2015届高考人教A版数学(理)总复习配套文档:2.2函数的单调性与最值
2015高考数学(理)一轮题组训练:2-2函数的单调性与最值
第2讲 函数的单调性与最值基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、填空题1.函数f (x )=log 5(2x +1)的单调增区间是________.解析 由2x +1>0,得x >-12,所以函数的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞,由复合函数的单调性知,函数f (x )=log 5(2x +1)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,+∞2.已知函数f (x )=2ax 2+4(a -3)x +5在区间(-∞,3)上是减函数,则a 的取值范围是________.解析 当a =0时,f (x )=-12x +5在(-∞,3)上是减函数;当a ≠0时,由⎩⎪⎨⎪⎧a >0,-4(a -3)4a ≥3,得0<a ≤34.综上,a 的取值范围是0≤a ≤34. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,34 3.(2013·南通月考)已知函数f (x )为R 上的减函数,则满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x的取值范围是________.解析 由f (x )为R 上的减函数且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x <f (1),得⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪1x >1,x ≠0,即⎩⎨⎧|x |<1,x ≠0. ∴-1<x <0或0<x <1. 答案 (-1,0)∪(0,1)4.(2014·广州模拟)已知函数y =f (x )的图象关于x =1对称,且在(1,+∞)上单调递增,设a =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12,b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为________.解析 ∵函数图象关于x =1对称,∴a =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52,又y =f (x )在(1,+∞)上单调递增,∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3),即b <a <c .答案 b <a <c5.设a >1,函数f (x )=log a x 在区间[a,2a ]上的最大值与最小值之差为12,则a =________.解析 由a >1知函数f (x )在[a,2a ]上为单调增函数,则log a (2a )-log a a =12,解得a =4. 答案 46.函数f (x )=2x -18-3x 的最大值是________.解析 由18-3x ≥0,得x ≤6,又函数f (x )在定义域上显然是增函数,所以当x =6时,f (x )取最大值f (6)=12. 答案 127.(2012·安徽卷)若函数f (x )=|2x +a |的单调递增区间是[3,+∞),则a =________.解析∵f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x +a ,x ≥-a2,-2x -a ,x <-a2,∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-a 2上单调递减,在⎣⎢⎡⎭⎪⎫-a 2,+∞上单调递增.∴-a2=3,∴a =-6. 答案 -68.用min{a ,b ,c }表示a ,b ,c 三个数中的最小值.设f (x )=min{2x ,x +2,10-x }(x ≥0),则f (x )的最大值为______.解析 由f (x )=min{2x ,x +2,10-x }(x ≥0)画出图象,最大值在A 处取到,联立⎩⎨⎧y =x +2,y =10-x ,得y =6.答案 6 二、解答题 9.试讨论函数f (x )=axx 2-1,x ∈(-1,1)的单调性(其中a ≠0). 解 任取-1<x 1<x 2<1, 则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 21-1-ax 2x 22-1=a (x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 21-1)(x 22-1), ∵-1<x 1<x 2<1,∴|x 1|<1,|x 2|<1,x 2-x 1>0,x 21-1<0,x 22-1<0,|x 1x 2|<1,即-1<x 1x 2<1, ∴x 1x 2+1>0, ∴(x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 21-1)(x 22-1)>0,因此,当a >0时,f (x 1)-f (x 2)>0, 即f (x 1)>f (x 2),此时函数为减函数; 当a <0时,f (x 1)-f (x 2)<0, 即f (x 1)<f (x 2),此时函数为增函数. 10.已知函数f (x )=1a -1x (a >0,x >0). (1)判断函数f (x )在(0,+∞)上的单调性; (2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,求a 的值.解 (1)任取x 1>x 2>0,则x 1-x 2>0,x 1x 2>0,∵f (x 1)-f (x 2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1x 1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1x 2=1x 2-1x 1=x 1-x 2x 1x 2>0,∴f (x 1)>f (x 2),因此,函数f (x )是(0,+∞)上的单调递增函数. (2)∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2,又由(1)得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12,2上是单调增函数,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=12,f (2)=2, 即1a -2=12,1a -12=2. 解得a =25.能力提升题组 (建议用时:25分钟)一、填空题1.(2014·太原一模)下列函数中,在[-1,0]上单调递减的是________. ①y =cos x ;②y =-|x -1|;③y =ln 2+x 2-x;④y =e x +e -x解析 对于①,结合余弦函数的图象可知,y =cos x 在[-1,0]上是增函数;对于②,注意到当x =-1,0时,相应的函数值分别是-2,-1,因此函数y =-|x -1|在[-1,0]上不是减函数;对于③,注意到函数y =ln2+x2-x=ln ⎝⎛⎭⎪⎫-1+42-x 在[-1,0]上是增函数;对于④,当x ∈[-1,0]时,y ′=e x- e -x ≤0,因此该函数在[-1,0]上是减函数,综上所述,填④. 答案 ④2.(2014·南阳一中月考)函数y =-(x -3)|x |的递减区间是________.解析 y =⎩⎨⎧-x (x -3),x ≥0,x (x -3),x <0,这个函数图象是由两部分抛物线弧组成,画出它的图象可以看出,函数的单调递减区间为(-∞,0)和(32,+∞). 答案 (-∞,0)和(32,+∞)3.已知函数f (x )=x 2+ax (a >0)在(2,+∞)上递增,则实数a 的取值范围是________.解析 法一 任取2<x 1<x 2,由已知条件f (x 1)-f (x 2)=x 21+a x 1-x 22+ax 2=(x 1-x 2)+a (x 2-x 1)x 1x 2=(x 1-x 2)(x 1x 2-a )x 1x 2<0恒成立,即当2<x 1<x 2时,x 1x 2>a 恒成立,又x 1x 2>4,则0<a ≤4.法二 f (x )=x +a x ,f ′(x )=1-ax 2>0得f (x )的递增区间是(-∞,-a ),(a ,+∞),由已知条件得a ≤2,解得0<a ≤4. 答案 (0,4] 二、解答题4.已知二次函数f (x )=ax 2+bx +1(a >0),F (x )=⎩⎨⎧f (x ),x >0,-f (x ),x <0.若f (-1)=0,且对任意实数x 均有f (x )≥0成立. (1)求F (x )的表达式;(2)当x ∈[-2,2]时,g (x )=f (x )-kx 是单调函数,求k 的取值范围. 解 (1)∵f (-1)=0,∴a -b +1=0,∴b =a +1, ∴f (x )=ax 2+(a +1)x +1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立, ∴⎩⎨⎧ a >0,Δ=(a +1)2-4a ≤0,∴⎩⎨⎧a >0,(a -1)2≤0. ∴a =1,从而b =2,∴f (x )=x 2+2x +1,∴F (x )=⎩⎨⎧x 2+2x +1,x >0,-x 2-2x -1,x <0.(2)g(x)=x2+2x+1-kx=x2+(2-k)x+1. ∵g(x)在[-2,2]上是单调函数,∴k-22≤-2或k-22≥2,解得k≤-2或k≥6.故k的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞).。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案:2.2 函数的单调性与最值 Word版含答案
第二节函数的单调性与最值1.函数的单调性理解函数的单调性及其几何意义.2.函数的最值理解函数的最大值、最小值及其几何意义.知识点一函数的单调性1.单调函数的定义2.单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的,那么称A为单调区间.易误提醒求函数单调区间的两个注意点:(1)单调区间是定义域的子集,故求单调区间应树立“定义域优先”的原则.(2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号“∪”联结,也不能用“或”联结.必记结论1.单调函数的定义有以下若干等价形式: 设x 1,x 2∈[a ,b ],那么 ①f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数;f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数.②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数.2.复合函数y =f [g (x )]的单调性规律是“同则增,异则减”,即y =f (u )与u =g (x )若具有相同的单调性,则y =f [g (x )]为增函数,若具有不同的单调性,则y =f [g (x )]必为减函数.[自测练习]1.下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递减的是( ) A .f (x )=1xB .f (x )=(x -1)2C .f (x )=e xD .f (x )=ln(x +1)解析:根据函数的图象知,函数f (x )=1x 在(0,+∞)上单调递减,故选A.答案:A2.函数f (x )=log 5(2x +1)的单调增区间是________.解析:要使y =log 5(2x +1)有意义,则2x +1>0,即x >-12,而y =log 5u 为(0,+∞)上的增函数,当x >-12时,u =2x +1也为R 上的增函数,故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎫-12,+∞. 答案:⎝⎛⎭⎫-12,+∞ 3.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2-ax -5,x ≤1,a x ,x >1在R 上为增函数,则a 的取值范围是( )A .[-3,0)B .[-3,-2]C .(-∞,-2]D .(-∞,0)解析:要使函数在R 上是增函数,则有⎩⎪⎨⎪⎧-a2≥1,a <0,-1-a -5≤a ,解得-3≤a ≤-2,即a 的取值范围是[-3,-2]. 答案:B知识点二 函数的最值易误提醒 在求函数的值域或最值时,易忽视定义域的限制性. 必备方法 求函数最值的五个常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值.(2)图象法:先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.(5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值.[自测练习]4.函数f (x )=11+x 2(x ∈R )的值域是( )A .(0,1)B .(0,1]C .[0,1)D .[0,1]解析:因为1+x 2≥1,0<11+x 2≤1,所以函数值域是(0,1],选B.答案:B5.已知函数f (x )=x 2+2x (-2≤x ≤1且x ∈Z ),则f (x )的值域是( ) A .[0,3] B .[-1,3] C .{0,1,3}D .{-1,0,3}解析:依题意,f (-2)=f (0)=0,f (-1)=-1,f (1)=3,因此f (x )的值域是{-1,0,3},选D.答案:D考点一 函数单调性的判断|1.下列四个函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )A .f (x )=3-xB .f (x )=x 2-3xC .f (x )=-1x +1D .f (x )=-|x |解析:当x >0时,f (x )=3-x 为减函数; 当x ∈⎝⎛⎭⎫0,32时,f (x )=x 2-3x 为减函数, 当x ∈⎝⎛⎭⎫32,+∞时,f (x )=x 2-3x 为增函数; 当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-1x +1为增函数; 当x ∈(0,+∞)时,f (x )=-|x |为减函数.故选C. 答案:C2.判断函数g (x )=-2xx -1在(1,+∞)上的单调性.解:法一:定义法任取x 1,x 2∈(1,+∞),且x 1<x 2,则g (x 1)-g (x 2)=-2x 1x 1-1--2x 2x 2-1=2(x 1-x 2)(x 1-1)(x 2-1),因为1<x 1<x 2,所以x 1-x 2<0,(x 1-1)(x 2-1)>0, 因此g (x 1)-g (x 2)<0,即g (x 1)<g (x 2). 故g (x )在(1,+∞)上是增函数. 法二:导数法∵g ′(x )=-2(x -1)+2x (x -1)2=2(x -1)2>0, ∴g (x )在(1,+∞)上是增函数.给出解析式函数单调性的两种判定方法1.定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断). 2.导数法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断).考点二 函数的单调区间的求法|求下列函数的单调区间: (1)y =-x 2+2|x |+1; (2)y =log 12(x 2-3x +2).[解] (1)由于y =⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+2x +1,x ≥0,-x 2-2x +1,x <0, 即y =⎩⎪⎨⎪⎧-(x -1)2+2,x ≥0,-(x +1)2+2,x <0. 画出函数图象如图所示,单调递增区间为(-∞,-1]和[0,1], 单调递减区间为[-1,0]和[1,+∞).(2)令u =x 2-3x +2,则原函数可以看作y =log 12u 与u =x 2-3x +2的复合函数.令u =x 2-3x +2>0,则x <1或x >2.∴函数y =log 12(x 2-3x +2)的定义域为(-∞,1)∪(2,+∞).又u =x 2-3x +2的对称轴x =32,且开口向上.∴u =x 2-3x +2在(-∞,1)上是单调减函数,在(2,+∞)上是单调增函数. 而y =log 12u 在(0,+∞)上是单调减函数,∴y =log 12(x 2-3x +2)的单调递减区间为(2,+∞),单调递增区间为(-∞,1).函数单调区间的四种求法(1)利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间. (2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义.(3)图象法:如果f (x )是以图象形式给出的,或者f (x )的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间.(4)导数法:利用导数取值的正负确定函数的单调区间.函数y =|x |(1-x )在区间A 上是增函数,那么区间A 是( ) A .(-∞,0) B.⎣⎡⎦⎤0,12 C .[0,+∞) D.⎝⎛⎭⎫12,+∞解析:y =|x |(1-x )=⎩⎪⎨⎪⎧ x (1-x )(x ≥0),-x (1-x )(x <0)=⎩⎪⎨⎪⎧-x 2+x (x ≥0),x 2-x (x <0)=⎩⎨⎧-⎝⎛⎭⎫x -122+14(x ≥0),⎝⎛⎭⎫x -122-14(x <0).画出函数的草图,如图.由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0,12上单调递增. 答案:B考点三 函数单调性的应用|函数单调性的应用比较广泛,是每年高考的重点和热点内容.归纳起来,常见的命题探究角度有:1.求函数的值域或最值.2.比较两个函数值或两个自变量的大小. 3.解函数不等式. 4.求参数的取值范围或值. 探究一 求函数的值域或最值1.(2015·高考浙江卷)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2x -3,x ≥1,lg (x 2+1),x <1,则f (f (-3))=________,f (x )的最小值是________.解析:由题知,f (-3)=1,f (1)=0,即f (f (-3))=0.又f (x )在(-∞,0)上单调递减,在(0,1)上单调递增,在(1,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以f (x )min =min{f (0),f (2)}=22-3.答案:0 22-3探究二 比较两个函数值或两自变量的大小2.已知函数f (x )=log 2x +11-x ,若x 1∈(1,2),x 2∈(2,+∞),则( )A .f (x 1)<0,f (x 2)<0B .f (x 1)<0,f (x 2)>0C .f (x 1)>0,f (x 2)<0D .f (x 1)>0,f (x 2)>0解析:∵函数f (x )=log 2x +11-x 在(1,+∞)上为增函数,且f (2)=0,∴当x 1∈(1,2)时,f (x 1)<f (2)=0, 当x 2∈(2,+∞)时,f (x 2)>f (2)=0, 即f (x 1)<0,f (x 2)>0. 答案:B探究三 解函数不等式3.(2015·西安一模)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 3,x ≤0,ln (x +1),x >0,若f (2-x 2)>f (x ),则实数x 的取值范围是( )A .(-∞,-1)∪(2,+∞)B .(-∞,-2)∪(1,+∞)C .(-1,2)D .(-2,1)解析:∵当x =0时,两个表达式对应的函数值都为零,∴函数的图象是一条连续的曲线.∵当x ≤0时,函数f (x )=x 3为增函数,当x >0时,f (x )=ln(x +1)也是增函数,且当x 1<0,x 2>0时,f (x 1)<f (x 2),∴函数f (x )是定义在R 上的增函数.因此,不等式f (2-x 2)>f (x )等价于2-x 2>x ,即x 2+x -2<0,解得-2<x <1,故选D.答案:D探究四 利用单调性求参数的取值范围4.(2015·江西新余期末质检)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(2-a )x +1(x <1),a x (x ≥1)满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立,那么a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫32,2B.⎝⎛⎦⎤1,32 C .(1,2)D .(1,+∞)解析:依题意,f (x )是在R 上的增函数,于是有⎩⎪⎨⎪⎧2-a >0,a >1,(2-a )×1+1≤a 1.解得32≤a <2,故选A.答案:A函数单调性应用问题的四种类型及解题策略(1)比较大小.比较函数值的大小,应将自变量转化到同一个单调区间内,然后利用函数的单调性解决.(2)解不等式.在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉,使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数;②需注意若函数在区间[a ,b ]上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的.(4)利用单调性求最值.应先确定函数的单调性,然后再由单调性求出最值.1.确定抽象函数的单调性以及解含“f”的不等式【典例】(12分)函数f(x)对任意a,b∈R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1,且当x>0时,有f(x)>1.(1)求证:f(x)是R上的增函数;(2)若f(4)=5,解不等式f(2t-1)-f(1+t)<2.[思路点拨](1)用单调性的定义证明抽象函数的单调性;(2)结合题意,将含“f”的不等式f(2t-1)-f(1+t)<2转化为f(m)<f(n)的形式,再依据单调性转化为常规不等式求解.[规范解答](1)证明:设x,x2∈R且x1<x2,则x2-x1>0,1∴f(x2-x1)>1.(2分)根据条件等式有f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-1>0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)是R上的增函数.(6分)(2)由f(a+b)=f(a)+f(b)-1,得f(a+b)-f(a)=f(b)-1,∴f(2t-1)-f(1+t)=f(t-2)-1,(8分)∴f(2t-1)-f(1+t)<2,即f(t-2)-1<2,∴f(t-2)<3.又f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,∴f(2)=3,∴f(t-2)<3=f(2).(10分)∵f(x)是R上的增函数,∴t-2<2,∴t<4,故不等式的解集为(-∞,4).(12分)[模板形成]A 组 考点能力演练1.(2015·吉林二模)下列函数中,定义域是R 且为增函数的是( ) A .y =e -xB .y =xC .y =ln xD .y =|x |解析:因为定义域是R ,排除C ,又是增函数,排除A 、D ,所以选B. 答案:B2.(2015·河南信阳期末调研)下列四个函数: ①y =3-x ;②y =1x 2+1;③y =x 2+2x -10;④y =⎩⎪⎨⎪⎧-x (x ≤0),-1x (x >0).其中值域为R 的函数有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个解析:依题意,注意到y =3-x 与函数y =⎩⎪⎨⎪⎧-x (x ≤0),-1x (x >0)的值域均是R ,函数y =1x 2+1的值域是(0,1],函数y =x 2+2x -10=(x +1)2-11的值域是[-11,+∞),因此选B.答案:B3.若函数f (x )=-x 2+2ax 与函数g (x )=ax +1在区间[1,2]上都是减函数,则实数a 的取值范围为( )A .(0,1)∪(0,1)B .(0,1)∪(0,1]C .(0,1)D .(0,1]解析:注意到f (x )=-(x -a )2+a 2;依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1,a >0,即0<a ≤1,故选D.答案:D4.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4x +3,x ≤0,-x 2-2x +3,x >0,则不等式f (a 2-4)>f (3a )的解集为( )A .(2,6)B .(-1,4)C .(1,4)D .(-3,5)解析:作出函数f (x )的图象,如图所示,则函数f (x )在R 上是单调递减的.由f (a 2-4)>f (3a ),可得a 2-4<3a ,整理得a 2-3a -4<0,即(a +1)(a -4)<0,解得-1<a <4,所以不等式的解集为(-1,4).答案:B5.(2016·浦东一模)如果函数y =f (x )在区间I 上是增函数,且函数y =f (x )x 在区间I 上是减函数,那么称函数y =f (x )是区间I 上的“缓增函数”,区间I 叫作“缓增区间”.若函数f (x )=12x 2-x +32是区间I 上的“缓增函数”,则“缓增区间”I 为( )A .[1,+∞)B .[0,3]C .[0,1]D .[1,3]解析:因为函数f (x )=12x 2-x +32的对称轴为x =1,所以函数y =f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,又当x ≥1时,f (x )x =12x -1+32x ,令g (x )=12x -1+32x (x ≥1),则g ′(x )=12-32x 2=x 2-32x 2,由g ′(x )≤0得1≤x ≤3,即函数f (x )x =12x -1+32x 在区间[1,3]上单调递减,故“缓增区间”I 为[1,3].答案:D6.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,若对任意的x 1,x 2∈[0,+∞)(x 1≠x 2),有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1<0,则f (3),f (-2),f (1)的大小关系为________.解析:由x 1,x 2∈(0,+∞)时,f (x 2)-(x 1)x 2-x 1<0,∴f (x )在(0,+∞)上为减函数. 又f (-2)=f (2),1<2<3, ∴f (1)>f (-2)>f (3). 即f (1)>f (2)>f (3). 答案:f (1)>f (-2)>f (3) 7.设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧1,x >0,0,x =0,-1,x <0,g (x )=x 2f (x -1),则函数g (x )的递减区间是________.解析:g (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2,x >1,0,x =1,-x 2,x <1.如图所示,其递减区间是[0,1).答案:[0,1)8.(2015·长春二模)已知函数f (x )=|x +a |在(-∞,-1)上是单调函数,则a 的取值范围是________.解析:因为函数f (x )在(-∞,-a )上是单调函数,所以-a ≥-1,解得a ≤1.答案:(-∞,1]9.已知f (x )=x x -a(x ≠a ). (1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)上单调递增;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)上单调递减,求a 的取值范围.解:(1)证明:任设x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2 =2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2). ∵(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,∴f (x 1)<f (x 2),∴f (x )在(-∞,-2)上单调递增.(2)f (x )=x x -a =x -a +a x -a =1+a x -a, 当a >0时,f (x )在(-∞,a ),(a ,+∞)上是减函数,又f (x )在(1,+∞)上单调递减,∴0<a ≤1,故实数a 的取值范围为(0,1].10.已知函数g (x )=x +1,h (x )=1x +3,x ∈(-3,a ],其中a 为常数且a >0,令函数f (x )=g (x )·h (x ).(1)求函数f (x )的表达式,并求其定义域;(2)当a =14时,求函数f (x )的值域. 解:(1)∵f (x )=g (x )·h (x )=(x +1)1x +3=x +1x +3, ∴f (x )=x +1x +3,x ∈[0,a ](a >0). (2)函数f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤0,14, 令x +1=t ,则x =(t -1)2,t ∈⎣⎡⎦⎤1,32, f (x )=F (t )=t t 2-2t +4=1t +4t-2. ∵t =4t 时,t =±2∉⎣⎡⎦⎤1,32,又t ∈⎣⎡⎦⎤1,32时,t +4t单调递减,F (t )单调递增,∴F (t )∈⎣⎡⎦⎤13,613.即函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤13,613.B 组 高考题型专练1.(2014·高考北京卷)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A .y =x +1B .y =(x -1)2C .y =2-xD .y =log 0.5(x +1)解析:y =(x -1)2仅在[1,+∞)上为增函数,排除B ;y =2-x =⎝⎛⎭⎫12x 为减函数,排除C ;因为y =log 0.5t 为减函数,t =x +1为增函数,所以y =log 0.5(x +1)为减函数,排除D ;y =t 和t =x +1均为增函数,所以y =x +1为增函数,故选A.答案:A2.(2013·高考安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax -1)x |在区间(0,+∞)内单调递增”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:由二次函数的图象和性质知f (x )=|(ax -1)x |在(0,+∞)内单调递增,只需f (x )的图象在(0,+∞)上与x 轴无交点,即a =0或1a<0,整理得a ≤0,而当a ≤0时,结合图象(图略)可知f (x )在(0,+∞)上为增函数.故a ≤0是f (x )在(0,+∞)上单调递增的充要条件,故选C.答案:C3.(2015·高考福建卷)若函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x +6,x ≤2,3+log a x ,x >2(a >0,且a ≠1)的值域是[4,+∞),则实数a 的取值范围是________.解析:因为f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧ -x +6,x ≤2,3+log a x ,x >2,所以当x ≤2时,f (x )≥4;又函数f (x )的值域为[4,+∞),所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1,3+log a 2≥4.解得1<a ≤2,所以实数a 的取值范围为(1,2]. 答案:(1,2]4.(2015·高考湖北卷)a 为实数,函数f (x )=|x 2-ax |在区间[0,1]上的最大值记为g (a ).当a =________时,g (a )的值最小.解析:f (x )=⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x -a 22-a 24,其在区间[0,1]上的最大值必在x =0,x =1,x =a 2处产生,即g (a )=max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (0),f (1),f ⎝⎛⎭⎫a 2=max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0,|1-a |,a 24=max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫|1-a |,a 24,在同一坐标系中分别画出y =|1-a |,y =a 24的图象可知(图略),在两图象的交点处,g (a )取得最小值,此时1-a =a 24,则a =22-2(-2-22舍去). 答案:22-2。
2015高考数学一轮课件:2.2 函数的单调性与最值
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分 第十七页,编辑于星期五:十三点 十四分。
题型分类·深度剖析
题型二
利用函数单调性求参数
【例 2】 若函数 f(x)=axx+-11在 (-∞,-1)上是减函数,求实
思维启迪 解析 探究提高
解 f(x)=axx+-11=a-xa++11,
数 a 的取值范围.
设 x1<x2<-1, 则 f(x1)-f(x2)=a-xa1++11
题型分类·深度剖析
题型二
利用函数单调性求参数
【例 2】 若函数 f(x)=axx+-11在 (-∞,-1)上是减函数,求实
思维启迪
解析 探究提高
利用函数的单调性求参数的取值 范围,解题思路为视参数为已知
数 a 的取值范围.
数,依据函数的图象或单调性定
义,确定函数的单调区间,与已
知单调区间比较求参.
2.函数的单调区间的求法
函数的单调区间是函数定义域的子 区间,所以求解函数的单调区间,必 须先求出函数的定义域.对于基本 初等函数的单调区间可以直接利用 已知结论求解,如二次函数、对数函 数、指数函数等; 如果是复合函数,应根据复合函数 的单调性的判断方法,首先判断两 个简单函数的单调性,再根据“同 则增,异则减”的法则求解函数的 单调区间.
第二页,编辑于星期五:十三点 十四分。
基础知识·自主学习
要点梳理
难点正本 疑点清源
图象 描述
自左向右 自左向右看图 象是_上__升__的___ 看图象是
_下__降__的___
(2)单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数 或减函数 ,则称函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性, 区间D 叫 做函数 y=f(x)的单调区间.
届高考人教A版数学(理)总复习配套文档:函数的单调性与最值
§2.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)(2)单调区间的定义如果函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做函数y =f (x )的单调区间. 2.结论M 为最大值1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( × )(2)对于函数f (x ),x ∈D ,若x 1,x 2∈D ,且(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0,则函数f (x )在D 上是增函数.( √ )(3)函数y =|x |是R 上的增函数. ( × )(4)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞). ( × ) (5)函数f (x )=log 5(2x +1)的单调增区间是(0,+∞).( × ) (6)函数y =1-x 21+x 2的最大值为1.( √ ) 2.函数y =x 2-6x +10在区间(2,4)上是( )A .递减函数B .递增函数C .先递减再递增D .先递增再递减答案 C解析 作出函数y =x 2-6x +10的图象(图略), 根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增.3.(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax -1)x |在区间(0,+∞)内单调递增”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 C解析 本题利用函数的图象确定字母的取值范围,再利用充要条件的定义进行判断. 当a =0时,f (x )=|(ax -1)x |=|x |在区间(0,+∞)上单调递增;当a <0时,结合函数f (x )=|(ax -1)x |=|ax 2-x |的图象知函数在(0,+∞)上单调递增,如图(1)所示;当a >0时,结合函数f (x )=|(ax -1)x |=|ax 2-x |的图象知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不符合条件,如图(2)所示.所以,要使函数f (x )=|(ax -1)x |在(0,+∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax -1)x |在(0,+∞)上单调递增”的充要条件.4.函数f (x )=2xx +1在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________.答案 43,1解析 f (x )=2xx +1=2(x +1)-2x +1=2-2x +1在[1,2]上是增函数,∴f (x )max =f (2)=43,f (x )min =f (1)=1.5.函数y =log 2112(2x 2-3x +1)的单调减区间为________.答案 (1,+∞)解析 由2x 2-3x +1>0,得函数的定义域为(-∞,12)∪(1,+∞).令t =2x 2-3x +1,则y =log 21t ,∵t =2x 2-3x +1=2(x -34)2-18,∴t =2x 2-3x +1的单调增区间为(1,+∞). 又y =log 21t 在(1,+∞)上是减函数,∴函数y =log 21 (2x 2-3x +1)的单调减区间为(1,+∞).题型一 函数单调性的判断 例1 讨论函数f (x )=axx 2-1(a >0)在x ∈(-1,1)上的单调性.思维启迪 可根据定义,先设-1<x 1<x 2<1,然后作差、变形、定号、判断. 解 设-1<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 21-1-ax 2x 22-1=ax 1x 22-ax 1-ax 2x 21+ax 2(x 21-1)(x 22-1)=a (x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 21-1)(x 22-1). ∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(x 21-1)(x 22-1)>0.又∵a >0,∴f (x 1)-f (x 2)>0, ∴函数f (x )在(-1,1)上为减函数.思维升华 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤:(1)已知a >0,函数f (x )=x +ax(x >0),证明:函数f (x )在(0,a ]上是减函数,在[a ,+∞)上是增函数;(2)求函数y =x 2+x -6的单调区间.(1)证明 设x 1,x 2是任意两个正数,且0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎫x 1+a x 1-⎝⎛⎭⎫x 2+a x 2 =x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-a ). 当0<x 1<x 2≤a 时,0<x 1x 2<a ,又x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数f (x )在(0,a ]上是减函数; 当a ≤x 1<x 2时,x 1x 2>a ,又x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在[a ,+∞)上是增函数. (2)解 令u =x 2+x -6,y =x 2+x -6可以看作有y =u 与u =x 2+x -6的复合函数.由u =x 2+x -6≥0,得x ≤-3或x ≥2.∵u =x 2+x -6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y =u 在(0,+∞)上是增函数. ∴y =x 2+x -6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞).题型二 利用函数的单调性求参数例2 (1)如果函数f (x )=ax 2+2x -3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a 的取值范围是( ) A .a >-14 B .a ≥-14C .-14≤a <0D .-14≤a ≤0(2)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(2-a )x +1,x <1,a x ,x ≥1,满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立,那么a 的取值范围是________.思维启迪 利用函数的单调性求参数或参数的取值范围,解题思路为视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参.答案 (1)D (2)[32,2)解析 (1)当a =0时,f (x )=2x -3,在定义域R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a ≠0时,二次函数f (x )的对称轴为x =-1a ,因为f (x )在(-∞,4)上单调递增,所以a <0,且-1a ≥4,解得0>a ≥-14.综合上述得-14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数,∴⎩⎨⎧2-a >0a >1(2-a )×1+1≤a,解得32≤a <2,∴a 的取值范围是[32,2).思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:①若函数在区间[a ,b ]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;②分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.(1)函数y =x -5x -a -2在(-1,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( )A .a =-3B .a <3C .a ≤-3D .a ≥-3 (2)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1),⎝⎛⎭⎫4-a 2x +2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为( )A .(1,+∞)B .[4,8)C .(4,8)D .(1,8) 答案 (1)C (2)B解析 (1)y =x -5x -a -2=1+a -3x -(a +2), 由函数在(-1,+∞)上单调递增,有⎩⎪⎨⎪⎧a -3<0a +2≤-1,解得a ≤-3. (2)因为f (x )是R 上的单调递增函数,所以可得⎩⎨⎧a >1,4-a2>0,a ≥4-a 2+2.解得4≤a <8,故选B.题型三 函数的单调性和最值例3 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0.(1)求f (1)的值;(2)证明:f (x )为单调递减函数;(3)若f (3)=-1,求f (x )在[2,9]上的最小值.思维启迪 抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值,证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证.问题(3)用函数的单调性即可求最值.(1)解 令x 1=x 2>0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0.(2)证明 任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1>x 2,则x 1x 2>1,由于当x >1时,f (x )<0,所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0, 即f (x 1)-f (x 2)<0,因此f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)解 ∵f (x )在(0,+∞)上是单调递减函数. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9).由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2=f (x 1)-f (x 2)得, f ⎝⎛⎭⎫93=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为-2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,对任意x 1,x 2在所给区间内比较f (x 1)-f (x 2)与0的大小,或f (x 1)f (x 2)与1的大小.有时根据需要,需作适当的变形:如x 1=x 2·x 1x 2或x 1=x 2+x 1-x 2等;(2)利用函数单调性可以求函数最值,若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (x )的最小值是f (a ),最大值是f (b ).(1)如果函数f (x )对任意的实数x ,都有f (1+x )=f (-x ),且当x ≥12时,f (x )=log 2(3x-1),那么函数f (x )在[-2,0]上的最大值与最小值之和为( )A .2B .3C .4D .-1(2)函数f (x )=1x -1在区间[a ,b ]上的最大值是1,最小值是13,则a +b =________.答案 (1)C (2)6解析 (1)根据f (1+x )=f (-x ),可知函数f (x )的图象关于直线x =12对称.又函数f (x )在[12,+∞)上单调递增,故f (x )在(-∞,12]上单调递减,则函数f (x )在[-2,0]上的最大值与最小值之和为f (-2)+f (0)=f (1+2)+f (1+0)=f (3)+f (1)=log 28+log 22=4. (2)易知f (x )在[a ,b ]上为减函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=1,f (b )=13,即⎩⎪⎨⎪⎧1a -1=1,1b -1=13,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =4. ∴a +b =6.函数单调性的应用典例:(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1.(1)求证:f(x)在R上是增函数;(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应该构造出f(x2)-f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点.要构造出f(M)<f(N)的形式.规范解答(1)证明设x1,x2∈R,且x1<x2,∴x2-x1>0,∵当x>0时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1. [2分]f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1,[4分]∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上为增函数.[6分](2)解∵m,n∈R,不妨设m=n=1,∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1⇒f(2)=2f(1)-1,[8分]f(3)=4⇒f(2+1)=4⇒f(2)+f(1)-1=4⇒3f(1)-2=4,∴f(1)=2,∴f(a2+a-5)<2=f(1),[10分]∵f(x)在R上为增函数,∴a2+a-5<1⇒-3<a<2,即a∈(-3,2).[12分]解函数不等式问题的一般步骤:第一步:确定函数f(x)在给定区间上的单调性;第二步:将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式;第三步:运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”,转化成一般的不等式或不等式组;第四步:解不等式或不等式组确定解集;第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x>0时,f(x)>1.构造不出f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1的形式,找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式.解决此类问题的易错点:忽视M、N的取值范围,即忽视f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1.利用定义判断或证明函数的单调性 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1<x 2,那么 ①f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数;f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数.②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数. 函数的单调性是对某个区间而言的. 2.求函数的单调区间首先应注意函数的定义域,函数的单调区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法:根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质. 3.复合函数的单调性对于复合函数y =f [g (x )],若t =g (x )在区间(a ,b )上是单调函数,且y =f (t )在区间(g (a ),g (b ))或者(g (b ),g (a ))上是单调函数,若t =g (x )与y =f (t )的单调性相同(同时为增或减),则y =f [g (x )]为增函数;若t =g (x )与y =f (t )的单调性相反,则y =f [g (x )]为减函数. 简称:同增异减. 失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表示.A 组 专项基础训练一、选择题1.函数f (x )中,满足“对任意x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A .f (x )=1x B .f (x )=(x -1)2C .f (x )=e xD .f (x )=ln(x +1)答案 A解析 由题意知f (x )在(0,+∞)上是减函数.A 中,f (x )=1x满足要求;B 中,f (x )=(x -1)2在[0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;C 中,f (x )=e x 是增函数;D 中,f (x )=ln(x +1)是增函数.2.若函数f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=(a +1)1-x 在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是( )A .(-1,0)B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,1)D .(0,1]答案 D解析 ∵f (x )=-x 2+2ax =-(x -a )2+a 2在[1,2]上是减函数, ∴a ≤1.①又g (x )=(a +1)1-x 在[1,2]上是减函数. ∴a +1>1,∴a >0.② 由①、②知,0<a ≤1.3.已知函数f (x )=2ax 2+4(a -3)x +5在区间(-∞,3)上是减函数,则a 的取值范围是( )A .(0,34)B .(0,34]C .[0,34)D .[0,34]答案 D解析 当a =0时,f (x )=-12x +5,在(-∞,3)上是减函数, 当a ≠0时,由⎩⎪⎨⎪⎧a >0-4(a -3)4a ≥3,得0<a ≤34,综上a 的取值范围是0≤a ≤34.4.已知f (x )为R 上的减函数,则满足f (1x )>f (1)的实数x 的取值范围是( )A .(-∞,1)B .(1,+∞)C .(-∞,0)∪(0,1)D .(-∞,0)∪(1,+∞)答案 D解析 依题意得1x <1,即x -1x >0,所以x 的取值范围是x >1或x <0.5.定义新运算“”:当a ≥b 时,a b =a ;当a <b 时,a b =b 2,则函数f (x )=(x )x -(x ),x ∈[-2,2]的最大值等于( )A .-1B .1C .6D .12 答案 C解析 由已知得当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2,当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2,∵f (x )=x -2,f (x )=x 3-2在定义域内都为增函数. ∴f (x )的最大值为f (2)=23-2=6. 二、填空题6.函数f (x )=ln(4+3x -x 2)的单调递减区间是__________.答案 ⎣⎡⎭⎫32,4解析 函数f (x )的定义域是(-1,4),u (x )=-x 2+3x +4=-⎝⎛⎭⎫x -322+254的减区间为⎣⎡⎭⎫32,4,∵e>1,∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫32,4.7.设函数f (x )=ax +1x +2a 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a 的取值范围是__________.答案 [1,+∞)解析 f (x )=ax +2a 2-2a 2+1x +2a =a -2a 2-1x +2a ,∵函数f (x )在区间(-2,+∞)上是增函数.∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2-1>0-2a ≤-2⇒⎩⎨⎧2a 2-1>0a ≥1⇒a ≥1.8.已知f (x )为R 上的减函数,则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________. 答案 (-1,0)∪(0,1)解析 由f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1),得⎪⎪⎪⎪1x >1, ∴1x >1或1x <-1,∴0<x <1或-1<x <0. 三、解答题9.函数f (x )=x 2-4x -4在闭区间[t ,t +1](t ∈R )上的最小值记为g (t ). (1)试写出g (t )的函数表达式; (2)求g (t )的最小值.解 (1)f (x )=x 2-4x -4=(x -2)2-8. 当t >2时,f (x )在[t ,t +1]上是增函数, ∴g (t )=f (t )=t 2-4t -4;当t ≤2≤t +1,即1≤t ≤2时,g (t )=f (2)=-8; 当t +1<2,即t <1时,f (x )在[t ,t +1]上是减函数, ∴g (t )=f (t +1)=t 2-2t -7.从而g (t )=⎩⎪⎨⎪⎧ t 2-2t -7 (t <1),-8 (1≤t ≤2),t 2-4t -4 (t >2).(2)g (t )的图象如图所示,由图象易知g (t )的最小值为-8.10.已知函数f (x )=-2x +1,x ∈[0,2],求函数的最大值和最小值. 解 设x 1,x 2是区间[0,2]上的任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=-2x 1+1-(-2x 2+1) =-2(x 2+1-x 1-1)(x 1+1)(x 2+1)=-2(x 2-x 1)(x 1+1)(x 2+1). 由0≤x 1<x 2≤2,得x 2-x 1>0,(x 1+1)(x 2+1)>0,所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),故f (x )在区间[0,2]上是增函数.因此,函数f (x )=-2x +1在区间[0,2]的左端点取得最小值,右端点取得最大值,即最小值是f (0)=-2,最大值是f (2)=-23. B 组 专项能力提升1.已知函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g (x )=f (x )x在区间(1,+∞)上一定( ) A .有最小值B .有最大值C .是减函数D .是增函数答案 D 解析 由题意知a <1,∴g (x )=f (x )x =x +a x-2a , 当a <0时,g (x )在(1,+∞)上是增函数,当a >0时,g (x )在[a ,+∞)上是增函数,故在(1,+∞)上为增函数,∴g (x )在(1,+∞)上一定是增函数.2.已知函数f (x )=e |x -a |(a 为常数).若f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是________.答案 (-∞,1]解析 ∵f (x )=e |x -a |=⎩⎪⎨⎪⎧ e x -a (x ≥a ),e-x +a (x <a ), ∴f (x )在[a ,+∞)上为增函数,则[1,+∞)⊆[a ,+∞),∴a ≤1.3.对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b .设函数f (x )=-x +3,g (x )=log 2x ,则函数h (x )=min{f (x ),g (x )}的最大值是________.答案 1解析 依题意,h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,0<x ≤2,-x +3,x >2. 当0<x ≤2时,h (x )=log 2x 是增函数;当x >2时,h (x )=3-x 是减函数,∴h (x )在x =2时,取得最大值h (2)=1.4.已知函数f (x )=lg(x +a x-2),其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域;(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,+∞)上的最小值;(3)若对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围.解 (1)由x +a x -2>0,得x 2-2x +a x>0, a >1时,x 2-2x +a >0恒成立,定义域为(0,+∞), a =1时,定义域为{x |x >0且x ≠1},0<a <1时,定义域为{x |0<x <1-1-a 或x >1+1-a }.(2)设g (x )=x +a x-2,当a ∈(1,4),x ∈[2,+∞)时, g ′(x )=1-a x 2=x 2-a x 2>0恒成立, ∴g (x )=x +a x-2在[2,+∞)上是增函数. ∴f (x )=lg(x +a x-2)在[2,+∞)上是增函数. ∴f (x )=lg(x +a x-2)在[2,+∞)上的最小值为 f (2)=lg a 2. (3)对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0,即x +a x-2>1对x ∈[2,+∞)恒成立. ∴a >3x -x 2,而h (x )=3x -x 2=-(x -32)2+94在x ∈[2,+∞)上是减函数, ∴h (x )max =h (2)=2.∴a >2.5.已知f (x )=x x -a(x ≠a ). (1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围.(1)证明 任取x 1<x 2<-2,则f(x1)-f(x2)=x1x1+2-x2x2+2=2(x1-x2) (x1+2)(x2+2).∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增.(2)解任设1<x1<x2,则f(x1)-f(x2)=x1x1-a-x2x2-a=a(x2-x1)(x1-a)(x2-a).∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,∴a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1].。
2015届高考数学总复习第二章 第二节函数的单调性与最大(小)值课件 理
a>1或a<-1, 即 5 <0, a>3或a<-1.
5 ∴a<-1或a>3. 又a=-1时,有1>0,对一切x∈R恒成立,满足题意. 5 ∴a≤-1或a>3.
5 ∴实数a的取值范围是(-∞,-1]∪3,+∞.
(2)依题意,只要t=(a2-1)x2+(a+1)x+1能取到(0,+∞)上 的任何值,则f(x)的值域为R,故有a2-1>0,Δ≥0,解得 5 1<a≤ 3 ,又当a2-1=0,即a=1时,t=2x+1符合题意;a=-1 5 时不合题意,∴1≤a≤3.
fK(x)=2-|x|= 函数.
,在(1,+∞)上为减函数.
当 x∈( - ∞ ,- 1) 时, fK(x) = 2x ,在 ( - ∞ ,- 1) 上为增 答案:(-∞,-1)
求函数的值域 【例3】 求下列函数的值域:
(1)y=x2-2x+5,x∈[-1,2]; (2)f(x)=2+ (3)y= ; ;
第二章
第二节 函数的单调性与最 大(小)值
函数单调性的讨论与证明 【例1】 证明:函数f(x)= 自主解答: -x在R上是单调减函数.
点评:利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调
性的一般步骤:
(1)任取x1,x2∈D,且x1<x2; (2)作差; (3)变形(通常是因式分解和配方); (4)判断符号(即判断f(x1)-f(x2)的正负); (5) 下结论 ( 即指出函数 f(x) 在给定的区间 D 上的单调 性).
(4)y=x+
(5)y=x+4 (6)y=x+
;
; ;
(7)y=|x+1|+|x-2|.
解析:(1)∵y=x2-2x+5=(x-1)2+4, ∴抛物线的对称轴是直线x=1. 又∵1∈ ,∴ymin=4,ymax=8.∴值域是[4,8]. .
2015届高考数学一轮总复习2-2函数的单调性与最值课后强化作业(新人教A版)
【走向高考】2015届高考数学一轮总复习 2-2函数的单调性与最值课后强化作业 新人教A 版基础巩固强化一、选择题1.(文)下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A .y =ln 1|x |B .y =x 3C .y =2|x |D .y =cos x[答案] A[解析] 排除法:B 、C 在(0,+∞)上单调递增,D 在(0,+∞)上不单调,故选A. (理)(2013·宣城月考)下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( )A .y =log 2xB .y =x 13C .y =-(12)xD .y =1x[答案] D[解析] y =log 2x 在(0,+∞)上为增函数;y =x 13 在(0,+∞)上是增函数;∵y =(12)x 在(0,+∞)上是减函数,∴y =-(12)x 在(0,+∞)上是增函数;y =1x 在(0,+∞)上是减函数,故y =1x在(0,1)上是减函数.故选D. 2.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1),(4-a2)x +2 (x ≤1) 是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为( ) A .(1,+∞) B .[4,8) C .(4,8) D .(1,8)[答案] B[解析] 由y =a x (x >1)单调增知a >1;由y =(4-a 2)x +2(x ≤1)单调增知,4-a2>0,∴a <8;又f (x )在R 上单调增,∴a ≥(4-a2)+2,∴a ≥4,综上知,4≤a <8.[点评] 可用筛选法求解,a =2时,有f (1)=5>4=f (2),排除A 、D.a =4时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4x (x >1),2x +2 (x ≤1).在R 上单调递增,排除C ,故选B. 3.(2013·北京海淀期中)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+ax +1,x ≥1,ax 2+x +1,x <1,则“-2≤a ≤0”是“函数f (x )在R 上单调递增”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件[答案] B[解析] f (x )在R 上单调递增的充要条件是a =0或⎩⎪⎨⎪⎧-a2≤1,a <0,-12a ≥1,12+a ×1+1≥a ×12+1+1,解得-12≤a <0.由此可知“-2≤a ≤0”是“函数f (x )在R 上单调递增”的必要而不充分条件,故选B. 4.(文)若函数h (x )=2x -k x +k3在(1,+∞)上是增函数,则实数k 的取值范围是( )A .[-2,+∞)B .[2,+∞)C .(-∞,-2]D .(-∞,2][答案] A[解析] 由h ′(x )=2+kx 2≥0,得k ≥-2x 2,由于φ(x )=-2x 2在[1,+∞)内的最大值为-2, 于是,实数k 的取值范围是[-2,+∞).(理)若f (x )=x 3-6ax 的单调递减区间是(-2,2),则a 的取值范围是( ) A .(-∞,0] B .[-2,2] C .{2} D .[2,+∞) [答案] C[解析] f ′(x )=3x 2-6a ,若a ≤0,则f ′(x )≥0,∴f (x )单调增,排除A ;若a >0,则由f ′(x )=0得x =±2a ,当x <-2a 和x >2a 时,f ′(x )>0,f (x )单调增,当-2a <x <2a 时,f (x )单调减,∴f (x )的单调减区间为(-2a ,2a ),从而2a =2, ∴a =2.[点评] f (x )的单调递减区间是(-2,2)和f (x )在(-2,2)上单调递减是不同的,应加以区分.本例亦可用x =±2是方程f ′(x )=3x 2-6a =0的两根解得a =2.5.(文)(2012·天津文)已知a =21.2,b =(12)-0.8,c =2log 52,则a 、b 、c 的大小关系为( )A .c <b <aB .c <a <bC .b <a <cD .b <c <a[答案] A[解析] 本题考查指数、对数值的大小比较.a =21.2>21=2,b =(12)-0.8=20.8<21=2,b =20.8>20=1,c =2log 52=log 522=log 54<log 55=1,所以c <b <a .(理)(2012·大纲全国理)已知x =lnπ,y =log 52,z =e -12,则( )A .x <y <zB .z <x <yC .z <y <xD .y <z <x [答案] D[解析]∵y =log 52=1log 25,z =e -12 =1e 且e<2<log 25,∴y <z <1,又lnπ>1,∴y <z <x ,故选D.[点评] 比较两数的大小通常是利用中介值法或函数的单调性求解.解题时,应注意观察判断数的正负,正数区分大于1还是小于1,再找出同底数的、同指数的、同真数的,区别不同情况采用不同函数的单调性或图象与性质进行比较,有时需要先进行变形再比较.6.(2013·阜阳月考)函数y =f (x )的图象如图所示,则函数y =log 12f (x )的图象大致是( )[答案] A[解析] 由f (x )的图象知f (x )≥1, ∴y =log 12 f (x )≤0,故选A.二、填空题7.(文)(2013·柳州月考)定义在R 上的奇函数y =f (x )在[0,+∞)上递增,且f (12)=0,则满足f (log 19x )>0的x 的集合为________.[答案] {x |0<x <13,或1<x <3}[解析] 由奇函数y =f (x )在[0,+∞)上递增,且f (12)=0,得函数y =f (x )在(-∞,0)上递增,且f (-12)=0.由f (log 19 x )>0,得log 19 x >12或-12<log 19x <0,解得0<x <13或1<x <3.所以满足条件的x 的取值集合为{x |0<x <13,或1<x <3}.(理)(2013·黄山月考)若定义域为R 的偶函数f (x )在[0,+∞)上是增函数,且f (12)=0,则不等式f (log 4x )>0的解集是________.[答案] (0,12)∪(2,+∞)[解析] 由f (x )是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,可得f (x )在(-∞,0)上是减函数,f (log 4x )>0⇔f (log 4x )>f (12)⇔log 4x <-12或log 4x >12,解得0<x <12或x >2.8.(文)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(12)x x ≤0,log 2(x +2) x >0.若f (x 0)≥2,则x 0的取值范围是____________.[答案] (-∞,-1]∪[2,+∞). [解析](理)(2012·湖北八校联考)若函数f (x )=log a (x 2-ax +5)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1、x 2,当x 1<x 2≤a2时,f (x 2)-f (x 1)<0,则实数a 的取值范围为________.[答案] 1<a <2 5[解析] 由题意知函数f (x )=log a (x 2-ax +5)在(-∞,a2]上递减,又因为函数y =x 2-ax +5在(-∞,a2]上递减,由对数函数的性质可知a >1.又真数大于零,所以函数y =x 2-ax +5的最小值大于零,即(a 2)2-a ×a2+5>0,所以-25<a <25,综上1<a <2 5.9.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e -x-2,x ≤0,2ax -1,x >0,(a 是常数且a >0).对于下列命题:①函数f (x )的最小值是-1;②函数f (x )在R 上是单调函数;③若f (x )>0在[12,+∞)上恒成立,则a 的取值范围是a >1;④对任意的x 1<0,x 2<0且x 1≠x 2,恒有f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). [答案] ①③④ [解析](数形结合法)根据题意可画出草图,由图象可知,①显然正确;函数f (x )在R 上不是单调函数,故②错误;若f (x )>0在[12,+∞)上恒成立,则2a ×12-1>0,a >1,故③正确;由图象可知对任意的x 1<0,x 2<0且x 1≠x 2,恒有f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2成立,故④正确.三、解答题10.(2012·南通市调研)经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数,且日销售量近似地满足g (t )=-13t +1123(1≤t ≤100,t ∈N ).前40天价格为f (t )=14t +22(1≤t ≤40,t ∈N ),后60天价格为f (t )=-12t +52(41≤t ≤100,t ∈N ),试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值.[解析] 当1≤t ≤40,t ∈N 时,S (t )=g (t )f (t )=(-13t +1123)(14t +22)=-112t 2+2t +112×223=-112(t -12)2+25003,所以768=S (40)≤S (t )≤S (12)=112×223+12=25003.当41≤t ≤100,t ∈N 时,S (t )=g (t )f (t )=(-13t +1123)(-12t +52)=16t 2-36t +112×523=16(t -108)2-83,所以8=S (100)≤S (t )≤S (41)=14912. 所以,S (t )的最大值为25003,最小值为8.能力拓展提升一、选择题11.(文)若函数y =f (x )的导函数...在区间[a ,b ]上是增函数,则函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象可能是( )[答案] A[解析] ∵导函数f ′(x )是增函数,∴切线的斜率随着切点横坐标的增大,逐渐增大, 故选A.[点评] B 图中切线斜率逐渐减小,C 图中f ′(x )为常数,D 图中切线斜率先增大后减小. (理)如果函数y =a -x (a >0,且a ≠1)是减函数,那么函数f (x )=log a1x +1的图象大致是( )[答案] C[解析] 解法一:由函数y =a -x (a >0,且a ≠1)是减函数知a >1,∴0<1a <1,f (x )=log a 1x +1=-log a (x +1)=log 1a (x +1).函数f (x )的图象可以看作由函数y =log 1a x 的图象向左平移1个单位长度得到,又y =log 1ax 是减函数,∴f (x )为减函数,故选C.解法二:由于f (0)=0,故排除A 、B ;由y =a -x ,即y =⎝⎛⎭⎫1a x 是减函数知a >1,∴x >0时,f (x )<0,排除D ,选C.12.(文)已知函数y =2sin(ωx +θ)为偶函数(0<θ<π),其图象与直线y =2某两个交点的横坐标分别为x 1、x 2,若|x 2-x 1|的最小值为π,则该函数在区间( )上是增函数.( )A.⎝⎛⎭⎫-π2,-π4B.⎝⎛⎭⎫-π4,π4C.⎝⎛⎭⎫0,π2D.⎝⎛⎭⎫π4,3π4[答案] A[解析] ∵y =2sin(ωx +θ)为偶函数,0<θ<π,∴θ=π2,∴y =2cos ωx ,由条件知,此函数的周期为π,∴ω=2,∴y =2cos2x ,由2k π-π≤2x ≤2k π,(k ∈Z )得,k π-π2≤x ≤k π(k ∈Z ),令k =0知,函数在⎣⎡⎦⎤-π2,0上是增函数,故A 正确. (理)(2013·潍坊模拟)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0恒成立,设a =f (-12),b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c >a >bB .c >b >aC .a >c >bD .b >a >c[答案] D[解析] ∵x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0,∴f (x )在[1,+∞)上为减函数, 又f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称, ∴f (x )的图象关于直线x =1对称, ∴a =f (-12)=f (52),∴f (2)>f (52)>f (3),即b >a >c .13.(2012·新课标全国文)当0<x ≤12时,4x <log a x ,则a 的取值范围是( )A .(0,22) B .(22,1) C .(1,2) D .(2,2)[答案] B[解析] ∵0<x ≤12时,log a x >4x>0,∴0<a <1,排除C 、D ;当x =12时,log a 12>4 12 =2=log a a 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1,a 2<12,或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,a 2>12,∴a >22,排除A ,选B.二、填空题14.(文)若函数f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=a x +1在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是________.[答案] (0,1][解析] 由f (x )=-x 2+2ax 得函数对称轴为x =a , 又在区间[1,2]上是减函数,所以a ≤1, 又g (x )=ax +1在[1,2]上减函数,所以a >0, 综上a 的取值范围为(0,1].(理)若函数f (x )=x 2+2x +a ln x 在(0,1)上单调递减,则实数a 的取值范围是________. [答案] a ≤-4[解析] ∵函数f (x )=x 2+2x +a ln x 在(0,1)上单调递减,∴当x ∈(0,1)时,f ′(x )=2x +2+a x =2x 2+2x +a x≤0,∴g (x )=2x 2+2x +a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立, ∵g (x )的对称轴x =-12,x ∈(0,1),∴g (1)≤0,即a ≤-4.15.函数y =log 13 (x 2-3x )的单调递减区间为________.[答案] (3,+∞)[解析] 设t =x 2-3x ,由t >0,得x <0或x >3,即函数的定义域为(-∞,0)∪(3,+∞). 函数t 的对称轴为直线x =32,故t 在(-∞,0)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增.而函数y =log 13 t 为单调递减函数,由复合函数的单调性可知,函数y =log 13 (x 2-3x )的单调递增区间是(-∞,0),单调递减区间是(3,+∞).三、解答题16.(文)已知函数f (x )=log a (x +1)-log a (1-x ),a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明;(3)当a >1时,求使f (x )>0的x 的取值范围.[解析] (1)要使f (x )=log a (x +1)-log a (1-x )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,1-x >0.解得-1<x <1.故所求定义域为{x |-1<x <1}. (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |-1<x <1},且f (-x )=log a (-x +1)-log a (1+x )=-[log a (x +1)-log a (1-x )]=-f (x ),故f (x )为奇函数. (3)因为当a >1时,f (x )在定义域{x |-1<x <1}内是增函数, 所以f (x )>0⇔x +11-x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}.(理)设函数f (x )=ax 2+bx +c (a 、b 、c 为实数,且a ≠0),F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0,-f (x ) x <0.(1)若f (-1)=0,曲线y =f (x )通过点(0,2a +3),且在点(-1,f (-1))处的切线垂直于y 轴,求F (x )的表达式;(2)在(1)的条件下,当x ∈[-1,1]时,g (x )=kx -f (x )是单调函数,求实数k 的取值范围; (3)设mn <0,m +n >0,a >0,且f (x )为偶函数,证明F (m )+F (n )>0. [解析] (1)因为f (x )=ax 2+bx +c ,所以f ′(x )=2ax +b .又曲线y =f (x )在点(-1,f (-1))处的切线垂直于y 轴,故f ′(-1)=0, 即-2a +b =0,因此b =2a .① 因为f (-1)=0,所以b =a +c .② 又因为曲线y =f (x )通过点(0,2a +3), 所以c =2a +3.③解由①,②,③组成的方程组得,a =-3,b =-6,c =-3. 从而f (x )=-3x 2-6x -3.所以F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-3(x +1)2x >0,3(x +1)2x <0. (2)由(1)知f (x )=-3x 2-6x -3, 所以g (x )=kx -f (x )=3x 2+(k +6)x +3. 由g (x )在[-1,1]上是单调函数知: -k +66≤-1或-k +66≥1,得k ≤-12或k ≥0. (3)因为f (x )是偶函数,可知b =0. 因此f (x )=ax 2+c .又因为mn <0,m +n >0,可知m 、n 异号. 若m >0,则n <0.则F (m )+F (n )=f (m )-f (n )=am 2+c -an 2-c =a (m +n )(m -n )>0. 若m <0,则n >0. 同理可得F (m )+F (n )>0. 综上可知F (m )+F (n )>0. 考纲要求理解函数的单调性,会求函数的单调区间,能用定义证明函数在给定区间上的单调性,会利用单调性比较函数值的大小,能利用单调性求参数的取值范围.补充说明1.把握判断单调性的三法:定义、图象、导数,掌握单调性的四点应用:求单调区间及最值,比较数的大小,解函数不等式,利用单调性求参数的取值范围.了解求最值的基本方法与思路:单调性法,图象法,基本不等式法,换元法,导数法,判别式法等.2.牢记..讨论函数性质要先考虑函数的定义域,注意..奇偶函数及图象关于直线x =a 对称的函数的单调性特征.防范..函数f (x )的多个单调增(或减)区间不可用“∪”表示,了解..f (x )单调增(或减)的各种不同表达方式.3.闭区间上连续的函数f (x )一定有最大值与最小值,闭区间上单调函数最值必在区间端点.备选习题1.已知函数f (x )图象的两条对称轴x =0和x =1,且在x ∈[-1,0]上f (x )单调递增,设a =f (3),b =f (2),c =f (2),则a 、b 、c 的大小关系是( )A .a >b >cB .a >c >bC .b >c >aD .c >b >a[答案] D[解析] ∵f (x )在[-1,0]上单调增,f (x )的图象关于直线x =0对称,∴f (x )在[0,1]上单调减;又f (x )的图象关于直线x =1对称,∴f (x )在[1,2]上单调增,在[2,3]上单调减. 由对称性f (3)=f (-1)=f (1)<f (2)<f (2), 即c >b >a .2.函数y =f (x )(x ∈R )的图象如下图所示,则函数g (x )=f (log 12x )的单调减区间是( )A .[1,2]B .[22,1] C .(0,1]和[2,+∞) D .(-∞,1]和[2,+∞) [答案] C[解析] 令t =log 12 x ,则此函数为减函数,由图知y =f (t )在⎝⎛⎦⎤-∞,-12和[0,+∞)上都是增函数,当t ∈-∞,-12时,x ∈[2,+∞),当t ∈[0,+∞)时,x ∈(0,1],∴函数g (x )=f (log 12x )在(0,1]和[2,+∞)上都是减函数,故选C.[答案] C[解析]4.函数f (x )=ln(4+3x -x 2)的单调递减区间是( )A .(-∞,32] B .[32,+∞) C .(-1,32] D .[32,4) [答案] D[解析] 由4+3x -x 2>0得,函数f (x )的定义域是(-1,4),u (x )=-x 2+3x +4=-(x -32)2+254的减区间为[32,4),∵e>1,∴函数f (x )的单调减区间为[32,4). [点评] 可用筛选法求解,显然x =±100时,f (x )无意义,排除A 、B ;f (0)=ln4,f (1)=ln6,f (0)<f (1),排除C ,故选D.。
2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第二节函数的单调性与最大(小)值 文
第二节 函数的单调性与最大小值知识梳理一、函数单调性的定义基础自测1.(2013·珠海二模)下列函数在其定义域上是增函数的是( ) A .y =tan x B .y =-3x C .y =3xD .y =ln |x |1.理解函数的单调性及其几何意义.2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.3.会求一些简单函数的值域.4.理解函数的最大值、最小值及其几何意义.解析:y =tan x 只在其周期内单调递增,y =-3x 在R 上单调递减,y =3x 在R 上单调递增,y =ln |x |在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增.答案:C2.(2013·海淀区一模)已知a >0,下列函数中,在区间(0,a )上一定是减函数的是( ) A .f (x )=ax +b B .f (x )=x 2-2ax +1 C .f (x )=a x D .f (x )=log a x解析:a >0时,函数f (x )=ax +b ,为增函数;对于函数f (x )=a x ,当0<a <1时,在R 上为减函数,当a >1时,在R 上为增函数;对于f (x )=log a x,0<a <1时,在(0,+∞)上为减函数;当a >1时在(0,+∞)上为增函数;对于函数f (x )=x 2-2ax +1,图象是开口向上的抛物线,对称轴为x =a ,所以该函数在区间(0,a )上一定是减函数,所以选项B 对. 故选B.答案:B3.若函数f (x )=x 2-2x +m 在[3,+∞)上的最小值为1,则实数m 的值为_________________________________________.解析:∵f (x )=(x -1)2+m -1在[3,+∞)上为单调增函数,且f (x )在[3,+∞)上的最小值为1,∴f (3)=1,即22+m -1=1,m =-2. 答案:-24.(2012·温州市第一次适应性测试)一个矩形的周长为l ,面积为S ,给出:①(4,1),②(8,6),③(10,8),④⎝⎛⎭⎫3,12.其中可作为(l ,S )取得的实数对的序号是__________.解析:设矩形一边长为x ,则S =(l -2x )x 2=-x 2+l2x =-⎝⎛⎭⎫x -l 42+l216⎝⎛⎭⎫0<x <l 2, 检验知,①④满足. 答案:①④二、证明函数单调性的一般方法1.定义法.用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是:(1)设x1,x2________________,且x1<x2;(2)作差______________;(3)将差式变形(要注意变形的程度,一般结果要分解为若干个因式的乘积,且每一个因式的正或负能清楚地判断出);(4)判断______________(要注意说理的充分性);(5)根据f(x1)-f(x2)的符号确定其增减性,即下结论.概括为:取值—作差—变形—定号—下结论.2.导数法.设f(x)在某个区间(a,b)内有导数,若f(x)在区间(a,b)内,总有f′(x)>0[f′(x)<0],则f(x)在区间(a,b)上为增函数(减函数);反之,若f(x)在区间(a,b)内为增函数(减函数),则f′(x)≥0[f′(x)≤0].请注意两者的区别所在.三、求函数单调区间的方法定义法、导数法、图象法.四、函数的最大值、最小值一般地,设函数y=f(x)的定义域为A,如果∃M∈R,满足:(1)对∀x∈A,恒有f(x)≤M[或f(x)≥M];(2)∃x0∈A,使得f(x0)=M,则称M是函数y=f(x)的___________________________.五、求函数值域(最值)的各种方法因为函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的,故其类型依解析式的特点可分为三类:(1)求常见函数的值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域.无论用什么方法求函数的值域,都必须首先考虑函数的定义域.具体的方法有:①直接法;②配方法;③分离常数法;④换元法;⑤三角函数有界法;⑥基本不等式法;⑦单调性法;⑧数形结合法;⑨导数法(对于具体函数几乎都可以用导数法去解决).1.(2013·重庆卷)y =(3-a )(a +6) (-6≤a ≤3)的最大值为( ) A .9 B.92C .3D.322解析:因为y =(3-a )(a +6)=18-3a -a 2=-⎝⎛⎭⎫a +322+814,所以当a =-32时,y =(3-a )(a +6)的值最大,最大值为92. 答案:B2.(2013·大纲全国卷)若函数f (x )=x 2+ax +1x 在⎝⎛⎭⎫12,+∞是增函数,则a 的取值范围是( )A .[-1,0]B .[-1,+∞)C .[0,3]D .[3,+∞)解析: f ′(x )=2x +a -1x 2≥0在⎝⎛⎭⎫12,+∞上恒成立,即a ≥1x2-2x 在⎝⎛⎭⎫12 ,+∞上恒成立,由于y =1x2-2x 在⎝⎛⎭⎫12,+∞上单调递减,所以y <3,故只要a ≥3. 答案:D一、f (x 1)<f (x 2) f (x 1)>f (x 2) 逐渐上升 逐渐下降 二、1.(1)是给定区间内的任意两个值(2)f (x 1)-f (x 2) (4)f (x 1)-f (x 2)的正负 四、1.复合函数 y =f (g (x )) 五、最大值(或最小值)1.已知函数f(x)=-x2+4x在区间[m,n]上的值域是[-5,4],则m+n的取值范围是() A.[1,7] B.[1,6] C.[-1,1] D.[0,6]解析:f(x)=-x2+4x=-(x-2)2+4,∴f(2)=4.又由f(x)=-5,得x=-1或5.由f(x)的图象知:-1≤m≤2,2≤n≤5.因此1≤m+n≤7.答案:A2.(2012·宁波期末)已知f(x)是定义在实数集R上的增函数,且f(1)=0,函数g(x)在(-∞,1]上为增函数,在[1,+∞)上为减函数,且g(4)=g(0)=0,则集合{x|f(x)g(x)≥0}=() A.{x|x≤0或1≤x≤4}B.{x|0≤x≤4}C.{x|x≤4}D.{x|0≤x≤1或x≥4}解析:由题,结合函数性质可得x>1时,f(x)>0;x<0时,f(x)<0;x<0或x>4时,g(x)<0;0<x<4时,g(x)>0,故f(x)g(x)≥0的解集为{x|x≤0或1≤x≤4}.故选A.答案:A。
【解密高考】2015届高考数学(人教)大一轮课件:2-2函数的单调性与最值
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第二节
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1.理解函数的单调性,会讨论和证明一些简单的函数的单调 性. 2.理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求出一些简 单的函数的最大(小)值. 3.会求函数的值域.
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1.常考内容:函数单调性的考查是命题的热点.在有关函数 的综合应用中,以导数为工具探讨证明函数的单调性、求极值以 及画函数简图等几乎是必考的内容. 2.常见题型:在选择、填空类型的小题中,考查函数单调 性的应用居多,解答题中也有出现.如 2012· 广东,4;2012· 上 海,9 等.
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3.函数的最值 (1)一般地, 设函数 y=f(x)的定义域为 I, 如果存在实数 M 满 足: ①对于任意的 x∈I,都有 f(x)≤M; ②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M. 那么,我们称 M 是函数 y=f(x)的 最大值 .
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2015届高考数学(人教,理科)大一轮配套第二章函数、导数及其应用第2节函数的单调性与最值
2009~2013年高考真题备选题库第二章 函 数第二节 函数的单调性与最值考 点 函数的单调性与最值1.(2013北京,5分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A .y =1xB .y =e -xC .y =-x 2+1 D. y =lg|x |解析:本题主要考查一些常见函数的图像和性质,意在考查考生对幂函数、二次函数、指数函数、对数函数以及函数图像之间的变换关系的掌握情况.y =1x是奇函数,选项A 错;y =e -x 是指数函数,非奇非偶,选项B 错;y =lg |x |是偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,选项D 错;只有选项C 是偶函数且在(0,+∞)上单调递减. 答案:C2.(2013湖北,5分)x 为实数,[x ]表示不超过x 的最大整数,则函数f (x )=x -[x ]在R 上为( )A .奇函数B .偶函数C .增函数D .周期函数解析:本题主要考查函数的图像和性质.当x ∈[0,1)时,画出函数图像(图略),再左右扩展知f (x )为周期函数.故选D.答案:D3.(2012山东,5分)设a >0且a ≠1,则“函数f (x )=a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )=(2-a )x 3在R 上是增函数”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:若函数f (x )=a x 在R 上为减函数,则有0<a <1;若函数g (x )=(2-a )x 3在R 上为增函数,则有2-a >0,即a <2,所以“函数f (x )=a x 在R 上是减函数”是“函数g (x )=(2-a )x 3在R 上是增函数”的充分不必要条件.答案:A4.(2012广东,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A .y =ln(x +2)B .y =-x +1C .y =(12)xD .y =x +1x解析:选项A 的函数y =ln(x +2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一定是增函数.答案:A5.(2012陕西,5分)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( )A .y =x +1B .y =-x 3C .y =1xD .y =x |x |解析:由函数的奇偶性排除A ,由函数的单调性排除B 、C ,由y =x |x |的图像可知当x >0时此函数为增函数,又该函数为奇函数,故选D.答案:D6.(2009·辽宁,5分)已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)单调增加,则满足f (2x -1)<f (13)的x 的取值范围是( )A .(13,23) B.[13,23) C .(12,23) D.[12,23) 解析:f (x )是偶函数,其图象关于y 轴对称,又f (x )在[0,+∞)上递增,∴f (2x -1)<f (13)⇔|2x -1|<13⇔13<x <23. 答案:A。
2015届高考数学总复习配套课件:2-2 函数的单调性与最值
金 太
阳
和(0, k)上单调递减.
书
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十三页,编辑于星期五:十点 十二分。
高考总复习 A 数学(文)
抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题
反思总结
能力
提升
判断或证明函数的单调性的两种方法
提素能 高效 训练
(1)利用定义的基本步骤是:
取值 ⇨ 作差商变形 ⇨ 确定符号 ⇨ 得出结论
减.
东 金
综上,函数 f(x)在(-∞,-
k)和(
k,+∞)上单调递增,在(-
k,
太 阳
书
0)和(0, k)上单调递减.
业
有
限
公
司
菜 单 隐藏
第十二页,编辑于星期五:十点 十二分。
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抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
悟典题 能力 提升
解法二 f′(x)=1-xk2.
提素能
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抓主干 考点 解密
研考向 要点 探究
反思总结
悟典题 能力
求函数的单调性或单调区间的方法
提升
提素能
(1)利用已知函数的单调性;
高效
训练
(2)定义法:先求定义域,再利用单调性定义来求;
(3)图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,
山 东
可由图象的直观性写出它的单调区间;
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抓主干 考点 解密
研考向
要点
探究
当 x1,x2∈(0, k)时,f(x1)>f(x2),
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迁移发散2:
(x+1)2+sin x
(2012·全国高考)设函数 f(x)=
x2+1
的最大值为 M,最小值为 m,
则 M+m=________.
规范解答 :
(x+1)2+sin x
2x+sin x
f(x)=
x2+1
=1+ x2+1 ,
2x+sin x 设 g(x)= x2+1 ,则 g(-x)=-g(x),又 g(x)定义域为 R,∴g(x)是奇函
第二十一页,编辑于星期五:十二点 三十一分。
(2)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值
.
(3)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本 不等式求出最值. (4)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出 最值.
题型2 ·函数的运算“*”如下:a*b=
则函数 f(x)=(1*x)·x-
b2,a<b,
(2*x)(x∈[-2,2])的最小值为________.
思路点拨: 运算“*”即为求一分段函数,又2≥x,故只需比较1和x的大小得出f(x) 的解析式,再利用函数的单调性即可.
分)
∴函数 f(x)的单调减区间为32,4.(6 分)
第十八页,编辑于星期五:十二点 三十一分。
(2)设-1<x1<x2<1,则 ax1 ax2 a(x1x2+1)(x2-x1)
f(x1)-f(x2)=x21-1-x22-1= (x21-1)(x22-1) ,(8 分) ∵-1<x1<x2<1, ∴x12-1<0,x22-1<0,x1x2+1>0,x2-x1>0,
①当x1,x2∈(-1,1)时,|x1|<1,|x2|<1,∴|x1x2|<1, 则x1x2<1,1-x1x2>0, f(x1)-f(x2)<0, f(x1)<f(x2), ∴f(x)为增函数.(8分) ②当x1,x2∈(-∞,-1]或x1,x2∈[1,+∞)时, 1-x1x2<0, f(x1)>f(x2),∴f(x)为减函数.(10分) 综上所述, f(x)在(-1,1)上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是 减函数.(12分)
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或
,则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调
性,区间I叫做函数y=f(x)的单调区间. 诊断·基础知识
突破·高频考第三点页,编辑于星培期五养:十·解四点题分能。 力
• 2.函数的最值
• 一般地,设f(x)y≤=f(x0f)(x)的定义域为A.如果存在
x0∈A , 使 得 对 于 任 意 的 x∈A , 都 有 ,那f(x么)≥称f(x0)f(x0)为y=f(x)的最大值,记为ymax=
当x1>x2≥ a时,x1-x2>0,1-x1ax2>0, 有f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 此时,函数f(x)=x+ax(a>0)在[ a,+∞)上为增函数;
综上可知,函数f(x)=x+
a x
(a>0)在(0,
a ]上为减函数;在
[ a,+∞)上为增函数.
诊断·基础知识
突破·高频考第九点页,编辑于星培期五养:十·解四点题分能。 力
>0,则函数f(x)在D上是增函数.
(√)
(2)函数f(x)=2x+1在(-∞,+∞)上是增函数. (√)
(3)(教材改编)函数f(x)=1x在其定义域上是减函数. (×)
(4)已知f(x)= x ,g(x)=-2x,则y=f(x)-g(x)在定义域上是
增函数.
(√)
诊断·基础知识
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答案 (1)③ (2)④
诊断·基础知识
突破·高频考第二点十一页,编辑培于星养期五·解:十题四点能分力。
考点三 利用函数的单调性求最值 【例 3】 已知 f(x)=x2+2xx+a,x∈[1,+∞).
(1)当 a=12时,求函数 f(x)的最小值; (2)若对任意 x∈[1,+∞),f(x)>0 恒成立,试求实数 a 的取 值范围. 审题路线 (1)当 a=12时,f(x)为具体函数→求出 f(x)的单调 性,利用单调性求最值. (2)当 x∈[1,+∞)时,f(x)>0 恒成立→转化为 x2+2x+a>0 恒成立.
2015届高考数学一轮总复习 2-2函数的单调性与最值
2015届高考数学一轮总复习 2-2函数的单调性与最值基础巩固强化一、选择题1.(文)下列函数中,既是偶函数,又是在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( ) A .y =ln 1|x |B .y =x 3C .y =2|x |D .y =cos x[答案] A[解析] 排除法:B 、C 在(0,+∞)上单调递增,D 在(0,+∞)上不单调,故选A. (理)(2013·宣城月考)下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( )A .y =log 2xB .y =x 13C .y =-(12)xD .y =1x[答案] D[解析] y =log 2x 在(0,+∞)上为增函数;y =x 13 在(0,+∞)上是增函数;∵y =(12)x 在(0,+∞)上是减函数,∴y =-(12)x 在(0,+∞)上是增函数;y =1x 在(0,+∞)上是减函数,故y =1x 在(0,1)上是减函数.故选D.2.已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x(x >1),(4-a2)x +2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为( ) A .(1,+∞) B .[4,8) C .(4,8) D .(1,8)[答案] B[解析] 由y =a x (x >1)单调增知a >1;由y =(4-a 2)x +2(x ≤1)单调增知,4-a2>0,∴a <8;又f (x )在R 上单调增,∴a ≥(4-a2)+2,∴a ≥4,综上知,4≤a <8.[点评] 可用筛选法求解,a =2时,有f (1)=5>4=f (2),排除A 、D.a =4时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧4x (x >1),2x +2 (x ≤1).在R 上单调递增,排除C ,故选B.3.(2013·北京海淀期中)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+ax +1,x ≥1,ax 2+x +1,x <1,则“-2≤a ≤0”是“函数f (x )在R上单调递增”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件[答案] B[解析] f (x )在R 上单调递增的充要条件是a =0或⎩⎪⎨⎪⎧-a2≤1,a <0,-12a ≥1,12+a ×1+1≥a ×12+1+1,解得-12≤a <0.由此可知“-2≤a ≤0”是“函数f (x )在R 上单调递增”的必要而不充分条件,故选B. 4.(文)若函数h (x )=2x -k x +k3在(1,+∞)上是增函数,则实数k 的取值范围是( )A .[-2,+∞)B .[2,+∞)C .(-∞,-2]D .(-∞,2][答案] A[解析] 由h ′(x )=2+kx 2≥0,得k ≥-2x 2,由于φ(x )=-2x 2在[1,+∞)内的最大值为-2, 于是,实数k 的取值范围是[-2,+∞).(理)若f (x )=x 3-6ax 的单调递减区间是(-2,2),则a 的取值范围是( ) A .(-∞,0] B .[-2,2] C .{2} D .[2,+∞)[答案] C[解析] f ′(x )=3x 2-6a ,若a ≤0,则f ′(x )≥0,∴f (x )单调增,排除A ;若a >0,则由f ′(x )=0得x =±2a ,当x <-2a 和x >2a 时,f ′(x )>0,f (x )单调增,当-2a <x <2a 时,f (x )单调减,∴f (x )的单调减区间为(-2a ,2a ),从而2a =2, ∴a =2.[点评] f (x )的单调递减区间是(-2,2)和f (x )在(-2,2)上单调递减是不同的,应加以区分.本例亦可用x =±2是方程f ′(x )=3x 2-6a =0的两根解得a =2.5.(文)(2012·天津文)已知a =21.2,b =(12)-0.8,c =2log 52,则a 、b 、c 的大小关系为( )A .c <b <aB .c <a <bC .b <a <cD .b <c <a[答案] A[解析] 本题考查指数、对数值的大小比较.a =21.2>21=2,b =(12)-0.8=20.8<21=2,b =20.8>20=1,c =2log 52=log 522=log 54<log 55=1,所以c <b <a .(理)(2012·大纲全国理)已知x =lnπ,y =log 52,z =e -12,则( )A .x <y <zB .z <x <yC .z <y <xD .y <z <x[答案] D[解析]∵y =log 52=1log 25,z =e -12 =1e 且e<2<log 25,∴y <z <1,又lnπ>1,∴y <z <x ,故选D.[点评] 比较两数的大小通常是利用中介值法或函数的单调性求解.解题时,应注意观察判断数的正负,正数区分大于1还是小于1,再找出同底数的、同指数的、同真数的,区别不同情况采用不同函数的单调性或图象与性质进行比较,有时需要先进行变形再比较.6.(2013·阜阳月考)函数y =f (x )的图象如图所示,则函数y =log 12f (x )的图象大致是( )[答案] A[解析] 由f (x )的图象知f (x )≥1, ∴y =log 12 f (x )≤0,故选A.二、填空题7.(文)(2013·柳州月考)定义在R 上的奇函数y =f (x )在[0,+∞)上递增,且f (12)=0,则满足f (log 19x )>0的x 的集合为________.[答案] {x |0<x <13,或1<x <3}[解析] 由奇函数y =f (x )在[0,+∞)上递增,且f (12)=0,得函数y =f (x )在(-∞,0)上递增,且f (-12)=0.由f (log 19 x )>0,得log 19 x >12或-12<log 19x <0,解得0<x <13或1<x <3.所以满足条件的x 的取值集合为{x |0<x <13,或1<x <3}.(理)(2013·黄山月考)若定义域为R 的偶函数f (x )在[0,+∞)上是增函数,且f (12)=0,则不等式f (log 4x )>0的解集是________.[答案] (0,12)∪(2,+∞)[解析] 由f (x )是偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,可得f (x )在(-∞,0)上是减函数,f (log 4x )>0⇔f (log 4x )>f (12)⇔log 4x <-12或log 4x >12,解得0<x <12或x >2.8.(文)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(12)x x ≤0,log 2(x +2) x >0.若f (x 0)≥2,则x 0的取值范围是____________.[答案] (-∞,-1]∪[2,+∞). [解析](理)(2012·湖北八校联考)若函数f (x )=log a (x 2-ax +5)(a >0且a ≠1)满足对任意的x 1、x 2,当x 1<x 2≤a2时,f (x 2)-f (x 1)<0,则实数a 的取值范围为________.[答案] 1<a <2 5[解析] 由题意知函数f (x )=log a (x 2-ax +5)在(-∞,a2]上递减,又因为函数y =x 2-ax +5在(-∞,a2]上递减,由对数函数的性质可知a >1.又真数大于零,所以函数y =x 2-ax +5的最小值大于零,即(a 2)2-a ×a2+5>0,所以-25<a <25,综上1<a <2 5. 9.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e -x-2,x ≤0,2ax -1,x >0,(a 是常数且a >0).对于下列命题:①函数f (x )的最小值是-1;②函数f (x )在R 上是单调函数;③若f (x )>0在[12,+∞)上恒成立,则a 的取值范围是a >1;④对任意的x 1<0,x 2<0且x 1≠x 2,恒有f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2.其中正确命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). [答案] ①③④ [解析](数形结合法)根据题意可画出草图,由图象可知,①显然正确;函数f (x )在R 上不是单调函数,故②错误;若f (x )>0在[12,+∞)上恒成立,则2a ×12-1>0,a >1,故③正确;由图象可知对任意的x 1<0,x 2<0且x 1≠x 2,恒有f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2成立,故④正确.三、解答题10.(2012·南通市调研)经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数,且日销售量近似地满足g (t )=-13t +1123(1≤t ≤100,t ∈N ).前40天价格为f (t )=14t +22(1≤t ≤40,t ∈N ),后60天价格为f (t )=-12t +52(41≤t ≤100,t ∈N ),试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值.[解析] 当1≤t ≤40,t ∈N 时,S (t )=g (t )f (t )=(-13t +1123)(14t +22)=-112t 2+2t +112×223=-112(t -12)2+25003,所以768=S (40)≤S (t )≤S (12)=112×223+12=25003.当41≤t ≤100,t ∈N 时,S (t )=g (t )f (t )=(-13t +1123)(-12t +52)=16t 2-36t +112×523=16(t -108)2-83,所以8=S (100)≤S (t )≤S (41)=14912. 所以,S (t )的最大值为25003,最小值为8.能力拓展提升一、选择题11.(文)若函数y =f (x )的导函数...在区间[a ,b ]上是增函数,则函数y =f (x )在区间[a ,b ]上的图象可能是( )[答案] A[解析] ∵导函数f ′(x )是增函数,∴切线的斜率随着切点横坐标的增大,逐渐增大, 故选A.[点评] B 图中切线斜率逐渐减小,C 图中f ′(x )为常数,D 图中切线斜率先增大后减小. (理)如果函数y =a -x (a >0,且a ≠1)是减函数,那么函数f (x )=log a1x +1的图象大致是( )[答案] C[解析] 解法一:由函数y =a -x (a >0,且a ≠1)是减函数知a >1,∴0<1a <1,f (x )=log a1x +1=-log a (x +1)=log 1a (x +1).函数f (x )的图象可以看作由函数y =log 1a x 的图象向左平移1个单位长度得到,又y =log 1ax 是减函数,∴f (x )为减函数,故选C.解法二:由于f (0)=0,故排除A 、B ;由y =a -x ,即y =⎝⎛⎭⎫1a x 是减函数知a >1,∴x >0时,f (x )<0,排除D ,选C.12.(文)已知函数y =2sin(ωx +θ)为偶函数(0<θ<π),其图象与直线y =2某两个交点的横坐标分别为x 1、x 2,若|x 2-x 1|的最小值为π,则该函数在区间( )上是增函数.( )A.⎝⎛⎭⎫-π2,-π4B.⎝⎛⎭⎫-π4,π4C.⎝⎛⎭⎫0,π2D.⎝⎛⎭⎫π4,3π4[答案] A[解析] ∵y =2sin(ωx +θ)为偶函数,0<θ<π,∴θ=π2,∴y =2cos ωx ,由条件知,此函数的周期为π,∴ω=2,∴y =2cos2x ,由2k π-π≤2x ≤2k π,(k ∈Z )得,k π-π2≤x ≤k π(k ∈Z ),令k =0知,函数在⎣⎡⎦⎤-π2,0上是增函数,故A 正确.(理)(2013·潍坊模拟)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称,当x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)]·(x 2-x 1)<0恒成立,设a =f (-12),b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c >a >bB .c >b >aC .a >c >bD .b >a >c[答案] D[解析] ∵x 2>x 1>1时,[f (x 2)-f (x 1)](x 2-x 1)<0,∴f (x )在[1,+∞)上为减函数, 又f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称, ∴f (x )的图象关于直线x =1对称, ∴a =f (-12)=f (52),∴f (2)>f (52)>f (3),即b >a >c .13.(2012·新课标全国文)当0<x ≤12时,4x <log a x ,则a 的取值范围是( )A .(0,22) B .(22,1) C .(1,2) D .(2,2)[答案] B[解析] ∵0<x ≤12时,log a x >4x>0,∴0<a <1,排除C 、D ;当x =12时,log a 12>4 12 =2=log a a 2,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a >1,a 2<12,或⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,a 2>12,∴a >22,排除A ,选B.二、填空题14.(文)若函数f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=ax +1在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是________.[答案] (0,1][解析] 由f (x )=-x 2+2ax 得函数对称轴为x =a , 又在区间[1,2]上是减函数,所以a ≤1, 又g (x )=ax +1在[1,2]上减函数,所以a >0, 综上a 的取值范围为(0,1].(理)若函数f (x )=x 2+2x +a ln x 在(0,1)上单调递减,则实数a 的取值范围是________. [答案] a ≤-4[解析] ∵函数f (x )=x 2+2x +a ln x 在(0,1)上单调递减,∴当x ∈(0,1)时,f ′(x )=2x +2+ax =2x 2+2x +ax≤0,∴g (x )=2x 2+2x +a ≤0在x ∈(0,1)时恒成立, ∵g (x )的对称轴x =-12,x ∈(0,1),∴g (1)≤0,即a ≤-4.15.函数y =log 13 (x 2-3x )的单调递减区间为________.[答案] (3,+∞)[解析] 设t =x 2-3x ,由t >0,得x <0或x >3,即函数的定义域为(-∞,0)∪(3,+∞). 函数t 的对称轴为直线x =32,故t 在(-∞,0)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增.而函数y =log 13 t 为单调递减函数,由复合函数的单调性可知,函数y =log 13 (x 2-3x )的单调递增区间是(-∞,0),单调递减区间是(3,+∞).三、解答题16.(文)已知函数f (x )=log a (x +1)-log a (1-x ),a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明;(3)当a >1时,求使f (x )>0的x 的取值范围.[解析] (1)要使f (x )=log a (x +1)-log a (1-x )有意义,则⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,1-x >0.解得-1<x <1.故所求定义域为{x |-1<x <1}. (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |-1<x <1},且f (-x )=log a (-x +1)-log a (1+x )=-[log a (x +1)-log a (1-x )]=-f (x ),故f (x )为奇函数. (3)因为当a >1时,f (x )在定义域{x |-1<x <1}内是增函数, 所以f (x )>0⇔x +11-x >1.解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的取值范围是{x |0<x <1}.(理)设函数f (x )=ax 2+bx +c (a 、b 、c 为实数,且a ≠0),F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) x >0,-f (x ) x <0.(1)若f (-1)=0,曲线y =f (x )通过点(0,2a +3),且在点(-1,f (-1))处的切线垂直于y 轴,求F (x )的表达式;(2)在(1)的条件下,当x ∈[-1,1]时,g (x )=kx -f (x )是单调函数,求实数k 的取值范围; (3)设mn <0,m +n >0,a >0,且f (x )为偶函数,证明F (m )+F (n )>0. [解析] (1)因为f (x )=ax 2+bx +c ,所以f ′(x )=2ax +b .又曲线y =f (x )在点(-1,f (-1))处的切线垂直于y 轴,故f ′(-1)=0, 即-2a +b =0,因此b =2a .① 因为f (-1)=0,所以b =a +c .② 又因为曲线y =f (x )通过点(0,2a +3), 所以c =2a +3.③解由①,②,③组成的方程组得,a =-3,b =-6,c =-3. 从而f (x )=-3x 2-6x -3.所以F (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-3(x +1)2x >0,3(x +1)2x <0. (2)由(1)知f (x )=-3x 2-6x -3, 所以g (x )=kx -f (x )=3x 2+(k +6)x +3. 由g (x )在[-1,1]上是单调函数知:-k +66≤-1或-k +66≥1,得k ≤-12或k ≥0.(3)因为f (x )是偶函数,可知b =0. 因此f (x )=ax 2+c .又因为mn <0,m +n >0,可知m 、n 异号. 若m >0,则n <0.则F (m )+F (n )=f (m )-f (n )=am 2+c -an 2-c =a (m +n )(m -n )>0. 若m <0,则n >0. 同理可得F (m )+F (n )>0. 综上可知F (m )+F (n )>0.考纲要求理解函数的单调性,会求函数的单调区间,能用定义证明函数在给定区间上的单调性,会利用单调性比较函数值的大小,能利用单调性求参数的取值范围.补充说明1.把握判断单调性的三法:定义、图象、导数,掌握单调性的四点应用:求单调区间及最值,比较数的大小,解函数不等式,利用单调性求参数的取值范围.了解求最值的基本方法与思路:单调性法,图象法,基本不等式法,换元法,导数法,判别式法等.2.牢记..讨论函数性质要先考虑函数的定义域,注意..奇偶函数及图象关于直线x =a 对称的函数的单调性特征.防范..函数f (x )的多个单调增(或减)区间不可用“∪”表示,了解..f (x )单调增(或减)的各种不同表达方式.3.闭区间上连续的函数f (x )一定有最大值与最小值,闭区间上单调函数最值必在区间端点. 备选习题1.已知函数f (x )图象的两条对称轴x =0和x =1,且在x ∈[-1,0]上f (x )单调递增,设a =f (3),b =f (2),c =f (2),则a 、b 、c 的大小关系是( )A .a >b >cB .a >c >bC .b >c >aD .c >b >a[答案] D [解析] ∵f (x )在[-1,0]上单调增,f (x )的图象关于直线x =0对称,∴f (x )在[0,1]上单调减;又f (x )的图象关于直线x =1对称,∴f (x )在[1,2]上单调增,在[2,3]上单调减.由对称性f (3)=f (-1)=f (1)<f (2)<f (2),即c >b >a .2.函数y =f (x )(x ∈R )的图象如下图所示,则函数g (x )=f (log 12x )的单调减区间是( )A .[1,2]B .[22,1] C .(0,1]和[2,+∞)D .(-∞,1]和[2,+∞)[答案] C[解析] 令t =log 12x ,则此函数为减函数,由图知y =f (t )在⎝⎛⎦⎤-∞,-12和[0,+∞)上都是增函数,当t ∈-∞,-12时,x ∈[2,+∞),当t ∈[0,+∞)时,x ∈(0,1],∴函数g (x )=f (log 12x )在(0,1]和[2,+∞)上都是减函数,故选C.[答案] C[解析]4.函数f (x )=ln(4+3x -x 2)的单调递减区间是( )A .(-∞,32] B .[32,+∞) C .(-1,32] D .[32,4) [答案] D[解析] 由4+3x -x 2>0得,函数f (x )的定义域是(-1,4),u (x )=-x 2+3x +4=-(x -32)2+254的减区间为[32,4),∵e>1,∴函数f (x )的单调减区间为[32,4). [点评] 可用筛选法求解,显然x =±100时,f (x )无意义,排除A 、B ;f (0)=ln4,f (1)=ln6,f (0)<f (1),排除C ,故选D.。
【优化探究】2015届高考数学(人教A版·文科)总复习word版含详析:2-2 函数的单调性与最值 能力提升
[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1.(2014年威海模拟)下列函数中既是偶函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A .y =1xB .y =lg|x |C .y =2xD .y =-x 2解析:y =1x ,y =2x 不是偶函数,排除A 、C ;y =-x 2是偶函数,但在(0,1)上单调递减,y =lg|x |是偶函数,根据图象,可判断在区间(0,1)上单调递增,故选B.答案:B2.下列函数中,值域是(0,+∞)的是( ) A .y =x 2-2x +1B .y =x +2x +1(x ∈(0,+∞))C .y =1x 2+2x +1(x ∈N )D .y =1|x +1|解析:A 项值域为y ≥0,B 项值域为y >1,C 项中x ∈N ,故y 值不连续,只有D 项y >0正确.答案:D3.已知函数f (x )为R 上的减函数,则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是( ) A .(-1,1) B .(0,1)C .(-1,0)∪(0,1)D .(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:∵函数f (x )为R 上的减函数,且f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1), ∴⎪⎪⎪⎪1x >1,即|x |<1且|x |≠0. ∴x ∈(-1,0)∪(0,1). 答案:C4.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(a -2)x ,x ≥2⎝⎛⎭⎫12x -1,x <2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0成立,则实数a 的取值范围为( )A .(-∞,2) B.⎝⎛⎦⎤-∞,138 C .(-∞,2]D.⎣⎡⎭⎫138,2解析:由题意知函数f (x )是R 上的减函数,于是有⎩⎪⎨⎪⎧a -2<0(a -2)×2≤⎝⎛⎭⎫122-1,由此解得a ≤138,即实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤-∞,138,选B. 答案:B5.已知实数a >0,且a ≠1,函数f (x )=log a |x |在(-∞,0)上是减函数,函数g (x )=a x+1ax ,则下列选项正确的是( ) A .g (-3)<g (2)<g (4) B .g (-3)<g (4)<g (2) C .g (4)<g (-3)<g (2)D .g (2)<g (-3)<g (4)解析:由函数y =log a |x |在(-∞,0)上为减函数,可得a >1,故g (-3)-g (2)=(a -1)×a 5-1a 3>0⇒g (-3)>g (2),又g (4)-g (-3)=(a -1)×a 7-1a 4>0⇒g (4)>g (-3),故有g (4)>g (-3)>g (2).答案:D6.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+ax +1,x ≥1,ax 2+x +1,x <1,则“-2≤a ≤0”是“函数f (x )在R 上单调递增”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析:f (x )在R 上单调递增的充要条件是a =0或⎩⎪⎨⎪⎧-a2≤1,a <0,-12a ≥1,12+a ×1+1≥a ×12+1+1,解得-12≤a <0.由此可知“-2≤a ≤0”是“函数f (x )在R 上单调递增”的必要而不充分条件,故选B. 答案:B 二、填空题7.函数y =x -x (x ≥0)的最大值为________. 解析:y =x -x =-(x )2+x =-⎝⎛⎭⎫x -122+14 ∴y max =14.答案:148.若函数f (x )=|2x +a |的单调递增区间是[3,+∞),则a =________.解析:利用函数图象确定单调区间.f (x )=|2x +a |=⎩⎨⎧2x +a ,x ≥-a2,-2x -a ,x <-a2.作出函数图象,由图象(图略)知: 函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫-a2,+∞, ∴-a2=3,∴a =-6.答案:-69.(2014年湖北八校联考)已知函数f (x )=3-axa -1(a ≠1). (1)若a >0,则f (x )的定义域是________;(2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数,则实数a 的取值范围是________.解析:(1)当a >0且a ≠1时,由3-ax ≥0得x ≤3a ,即此时函数f (x )的定义域是⎝⎛⎦⎤-∞,3a ; (2)当a -1>0,即a >1时,要使f (x )在(0,1]上是减函数,则需3-a ×1≥0,此时1<a ≤3. 当a -1<0,即a <1时,要使f (x )在(0,1]上是减函数,则需-a >0,此时a <0.综上所述,所求实数a 的取值范围是(-∞,0)∪(1,3].答案:(1)⎝⎛⎭⎫-∞,3a (2)(-∞,0)∪(1,3] 三、解答题10.已知f (x )=xx -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)内单调递增; (2)若a >0且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围. 解析:(1)证明:任设x 1<x 2<-2, 则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2). ∵(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,∴f (x 1)<f (x 2), ∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增. (2)任设1<x 1<x 2,则 f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ). ∵a >0,x 2-x 1>0,∴要使f (x 1)-f (x 2)>0,只需(x 1-a )(x 2-a )>0恒成立,∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1].11.已知函数f (x )=x 2+1-ax ,其中a >0.(1)若2f (1)=f (-1),求a 的值;(2)证明:当a ≥1时,函数f (x )在区间[0,+∞)上为单调减函数. 解析:(1)由2f (1)=f (-1), 可得22-2a = 2+a ,得a =23. (2)证明:任取x 1,x 2∈[0,+∞),且x 1<x 2, f (x 1)-f (x 2)=x 21+1-ax 1-x 22+1+ax 2=x 21+1-x 22+1-a (x 1-x 2)=x 21-x 22x 21+1+x 22+1-a (x 1-x 2)= (x 1-x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1+x 2x 21+1+x 22+1-a . ∵0≤x 1< x 21+1,0<x 2<x 22+1,∴0<x 1+x 2x 21+1+x 22+1<1.又∵a ≥1,∴f (x 1)-f (x 2)>0, ∴f (x )在[0,+∞)上单调递减.12.(能力提升)已知函数g (x )=x +1,h (x )=1x +3,x ∈(-3,a ],其中a 为常数且a >0,令函数f (x )=g (x )·h (x ).(1)求函数f (x )的表达式,并求其定义域; (2)当a =14时,求函数f (x )的值域.解析:(1)∵f (x )=g (x )·h (x )=(x +1)1x +3=x +1x +3∴f (x )=x +1x +3,x ∈[0,a ].(a >0) (2)函数f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤0,14, 令x +1=t ,则x =(t -1)2,t ∈⎣⎡⎦⎤1,32, f (x )=F (t )=tt 2-2t +4=1t +4t-2. ∵t =4t 时,t =±2∉⎣⎡⎦⎤1,32,又t ∈⎣⎡⎦⎤1,32时,t +4t单调递减,F (t )单调递增,∴F (t )∈⎣⎡⎦⎤13,613.即函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤13,613.。
人教a版高考数学(理)一轮课件:2.2函数的单调性及值域
3.函数的最值
前提 条件 结论 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①存在 x0∈I,使得 f(x0)=M ; ②对于任意 x∈I,都有 f(x)≤M M 为最大值 ①存在 x0∈I,使得 f(x0)=M ; ②对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M M 为最小值
1.函数 y=1-
(1)求实数 a 的值,并证明 f(x)的图象关于原点对称; (2)证明函数 f(x)在(0,1)上是减函数.
a 5
【解】(1)因为函数 f(x)=x+ 的图象过点 A 2, 所以 =2+ ,解得 a=1.
5 2 a 2 1 x
a x
5 2
,
于是 f(x)=x+ ,因为函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}, 且 f(-x)=-x+ =-f(x), 所以函数 f(x)为奇函数. 从而 f(x)的图象关于原点对称. (2)证明:设 x1,x2 是(0,1)上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=x1+ -x2- =x1-x2+ =(x1-x2)
1 ( x-1
) B.在(-1,+∞)上单调递减 D.在(1,+∞)上单调递减
A.在(-1,+∞)上单调递增 C.在(1,+∞)上单调递增 【答案】C
1 x
【解析】数形结合,y=- 的图象向右平移一个单位,再向上平移一个单位得 y=11 的图象,故在区间(1,+∞)上单调递增. x-1
2.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的只有( A.y=- x C.y=lo������1x
)
B.k<
1 2 1 2
C.k>-
高考数学大一轮总复习 2.2 函数的单调性与最值高效作业 理 新人教A版
【解密高考】2015届高考数学大一轮总复习 2.2 函数的单调性与最值高效作业 理 新人教A 版时间:45分钟 满分:100分 班级:________ 姓名:________ 学号:________得分:________一、选择题(本大题共6小题,每小题6分,共36分,在下列四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2014·广东模拟)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A .y =ln(x +2) B .y =-x +1 C .y =(12)xD .y =x +1x解析:B 、C 在(0,+∞)上为减函数,D 在(0,1)上减,(1,+∞)上增.故选A. 答案:A2. 函数f (x )=1-1x -1( ) A .在(-1,+∞)上单调递增 B .在(1,+∞)上单调递增 C .在(-1,+∞)上单调递减 D .在(1,+∞)上单调递减 解析:画出函数f (x )=1-1x -1的图象,从图象上可观察到该函数在(-∞,1)和(1,+∞)上单调递增,故选B.答案:B3.已知函数f (x )是R 上的减函数,则满足f (|x |)<f (1)的实数x 的取值范围是( )A .(-1,1)B .(0,1)C .(-1,0)∪(0,1)D .(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:∵f (x )在R 上为减函数且f (|x |)<f (1), ∴|x |>1,解得x >1或x <-1. 答案:D4.(2014·浙江模拟)设a >0,b >0,e 是自然对数的底数,则( ) A .若e a+2a =e b+3b ,则a >b B .若e a+2a =e b+3b ,则a <bC .若e a -2a =e b-3b ,则a >b D .若e a -2a =e b-3b ,则a <b解析:考查函数y =e x +2x 为单调增函数,若e a +2a =e b +2b ,则a =b ;若e a +2a =e b+3b >e b+2b ,∴a >b .故选A.答案:A5.(2013·辽宁)已知函数f (x )=x 2-2(a +2)x +a 2,g (x )=-x 2+2(a -2)x -a 2+8.设H 1(x )=max{f (x ),g (x )},H 2(x )=min{f (x ),g (x )}(max{p ,q }表示p ,q 中的较大值,min{p ,q }表示p ,q 中的较小值).记H 1(x )的最小值为A ,H 2(x )的最大值为B ,则A -B =( )A .16B .-16C .a 2-2a -16D .a 2+2a -16解析:函数f (x )和g (x )的图象一个是开口向上的抛物线,一个是开口向下的抛物线,两个函数图象相交,则A 必是两个函数图象交点中较低的点的纵坐标,B 是两个函数图象交点中较高的点的纵坐标.令x 2-2(a +2)x +a 2=-x 2+2(a -2)x -a 2+8,解得x =a +2或x =a -2,当x =a +2时,因为函数f (x )的对称轴为x =a +2,故可判断A =f (a +2)=-4a -4.B =f (a -2)=-4a +12,所以A -B =-16.答案:B6.(2014·福建模拟)函数f (x )在[a ,b ]上有定义,若对任意x 1,x 2∈[a ,b ],有f (x 1+x 22)≤12[f (x 1)+f (x 2)],则称f (x )在[a ,b ]上具有性质P .设f (x )在[1,3]上具有性质P ,现给出如下命题:①f (x )在[1,3]上的图象是连续不断的; ②f (x 2)在[1,3]上具有性质P ;③若f (x )在x =2处取得最大值1,则f (x )=1,x ∈[1,3]; ④对任意x 1,x 2,x 3,x 4∈[1,3],有f (x 1+x 2+x 3+x 44)≤14[f (x 1)+f (x 2)+f (x 3)+ f (x 4)].其中真命题的序号是( ) A .①② B .①③ C .②④ D .③④解析:二、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上) 7.函数f (x )=log 5(2x +1)的单调增区间是________. 解析:函数f (x )的定义域为(-12,+∞),令t =2x +1(t >0).因为y =log 5t 在t ∈(0,+∞)上为增函数,t =2x +1在(-12,+∞)上为增函数,所以函数y =log 5(2x +1)的单调增区间为(-12,+∞).答案:(-12,+∞)8.函数f (x )=x +2x 在区间[0,4]上的最大值M 与最小值N 的和M +N =________. 解析:令t =x ,则t ∈[0,2],于是y =t 2+2t =(t +1)2-1,显然它在t ∈[0,2]上是增函数,故t =2时,M =8;t =0时N =0,∴M +N =8.答案:89.对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b .设函数f (x )=-x +3;g (x )=log 2x ,则函数h (x )=min{f (x ),g (x )}的最大值是________.解析:依题意,h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,0<x ≤2,-x +3,x >2.当0<x ≤2时,h (x )=log 2x 是增函数; 当x >2时,h (x )=3-x 是减函数, ∴h (x )在x =2时,取得最大值h (2)=1. 答案:110.(2014·沈阳第二次质量监测)设在给定区间内,函数f (x ),g (x )都是单调函数,有如下四个命题:①若f (x )是增函数,g (x )是增函数,则f (x )-g (x )是增函数; ②若f (x )是增函数,g (x )是减函数,则f (x )-g (x )是增函数; ③若f (x )是减函数,g (x )是增函数,则f (x )-g (x )是减函数; ④若f (x )是减函数,g (x )是减函数,则f (x )-g (x )是减函数. 其中正确的命题是________.解析:由于两个单调性相同的函数的和函数的单调性不变,且函数y =-f (x )与y =f (x )在同一单调区间内的单调性相反,则可知命题②和③是正确的,故填②③.答案:②③三、解答题(本大题共3小题,共40分,11、12题各13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤)11.已知f (x )=xx -a(x ≠a ).(1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a >0,且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围. 解:(1)证明:任取x 1<x 2<-2, 则Δx =x 2-x 1>0,Δy =f (x 2)-f (x 1)=x 2x 2+2-x 1x 1+2=2Δxx 1+2x 2+2.∵(x 1+2)(x 2+2)>0,Δx >0, ∴Δy >0,∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增. (2)f (x )=xx -a =x -a +a x -a =1+ax -a,当a >0时,f (x )在(a ,+∞),(-∞,a )上是减函数, 又f (x )在(1,+∞)内单调递减, ∴0<a ≤1,故实数a 的取值范围为(0,1]. 12.已知函数f (x )=a -1|x |. (1)求证:函数y =f (x )在(0,+∞)上是增函数;(2)若f (x )<2x 在(1,+∞)上恒成立,求实数a 的取值范围. 解:(1)证明:当x ∈(0,+∞)时,f (x )=a -1x,设0<x 1<x 2,则x 1x 2>0,x 2-x 1>0.f (x 1)-f (x 2)=(a -1x 1)-(a -1x 2)=1x 2-1x 1=x 1-x 2x 1x 2<0.∴f (x 1)<f (x 2),即f (x )在(0,+∞)上是增函数. (2)由题意a -1x <2x 在(1,+∞)上恒成立,设h (x )=2x +1x,则a <h (x )在(1,+∞)上恒成立. 可证h (x )在(1,+∞)上单调递增. 故a ≤h (1),即a ≤3, ∴a 的取值范围为(-∞,3].13.(2014·北京西城抽样测试)已知函数f (x )对于任意x ,y ∈R ,总有f (x )+f (y )=f (x +y ),且当x >0时,f (x )<0,f (1)=-23.(1)求证:f (x )在R 上是减函数;(2)求f (x )在[-3,3]上的最大值和最小值.解:(1)证明:证法一:∵函数f (x )对于任意x ,y ∈R ,总有f (x )+f (y )=f (x +y ), ∴令x =y =0,得f (0)=0. 再令y =-x ,得f (-x )=-f (x ).在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2).因此f(x)在R上是减函数.证法二:设x1>x2,则f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2).又∵x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上为减函数.(2)∵f(x)在R上是减函数,∴f(x)在[-3,3]上也是减函数,∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3).而f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2.∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.。
2015年高考数学新一轮总复习考点突破课件:2.2函数的单调性与最值
“⊕”如下:当 a≥b 时,a⊕b=a;当 a<b 时,a⊕b=b2.
设函数 f(x)=(1⊕x)x-(2⊕x),x∈[-2,2],则函数 f(x)的值域
为________.
第二十四页,编辑于星期五:十一点 四十一分。
解析:(1)x≥1 时,f(x)=log x 是单调递减的, 此时,函数的值域为(-∞,0]; x<1 时,f(x)=2x 是单调递增的, 此时,函数的值域为(0,2). 综上,f(x)的值域是(-∞,2).
第十五页,编辑于星期五:十一点 四十一分。
因此当 a>0 时,f(x1)-f(x2)>0, 即 f(x1)>f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数; 当 a<0 时,f(x1)-f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数. 法二(导数法): f′(x)=ax2-x2-1-122ax2=-xa2-x2+121 当 a>0 时,f′(x)<0;
第三页,编辑于星期五:十一点 四十一分。
• 1.函数的单调性
• (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域 定 为I.如果对于定义域I内某个 义 区间D上的任意两个自变量x1,
x2,当x1<x2时,都有
第四页,编辑于星期五:十一点 四十一分。
f(x1)<f(x2) , f(x1)>f(x2) ,那
(1)f对(x)≤于M任意x∈I,
(1)f(对x)≥于M任意x∈I,
都有
;
条件
都有
f(x0)=;M(2)
存在x0∈I,使
得
.
(使2)f存(x0)=在Mx0∈I,
得
.
结论 M为最大值
M为最小值
2015年高考数学一轮总复习精品课件:第二章+函数 2.2 函数的单调性与最值(共26张PPT)
函数的单调性与最值
第一页,编辑于星期五:十一点 十一分。
考纲要求
考纲要求
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.
2.会运用函数图象理解和研究函数的性质.
3.会研究某些简单复合函数及分段函数的单调性、最大(小)值.
第二页,编辑于星期五:十一点 十一分。
3
梳理自测
1.函数的单调性
(1)单调函数的定义
(2)图象法:先作出函数在给定区间上的图象,再观察其最高、最低点,
求出最值.
(3)配方法:对于二次函数或可化为二次函数形式的函数,可用配方法求
解.
(4)换元法:对较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的
方法求值域或最值.
(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件
后,再用基本不等式求出最值.
复合函数 y=f(g(x))的单调性应根据外层函数 y=f(t)和内层函数 t=g(x)
的单调性判断,遵循“同增异减”的原则.
3.利用函数的单调性求参数的取值范围,解题思路为视参数为已知数,
依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较
求参.
考点一
考点二
考点三
误区警示
第十一页,编辑于星期五:十一点 十一分。
当 0<x≤1 时,1-x2≥0,2x>0,原不等式化为(1-x2)2+1>(2x)2+1,即(x+1)2<2,
所以 0<x< 2-1.
当 x>1 时,1-x2<0,无解.综上知:-1<x< 2-1.
答案:(-1, 2-1)
考点一
2015高考数学一轮总复习课件:2.2 函数的单调性与最值
的是( A )
1 A.f(x)=x
B.f(x)=(x-1)2
C.f(x)=e2 D.f(x)=ln(x+1)
2.函数 y=x2+2x-3(x>0)的单调增区间是( A ) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,-3]
第四页,编辑于星期五:十二点 三十一分。
C 基础知识梳理
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
利用单调性定义证明.
第十一页,编辑于星期五:十二点 三十一分。
C 聚焦考向透析
考 向 一 判断函数的单调性
例题精编
ax 判断函数 f(x)=x+1在(-1,+∞) 上的单调性,并证明.
审题视点 典例精讲 类题通法 变式训练
【解析】当 a>0 时,函数 y=f(x)在
a ∴f(x)=x+x(a>0)的增区间为( a,+∞),
减区间为(0, a).
第二十页,编辑于星期五:十二点 三十一分。
C 聚焦考向透析
考向二 求函数的单调区间
例题精编
审题视点
典例精讲 类题通法
变式训练
求下列函数的单调区间. a
(1)函数 f(x)=x+x(a>0)(x>0); (2)函数 y= x2+x-6.
(2)函数 y= x2+x-6.
图象下降区间为减区间. 3.导数法:f′(x)>0 的解的区间为增区间;
f′(x)<0 的解的区间为减区间.
4.复合函数法:按复合函数“同增异减”的原则,
确定原函数的单调区间.
第二十二页,编辑于星期五:十二点 三十一分。
C 聚焦考向透析
考向二 求函数的单调区间
变式训练
1
所以函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间为-2,+∞.
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§2.2 函数的单调性与最值1.函数的单调性 (1)(2)单调区间的定义如果函数y =f (x )在区间D 上是增函数或减函数,那么就说函数y =f (x )在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做函数y =f (x )的单调区间. 2.结论M 为最大值1.判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y =1x的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( × )(2)对于函数f (x ),x ∈D ,若x 1,x 2∈D ,且(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0,则函数f (x )在D 上是增函数.( √ )(3)函数y =|x |是R 上的增函数. ( × )(4)函数y =f (x )在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞). ( × ) (5)函数f (x )=log 5(2x +1)的单调增区间是(0,+∞).( × ) (6)函数y =1-x 21+x 2的最大值为1.( √ ) 2.函数y =x 2-6x +10在区间(2,4)上是( )A .递减函数B .递增函数C .先递减再递增D .先递增再递减答案 C解析 作出函数y =x 2-6x +10的图象(图略), 根据图象可知函数在(2,4)上是先递减再递增.3.(2013·安徽)“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax -1)x |在区间(0,+∞)内单调递增”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件答案 C解析 本题利用函数的图象确定字母的取值范围,再利用充要条件的定义进行判断. 当a =0时,f (x )=|(ax -1)x |=|x |在区间(0,+∞)上单调递增;当a <0时,结合函数f (x )=|(ax -1)x |=|ax 2-x |的图象知函数在(0,+∞)上单调递增,如图(1)所示;当a >0时,结合函数f (x )=|(ax -1)x |=|ax 2-x |的图象知函数在(0,+∞)上先增后减再增,不符合条件,如图(2)所示.所以,要使函数f (x )=|(ax -1)x |在(0,+∞)上单调递增只需a ≤0.即“a ≤0”是“函数f (x )=|(ax -1)x |在(0,+∞)上单调递增”的充要条件.4.函数f (x )=2xx +1在[1,2]的最大值和最小值分别是________________________________________________________________________.答案 43,1解析 f (x )=2x x +1=2(x +1)-2x +1=2-2x +1在[1,2]上是增函数,∴f (x )max =f (2)=43,f (x )min =f (1)=1.5.函数y =log 2112(2x 2-3x +1)的单调减区间为________.答案 (1,+∞)解析 由2x 2-3x +1>0,得函数的定义域为(-∞,12)∪(1,+∞).令t =2x 2-3x +1,则y =log 21t ,∵t =2x 2-3x +1=2(x -34)2-18,∴t =2x 2-3x +1的单调增区间为(1,+∞).又y =log 21t 在(1,+∞)上是减函数,∴函数y =log 21 (2x 2-3x +1)的单调减区间为(1,+∞).题型一 函数单调性的判断例1 讨论函数f (x )=axx 2-1(a >0)在x ∈(-1,1)上的单调性.思维启迪 可根据定义,先设-1<x 1<x 2<1,然后作差、变形、定号、判断. 解 设-1<x 1<x 2<1,则f (x 1)-f (x 2)=ax 1x 21-1-ax 2x 22-1=ax 1x 22-ax 1-ax 2x 21+ax 2(x 21-1)(x 22-1)=a (x 2-x 1)(x 1x 2+1)(x 21-1)(x 22-1). ∵-1<x 1<x 2<1,∴x 2-x 1>0,x 1x 2+1>0,(x 21-1)(x 22-1)>0.又∵a >0,∴f (x 1)-f (x 2)>0, ∴函数f (x )在(-1,1)上为减函数.思维升华 利用定义法证明或判断函数单调性的步骤:(1)已知a >0,函数f (x )=x +ax(x >0),证明:函数f (x )在(0,a ]上是减函数,在[a ,+∞)上是增函数;(2)求函数y =x 2+x -6的单调区间.(1)证明 设x 1,x 2是任意两个正数,且0<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=⎝⎛⎭⎫x 1+a x 1-⎝⎛⎭⎫x 2+a x 2 =x 1-x 2x 1x 2(x 1x 2-a ). 当0<x 1<x 2≤a 时,0<x 1x 2<a ,又x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2), 所以函数f (x )在(0,a ]上是减函数; 当a ≤x 1<x 2时,x 1x 2>a ,又x 1-x 2<0, 所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2), 所以函数f (x )在[a ,+∞)上是增函数.(2)解 令u =x 2+x -6,y =x 2+x -6可以看作有y =u 与u =x 2+x -6的复合函数. 由u =x 2+x -6≥0,得x ≤-3或x ≥2.∵u =x 2+x -6在(-∞,-3]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,而y =u 在(0,+∞)上是增函数.∴y =x 2+x -6的单调减区间为(-∞,-3],单调增区间为[2,+∞). 题型二 利用函数的单调性求参数例2 (1)如果函数f (x )=ax 2+2x -3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a 的取值范围是( ) A .a >-14 B .a ≥-14C .-14≤a <0D .-14≤a ≤0(2)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧(2-a )x +1,x <1,a x ,x ≥1,满足对任意x 1≠x 2,都有f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0成立,那么a 的取值范围是________.思维启迪 利用函数的单调性求参数或参数的取值范围,解题思路为视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参.答案 (1)D (2)[32,2)解析 (1)当a =0时,f (x )=2x -3,在定义域R 上是单调递增的,故在(-∞,4)上单调递增;当a ≠0时,二次函数f (x )的对称轴为x =-1a ,因为f (x )在(-∞,4)上单调递增,所以a <0,且-1a ≥4,解得0>a ≥-14.综合上述得-14≤a ≤0.(2)由已知条件得f (x )为增函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧2-a >0a >1(2-a )×1+1≤a, 解得32≤a <2,∴a 的取值范围是[32,2).思维升华 已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:①若函数在区间[a ,b ]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;②分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.(1)函数y =x -5x -a -2在(-1,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( )A .a =-3B .a <3C .a ≤-3D .a ≥-3 (2)已知f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1),⎝⎛⎭⎫4-a 2x +2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数,则实数a 的取值范围为( )A .(1,+∞)B .[4,8)C .(4,8)D .(1,8)答案 (1)C (2)B 解析 (1)y =x -5x -a -2=1+a -3x -(a +2),由函数在(-1,+∞)上单调递增,有⎩⎪⎨⎪⎧a -3<0a +2≤-1,解得a ≤-3. (2)因为f (x )是R 上的单调递增函数,所以可得⎩⎪⎨⎪⎧a >1,4-a 2>0,a ≥4-a 2+2.解得4≤a <8,故选B.题型三 函数的单调性和最值例3 已知定义在区间(0,+∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0.(1)求f (1)的值;(2)证明:f (x )为单调递减函数;(3)若f (3)=-1,求f (x )在[2,9]上的最小值.思维启迪 抽象函数的问题要根据题设及所求的结论来适当取特殊值,证明f (x )为单调减函数的首选方法是用单调性的定义来证.问题(3)用函数的单调性即可求最值. (1)解 令x 1=x 2>0,代入得f (1)=f (x 1)-f (x 1)=0,故f (1)=0.(2)证明 任取x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1>x 2,则x 1x 2>1,由于当x >1时,f (x )<0,所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2<0, 即f (x 1)-f (x 2)<0,因此f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+∞)上是单调递减函数. (3)解 ∵f (x )在(0,+∞)上是单调递减函数. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9).由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2=f (x 1)-f (x 2)得, f ⎝⎛⎭⎫93=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2. ∴f (x )在[2,9]上的最小值为-2.思维升华 (1)抽象函数的单调性的判断要紧扣单调性的定义,结合题目所给性质和相应的条件,对任意x 1,x 2在所给区间内比较f (x 1)-f (x 2)与0的大小,或f (x 1)f (x 2)与1的大小.有时根据需要,需作适当的变形:如x 1=x 2·x 1x 2或x 1=x 2+x 1-x 2等;(2)利用函数单调性可以求函数最值,若函数f (x )在[a ,b ]上单调递增,则f (x )的最小值是f (a ),最大值是f (b ).(1)如果函数f (x )对任意的实数x ,都有f (1+x )=f (-x ),且当x ≥12时,f (x )=log 2(3x-1),那么函数f (x )在[-2,0]上的最大值与最小值之和为( )A .2B .3C .4D .-1(2)函数f (x )=1x -1在区间[a ,b ]上的最大值是1,最小值是13,则a +b =________.答案 (1)C (2)6解析 (1)根据f (1+x )=f (-x ),可知函数f (x )的图象关于直线x =12对称.又函数f (x )在[12,+∞)上单调递增,故f (x )在(-∞,12]上单调递减,则函数f (x )在[-2,0]上的最大值与最小值之和为f (-2)+f (0)=f (1+2)+f (1+0)=f (3)+f (1)=log 28+log 22=4. (2)易知f (x )在[a ,b ]上为减函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧f (a )=1,f (b )=13,即⎩⎨⎧1a -1=1,1b -1=13,∴⎩⎪⎨⎪⎧a =2,b =4. ∴a +b =6.函数单调性的应用典例:(12分)函数f(x)对任意的m、n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1.(1)求证:f(x)在R上是增函数;(2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2.思维启迪(1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应该构造出f(x2)-f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本小题的切入点.要构造出f(M)<f(N)的形式.规范解答(1)证明设x1,x2∈R,且x1<x2,∴x2-x1>0,∵当x>0时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1. [2分]f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1,[4分]∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0⇒f(x1)<f(x2),∴f(x)在R上为增函数.[6分](2)解∵m,n∈R,不妨设m=n=1,∴f(1+1)=f(1)+f(1)-1⇒f(2)=2f(1)-1,[8分]f(3)=4⇒f(2+1)=4⇒f(2)+f(1)-1=4⇒3f(1)-2=4,∴f(1)=2,∴f(a2+a-5)<2=f(1),[10分]∵f(x)在R上为增函数,∴a2+a-5<1⇒-3<a<2,即a∈(-3,2).[12分]解函数不等式问题的一般步骤:第一步:确定函数f(x)在给定区间上的单调性;第二步:将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式;第三步:运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”,转化成一般的不等式或不等式组;第四步:解不等式或不等式组确定解集;第五步:反思回顾.查看关键点,易错点及解题规范.温馨提醒本题对函数的单调性的判断是一个关键点.不会运用条件x>0时,f(x)>1.构造不出f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1的形式,找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)<f(N)的形式.解决此类问题的易错点:忽视M、N的取值范围,即忽视f(x)所在的单调区间的约束.方法与技巧1.利用定义判断或证明函数的单调性 设任意x 1,x 2∈[a ,b ]且x 1<x 2,那么 ①f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数;f (x 1)-f (x 2)x 1-x 2<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数.②(x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ,b ]上是增函数; (x 1-x 2)[f (x 1)-f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ,b ]上是减函数. 函数的单调性是对某个区间而言的. 2.求函数的单调区间首先应注意函数的定义域,函数的单调区间都是其定义域的子集;其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间.常用方法:根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导数的性质. 3.复合函数的单调性对于复合函数y =f [g (x )],若t =g (x )在区间(a ,b )上是单调函数,且y =f (t )在区间(g (a ),g (b ))或者(g (b ),g (a ))上是单调函数,若t =g (x )与y =f (t )的单调性相同(同时为增或减),则y =f [g (x )]为增函数;若t =g (x )与y =f (t )的单调性相反,则y =f [g (x )]为减函数. 简称:同增异减. 失误与防范函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减.单调区间要分开写,即使在两个区间上的单调性相同,也不能用并集表示.A 组 专项基础训练一、选择题1.函数f (x )中,满足“对任意x 1,x 2∈(0,+∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)>f (x 2)”的是( )A .f (x )=1x B .f (x )=(x -1)2C .f (x )=e xD .f (x )=ln(x +1)答案 A解析 由题意知f (x )在(0,+∞)上是减函数.A 中,f (x )=1x满足要求;B 中,f (x )=(x -1)2在[0,1]上是减函数,在(1,+∞)上是增函数;C 中,f (x )=e x 是增函数;D 中,f (x )=ln(x +1)是增函数.2.若函数f (x )=-x 2+2ax 与g (x )=(a +1)1-x 在区间[1,2]上都是减函数,则a 的取值范围是( )A .(-1,0)B .(-1,0)∪(0,1]C .(0,1)D .(0,1]答案 D解析 ∵f (x )=-x 2+2ax =-(x -a )2+a 2在[1,2]上是减函数, ∴a ≤1.①又g (x )=(a +1)1-x 在[1,2]上是减函数.∴a +1>1,∴a >0.② 由①、②知,0<a ≤1.3.已知函数f (x )=2ax 2+4(a -3)x +5在区间(-∞,3)上是减函数,则a 的取值范围是( )A .(0,34)B .(0,34]C .[0,34)D .[0,34]答案 D解析 当a =0时,f (x )=-12x +5,在(-∞,3)上是减函数,当a ≠0时,由⎩⎪⎨⎪⎧a >0-4(a -3)4a ≥3,得0<a ≤34,综上a 的取值范围是0≤a ≤34.4.已知f (x )为R 上的减函数,则满足f (1x)>f (1)的实数x 的取值范围是( )A .(-∞,1)B .(1,+∞)C .(-∞,0)∪(0,1)D .(-∞,0)∪(1,+∞)答案 D解析 依题意得1x <1,即x -1x >0,所以x 的取值范围是x >1或x <0.5.定义新运算“”:当a ≥b 时,a b =a ;当a <b 时,a b =b 2,则函数f (x )=(x )x -(x ),x ∈[-2,2]的最大值等于( )A .-1B .1C .6D .12 答案 C解析 由已知得当-2≤x ≤1时,f (x )=x -2, 当1<x ≤2时,f (x )=x 3-2,∵f (x )=x -2,f (x )=x 3-2在定义域内都为增函数. ∴f (x )的最大值为f (2)=23-2=6. 二、填空题6.函数f (x )=ln(4+3x -x 2)的单调递减区间是__________.答案 ⎣⎡⎭⎫32,4解析 函数f (x )的定义域是(-1,4),u (x )=-x 2+3x +4=-⎝⎛⎭⎫x -322+254的减区间为⎣⎡⎭⎫32,4,∵e>1,∴函数f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎭⎫32,4.7.设函数f (x )=ax +1x +2a 在区间(-2,+∞)上是增函数,那么a 的取值范围是__________.答案 [1,+∞)解析 f (x )=ax +2a 2-2a 2+1x +2a =a -2a 2-1x +2a,∵函数f (x )在区间(-2,+∞)上是增函数.∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2-1>0-2a ≤-2⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 2-1>0a ≥1⇒a ≥1. 8.已知f (x )为R 上的减函数,则满足f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1)的实数x 的取值范围是______________. 答案 (-1,0)∪(0,1)解析 由f ⎝⎛⎭⎫⎪⎪⎪⎪1x <f (1),得⎪⎪⎪⎪1x >1, ∴1x >1或1x <-1,∴0<x <1或-1<x <0. 三、解答题9.函数f (x )=x 2-4x -4在闭区间[t ,t +1](t ∈R )上的最小值记为g (t ). (1)试写出g (t )的函数表达式; (2)求g (t )的最小值.解 (1)f (x )=x 2-4x -4=(x -2)2-8. 当t >2时,f (x )在[t ,t +1]上是增函数, ∴g (t )=f (t )=t 2-4t -4;当t ≤2≤t +1,即1≤t ≤2时,g (t )=f (2)=-8; 当t +1<2,即t <1时,f (x )在[t ,t +1]上是减函数, ∴g (t )=f (t +1)=t 2-2t -7.从而g (t )=⎩⎪⎨⎪⎧t 2-2t -7 (t <1),-8 (1≤t ≤2),t 2-4t -4 (t >2).(2)g (t )的图象如图所示,由图象易知g (t )的最小值为-8.10.已知函数f (x )=-2x +1,x ∈[0,2],求函数的最大值和最小值.解 设x 1,x 2是区间[0,2]上的任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=-2x 1+1-(-2x 2+1) =-2(x 2+1-x 1-1)(x 1+1)(x 2+1)=-2(x 2-x 1)(x 1+1)(x 2+1). 由0≤x 1<x 2≤2,得x 2-x 1>0,(x 1+1)(x 2+1)>0,所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2),故f (x )在区间[0,2]上是增函数.因此,函数f (x )=-2x +1在区间[0,2]的左端点取得最小值,右端点取得最大值,即最小值是f (0)=-2,最大值是f (2)=-23. B 组 专项能力提升1.已知函数f (x )=x 2-2ax +a 在区间(-∞,1)上有最小值,则函数g (x )=f (x )x在区间(1,+∞)上一定( ) A .有最小值B .有最大值C .是减函数D .是增函数答案 D 解析 由题意知a <1,∴g (x )=f (x )x =x +a x-2a , 当a <0时,g (x )在(1,+∞)上是增函数,当a >0时,g (x )在[a ,+∞)上是增函数,故在(1,+∞)上为增函数,∴g (x )在(1,+∞)上一定是增函数.2.已知函数f (x )=e |x -a |(a 为常数).若f (x )在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是________.答案 (-∞,1]解析 ∵f (x )=e |x -a |=⎩⎪⎨⎪⎧e x -a (x ≥a ),e -x +a (x <a ), ∴f (x )在[a ,+∞)上为增函数,则[1,+∞)⊆[a ,+∞),∴a ≤1.3.对于任意实数a ,b ,定义min{a ,b }=⎩⎪⎨⎪⎧a ,a ≤b ,b ,a >b .设函数f (x )=-x +3,g (x )=log 2x ,则函数h (x )=min{f (x ),g (x )}的最大值是________.答案 1解析 依题意,h (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,0<x ≤2,-x +3,x >2. 当0<x ≤2时,h (x )=log 2x 是增函数;当x >2时,h (x )=3-x 是减函数,∴h (x )在x =2时,取得最大值h (2)=1.4.已知函数f (x )=lg(x +a x-2),其中a 是大于0的常数. (1)求函数f (x )的定义域;(2)当a ∈(1,4)时,求函数f (x )在[2,+∞)上的最小值;(3)若对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0,试确定a 的取值范围.解 (1)由x +a x -2>0,得x 2-2x +a x>0, a >1时,x 2-2x +a >0恒成立,定义域为(0,+∞), a =1时,定义域为{x |x >0且x ≠1},0<a <1时,定义域为{x |0<x <1-1-a 或x >1+1-a }.(2)设g (x )=x +a x-2,当a ∈(1,4),x ∈[2,+∞)时, g ′(x )=1-a x 2=x 2-a x 2>0恒成立, ∴g (x )=x +a x-2在[2,+∞)上是增函数. ∴f (x )=lg(x +a x-2)在[2,+∞)上是增函数. ∴f (x )=lg(x +a x-2)在[2,+∞)上的最小值为 f (2)=lg a 2. (3)对任意x ∈[2,+∞)恒有f (x )>0,即x +a x-2>1对x ∈[2,+∞)恒成立. ∴a >3x -x 2,而h (x )=3x -x 2=-(x -32)2+94在x ∈[2,+∞)上是减函数, ∴h (x )max =h (2)=2.∴a >2.5.已知f (x )=x x -a(x ≠a ). (1)若a =-2,试证f (x )在(-∞,-2)内单调递增;(2)若a >0且f (x )在(1,+∞)内单调递减,求a 的取值范围.(1)证明 任取x 1<x 2<-2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1+2-x 2x 2+2=2(x 1-x 2)(x 1+2)(x 2+2). ∵(x 1+2)(x 2+2)>0,x 1-x 2<0,∴f (x 1)<f (x 2),∴f (x )在(-∞,-2)内单调递增.(2)解 任设1<x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=x 1x 1-a -x 2x 2-a =a (x 2-x 1)(x 1-a )(x 2-a ).∵a>0,x2-x1>0,∴要使f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0恒成立,∴a≤1. 综上所述知a的取值范围是(0,1].。