高考数学二轮复习大题专攻练(十一)函数与导数A组文新人教A版

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高中数学第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数练习含解析新人教A版选修11

高中数学第三章导数及其应用3.3.1函数的单调性与导数练习含解析新人教A 版选修11[学生用书P129(单独成册)])[A 基础达标]1．已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的大致图象如图所示，则下列不等关系正确的是( )A ．f (b )＞f (c )＞f (d )B ．f (b )＞f (a )＞f (e )C ．f (c )＞f (b )＞f (a )D ．f (c )＞f (e )＞f (d )解析：选C.依题意得，当x ∈(－∞，c )时，f ′(x )＞0；当x ∈(c ，e )时，f ′(x )＜0；当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )＞0.因此，函数f (x )在(－∞，c )上单调递增，在(c ，e )上单调递减，在(e ，＋∞)上单调递增，又a ＜b ＜c ，所以f (c )＞f (b )＞f (a )．2．函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－3)，(1，＋∞)D ．(－3，1)解析：选D.f ′(x )＝－2x e x ＋(3－x 2)e x ＝(－x 2－2x ＋3)e x ，由f ′(x )＝(－x 2－2x ＋3)e x ＞0，解得－3＜x ＜1，故函数y ＝(3－x 2)e x 的单调递增区间为(－3，1)．3．三次函数y ＝f (x )＝ax 3－1在R 上是减函数，则( )A ．a ＝1B ．a ＝2C ．a ≤0D ．a ＜0 解析：选D.y ′＝3ax 2，要使f (x )在R 上为减函数，则y ′≤0在R 上恒成立，即a ≤0，又a ＝0时，y ′＝0恒成立，所以a ≠0.综上a ＜0.4．函数f (x )＝12x ＋cos x 的一个单调递增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3，π3 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2π3 解析：选A.由f (x )＝12x ＋cos x 得f ′(x )＝12－sin x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，π6时，f ′(x )>0，故函数f (x )＝12x ＋cos x 的一个单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，π6.故选A. 5．若f (x )＝ln x x，e ＜a ＜b ，则( ) A ．f (a )＞f (b )B ．f (a )＝f (b )C ．f (a )＜f (b )D ．f (a )f (b )＞1解析：选A.因为f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2，当x ∈(e ，＋∞)时，1－ln x ＜0，所以f ′(x )＜0，所以f (x )在(e ，＋∞)内为单调递减函数．故f (a )＞f (b )．故选A.6．若函数f (x )＝e x x，则f (x )的单调递减区间为________．解析：函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝e x x －e x x 2＝e x （x －1）x 2，令f ′(x )＜0，得x ＜0或0＜x ＜1，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，0)和(0，1)．答案：(－∞，0)和(0，1)7．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调递减区间为(－1，2)，则b ＝________，c ＝________．解析：f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知－1，2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个根，把－1，2分别代入方程，联立解得b ＝－32，c ＝－6. 答案：－32－6 8．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为________．解析：设g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2.因为对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，所以g ′(x )＞0.所以g (x )在R 上为增函数.又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝0，所以x ＞－1时，g (x )＞0.所以由f (x )＞2x ＋4，得x ＞－1.答案：(－1，＋∞)9．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0. (1)求a 和b 的值；(2)试确定函数f (x )的单调区间．解：(1)因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧f ′（－1）＝－4，f ′（1）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0. 解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x ，x ∈R ， f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)．由f ′(x )＞0得x ＞1或x ＜－3；由f ′(x )＜0得－3＜x ＜1.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3，1)．[B 能力提升]10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )，若a 2－3b <0，则f (x )是( )A ．减函数B ．增函数C ．常数函数D ．既不是减函数也不是增函数解析：选B.由题意知f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，则方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的根的判别式Δ＝4a 2－12b ＝4(a 2－3b )<0，故f ′(x )>0在R 上恒成立，即f (x )在R 上为增函数． 11．函数y ＝f (x )在定义域⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3内可导，其图象如图所示，记y ＝f (x )的导函数为y＝f ′(x )，则不等式f ′(x )<0的解集为________．解析：函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1和区间(2，3)上单调递减，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1和区间(2，3)上，y ＝f ′(x )<0，所以f ′(x )<0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1∪(2，3)．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1∪(2，3)12．设函数f (x )＝ax －ax －2ln x .(1)若f ′(2)＝0，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在定义域上是增函数，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，因为 f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ，且f ′(2)＝0，所以a ＋a4－1＝0，所以a ＝45.所以f ′(x )＝45＋45x 2－2x＝25x 2(2x 2－5x ＋2)．令f ′(x )≥0，解得0＜x ≤12或x ≥2；令f ′(x )≤0，解得12≤x ≤2，所以f (x )的递增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12和[2，＋∞)，递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.(2)若f (x )在定义域上是增函数，则f ′(x )≥0恒成立，因为f ′(x )＝a ＋a x 2－2x ＝ax 2－2x ＋a x 2，所以需ax 2－2x ＋a ≥0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝4－4a 2≤0，解得a ≥1.所以a 的取值范围是[)1，＋∞.13．(选做题)已知函数f (x )＝a ln x －ax －3(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＝－1时，证明：当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋2＞0.解：(1)根据题意知，f ′(x )＝a （1－x ）x(x ＞0)，当a ＞0时，则当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞)；同理，当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)；当a ＝0时，f (x )＝－3，不是单调函数，无单调区间．(2)证明：当a ＝－1时，f (x )＝－ln x ＋x －3，所以f (1)＝－2，由(1)知f (x )＝－ln x ＋x －3在(1，＋∞)上单调递增，所以当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞f (1)．即f (x )＞－2，所以f (x )＋2＞0.。

高考数学专题1 函数与导数综合题的解答课件文新人教A版

质
函数是高中数学的重点内容，而函数的性质又是高考命题的热点，用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多，并且具有普遍的适用性．
(2012· 高考北京卷)已知函数 f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋ bx. (1)若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求 a，b 的值； (2)当 a2＝4b 时，求函数 f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(－ ∞，－1]上的最大值．【审题】 (1)在交点(1，c)处有公共切线，隐含(1，c)为切点，
热点二
导数、函数与不等式
用导数的方法研究与函数有关的不等式问题，是巧妙地构造函数，然后这个函数的单调性、极值、最值及特殊点的函数值，结合不等式的性质来解决． (2012· 高考辽宁卷)设 f(x)＝ln x＋ x－1，证明： 3 (1)当 x＞1 时，f(x)＜ (x－1)； 2 9x－1 (2)当 1＜x＜3 时，f(x)＜ . x＋ 5 【审题】函数来证明．本题涉及 f(x)的不等式，可以构造形如 f(x)－φ(x)的
可考虑 f′(1)与 g′(1)．f(1)与 g(1)的关系． (2)构造函数 h(x)＝f(x)＋g(x)，求 h′(x)＞0，h′(x)＜0 的 x 的范围，继而求(－∞，－1]上的最大值．
【转化】
f′1＝g′1 (1)中题意转化为 f1＝g1
.
(2)中转化为求 h′(x)＞0，h′(x)＜0 的解由极值求最值．【解】 (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，
又由 G(1)＝0，得 G(x)＜0，所以 h′(x)＜0. 因此 h(x)在(1,3)内是减函数．又 h(1)＝0，所以 h(x)＜0. 9x－1 于是当 1＜x＜3 时，f(x)＜ . x＋5 法二：记 h(x)＝(x＋5)f(x)－9(x－1)，则当 1＜x＜3 时，由(1)得 h′(x)＝f(x)＋(x＋5)f′(x)－9

高考数学二轮复习大题专攻练11函数与导数A组理新人教A版

——教学资料参考参考范本——高考数学二轮复习大题专攻练11函数与导数A组理新人教A版______年______月______日____________________部门大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！1.已知函数f(x)=x·ex-1-a(x+lnx)，a∈R.(1)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线为x轴，求a的值.(2)在(1)的条件下，求f(x)的单调区间.(3)若任意x>0，f(x)≥f(m)恒成立，且f(m)≥0，求证：f(m)≥2(m2-m3).【解析】(1)f(x)的定义域是(0，+∞)，f′(x)=ex-1+x·ex-1-a，故f(1)=1-a，f′(1)=2-2a，故切线方程是y-(1-a)=(2-2a)(x-1)，即y=(2-2a)x+a-1；由2-2a=0，且a-1=0，解得a=1.(2)由(1)得a=1，f′(x)=(x+1)，令g(x)=ex-1-，x∈(0，+∞)，所以g′(x)=ex-1+>0，故g(x)在(0，+∞)上递增，又g(1)=0，x∈(0，1)时，g(x)<g(1)=0，此时f′(x)<0，f(x)递减，x∈(1，+∞)时，g(x)>g(1)=0，此时f′(x)>0，f(x)递增，故f(x)在(0，1)递减，在(1，+∞)递增.(3)f′(x)=(x+1)，令h(x)=ex-1-，x∈(0，+∞)，h′(x)=ex-1+，①a≤0时，h(x)>0，此时f′(x)>0，f(x)递增，无最小值，故a≤0不符合题意；②a>0时，h′(x)>0，h(x)在(0，+∞)递增，取实数b，满足0<b<min，则eb-1<=，-<-2，故h(b)=eb-1-<-2<0，又h(a+1)=ea->1-=>0，所以存在唯一的x0∈(b，a+1)，使得h(x0)=0，即a=x0，x∈(0，x0)时，h(x)<h(x0)=0，此时f′(x)<0，f(x)递减，x∈(x0，+∞)时，h(x)>h(x0)=0，此时f′(x)>0，f(x)递增，故x=x0时，f(x)取最小值，由题设，x0=m，故a=m·em-1，lna=lnm+m-1，f(m)=mem-1(1-m-lnm)，由f(m)≥0，得1-m-lnm≥0，令ω(m)=1-m-lnm，显然ω(m)在(0，+∞)递减.因为ω(1)=0，所以1-m-lnm≥0，故0<m≤1，下面证明em-1≥m，令n(m)=em-1-m，则n′(m)=em-1-1，m∈(0，1)时，n′(m)<0，n(m)在(0，1)递减，故m∈(0，1]时，n(m)≥n(1)=0，即em-1≥m，两边取对数，得lnem-1≥lnm，即m-1≥lnm，-lnm≥1-m，故1-m-lnm≥2(1-m)≥0，因为em-1≥m>0，所以f(m)=m·em-1(1-m-lnm)≥m2·2(1-m)=2(m2-m3)，综上，f(m)≥2(m2-m3).2.已知f(x)=bx-b，g(x)=(bx-1)ex，b∈R.(1)若b≥0，讨论g(x)的单调性.(2)若不等式f(x)>g(x)有且仅有两个整数解，求b的取值范围.【解析】(1)g′(x)=ex(bx+b-1)，当b=0时，g′(x)<0在R上恒成立，即g(x)在(-∞，+∞)上单调递减，当b>0时，g′(x)>0的解集为，即g(x)在上单调递增，在上单调递减.(2)由不等式f(x)>g(x)有且仅有两个整数解得，b(xex-x+1)<ex有两个整数解.当x>0时，ex-1>0，x(ex-1)+1>0；当x<0时，ex-1<0，x(ex-1)+1>0，所以，b<有两个整数解，设φ(x)=，则φ′(x)=，令h(x)=2-x-ex，则h′(x)=-1-ex<0，又h(0)=1>0，h(1)=1-e<0，所以存在x0∈(0，1)，使得h(x0)=0，所以φ(x)在(-∞，x0)为增函数，在(x0，+∞)为减函数，所以b<有两个整数解的充要条件是，解得≤b<1.。

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的计算》(含答案)

2023高考数学二轮复习专项训练《导数的计算》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（）A. f（a）＞eaf（0）B. f（a）＞f（0）C. f（a）＜f（0）D. f（a）＜eaf（0）2.（5分）直线y＝kx+1与曲线y＝x3+bx2+c相切于点M(1, 2)，则b的值为（）A. −1B. 0C. 1D. 23.（5分）设f（x）=x3，f（a-bx）的导数是（）A. 3（a-bx）B. 2-3b（a-bx）2C. 3b（a-bx）2D. -3b（a-bx）24.（5分）已知函数f(x)=2lnx+f′(2)x2+2x+3，则f(1)=()A. −2B. 2C. −4D. 45.（5分）设f0(x)=sin2x+cos2x，f1(x)=f0′(x)，f2(x)=f1′(x)，…，f1+n(x)=fn′(x)，n∈N*，则f2013（x）=（）A. 22012（cos2x-sin2x）B. 22013（sin2x+cos2x）C. 22012（cos2x+sin2x）D. 22013（sin2x+cos2x）6.（5分）曲线y=2sinx+cosx在点(π,−1)处的切线方程为()A. x−y−π−1=0B. 2x−y−2π−1=0C. 2x+y−2π+1=0D. x+y−π+1=07.（5分）若函数f(x)=x3−tx2+3x在区间[1,4]上单调递减，则实数t的取值范围是()] B. (−∞,3]A. (−∞,518,+∞) D. [3,+∞)C. [5188.（5分）[2021湖南省郴州市月考]随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著经济效益.假设在放射性同位素钍−234的衰变过程中,其含量N(单位:贝克)与时间t(单位:天)满足函数关系N(t)=N02−124,其中N0为t=0时针-234的含量.已知t=24时,钍−234含量的瞬时变化率为−8ln2,则N(96)=A. 12B. 12ln2C. 24D. 24ln29.（5分）设(2x−1)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7，则|a1|+2|a2|+3|a3|+4|a4|+5|a5|+6|a6|+7|a7|=()A. 10206B. 5103C. 729D. 72810.（5分）函数f(x)=2f′(1)·x+xlnx在x=1处的切线方程为()A. y=2x−2B. y=2x+1C. y=−x−1D. y=x−111.（5分）设f（x）=sin2x，则f′（x）等于（）A. cos2xB. 2cos2xC. -sin2xD. 2（sin2x-cos2x）12.（5分）函数y=cos（1+x2）的导数是（）A. 2xsin（1+x2）B. -sin（1+x2）C. -2xsin（1+x2）D. 2cos（1+x2）二、填空题（本大题共5小题，共25分）13.（5分）函数f（x）=xsin（2x+5）的导数为____．14.（5分）已知f（x）=ekx，则f′（x）=____．15.（5分）设函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为__________.16.（5分）若函数f(x)满足f(x)=2lnx−xf′(1)，则f′(1)=__________.17.（5分）写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x):_______.①f(x1x2)=f(x1)f(x2)；②当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0；③f′(x)是奇函数．三、解答题（本大题共6小题，共72分）18.（12分）已知函数f(x)=ae x lnx+be xx.(1)求导函数f′(x)；(2)若曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y=e(x+1)，求a，b的值. 19.（12分）求下列函数在给定点的导数.(1)f(x)=x14，x=5;(2)f(x)=3(x+1)x2，x=1.20.（12分）已知函数f(x)=12x2−x+lnx.(1)求y=f(x)的导数；(2)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程.21.（12分）求下列函数的导数.(1)y=(2+3x)(3−5x+x2);(2)y=(2x−1)2(2−3x)3;(3)y=(3x+2)sin5x;(4)y=e2x cos3x.22.（12分）已知函数f(x)=−13x3−a−12x2+bx+a(a,b∈R),且其导函数f′(x)的图象过原点.(1)若存在x<0,使得f′(x)=−9,求a的最大值;(2)当a>0时,求函数f(x)的零点个数.23.（12分）求下列函数在指定x处的导数值.(1)y=xsinx，x=π4;(2)y =xe x ，x =1.四、多选题（本大题共5小题，共25分）24.（5分）若(1+2x)+(1+2x)2+⋅⋅⋅+(1+2x)n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋅⋅⋅+a n x n (n ∈N ∗)，a 0=6，则下列结论中正确的是()A. n =6B. a 1=42C. ∑ai n i=0=64D. ∑n i=1(−1)i iai =625.（5分）下列说法中正确的有()A. (sin π4)′=cos π4B. 已知函数f(x)在R 上可导，且f ′(1)=1，则limΔx→0f(1+2Δx)−f(1)Δx=2C. 一质点的运动方程为S =t 2，则该质点在t =2时的瞬时速度是4D. 已知函数f(x)=cosx ，则函数y =f ′(x)的图象关于原点对称 26.（5分）下列求导错误的是()A. (log 23)′=13ln2 B. (ln2x)′=12x C. (sin 2x)′=sin2x D. (cosx x)′=−cosx+sinxx 227.（5分）下列选项正确的有( )A. 若f(x)= x sin x +cos2x ，则f′(x) =sin x −x cos x +2sin2xB. 设函数f(x)=x ln x ，若f′(x 0)=2，则x 0=eC. 已知函数f(x)=3x 2e 2x ，则f′(1) =12e 2D. 设函数f(x)的导函数为f′(x )，且f(x)=x 2+3xf ′(2)+ln x ，则f′(2)=−94 28.（5分）设b 为实数，直线y =3x +b 能作为曲线f(x)的切线，则曲线f(x)的方程可以为()A. f(x)=−1xB. f(x)=12x 2+4lnxC. f(x)=x 3D. f(x)=e x答案和解析1.【答案】A;【解析】解：∵对任意实数x，f′（x）＞f（x），令f（x）=-1，则f′（x）=0，满足题意显然选项A成立故选A．2.【答案】A;【解析】y＝x3+bx2+c的导数为y′＝3x2+2bx，可得切线的斜率为3+2b，由条件可得k＝3+2b，1+b+c＝2，1+k＝2，解得k＝1，b＝−1，c＝23.【答案】D;【解析】解；因为f（x）=x3，所以y=f（a-bx）=（a-bx）3，所以y′=3（a-bx）2（a-bx）′=-3b（a-bx）2故选D．4.【答案】D;【解析】此题主要考查导数的运算，属于基础题.先求出f′(2)，再求f(1)即可.+f′(2)·2x+2，解：由题意，f′(x)=2x故f′(2)=1+4f′(2)+2,∴f′(2)=−1，∴f(1)=2ln1+f′(2)×12+2×1+3=4，故选D.5.【答案】A;【解析】解：∵f0（x）=sin2x+cos2x，∴f1（x）=f0′(x)=2（cos2x-sin2x），f2（x）=f1′(x)=22（-sin2x-cos2x），f3（x）=f2′(x)=23（-cos2x+sin2x），f4（x）=f3′(x)=24（sin2x+cos2x），…通过以上可以看出：f n（x）满足以下规律，对任意n∈N，fn+4(x)=24fn(x)．∴f2013（x）=f503×4+1（x）=22012f1（x）=22013（cos2x-sin2x）．故选：B．6.【答案】C;【解析】设f(x)=2sinx+cosx，则f′(x)=2cosx−sinx，∴f′(π)=2cosπ−sinπ=−2，∴切线方程为：y+1=−2(x−π)，即2x+y−2π+1=0，故选C.7.【答案】C;【解析】解：∵函数f(x)=x3−tx2+3x，∴f′(x)=3x2−2tx+3，若函数f(x)=x3−tx2+3x在区间[1,4]上单调递减，则f′(x)⩽0即3x2−2tx+3⩽0在[1,4]上恒成立，∴t⩾32(x+1x)在[1,4]上恒成立，令y=32(x+1x)，则函数在[1,4]为增函数，当x=4时，函数取最大值518，∴t⩾518，即实数t的取值范围是[518,+∞)，故选：C．由题意可得f′(x)⩽0即3x2−2tx+3⩽0在[1,4]上恒成立，由函数的单调性可知t的范围．这道题主要考查函数的单调性和导数符号间的关系，属于中档题．8.【答案】C;【解析】由N(t)=N02−t24方得N′(t)=N02−t24×ln2×(−124)，当t=24时,N′(24)=N02−2424×ln2×(−124)=−8ln2,解得N0=384,所以N(t)=384·2−t24,则N(96)=384·2−9624=384·2−4=24.故选C.9.【答案】A;【解析】此题主要考查二项式定理的运用，属于中档题.将(2x−1)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7两边求导，令x=−1，即可得到答案.解：将(2x−1)7=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7两边求导，可得14(2x−1)6=a1+2a2x+3a3x²+……+7a7x6，可得x的奇次方的系数为负数，令x=−1可得14(−2−1)6=a1−2a2+3a3+……+7a7，故|a1|+2|a2|+3|a3|+4|a4|+5|a5|+6|a6|+7|a7|=14×36=10206.故选A.10.【答案】C;【解析】此题主要考查曲线的切线方程的求法，导数的几何意义，属于基础题．先求出f′(1)=−1，再求出f(1)=−2，由此可解．解：因为f′(x)=2f′(1)+lnx+1，所以f′(1)=2f′(1)+1，即f′(1)=−1，所以f(1)=2f′(1)=−2，所以切线方程为y=−(x−1)−2=−x−1.故选C.11.【答案】B;【解析】解：因为设f（x）=sin2x，所以f′（x）=（2x）′cos2x=2cos2x．故选B．12.【答案】C;【解析】解：y′=-sin（1+x2）•（1+x2）′=-2xsin（1+x2）故选C13.【答案】sin（2x+5）+2xcos（2x+5）;【解析】解：f′（x）=x′sin（2x+5）+x（sin（2x+5））′=sin（2x+5）+2xcos（2x+5），故答案为：sin（2x+5）+2xcos（2x+5），14.【答案】k e kx;【解析】解：∵f（x）=e kx，∴f′（x）=e kx•（kx）′=k e kx，故答案为：k e kx．15.【答案】4x−y−2=0;【解析】此题主要考查函数奇偶性，利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题.由奇函数的定义求出a的值，然后利用导数的几何意义求出切线的斜率，进而写出切线方程．解：因为函数f(x)=x3+(a−1)x2+ax为奇函数，所以f(−x)=−f(x)，所以(−x)3+(a−1)(−x)2+a(−x)=−[x3+(a−1)x2+ax]，所以2(a−1)x2=0.因为x∈R，所以a=1，所以f(x)=x3+x，所以f′(x)=3x2+1，所以f′(1)=4，f(1)=2，所以曲线y=f(x)在点x=1处的切线方程为4x−y−2=0，故答案为：4x−y−2=0.16.【答案】1;【解析】此题主要考查导数的加法与减法的法则，解决此题的关键是对f(x)进行正确求导，属于基础题.利用求导公式对f(x)进行求导，再把x=1代入，即可求解.解：∵函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2lnx−xf′(1)，−f′(1)，把x=1代入f′(x)可得f′(1)=2−f′(1)，∴f′(x)=2x解得f′(1)=1.故答案为：1.17.【答案】f(x)=x4（答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N∗)均满足）;【解析】本题是开放性问题，合理分析所给条件找出合适的函数是关键，属于中档题.根据幂函数的性质可得所求的f(x).解：取f(x)=x4，则f(x1x2)=(x1x2)4=x14x24=f(x1)f(x2)，满足①，f′(x)=4x3，x>0时有f′(x)>0，满足②，f′(x)=4x3的定义域为R，又f′(−x)=−4x3=−f′(x)，故f′(x)是奇函数，满足③.故答案为：f(x)=x4(答案不唯一，f(x)=x2n(n∈N∗)均满足)18.【答案】略。

高三数学(文)二轮复习：高考大题专攻练 11函数与导数(A组)

高考大题专攻练11.函数与导数(A组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知函数f(x)=x-a l nx,g(x)=-,(a∈R).(1)若a=1,求函数f(x)的极值.(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),求函数h(x)的单调区间.【解题导引】(1)先求出函数f(x)的导数,得到函数的单调区间,从而求出函数的极小值.(2)先求出函数h(x)的导数,通过讨论a的范围,从而得到函数的单调性.【解析】(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞),当a=1时,f(x)=x-l nx,f′(x)=1-=,x (0,1) 1 (1,+∞)f′(x) - 0 +f(x) ↘极小↗所以f(x)在x=1处取得极小值1.(2)h(x)=x+-a l nx,h′(x)=1--=,①当a+1>0时,即a>-1时,在(0,1+a)上,h′(x)<0,在(1+a,+∞)上,h′(x)>0,所以h(x)在(0,1+a)上递减,在(1+a,+∞)上递增;②当1+a≤0,即a≤-1时,在(0,+∞)上h′(x)>0,所以h(x)在(0,+∞)上递增.2.已知函数f(x)=a l nx+bx2+x,(a,b∈R).(1)若函数f(x)在x1=1,x2=2处取得极值,求a,b的值,并说明分别取得的是极大值还是极小值.(2)若函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为1,存在x∈[1,e],使得f(x)-x≤(a+2)成立,求实数a的取值范围.(3)若h(x)+x=f(x)+x2,求h(x)在[1,e]上的最小值及相应的x的值. 【解析】(1)因为f′(x)=+bx+1,f′(1)=a+b+1=0 ①,f′(2)=a+2b+1=0 ②.由①②解得:a=-,b=-.此时,f(x)=-l nx-x2+x,f′(x)=,x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,+∞)f′(x) - 0 + 0 -f(x) 减极小增极大减所以,在x=1时取得极小值,在x=2时取得极大值.(2)若函数f(x)在(1,f(1))的切线的斜率为1,则f′(1)=a+b+1=1,则a=-b,故f(x)=a l nx-x2+x,若f(x)-x=a l nx-x2≤(a+2)成立,则a(x-l nx)≥x2-2x成立,因为x∈[1,e],所以l nx≤1≤x且等号不能同时取,所以l nx<x,即x-l nx>0.因而a≥(x∈[1,e]).令g(x)=(x∈[1,e]),又g′(x)=,当x∈[1,e]时,x-1≥0,l nx≤1,x+2-2l nx>0,从而g′(x)≥0(仅当x=1时取等号),所以g(x)在[1,e]上为增函数. 故g(x)的最大值为g(e)=,所以实数a的取值范围是.(3)由h(x)+x=f(x)+x2,可知:h(x)=a l nx+x2,h′(x)=(x>0),当x∈[1,e]时,2x2+a∈[a+2,a+2e2].若a≥-2,h′(x)在[1,e]上非负(仅当a=-2,x=1时,h′(x)=0),若-2e2<a<-2,当x=时,h′(x)=0;当1≤x<时,h′(x)<0,此时h(x)是减函数;当<x≤e时,h′(x)>0,此时h(x)是增函数.故h(x)min=h=l n-.若a≤-2e2,h′(x)在[1,e]上非正(仅当a=-2e2,x=e时,f′(x)=0),故函数h(x)在[1,e]上是减函数,此时h(x)min=h(e)=a+e2.综上可知,当a≥-2时,h(x)的最小值为1,相应的x值为1;当-2e2<a<-2时,h(x)的最小值为l n-,相应的x值为; 当a≤-2e2时,h(x)的最小值为a+e2,相应的x值为e.。

高考数学二轮复习大题专攻练(十二)函数与导数B组文

高考大题专攻练 12.函数与导数(B组)大题集训练,练就慧眼和规范,占领高考制胜点!1.已知函数f(x)=alnx-(a+b)x+x2(a,b∈R).(1)若a=2,b=1,求函数f(x)在x=1处的切线方程.(2)若f(x)在x=1处取得极值,讨论函数f(x)的单调性.【解析】(1)当a=2,b=1时,f(x)=2lnx-3x+x2,所以f′(x)=-3+2x,所以f′(1)=1,又f(1)=-2,所以f(x)在x=1处的切线方程为x-y-3=0.(2)f′(x)=-(a+b)+2x,由f(x)在x=1处取得极值,可得f′(1)=0,解得b=2,所以f′(x)=-(a+2)+2x=.当a=2时,f′(x)≥0,不满足f(x)在x=1处取得极值,故a≠2.①当a≤0,x∈(0,1)时,f′(x)<0,x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增;②当0<<1即0<a<2时,0<x<或x>1时,f′(x)>0,<x<1时,f′(x)<0,所以f(x)在,(1,+∞)单调递增,在单调递减.③当a>2,0<x<1或x>时,f′(x)>0,1<x<时,f′(x)<0,所以f(x)在(0,1),单调递增,在单调递减.2.已知函数f(x)=(x>0,a∈R).(1)求函数f(x)的极值点.(2)设g(x)=,若函数g(x)在(0,1)∪(1,+∞)内有两个极值点x1,x2,求证:g(x1)·g(x2)<.【解析】(1)f′(x)==(x>0).①若a≤0,由f′(x)=0,得x=2.由f′(x)>0,可得x>2,所以函数f(x)在(2,+∞)上为增函数;由f′(x)<0,可得0<x<2,所以函数f(x)在(0,2)上为减函数;所以函数f(x)在(0,+∞)上存在唯一的极小值点x=2,无极大值点.②若0<a<2,由f′(x)=0,得x=2,x=a,由f′(x)>0,可得0<x<a或x>2,所以函数f(x)在(0,a),(2,+∞)上为增函数;由f′(x)<0,可得a<x<2,所以函数f(x)在(a,2)上为减函数,所以函数f(x)在(0,+∞)上有极大值点x=a,极小值点x=2.③若a=2,则f′(x)=在(0,+∞)上大于等于零恒成立,故函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,无极值点.④若a>2,由f′(x)=0,得x=2,x=a,由f′(x)>0,可得0<x<2或x>a,所以函数f(x)在(0,2),(a,+∞)上为增函数,由f′(x)<0,可得2<x<a,所以函数f(x)在(2,a)上为减函数.所以函数f(x)在(0,+∞)上有极大值点x=2,极小值点x=a.(2)g(x)==,则g′(x)=.记h(x)=2x2-(2+a)x+2,由题意可知方程h(x)=0,即2x2-(2+a)x+2=0在(0,1)∪(1,+∞)上有两个不等实数根x1,x2. 所以解得a>2.由g(x1)g(x2)====.因为a>2,所以>e2,所以g(x1)g(x2)=<.。

高中数学第三章导数及其应用 3.33.3.2 函数的极值与

3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x ＝－1时，函数有极大值5；x 取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f (x )＝x 3＋ax 2＋(a ＋6)x ＋1有极大值和极小值，则a 的取值范围为( ) A ．－1＜a ＜2 B ．－3＜a ＜6 C ．a ＜－1或a ＞2D ．a ＜－3或a ＞6解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋(a ＋6)，因为f (x )既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a )2－4×3×(a ＋6)＞0，解得a ＞6或a ＜－3.答案：D5．设a ∈R，若函数y ＝e x＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1eD ．a ＜－1e解析：y ′＝e x＋a ＝0，e x＝－a ，因为x ＞0，所以 e x＞1，即－a ＞1，所以 a ＜－1. 答案：A 二、填空题6．函数f (x )＝x 3－6x ＋a 的极大值为________，极小值为________．解析：f ′(x )＝x 2－6令f ′(x )＝0，得x ＝－2或x ＝2，所以f (x )极大值＝f (－2)＝a ＋42，f (x )极小值＝f (2)＝a －4 2.答案：a ＋42，a －4 2.7．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则实数a ＝______．解析：由题意知f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，f ′(1)＝3－a4＝0，解得a ＝3.答案：38.如果函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y ＝f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内单调递增；②函数y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4，5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－12时，函数y ＝f (x )有极大值．则上述判断正确的是________(填序号)．解析：从图象知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－12时f ′(x )＞0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－3，－12内不单调，同理，函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，3内也不单调，故①②均不正确；当x ∈(4，5)时，f ′(x )＞0，所以函数y ＝f (x )在区间(4，5)内单调递增，故③正确；由于f ′(2)＝0，并且在x ＝2的左、右两侧的附近分别有f ′(x )＞0与f ′(x )＜0，所以当x ＝2时函数取得极大值，而在x ＝－12的左、右两侧的附近均为f ′(x )＞0，所以x ＝－12不是函数的极值点，即④⑤均不正确．答案：③ 三、解答题9．已知f (x )＝13x 3－12x 2－2x ，求f (x )的极大值与极小值．解：由已知得f (x )的定义域为R.f ′(x )＝x 2－x －2＝(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝2.当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：↗↘↗因此，当x ＝－1时，f (x )取得极大值，且极大值为f (－1)＝3×(－1)3－2×(－1)2－2×(－1)＝76；当x ＝2时，f (x )取得极小值，且极小值为f (2)＝13×23－12×22－2×2＝－103.从而f (x )的极大值为76，极小值为－103.10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取极值10，求f (2)的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗8. 当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2≥0，所以 f (x )在x ＝1处没有极值，不合题意．综上可知f (2)＝18.B 级能力提升1．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3，2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：因为f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，令f ′(x )＝0得x ＝±1，可知f (x )在x ＝±1处取得极值．又f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，所以在区间(－3，2]上，f (x )max ＝1，f (x )min ＝－19. 由题设知在区间(－3，2]上f (x )max －f (x )min ≤t ，从而t ≥20，所以t 的最小值是20. 答案：A2．已知函数f (x )＝1＋ln x x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋23(a ＞0)上存在极值，则实数a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1－（1＋ln x ）x 2＝－ln xx2，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时．f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以x ＝1是函数f (x )的极大值点．又函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋23(a ＞0)上存在极值，所以a ＜1＜a ＋23，解得13＜a ＜1，即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 3．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值；(2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？解：(1)f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，则x ＝－13或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗所以f (x )的极大值是f ⎝ ⎭⎪⎫－3＝27＋a ，极小值是f (1)＝a －1.(2)函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a ＝(x －1)2(x ＋1)＋a －1，由此可知，x 取足够大的正数时，有f (x )＞0，x 取足够小的负数时，有f (x )＜0，所以曲线y ＝f (x )与x 轴至少有一个定点．由(1)知f (x )最大值＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527＋a ，f (x )极小值＝f (1)＝a －1. 因为曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点，所以f (x )极大值＜0或f (x )极小值＞0，即527＋a ＜0或a －1＞0，所以a ＜－527或a ＞1，所以当a ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－527∪(1，＋∞)时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点．。

高考数学压轴专题人教版备战高考《函数与导数》真题汇编附解析

新数学《函数与导数》期末复习知识要点一、选择题1．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（） ABCD【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <；当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >. 故()min 33f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.2．函数()2sin f x x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间()0,+∞上的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】因为()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，()()12f x f x ∴>，所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.3．给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件；②定义在[],a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x ∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断①；利用函数奇偶性的性质以及二次函数的性质判断②；利用特称命题的否定判断③，进而可得结果. 【详解】对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域[],a b 关于原点对称，所以5b =，所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为()()5530f f -==，所以②正确；对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③不正确；故错误说法的个数为2. 故选：C. 【点睛】本题考查了特称命题的否定、充分条件与必要条件，考查了函数奇偶性的性质，同时考查了二次函数的性质，属于中档题..4．已知()(1)|ln |xf x x x =≠，若关于x 方程22[()](21)()0f x m f x m m -+++=恰有4个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（） A ．1,2(2,)e e⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭B ．11,e e ⎛⎫+⎪⎝⎭C ．(1,)e e -D ．1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,【答案】C 【解析】【分析】由已知易知()f x m =与()1f x m =+的根一共有4个，作出()f x 图象，数形结合即可得到答案. 【详解】由22[()](21)()0f x m f x m m -+++=，得()f x m =或()1f x m =+，由题意()f x m =与()1f x m =+两个方程的根一共有4个，又()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，所以()|ln |ln x x f x x x ==，令()ln x g x x=，则'2ln 1()(ln )x g x x -=，由'()0g x >得x e >，由'()0g x <得1x e <<或01x <<，故()g x 在(0,1),(1,)e 单调递减，在(,)e +∞上单调递增，由图象变换作出()f x 图象如图所示要使原方程有4个根，则01m em e <<⎧⎨+>⎩，解得1e m e -<<.故选：C 【点睛】本题考查函数与方程的应用，涉及到方程根的个数问题，考查学生等价转化、数形结合的思想，是一道中档题.5．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（） A ．7 B ．4C ．0D ．﹣4【答案】A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．6．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立，且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()112f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数21()()2g x f x x =-，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】令21()()2g x f x x =-，则()()g x f x x ''=-， ()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增,Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立,所以(0)0f =，2222111()()()()()222g x f x x x f x x x f x g x ⎡⎤∴-=--=--=-=-⎣⎦， ()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f == ∴在R 上()g x 单调递增.又()()112f a f a a -≥+-Q ()()()2211111222g a a g a a a ∴-+-≥++-，即()()1112g a g a a a a -≥⇒-≥⇒≤. 因此实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A 【点睛】本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出21()()2g x f x x =-是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.7．在二项式26()2a x x+的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线2y x =和圆22x y a +=及x 轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（）A ．146π+B ．146π- C ．4π D ．16【答案】B 【解析】【分析】用二项式定理得到中间项系数，解得a ，然后利用定积分求阴影部分的面积．【详解】（x 2+a 2x ）6展开式中，由通项公式可得122r 162rr r r a T C x x --+⎛⎫= ⎪⎝⎭, 令12﹣3r ＝0，可得r ＝4,即常数项为4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得4462a C ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝15，解得a ＝2．曲线y ＝x 2和圆x 2+y 2＝2的在第一象限的交点为（1，1）所以阴影部分的面积为()1223100111-x-x |442346dx x x πππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭⎰．故选：B 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．8．已知函数()2f x x x =+，且()1231lnlog 223a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】【分析】由函数()2f x x x =+，可得()()f x f x -=，得到函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，又由由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数()2f x x x =+，满足()()22()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，又当0x ≥时，()2f x x x =+，由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，又由31ln 22<=，113222log log 1<=-，1122-=，根据对称性，可得11323(ln )(2)(log )2f f f -<<，即a c b <<，故选A ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中得到函数的单调性与奇偶性，以及熟练应用对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n +的最小值为25，故选D ．【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．10．已知函数()()2f x x +∈R 为奇函数，且函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，当[]0,1x ∈时，()2020xf x =，则()2020f =（） A ．2020 B ．12020C ．11010D ．0【答案】D 【解析】【分析】根据题意，由函数()f x 的对称性可得()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，进而可得()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，据此可得()()20200f f =，由函数的解析式计算可得答案．【详解】解：根据题意，函数()2f x +为奇函数，即函数()f x 的图象关于点()2,0对称，则有()()4f x f x -=-+，函数()y f x =的图象关于直线1x =对称，则()()2f x f x -=+，变形可得：()()42f x f x +=-+，即()()2f x f x +=-，则有()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数，()()()20200505400f f f ∴=+⨯==；故选：D ．【点睛】本题考查函数的奇偶性、对称性、周期性的综合应用，难度一般.一般地，若一个奇函数有对称轴（或一个偶函数有对称中心），可分析出函数具有周期性.11．已知定义在R 上的函数(f x ），其导函数为()f x '，若()()3f x f x '-<-，()04f =，则不等式()3x f x e >+的解集是（）A ．(),1-∞B ．(),0-∞C ．()0,+∞D ．()1,+∞【答案】B 【解析】不等式()3xf x e >+得()()3311xx xf x f x e e e ->+∴>， ()()()()()330xxf x f x f xg x g x e e --+=∴='<'设，所以()g x 在R 上是减函数，因为()()()4301001g g x g x -==∴>∴<．故选B ．点睛：本题的难点在于解题的思路．已知条件和探究的问题看起来好像没有分析联系，这里主要利用了分析法，通过分析构造函数，利用导数的知识解答．12．若函数()()sin xf x e x a =+在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（）A ．)+∞ B ．[)1,+∞ C ．()1,+∞D ．()+∞【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为()0f x '≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立；根据导函数解析式可知问题可进一步转化04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立；利用正弦型函数值域求法可求得(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭，则只需10a -+?即可，解不等式求得结果. 【详解】由题意得：()()sin cos 4xx x f x ex a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭()f x Q 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增 ()0f x '∴≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立又0x e > 04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上恒成立当,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭ sin ,142x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦ (14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查根据函数在一段区间内的单调性求解参数范围问题，涉及到正弦型函数值域的求解问题；本题解题关键是能够将问题转化为导函数在区间内恒大于等于零的问题，从而利用三角函数的最值来求得结果.13．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞ 当43a --≤≤ 时，()21f x-＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤- 所以a 的最大值为2-. 故选：C. 【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.14．[]0x a,b ∃∈使得()f x m ≥成立，等价于[]()0x a,b ,[f x ]m max ∈≥15．若关于x 的不等式220x ax -+>在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是（）A ．)+∞B ．(,-∞C ．(,3)-∞D ．27(,)5-∞ 【答案】D 【解析】【分析】把220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]1,5x ∈使得22x 2ax x a x+>⇒+>，解出()f x 的最大值．【详解】220x ax -+>在区间[]1,5上有解，转化为存在一个[]1,5x ∈使得22x 2ax x a x +>⇒+>，设()2f x x x =+，即是()f x 的最大值a >，()f x 的最大值275=，当5x =时取得，故选D 【点睛】16．如图，对应此函数图象的函数可能是( )A ．21(1)2x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．22(1)x y x =-C ．ln y x =D ．1x y xe =-【答案】B【解析】【分析】观察图象，从函数的定义域，零点，以及零点个数，特征函数值判断，排除选项，得到正确答案.【详解】由图象可知当0x =时，1y =-，C 不满足；当1x =时，0y =，D 不满足条件；A.由函数性质可知当2x =-时，()2141122y -⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，显然A 不成立；而B 都成立.故选：B【点睛】本题考查根据函数图象，判断函数的解析式，重点考查函数性质的判断，包含函数的定义域，函数零点，零点个数，单调性，特殊值，等信息排除选项，本题属于中档题型.17．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭U D ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U【解析】【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围.【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x －1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2], 因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a ,所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）,由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2],当a ≥23时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a ≤2，故选C .【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18．设123log 2,ln 2,5a b c -===则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 【答案】C【解析】【分析】由ln 2ln 2ln 3a b =<=及311log ,22a c >==<=可比较大小. 【详解】 ∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =<=，即a b <．又3311log 2log ,22a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c a b << 故选C.本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.19．函数2ln x xy x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e 上递减,在1(,)e+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D .【详解】令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x x f x x x x==,()1ln f x x '=+, 由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<, 所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e +∞上递增,结合图像分析,,A C 不正确.故选:D【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.20．已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2x g x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2x h x x=的最大值为3x ，则（） A ．123x x x >>B ．213x x x >>C ．312x x x >>D ．321x x x >> 【答案】A【解析】【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】 ()1x f x e x x'=+-Q 在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭ 111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= Q 函数()2x g x e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭ 211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ 又()()11111211112220x g x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->= ⎪⎝⎭且()g x 单调递增 12x x ∴>由()21ln 2x h x x -'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.。

高中数学专题3.3.2 函数的极值与导数课时同步试题新

3.3.2 函数的极值与导数一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（2016四川文）已知a 为函数31(–)2f x x x =的极小值点，则a =A ．–4B ．–2C ．4D ．2【答案】D2．设函数()e xf x x =，则 A ．x ＝1为()f x 的极大值点B ．x ＝1为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点【答案】D【解析】本题考查函数的极值点．由题意得e (())1xf x x '+=，令0()f x '>，得1x >-；令0()f x '<，得1x <-，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,)-+∞上单调递增，所以1x =-为()f x 的极小值点．故选D ．3．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数(1)()y x f x =-'的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f【答案】D【解析】由函数的图象可知，(2)0f '-=，(2)0f '=，并且当2-<x 时，()0f x '>；当12<<-x 时，()0f x '<，则函数()f x 有极大值(2)f -．又当21<<x 时，()0f x '<；当2>x 时，()0f x '>，则函数()f x 有极小值(2)f ．故选D ． 4．函数3211()(21)(1)32f x b x b b x x =-+++在(0,2)内有极小值，则 A ．01b << B ．02b << C ．11b -<<D ．12b -<<【答案】C5．设函数21()ln 2f x ax bx x =--，若1x =是函数()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围为 A ．(1,0)-B ．(1,)-+∞C ．(,1)(0,)-∞-+∞UD ．(0,)+∞【答案】B【解析】21()ln 2f x ax bx x =--的定义域为(0,)+∞，1()f 'ax b x x =--，由题意可知()01f '=，即b -=1，1(1)(1)()1ax x f 'a x xx ax +-∴=-+-=-．①若0≥a ，由()0f 'x =，得1=x ，当10<<x 时，()0f 'x >，此时()f x 单调递增；当1>x 时，()0f 'x <，此时()f x 单调递减，所以1=x 是()f x 的极大值点．②若0<a ，则由()0f 'x =，得1=x 或ax 1-=．1=x Θ是函数()f x 的极大值点，11>-∴a，解得01<<-a ．综合①②可得，实数a 的取值范围是(1,)-+∞．故选B ． 6．已知a ∈R ，若()()e xa f x x x =+在区间(0,1)上只有一个极值点，则实数a 的取值范围为A ．(0,)+∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．(,0]-∞【答案】A【解析】由题易得322()e ()xx x x ax a f x++-'=，设32()h x x ax x a =++-，则2()32h x x x a '=++，当0>a 时，()0h x '>在(0,1)上恒成立，即函数()h x 在区间(0,1)上为增函数，而(00)h a =-<，(1)20h =>，则函数()h x 在区间(0,1)上有且只有一个零点0x ，使0()0f x '=，且在0(0,)x 上，()0f x '<，在0(,1)x 上()0f x '>，故0x x =为函数()f x 在(0,1)上唯一的极小值点；当0=a 时，2()320h x x x '=+>在区间(0,1)上恒成立，则函数()h x 在(0,1)上为增函数，又此时(0)0h =，所以()0h x >在区间(0,1)上为单调递增函数，所以()f x 在区间(0,1)上无极值；当0<a 时，3232()(1)h x x ax a x a x x x =++-=++-，因为(0,1)x ∈，所以总有()0h x >成立，即()0f x '>成立，故函数()f x 在区间(0,1)上为单调递增函数，所以函数()f x 在区间(0,1)上无极值．综上，0>a ，故选A ．二、填空题：请将答案填在题中横线上．7．已知函数32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是______________．【答案】(,3)(6,)-∞-+∞U8．已知函数()e xx f ax =-，0a >，则函数()f x 的极小值为______________．【答案】ln a a a -【解析】函数()f x 的定义域为R ，()e x'a x f =-，令()0f 'x >，得ln x a >，所以()f x 的单调递增区间是(ln ,)a +∞；令()0f 'x <，得ln x a <，所以()f x 的单调递减区间是(,ln )a -∞，故函数()f x 在ln x a =处取得极小值，所以ln ()(ln )eln ln af f a a a a a x a ==-=-极小值．9．已知函数22ln ()2f x x x x ax =-+，其中0a >，()g x 是()f x 的导函数，则函数()g x 的极大值为______________．【答案】2a【解析】由题可得2l (n )22(2)g x x x f a 'x =-+=+，则()22xg x x-='，易得函数()g x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上单调递减，所以函数()g x 的极大值为2(1)g a =．10．若函数212()()2ln (0)2ax f x a x x a =-++>在区间1(,1)2内有极大值，则实数a 的取值范围是______________．【答案】(1,2)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程；（2）求函数()f x 的极值．【答案】（1）20x y +-=；（2）见解析．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()1a f x x'=-．（1）当2a =时，()2ln f x x x =-，2()1(0)f x x x'=->，则(1)1f =，(1)1f '=-，故()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程为1(1)y x -=--，即20x y +-=．（2）由()1,0a x a f x x x x-'=-=>可知： ①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 为(0,)+∞上的增函数，函数()f x 无极值; ②当0a >时，由()0f x '=，解得x a =．当(0,)x a ∈时，()0f x '<；当(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．故()f x 在x a =处取得极小值，且极小值为()ln f a a a a =-，无极大值．综上，当0a ≤时，函数()f x 无极值；当0a >时，函数()f x 在x a =处取得极小值ln a a a -，无极大值．12．已知函数()e 1xf x x a =--（a 为实数），()ln xg x x =-．（1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）求函数()g x 的极值．【答案】（1）()f x 在(ln ,)a +∞上单调递增，在(,ln )a -∞上单调递减；（2）极大值为1-，无极小值．（2）函数()g x 的定义域为(0,)+∞，1()1g x x'=-，由()0g x '>可得01x <<；由()0g x '<，可得1x >．所以函数()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，故函数()g x 在1x =处取得极大值，为ln111-=-，无极小值． 13．（2016山东文）设2()ln (21),f x x x ax a x a =-+-∈R ．（1）令()()f g 'x x =，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）1(,)2+∞．【解析】（1）由()ln 22,f 'x ax a x =-+可得()ln 22,(0,)g x ax a x x =-+∈+∞，则112()2x ax g a x x-'=-=，当0a ≤时，(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0a >时，10,2x a ∈（）时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，1(,)2x a∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减．所以当0a ≤时，()g x 的单调递增区间为(0,)+∞；当0a >时，()g x 的单调递增区间为1(0,)2a ，单调递减区间为1(,)2a+∞．（2）由（1）知，()01f '=． ①当0a ≤时，()f x '单调递增．所以当(0,1)x ∈时，()0f 'x <，()f x 单调递减．当(1,)x ∈+∞时，()0f 'x >，()f x 单调递增．所以()f x 在x =1处取得极小值，不合题意．②当102a <<时，112a >，由(1)知()f 'x 在1(0,)2a内单调递增，可得当(0,1)x ∈时，()0f x '<，1(1,)2x a ∈时，()0f 'x >，所以()f x 在(0，1)内单调递减，在(11,2)a内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意． ③当12a =时，112a=，()f x '在(0，1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减，所以当(0,)x ∈+∞时，()0f 'x ≤，()f x 单调递减，不合题意． ④当12a >时，1012a <<，当1,12x a∈（）时，()0f 'x >，()f x 单调递增，当,()1x ∈+∞时，()0f 'x <，()f x 单调递减，所以()f x 在1x =处取得极大值，合题意．综上可知，实数a 的取值范围为1(,)2+∞．。

高中数学第三章导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数课后提升训练(含解析)新人教A版选修11

函数的极值与导数(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.函数f(x)=x2++2的极小值是( )A.1B.2C.5D.不存在【解析】选C.f′(x)=2x-,令f′(x)=0,解得x=1,当x∈(0,1)时函数单调递减,当x∈(1,+∞)时函数单调递增,因此x=1是函数的极小值点,极小值为f(1)=5.2.(2017·凉山模拟)函数f(x)=mlnx-cosx在x=1处取得极值,则m的值为( ) A.sin1 B.-sin1C.cos1D.-cos1【解析】选B.因为f′(x)=+sinx,由题意得:f′(1)=m+sin1=0,所以m=-sin1.3.函数f(x)=2-x2-x3的极值情况是( )A.有极大值,没有极小值B.有极小值,没有极大值C.既无极大值也无极小值D.既有极大值又有极小值【解析】选D.f′(x)=-2x-3x2,令f′(x)=0有x=0或x=-.当x<-时,f′(x)<0;当-<x<0时,f′(x)>0;当x>0时,f′(x)<0.从而在x=0时,f(x)取得极大值,在x=-时,f(x)取得极小值.4.下列说法正确的是( )A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大B.函数在闭区间上的极大值一定比极小值小C.函数f(x)=|x|只有一个极小值D.函数y=f(x)在区间(a,b)上一定存在极值【解析】选 C.函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系,单调函数在区间(a,b)上没有极值,故A,B,D错误,C正确,函数f(x)=|x|只有一个极小值为0.5.若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,则+的最小值为( ) A. B. C. D.【解析】选C.因为函数f(x)=4x3-ax2-2bx在x=1处有极值,所以f′(1)=12-2a-2b=0,即a+b=6,则+=(a+b)=≥=(当且仅当=且a+b=6,即a=2b=4时取“=”).6.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围为( )A.(-1,2)B.(-3,6)C.(-∞,-1)∪(2,+∞)D.(-∞,-3)∪(6,+∞)【解析】选D.f′(x)=3x2+2ax+(a+6),因为f(x)既有极大值又有极小值,那么Δ=(2a)2-4×3×(a+6)>0,解得a>6或a<-3.7.(2017·广州高二检测)设函数f(x)=e x(sinx-cosx)(0≤x≤2015π),则函数f(x)的各极大值之和为( )A. B.C. D.【解析】选D.由题意,得f′(x)=(e x)′(sinx-cosx)+e x(sinx-cosx)′=2e x sinx,所以x∈(2kπ,2kπ+π)时f(x)递增,x∈(2kπ+π,2kπ+2π)时,f(x)递减,故当x=2kπ+π时,f(x)取极大值,其极大值为f(2kπ+π)=e2kπ+π[sin(2kπ+π)-cos(2kπ+π)]=e2kπ+π,又0≤x≤2015π,所以函数f(x)的各极大值之和为S=eπ+e3π+e5π+…+e2015π==8.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且满足f(x)+xf′(x)=,f(e)=,则下列结论正确的是( )A.f(x)有极大值无极小值B.f(x)有极小值无极大值C.f(x)既有极大值又有极小值D.f(x)没有极值【解析】选D.因为f(x)+xf′(x)=,所以[xf(x)]′=,所以xf(x)=(lnx)2+c.又因为f(e)=,所以e·=(lne)2+c,解得c=,所以f(x)=[(lnx)2+1]·,f′(x)==≤0,所以函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,所以f(x)在(0,+∞)上没有极值.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·银川高二检测)函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点为.【解析】因为f(x)=x3-x4,所以f′(x)=x2-x3=-x2(x-1),令f′(x)=0,则x=0或x=1,因为x ∈,所以x=1,并且在x=1左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,所以函数f(x)=x3-x4在区间上的极值点为1.答案:1【警示误区】函数的极值点都是其导数等于0的根,但须注意导数等于0的根不一定都是极值点,应根据导数图象分析再下结论是不是其极值点.10.已知函数f(x)=x4+9x+5,则f(x)的图象在(-1,3)内与x轴的交点的个数为. 【解析】因为f′(x)=4x3+9,当x∈(-1,3)时,f′(x)>0,所以f(x)在(-1,3)上单调递增,又f(-1)=-3<0,f(0)=5>0,所以f(x)在(-1,3)内与x轴只有一个交点.答案:1个三、解答题(每小题10分,共20分)11.已知函数y=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值,且其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行.(1)求函数的单调区间.(2)求函数的极大值与极小值的差.【解析】y′=3x2+6ax+3b,因为x=2是函数的极值点,所以12+12a+3b=0,即4+4a+b=0.①又图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行,所以y′|x=1=3+6a+3b=-3,即2a+b+2=0.②由①②解得a=-1,b=0.此时,y′=3x2-6x=3x(x-2).(1)令y′>0,得x(x-2)>0,所以x<0或x>2;令y′<0,得x(x-2)<0,所以0<x<2.所以函数在(0,2)上是减函数,在(-∞,0)和(2,+∞)上是增函数.(2)由(1)可以断定,x=0是极大值点,x=2是极小值点,又y=f(x)=x3-3x2+c,所以y极大值-y极小值=f(0)-f(2)=c-(8-12+c)=4.12.(2016·山东高考)设f(x)=xlnx-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间.(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.【解析】(1)g(x)=f′(x)=lnx-2ax+2a,所以g′(x)=-2a=.当a≤0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增.当a>0,x∈时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.综上:当a≤0时,函数g(x)单调递增区间为(0,+∞).当a>0时,函数g(x)单调递增区间为,函数g(x)单调递减区间为.(2)由(1)知f′(1)=0.①当a≤0,f′(x)单调递增,所以x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当0<a<,>1时,由(1)知f′(x)在内单调递增,所以x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,x∈时,f′(x)>0,f(x)单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.③当a=,=1时,f′(x)在内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以x∈时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.④当a>,0<<1时,x∈,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈时,f′(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取得极大值,符合题意.综上可知a>.【补偿训练】已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.(1)求b的值.(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.【解析】(1)f′(x)=3x2-2bx+2c,因为函数f′(x)的图象关于直线x=2对称,所以-=2,即b=6.(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx,f′(x)=3x2-12x+2c=3(x-2)2+2c-12,当2c-12≥0,即c≥6时,f′(x)≥0恒成立,此时函数f(x)无极值.【能力挑战题】已知函数f(x)=(c>0且c≠1,k∈R)恰有一个极大值点和一个极小值点,其中一个是x=-c.(1)求函数f(x)的另一个极值点.(2)求函数f(x)的极大值M和极小值m,并求M-m≥1时k的取值范围.【解析】(1)f′(x)==,由题意知f′(-c)=0,即得c2k-2c-ck=0,(*)因为c≠0,所以k≠0.由f′(x)=0得-kx2-2x+ck=0,由根与系数的关系知另一个极值点为x=1(或x=c-).(2)由(*)式得k=,即c=1+.当c>1时,k>0;当0<c<1时,k<-2.(i)当k>0时,f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)内是减函数,在(-c,1)内是增函数.所以M=f(1)==>0,m=f(-c)==<0,由M-m=+≥1及k>0,解得k≥.(ii)当k<-2时,f(x)在(-∞,-c)和(1,+∞)内是增函数,在(-c,1)内是减函数. 所以M=f(-c)=>0,m=f(1)=<0,M-m=-=1-≥1恒成立.综上可知,所求k的取值范围为(-∞,-2)∪[,+∞).。

高中数学第三章导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数达标练新人教A版选修11

3.3.2 函数的极值与导数
1.下面说法正确的是( )
A.可导函数必有极值
B.函数在极值点一定有定义
C.函数的极小值不会超过极大值
D.以上都不正确
【解析】选B.因为函数y=x是可导函数,但它没有极值,所以A选项错误;函数的极值点一定有定义是正确的,所以选项B正确;显然函数的极小值有可能会大于它的极大值,所以选项C不正确.
2.函数y=x3+1的极大值是( )
A.1
B.0
C.2
D.不存在
【解析】选D.因为y′=3x2≥0在R上恒成立,
所以函数y=x3+1在R上是单调增函数,
所以函数y=x3+1无极值.
3.函数y=f(x)是定义在R上的可导函数,则f′(x0)=0是x0为函数y=f(x)的极值点的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.f′(x0)=0 y=f(x)在x0处有极值,但y=f(x)在x0处有极值
⇒f′(x0)=0.
4.求函数y=x+的极值.
【解析】y′=1-=,令y′=0解得x=±1,而原函数的定义域为{x|x≠0},所以当x变化时,y′,y的变化情况如下表:
x (-∞,-1) -1 (-1,0) (0,1) 1 (1,+∞)
y′+ 0 - - 0 +
y ↗极大值↘↘极小值↗
所以当x=-1时,y极大值=-2,当x=1时,y极小值=2.
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高考数学总复习第二章函数、导数及其应用课时作业4 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册数

课时作业4 函数及其表示1．下列各组函数中，表示同一函数的是( D ) A ．f (x )＝e ln x，g (x )＝xB ．f (x )＝x 2－4x ＋2，g (x )＝x －2C ．f (x )＝sin2x2cos x ，g (x )＝sin xD ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2解析：A ，B ，C 的定义域不同，所以答案为D. 2．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值X 围是( D )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 解析：∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时，mx2＋4mx ＋3＝3满足题意；当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m <0，解得0<m <34.综上，m 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. 3．(2019·某某某某模拟)已知f (x 5)＝lg x ，则f (2)＝( A ) A.15lg2 B.12lg5 C.13lg2 D.12lg3 解析：解法一：由题意知x ＞0，令t ＝x 5，则t ＞0，x ＝t 15，∴f (t )＝lg t 15＝15lg t ，即f (x )＝15lg x (x ＞0)，∴f (2)＝15lg2，故选A.解法二：令x 5＝2，则x ＝215，∴f (2)＝lg215＝15lg2，故选A.4．已知函数f (x )＝1－log 2x 的定义域为[1,4]，则函数y ＝f (x )·f (x 2)的值域是( C ) A ．[0,1]B ．[0,3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3 解析：对于y ＝f (x )·f (x 2)，由函数f (x )的定义域是[1,4]，得1≤x ≤4，且1≤x 2≤4，解得1≤x ≤2，故函数y ＝f (x )·f (x 2)的定义域是[1,2]，易得y ＝f (x )·f (x 2)＝1－3log 2x ＋2log 22x ，令t ＝log 2x ，则t ∈[0,1]，y ＝1－3t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342－18，故t ＝34时，y 取最小值－18；t ＝0时，y 取最大值1，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1，故选C.5．(2019·某某某某模拟)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－3，x ＞0，g x ，x ＜0是奇函数，则f (g (－2))的值为( C )A.52 B ．－52C ．1D ．－1 解析：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－3，x ＞0，g x ，x ＜0是奇函数，∴x ＜0时，g (x )＝－12x ＋3，∴g (－2)＝－12－2＋3＝－1，f (g (－2))＝f (－1)＝g (－1)＝－12－1＋3＝1，故选C.6．(2019·某某某某模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，2x －2－x，x ＞0，则满足f (x 2－2)＞f (x )的x的取值X 围是( C )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)解析：由题意，x ＞0时，f (x )递增，故f (x )＞f (0)＝0，又x ≤0时，x ＝0，故若f (x 2－2)＞f (x )，则x 2－2＞x ，且x 2－2＞0，解得x ＞2或x ＜－2，故选C.7．(2019·某某成安模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( C )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：由题意知，当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2；当1＜x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又∵y ＝x －2，y ＝x 3－2在R 上都为增函数，且f (x )在x ＝1处连续， ∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.8．(2019·某某某某一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值X 围为( C )A ．[－1,2)B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[1，＋∞)解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若x ＞1，则f (x )＝x ＋1＞2，易知y ＝2|x －a |在(a ，＋∞)上递增，在(－∞，a )上递减，若a ＜1，则f (x )在x ＝a 处取得最小值，不符合题意；若a ≥1，则要使f (x )在x ＝1处取得最小值，只需2a －1≤2，解得a ≤2，∴1≤a ≤2.综上可得a 的取值X 围是[1,2]，故选C.9．(2019·某某、某某两省重点高中联考)函数f (x )＝4－4x＋ln(x ＋4)的定义域为(－4,1]__．解析：要使函数f (x )有意义，需有⎩⎪⎨⎪⎧4－4x≥0，x ＋4＞0，解得－4＜x ≤1，即函数f (x )的定义域为(－4,1]．10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，|log 2x |，x ＞0，则使f (x )＝12的x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22 .解析：由题意知，若x ≤0，则2x＝12，解得x ＝－1；若x ＞0，则|log 2x |＝12，解得x ＝212或x ＝2－12.故x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，2，22.11．记函数f (x )＝2－x ＋3x ＋1的定义域为A ，g (x )＝lg[(x －a －1)(2a －x )](a ＜1)的定义域为B .若B ⊆A ，则实数a 的取值X 围为(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1. 解析：由已知得A ＝{x |x ＜－1或x ≥1}，B ＝{x |(x －a －1)·(x －2a )＜0}，由a ＜1得a ＋1＞2a ，∴B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋1}． ∵B ⊆A ，∴a ＋1≤－1或2a ≥1， ∴a ≤－2或12≤a ＜1.∴a 的取值X 围为a ≤－2或12≤a ＜1.12．已知函数f (x )对任意实数x 均有f (x )＝－2f (x ＋1)，且f (x )在区间[0,1]上有解析式f (x )＝x 2.(1)求f (－1)，f (1.5)；(2)写出f (x )在区间[－2,2]上的解析式．解：(1)由题意知f (－1)＝－2f (－1＋1)＝－2f (0)＝0，f (1.5)＝f (1＋0.5)＝－12f (0.5)＝－12×14＝－18.(2)当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2；当x ∈(1,2]时，x －1∈(0,1]，f (x )＝－12f (x －1)＝－12(x －1)2；当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2(x ＋1)2；当x ∈[－2，－1)时，x ＋1∈[－1,0)，f (x )＝－2f (x ＋1)＝－2×[－2(x ＋1＋1)2]＝4(x ＋2)2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋22，x ∈[－2，－1，－2x ＋12，x ∈[－1，0，x 2，x ∈[0，1]，－12x －12，x ∈1，2].13．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( A )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x解析：设所求函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c (a ≠0)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝d ＝0，f 2＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′0＝c ＝－1，f ′2＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .14．(2019·某某某某一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |，x ＜a ＋1，－|x ＋1|－a ，x ≥a ＋1，若f (x )的最大值不超过1，则实数a 的取值X 围为( A )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－54，0D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－54解析：当x ＜a ＋1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |在(－∞，a )上递增，在[a ，a ＋1)上递减，可得此时f (x )在x ＝a 处取得最大值，且为1；当x ≥a ＋1时，f (x )＝－a －|x ＋1|，当a ＋1≥－1，即a ≥－2时，f (x )递减，由题意得－a －|a ＋2|≤1，解得a ≥－32；当a ＋1＜－1，即a ＜－2时，f (x )在x ＝－1处取得最大值，且为－a ，由题意得－a ≤1，则a ∈∅.综上可得a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32，＋∞，故选A.。

高中数学 1.3.2 函数的极值与导数同步练习新人教A版选修2-2

精品"正版〞资料系列,由本公司独创 .旨在将"人教版〞、〞苏教版"、〞北师大版"、〞华师大版"等涵盖几乎所有版本的教材教案、课件、导学案及同步练习和检测题分享给需要的朋友 .本资源创作于2021年8月,是当前最|新版本的教材资源 .包含本课对应内容,是您备课、上课、课后练习以及寒暑假预习的最|正确选择 .选修2 -2 .2 函数的极值与导数一、选择题1．函数f(x)在点x0处连续 ,以下命题中 ,正确的选项是( )A．导数为零的点一定是极值点B．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0 ,右侧f′(x)<0 ,那么f(x0)是极小值C．如果在点x0附近的左侧f′(x)>0 ,右侧f′(x)<0 ,那么f(x0)是极大值D．如果在点x0附近的左侧f′(x)<0 ,右侧f′(x)>0 ,那么f(x0)是极大值[答案] C[解析] 导数为0的点不一定是极值点 ,例如f(x)＝x3 ,f′(x)＝3x2 ,f′(0)＝0 ,但x ＝0不是f(x)的极值点 ,故A错；由极值的定义可知C正确 ,故应选C.2．函数y＝1＋3x－x3有( )A．极小值－2 ,极大值2B．极小值－2 ,极大值3C．极小值－1 ,极大值1D．极小值－1 ,极大值3[答案] D[解析] y′＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)令y′＝0 ,解得x1＝－1 ,x2＝1当x<－1时 ,y′<0 ,函数y＝1＋3x－x3是减函数 ,当－1<x<1时 ,y′>0 ,函数y＝1＋3x－x3是增函数 ,当x>1时 ,y′<0 ,函数y＝1＋3x－x3是减函数 ,∴当x＝－1时 ,函数有极小值 ,y极小＝－1.当x＝1时 ,函数有极大值 ,y极大＝3.3．设x0为f(x)的极值点 ,那么以下说法正确的选项是( )A．必有f′(x0)＝0B．f′(x0)不存在C．f′(x0)＝0或f′(x0)不存在D．f′(x0)存在但可能不为0[答案] C[解析] 如：y ＝|x | ,在x ＝0时取得极小值 ,但f ′(0)不存在． 4．对于可导函数 ,有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 只有这一点导数值为0 ,且两侧导数值异号才是充要条件． 5．对于函数f (x )＝x 3－3x 2,给出命题： ①f (x )是增函数 ,无极值； ②f (x )是减函数 ,无极值；③f (x )的递增区间为(－∞ ,0) ,(2 ,＋∞) ,递减区间为(0,2)； ④f (0)＝0是极大值 ,f (2)＝－4是极小值．其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[答案] B[解析] f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2) ,令f ′(x )>0 ,得x >2或x <0 ,令f ′(x )<0 ,得0<x <2 ,∴①②错误．6．函数f (x )＝x ＋1x的极值情况是( )A ．当x ＝1时 ,极小值为2 ,但无极大值B ．当x ＝－1时 ,极大值为－2 ,但无极小值C ．当x ＝－1时 ,极小值为－2；当x ＝1时 ,极大值为2D ．当x ＝－1时 ,极大值为－2；当x ＝1时 ,极小值为2 [答案] D[解析] f ′(x )＝1－1x2 ,令f ′(x )＝0 ,得x ＝±1 ,函数f (x )在区间(－∞ ,－1)和(1 ,＋∞)上单调递增 ,在(－1,0)和(0,1)上单调递减 , ∴当x ＝－1时 ,取极大值－2 ,当x ＝1时 ,取极小值2.7．函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ) ,导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如下图 ,那么函数f (x )在开区间(a ,b )内有极小值点( )A．1个B．2个C．3个D．4个[答案] A[解析] 由f′(x)的图象可知 ,函数f(x)在区间(a ,b)内 ,先增 ,再减 ,再增 ,最|后再减 ,故函数f(x)在区间(a ,b)内只有一个极小值点．8．函数y＝x－ln(1＋x2) ,那么函数y的极值情况是( )A．有极小值B．有极大值C．既有极大值又有极小值D．无极值[答案] D[解析] ∵y′＝1－11＋x2(x2＋1)′＝1－2xx2＋1＝(x－1)2x2＋1令y′＝0得x＝1 ,当x>1时 ,y′>0 ,当x<1时 ,y′>0 ,∴函数无极值 ,故应选D.9．函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点 ,那么函数f(x)的极值是( )A．极大值为427,极小值为0B．极大值为0 ,极小值为427C．极大值为0 ,极小值为－4 27D．极大值为－427,极小值为0[答案] A[解析] 由题意得 ,f(1)＝0 ,∴p＋q＝1①f′(1)＝0 ,∴2p＋q＝3②由①②得p＝2 ,q＝－1.∴f (x )＝x 3－2x 2＋x ,f ′(x )＝3x 2－4x ＋1 ＝(3x －1)(x －1) ,令f ′(x )＝0 ,得x ＝13或x ＝1 ,极大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427 ,极小值f (1)＝0.10．以下函数中 ,x ＝0是极值点的是( ) A ．y ＝－x 3B ．y ＝cos 2x C ．y ＝tan x －xD ．y ＝1x[答案] B[解析] y ＝cos 2x ＝1＋cos2x 2,y ′＝－sin2x ,x ＝0是y ′＝0的根且在x ＝0附近 ,y ′左正右负 ,∴x ＝0是函数的极大值点．二、填空题 11．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为______ ,极小值为______． [答案] 1 －1[解析] y ′＝2(1＋x )(1－x )(x 2＋1)2, 令y ′>0得－1<x <1 ,令y ′<0得x >1或x <－1 , ∴当x ＝－1时 ,取极小值－1 ,当x ＝1时 ,取极大值1.12．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________ ,极小值为____________． [答案] a ＋4 2 a －4 2[解析] y ′＝3x 2－6＝3(x ＋2)(x －2) , 令y ′>0 ,得x >2或x <－ 2 , 令y ′<0 ,得－2<x < 2 , ∴当x ＝－2时取极大值a ＋4 2 , 当x ＝2时取极小值a －4 2.13．函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处有极大值 ,在x ＝3处有极小值 ,那么a ＝______ ,b ＝________.[答案] －3 －9[解析] y ′＝3x 2＋2ax ＋b ,方程y ′＝0有根－1及3 ,由韦达定理应有14．函数f(x)＝x3－3x的图象与直线y＝a有相异三个公共点 ,那么a的取值范围是________．[答案] (－2,2)[解析] 令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1 ,可得极大值为f(－1)＝2 ,极小值为f(1)＝－2 ,y＝f(x)的大致图象如图观察图象得－2<a<2时恰有三个不同的公共点．三、解答题15．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋11.(1)写出函数f(x)的递减区间；(2)讨论函数f(x)的极大值或极小值 ,如有试写出极值．[解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x＋1)(x－3) ,令f′(x)＝0 ,得x1＝－1 ,x2＝3.x变化时 ,f′(x)的符号变化情况及f(x)的增减性如下表所示：x (－∞ ,－1)－1(－1,3)3(3 ,＋∞) f′(x)＋0－0＋f(x)增极大值f(－1)减极小值f(3)增(1)由表可得函数的递减区间为(－1,3)；(2)由表可得 ,当x＝－1时 ,函数有极大值为f(－1)＝16；当x＝3时 ,函数有极小值为f(3)＝－16.16．设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx ,在x＝1和x＝－1处有极值 ,且f(1)＝－1 ,求a、b、c的值 ,并求出相应的极值．[解析] f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.∵x＝±1是函数的极值点,∴－1、1是方程f′(x)＝0的根 ,即有又f(1)＝－1 ,那么有a＋b＋c＝－1 ,此时函数的表达式为f (x )＝12x 3－32x .∴f ′(x )＝32x 2－32.令f ′(x )＝0 ,得x ＝±1.当x 变化时 ,f ′(x ) ,f (x )变化情况如下表：x (－∞ ,－1)－1 (－1,1) 1 (1 ,＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值1极小值－1由上表可以看出 ,当x ＝－1时 ,函数有极大值1；当x ＝1时 ,函数有极小值－1. 17．函数f (x )＝ax 3＋bx 2－3x 在x ＝±1处取得极值． (1)讨论f (1)和f (－1)是函数f (x )的极大值还是极小值； (2)过点A (0,16)作曲线y ＝f (x )的切线 ,求此切线方程． [解析] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx －3 ,依题意 ,f ′(1)＝f ′(－1)＝0 ,即解得a ＝1 ,b ＝0. ∴f (x )＝x 3－3x ,f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)．令f ′(x )＝0 ,得x 1＝－1 ,x 2＝1.假设x ∈(－∞ ,－1)∪(1 ,＋∞) ,那么f ′(x )＞0 ,故f (x )在(－∞ ,－1)上是增函数 , f (x )在(1 ,＋∞)上是增函数．假设x ∈(－1,1) ,那么f ′(x )＜0 ,故f (x )在(－1,1)上是减函数．∴f (－1)＝2是极大值；f (1)＝－2是极小值． (2)曲线方程为y ＝x 3－3x .点A (0,16)不在曲线上．设切点为M (x 0 ,y 0) ,那么点M 的坐标满足y 0＝x 30－3x 0. ∵f ′(x 0)＝3(x 20－1) ,故切线的方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)．注意到点A (0,16)在切线上 ,有 16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)．化简得x 30＝－8 ,解得x 0＝－2. ∴切点为M (－2 ,－2) , 切线方程为9x －y ＋16＝0.18．(2021·北京文 ,18)设函数f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0) ,且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.(1)当a ＝3且曲线y ＝f (x )过原点时 ,求f (x )的解析式； (2)假设f (x )在(－∞ ,＋∞)内无极值点 ,求a 的取值范围． [解析] 此题考查了函数与导函数的综合应用．由f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 得f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c∵f ′(x )－9x ＝ax 2＋2bx ＋c －9x ＝0的两根为1,4.(1)当a ＝3时 ,由(*)式得 ,解得b ＝－3 ,c ＝12.又∵曲线y ＝f (x )过原点 ,∴d ＝0. 故f (x )＝x 3－3x 2＋12x .(2)由于a >0 ,所以 "f (x )＝a3x 3＋bx 2＋cx ＋d 在(－∞ ,＋∞)内无极值点〞等价于"f ′(x )＝ax 2＋2bx ＋c ≥0在(－∞ ,＋∞)内恒成立〞由(*)式得2b ＝9－5a ,c ＝4a . 又∵Δ＝(2b )2－4ac ＝9(a －1)(a －9)解得a ∈[1,9] ,即a 的取值范围[1,9]．。

高考数学压轴专题人教版备战高考《函数与导数》知识点总复习附答案

新《函数与导数》专题解析一、选择题1．已知函数()2f x x x =+，且()1231lnlog 223a f b f c f -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，则a b c ，，的大小关系为（）A ．a c b <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】【分析】由函数()2f x x x =+，可得()()f x f x -=，得到函数()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，又由由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，再根据对数函数的性质，结合图象，即可求解．【详解】由题意，函数()2f x x x =+，满足()()22()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为定义域上的偶函数，图象关于y 轴对称，又当0x ≥时，()2f x x x =+，由二次函数的性质可得，函数()f x 在[0,)+∞上为单调递增函数，则函数()f x 在(,0)-∞上为单调递减函数，又由31ln 22<=，113222log log 1<=-，1122-=，根据对称性，可得11323(ln )(2)(log )2f f f -<<，即a c b <<，故选A ．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的应用，其中解答中得到函数的单调性与奇偶性，以及熟练应用对数函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()242f x f x x +-=+，设()()22g x f x x =-，若()g x 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m +=（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【解析】∵()()242f x f x x +-=+，()()22g x f x x =-∴2222()()()2()24242g x g x f x x f x x x x +-=-+--=+-= ∴函数()g x 关于点(0,1)对称∵()g x 的最大值和最小值分别为M 和m∴122M m +=⨯= 故选B.3．函数22()41x x x f x ⋅=-的图像大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】∵函数()22?41x x x f x =-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U∴222()2()()4114x x x xx x f x f x --⋅-⋅-===--- ∴函数()f x 为奇函数，故排除B ，C. ∵2(1)03f =>，故排除D. 故选A.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（）．A 5B ．3C ．23D ．22【答案】D 【解析】试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---22()22a b a b ≥-⨯=- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -=时等号成立所以22a b a b +-的最下值为22故答案选D考点：基本不等式．5．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果.【详解】当2x =时，110x x -=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ；故选：B.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.6．函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．【答案】D 【解析】【分析】利用()10f <，以及函数的极限思想，可以排除错误选项得到正确答案。

高考数学压轴专题人教版备战高考《函数与导数》全集汇编及答案

高考数学《函数与导数》练习题一、选择题1．已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =处取极值10，则a =（）A ．4或3-B ．4或11-C ．4D ．3-【答案】C 【解析】分析：根据函数的极值点和极值得到关于,a b 的方程组，解方程组并进行验证可得所求．详解：∵322()f x x ax bx a =+++， ∴2()32f x x ax b '=++．由题意得2(1)320(1)110f a b f a b a =++=⎧⎨=+++='⎩，即2239a b a b a +=-⎧⎨++=⎩，解得33a b =-⎧⎨=⎩或411a b =⎧⎨=-⎩．当33a b =-⎧⎨=⎩时，22()3633(1)0f x x x x '=-+=-≥，故函数()f x 单调递增，无极值．不符合题意． ∴4a =．故选C ．点睛：（1）导函数的零点并不一定就是函数的极值点，所以在求出导函数的零点后一定要注意分析这个零点是不是函数的极值点．（2）对于可导函数f (x )，f ′(x 0)＝0是函数f (x )在x ＝x 0处有极值的必要不充分条件，因此在根据函数的极值点或极值求得参数的值后需要进行验证，舍掉不符合题意的值．2．设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=L ( ) A ．222e e + B ．25050e e + C ．2100100e e + D ．222e e --【答案】A 【解析】【分析】由()()22f x f x -=+可得对称轴，结合奇偶性可知()f x 周期为8；可将所求式子通过周期化为()()()()1234f f f f +++，结合解析式可求得函数值. 【详解】由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称又()f x Q 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数()()()()()()()()()1281241240f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=Q 且()()()()2123422f f f f e e +++=+()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+故选：A 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性、对称性和周期性求解函数值的问题，关键是能够利用奇偶性和对称轴得到函数的周期，并求得基础区间内的函数值.3．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称.以下关于()f x 的结论：①()f x 是周期函数；②()f x 满足()(4)f x f x =-；③()f x 在(0,2)单调递减；④()cos 2xf x π=是满足条件的一个函数.其中正确结论的个数是( ) A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】【分析】题目中条件：(2)()f x f x +=-可得(4)()f x f x +=知其周期，利用奇函数图象的对称性，及函数图象的平移变换，可得函数的对称中心，结合这些条件可探讨函数的奇偶性，及单调性．【详解】解：对于①：()()f x f x -=Q ，其图象关于点(1,0)对称(2)()f x f x +=- 所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，∴函数()f x 是周期函数且其周期为4，故①正确；对于②：由①知，对于任意的x ∈R ，都有()f x 满足()(4)f x f x -=-，函数是偶函数，即()(4)f x f x =-，故②正确．对于③：反例：如图所示的函数，关于y 轴对称，图象关于点(1,0)对称，函数的周期为4，但是()f x 在(0,2)上不是单调函数，故③不正确；对于④：()cos 2xf x π=是定义在R 上的偶函数，其图象关于点(1,0)对称的一个函数，故④正确．故选：B ．【点睛】本题考查函数的基本性质，包括单调性、奇偶性、对称性和周期性，属于基础题．4．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（） A ．7 B ．4C ．0D ．﹣4【答案】A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-Q ，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ．5．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立，且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()112f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数21()()2g x f x x =-，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案.【详解】令21()()2g x f x x =-，则()()g x f x x ''=-， ()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增,Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立,所以(0)0f =，2222111()()()()()222g x f x x x f x x x f x g x ⎡⎤∴-=--=--=-=-⎣⎦， ()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f == ∴在R 上()g x 单调递增.又()()112f a f a a -≥+-Q ()()()2211111222g a a g a a a ∴-+-≥++-，即()()1112g a g a a a a -≥⇒-≥⇒≤. 因此实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 故选：A 【点睛】本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出21()()2g x f x x =-是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.6．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．13C ．23D ．12【答案】B 【解析】【分析】利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，曲线21xy e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-，所以曲线21xy e-=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，令0y =，解得1x =，令y x =，解得23x y ==，所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为1211233⨯⨯=，故选B ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．已知定义在R 上的函数()f x 满足()01f =，且()f x 的导函数'()f x 满足'()1f x >，则不等式()()ln ln f x ex <的解集为（） A ．()0,1 B ．()1,eC ．()0,eD ．(),e +∞【答案】A 【解析】【分析】设()()g x f x x =-，由题得()g x 在R 上递增，求不等式()()ln ln f x ex <的解集，即求不等式(ln )(0)g x g <的解集，由此即可得到本题答案. 【详解】设()()g x f x x =-，则(0)(0)01g f =-=，()()1g x f x '='-，因为()1f x '>，所以()0g x '>，则()g x 在R 上递增，又(ln )ln()1ln f x ex x <=+，所以(ln )ln 1f x x -<，即(ln )(0)g x g <，所以ln 0x <，得01x <<. 故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用函数的单调性解不等式，其中涉及到构造函数.8．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++ ≥17+24n 4mm n⋅=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n +的最小值为25，故选D ．【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．9．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（）时，其容积最大．A ．34B ．23C ．13D ．12【答案】B 【解析】【分析】设正六棱柱容器的底面边长为x ,)31x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()32339214V x x x x x x x =+-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为)312x -, 所以正六棱柱容器的容积为()()()()3233921224V x x x x x x x =+⋅⋅-=-+, 所以()227942V x x x '=-+,则在20,3⎛⎫⎪⎝⎭上,()0V x '>；在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上,()0V x '<, 所以()V x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以当23x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.10．在平面直角坐标系中，若P ，Q 满足条件：（1）P ,Q 都在函数f （x ）的图象上；（2）P ,Q 两点关于直线y=x 对称，则称点对{P ,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P ,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数2232(0)(){log (0)x x x f x x x ++≤=>的“可交换点对有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【答案】C 【解析】试题分析：设p （x ，y ）是满足条件的“可交换点”,则对应的关于直线y=x 的对称点Q 是（y ，x ），所以232x x ++=2x ,由于函数y=232x x ++和y=2x 的图象由两个交点，因此满足条件的“可交换点对”有两个，故选C. 考点：函数的性质11．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-【答案】A 【解析】【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k . 在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.12．已知函数()()2ln1f x x x =+，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】 ∵())2ln1f x x x =+∴221()1)1f x x x x x=+=++∴2()ln(1)f x x x -=+∵当0x >211x x +>；当0x <时，2011x x +<∴当0x >时，222()ln(1)ln(1)ln(1)f x x x x x x x =+=-+=+，2()ln(1)f x x x -=+；当0x <时22()ln(1)ln(1)f x x x x x =+=+；22()ln(1)ln(1)f x x x x x -=-++=+-.∴()()f x f x =- ∴函数()f x 是偶函数∴当0x >时，易得2()ln(1)f x x x =++为增函数∴33(log 0.2)(log 5)a f f ==， 1.1 1.1(3)(3)c f f =-=∵31log 52<<，0.2031-<<， 1.133>∴ 1.10.23(3)(log 5)(3)f f f ->>∴c a b >> 故选D.13．()263,034,0x x x x f x x ⎧---≤=⎨->⎩，则函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为（）A ．3B ．5C ．6D ．7 【答案】D 【解析】【分析】作出()f x 的图像，将()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数即()0f f x =⎡⎤⎣⎦的实数根个数，令()t f x =，解()0f t =有三个实数根，再结合图像即可得到答案.【详解】由题意，()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数即()0f f x =⎡⎤⎣⎦的实数根个数，作()f x 的图像如图所示，设()t f x =，则()0f t =，当0t ≤时，即2630t t ---=，解得，1236,36t t =-=-当0t >时，即340t -=，解得33log 4t =；结合图像知，()36f x =--时有一个根，()36f x =-+时有三个根，3()log 4f x =时有三个根，所以()0f f x =⎡⎤⎣⎦有7个根，即()y f f x =⎡⎤⎣⎦的零点个数为7. 故选：D 【点睛】本题主要考查函数的零点问题、解函数值以及一元二次函数和指数函数的图像，考查学生数形结合的思想，属于中档题.14．已知函数在区间上有最小值，则函数在区间上一定（）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数【答案】D 【解析】【分析】由二次函数在区间上有最小值得知其对称轴，再由基本初等函数的单调性或单调性的性质可得出函数在区间上的单调性.【详解】由于二次函数在区间上有最小值，可知其对称轴，.当时，由于函数和函数在上都为增函数，此时，函数在上为增函数；当时，在上为增函数；当时，由双勾函数的单调性知，函数在上单调递增，，所以，函数在上为增函数.综上所述：函数在区间上为增函数，故选D.【点睛】本题考查二次函数的最值，同时也考查了型函数单调性的分析，解题时要注意对的符号进行分类讨论，考查分类讨论数学思想，属于中等题.15．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（）． A ．5B ．23C ．23+D ．22 【答案】D【解析】试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =所以lg lg a b =-所以1a b=，即1ab =，0a b >> 22a b a b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---22()22a b a b ≥-⨯=- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -=时等号成立所以22a b a b+-的最下值为22 故答案选D考点：基本不等式．16．如图，对应此函数图象的函数可能是( )A ．21(1)2x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．22(1)x y x =-C ．ln y x =D ．1x y xe =-【答案】B【解析】【分析】观察图象，从函数的定义域，零点，以及零点个数，特征函数值判断，排除选项，得到正确答案.【详解】由图象可知当0x =时，1y =-，C 不满足；当1x =时，0y =，D 不满足条件；A.由函数性质可知当2x =-时，()2141122y -⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，显然A 不成立；而B 都成立.故选：B【点睛】本题考查根据函数图象，判断函数的解析式，重点考查函数性质的判断，包含函数的定义域，函数零点，零点个数，单调性，特殊值，等信息排除选项，本题属于中档题型.17．设函数()xf x x e =⋅，则（） A ．()f x 有极大值1e B ．()f x 有极小值1e- C ．()f x 有极大值eD ．()f x 有极小值e -【答案】B【解析】【分析】利用导数求出函数()y f x =的极值点，分析导数符号的变化，即可得出结论.【详解】()x f x x e =⋅Q ，定义域为R ，()()1x f x x e '∴=+，令()0f x '=，可得1x =-. 当1x <-时，()0f x '<；当1x >-时，()0f x '>.所以，函数()x f x x e =⋅在1x =-处取得极小值()11f e-=-，故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数的极值，在求出极值点后，还应分析出导数符号的变化，考查计算能力，属于中等题.18．若函数()f x 的定义域为R ，其导函数为()f x '．若()3f x '<恒成立，()20f -=，则()36f x x <+ 解集为（）A ．(),2-∞-B ．()2,2-C ．(),2-∞D ．()2,-+∞【答案】D【解析】【分析】设()()36g x f x x =--，求导后可得()g x 在R 上单调递减，再结合()20g -=即可得解.【详解】设()()36g x f x x =--，Q ()3f x '<，∴()()30g x f x ''=-<，∴()g x 在R 上单调递减，又()()22660g f -=-+-=，不等式()36f x x <+即()0g x <，∴2x >-，∴不等式()36f x x <+的解集为()2,-+∞.故选：D.【点睛】本题考查了导数的应用，关键是由题意构造出新函数，属于中档题.19．设123log 2,ln 2,5a b c -===则A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．c b a << 【答案】C【解析】【分析】由ln 2ln 2ln 3a b =<=及311log ,22a c >==<=可比较大小. 【详解】∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =<=，即a b <．又3311log 2log ,22a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c a b << 故选C.【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.20．曲线3πcos 02y x x ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与x 轴以及直线3π2x =所围图形的面积为（） A ．4B ．2C ．52D ．3【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：()332222(0cos )sin 2S x dx x ππππ=-=-=⎰，选B.考点：定积分的几何意义。

高考数学压轴专题人教版备战高考《函数与导数》知识点总复习含答案

【最新】高考数学《函数与导数》专题解析一、选择题1．若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()20f x f x +-=．当[]0,1x ∈，()21f x x =-，则（）A ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭B ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()2135log 3log 22f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】推导出函数()y f x =的周期为4，根据题意计算出51022f f ⎛⎫⎛⎫=-<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()224log 3log 03f f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()133log 2log 20f f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，再利用函数()y f x =在区间[]0,1上的单调性可得出结论. 【详解】因为定义在R 上的偶函数()y f x =满足()()20f x f x +-=，即()()20f x f x +-=，即()()2f x f x =--，()()()24f x f x f x ∴=--=-，所以，函数()y f x =的周期为4，因为当[]0,1x ∈时，()21f x x =-单调递减，因为5110222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()224log 3log 03f f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭， ()()1333log 2log 2log 20f f f ⎛⎫=-=> ⎪⎝⎭，因为2410log 132<<<，所以241log 32f f ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，12314log 2log 23f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>->- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()1235log 2log 32f f f ⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：A ．【点睛】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，属于中等题.2．已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()ln 1f x x x =+，则曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为（） A ．y x =- B ．2y x =-+C ．y x =D ．2y x =-【答案】A 【解析】【分析】首先根据函数的奇偶性，求得当0x <时，()f x 的解析式，然后求得切点坐标，利用导数求得斜率，从而求得切线方程. 【详解】因为0x <，()()ln()1f x f x x x =-=--+，()11f -=，()ln()1f x x '=---，(1)1f '-=-，所以曲线()y f x =在1x =-处的切线方程为()11y x -=-+，即y x =-.故选：A 【点睛】本小题主要考查根据函数奇偶性求函数解析式，考查利用导数求切线方程，属于基础题.3．设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()3f x f x x'->，则关于x 的不等式31(3)(3)03x f x f ⎛⎫---< ⎪⎝⎭的解集为（）A ．()3,6B ．()0,3C ．()0,6D ．()6,+∞【答案】A 【解析】【分析】根据条件，构造函数3()()g x x f x =，利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在(,0)-∞上为增函数，然后将所求不等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可．【详解】解：Q 3(1)(3)(3)03x f x f ---<，3(3)(3)27x f x f ∴---（3）0<， 3(3)(3)27x f x f ∴--<（3），Q 定义在(0,)+∞的函数()f x ，3x ∴<，令3()()g x x f x =，∴不等式3(3)(3)27x f x f --<（3），即为(3)g x g -<（3），323()(())3()()g x x f x x f x x f x '='=+'，Q()()3f x f x x'->， ()3()xf x f x ∴'>-， ()3()0xf x f x ∴'+>，32()3()0x f x x f x ∴+>，()0g x ∴'>， ()g x ∴单调递增，又因为由上可知(3)g x g -<（3）， 33x ∴-<，3x <Q ， 36x ∴<<．故选：A ．【点睛】本题主要考查不等式的解法：利用条件构造函数，利用函数单调性和导数之间的关系判断函数的单调性，属于中档题．4．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N =I B ．()U M N =∅I ð C ．M N U =U D ．()U M N ⊆ð【答案】A 【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．5．函数()xe f x x=的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】函数()xe f x x=的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，排除选项A ；当0x >时，()0f x >，且()2(1)'xx e f x x-= ，故当()0,1x ∈时，函数单调递减，当()1,x ∈+∞时，函数单调递增，排除选项C ；当0x <时，函数()0xe f x x=<，排除选项D ，选项B 正确．选B ．点睛：函数图象的识别可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．6．函数()2sin f x x x x =-的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】【分析】分析函数()y f x =的奇偶性，并利用导数分析该函数在区间()0,+∞上的单调性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】因为()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，且定义域R 关于原点对称，所以函数()y f x =为偶函数，故排除B 项；()()2sin sin f x x x x x x x =-=-，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x ='-≥恒成立，所以函数()y g x =单调递增，所以当0x >时，()()00g x g >=，任取120x x >>，则()()120g x g x >>，所以，()()1122x g x x g x >，()()12f x f x ∴>，所以，函数()y f x =在()0,+∞上为增函数，故排除C 、D 选项. 故选：A. 【点睛】本题考查利用函数解析式选择图象，一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、函数零点以及函数值符号，结合排除法得出合适的选项，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．给出下列说法： ①“tan 1x =”是“4x π=”的充分不必要条件；②定义在[],a b 上的偶函数2()(5)f x x a x b =+++的最大值为30； ③命题“0001,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x ∀∈+>R ”. 其中错误说法的个数为（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C 【解析】【分析】利用充分条件与必要条件的定义判断①；利用函数奇偶性的性质以及二次函数的性质判断②；利用特称命题的否定判断③，进而可得结果. 【详解】对于①，当4x π=时，一定有tan 1x =，但是当tan 1x =时，,4x k k ππ=+∈Z ，所以“tan 1x =”是“4x π=”的必要不充分条件，所以①不正确；对于②，因为()f x 为偶函数，所以5a =-.因为定义域[],a b 关于原点对称，所以5b =，所以函数2()5,[5,5]f x x x =+∈-的最大值为()()5530f f -==，所以②正确；对于③，命题“0001,2x x x ∃∈+≥R ”的否定形式是“1,2x x x∀∈+<R ”，所以③不正确；故错误说法的个数为2. 故选：C. 【点睛】本题考查了特称命题的否定、充分条件与必要条件，考查了函数奇偶性的性质，同时考查了二次函数的性质，属于中档题..8．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．13C ．23D ．12【答案】B 【解析】【分析】利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，曲线21xy e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-，所以曲线21xy e-=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，令0y =，解得1x =，令y x =，解得23x y ==，所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为1211233⨯⨯=，故选B ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是（） A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.40.20.43<log 0.5<4C ．0.40.20.4log 0.534<<D ．0.20.40.4log 0.543<<【答案】D 【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==== D.10．已知函数()2943,02log 9,0x x x f x x x ⎧+≤=⎨+->⎩，则函数()()y f f x =的零点所在区间为（）A ．73,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．7,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()4,5【答案】A 【解析】【分析】首先求得0x ≤时，()f x 的取值范围.然后求得0x >时，()f x 的单调性和零点，令()()0f f x =，根据“0x ≤时，()f x 的取值范围”得到()32log 93x f x x =+-=，利用零点存在性定理，求得函数()()y f f x =的零点所在区间.【详解】当0x ≤时，()34f x <≤.当0x ≥时，()2932log 92log 9xxx f x x =+-=+-为增函数，且()30f =，则3x =是()f x 唯一零点.由于“当0x ≤时，()34f x <≤.”，所以令()()0ff x =，得()32log 93xf x x =+-=，因为()303f =<，337782log 98 1.414log 39 3.312322f ⎛⎫=+->⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以函数()()y f f x =的零点所在区间为73,2⎛⎫⎪⎝⎭.故选：A 【点睛】本小题主要考查分段函数的性质，考查符合函数零点，考查零点存在性定理，考查函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.11．在平面直角坐标系中，若P ，Q 满足条件：（1）P ,Q 都在函数f （x ）的图象上；（2）P ,Q 两点关于直线y=x 对称，则称点对{P ,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P ,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数2232(0)(){log (0)x x x f x x x ++≤=>的“可交换点对有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【答案】C 【解析】试题分析：设p （x ，y ）是满足条件的“可交换点”,则对应的关于直线y=x 的对称点Q 是（y ，x ），所以232x x ++=2x ,由于函数y=232x x ++和y=2x 的图象由两个交点，因此满足条件的“可交换点对”有两个，故选C. 考点：函数的性质12．函数()32xy x x =-⋅的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【分析】排除法：根据函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称；函数有1-，0，1三个零点；当2x =时，函数值为正数，进行选项排除即可. 【详解】函数()32xy x x =-⋅为奇函数，故图象关于原点对称，故排除D ；函数有1-，0，1三个零点，故排除A ；当2x =时，函数值为正数，故排除B . 故选：C . 【点睛】本题考查函数的图象，根据解析式求图像通常利用排除法，依据有函数奇偶性、单调性、零点、定义域、值域、特殊值等，属于中等题.13．已知函数()1f x +是偶函数，当()1,x ∈+∞时，函数()f x 单调递减，设12a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()3b f =，()0c f =，则a b c 、、的大小关系为（）A ．b a c <<B ．c b d <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】A 【解析】【分析】根据()1f x +图象关于y 轴对称可知()f x 关于1x =对称，从而得到()f x 在(),1-∞上单调递增且()()31f f =-；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系. 【详解】()1f x +Q 为偶函数 ()1f x ∴+图象关于y 轴对称()f x ∴图象关于1x =对称()1,x ∈+∞Q 时，()f x 单调递减 (),1x ∈-∞∴时，()f x 单调递增又()()31f f =-且1102-<-< ()()1102f f f ⎛⎫∴-<-< ⎪⎝⎭，即b a c << 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.14．()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有3()()2f x f x +=-，则9()2f -的值为（） A ．0 B ．3C ．32D ．92-【答案】A 【解析】【分析】首先确定函数的周期，然后结合函数的周期性和函数的奇偶性求解92f ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值即可. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x R ∈总有()32f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则函数的周期3T =，据此可知：()993360002222f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+==+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查函数的周期性，函数的奇偶性，奇函数的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15．已知函数()2814f x x x =++，()()2log 4g x x =，若[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则a 的最大值为（）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1【答案】C 【解析】【分析】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，从而28142a a ++≤，故可求a 的最大值为2-.【详解】由[]()15,4x a a ∀∈-≥-，(]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，得：()f x 的值域为()g x 的值域的子集，由()()2log 4g x x =(]20,1x ∈()2g x ⇒≤ ，所以(](),2g x ∈-∞当43a --≤≤ 时，()21f x -＃-，此时()f x 的值域为()g x 的值域的子集成立.当3a >-时，()22814f x a a -≤≤++，须满足()f x 的值域为()g x 的值域的子集，即28142a a ++≤，得62a -≤≤-所以a 的最大值为2-.故选：C.【点睛】本题主要考查恒成立和存在性问题，注意把两类问题转化为函数值域的包含关系，此问题属于中档题目.16．如图，对应此函数图象的函数可能是( )A ．21(1)2x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．22(1)x y x =-C ．ln y x =D ．1x y xe =-【答案】B【解析】【分析】观察图象，从函数的定义域，零点，以及零点个数，特征函数值判断，排除选项，得到正确答案.【详解】由图象可知当0x =时，1y =-，C 不满足；当1x =时，0y =，D 不满足条件；A.由函数性质可知当2x =-时，()2141122y -⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，显然A 不成立；而B 都成立.故选：B【点睛】本题考查根据函数图象，判断函数的解析式，重点考查函数性质的判断，包含函数的定义域，函数零点，零点个数，单调性，特殊值，等信息排除选项，本题属于中档题型.17．一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁生日时不再存入，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为( )A ．17(1)a r +B ．17[(1)(1)]a r r r +-+C ．18(1)a r +D ．18[(1)(1)]a r r r+-+ 【答案】D【解析】【分析】由题意可得：孩子18岁生日时将所有存款（含利息）全部取回，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，再由等比数列前n 项和公式求解即可.【详解】解：根据题意，当孩子18岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为17(1)a r +，同理：孩子在2周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为16(1)a r +，孩子在3周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为15(1)a r +， ⋯⋯孩子在17周岁生日时存入的a 元产生的本利合计为(1)a r +，可以看成是以(1)a r +为首项，(1)r +为公比的等比数列的前17项的和，此时将存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数：17171618(1)[(1)1](1)(1)(1)[(1)(1)]11a r r a S a r a r a r r r r r ++-=++++⋯⋯++==+-++-；故选：D ．【点睛】本题考查了不完全归纳法及等比数列前n 项和，属中档题.18．40cos2d cos sin x x x xπ=+⎰（）A ．1)B 1C 1D ．2【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分.【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0x x x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ．【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.19．已知函数f （x ）＝2x －1，()2cos 2,0?2,0a x x g x x a x +≥⎧=⎨+<⎩（a ∈R ），若对任意x 1∈[1，＋∞），总存在x 2∈R ，使f （x 1）＝g （x 2），则实数a 的取值范围是（） A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．[]1,1,22⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭UD ．371,,224⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦U 【答案】C【解析】【分析】对a 分a=0,a ＜0和a ＞0讨论，a ＞0时分两种情况讨论，比较两个函数的值域的关系，即得实数a 的取值范围.【详解】当a =0时，函数f （x ）＝2x－1的值域为[1,+∞），函数()g x 的值域为[0,++∞），满足题意. 当a ＜0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）, y =()cos 20a x x +≥的值域为[a +2,-a +2],因为a +2-2a =2-a >0,所以a +2＞2a ,所以此时函数g (x )的值域为（2a ,+∞）,由题得2a ＜1，即a ＜12，即a ＜0. 当a ＞0时，y =22(0)x a x +<的值域为（2a ,+∞）,y =()cos 20a x x +≥的值域为[-a +2,a +2],当a ≥23时，-a +2≤2a ,由题得21,1222a a a a -+≤⎧∴≤≤⎨+≥⎩. 当0＜a ＜23时，-a +2＞2a ，由题得2a ＜1，所以a ＜12.所以0＜a ＜12. 综合得a 的范围为a ＜12或1≤a ≤2，故选C .【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查指数函数和三角函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20．已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2x g x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2x h x x=的最大值为3x ，则（） A ．123x x x >>B ．213x x x >>C ．312x x x >>D ．321x x x >> 【答案】A【解析】【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】 ()1x f x e x x'=+-Q 在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭ 111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= Q 函数()2x g x e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭ 211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ 又()()11111211112220x g x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->= ⎪⎝⎭ 且()g x 单调递增 12x x ∴>由()21ln 2x h x x-'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.。

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