内蒙古包头市2012年中考数学试题答案及解析

2012年中考数学试题（内蒙古包头）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
第I 卷（选择题 共36 分）
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 9 的算术平方根是【 】
A .土3 B.3 C..一【答案】
B 。

解析：本题考察的是算数平方根的概念。

要与平方根相区分。

2.联合国人口基金会的报告显示，世界人口总数在2011 年10 月31 日达到70 亿．将70 亿用科学记数法表示为【 】
A .7×109
B . 7×108
C . 70×108
D . 0.7×1010
【答案】A 。

解析：本题考察的是将大于10的用科学记数法的方法表示。

3.下列运算中，正确的是【 】
A .32x x =x -
B . 623x x =x ÷
C 2+3=523=【答案】
D 。

解析：本题考察的是同底数的除法、合并同类项、二次根式的加法、乘法。

4.在Rt △ ABC 中，∠C=900，若AB =2AC ，则sinA 的值是【 】
12【答案】C 。

解析：本题考察的是锐角三角函数中的正弦及特殊角的正弦值。

5.下列调查中，调查方式选择正确的是【 】
A .为了了解1000个灯泡的使用寿命，选择全面调查
B .为了了解某公园全年的游客流量，选择抽样调查
C .为了了解生产的一批炮弹的杀伤半径，选择全面调查
D .为了了解一批袋装食品是否含有防腐剂，选择全面调查
【答案】B 。

解析：本题考察的是实际问题中如何选择是使用全面调查还是抽样调查。

6.如图，过口ABCD的对角线BD 上一点M 分别作平行四边形两边的平行线EF与GH ，那么图中的口AEMG的面积S1与口HCFG的面积S2的大小关系是【】
A .S1 > S2 B.S1 < S2 C .S1 = S2 D.2S1 = S2
【答案】C。

解析：本题考察的是平行四边形的对角线的性质即平行四边形的对角线把平行四边形分成面积相等的两部分。

7.不等式组
()
5x13x+1
13
x7x
22
>
⎧-
⎪
⎨
-≤-
⎪
⎩
的解集是【】
A .x > 2
B .x≤4 C.x < 2 或x≥4 D .2 < x≤4
【答案】D。

解析：本题考察的是一元一次不等式组的解法。

8.圆锥的底面直径是80cm，母线长90cm，则它的侧面展开图的圆心角是【】
A .3200 B.400 C .1600 D.800
【答案】C。

解析：本题考察的是圆锥的相关性质有：圆锥的底面圆周长等于它的侧面展开图扇形的弧长、由扇形弧长的计算公式推导出的圆心角的计算公式。

9.随机掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷两次骰子，掷得面朝上的点数之和是5的概率是【】
A .1
6
B.
1
9
C.
1
18
D .
2
15
【答案】B。

解析：本题考察的是概率的计算。

10 .已知下列命题：
① 若a ≤0 ，则lal ＝一a ；
② 若ma 2 > na 2 ，则m > n ；
③ 两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
④ 垂直于弦的直径平分弦．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是【 】
A.1 个 B .2 个 C.3 个 D .4 个
【答案】B 。

解析：本题考察的是绝对值的化简、乘方的性质、平行四边形的判定、关于圆的垂径定理。

11.在矩形ABCD 中，点O 是BC 的中点，∠AOD=900，矩形ABCD 的周长为20cm ，则AB 的长为【 】 A.1 cm B. 2 cm C.
52cm D . 103cm 【答案】 D 。

解析：本题考察的是矩形的性质定理即矩形的对角线相等且互相平分、矩形周长的计算、对角线垂直的矩形是正方形、勾股定理的计算。

12.关于x 的一元二次方程()2x mx+5m 5=0--的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是【 】
A.2
B. 6
C. 2或6 D . 7
【答案】B 。

解析：本题考察的是一元二次方程中根与系数的关系即a b x x -
=+21以及一元一次方程的解法。

第II 卷（非选择题 共84 分）
二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．请把答案填在题中横线上）
13.)0
1
-= ▲ 。

【答案】
解析：本题考察的是二次根式的化简、二次根式的分母有理化、不为零的数的0次幂是1.
l4.化简：22a 2a 1a 4a+2
a +2a a +4a+4---⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭ ▲ 。

【答案】21a +2a。

解析：本题考察的是分式的加减乘除混合计算、多项式分解因式。

15.某校六个绿化小组一天植树的棵数如下：10 , 11 , 12 , 13 , 8 , x ．若这组数据的平均数是11，则这组数据的众数是 ▲ 。

【答案】12。

解析：本题考察的是数据的平均数、众数。

16.关于x 的两个方程2x x 20--= 与
12=x+1x+a
有一个解相同，则a= ▲ 。

【答案】4。

解析：本题考察的是一元二次方程的解法、分式方程的解法。

17.如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=600，⊙O 的半径为2 ，则BC 的长为
▲ （保留根号）。

【答案】。

解析：本题考察的是圆的性质即同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半、垂径定理、及过股定理的应用。

18.如图，在平面直角坐标系中，点A 在x 上，△ ABO 是直角三角形，∠ABO=900
，点B 的坐标为（－1，2），将△ABO 绕原点O 顺时针旋转900，得到△A l B l O ，则过A 1, B 两点的直线解析式为 ▲ 。

【答案】y=3x ＋5。

解析：本题考察的是直角坐标系中图形的旋转、待定系数法求一次函数的解析式。

19.如图，直线1y=x 22-与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ，点C 在直线AB 上，且点C 的纵坐标为一1 ，点D 在反比例函数k y=
x 的图象上 ，CD 平行于y 轴，OCD 5S 2
∆=则k 的值为 ▲ 。

【答案】3。

解析：本题考察的是待定系数法求反比例函数解析式、求直线解析式的图像上点的坐标及直角坐标系中三角形面积的计算。

20.如图，将△ABC 纸片的一角沿DE 向下翻折，使点A 落在BC 边上的A ′点处，且DE ∥BC ，下列结论：
① ∠AED ＝∠C ；
② A D A E DB EC
''=； ③ BC= 2DE ；
④ BD A E A C AD A E S S S ∆'∆''=+四形边。

其中正确结论的个数是 ▲ 个。

【答案】4。

解析：本题考察的是平行线分线段成比例定理、平行线的性质、三角形的中位线定理。

三、解答题（本大题共6 小题，共60分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
21.某年级组织学生参加夏令营活动，本次夏令营活动分为甲、乙、丙三组进行．下面条形统计图和扇形统计图反映了学生参加夏令营活动的报名情况，请你根据图中的信息回答下列问题：
（1）该年级报名参加本次活动的总人数为人，报名参加乙组的人数为人：（2）补全条形统计图中乙组的空缺部分；
（3）根据实际情况。

需从甲组抽调部分学生到丙组，使丙组人数是甲组人数的3倍。

应从甲组抽调多少名学生到丙组？
【答案】解：（1）60，12。

（2）补全条形统计图如下：
（3）设应从甲组抽调x 名学生到丙组，可得方程30 + x = 3 ( 18 一x ) ，解得x = 6 .
答：应从甲组抽调6 名学生到丙组。

解析：本题考察的是条形统计图的频数的计算、条形统计图的画法、扇形统计图的计算、一元一次方程的解法。

22 .如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶宽AD = 5 米，斜坡AB 的
坡度i =1：3 （指坡面的铅直高度AE 与水平宽度BE 的比），斜坡DC 的坡度i=1：1 . 5 ，已知该拦水坝的高为6 米。

（1）求斜坡AB 的长；
（2）求拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长。

（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）
【答案】解：（1）∵AE1
=
BE3
，AE=6，∴BE=3AD=18。

在Rt△ABE中，根据勾股定理得，AB==
答：斜坡AB 的长为
（2）过点D作DF⊥BC于点F，
∴四边形AEFD是矩形。

∴EF=AD。

∵AD=5，∴EF=5。

又∵DF 2=CF 3
， DF=AE=6，∴CF=32DF=9。

∴BC=BE ＋EF ＋CF=18＋5＋9=32。

在Rt △DCF 中，根据勾股定理得，DC
∴梯形ABCD 的周长为AB ＋BC ＋CD ＋
DA==。

答：拦水坝的横断面梯形ABCD 的周长为
解析：本题考察的是有关坡比的计算、勾股定理的应用。

23 .某商场用3600元购进甲、乙两种商品，销售完后共获利6000元．其中甲种商品每件进价120 元，售价138 元；乙种商品每件进价100 元，售价120 元。

（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品。

购进乙种商品的件数不变，而购进甲种商品的件数是第一次的 2 倍，甲种商品按原售价出售，而乙种商品打折销售。

若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于8160元，乙种商品最低售价为每件多少元？
【答案】解：（1）设商场购进甲种商品x 件，乙种商品y 件，根据题意得：
()()120x 100y 3600138120x 120100y 6000+=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩
，解得，x 200y 120=⎧⎨=⎩。

答：该商场购进甲种商品200件，乙种商品120件。

（2）设乙种商品每件售价z 元，根据题意，得
120（z-100）+2×200×（138-120）≥8160，
解得：z≥108。

答：乙种商品最低售价为每件108元。

解析：本题考察的是一元一次方程组解应用题及一元一次不等式解应用题。

24 .如图，已知AB 为⊙O 的直径，过⊙O 上的点C 的切线交AB 的延长线于点E , AD ⊥EC 于点D 且交⊙O 于点F ，连接BC , CF , AC 。

（1）求证：BC=CF ；
（2）若AD=6 , DE=8 ，求BE 的长；
（3）求证：AF + 2DF = AB 。

【答案】解：（1）证明：如图，连接OC，
∵ED切⊙O于点C，∴CO⊥ED。

∵AD⊥EC，∴CO∥AD。

∴∠OCA=∠OCA。

∴∠OAC=∠CAD。

∴BC CF
=。

∴BC=CF。

（2）在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8，
根据勾股定理得AE=10。

∵CO∥AD，∴△EOC∽△EAD。

∴EO OC EA AD
=。

设⊙O的半径为r，∴OE=10＋r，∴10r r
106
-
=。

∴r=
15
4。

∴BE=10－2r=5
2。

（3）证明：过C作CG⊥AB于G，
∵∠OAC=∠CAD，AD⊥EC，∴CG=CD。

在Rt△AGC和Rt△ADC中，
∵CG=CD，AC=AC，∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL）。

∴AG=AD。

在Rt△CGB和Rt△CDF中，
∵BC=FC ，CG=CD，∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL）。

∴GB=DF。

∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB。

∴AF+2DF=AB。

解析：本题考察的是平行线的性质、同圆中相等的圆周角所对的弧相等、勾股定理、三角形相似的判定、一元一次方程的解法、圆的切线性质定理、三角形全等的判定。

25 .如图，在Rt△ABC中，∠C =900，AC = 4cm , BC = 5 cm，点D 在BC 上，且CD = 3 cm ，现有两个动点P，Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P以1 厘米／秒的速度沿AC 向终点C 运动；点Q 以1 . 25 厘米／秒的速度沿BC 向终点C 运动．过点P作PE∥ BC 交AD 于点E ，连接EQ。

设动点运动时间为t秒（t > 0 )。

（1）连接DP ，经过1 秒后，四边形EQDP能够成为平行四边形吗？请说明理由；
（2）连接PQ ，在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ 与线段AB 平行。

为什么？
（3）当t 为何值时，△EDQ 为直角三角形。

【答案】解：（1）不能。

理由如下：
假设经过t 秒时四边形EQDP 能够成为平行四边形。

∵点P 的速度为1 厘米／秒，点Q 的速度为1 . 25 厘米／秒，
∴AP=t 厘米，BQ=1.25t 厘米。

又∵PE ∥BC ，∴△AEP ∽△ADC 。

∴EP AP DC AC
=。

∵AC=4厘米，BC=5厘米，CD=3厘米， ∴
EP t 34
=，解得，EP=0.75t 厘米。

又∵5QD BC BQ DC 5t 32 1.25t 4=--=--=-， ∴由EP=QD 得2 1.25t=0.75t -，解得t=1。

∴只有t=1时四边形EQDP 才能成为平行四边形。

∴经过1 秒后，四边形EQDP 不能成为平行四边形。

（2）∵AP=t 厘米，BQ=1.25t 厘米，AC=4厘米，BC=5厘米，
∴PC 4t QC 5 1.25t 4t AC 4BC 54---=== ，。

∴PC QC AC BC
=。

又∵∠C=∠C ，∴△PQC ∽△ABC 。

∴∠PQC=∠B 。

∴PQ ∥AB 。

∴在运动过程中，不论t 取何值时，总有线段PQ 与线段AB 平行。

（3）分两种情况讨论：
①当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4－t ，DQ=1.25t －2
又∵EQ ∥AC ，∴△EDQ ∽△ADC 。

∴EQ DQ AC DC =，即4t 1.25t 243
--=， 解得t=2.5。

②当∠QED=90°时，
∵∠CDA=∠EDQ ，∠QED=∠C=90°，∴△EDQ ∽△CDA 。

∴DQ Rt EDQ DA Rt CDA ∆=∆斜上的高斜上的高
边边。

Rt △EDQ 斜边上的高为4－t ，Rt △CDA 斜边上的高为2.4， ∴1.25t 24t 5 2.4
--=，解得t =3.1。

综上所述，当t 为2.5秒或3.1秒时，△EDQ 为直角三角形。

解析：本题考察的是平行四边形的性质、平行线分线段成比例、一元一次方程的解法、三角形相似的性质定理。

26.已知直线y = 2x + 4 与x 轴、y 轴分别交于A , D 两点，抛物线21y=x +bx+c 2
-经过点A , D ，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点。

（1）求这条抛物线的解析式及点B 的坐标；
（2）设点M 是直线AD 上一点，且AOM OMD S : S 1 : 3∆∆=，求点M 的坐标；
（3）如果点C （2，y ）在这条抛物线上，在y 轴的正半轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

【答案】解：（1）在y = 2x + 4中，令y =0，得x=－2；令x=0，得y =4。

∴A （－2，0），D （0，4）。

将A （－2，0），D （0，4）代入21
y=x +bx+c 2
-，得 142b+c=02c=4
⎧-⋅-⎪⎨⎪⎩，解得b=1c=4⎧⎨⎩。

∴这条抛物线的解析式为21
y=x +x+42
-。

令21y=x +x+4=02
-，解得12x =2x =4-，。

∴B （4，0）。

（2）设M （m ，2 m + 4），分两种情况：
①当M 在线段AD 上时，由AOM OMD S : S 1 : 3∆∆=得 ()()1122m+2: 4m 1 : 322⎡⎤⎡⎤⋅⋅⋅-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
， 解得，3m 2=-。

∴M 1（312
- ，）。

②当M 在线段DA 延长线上时，
由AOM OMD S : S 1 : 3∆∆=得 ()()1122m+2: 4m 1 : 322⎡⎤⎡⎤-⋅⋅⋅-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，解得m 3=-。

∴M 2（34-- ，）。

综上所述，点M 的坐标为M 1（312- ，），M 2（34-- ，
）。

（3）存在。

∵点C （2，y ）在21y=x +x+42-上，
∴21y=2+2+4=42-⋅。

∴C （2，4）。

设P ()0,p ，根据勾股定理，得
()222BC 42+420=-=，
2222PB 4+p 16+p ==，()2222PC 2+p 4p 8p+20=-=-。

分三种情况：
①若PB=BC ，则216+p 20=，解得，p 2=±。

∵点P 在y 轴的正半轴上，∴P 1（0，2）。

②若PB=PC ，则2216+p p 8p+20=-，解得，1p 2
=。

∴P 2（0，12）。

③若BC=PC ，则220p 8p+20=-，解得，p 0p 8==或。

∵点P 在y 轴的正半轴上，∴p 0=不符合要求。

当p 8=时，B 、C 、P 在一直线上，不构成三角形，也不符合要求。

∴BC=PC 时，在y 轴的正半轴上是不存在点P ，使△BCP 为等腰三角形。

综上所述，在y 轴的正半轴上是存在点P1（0，2），P2（0，1
2
），使
△BCP为等腰三角形。

解析：本题考察的是待定系数法求二次函数解析式、直角坐标系中求三角形的面积、一元二次方程得解法。