七年级第二学期数学训练题暑假七年级数学讲义第三讲一元一次方程的解法及应用

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(完整word)七年级数学一元一次方程(教师讲义带答案)

第三章一元一次方程(韩老师)本章知识网络结构图3.1一元一次方程的概念和性质【本讲主要内容】1. 等式与方程表示相等关系的式子叫做等式。

含有未知数的等式叫做方程。

可见方程必须具备两个条件：一是必须含有未知数，二是必须是一个等式。

2. 等式的性质等式的性质1：等式两边加（减）同一个数（式子）。

结果仍相等。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。

应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字。

要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形。

3. 一元一次方程的概念我们把含有一个未知数，并且未知数的指数都是1的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程的最简形式是b ax =（≠a 0）。

方程中的未知数叫做“元”，一个方程中有几个未知数，就称这个方程为几元方程。

方程中含未知数的项的最高次数叫做方程的次数，这一点和多项式的次数有类似的地方。

例如27x 3-=-是一元一次方程，4y 4y 2y 2-=+是一元二次方程，0y x 3=-是二元一次方程，6y 4x 32-=+是二元二次方程。

4. 方程的解与解方程方程是一个有待研究的等式，即研究这个等式中的未知数取什么值时等式才成立。

解方程就是确定使方程中等号左右两边相等的未知数的值，我们把这样的未知数的值叫做方程的解。

这样的值可能有一个或多个，也可能没有，所以方程可能有一个解、多个解，也可能无解。

如方程3x-5=4x+3只有一个解x=-8。

方程2x-7=5x-（3x+7）有无数个解，而方程2x-3=2x+2无解。

求方程的解或判定方程无解的过程叫做解方程。

利用等式的性质，对方程进行一系列的变形，就可以求出方程的解。

5. 思想方法（本单元常用到的数学思想方法小结）⑴建模思想：通过对实际问题中的数量关系的分析，抽象成数学模型，建立一元一次方程的思想.⑵方程思想：用方程解决实际问题的思想就是方程思想.⑶化归思想：解一元一次方程的过程，实质上就是利用去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1等各种同解变形，不断地用新的更简单的方程来代替原来的方程，最后逐步把方程转化为x=a 的形式. 体现了化“未知”为“已知”的化归思想.⑷数形结合思想：在列方程解决问题时，借助于线段示意图和图表等来分析数量关系，使问题中的数量关系很直观地展示出来，体现了数形结合的优越性.⑸分类思想：在解含字母系数的方程和含绝对值符号的方程过程中往往需要分类讨论，在解有关方案设计的实际问题的过程中往往也要注意分类思想在过程中的运用.【典型例题】例1. 已知方程2x m －3+3x=5是一元一次方程，则m= .解析：由一元一次方程的定义可知m －3=1，解得m=4.或m －3=0，解得m=3所以m=4或m=3警示：很多同学做到这种题型时就想到指数是1，从而写成m=1，这里一定要注意x 的指数是（m －3）.例2. 已知2x =-是方程ax 2－（2a －3）x+5=0的解，求a 的值.解析：∵x=－2是方程ax 2－（2a －3）x+5=0的解∴将x=－2代入方程，得 a·（－2）2－（2a －3）·（－2）+5=0化简，得 4a+4a －6+5=0∴ a=81 点拨：要想解决这道题目，应该从方程的解的定义入手，方程的解就是使方程左右两边值相等的未知数的值，这样把x=－2代入方程，然后再解关于a 的一元一次方程就可以例3.已知a 、b 为定值，无论k 为何值，关于x 的一元一次方程26bk x 3a kx 3=--+的解总是1，试求a 、b 的值。

人教版七年级数学下第8章二元一次方程组8.4 三元一次方程组的解法习题课件

脐橙品种
ABC
每辆汽车运载量/吨 6 5 4
每吨脐橙获利/百元 12 16 10
如何安排三种脐橙装运，才能使此次销售获利达到 14.08 万元？
名师点拨
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解：设装运 A，B，C 三种脐橙的车辆数分别为 x，y，z 辆，
x＋y＋z＝20，
依题意，得6x＋5y＋4z＝100， 72x＋80y＋40z＝1 408.
3
7
＝__2__；将 x 的值代入变形得到的二元一次方程组中，求得 y＝__6__；最
5
后将 x 和 y 的值同时代入①得 z＝__6__.
名师点拨
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x＝－2，
y＝2，
y＝2，
3．方程组x＋y＝0，
的解是___z_＝__4______.
x－y＋z＝0
x＝2，解由①、④组成的方程组，得z＝1.
x＝2，将z＝1 代入③，得 y＝4.
x＝2，
∴原方程组的解为y＝4， z＝1.
名师点拨
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15．已知x＋5 y＝y＋6 z＝z＋7 x，且 xyz≠0，求 x∶y∶z 的值．
解：设x＋5 y＝y＋6 z＝z＋7 x＝k
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*8.4 三元一次方程组的解法
名师点拨
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1．三元一次方程组的解法 (1)解三元一次方程组的基本思想仍是消元．一般地，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．

七年级数学一元一次方程练习题(含答案)

七年级解一元一次方程专题训练一、解下列一元一次方程：1、2+（x+1）=42、2（2-x ）+（x+1）=03、（3-x ）+2（x+1）=04、0.2x-3（x+1）=255、3+x+4-6=2x+106、4x+3（x-3）=57、0.9（x-3）+0.8（2+x ）=10 8、x 23x2=+-9、5（0.3x+0.6）-2（0.8-x ）=0.6 10、3（2x+7）=5+2（x-4） 11、x 23x6726x +=-++ 12、2（3x+1）-2=4x13、2[2（7-21）+4x]=5 14、4x 6.04x32=++15、7{2-5[3-4（x-2）+2]-6}=116、61}1]2)62(3)5[(21{31=-+--+x x17、1x 232-x 15+=+-）（ 18、1524213-+=-x x19、2233554--+=+-+x x x x20、6.12.045.03=+--x x二、一元一次方程与实际问题21、甲一班有学生84人，乙班有学生66人，如果要求甲班人数是乙班的32，应从甲班调多少人到乙班去？22、某服装商城进了一款衣服，进价为400元/件，又以某一销售价卖出，结果商城盈利25%，问这款衣服的销售价是多少元？23、一轮船往返甲、乙两城之间，从下游往上游逆水航行需14时，从上游往下游顺水航行需7时，水流速度是3.5千米／时，求轮船在静水中的速度。

24、甲、乙两人完成一件工作，甲单独做需要8小时才能完成，乙单独做只需2小时就能完成。

如果甲加先做3小时，剩下的工作两个人共同完成，问还需几小时完成？参考答案一、解下列一元一次方程：1、【答案】x=1解：2+（x+1）=42+x+1=4x+3=4x=4-3x=12、【答案】x=5解;2（2-x）+（x+1）=04-2x+x+1=0(-2+1）x+(4+1）=0-x+5=03、【答案】 x=-5解：（3-x）+2（x+1）=03-x+2x+2=0x+5=0x=-54、【答案】x =-10解：0.2x-3（x+1）=250.2x-3x-3=25-2.8x=28x =-105、【答案】x=-9解：3+x+4-6=2x+10 1+x=2x+10 x-2x=10-1 - x=9 x=-96、【答案】x=2 解：4x+3（x-3）=5 4x+3x-9=5 7x-9=57x=14 x=27、【答案】x=17109解：0.9（x-3）+0.8（2+x ）=10 0.9x-2.7+1.6+0.8x=10（0.9x+0.8x ）+（-2.7+1.6）=10 1.7x-1.1=10 1.7x=111 x=171118、【答案】x=2解：x 23x 2=+-x 36x 2=+-2x 8x 48x 3x x 3x -8x 36x 2=-=--=--==+-9、【答案】358x -=解：5（0.3x+0.6）-2（0.8-x ）=0.61.5x+3-1.6+2x=0.6（1.5+2）x+（3-1.6）=0.6 3.5x+1.4=0.6 3.5x=0.6-1.4 3.5x=-0.8358x -=10、【答案】x= -6解：3（2x+7）=5+2（x-4）6x+21=5+2x-8 6x-2x=5-8-21 4x=-24 x= -611、【答案】34x =解:34x -2015x -14-18-126x -12x -3x 6x 1212x -14183x x 266x -726)x 3x 23x6726x ===+=+++=+++=-++）（）（（12、【答案】解：2（3x+1）-2=4x 6x+2-2=4x 6x-4x=0 x=013、【答案】x=821-解：2[2（7-21）+4x]=52[14-1+4x]=5 2(13+4x ）=5 26+8x=5 8x=-21x=821-14、【答案】2770解;2770x 14x 4.5216x 4.516x 4.2x 324x 6.04x32==-==++=++15、【答案】35121x =解; 7{2-5[3-4（x-2）+2]-6}=17[2-5(3-4x+8+2)-6]=1 7(2-15+20x-50-6)=1 7(20x-69)=1 140x-483=1140x=48435121x =16、【答案】解：61}1]2)62(3)5[(21{31=-+--+x x 两边同时乘以3得; 211]2)62(3)5[(21=-+--+x x 两边同时乘以2得;12]2)62(3)5[(=-+--+x x去掉中括号，（x+5）-3（2-6x ）+2-2=1 去小括号， x+5-6+18x=1 19x=2192x =17、【答案】27x =解：27x 288x -10183x -x 518x 3105x -6x 310-x 51x 2310x 551x 232-x 15=-=--=--=+-=-+=+--+=+-）（18、【答案】71x -= 解：71x 17x 5104x 815104x 85x 15102x 421x 351524213-=-=+-=--+=--+=--+=-）（）（）（x x19、【答案】x=6解：2233554--+=+-+x x x x6（x+4）-30x+150=10（x+3）-15（x-2）6x+24-30x+150=10x+30-15x+30（6-30-10+15）x=30+30-24-150 -19x=-114x=620、【答案】x=-9.2 解：2.9276302006016)5020(1620050602016)4(50)3-x 20106.124)x 1053)-x 10106.12.045.03-==-++=-=---=+-=+-=+--x x x x x x x x （两边同时乘以（（，母同时乘以左边，每个分式分子分二、一元一次方程与实际问题21、【答案】应从甲班24人到乙班去解：设应从甲班调x 人到乙班去此时：甲班人数=84-x 乙班人数=66+x因为甲班人数是乙班的32，则有（84-x ）=32（66+x ）3（84-x ）=2（66+x ）252-3x=132+2x （-3x+2x ）=132-252-5x=-120 x=24检验：甲班人数=84-24=60 乙班人数=66+24=90329060= 符合题意。

初一数学-3.3一元一次方程的解法(3课时)

9x 7 (-3) (5) x 3 9 x 7 x ____ ____
移项
练习 1. 下面的移项对吗？如不对，请改正. （1）若x -4 = 8，则x = 8-4；不对，移项没有变号，应为x = 8+4 （2）若3s = 2s+5，则-3s-2s = 5；不对，应为3s-2s=5 （3）若5w-2 = 4w+1，则5w-4w = 1+2；对（4）若8+x= 2x，则8-2x = 2x-x. 不对，应为8=2x-x
注：移项要变号 4x –15 = 9 4x = 9 +15 2x = 5x – 21 – 21
2x –5x =
移项目的
把所有含有未知数的项移到方程的一边，把所有常数项移到方程的一边。一般地，把含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边
例1：把下列方程移项可得：移项 (1)3x 4 5 3x 5 4 移项 6 x 2 x 5 3 (2)6 x 3 2 x 5
2
计算结果进行检验
检验：把x=-8分别代入原方程的左、右两边，左边= (-8)-1= 7， 1 右边= 3- 2 ×(-8)=7，左边=右边所以 x=-8 是原方程的解.
一般地，从方程解得未知数的值以后，要代入原方程进行检验，看这个值是否是原方程的解，但这个检验过程除特别要求外，一般不写出来.
我们把求方程的解的过程叫做解方程. 在上面的问题中，我们根据等式性质1，在方程① 两边都减去2345，相当于作了如下变形：
2345 2345
+ 12x = 5129
2
讲授新课
4x－15 = 9 4x = 9+15

初一七年级一元一次方程(含答案解析)

初一七年级一元一次方程（含答案解析）一．解答题（共30小题）1．解方程：2x+1=72．3．（1）解方程：4﹣x=3（2﹣x）；（2）解方程：．4．解方程：．5．解方程（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）；（2）x ﹣=2﹣．6．（1）解方程：3（x﹣1）=2x+3；（2）解方程：=x ﹣．7．﹣（1﹣2x）=（3x+1）8．解方程：（1）5（x﹣1）﹣2（x+1）=3（x﹣1）+x+1；（2）．解一元一次方程参考答案与试题解析一．解答题（共30小题）1．解方程：2x+1=7考点：解一元一次方程．1184454专题：计算题；压轴题．分析：此题直接通过移项，合并同类项，系数化为1可求解．解答：解：原方程可化为：2x=7﹣1 合并得：2x=6系数化为1得：x=3点评：解一元一次方程，一般要通过去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1等步骤，把一个一元一次方程“转化”成x=a的形式．2．考点：解一元一次方程．1184454专题：计算题．分析：这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．解答：解：左右同乘12可得：3[2x﹣（x﹣1）]=8（x﹣1），化简可得：3x+3=8x﹣8，移项可得：5x=11，解可得x=．故原方程的解为x=．点评：若是分式方程，先同分母，转化为整式方程后，再移项化简，解方程可得答案．3．（1）解方程：4﹣x=3（2﹣x）；（2）解方程：．考点：解一元一次方程．1184454专题：计算题．分析：（1）先去括号，然后再移项、合并同类型，最后化系数为1，得出方程的解；（2）题的方程中含有分数系数，应先对各式进行化简、整理，然后再按（1）的步骤求解．解答：解：（1）去括号得：4﹣x=6﹣3x，移项得：﹣x+3x=6﹣4，合并得：2x=2，系数化为1得：x=1．（2）去分母得：5（x﹣1）﹣2（x+1）=2，去括号得：5x﹣5﹣2x﹣2=2，移项得：5x﹣2x=2+5+2，合并得：3x=9，系数化1得：x=3．点评：（1）本题易在去分母、去括号和移项中出现错误，还可能会在解题前产生害怕心理．因为看到小数、分数比较多，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果．（2）本题的另外一个重点是教会学生对于分数的分子、分母同时扩大或缩小若干倍，值不变．这一性质在今后常会用到．4．解方程：．考点：解一元一次方程．1184454专题：计算题．分析：此题两边都含有分数，分母不相同，如果直接通分，有一定的难度，但将方程左右同时乘以公分母6，难度就会降低．解答：解：去分母得：3（2﹣x）﹣18=2x﹣（2x+3），去括号得：6﹣3x﹣18=﹣3，移项合并得：﹣3x=9，∴x=﹣3．点评：本题易在去分母和移项中出现错误，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果．5．解方程（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）；（2）x﹣=2﹣．考点：解一元一次方程．1184454专题：计算题．分析：（1）先去括号，再移项、合并同类项、化系数为1，从而得到方程的解；（2）先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．解答：解：（1）去括号得：4x﹣4﹣60+3x=5x﹣10（2分）移项得：4x+3x﹣5x=4+60﹣10（3分）合并得：2x=54（5分）系数化为1得：x=27；（6分）（2）去分母得：6x﹣3（x﹣1）=12﹣2（x+2）（2分）去括号得：6x﹣3x+3=12﹣2x﹣4（3分）移项得：6x﹣3x+2x=12﹣4﹣3（4分）合并得：5x=5（5分）系数化为1得：x=1．（6分）点评：去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．去括号时要注意符号的变化．6．（1）解方程：3（x﹣1）=2x+3；（2）解方程：=x﹣．考点：解一元一次方程．1184454专题：计算题．分析：（1）是简单的一元一次方程，通过移项，系数化为1即可得到；（2）是较为复杂的去分母，本题方程两边都含有分数系数，如果直接通分，有一定的难度，但对每一个式子先进行化简、整理为整数形式，难度就会降低．解答：解：（1）3x﹣3=2x+33x﹣2x=3+3x=6；（2）方程两边都乘以6得：x+3=6x﹣3（x﹣1）x+3=6x﹣3x+3x﹣6x+3x=3﹣3﹣2x=0∴x=0．点评：本题易在去分母、去括号和移项中出现错误，还可能会在解题前不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以要学会分开进行，从而达到分解难点的效果．去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．7．﹣（1﹣2x）=（3x+1）考点：解一元一次方程．1184454专题：计算题．分析：这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解．解答：解：﹣7（1﹣2x）=3×2（3x+1）﹣7+14x=18x+6﹣4x=13x=﹣．点评：解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1．此题去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．8．解方程：（1）5（x﹣1）﹣2（x+1）=3（x﹣1）+x+1；（2）．考点：解一元一次方程．1184454专题：计算题．分析：（1）可采用去括号，移项，合并同类项，系数化1的方式进行；（2）本题方程两边都含有分数系数，如果直接通分，有一定的难度，但对每一个式子先进行化简、整理为整数形式，难度就会降低．解答：解：（1）5（x﹣1）﹣2（x+1）=3（x﹣1）+x+13x﹣7=4x﹣2∴x=﹣5；（2）原方程可化为：去分母得：40x+60=5（18﹣18x）﹣3（15﹣30x），去括号得：40x+60=90﹣90x﹣45+90x，移项、合并得：40x=﹣15，系数化为1得：x=．点评：（1）本题易在去分母、去括号和移项中出现错误，还可能会在解题前产生害怕心理．因为看到小数、分数比较多，学生往往不知如何寻找公分母，怎样合并同类项，怎样化简，所以我们要教会学生分开进行，从而达到分解难点的效果；（2）本题的另外一个重点是教会学生对于分数的分子、分母同时扩大或缩小若干倍，值不变．这一性质在今后常会用到．。

七年级一元一次方程解的三种情况

一元一次方程是初中阶段数学的基础知识之一，学习一元一次方程的解法对于学生来说非常重要。

在七年级阶段，学生开始接触到一元一次方程的解法，这篇文章将介绍七年级一元一次方程解的三种情况。

一、一元一次方程的概念和性质1. 一元一次方程的定义一元一次方程是指方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为一的方程。

一般的一元一次方程形式为ax+b=0，其中a和b是已知数，x是未知数。

2. 一元一次方程的性质一元一次方程的性质包括唯一解、无解和无穷多解三种情况。

要根据方程中的系数和常数项的关系来判断方程的解情况。

二、一元一次方程的三种解法1. 直接开方直接开方是一种解一元一次方程的简单方法，适用于系数为1或-1的情况。

对于方程x+3=7，可以直接开方得到x=4。

2. 移项合并同类项移项合并同类项是一种常用的解一元一次方程的方法，适用于一般的一元一次方程。

通过将方程中的未知数项移至一个边，常数项移至另一个边，最终合并同类项并化简得到方程的解。

3. 两边乘除法两边乘除法同样是解一元一次方程的常用方法，适用于系数不为1或-1的情况。

通过对方程两边进行乘除法操作，将未知数的系数化为1，再通过移项合并同类项得到方程的解。

三、一元一次方程解的三种情况1. 唯一解当一元一次方程有且只有一个解时，称为唯一解。

一般情况下，通过移项合并同类项或两边乘除法方法得到的方程都会有唯一解。

2. 无解当一元一次方程无法通过任何方法得到解时，称为无解。

这种情况通常发生在系数矛盾或常数项矛盾的情况下。

3. 无穷多解当一元一次方程的解有无限多个时，称为无穷多解。

这种情况通常发生在方程系数相等或常数项都为0的情况下。

四、七年级一元一次方程解的练习1. 练习题一解方程2x+3=11。

2. 练习题二解方程3x-5=3x-5。

3. 练习题三解方程4x-2=2x+6。

五、总结通过本文的介绍，我们了解了七年级一元一次方程解的三种情况，即唯一解、无解和无穷多解。

七年级数学下册第6章6.2.2解一元一次方程第3课时用一元一次方程解决实际问题作业课件华东师大版

12．小华是个爱动脑筋的孩子．一天，他看到了这样一则信息：学校打算组织七年级学生乘坐客运公司提供的两种客车(客车信息如图所示)到某风景区游玩．
根据上面的信息，小华结合自己所学的数学知识．从以下两个角度添加条件，自编了两个关于一元一次方程的问题，请你解决．
(1)从租车数量的角度添加条件： (a)如果只租一种型号的客车，且每辆车都坐满，租A型客车比租B型客车少4辆，那么七年级共有多少名学生？ (b)请你帮助分析一下，看租用哪种客车一天的费用更合算？需要租用几辆客车？ (2)从租车费用的角度添加条件：如果只租一种型号的客车，且每辆车都坐满，租A型客车比租B型客车一天的费用少400元，那么租这两种型号的客车分别需要多少辆？七年级共有多少名学生？
10．现有若干本书分给班上的同学，若每人分5本，则还缺20本；若每人分4本，
则剩余25本．则班上共有多少名同学？多少本书？
(1)设班上共有x名同学，根据题意列方程；
(2)设共有y本书，根据题意列方程；
(3)选择上面的一种设未知数的方法，解决问题．解：(1)根据题意，得 5x－20＝4x＋25 (2)根据题意，得y＋520 ＝y－425 (3)答案不唯一，如选(1)中的设法，解方程得 x＝45.则书的数量为 5x－20＝5×45 －20＝205(本).答：班上共有 45 名同学，205 本书
第6章一元一次方程 6．2 解一元一次方程 6．2.2 解一元一次方程
第3课时用一元一次方程解决实际问题
知识点❶ 实际问题中的等量关系 1．学校组织七年级部分学生参加社会实践活动，已知在甲处参加社会实践的有27人，在乙处参加社会实践的有19人，现学校再另派20人分赴两处，使在甲处参加社会实践的人数是在乙处参加社会实践人数的2倍，设应派往甲处x人，那么应派往乙处_(_2_0_－__x_) 人，由此，甲处人数为_(2_7_＋__x_)_人，乙处人数为_[1_9_＋__(_2_0_－__x_)_] 人，根据在甲处参加社会实践的人数是在乙处参加社会实践人数的2倍，可列方程为_2_7_＋__x_＝__2_[_1_9_＋__(2_0_－__x_)_]_.

七年级数学一元一次方程和它的解法知识精讲精练人教义务代数

七年级数学一元一次方程和它的解法知识精讲精练人教义务代数【学习目标】1．能说出什么是一元一次方程；能正确地运用等式的性质和移项法则，熟练地解一元一次方程，并养成对方程的解进行检验的习惯．2．能说出方程中的“元”和“次”的意义及一元一次方程的最简形式和标准形式．3．能说出并能灵活运用解一元一次方程的一般步骤．【主体知识归纳】1．移项法则方程中的任何一项，都可以改变符号后，从方程的一边移到另一边．2．元数方程中的未知数的个数，叫做方程的元数．3．次数方程中含有未知数的项的最高次数，叫做方程的次数．4．一元一次方程经过去分母、去括号、移项、合并同类项后，能化为最简形式ax＝b(a≠0)的一类方程，叫做一元一次方程．5．解一元一次方程的一般步骤去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1．6．一元一次方程的标准形式方程ax＋b＝0(其中x是未知数，a、b是已知数，并且a ≠0)叫做一元一次方程的标准形式．【基础知识讲解】1．在方程中，移项与在方程的同一边交换两项的位置具有本质上的区别．在方程的同一边某些项位置改变，它们的符号不发生改变，这种排列顺序的变化，是以加法的交换律和结合律为依据的；但如果把某些项从方程的一边移到另一边时，这些项都要变号．2．凡是谈到“次数”的方程，均指整式方程．即方程的左右两边都必须是整式．整式方程的“元数”和“次数”是指在将方程化成最简形式后才能判定．一元一次方程是指化成最简形式后，只含有一个未知数，并且未知数最高次数是1，系数不为0的整式方程．3．去分母，就是将方程的两边同乘以最简公分母，把含有分母的方程转化为不含有分母的方程．在乘时，要依据乘法的分配律乘以方程中的各项，特别是，不含有分母的项不要漏乘．再就是，当分子是一个多项式时，要把分子看作一个整体，相乘时，为防止出现错误，可先用括号把分子括起来，开去括号．4．去括号，就是依据去括号法则和乘法分配律，把含有括号的方程转化为不含有括号的方程，在去括号时应注意两点，一是注意括号内的各项的符号是否需要变化；二是运用分配律去括号时，括号外的数连同符号一并乘以括号内的每一项．5．移项，是把方程的某一项或某些项改变符号后移到方程的另一边，注意只有变号后才能从一边移到另一边．6．一元一次方程的解法，是本节的重点之一，掌握解一元一次方程的一般步骤是学好解方程的关键．解方程的实质就是从复杂方程变形为最简方程x＝m．变形的方法不一定按“一般步骤”中所给的顺序进行，要根据被解方程的特点灵活采用．【例题精讲】例1指出下列各方程的求解过程中的错误，并加以改正．(1)解方程5x＋1＝3x＋1；解：移项，得5x＋3x＝1－1．合并同类项，得8x＝0．系数化成1，得x＝0．(2)解方程3x－5(x＋1)＝0．解：去括号，得3x －5x ＋1＝0．移项，得3x －5x ＝－1．合并同类项，得－2x ＝－1．系数化成1，得x ＝21． (3)解方程21x －1＝23(x ＋1)．解：去分母，得x －1＝3(x ＋1)．去括号，得x －1＝3x ＋3．移项，得x －3x ＝3＋1．合并同类项，得－2x ＝4．系数化成1，得x ＝－2．剖析：第(1)小题最后得到的x ＝0，代入所给方程尽管适合，但这只是偶然的巧合．事实上，第一步移项是错误的，方程右边的3x 移到方程的左边后，应变号为－3x ．第(2)小题错在第一步去括号．去括号时，括号外的因数－5要乘以括号内的每一项．第(3)小题错在第一步去分母．去分母时，把公分母只与含有分母的项相乘，而没乘以不含分母的项－1．也就是说，去分母时，要用公分母去乘以方程的各项．正确的解法如下：(1)解：移项，得5x －3x ＝1－1．合并同类项，得2x ＝0．系数化成1，得x ＝0．(2)解：去括号，得3x －5x －5＝0．移项，得3x －5x ＝5．合并同类项，得－2x ＝5．系数化成1，得x ＝－25． (3)解：去分母，得x －2＝3(x ＋1)．去括号，得x －2＝3x ＋3．移项，得x －3x ＝3＋2．合并同类项，得－2x ＝5．系数化成1，得x ＝－25．说明：本例所提出的三类错误，是解方程中的常见错误，在解方程时要引起足够的重视．另外，还有三种错误也是经常出现的．例如把方程－6x ＝3系数化成1，第一种结果是－x ＝21；第二种结果是x ＝21，第三种结果是x ＝－2．第一种结果违背了“系数化成1”，只是表示的方程的解的相反数；第二种结果是错误的，原因是由于对正负数的运算符号掌握不好所造成的，第三种结果是不细心，把除法的被除数与除数的位置弄颠倒了．例2 选择题(1)在方程x ＋y ＝1，3x 2－4x ＝21，xy －3x ＋5y ＝3，41－6x ＝2x 中，一元方程有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 (2)在方程x 2－3x ＝1，x ＋y ＝21，3x ＝y －5， x －2xy －1＝0中，一次方程有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 (3)在方程2x －31＝1，x ＝0，xy ＋21＝x ，1－3x ＝21中，一元一次方程有 A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个剖析：(1)所给的一组方程中，一元方程是3x 2－4x ＝21，41－6x ＝2x ． (2)所给的一组方程中，一次方程有x ＋y ＝21，3x ＝y －5． (3)所给的一组方程中，一元一次方程有2x －31＝1，x ＝0，1－3x ＝21．答案：(1)B (2)B (3)C说明：在第(2)题中，方程x －2xy －1＝0的项－2xy 是二次项，故方程x －2xy －1＝0不是一次方程．例3 判断正误，有错误给以改正．(1)方程－21x ＝3，去分母，得x ＝6； (2)方程61x ＋3x ＝7，去分母，得x ＋3x ＝42； (3)方程31x ＝25-x ，去分母得2x ＝3x －5； (4)方程52+x ＝3－21x ，去分母，得2x ＋4＝3－5x ；解：(1)不正确．－21x ＝3去分母，得－x ＝6； (2)不正确． 61x ＋3x ＝7去分母，得x ＋18x ＝42； (3)不正确． 31x ＝25-x 去分母，得2x ＝3x －15； (4)不正确． 52+x ＝3－21x 去分母，得2x ＋4＝30－5x ．说明：本例中各题所出现的错误，都是初学者在解题中的常见错误，应予以重视．例4 下列方程的变形是否正确，不正确的请改正．(1)方程－(x －5)＝1＋(x －3)，去括号，得－x －5＝1＋x －3；(2)方程1－2(3x －1)＝2x ，去括号，得1－6x ＋1＝2x ；(3)方程31 (9x ＋3)＝－21(1－4x )，去括号，得3x ＋1＝－21＋2x ； (4)方程5(10x －3)－3(5－2x )＝x ，去括号，得21x －15－15＋2x ＝x ．解：(1)不正确．－(x －5)＝1＋(x －3)，去括号，得－x ＋5＝1＋x －3．(2)不正确．1－2(3x －1)＝2x 去括号，得1－6x ＋2＝2x ．(3)正确．(4)不正确．5(10x －3)－3(5－2x )＝x 去括号，得21x －15－15＋6x ＝x ．例5 解方程：(1)7x －5＝3x ＋11； (2)2x －20＝1－x ；(3)－3＋6x ＝5x ＋4； (4)16＝3－5x ．解：(1)移项，得7x －3x ＝11＋5．合并同类项，得4x ＝16．系数化成1，得x ＝4．(2)移项，得2x ＋x ＝1＋20．合并同类项，得3x ＝21．系数化成1，得x ＝7．(3)移项，得6x －5x ＝4＋3．合并同类项，得x ＝7．(4)移项，得5x ＝3－16．合并同类项，得5x ＝－13．系数化成1，得x ＝－513．说明：移项时，习惯上把含有未知数的项移到方程的左边，不含未知数的项移到方程的右边．另外，对求出的未知数的值一定要代入方程进行检验，检验的过程可以不写．例6 解下列方程： (1)13213-=-x x ； (2)43－x ＝41(1－2x )．解：(1)去分母，得3(3x －1)＝2x －6．去括号，得9x －3＝2x －6．移项，得9x －2x ＝－6＋3．合并同类项，得7x ＝－3．系数化成1，得x ＝－73． (2)去分母，得3－4x ＝1－2x ．移项，得－4x ＋2x ＝1－3．合并同类项，得－2x ＝－2．系数化成1，得x ＝1．说明：去分母一般是在方程的两边都乘以各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项．另外，个别方程中，虽然也含有分母，但可通过移项、合并同类项后去掉分母．例7 已知A ＝2x －7，B ＝4x ＋5，x 取何值时，(1)A 与B 相等；(2)A 是B 的2倍．解：(1)由A ＝B ，得2x －7＝4x ＋5．解这个方程，得x ＝－6，所以当x ＝－6时，A 与B 相等．(2)由A ＝2B ，得2x －7＝2(4x ＋5)．解这个方程，得x ＝－617，所以当x ＝－617时，A 是B 的2倍．【思路拓展题】《九章算术》是怎样的一本书？《九章算术》是传世的最古老的中国数学典籍，成书于汉初年(约公元50~100年间)，作者不详，书中共收集了246个数学应用问题及它们的解法．分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和句(勾)股九章，书名由此而来．《九章算术》集当时的数学成就之大成，许多内容领先于当时的世界．因此，它不仅是中国古代数学发展的光辉一页，也是世界数学的一份宝贵财产，同时对后世影响也是很大的．十六世纪以前的中国数学书大多是应用问题解法的集成，原则上遵循《九章算术》的体例．此外，书中的一些术语，如“约分”“通分”“开方”和“方程”等，一直沿用至今．【同步达纲练习】1．判断题(1)3x －1＝3(x －31)是一元一次方程． (2)方程3＝1＋x 的解是x ＝－2．(3)若5x ＝4x －8，则x ＝－8．(4)方程1＝3x 的解是x ＝31． (5)－6x ＝12的解是－x ＝2．(6)方程1－2x ＝0与2x －1＝0的解相同．(7)方程1－61+x ＝3，去分母得6－x ＋1＝18． (8)无论x 取什么值，代数式21-x 与31-x 都不会相等． 2．填空题(1)方程8＝31x 的解是____________． (2)关于x 的一元一次方程的标准形式是____________． (3)若方程ax ＝3的解是x ＝a 3，则a ____________0． (4)方程1－23-x ＝5的解是____________ (5)若方程3x －6＝ax 的解是x ＝4，则代数式a 2－3a ＋1的值为____________．(6)若方程3(x －1)－4(x ＋3)＝4x 的解比方程x －4a ＝18的解大2，则a ＝____________．3．选择题(1)下列各方程中，是一元一次方程的最高形式的是A ．x 2－1＝0B ．－3x ＝4C ．x 2＝5D ．x ＋1＝3(2)若代数式3x －5与21互为倒数，则x 等于 A ．5B ．－5C ．37D ．－ 37 (3)解为x ＝5的方程是A ．5x ＋2＝7x －8B ．5x －2＝7x ＋8C ．5x ＋2＝7x ＋8D ．5x －2＝7x －8(4)若2x ＋1＝8，则4x ＋2等于A ．4B ．8C ．16D ．32(5)若单项式3a 2x 与41a 4(x －2)是同类项，则x 的值是 A ．4B ．3C ． 41 D ．31 (6)代数式21+x 比35x -的值大1，则x 的值是 A ．13B ．513C ．8D ．58 (7)下面给出了四个方程及其变形，其中变形正确的是 ①3x －5＝0，变形为3x ＝5；②x ＋7＝5－3x ，变形为4x ＝－2；③－32x ＝5，变形为2x ＝－15；④10x ＝－5，变形为x ＝－2A ． ①②③B ．①②③④C ．①②④D ．①③④(8)下列方程中，解是y ＝1的是A ．－35.0815-=+y y B ．0345.22393.16.049.0=-----y y y C ．3［4(5y －1)－8］＝6D ．4y ＋413＝6y ＋45 4．下列各解方程对不对，如果不对，错在哪里，应如何改正．(1)解：3x ＋2＝7x ＋5．移项，得3x ＋7x ＝2＋5．合并同类项，得10x ＝7．系数化成1，得x ＝107．(2)解：－5＋32221x x x ++=-．去分母，得－5＋3(x －1)＝2x ＋2(2＋x )．－5＋3x －3＝2x ＋4＋2x 移项，得3x －2x －2x ＝4＋5＋3合并同类项，得－x ＝12．系数化成1，得x ＝－12．(3)解：x －32261+==-x x ．去分母，得6x －x －1＝12－2(x ＋2)．去括号，得6x －x －1＝12－2x －4．移项，得6x －x ＋2x ＝12－4＋1．合并同类项，得7x ＝9．系数化成1，得x ＝79．5．解下列方程(1)2x －19＝7x ＋6；(2)2x ＋6＝15；(3)2131=＋6x ； (4)31y ＝y －4．6．解下列方程(1)2(0．3x ＋4)＝9－5(0．2x ＋1)；(2)3－2(3x －1)＝x －4；(3)246231x x x -=--+； (4)x x x 413121++＝1；(5)21(3x －1)－41(x －1)＝31； (6)2.01-x －1．2＝5.02-x ；7．已知y ＝3时，二次三项式y 2－5y ＋n 的值等于－2，求当y ＝－4时，这个二次三项式的值．8．已知x ＝21是方程5t ＋12x ＝2＋t 的解，求关于x 的方程tx ＋2＝t (1－2x )的解．参考答案【同步达纲练习】1．(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)√ (7)× (8)×2．(1)x ＝24(2)ax ＋b ＝0(其中x 是未知数，a 、b 都是已知数，且a ≠0)(3)≠ (4)x ＝－5 (5)－45 (6)－423 3．(1)B (2)C (3)A (4)C (5)A (6)B (7)A (8)D4．三个方程的解法都不正确．(1)错在移项没改变符号；(2)错在去分母，漏乘了不含分母的项；(3)错在去分母，左边61-x 去掉分母后，分子是多项式，要加括号，正确的解法是： (1)3x ＋2＝7x ＋5．解：移项，得 3x －7x ＝5－2．合并同类项，得－4x ＝3．系数化成1，得 x ＝－43． (2)－5＋32221x x x ++=-．解：去分母，得－30＋3(x －1)＝12x ＋2(2＋x )．去括号，得－30＋3x －3＝12x ＋4＋2x ．移项，得 3x －12x －2x ＝4＋3＋30合并同类项，得－11x ＝37．系数化成1，得x ＝－1137． (3)x －32261+-=-x x ．解：去分母，得6x －(x －1)＝12－2(x ＋2)去括号，得 6x －x ＋1＝12－2x －4．移项，得6x －x ＋2x ＝12－4－1合并同类项，得7x ＝7系数化成1，得x ＝1．5．(1)x ＝－5；(2)x ＝29；(3)x ＝－361；(4)y ＝6 提示：(3)去分母，得2＝3＋36x ．移项，合并同类项，得－36x ＝1．系数化成1，得x ＝－361．(4)移项，得31y －y ＝－4．合并同类项，得－32y ＝－4．系数化成1，得y ＝6．6．(1)x ＝－25．提示：去括号，得0．6x ＋8＝9－x －5．移项，合并同类项，得 1．6x ＝－4系数化成1，得 x ＝－25． (2)x ＝79．提示：去括号，得 3－6x ＋2＝x －4移项，合并同类项，得－7x ＝－9系数化成1，得x ＝79． (3)x ＝2．提示：去分母，得2(x ＋1)－(x －2)＝3(4－x )．去括号，得 2x ＋2－x ＋2＝12－3x ．移项，合并同类项，得4x ＝8．系数化成1，得x ＝2(4)x ＝1312．提示：去分母，得6x ＋4x ＋3x ＝12．合并同类项，得13x ＝12．系数化成1，得x ＝1312． (5)x ＝157．提示：去分母，得6(3x －1)－3(x －1)＝4．去括号，得18x －6－3x ＋3＝4．移项，合并同类项，得15x ＝7．系数化成1，得x ＝157． (6)x ＝1511．提示：原方程可化为21010-x －1．2＝52010-x ．即5x －5－1．2＝2x －4．移项，合并同类项，得3x ＝2．2．系数化成1，得x ＝1511． 7． 40．提示：由题意，得 9－15＋n ＝－2，n ＝4，∴当y ＝－4时，y 2－5y ＋n ＝(－4)2－5×(－4)＋4＝40．8．x ＝1．提示：把x ＝21代入方程5t ＋12x ＝2＋t ，得5t ＋6＝2＋t ，解这个关于t 的方程，得t ＝－1，∴方程tx ＋2＝t (1－2x )即为－x ＋2＝－(1－2x )．去括号，得－x ＋2＝－1＋2x ，移项，合并同类项，得3x ＝3，系数化成1，得x ＝1．。

03 一元一次方程(解析版)-七年级数学寒假学习精编讲义(人教版)

人教版八年级数学寒假学习精编讲义温故知新篇03 一元一次方程知识点1：方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.细节剖析：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.细节剖析：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.知识点2:一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．知识点3：等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：如果，那么 (c为一个数或一个式子) .等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.细节剖析：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立;(3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．知识点4：解一元一次方程的一般步骤变形名称具体做法注意事项去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍数(1)不要漏乘不含分母的项(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号(1)不要漏乘括号里的项 (2)不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)(1)移项要变号 (2)不要丢项合并同类项把方程化成ax ＝b (a ≠0)的形式字母及其指数不变系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a ，得到方程的解bx a=．不要把分子、分母写颠倒细节剖析：（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有些步骤可以合并简化．(2) 去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行. （3）当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母，注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质，两者不要混淆．知识点5：解特殊的一元一次方程1.含绝对值的一元一次方程解此类方程关键要把绝对值化去，使之成为一般的一元一次方程，化去绝对值的依据是绝对值的意义．细节剖析：此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式，再分类讨论：(1)当0c <时，无解；（2）当0c =时，原方程化为：0ax b +=；（3）当0c >时，原方程可化为：ax b c +=或ax b c +=-. 2.含字母的一元一次方程此类方程一般先化为最简形式ax ＝b ，再分三种情况分类讨论：（1）当a ≠0时，bx a=；（2）当a ＝0，b ＝0时，x 为任意有理数；（3）当a ＝0，b ≠0时，方程无解．知识点6：用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题−−−→分析抽象方程−−−→求解检验解答．由此可得解决此类题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．细节剖析：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数；（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一；（4）“解”就是解方程，求出未知数的值；（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．知识点7：常见列方程解应用题的几种类型1．和、差、倍、分问题（1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2．行程问题（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间 Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：第一，同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；第二，第二，同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．3．工程问题如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．4．调配问题寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．5．存贷款问题（1）利息=本金×利率×期数（2）本息和（本利和）＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金×(1＋利率×期数)（3）实得利息=利息-利息税（4）利息税=利息×利息税率（5）年利率＝月利率×121（6）月利率＝年利率×126.数字问题已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．7．方案问题选择设计方案的一般步骤：（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况．（2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论．一．选择题1．（2021秋•黔西南州期末）小亮和家人计划元旦节报团去贞丰县城境内的“圣母峰”游玩，由于节假日旅游旺季，酒店房源紧张，只有混合民宿（一人一个床位）可以选择：若每间房住4人，则有8人无法入住；若每间房住5人，则有一间房空了3个床位．设小亮所在旅游团共有x人，则可列方程为（）A．B．C．D．4x+8＝5x﹣3解：设小亮所在旅游团共有x人，可列得方程：．故选：A．2．（2021秋•南岗区校级月考）下列说法：①小明小时走了2千米，小红小时走了千米，所以小明走得快些；②两个分数相除，商一定大于被除数；③用一根长120cm的铁丝围成一个长方形，长和宽的比是7：5，则长是35cm；④一头大象重3000千克，一个橙子重300克，所以大象与橙子质量比是10：1．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：①设小明的速度为a千米/时，小红的速度为b千米/时，则a＝2，b＝，解得a＝3，b＝2，因为a＞b，所以小明走得快些，故①正确；②设两个分数分别为和，（）÷＝﹣2，而﹣2＜，所以两个分数相除，商不一定大于被除数，故②错误；③设长为7xcm，宽为5xcm，根据题意得2（7x+5x）＝120，解得x＝5，所以7x＝35，所以长是35cm，故③正确；④3000千克＝3000000千克，则3000000：300＝10000：1，所以大象与橙子质量比是10000：1，故④错误，所以有两个正确，故选：B．3．（2021秋•澧县期中）根据等式的性质，下列变形中正确的为（）A．若x2＝5x，则x＝5 B．若，则ax＝ayC．若a2x＝a2y，则x＝y D．若，则k＝﹣12解：A、由x2＝5x，x≠0，得到x＝5，原变形错误，故此选项不符合题意；B、若，则ax＝ay，原变形正确，故此选项符合题意；C、若a2x＝a2y，a2≠0，则x＝y，原变形错误，故此选项不符合题意；D、若，则k＝﹣，原变形错误，故此选项不符合题意；故选：B．4．（2021秋•澧县期中）若方程（m﹣3）x＝1是关于x的一元一次方程，则m的值是（）A．m≠﹣3 B．m≠0 C．m≠3 D．m＞3解：∵方程（m﹣3）x＝1是关于x的一元一次方程，∴m﹣3≠0，∴m≠3，故选：C．5．（2021秋•富裕县期末）A、B两地相距350千米，甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，已知甲车速度为60千米/时，乙车速度为40千米/时，经过t小时两车相距50千米，则t的值是（）A．3.5 B．3.5或2.5 C．4 D．3或4解：根据题意得60t+40t＝350﹣50或60t+40t＝350+50，解得t＝3或t＝4．答：t的值是3或4．故选：D．6．（2020秋•拱墅区期末）某超市有线上和线下两种销售方式．去年10月份该超市线下销售额比线上销售额多a元．与去年相比，该超市今年10月份线上销售额增长35%，线下销售额减少10%．若该超市今年10月份的销售总额比去年10月份的销售总额增加了10%，则今年10月份线上销售额与当月销售总额的比为（）A．B．C．D．解：设去年10月份该超市线上销售额为x元，则去年10月份该超市线下销售额为（x+a）元，∴（1+35%）x+（1+10%）（x+a）＝（x+x+a）（1+10%），解得：x＝4a，∴今年10月份线上销售额与当月销售总额的比为＝＝．故选：B．7．（2021秋•邢台月考）鸡兔同笼问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”图是嘉淇解题过程，需要补足横线上符号所代表的内容，则下列判断不正确的是（）A．□代表（35﹣x）B．☆代表鸡的足数C．〇代表2 D．△代表2解：设鸡有x只，则兔子有（35﹣x）只，∵鸡的足数+兔的足数＝94，∴列方程为2x+4（35﹣x）＝94，解这个方程，得：x＝23，从而35﹣23＝12，∴鸡有23只，兔子有12只，∴□代表（35﹣x），☆代表鸡的足数，〇代表2，△代表4，故选：D．8．（2019秋•镇江期末）某超市在“元旦”活动期间，推出如下购物优惠方案：①一次性购物在100元（不含100元）以内，不享受优惠；②一次性购物在100元（含100元）以上，350元（不含350元）以内，一律享受九折优惠；③一次性购物在350元（含350元）以上，一律享受八折优惠；小敏在该超市两次购物分别付了90元和270元，如果小敏把这两次购物改为一次性购物，则小敏至少需付款（）元A．288 B．296 C．312 D．320解：设第一次购物购买商品的价格为x元，第二次购物购买商品的价格为y元，当0＜x＜100时，x＝90；当100≤x＜350时，0.9x＝90，解得：x＝100；∵0.9y＝270，∴0.8（x+y）＝312或320．所以至少需要付312元．故选：C．9．如图，正方形ABCD的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在A处，乙在C处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒1cm，乙的速度为每秒5cm，已知正方形轨道ABCD的边长为2cm，则乙在第2018次追上甲时的位置（）A．AB上B．BC上C．CD上D．AD上解：设乙走x秒第一次追上甲．根据题意，得5x﹣x＝4解得x＝1．∴乙走1秒第一次追上甲，则乙在第1次追上甲时的位置是AB上；设乙再走y秒第二次追上甲．根据题意，得5y﹣y＝8，解得y＝2．∴乙再走2秒第二次追上甲，则乙在第2次追上甲时的位置是BC上；同理：∴乙再走2秒第三次次追上甲，则乙在第3次追上甲时的位置是CD上；∴乙再走2秒第四次追上甲，则乙在第4次追上甲时的位置是DA上；乙在第5次追上甲时的位置又回到AB上；∴2018÷4＝504 (2)∴乙在第2018次追上甲时的位置是BC上．故选：B．二．填空题10．（2021秋•南岗区校级月考）一艘轮船在水中由A地开往B地，顺水航行用了4小时，由B地开往A地，逆水航行比顺水航行多用了1小时，已知此船在静水中速度是18千米/时，水流速度为 2 千米/小时．解：设水流的速度为x千米/时，根据题意得4（18+x）＝5（18﹣x），所以水流的速度是2千米/时，故答案为：2．11．（2021秋•崇川区校级月考）如图，数轴上线段AB＝2，CD＝4，点A在数轴上表示的数是﹣10，点C在数轴上表示的数是16，若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当B点运动到线段CD上时，P是线段AB上一点，且有关系式BD﹣AP＝3PC成立，则线段PD的长为5或3.5 ．解：设线段AB未运动时点P所表示的数为x，B点运动时间为t，则此时C点表示的数为16﹣2t，D点表示的数为20﹣2t，A点表示的数为﹣10+6t，B点表示的数为﹣8+6t，P点表示的数为x+6t，∴BD＝20﹣2t﹣（﹣8+6t）＝28﹣8t，AP＝x+6t﹣（﹣10+6t）＝10+x，PC＝|16﹣2t﹣（x+6t）|＝|16﹣8t﹣x|，PD＝20﹣2t﹣（x+6t）＝20﹣8t﹣x＝20﹣（8t+x），∵BD﹣AP＝3PC，∴28﹣8t﹣（10+x）＝3|16﹣8t﹣x|，即：18﹣8t﹣x＝3|16﹣8t﹣x|，①当C点在P点右侧时，18﹣8t﹣x＝3（16﹣8t﹣x）＝48﹣24t﹣3x，∴x+8t＝15，∴PD＝20﹣（8t+x）＝20﹣15＝5；②当C点在P点左侧时，18﹣8t﹣x＝﹣3（16﹣8t﹣x）＝﹣48+24t+3x，∴x+8t＝16.5，∴PD＝20﹣（8t+x）＝20﹣16.5＝3.5；∴PD的长有2种可能，即5或3.5．故答案为：5或3.5．12．（2020秋•赫山区期末）互联网“微商”经营已成为大众创业新途径，某微信平台上一件商品进价为180元，按标价的八折销售，仍可获利60元，求这件商品的标价为300元．解：设这件商品的标价为x元，根据题意得：0.8x﹣180＝60，答：这件商品的标价为300元．故答案是：300元．13．（2021•海安市二模）众所周知，中华诗词博大精深，集大量的情景情感于短短数十字之间，或豪放，或婉约，或思民生疾苦，或抒发己身豪情逸致，文化价值极高．而数学与古诗词更是有着密切的联系．古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字．有一本诗集，其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字．问两种诗各多少首？设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为28x ﹣20（x+13）＝20 ．解：设七言绝句有x首，根据题意，可列方程为：28x﹣20（x+13）＝20．故答案为：28x﹣20（x+13）＝20．14．（2021春•肇源县期末）程大位《直指算法统宗》：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁．意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完．试问大、小和尚各多少人？设大和尚有x人，依题意列方程得3x+＝100 ．解：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，根据题意得：3x+＝100；故答案为3x+＝100．15．（2020秋•商河县校级期末）一台收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了麦田的20%，结果还剩下6.6公顷麦田未收割，这块麦田一共有12 公顷．解：设这块麦田一共有x公顷，根据题意得出：x﹣25%x﹣20%x＝6.6，解得：x＝12，答：这块麦田一共有12公顷，故答案为：1216．（2019秋•九江期中）九江市城区的出租车收费标准如下：2公里内起步价为7元，超过2公里以后按每公里1.4元计价．若某人坐出租车行驶x公里，应付给司机21元，则x ＝12 ．解：因为21＞7，所以x＞2．由题意知，7+1.4（x﹣2）＝21故答案是：12．17．（2015秋•镇江期末）图1是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图2所示的长方体盒子，已知该长方体的宽是高的2倍，这个长方体的高为 5 cm．解：设长方体的高为xcm，则其宽为＝15﹣x，根据题意得：15﹣x＝2x，解得：x＝5．故答案为5．18．甲、乙、丙三人分别拿出相同数量的钱，合伙购买某种商品若干件．商品买来后，乙比甲少拿了4件，丙比甲多拿了13件，最后结算时，三人要求按所得商品的实际数量付钱，进行多退少补，已知丙付给甲60元，那么丙应付给乙140 元．解：设甲拿了a件商品，则乙为（a﹣4）件商品，丙为（a+13）件商品．则共有商品件数为：a+a﹣4+a+13＝3a+9．则平均每人商品件数为（3a+9）÷3＝a+3．因此，丙付给甲a+3﹣a＝3件商品的钱数为60元．所以，一件商品钱数为20元．因为，丙付给乙a+3﹣（a﹣4）＝7件商品．所以，丙付给乙20×7＝140元．故本题答案：140．三．解答题19．（2021秋•富裕县期末）解方程．（1）2（1﹣y）﹣5（y﹣2）＝2y﹣3．（2）﹣＝1．解：（1）去括号得：2﹣2y﹣5y+10＝2y﹣3，移项得：﹣2y﹣5y﹣2y＝﹣3﹣2﹣10，合并得：﹣9y＝﹣15，解得：y＝；（2）去分母得：2（5x+1）﹣（2x﹣1）＝6，去括号得：10x+2﹣2x+1＝6，移项得：10x﹣2x＝6﹣2﹣1，合并得：8x＝3，解得：x＝．20．（2021秋•南岗区校级月考）某工厂车间有28个工人，生产A零件和B零件，每人每天可生产A零件18个或B零件12个（每人每天只能生产一种零件），一个A零件配两个B 零件，且每天生产的A零件和B零件恰好配套．工厂将零件批发给商场时，每个A零件可获利10元，每个B零件可获利5元．（1）求该工厂有多少工人生产A零件？（2）因市场需求，该工厂每天要多生产出一部分A零件供商场零售使用，现从生产B零件的工人中调出多少名工人生产A零件，才能使每日生产的零件总获利比调动前多600元？解：（1）设该工厂有x名工人生产A零件，根据题意得2×18x＝12（28﹣x），解得x＝7，答：该工厂有7名工人生产A零件．（2）设从生产B零件的工人中调出y名工人生产A零件，根据题意得10×18（7+y）+5×12（21﹣y）﹣（7×10×18+21×5×12）＝600，解得y＝5，答：从生产B零件的工人中调出5名工人生产A零件．21．（2021秋•肇源县期末）笑笑买一套运动服，共用去540元，裤子的价格是上衣的80%，上衣多少元？（用方程解答）解：设上衣x元，根据题意得x+80%x＝540，解得x＝300，答：上衣300元．22．（2021秋•江油市期末）如图，已知在数轴上有三个点A、B、C，O是原点，满足OA＝AB ＝BC＝20cm，动点P从点O出发向右以每秒2cm的速度匀速运动；同时，动点Q从点C 出发，在数轴上向左匀速运动，速度为v（v＞1）；运动时间为t．（1）求：点P从点O运动到点C时，运动时间t的值．（2）若Q的速度v为每秒3cm，那么经过多长时间P，Q两点相距30cm？此时|QB﹣QC|是多少？（3）当|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24时，请直接写出点Q的速度v的值．解：（1）由题意知：OC＝OA+AB+BC＝20+20+20＝60（cm），∴当P运动到点C时，t＝60÷2＝30（秒）；（2）①当点P、Q还没有相遇时，2t+3t＝60﹣30，解得：t＝6，此时，QC＝3×6＝18（cm），QB＝BC﹣QC＝20﹣18＝2（cm），∴|QB﹣QC|＝|2﹣18|＝16（cm），②当点P、Q相遇后，2t+3t＝60+30，解得：t＝18，此时，QC＝3×18＝54（cm），QB＝QC﹣BC＝54﹣20＝34（cm），∴|QB﹣QC|＝|34﹣54|＝20（cm），综上所述，经过6秒或18秒P，Q两点相距30cm，此时|QB﹣QC|是16cm或20cm；（3）∵|PA+PB|＝2|QB﹣QC|＝24，∴|PA+PB|＝24，|QB﹣QC|＝12，∵在数轴上，点A对应的数为20，点B对应的数为40，点C对应的数为60，∴点P对应的数为18或42，点Q对应的数为44或56，①点P对应的数为18时，OP＝18（cm），t＝18÷2＝9（s），若点Q对应的数为44时，CQ＝60﹣44＝16（cm），v＝16÷9＝（cm/s），若点Q对应的数为56时，CQ＝60﹣56＝4（cm），v＝4÷9＝（cm/s）（舍弃），②点P对应的数为42时，OP＝42（cm），t＝42÷2＝21（s），若点Q对应的数为44时，CQ＝60﹣44＝16（cm），v＝16÷21＝（cm/s）（舍弃），若点Q对应的数为56时，CQ＝60﹣56＝4（cm），v＝4÷21＝（舍弃）（cm/s），综上所述，点Q的运动速度为：．23．（2019秋•绵阳期末）小刚和小强从A、B两地同时出发，小刚骑自行车，小强步行，沿同一条路线相向匀速而行，出发后2h两人相遇，相遇时小刚比小强多行进24km，相遇后0.5h小刚到达B地，两人的行进速度分别是多少？相遇后经过多少时间小强到达A地？解：设小刚的速度为xkm/h，则相遇时小刚走了2xkm，小强走了（2x﹣24）km，由题意得，2x﹣24＝0.5x，解得：x＝16，则小强的速度为：（2×16﹣24）÷2＝4（km/h），2×16÷4＝8（h）．答：两人的行进速度分别是16km/h，4km/h，相遇后经过8h小强到达A地．24．（2020秋•黄冈期末）佳佳平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价70元，利润率为40%；乙种商品每件进价40元，售价60元．（1）甲种商品每件进价为50 元，每件乙种商品利润率为50% ；（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共30件，恰好总进价为1320元，求购进乙种商品多少件？（3）在“元旦”期间，该商场只对甲种商品进行如下的优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施少于等于560元不优惠按售价打九折超过560元，但不超过700元超过700元其中700元部分八点七折优惠，超过700元的部分打三折优惠按上述优惠条件，若顾客小贺一次性购买甲种商品实际付款630元，求小贺在该商场购买甲种商品多少件？解：（1）设甲种商品的进价为a元，则70﹣a＝40%a，解得a＝50，即甲种商品每件进价为50元，×100%＝50%，即每件乙种商品利润率为50%，故答案是：50；50%；（2）设该商场购进乙种商品x件，根据题意可得：50（30﹣x）+40x＝1320，解得：x＝18，答：该商场购进乙种商品18件；（3）设小贺在该商场购买甲种商品b件，①当购物金额超过560元，但不超过700元时，70b×0.9＝630，解得：b＝10；②当购物金额超过700元时，700×8.7+（70b﹣700）×0.3＝630，解得：b＝11．答：小贺在该商场购买甲种商品10或11件．25．（2020秋•九龙坡区期末）若在一个两位正整数A的个位数与十位数字之间添上数字6，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为A的“至善数”，如13的“至善数”为163；若将一个两位正整数B加6后得到一个新数，我们称这个新数为B的“明德数”，如13的“明德数”为19．（1）38的“至善数”是368 ，“明德数”是44 ；（2）若一个两位正整数M的“明德数”的各位数字之和是M的“至善数”各位数字之和的一半，求出满足条件的所有两位正整数M的值．解：（1）38的“至善数”是368；“明德数”是38+6＝44．故答案为：368；44；（2）设M的十位数字为a，个位数字为b，则M的至善数的各位数字之和是a+6+b．M的明德数各位数字之和是a+b+6（当0≤b＜4时）或a+1+（6+b﹣10）（当4≤b≤9时）．由题意得：0≤b＜4时，a+b+6＝（a+6+b）．∴a+b＝﹣6，不符合题意；或者：当4≤b≤9时，a+1+（6+b﹣10）＝（a+6+b）．∴a+b＝12．∴a＝3，b＝9或a＝4，b＝8或a＝5，b＝7或a＝6，b＝6或a＝7，b＝5或a＝8，b＝4．∴满足条件的所有两位正整数M的值是：39或48或57或66或75或84．26．（2021秋•乌兰察布期末）如图，已知点A，B，C是数轴上三点，O为原点，点C对应的数为3，BC＝2，AB＝6．（1）求点A，B对应的数；（2）动点M，N分别同时从AC出发，分别以每秒3个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动．P为AM的中点，Q在CN上，且CQ＝CN，设运动时间为t（t＞0）．①求点P，Q对应的数（用含t的式子表示）；②t为何值时OP＝BQ．解：（1）∵点C对应的数为3，BC＝2，∴点B对应的数为3﹣2＝1，∵AB＝6，∴点A对应的数为1﹣6＝﹣5．（2）①∵动点M，N分别同时从A、C出发，分别以每秒3个单位和1个单位的速度沿数轴正方向运动，且运动时间为t∴AM＝3t，CN＝t∵P为AM的中点，Q在CN上，且CQ＝CN，∴AP＝t，CQ＝t∵点A对应的数为﹣5，点C对应的数为3∴点P对应的数为﹣5+t，点Q对应的数为3+t．②∵OP＝BQ．∴|0﹣（﹣5+t）|＝|3+t﹣1|．解得：t＝或t＝6．27．（2020秋•杭州期末）数轴上A点对应的数为﹣10，B点在A点右边，甲、乙在B分别以2个单位/秒，1个单位/秒的速度向左运动，丙在A以3个单位/秒的速度向右运动．（1）若它们同时出发，经过5秒丙和乙相遇，求B点表示的数；（2）在（1）的条件下，设它们同时出发的时间为t秒，是否存在t（t＞0）的值，使得甲、乙、丙三个点中的其中一个点，到另外两个点的距离相等．解：（1）设B点表示的数为x，则﹣10+3×5＝x﹣1×5，解得x＝10，即B点表示的数为10．（2）存在，理由如下：甲运动后表示的数为：10﹣2；t乙运动后表示的数为：10﹣2t丙运动后表示的数为：﹣10+3t；①在丙与甲相遇前，2（10﹣2t）＝10﹣t+（﹣10+3t），此时t＝（s）；②甲、丙相遇时，10﹣2t＝﹣10+3t，此时t＝4（s）；③在丙、乙相遇前，2（﹣10+3t）＝10﹣2t+10﹣t，此时t＝（s）；④在丙、乙相遇时，10﹣t＝﹣10+3t，此时t＝5（s）；⑤在丙、乙相遇后，2（10﹣t）＝﹣10+3t+10﹣2t，此时t＝（s）；综上，当t为或4或或5或，使得甲、乙、丙三个点中的其中一个点，到另外两个点的距离相等28．（2020秋•涪城区校级期末）如图，数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式x3﹣3xy29﹣20的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母表示，比如，点A与点C之间的距离记作AC．（1）求a，c的值；（2）若数轴上有一点D满足CD＝2AD，求D点表示的数为多少？（3）动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向左运动，点C向右运动，AB＝BC，求t的值．解：（1）多项式x3﹣3xy29﹣20的常数项是﹣20，次数是30．所以a＝﹣20，c＝30．（2）分三种情况讨论：当点D在点A的左侧时，∵CD＝2AD，∴AD＝AC＝50．点D表示的数为﹣20﹣50＝﹣70；当点D在点A，C之间时，∵CD＝2AD，∴AD＝AC＝，∴D点表示的数为﹣20+＝﹣．∴当点D在点C的右侧时，则AD＞CD，与CD＝2AD相矛盾，不符合题意．综上所述，D点表示的数为﹣70或﹣；（3）如图所示：当t＝0时，AB＝21，BC＝29．当时间为t时，点A表示的数为﹣20﹣2t，点B表示的数为l+t，点C表示的数为30+3t，AB＝1+t﹣（﹣20﹣2t）＝3t+21，BC＝30+3t﹣（1+t）＝2t+29，由AB＝BC即3t+21＝2t+29．解之得t＝8．故当t＝8时，AB＝BC．。

【初中数学暑期课程数学讲义】北师大版初一(七年级)数学讲义-一元一次方程的认识和解法

第十讲一元一次方程的认识和解法知识定位讲解用时：5分钟对于方程模型七年级学生并不陌生，在小学时已学过简易的方程.与初中要求相比规范性、严谨性还不够，理解还比较浅显。

加之算术解法的熟悉，大部分学生还没有真正体会到方程在解决实际问题的优越性和重要性。

本章开始系统学习方程的知识，一元一次方程是今后学习其他方程、不等式及函数的重要基础.同时也是学习物理化学等学科不可缺少的数学工具。

知识梳理讲解用时：20分钟Part1一元一次方程的定义1）一元一次方程的定义只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．通常形式是ax+b=0（a，b为常数，且a≠0）．一元一次方程属于整式方程，即方程两边都是整式．一元指方程仅含有一个未知数，一次指未知数的次数为1，且未知数的系数不为0．我们将ax+b=0（其中x是未知数，a、b是已知数，并且a≠0）叫一元一次方程的标准形式．这里a是未知数的系数，b是常数，x的次数必须是1．（2）一元一次方程定义的应用（如是否是一元一次方程，从而确定一些待定字母的值）这类题目要严格按照定义中的几个关键词去分析，考虑问题需准确，全面．求方程中字母系数的值一般采用把方程的解代入计算的方法．Part2等式的性质（1）等式的性质性质1、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质2、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．（2）利用等式的性质解方程利用等式的性质对方程进行变形，使方程的形式向x=a的形式转化．应用时要注意把握两关：①怎样变形；②依据哪一条，变形时只有做到步步有据，才能保证是正确的Part3解一元一次方程（1）解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．（2）解一元一次方程时先观察方程的形式和特点，若有分母一般先去分母；若既有分母又有括号，且括号外的项在乘括号内各项后能消去分母，就先去括号．（3）在解类似于“ax+bx=c”的方程时，将方程左边，按合并同类项的方法并为一项即（a+b）x=c．使方程逐渐转化为ax=b的最简形式体现化归思想．将ax=b系数化为1时，要准确计算，一弄清求x时，方程两边除以的是a还是b，尤其a为分数时；二要准确判断符号，a、b同号x为正，a、b异号x为负．Part4方程的解定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．课堂精讲精练【例题1】下列各方程中，是一元一次方程的是（）A．x﹣2y=4 B．xy=4 C．3y﹣1=4 D．【答案】C【解析】解：各方程中，是一元一次方程的是3y﹣1=4，故选：C．讲解用时：4分钟解题思路：利用一元一次方程的定义判断即可．教学建议：此题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．难度：3 适用场景：当堂例题例题来源：无年份：无【练习1.1】下列方程是一元一次方程的是（）A．x2=25 B．x﹣5=6 C．x﹣y=6 D．=2【答案】B【解析】解：A、是一元二次方程，故A不符合题意；B、是一元一次方程，故B符合题意；C、是二元一次方程，故C不符合题意；D、是分式方程，故D不符合题意；故选：B．讲解用时：4分钟解题思路：根据一元一次方程的定义求解即可．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【例题2】若（m﹣4）x2|m|﹣7﹣4m=0是关于x的一元一次方程，求m2﹣2m+1994的值．【答案】见解析【解析】解：∵（m﹣4）x2|m|﹣7﹣4m=0是关于x的一元一次方程，∴m﹣4≠0且2|m|﹣7=1，解得：m=﹣4，∴原式=16+8+1994=2018．讲解用时：4分钟解题思路：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．教学建议：本题主要考查的是一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【练习2.1】已知关于x的方程（m+3）x|m+4|+18=0是一元一次方程，试求：（1）m的值；（2）2（3m+2）﹣3（4m﹣1）的值．【答案】见解析【解析】解：（1）由题意，得|m+4|=1且m+3≠0，解得m=﹣5．（2）当m=﹣5时，2（3m+2）﹣3（4m﹣1）=2×（﹣15+2）﹣3（﹣20﹣1）=﹣26+63=37．讲解用时：4分钟解题思路：（1）根据一元一次方程的定义求解即可；（2）根据代数式求值，可得答案．教学建议：本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【例题3】下列等式变形正确的是（）A．若﹣3x=5，则x=﹣B．若，则2x+3（x﹣1）=1C．若5x﹣6=2x+8，则5x+2x=8+6 D．若3（x+1）﹣2x=1，则3x+3﹣2x=1【答案】见解析【解析】解：A、若﹣3x=5，则x=﹣，错误；B、若，则2x+3（x﹣1）=6，错误；C、若5x﹣6=2x+8，则5x﹣2x=8+6，错误；D、若3（x+1）﹣2x=1，则3x+3﹣2x=1，正确；故选：D．讲解用时：4分钟解题思路：根据等式的基本性质1：等式的两边都加上或者减去同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式；等式性质2：等式的两边都乘以或者除以同一个数（除数不为零），所得结果仍是等式，针对每一个选项进行判断即可解决．教学建议：此题主要考查了等式的性质，关键是熟练掌握等式的性质定理．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【练习3.1】下列结论不成立的是（）A．若x=y，则m﹣x=m﹣y B．若x=y，则mx=myC．若mx=my，则x=y D．若，则nx=ny【答案】C【解析】解：A、若x=y，则m﹣x=m﹣y成立；B、若x=y，则mx=my成立；C、若mx=my，则x=y不一定成立，应说明m≠0；D、若，则mx=my成立；故选：C．讲解用时：4分钟解题思路：根据等式的性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式进行分析即可．教学建议：此题主要考查了等式的性质，关键是掌握等式的性质定理，注意式两边同时除以一个不为零的数，结果仍得等式．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【例题4】解方程：2（x﹣1）+1=x．【答案】见解析【解析】解：2（x﹣1）+1=x，2x﹣2+1=x，2x﹣x=2﹣1，x=1．讲解用时：4分钟解题思路：去括号、移项、合并同类项即可求解．教学建议：考查了解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【练习4.1】解方程：4（x﹣2）﹣1=3（x﹣1）【答案】见解析【解析】解：去括号，得4x﹣8﹣1=3x﹣3，移项，得4x﹣3x=﹣3+8+1，合并同类项，得x=6．讲解用时：4分钟解题思路：根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1，可得答案．教学建议：本题考查了解一元一次方程，移项是解题关键，注意移项要变号．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【例题5】﹣=1【答案】见解析【解析】解：3x﹣（x﹣1）=63x﹣x+1=62x=5x=讲解用时：4分钟解题思路：方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．教学建议：此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【练习5.1】解方程：﹣=【答案】见解析【解析】解：去分母，得3（x﹣4）﹣（1﹣x）=2x，去括号，得3x﹣12﹣1+x=2x，移项，得3x+x﹣2x=12+1，合并同类项，得2x=13，系数化为1，得x=．讲解用时：4分钟解题思路：根据解一元一次方程的一般步骤，可得答案．教学建议：本题考查了解一元一次方程，去分母是解题关键，分子要加括号．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【例题6】若y=4是方程﹣m=5（y﹣m）的解，则关于x的方程（3m﹣2）x+m﹣5=0的解是多少？【答案】见解析【解析】解：将y=4代入方程﹣m=5（y﹣m）得：m=4再将m=4代入方程入（3m﹣2）x+m﹣5=0得：x=．讲解用时：6分钟解题思路：先把y=4代入方程﹣m=5（y﹣m）求出m的值，再将m的值代入（3m﹣2）x+m﹣5=0，得到关于m的方程，解方程即可．教学建议：本题考查了一元一次方程的解的定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．同时考查了一元一次方程的解法．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无【练习6.1】如果y=3是方程2+（m﹣y）=2y的解，那么关于x的方程2mx=（m+1）（3x﹣5）的解是多少？【答案】见解析【解析】解：当y=3时，2+m﹣3=6，解得：m=7，将m=7代入方程2mx=（m+1）（3x﹣5）得：14x=8（3x﹣5）即14x=24x﹣40，解得：x=4．讲解用时：6分钟解题思路：将y的值代入方程2+（m﹣y）=2y，即可求得m的值；再将m的值代入方程2m（x﹣1）=（m+1）（3x﹣5）即可求得方程的解．教学建议：本题考查了一元一次方程的解，方程的解就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．难度：3 适用场景：当堂练习题例题来源：无年份：无课后作业【作业1】下列方程中，是一元一次方程的是（）A．3x+2y=0 B．=1 C．=1 D．3x﹣5=3x+2【答案】B【解析】解：A、3x+2y=0，含两个未知数，故不是一元一次方程，故错误；B、=1，是一元一次方程，故此选项正确；C、不是整式方程，故错误；D、3x﹣5=3x+2，左右不相等，故错误；故选：B．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：大安市期末年份：2017【作业2】已知关于x的方程（m+5）x|m|﹣4+18=0是一元一次方程．试求：（1）m的值；（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）的值．【答案】见解析【解析】解：（1）依题意有|m|﹣4=1且m+5≠0，解之得m=5，故m=5；（2）3（4m﹣1）﹣2（3m+2）=12m﹣3﹣6m﹣4=6m﹣7，当m=5时，原式=6×5﹣7=23．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：上杭县期中年份：2017【作业3】设“●、▲、■”分别表示三种不同的物体，如图（1），（2）所示，天平保持平衡，如果要使得图（3）中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“■”的个数为（）A．6个 B．5个 C．4个 D．3个【答案】B【解析】解：根据图示可得，2×○=△+□（1），○+□=△（2），由（1），（2）可得，○=2□，△=3□，∴○+△=2□+3□=5□，故选：B．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：太原期末年份：2017【作业4】下列运用等式性质进行的变形，其中不正确的是（）A．如果a=b，那么a+5=b+5 B．如果a=b，那么a﹣=b﹣C．如果ac=bc，那么a=b D．如果=，那么a=b【答案】C【解析】解：（C）若c=0时，此时a不一定等于b，故选：C．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：长垣县期末年份：2017【作业5】解方程：7x﹣5=3x﹣1．【答案】见解析【解析】解：（1）移项得7x﹣3x=5﹣1，合并同类项得4x=4，系数化为1得x=1．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：武汉模拟年份：2018【作业6】解方程：（1）3（2x﹣1）=15；（2）．【答案】见解析【解析】解：（1）去括号得，6x﹣3=15，移项得，6x=15+3，合并同类项得，6x=18，系数化为1得，x=3；（2）去分母得，2（x﹣7）﹣3（1+x）=6，去括号得，2x﹣14﹣3﹣3x=6，移项得，2x﹣3x=6+14+3，合并同类项得，﹣x=23，系数化为1得，x=﹣23．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业7】解方程：﹣=1．【答案】见解析【解析】解：去分母得：3（x﹣3）﹣2（2x+1）=6，去括号得：3x﹣9﹣4x﹣2=6，移项得：﹣x=17，系数化为1得：x=﹣17．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业8】若关于x的方程2x+a=x﹣1的解是x=﹣2，求a2018的值．【答案】见解析【解析】解：把x=﹣2代入方程2x+a=x﹣1中，得：2×（﹣2）+a=﹣2﹣1，解得：a=1，所以a2018=12018=1，答：a2018的值为1．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业9】当m为何值时，关于x的方程5m+12x=6+x的解比关于x的方程x（m+1）=m（1+x）的解大2．【答案】见解析【解析】解：解关于x的方程5m+12x=6+x，得：x=，解关于x的方程x（m+1）=m（1+x），得：x=m，根据题意得﹣m=2，解得：m=﹣1．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业10】用◎定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a◎b=ab2+2ab+a，如：1◎2=1×22+2×1×2+l=9．（1）求（﹣4）◎3；（2）若（◎3）=8，求a的值．【答案】见解析【解析】解：（1）（﹣4）◎3=﹣4×32+2×（﹣4）×3+（﹣4）=﹣64；（2）∵a◎b=ab2+2ab+a=a（b+1）2，∴◎3=×（3+1）2=8，解得：a=0．讲解用时：5分钟难度：3 适用场景：课后作业例题来源：无年份：无【作业11】聪聪在对方程①去分母时，错误的得到了方程2（x+3）﹣mx﹣1=3（5﹣x）②，因而求得的解是x=，试求m的值，并求方程的正确解．【答案】见解析【解析】解：把x=代入方程②得：2（+3）﹣m﹣1=3（5﹣），解得：m=1，把m=1代入方程①得：﹣=，去分母得：2（x+3）﹣x+1=3（5﹣x），去括号得：2x+6﹣x+1=15﹣3x，移项合并得：4x=8，解得：x=2，则方程的正确解为x=2．。

数学下册专项练习题一元一次方程的解法

数学下册专项练习题一元一次方程的解法一元一次方程是初中数学中一个重要的知识点，解一元一次方程的方法有多种，包括等式法、相反数法、按比例法等。

本文将结合数学下册的专项练习题，详细介绍一元一次方程的解法。

一、等式法等式法是解一元一次方程最常用的方法之一。

通过变换等式的形式，将方程化为等式的左右两边相等，进而求解未知数。

例题1：求方程2x + 3 = 7的解。

解题步骤：1. 根据题意，将方程化为等式的左右两边相等，即 2x + 3 = 7。

2. 通过变换等式的形式，将方程化简为 2x = 7 - 3。

3. 继续化简，得到 2x = 4。

4. 最后，将方程化为x的形式，得到 x = 4/2 = 2。

所以，方程2x + 3 = 7的解为x = 2。

二、相反数法相反数法也是解一元一次方程常用的方法之一。

通过将等式两边的数相互取相反数，从而消去一个未知数的系数。

例题2：求方程5y - 8 = 12的解。

解题步骤：1. 根据题意，将方程化为等式的左右两边相等，即 5y - 8 = 12。

2. 通过相反数法，将等式两边的数相互取相反数，得到 -8 = -12 - 5y。

3. 继续化简，得到 -8 = -5y - 12。

4. 进一步化简，得到 5y = -12 + 8。

5. 最后，将方程化为y的形式，得到 y = (-12 + 8)/5 = -4/5。

所以，方程5y - 8 = 12的解为y = -4/5。

三、按比例法按比例法是解一元一次方程的另一种常用方法，通过构建两个等式的比例关系，求解未知数。

例题3：已知一个数的3倍减去4等于该数的2倍加上6，求这个数。

解题步骤：1. 设这个数为x，根据题意建立方程：3x - 4 = 2x + 6。

2. 通过按比例法，将方程化简为 x - 4 = 6。

3. 进一步化简，得到x = 6 + 4。

4. 最后，求得x = 10。

所以，满足条件的数为10。

综上所述，一元一次方程的解法包括等式法、相反数法和按比例法等多种方法。

七年级数学解一元一次方程3

无量劫来所修的成绩，就是从你的每一个思想行为中全部体现出来。就如同大海的水很多，只要你能口尝一滴水，就可以了解知道所有大海水的味道，这就是一即是多、多即是一的道理。自己修行了无量劫的成绩，只能从你个人的每一个起心动念、思想行为中全部体现出来。换一句话说，自己的每一个起心动念、思想行为的动点，就是无量劫来修行的总成绩。再说一句明白的话，自己的修行成绩成果，修行的道德、智慧、慈悲心，要从你的思想行为中才能观察出来，这是必须要明确知道的真实经验。明白了这一点，你一定会时时刻刻、分分秒秒的观照自心、看清自心，不让自己的心有丝毫的差错。就如同一个学生要考大学，等了几十年，就为了这一场的考试，究竟自己学习成绩如何，就看自己的这场考试如何。这一场考试虽然是很短很短的时间，但必须要拿出你二十几年的总成绩来回答，如果平时学习不好，在考场上一定也不会出好成绩，平时学习踏实、认真刻苦、精进学习，到了考场上也会得心应手，顺利快速的圆满完成考试过程。拿出你二十几年的好成绩，向老师展现一张完美正确无误的答卷。修行也是如此，如果平常不能精进用功，糊里糊涂、麻痹大意，不能专心致志的听闻思维修学正法，一旦业障烦恼来临，你自己就无法来对治自己的恶习，无法把握自己的修学成果，你的智慧就会被无明烦恼战胜，就会随着自己的无明烦恼跑，成了烦恼的奴隶。这是每一个人都能亲身体验的不争事实，就算你不服气，事实还是事实，你遇到逆境还是会过不去、生烦恼。闲1庄0.95 刷反水公式

七年级解一元一次方程

七年级解⼀元⼀次⽅程第三章：⼀元⼀次⽅程⼀、⽅程的有关概念1、⽅程的概念（1）含有未知数的等式叫⽅程。

（2）在⼀个⽅程中，只含有⼀个未知数，并且未知数的指数是1，系数不为0，这样的⽅程叫⼀元⼀次⽅程。

且⼀元⼀次⽅程的⼀般形式为：)0(0≠=+a b ax概念剖析：①⽅程⼀定是等式，但等式不⼀定都是⽅程，只有含未知数的等式叫⽅程；②等式：⽤等号“=”表⽰相等关系的式⼦叫做等式；③⼀元⼀次⽅程的条件：是⽅程；只含有⼀个未知数；未知数的指数是1；知数的系数不为0；例1、下列式⼦是⽅程的是（）A 、953++y xB 、0791≥-y xC 、11=xD 、21053-=+ 例2、下列⽅程是⼀元⼀次⽅程的是( )A 、92=+y xB 、132=-x xC 、11=xD 、x x 3121=- 例3、已知⽅程0213=++-b nx mx 是关于x 的⼀元⼀次⽅程，求m 、n 、b 的值；2、等式的基本性质（1）等式两边同时加上（或减去）同⼀个数或代数式，所得结果仍是等式。

若b a =，则cb c a +=+或c b c a -=-。

（2）等式两边同时乘以（或除以）同⼀个数（除数不能为0），所得结果仍是等式。

若b a =，则bc ac =或cb c a =；（3）对称性：等式的左右两边交换位置，结果仍是等式。

若b a =，则a b =；（4）传递性：如果b a =，且c b =，那么c a =，这⼀性质叫等量代换。

例4、⽤适当的数或式⼦填空①如果532=-x ，那么+=52x ____________；②如果632=x ，那么=x ____________；③如果1233+=+b a ，那么___________________b 3=；④如果a b 211=，那么=a 2___________________；⼆、解⽅程1、解⽅程及解⽅程的解的含义求得⽅程的解的过程，叫做解⽅程。

使⽅程的左、右两边的值相等的未知数的值，叫做⽅程的解。

人教版七年级数学3.3解一元一次方程(三)

人教版七年级数学3.3解一元一次方程3【自主学习】解方程：（1）13221=-x x （2）13221=--+x x【知识梳理】解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、合并同类项、移项、系数化为1；【学以致用】例1.对方程6121312+-=-x x 去分母．．．，下列正确的是（） A. )12(1)12(2+-=-x x B ．126)12(2+-=-x xC ．)12(6)12(2+-=-x xD ．)12(6)12(+-=-x x 去分母时要注意：①不要漏乘； ②去完分母后要打括号（分数线具有括号作用）. 例2.解方程：42321x x -+=+解完方程后，一定要代入原方程检验一下，可以知道自己有没有解正确.【巩固练习】1. 解方程：（1）4221x x =-+ （2）)2(1002110019-=x x 一般步骤注意点（1）去分母方程的每一项都要乘最简公分母（2）去括号“-”变“+”不变，要变全都变（3）合并同类项系数相加，字母不变（4）移项过等号，要变号（5）系数化为1 系数是整数时，采用除法；系数是分时，采用乘法.（3）312253-=+x x （4）154353+=--y y2. 解方程：（1）6751413-=--x x （2）6121312+-=-x x（3）6531223-=++-x x x （4）5124121223+--=-+y y y【能力提升】1. 若方程121211634x x x -+++=-与关于x 的方程6336x a a x x -+=-的解相同,求a 的值.2. 解方程：14.01.05.06.01.02.0=+--x x【拓广训练】(1)按规律填数:21, 61-,121,201-,301, , 561.(2)按（1）的规律，第n 个数是多少？（用含n 的式子表示）（3）你能计算（1）中n 个数的绝对值之和吗？。