12-
考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)已知 sin
5 2
3 π α=5,α∈ 2 ,π π
5
cos2������ ,则 π √2sin ������+ 4
1
)
������ 2 π + ������ 4 ������ 2
(4)cos θ=2cos2 -1=1-2sin2 . ( (5)1+tan������=tan .( )
)
关闭
(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
答案
-5知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
2.sin 20°sin 80°-cos 160°cos 80°=(
=cos α-sin
1 α=-2.
7 α=- . 5
(2)∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,∴cos 又 α∈
π √3 , π , ∴ sin α = ,∴tan α=-√3. 2 2 7 ∴tan 2α= 2tan������ = -2√3 = √3. (1)- (2)√3 1-tan2 ������ 1-(-√3)2 5
北京市2018届高三数学文一轮复习 3.5 两角和差的正弦、余弦和正切公式课件 精品
答案：6635
跟踪训练
4.若 sinA＝ 55，sinB＝ 1100，且 A，B 均为钝角，求 A＋B 的值。
解析：∵A、B 均为钝角且 sinA＝ 55，
A．4
B．2
os 310°－sin 1170°＝cos 310°－sin110°
＝ 3ssiinn1100°°·－cosco1s01°0°＝2sin110°－30°＝－12sin 20°＝－4.
2sin 20°
2sin 20°
【答案】 D
考点分类突破
3．计算 sin 50°(1＋ 3tan 10°)＝________.
解析答案
真题再现
4.【2016高考课标3】若
，则
A . 24 B . 48 C . 1 D . 16
25
25
25
【解析】由
，得
或
()
，所以 【答案】A
真题再现
5.(2016北京)已知函数f ( x) 2sinx cosx cos 2x( 0)的最 小正周期为 . (1)求的值;(2)求f ( x)的单调递增区间.
解析答案
真题再现
2. 【2015高考四川】
.
【答案】
.
真题再现
3.(2015·重庆)若 tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则 tan β 等于( A )
1
1
5
5
A.7
B.6
C.7
D6
解析
tanα＋β－tan α tan β＝tan[(α＋β)－α]＝1＋tanα＋βtan α