《工程力学》中剪力图和弯矩图的快易绘图法
工程力学弯曲强度1(剪力图与弯矩图
05 剪力图与弯矩图的计算与分析
CHAPTER
剪力与弯矩的计算方法
要点一
剪力计算
根据受力分析，通过力的平衡原理计算剪力。在梁的截面 上，剪力方向与梁的轴线垂直，大小等于通过截面形心的 剪切面上的剪力。
要点二
弯矩计算
弯矩是描述梁弯曲变形的量，其计算方法包括截面法、力 矩分配法等。弯矩的计算需要考虑梁的长度、截面尺寸、 材料属性以及外力分布等因素。
在工程实践中，许多结构和设备都需 要承受弯曲负荷，如桥梁、建筑、车 辆等，因此弯曲强度的研究具有重要 意义。
弯曲强度的基本原理
弯曲强度的基本原理包括剪力和弯矩 的分析。剪力是指在弯曲过程中垂直 于轴线的力，而弯矩则是指弯曲过程 中产生的力矩。
剪力和弯矩的分析是确定结构在弯曲 负荷下的应力和变形的重要手段，也 是进行结构设计和优化的基础。
谢谢
THANKS
剪力图与弯矩图的受力分析
剪力图
通过绘制剪力随梁长度变化的曲线图，可以直观地表示 出梁在不同位置受到的剪力大小和方向。根据剪力图， 可以分析梁在受力过程中的稳定性以及剪切破坏的可能 性。
弯矩图
弯矩图表示弯矩随梁长度变化的曲线图，可以用来分析 梁在不同位置的弯曲变形程度以及弯曲应力分布情况。 通过弯矩图，可以判断梁在受力过程中是否会发生弯曲 失稳或弯曲破坏。
CHAPTER
剪力图与弯矩图在结构设计中的应用
结构设计是工程中非常重要的环节，剪力图 与弯矩图是进行结构设计的关键工具。通过 分析剪力和弯矩的分布和大小，可以确定结 构的受力情况和变形趋势，从而优化结构设 计，提高结构的稳定性和安全性。
在进行结构设计时，需要综合考虑多种因素 ，如载荷、材料属性、连接方式等。剪力图 与弯矩图可以帮助工程师更好地理解和分析
绘制工程力学剪力图和弯矩图的简易方法-力学论文-物理论文
绘制工程力学剪力图和弯矩图的简易方法-力学论文-物理论文——文章均为WORD文档，下载后可直接编辑使用亦可打印——0引言工程力学中，直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度和刚度计算时，通常要画出剪力图和弯矩图，以便清楚地看出梁的各个截面上剪力和弯矩的大小、正负以及最大值所在截面的位置[1].但不少学生在学习剪力图和弯矩图绘制知识点时，直呼太难，根本不知从何下手。
因此，总结出一套行之有效的简易绘制剪力图和弯矩图的方法，显得越来越重要。
下面就结合作者实际教学经验，提出解决此类问题的简易方法。
1绘制剪力图和弯矩图的简易方法绘制剪力图和弯矩图时，应严格遵循下列基本步骤：①画梁的受力图，求约束力求出梁上所有约束部位的约束力是至关重要的第一步，这一步如果出现问题，后续步骤基本进行不了，关于求约束力的方法，在画好受力分析图后列平衡方程式即可求得。
②画剪力图。
画剪力图时，应牢记下面几句话：集中力作用处，剪力图有突变，突变幅值等于集中力的大小，突变的方向与力的方向同向；集中力偶作用处，剪力图无变化；均布载荷作用的梁段上，剪力图为一条斜直线；无外力作用的梁段上，剪力图为水平的直线。
对于剪力图为斜直线，只需确定直线的两个端点所对应的剪力值即可确定该直线，要求两个端点所对应的剪力值，采用某截面上的剪力值等于截面左边梁上所有外力的代数和，外力向上，则剪力为正，反之为负的方法。
③画弯矩图画弯矩图时，也须牢记以下几句话：集中力作用处，弯矩图有折点；集中力偶作用处，弯矩图有突变，突变幅值等于力偶矩的大小，力偶方向若为顺时针，则弯矩向上突变，反之向下突变；均布载荷作用的梁段，弯矩图为二次曲线，曲线开口方向与均布载荷同向，在剪力为零的截面，弯矩有极值；无外力作用的梁段，弯矩为直线。
对于弯矩为二次曲线的，只需取曲线上三个特殊的点，求出该点所对应截面的弯矩值即可确定该曲线，而求某截面上弯矩值，采用某截面上的弯矩值等于截面左边梁上所有外力矩的代数和，外力矩为顺时针的，弯矩为正，反之为负的方法。
剪力图与弯矩图的画法_图文_图文
dM(x) = Q(x)
dx
dQ(x) = q(x)
dx
2
d M(x)
2
= q(x)
dx
公式的几何意义
剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小。
梁上最大弯矩可能发生在 Q(x) = 0 的截面上 或梁段 边界的截面上。最大剪力 发生在全梁或梁段的界面。
解： 在AC段中 q=0 ，且 QA=RA
q
A
B
CE
D
0.2
1.6
1
2
q
在AC段中 Qc = 80KN，剪力图
A
B
CE
D
为矩形，MA =0
0.2
1.6
1
2
80KN
(b)
+
80KN
q
在CE段中，剪力图为三角形
A
B
CE
D
QC=80KN，MC=16KN.m
0.2
1.6
1
2
80KN
(b)
+
80KN
81KN
CD段： 向右下方的斜直线
DB段：水平直线
最大剪力发生在 CD 和 DB 段的任一横截面上。
1
A C
0.2
1
q
E
1.6 2
2
B D
80KN
+
80KN
MB = 0
全梁的最大2
1
q
E
1.6 2
2
B D
16 16
+
单位：KN.m
例 作梁的内力图
A
怎样快速绘制剪力图和弯矩图
怎样快速绘制剪力图和弯矩图3毛和业(黔南职业技术学院机电系,贵州,都匀558022)摘 要:在工程构件中,最常见的变形形式是弯曲变形和弯扭组合变形。
它们的强度计算必须以剪力图和弯矩图的绘制来找到危截面为前提,而这一绘制过程复杂,计算量大。
根据各种载荷的剪力图和弯矩图规律对这一过程进行简化,可找到一种学生易于掌握,且准确率高的方法。
关键词:剪力图;弯矩图;绘制;快速中图分类号:T B23 文献标识码:B 文章编号:1005-6769(2005)03-0081-03How to D raw the Shear i n g Force D i a gram and Bend i n g M o m en t D i a gram Rap i dlyMAO He -ye(Mechanical and Electr onic Depart m ent,Q iannan Vocati onal and Technical College,Duyun 558022,China )Abstract:I n structural me mbers,the defor mati on is usually caused by bending or by a combinati on of bending and t orsi on .W e calculate their strength based on finding the critical secti on by drawing the shearing force diagra m and bending moment diagra m that is relatively comp lex and needs l ots of work .Theref ore,according t o the regulati ons of shearing f orce diagra m and bending moment diagra m caused by different l oad models,this paper si m p lifies the p r ocess and finds an easy and accurate method .Key words:shearing f orce diagra m;bending moment diagra m;dra w;rap id1 引言 《工程力学》是工科各专业的一门重要的技术基础课,特别对于机电类专业,学生学习质量的好坏,对后续课程的学习,如《机械原理》《机械零件》《汽车理论》等乃至于对今后的工作至关重要。
材料力学 中剪力图和弯矩图的快易绘图法
材料力学中剪力图和弯矩图的快易绘图法[材料力学]中剪力图和弯矩图的快易绘图法《材料力学》中剪力图和弯矩图的快易绘图法河北省廊坊职业技术学院张二红。
［摘要】在《材料力学》中，绘制平面弯曲桀的剪力图和弯矩图是。
直兼的弯曲”一章中的重点和难点，传统的规律绘图法用到的一班函数，二次函数和导数等相关知识，婶于数学基础不裉扎实的中专生来说是很难理解的．本文中作者利用几何图形的面积来绘制剪力图和弯矩图，箕方法曼为简便快捷．［关键词】剪力图弯矩图面积在《材料力学》中，直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本矩图为向上倾斜的斜直线，Ｂｃ段弯矩的变化值为对应剪力图形式之一，在对梁进行强度和刚度计算时。
通常要画出剪力图所围成的矩形的面积，即４ｋＮ×ｌ和弯矩图（即把剪力方程和弯矩力．程用函数图象表示出来）以值为－８Ⅲ．ｍ＋４斟．ｍ叫蝌ｍ；ＣＤ段剪力图为向下倾斜的直ｍ；４州．ｍ．因此Ｃ点弯矩便清楚地看出粱的各个截面上剪力和弯矩的大小、正负以及最线，因此其弯矩图为开口向下的抛物线，ＣＤ段弯矩的变化值为大值所在截面的位置。
目前绘制剪力图和弯矩图最常用的规对应剪力图所围成的三角形的面积，即４蝌×２Ｉｍ叫Ⅲ．ｍ，律绘图法中用到一次函数、二次函数和导数等相关知识，这对因此Ｄ点弯矩值为４蝌．ｍ＋４蝌．ｍ＝０蝌．ｍ，如图ｃ）所示。
于数学基础不很扎实的中专生来说是很难理解的。
通过教学．（４）检验’作者在原有绘图方法的基础上，利用几何图形的面积代替一次剪力图和弯矩图均从零开始，最终回到零点，可认为是正函数、二次函数和导数来绘制剪力图和弯矩图的规律，谨供广确的。
大同仁参考。
具体方法为：从上至下依次画出直梁的受力分析图——剪力图（直角坐标系）—弯矩图（直角坐标系）．其图象遵循“平行线——斜直线——抛物线”的顺序，其剪力和弯矩的变化值等于对应的上一个几何图形的面积，其它事宜与原方法Ｄ同。
例：一外伸粱受力如图ａ）所示，已知嘲ｋＮ，ｑ＝２ｋＮ，ｍ．铲１ｍ，绘出梁的剪力图和弯矩图。
《工程力学》中剪力图和弯矩图的快易绘图法
《工程力学》中剪力图和弯矩图的快易绘图法作者：王瑞清来源：《科技资讯》 2011年第34期王瑞清（包头轻工职业技术学院内蒙古包头 014035）摘要：在《工程力学》中，绘制平面弯曲梁的剪力图和弯矩图是“直梁的弯曲”一章中的重点和难点，传统的规律绘图法用到的一次函数、二次函数和导数等相关知识，对于数学基础不很扎实的高职生来说是很难理解的。
本文中作者利用选取特殊点来绘制剪力图和弯矩图，其方法更为简便快捷。
关键词：剪力图弯矩图特殊点中图分类号：TB3 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2011)12(A)-0000-00在《工程力学》中，直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度和刚度计算时，通常要画出剪力图和弯矩图（即把剪力方程和弯矩方程用函数图象表示出来）以便清楚地看出梁的各个截面上剪力和弯矩的大小、正负以及最大值所在截面的位置。
目前绘制剪力图和弯矩图最常用的规律绘图法中用到一次函数、二次函数和导数等相关知识，这对于数学基础不很扎实的高职生来说是很难理解的。
通过教学，作者在原有绘图方法的基础上，利用选取特殊点代替一次函数、二次函数和导数来绘制剪力图和弯矩图的规律，谨供广大同仁参考。
具体方法为：从上至下依次画出直梁的受力分析图——特殊截面的剪力值、弯矩值——剪力图（直角坐标系）——弯矩图（直角坐标系），具体事宜与载荷种类不同有关。
1、集中载荷例：如图1（a）所示的简支梁AB在C点处作用集中载荷F,画出此梁的剪力、弯矩图。
(1)、求约束反力。
画受力图，如图1（a）求支座约束力。
由平衡方程得：(2)、画剪力图，如图1（b）。
某截面上的剪力即为其截面左（右）段梁上外力的代数和，左上右下为正，左下右上为负。
AC、CB段均无载荷作用，剪力图均为水平线。
(3)、画弯矩图，如图1（c）。
某截面上的弯矩即为其截面左（右）段梁上外力矩的代数和，左顺右逆为正，左逆右顺为负。
AC、CB段无载荷作用，弯矩图为斜直线，确定A、B、C三点临近截面的弯矩值在弯矩图坐标中描出A、B、C三点坐标，分别作出AC、CB段的斜直线。
快速绘制梁的剪力图和弯矩图
简支梁受集中荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 1.求约束反 力
2、分段建立方 A程C段：
CB段： Ｆ
3、依方程而作图
简支梁受集中力偶作用，如图示，试画梁的剪力图和 弯矩图。 解：1.求约束反力
2.列剪应力方程和弯矩方程 AC段: V
CB段：V
3、依方程而作图
荷载图、剪力图、弯矩图的规律
剪力图和弯矩图
以梁横截面沿梁轴线的位置为横坐标，以垂直 于梁轴线方向的剪力或弯矩为纵坐标，分别绘 制表示Ｆ(x)和M(x)的图线。这种图线分别称为 剪力图和弯矩图，简称Ｆ图和M图。绘图时一 般规定正号的剪力画在x轴的上侧，负号的剪 力画在x轴的下侧；正弯矩画在x轴下侧，负弯 矩画在x轴上侧，即把弯矩画在梁受拉的一侧。 下端受拉为正弯矩
A
C
D
B
FA
a
c
l
FA
b
FB
FB
FAa
FBb
a
F
F
Fa
a
5
kN
4
Fa kNm
2kN m
4m 3kN
kN
3
2.25
kNm
4kN m
6kN
4.5
1m
1m
4.5
1.5
4
8.5
7
2kN m
2m
5.5
kN
5.5 kNm
画剪力图和弯矩图时，一定要将梁正确分段， 分段建立方程，依方程而作图
简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。
解：1.求约束反力 由对称关系，可得：
2、建立内力方程
Fs
RA
qx
1 2
工程力学弯曲强度剪力图与弯矩图
RA
求得截面Q上3 的内力工程. 力学弯曲强度剪M力图4 与弯矩5q图4a2
★ 可以直接通过截面一侧杆段上的横向力的代数和直 接求得截面上的剪力，通过一侧杆段上横向力对截面 的力矩以及力偶之代数和求得截面上的弯矩
★ 必须注意求代数和时各项的正负号
求剪力时的横向力为“左上右下为正，左下 右上为负”
F
P
DB
3、应用截面法确定D截面 上的内力分量
F左P 部A本分l例梁C中，所如选果l 择以的C、研究D剪截对力面象假和以都设弯右是截矩部C开均、分横为梁D截正截作面方面为上向以平的。
MA衡＝0对M象O=，2FP会l 如何？FQD 根据截开的局部平衡建立
D
平衡方程：
A
FP
l
l
MD
Fy＝0， FQD－FP＝0
求弯矩时的横向力对截面形心的力矩以及一侧 杆段上的力偶为“左顺右逆为正，左逆右顺为负”
注意上述规定均基于x轴正向位于右手侧，若 相反则规定相反
工程力学弯曲强度剪力图与弯矩图
m
m
MM
轴向集中力作用面两侧轴力分量会跳跃；
集中扭矩作用面两侧扭矩内力分量会跳跃；
横向集中Q力作用面两侧Q 剪力发生跳跃；
剪力符 号左和规右定指：什么，
上和下又Q 指
Q
什么？
左右、上下的 两种解释
Q
左上右下为正
或使该段梁顺时针 转动为正
Q
弯矩符号规定： 下侧受拉(上凹下凸、左顺右逆)为正
左和右指什么，
M顺和逆又M指
什么？ 左右、顺逆的
两种解释
MM
工程力学弯曲强度剪力图与弯矩图
支座的分类
根据支座对梁在载荷平面内的约束情况，一般可 以简化为三种基本形式：
工程力学之剪力图与弯矩图(PPT46页)
Fy＝0， FP－FQC＝0
M C＝0，
M
＋
C
M
－
A
FP
l＝0
FQC＝ FP
M
＝
C
FP
l
结果均为正值表明所假设 的C截面上的剪力和弯矩的 正方向是正确的。
MA＝0 MO=2FPl
F
P
DB
3、应用截面法确定D截面 上的内力分量
F左P 部A本分l例梁C中，所如选果l 择以的C、研究D剪截对力面象假和以都设弯右是截矩部C开均、分横为梁D截正截作面方面为上向以平的。
根据2-2截面右侧的外力计算Q2 、 M2 Q2 =+(q·1.5)－RB =12·1.5－29 =－11kN
M2 =－(q·1.5)·1.5/2+RB·1.5 =－(12·1.5)·1.5/2+29·1.5 = 30 kN·m
Q3 M3
Q2 RA
RA qa 2a qa
a
qa 4 3qa
2
2
A
通的过外上力述相计平算衡可，以因看而出可，以截直Q面接4上通的过q内一a 力侧 与杆RB该段截上面的3一外q4侧力a 杆直上接
RA
求得截面Q上3 的内力.
M4
5qa2 4
★ 可以直接通过截面一侧杆段上的横向力的代数和直 接求得截面上的剪力，通过一侧杆段上横向力对截面 的力矩以及力偶之代数和求得截面上的弯矩
梁横截面推上导应弯力曲非应均力匀和分变布形，公式强；度失效最先从 应力最大点处建发立生弯。曲其强强度度和计刚算度不设计仅方要法考。虑内力最 大的“危险截面”，而且要考虑应力最大的“危险 点”
绝大多数细长梁的失效，主要与正应力有关， 剪应力的影响是次要的。
多种方法快速绘制剪力图和弯矩图
多种方法快速绘制剪力图和弯矩图摘要：绘制梁的内力图是材料力学课程的重点问题，也是难点问题，对于初学的学生不易理解。
本文分析了绘制剪力图和弯矩图的多种方法，比较不同方法之间的区别，旨在帮助学生掌握快速绘制剪力图和弯矩图技巧。
关键词：剪力图弯矩图面积法叠加法 1 引言直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度校核时，根据剪力图和弯矩图中曲线的变化规律，确定等截面弯曲梁的危险截面，因此快速准确绘制剪力图和弯矩图对工程计算非常重要。
绘制剪力图和弯矩图内容复杂，学生较难理解，容易出错。
不同的教材对于剪力图和弯矩图的绘制方法阐述大同小异，主要分为截面法、利用微分关系绘图、叠加法等，在原有绘图方法的基础上，提出自己新的理解，可以有助于学生快速、准确绘制剪力图和弯矩图。
2 直接绘制剪力图和弯矩图例：一外伸梁受力图如图1(a)所示，集中荷载qa/4作用在梁两端，BC梁段受到方向向下大小为q的均匀荷载，CD梁段受到方向向上大小为q的均匀载荷，绘出梁的剪力图和弯矩图。
解：(1)选取整个梁为研究对象，通过平衡方程获得支座反力，FBy=3qa/4，FDy=-qa/4。
(2) 绘制剪力图。
过A点建立水平方向的x轴，竖向的FS轴，方向向上为正。
从原点（0,0）即A+截面（过A点左横截面）开始，初始截面处于自由端，剪力为零。
遇到作用在A点向下的集中载荷，则剪力顺着箭头方向下降qa/4，下降值和集中载荷的大小相同，则对应于A-截面（过A点右横截面）的剪力图坐标为（0，-qa/4)。
AB段无荷载，所以剪力图保持直线，即B+截面处的剪力图坐标为（a，-qa/4)。
在B点处受到约束力FBy的作用，方向向上，B-截面处的剪力图坐标为（a，qa/2)，剪力变化值等于约束力FBy。
BC段梁受到向下均匀载荷的作用，剪力均匀下降，由点B-(a，qa/2)均匀下降到C(2a，-qa/2)，斜率为-q。
CD段的剪力受到向上均匀载荷的作用，剪力均匀上升，由点C(2a，-qa/2)均匀上升到D(3a，qa/2)，斜率为q。
剪力图弯矩图 快速绘制中的口诀法
口诀法在梁内力图绘制中的应用（苏科大土木学院2020.5）弯矩与剪力有这样的关系：弯矩方程比剪力方程高一阶，弯矩方程的一阶导数是剪力方程，弯矩图的在某个截面的斜率值恰恰就是该截面的剪力。
弯矩与剪力、分布荷载之间的微分积分关系，可作为弯矩图绘制的理论依据。
本文以画梁的内力图为例，淡淡形象教学法在力学教学中的应用。
利用形象的口诀同时将弯矩、剪力与荷载集度问的微分关系及梁的内力图的一些特点，文献中的作者们做了大量工作，这里作汇总如下（部分略有改动）。
（1）黄氏口诀[3]：剪力图口诀：剪力跟随载荷走；均布载荷顺着斜；集中力处随着跳；上下看力的方向，遇到力偶剪力不会变。
（要求从左至右画）。
弯矩图口诀：差值等于Q与轴围图的面积；突变朝着同向矢；曲线突向顺着q；顶点正好对零剪。
特征：分段、突变、直线、曲线。
（2）高氏口诀[4]：均布荷载负，剪力下（右下）斜路．弯矩下（下凸）抛物；均布荷载零，剪力直线平，弯矩斜向行；集中力在梁上现．剪力要突变（顺F方向），弯矩定折转（F作用截面出现折角）；力偶作用面，剪力照常现（左右相同），弯矩要突变（顺时针力偶向下突变）。
最大弯矩可能发生在F，零（剪力为零）、F。
变（剪力变号）和紧靠力偶一侧面。
（3）钱氏口诀[5]：剪力图口诀：没有外力，水平线；均布外力，斜直线；集中外力，有突变；集中力偶，不用变。
剪力、弯矩图的相对应口诀：①你无我平，你平我斜，你斜我弯，弯线顶点你为0；②顺流而下，逆流而上，集中力偶来管上；③上尖角、下尖角，外力指向要看好。
（4）网络口诀（作者不详）。
剪力图口诀:外伸端，自由端，没有集中力取零点。
无力梁段Q水平线，集中力偶同样看，均布荷载Q应为斜线，小q正负定增减，集中力处有突变，左顺右逆画竖线，增多少？降多少？集中横力作参考。
弯矩图口诀:弯矩图，较复杂，对照剪图来画它；自由端，铰支端，没有力偶作零点。
剪图水平弯图斜，剪力正负定增减；天上下雨池水满，向上射出弓上箭。
剪力图弯矩图快速画法口诀
剪力图弯矩图快速画法口诀剪力图快速画法口诀外伸端，自由端，没有P力作零点。
无力梁段水平线，集中力偶同样看，均布荷载对斜线，小q正负定增减，集中力处有突变，左顺右逆画竖线，增多少？降多少？集中横力作参考。
弯矩图快速画法口诀弯矩图，较复杂，对照剪图来画它，自由端，铰支端，没有力偶作零点。
剪图水平弯图斜，剪力正负定增减，天上下雨池水满，向上射出弓上箭。
剪图轴线交叉点，弯矩图上极值点。
均载边界无横力，光滑吻接无痕迹。
集中力处有转折，顺着外力折个尖。
集中力偶有突变，反着力偶符号弯，升多少？降多少？集中力偶作参考。
弯矩图形已画完，注意极大极小点，数值符号截面点，三大要素标齐全。
7.2.1 截面法求内力问题：梁在发生平面弯曲变形时，横截面上会产生何种内力素？在横截面上会有几种内力素同时存在？如何求出这些内力素？例：欲求图示简支梁任意截面1-1上的内力。
1.截开：在1-1截面处将梁截分为左、右两部分，取左半部分为研究对象。
2.代替：在左半段的1-1截面处添画内力、，(由平衡解释)代替右半部分对其作用。
3.平衡：整个梁是平衡的，截开后的每一部分也应平衡。
由得如取右半段为研究对象，同样可以求得截面1-1上的内力和，但左、右半段求得的及数值相等，方向（或转向）相反。
7.2.2 剪力和弯矩是横截面上法向分布内力分量的合力偶矩，因在纵向对称面内且与截面垂直，故称为截面1-1的弯矩。
由于取左半段与取右半段所得剪力和弯矩的方向（或转向）相反，为使无论取左半段或取右半段所得剪力和弯矩的正负符号相同，必须对剪力和弯矩的正负符号做适当规定。
剪力的正负：使微段梁产生左侧截面向上、右侧截面向下的剪力为正，反之为负。
弯矩的正负：使微段梁产生上凹下凸弯曲变形的弯矩为正，反之为负。
归纳剪力和弯矩的计算公式：（截面上的弯矩等于截面一侧所有外力对截面形心取力矩的代数和。
）公式中外力和外力矩的正负规定：剪力公式中外力的正负规定：截面左段梁上向上作用的横向外力或右段梁上向下作用的横向外力在该截面上产生的剪力为正，反之为负。
工程力学梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图
梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图1、 剪力和弯矩剪力：沿截面切线方向的内力F S 称为剪力，剪力符号规定为：截面上的剪力如果有使考虑的脱离体有顺时针转动的趋势则为正，反之为负（图9-2）。
弯矩：作用面垂直于横截面的内力偶矩M 称为弯矩，弯矩符号规定为截面上的弯矩如果使考虑的脱离体向下凸（或者说使梁下边受拉，上边受压）为正，反之为负（图9-3）。
2、 列方程作梁的剪力图和弯矩图。
剪力方程和弯矩方程可以表示剪力和弯矩随横截面位置变化的规律。
)(S S x F F =和 )(x M M = （9-1）剪力图和弯矩图是将剪力和弯矩随横截面位置变化情况用图形表示出来。
在载荷无突变的一段杆的各截面上内力按相同的规律变化，各段的分界点为各段梁的控制截面，必须分段列出梁的剪力方程和弯矩方程。
列方程作梁的剪力图和弯矩图的步骤为：（1）、求支座反力； （2）、确定坐标原点，分段列剪力方程和弯矩方程； （3）、计算控制点处的剪力值和弯矩值，标注在图上； （4）、根据各段的剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图，并说明剪力和弯矩的最大值。
3、利用弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作梁的剪力图和弯矩图。
弯矩、剪力、荷载集度之间的微分关系为)(d )(d S x q x x F =， )(d )(d S x F x x M =，)(d )(d 22x q x x M = （9−2） 剪力图和弯矩图的规律为表9−1梁上的外力情况 剪力图上的特征弯矩图上的特征弯矩极值所在截面的可能位置水平线段直线段FF FF(a)(b)图9−2MMMM(a)(b)图9−3无外力段 ()()0d d S ==x q xx F ()()常数d d S ==x F xx M q (x )=常数向下的均布荷载 向下方倾斜的直线段()()0d d S <=x q xx F 下凸的二次抛物线()()0d d 22<=x q xx M 在F S =0的截面上q (x )=常数向上的均布荷载 向上方倾斜的直线段()()0d d S >=x q xx F 上凸的二次抛物线()()0d d 22>=x q x x M 在F S =0的截面上F 作用处发生突变，突变值等于FF 作用处发生转折在左右剪力具有不同正负号的截面上集中力偶在M e 作用处无变化M e 作用处发生突变，突变值等于M e在紧靠集中力偶作用处的某一侧截面上利用弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作梁的剪力图和弯矩图的步骤为： （1）、求支座反力； （2）、计算控制点处的剪力值和弯矩值，标注在图上； （3）、根据弯矩、剪力、荷载集度之间的关系作剪力图和弯矩图，并标出剪力和弯矩的最大值。
剪力图和弯矩图的绘制
FA
FB
5、非对称弯曲：若梁不具有纵向对称面，或梁有纵向对称面， 但外力并不作用在纵向对称面内的弯曲。
§5-2 受弯杆件的简化
一般情况下，梁的支座和载荷有多种多样的情况，比较复 杂，为了研究起来方便，我们必须对它进行一系列的简化，找 出它的计算简图，以简化理论分析和计算的过程。
一、支座的几种形式 1、固定端：
CB：
M x2 Fa Fx2 (0 x2 a)
作图： 注意：在绘制弯矩图时，我们规定为弯矩图画在杆件受压的一 侧，即杆件弯曲变形凹入的一侧。由(a)(b)式可见：两 段的弯矩方程均为斜直线，故只要定出A、C、B三点处 的弯矩值即可作出弯矩图。
§5-5 载荷集度、 剪力和弯矩之间的关系
x Fl F x x2 2 2 2
（0<x<l） 根据剪力方程作剪力图
(b)
由（a）式可见： Qx 为x的一次函数，故剪力图为一 斜直 线，因而只需求出斜直线的两个端点的数值，即可作出剪力 图。
根据弯矩方程作弯矩图：
M x 为x的二次函数，故弯矩图为一抛物线， 由（b）可知： 由于x2的系数为负，故抛物线开口向下，由于抛物线为一曲线， 为了画出的弯矩图比较精确，一般情况下，要多确定曲线的几 点，如图所示：
当C>0时，抛物线 凹口向上，反之向下。
Q X 0 dM x 0 M x C dx
即：弯矩图为平行于x轴的直线。
d 2 M x qx 0 2 0 dx
即：某一截面处弯矩图的斜率为零，在这一截面上弯矩为一极值。
再如我们书中所举的火车轮轴的例子，也是一样的 情况。
2、定义： 当杆件上作用有垂直于杆件轴线的外力时，原先 为直线的轴线变形后就会成为曲线，这种形式的变形就称为 弯曲。
工程力学内力图-剪力图和弯矩图
x
M
例题9−4 图a所示的简支梁，在全梁上受集度为q的均布荷载作用，试作梁的剪 力图和弯矩图。
(a) A FA
q x
l
解：（1）求支座反力。利用对称性及平衡
方程求得
B
FB
1 FA FB 2 ql
（2）列内力方程
取距左端为x的任意横截面左侧的梁段分析
FS ( x)
FA
qx
ql 2
qx
(0 x l)
M
(x)
FA x
1 2
qx2
ql 2
x
1 2
qx2
(0 x l)
(a) A FA
q x
l
ql/2 (b) FS图
（3）由内力方程作内力图。
B
（a）剪力图
FB
ql
FS(x) 2 qx
(0 x l)
剪力方程是x的一次函数，所以剪力图是 ql/2 一条斜直线段。
。
x0
xl
FS
ql 2
FS
ql 2
§9-3 内力图-剪力图和弯矩图
作内力图的方法： 1、列剪力方程、弯矩方程作内力图 2、简便法作内力图。 3、叠加法作内力图
列内力方程作内力图 剪力方程和弯矩方程分别表示剪力或弯矩随截面位置的变化规律。
假设梁截面位置用沿梁轴线的坐标x表示
剪力方程:
FS
FS FS (x)
x
弯矩方程:
M M (x)
例题9-6 图a所示简支梁在C点受矩为Me的集中力偶作用。试作梁的剪力图 和弯矩图。
解：1. 求约束力
FA
Me l
,
FB
Me l
2. 列剪力方程和弯矩方程
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《工程力学》中剪力图和弯矩图的快易绘图法摘要：在《工程力学》中，绘制平面弯曲梁的剪力图和弯矩图是“直梁的弯曲”一章中的重点和难点，传统的规律绘图法用到的一次函数、二次函数和导数等相关知识，对于数学基础不很扎实的高职生来说是很难理解的。
本文中作者利用选取特殊点来绘制剪力图和弯矩图，其方法更为简便快捷。
关键词：剪力图弯矩图特殊点
在《工程力学》中，直梁的弯曲变形是杆件受力变形的基本形式之一，在对梁进行强度和刚度计算时，通常要画出剪力图和弯矩图（即把剪力方程和弯矩方程用函数图象表示出来）以便清楚地看出梁的各个截面上剪力和弯矩的大小、正负以及最大值所在截面的位置。
目前绘制剪力图和弯矩图最常用的规律绘图法中用到一次函数、二次函数和导数等相关知识，这对于数学基础不很扎实的高职生来说是很难理解的。
通过教学，作者在原有绘图方法的基础上，利用选取特殊点代替一次函数、二次函数和导数来绘制剪力图和弯矩图的规律，谨供广大同仁参考。
具体方法为：从上至下依次画出直梁的受力分析图——特殊截面的剪力值、弯矩值——剪力图（直角坐标系）——弯矩图（直角坐标系），具体事宜与载荷种类不同有关。
1、集中载荷
例：如图1（a）所示的简支梁AB在C点处作用集中载荷F,画出此梁的剪力、弯矩图。
(1)、求约束反力。
画受力图，如图1（a）求支座约束力。
由平衡方程得：
(2)、画剪力图，如图1（b）。
某截面上的剪力即为其截面左（右）段梁上外力的代数和，左上右下为正，左下右上为负。
AC、CB段均无载荷作用，剪力图均为水平线。
(3)、画弯矩图，如图1（c）。
某截面上的弯矩即为其截面左（右）段梁上外力矩的代数和，左顺右逆为正，左逆右顺为负。
AC、CB段无载荷作用，弯矩图为斜直线，确定A、B、C三点临近截面的弯矩值
在弯矩图坐标中描出A、B、C三点坐标，分别作出AC、CB段的斜直线。
2．均布载荷
例：如图2（a）所示的简支梁AB在C点处作用均布载荷q,画出此梁的剪力、弯矩图。
(1)、画受力图，如图2（a）。
由平衡方程得：
(2)、画剪力图，如图2（b）。
靠近A点截面上的剪力，靠近B 点截面上的剪力。
在剪力图坐标中描出A、B两点，作这两点的连线得剪力图。
(3)、画弯矩图，如图2（c）。
均布载荷方向向下，弯矩图的形状是抛物线开口向下的抛物线；均布载荷方向向上，弯矩图的形状是抛物线开口向上的抛物线，确定几个特殊点即可画出弯矩图的形状。
靠近A点截面上的弯矩M1=FA·O=O，靠近B点截面上的弯矩M2=FB·O=O。
从剪力图中可得剪力为零的点，即为弯矩值最大的点，Mmax=ql2/8。
根据上述三点画出均布载荷的弯矩图。
3、力偶作用
例：如图3（a）所示的简支梁AB，在C点处作用集中力偶MO,试画此梁的剪力、弯矩图。
(1)、画受力图，如图3（b）。
有平衡方程得
(2)、画剪力图，如图3（c）。
AC、CB段无载荷作用，剪力图均为水平线。
靠近A端的1截面的剪力
靠近B端的2截面的剪力
在剪力图坐标中画出AC、BC段的水平线。
(3)、画弯矩图。
AC、CB段无载荷作用，弯矩图为斜直线，确定
A、C-、C+、B 点临近截面的弯矩值（C-表示在C点左侧临近截面；C+表示C点右侧临近截面。
）。
在弯矩图坐标中描出A、C-、C+、B四点，分别作出AC-、C+B 段的斜直线。
4 、小结
从以上例题我们总结出画剪力图和弯矩图的简便方法：
(1)、无载荷作用的梁段上，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。
(2)、均布载荷作用的梁段上，剪力图为斜直线，弯矩图为二次曲线。
曲线凹向与均布载荷同向，在剪力等于零的截面，曲线有极值。
(3)、集中力作用处，剪力图有突变，突变的幅值等于集中力的大小，突变的方向与集中力同向；弯矩图有折点。
(4)、集中力偶作用处，剪力图不变；弯矩图突变，突变的幅值
等于集中力偶矩的大小，突变的方向，集中力偶顺时针向坐标正向突变，反之向坐标负向突变。
尽管用剪力、弯矩方程能够画出剪力、弯矩图，但是应用选取特殊点的简便方法绘制剪力、弯矩图会更加简捷方便。
参考文献
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