高考理科数学《数列》题型归纳与训练

高考理科数学《数列》题型归纳与训练

【题型归纳】

等差数列、等比数列的基本运算

题组一 等差数列基本量的计算

例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2−S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8

【答案】D

【解析】解法一：由题知()21(1)

2

1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2−S n =36得，(n ＋2)2−n 2=4n ＋4=36，所以n =8.

解法二：S n ＋2−S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2−S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算

例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4

【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42

20q q --=，解得q 2=2，

∴4

624a a q ==.

【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】

等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路：

(1)设基本量a 1和公差d (公比q )．

(2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量．

等差数列、等比数列的判定与证明

题组一 等差数列的判定与证明

例1设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，已知对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项． (1)证明：数列{a n }为等差数列；

(2)若b n =−n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值． 【答案】(1)见解析；(2) 当n =2或n =3时，{a n ·b n }的最大项的值为6. 【解析】(1)由已知可得2S n =a 2n ＋a n ，且a n >0， 当n =1时，2a 1=a 21＋a 1，解得a 1=1； 当n ≥2时，有2S n −1=a 2n －1＋a n −1，

所以2a n =2S n −2S n −1=a 2n −a 2n －1＋a n −a n −1，

所以a 2n −a 2n －1=a n ＋a n −1，即(a n ＋a n −1)(a n −a n −1)=a n ＋a n −1，

因为a n ＋a n −1>0， 所以a n −a n −1=1(n ≥2)．

故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)可知a n =n ，

设c n =a n ·b n ，则c n =n (−n ＋5)=−n 2＋5n =−⎝⎛⎭⎫n －522＋25

4， 因为n ∈N *，

所以当n =2或n =3时，{a n ·b n }的最大项的值为6.

【易错点】S n 是a 2n 和a n 的等差中项，无法构建一个等式去求解出a n 。 【思维点拨】

等差数列的判定与证明的方法：

①定义法：1()n n a a d n +-=∈*N 或1(2,)n n a a d n n --=≥∈⇔*N {}n a 是等差数列； ②定义变形法：验证是否满足11(2,)n n n n a a a a n n +--=-≥∈*N ；

③等差中项法：{}122()n n n n a a a n a ++=+∈⇔*

N 为等差数列；

④通项公式法：通项公式形如(,n a pn q p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列； ⑤前n 项和公式法：2(,n S pn qn p q =+为常数)⇔{}n a 为等差数列．

注意：

（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项12,,n n n a a a ++，使得122n n n a a a ++≠+即可； （2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 题组二 等比数列的判定与证明

例2设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n ＋1=4a n ＋2. (1)设b n =a n ＋1−2a n ，证明：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式．

【答案】(1)见解析；(2) a n =(3n −1)·2n −2.

【解析】(1)由a 1=1及S n ＋1=4a n ＋2，得a 1＋a 2=S 2=4a 1＋2. ∴a 2=5， ∴b 1=a 2−2a 1=3.

又⎩⎪⎨⎪⎧

S n ＋1＝4a n ＋2， ①S n ＝4a n －1

＋2， ② ①−②，得a n ＋1=4a n −4a n −1， ∴a n ＋1−2a n =2(a n −2a n −1)． ∵b n =a n ＋1−2a n ， ∴b n =2b n −1，

故{b n }是首项b 1=3，公比为2的等比数列. (2)由(1)知b n =a n ＋1−2a n =3·2n −1， ∴

a n ＋12n ＋1−

a n 2n =3

4

， 故⎩⎨⎧⎭

⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为3

4的等差数列．

∴a n 2n =12＋(n −1)·34=3n －1

4， 故a n =(3n −1)·2n −2.

【易错点】对于b n =a n ＋1−2a n ，在条件中无法构造出来，等比数列的判定与证明常用的方法不清楚. 【思维点拨】

等比数列的判定与证明常用的方法： （1）定义法：

1

n n

a q a +=(q 为常数且0)q ≠⇔数列{}n a 是等比数列． （2）等比中项法：212(,0)n n n n a a a n a ++=⋅∈≠*

N ⇔数列{}n a 是等比数列．