学习探究诊断:二次函数

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第二十六章二次函数测试 1 二次函数 y = ax 2 及其图象学习要求1.熟练掌握二次函数的有关概念.2.熟练掌握二次函数 y =ax 2 的性质和图象.课堂学习检测一、填空题1.形如 ____________ 的函数叫做二次函数,其中______是目变量, a , b , c 是______且______ ≠0.2.函数 y = x 2 的图象叫做 ______,对称轴是 ______,顶点是 ______.3.抛物线 y = ax 2 的顶点是 ______ ,对称轴是 ______ .当 a > 0 时,抛物线的开口向______ ;当 a < 0 时,抛物线的开口向 ______.4.当 a > 0 时,在抛物线 y = ax 2的对称轴的左侧, y 随 x 的增大而 ______ ,而在对称轴的右侧, y 随 x 的增大而 ______;函数 y 当 x =______时的值最 ______. 5.当 a < 0 时,在抛物线 y = ax 2的对称轴的左侧, y 随 x 的增大而 ______ ,而在对称轴的右侧, y 随 x 的增大而 ______;函数 y 当 x =______时的值最 ______.6.写出下列二次函数的 a , b , c .(1) y3 x x 2a = ______,b = ______,c = ______. (2)y = x 2a = ______,b = ______,c = ______. (3) y1 x 25x 10a = ______,b = ______,c = ______.2(4) y6 1 x2a = ______,b = ______,c = ______.37.抛物线 y = ax 2,| a |越大则抛物线的开口就______,| a |越小则抛物线的开口就______.8.二次函数 y = ax 2 的图象大致如下,请将图中抛物线字母的序号填入括号内.(1)y = 2x 2 如图 ( ); (2) y1 x 2如图 ( );2(3)y =- x 2 如图 ( );(4) y1 x 2如图 ( );3(5) y1x 2 如图 ();9(6) y 1 x2如图 ().99.已知函数y 3 x 2 , 不画图象,回答下列各题.2(1)开口方向 ______;(2)对称轴 ______;(3)顶点坐标 ______;(4)当 x≥ 0 时, y 随 x 的增大而 ______;(5)当 x______时, y= 0;(6)当 x______时,函数y 的最 ______值是 ______ .10.画出 y=- 2x2的图象,并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值.综合、运用、诊断一、填空题11.在下列函数中① y=- 2x2;② y=- 2x+1;③ y= x;④ y= x2,回答:(1)______ 的图象是直线, ______的图象是抛物线.(2)函数 ______y 随着 x 的增大而增大.函数 ______y 随着 x 的增大而减小.(3)函数 ______的图象关于 y 轴对称.函数 ______的图象关于原点对称.(4)函数 ______有最大值为 ______.函数 ______有最小值为 ______.12.已知函数 y=ax2+bx+ c(a, b, c 是常数 ).(1)若它是二次函数,则系数应满足条件______.(2)若它是一次函数,则系数应满足条件______.(3)若它是正比例函数,则系数应满足条件______.13.已知函数 y= (m2- 3m) x m2 2 m 1的图象是抛物线,则函数的解析式为______,抛物线的顶点坐标为 ______,对称轴方程为 ______,开口 ______.14.已知函数 y=m x m22m 2+ (m-2)x.(1)若它是二次函数,则 m= ______,函数的解析式是______,其图象是一条______,位于第 ______ 象限.(2)若它是一次函数,则 m= ______,函数的解析式是______,其图象是一条______,位于第 ______象限.15.已知函数 y= m x m2m,则当 m= ______时它的图象是抛物线;当m= ______时,抛物线的开口向上;当m= ______时抛物线的开口向下.二、选择题16.下列函数中属于一次函数的是(),属于反比例函数的是 () ,属于二次函数的是()A . y= x(x+1)B . xy= 1C. y= 2x2-2(x+1)2 D .y3x2 117.在二次函数① y= 3x2;②y2x2 ; ③y4x2中,图象在同一水平线上的开口大小33顺序用题号表示应该为 ()A .①>②>③B .①>③>②C.②>③>① D .②>①>③18.对于抛物线 y= ax2,下列说法中正确的是()A . a 越大,抛物线开口越大B . a 越小,抛物线开口越大C.| a|越大,抛物线开口越大 D .| a|越小,抛物线开口越大19.下列说法中错误的是 ()A .在函数 y=- x2中,当 x= 0 时 y 有最大值 0B.在函数 y= 2x2中,当 x>0 时 y 随 x 的增大而增大C.抛物线 y= 2x2, y=- x2,y1x2中,抛物线 y= 2x2的开口最小,抛物线 y2=- x2的开口最大D.不论 a 是正数还是负数,抛物线y= ax2的顶点都是坐标原点三、解答题220.函数 y= (m- 3) x m3m2 为二次函数.(1)若其图象开口向上,求函数关系式;(2)若当 x> 0 时, y 随 x 的增大而减小,求函数的关系式,并画出函数的图象.拓展、探究、思考21.抛物线y= ax2与直线 y=2x- 3 交于点 A(1, b) .(1)求 a,b 的值;(2)求抛物线y= ax2与直线 y=- 2 的两个交点B, C 的坐标 (B 点在 C 点右侧 );(3)求△ OBC 的面积.22.已知抛物线y= ax2经过点 A(2, 1).(1)求这个函数的解析式;(2)写出抛物线上点 A 关于 y 轴的对称点 B 的坐标;(3)求△ OAB 的面积;(4)抛物线上是否存在点C,使△ ABC 的面积等于△ OAB 面积的一半,若存在,求出 C点的坐标;若不存在,请说明理由.测试 2二次函数 y = a(x - h)2+k 及其图象学习要求掌握并灵活应用二次函数y = ax 2+ k , y =a(x -h)2,y = a(x - h)2+ k 的性质及图象.课堂学习检测一、填空题1.已知 a ≠ 0,(1) 抛物线 y = ax 2 的顶点坐标为 ______,对称轴为 ______. (2) 抛物线 y = ax 2+ c 的顶点坐标为 ______ ,对称轴为 ______.(3) 抛物线 y = a(x - m) 2 的顶点坐标为 ______,对称轴为 ______. 2.若函数y (m 1) x 2m 2 m 1 是二次函数,则 m = ______.23.抛物线 y = 2x 2 的顶点,坐标为 ______,对称轴是 ______.当 x______时, y 随 x 增大而减小;当 x______时,y 随 x 增大而增大; 当 x = ______时,y 有最 ______值是 ______. 4.抛物线 y =- 2x 2 的开口方向是 ______,它的形状与 y = 2x 2 的形状 ______,它的顶点坐标是 ______,对称轴是 ______. 5.抛物线 y = 2x 2+ 3 的顶点坐标为 ______,对称轴为 ______.当 x______时, y 随 x 的增大而减小;当x = ______时, y 有最 ______值是 ______,它可以由抛物线y = 2x 2向______ 平移 ______个单位得到.6.抛物线 y = 3(x - 2)2 的开口方向是 ______,顶点坐标为 ______,对称轴是 ______.当x______时, y 随 x 的增大而增大;当x =______ 时, y 有最 ______值是 ______,它可以由抛物线 y = 3x 2 向 ______平移 ______ 个单位得到.二、选择题7.要得到抛物线 y1 ( x 4)2 ,可将抛物线 y 1 x 2 ()33A .向上平移 4 个单位B .向下平移 4 个单位C .向右平移 4 个单位D .向左平移 4 个单位8.下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( )A . y = 2x 2 与 y = 3x2B . y 1 x 2 2 与 y 2 x 2122C . y = 2x 2 与 y = x 2+ 2D . y =x 2 与 y = x 2- 29.顶点为 (- 5, 0),且开口方向、形状与函数y1 x 2的图象相同的抛物线是 ()3A . y1( x 5)2 B . y1 x2 533C . y1(x 5)2D . y1( x 5)233三、解答题10.在同一坐标系中画出函数y 11 x23, y 21 x 23和 y 31 x 2的图象, 并说明 y 1,222y 2 的图象与函数 y1 x2 的图象的关系.211.在同一坐标系中,画出函数 y 1= 2x 2, y 2= 2(x -2)2 与 y 3= 2(x + 2)2 的图象,并说明y 2,y 3 的图象与 y 1=2x 2 的图象的关系.综合、运用、诊断一、填空题12.二次函数 y = a( x - h)2+ k(a ≠ 0) 的顶点坐标是 ______ ,对称轴是 ______ ,当 x =______ 时, y 有最值 ______ ;当 a > 0 时,若 x______ 时, y 随 x 增大而减小.13.填表.解析式 开口方向顶点坐标对称轴y = (x - 2)2- 3y =- (x + 3)2+ 2y1(x 5)252y1( x 5 ) 2132y = 3(x -2) 2y =- 3x 2+ 214.抛物线 y1 ( x 3)21 有最 ______点,其坐标是 ______.当 x = ______时, y 的2最______ 值是 ______;当 x______时, y 随 x 增大而增大.15.将抛物线 y1x 2 向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位,所得的抛物线的解析3式为 ______.二、选择题16.一抛物线和抛物线 y =- 2x 2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(- 1,3),则该抛物线的解析式为 ( )A . y =- 2(x - 1)2+ 3B . y =- 2(x + 1)2+3C . y =- (2x + 1) 2+3D . y =- (2x - 1)2+ 317.要得到 y =- 2(x +2)2-3 的图象,需将抛物线 y =- 2x 2 作如下平移 ()A .向右平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位B .向右平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位C .向左平移 2 个单位,再向上平移3 个单位 D .向左平移 2 个单位,再向下平移3 个单位三、解答题18.将下列函数配成y = a(x - h)2+ k 的形式,并求顶点坐标、对称轴及最值.(1)y = x 2+ 6x +10(2) y =- 2x 2- 5x + 7(3)y = 3x 2+ 2x(4) y =- 3x 2+ 6x - 2(5)y = 100- 5x 2(6) y = (x - 2)(2x + 1)拓展、探究、思考19.把二次函数 y = a(x - h)2+ k 的图象先向左平移 2 个单位,再向上平移4 个单位,得到二次函数 y1(x 1) 21 的图象.2(1) 试确定 a , h , k 的值;(2) 指出二次函数 y = a(x - h)2+ k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.测试 3二次函数 y =ax 2+bx +c 及其图象学习要求掌握并灵活应用二次函数y = ax 2+ bx + c 的性质及其图象.课堂学习检测一、填空题1.把二次函数 y =ax 2+ bx + c(a ≠ 0)配方成 y = a(x - h) 2+ k 形式为 ______,顶点坐标是______,对称轴是直线 ______.当 x = ______时,y 最值= ______;当 a < 0 时,x______时, y 随 x 增大而减小; x______时, y 随 x 增大而增大.2.抛物线y= 2x2- 3x- 5 的顶点坐标为______.当x= ______时, y 有最 ______值是______,与 x 轴的交点是 ______,与 y 轴的交点是 ______,当 x______时, y 随 x增大而减小,当x______时, y 随 x 增大而增大.3.抛物线y= 3- 2x- x2的顶点坐标是 ______,它与 x 轴的交点坐标是______,与 y 轴的交点坐标是 ______.4.把二次函数y=x2- 4x+ 5 配方成 y= a(x- h)2+ k 的形式,得 ______,这个函数的图象有最 ______点,这个点的坐标为______.5.已知二次函数 y= x2+4x- 3,当 x= ______时,函数 y 有最值 ______,当 x______时,函数 y 随 x 的增大而增大,当x= ______时, y= 0.6.抛物线 y= ax2+ bx+ c 与 y=3- 2x2的形状完全相同,只是位置不同,则 a=______.7.抛物线 y= 2x2先向 ______平移 ______个单位就得到抛物线y= 2(x- 3)2,再向 ______平移 ______个单位就得到抛物线 y= 2(x- 3)2+ 4.二、选择题8.下列函数中① y= 3x+ 1;② y=4x2422-3x;③y2x; ④y= 5- 2x ,是二次函数的x有()A .②B .②③④C.②③ D .②④9.抛物线 y=- 3x2-4的开口方向和顶点坐标分别是()A .向下, (0, 4)B .向下, (0,- 4)C.向上, (0, 4) D .向上, (0,- 4) 10.抛物线y 1 x2x 的顶点坐标是()2C.(1 , 1)A. (1,1)B.( 1,1) D .(1, 0) 22211.二次函数 y= ax2+ x+1 的图象必过点 ()A . (0, a)B . (- 1,- a)C. (- 1, a) D . (0,- a)三、解答题12.已知二次函数y= 2x2+ 4x- 6.(1)将其化成y= a(x- h)2+ k 的形式;(2)写出开口方向,对称轴方程,顶点坐标;(3)求图象与两坐标轴的交点坐标;(4)画出函数图象;(5) 说明其图象与抛物线y= x2的关系;(6)当 x 取何值时, y 随 x 增大而减小;(7)当 x 取何值时, y> 0, y=0, y< 0;(8)当 x 取何值时,函数 y 有最值 ?其最值是多少 ?(9)当 y 取何值时,- 4< x<0;(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积.综合、运用、诊断一、填空题13.已知抛物线 y= ax2+ bx+ c(a≠0) .(1)若抛物线的顶点是原点,则____________ ;(2)若抛物线经过原点,则 ____________;(3)若抛物线的顶点在y 轴上,则 ____________;(4)若抛物线的顶点在x 轴上,则 ____________.14.抛物线 y= ax2+ bx 必过 ______点.15.若二次函数 y=mx2- 3x+ 2m- m2的图象经过原点,则 m=______ ,这个函数的解析式是 ______.16.若抛物线 y= x2- 4x+ c 的顶点在 x 轴上,则 c 的值是 ______.17.若二次函数 y=ax2+ 4x+ a 的最大值是3,则 a=______ .18.函数 y= x2- 4x+ 3 的图象的顶点及它和x 轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为 ______ 平方单位.19.抛物线 y= ax2+ bx(a> 0, b> 0)的图象经过第 ______象限.二、选择题20.函数 y= x2+mx-2(m< 0)的图象是 ()21.抛物线y= ax2+ bx+ c(a≠0) 的图象如下图所示,那么()A. a< 0, b> 0, c> 0B.a< 0, b< 0, c> 0C.a< 0, b> 0, c< 0D. a< 0, b< 0, c< 022.已知二次函数y= ax2+ bx+ c 的图象如右图所示,则()A . a> 0, c> 0, b2- 4ac< 0B.a>0,c<0,b2-4ac>0C.a<0,c>0,b2-4ac<0D. a< 0, c< 0, b2- 4ac> 023.已知二次函数y= ax2+ bx+ c 的图象如下图所示,则()A . b> 0,c> 0,=0B. b< 0,c>0,=0C. b< 0,c<0,=0D. b> 0,c> 0,>024.二次函数y= mx2+ 2mx- (3- m) 的图象如下图所示,那么m 的取值范围是()A .m>0B . m> 3C.m<0 D . 0<m<325.在同一坐标系内,函数y= kx2和 y= kx-2(k≠ 0)的图象大致如图 ()26.函数y1ax2b, y2ab(ab< 0) 的图象在下列四个示意图中,可能正确的是x()三、解答题27.已知抛物线y= x2- 3kx+ 2k+ 4.(1)k 为何值时,抛物线关于y 轴对称;(2)k 为何值时,抛物线经过原点.28.画出 y 1 x2x 3 的图象,并求:22(1)顶点坐标与对称轴方程;(2)x 取何值时, y 随 x 增大而减小 ?x 取何值时, y 随 x 增大而增大 ?(3)当 x 为何值时,函数有最大值或最小值,其值是多少?(4)x 取何值时, y>0, y< 0,y= 0?(5)当 y 取何值时,- 2≤ x≤2?拓展、探究、思考29.已知函数y1= ax2+bx+ c(a≠ 0)和 y2= mx+ n 的图象交于 (-2,- 5)点和 (1, 4)点,并且 y1= ax2+ bx+ c 的图象与 y 轴交于点 (0,3).(1)求函数 y1和 y2的解析式,并画出函数示意图;(2)x 为何值时,①y1>y2;② y1= y2;③ y1< y2.30.如图是二次函数 y=ax2+ bx+ c 的图象的一部分;图象过点A(- 3,0),对称轴为 x =- 1,给出四个结论:① b2> 4ac;②2a+ b= 0;③ a- b+c= 0;④ 5a< b.其中正确的是 ________________ .(填序号 )测试 4二次函数y=ax2+bx+c解析式的确定学习要求能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式.一、填空题1.二次函数解析式通常有三种形式:①一般式________________ ;②顶点式 ________ __________;③双根式 __________________________( b2- 4ac≥ 0).2.若二次函数y= x2-2x+ a2- 1 的图象经过点(1, 0),则 a 的值为 ______.3.已知抛物线的对称轴为直线x= 2,与 x 轴的一个交点为( 3 , 0), 则它与x轴的另2一个交点为 ______ .二、解答题4.二次函数y=ax2+bx+ c(a≠ 0)的图象如图所示,求:(1)对称轴方程 ____________ ;(2)函数解析式 ____________ ;(3)当 x______时, y 随 x 增大而减小;(4)由图象回答:当 y> 0 时, x 的取值范围 ______;当 y=0 时, x=______ ;当 y<0 时, x 的取值范围 ______.5.抛物线y= ax2+ bx+ c 过 (0, 4), (1,3) ,(- 1, 4)三点,求抛物线的解析式.6.抛物线 y= ax2+ bx+ c 过 (- 3,0), (1,0)两点,与 y 轴的交点为 (0,4),求抛物线的解析式.7.抛物线y= ax2+ bx+ c 的顶点为 (2, 4),且过 (1, 2)点,求抛物线的解析式.8.二次函数y= x2+ bx+ c 的图象过点 A(- 2, 5),且当 x=2 时, y=- 3,求这个二次函数的解析式,并判断点 B(0 ,3)是否在这个函数的图象上.9.抛物线 y=ax2+ bx+ c 经过 (0, 0),(12, 0)两点,其顶点的纵坐标是3,求这个抛物线的解析式.10.抛物线过 (- 1,- 1)点,它的对称轴是直线x+ 2=0,且在 x 轴上截得线段的长度为 2 2 , 求抛物线的解析式.综合、运用、诊断11.抛物线y= ax2+ bx+ c 的顶点坐标为(2, 4),且过原点,求抛物线的解析式.12.把抛物线 y= ( x- 1)2沿 y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3, 0),求平移后的抛物线的解析式.13.二次函数y= ax2+ bx+ c 的最大值等于-3a,且它的图象经过(- 1,- 2), (1,6)两点,求二次函数的解析式.14.已知函数2+bx+ c,它的顶点坐标为(- 3,- 2), y与 y2= 2x+ m 交于点 (1,y1= ax16),求 y , y的函数解析式.12拓展、探究、思考15.如图,抛物线y= ax2+bx+ c 与 x 轴的交点为A,B(B 在 A 左侧 ),与 y 轴的交点为C, OA= OC.下列关系式中,正确的是()A . ac+1= bB . ab+ 1= cC. bc+ 1= a D .a1 c b16.如图,正方形ABCD 的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上,且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直,若小正方形边长为 x,且 0< x≤ 10,阴影部分的面积为 y,则能反映 y 与 x 之间的函数关系的大致图象是()17.如图,在直角坐标系中,Rt△ AOB 的顶点坐标分别为 A(0,2) ,O(0, 0), B(4, 0),把△ AOB 绕 O 点按逆时针方向旋转 90°得到△ COD .(1)求 C, D 两点的坐标;(2)求经过 C,D , B 三点的抛物线的解析式;(3)设 (2) 中抛物线的顶点为P,AB 的中点为 M(2,1),试判断△ PMB 是钝角三角形,直角三角形还是锐角三角形,并说明理由.测试 5用函数观点看一元二次方程学习要求1.理解二次函数与一元二次方程的关系,掌握抛物线与 x 轴的交点与一元二次方程两根之间的联系,灵活运用相关概念解题.2.掌握并运用二次函数y= a(x- x1)(x- x2)解题.课堂学习检测一、填空题1.二次函数 y=ax2+bx+ c(a≠ 0)与 x 轴有交点,则 b2- 4ac______0;若一元二次方程 ax2+ bx+c= 0 两根为 x1, x2,则二次函数可表示为y= _____________________.2.若二次函数 y= x2-3x+ m 的图象与 x 轴只有一个交点,则 m= ______.3.若二次函数 y=mx2- (2m+ 2)x- 1+m 的图象与 x 轴有两个交点,则m 的取值范围是______ .4.若二次函数y= ax2+ bx+ c 的图象经过P(1, 0)点,则 a+ b+ c=______ .5.若抛物线y= ax2+ bx+ c 的系数 a, b, c 满足 a- b+ c= 0,则这条抛物线必经过点______.6.关于 x 的方程 x2- x- n=0 没有实数根,则抛物线y= x2-x- n 的顶点在第 ______象限.二、选择题7.已知抛物线 y= ax2+ bx+ c 的图象如图所示,则一元二次方程ax2+ bx+ c= 0()A .没有实根B .只有一个实根C.有两个实根,且一根为正,一根为负D .有两个实根,且一根小于1,一根大于 28.一次函数 y=2x+ 1 与二次函数y= x2- 4x+ 3的图象交点 ()A .只有一个B .恰好有两个C.可以有一个,也可以有两个 D .无交点9.函数 y= ax2+ bx+c 的图象如图所示,那么关于x 的方程 ax2+ bx+c- 3= 0 的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个异号实数根D.无实数根10.二次函数y=ax2+bx+ c 对于 x 的任何值都恒为负值的条件是()A . a> 0,>0 C. a< 0,>0B . a>0,<0 D . a<0,<0三、解答题11.已知抛物线y= ax2+ bx+ c 与 x 轴的两个交点的横坐标是方程x2+ x- 2= 0 的两个根,且抛物线过点(2, 8),求二次函数的解析式.12.对称轴平行于 y 轴的抛物线过A(2,8),B(0,- 4),且在 x 轴上截得的线段长为3,求此函数的解析式.综合、运用、诊断一、填空题13.已知直线 y=5x+ k 与抛物线 y= x2+ 3x+ 5 交点的横坐标为1,则 k= ______,交点坐标为 ______.14.当 m= ______时,函数 y=2x2+3mx+ 2m 的最小值为89二、选择题15.直线 y= 4x+1与抛物线 y= x2+ 2x+ k 有唯一交点,则 k 是 ()A . 0B. 1C. 2D.-116.二次函数 y=ax2+bx+ c,若 ac< 0,则其图象与 x 轴 ()A .有两个交点B .有一个交点C.没有交点 D .可能有一个交点17.y= x2+ kx+ 1 与 y= x2- x- k 的图象相交,若有一个交点在x 轴上,则 k 值为 ()A . 0B.- 1C. 2 D .14 18.已知二次函数y= ax2+ bx+ c 的图象如图所示,那么关于x 的方程 ax2+bx+ c+ 2=0 的根的情况是 ()A.无实根B.有两个相等实数根D.有两个同号不等实数根19.已知二次函数的图象与y 轴交点坐标为 (0,a),与 x 轴交点坐标为 (b,0)和 (- b,0),若 a> 0,则函数解析式为 ()A . y aB . ya2a b2 x a b2xC. y a2a D . ya2a2x2xb b20.若 m, n(m< n)是关于 x 的方程1- (x- a)(x- b)= 0 的两个根,且a< b,则 a, b,m, n 的大小关系是 ()A . m< a< b< n C. a<m< b< n B. a<m< n< b D . m< a<n< b三、解答题21.二次函数y= ax2+ bx+ c(a≠ 0, a,b, c 是常数 )中,自变量 x 与函数 y 的对应值如下表:x- 1111353 202222y- 217271- 2 411444(1)判断二次函数图象的开口方向,并写出它的顶点坐标;(2)一元二次方程ax2+bx+ c= 0(a≠ 0,a,b,c 是常数 )的两个根 x1,x2的取值范围是下列选项中的哪一个______.1x13x221,2 x25①20,② 1 x12 221x10,2x251 x113x2 2③22④,2222. m 为何值时,抛物线y= (m- 1)x2+ 2mx+ m-1 与 x 轴没有交点 ?23.当 m 取何值时,抛物线y= x2与直线 y= x+ m(1)有公共点; (2)没有公共点.拓展、探究、思考24.已知抛物线y=- x2- (m-4)x+ 3(m-1)与 x 轴交于 A, B 两点,与y 轴交于 C 点.(1)求 m 的取值范围.(2)若 m<0,直线 y= kx- 1 经过点 A 并与 y 轴交于点 D ,且AD BD 5 2,求抛物线的解析式.测试 6实际问题与二次函数学习要求灵活地应用二次函数的概念解决实际问题.课堂学习检测1.矩形窗户的周长是6m,写出窗户的面积y(m2)与窗户的宽x(m)之间的函数关系式,判断此函数是不是二次函数,如果是,请求出自变量 x 的取值范围,并画出函数的图象.2.如图,有一座抛物线型拱桥,已知桥下在正常水位AB 时,水面宽 8m,水位上升3m,就达到警戒水位 CD,这时水面宽 4m,若洪水到来时,水位以每小时 0.2m 的速度上升,求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶.3.如图,足球场上守门员在O 处开出一高球,球从离地面1m 的 A 处飞出 (A 在 y 轴上 ),运动员乙在距O 点 6m 的 B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ,距地面约4m高.球第一次落地后又弹起.据试验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;(2)运动员乙要抢到第二个落点 D ,他应再向前跑多少米?(取4 3 7 , 2 6 5 )综合、运用、诊断4.如图,有长为24m 的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃,且花圃的长可借用一段墙体 ( 墙体的最大可用长度 a= 10m).(1) 如果所围成的花圃的面积为45m2,试求宽AB 的长;(2)按题目的设计要求,能围成面积比 45m2更大的花圃吗 ?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.5.某商场以每件与每件的销售价30 元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量x(元 ) 满足一次函数m= 162-3x.m(件)(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元 )与每件的销售价x(元 )间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?6.某工厂现有80 台机器,每台机器平均每天生产384 件产品.现准备增加一批同类机器以提高生产总量.在试生产中发现,由于其他生产条件没有改变,因此,每增加一台机器,每台机器平均每天将减少生产 4 件产品.(1) 如果增加x 台机器,每天的生产总量为y 件,请写出y 与 x 之间的函数关系式;(2) 增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?7.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,下面的二次函数图象 (部分 )刻画了该公司年初以来累积利润 s(万元 )与销售时间 t(月 )之间的关系 (即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系 ).根据图象提供的信息,解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元 )与时间 t(月 )之间的函数关系式;(2) 求截止到几月末公司累积利润可达到30 万元;3)求第 8 个月公司所获利润为多少万元?拓展、探究、思考8.已知:在平面直角坐标系xOy 中,二次函数 y=ax2+ bx- 3(a> 0)的图象与 x 轴交于A,B 两点,点 A 在点 B 的左侧,与 y 轴交于点 C,且 OC= OB= 3OA.(1)求这个二次函数的解析式;(2) 设点 D 是点 C 关于此抛物线对称轴的对称点,直线AD,BC交于点P,试判断直线 AD , BC 是否垂直,并证明你的结论;(3)在 (2)的条件下,若点 M,N 分别是射线 PC,PD 上的点,问:是否存在这样的点M ,N,使得以点P, M, N 为顶点的三角形与△ACP 全等 ?若存在请求出点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.测试 7综合测试一、填空题1.若函数y= x2- mx+ m- 2 的图象经过 (3,6)点,则 m= ______.2.函数 y= 2x- x2的图象开口向 ______,对称轴方程是______.3.抛物线y= x2- 4x-5 的顶点坐标是______.4.函数 y= 2x2- 8x+ 1,当 x=______ 时, y 的最 ______值等于 ______.5.抛物线 y=- x2+ 3x- 2 在 y轴上的截距是______,与 x 轴的交点坐标是____________ .6.把 y= 2x2- 6x+ 4 配方成 y=a(x-h)2+ k 的形式是 _______________ .7.已知二次函数y= ax2+ bx+ c 的图象如图所示.(1)对称轴方程为 ____________;(2)函数解析式为 ____________;(3)当 x______时, y 随 x 的增大而减小;(4)当y>0 时,x 的取值范围是______.8.已知二次函数y=x2-(m-4)x+2m- 3.(1)当 m= ______时,图象顶点在 x 轴上;(2)当 m= ______时,图象顶点在 y 轴上;(3)当 m= ______时,图象过原点.二、选择题9.将抛物线 y=x2+ 1 绕原点 O 旋转 180°,则旋转后抛物线的解析式为 ()A . y=- x2B. y=- x2+1C. y= x2-1 D .y=- x2- 110.抛物线 y= x2-mx+ m- 2 与 x 轴交点的情况是 ()A .无交点B .一个交点C.两个交点 D .无法确定11.函数 y= x2+2x- 3(- 2≤x≤ 2)的最大值和最小值分别为 ()A.4 和- 3B.5 和- 3C.5 和- 4D.-1 和 4 12.已知函数 y= a(x+ 2)和 y= a(x2+ 1),那么它们在同一坐标系内图象的示意图是()13. y= ax2+ bx+ c(a≠ 0) 的图象如下图所示,那么下面六个代数式:abc, b2- 4ac, a -b+ c, a+b+ c, 2a-b, 9a-4b 中,值小于 0 的有 ()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个14.若 b> 0 时,二次函数 y= ax2+ bx+ a2- 1 的图象如下列四图之一所示,根据图象分析,则 a 的值等于 ()15C.15A .2B.- 12 D .1三、解答题15.已知函数y1= ax2+bx+ c,其中 a< 0, b> 0, c> 0,问:(1)抛物线的开口方向?(2)抛物线与y 轴的交点在x 轴上方还是下方?(3)抛物线的对称轴在 y 轴的左侧还是右侧 ?(4)抛物线与 x 轴是否有交点 ?如果有,写出交点坐标;(5)画出示意图.16.已知二次函数y= ax2+bx+ c 的图象顶点坐标为 (- 2,3) ,且过点 (1,0),求此二次函数的解析式. (试用两种不同方法 )17.已知二次函数y= ax2+ bx+c,当 x=- 1 时有最小值- 4,且图象在 x 轴上截得线段长为 4,求函数解析式.25 , 求二次函数解析式.18.二次函数y=x2-mx+m-2 的图象的顶点到x 轴的距离为1619.如图,从O 点射出炮弹落地点为 D ,弹道轨迹是抛物线,若击中目标 C 点,在A 测 C的仰角∠BAC= 45°,在 B 测 C的仰角∠ABC=30°, AB 相距(13)km , ,OA= 2km , AD= 2km .(1)求抛物线解析式;(2)求抛物线对称轴和炮弹运行时最高点距地面的高度.20.二次函数y1= ax2- 2bx+ c 和 y=( a+1)· x2- 2(b+ 2)x+ c+3 在同一坐标系中的图象如图所示,若 OB=OA, BC= DC ,且点 B, C 的横坐标分别为 1,3,求这两个函数的解析式.答案与提示第二十六章二次函数测试 11. y= ax2+ bx+ c(a≠0) ,x,常数, a.2.抛物线, y 轴, (0,0).3. (0, 0), y 轴,上,下.4.减小,增大, x=0,小.5.增大,减小, x= 0,大.6. (1)1,3, 0.(2),0,0,(3)1,5,10,(4)1, 0, 6. 237.越小,越大.8. (1)D , (2)C , (3)A , (4)B , (5)F,(6)E .9. (1) 向下, (2)y 轴. (3)(0 , 0). (4)减小. (5)= 0(6)= 0,大, 0.10.略.11. (1)②、③;①、④.(2)③;②. (3) ①、④;③. (4) ①, 0;④, 0.12. (1)a≠ 0, (2)a= 0 且 b≠ 0, (3)a= c=0 且 b≠0.13. y= 4x2; (0, 0);x=0;向上.14. (1)2; y= 2x2;抛物线;一、二,(2)0; y=- 2x;直线;二、四.15.- 2 或 1; 1;- 2.16. C、B 、 A .17. C.18. D.19. C.20. (1)m= 4, y= x2; (2)m=- 1, y=- 4x2.21. (1)a=- 1, b=- 1; (2) B( 2 ,2). C(2,2);(3)S△OBC=2 2.22. (1) y1x2;(2) B(-2,1);(3)S△OAB=2;4(4)设 C 点的坐标为(m,1m2),则14| 1 m21|12.则得m 6 或 m2 . 4242∴ C 点的坐标为(3), (6,3), (11). 6,22, ),(2, 222测试 21. (1)(0 ,0) , y 轴;(2)(0, c), y 轴;(3)( m,0),直线 x=m.2. m=- 13. (0, 0), y 轴, x≤ 0, x> 0, 0,小, 0.4.向下,相同, (0, 0),y 轴.5. (0, 3), y 轴, x≤ 0, 0,小, 3,上, 3.6.向上, (2, 0) ,直线 x=2, x≥ 2,2,小, 0,右, 2.7. C. 8. D. 9.C.10.图略, y1,y2的图象是 y1x2的图象分别向上和向下平移 3 个单位.211.图略, y , y 的图象是把 y 的图象分别向右和向左平移2 个单位.23112. (h , k),直线 x = h ; h ,k , x ≤ h . 13.开口方向 顶点坐标对称轴y =(x - 2)2- 3 向上 (2,- 3) 直线 x = 2 y =- (x + 3)2 +2向下 (- 3,2) 直线 x =- 3 y1( x5) 2 5向下(- 5,- 5) 直线 x =- 52(5,1)直线 x =5y1( x 5 )21向上3222y =3(x - 2)2 向上 (2, 0) 直线 x = 2 y =- 3x 2+ 2向下(0, 2)直线 x = 014.高. (- 3,- 1),- 3,大,- 1,≤- 3. 15. y1 (x 3)2 2 1 x 22x 5.3316. B . 17. D .18. (1)y = (x + 3)2+1,顶点 ( - 3, 1),直线 x =- 3,最小值为 1.(2) y2( x5 )281 ,顶点 ( 5 , 81 ), 直线 x 5 , 最大值为 8148 4 8 4 8 (3) y 1) 21 ,顶点 ( 1 1 ), 1 , 最小值为 13(x3 , 3 直线 x 3333(4)y =- 3(x - 1)2+ 1,顶点 (1, 1),直线 x = 1,最大值为 1. (5)y =- 5x 2+ 100,顶点 (0, 100),直线 x =0,最大值为 100.(6) y 2( x 3 ) 225,顶点 (3 , 25), 直线 x3, 最小值为 2548 4 8 48 19. (1) a1, h 1, k5;2(2)开口向上,直线x = 1,顶点坐标 (1,- 5).测试 31. ya( xb ) 2 4ac b 2 , ( b , 4ac b 2 ).2a 4a 2a 4axb , x b , 4ac b 2b b2a4a , x, x2a2a2a2. (3,49), 3,小,49 ,( 5,0)、( 1,0), (0, 5), x 3, x 3 48 48 24 43. (- 1, 4), (- 3,0)、(1, 0), (0, 3). 4. y = (x - 2)2+ 1,低, (2, 1).5.- 2,- 7, x ≥- 2, x2 7.6.± 2. 7.右, 3,上, 4.8. D . 9. B. 10.B . 11.C .12. (1)y = 2(x + 1)2- 8;(2)开口向上,直线 x =- 1,顶点 (- 1,- 8);(3)与 x 轴交点 (-3, 0)(1, 0),与 y 轴交点 (0,- 6);(4)图略;(5)将抛物线 y = x 2 向左平移 1 个单位, 向下平移 8 个单位; 得到 y = 2x 2+ 4x - 6 的图象; (6)x ≤- 1;(7)当 x <- 3 或 x > 1 时, y > 0;当 x =- 3 或 x = 1 时, y =0;当- 3< x < 1 时, y < 0; (8)x =- 1 时, y 最小值 =- 8; (9)- 8≤ y < 10; (10)S △ =12.13. (1)b = c = 0; (2)c = 0; (3)b =0; (4)b 2- 4ac = 0.14.原. 15. 2, y = 2x 2- 3x . 16. 4. 17.- 1.18. 1. 19.一、二、三.20. C. 21. B . 22.D . 23. B . 24. C . 25. B . 26. C . 27. (1)k = 0; (2)k =- 2. 28. ① y1(x 1)22,顶点 (1, 2),直线 x = 1;2② x ≥ 1, x < 1; ③ x = 1, y 最大 = 2;④- 1< x <3 时, y >0; x <- 1 或 x > 3 时 y < 0; x =- 1 或 x =3 时, y = 0;⑤5 y 2.229. (1)y 1=- x 2+2x + 3, y 2= 3x + 1.(2)①当- 2<x < 1 时, y 1>y 2 .②当 x =- 2 或 x = 1 时, y 1= y 2. ③当 x <- 2 或 x > 1 时 y 1< y 2.30.①,④.测试 41.① y = ax 2+ bx + c(a ≠ 0);② y = a(x - h)2+ k(a ≠ 0);③ y = a(x - x 1)(x - x 2)(a ≠0). 2.2.3. (11,0).24. (1)x =- 1;(2)y = x 2+ 2x -3;(3)x ≤- 1;(4)x <- 3 或 x > 1,x =- 3 或 x = 1,- 3< x < 1. 5. y1 x2 1x 4. 6. y4 x 28x 4.2 2337. y =- 2(x - 2)2+ 4 即 y =- 2x 2+ 8x - 4. 8. y = x 2- 2x - 3,点 B(0,3) 不在图象上.9. y1 x2 x.10. y = x 2+ 4x + 2.1211. y =- x 2+ 4x .12. y = x 2- 2x - 3. 13. y =- 2x 2+ 4x + 4.14. y 11 x2 3x 5, y 2 2x 4.2215. A . 16. B .17.解: (1)由旋转的性质可知:OC = OA = 2, OD = OB =4.∴ C 、 D 两点的坐标分别是 (2)设所求抛物线的解析式为16 a 4b c 0,a1 ,2 根据题意,得 4a 2b c 0,解得 b1,c 4.c 4.∴所求抛物线的解析式为 y1 x2 x 4.2(3)如图,△ PMB 是钝角三角形, 图中,PH 是抛物线 y1 x2 x 4 1( x 1) 2 922 2的对称轴.M 、 P 点的坐标分别为M ( 2,1), P(1, 9).2∴点 M 在 PH 的右侧,∵∠ PHB = 90°,∠ 1> 90°,∠ PMB >∠ 1, ∴∠ PMB >90°,则△ PMB 为钝角三角形.测试 51.≥ 0, y = a( x -x 1)( x - x 2). 2.943. m1且 m ≠ 0. 4. 0. 5. (- 1, 0). 6.一.37. D . 8. B . 9.C .10. D .11. y =2x 2+ 2x - 4.12. y 18 x 266 x 4 或 y = 2x 2 + 2x - 4.5 5 13. 4, (1, 9). 14.8915. C . 16. A . 17. C . 18. D . 19. B . 20.A . 21. (1) 开口向下,顶点 (1, 2), (2) ③. 22. m1223.由 x 2- x -m = 0(1)当 = 1+ 4m ≥ 0,即 m1时两线有公共点.4(2)当 = 1+4m < 0,即 m1 时两线无公共点.424. (1) = (m + 2)2> 0,∴ m ≠- 2;(2)m =- 1,∴ y =- x 2+ 5x - 6.测试 61. y =- x 2+ 3x(0<x < 3)图略. 2. 5 小时.C(- 2, 0),D (0,4).y =ax 2+bx + c .3. (1) y1 x2 x 1. (2)17 米.124. (1) 设花圃的宽 AB =x 米,知 BC 应为 (24- 3x)米,故面积 y 与 x 的关系式为y= x(24- 3x)=- 3x 2+ 24x .当 y =45 时,- 3x 2+ 24x = 45,解出 x 1= 3,x 2= 5.当 x 2= 3 时, BC = 24-3× 3> 10,不合题意,舍去;当 x 2= 5 时, BC = 24-3× 5= 9,符合题意. 故 AB 长为 5米.(2)能围成面积比 45m 2 更大的矩形花圃.由 (1)知, y =- 3x 2+ 24x =- 3(x - 4)2+ 48.0 24 3x 10 ,14 x 8.3由抛物线时, y 随 y =- 3(x -4)2 + 48 知,在对称轴 x 的增大而减小.x < 4 的左侧, y 随 x 的增大而增大,当x > 4∴当 x14 时,y =- 3( x - 4)2+ 48 有最大值, 且最大值为 48 3(144)246 2(m 2),333此时, AB14m, BC = 10m ,即围成长为 10 米,宽为14米的矩形 ABCD 花圃时,其33最大面积为 46 2m 2.35. (1)y =- 3x 2+ 252x -4860;(2)当 x = 42 时,最大利润为 432 元.6.解: (1) 由题意得y = (80+ x)(384- 4x)=- 4x 2 +64x + 30720.(2) ∵ y =- 4x 2+ 64x + 30720=- 4(x - 8)2+ 30976,∴当 x = 8 时, y 有最大值,为 30976.即增加 8 台机器,可以使每天的生产总量最大,最大生产总量为30976 件.7.解: (1) 设 s 与 t 的函数关系式为 x = at 2+ bt + c ,图象上三点坐标分别为(1,- 1. 5), (2,- 2) ,(5, 2. 5).分别代入,得a b c 1.5, 4a 2b c 2,25a5b c2.5.a1, 2解得 b2, s 1 t 2 2t.c 0.2(2) 把 s = 30 代入 s1 t2 2t ,2解得 t 1=10, t 2=- 6(舍去 ).即截止到 10 月末,公司累积利润可达到30 万元.(3) 把 t = 7 代入 s1 t2 2t,2得 7 月末的累积利润为 s 7= 10. 5(万元 ).把 t = 8 代入 s1 t2 2t,2得 8 月末的累积利润为 s 8= 16(万元 ).∴ s 8-s 7= 16- 10.5= 5.5(万元 ).即第 8 个月公司获利润 5.5 万元.8. (1)y =x 2 -2x - 3; (2) AD ⊥ BC ;(3)存在, M (1,- 2), N (4,- 3).或 M(0,- 3), N (3,- 4).1122测试 71. m1 3. (2,- 9).2.向下, x = 1.24. 2,小,- 7.5.- 2,(1 ,0)、 (2, 0). 6. y 2( x 3 ) 2 1227. (1) x3; (2)y =x2- 3x - 4; (3) x3; (4)x <- 1 或 x > 4.228. (1)m = 14 或 2; (2)m = 4;3(3) m29. D . 10. C . 11. C . 12. C . 13. C . 14. D .15. (1) 开口向下;(2) 上方; (3)右侧;(4)有, (bb 2 4ac,0), (b b 24ac,0). (5)略.2a2a16. y1 x2 4 x 53 3317. y = x 2+ 2x - 3.18. y x21 x3或 y x 27x32 2 2219.作 CE ⊥ x 轴于 E ,设 CE = x 千米.∵∠ CAB = 45°,∴ CE = AE = x ,在 Rt △ BCE 中,CBA30 ,EB3CE3x,AB = AE +EB ,即 13 x3x,解得 x = 1,∴ OE = OA +AE = 2+ 1= 3.由 C(3, 1), D (4,0),O(0, 0),设 y = a( x - 4)(x - 0),把 (3, 1)代入上式:1= a(3- 4)(3-0) ,解得 a1 , y 1(x 4)( x 0)(0 x 4), 即 y1 (x 2)23334,抛物线对称轴:x =2,炮弹运行最高点时距地面高度是4千米.3320. y 11 x2 1, y 2 2 x 2 4x 1033 33第二十六章二次函数全章测试一、填空题1.抛物线y=- x2+ 15 有最 ______点,其坐标是______.2.若抛物线y=x2- 2x- 2 的顶点为A,与 y 轴的交点为B,则过 A,B 两点的直线的解析式为 ____________.3.若抛物线y=ax2+bx+ c(a≠ 0)的图象与抛物线y= x2- 4x+ 3 的图象关于y 轴对称,则函数 y= ax2+ bx+ c 的解析式为 ______.4.若抛物线 y= x2+ bx+ c 与 y 轴交于点 A,与 x 轴正半轴交于B,C 两点,且 BC= 2,S△ABC= 3,则 b=______.5.二次函数 y=x2- 6x+ c 的图象的顶点与原点的距离为5,则 c= ______.6.二次函数 y1x2 2 x 2的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°,再向左平移 3 个2单位,向上平移 5 个单位后图象对应的二次函数解析式为____________ .二、选择题7.把二次函数 y1x23x 5的图象向右平移 2 个单位后,再向上平移 3 个单位,所22得的函数图象顶点是()A.(-5,1) B . (1,- 5)C. (- 1, 1) D . (- 1,3)8.若点 (2, 5), (4, 5)在抛物线 y= ax2+ bx+ c 上,则它的对称轴是 ()bB. x= 1C. x= 2 D .x= 3A . xa9.已知函数y 1 x2x 4,当函数值 y 随 x 的增大而减小时, x 的取值范围是 () 2A . x< 1B. x> 1C. x>- 2 D .- 2< x< 410.二次函数 y=a(x+k)2+ k,当 k 取不同的实数值时,图象顶点所在的直线是()A . y= x B. x 轴C. y=- x D .y 轴11.图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是()A . h= mB . k> nC. k= n D . h>0, k> 012.已知二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)的图象如图所示,有下列结论:①abc> 0;② a+b+ c= 2;③a1;④ b< 1.其中正确的结论是 () 2A .①②B .②③C.②④ D .③④13.下列命题中,正确的是()①若 a+ b+ c= 0,则 b2-4ac< 0;②若 b= 2a+ 3c,则一元二次方程 ax2+ bx+ c= 0 有两个不相等的实数根;③若 b2- 4ac> 0,则二次函数y= ax2+bx+ c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或 3;④若 b> a+ c,则一元二次方程ax2+ bx+ c=0,有两个不相等的实数根.A .②④B.①③C.②③ D .③④三、解答题14.把二次函数 y 1 x23x 4 配方成 y= a(x- k)2+h 的形式,并求出它的图象的顶2点坐标、对称轴方程,y< 0 时 x 的取值范围,并画出图象.15.已知二次函数 y= ax2+ bx+c(a≠0)的图象经过一次函数y 3x 3 的图象与 x 轴、2y 轴的交点,并也经过 (1 ,1)点.求这个二次函数解析式,并求x 为何值时,有最大(最小 )值,这个值是什么 ?16.已知抛物线 y=- x2+ bx+ c 与 x 轴的两个交点分别为A(m,0),B(n,0),且m n 4 ,m1n3(1)求此抛物线的解析式;(2)设此抛物线与 y 轴的交点为 C,过 C 作一条平行 x 轴的直线交抛物线于另一点P,求△ ACP 的面积.。

二次函数的特点和应用——研究性学习

二次函数的特点和应用——研究性学习

二次函数的特点和应用——研究性学习二次函数是高中数学的一个重要内容,其在数学和实际生活中具有广泛的应用。

本文将通过研究性学习的方式,探讨二次函数的特点和应用。

一、二次函数的定义及特点1. 定义:二次函数是指形如y = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b、c是不全为零的常数,a称为二次函数的系数,b、c为一次项和常数项。

2.特点:(1)顶点:二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点,其坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

(2)开口方向:二次函数的开口方向可由a的正负确定。

当a>0时,二次函数开口向上;当a<0时,二次函数开口向下。

(3)对称轴:二次函数的对称轴是通过顶点且垂直于x轴的直线,其方程为x=-b/2a。

(4)零点:二次函数的零点就是方程y = ax^2 + bx + c = 0的解,有时也称为根。

二次函数可能有0、1或者2个零点。

(5)平移变换:对二次函数进行平移变换可以通过改变函数的系数实现。

平移可以使二次函数的顶点、对称轴位置发生变化。

二、二次函数的应用1.物理学中的应用(1)自由落体问题:当物体自由下落时,它的高度与时间之间的关系可以用二次函数表示。

(2)抛物线轨迹:抛体运动的轨迹是一个抛物线,可以用二次函数描述。

2.经济学中的应用(1)成本函数和利润函数:企业的成本和利润函数往往是二次函数,通过对函数进行分析可以最优化企业的经营策略。

(2)供需曲线:市场的供需关系可以通过二次函数来表示,通过解方程可以求得市场的均衡价格和数量。

3.工程学中的应用(1)弹簧的伸长:弹簧的伸长与所加力的关系可以用二次函数表示。

(2)飞行器轨迹:飞行器的轨迹通常是一个抛物线,可以用二次函数描述。

4.生物学中的应用(1)物种数量的变化:一些物种数量的变化可以用二次函数来描述,通过分析可以预测物种的生态变化趋势。

(2)生物发育曲线:生物的发育过程往往可以用二次函数来表示,如种子发芽过程、昆虫蛹化过程等。

高中数学二次函数及其图像性质的分析与解答

高中数学二次函数及其图像性质的分析与解答

高中数学二次函数及其图像性质的分析与解答一、二次函数的定义与性质二次函数是指具有形式为y=ax^2+bx+c的函数,其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像是一条抛物线,其开口方向由a的正负决定。

当a>0时,抛物线开口向上,当a<0时,抛物线开口向下。

二、二次函数的图像特点1. 零点:二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标。

求二次函数的零点可以通过解方程ax^2+bx+c=0来实现。

例如,对于函数y=x^2-3x+2,解方程x^2-3x+2=0,得到x=1和x=2,因此函数的零点为x=1和x=2。

2. 对称轴:二次函数的对称轴是函数图像的中心轴线,对称轴的方程为x=-b/2a。

例如,对于函数y=2x^2+4x-3,对称轴的方程为x=-4/(2*2)=-1,因此对称轴为x=-1。

3. 顶点:二次函数的顶点是函数图像的最高点(当抛物线开口向下时)或最低点(当抛物线开口向上时)。

顶点的横坐标为对称轴的横坐标,纵坐标可以通过将对称轴的横坐标代入函数得到。

例如,对于函数y=-x^2+2x+3,对称轴的横坐标为x=2/(-2)=-1,将x=-1代入函数得到y=-(-1)^2+2*(-1)+3=4,因此顶点为(-1, 4)。

三、二次函数图像的平移与伸缩1. 平移:二次函数的图像可以通过平移来改变其位置。

平移的方式有两种:水平平移和垂直平移。

水平平移是指将整个图像沿x轴平行移动,垂直平移是指将整个图像沿y轴平行移动。

平移的规律为:y=a(x-h)^2+k,其中(h, k)为平移的距离。

2. 伸缩:二次函数的图像可以通过伸缩来改变其形状。

伸缩的方式有两种:水平伸缩和垂直伸缩。

水平伸缩是指将整个图像沿x轴方向拉伸或压缩,垂直伸缩是指将整个图像沿y轴方向拉伸或压缩。

伸缩的规律为:y=a(bx-c)^2+d,其中a为垂直伸缩的比例因子,b为水平伸缩的比例因子,c为水平方向的平移距离,d为垂直方向的平移距离。

九年级数学上册《探索二次函数的性质》教案、教学设计

九年级数学上册《探索二次函数的性质》教案、教学设计
2.应用题训练:请同学们完成课本第XX页的练习题6-10题,运用二次函数的性质解决实际问题,如最值问题、曲线交点问题等,提高解决问题的能力。
3.拓展提高题:针对学有余力的同学,可以尝试完成课本第XX页的拓展题11-15题,深入研究二次函数的性质及其在实际问题中的应用。
4.数学写作:请同学们结合本节课所学,撰写一篇关于二次函数性质与应用的小论文,要求观点明确、论据充分,字数在500字左右。
4.培养学生的创新意识,鼓励学生勇于尝试、善于发现、敢于创新,为未来的发展奠定基础。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础,对函数的概念和一次函数的性质有了初步的了解。在此基础上,学习二次函数的性质,他们需要将已学的知识进行拓展和深化。然而,学生在面对二次函数图像的变换、最值问题的求解等方面可能存在困难。因此,在教学过程中,应关注以下几个方面:
(四)课堂练习
课堂练习环节,我会设计以下几类题目:
1.基础题目:求解给定二次函数的顶点、对称轴、开口方向等。
2.应用题目:利用二次函数的性质解决实际问题,如最大(小)值问题、曲线交点问题等。
3.拓展题目:研究二次函数图像的变换规律,以及在实际问题中的应用。
(五)总结归纳
在总结归纳环节,我会带领学生一起回顾本节课所学的内容,总结二次函数的定义、性质、图像变换规律以及最值问题的求解方法。同时,我会强调数形结合的数学思想在解决二次函数问题中的重要性。
3.对于拓展提高题,同学们可以自主选择题目进行研究和探讨,培养自己的创新意识和解决问题的能力。
4.数学写作要注重逻辑性和条理性,通过论文撰写,提高自己的数学表达和归纳总结能力。
5.小组讨论要积极参与,分享自己的学习心得和经验,互相学习,共同进步。

二次函数图像的性质与解析

二次函数图像的性质与解析

二次函数图像的性质与解析一、二次函数的定义与标准形式1.二次函数的定义:一般地,形如y=ax^2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。

2.二次函数的标准形式:y=a(x-h)2+k,其中顶点式y=a(x-h)2+k的图像为抛物线,a为抛物线的开口方向和大小,h、k为顶点坐标。

二、二次函数图像的性质1.开口方向:由a的符号决定,a>0时,开口向上;a<0时,开口向下。

2.对称性:二次函数图像关于y轴对称,即若点(x,y)在图像上,则点(-x,y)也在图像上。

3.顶点:二次函数图像的顶点为抛物线的最高点或最低点,顶点式y=a(x-h)^2+k中,(h,k)为顶点坐标。

4.轴:二次函数图像与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根,与y轴的交点为c/a。

5.增减性:当a>0时,二次函数图像在顶点左侧单调递减,在顶点右侧单调递增;当a<0时,二次函数图像在顶点左侧单调递增,在顶点右侧单调递减。

三、二次函数图像的解析1.求顶点:根据顶点式y=a(x-h)^2+k,直接得出顶点坐标为(h,k)。

2.求对称轴:对称轴为x=h。

3.求开口大小:开口大小由a的绝对值决定,绝对值越大,开口越大。

4.求与坐标轴的交点:与x轴的交点为方程ax^2+bx+c=0的根,与y轴的交点为c/a。

5.判断增减性:根据a的符号,判断二次函数图像在顶点两侧的单调性。

四、二次函数图像的应用1.实际问题:利用二次函数图像解决实际问题,如抛物线与坐标轴的交点问题、最值问题等。

2.几何问题:利用二次函数图像研究几何图形的性质,如求解三角形面积、距离等问题。

3.物理问题:利用二次函数图像研究物理现象,如抛物线运动、振动等。

五、二次函数图像的变换1.横向变换:对二次函数y=ax2+bx+c进行横向变换,如向左平移h个单位,得到y=a(x+h)2+k;向右平移h个单位,得到y=a(x-h)^2+k。

二次函数的解析式与图像性质

二次函数的解析式与图像性质

二次函数的解析式与图像性质二次函数是高中数学中的重要内容,它的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。

本文将探讨二次函数的解析式及其相关的图像性质,帮助读者更好地理解和运用二次函数。

1. 二次函数的解析式二次函数的一般形式为:f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为实数且a不等于零。

a决定了二次函数的开口方向,正值表示开口向上,负值表示开口向下。

b和c则分别表示二次函数在x轴和y轴上的截距。

解析式中的a、b、c的值可以通过二次函数的特点来确定。

首先,二次函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

其次,二次函数的对称轴为x = -b/2a。

最后,二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac可以用来判断二次函数的解的情况。

当Δ大于零时,二次函数有两个不相等的实根;当Δ等于零时,二次函数有两个相等的实根;当Δ小于零时,二次函数无实根。

2. 二次函数的图像性质二次函数的图像是一条平滑的曲线,其形状由a的正负值决定。

当a大于零时,曲线开口向上;当a小于零时,曲线开口向下。

二次函数的顶点是曲线的最低点或最高点,也是对称轴的交点。

顶点的横坐标为-x = -b/2a,纵坐标为f(-b/2a)。

通过顶点的坐标,我们可以得到曲线的最值。

当a 大于零时,曲线的最小值为f(-b/2a);当a小于零时,曲线的最大值为f(-b/2a)。

除了顶点和对称轴,二次函数的图像还与x轴和y轴有关。

当二次函数与x轴相交时,即为二次函数的实根。

根据判别式Δ的值,我们可以判断二次函数与x轴的交点情况。

当Δ大于零时,曲线与x轴有两个不相等的交点;当Δ等于零时,曲线与x轴有两个相等的交点;当Δ小于零时,曲线与x轴没有交点。

二次函数与y轴的交点为常数项c,即函数在x=0时的值。

这个交点可以用来确定曲线与y轴的位置。

3. 二次函数的应用二次函数的解析式和图像性质在数学中有着广泛的应用。

在物理学中,二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹。

二次函数例题分析与解读

二次函数例题分析与解读

二次函数例题分析与解读在数学学科中,二次函数是一种非常重要且常见的函数形式。

它的一般表达式为y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为实数且a≠0。

本文将从实际例题出发,分析并解读二次函数的特点、图像、性质以及应用。

例题一:设二次函数f(x)=2x^2+3x-2,求该函数的图像和顶点坐标。

解析:首先,我们可以通过绘制图像来直观理解函数的特性。

为此,我们可以利用平方完成的方法,将f(x)转化为标准形式。

根据平方完成的原则,我们将要计算的式子化简为f(x)=2(x^2+3/2x)-2。

接下来,我们需要利用平方完成的方法,将二次项的系数一半的平方加到式子中。

具体操作如下:f(x)=2[(x+3/4)^2-(3/4)^2]-2=2(x+3/4)^2-2(9/16)-2=2(x+3/4)^2-35/8现在我们可以看出函数f(x)的标准形式为f(x)=2(x+3/4)^2-35/8。

由标准形式可以得知,该二次函数的抛物线图像开口向上(因为a=2>0),顶点坐标为(-3/4, -35/8)。

例题二:已知函数f(x)的图像经过点(1,1)和(-2,8),求该函数的表达式。

解析:我们可以借助已知的两个点来构建方程,以求得函数f(x)的表达式。

由于已知点(1,1)在f(x)上,可知f(1) = 1。

同样地,已知点(-2,8)在f(x)上,可知f(-2) = 8。

将x分别代入方程,我们可以得到两个方程:f(1) = a(1)^2+b(1)+c = a+b+c = 1f(-2) = a(-2)^2+b(-2)+c = 4a-2b+c = 8进一步整理以上两个方程,我们可以得到一个由a、b、c构成的线性方程组:a+b+c = 14a-2b+c = 8通过解该线性方程组,我们可以得到相应的a、b、c的值,进而确定函数f(x)的表达式。

综上所述,本文通过两个实际例题分析和解读了二次函数的特点、图像、性质以及应用。

通过这些例题的解析,我们可以更好地理解和掌握二次函数的相关知识,进一步提升数学解题能力。

认识二次函数

认识二次函数

认识二次函数二次函数是高中数学中的一个重要概念,它在数学建模、物理学、经济学等领域都有广泛应用。

本文将从定义、图像特征、性质和应用等方面逐一进行介绍。

一、定义二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b、c为常数且a不等于0。

二次函数的自变量为x,因变量为y,其图像在平面直角坐标系中呈现一条开口向上或向下的曲线。

二、图像特征1. 平移二次函数的图像可以通过平移来改变其位置。

平移的方式有水平方向平移和垂直方向平移。

水平方向平移是改变x的值,垂直方向平移是改变y的值。

2. 对称轴二次函数的图像关于一条直线对称,这条直线称为对称轴。

对称轴的方程为x=-b/2a。

3. 顶点二次函数的图像的最高点(对于开口向下的函数)或最低点(对于开口向上的函数)称为顶点。

顶点的横坐标与对称轴的横坐标相同。

4. 开口方向二次函数的开口方向由二次系数a的正负确定。

当a大于0时,开口向上;当a小于0时,开口向下。

开口的大小也由a的绝对值确定。

三、性质1. 零点二次函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标。

可以通过求解一元二次方程来确定二次函数的零点。

2. 增减性二次函数的增减性取决于二次系数a的正负。

当a大于0时,二次函数是递增的;当a小于0时,二次函数是递减的。

3. 极值二次函数在顶点处取得极值。

对于开口向上的函数,极小值为顶点的纵坐标;对于开口向下的函数,极大值为顶点的纵坐标。

四、应用1. 物理学二次函数广泛应用于物理学中的运动学问题。

例如,自由落体运动的高度-时间关系可以用二次函数来表示。

2. 经济学在经济学中,二次函数可以用来描述成本、利润、供求关系等问题。

例如,成本函数可以用二次函数来模拟。

3. 生活中的应用二次函数在我们的日常生活中也有很多实际应用,比如抛物线的形状可以用二次函数来刻画。

结论通过本文的介绍,我相信大家对二次函数有了更深入的了解。

二次函数在数学和实际应用中都具有重要的地位,掌握二次函数的定义、图像特征、性质和应用将有助于我们解决实际问题。

《二次函数》知识点解读

《二次函数》知识点解读

《二次函数》知识点解读二次函数是数学中的一种重要函数类型,它在图形学、物理学、经济学等多个学科中广泛应用。

本文将从定义、性质、图像、最值、应用等几个方面对二次函数进行解读。

一、定义二次函数是一种形如y = ax^2 + bx + c的函数,其中a、b、c是常数,且a ≠ 0。

函数中的x的最高次数为2,因此称为"二次"函数。

a决定了函数的开口方向和形状,b决定了函数在x轴上的平移,c决定了函数图像在y轴上的平移。

二、性质1.对称性:二次函数的图像关于与顶点的纵轴对称。

2.单调性:当a>0时,二次函数向上开口,凹上凸下;当a<0时,二次函数向下开口,凹下凸上。

3. 零点:二次函数的零点是函数与x轴的交点,即满足ax^2 + bx+ c = 0的解。

4.最值:当a>0时,函数的最小值为顶点的纵坐标;当a<0时,函数的最大值为顶点的纵坐标。

三、图像二次函数的图像通常为开口向上或向下的抛物线。

根据函数的a值的正负关系,可以得到不同形状的抛物线。

当a>0时,抛物线开口向上,顶点在最低点;当a<0时,抛物线开口向下,顶点在最高点。

函数的b值影响了抛物线在x轴方向上的平移,c值影响了抛物线在y轴方向上的平移。

四、最值对于二次函数y = ax^2 + bx + c,根据函数的开口方向和抛物线的顶点位置,可以知道函数的极值。

当a > 0时,函数是最小值,即抛物线的顶点是函数的最低点;当a < 0时,函数是最大值,即抛物线的顶点是函数的最高点。

五、应用1.物理学中,二次函数可以用于描述自由落体运动、抛体运动等。

2.经济学中,二次函数可以用于描述成本、利润等与产量的关系。

3.图形学中,二次函数可以用于生成平滑的曲线和曲面。

六、解题技巧1.求二次函数的顶点坐标:二次函数的顶点坐标可以通过公式x=-b/2a和y=c-b^2/4a来求得。

2. 求二次函数的零点:二次函数的零点可以通过求解ax^2 + bx +c = 0的解来得到,可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法进行求解。

初中数学教案:解析二次函数的性质与图像

初中数学教案:解析二次函数的性质与图像

初中数学教案:解析二次函数的性质与图像解析二次函数的性质与图像一、二次函数的定义及基本性质1. 什么是二次函数二次函数是指函数的表达式可以写为f(x)=ax²+bx+c的形式,其中a、b和c是实数且a≠0。

a决定了二次函数开口的方向,正值表示开口向上,负值表示开口向下。

2. 二次函数的顶点和对称轴对于二次函数f(x)=ax²+bx+c,它的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。

3. 二次函数的零点零点是指使得f(x)=0成立的x值。

通过求根公式或配方法可求得零点。

4. 二次函数的判别式对于二次方程ax²+bx+c=0,它的判别式Δ=b²-4ac 可以用来判断其解的情况。

a) 当Δ>0时,方程有两个不相等实根;b) 当Δ=0时,方程有两个相等实根;c) 当Δ<0时,方程无实数解。

5. 二次函数图像及其性质总结a) 当a>0时,图像开口朝上,顶点为最小值点,对称轴为x=-b/2a;b) 当a<0时,图像开口朝下,顶点为最大值点,对称轴为x=-b/2a;c) 当c>0时,图像在y轴上方交x轴;d) 当c<0时,图像在y轴下方交x轴。

二、解析二次函数的图像绘制和应用1. 绘制二次函数图像的步骤a) 确定顶点坐标:通过-b/2a计算得出顶点横坐标;将该横坐标代入函数表达式求得纵坐标。

b) 确定对称轴:通过顶点横坐标得出对称轴方程。

c) 确定零点:利用求根公式或配方法求出零点的具体值。

d) 画出图像:以顶点为中心向两边平移一定单位长度,然后连接各个关键点得到曲线。

2. 解析二次函数的常见应用a) 求最值问题:通过分析函数开口方向以及判别式来确定极值情况。

b) 计算面积问题:可以利用二次函数与x,y轴所围成的区域面积来计算特定图形的面积。

c) 运动问题:可以利用二次函数的图像表示抛物线轨迹,分析抛物线对应的物体运动状态。

高中数学教案:探究二次函数的图像和性质

高中数学教案:探究二次函数的图像和性质

高中数学教案:探究二次函数的图像和性质探究二次函数的图像和性质一、引言二次函数是高中数学课程中较为重要的概念之一。

了解二次函数的图像和性质,能够帮助我们更好地理解和应用二次函数,进一步提升数学思维能力。

本教案将从图像、对称轴、顶点、开口方向、零点以及极值等方面来探究二次函数的图像和性质。

二、二次函数图像的特点1. 图像开口方向:二次函数可以分为开口向上和开口向下两种情况。

当二次项系数大于零时(即a>0),图像开口向上;当二次项系数小于零时(即a<0),图像开口向下。

2. 对称轴:对称轴是指二次函数图像上的一个直线,对于任意三个不共线的点A、B、C,如果A关于对称轴对称于C,则A、C关于对称轴互为对称点。

对称轴过抛物线顶点,与x轴垂直。

根据坐标变换可以得出,对称轴公式为 x = -b / (2*a)。

3. 顶点:顶点是指抛物线上最高或最低的点。

通过对称轴和顶点的关系可以得出,当x = -b / (2*a)时,对应的y值即为顶点的纵坐标。

三、二次函数的零点与极值1. 零点:二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点。

通过求解方程 f(x) = 0,我们可以找到二次函数的零点,其中f(x)表示二次函数方程。

2. 极值:二次函数图像在顶点处取得最大或最小值,这个最大(小)值就是二次函数的极值。

当a>0时,极小值;当a<0时,极大值。

四、教学设计为了更好地理解和掌握二次函数的图像和性质,我们可以采用以下教学设计:1. 导入新知识:结合实际生活中抛物线的例子或图片介绍什么是二次函数,并简要说明二次函数与一元二次方程的关系。

2. 图像探索:提供几个不同a、b、c取值情况下的二次函数方程,让学生根据系数进行分析:开口方向如何确定?是否存在零点?是否有极值?探究他们之间是否存在某种规律。

3. 图像绘制:让学生使用数学软件绘制二次函数的图像,并观察不同系数对图像的影响,如a、b、c的值如何变化会导致图像怎样的变化。

高中数学函数教案:探索二次函数的图像和性质

高中数学函数教案:探索二次函数的图像和性质

高中数学函数教案:探索二次函数的图像和性质探索二次函数的图像和性质一、引言二次函数是高中数学中非常重要的一个概念。

掌握二次函数的图像和性质,对于理解函数的变化规律以及应用到实际问题中都具有重要意义。

本教案将通过探索的方式引导学生深入了解二次函数的图像和性质。

二、二次函数的定义与特点1. 二次函数的定义:二次函数是形如y=ax²+bx+c(a ≠ 0)的函数,其中a、b和c 为实数,且a不等于零。

2. 二次函数图像关键特点:a) 抛物线方向:当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。

b) 顶点坐标:抛物线的顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。

c) 对称轴方程:对称轴方程为x=-b/2a。

d) 判别式D=b²-4ac用来判断方程ax²+bx+c=0的根(零点)情况:- 当D>0时,方程有两个不相等实根;- 当D=0时,方程有两个相等实根;- 当D<0时,方程无实根。

三、通过观察图像探索二次函数的性质1. 开口方向与a的关系我们可以通过观察图像来探索二次函数开口的方向与参数a的关系。

逐步变化a的值,观察抛物线的开口情况。

a) 当a>0时,抛物线开口向上;b) 当a<0时,抛物线开口向下。

2. 顶点坐标与对称轴方程之间的关系我们知道,顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a)),而对称轴方程为x=-b/2a。

通过比较可以发现:a) 对称轴上的横坐标就是顶点横坐标;b) 对称轴上任意一点的纵坐标与顶点纵坐标相等。

3. 判别式D与根(零点)之间的关系探究判别式D与方程ax²+bx+c=0的根(零点)之间的关系,可以有效区分无实根、有一个实根和有两个不相等实根这三种情况。

a) 当D>0时,方程有两个不相等实根;b) 当D=0时,方程有两个相等实根;c) 当D<0时,方程无实根。

四、示例分析与练习1. 实例分析:以二次函数y=x²-2x+1为例,探究其图像和性质。

二次函数与图像特征

二次函数与图像特征

二次函数与图像特征二次函数是一种常见的数学模型,它的一般形式可以表示为:f(x) = ax^2 + bx + c,其中a、b、c为常数,且a ≠ 0。

本文将介绍二次函数的基本特征以及与之相关的图像特征。

一、二次函数的基本特征1. 零点:二次函数的零点即为方程f(x) = ax^2 + bx + c = 0的解。

根据求根公式,二次函数的零点可以通过x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)来计算。

2. 对称轴:二次函数的对称轴是x轴的垂直平分线,其方程为x = -b/(2a)。

对称轴将二次函数分成两个对称的部分。

3. 领域:二次函数的定义域可以是整个实数集,即(-∞, +∞);值域则取决于a的正负性。

当a>0时,二次函数的值域为[y_min, +∞),其中y_min是二次函数的最小值。

当a<0时,二次函数的值域为(-∞, y_max],其中y_max是二次函数的最大值。

二、二次函数的图像特征1. 开口方向:二次函数的开口方向取决于二次系数a的正负性。

当a>0时,二次函数开口向上;当a<0时,二次函数开口向下。

2. 最值:二次函数的最值即是函数曲线的顶点。

对于开口向上的二次函数,顶点是函数的最小值;对于开口向下的二次函数,顶点是函数的最大值。

顶点的横坐标为对称轴的横坐标值,纵坐标可通过代入计算得到。

3. 对称性:二次函数的图像关于对称轴对称,即对称轴是图像的轴对称线。

这意味着,如果在对称轴上存在一个点(x, y),那么对称轴上也存在一个点(-x, y)。

4. 切线与切点:二次函数曲线上任意一点处的切线是该点处曲线的斜率所确定的直线。

切点是切线与曲线的交点。

5. 趋势线:除了二次函数的准确图像外,还可以通过趋势线来近似表示二次函数的变化趋势。

趋势线是通过二次函数的多个点来拟合得到的,可以用于预测二次函数在未知区域的函数值。

结论二次函数的图像具有独特的特征,包括开口方向、最值、对称性、切线与切点以及趋势线等。

二次函数图像与性质分析

二次函数图像与性质分析

二次函数图像与性质分析引言:二次函数是高中数学中的重要内容之一,它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。

本文将对二次函数的图像和性质进行详细的分析,帮助读者更好地理解和应用二次函数。

一、二次函数的定义和一般形式二次函数是指形式为y=ax^2+bx+c的函数,其中a、b、c为常数且a≠0。

二次函数的图像通常是一个抛物线,其开口方向取决于a的正负。

二、二次函数的图像特征1. 抛物线的开口方向当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。

这是因为二次函数的一次导数是一次函数,其斜率为常数,因此二次函数的图像是平滑的曲线。

2. 抛物线的顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点,其横坐标为-x轴对称的点,纵坐标为函数值最大或最小的点。

顶点的坐标可以通过求导数或使用顶点公式来确定。

3. 抛物线的对称轴二次函数的对称轴是通过顶点的垂直线,对称轴方程的形式为x=h,其中h为顶点的横坐标。

4. 抛物线的焦点和准线当抛物线开口向上时,焦点在对称轴上方,准线在对称轴下方;当抛物线开口向下时,焦点在对称轴下方,准线在对称轴上方。

焦点和准线的计算可以使用焦点公式和准线公式。

三、二次函数的性质分析1. 零点和因式分解二次函数的零点是函数值为0的横坐标,可以通过求解二次方程来求得。

而二次函数可以因式分解为两个一次因子的乘积形式,这在求解零点和分析函数性质时非常有用。

2. 增减性和极值二次函数的增减性取决于二次项系数a的正负。

当a>0时,函数在对称轴两侧递增;当a<0时,函数在对称轴两侧递减。

二次函数的极值即为顶点,当a>0时,函数有最小值;当a<0时,函数有最大值。

3. 零点和系数的关系二次函数的零点与系数之间存在着重要的关系。

对于形式为y=ax^2+bx+c的二次函数,其零点的和为-x轴对称点的横坐标的相反数,即x1+x2=-b/a;而零点的乘积等于常数项c的相反数,即x1*x2=c/a。

初高中衔接中对二次函数的探究

初高中衔接中对二次函数的探究

初高中衔接中对二次函数的探究二次函数是中学数学中重要的内容之一,它是代数学的一部分,对于初高中阶段的学生来说,掌握二次函数的相关知识对于进一步学习数学会有很大的帮助。

接下来,我将从定义、图像、性质和解题四个方面来探究二次函数。

首先,我们来定义二次函数。

二次函数是形如 f(x) = ax^2 + bx + c 的函数,其中 a、b、c 是实数且a ≠ 0。

其中,a 决定了二次函数的开口方向,正数 a 表示开口向上,负数 a 表示开口向下;b 决定了二次函数的位置,正数 b 表示向右移动,负数 b 表示向左移动;c 决定了二次函数的交点与 y 轴的位置,正数 c 表示向上移动,负数 c 表示向下移动。

这是二次函数的一般形式,也可以通过顶点坐标形式 y = a(x-h)^2 + k 来表示。

其次,我们来看二次函数的图像特征。

首先,图像的开口方向由a的正负决定,当a>0时,图像开口向上;当a<0时,图像开口向下。

其次,顶点坐标(h,k)即为二次函数的最低(或最高)点,由h和k的值决定了图像的位置。

最后,对称轴为直线x=h,图像沿对称轴对称。

接着,我们来讨论二次函数的性质。

首先,二次函数的定义域是实数集,因为任意实数都可以代入到二次函数中。

其次,由于二次函数的开口方向不同,因此有不同的值域。

当a>0时,值域是[k,+∞);当a<0时,值域是(-∞,k]。

不管开口方向如何,当a≠0时,二次函数都会通过点(h,k),即函数的顶点。

最后,二次函数的对称轴为直线x=h,这意味着对称轴两侧的点函数值相等。

最后,我们来探究如何解决二次函数的相关问题。

首先,可以通过函数表达式来求解二次函数的顶点坐标,使用公式h=-b/(2*a)和k=f(h)。

其次,可以通过分解因式来求解二次函数的零点,即使得f(x)=0的x值。

具体而言,可以将二次函数表示为f(x)=a(x-p)(x-q)的形式,其中p和q分别为零点。

高中三年级数学课堂教案:探究二次函数的性质和图像

高中三年级数学课堂教案:探究二次函数的性质和图像

高中三年级数学课堂教案:探究二次函数的性质和图像一、引言二次函数是高中数学中的重要内容之一,它不仅在数学理论中有着广泛的应用,同时也在实际生活中起到了重要作用。

在高中三年级数学课堂中,探究二次函数的性质和图像是学生们掌握二次函数知识的关键。

本教案将通过引导学生进行实践探究,深入理解二次函数的性质和图像,并培养学生分析问题、解决问题的能力。

二、知识目标1.了解二次函数的定义及基本表达式;2.掌握二次函数的常见性质:对称轴、顶点、开口方向、最值等;3.能够绘制二次函数的图像;4.能够通过观察二次函数的图像推测出函数的性质。

三、教学过程1. 导入通过生活例子引出二次函数的概念,如抛物线的形状、喷水池的水流形状等。

引导学生思考这些现象是否可以用数学函数进行表达,从而引出二次函数的概念。

2. 理论讲解介绍二次函数的定义和基本表达式,解释函数中各个部分的含义。

引导学生理解二次函数图像的关键特点:开口方向、对称轴、顶点、最值等性质。

3. 实践探究①利用智能手机上的函数绘图软件,让学生尝试绘制不同开口方向、不同对称轴的二次函数图像,观察图像的变化。

②让学生根据观察到的二次函数图像性质,总结出不同开口方向和对称轴的二次函数的性质及图像特点。

③给出几个具体的二次函数,让学生在纸上绘制出函数的图像,并分析函数的性质:对称轴、顶点、开口方向、最值等。

4. 小组合作将学生分成小组,每组由3-4名学生组成。

每个小组成员选择一个二次函数,并在纸上绘制出函数的图像。

之后,将小组成员的图像放在一起,比较不同图像的性质:对称轴、顶点、开口方向、最值等,并讨论其中的异同点。

5. 总结归纳引导学生通过观察、探究和讨论,总结出探究二次函数性质和图像的规律。

教师在黑板上进行总结,并请学生将总结的内容记录在笔记本上,方便之后的复习和巩固。

6. 拓展延伸引导学生思考二次函数在实际问题中的应用,如炮弹的轨迹、汽车的加速度等。

借助计算机软件或实际实验,让学生探索这些问题,将数学知识与实际应用相结合。

二次函数的解析式与性质剖析

二次函数的解析式与性质剖析

二次函数的解析式与性质剖析二次函数是高中数学中一种常见的函数类型,它的解析式可以写成一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

在本文中,我们将对二次函数的解析式进行详细的剖析,探讨它的性质和特点。

一、二次函数的解析式二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中,a、b、c为实数,且a ≠ 0。

这个解析式包含了三个系数,分别是二次项系数a、一次项系数b和常数项c。

它们决定了二次函数的图像和性质。

二、二次函数的性质1. 首先,我们来看二次函数的图像。

二次函数的图像是一条平滑的曲线,称为抛物线。

它的开口方向取决于二次项系数a的正负。

当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,抛物线开口向下。

对于a=0的情况,即为一次函数。

2. 接着,我们来讨论二次函数的对称轴。

对称轴是指抛物线的对称线,它垂直于x轴。

对称轴的方程可以通过以下公式求得:x = -b / 2a。

这个公式告诉我们,对于二次函数来说,对称轴始终过抛物线的顶点。

3. 抛物线的顶点是二次函数的一个重要性质。

它的坐标可以通过将二次项系数a、一次项系数b代入以下公式求得:(h, k),其中h = -b /2a,k = f(h)。

顶点的坐标(h, k)表示抛物线的最低点(或最高点)。

4. 接下来,我们研究二次函数的零点。

零点是指函数图像与x轴相交的点,也就是函数的解。

求二次函数的零点可以使用以下公式:x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。

这是一个二次方程求根公式,可以得到二次函数的实根。

5. 最后,我们讨论二次函数的增减性。

根据二次函数的开口方向,我们可以判断函数的增减性。

当a>0时,二次函数是开口向上的,它在对称轴两侧递增;当a<0时,二次函数是开口向下的,它在对称轴两侧递减。

综上所述,二次函数的解析式与性质对于我们理解和解决相关问题具有重要意义。

通过研究二次函数的解析式,我们可以确定图像的形状、对称轴的位置、顶点的坐标、零点的位置以及函数的增减性。

初中数学中的二次函数与图像研究

初中数学中的二次函数与图像研究
平移变换的应用:解决实际问题中关于二次函数的图像平移问题
图像的增减性
二次函数的图像开口向上,图像为增函数
二次函数的图像开口向下,图像为减函数
开口向上或向下取决于二次项系数的正负 增减性决定了函数图像的变化趋势,对于求解最大值和最小值问题非常重 要
04
二次函数的应用
解决实际问题
利用二次函数 解决实际问题, 如求最大利润、
一元二次方程在实际问题中的应用
实际问题:例如求解利润最 大化、成本最小化等问题
应用领域:广泛应用于经济 学、管理学、工程学等领域
求解一元二次方程:通过二 次函数图像找到解
实例分析:通过具体例子说 明一元二次方程在实际问题
中的应用
06
二次函数的学习方法与技巧
理解概念,掌握基本性质
二次函数的定义: 掌握二次函数的 一般形式和特殊 形式
初中数学中的二次函数与 图像研究
汇报人:
目录Байду номын сангаас
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 二 次 函 数 的 基 本 概 念
03 二 次 函 数 的 图 像 特 征
04 二 次 函 数 的 应 用
05
二次函数与一元二次方程的 关系
06 二 次 函 数 的 学 习 方 法 与 技 巧
01
添加章节标题
二次函数的图像: 理解二次函数的 图像特征,如开 口向上、向下, 对称轴等
二次函数的性质 :掌握二次函数 的基本性质,如 二次函数的增减 性、对称性等
二次函数的应用 :学会运用二次 函数解决实际问 题,如求最大值 、最小值等
掌握图像特征,理解图像变换规律
二次函数的图像特征:开口向上或向下,对称轴,顶点 图像变换规律:平移、伸缩、旋转 掌握图像特征的方法:画图、观察、归纳 理解图像变换规律的方法:画图、观察、归纳

数学教辅材料中二次函数的认识

数学教辅材料中二次函数的认识

数学教辅材料中二次函数的认识
二次函数是数学教学中的一个重要概念,它在解决实际问题和
建立数学模型方面有着广泛的应用。

本文将介绍二次函数的定义、
图像以及常见应用。

定义
二次函数是形如 y = ax^2 + bx + c 的函数,其中 a、b 和 c 都是
实数,且a ≠ 0。

其中,a 决定了二次函数的开口方向和开口大小,
b 决定了二次函数的对称轴位置,
c 决定了二次函数的纵坐标截距。

图像
二次函数的图像是一个抛物线。

当a > 0 时,抛物线开口向上;当 a < 0 时,抛物线开口向下。

对于二次函数 y = ax^2 + bx + c,其
对称轴的横坐标为 x = -b/2a,纵坐标截距为 c。

应用
二次函数广泛应用于解决实际问题和建立数学模型。

以下是二
次函数的常见应用:
1. 物体运动的模拟:二次函数可以用来描述物体的抛体运动,
例如抛体的轨迹和飞行高度随时间的变化。

2. 金融和经济学:二次函数可以用来描述市场需求和供给的关系,以及投资回报率的估计。

3. 工程问题:二次函数可以用于建模和优化物体的形状,例如
桥梁的拱形和的设计。

4. 自然科学:二次函数可以用来描述物质的衰减和变化,例如
放射性元素的衰变和生物种群的增长。

总结
二次函数在数学教学和实际应用中起着重要的作用,它的图像
特点和应用广泛且多样化。

了解二次函数的定义、图像以及常见应用,有助于学生更好地理解数学概念和应用数学知识解决实际问题。

二次函数初步

二次函数初步

二次函数初步二次函数是高中数学中的重要概念,它在数学和实际问题中有着广泛的应用。

本文将介绍二次函数的定义、性质和图像,并且通过一些例题来帮助读者更好地理解和掌握二次函数。

一、二次函数的定义二次函数是形如y=ax^2+bx+c(其中a、b、c为实数且a≠0)的函数,其中x和y分别表示自变量和因变量。

在二次函数中,常数项c表示二次函数的平移,系数a决定了二次函数的开口方向和开口程度。

二、二次函数的性质1. 零点:二次函数的零点是使得函数值等于0的自变量的值。

要找到二次函数的零点,可以使用求根公式或配方法。

2. 极值点:当二次函数的二次项系数a大于0时,二次函数开口向上,此时二次函数的最小值位于顶点;当二次函数的二次项系数a小于0时,二次函数开口向下,此时二次函数的最大值位于顶点。

3. 对称轴:二次函数的对称轴是通过顶点并垂直于x轴的一条线。

对称轴的方程可以通过求顶点的横坐标得到。

4. 定义域和值域:二次函数的定义域是使得函数有意义的自变量的集合,一般来说,定义域为全体实数。

值域是二次函数在定义域内的所有函数值所组成的集合。

三、二次函数的图像二次函数的图像可以通过绘制函数的图像来直观地理解。

我们可以根据函数的性质来画出准确的图像。

1. 当a>0时,二次函数开口向上。

此时函数的图像呈现一个开口向上的抛物线形状。

顶点位于抛物线的最低点。

2. 当a<0时,二次函数开口向下。

此时函数的图像呈现一个开口向下的抛物线形状。

顶点位于抛物线的最高点。

3. 当a=0时,二次函数退化为一次函数y=bx+c,即直线方程。

其图像是一条平行于x轴的直线。

四、例题解析1. 已知二次函数图像的顶点为(-2, 3),过点(1, 5),求二次函数的表达式。

解:设二次函数的表达式为y=ax^2+bx+c。

由已知条件可得:3=a(-2)^2+b(-2)+c5=a(1)^2+b(1)+c解上述方程组可得二次函数的表达式为y=2x^2-3x+4。

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第二十六章 二次函数测试1 二次函数y =ax 2及其图象学习要求1.熟练掌握二次函数的有关概念.2.熟练掌握二次函数y =ax 2的性质和图象.课堂学习检测一、填空题1.形如____________的函数叫做二次函数,其中______是目变量,a ,b ,c 是______且______≠0.2.函数y =x 2的图象叫做______,对称轴是______,顶点是______.3.抛物线y =ax 2的顶点是______,对称轴是______.当a >0时,抛物线的开口向______;当a <0时,抛物线的开口向______.4.当a >0时,在抛物线y =ax 2的对称轴的左侧,y 随x 的增大而______,而在对称轴的右侧,y 随x 的增大而______;函数y 当x =______时的值最______.5.当a <0时,在抛物线y =ax 2的对称轴的左侧,y 随x 的增大而______,而在对称轴的右侧,y 随x 的增大而______;函数y 当x =______时的值最______. 6.写出下列二次函数的a ,b ,c .(1)23x x y -= a =______,b =______,c =______. (2)y =πx 2a =______,b =______,c =______.(3)105212-+=x x ya =______,b =______,c =______. (4)2316x y --= a =______,b =______,c =______.7.抛物线y =ax 2,|a |越大则抛物线的开口就______,|a |越小则抛物线的开口就______.8.二次函数y =ax 2的图象大致如下,请将图中抛物线字母的序号填入括号内.(1)y =2x 2如图( );(2)221x y =如图( ); (3)y =-x 2如图( ); (4)231x y -=如图( );(5)291x y =如图( );(6)291x y -=如图( ).9.已知函数,232x y -=不画图象,回答下列各题.(1)开口方向______; (2)对称轴______; (3)顶点坐标______;(4)当x ≥0时,y 随x 的增大而______; (5)当x ______时,y =0;(6)当x ______时,函数y 的最______值是______.10.画出y =-2x 2的图象,并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值.综合、运用、诊断一、填空题11.在下列函数中①y =-2x 2;②y =-2x +1;③y =x ;④y =x 2,回答:(1)______的图象是直线,______的图象是抛物线. (2)函数______y 随着x 的增大而增大. 函数______y 随着x 的增大而减小. (3)函数______的图象关于y 轴对称. 函数______的图象关于原点对称. (4)函数______有最大值为______. 函数______有最小值为______.12.已知函数y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数).(1)若它是二次函数,则系数应满足条件______. (2)若它是一次函数,则系数应满足条件______. (3)若它是正比例函数,则系数应满足条件______.13.已知函数y =(m 2-3m )122--m mx 的图象是抛物线,则函数的解析式为______,抛物线的顶点坐标为______,对称轴方程为______,开口______. 14.已知函数y =m 222+-m m x+(m -2)x .(1)若它是二次函数,则m =______,函数的解析式是______,其图象是一条______,位于第______象限. (2)若它是一次函数,则m =______,函数的解析式是______,其图象是一条______,位于第______象限. 15.已知函数y =m mm x+2,则当m =______时它的图象是抛物线;当m =______时,抛物线的开口向上;当m =______时抛物线的开口向下.二、选择题16.下列函数中属于一次函数的是( ),属于反比例函数的是( ),属于二次函数的是( ) A .y =x (x +1) B .xy =1C .y =2x 2-2(x +1)2D .132+=x y17.在二次函数①y =3x 2;②2234;32x y x y ==③中,图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为( )A .①>②>③B .①>③>②C .②>③>①D .②>①>③ 18.对于抛物线y =ax 2,下列说法中正确的是( )A .a 越大,抛物线开口越大B .a 越小,抛物线开口越大C .|a |越大,抛物线开口越大D .|a |越小,抛物线开口越大 19.下列说法中错误的是( )A .在函数y =-x 2中,当x =0时y 有最大值0B .在函数y =2x 2中,当x >0时y 随x 的增大而增大C .抛物线y =2x 2,y =-x 2,221x y -=中,抛物线y =2x 2的开口最小,抛物线y=-x 2的开口最大D .不论a 是正数还是负数,抛物线y =ax 2的顶点都是坐标原点三、解答题20.函数y =(m -3)232--m mx 为二次函数.(1)若其图象开口向上,求函数关系式;(2)若当x >0时,y 随x 的增大而减小,求函数的关系式,并画出函数的图象.拓展、探究、思考21.抛物线y =ax 2与直线y =2x -3交于点A (1,b ).(1)求a ,b 的值;(2)求抛物线y =ax 2与直线y =-2的两个交点B ,C 的坐标(B 点在C 点右侧); (3)求△OBC 的面积.22.已知抛物线y =ax 2经过点A (2,1).(1)求这个函数的解析式;(2)写出抛物线上点A 关于y 轴的对称点B 的坐标; (3)求△OAB 的面积;(4)抛物线上是否存在点C ,使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半,若存在,求出C 点的坐标;若不存在,请说明理由.测试2 二次函数y =a (x -h )2+k 及其图象学习要求掌握并灵活应用二次函数y =ax 2+k ,y =a (x -h )2,y =a (x -h )2+k 的性质及图象.课堂学习检测一、填空题1.已知a ≠0,(1)抛物线y =ax 2的顶点坐标为______,对称轴为______. (2)抛物线y =ax 2+c 的顶点坐标为______,对称轴为______. (3)抛物线y =a (x -m )2的顶点坐标为______,对称轴为______.2.若函数122)21(++-=m m xm y 是二次函数,则m =______.3.抛物线y =2x 2的顶点,坐标为______,对称轴是______.当x ______时,y 随x 增大而减小;当x ______时,y 随x 增大而增大;当x =______时,y 有最______值是______. 4.抛物线y =-2x 2的开口方向是______,它的形状与y =2x 2的形状______,它的顶点坐标是______,对称轴是______.5.抛物线y =2x 2+3的顶点坐标为______,对称轴为______.当x ______时,y 随x 的增大而减小;当x =______时,y 有最______值是______,它可以由抛物线y =2x 2向______平移______个单位得到.6.抛物线y =3(x -2)2的开口方向是______,顶点坐标为______,对称轴是______.当x ______时,y 随x 的增大而增大;当x =______时,y 有最______值是______,它可以由抛物线y =3x 2向______平移______个单位得到.二、选择题7.要得到抛物线2)4(31-=x y ,可将抛物线231x y =( )A .向上平移4个单位B .向下平移4个单位C .向右平移4个单位D .向左平移4个单位8.下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( ) A .y =2x 2与y =3x 2 B .2212+=x y 与2122+=x yC .y =2x 2与y =x 2+2D .y =x 2与y =x 2-2 9.顶点为(-5,0),且开口方向、形状与函数231x y -=的图象相同的抛物线是( )A .2)5(31-=x yB .5312--=x yC .2)5(31+-=x yD .2)5(31+=x y三、解答题10.在同一坐标系中画出函数=+=221,321y x y 3212-x 和2321x y =的图象,并说明y 1,y 2的图象与函数221x y =的图象的关系.11.在同一坐标系中,画出函数y 1=2x 2,y 2=2(x -2)2与y 3=2(x +2)2的图象,并说明y 2,y 3的图象与y 1=2x 2的图象的关系.综合、运用、诊断一、填空题12.二次函数y =a (x -h )2+k (a ≠0)的顶点坐标是______,对称轴是______,当x =______时,y 有最值______;当a >0时,若x ______时,y 随x 增大而减小. 13解析式 开口方向顶点坐标对称轴y =(x -2)2-3 y =-(x +3)2+25)5(212-+-=x y1)25(312+-=x yy =3(x -2)2 y =-3x 2+214.抛物线1)3(212-+-=x y 有最______点,其坐标是______.当x =______时,y 的最______值是______;当x ______时,y 随x 增大而增大.15.将抛物线231x y =向右平移3个单位,再向上平移2个单位,所得的抛物线的解析式为______.二、选择题16.一抛物线和抛物线y =-2x 2的形状、开口方向完全相同,顶点坐标是(-1,3),则该抛物线的解析式为( ) A .y =-2(x -1)2+3 B .y =-2(x +1)2+3 C .y =-(2x +1)2+3 D .y =-(2x -1)2+317.要得到y =-2(x +2)2-3的图象,需将抛物线y =-2x 2作如下平移( )A .向右平移2个单位,再向上平移3个单位B .向右平移2个单位,再向下平移3个单位C .向左平移2个单位,再向上平移3个单位D .向左平移2个单位,再向下平移3个单位三、解答题18.将下列函数配成y =a (x -h )2+k 的形式,并求顶点坐标、对称轴及最值.(1)y =x 2+6x +10 (2)y =-2x 2-5x +7(3)y =3x 2+2x (4)y =-3x 2+6x -2(5)y =100-5x 2 (6)y =(x -2)(2x +1)拓展、探究、思考19.把二次函数y =a (x -h )2+k 的图象先向左平移2个单位,再向上平移4个单位,得到二次函数1)1(212-+=x y 的图象. (1)试确定a ,h ,k 的值;(2)指出二次函数y =a (x -h )2+k 的开口方向、对称轴和顶点坐标.测试3 二次函数y =ax 2+bx +c 及其图象学习要求掌握并灵活应用二次函数y =ax 2+bx +c 的性质及其图象.课堂学习检测一、填空题1.把二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)配方成y =a (x -h )2+k 形式为______,顶点坐标是______,对称轴是直线______.当x =______时,y 最值=______;当a <0时,x ______时,y 随x 增大而减小;x ______时,y 随x 增大而增大.2.抛物线y =2x 2-3x -5的顶点坐标为______.当x =______时,y 有最______值是______,与x 轴的交点是______,与y 轴的交点是______,当x ______时,y 随x 增大而减小,当x ______时,y 随x 增大而增大.3.抛物线y =3-2x -x 2的顶点坐标是______,它与x 轴的交点坐标是______,与y 轴的交点坐标是______.4.把二次函数y =x 2-4x +5配方成y =a (x -h )2+k 的形式,得______,这个函数的图象有最______点,这个点的坐标为______.5.已知二次函数y =x 2+4x -3,当x =______时,函数y 有最值______,当x ______时,函数y 随x 的增大而增大,当x =______时,y =0.6.抛物线y =ax 2+bx +c 与y =3-2x 2的形状完全相同,只是位置不同,则a =______. 7.抛物线y =2x 2先向______平移______个单位就得到抛物线y =2(x -3)2,再向______平移______个单位就得到抛物线y =2(x -3)2+4.二、选择题8.下列函数中①y =3x +1;②y =4x 2-3x ;;422x xy +=③④y =5-2x 2,是二次函数的有( ) A .② B .②③④ C .②③ D .②④9.抛物线y =-3x 2-4的开口方向和顶点坐标分别是( )A .向下,(0,4)B .向下,(0,-4)C .向上,(0,4)D .向上,(0,-4) 10.抛物线x x y --=221的顶点坐标是( ) A .)21,1(- B .)21,1(- C .)1,21(-D .(1,0)11.二次函数y =ax 2+x +1的图象必过点( )A .(0,a )B .(-1,-a )C .(-1,a )D .(0,-a )三、解答题12.已知二次函数y =2x 2+4x -6.(1)将其化成y =a (x -h )2+k 的形式;(2)写出开口方向,对称轴方程,顶点坐标; (3)求图象与两坐标轴的交点坐标; (4)画出函数图象;(5)说明其图象与抛物线y =x 2的关系; (6)当x 取何值时,y 随x 增大而减小; (7)当x 取何值时,y >0,y =0,y <0;(8)当x 取何值时,函数y 有最值?其最值是多少? (9)当y 取何值时,-4<x <0;(10)求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积.综合、运用、诊断一、填空题13.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0).(1)若抛物线的顶点是原点,则____________;(2)若抛物线经过原点,则____________;(3)若抛物线的顶点在y轴上,则____________;(4)若抛物线的顶点在x轴上,则____________.14.抛物线y=ax2+bx必过______点.15.若二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点,则m=______,这个函数的解析式是______.16.若抛物线y=x2-4x+c的顶点在x轴上,则c的值是______.17.若二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=______.18.函数y=x2-4x+3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为______平方单位.19.抛物线y=ax2+bx(a>0,b>0)的图象经过第______象限.二、选择题20.函数y=x2+mx-2(m<0)的图象是( )21.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图所示,那么( )A.a<0,b>0,c>0B.a<0,b<0,c>0C.a<0,b>0,c<0D.a<0,b<0,c<022.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如右图所示,则( )A.a>0,c>0,b2-4ac<0B.a>0,c<0,b2-4ac>0C.a<0,c>0,b2-4ac<0D.a<0,c<0,b2-4ac>023.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如下图所示,则( )A .b >0,c >0,∆=0B .b <0,c >0,∆=0C .b <0,c <0,∆=0D .b >0,c >0,∆>024.二次函数y =mx 2+2mx -(3-m )的图象如下图所示,那么m 的取值范围是( )A .m >0B .m >3C .m <0D .0<m <325.在同一坐标系内,函数y =kx 2和y =kx -2(k ≠0)的图象大致如图( )26.函数xaby b ax y =+=221,(ab <0)的图象在下列四个示意图中,可能正确的是( )三、解答题27.已知抛物线y =x 2-3kx +2k +4.(1)k 为何值时,抛物线关于y 轴对称; (2)k 为何值时,抛物线经过原点.28.画出23212++-=x x y 的图象,并求:(1)顶点坐标与对称轴方程;(2)x 取何值时,y 随x 增大而减小? x 取何值时,y 随x 增大而增大?(3)当x 为何值时,函数有最大值或最小值,其值是多少? (4)x 取何值时,y >0,y <0,y =0? (5)当y 取何值时,-2≤x ≤2?拓展、探究、思考29.已知函数y 1=ax 2+bx +c (a ≠0)和y 2=mx +n 的图象交于(-2,-5)点和(1,4)点,并且y 1=ax 2+bx +c 的图象与y 轴交于点(0,3).(1)求函数y 1和y 2的解析式,并画出函数示意图; (2)x 为何值时,①y 1>y 2;②y 1=y 2;③y 1<y 2.30.如图是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的一部分;图象过点A (-3,0),对称轴为x=-1,给出四个结论:①b 2>4ac ;②2a +b =0;③a -b +c =0;④5a <b .其中正确的是________________.(填序号)测试4 二次函数y =ax 2+bx +c 解析式的确定学习要求能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式. 一、填空题1.二次函数解析式通常有三种形式:①一般式________________;②顶点式________ __________;③双根式__________________________(b 2-4ac ≥0).2.若二次函数y =x 2-2x +a 2-1的图象经过点(1,0),则a 的值为______.3.已知抛物线的对称轴为直线x =2,与x 轴的一个交点为),0,23( 则它与x 轴的另一个交点为______.二、解答题4.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,求:(1)对称轴方程____________; (2)函数解析式____________;(3)当x ______时,y 随x 增大而减小; (4)由图象回答:当y >0时,x 的取值范围______; 当y =0时,x =______;当y <0时,x 的取值范围______.5.抛物线y =ax 2+bx +c 过(0,4),(1,3),(-1,4)三点,求抛物线的解析式.6.抛物线y =ax 2+bx +c 过(-3,0),(1,0)两点,与y 轴的交点为(0,4),求抛物线的解析式.7.抛物线y=ax2+bx+c的顶点为(2,4),且过(1,2)点,求抛物线的解析式.8.二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(-2,5),且当x=2时,y=-3,求这个二次函数的解析式,并判断点B(0,3)是否在这个函数的图象上.9.抛物线y=ax2+bx+c经过(0,0),(12,0)两点,其顶点的纵坐标是3,求这个抛物线的解析式.10.抛物线过(-1,-1)点,它的对称轴是直线x+2=0,且在x轴上截得线段的长度2求抛物线的解析式.为,2综合、运用、诊断11.抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为(2,4),且过原点,求抛物线的解析式.12.把抛物线y=(x-1)2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q(3,0),求平移后的抛物线的解析式.13.二次函数y=ax2+bx+c的最大值等于-3a,且它的图象经过(-1,-2),(1,6)两点,求二次函数的解析式.14.已知函数y1=ax2+bx+c,它的顶点坐标为(-3,-2),y1与y2=2x+m交于点(1,6),求y1,y2的函数解析式.拓展、探究、思考15.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点为A,B(B在A左侧),与y轴的交点为C,OA=OC.下列关系式中,正确的是( )A .ac +1=bB .ab +1=cC .bc +1=aD .c ba=+1 16.如图,正方形ABCD 的边长为10,四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形ABCD 的顶点上,且它们的各边与正方形ABCD 各边平行或垂直,若小正方形边长为x ,且0<x ≤10,阴影部分的面积为y ,则能反映y 与x 之间的函数关系的大致图象是( )17.如图,在直角坐标系中,Rt △AOB 的顶点坐标分别为A (0,2),O (0,0),B (4,0),把△AOB 绕O 点按逆时针方向旋转90°得到△COD .(1)求C ,D 两点的坐标;(2)求经过C ,D ,B 三点的抛物线的解析式; (3)设(2)中抛物线的顶点为P ,AB 的中点为M (2,1),试判断△PMB 是钝角三角形,直角三角形还是锐角三角形,并说明理由.测试5 用函数观点看一元二次方程学习要求1.理解二次函数与一元二次方程的关系,掌握抛物线与x 轴的交点与一元二次方程两根之间的联系,灵活运用相关概念解题.2.掌握并运用二次函数y =a (x -x 1)(x -x 2)解题.课堂学习检测一、填空题1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有交点,则b2-4ac______0;若一元二次方程ax2+bx+c=0两根为x1,x2,则二次函数可表示为y=_________ ____________.2.若二次函数y=x2-3x+m的图象与x轴只有一个交点,则m=______.3.若二次函数y=mx2-(2m+2)x-1+m的图象与x轴有两个交点,则m的取值范围是______.4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过P(1,0)点,则a+b+c=______.5.若抛物线y=ax2+bx+c的系数a,b,c满足a-b+c=0,则这条抛物线必经过点______.6.关于x的方程x2-x-n=0没有实数根,则抛物线y=x2-x-n的顶点在第______象限.二、选择题7.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则一元二次方程ax2+bx+c=0( )A.没有实根B.只有一个实根C.有两个实根,且一根为正,一根为负D.有两个实根,且一根小于1,一根大于28.一次函数y=2x+1与二次函数y=x2-4x+3的图象交点( )A.只有一个B.恰好有两个C.可以有一个,也可以有两个D.无交点9.函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,那么关于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是( )A.有两个不相等的实数根B.有两个异号实数根C.有两个相等的实数根D.无实数根10.二次函数y=ax2+bx+c对于x的任何值都恒为负值的条件是( ) A.a>0,∆>0 B.a>0,∆<0C.a<0,∆>0 D.a<0,∆<0三、解答题11.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标是方程x2+x-2=0的两个根,且抛物线过点(2,8),求二次函数的解析式.12.对称轴平行于y 轴的抛物线过A (2,8),B (0,-4),且在x 轴上截得的线段长为3,求此函数的解析式.综合、运用、诊断一、填空题13.已知直线y =5x +k 与抛物线y =x 2+3x +5交点的横坐标为1,则k =______,交点坐标为______.14.当m =______时,函数y =2x 2+3mx +2m 的最小值为⋅98二、选择题15.直线y =4x +1与抛物线y =x 2+2x +k 有唯一交点,则k 是( )A .0B .1C .2D .-1 16.二次函数y =ax 2+bx +c ,若ac <0,则其图象与x 轴( )A .有两个交点B .有一个交点C .没有交点D .可能有一个交点17.y =x 2+kx +1与y =x 2-x -k 的图象相交,若有一个交点在x 轴上,则k 值为( )A .0B .-1C .2D .41 18.已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图所示,那么关于x 的方程ax 2+bx +c +2=0的根的情况是( )A .无实根B .有两个相等实数根C .有两个异号实数根D .有两个同号不等实数根19.已知二次函数的图象与y 轴交点坐标为(0,a ),与x 轴交点坐标为(b ,0)和(-b ,0),若a >0,则函数解析式为( )A .a x bay +=2 B .a x b a y +-=22C .a x b a y --=22D .a x b a y -=2220.若m ,n (m <n )是关于x 的方程1-(x -a )(x -b )=0的两个根,且a <b ,则a ,b ,m ,n 的大小关系是( )A .m <a <b <nB .a <m <n <bC .a <m <b <nD .m <a <n <b三、解答题21.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0,a ,b ,c 是常数)中,自变量x 与函数y 的对应值如(1)(2)一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0,a ,b ,c 是常数)的两个根x 1,x 2的取值范围是下列选项中的哪一个______.①223,02121<<<<-x x ②252,21121<<-<<-x x③252,02121<<<<-x x④223,21121<<-<<-x x 22.m 为何值时,抛物线y =(m -1)x 2+2mx +m -1与x 轴没有交点?23.当m 取何值时,抛物线y =x 2与直线y =x +m(1)有公共点;(2)没有公共点.拓展、探究、思考24.已知抛物线y =-x 2-(m -4)x +3(m -1)与x 轴交于A ,B 两点,与y 轴交于C 点.(1)求m 的取值范围.(2)若m <0,直线y =kx -1经过点A 并与y 轴交于点D ,且25=⋅BD AD ,求抛物线的解析式.测试6 实际问题与二次函数学习要求灵活地应用二次函数的概念解决实际问题.课堂学习检测1.矩形窗户的周长是6m ,写出窗户的面积y (m 2)与窗户的宽x (m)之间的函数关系式,判断此函数是不是二次函数,如果是,请求出自变量x 的取值范围,并画出函数的图象.2.如图,有一座抛物线型拱桥,已知桥下在正常水位AB 时,水面宽8m ,水位上升3m , 就达到警戒水位CD ,这时水面宽4m ,若洪水到来时,水位以每小时0.2m 的速度上升,求水过警戒水位后几小时淹到桥拱顶.3.如图,足球场上守门员在O 处开出一高球,球从离地面1m 的A 处飞出(A 在y 轴上),运动员乙在距O 点6m 的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ,距地面约4m 高.球第一次落地后又弹起.据试验,足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同,最大高度减少到原来最大高度的一半.(1)求足球开始飞出到第一次落地时,该抛物线的表达式;(2)运动员乙要抢到第二个落点D ,他应再向前跑多少米?(取734=,562=)综合、运用、诊断4.如图,有长为24m 的篱笆,围成中间隔有一道篱笆的长方形的花圃,且花圃的长可借用一段墙体(墙体的最大可用长度a =10m).(1)如果所围成的花圃的面积为45m2,试求宽AB的长;(2)按题目的设计要求,能围成面积比45m2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.5.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m=162-3x.(1)写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件的销售价x(元)间的函数关系式;(2)如果商场要想每天获得最大的销售利润,每件商品的售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?6.某工厂现有80台机器,每台机器平均每天生产384件产品.现准备增加一批同类机器以提高生产总量.在试生产中发现,由于其他生产条件没有改变,因此,每增加一台机器,每台机器平均每天将减少生产4件产品.(1)如果增加x台机器,每天的生产总量为y件,请写出y与x之间的函数关系式;(2)增加多少台机器,可以使每天的生产总量最大?最大生产总量是多少?7.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到盈利的过程,下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).根据图象提供的信息,解答下列问题:(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;3)求第8个月公司所获利润为多少万元?拓展、探究、思考8.已知:在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象与x轴交于A,B两点,点A在点B的左侧,与y轴交于点C,且OC=OB=3OA.(1)求这个二次函数的解析式;(2)设点D是点C关于此抛物线对称轴的对称点,直线AD,BC交于点P,试判断直线AD,BC是否垂直,并证明你的结论;(3)在(2)的条件下,若点M,N分别是射线PC,PD上的点,问:是否存在这样的点M,N,使得以点P,M,N为顶点的三角形与△ACP全等?若存在请求出点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.测试7 综合测试一、填空题1.若函数y=x2-mx+m-2的图象经过(3,6)点,则m=______.2.函数y=2x-x2的图象开口向______,对称轴方程是______.3.抛物线y=x2-4x-5的顶点坐标是______.4.函数y=2x2-8x+1,当x=______时,y的最______值等于______.5.抛物线y=-x2+3x-2在y轴上的截距是______,与x轴的交点坐标是____________.6.把y=2x2-6x+4配方成y=a(x-h)2+k的形式是_______________.7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示.(1)对称轴方程为____________;(2)函数解析式为____________;(3)当x______时,y随x的增大而减小;(4)当y>0时,x的取值范围是______.8.已知二次函数y=x2-(m-4)x+2m-3.(1)当m=______时,图象顶点在x轴上;(2)当m=______时,图象顶点在y轴上;(3)当m=______时,图象过原点.二、选择题9.将抛物线y=x2+1绕原点O旋转180°,则旋转后抛物线的解析式为( ) A.y=-x2B.y=-x2+1 C.y=x2-1 D.y=-x2-1 10.抛物线y=x2-mx+m-2与x轴交点的情况是( )A.无交点B.一个交点C.两个交点D.无法确定11.函数y=x2+2x-3(-2≤x≤2)的最大值和最小值分别为( )A.4和-3 B.5和-3 C.5和-4 D.-1和4 12.已知函数y=a(x+2)和y=a(x2+1),那么它们在同一坐标系内图象的示意图是( )13.y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如下图所示,那么下面六个代数式:abc,b2-4ac,a -b+c,a+b+c,2a-b,9a-4b中,值小于0的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个14.若b>0时,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四图之一所示,根据图象分析,则a的值等于( )A.251+-B.-1 C.251--D.1三、解答题15.已知函数y1=ax2+bx+c,其中a<0,b>0,c>0,问:(1)抛物线的开口方向?(2)抛物线与y轴的交点在x轴上方还是下方?(3)抛物线的对称轴在y轴的左侧还是右侧?(4)抛物线与x轴是否有交点?如果有,写出交点坐标;(5)画出示意图.16.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象顶点坐标为(-2,3),且过点(1,0),求此二次函数的解析式.(试用两种不同方法)17.已知二次函数y=ax2+bx+c,当x=-1时有最小值-4,且图象在x轴上截得线段长为4,求函数解析式.18.二次函数y =x 2-mx +m -2的图象的顶点到x 轴的距离为,1625求二次函数解析式.19.如图,从O 点射出炮弹落地点为D ,弹道轨迹是抛物线,若击中目标C 点,在A测C 的仰角∠BAC =45°,在B 测C 的仰角∠ABC =30°,AB 相距,km )31( ,OA =2km ,AD =2km .(1)求抛物线解析式;(2)求抛物线对称轴和炮弹运行时最高点距地面的高度.20.二次函数y 1=ax 2-2bx +c 和y =(a +1)·x 2-2(b +2)x +c +3在同一坐标系中的图象如图所示,若OB =OA ,BC =DC ,且点B ,C 的横坐标分别为1,3,求这两个函数的解析式.答案与提示第二十六章 二次函数测试11.y =ax 2+bx +c (a ≠0),x ,常数,a . 2.抛物线,y 轴,(0,0). 3.(0,0),y 轴,上,下. 4.减小,增大,x =0,小. 5.增大,减小,x =0,大. 6.(1).0,3,1- (2)π,0,0, (3),10,5,21- (4).6,0,31--7.越小,越大.8.(1)D ,(2)C ,(3)A ,(4)B ,(5)F ,(6)E .9.(1)向下,(2)y 轴.(3)(0,0).(4)减小.(5)=0(6)=0,大,0. 10.略.11.(1)②、③;①、④.(2)③;②.(3)①、④;③.(4)①,0;④,0. 12.(1)a ≠0,(2)a =0且b ≠0,(3)a =c =0且b ≠0. 13.y =4x 2;(0,0);x =0;向上. 14.(1)2;y =2x 2;抛物线;一、二,(2)0;y =-2x ;直线;二、四. 15.-2或1;1;-2.16.C 、B 、A . 17.C . 18.D . 19.C . 20.(1)m =4,y =x 2;(2)m =-1,y =-4x 2.21.(1)a =-1,b =-1;(2));2,2().2,2(---C B(3)S △OBC =22. 22.(1)241x y =; (2)B (-2,1);(3)S △OAB =2; (4)设C 点的坐标为),41,(2m m 则.221|141|4212⨯=-⨯⨯m 则得6±=m 或.2±=m∴C 点的坐标为).21,2(),21,2(),23,6(),23,6(-- 测试21.(1)(0,0),y 轴;(2)(0,c ),y 轴; (3)(m ,0),直线x =m .2.m =-13.(0,0),y 轴,x ≤0,x >0,0,小,0. 4.向下,相同,(0,0),y 轴.5.(0,3),y 轴,x ≤0,0,小,3,上,3.6.向上,(2,0),直线x =2,x ≥2,2,小,0,右,2. 7.C . 8.D . 9.C . 10.图略,y 1,y 2的图象是221x y =的图象分别向上和向下平移3个单位.11.图略,y 2,y 3的图象是把y 1的图象分别向右和向左平移2个单位. 12.(h ,k ),直线x =h ;h ,k ,x ≤h . 131415..52312)3(3122+-=+-=x x x y 16.B . 17.D .18.(1)y =(x +3)2+1,顶点(-3,1),直线x =-3,最小值为1.(2),881)45(22++-=x y 顶点),881,45(-直线,45-=x 最大值为⋅881(3),31)31(32-+=x y 顶点),31,31(--直线,31-=x 最小值为⋅-31(4)y =-3(x -1)2+1,顶点(1,1),直线x =1,最大值为1.(5)y =-5x 2+100,顶点(0,100),直线x =0,最大值为100. (6),825)43(22--=x y 顶点),825,43(-直线,43=x 最小值为⋅-82519.(1);5,1,21-===k h a (2)开口向上,直线x =1,顶点坐标(1,-5).测试31.).44,2(,44)2(222a b ac ab a b ac a b x a y ---++= ⋅-<-≥--=-=abx a b x a b ac a b x a b x 2,2,44,2,222.,43),849,43(-小,⋅>≤---43,43),5,0(),0,1()0,25(,849x x 、3.(-1,4),(-3,0)、(1,0),(0,3).4.y =(x -2)2+1,低,(2,1). 5.-2,-7,x ≥-2,.72±-=x 6.±2. 7.右,3,上,4.8.D . 9.B. 10.B . 11.C .12.(1)y =2(x +1)2-8;(2)开口向上,直线x =-1,顶点(-1,-8);(3)与x 轴交点(-3,0)(1,0),与y 轴交点(0,-6); (4)图略;(5)将抛物线y =x 2向左平移1个单位,向下平移8个单位;得到y =2x 2+4x -6的图象; (6)x ≤-1;(7)当x <-3或x >1时,y >0;当x =-3或x =1时,y =0; 当-3<x <1时,y <0; (8)x =-1时,y 最小值=-8; (9)-8≤y <10; (10)S △=12.13.(1)b =c =0;(2)c =0;(3)b =0;(4)b 2-4ac =0. 14.原. 15.2,y =2x 2-3x . 16.4. 17.-1. 18.1. 19.一、二、三.20.C. 21.B . 22.D . 23.B . 24.C . 25.B . 26.C . 27.(1)k =0;(2)k =-2. 28.,2)1(212+--=x y ①顶点(1,2),直线x =1; ②x ≥1,x <1; ③x =1,y 最大=2;④-1<x <3时,y >0;x <-1或x >3时y <0;x =-1或x =3时,y =0;.225≤≤-y ⑤ 29.(1)y 1=-x 2+2x +3,y 2=3x +1.(2)①当-2<x <1时,y 1>y 2.②当x =-2或x =1时,y 1=y 2. ③当x <-2或x >1时y 1<y 2. 30.①,④.测试41.①y =ax 2+bx +c (a ≠0); ②y =a (x -h )2+k (a ≠0); ③y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0). 2..2± 3.).0,211(4.(1)x =-1; (2)y =x 2+2x -3;(3)x ≤-1; (4)x <-3或x >1,x =-3或x =1,-3<x <1.5..421212+--=x x y 6..438342+--=x x y7.y =-2(x -2)2+4即y =-2x 2+8x -4.8.y =x 2-2x -3,点B (0,3)不在图象上. 9..1212x x y +-= 10.y =x 2+4x +2. 11.y =-x 2+4x . 12.y =x 2-2x -3. 13.y =-2x 2+4x +4.14..42,25321221+=++=x y x x y15.A . 16.B .17.解:(1)由旋转的性质可知:OC =OA =2,OD =OB =4.∴C 、D 两点的坐标分别是C (-2,0),D (0,4). (2)设所求抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c .根据题意,得⎪⎩⎪⎨⎧==+-=++.4,024,0416c c b a c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-=.4,1,21c b a∴所求抛物线的解析式为.4212++-=x x y (3)如图,△PMB 是钝角三角形,图中,PH 是抛物线=++-=4212x x y 29)1(212+--x 的对称轴.M 、P 点的坐标分别为).29,1(),1,2(P M ∴点M 在PH 的右侧,∵∠PHB =90°,∠1>90°,∠PMB >∠1, ∴∠PMB >90°,则△PMB 为钝角三角形.测试5 1.≥0,y =a (x -x 1)(x -x 2). 2.⋅493.31->m 且m ≠0. 4.0. 5.(-1,0). 6.一.7.D . 8.B . 9.C . 10.D . 11.y =2x 2+2x -4.12.45665182-+-=x x y 或y =2x 2+2x -4. 13.4,(1,9). 14.⋅9815.C . 16.A . 17.C . 18.D . 19.B . 20.A .21.(1)开口向下,顶点(1,2),(2)③. 22.⋅<21m 23.由x 2-x -m =0(1)当∆=1+4m ≥0,即41-≥m 时两线有公共点. (2)当∆=1+4m <0,即41-<m 时两线无公共点. 24.(1) ∆=(m +2)2>0,∴m ≠-2;(2)m =-1,∴y =-x 2+5x -6.测试61.y =-x 2+3x (0<x <3)图略. 2.5小时.3.(1).11212++-=x x y (2)17米. 4.(1)设花圃的宽AB =x 米,知BC 应为(24-3x )米,故面积y 与x 的关系式为y =x (24-3x )=-3x 2+24x .当y =45时,-3x 2+24x =45,解出x 1=3,x 2=5. 当x 2=3时,BC =24-3×3>10,不合题意,舍去; 当x 2=5时,BC =24-3×5=9,符合题意. 故AB 长为5米.(2)能围成面积比45m 2更大的矩形花圃. 由(1)知,y =-3x 2+24x =-3(x -4)2+48.103240≤-<x ,.8314<≤∴x 由抛物线y =-3(x -4)2+48知,在对称轴x <4的左侧,y 随x 的增大而增大,当x >4时,y 随x 的增大而减小.∴当314=x 时,y =-3(x -4)2+48有最大值,且最大值为),m (3246)4314(34822=--此时,,m 314=AB BC =10m ,即围成长为10米,宽为314米的矩形ABCD 花圃时,其最大面积为.m 324625.(1)y =-3x 2+252x -4860;(2)当x =42时,最大利润为432元. 6.解:(1)由题意得y =(80+x )(384-4x )=-4x 2+64x +30720. (2)∵y =-4x 2+64x +30720=-4(x -8)2+30976, ∴当x =8时,y 有最大值,为30976.即增加8台机器,可以使每天的生产总量最大,最大生产总量为30976件.7.解:(1)设s 与t 的函数关系式为x =at 2+bt +c ,图象上三点坐标分别为(1,-1.5),(2,-2),(5,2.5).分别代入,得⎪⎩⎪⎨⎧=++-=++-=++∴.5.2525,224,5.1c b a c b a c b a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==.0,2,21c b a .2212t t s -=∴(2)把s =30代入,2212t t s -=解得t 1=10,t 2=-6(舍去).即截止到10月末,公司累积利润可达到30万元.(3)把t =7代入,2212t t s -=得7月末的累积利润为s 7=10.5(万元). 把t =8代入,2212t t s -=得8月末的累积利润为s 8=16(万元). ∴s 8-s 7=16-10.5=5.5(万元). 即第8个月公司获利润5.5万元.8.(1)y =x 2-2x -3; (2)AD ⊥BC ;(3)存在,M 1(1,-2),N 1(4,-3).或M 2(0,-3),N 2(3,-4).测试7 1.⋅=21m 2.向下,x =1. 3.(2,-9). 4.2,小,-7. 5.-2,(1,0)、(2,0). 6.⋅--=21)23(22x y 7.(1);23=x (2)y =x 2-3x -4;(3);23≤x (4)x <-1或x >4. 8.(1)m =14或2; (2)m =4; (3)⋅=23m 9.D . 10.C . 11.C . 12.C . 13.C . 14.D . 15.(1)开口向下; (2)上方; (3)右侧;(4)有,).0,24(),0,24(22aacb b a ac b b ----+- (5)略. 16.⋅+--=3534312x x y 17.y =x 2+2x -3.18.23212--=x x y 或⋅+-=23272x x y 19.作CE ⊥x 轴于E ,设CE =x 千米.∵∠CAB =45°,∴CE =AE =x ,在Rt △BCE 中,,33,30x CE EB CBA ==∴=∠ AB =AE +EB ,即,331x x +=+解得x =1,∴OE =OA +AE =2+1=3. 由C (3,1),D (4,0),O (0,0),设y =a (x -4)(x -0),把(3,1)代入上式:1=a (3-4)(3-0),解得),40)(0)(4(31,31≤≤---=∴-=x x x y a 即2)2(31--=x y34+,抛物线对称轴:x =2,炮弹运行最高点时距地面高度是34千米.20.⋅+-=+-=310432,31312221x x y x y第二十六章 二次函数全章测试一、填空题1.抛物线y =-x 2+15有最______点,其坐标是______.2.若抛物线y =x 2-2x -2的顶点为A ,与y 轴的交点为B ,则过A ,B 两点的直线的解析式为____________.3.若抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象与抛物线y =x 2-4x +3的图象关于y 轴对称,则函数y =ax 2+bx +c 的解析式为______.4.若抛物线y =x 2+bx +c 与y 轴交于点A ,与x 轴正半轴交于B ,C 两点,且BC =2,S △ABC =3,则b =______.5.二次函数y =x 2-6x +c 的图象的顶点与原点的距离为5,则c =______.6.二次函数22212--=x x y 的图象在坐标平面内绕顶点旋转180°,再向左平移3个单位,向上平移5个单位后图象对应的二次函数解析式为____________. 二、选择题7.把二次函数253212++=x x y 的图象向右平移2个单位后,再向上平移3个单位,所得的函数图象顶点是( ) A .(-5,1) B .(1,-5) C .(-1,1) D .(-1,3)8.若点(2,5),(4,5)在抛物线y =ax 2+bx +c 上,则它的对称轴是( ) A .ab x -= B .x =1 C .x =2 D .x =39.已知函数4212--=x x y ,当函数值y 随x 的增大而减小时,x 的取值范围是( ) A .x <1 B .x >1 C .x >-2 D .-2<x <410.二次函数y =a (x +k )2+k ,当k 取不同的实数值时,图象顶点所在的直线是( )A .y =xB .x 轴C .y =-xD .y 轴 11.图中有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( )A .h =mB .k >nC .k =nD .h >0,k >012.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,有下列结论:①abc >0;②a+b +c =2;21>a ③;④b <1.其中正确的结论是( )A .①②B .②③C .②④D .③④ 13.下列命题中,正确的是( )①若a +b +c =0,则b 2-4ac <0;②若b =2a +3c ,则一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根;③若b 2-4ac >0,则二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3;④若b >a +c ,则一元二次方程ax 2+bx +c =0,有两个不相等的实数根. A .②④ B .①③ C .②③ D .③④三、解答题14.把二次函数43212+-=x x y 配方成y =a (x -k )2+h 的形式,并求出它的图象的顶点坐标、对称轴方程,y <0时x 的取值范围,并画出图象.15.已知二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象经过一次函数323+-=x y 的图象与x 轴、y 轴的交点,并也经过(1,1)点.求这个二次函数解析式,并求x 为何值时,有最大(最小)值,这个值是什么? 16.已知抛物线y =-x 2+bx +c 与x 轴的两个交点分别为A (m ,0),B (n ,0),且4=+n m ,⋅=31n m (1)求此抛物线的解析式;(2)设此抛物线与y 轴的交点为C ,过C 作一条平行x 轴的直线交抛物线于另一点P ,求△ACP 的面积.。

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