等式的基本性质学案

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【教案】等式与不等式性质(一)教学设计

实数的大小的一般步骤是：作差→恒等
变形→判断差的符号→下结论．作差后变形
是比较大小的关键一步，变形的方向
是化成几个完全平方式的形式或一
些易判断符号的因式积的形式．
例 1 比较（ x+2 ） (x+3) 和
(x+1)(x+4)的大小
语言表示
符号表示
如果 a-b 是正数，
那么 a＞ b
> ⇔− >0
x
秒，人在此时间内跑
0.5
燃烧的速度是每秒 0.5 cm，人跑开的
x
x
的路程为 4×
m．由题意可得 4× >100.
0.5
0.5
速度为每秒 4 m，为了使点燃导火索
3.答案
的人能够在爆破时跑到 100 m 以外的
安全区，导火索的长度 x(cm)应满足
的不等式为(
解析
A
1
3
∵M－N＝x2＋x＋1＝x＋22＋ >0，
习的
目标，
整体
提升
数学
素养。
教学环节：板书设计
1. 不等关系与不等式“翻译”表
2. 两个实数比较大小的方法
3. 整体讲解在电子白板上下课时保存，下节课可以打开继续使用
6
学科网（北京）股份有限公司
言
③多个不等关系用不等式组表示．
变式练（1）某套试卷原以每本 2.5
元的价格销售，可以售出 8 万本．据
市场调查，若单价每提高 0.1 元，销
等于，等于，
至少，至多，
不低
不超
于
过
符
号
>
语
2

人教A版高中学案数学必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式等式性质、不等式性质、基本不等式

4

16
5
C. + 的最小值是6D.2 + 2 的最小值为

[解析]对于A选项, = ⋅ ⋅ ≤

+
⋅(
) =

A选项正确.对于B选项,( + )( + ) = +
由 =

,

=

,解得

对于C选项, + =
− ≥ ,当且仅当 = −, = 时取等号,故选C.
3.下列说法中，正确的个数是() B
①2 + 2 ≥ 2 成立的条件是 ≥ 0, ≥ 0②2 + 2 ≥ 2 成立的条件是, ∈
③ + ≥ 2 成立的条件是 > 0, > 0④ + ≥ 2 成立的条件是 > 0
等号成立,故有最大值−.故选C.

−
− = −,当且仅当− =

,即
−
= −时,
5.[2024扬州期末]对于实数,,,下列命题正确的是()
C
A.若 > ,则 2 > 2 B.若 > ,则2 > 2

−
C.若 > ,则|| > ||D.若 > > > 0,则
又 < ,∴ − < < ,− > ,∴ > − > > −.
2.已知 = 2 + 4 + 1, = − 2 + 2 − 4,则() C
A. > B. < C. ≥ D. ≤

青岛版-数学-七年级上册-《整式的加减》复习学案 (2)

第六章整式的加减复习学案指出下列多项式每一项的系数和次数, 分别是几次几项式① 3a －2b+1 ② 2x 2－3x+5③ 2a －ab 2 ④ 1－x+ x 24.观察下面一列单项式：x -，22x ，34x -，48x ，516x -，…，根据其中的规律，得出第十个单项式是5.把多项式x y x x 3143+-+-按项的次数由高到低排列（二）同类项1.定义：所含相同，并且也相同的项，叫做同类项。

常数项都是同类项。

（要牢记！）2.概念：叫做合并同类项。

3.合并同类项的法则对应训练1.判别下列各题中的两个项是不是同类项。

2.单项式 2x 2y 和（）是同类项：①5xy ②13x 2y ③x 2yz ④2a 2b ⑤－21x 2y 3、合并下列多项式中的同类项：（1）3a+(-5a) (2)4m 2n+ m 2n (3)-0.3ab+0.3ab4、合并下列各项式的同类项：（1）13x-3x-10x ；（2）x 2y-4x 2y+2x 2y ；（3）2m 2+1-3m-7-3m 2+5 （4）5ab-4a 2b-8ab 2+3ab-ab 2-4a 2b 。

5、先化简，再求值：（1） 2x 2-5xy+2y 2+x 2-xy-2y 2，其中x=-1，y=2；（2）a3-3a2b+ab2+3a2b-b3-ab2，其中a=14，b=-12。

（三）去括号1.去括号法则：（1）括号前面是“＋”号时（2）括号前面是“－”号时．2.添括号法则：（1）所添括号前面是“+”时，（2）所添括号前面是“-”时，对应训练1、判断：下列去括号有没有错误?若有错，请改正：(1)a2-(2a-b+c) = a2-2a-b+c；(2)-(x-y)+(xy-1) =-x-y+xy-1.2、根据去括号法则，在___上填上“+”号或“-”号：(1)a___(-b+c)=a-b+c(2)a___(b-c-d)=a-b+c+d(3)____(a-b)___(c+d)=c+d-a+b3、去括号：（1）a＋（b－c）；（2）a－（b－c）；（3）a＋（－b＋c）；（4）a－（－b－c）．（四）整式的加减1. 概括：整式的加减运算是，有括号，先去括号，有同类项再合并同类项。

五年级数学下册第五单元《解简易方程》教学案

课后习题，53
板书设计
方程的意义
教学反思
这节课利用天平教具，激起了学生很大的兴趣，让学生分类总结式子，有理有据，感知方程的意义。课堂生成资源，方程不带单位，含有字母的等式说法不完整，学生生出的问题，学生解决。有尽量让每一位都能参与其中。就是板书有点凌乱。
第二课时
学习目标
1.通过天平演示保持平衡的几种变换情况，让学生初步认识等式的基本性质。
2.猜猜:除了这样的变化，天平仍保持平衡外，还可以怎么做能使天平保持平衡?出示第二个天平关系。
3.让学生观察现在的天平是什么样的?(平衡)，左边两个盖子，右边四个夹子。
怎样用等式来表示这幅图呢?
4.学生猜测后，教师进行实际天平操作，验证学生的猜测。如果把天平的两边物品的数量分别扩大到原来的 3倍、4 倍呢?(仍然保持平衡)
师：(处理第三个，追问）怎么又可能了呢？
生：如果遮住的是未知数，那就是方程。如果遮住的是已知数，那就不是方程。
4.学生独立完成并汇报。
师：谁先来说说你写的方程？
生：28+x=40。
生2:40-x=28。
生3:40-28=x。
生：40-28=12(岁）。
1.判断下面的式子，哪些是等式？哪些是方程？
①45+35=80
让学生猜测。这里对学生可能有些难度，有些学生的猜测脱离不了等式的性质。
如:学生猜测天平的两边同时放2个、3 个杯子;同时减去一把茶壶等。这时教师一定要及时强调:这都是把等式的两边加上或减去同一个数，并提示学生如果把等式的两边同时乘或除以一个相同的数(0除外)，会怎么样呢?
生尝试写出:2a=4b
学生回答:去掉一个盖子和两个夹子。引导是把两边都平均分成两份，都去掉一份

2017_2018学年高中数学不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1.4绝对值的三角不等式学案新人教B版选修4_5

1．4 绝对值的三角不等式[对应学生用书P13][读教材·填要点]绝对值的三角不等式(1)定理1：若a，b为实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|.当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：设a，b，c为实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，等号成立⇔(a－b)(b－c)≥0，即b落在a，c之间．①推论1：||a|－|b||≤|a＋b|②推论2：||a|－|b||≤|a－b|[小问题·大思维]1．|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|及|a|＋|b|分别具有什么关系？提示：|a|－|b|≤|a＋b|，|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.2．不等式|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|中“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0，且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.3．绝对值不等式|a－c|≤|a－b|＋|b－c|的几何解释是什么？提示：在数轴上，a，b，c所对应的点分别为A，B，C，当点B在点A，C之间时，|AC|＝|AB|＋|BC|；当点B不在点A，C之间时，|AC|<|AB|＋|BC|.[对应学生用书P13][例1] (1)以下四个命题：①若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；②若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；③若|x |＜2，|y |＞3，则|x y |＜23；④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥12( lg|A |＋lg|B |)．其中正确的命题有( ) A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个(2)不等式|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充要条件是________．[思路点拨] 本题考查绝对值的三角不等式定理的应用及充要条件等问题．解答问题(1)可利用绝对值的三角不等式定理，结合不等式的性质、基本定理等一一验证；解答问题(2)应分|a |＞|b |与|a |<|b |两类讨论．[精解详析] (1)|a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a | ＝|a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确； 1＞|a －b |≥|a |－|b |，∴|a |＜|b |＋1，②正确； |y |＞3，∴1|y |＜13. 又∵|x |＜2，∴|x ||y |＜23.③正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫|A |＋|B |22＝14(|A |2＋|B |2＋2|A ||B |)， ≥14(2|A ||B |＋2|A ||B |)＝|A ||B |， ∴2lg |A |＋|B |2≥lg|A ||B |.∴lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)，④正确．(2)当|a |>|b |时，有|a |－|b |>0， ∴|a ＋b |≥||a |－|b ||＝|a |－|b |. ∴必有|a ＋b ||a |－|b |≥1.即|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的充分条件．当|a ＋b ||a |－|b |≥1时，由|a ＋b |>0，必有|a |－|b |>0. 即|a |>|b |，故|a |>|b |是|a ＋b ||a |－|b |≥1成立的必要条件．故所求为：|a |>|b |. [答案] (1)A (2)|a |＞|b|(1)绝对值的三角不等式：|a |－|b |＜|a ±b |＜|a |＋|b |的几何意义是：三角形任意两边之差小于第三边，三角形任意两边之和大于第三边．(2)对|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |的诠释：1．(1)若x ＜5，n ∈N ＋，则下列不等式： ①|x lgn n ＋1|＜5|lg nn ＋1|；②|x |lg n n ＋1＜5lg nn ＋1； ③x lgn n ＋1＜5|lg nn ＋1|；④|x |lgn n ＋1＜5|lg nn ＋1|. 其中，能够成立的有________．(2)已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是( )A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n解析：(1)∵0＜nn ＋1＜1.∴lgnn ＋1＜0.由x ＜5，并不能确定|x |与5的关系， ∴可以否定①②③，而|x |lgnn ＋1＜0，④成立．(2)∵|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |， ∴m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a －b ||a －b |＝1，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |＝1.∴m ≤1≤n .答案：(1)④ (2)D[例2] 已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2.[思路点拨] 本题的特点是绝对值符号较多，直接去掉绝对值符号较困难．从所证的不等式可以看出，不等式的左边为非负值，而不等式右边的符号不定．如果不等式右边非正，这时不等式显然成立；当不等式右边为正值时，有|a |＞|b |.所以本题应从讨论|a |与|b |的大小入手，结合作差比较法，可以使问题得以解决．[精解详析] ①若|a |＞|b |，左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b ||a ＋b |＋|a －b |。

高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1-3绝对值不等式的解法学案新人教B版选修4_5

高中数学第一章不等式的基本性质和证明不等式的基本方法1-3绝对值不等式的解法学案新人教B版选修4_5[读教材·填要点]1．含绝对值的不等式|x|≤a与|x|≥a的解集2．(1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；(2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.3．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法(1)分区间讨论法：以绝对值的零点为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负进而去掉绝对值符号是解题关键．(2)图象法：构造函数，结合函数的图象求解．(3)几何法：利用绝对值不等式的几何意义求解．[小问题·大思维]1．|x|以及|x－a|±|x－b|表示的几何意义是什么？提示：|x|的几何意义是数轴上表示数x的点到原点O的距离；|x－a|±|x－b|的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数a，b的点的距离之和(差)．2．如何解|x－a|＜|x－b|、|x－a|＞|x－b|(a≠b)型的不等式的解集？提示：可通过两边平方去绝对值符号的方法求解．[例1](1)1＜|x －2|≤3；(2)|2x ＋5|＞7＋x ；(3)≤.[思路点拨] 本题考查较简单的绝对值不等式的解法．解答本题(1)可利用公式转化为|ax ＋b|＞c(c ＞0)或|ax ＋b|＜c(c ＞0)型不等式后逐一求解，也可利用绝对值的定义分两种情况去掉绝对值符号，还可用平方法转化为不含绝对值的不等式．(2)可利用公式法转化为不含绝对值的不等式．(3)可分类讨论去掉分母和绝对值．[精解详析] (1)法一：原不等式等价于不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ |x －2|＞1，|x －2|≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜1或x ＞3，－1≤x≤5，解得－1≤x＜1或3＜x≤5，所以原不等式的解集为{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．法二：原不等式可转化为：①或②⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＜0，1＜－－，由①得3＜x≤5，由②得－1≤x＜1，所以原不等式的解集是{x|－1≤x＜1或3＜x≤5}．(2)由不等式|2x ＋5|＞7＋x ，。

专题06 一元一次方程(学案)

2021年中考数学一轮专题复习学案06 一元一次方程知识点1：方程的有关概念知识点梳理1．方程、方程的解、解方程：（1）含有未知数的等式叫做方程．（2）使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．（3）求方程解的过程叫做解方程．注意：方程的解与解方程不同．2．一元一次方程：在整式方程中，只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 1 ，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．3.一元一次方程的一般形式：ax+b=0(a，b为常数，且a≠0) .典型例题【例1】（2019•呼和浩特14/25）关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，则其解为．【解答】解：∵关于x的方程mx2m﹣1+（m﹣1）x﹣2＝0如果是一元一次方程，∴2m﹣1＝1，即m＝1或m＝0，方程为x﹣2＝0或﹣x﹣2＝0，解得：x＝2或x＝﹣2，故答案为：x＝2或x＝﹣2．【例2】已知3是关于x的方程2x－a＝1的解，则a的值是()A．－5B．5C．7D．2【分析】直接利用方程的解的定义可得出关于a的方程：6－a＝1，所以a＝5.【答案】B1.等式的基本性质：（1）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等．如果a =b ，那么a ±c = b ±c ．（2）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．如果a =b ，那么ac = bc ；如果a =b (c ≠0)，那么=a b c c．（3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：①对称性：等式的左、右两边交换位置，所得的结果仍是等式．如果a =b ，那么b = a ．②传递性：如果a =b ，且b =c ，那么a = c ．等式的传递性，习惯上也称作是等量代换． 2．解一元一次方程的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1.【例3】（2020•重庆A 卷7/26）解一元一次方程11(1)123x x +=-时，去分母正确的是（）A ．3(x +1)=1-2xB ．2(x +1)=1-3xC ．2(x +1)=6-3xD ．3(x +1)=6-2x【考点】解一元一次方程【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案．【解答】解：方程两边都乘以6，得：3(x +1)=6-2x ，故选：D ．【点评】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质．【例4】解方程：（1）20%+50%x =7.2；（2）5382x x -=．【分析】（1）方程移项合并，把x 系数化为1，即可求出解；（2）方程合并，把x 系数化为1，即可求出解．【答案】解：（1）移项，得：50%x =7.2–20%，知识点2：一元一次方程的解法知识点梳理典型例题合并同类项，得：0.5x =7，将x 的系数化为1，解得：x =14．（2）合并同类项，得：3382x ，将x 的系数化为1，解得：x =4．1．列一元一次方程解应用题的一般步骤：审题→找出相等关系 →列出一元一次方程→解一元一次方程→写出答案．2.关键：寻找等量关系是关键，注意两点：（1）设适当的未知数；（2）题中各个量的单位．【例5】（2020•山西17/23）2020年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）．某品牌电饭煲按进价提高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元．求该电饭煲的进价．【考点】一元一次方程的应用【分析】设该电饭煲的进价为x 元，则售价为80%×(1+50%)x 元，根据某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付现金568元列出方程，求解即可．知识点3：一元一次方程的实际应用知识点梳理典型例题【解答】解：设该电饭煲的进价为x元，则标价为(1+50%)x元，售价为80%×(1+50%)x元，根据题意，得80%×(1+50%)x-128=568，解得x=580．答：该电饭煲的进价为580元．【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．【例6】（2018·呼和浩特13/25）文具店销售某种笔袋，每个18元，小华去购买这种笔袋，结账时店员说：“如果你再多买一个就可以打九折，价钱比现在便宜36元”，小华说：“那就多买一个吧，谢谢，”根据两人的对话可知，小华结账时实际付款元．【考点】一元一次方程的应用．【分析】设小华购买了x个笔袋，根据原单价×购买数量（x﹣1）﹣打九折后的单价×购买数量（x）＝节省的钱数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出小华购买的数量，再根据总价＝单价×0.9×购买数量，即可求出结论．【解答】解：设小华购买了x个笔袋，根据题意得：18（x﹣1）﹣18×0.9x＝36，解得：x＝30，∴18×0.9x＝18×0.9×30＝486．答：小华结账时实际付款486元．故答案为：486．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．知识点4：常见的几种应用题类型知识点梳理1.行程问题：基本量间的关系：路程=速度×时间相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程追及问题：被追的路程=甲走的路程-乙走的路程（若甲为快者）2.工程问题：基本量间的关系：工作效率=工作总量工作时间其他常用关系量：①甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率；②通常把工作总量看作“1”.【例7】（2020•吉林10/26）我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，根据题意，可列方程为．【考点】数学常识；由实际问题抽象出一元一次方程【分析】设快马x天可以追上慢马，根据两马的速度之差×快马出发的时间=慢马的速度×慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：设快马x天可以追上慢马，依题意，得：(240-150)x=150×12．故答案为：(240-150)x=150×12．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．【例8】（2019·安徽省17/23）为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【考点】一元一次方程的应用．【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，解得x＝7，所以乙工程队每天掘进5米，典型例题146261075-=+（天）答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出两队的工效，进而得出等量关系是解题关键．1．请写出一个解为x＝2的一元一次方程：__________．2. 已知关于x的方程4x－3m＝2的解是x＝m，则m的值是()A．2B．－2 C.27D．－273.设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算a bc d=ad﹣bc，则满足等式12321x x+=1的x的值为．4.解方程：（1）5(x-1)-1=2x；（2）26135x xx+-+=-．5.（2020•青海15/28）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是()A．2286()()(5)22x xππ⨯=⨯⨯-B．2286()()(5)22x xππ⨯=⨯⨯+ C．2286(5)x xππ⨯=⨯⨯+D．22865xππ⨯=⨯⨯6.（2018·通辽8/26）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（）A．亏损20元B．盈利30元C．亏损50元D．不盈不亏7.（2020•呼和浩特5/24）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，巩固训练路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了( ) A ．102里B ．126里C ．192里D ．198里8.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x 元，根据题意，列出方程为__________________.9.根据省“十三五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260 km ，求提速后的火车速度．(精确到1 km/h)10.（2020•安徽19/23）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4月份的销售总额为a 元，线上销售额为x 元，请用含a ，x 的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；时间销售总额（元)线上销售额（元)线下销售额（元)2019年4月份 axa x -2020年4月份1.1a 1.43x1.04()a x -（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．11.甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m ，两人同时从起点同向出发，经过3min 两人首次相遇，此时乙还需跑150m 才能跑完第一圈．（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m 的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min 两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？12.为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？巩固训练解析1．请写出一个解为x＝2的一元一次方程：__________．【考点】一元一次方程的解．【解答】解：根据题意，写出一元一次方程的解为x＝2即可，故方程可以是：2x-2=2.注意答案不唯一．【考点】一元一次方程的解．【解答】解：把x＝m代入原方程，得：4m－3m＝2，解得：m=2，故答案为：A．3.设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算a bc d=ad﹣bc，则满足等式12321x x+=1的x的值为．【考点】解一元一次方程．【分析】根据题中的新定义化简已知方程，求出方程的解即可得到x的值．【解答】解：根据题中的新定义得：2(1)1 23x x+-=，去分母得：3x﹣4x﹣4=6，移项合并得：﹣x=10，解得：x=﹣10，故答案为：﹣10．【点评】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，求出解．4.解方程：（1）5(x-1)-1=2x；（2）26135x xx+-+=-．【分析】（1）去括号求解即可；（2）通分再移项合并同类项即可．【解答】解：（1）5(x-1)-1=2x5x-6=2x即3x =6 x =2 （2）26135x x x +-+=-15x +5x +10=15-3x +18 即23x =23 x =1【点评】掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．5.（2020•青海15/28）如图，根据图中的信息，可得正确的方程是( )A ．2286()()(5)22x x ππ⨯=⨯⨯-B ．2286()()(5)22x x ππ⨯=⨯⨯+C ．2286(5)x x ππ⨯=⨯⨯+D ．22865x ππ⨯=⨯⨯【考点】由实际问题抽象出一元一次方程【分析】根据圆柱体的体积计算公式结合水的体积不变，即可得出关于x 的一元一次方程，此题得解．【解答】解：依题意，得：2286()()(5)22x x ππ⨯=⨯⨯+．故选：B ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．6.（2018·通辽8/26）一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（） A ．亏损20元B ．盈利30元C ．亏损50元D ．不盈不亏【考点】一元一次方程的应用．【分析】设盈利的商品的进价为x 元，亏损的商品的进价为y 元，根据销售收入﹣进价＝利润，即可分别得出关于x、y的一元一次方程，解之即可得出x、y的值，再由两件商品的销售收入﹣成本＝利润，即可得出商店卖这两件商品总的亏损20元．【解答】解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为y元，根据题意得：150﹣x＝25%x，150﹣y＝﹣25%y，解得：x＝120，y＝200，∴150+150﹣120﹣200＝﹣20（元）．故选：A．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．7.（2020•呼和浩特5/24）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了()A．102里B．126里C．192里D．198里【考点】一元一次方程的应用【分析】设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，根据前六天的路程之和为378里，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，依题意，得：2481632378+++++=，x x x x x x解得：6x=．x=，32192+=，6192198答：此人第一和第六这两天共走了198里，故选：D．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．8.湘潭历史悠久，因盛产湘莲，被誉为“莲城”．李红买了8个莲蓬，付50元，找回38元，设每个莲蓬的价格为x元，根据题意，列出方程为__________________.【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据被开方数大于或等于0，列出不等式x -2≥0，解不等式即可.【答案】50-8x =389.根据省“十三五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260 km ，求提速后的火车速度．(精确到1 km/h)【分析】根据提速前与提速后连云港至徐州的距离不变，列出方程，求解即可. 【答案】解：设提速后的火车速度是x km/h ，根据题意，得2.3(x －260)＝0.6x ，解得x ＝352.答：提速后的火车速度是352 km/h .10.（2020•安徽19/23）某超市有线上和线下两种销售方式．与2019年4月份相比，该超市2020年4月份销售总额增长10%，其中线上销售额增长43%，线下销售额增长4%．（1）设2019年4月份的销售总额为a 元，线上销售额为x 元，请用含a ，x 的代数式表示2020年4月份的线下销售额（直接在表格中填写结果）；（2）求2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值．【考点】列代数式；一元一次方程的应用【分析】（1）由线下销售额的增长率，即可用含a ，x 的代数式表示出2020年4月份的线下销售额；（2）根据2020年4月份的销售总额=线上销售额+线下销售额，即可得出关于x 的一元一次方程，解之即可得出x 的值（用含a 的代数式表示），再将其代入1.431.1x a中即可求出结论．【解答】解：（1）与2019年4月份相比，该超市2020年4月份线下销售额增长4%， ∴该超市2020年4月份线下销售额为1.04()a x -元．故答案为：1.04()a x -．（2）依题意，得：1.1 1.43 1.04()a x a x =+-，解得：213x a =，∴21.431.430.22130.2 1.1 1.1 1.1ax aa a a===．答：2020年4月份线上销售额与当月销售总额的比值为0.2．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．11.甲乙两人在一环形场地上锻炼，甲骑自行车，乙跑步，甲比乙每分钟快200m，两人同时从起点同向出发，经过3min两人首次相遇，此时乙还需跑150m才能跑完第一圈．（1）求甲、乙两人的速度分别是每分钟多少米？（列方程或者方程组解答）（2）若两人相遇后，甲立即以每分钟300m的速度掉头向反方向骑车，乙仍按原方向继续跑，要想不超过1.2min两人再次相遇，则乙的速度至少要提高每分钟多少米？【分析】（1）可设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟(200)x+米，两人同向而行相遇属于追及问题，等量关系为：甲路程与乙路程的差=环形场地的路程，列出方程即可求解；（2）在环形跑道上两人背向而行属于相遇问题，等量关系为：甲路程+乙路程=环形场地的路程，列出算式求解即可．【答案】解：（1）设乙的速度是每分钟x米，则甲的速度是每分钟(200)x+米，依题意有：31502003x+=⨯，解得150x=，200150200350x+=+=．答：甲的速度是每分钟350米，乙的速度是每分钟150米．（2）(2003300 1.2) 1.2⨯-⨯÷(600360) 1.2=-÷240 1.2=÷200=（米)，20015050-=（米)．答：乙的速度至少要提高每分钟50米．12.为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？【分析】设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进(2)x -米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．【答案】解：设甲工程队每天掘进x 米，则乙工程队每天掘进(2)x -米，由题意，得2(2)26x x x ++-=，解得 7x =，所以乙工程队每天掘进5米，146261075-=+（天) 答：甲乙两个工程队还需联合工作10天．。

高中数学第二章等式与不等式学案(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学案

章末整合知识结构·理脉络等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧等式的性质与方程的解集一元二次方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)⎩⎨⎧求根公式：x ＝－b ±b 2－4ac2a 根与系数的关系：x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝ca 方程组的解集⎩⎪⎨⎪⎧二元一次方程组三元一次方程组二元二次方程组等式与不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧不等关系与不等式⎩⎪⎨⎪⎧不等式的概念实数(代数式)大小的比较⎩⎪⎨⎪⎧ 依据⎩⎪⎨⎪⎧a －b <0⇔a 0⇔a >b基本方法：作差法、作商法不等式的性质：对称性、传递性、可加性、可乘性等式与不等式⎩⎪⎨⎪⎧一元二次不等式及其解法⎩⎪⎨⎪⎧概念解法⎩⎪⎨⎪⎧ 因式分解法、配方法含参不等式的解法应用⎩⎪⎨⎪⎧ 解分式不等式——化归为整式不等式从实际问题中建立一元二次不等式模型等式与不等式⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧均值不等式⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧内容：a ＋b2≥ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立证明⎩⎪⎨⎪⎧ 几何证明代数证明应用⎩⎪⎨⎪⎧比较大小证明不等式求最值⎩⎪⎨⎪⎧⎦⎥⎤积定和最小和定积最大具备条件一正、二定、三相等解决实际问题要点梳理·晰精华1．不等式基本性质中注意问题(1)不等式的基本性质中性质4、6要注意符号，另外还有一些常用的结论，同学们也要掌握．如：“a >b 且ab >0，则1a <1b ”，“a >b ，c <d ，则a －c >b －d ”，“a >b >0，c >d >0，则a d >bc ”．在使用这些性质时，要注意上述各不等式成立的条件．(2)不等式的基本性质中，对表达不等式性质的各不等式要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说，每条性质是否具有可逆性．运用不等式的基本性质解答不等式问题时，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误．2．一元二次不等式的解法判别式Δ＝b 2－4ac Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a >0)的根有两相异实数根x 1＝－b －Δ2a ，x 2＝－b ＋Δ2a(x 1<x 2) 有两相等实数根x 1＝x 2＝－b2a没有实数根ax 2＋bx ＋c >0(a >0)的解集{x |x <x 1，或x >x 2} {x |x ∈R ，x ≠－b2a}R ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的{x |x 1<x <x 2}∅∅解集3．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－b a ，x 1＋x 2＝ca ，若bc＝0时，关系式仍然成立．4．不等式组、简单分式不等式、绝对值不等式的解法(1)不等式组的解集等于组成该不等式组的每个不等式解集的交集． (2)解简单分式不等式应等价转化为整式不等式(整式不等式组)求解．(3)解绝对值不等式可根据绝对值的几何意义求解，也可按零点分段法逐段脱去绝对值号求解．5．均值不等式及有关结论(1)均值不等式：如果a >0，b >0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即正数a 与b 的算术平均数不小于它们的几何平均数．(2)几个常用的重要结论：①b a ＋ab≥2(a 与b 同号，当且仅当a ＝b 时取等号)． ②a ＋1a ≥2(a >0，当且仅当a ＝1时取等号)，a ＋1a ≤－2(a <0，当且仅当a ＝－1时取等号)．③ab ≤(a ＋b 2)2(a ，b ∈R ，当且仅当a ＝b 时取等号)．(3)利用均值不等式求最值已知x >0，y >0，则①如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)． ②如果x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值s 24(简记：和定积最大)．素养突破·提技能类型特殊不等式的解法 ┃┃典例剖析__■ 1．一元高次不等式的解法典例1 解不等式：(x ＋2)(x 2－x －12)>0.思路探究：可转化为不等式组或用数轴标根法两种方法求解．解析：方法一：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x 2－x －12>0或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2<0，x 2－x －12<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >－2，x <－3或x >4或⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，－3<x <4.解得x >4或－3<x <－2.所以原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}．方法二：令(x ＋2)(x 2－x －12)＝0，得x 1＝－3，x 2＝－2，x 3＝4. 将－3，－2,4标在数轴上，如图．由图可知原不等式的解集为{x |－3<x <－2或x >4}．归纳提升：解简单的一元高次不等式，主要通过数轴标根法来求解，其步骤是 (1)将f (x )最高次项系数化为正数．(2)将f (x )分解为若干个一次因式或二次不可分解的因式的积，然后求出f (x )＝0的解，并在数轴上标出．(3)自数轴正方向起，用曲线从右至左、自上而下依次从各解穿过数轴． (4)记数轴上方为正，下方为负，根据不等式写出解集．在用数轴标根法求解高次不等式的过程中要注意：①区间端点能否取到；②各因式中最高次项的系数要全为正数；③奇数个等根，穿过，偶数个等根，穿而不过．2．分式不等式的解法典例2 解不等式：x 2＋2x －3－x 2＋x ＋6<0.思路探究：一般地，解分式不等式的基本思想是化分式不等式为整式不等式或整式不等式组．解析：原不等式可变形为x 2＋2x －3x 2－x －6>0，故原不等式的解集由下面两个不等式组的解集的并集构成：①⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3>0，x 2－x －6>0；②⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3<0，x 2－x －6<0.解①得x <－3或x >3；解②得－2<x <1.综上可得，原不等式的解集是{x |x <－3或－2<x <1或x >3}．归纳提升：分式不等式的求解在高考中比较常见，解分式不等式的过程就是转化的过程，通过不等式的性质和符号运算规律将其转化为整式不等式问题，注意不等式的等价变形．类型含参不等式恒成立问题的求解策略 ┃┃典例剖析__■不等式恒成立问题是高考中的热点内容，它以多种形式出现在高中数学的各个分支中，扮演着重要的角色．求解含参不等式的恒成立问题的关键是转化与化归思想．一般而言，针对不等式的表现形式，有如下两种策略．1．判别式法典例3 对于x ∈R ，不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，求实数m 的取值范围．思路探究：不等式x 2－2x ＋3－m ≥0恒成立，可转化为函数y ＝x 2－2x ＋3－m 图像恒在x 轴及其上方，即Δ≤0.解析：不妨设y ＝x 2－2x ＋3－m ，其函数图像是开口向上的抛物线，为了使y ≥0(x ∈R )恒成立，只需对应方程的Δ≤0，即(－2)2－4(3－m )≤0，解得m ≤2.故实数m 的取值范围为(－∞，2]．归纳提升：有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化为二次函数或一元二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．2．分离变量法典例4 若关于x 的不等式ax 2－2x ＋2>0对于满足1<x <4的一切实数x 恒成立．求实数a 的取值范围．思路探究：可先将参数的a 分离出来即a >2x －2x 2，然后再求2x －2x 2的最值．解析：∵1<x <4，∴不等式ax 2－2x ＋2>0可转化为a >2x －2x 2，令y ＝2x －2x 2＝－2(1x －12)2＋12≤12.∵14<1x<1， ∴当1x ＝12，即x ＝2时，函数取得最大值12，∴a >12，即实数a 的取值范围为(12，＋∞)．归纳提升：如果能够将参数分离出来，建立明确的参数和变量x 的关系，那么可以利用函数的最值求解．a >y 恒成立⇔a >y max ，a <y 恒成立⇔a <y min .类型均值不等式的变形技巧 ┃┃典例剖析__■ 1．技巧一：添项典例5 求函数y ＝3x 2＋162＋x 2的最小值．思路探究：当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，减6. 解析：易知2＋x 2>0，所以y ＝3(2＋x 2)＋162＋x 2－6≥23(2＋x 2)·162＋x 2－6＝83－6，当且仅当3(2＋x 2)＝162＋x 2，即x ＝±433－2时，等号成立，此时y min ＝83－6. 2．技巧二：放入根号内或两边平方典例6 求函数y ＝x 1－x 2(0<x <1)的最大值．思路探究：求积的最值(因式中含根号)，把变量都放在同一条件下的根号里或者将两边平方去根号，整合结构形式，凑成定和，是解决本题的关键所在．解析：由0<x <1，可得y ＝x 1－x 2＝x 2(1－x 2)≤x 2＋1－x 22＝12，当且仅当x 2＝1－x 2，即x ＝22时，等号成立，此时y max ＝12. 3．技巧三：分子常数化典例7 设x ∈(0，＋∞)，求函数y ＝2xx 2＋4的最大值．思路探究：当分子的变量因子次数比分母的小且变量因子不为零时，都可同时除以分子所含变量因子使分子变量常数化，以实现变量形式的统一，从而使问题得以解决．解析：由题意知，y ＝2x x 2＋4＝2x ＋4x .∵x ∈(0，＋∞)，∴x ＋4x ≥2x ·4x＝4，当且仅当x 2＝4，即x ＝2时，等号成立，此时，y max ＝12.归纳提升：运用均值不等式求解函数最值的关键是在求解过程中充分重视运用“一正、二定、三相等”这三个条件的基础上，观察结果，合理变形．其中，成功实现变形是关键．。

2.1等式性质与不等式性质(第二课时)(新教材配套学案)

2.1等式性质与不等式性质第二课时等式性质与不等式性质【学习目标】1、掌握不等式的性质．2、能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．【自主学习】一、设计问题，创设情境问题1 请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性，你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗？等式有下面的基本性质：性质1 如果a b =，那么b a =；性质2 如果a b =，b c =，那么a c =；性质3 如果a b =，那么a c b c ±=±；性质4 如果a b =，那么ac bc =；性质5 如果a b =，0c ≠，那么a b c c=．二、学生探索、尝试解决问题2 类比等式的基本性质，你能猜想不等式的基本性质，并加以证明吗？性质1 对称性 a b >⇔性质2 传递性 a b >，b c >⇒性质3 可加性如果a b >，c R ∈⇔，性质4 可乘性如果a b >，0c >⇒如果a b >，0c <⇒性质5 同向可加性如果a b >，c d >⇒性质6 同向同正可乘性如果0a b >>，0c d >>⇒性质7 乘方性如果0a b >>⇒ ．(条件2n N n ∈≥，)问题3 从不同角度表述不等式的性质，可以加深理解，对不等式的性质，你能用文字语言来表述吗？三、运用规律，解决问题例1 对于实数a ，b ，c ，下列命题中的真命题是( )A ．若a b >，则22ac bc >B ．若0a b >>，则11a b> C ．若0a b <<，则b a a b> D ．若a b >，11a b >，则0a >，0b <例2 已知0a b >>，0c <，求证c c a b>．四、变练演练，深化提高问题4 小明同学做题时进行如下变形对吗？请说明理由．23b <<∵，11132b <<∴．又68a -<<∵，4a b<∴-2<．问题5 由68a -<<，42b -<<，两边分别相减得26a b -<-<，你认为正确吗？问题6 你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？24a b <-<∵，42b a -<-<-∴．又-22a b <+<∵，03a <<∴，30b -<<．33a b -<+<∴．这怎么与22a b -<+<矛盾了呢？例3 已知22αβ-≤<≤ππ，求+2αβ，-2αβ的取值范围．五、信息交流，教学相长问题7 不等式的哪些性质具有双向性，哪些性质是只有单向性的呢？当堂检测1. 用不等号>“”或“”<填空： (1)如果b a >，c d <，那么c a -____b d -；(2) 如果0a b >>,0c d <<，那么ac ____bd ；(3) 如果0a b >>，那么21a _____21b ； (4) 如果0a b c >>>，那么c a _____c b ． >2．下列命题为真命题的是( )A ．若0a b >>，则22ac bc >B ．若0a b >>，则22a b >C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若0a b <<，则11a b <3. 已知23a <<，21b -<<-，求2a b +的取值范围．4. 已知0a b >>，0c d <<，0e <，求证e e a c b d >--．分层作业《课时分层作业》（九）等式性质与不等式性质P175必做题1-14选做题15。

高中数学第二章等式与不等式本章小结学案(含解析)新人教B版必修第一册-新人教B版高一第一册数学学

第二章等式与不等式本章小结学习目标能够从函数的观点认识方程和不等式,感悟函数和方程、不等式之间的联系,认识函数的重要性.掌握等式与不等式的性质.重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.自主预习{等式式与不等关系实数大小的比较依据——次不等式及其解法{{课堂探究任务一:不等式的基本性质的应用例1下列结论中正确的是()①a>b>0,d>c>0⇒ac>bd;②a>b,c>d⇒a-c>b-d;③ac2>bc2⇒a>b;④a>b⇒a n>b n(n∈N,n>1).A.①②③B.①③C.②③④D.①③④任务二:一元二次不等式的解法及其应用例2解下列不等式:(1)x-1x≥2;(2)2x3+x2-5x+2>0.例3解关于x的不等式(x-2)(ax-2)>0.解一元二次不等式的步骤:任务三:二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系例4当实数m取何范围的值时,方程x2+(m-3)x+m=0的两根满足:(1)都是正根;(2)都在(0,2)内?思考:根的分布问题应该从哪几个方面考虑?例5已知一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为{x|-2<x<1},则a= ,b= .任务四:基本不等式的应用例6已知3a2+2b2=5,试求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值.例7如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D在AN上,且对角线MN过点C,已知AB=3米,AD=2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN 的长为多少时,矩形花坛AMPN 的面积最小?并求出最小值.课堂练习1.若a ∈R 且a ≠0,比较a 与1a 的大小.2.求函数y=x 4+3x 2+3x 2+1的最小值.核心素养专练对任意x ∈[1,2],不等式1-mx ≤√1+x≤1-nx 恒成立,试求n 的最大值与m 的最小值.参考答案自主预习略课堂探究例1 思路分析:判断不等关系的真假,要紧扣不等式的性质,应注意条件与结论之间的联系. 【解析】∵d>c>0⇒1c >1d>0,又a>b>0,∴a c >bd,∴①对;∵a>b ,-c<-d 不同向,不等式不可加,∴②错; ∵ac 2>bc 2,c 2>0,∴a>b ,∴③对;只有当a>b>0时,才有a n >b n ,∴④错,故选B .答案:B例2 【思路分析】对于(1),要先移项、通分化为f(x)g(x)≥0(或f(x)g(x)≤0)的形式,再化为整式不等式,转化必须保持等价;对于(2),要因式分解后借助穿根法处理.【解】(1)原不等式可化为x -1x -2≥0,∴-x -1x>0,∴{x(x +1)≤0,x ≠0,∴-1≤x<0.∴原不等式的解集为{x|-1≤x<0}.(2)原不等式可化为(x-1)(x+2)(2x-1)>0. 利用数轴标根法或穿根法(如图所示),∴-2<x<12或x>1.∴不等式的解集为{x |-2<x <12或x >1}.例3 【思路分析】不等式中含有参数a ,因此需要先判断参数a 对方程(x-2)(ax-2)=0的解的影响,然后求解.【解】(1)当a=0时,原不等式化为x-2<0,∴x<2,∴原不等式的解集为{x|x<2}.(2)当a<0时,原不等式化为(x-2)(x -2a )<0.方程(x-2)(x -2a )=0的两根为2,2a ,又2>2a,∴原不等式的解集为{x |2a<x <2}.(3)当a>0时,原不等式化为(x-2)(x -2a )>0.方程(x-2)(x -2a )=0的两根为2,2a .当0<a<1时,2a >2,原不等式的解集为{x |x >2a 或x <2}. 当a=1时,原不等式化为(x-2)2>0,解集为{x ∈R |x ≠2}. 当a>1时,2>2a >0,原不等式的解集为{x |x >2或x <2a }. 综上所述,不等式解集为当a=0时,{x ∈R |x<2};当a=1时,{x ∈R |x ≠2};当a<0时,{x |2a<x <2};当0<a<1时,{x |x >2a 或x <2};当a>1时,{x |x >2或x <2a }.解一元二次不等式的步骤: 1.若能因式分解,则用数轴穿根法; 2.若不能因式分解,则用配方法. 配方法的步骤:(1)把一元二次不等式的二次项系数化为1;(2)一元二次不等式通过配方变为(x-h )2>k 或(x-h )2<k 的形式; (3)根据k 值情况确定不等式的解集.例4 【思路分析】对于(1),可利用判别式及根与系数的关系求解;对于(2),可构造二次函数,结合二次函数的图像求解.【解】(1)设方程的两根为x 1,x 2.则由题意可得{Δ=m 2-10m +9≥0,x 1+x 2=3-m >0,x 1x 2=m >0.解得m 的取值范围是(0,1]. (2)(由对应的函数几何意义求解) 设f (x )=x 2+(m-3)x+m ,由题意得{Δ=m 2-10m +9≥0,f(0)=m >0,0<3-m2<2,f(2)=3m -2>0.解得23<m ≤1. 思考:根的分布问题应该从哪几个方面考虑? 1.开口方向; 2.判别式Δ; 3.对称轴;4.区间端点函数值的正负.例5 【思路分析】由于一元二次不等式解集的分界点是相应一元二次方程的两根,所以解答就从这个关系入手.【解析】由于ax 2+bx+1>0的解集为{x|-2<x<1},所以-2和1是方程ax 2+bx+1=0(a ≠0)的两根. 由根与系数的关系,得 {-2+1=-ba ,-2×1=1a ,解得a=b=-12. 答案:-12-12例6 【思路分析】要求积的最大值,关键是结合条件配凑出和为定值,然后利用基本不等式求解. 【解】∵2a 2+1>0,b 2+2>0,y=(2a 2+1)(b 2+2),∴√12y =√3(2a 2+1)·4(b 2+2)≤6a 2+3+4b 2+82.∵3a 2+2b 2=5,∴6a 2+4b 2=10. ∴√12y ≤212,可得√y ≤7√34.∴y 的最大值为14716.例7 【思路分析】对于(1),首先建立矩形AMPN 的面积y 与DN 的长x 的函数关系式,然后利用不等式求解;对于(2),根据(1)中建立的函数关系式结合基本不等式求解.【解】(1)设DN 的长为x (x>0)米,则AN 的长为(x+2)米,如图所示.∵DN AN =DC AM ,∴AM=3(x+2)x.∴矩形花坛AMPN 的面积y=AN ·AM=3(x+2)2x.由y>32,得3(x+2)2x>32.∵x>0,∴3x 2-20x+12>0.解得0<x<23或x>6,即DN 长的取值范围是(0,23)∪(6,+∞). (2)由(1)知矩形花坛AMPN 的面积为y=3(x+2)2x=3x 2+12x+12x=3x+12x +12≥2√3x ·12x +12=24.当且仅当3x=12x,即x=2时,矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24平方米.故DN 的长为2米时,矩形AMPN 的面积最小,最小值为24平方米. 课堂练习1.【思路分析】可以利用作差比较法比较两个代数式的大小. 【解】a-1a =(a -1)(a+1)a.当a=±1时,(a -1)(a+1)a=0,则a=1a ;当-1<a<0或a>1时,(a -1)(a+1)a>0,则a>1a . 当a<-1或0<a<1时,(a -1)(a+1)a<0,则a<1a .2.【思路分析】从函数解析式结构上看,它与基本不等式结构相差太大,而且利用前面求最值的方法不易求解,怎么办呢?事实上,我们可以把分母视为一个整体,用它来表示分子,原式即可展开.【解】令t=x 2+1,则t ≥1,且x 2=t-1.∴y=x 4+3x 2+3x 2+1=(t -1)2+3(t -1)+3t =t 2+t+1t=t+1t +1.∵t ≥1,∴t+1t ≥2√t ·1t =2,当且仅当t=1t ,即t=1时,等号成立.∴当x=0时,函数取得最小值3.核心素养专练【思路分析】对任意x ∈[1,2],不等式恒成立,且m 与n 都是一次的,因此可考虑分离参数m 和n. 【解】∵1-mx ≤√1+x≤1-nx 恒成立,∴-mx ≤√1+x -1≤-nx ,∴-mx ≤√1+x√1+x ≤-nx ,∴-mx ≤√1+x(1+√1+x)≤-nx.又∵x ∈[1,2],∴n ≤(√1+x)2+√1+x≤m 恒成立. 设y=(√1+x)2+√1+x,x ∈[1,2],令√1+x =t ,则t ∈[√2,√3],y=1t 2+t . 可求得y min =3-√36,y max =2-√22,∴m=2-√22,n=3-√36.故所求n 的最大值为3-√36,m 的最小值为2-√22.学习目标1.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质,通过类比理解等式与不等式的共性与差异;2.会解常见的方程和不等式及不等式组,如一元二次方程、一元二次不等式、绝对值不等式、二元及三元方程组等;3.掌握基本不等式,结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值和最小值问题. 本章重点:绝对值不等式的解法、一元二次不等式的解法、均值不等式的应用.本章难点:均值不等式的灵活应用及不等式的证明.重点提升数学抽象、逻辑推理和数学运算素养.培养学生类比思想、分类讨论思想和数形结合的数学思想等.知识点梳理课堂探究●不等式性质的应用例1(1)(多选)下列命题正确的有()A.若a>1,则1a<1B.若a+c>b,则1a <1 bC.对任意实数a,都有a2≥aD.若ac2>bc2,则a>b(2)已知2<a<3,-2<b<-1,求ab,b2a的取值范围.◎跟踪训练1(多选)已知a,b,c∈R,那么下列命题中错误的是() A.若a>b,则ac2>bc2B.若ac >bc,则a>bC.若a3>b3且ab<0,则1a >1 bD .若a 2>b 2且ab>0,则1a <1b●不等式组的解法例21.解不等式组:{5x-1<3(x +1),2x-13-1≤5x +12.2.已知关于x 的不等式组{x +a ≤0,3+2x >5的整数解只有3个,求a 的取值范围.3.解下列关于x 的不等式. (1)-1<x 2+2x-1≤2; (2)m 2x 2+2mx-3<0.◎跟踪训练2 解下列不等式. (1)x -1x+2≤0; (2)-3x 2-2x+8≥0; (3)ax 2-(a+1)x+1<0.●绝对值不等式的解法例3 解下列不等式. (1)|2x-5|>3; (2)|2x-1|+|2x+1|≤6.◎跟踪训练3解下列不等式.(1)|2x+1|-2|x-1|>0;(2)|x+3|-|2x-1|<x2+1.●均值不等式例4若x>0,y>0,且x+2y=5,求9x +2y的最小值,并求出取得最小值时x,y的值.◎跟踪训练41.函数y=x(3-2x)(0≤x≤1)的最大值是.2.当x>1时,不等式x+1x-1≥a恒成立,当x= 时等号成立,实数a的取值范围是.●等式与不等式的应用例5某单位用2 160万元购得一块空地,计划在该空上建造一栋至少10层,每层2 000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积.课堂练习1.已知集合M={x|-4≤x ≤7},N={x|x 2-x-12>0},则M ∩N=( ) A.{x|-4≤x<-3或4<x ≤7} B.{x|-4<x ≤-3或4≤x<7} C.{x|x ≤-3或x>4} D.{x|x<-3或x ≥4}2.(多选)已知a>b>0,下列不等式不成立的是( ) A.a+1b >b+1aB.a+1a ≥b+1bC.b a >b+1a+1D.b-1b>a-1a3.不等式|x+1|-|x-2|≥1的解集是 .4.已知x>0,y>0,且满足8x +1y=1,xy= 时,x+2y 的最小值为 .核心素养专练[A 基础达标]1.(多选)如果a ,b ,c 满足c<b<a ,且ac<0,那么下列不等式中一定成立的是( ) A .ab>ac B .c (b-a )>0 C .cb 2<ab 2 D .ac (a-c )<02.若a>0,b>0,且a 2+3b 2=6,则ab 的最大值为( ) A .1B .√2C .√3D .23.设m>1,P=m+4m -1,Q=5,则P ,Q 的大小关系为( ) A .P<QB .P=QC .P ≥QD .P ≤Q4.不等式1+x>11-x 的解集为( ) A .{x|x>0} B .{x|x ≥1} C .{x|x>1} D .{x|x>1或x=0} 5.设a ,b 是不相等的正数,x=√a+√b2,y=√a+b 2,则x ,y 的大小关系是 (用“>”“<”或“=”连接).6.设m+n>0,则关于x 的不等式(m-x )(n+x )>0的解集是 .7.已知0<x<12,则y=12x (1-2x )的最大值为 ,此时x= . 8.解下列不等式: (1)0<|x-2|≤|4x+2|; (2)2x+1x -5≥-1.9.已知x ,y 都是正数.(1)若3x+2y=12,求xy 的最大值;(2)若x+2y=3,求1x +1y 的最小值.[B 能力提升]10.不等式4x -2≤x-2的解集是( )A .(-∞,0]∪(2,4]B .[0,2)∪[4,+∞)C .[2,4)D .(-∞,2]∪(4,+∞)11.已知实数x ,y ,若x ≥0,y ≥0且x+y=3,则x+1x+2+y y+1的最大值为 ,此时xy= . 12.解不等式3x -7x 2+2x -3≥2.13.解关于x 的不等式ax 2+(1-a )x-1>0(a<0).14.志愿者团队要设计一个如图所示的矩形队徽ABCD ,已知点E 在边CD 上,AE=CE ,AB>AD ,矩形的周长为8 cm .(1)设AB=x cm,试用x 表示出图中DE 的长度,并求出x 的取值范围;(2)计划在△ADE 区域涂上蓝色代表星空,如果要使△ADE 的面积最大,那么应怎样设计队徽的长和宽?参考答案课堂探究例1 (1)AD (2)-6<ab<-213-1⇒{x 2+2x -3≤0,x 2+2x >0⇒{-3≤x ≤1,x >0或x <-2,不等式的解集为{x|-3≤x<-2或0<x ≤1}.(2)当m=0时,-3<0恒成立,解集为R .当m ≠0时,二次项系数m 2>0,Δ=16m 2>0.不等式化为(mx+3)(mx-1)<0.当m>0时,解集为{x |-3m <x <1m }; 当m<0时,解集为{x |1m <x <-3m }.跟踪训练2 (1)(-2,1](2)[-2,43] (3)解:当a=0时,x>1,解集为(1,+∞);当a ≠0时,方程化简为(ax-1)(x-1)<0.当a<0时,方程整理为(x -1a )(x-1)>0,(1a <0), ∴x>1或x<1a ,解集为(-∞,1a )∪(1,+∞);当a>0时,方程整理为(x -1a )(x-1)<0,(1a>0), 当0<a<1时,1a >1,∴1<x<1a ,解集为(1,1a); 当a=1时,1a =1,∴方程无解,解集为空集;当a>1时,1a <1,∴1a <x<1,解集为(1a ,1). 例3 (1)(-∞,-1)∪(4,+∞)(2)[-32,32]跟踪训练3(1)不等式的解集为{x |x >14}.(2)不等式的解集为{x |x <-25或x >2}.例4 解:因为x>0,y>0,且x+2y=5, 所以9x +2y =15(x+2y )(9x +2y ) =15(13+18y x +2x y ) ≥15(13+2√18y x ·2x y )=5,当且仅当{x +2y =5,18y x =2x y,即{x =3,y =1时等号成立. 所以9x +2y 的最小值为5,此时x=3,y=1. 跟踪训练41.982.2 a ≤3例5 解:设将楼房建为x 层,平均综合费用设为y 元. 则每平方米的平均购地费用为2 160×1042 000x =10 800x .∴每平方米的平均综合费用y=560+48x+10 800x =560+48(x +225x ). 当x+225x取最小值时,y 有最小值. ∵x>0,∴x+225x ≥2√x ·225x =30. 当且仅当x=225x ,即x=15时,上式等号成立.∴当x=15时,y 有最小值2 000元.因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最少. 课堂练习1.A2.BCD3.[1,+∞)4.36 18 核心素养专练A 基础达标1.ABD2.C3.C4.C5.x<y6.(-n ,m )7.116 148.(1){x |x ≤-43或x ≥0且x ≠2} (2){x |x >5或x ≤43}9.(1)6 (2)1+23√2B 能力提升10.B11.43 212.(-3,1)13.当-1<a<0时,解集为{x |1<x <-1a } 当a=-1时,解集为⌀ 当a<-1时,解集为{x |-1a <x <1} 14.解: (1)设DE=y cm,则AE=CE=(x-y )cm, 由矩形周长为8 cm,可得AD=(4-x )cm . 在三角形ADE 中,由勾股定理可得(4-x )2+y 2=(x-y )2, 整理得y=4-8x ,由AB>AD 可得x>2,由周长为8可得x<4, 综上DE 长度为(4-8x )cm,2<x<4. (2)S=12(4-x )×y ,由y=4-8x 可得S=12(4-x )·(4-8x )=2(4-x )(1-2x )=2(6-x -8x), 由2<x<4可得x+8x ≥2√8=4√2,当且仅当x=2√2时取到等号, 因此S max =2(6-4√2)=12-8√2,此时队徽的长为2√2 cm,宽为(4-2√2)cm .。

2021_2022学年新教材高中数学第3章不等式3.1不等式的基本性质学案苏教版必修第一册

3.1 不等式的基本性质学习任务核心素养1．结合已有的知识，理解不等式的6个基本性质．(重点)2．会用不等式的性质证明(解)不等式．(重点)3．会用不等式的性质比较数(或式)的大小和求取值范围．(难点)1．通过大小比较，培养逻辑推理素养．2．通过不等式性质的应用，培养逻辑推理素养．3．借助不等式求实际问题，提升数学运算素养.和你的同桌做个游戏：假设有四只盛满水的圆柱形水桶A，B，C，D，桶A，B的底面半径均为a，高分别为a和b，桶C，D的底面半径为b，高分别为a和b(其中a≠b)．你们各自从中取两只水桶，得水多者为胜．如果让你先取，你有必胜的把握吗？知识点1不等式(1)不等式的定义用数学符号“>”“<”“≥”“≤”“≠”连接两个数或代数式，含有这些不等号的式子叫作不等式．(2)关于a≥b和a≤b的含义①不等式a≥b应读作：“a大于或等于b”，其含义是a>b或a＝b，等价于“a不小于b”，即若a>b或a＝b中有一个正确，则a≥b正确．②不等式a≤b应读作：“a小于或等于b”，其含义是a<b或a＝b，等价于“a不大于b”，即若a<b或a＝b中有一个正确，则a≤b正确．(3)不等式中常用符号语言大于小于大于或等于小于或等于至多至少不少于不多于><≥≤≤≥≥≤①如果a－b是正数，那么a>b；即a－b>0⇔a>b；②如果a－b等于0，那么a＝b；即a－b＝0⇔a＝b；③如果a－b是负数，那么a<b；即a－b<0⇔a<b.任意两个实数都能比较大小吗？[提示]能．利用作差法比较．1.设a＝2x2，b＝x2－x－1，则a与b的大小关系为________．a>b[a－b＝2x2－(x2－x－1)＝x2＋x＋1＝⎝⎛⎭⎫x＋122＋34>0，∴a>b.]知识点2不等式的基本性质性质1: 若a >b ，则b <a ；(自反性)，a >b ⇔b <a . 性质2：若a >b ，b >c ，则a >c ；(传递性) 性质3：若a >b ，则a ＋c >b ＋c ；(加法保号性) 性质4：若a >b ，c >0，则ac >bc ；(乘正保号性) 若a >b ，c <0，则ac <bc ；(乘负改号性)性质5：若a >b ，c >d ，则a ＋c >b ＋d ；(同向可加性) 性质6：若a >b >0，c >d >0，则ac >bd ；(全正可乘性) 性质7：如果a >b >0，那么a n >b n (n ∈N *)．(拓展)不等式的基本性质是不等式变形的依据，也是解不等式的根据，同时还是证明不等式的理论基础．(1)在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件，不可强化或弱化成立的条件． (2)要注意每条性质是否具有可逆性．2.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若ac >bc ，则a >b .( )(2)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d .( ) (3)若a >b ，则1a <1b .( )[答案] (1)× (2)× (3)×类型1 利用不等式的性质判断和解不等式【例1】 (1)对于实数a ，b ，c ，给出下列命题： ①若a >b ，则ac 2>bc 2； ②若a ab >b 2； ③若a >b ，则a 2>b 2； ④若a ba.其中正确命题的序号是________．(2)求解关于x 的不等式ax ＋1>0(a ∈R )，并用不等式的性质说明理由． (1)②④ [对于①，∵c 2≥0，∴只有c ≠0时才成立，①不正确；对于②，a ab ；a b 2，∴②正确；对于③，若0>a >b ，则a 2－2，但(－1)2<(－2)2，∴③不正确；对于④，∵a －b >0，∴(－a )2>(－b )2，即a 2>b 2.又∵ab >0，∴1ab >0，∴a 2·1ab >b 2·1ab ，∴a b >ba ，④正确．所以正确答案的序号是②④.](2)[解] 不等式ax ＋1>0(a ∈R )两边同时加上－1得 ax >－1 (不等式性质3)，当a ＝0时，不等式为0>－1恒成立，所以x ∈R ，当a >0时，不等式两边同时除以a 得 x >－1a(不等式性质4)，当a <0时，不等式两边同时除以a 得 x <－1a(不等式性质4)．综上：当a ＝0时，不等式的解集为R ，当a >0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－1a ，＋∞，当a <0时，不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－1a .1．利用不等式判断正误的2种方法①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可．②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．2．利用不等式的性质解不等式，要求步步有据，特别是解含有参数的不等式更加要把握好分类讨论的标准．因为参数的范围不同，不等式的解集不同，所以对于参数的不同范围得到的解集都是独立的，不能求并集．[跟进训练]1．已知a ＜b ＜c 且a ＋b ＋c ＝0，则下列不等式恒成立的是( ) A ．a 2＜b 2＜c 2 B ．ab 2＜cb 2 C ．ac ＜bcD ．ab ＜acC [∵a ＋b ＋c ＝0且a ＜b ＜c ，∴a ＜0，c ＞0，∴ac ＜bc ，故选C.]2．若关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为{x |x <2}，则不等式bx －a >0的解集为________．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12 [因为关于x 的不等式ax ＋b >0的解集为{x |x <2}，所以a <0，且x ＝2是方程ax ＋b ＝0的实数根，所以2a ＋b ＝0，即b ＝－2a ，由bx －a >0得－2ax －a >0，因为a <0，所以x >－12，即不等式bx －a >0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >－12.] 类型2 利用不等式的性质比较代数式的大小【例2】已知x ≤1，比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝3x 2(x －1)＋(x －1)＝(3x 2＋1)(x －1)． ∵x ≤1，得x －1≤0.而3x 2＋1>0， ∴(3x 2＋1)(x －1)≤0. ∴3x 3≤3x 2－x ＋1.1．将本例中“x ≤1”改为“x ∈R ”，再比较3x 3与3x 2－x ＋1的大小． [解] 3x 3－(3x 2－x ＋1)＝(3x 3－3x 2)＋(x －1) ＝(3x 2＋1)(x －1)， ∵3x 2＋1>0，当x >1时，x －1>0，∴3x 3>3x 2－x ＋1. 当x ＝1时，x －1＝0，∴3x 3＝3x 2－x ＋1. 当x <1时，x －1<0，∴3x 3<3x 2－x ＋1. 2．已知a >0, b >0, 比较1a ＋1b 与1a ＋b的大小．[解] 法一：(作差法)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b －1a ＋b ＝(ab ＋b 2)＋(a 2＋ab )－ab ab (a ＋b )＝a 2＋ab ＋b 2ab (a ＋b )，因为a >0, b >0，所以a 2＋ab ＋b 2ab (a ＋b )>0，所以1a ＋1b >1a ＋b.法二：(作商法)因为a >0, b >0，所以1a ＋1b 与1a ＋b 同为正数，所以1a ＋1b 1a ＋b＝(a ＋b )2ab ，所以(a ＋b )2ab －1＝a 2＋ab ＋b 2ab >0，即(a ＋b )2ab >1，因为1a ＋b>0，所以1a ＋1b >1a ＋b .法三：(综合法)因为a >0, b >0，所以a ＋b >0，所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b (a ＋b )＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b >1，所以1a ＋1b >1a ＋b.1．作差法比较两个数大小的步骤及变形方法 (1)作差法比较的步骤：作差→变形→定号→结论．(2)变形的方法：①因式分解；②配方；③通分；④分母或分子有理化(针对无理式中的二次根式)；⑤分类讨论．2．作商法比较大小的三个步骤 (1)作商变形； (2)与1比较大小； (3)得出结论．提醒：作商法比较大小仅适用同号的两个数．3．综合法需要结合具体的式子的特征实施，本题思路为：A >B >0⇔A ·1B>1.[跟进训练]3．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b >aB ．a >c ≥bC ．c >b >aD ．a >c >bA [∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b . 又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2， ∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝⎝⎛⎭⎫a －122＋34>0，∴b >a ，∴c ≥b >a .故选A.] 4．已知a ，b ∈R ，试比较a 2－ab 与3ab －4b 2的大小．[解] 因为a ，b ∈R ，所以(a 2－ab )－(3ab －4b 2)＝a 2－4ab ＋4b 2＝(a －2b )2，当a ＝2b 时，a 2－ab ＝ 3ab －4b 2，当a ≠2b 时，a 2－ab > 3ab －4b 2. 类型3 证明不等式【例3】若a >b >0，c <d <0，e <0，求证：e (a －c )2>e(b －d )2. [思路点拨] 可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明] ∵c <d <0，∴－c >－d >0. 又∵a >b >0，∴a －c >b －d >0. ∴(a －c )2>(b －d )2>0.两边同乘以1(a －c )2(b －d )2，得1(a －c )2<1(b －d )2. 又e <0，∴e (a －c )2>e(b －d )2.本例条件不变的情况下，求证： e a －c >e b －d. [证明] ∵c <d <0，∴－c >－d >0. ∵a >b >0，∴a －c >b －d >0， ∴0<1a －c <1b －d，又∵e <0，∴e a －c >eb －d.利用不等式的性质证明不等式的注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．[跟进训练]5．已知c >a >b >0，求证：a c －a >bc －b .[证明] ∵c >a >b >0.∴c －a >0，c －b >0.⎭⎪⎬⎪⎫由a >b >0⇒1a <1b c >0 ⇒c a <c b ⇒c －a a <c －b b .又c －a >0，c －b >0，∴a c －a >bc －b .类型4 利用不等式求取值范围【例4】已知1<a <4,2<b <8.试求2a ＋3b 与a －b 的取值范围．[思路点拨] 欲求a －b 的范围，应先求－b 的范围，再利用不等式的性质求解． [解] ∵1<a <4,2<b <8，∴2<2a <8,6<3b <24， ∴8<2a ＋3b <32.∵2<b <8，∴－8<－b <－2，又∵1<a <4，∴1＋(－8)<a ＋(－b )<4＋(－2)，即－7<a －b <2，故8<2a ＋3b <32，－7<a －b <2. 即2a ＋3b 的取值范围为(8,32)， a －b 的取值范围为(－7,2)．1．在本例条件下，求 ab 的取值范围．[解] ∵2<b <8，∴18<1b <12，又1<a <4，∴18<a b <2. 即ab的取值范围为⎝⎛⎭⎫18，2. 2．若本例改为：已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的范围． [解] 法一：设x ＝a ＋b ，y ＝a －b ，则a ＝x ＋y 2，b ＝x －y 2，∵1≤x ≤5，－1≤y ≤3，∴3a －2b ＝12x ＋52y .又12≤12x ≤52，－52≤52y ≤152， ∴－2≤12x ＋52y ≤10.即－2≤3a －2b ≤10.所以3a －2b 的范围是[－2,10]．法二：设3a －2b ＝m (a ＋b )＋n (a －b )＝(m ＋n )a ＋(m －n )b ＝3a －2b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝3，m －n ＝－2，解得⎩⎨⎧m ＝12，n ＝52，即3a －2b ＝12(a ＋b )＋52(a －b )，因为1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，所以12≤12(a ＋b )≤52，－52≤52(a －b )≤152，所以－2≤12(a ＋b )＋52(a －b )≤10，即3a －2b 的范围是[－2,10]．1．同向不等式具有可加性，同正具有可乘性，但是不能相减或相除，应用时，要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．2．已知两个二元一次代数式的范围，求第三个二元一次式的范围，可以用双换元的方法，也可以通过待定系数法，先用已知的两个二元一次代数式表示未知的二元一次式．[跟进训练]6．已知－π2≤α<β≤π2，求α＋β2，α－β2的取值范围．[解] ∵已知－π2≤α<β≤π2.∴－π4≤α2≤π4，－π4<β2≤π4，两式相加得－π2<α＋β2<π2.∵－π4<β2≤π4，∴－π4≤－β2<π4.∴－π2≤α－β2<π2，又知α<β，∴α－β2<0，∴－π2≤α－β2<0.7．已知－4≤a －c ≤－1，－1≤4a －c ≤5，求9a －c 的取值范围．[解] 令⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝x ，4a －c ＝y ，得⎩⎨⎧a ＝13(y －x )，c ＝13(y －4x )，∴9a －c ＝83y －53x ，∵－4≤x ≤－1，∴53≤－53x ≤203，①∵－1≤y ≤5，∴－83≤83y ≤403，②①和②相加，得－1≤83y －53x ≤20，∴－1≤9a －c ≤20.1．已知a ，b ，c ，d ∈R ，则下列命题中必成立的是( ) A ．若a ＞b ，c ＞b ，则a ＞c B ．若a ＞－b ，则c －a ＜c ＋b C ．若a ＞b ，c ＜d ，则a c ＞bdD ．若a 2＞b 2，则－a ＜－bB [选项A ，若a ＝4，b ＝2，c ＝5，显然不成立；选项C 不满足倒数不等式的条件，如a ＞b ＞0，c ＜0＜d 时，不成立；选项D 只有a ＞b ＞0时才可以，否则如a ＝－1，b ＝0时不成立，故选B.]2．设a ＝3x 2－x ＋1，b ＝2x 2＋x ，则( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ≥bD ．a ≤bC [a －b ＝(3x 2－x ＋1)－(2x 2＋x )＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2≥0，∴a ≥b .] 3．若－1<α<β<1，则α－β的取值范围为________． (－2,0) [由－1<α<1，－1<β<1，得－1<－β<1. 所以－2<α－β<2，但α<β，故知－2<α－β<0.]4．已知角α，β满足－π2<α－β<π2，0<α＋β<π，则3α－β的取值范围是________．(－π，2π) [结合题意可知3α－β＝2(α－β)＋(α＋β)，且2(α－β)∈(－π，π)，α＋β∈(0，π)，利用不等式的性质可知3α－β的取值范围是(－π，2π)．]5．已知12<a <60,15<b <36.则a －b 的取值范围为________，ab 的取值范围为________．(－24,45) ⎝⎛⎭⎫13，4 [∵15<b <36， ∴－36<－b <－15，又12<a <60，∴12－36<a －b <60－15，即－24<a －b <45， ∵136<1b <115，∴1236<a b <6015.∴13<a b<4.]回顾本节知识，自我完成以下问题．1．两个代数式的大小关系有哪些？比较大小的方法有哪些？ [提示] 大于、小于、等于．作差法、作商法． 2．作差法比较大小的具体步骤有哪些？ [提示] 作差、变形、定号． 3．不等式的证明有哪些方法？[提示] 可以用比较法(作差或作商法)，也可利用不等式的性质(综合法)．。

第2课时等式性质与不等式性质学案)21-22高一数学教材配套学案+课件+练习(人教A版19必修第一册

2.1 等式性质与不等式性质第2课时等式性质与不等式性质【学习目标】一．等式的基本性质性质1 如果a ＝b ，那么b ＝a ；性质2 如果a ＝b ，b ＝c ，那么a ＝c ；性质3 如果a ＝b ，那么a ±c ＝b ±c ；性质4 如果a ＝b ，那么ac ＝bc ；性质5 如果a ＝b ，c ≠0，那么a c ＝bc . 二．不等式的性质思考2：若a >b ，c >d ，那么ac >bd 成立吗？【小试牛刀】思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a ＝b 是a c ＝bc 成立的充要条件．( ) (2) a >b ⇒ ac 2>bc 2．( )(3)若a ＋c >b ＋d ，则a >b ，c >d .( )(4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．( ) (5)设a ，b ⇒R ，且a >b ，则a 3>b 3.( ) 【经典例题】题型一利用不等式的性质证明简单的不等式点拨：利用不等式的性质证明不等式注意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式.解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用.(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.例1 若a >b >0，c <0，求证：bc a c 。

【跟踪训练】1 已知a >b ，e >f ，c >0，求证：f －ac <e －bc .题型二利用不等式的性质求取值范围点拨：利用不等式的性质求取值范围的策略1.建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一次不等式的性质进行运算，求得待求的范围.2.同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其取值范围.注意：求解这种不等式问题要特别注意不能简单地分别求出单个变量的范围，再去求其他不等式的范围.例2 已知1<a<4,2<b<8.试求2a＋3b与a－b的取值范围．【跟踪训练】2 已知1≤a＋b≤5，－1≤a－b≤3，求3a－2b的范围．【当堂达标】1. (多选)若，则下面四个不等式成立的有（）A.|a|>|b|B.a<bC.a＋b<abD.a3>b32.已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式一定成立的是()A．ad>bc B．ac>bdC．a＋c>b＋d D．a－c>b－d3.若8<x<10，2<y<4，则xy的取值范围为________.4.下列命题中，真命题是________(填序号).⇒若a>b>0，则1a2<1b2；⇒若a>b，则c－2a<c－2b；⇒若a<0，b>0，则－a<b；⇒若a>b，则2a>2b.5.已知1<a<6，3<b<4，求a－b，ab的取值范围.6.若bc－ad≥0，bd>0，求证：a＋bb≤c＋dd.【课堂小结】1.知识点：(1)等式的性质.(2)不等式的性质及其应用.2.方法归纳：作商比较法、乘方比较法.3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性.【参考答案】【自主学习】<>ac>bc ac>bc a＋c>b＋d a＋c>b＋d >思考1：a＋c>b＋d成立，a－c>b－d不一定成立，但a－d>b－c成立.思考2：不一定，但当a>b>0，c>d>0时，一定成立.【小试牛刀】(1)×(2)×(3)×(4)× (5)√【经典例题】例1【跟踪训练】1证明因为a>b，c>0，所以ac>bc，即－ac<－bc.又e>f，即f<e，所以f－ac<e－bc.例2 解⇒1<a<4,2<b<8，⇒2<2a<8,6<3b<24⇒8<2a＋3b<32.⇒2<b<8，⇒－8<－b<－2.又⇒1<a<4，⇒1＋(－8)<a＋(－b)<4＋(－2)，即－7<a－b<2.故8<2a＋3b<32，－7<a－b<2.【跟踪训练】2设x＝a＋b，y＝a－b，则a＝x＋y2，b＝x－y2，⇒1≤x≤5，－1≤y≤3，⇒3a－2b＝12x＋52y.又12≤12x≤52，－52≤52y≤152，⇒－2≤12x＋52y≤10.即－2≤3a－2b≤10.【当堂达标】1.AB 解析：由1a <1b <0可得b <a <0，从而|a |<|b |，A ，B 均不正确； a ＋b <0，ab >0，则a ＋b <ab 成立，C 正确；a 3>b 3，D 正确. 2. C 解析：由a >b ，c >d 得a ＋c >b ＋d ，故选C.3. 2<x y <5 解析：⇒2<y <4，⇒14<1y <12. 又⇒8<x <10，⇒2<x y <5.4.⇒⇒⇒ 解析：⇒⇒a >b >0⇒0<1a <1b1a 2<1b 2；⇒⇒a >b⇒－2a <－2b⇒c －2a <c －2b ；对⇒取a＝－2，b ＝1，则－a 0，两边同除以bd 得，a ＋b b ≤c ＋dd .。

六年级上册数学学案

六年级上册数学学案一、教学目标掌握本册教材中的基本知识，包括算术、几何、代数等。

培养学生的数学思维能力，包括计算能力、逻辑思维能力和空间想象能力等。

提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。

激发学生学习数学的兴趣，培养良好的学习习惯。

二、教学内容算术本部分主要涉及整数、小数、分数的四则运算，以及比与比例等内容。

通过学习，学生应熟练掌握这些基本运算，并能够在实际问题中灵活运用。

几何本部分主要涉及平面几何和立体几何的基础知识，包括点、线、面、角、体的基本性质和相关计算等。

通过学习，学生应能够理解并掌握这些基础知识，培养空间想象能力。

代数本部分主要涉及方程、不等式、函数等代数知识。

通过学习，学生应能够理解并掌握这些基础知识，培养逻辑思维能力。

三、教学方法与建议重视基础知识的掌握。

在本学期的数学学习中，学生应首先掌握好基本概念、公式和定理等基础知识，这是学好数学的前提条件。

只有扎实地掌握了基础知识，才能更好地进行数学思维和运算。

培养学生的数学思维能力。

教师在教学过程中，应注重培养学生的数学思维能力，包括计算能力、逻辑思维能力和空间想象能力等。

可以通过引导学生思考、分析问题来锻炼他们的思维能力。

同时，鼓励学生多做习题，通过实践来提高自己的思维能力。

加强与实际生活的联系。

数学来源于生活，也应用于生活。

在教学过程中，教师可以引入生活中的实际例子来帮助学生理解数学知识，同时也可以引导学生运用所学知识解决生活中的实际问题。

这样不仅能让学生更好地理解数学知识，还能培养他们运用数学知识解决实际问题的能力。

注重学生的学习反馈。

教师应关注学生的学习情况，及时发现学生在学习中存在的问题，并给予指导和帮助。

同时，教师也应听取学生的意见和建议，不断改进教学方法和手段，提高教学质量。

培养学生的数学兴趣和良好学习习惯。

在教学过程中，教师可以组织一些有趣的数学活动或竞赛，激发学生的数学兴趣和竞争意识。

同时，教师还应引导学生养成良好的学习习惯，如认真听课、积极思考、独立完成作业等，这些习惯将对学生的数学学习产生积极影响。

七年级数学学案：《代数式与一元一次方程》

初一数学大单元整体学习学程代数式与一元一次方程班级：小组：姓名：学科主任：年级主任：单元概述【单元内容】本单元是初中代数初步的第二个单元，主要包含代数式与函数的初步认识、整式的加减与一元一次方程的内容，是在小学已有经验和有理数及其运算单元的基础上进一步使用符号进行一般性的运算.学习本单元能够帮助我们更好地理解数学符号，准确应用数学符号表达事物的性质、关系和规律，提升抽象能力、运算能力和模型观念.【课标要求】1.代数式（1）借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义.（2）能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；能根据特定的问题查阅资料，找到所需的公式.（3）会把具体数代入代数式进行计算.（4）理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则；能进行简单的整式加减运算. 2.方程（1）能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出方程；理解方程解的意义，经历估计方程解的过程.（2）掌握等式的基本性质；能解一元一次方程.3.函数（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；了解函数的概念和表示法，能举出函数的实例.（2）能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.（3）能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，会求函数值.（4）能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系，理解函数值的意义. （5）结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论.【单元目标】1.研读文本，用字母表示实际问题中的数量关系与变化规律，说明符号表示的优越性，说出对代数式、整式与一元一次方程概念的理解，初步探索数、式与方程的内在联系.2.经历合并同类项法则和去括号法则的形成过程，运用法则探究整式的加减运算及一元一次方程的解法，说出转化思想是如何体现的.3.分析具体情境中的数量关系，建立一元一次方程和函数模型解决数学问题和实际问题，探究整式与方程的应用价值.4.以式-方程-函数为主线，重构思维导图,借助代数式、一元一次方程、函数的相关概念、运算、模型解决综合问题，发展抽象能力、模型观念.【学习导航】在本单元的学习中，我们将会分四个阶段对本单元进行整体学习，“整体感知”阶段用字母表示实际问题中的数量关系与变化规律，感受符号表示的优越性，进而认识代数式与一元一次方程，初步探索数、式、方程的内在联系；“探究建构”阶段在植树情境中列出代数式并带入求值，通过实例认识同类项，探索合并同类项法则和去括号法则，运用两个法则进行整式的运算，借助实例探究等式的基本性质，利用性质解一元一次方程；“应用迁移”阶段分析整式加减的特点，解决整式特征数学问题；分析配套、工程、行程、营销等问题的等量关系，建立一元一次方程模型和函数模型解决实际问题；“重构拓展”阶段以式-方程-函数为主线理清代数式、一元一次方程、函数之间的关系，重构思维导图。