第14章达朗贝尔原理汇总

几个工程实际问题
爆
几 个 工 程 实 际 问 题
破 时 烟 囱 怎 样 倒 塌
几 个 工 程 实 际 问 题
惯性力
定义：由于物体具有惯性，抵抗其 FI
运动状态改变，而给予外界 的一种反作用力。
大小： FI = ma
FI ma 方向： FI与a的方向相反
作用点：在施力物体上
动静法(达朗伯原理)
M IC aC
虚加点：刚体质心C上
刚体惯性力系主矢与主矩与动量(矩)之关系
将达朗贝尔原理与动量定理和动量矩定理相比较可以得到
FIR
＝－m
aC
＝－
dp dt
M
IO＝－J
O＝－
dLO dt
M
IC＝－J
C＝－
dLC dt
Fie－maC ＝0
M O (Fie )－JO＝0 M C (Fie )－JC＝0
例 题5
CR
W1
F FN
FOy
O
FOx
A
如果直接采用动静法，需 将系统拆开。因为系统为一 个自由度，所以考虑先应用 动能定理，求出加速度，再 对大圆轮应用动静法。
W2
1 2
W2 g
v2
1 2
W1 g
v2
1 2
(1 2
W1 g
R2 )(
v )2 R
T0
W2
s
1 2
(W2 g
3 2
W1 )v2 g
T0
例题3
车载杆件AB在B处为铰链约束，A处为光滑面约束，若已知汽
车以等加速度a在平坦的路面上行驶，杆件的重量为W、长度为l, 杆件与车厢水平面的夹角为。
求：A、B二处的约束力。
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例题3
解：1、运动分析与加速度分析
杆件AB跟随汽车作平移，因此杆件上各点都具有与汽车行驶 加速度a相同的加速度。
FT1＝
m2 g
2cos
,
FT1＝FT1
cos m1 m2 g m1l 2
质点的惯性力与动静法
例 题2
y 振动筛
y
平衡位置 O
y＝a sin t
求：颗粒脱离台面的 最小振动频率
质点的惯性力与动静法 例 题 2
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。
y
y
FI FN m
2
0， ＝3g
2l
sin
d 3g (1- cos )
dt
l
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例题4
FIτ
W l
g2
FIn
W g
l 2
2
M IO JO
解： 3、应用动静法先求未知运动量
和 ，再计算动约束力：
d 3g (1- cos )
dt
l
Fx 0
FOx
W g
l 2
2
Wcos
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例题3
解：3、应用动静法
Fx 0
FBx ma FNAsin 0
FBx
W 2
sin2
2
a g
(1
cos
2
)
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例题3
解：3、应用动静法
Fy 0
FBy W FNAcos 0
FBy
W (1-
g 4a 4g
sin 2 )
2、受力分析
杆件重力W；
应用达朗贝尔原理，在杆件AB各点上施加惯性力－ma ；约束力FNA，FBx, FBy 。
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例题3
解：3、应用动静法
M B (F) 0
FNAl
masin
l 2
Wcos
l 2
0
FNA
Wcos
masin
2
W 2g
( gcos
asin )
)
MO (
FIi
)＝0
i
i
刚体惯性力系的简化
惯性力系向任一点的简化
主矢 FIR＝ FI＝i (－mi ai )＝－M aC
M m ( F ) 主矩
i
Io
i
o Ii
平动(向质心点简化)
主矢
大小： FI = Mac
FI2 FIR
m2FI1
m1 a2
maC
FIn mn an
a1
FIC maC
方向： FI与ac的方向相反 作用点：刚体质心C上
例题4
解： 2、受力分析
惯性力简化结果
FIτ
W l
g2
FIn
W g
l 2
2
M IO JO
W－杆件重力
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例题4
解： 2、受力分析
FIτ
W l
g2
FIn
W g
l 2
2
M IO JO
3、应用动静法先求未知运动量和 ，再计算动约束力：
MO (F) 0
J O －W
l sin
第十四章 达朗伯原理
引言
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运 动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动 力学问题 —— 达朗贝尔原理。
达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学 问题提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学 求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件 求解动应力。
达朗贝尔原理与动静法为解决非自由质点系 的动力学问题提供了有别于动力学普遍定理的另 外一类方法。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学 求解动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件 求解动应力。
结论与讨论 刚体惯性力系的简化结果
刚体惯性力系的主矢与刚体运动形式无关
1、平移
FIR ＝－m aC
2、定轴转动
惯性力惯性系中体现运动惯性的力学量；人为 地将二阶运动量表示成力的形式，人为地施加在 运动物体上。达朗贝尔惯性力是虚拟力。
大小： MIO = JO 方向： 与的方向相反 虚加点：刚体轴心O上
平面运动(向质心点简化)
将平面运动分解为跟随基点 C的平移和绕基点C的转动
主矢 大小： FIC = Mac
C
aC
FIC maC 方向： FIC与ac的方向相反
作用点：刚体质心C上
FIC C
主矩 大小： MIC = JC
M IC JC 方向： 与的方向相反
FT2 B
FT3
F´T1
C
FT1 m1 g
m2 g
质点的惯性力与动静法 例 题 1
解： 2、分析运动：施加惯性力。
FT2
FT3
F´T1
球绕O1y1轴作等速圆周 运动，惯性力方向与法向
B FI C
加速度方向相反，其值为
FI＝m1l 2sin
FT1 m1 g
重锤静止，无惯性力。 m2 g
3、应用动静法：
1. 质点
F + FN＝ FR =m a FI
F + FN +(－ m a) ＝0
F + FN ＋ FI ＝0
a
F m
vF
a
m
FR
FN
2.质点系
主动力系 F1 ,F2 , ,Fi , ,Fn
约束力系 FN1 ,FN2 , ,FNi , ,FNn
惯性力系 FI1 ,FI 2 ,L ,FIi ,L ,FIn
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例题3
解：4、讨论：本例若采用质点系普遍定理
maCx Fx maCy Fy
?
JC M C (F )
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例题4
A
O
均质杆件OA，A端铰接，在铅垂 位置时受微小扰动运动到倾斜位置。
求：1、惯性力的简化结果； 2、O处的约束力。
ya W 平衡位置
O
O 平衡位置 y FN
ma
W FI
质点的惯性力与动静法 例 题 2
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。
应用动静法 y
FI＝ma 2sin t
FI FN m
ya W
O
FN－W＋ma 2sin t＝0
颗粒脱离台面的条件 FN＝0，
sin t＝1时， 最小。
W2
s
ds v dt
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例 题5
CR
W1
F FN
FOy
O
FOx
A
如果直接采用动静法，需 将系统拆开。因为系统为一 个自由度，所以考虑先应用 动能定理，求出加速度，再 对大圆轮应用动静法。
W2
1 2
(W2 g
3 2
W1 )v2 g
T0
W2
s
ds v dt
a W2 g
结论与讨论
关于达朗贝尔原理和动静法 刚体惯性力系的简化结果 达朗贝尔惯性力与非惯性系中惯性力 惯性力系主矢和主矩与质点系动量和 动量矩 引起轴承动约束力的几种情形 几个实际问题
结论与讨论
关于达朗贝尔原理 和动静法
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运 动量表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动 力学问题 —— 达朗贝尔原理。
m1g (FT1 FT2 )cos 0
对于重锤 C
FT1＝FT3 ,
FT1＝
m2 g
2cos
,
FT1＝FT1
质点的惯性力与动静法 例 题 1
解：
Fx1 0 Fy1 0
FT1＝FT3 ,
m1l 2sin (FT1 FT2 )sin 0
m1g (FT1 FT2 )cos 0
Wsin
W g
l
2
W 4
sin
CR W1
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例 题5
半径为R、重量为W1的 大圆轮，由绳索牵引，在
O
重量为W2的重物A的作用 下，在水平地面上作纯滚
动，系统中的小圆轮重量
忽略不计。
A
求：大圆轮与地面之间
的滑动摩擦力
W2
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例 题5
CR
W1
F FN
FO
解：1、受力分析
y
考察整个系统，有4个未知
O
FO 约束力。
x
如果直接采用动静法，需
将系统拆开。因为系统为一
个自由度，所以考虑先应用
A
动能定理，求出加速度，再 对大圆轮应用动静法。
W2
1 2
W2 g
v2
1 2
W1 g
v2
1 2
(1 2
W1 g
R2 )(
v )2 R
T0
W2
s
动静法应用于刚体的 动约束力分析
Fx1 0 Fy1 0
m1l 2sin (FT1 FT2 )sin 0 m1g (FT1 FT2 )cos 0
质点的惯性力与动静法 例 题 1
FT2
FT3
F´T1
解：
B FI
C
3、应用动静法：
FT1 m1 g
Fx1 0 Fy1 0
对于球 B m2 g
m1l 2sin (FT1 FT2 )sin 0
F1 m1 FI1
a1 FN1 FNi
mi
由动静法得: Fi FNi FIi＝0
a2
FN2 FIi m2
Fi
Fi FNi FI＝ i 0
F2
FI2
i
i
i
MO ( Fi ) MO ( FNi ) MO ( FIi )＝0
i
i
i
Fi e FI＝ i 0
i
i
MO (
Fe i
W2
3 2
W1
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例 题5
如果直接采用动静法，需 将系统拆开。因为系统为一 个自由度，所以考虑先应用 动能定理，求出加速度，再 对大圆轮应用动静法。
a W2 g
W2
3 2
W1
JC
W1 a g
C W1
F FN
MC (F) 0, F R JC
F
J C
R
JCa R2
aτ C
3、平面运动 FIR ＝－maC
结论与讨论 刚体惯性力系的简化结果
惯性力系的主矩 ห้องสมุดไป่ตู้— 惯性力系的主矩与刚体的 运动形式有关。
1、平移
M IC ＝0
2、定轴转动
M IO＝－J O
3、平面运动
M IC＝－JC
结论与讨论
达朗贝尔惯性力与 非惯性系中惯性力
达朗贝尔惯性力
FI ＝－ma a－绝对加速度
达朗贝尔原理与相关的动量定理和动量矩定理相一致。
质点的惯性力与动静法
动静法
应用达朗贝尔原理求解非自由质点动约束力的方法
F + FN ＋ FI ＝0 FI ＝－ m a
1、分析质点所受的主动力和约束力； 2、分析质点的运动，确定加速度； 3、在质点上施加与加速度方向相反的惯性力。
动静法应用于刚体的 动约束力分析
W2W1
2(W2
3 2
W1 )
质点的惯性力与动静法
O1
x1
l l
A
B
l
l
C
y1
例题1
离心调速器
已知：
m1－球A、B 的质量；
m2－重锤C 的质量； l－杆件的长度；
－ O1 y1轴的旋转角速度。
求：
－ 的关系。
质点的惯性力与动静法 例 题 1
O1
x1
l l
A
B
l
l
C
y1
解：
1、分析受力：以球 B(或A)和重锤C 为研究对象，分析所受的主动力和 约束力
平衡位置
＝ g
a
质点的惯性力与动静法 例 题 2
解：通过分析受力、分析运动并施加惯性力，确定 颗粒脱离台面的位置和条件。
y
应用动静法
FN W ma 2sin t＝0
O y FN
ma
平衡位置 FN＝W＋ma 2sin t 0
颗粒在平衡位置以下时不会 脱离台面。
W FI
质点的惯性力与动静法 例 题2
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例题4
解：1、运动分析
杆件OA绕O轴作定轴转动，假定
转动角速度和角加速度分别为和 。
2、受力分析 假设O处有沿着杆件轴线和垂直 于杆件轴线方向约束力； 杆件上由于定轴转动而产生的分 布惯性力向O处简化的结果为
FIτ ，FIn , M IO
动静法应用于刚体的 动约束力分析
主矩 M IC＝0
定轴转动(向轴心点简化) 主矢 大小： FIO = Mac
a
i
FIin
a FIi a mi
τ
CC n C
FIO＝－m aC
方向： FIO与ac的方向相反
a
n i
作用点：刚体轴心O上 MIO O
Fn IO FIO
主矩
F IO
M
＝
IO
M
O
(
Fτ Ii
)
＝－( miri2 )
＝－ J O
0
FOx
W g
l 2
2
Wcos
W 2
(3 - 5cos )
动静法应用于刚体的 动约束力分析
例题4
FIτ
W l
g2
FIn
W g
l 2
2
M IO JO
解： 3、应用动静法先求未知运动量
和 ，再计算动约束力：
d 3g (1- cos )
dt
l
Fy 0
FOy
W g
l
2
Wsin
0
FOy