江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三数学第二次模拟突破冲刺试题 理(二)

第11题图（2）′图（1）左视图主视图4南昌市十所省重点中学2016年二模突破冲刺交流试卷（02）高三数学（理）第Ⅰ卷（选择题部分，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}22530A x x x =--≤，{}2B x Z x =∈≤，则A B ⋂中的元素个数为（ ）(A)2 (B)3 (C)4 (D)52、若复数z 满足11z i ii -=-+（），则z 的实部为（ ）1 (C)1 3、《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄，问织几何.”其意思为：有个女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织五尺，最后一天织一尺，三十天织完，问三十天共织布（ ） (A)30尺 (B)90尺 (C)150尺 (D)180尺 4、已知抛物线()02:2>=p px y C 的焦点为,F P 为C 上一点，若，4=PF 点P 到y 轴的距离等于等于3，则点F 的坐标为（ ）(A) (1,0)- (B)(1,0) (C)(2,0) (D)(2,0)- 5、执行如图所示的程序框图，如果输入的50t =，则输出的n =（ ）(A)5 (B)6 (C)7 (D)86、现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票) 的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束， 则活动恰好在第4人抽完后结束的概率为（ ）(A)101 (B)51 (C)103 (D)52 7、()622--x x 的展开式中2x 的系数等于（ ）(A)-48 (B)48 (C)234 (D)4328、设,x y 满足010,3220y ax y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩若2210y x x z +-=的最小值为12-，则实数a 的取值范围是（ ） (A)21-≤a (B)23-<a (C)21≥a (D)23<a 9、某几何体的主视图和左视图如图（1），它的俯视图的直观图是矩形1111O A B C 如图（2），其中116O A =，112O C =，则该几何体的侧面积为（ ）(A)48 (B)64 (C)96 (D)12810、已知函数()()()e e b ax x xf x -++-=2，当0>x 时，()0≤x f ，则实数a(A)0>a (B)10≤<a (C)1≥a (D)1≤a 11、已知,,A B C 在球O 的球面上，1,2AB BC ==， 60=∠ABC ，直线OA 与截面ABC 所成的角为 30，则球O 的表面积为（ ）(A)π4 (B)π16 (C)π34 (D)163π12、已知()()R x x f y ∈=的导函数为()x f '.若()()32x x f x f =--，且当0≥x 时，()23x x f >'，则不等式()()13312+->--x x x f x f 的解集是（ ） (A)1(,)2-+∞ (B)1(,)2+∞ (C)1(,)2-∞- (D)1(,)2-∞第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13、已知θ为第四象限角，sin 3cos 1θθ+=，则tan θ= .14、对于同一平面的单位向量,,a b c ，若a 与b 的夹角为60，则()(2)a b a c -⋅- 的最大值是 .15、已知A ，B 为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 右支上两点，O 为坐标原点，若OAB ∆是边长为c 的等边三角形，且222b a c +=，则双曲线C 的渐近线方程为 . 16、已知数列}{n a 的前n 项和为，，，046,21>==n n S S S S 且22122,+-n n n S S S ，成等比数列，12221-2,++n n n S S S ，成等差数列，则2016a 等于 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤. 17、（本小题满分12分）如图，平面四边形ABCD中，AB =AD =CD =，30CBD ∠= ，120BCD ∠= ，求（Ⅰ）ADB ∠；（Ⅱ）ADC ∆的面积S .18、（本小题满分12分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，4:2:1（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[)45,75内的产 品件数为X ，求X 的分布列与数学期望．AB DC19、（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A BC D -的底面ABCD 是菱形，AC BD O = ，1AO ⊥底面ABCD ，21==AA AB ．（Ⅰ）证明：平面1ACO ⊥平面11BB D （Ⅱ）若60BAD ∠=，求二面角B -20、（本小题满分12分）以椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为36，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于32.（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）过原点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于P ,Q 两点，A 是椭圆C 的右顶点，直线AP ,AQ 分别与y 轴交于点M ,N ，问：以MN 为直径的圆是否恒过x 轴上的定点？若恒过x 轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过x 轴上的定点，请说明理由.21、（本小题满分12分）已知函数()(1)()x f x a x e a =--.（常数R a ∈且0a ≠）. （Ⅰ）证明：当0>a 时，函数()x f 有且只有一个极值点； （Ⅱ）若函数()x f 存在两个极值点12,x x ，证明：()2140e x f <<且()2240e x f <<.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，已知AB 是⊙O 的直径，点D 是⊙O上一点，过点D 作⊙O 的切线，交AB 的延长线于点C ，过点C 作AC 的垂线，交AD 的延长线于点E . （Ⅰ）求证：CDE ∆为等腰三角形；（Ⅱ）若212==CE BC AD ，，求⊙O 的面积.23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,sin cos 1⎩⎨⎧α=α+=y x (其中α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θ=ρsin 4. （Ⅰ）若B A ，为曲线1C ，2C 的公共点，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）若B A ，分别为曲线1C ，2C 上的动点，当AB 取最大值时，求AOB ∆的面积. 24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()R a a x x x f ∈++-=,22. （Ⅰ）当1=a 时，解不等式()5≥x f ；（Ⅱ）若存在0x 满足()3200<-+x x f ，求a 的取值范围.参考答案一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分．1．B 2．A 3．B 4．B 5．B 6．C7．B 8．A 9．C 10．Ｄ 11．Ｄ 12．B第12题 令3()()F x f x x =-，则由3()()2f x f x x --=，可得()()F x F x -=，故()F x 为偶函数，又当0x >时，2()3f x x '>即'()0F x >，所以()F x 在(0,)+∞上为增函数.不等式2()(1)331f x f x x x -->-+可化为()(1)F x F x >-，所以有1x x >-，解得12x >. 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．43-； 14．52； 15．y x =±； 16. 1009-.第16题 依题意，得221222222121,2,n n n n n n S S S S S S -++-+⎧=⎪⎨=+⎪⎩　因为0n S >，所以222n S +=，即*)n =∈N，故数列等差数列；又由16S =，24S =，可得3412,9S S ==.所以数列等差数列是首项为2，公差为1的等差数列.所以1n =+即22(1)n S n =+，故212(1)(2)n S n n -==++，故220161009S =，201510091010S =⨯，故2016201620151009a S S =-=-，答案为B.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）（Ⅰ）在BCD ∆中，由正弦定理得：sin 3sin CD BD BCD CBD =⋅∠==∠， …………………2分在ABD ∆中，由余弦定理得：222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠=⋅==…………………4分 所以45ADB ∠= …………………6分 （Ⅱ）因为30CBD ∠= ，120BCD ∠= ，所以30CDB ∠=因为sin sin(4530)ADC ∠=+= …………………8分所以1sin 2S AD CD ADC =⋅⋅∠12=⨯=…………………12分 18．（本小题满分12分）（Ⅰ）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ．…………………………1分 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，………………3分 解得0.05x =．所以区间[]75,85内的频率为0.05．………………………………………………4分 （Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验，所以X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（Ⅰ）得，区间[)45,75内的频率为0.30.2+0.1=0.6+，将频率视为概率得0.6p =．………………………………………………………5分因为X 的所有可能取值为0，1，2，3，…………………………………………6分且0033(0)C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，1123(1)C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=， 2213(2)C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，3303(3)C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．所以X所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． （或直接根据二项分布的均值公式得到19．（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：因为1AO ⊥平面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ， 所以1AO BD ⊥．………………1分 因为ABCD 是菱形，所以CO BD ⊥．………………2分 因为1AO CO O = ，所以BD ⊥平面1ACO ．………………3因为BD ⊂平面11BB D D ，所以平面11BB D D ⊥平面1ACO （Ⅱ）解法一：因为1AO ⊥平面ABCD ，CO BD ⊥，以O 为原点，OB ，OC ，1OA方 向为x ，y ，z 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系．………………………5分 因为12AB AA ==，60BAD ∠=， 所以1OB OD ==，OA OC ==11OA ==．………………6分则()1,0,0B ，()C ，()0,A ，()10,0,1A ，所以()11BB AA ==，()11+OB OB BB == ．………………………7分设平面1OBB 的法向量为(),,x y z =n ， 因为()1,0,0OB = ，()1OB =所以0,0.x x z =⎧⎪⎨++=⎪⎩令1=y ，得(0,1,=n 同理可求得平面1OCB 的法向量为m 所以cos ,<>==n m 因为二面角1B OB C --所以二面角1B OB C --的余弦值为4-………………………10分解法二：由（Ⅰ）知平面1ACO ⊥平面11BB D D ， 连接11AC 与11B D 交于点1O ， 连接1CO ，1OO ，因为11AA CC =，11//AA CC ， 所以11CAAC 为平行四边形． 因为O ，1O 分别是AC ，11AC 的中点， 所以11OAO C 为平行四边形．且111OC OA ==． 因为平面1ACO 平面11BB D D 1OO =， 过点C 作1CH OO ⊥于H ，则CH ⊥平面11BB D D过点H 作1HK OB ⊥于K ，连接CK ，则CK ⊥ 所以CKH ∠是二面角1B OB C -- 在1Rt OCO ∆中，1122O C OC CH OO ⨯===．………………………………7分在1OCB ∆中，因为1AO ⊥11A B ，所以1OB ==因为11A B CD =，11//A B CD ， 所以11B C A D ===．因为22211B C OC OB +=，所以1OCB ∆为直角三角形．……………………………8分 所以11CB OC CK OB ===⨯9分所以KH ==．…………………………………………………10分所以cos 4KH CKH CK∠==．……………………………………………………11分所以二面角1B OB C --的余弦值为4．……………………………………12分20．（本小题满分12分）方法一：（Ⅰ）依题意，得222,a b c ca ab ⎧=+⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩ …………3分 解得1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的标准方程为2213x y +=. …………5分 （Ⅱ）A ，设(0,)M m ，(0,)N n ，00(,)P x y ，则由题意，可得220013x y +=， ……（*）且00(,)Q x y --， 00()AP x y = ，()AM m =. …………6分因为,,A P M 三点共线，所以AP AM，故有00(x m =，解得m =. …………7分同理，可得n =…………8分假设存在满足题意的x 轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥ ，即0RM RN ⋅=.……9分因为(,)RM t m =- ，(,)RN t n =-，所以20t mn +=，即20t =，整理，得2202033y t x =--，……10分 又由（*），得220033y x =-，所以21t =，解得1t =或1t =-.故以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). …………12分方法二：（Ⅰ）同方法一；（Ⅱ）①当直线l 的斜率不存在时，有(0,1)P ，(0,1)Q -，(0,1)M ，(0,1)N -，此时以MN 为直径的圆经过x 轴上的点(1,0)-和(1,0)； …………6分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx =，联立方程组221,3,x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得P，(Q .…7分 设(0,)M m ，(0,)N n ，又直线AP的斜率1k =AM的斜率2k =，因为,,A P M 三点共线，所以12k k =，解得得m = …………8分同理，可得n =， …………9分假设存在满足题意的轴上的定点(,0)R t ，则有RM RN ⊥， …………10分直线RM 的斜率3m k t =-，直线RN 的斜率4nk t=-，所以341k k =-，故有2t mn =-，即2t = 整理，得21t =，解得1t =或1t =-，综合①②，可知以MN 为直径的圆恒过x 轴上的定点(1,0)-，(1,0). ………12分21．（本小题满分12分）依题意，'()[(1)'()(1)()']()x x xf x a x a x a a x a =--+--=⋅-e e e ． ……1分 令()()e x h x a x a =⋅-，则'()(1)e xh x a x =+⋅. ……2分（Ⅰ）①当0x <时，0x x ⋅<e ，0a >，故'()()0h x f x =<，所以'()f x 在(,0)-∞不存在零点，则函数)(x f 在(,0)-∞不存在极值点；………3分 ②当0x ≥时，由'()(1)0e xh x a x =+⋅>，故()h x 在[0,)+∞单调递增.又2(0)0h a =-<，()2()()10e eaah a a a a a=⋅-=->，所以'()()h x f x =在[0,)+∞有且只有一个零点. ……4分 又注意到在'()f x 的零点左侧，'()0f x <，在'()f x 的零点右侧，'()0f x >，所以函数)(x f 在[0,)+∞有且只有一个极值点. …………5分 综上知，当0a >时，函数)(x f 在(,)-∞+∞内有且只有一个极值点. …………5分（Ⅱ）因为函数)(x f 存在两个极值点1x ，2x （无妨设12x x <），所以1x ，2x 是'()()h x f x =的两个零点，且由（Ⅰ）知，必有0a <. ………6分令'()(1)0e x h x a x =+⋅=得1x =-；令'()(1)0e x h x a x =+⋅>得1x <-；令'()(1)0e x h x a x =+⋅<得1x >-.所以'()()h x f x =在在(,1]-∞-单调递增，在[1,)-+∞单调递减， …………7分 又因为'2(0)(0)0h f a ==-<，所以必有1210x x <-<<. …………8分令'()()0t f t a t a =⋅-=e ，解得ta t =⋅e ，此时22232()(1)()(1)()(1)(2)t t t t t t f t a t a t t t e t t t t t =--=--=--=--+e e e e e . 因为12,x x 是'()()h x f x =的两个零点，所以12321111()(2)e x f x x x x =--+，22322222()(2)e x f x x x x =--+. …………9分 将代数式232(2)e t t t t --+视为以t 为自变量的函数232()(2)e t g t t t t =--+， 则'22()(1)(21)t g t e t t =---. …………10分 当1t <-时，因为2210,210,0t t t e ->-<>，所以'()0g t >， 则()g t 在(,1)-∞-单调递增.因为11x <-，所以1124()()(1)ef xg x g =<-=， 又因为122111()(1)0x f x e x x =-->，所以1240()e f x <<. …………11分 当10t -<<时，因为2210,210,0t t t e -<-<>，所以'()0g t <， 则()g t 在(1,0)-单调递减，因为210x -<<，所以22240(0)()()(1)eg g x f x g =<=<-=. …………12分综上知，1240()e f x <<且2240()ef x <<． …………12分请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号下的方框涂黑。