太原理工大学概率论习题册答案解析
太原理工大学概率论与数理统计
（格式不对是因为这是经过整理后的）
太原理工大学
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
1．设A与B是任意两个互不相容事件，则下列结论中正确的是（）
A． P(A)=1-P(B)
B． P(A-B)=P(B)
C． P(AB)=P(A)P(B)
D． P(A-B)=P(A)
2．设A，B为两个随机事件，且B包含于A,P(B)>0，则P(A/B)（）
A． 1
B． P(A)
C． P(B)
D． P(AB)
3．下列函数中可作为随机变量分布函数的是（）
A．
B．
C．
D．
4．设离散型随机变量X的分布律为
则P{-1<X<=1）（）
A．0.3
B．0.4
C．0.6
D．0.7
5．设二维随机变量（X，Y）的分布律为（）
且X与Y相互独立，则下列结论正确的是
A．a=0.2,b=0.6
B．a=-0.1,b=0.9
C．a=0.4,b=0.4
D．a=0.6,b=0.2
6．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
则P{0>X<1,0<Y<1}=（）
A．1/4
B．1/2
C．3/4
D．1
7．设随机变量X服从参数为的指数分布，则E（X）=（）
A． 1/4
B．1/2
C．2
D．4
8．设随机变量X与Y相互独立，且X~N（0，9），Y~N（0，1），令Z=X-2Y，则D（Z）=（）
A．5
B．7
C．11
D．13
9．设（X，Y）为二维随机变量，且D（X）>0，D（Y）>0，则下列等式成立的是（）
概率论与数理统计统计课后习题答案
第二章习题解答
1. 设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量X 与Y 的分布函数,为使)()(21x bF x aF -是某个随机变量的分布函数, 则b a ,的值可取为( A ).
A . 52,53-==
b a
B . 32
,32==b a C . 23,21=-=b a D . 2
3
,21-==b a
2. 解：因为随机变量X ＝{这4个产品中的次品数}
X 的所有可能的取值为：0，1，2，3，4.
且401554
2091
{0}0.2817323C C P X C ===≈； 31155420455
{1}0.4696969C C P X C ===≈；
221554
2070
{2}0.2167323C C P X C ===≈； 1315542010
{3}0.0310323C C P X C ===≈；
041554
201
{4}0.0010969
C C P X C ===≈.
3．
解：设{1}P x p ==，则{0}1P x p ==-. 由已知，
2(1)p p =-，所以2
3
p =
X 当0x <时，(){}0F x P X x =≤=；
当01x ≤<时，1(){}{0}3
F x P X x P X =≤===
； 当1x ≥时，(){}{0}{1}1F x P X x P X P X =≤==+==.
X 的分布函数为：00()1/3
0111
x F x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
. 4. 解：设X ={在取出合格品以前，已取出不合格品数}. 则X 的所有可能的取值为0，1，2，3.
概率论课后习题答案pdf
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概率论是数学中的一门重要学科，研究的是随机事件发生的规律性。在学习概
率论的过程中，课后习题是巩固知识、提高应用能力的重要途径。然而，对于
一些复杂的概率题目，学生可能会遇到困惑和难以解答的情况。因此，提供一
份概率论课后习题答案pdf对于学生来说是非常有益的。
一、基础概率题
1. 一个标准的扑克牌中，红桃和黑桃的数量各有多少张？
答案：扑克牌一共有52张，其中红桃和黑桃各有13张。
2. 从一副标准扑克牌中，随机抽取两张牌，求两张牌都是红桃的概率。
答案：首先，从52张牌中抽取第一张红桃的概率为13/52。然后，从剩下的51张牌中抽取第二张红桃的概率为12/51。因此，两张牌都是红桃的概率为(13/52) * (12/51) = 1/17。
二、条件概率题
1. 一家电子产品公司生产的手机中，10%的手机存在质量问题。现在从该公司生产的手机中随机选择一个，发现该手机存在质量问题。求该手机是该公司生产
的概率。
答案：设事件A表示选择的手机存在质量问题，事件B表示该手机是该公司生产的。根据条件概率的定义，我们需要求解P(B|A)。根据题意，P(A) = 0.1，即选择的手机存在质量问题的概率为0.1。又因为只有该公司生产的手机存在质量问题，所以P(A|B) = 1。根据条件概率的公式，有P(B|A) = P(A|B) * P(B) / P(A) = 1 * P(B) / 0.1 = 10 * P(B)。由于概率的取值范围在0到1之间，所以P(B)的取值
范围也在0到0.1之间。因此，该手机是该公司生产的概率为10 * P(B)，其中0 <= P(B) <= 0.1。
第12讲 随机变量的独立性 太原理工大学工程硕士概率论与数理统计
由于存在面积不为零的区域 D，使得 f (x, y) f X ( x) fY ( y), ( x, y) D. 故，X与Y不相互独立 。
随机变量函数的分布 一、和函数的分布 二、M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
在上一章中，我们讨论了一维随机变量函 数的分布，现在我们进一步讨论: 当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时 ，如何求出它们的函数 Yi=gi(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的联合分布? 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问 题，然后将其推广到多个随机变量的情形.
e e
i 0 r
-1 i 1 i 0 ( 1 2 )
r
i!
r!
(r - i)! r r! i r -i 12 i 0 i! (r - i)!
e
-2
r2-i
e ( 1 2 ) (1 2 ) r , r 0,1,2,. r!
即 Z 服从参数为 1 2的泊松分布。
［练习解答］若(X,Y)的概率密度为
2, 0 x y, 0 y 1, f ( x, y ) 0, 其他.
问X与Y是否独立？ 1 解： f X ( x) 2dy 2(1 x), 0 x 1,
fY
( y)
x
y
0
2dx 2 y, 0 y 1.
大学概率论与数理统计习题及参考答案
P( AB) P( BC ) 0， 则：
（1）A、B、C中至少有一个发生的概率为 0.625 （2）A、B、C中都发生的概率为 0 ； 。 （3）A、B、C都不发生的概率为 0.375 ；
4．设A、B为随机事件，并且 P( A) 0.5，P( B) 0.6，P( B A) 0.8， 则
AB 6 ; A B 1 ,5 .
1
四、写出下面随机试验的样本空间： （1）袋中有5只球，其中3只白球2只黑球，从袋中 任意取一球，观察其颜色； （2） 从（1）的袋中不放回任意取两次球（每次取出一个）观察其颜色； （3） 从（1）的袋中不放回任意取3只球，记录取到的黑球个数； （4） 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数； 解 （１）设
解法1 设事件A表示“报警系统A有效”，事件B表示“报警系统B有效”，由已知
P ( A) 0.92, P ( B) 0.93, P ( B A) 0.85, 则 P ( AB ) P ( A) P ( B A) 0.08 0.85 0.068 ,
故 P( AB) P( B) P( AB) 0.93 0.068 0.862,
3 C9 84 ; P A B1 P A B0 3 220 C 12 3 C7 35 P A B2 3 ; P A B3 C 12 220 3 C8 56 ; 3 220 C 12 3 C6 20 ; 3 C12 220
概率论和数理统计课后习题答案解析
随机事件及其概率
1.1 随机事件
习题1试说明随机试验应具有的三个特点．
习题2将一枚均匀的硬币抛两次，事件A，B，C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”，试写出样本空间及事件A，B，C中的样本点.
1.2 随机事件的概率
1.3 古典概型与几何概型
1.4 条件概率
1.5 事件的独立性
复习总结与总习题解答
习题3. 证明下列等式：
习题6.
习题7
习题9
习题10
习题12
习题13
习题14
习题15
习题16
习题18
习题20
习题21
习题23
习题24
习题26
第二章随机变量及其分布
2.1 随机变量
习题1随机变量的特征是什么？
解答：①随机变量是定义在样本空间上的一个实值函数.
②随机变量的取值是随机的，事先或试验前不知道取哪个值.
③随机变量取特定值的概率大小是确定的.
习题2试述随机变量的分类.
解答：①若随机变量X的所有可能取值能够一一列举出来，则称X为离散型随机变量；否则称为非离散型随机变量.②若X的可能值不能一一列出，但可在一段连续区间上取值，则称X为连续型随机变量.
习题3盒中装有大小相同的球10个，编号为0,1,2,⋯,9, 从中任取1个，观察号码是“小于5”，“等于5”，“大于5”的情况，试定义一个随机变量来表达上述随机试验结果，并写出该随机变量取每一个特定值的概率.
解答：分别用ω1,ω2,ω3表示试验的三个结果“小于5”，“等于5”，“大于5”，则样本空间
S={ω1,ω2,ω3},定义随机变量X如下：
X=X(ω)={0,ω=ω11,ω=ω2,2,ω=ω3
则X取每个值的概率为
《概率论与数理统计教程》课后习题解答
第一章 事件与概率
1.2 在数学系的学生中任选一名学生，令事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示被选学生是三年级学生，事件C 表示该生是运动员。
(1) 叙述C AB 的意义。
(2)在什么条件下C ABC =成立？ (3)什么时候关系式B C ⊂是正确的？
(4) 什么时候B A =
成立？
解 (1)事件C AB 表示该是三年级男生，但不是运动员。 (2)
C ABC = 等价于AB C ⊂，表示全系运动员都有是三年级的男生。
(3)当全系运动员都是三年级学生时。
(4)当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时`。 1.3 一个工人生产了n 个零件，以事件i A 表示他生产的第i 个零件是合格品（n i ≤≤1）。用i A 表
示下列事件：
(1)没有一个零件是不合格品； (2)至少有一个零件是不合格品； (3)仅仅只有一个零件是不合格品； (4)至少有两个零件是不合格品。 解 (1)
n i i
A 1=; (2) n i i n i i A A 11===; (3) n i n
i
j j j
i A A 1
1
)]([=≠=;
(4)原事件即“至少有两个零件是合格品”，可表示为
n
j
i j i j
i
A
A ≠=1
,；
1.5 在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八张卡片中任取两张，把卡片上的两个数字组成一个分数，求所得分数为既约分数的概率。
解 样本点总数为
7828⨯=A 。所得分数为既约分数必须分子分母或为7、11、13中的两个，或为2、
4、6、8、12中的一个和7、11、13中的一个组合，所以事件
概率论课后习题答案
习题1解答
1. 写出下列随机试验的样本空间Ω：
（1）记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）； （2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数；
（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记为“正品”，不合格的记为“次品”，如连续查出了2件次品就停止检查，或检查了4件产品就停止检查，记录检查的结果； （4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.
解：（1）以n 表示该班的学生人数，总成绩的可能取值为0，1，2，…，100n ，所以该试验的样本空间为
{|0,1,2,
,100}i
i n n
Ω==.
（2）设在生产第10件正品前共生产了k 件不合格品，样本空间为
{10|0,1,2,}k k Ω=+=，
或写成{10,11,12,
}.Ω=
（3）采用0表示检查到一个次品，以1表示检查到一个正品，例如0110表示第一次与第四次检查到次品，而第二次与第三次检查到的是正品，样本空间可表示为
{00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111}Ω=.
（3）取直角坐标系，则有2
2
{(,)|1}x y x y Ω=+<，若取极坐标系，则有
{(,)|01,02π}ρθρθΩ=≤<≤<.
2．设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 及其运算关系表示下列事件. (1)A 发生而B 与C 不发生； (2)A 、B 、C 中恰好发生一个； (3)A 、B 、C 中至少有一个发生； (4)A 、B 、C 中恰好有两个发生； (5)A 、B 、C 中至少有两个发生； (6)A 、B 、C 中有不多于一个事件发生.
太原理工大学采矿1203概率论第三章答案
第三章 多维随机变量及其分布
一、单项选择题
单选：1、C ；2、B ；3、C ；4、B ；5、C
二、填空题
1．
2．65/81；3.3.0；4. 4，是。 三、判断题（正确的打√，错误的打⨯）
1、×；
2、×；
3、√；
4、√；
5、√
四、设随机变量()Y X ,的概率密度函数为：⎩
⎨⎧<<<<=else y x y x f ,01
0,10,1),(，
求：()Y X ,的分布函数),(y x F . 解：当0≤x 或0≤y 时，0),(=y x F ， 当10<
y
==⎰
⎰0
0),(，
当10<
==⎰⎰0
1
),(，
当10<
==⎰
⎰1
),(，
当1≥x 且1≥y 时，1),(=y x F
X p 210-12512561Y p 3
11
012
131127
故⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧≥≥><<><<<<<<≤≤=.
111
,110,110,1010,
000),(y x x y y y x x
y x xy y x y x F 且且且且或
五、设随机变量1X 与2X 独立同分布于),(p n B ，证明),2(~21p n B X X Y +=. 证明：因为),(~,21p n B X X ，所以21X X Y +=的取值为.2,2,1,0n ==+==)()(21k X X P k X P ),0(21k X X P ==)1,1(21-==+k X X P )0,(21==++X k X P i k n i k i k n i n i i n k
i p p C p p C +----=--=
∑
)1()1(0
k
n k k n p p C --=22)
概率论课后习题解答
一、习题详解：
1.1 写出下列随机试验的样本空间：
(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数;
解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω；
(2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和;
解：}{12,11,4,3,22 =Ω；
(3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;
解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{
,2,1,03=Ω； (4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故：
()}{;51,4≤≤=Ωj i j i
(5) 检查两件产品是否合格;
解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；
(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；
(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离;
解：}{207 x x =Ω；
(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度.
解：()}{
l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ；
1.2 设A ，B ，C 为三事件, 用A;B;C 的运算关系表示下列各事件：
(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；
概率论解析答案习题解答
第二章 随机变量及其分布
I 教学基本要求
1、了解随机变量的概念以及它与事件的联系；
2、理解随机变量的分布函数的概念与性质；理解离散型随机变量的分布列、连续型随机变量的密度函数及它们的性质；
3、掌握几种常用的重要分布：两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布，且能熟练运用；
4、会求简单随机变量函数的分布.
II 习题解答
A 组
1、检查两个产品，用T 表示合格品，F 表示不合格品，则样本空间中的四个样本点为
1(,)F F ω=、2(,)T F ω=、3(,)F T ω=、4(,)T T ω=
以X 表示两个产品中的合格品数.
(1) 写出X 与样本点之间的对应关系；
(2) 若此产品的合格品率为p ，求(1)p X =？ 解：(1) 10ω→、21ω→、31ω→、42ω→；
(2) 1
2(1)(1)2(1)p X C p p p p ==-=-.
2、下列函数是否是某个随机变量的分布函数？
(1) 021()2021
x F x x x <-⎧⎪⎪
=-≤<⎨
⎪≥⎪⎩； (2) 2
1
()1F x x =
+ ()x -∞<<+∞. 解：(1) 显然()F x 是单调不减函数；0()1F x ≤≤，且()0F -∞=、()1F +∞=；
(0)()F x F x +=，故()F x 是某个随机变量的分布函数.
(2) 由于()01F +∞=≠，故()F x 不是某个随机变量的分布函数. 3、设X 的分布函数为
(1)0
()00
x A e x F x x -⎧-≥=⎨
<⎩
求常数A 及(13)p X <≤？
(完整版)概率论高等数学习题解答
1
(A )
三、解答题
1•一颗骰子抛两次，以 X
表
示
两
次
中
所
得
的
最
小
点
数
(1) 试求X 的分布律； (2)
写出X 的分布函数.
解：(1)
分析：这里的概率均为古典概型下的概率，所有可能性结果共 36种，如果X=1，则表明两次
中至少有一点数为1,其余一个1至6点均可，共有C 2 6-1 (这里C 2指任选某次点 数为1, 6为另一次有6种结果均可取，减1即减去两次均为1的情形，因为C ； 6多
1 1
算了一次)或C 2 5 1种，故P X 1 C 2
6-1
C
2
5 1
耳，其他结果类似
36 36
36
可得•
0, X
1
P{X 1} ,1
X 2
P{X 1} P{X 2} ,2
X
3
F(x)
P{X 1} P{X 2} P{X 3}， 3 x 4
P{X 1} P{X 2} P{X
3}
P{X 4}, 4 x 5 P{X
1} P{X
2} P{X 3} P{X
4} P{X
5}, 5 x 6
1 ,x 6
2
2 •某种抽奖活动规则是这样的：袋中放红色球及白色球各 5只，抽奖者交纳一元钱后得
到一次抽奖的机会，然后从袋中一次取出 5只球，若5只球同色，则获奖100元，否则无奖,
以X 表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数，求
X 的分布律.
解:
注意，这里 X 指的是赢钱数，X 取0-1或100-1，显然P X 99
k
3.设随机变量 X 的分布律为P{X k} a ,k 0,1,2, k!
k
解：因为 a ae 1，所以a e k 0 k!
4.设随机变量X 的分布律为
X -1 2 3 p
1/4
1/2
1/4
(1)求X 的分布函数;
1 3 5
概率论与数理统计习题参考答案
概率论与数理统计参考答案（附习题）
第一章 随机事件及其概率
1. 写出下列随机试验的样本空间：
（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；
（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度.
解： 所求的样本空间如下
（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x 2+y 2<1}
（3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0}
2. 设A 、B 、C 为三个事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列事件： （1）A 发生，B 和C 不发生；
（2）A 与B 都发生，而C 不发生； （3）A 、B 、C 都发生； （4）A 、B 、C 都不发生； （5）A 、B 、C 不都发生；
（6）A 、B 、C 至少有一个发生； （7）A 、B 、C 不多于一个发生； （8）A 、B 、C 至少有两个发生. 解： 所求的事件表示如下
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)A B C
A B C A B C A B C
A B C A
B C
A B B C A C
A B
B C
C A
3．在某小学的学生中任选一名，若事件A 表示被选学生是男生，事件B 表示该
生是三年级学生，事件C 表示该学生是运动员，则 （1）事件AB 表示什么？
（2）在什么条件下ABC =C 成立？ （3）在什么条件下关系式C B ⊂是正确的？ （4）在什么条件下A B =成立？
概率论第一章习题解答
概率论第一章习题解答
1. 写出下列随机试验的样本空间：
1) 记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）；
2) 一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1、2、3、4、5，从中同时
取出3个球；
3) 某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；
4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.
解：1）设小班共有n 个学生，每个学生的成绩为0到100的整数，分别记为n ２x ，x x ,1，则全班平均分为n x x n i i
∑==1，于是样本空间为
}100,,2,1,0{n n n n S ==}100,3,2,1,0|{n i n
i = 2）所有的组合数共有1035
=C 种， }345,245,235,234,145,135,134,125,124,123{=S
3）至少射击一次，},3,2,1{ =S
4）单位圆中的坐标),(y x 满足122<+y x ，}1|),{(22<+=y x y x S
2. 已知B A ?，
3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求)(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P . 解 )(A P 7.03.01)(1=-=-=A P 3.0)()(==A P AB P （因为B A ?）)(B A P 2.0)()()(=-=-=A P B P A B P
5.0)()(==B P B A P （因为B A ?，则A B ?）
3. 设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的概率：
1）只有一件次品；
概率论与数理统计课后习题集及答案详解
概率论与数理统计课后习题集及解答
第一章 随机事件和概率
一. 填空题
1. 设A, B, C 为三个事件, 且=-=⋃⋃=⋃)(,97.0)(,9.0)(C AB P C B A P B A P 则____. 解.
)(1)(1)()()()(ABC P AB P ABC P AB P ABC AB P C AB P +--=-=-=-
=)(C B A P ⋃⋃－)(B A P ⋃= 0.97－0.9 = 0.07
2. 设10件产品中有4件不合格品, 从中任取两件, 已知所取两件产品中有一件是不合格品, 另一件也是不合格品的概率为_______.
解. }{合格品二件产品中有一件是不=A , }{二件都是不合格品=B
51
1)()()()()|(2
10
2
621024=-===c c c c A P B P A P AB P A B P 注意: }{合格品二件产品中有一件是不=}{不合格品二件产品中恰有一件是 +}{二件都是不合格品 所以B AB B A =⊃,; }{二件都是合格品=A 3. 随机地向半圆a x ax y (202-<
与区域的面积成正比, 则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4
π
的概率为______. 解. 假设落点(X, Y)为二维随机变量, D 为半圆. 则
121)),((2==∈a k
D Y X P π, k 为比例系数. 所以22a
k π= 假设D 1 = {D 中落点和原点连线与x 轴夹角小于4
π
的区域}
π
ππ121)2141(2)),((222
11+=+=⨯=∈a a a D k D Y X P 的面积. 4. 设随机事件A, B 及其和事件A ⋃B 的概率分别是0.4, 0.3, 0.6, 若B 表示B 的对立事件, 则积事件B A 的概率)(B A P = ______.
概率论课后习题答案
概率论课后习题答案
概率论与数理统计习题及答案
习题⼀
4.设A ，B 为随机事件，且P （A ）=0.7,P (A -B )=0.3，求P （AB ）. 【解】 P （AB ）=1-P （AB ）=1-[P (A )-P (A -B )] =1-[0.7-0.3]=0.6
6.设A ，B ，C 为三事件，且P （A ）=P （B ）=1/4，P （C ）=1/3且P （AB ）=P （BC ）=0，
P （AC ）=1/12，求A ，B ，C ⾄少有⼀事件发⽣的概率.
【解】 P （A ∪B ∪C ）=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC )
=
14+14+13-112=34
13. ⼀个袋内装有⼤⼩相同的7个球，其中4个是⽩球，3个是⿊球，从中⼀次抽取3个，
计算⾄少有两个是⽩球的概率. 【解】设A i ={恰有i 个⽩球}（i =2,3），显然A 2与A 3互斥.
21
343
4
233377C C C 184(),
()C 35
C 35
P A P A ====
故 232322()()()35
P A A P A P A =+=
23. 设P （A ）=0.3,P (B )=0.4,P (A B )=0.5，求P （B ｜A ∪B ）【解】 ()()()
()()()()()
P AB P A P AB P B A B P A B P A P B P AB -==
+- 0.70.51
0.70.60.54
-=
=+-
33. 三⼈独⽴地破译⼀个密码，他们能破译的概率分别为15，13，1
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解：因为 ( X1 X 2 X 3 ) ~ N (0,3)
( X 4 X 5 X 6 ) ~ N (0,3) 所以
X1 X 2 X 3 2 X 4 X 5 X 6 2 ( ) ( ) ~ 2 (2) 3 3 1 故 c 。 3 五． X ~ N ( , 2 )，抽取样本容量 n 16 的简单随
P(S 2S 0)
2 1 2 2
解： (n1 1)
2
S1 ~ (n1 1)
2
2
(n2 1) 2 2 S ~ (n2 1) 2 2
所以
S12 ~ F (9,14) 2 S2
( X 1 , X 2 ,, X n ) 是来自正态总体 七、设 N (0, 2 ) 的样 本, 试求下列统计量的分布： X 1 X 3 X 2 n 1 （1） X 12 X 32 X 22n1 （2Y ） . 2
1 xe 2
1 x2 2
dx
2
所以
1 1 E (max( X , Y )) [ EX EY E X Y ] 2 2 1 1 E (min( X , Y )) [ EX EY E X Y ] 2 2
X , Y 相互独立，皆服从 N (, ) ,试 八、设 求 Z1 X Y 与 Z 2 X Y 的相关系数（其 中 , 是不为零的常数）.
ຫໍສະໝຸດ Baidu
解得
1 1 A ,B 2
概率密度
1 f ( x). F ( x) a 2 x 2 0
a x a 其它
第四、五章
习题课
一、填空题
1 p 。 答案：1、30;2、0.0228;3、0;4、2.5;5、 2 p
六、掷一枚硬币1000次，已知出现正面的次 数在400到k之间的概率为0.5，问k为何值？ 解： 设 X 表示正面出现的次数， 则 X ~ B(1000 ,0.5) 。由中心极限定理有
P (400 X k ) k 1000 0.5 400 1000 0.5 ( ) ( ) 1000 0.5 0.5 1000 0.5 0.5 k 500 100 ( ) ( ) 0.5 5 10 5 10 k 500 ( ) 0.5 1 (6.325) 0.5 5 10 k 500 0, k 500
2
2 ( X ) i i 1
n
2
32)
0.99 0.05 0.94
六．X ~ N (1, 2 ) ， Y ~ N (2 , 2 ) 且相互独立，
从X 、 Y 两总体中分别抽取 n1 10 ，和 n2 15 简单随机样本，样本方差分别为 S12 与 S 22 计算
解 ： P( X
3
)
3
1 x 1 cos dx 2 2 2
1 k 1 P Y k C ( ) 1 2 2 k 0,1,2,3,4
k 4
4 k
1 k C4 , 16
Y
0
1
2
3
4
1 1 3 1 1 Pk 16 4 8 4 16 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 E Y 0 1 2 3 4 16 4 8 4 16 5
十、将
n
只球（ 1 ~ n 号）随机地放进 n 只盒子（
1 ~ n 号）中去，
一只盒子装一只球.若一只球装入与球同号的盒子中，称为一个配对.记 X
为总的配对数，求 E( X )
十一、解设储备 y 件，可获利Q,该商品每周 的需求量为X,X~U[a, b] ;则Q为 y 的函数
第六章
习题课
一、选择题 答案：1、D；2、B；3、C；4、C；5、A。
二、选择题 答案：1、A；2、B；3、C；4、D；5、A。 三、判断题 1、×；2、 √ ；3、×；4、×；5、√
四、飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率 是 0.4 ，在以后的两次飞行中，每一次飞行后 其被检修的概率各增加 0.1 ，求三次飞行后修 理次数的数学期望。
X i 表示第 i 次飞行后须进行检修次数， 解：
2
E (Z1 ) E ( X ) E (Y ) ( ) E (Z 2 ) E ( X ) E (Y ) ( )
D( Z1 ) 2 D( X ) 2 D(Y ) ( 2 2 ) 2 D( Z 2 ) 2 D( X ) 2 D(Y ) ( 2 2 ) 2 cov(Z1 , Z 2 ) E(Z1 Z 2 ) E(Z1 ) E(Z 2 )
机样本， ( X1, X 2 ,, X n )
2
n
计算:
1 n P( ( X i ) 2 2 2 ) 2 n i 1
解：因为 i 1
2 ( X ) i
2
~ 2 (n) ，所以，
当 n 16 时，有
1 n P( ( X i ) 2 2 2 ) P(8 2 n i 1
( Z1 , Z 2 )
cov(Z1 , Z 2 ) D( Z 1 ) D( Z 1 )
2 2 2 2
九、设二维随机变量( X , Y ) 的概率密度为
1 , x2 y2 1 f ( x) 其它 0,
，验证X与Y是不相关的，但不是相互独立的.
X 1 X 3 X 2 n1 n
. ~ N (0,1)
Y2
X 1 X 3 X 2 n1 X X X
2 2 2 4 2 2n
X 1 X 3 X 2 n1 . X X X
2 2 2 4 2 2n
n 2n
. ~ t (n)
2 2 2 X2 X4 X 2 2 n ~ ( n) 2
2 X 12 X 32 X 2 n ~ F ( n, n ) n 1 Y1 2 2 2 2 2 2 X2 X4 X 2 X X X n 2 4 2n n
2 X 12 X 32 X 2 n 1
E ( 2 X 2 2Y 2 ) ( 2 2 ) 2 2 E ( X 2 ) 2 E (Y 2 ) ( 2 2 ) 2 2 ( D( X ) E 2 ( X )) 2 ( D(Y ) E 2 (Y )) ( 2 2 ) 2 ( 2 2 ) 2
X 5 ~ N (0,1) 所以 解：（1）因为 2 X P( X 0.1) P( 5 0.25) 2 2(2.5) 1 2 0.5987 1 0.1974
（2）为使 P( X 0.1) 0.95
X P( X 0.1) P( n 0.05 n ) 0.95 (1.65) 2
二、填空题
1 1 答案 1.F (1, n) ；2. (1) ；3. 0.1 ；4. ( 4 , 8) 2 5. (2n 2)
2
三．设总体 , X1, X 2 ,, X n ) 是简 X ~ N ( , 4) ( 单随机样本 X, 为 样 本 均 值 ,(1) 若n 25 , 计 算P( X 0.1) ;(2) 若要求P( X 0.1) 0.95, 至少 n 取多大？
i 1,2,3 则
1 须检修 ，其分布列为： Xi 0 不须检修
X1 0 1 p 0.6 0.4
X2 p
0 1 0.5 0.5
X3 p
0 1 0.4 0.6
所以 E ( X1 X 2 X 3 ) 0.4 0.5 0.6 1.5
五、设随机变量 X 的概率密度为 x , 1 0 x cos f x 2 2 , 其它 0 对X独立地重复观察4次， Y表示观察值大于 2 的次数，求 E (Y ) 。 3
1 1 1 当 1 x 1 时， F ( x) dx arcsin x , 2 1 1 x 2
x
1 2 0
F ( x) 1 。 当 x 1 时，
0, x 1 1 1 所以 F ( x) arcsin x , 1 x 1 2 1, x 1
第二章
习题课
单选：1、C；2、C；3、D；4、A；5、B 填空：1、
2
4 0 . 2 ； 2、 5
； 3、 1 3e 2 ；
16
4、 1 ； 1 ； 1 ；5、 1
2
判断：1、×；2、×；3、 √ ；4、×；5、√
四、设随机变量 X 的概率密度函数为：
A f ( x) 1 x 2 0 x 1
( X 1 , X 2 ,, X 10 为样本， ) 八、设总体 X ~ N (, 2 ) ， （1）写出的( X 1 , X 2 ,, X 10 )联合概率密度； （2）写出的 X 概率密度。 解： 10 10
f ( x1 , x 2 , , x10 ) f ( xi ) [ f ( x1 )]
五、设连续型随机变量X的分布函数为 0, ， x a
x F ( x) A B arcsin , a x a (a 0) a x a. 1,
求：(1)A和B； (2)概率密度 f ( x ). 解：由连续型随机变量的分布函数 F ( x)的连续性得 a lim F ( x) ( A B arcsin ) A B lim F ( x) 0 x a a 2 x a a lim F ( x) A B arcsin A B 1 xa a 2
七、设随机变量 X 与 Y 独立，且均服从正态 1 分布 N (0, ) ，求 E( X Y ) 、 E (min( X , Y )) 及
2 E (max( X , Y ))
解：因为 X Y ~ N (0,1) ，所以
E( X Y )
又
1 max X , Y ( X Y X Y ) 2 1 min X , Y ( X Y X Y ) 2
Y1 X X X
2 2 2 4 2 2n
2 S 2 P(S12 2S 2 0) P( 12 2) 1 0.990 0.01 S2
;
2 2 2 X2 X4 X2 n
2 X 12 X 32 X 2 2 n 1 ~ ( n) 2
x 1 1 （2）求P( X ) 2
试求：（1）系数 A ；
（3）X的分布函数 F ( x)
解：（1）
1
1
A dx 2 A 1所以 2 2 1 x
1 A
1 1 1 2 P ( X ) 2 dx 2 2 3 1 x F ( x) 0 ， （3）当 x 1 时，
2(0.05 n ) 1 0.95
0.05 n 1.96
(0.05 n ) 0.975 (1.96)
n 1536.64 所以 n至少取 1537。
( X1 , X 2 ,, X 6 )是简单随机样本, 四．设 X ~ N (0,1) ，
Y ( X1 X 2 X 3 )2 ( X 4 X 5 X 6 )2 试决定常数 c ,